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ANOTAES SOBRE ANLISE REAL LISTA 1 ERON 1
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMTICA
SEMESTRE 2015.1 TURMA 1
ANLISE REAL
ANOTAES SOBRE ANLISE REAL
O que Anlise Matemtica? Um breve comentrio
costume na comunidade matemtica classificar as teorias matemticas atualmente
conhecidas em trs grandes reas: a Anlise, a lgebra e a Geometria. A interseco destas trs
grandes reas no-vazia, isto , existem teorias matemticas que fazem parte de mais de uma
rea; h tambm teorias matemticas que no fazem parte de qualquer destas trs reas como o
caso da Lgica Matemtica e da Teoria dos Conjuntos, que fazem parte de uma rea chamada
Fundamentos da Matemtica.
Em linhas gerais, pode-se dizer que a Anlise engloba todas as teorias matemticas cujas
razes remontam formulao rigorosa do Clculo Diferencial e Integral que se deu a partir do
sculo XIX, desenvolvidas a partir das noes centrais de limite e convergncia (de nmeros ou
funes). Entre tais teorias podemos citar: Anlise Real, Anlise Funcional, Funes Analticas,
Medida e Integrao, Equaes Diferenciais, Sistemas Dinmicos, Anlise Numrica.
A Anlise Real (ou Anlise na Reta), assunto que comeamos a estudar, a parte da
Anlise cujos objetos de estudo so os nmeros reais e suas funes (funes reais de uma varivel
real), nas quais se estudam conceitos tais como limite, continuidade, diferenciabilidade e
integrao.
A contribuio da Anlise Matemtica na formao de professores
As disciplinas introdutrias de Anlise, que costumam integrar os currculos de
Bacharelado e Licenciatura em Matemtica, em geral so totalmente dedicadas a uma
apresentao rigorosa do Clculo Diferencial e Integral (Clculo). Assim, tal disciplina apresenta
excelente oportunidade para desenvolver no estudante de Licenciatura e futuro professor do
Ensino Bsico aquela habilidade to necessria no trato com definies, teoremas, demonstraes,
que so o embasamento lgico de toda a Matemtica. (Geraldovila, 2006).
Diante disso, a Anlise Matemtica objetiva o desenvolvimento do raciocnio algbrico
abstrato e a habilidade de compreender simbologias, nomenclaturas, definies, proposies e
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ANOTAES SOBRE ANLISE REAL LISTA 1 ERON 2
teoremas; ou seja, fornece ao professor as ferramentas necessrias para que este possa pesquisar,
compreender e questionar o que dito nos livros.
O estudo da Anlise Matemtica est direcionado aos formalismos utilizados em
Matemtica e s demonstraes dos resultados estudados nas disciplinas de Clculo Diferencial e
Integral. Elon Lages Lima (LIMA, 2002), um importante matemtico brasileiro, autor de alguns
dos principais livros desta rea adotados em cursos de Matemtica de todo Brasil, diz que um
livro de Matemtica no deve ser lido como se l uma novela; no primeiro caso deve-se se ter lpis
e papel na mo para reescrever com suas prprias palavras cada definio ou enunciado de
teoremas.
Uma vez que o professor de matemtica tem conhecimento sobre os teoremas e
demonstraes, ele se sente mais seguro ao ensinar os contedos, pois assim ele tem certeza da
veracidade do que ser transmitido (compartilhado) ao estudante. Faltando tal conhecimento ao
professor, o mesmo poder se sentir inseguro sobre o contedo e assim poder omitir certas
informaes que poderiam facilitar a explicao para a melhor compreenso por parte do aluno,
prejudicando o desenvolvimento intelectual do mesmo.
Alguns antecedentes histricos
A Matemtica sempre representou uma atividade humana e, em todas as pocas, mesmo
nas mais remotas, a ideia de contar sempre esteve presente. Um clssico exemplo da noo
intuitiva de contagem a correspondncia entre ovelhas de um rebanho e pedrinhas contidas em
um pequeno saco, ou marcas em pedao de osso ou de madeira, ou ainda por meio de ns em
cordes, utilizados pelos incas.
Muitos anos ainda se passaram at que se iniciasse o desenvolvimento terico do conceito
de nmero que, embora hoje nos parea natural, foi lento e complexo, envolvendo diversas
civilizaes.
