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Analysis I & IID-MAVT, D-MATL
Dr. Andreas Steiger
HS 2016
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Abriss eines Lebenslaufs
I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009,Dr.sc. ETH 2014
I Seit August 2015: Dozent im Lehrauftrag, Fach- &Mobilitatsberatung D-MATH
I Thurgauer, seit Studienbeginn in Zurich wohnhaft
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Abriss eines Lebenslaufs
I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009,Dr.sc. ETH 2014
I Seit August 2015: Dozent im Lehrauftrag, Fach- &Mobilitatsberatung D-MATH
I Thurgauer, seit Studienbeginn in Zurich wohnhaft
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Abriss eines Lebenslaufs
I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009,Dr.sc. ETH 2014
I Seit August 2015: Dozent im Lehrauftrag, Fach- &Mobilitatsberatung D-MATH
I Thurgauer, seit Studienbeginn in Zurich wohnhaft
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Was ist Analysis? – I
I Analysis ist in erster Linie das Studium von Grenzwerten
I Folge: (an)n = (a0, a1, a2, a3, . . .) ⊂ RI Grenzwert der Folge:
limn→∞
an = ?
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Was ist Analysis? – I
I Analysis ist in erster Linie das Studium von Grenzwerten
I Folge: (an)n = (a0, a1, a2, a3, . . .) ⊂ RI Grenzwert der Folge:
limn→∞
an = ?
![Page 7: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/7.jpg)
Was ist Analysis? – I
I Analysis ist in erster Linie das Studium von Grenzwerten
I Folge: (an)n = (a0, a1, a2, a3, . . .) ⊂ R
I Grenzwert der Folge:
limn→∞
an = ?
![Page 8: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/8.jpg)
Was ist Analysis? – I
I Analysis ist in erster Linie das Studium von Grenzwerten
I Folge: (an)n = (a0, a1, a2, a3, . . .) ⊂ RI Grenzwert der Folge:
limn→∞
an = ?
![Page 9: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/9.jpg)
Was ist Analysis? – I
limn→∞
an = ?
Mogliche Ergebnisse?
I (an) konvergiert gegen a:
limn→∞
an = a ∈ R
I (an) wird beliebig gross (oder klein):
limn→∞
an =∞ (oder −∞)
I (an) konvergiert nicht:
limn→∞
an existiert nicht.
Bester Fall zum Weiterrechnen: (an) konvergiert gegen a.
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Was ist Analysis? – I
limn→∞
an = ?
Mogliche Ergebnisse?
I (an) konvergiert gegen a:
limn→∞
an = a ∈ R
I (an) wird beliebig gross (oder klein):
limn→∞
an =∞ (oder −∞)
I (an) konvergiert nicht:
limn→∞
an existiert nicht.
Bester Fall zum Weiterrechnen: (an) konvergiert gegen a.
![Page 11: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/11.jpg)
Was ist Analysis? – I
limn→∞
an = ?
Mogliche Ergebnisse?
I (an) konvergiert gegen a:
limn→∞
an = a ∈ R
I (an) wird beliebig gross (oder klein):
limn→∞
an =∞ (oder −∞)
I (an) konvergiert nicht:
limn→∞
an existiert nicht.
Bester Fall zum Weiterrechnen: (an) konvergiert gegen a.
![Page 12: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/12.jpg)
Was ist Analysis? – I
limn→∞
an = ?
Mogliche Ergebnisse?
I (an) konvergiert gegen a:
limn→∞
an = a ∈ R
I (an) wird beliebig gross (oder klein):
limn→∞
an =∞ (oder −∞)
I (an) konvergiert nicht:
limn→∞
an existiert nicht.
Bester Fall zum Weiterrechnen: (an) konvergiert gegen a.
![Page 13: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/13.jpg)
Was ist Analysis? – I
limn→∞
an = ?
Mogliche Ergebnisse?
I (an) konvergiert gegen a:
limn→∞
an = a ∈ R
I (an) wird beliebig gross (oder klein):
limn→∞
an =∞ (oder −∞)
I (an) konvergiert nicht:
limn→∞
an existiert nicht.
Bester Fall zum Weiterrechnen:
(an) konvergiert gegen a.
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Was ist Analysis? – I
limn→∞
an = ?
Mogliche Ergebnisse?
