-
8/19/2019 ANÁLISIS FRACTAL EN SUPERFICIES, PARA MATERIALES FERROSOS Y NO FERROSOS
1/14
ANÁLISIS FRACTAL EN SUPERFICIES, PARA
MATERIALES FERROSOS Y NO FERROSOS
Javier Jiménez García, Daniel Sánchez Lara
Facultad de Estudios Superiores Aragón. Centro Tecnológico Aragón. México DF.
Avenida Rancho Seco S/N, Colonia Impulsora, Nezahualcóyotl, Estado de México
E-mail: [email protected] Tel. 56230960, Fax 56230864
RESUMEN
En este trabajo se sustentarán los conceptos básicos de los fractales que existen en nuestro
alrededor (características, tipos, dimensiones, aplicaciones), para poder definir si existe o no
una relación entre la rugosidad, sus efectos y consecuencias. Considerando el acabado
superficial de los materiales, debido a los procesos de conformado (arranque de viruta, sin
arranque de viruta y acabados especiales). Para tal fin se llevará a cabo un análisis, a través
de iteraciones matemáticas, lecturas obtenidas del rugosímetro, tipos de materiales, acabados
y herramientas de diseño. Con base en los resultados obtenidos se determinarán las
consecuencias que producen los fractales, además de sus proyecciones.
Palabras Clave: Fractales. Acabado Superficial. Rugosidad.
ABSTRACT
The basic concept of fractals that exist around us (characteristics, types, sizes, applications)
will be supported in this paper. In order to define whether there is or not a relationship
between roughness, effects and consequences. Considering the material’s surface finishing,
due to the forming processes (metal removal, without chip and special finishes). For this
purpose on analysis conducted through mathematical iterations profilometer readings
-
8/19/2019 ANÁLISIS FRACTAL EN SUPERFICIES, PARA MATERIALES FERROSOS Y NO FERROSOS
2/14
obtained, types of materials, finishes and design tools will be done. Based on the results the
consequences projections of fractals will be determined.
Key words: Fractals, Surface Finish, Roughness.
INTRODUCCIÓN
Los fractales son entidades matemáticas que las podemos encontrar, por su variedad, en
diversos lugares. Y, precisamente, por ello, son difíciles de definir porque no todos cumplen
las mismas características, aunque hay algo en común: son el producto de la repetición de un
proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación
extraordinaria. Con base en reglas y bases matemáticas, finitas e infinitas, los fractales son
conocidos, como la geografía de la naturaleza.
Cabe destacar, que los materiales utilizados en el campo de la ingeniería, desde su formación
están regidos por la geometría que está en la naturaleza, formando con ello fractales,
encontrándolos en mecanismos, procesos y acabados superficiales.
Por ello, los fractales y la rugosidad, son propiedades características de los materiales, debido
a la interacción que existe con la gran cantidad de acabados superficiales, porque al
interactuar, producen piezas precisas a pequeña o gran escala, con una mejor calidad, lo que
permite evitar un mal funcionamiento o desgaste excesivo, que repercutirá en mayores
consumos de energía e incremento en los costos de producción.
Sin duda la rugosidad está presente en todas las superficies de los materiales sólidos, siendo
vital para todo proceso metalmecánico, en la medida que permite durante un proceso de
producción, controlar factores como el grado de fricción, desgaste y lubricación de las piezas,
-
8/19/2019 ANÁLISIS FRACTAL EN SUPERFICIES, PARA MATERIALES FERROSOS Y NO FERROSOS
3/14
con el objetivo de obtener materiales o piezas de mejor calidad, maximizar la productividad
y minimizar el tiempo de desgaste de un material.
Cabe mencionar que la supervisión de la rugosidad es la clave para obtener la textura ideal
de un acabado, ya que una superficie perfecta es una abstracción matemática, porque
cualquier superficie por ideal que parezca, presentará irregularidades originadas durante el
proceso de producción.