Os registros histricos nos mostram a utilizao de vrios sistemas de numerao, por
exemplo, os povos babilnios (cerca de 2000 a.C.) que desenvolveram o sistema de numerao
sexagesimal e empregaram o princpio posicional; os egpcios, que j usavam sistema decimal (no
posicional); os romanos, que fizeram histria atravs do uso simultneo do princpio da adio e
do raro emprego do princpio da subtrao; e os gregos antigos, povos que utilizavam diversos
sistemas de numerao.
Quase quatro mil anos separam as primeiras manifestaes de numerao escrita da
construo do sistema de numerao posicional decimal que utilizamos, munido do smbolo
denominado zero. Esse smbolo foi criado pelos hindus nos primeiros sculos da era crist. A
concepo do zero foi ignorada, durante milnios, por civilizaes matematicamente importantes
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ANOTAES SOBRE ANLISE REAL LISTA 1 ERON 3
como a dos gregos e dos egpcios. A inveno do zero foi um passo decisivo para a consolidao do
sistema de numerao indoarbico, devido sua eficincia e funcionalidade em relao aos demais
sistemas de numerao. Sem o zero, seria impossvel efetuar o clculo de 385 908 usando os
algarismos romanos.
Um marco importante na histria dos nmeros e da matemtica se deu no sculo VI a.C.,
na Escola Pitagrica. Em seus estudos, os pitagricos envolviam-se de um certo misticismo, pois
acreditavam que existia uma harmonia interna no mundo governada pelos nmeros naturais.
Desde Pitgoras pensava-se que, dados dois segmentos de reta quaisquer, AB e CD, seria
sempre possvel encontrar um terceiro segmento EF, contido um nmero inteiro de vezes em AB e
um nmero inteiro de vezes em CD. Expressamos essa situao dizendo que EF um submltiplo
comum de AB e CD ou que AB e CD so comensurveis. Essa ideia nos permite comparar dois
segmentos de reta da seguinte maneira: dados dois segmentos, AB e CD, dizer que a razo
AB/CD o nmero racional /m n , significa que existe um terceiro segmento EF, submltiplo
comum desses dois, satisfazendo: AB m vezes EF e CD n vezes EF.
Era natural imaginar que, para dois segmentos AB e CD dados, era sempre possvel tomar
EF suficientemente pequeno para caber um nmero inteiro de vezes simultaneamente em AB e
em CD.
Para os pitagricos, dois segmentos de reta eram sempre comensurveis, sendo, portanto,
os nmeros naturais suficientes para expressar a razo entre eles e, de modo mais geral, a relao
entre grandezas da mesma natureza. O reinado dos nmeros naturais, na concepo pitagrica, foi
profundamente abalado por uma descoberta originada no seio da prpria comunidade pitagrica e
que se deu, em particular, numa figura geomtrica comum e de propriedades aparentemente
simples, o quadrado. Trata-se da incomensurabilidade entre a diagonal e o lado de um quadrado.
De fato, ao considerarmos a diagonal e o lado de um quadrado comensurveis, teremos, a
diagonal como medida nt e o lado com medida mt . Pelo teorema de Pitgoras, temos que: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n t m t m t n t m t n m= + = = ,
o que absurdo, pois em 2n h uma quantidade par de fatores de primos e, em 22m , uma
quantidade par de fatores primos, em contradio com a unicidade da decomposio de um
nmero natural em fatores primos, como mostra o Teorema Fundamental da Aritmtica (Todo
nmero inteiro positivo 1n > igual a um produto de fatores primos). Essa situao s foi
contornada atravs do matemtico e astrnomo ligado Escola de Plato, Eudoxo de Cnido (408
a.C. 355 a.C.), que desenvolveu a Teoria das Propores para tratar as grandezas
incomensurveis atravs da Geometria, que apesar do progresso, contribuiu para a desacelerao
do desenvolvimento da aritmtica e da lgebra por muitos sculos.