I (an) konvergiert gegen a:
limn→∞
an = a ∈ R
I (an) wird beliebig gross (oder klein):
limn→∞
an =∞ (oder −∞)
I (an) konvergiert nicht:
limn→∞
an existiert nicht.
Bester Fall zum Weiterrechnen: (an) konvergiert gegen a.
![Page 15: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/15.jpg)
Was ist Analysis? – I
I Fast alles, was Sie antreffen werden, lasst sich irgendwie alsFunktion schreiben. Einfacher Fall:
f : (a, b)→ Rx 7→ f (x)
I Stetigkeit: Fur jedes x0 ∈ (a, b) gilt
limx→x0
f (x) = f (x0).
(Konvergierende Folgen, bester Fall.)
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Was ist Analysis? – I
I Fast alles, was Sie antreffen werden, lasst sich irgendwie alsFunktion schreiben. Einfacher Fall:
f : (a, b)→ Rx 7→ f (x)
I Stetigkeit: Fur jedes x0 ∈ (a, b) gilt
limx→x0
f (x) = f (x0).
(Konvergierende Folgen, bester Fall.)
![Page 17: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/17.jpg)
Was ist Analysis? – I
I Fast alles, was Sie antreffen werden, lasst sich irgendwie alsFunktion schreiben. Einfacher Fall:
f : (a, b)→ Rx 7→ f (x)
I Stetigkeit: Fur jedes x0 ∈ (a, b) gilt
limx→x0
f (x) = f (x0).
(Konvergierende Folgen, bester Fall.)
![Page 18: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/18.jpg)
Was ist Analysis? – II
I Spezielle Punkte einer Funktion: Maximum, Minimum,Wendepunkte. . .
I Werkzeug: Ableitung beschreibt Steigung
f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
I Maximum/Minimum erkennbar durch f ′(x) = 0.
I Kettenregel:
(f (g(x)))′ = f ′(g(x)) + g ′(x)
(Wieder ein konvergierender Grenzwert, bester Fall.)
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Was ist Analysis? – II
I Spezielle Punkte einer Funktion: Maximum, Minimum,Wendepunkte. . .
I Werkzeug: Ableitung beschreibt Steigung
f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
I Maximum/Minimum erkennbar durch f ′(x) = 0.
I Kettenregel:
(f (g(x)))′ = f ′(g(x)) + g ′(x)
(Wieder ein konvergierender Grenzwert, bester Fall.)
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Was ist Analysis? – II
I Spezielle Punkte einer Funktion: Maximum, Minimum,Wendepunkte. . .
I Werkzeug: Ableitung beschreibt Steigung
f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
I Maximum/Minimum erkennbar durch f ′(x) = 0.
I Kettenregel:
(f (g(x)))′ = f ′(g(x)) + g ′(x)
(Wieder ein konvergierender Grenzwert, bester Fall.)
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Was ist Analysis? – II
I Spezielle Punkte einer Funktion: Maximum, Minimum,Wendepunkte. . .
I Werkzeug: Ableitung beschreibt Steigung
f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
I Maximum/Minimum erkennbar durch f ′(x) = 0.
I Kettenregel:
(f (g(x)))′ = f ′(g(x)) + g ′(x)
(Wieder ein konvergierender Grenzwert, bester Fall.)
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Was ist Analysis? – II
I Spezielle Punkte einer Funktion: Maximum, Minimum,Wendepunkte. . .
I Werkzeug: Ableitung beschreibt Steigung
f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
I Maximum/Minimum erkennbar durch f ′(x) = 0.
I Kettenregel:
(f (g(x)))′ = f ′(g(x)) + g ′(x)
(Wieder ein konvergierender Grenzwert, bester Fall.)
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Was ist Analysis? – II/A
I Funktionen sind nicht fur alle geometrischen Objekte geeignet,beispielsweise fur Kreise, Ellipse, Spiralen, . . .
I Ausweg: Ebene Kurven uber Parameterdarstellung
I Werkzeug: Komplexe Zahlen.
(Konvergierender Grenzwert? Krummung k(t) = y x−y x(x+y)3/2 .)
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Was ist Analysis? – II/A
I Funktionen sind nicht fur alle geometrischen Objekte geeignet,beispielsweise fur Kreise, Ellipse, Spiralen, . . .
I Ausweg: Ebene Kurven uber Parameterdarstellung
I Werkzeug: Komplexe Zahlen.