Los principales parámetros que se evalúan de los materiales, son la longitud de evaluación
(ln), cresta de perfil, Valle de perfil, altura máxima de la cresta (Rp), profundidad máxima
del valle (Rm), Altura máxima del perfil (Ry). Obtenidos mediante la rugosidad promedio
en micrómetros, a través de diferentes procesos de conformado, arenado, bruñido, corte con
soplete, fundición en arena, corte laser, laminado en caliente, oxicorte, rectificado, entre
otros, los cuales se rigen por diferentes métricas, ya sea por aplicación (frecuente y menos
frecuente) o material obtenido, que se evaluará en dimensiones estandarizadas.
Por lo tanto, el eje rector de esta investigación, es analizar el efecto de los diferentes tipos de
fractales, en las superficies de los materiales ferrosos y no ferrosos, auxiliándonos de
herramientas de diseño, iteraciones matemáticas, lecturas obtenidas del rugosímetro y
programación, con la finalidad de obtener la geometría fractal existente y la morfología del
material. Determinando para cada material evaluado, los fractales que se forman en el
acabado superficial, debido al proceso al que se hayan sometido. Mediante tablas se
representarán los fractales obtenidos en las superficies de materiales ferrosos y no ferrosos.
-
8/19/2019 ANÁLISIS FRACTAL EN SUPERFICIES, PARA MATERIALES FERROSOS Y NO FERROSOS
4/14
JUSTIFICACIÓN
Debido al gran campo de investigación, avances y aplicaciones existentes de los fractales, es
necesario conocer sus características más importantes, que implican un conocimiento,
considerable en matemáticas, materiales, programación y geometría.
Cabe destacar, que los fractales se han visto impulsados, por la complejidad y la creciente
sofisticación de los sistemas en los que se encuentran, por ello, es fundamental reconocerlos
como un punto de partida en el proceso de investigación para poder identificarlos y situarlos
en la rugosidad de un material, con el fin de que el alumnado de las ingenierías, apliquen
estos conocimientos en los procesos de conformado, corte y diseño.
Es importante mencionar que los conocimientos básicos de los fractales y su interacción con
la rugosidad, posibilitarán una formación integral, que enriquecerá la profesionalización del
alumnado, ya que contarán con las herramientas estratégicas para poder seleccionar el mejor
acabado del material y así poder controlar los factores de mayor relevancia en el sector
productivo, la fricción, el desgaste y la lubricación.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Considerando que no existen datos suficientes sobre los diferentes acabados superficiales y
su interacción con las pruebas de rugosidad, sobre los diferentes tipos de materiales
utilizados en la industria. Es necesario que se proyecten campos de investigación mediante
fractales, para estar a la vanguardia en la selección y diseño de materiales para sistemas
mecánicos, priorizando controles de calidad.
-
8/19/2019 ANÁLISIS FRACTAL EN SUPERFICIES, PARA MATERIALES FERROSOS Y NO FERROSOS
5/14
OBJETIVO GENERAL
Representar mediante fractales, la rugosidad existente en materiales ferrosos y no ferrosos,
con base en los acabados superficiales y los procesos de conformado, para desarrollar una
herramienta digital que facilite un sistema de control de calidad.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Generar una herramienta digital de geometrías fractales con base en la rugosidad de
diferentes tipos de materiales ferrosos y no ferrosos, considerando sus características
específicas.
Diseñar y planear prácticas de laboratorio basadas en proyectos didácticos, como lamodalidad de trabajo, desarrollando actividades permanentes, para que el alumnado
enriquezca sus competencias centradas en los fractales.
Diseñar una base de datos, para facilitar la interpretación de los resultados obtenidos
por el alumnado y posteriormente llevar a cabo una simulación de los fractales.
Implementar estrategias de evaluación considerando la factibilidad de los procesos
implementados, mediante el establecimiento de rúbricas, listas de cotejo, guías de
observación y bitácora de seguimiento.
HIPOTESIS Y SUPUESTOS
Para posibilitar el desarrollo, análisis y flexibilización en el campo de aplicación de los
fractales, se propone un estudio sistemático y delimitado de la interacción del acabado
superficial de los materiales ferrosos y no ferrosos con respecto a la rugosidad, para contribuir
a procesos susceptibles de mejora continua tecnológica.
Desarrollar competencias en el campo de los fractales, que no sólo impliquen la acumulación
de conocimientos sino su puesta en práctica, es decir, su movilización.