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ANOTAES SOBRE ANLISE REAL LISTA 1 ERON 4
O coroamento da fundamentao matemtica do conceito de nmero ocorreu somente no
final do sculo XIX, principalmente atravs dos trabalhos propostos por Richard Dedekind (1831
1916), Georg Cantor (18451918) e Giuseppe Peano (18581932). Esses estudos foram motivados
pelas demandas tericas que surgiram a partir do volume de conhecimento matemtico adquirido
a partir do clculo diferencial e integral de Isaac Newton (16431727) e Gottfried Leibniz (1646
1716), no sculo XVII.
interessante estudar como o processo histrico da conceituao de nmero assemelha-se
prpria formao desse conceito. Antes de iniciarmos nossa vida escolar, admitimos os nmeros
naturais como fruto do processo de contagem, da mesma forma que a humanidade os admitiu at
o sculo XIX. Entre os gregos da poca de Euclides, nmeros eram os que hoje escrevemos como
2, 3, 4, 5 etc., ou seja, os nmeros naturais maiores do que 1. O prprio 1 era concebido como a
unidade bsica a partir da qual os nmeros, as quantidades, eram formadas. O zero, como vimos,
foi uma concepo j dos primeiros sculos da era crist, criada pelos hindus, para a numerao
escrita. Para uma criana aprendendo a contar, este ato s faz sentido a partir da quantidade 2,
seno contar o qu? Ela s admite o zero depois de ter passado alguns anos experimentando os
nmeros de verdade, isto , contando e adquirindo experincia, o que se d no incio de sua
aprendizagem da numerao escrita.
As fraes eram admitidas pelos gregos no como nmeros, mas como razo entre nmeros
(2, 3, 4, etc.). Da mesma forma, os nmeros negativos, inicialmente utilizados para expressar
dvidas, dbitos e grandezas que so passiveis de serem medidas em sentidos opostos, s
receberam o status de nmeros sculos aps serem utilizados na matemtica e em suas aplicaes.
A existncia de grandezas incomensurveis e a ausncia de um tratamento eficiente para
express-las, isto , o desconhecimento de uma fundamentao terica para o conceito de nmero
real, no impediu o progresso de ramos da matemtica do sculo XVI ao sculo XIX. No entanto,
a complexidade dessa matemtica conduziu a problemas para cuja compreenso e soluo o
entendimento intuitivo no era suficiente. mais ou menos deste modo que formamos o nosso
conceito de nmero real: apesar de ouvirmos falar de nmeros reais desde o Ensino Fundamental,
concretamente s trabalhamos com nmeros racionais.
Os nmeros complexos apareceram no estudo de equaes, no sculo XVI, com o
matemtico italiano Girolamo Cardano (15011576), mas tambm s adquiriram o status de
nmero a partir de suas representaes geomtricas, dadas no sculo XVIII pelos matemticos
Carl Friedrich Gauss (17771855) e Jean Robert Argand (17681822) e da sua lgebra,
apresentada por W. R. Hamilton em 1833, na qual eles foram definidos como pares ordenados de
nmeros reais. Estes, por sua vez, foram construdos rigorosamente a partir dos racionais, dcadas
depois, por R. Dedekind e G. Cantor. Aqui tambm h um paralelo com a nossa educao escolar:
supondo conhecidos os reais, no to complicado concebermos os complexos. No entanto, o
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ANOTAES SOBRE ANLISE REAL LISTA 1 ERON 5
conceito rigoroso de nmero real s se aborda no curso de Anlise Matemtica. Isso, porm,
feito de forma axiomtica, isto , o conjunto dos nmeros reais admitido por axioma como um
corpo ordenado completo, e no construdo a partir dos racionais. Por fim, os nmeros racionais
podem ser construdos rigorosamente a partir dos nmeros inteiros e esses a partir dos naturais.
Mas, e os nmeros naturais, os primeiros que so admitidos pela nossa intuio? Assim se
perguntaram alguns matemticos do sculo XIX, na busca de completar o conceito
matematicamente rigoroso de nmero. Eles podem ser construdos a partir da Teoria dos
Conjuntos ou podem ser apresentados atravs de axiomas, como fez George Peano, em 1889.
Fonte: ................
Atividade: Leia o Prefcio do livro de Geraldo vila Anlise Matemtica para Licenciatura, a
parte sobre conversa com o aluno.
PRINCIPAIS REFERNCIAS
[1] VILA, G. Anlise Matemtica para Licenciatura. Editora Edgard Blcher, 2006.
[2] VILA, G. Introduo Anlise Matemtica. Editora Edgard Blcher, 1999.
[3] BARBONI, A. e PAULETTE, W. Fundamentos de Matemtica: Clculo e Anlise. Editora
LTC, 2007.