(Konvergierender Grenzwert? Krummung k(t) = y x−y x(x+y)3/2 .)
![Page 25: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/25.jpg)
Was ist Analysis? – II/A
I Funktionen sind nicht fur alle geometrischen Objekte geeignet,beispielsweise fur Kreise, Ellipse, Spiralen, . . .
I Ausweg: Ebene Kurven uber Parameterdarstellung
I Werkzeug: Komplexe Zahlen.
(Konvergierender Grenzwert? Krummung k(t) = y x−y x(x+y)3/2 .)
![Page 26: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/26.jpg)
Was ist Analysis? – II/A
I Funktionen sind nicht fur alle geometrischen Objekte geeignet,beispielsweise fur Kreise, Ellipse, Spiralen, . . .
I Ausweg: Ebene Kurven uber Parameterdarstellung
I Werkzeug: Komplexe Zahlen.
(Konvergierender Grenzwert? Krummung k(t) = y x−y x(x+y)3/2 .)
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Was ist Analysis? – III
I Weiteres Objekt von Interesse: Flachenberechnung
I Werkzeug: Integral∫ b
af (x) dx = lim
n→∞
n∑k=1
f (ξk)∆xk
I Zusammenhang Integral-Ableitung uber Fundamentalsatz(∫ x
af (y)dy
)′= f (x)
(Konvergierender Grenzwert: Check.)
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Was ist Analysis? – III
I Weiteres Objekt von Interesse: Flachenberechnung
I Werkzeug: Integral∫ b
af (x) dx
= limn→∞
n∑k=1
f (ξk)∆xk
I Zusammenhang Integral-Ableitung uber Fundamentalsatz(∫ x
af (y)dy
)′= f (x)
(Konvergierender Grenzwert: Check.)
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Was ist Analysis? – III
I Weiteres Objekt von Interesse: Flachenberechnung
I Werkzeug: Integral∫ b
af (x) dx = lim
n→∞
n∑k=1
f (ξk)∆xk
I Zusammenhang Integral-Ableitung uber Fundamentalsatz(∫ x
af (y)dy
)′= f (x)
(Konvergierender Grenzwert: Check.)
![Page 30: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/30.jpg)
Was ist Analysis? – III
I Weiteres Objekt von Interesse: Flachenberechnung
I Werkzeug: Integral∫ b
af (x) dx = lim
n→∞
n∑k=1
f (ξk)∆xk
I Zusammenhang Integral-Ableitung uber Fundamentalsatz(∫ x
af (y)dy
)′= f (x)
(Konvergierender Grenzwert: Check.)
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Was ist Analysis? – III
I Weiteres Objekt von Interesse: Flachenberechnung
I Werkzeug: Integral∫ b
af (x) dx = lim
n→∞
n∑k=1
f (ξk)∆xk
I Zusammenhang Integral-Ableitung uber Fundamentalsatz(∫ x
af (y)dy
)′= f (x)
(Konvergierender Grenzwert: Check.)
![Page 32: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/32.jpg)
Was ist Analysis? – VIII
I Manchmal muss man aber nicht die Funktion prazise kennen,eine Approximation reicht
I Werkzeug: Taylorreihe um x0
f (x) =∞∑n=0
f (n)(x0)
n!(x − x0)n
I Anwendung: Vereinfachungen, die hinreichend praziseLosungen liefern
(Konvergierender Grenzwert steckt in der unendlichen Summe.)
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Was ist Analysis? – VIII
I Manchmal muss man aber nicht die Funktion prazise kennen,eine Approximation reicht
I Werkzeug: Taylorreihe um x0
f (x) =∞∑n=0
f (n)(x0)
n!(x − x0)n
I Anwendung: Vereinfachungen, die hinreichend praziseLosungen liefern
(Konvergierender Grenzwert steckt in der unendlichen Summe.)
![Page 34: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/34.jpg)
Was ist Analysis? – VIII
I Manchmal muss man aber nicht die Funktion prazise kennen,eine Approximation reicht
I Werkzeug: Taylorreihe um x0
f (x) =∞∑n=0
f (n)(x0)
n!(x − x0)n
I Anwendung: Vereinfachungen, die hinreichend praziseLosungen liefern
(Konvergierender Grenzwert steckt in der unendlichen Summe.)