-
8/19/2019 ANÁLISIS FRACTAL EN SUPERFICIES, PARA MATERIALES FERROSOS Y NO FERROSOS
6/14
MARCO TEÓRICO CONCEPTUAL
La geometría fractal data aproximadamente de 1975 cuando, Benoit Mandelbrot (hoy
conocido como el padre de los fractales), figura 1, formalizó el concepto en su libro, Fractals:
form, chance and dimensión (Solares, E., 1992), Fractales (del latín fractus, que significairregular o quebradizo) es un proceso de repetición, se caracterizan por poseer detalles a gran
escala, tener longitud infinita, no ser diferenciables y exhibir dimensión fraccional.
Figura 1. Primer libro del padre de los fractales.
En 1987 dos matemáticos del Instituto tecnológico de Georgia, Barnsley y Alan formaron
Iterated Systems Inc. En donde se utilizó la teoría fractal, aplicada en la compresión de
fotografías a colores y mapas, en la Enciclopedia Encarta de Microsoft, se creó el programa
Fractal Image, el cual podía almacenar imágenes en formato .FIF (Fractal Image Format). La
finalidad de este programa es poder aumentar proporcionalmente la escala y observar a
detalle la geometría fractal existente en cualquier imagen, (Solares, E., 1992).
En general los fractales son objetos matemáticos que constituyen un sistema descriptivo, se
encuentran en una superficie finita, cuya dimensión es no entera o fraccionaria, que poseen
autosimilitud y dimensión fractal en ellos existe caos y orden en armonía. Los cuales pueden
ser generados a partir de elementos de la matemática tradicional o a través de números
complejos.
-
8/19/2019 ANÁLISIS FRACTAL EN SUPERFICIES, PARA MATERIALES FERROSOS Y NO FERROSOS
7/14
A continuación se definirán cada una de las características fundamentales de los fractales
para mostrar su morfología.
Sistemas caóticos. Se encuentran afectados directamente por sus condiciones
iniciales, transformándolos, en el transcurso del tiempo en sistemas imposibles, (Hott,
E., 2004), como se muestra en la figura 2.
Figura 2. Sistema caótico de imágenes fractales.
Autosimilitud. Es la norma característica de un sistema complejo, donde el área de
un fractal conserva de manera estadísticamente similar, las propiedades de un objeto
fractal. Debido a que los fractales están compuestos por elementos cada vez más
pequeños que si mismo, (Hott, E., 2004), como se muestra en la figura 3.
Figura 3. Autosimilitud en diferentes geometrías básicas.
Dimensión Fractal. Está directamente ligada con los grados de libertad. Cuando la
dimensión es 0 solo podrá existir un punto móvil y sin límites. Si es 1, se convierte
en una recta y se obtiene un grado de libertad. En el caso que sea 2, tenemos un plano
con dos grados de libertad. Y por último si tenemos dimensión 3, tenemos 3 grados
de libertad y representa un plano, (Hott, E., 2004).
-
8/19/2019 ANÁLISIS FRACTAL EN SUPERFICIES, PARA MATERIALES FERROSOS Y NO FERROSOS
8/14
Geometría fractal. Es un conjunto de estructuras irregulares y complejas descritas a
través de algoritmos iterativos computacionales, los cuales remplazan a puntos, rectas
y las figuras de la geometría tradicional, (Nápoles V., 2012), como se muestra en la
figura 4.
Figura 4. Geometría fractal conocida como Geometría de la Naturaleza.
Asimismo existen diferentes tipos de fractales regidos por su dimensión, tamaño y forma, los
cuales se describen a continuación.
Fractales lineales. Son los fractales clásicos. Si observamos una parte especifica muy
pequeña de una forma fractal, la veremos igual o similar a la forma original del fractal
solo más pequeña, estos fractales se generan a través de algoritmos conocidos por
matemática euclidiana, (Barnsley, M., 1993).
-
8/19/2019 ANÁLISIS FRACTAL EN SUPERFICIES, PARA MATERIALES FERROSOS Y NO FERROSOS
9/14
Figura 6. Conjunto de Mandelbrot.