[4] LIMA, E. L. Anlise Real, vol 1. Col. Matemtica Universitria, IMPA/SBM, 1997.
[5] LIMA, E. L. Curso de Anlise, vol 1. Projeto Euclides, IMPA, 1976.
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ANOTAES SOBRE ANLISE REAL LISTA 1 ERON 6
CAPTULO 1 CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS
Axiomas de Peano
Princpio da Induo Finita
Operaes nos naturais
Conjuntos finitos e infinitos
Conjuntos enumerveis e no enumerveis
Os nmeros naturais constituem um modelo matemtico, uma escala padro, que nos permite a
operao de contagem. A sequncia desses nmeros uma livre e antiga criao do esprito
humano. Comparar conjuntos de objetos com essa escala abstrata ideal o processo que torna
mais precisa a noo de quantidade; esse processo (a contagem) pressupe portanto o
conhecimento da sequncia numrica 1, 2, 3, 4, 5, A totalidade desses nmeros constitui um
conjunto, que indicaremos com o smbolo e chamaremos de conjunto dos naturais. Portanto,
{ }1,2, 3,4,5,...= . Deve-se a Giusepe Peano (18581932) a constatao de que o conjunto dos nmeros naturais
possui propriedades fundamentais, das quais resultam como consequncias lgicas, todas as
afirmaes verdadeiras que se pode fazer sobre esses nmeros, so os Axiomas de Peano. Uma
dessas propriedades fundamentais o Princpio da Induo um eficiente instrumento para a
demonstrao de fatos referentes aos nmeros naturais.
EXERCCIOS DE APRENDIZAGEM CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS
0 Leia as Notas histricas e complementares no livro de Geraldo vila Anlise Matemtica
para Licenciatura, pginas 1922.
1 Utilize o Princpio de Induo para mostrar cada um dos resultados.
a) ( ) 21 3 5 7 2 1n n+ + + + + = , para 1,2,3,4,...n = .
b) 2 2 2 2 2( 1)(2 1)
1 2 3 46
n n nn
+ ++ + + + + = , n .
c) 22 1n divisvel por 3, n .
d) Para todo natural 5n tem-se que 2 2nn < .
e) ( )1 1nx nx+ + , vlida para 1x e n . (Desigualdade de Bernoulli)
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ANOTAES SOBRE ANLISE REAL LISTA 1 ERON 7
2 Defina conjunto finito e conjunto infinito. D exemplos.
3 Escreva a definio de conjunto limitado em . D exemplos de conjuntos limitados e no
limitados em .
4 Mostre que um conjunto A finito se, e somente se, limitado.
5 Seja X um conjunto finito e Y X . Mostre que ( ) ( )n Y n X .
6 Considere os conjuntos X e Y finitos, mostre que:
a) X Y finito.
b) ( ) ( ) ( ) ( )n X Y n X n Y n X Y= + .
7 Escreva a definio de conjunto enumervel.
8 Quando que um conjunto X no enumervel?
9 Verifique se so verdadeiras ou falsas as afirmaes abaixo. Demonstre as que so verdadeiras
e justifique ou d contra exemplos para aquelas que so falsas.
a) O conjunto { }1, 3, 6, 8, 9, 11X = no enumervel. b) O conjunto dos nmeros pares { }2, 4, 6, 8, 10, ...P = enumervel.
c) O conjunto dos nmeros inteiros no enumervel.
d) Todo conjunto infinito enumervel.
e) O conjunto dos nmeros racionais enumervel.
10 Sejam A e B conjuntos enumerveis. Mostre que:
a) O produto cartesiano A B enumervel.
b) A unio A B enumervel.
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ANOTAES SOBRE ANLISE REAL LISTA 1 ERON 8
CAPTULO 2 CONJUNTO DOS NMEROS REAIS
um corpo
um corpo ordenado
um corpo ordenado completo
Conceitos de nfimo e supremo
no enumervel
EXERCCIOS DE APRENDIZAGEM CONJUNTO DOS NMEROS REAIS
1 Leia as Notas histricas e complementares no livro de Geraldo vila Introduo Anlise
Matemtica, pginas 1014.
2 Utilize a distributividade e o elemento oposto para mostrar que 0 0x = , x .
3 ,x y , mostre que se 0xy = ento 0x = ou 0y = .