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Was ist Analysis? – VIII
I Manchmal muss man aber nicht die Funktion prazise kennen,eine Approximation reicht
I Werkzeug: Taylorreihe um x0
f (x) =∞∑n=0
f (n)(x0)
n!(x − x0)n
I Anwendung: Vereinfachungen, die hinreichend praziseLosungen liefern
(Konvergierender Grenzwert
steckt in der unendlichen Summe.)
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Was ist Analysis? – VIII
I Manchmal muss man aber nicht die Funktion prazise kennen,eine Approximation reicht
I Werkzeug: Taylorreihe um x0
f (x) =∞∑n=0
f (n)(x0)
n!(x − x0)n
I Anwendung: Vereinfachungen, die hinreichend praziseLosungen liefern
(Konvergierender Grenzwert steckt in der unendlichen Summe.)
![Page 37: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/37.jpg)
Was ist Analysis? – IV
I Leider reicht eine Dimension nicht fur unsere Welt.
I Werkzeug: Mehrdimensionale Funktionen
f : A→ R, A ⊂ R× R(x , y) 7→ f (x , y)
I Werkzeug: Partielle Ableitungen
fx(x0, y0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x , y0)− f (x0, y0)
∆x
I Anwendungen auf Extremwerte, verallgemeinerte Kettenregel
(Konvergierender Grenzwert bla bla bla . . .)
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Was ist Analysis? – IV
I Leider reicht eine Dimension nicht fur unsere Welt.
I Werkzeug: Mehrdimensionale Funktionen
f : A→ R, A ⊂ R× R(x , y) 7→ f (x , y)
I Werkzeug: Partielle Ableitungen
fx(x0, y0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x , y0)− f (x0, y0)
∆x
I Anwendungen auf Extremwerte, verallgemeinerte Kettenregel
(Konvergierender Grenzwert bla bla bla . . .)
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Was ist Analysis? – IV
I Leider reicht eine Dimension nicht fur unsere Welt.
I Werkzeug: Mehrdimensionale Funktionen
f : A→ R, A ⊂ R× R(x , y) 7→ f (x , y)
I Werkzeug: Partielle Ableitungen
fx(x0, y0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x , y0)− f (x0, y0)
∆x
I Anwendungen auf Extremwerte, verallgemeinerte Kettenregel
(Konvergierender Grenzwert bla bla bla . . .)
![Page 40: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/40.jpg)
Was ist Analysis? – IV
I Leider reicht eine Dimension nicht fur unsere Welt.
I Werkzeug: Mehrdimensionale Funktionen
f : A→ R, A ⊂ R× R(x , y) 7→ f (x , y)
I Werkzeug: Partielle Ableitungen
fx(x0, y0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x , y0)− f (x0, y0)
∆x
I Anwendungen auf Extremwerte, verallgemeinerte Kettenregel
(Konvergierender Grenzwert bla bla bla . . .)
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Was ist Analysis? – IV
I Leider reicht eine Dimension nicht fur unsere Welt.
I Werkzeug: Mehrdimensionale Funktionen
f : A→ R, A ⊂ R× R(x , y) 7→ f (x , y)
I Werkzeug: Partielle Ableitungen
fx(x0, y0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x , y0)− f (x0, y0)
∆x
I Anwendungen auf Extremwerte, verallgemeinerte Kettenregel
(Konvergierender Grenzwert bla bla bla . . .)
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Was ist Analysis? – V
I Analog: Mehrdimensionale Integrale∫∫∫Bf (x , y , z)dV = lim
n→∞
n∑i=1
f (xi , yi , zi )∆Vi
I Anwendungen: Berechnung von Schwerpunkt,Tragheitsmoment, etc
I Nutzliches Werkzeug: Koordinatentransformationen
![Page 43: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/43.jpg)
Was ist Analysis? – V
I Analog: Mehrdimensionale Integrale∫∫∫Bf (x , y , z)dV = lim
n→∞
n∑i=1
f (xi , yi , zi )∆Vi
I Anwendungen: Berechnung von Schwerpunkt,Tragheitsmoment, etc
I Nutzliches Werkzeug: Koordinatentransformationen
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Was ist Analysis? – V
I Analog: Mehrdimensionale Integrale∫∫∫Bf (x , y , z)dV = lim
n→∞
n∑i=1
f (xi , yi , zi )∆Vi
I Anwendungen: Berechnung von Schwerpunkt,Tragheitsmoment, etc
I Nutzliches Werkzeug: Koordinatentransformationen
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Was ist Analysis? – V
![Page 46: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/46.jpg)
Was ist Analysis? – VI
I Bis jetzt betrachteten wir mehrdimensionale Funktionen mitWerten in R. Doch damit lasst sich nicht alles beschrieben.