Los fractales lineales son los que se construyen con un cambio en variación de las escalas,
siendo idénticos en todas sus escalas hasta infinito, en el caso de la autosimilitud son
perfectamente similares, los más representativos son.
1.
Curva de Von koch, como se muestra en la figura 5.2. Conjunto de Cantor.
3. Triangulo de Sierprinsky.
Fractales no lineales. Representan una estructura similar pero no son exactamente
igual a su original, ya que en el fractal existirán pequeñas variaciones al original, estos
fractales se generan a través de números complejos, (Barnsley, M., 1993), el más
conocido es el Conjunto de Mandelbrot, como se muestra en la figura 6.
Figura 5. Conjunto de Cantor.
-
8/19/2019 ANÁLISIS FRACTAL EN SUPERFICIES, PARA MATERIALES FERROSOS Y NO FERROSOS
10/14
Rugosidad
Con el fin de reconocer los parámetros (Ra, Rz, Ry etc.) a considerar, para determinar la
relación existente con la geometría fractal y sus cálculos, primero definiremos lo que es la
rugosidad.
La rugosidad es el conjunto de irregularidades que posee una superficie, por lo tanto la mayor
o menor rugosidad de una superficie depende de su acabado superficial.
Es importante mencionar que una superficie perfecta es una abstracción matemática, ya que
cualquier superficie real por perfecta que parezca, presentará irregularidades que se originandurante el proceso de fabricación, (Barnsley, M., 1993).
Por lo tanto, los parámetros más importantes y característicos de la rugosidad que se
evaluaran para la geometría fractal, son los siguientes:
L= Longitud básica = Segmento de la línea de referencia, para separar irregularidades,
como se muestra en la figura 7.
Ln=longitud de evaluación= Longitud utilizada para determinar los parámetros de la
rugosidad superficial.
Línea media aritmética= Línea de referencia con la forma del perfil geométrico divide
el perfil geométrico, divide al perfil, para que la suma de las áreas en la parte superior
e inferior son iguales.
http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(f%C3%ADsica)
-
8/19/2019 ANÁLISIS FRACTAL EN SUPERFICIES, PARA MATERIALES FERROSOS Y NO FERROSOS
11/14
Cresta de perfil=Parte de perfil uniendo la intersección con la línea media.
Valle de perfil= Parte de perfil uniendo las intersecciones de valle con una línea
media.
Rp= Altura máxima de una cresta, distancia del punto más alto con la línea media,
como se muestra en la figura 8.
Rm=Profundidad máxima de un valle = Distancia del punto más bajo del perfil con
la línea media.
Ry= Altura máxima del perfil= Distancia entre Rp y Rm.
Figura 8. Parámetros de Rugosidad.
Rz= Altura de las irregularidades en diez puntos= Es la media de valor absolutas
de las 5 crestas más altas y 5 valles más profundos.
Rc= Altura media de las irregularidades de perfil = es la suma de los valores medios
de crestas y valles en una longitud básica.
Ra= Desviación media aritmética del perfil = es la media aritmética de los valores
absolutos de las desviaciones del perfil en una longitud básica, (Rodríguez, O., 2000).
Figura 7. Longitud Básica y Longitud de Evaluación.
-
8/19/2019 ANÁLISIS FRACTAL EN SUPERFICIES, PARA MATERIALES FERROSOS Y NO FERROSOS
12/14
Los parámetros mencionados anteriormente son los más importantes y la mayoría de ellos,
se pueden calcular a través del rugosímetro, para confirmar la relación existente entre la teoría
fractal, la rugosidad y su influencia en los procesos de calidad.
Cabe destacar que un sinnúmero de componentes mecánicos en la industria transfieren carga
por medio del contacto. Con eso se infiere que las características superficiales de los
elementos mecánicos son de amplia aplicación e importancia en los problemas de contacto
mecánico. Por ello, los estudios de fricción, desgaste de superficies y la topografía superficial
juegan un papel muy importante. Ya que el tamaño y la cantidad de las ondulaciones,
asperezas y rugosidades que componen las superficies de contacto, condicionan la
distribución de cargas en las superficies, (Rojas, C., 2012).