I Also: Vektoren statt Werte, das nennt sich Vektorfeld:
~v : A→ R3, A ⊂ R3
(x , y , z) 7→ ~v(x , y , z) = (v1(x , y , z), v2(x , y , z), v3(x , y , z))
I . . . und dann leiten wir auch diese ab.
div ~v(x , y , z) = v1,x(x , y , z) + v2,y (x , y , z) + v3,z(x , y , z)
(No comment.)
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Was ist Analysis? – VI
I Bis jetzt betrachteten wir mehrdimensionale Funktionen mitWerten in R. Doch damit lasst sich nicht alles beschrieben.
I Also: Vektoren statt Werte, das nennt sich Vektorfeld:
~v : A→ R3, A ⊂ R3
(x , y , z) 7→ ~v(x , y , z) = (v1(x , y , z), v2(x , y , z), v3(x , y , z))
I . . . und dann leiten wir auch diese ab.
div ~v(x , y , z) = v1,x(x , y , z) + v2,y (x , y , z) + v3,z(x , y , z)
(No comment.)
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Was ist Analysis? – VI
I Bis jetzt betrachteten wir mehrdimensionale Funktionen mitWerten in R. Doch damit lasst sich nicht alles beschrieben.
I Also: Vektoren statt Werte, das nennt sich Vektorfeld:
~v : A→ R3, A ⊂ R3
(x , y , z) 7→ ~v(x , y , z) = (v1(x , y , z), v2(x , y , z), v3(x , y , z))
I . . . und dann leiten wir auch diese ab.
div ~v(x , y , z) = v1,x(x , y , z) + v2,y (x , y , z) + v3,z(x , y , z)
(No comment.)
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Was ist Analysis? – VI
I Bis jetzt betrachteten wir mehrdimensionale Funktionen mitWerten in R. Doch damit lasst sich nicht alles beschrieben.
I Also: Vektoren statt Werte, das nennt sich Vektorfeld:
~v : A→ R3, A ⊂ R3
(x , y , z) 7→ ~v(x , y , z) = (v1(x , y , z), v2(x , y , z), v3(x , y , z))
I . . . und dann leiten wir auch diese ab.
div ~v(x , y , z) = v1,x(x , y , z) + v2,y (x , y , z) + v3,z(x , y , z)
(No comment.)
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Was ist Analysis? – VI
I Weiteres Werkzeug: Arbeit im Feld ~v entlang eines Weges Wmit Parametrisierung ~r
A =
∫ tQ
tP
~v(x(t), y(t), z(t)) · ~r(t)dt
I Zur Berechnung nutzlich: Satze von Gauss und Stokes
I Anwendungen: (Warme-)Fluss berechnen, Energietransfer und-verbrauch, etc
(Are we there yet? No, as only the sky is the limit.)
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Was ist Analysis? – VI
I Weiteres Werkzeug: Arbeit im Feld ~v entlang eines Weges Wmit Parametrisierung ~r
A =
∫ tQ
tP
~v(x(t), y(t), z(t)) · ~r(t)dt
I Zur Berechnung nutzlich: Satze von Gauss und Stokes
I Anwendungen: (Warme-)Fluss berechnen, Energietransfer und-verbrauch, etc
(Are we there yet? No, as only the sky is the limit.)
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Was ist Analysis? – VI
I Weiteres Werkzeug: Arbeit im Feld ~v entlang eines Weges Wmit Parametrisierung ~r
A =
∫ tQ
tP
~v(x(t), y(t), z(t)) · ~r(t)dt
I Zur Berechnung nutzlich: Satze von Gauss und Stokes
I Anwendungen: (Warme-)Fluss berechnen, Energietransfer und-verbrauch, etc
(Are we there yet? No, as only the sky is the limit.)
![Page 53: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/53.jpg)
Was ist Analysis? – VI
I Weiteres Werkzeug: Arbeit im Feld ~v entlang eines Weges Wmit Parametrisierung ~r
A =
∫ tQ
tP
~v(x(t), y(t), z(t)) · ~r(t)dt
I Zur Berechnung nutzlich: Satze von Gauss und Stokes
I Anwendungen: (Warme-)Fluss berechnen, Energietransfer und-verbrauch, etc
(Are we there yet?
No, as only the sky is the limit.)
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Was ist Analysis? – VI
I Weiteres Werkzeug: Arbeit im Feld ~v entlang eines Weges Wmit Parametrisierung ~r
A =
∫ tQ
tP
~v(x(t), y(t), z(t)) · ~r(t)dt
I Zur Berechnung nutzlich: Satze von Gauss und Stokes
I Anwendungen: (Warme-)Fluss berechnen, Energietransfer und-verbrauch, etc
(Are we there yet? No, as only the sky is the limit.)
![Page 55: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/55.jpg)
Was ist Analysis? – VII
I Bei physikalischen Systemen kommt die Problemstellung aberleider oft anders daher.
I Orte, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen hangen alsAbleitung voneinander ab
s = v , v = a, s = a
I Diese tauchen oft in einer Gleichung auf:Differentialgleichungen
y + y = 0, y = −ky , mx = mg − ax
I Anwendungen: Einflusse von Schwingkreisen, Dampfung,Reibung, etc. berechnen
(Jetzt sind wir aber fertig.)
![Page 56: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/56.jpg)
Was ist Analysis? – VII
I Bei physikalischen Systemen kommt die Problemstellung aberleider oft anders daher.
I Orte, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen hangen alsAbleitung voneinander ab
s = v , v = a, s = a
I Diese tauchen oft in einer Gleichung auf:Differentialgleichungen
y + y = 0, y = −ky , mx = mg − ax
I Anwendungen: Einflusse von Schwingkreisen, Dampfung,Reibung, etc. berechnen
(Jetzt sind wir aber fertig.)
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Was ist Analysis? – VII
I Bei physikalischen Systemen kommt die Problemstellung aberleider oft anders daher.
I Orte, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen hangen alsAbleitung voneinander ab
s = v , v = a, s = a
I Diese tauchen oft in einer Gleichung auf:Differentialgleichungen
y + y = 0, y = −ky , mx = mg − ax
I Anwendungen: Einflusse von Schwingkreisen, Dampfung,Reibung, etc. berechnen
(Jetzt sind wir aber fertig.)
![Page 58: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/58.jpg)
Was ist Analysis? – VII
I Bei physikalischen Systemen kommt die Problemstellung aberleider oft anders daher.
I Orte, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen hangen alsAbleitung voneinander ab
s = v , v = a, s = a
I Diese tauchen oft in einer Gleichung auf:Differentialgleichungen
y + y = 0, y = −ky , mx = mg − ax
I Anwendungen: Einflusse von Schwingkreisen, Dampfung,Reibung, etc. berechnen
(Jetzt sind wir aber fertig.)
![Page 59: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/59.jpg)
Was ist Analysis? – VII
I Bei physikalischen Systemen kommt die Problemstellung aberleider oft anders daher.
I Orte, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen hangen alsAbleitung voneinander ab
s = v , v = a, s = a
I Diese tauchen oft in einer Gleichung auf:Differentialgleichungen
y + y = 0, y = −ky , mx = mg − ax
I Anwendungen: Einflusse von Schwingkreisen, Dampfung,Reibung, etc. berechnen
(Jetzt sind wir aber fertig.)
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Von Herr Dr. A. Steiger empfohlen
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Was ist Analysis?
I Eine schwierige mathematische Disziplin, dessenKernfahigkeiten immer wieder gebraucht werden
I Das grosste Fach Ihres Basisjahres, sowohl bezuglichStundenzahl als auch . . .
I . . . bezuglich des Notengewichts in der Basisprufung
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Was ist Analysis?
I Eine schwierige mathematische Disziplin, dessenKernfahigkeiten immer wieder gebraucht werden
I Das grosste Fach Ihres Basisjahres, sowohl bezuglichStundenzahl als auch . . .
I . . . bezuglich des Notengewichts in der Basisprufung
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Was ist Analysis?
I Eine schwierige mathematische Disziplin, dessenKernfahigkeiten immer wieder gebraucht werden
I Das grosste Fach Ihres Basisjahres, sowohl bezuglichStundenzahl als auch . . .