METODOLOGIA
Como estrategias metodológicas a desarrollar se plantean los siguientes puntos:
Investigación documental y en línea de las aplicaciones, características y funciones
de los fractales.
Generar líneas de investigación, para formar una base de datos que contenga las
características fundamentales de cada tipo de fractal.
Implementar procesos de evaluación continua.
Efectuar mediciones de rugosidad en materiales ferrosos y no ferrosos, con distintos
acabados superficiales.
Generar prácticas de laboratorio, encaminadas al diseño de fractales y simulación.
Generar una bitácora de apuntes digital donde se puedan simular y conocer las
geometrías fractales en cada tipo de material.
-
8/19/2019 ANÁLISIS FRACTAL EN SUPERFICIES, PARA MATERIALES FERROSOS Y NO FERROSOS
13/14
HALLAZGOS Y AVANCES SIGNIFICATIVOS
Con base en la metodología de la investigación propuesta, se obtuvieron los siguientes
hallazgos y avances y significativos:
Revisión de diferentes programas, para la simulación de fractales. Fracticint, Ultra
fractal y explorador Fracticint fractal.
Se exploraron diferentes trabajos de investigación fractal aplicados en distintas áreas:
música, medicina, geografía y topografía.
Específicamente el campo de investigación para las aplicaciones en ingeniería es
reducido.
Se investigó la generación de fractales lineales, a través de programación en C,
usando el simulador Fracticint.
Se examinó la generación de graficas del espectro de densidad de fractales lineales.
AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecemos el apoyo recibido para el desarrollo del presente trabajo al
Programa de Apoyo a Proyectos para la Innovación y Mejoramiento de la Enseñanza,
PAPIME PE100614, UNAM.
APARATO CRÍTICO
(1) Solares, E., (1995). “Introducción a las imágenes Fractales”. UNAM: Facultad de
Ingeniería.
(2) Hott, E., (2004). “Introducción al mundo Fractal”. Obtenido el 30 de Noviembre de 2014,
de la dirección http://www.sectormatematica.cl/fractales/fractales.pdf.
(3) Nápoles, V., (2012.). “Fractales a nuestro alrededor”. Obtenido el 30 de Noviembre de
2014, de la dirección http://sites.unifra.br/Portals/35/Artigos/2012/07.pdf.
http://www.sectormatematica.cl/fractales/fractales.pdfhttp://sites.unifra.br/Portals/35/Artigos/2012/07.pdfhttp://sites.unifra.br/Portals/35/Artigos/2012/07.pdfhttp://www.sectormatematica.cl/fractales/fractales.pdf
-
8/19/2019 ANÁLISIS FRACTAL EN SUPERFICIES, PARA MATERIALES FERROSOS Y NO FERROSOS
14/14
(4) Barnsley, M., (1993). “Fractals everywhere”. Boston: Academic Press.
(5) Rodríguez, O., (2000). ”Maquinas, Métodos y Control Dimensional del Procesamiento”.
Obtenida el 30 de Noviembre de 2014, de http://mmcdp.webcindario.com/capitulos/08-
rugosidad.pdf.
(6)
Rojas, C., (2012.). “Replicación de Características superficiales por medio de teoría
fractal”. Obtenida el 30 de Enero del 2015, de
http://www.revista.ingenieria.uady.mx/Vol%2017/replicacion.pdf
REFERENCIAS
(1) Jurgens, H., (1986). “The beauty of fractals”. Springer -Verlag.
(2) Mandelbrot, B., (1982). “The fractal geometry of nature”. Freeman.
(3) Peiten, H., (1988). “The science of fractal image”. Springer -Verlag.
http://mmcdp.webcindario.com/capitulos/08-rugosidad.pdfhttp://mmcdp.webcindario.com/capitulos/08-rugosidad.pdfhttp://www.revista.ingenieria.uady.mx/Vol%2017/replicacion.pdfhttp://www.revista.ingenieria.uady.mx/Vol%2017/replicacion.pdfhttp://mmcdp.webcindario.com/capitulos/08-rugosidad.pdfhttp://mmcdp.webcindario.com/capitulos/08-rugosidad.pdf