I . . . bezuglich des Notengewichts in der Basisprufung
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Administratives: MyStudies
I Die zentrale Verwaltung fur Veranstaltungen und Notenerfolgt an der ETH uber MyStudies
www.mystudies.ethz.ch
I Schreiben Sie sich dort in alle Veranstaltungen des Basisjahresein. Sonst erhalten Sie wichtige Informationen spat oder garnicht.
I Bietet auch Stundenplanfunktionen, etc.
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Administratives: Veranstaltungen
I Vorlesung: Immer Mo & Fr 8:15–10:00 sowie Mi/2w1 im HGF7 mit Videoubertragung ins HG F5
I Ubungen MAVT: Fr 10:15–11:45 bzw. 12:30–14:00Ubungen MATL: Fr 13:30–15:00
I Schnellubung: Mi/2w 08:15–10:00 abwechselnd zur Vorlesung
I Anwendungsubung MATL: Mi 10:15–11:00
I Alle Ubungen finden nachste Woche erstmalig statt.
1alle 2 Wochen, beginnend heute
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Administratives: Ubungsbetrieb
I Eine Ubungsserie enthalt immer einen Online-Teil und 3Aufgaben
I Ausgabe Serie jeweils am Mittwoch, die erste nachste Woche
I Vorbesprechung in Ubung am Freitag
I Abgabe am Mittwoch darauf, in Vorlesung oder Schnellubung
I Nachbesprechung und Ruckgabe am Freitag
I In Schnell- und Anwendungsubungen wird das Material vorOrt verteilt, bearbeitet und besprochen
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Administratives: Weiteres Personal
I Hauptassistenten:I Felix Draxler, [email protected], Doktorand D-MATHI Dr. Jonathan Noel, [email protected], Post-Doc
D-MATH
I 13 + 4 Hilfsassistenten, hohersemestrige Studierende ausD-MATH/MAVT/MATL
Bitte stellen Sie Ihre Fragen erst Ihren Hilfsassistenten und erstdann den Hauptassistenten oder mir.
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Administratives: ECHO
I Nachdem Sie sich auf MyStudies fur die Vorlesungeingeschrieben haben, erhalten Sie Zugang zu ECHO:echo.ethz.ch
I Funktionen:I VorlesungshomepageI UbungenI LosungenI Online-Quizzes und AuswertungenI Einschreibung in Ubungsgruppen
I Seite ist personalisiert und studiengangsspezifisch
I Beinhaltet auch alles zur Linearen Algebra
Ubungen losen macht Spass
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Administratives: Zwischenprufung
I Findet in der 2. Semesterwoche des Fruhlingssemesters statt
I Nur Multiple-Choice-Fragen
I Falls die Zwischenprufung besser ausfallt als die Basisprufung,ergibt sich die Analysisnote zu 20% aus der Zwischenprufung20% und zu 80% aus der Basisprufung.
I Sonst zahlt nur die Basisprufungsnote
Ubungen losen macht schon
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Administratives: ETH EduApp
I Smartphone-App der ETH (Android, iOS, Windows Phone)
I Nutzliche Funktionen fur Studierende (Stundenplan,Navigator, etc)
I Feedback-Kanal, anonymisiert
I In Vorlesung: 1x pro Lektion eine Single-Choice-Frage mitDiskussion
I Auch ubers Web benutzbar: eduapp-app1.ethz.ch
Ubungen losen macht glucklich
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Beispiel einer Basisprufung
I Auf den nachsten Folien gehen wir kurz durch eine ganzeBasisprufung Analysis I/II durch
I Beispiel stammt vom Winter 2013 (Prof. G. Felder)
I Inhaltlich hat sich an der Vorlesung seither nichts geander
I Vermutlich wird es dieses Jahr mehr Multiple Choice geben alsim Beispiel
Ubungen losen hilft bei der Basisprufung
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Basisprufung Winter 2013
Ubungen losen reduziert Fluchtigkeitsfehler
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Basisprufung Winter 2013
Ubungen losen ersetzt die Formelsammlung
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Basisprufung Winter 2013
Ubungen losen macht Integrale einfach
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Basisprufung Winter 2013
Ubungen losen macht klug
![Page 76: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/76.jpg)
Basisprufung Winter 2013
Ubungen losen hilft bei Konvergenzfragen
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Basisprufung Winter 2013
Ubungen losen vereinfacht dein Anfangswertproblem
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Basisprufung Winter 2013
Ubungen losen hilft, Losungsstrategien zu erkennen
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Basisprufung Winter 2013
Ubungen losen hilft mit Nebenbedingungen klar zu kommen
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Basisprufung Winter 2013
Ubungen losen ist Arbeit, aber wirkt nicht unbedingt integrierend
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Basisprufung Winter 2013
Ubungen losen minimiert die Durchfallquote (der Prufung, nicht auf derSchussel)
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Basisprufung Winter 2013
Ubungen losen hilft, dass du nicht selbst rotierst
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Basisprufung Winter 2013
Ubungen losen setzt voraus, dass du dein Tragheitsmoment uberwindest
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Basisprufung Winter 2013
Ubungen losen sorgt fur viel Erfolg!
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Tipps von Abgangern
Ubungen losen gibt kreative Ideen
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Tipps von Abgangern
Ubungen losen gibt Flexibilitat, aber nicht unbedingt in der Hufte
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Tipps von Abgangern
Ubungen losen kann langerfristig zu Erfolg bei der Partnersuche fuhren
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Tipps von Abgangern
Ubungen losen kann den Blick furs Wesentliche eroffnen
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Tipps von Abgangern
Ubungen losen sollte man schon wahrend des Semesters, sonst wird das nixmit Skiferien
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Tipps von Abgangern
Ubungen losen hilft aber, seinen Mitstudierenden etwas beizubringen. Kannman sich ja mit Bier ausbezahlen lassen.
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Tipps von Abgangern
Ubungen losen macht dich zu einem besseren Menschen
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Tipps von Abgangern
Ubungen lost man mit Papier und Bleistift. True story.
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Tipps von Abgangern
Ubungen losen hilft, wenn man auch Professor werden will
![Page 94: Analysis I & II - ETH Zasteiger/analysis-mavtmatl... · 2016-10-07 · Abriss eines Lebenslaufs I BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 I Seit August 2015:](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050300/5f691b34ea316e18d4679267/html5/thumbnails/94.jpg)
Tipps von Abgangern
Ubungen losen ist Teil des “Play Hard”, bevor man zu “Party Hard”ubergeht
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Tipps von Abgangern
Ubungen losen lasst einen hoffen, die Prufung zu bestehen. Vielleicht.
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Tipps von Abgangern
Ubungen losen macht, dass man spater auch Shirts mit zynischen Spruchentragen darf
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Tipps von Abgangern
Ubungen losen hat Gauss zum Erfolg gefuhrt
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Tipps von Abgangern
Ubungen losen ist wie ins Training zu gehen. Mit Kaffee statt Proteinshake.
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Tipps von Abgangern
Ubungen losen. . . noch ist es nicht zu spat, das zu lernen
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Tipps von Abgangern
Ubungen losen ist auch nach der ETH noch gratis, aber ist etwas zu spat
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Tipps von Abgangern
Ubungen losen hilft aber auch beim Verstandnis
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Was fuhrt zum Erfolg?
I Aktive Mitarbeit: Stellen Sie Fragen, losen Sie Ubungen2,diskutieren Sie untereinander
I Hartnackigkeit: Mathematik lernt sich nicht von einem Tagauf den nachsten.
I Aber auch Ausgleich muss sein. Nutzen sie die reichhaltigenAngebote von VSETH, AMIV, ASVZ, etc.
Mathematics is not a spectator sport!
2Die ETH hat einen hochgradig signifikanten Zusammenhang zwischenUbungsabgabe und Basisprufungserfolg festgestellt. So signifikant, dass jederPsychologe neidisch werden muss.
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Was fuhrt zum Erfolg?
I Aktive Mitarbeit: Stellen Sie Fragen, losen Sie Ubungen2,diskutieren Sie untereinander
I Hartnackigkeit: Mathematik lernt sich nicht von einem Tagauf den nachsten.
I Aber auch Ausgleich muss sein. Nutzen sie die reichhaltigenAngebote von VSETH, AMIV, ASVZ, etc.
Mathematics is not a spectator sport!
2Die ETH hat einen hochgradig signifikanten Zusammenhang zwischenUbungsabgabe und Basisprufungserfolg festgestellt. So signifikant, dass jederPsychologe neidisch werden muss.