4 Utilize a questo 3 para concluir que ,x y , 2 2 x y x y= = .
5 Considere , , ,a b c d . Mostre que:
a) Se a b> e c d> ento a c b d+ > + .
b) Se 0a b> > e 0c d> > ento ac bd> .
c) Se 0a > e 0b > e 2 2a b> ento a b> .
d) Se 0 a b< < ento 1 1b a < .
6 Sejam ,x y , mostre que:
a) x y x y
b) x y x y < < +
c) Se x < , para todo 0 > , ento 0x = .
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ANOTAES SOBRE ANLISE REAL LISTA 1 ERON 9
d) Para quaisquer , ,x y z tem-se que x z x y y z + .
7 Determine todos os nmeros reais que satisfazem as equaes e inequaes apresentadas:
a) 3 1x = b) 5 3x x= c) 5 2 8x >
d) 2 1 1x + e) 3 3 8x x + + < f) 2 2 1x
g) 5 1x x < + h) 6(2 3) ( 2) 0x x+ i) 1 2 1x x +
8 Determine, caso seja possvel, o nfimo, mnimo, supremo e mximo de cada um dos seguintes
subconjuntos de :
a) { }; 2A x x=
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ANOTAES SOBRE ANLISE REAL LISTA 1 ERON 10
CAPTULO 3 SEQUNCIAS DE NMEROS REAIS
Sequncias reais: definio e conceitos
Limite de uma sequncia
Limites e desigualdades
Operaes com limites
Limites infinitos
EXERCCIOS DE APRENDIZAGEM SEQUNCIAS DE NMEROS REAIS
0 Leia as Notas histricas e complementares no livro de Geraldo vila Anlise Matemtica
para Licenciatura, pginas 101105.
Seo 1: Limite de uma sequncia
1 Uma sequncia ( )nx diz-se peridica quando existe p tal que n p nx x+ = para todo
n . Prove que toda sequncia peridica convergente constante.
2 Dadas as sequncias ( )nx e ( )ny , defina ( )nz pondo 2 1n nz x = e 2n nz y= . Se
lim limn nx y a= = , prove que lim nz a= .
3 Se lim nx a= , prove que lim nx a= .
4 Se uma sequncia montona tem uma subsequncia convergente, prove que a sequncia , ela
prpria, convergente.
5 Um nmero a chama-se valor de aderncia da sequncia ( )nx quando limite de uma
subsequncia de ( )nx . Para cada um dos conjuntos , e A B C abaixo determine uma sequncia
que o tenha como conjunto dos seus valores de aderncia.
a) { }1,2, 3A = b) B = c) 0,1C =
6 A fim de que o nmero real a seja valor de aderncia de ( )nx necessrio e suficiente que,
para todo 0 > e todo k dados, exista n k> tal que nx a < .
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ANOTAES SOBRE ANLISE REAL LISTA 1 ERON 11
7 A fim de que o nmero real b no seja valor de aderncia da sequncia ( )nx necessrio e
suficiente que existam 0n e 0 > tais que 0 nn n x b > .
Seo 2: Limites e desigualdades
1 Se lim nx a= , lim ny b= e n nx y para todo n , prove que a b .
2 Sejam lim nx a= e lim ny b= . Se a b< , prove que existe 0n tal que
0 n nn n x y> < .
3 Se o nmero real a no o imite da sequncia limitada ( )nx , prove que alguma subsequncia
de ( )nx converge para um limite b a .
4 Prove que uma sequncia limitada converge se, e somente se, possui um nico valor de
aderncia.
5 Quais so os valores de aderncia da sequncia ( )nx tal que 2 1nx n = e 21
nx n= ? Esta
sequncia converge?
6 Dados ,a b + , defina indutivamente as sequncias ( )nx e ( )ny pondo 1x ab= ,
1 2a b
y+
= e 1n n nx x y+ = , 1 2n n
n
x yy +
+= . Prove que ( )nx e ( )ny convergem para o mesmo
limite.
7 Diz-se que ( )nx uma sequncia de Cauchy quando, para todo 0 > dado, existe 0n tal
que 0, m nm n n x x > < .
a) Prove que toda sequncia de Cauchy limitada.
b) Prove que uma sequncia de Cauchy no pode ter dois valores de aderncia distintos.
c) Prove que uma sequncia ( )nx convergente se, e somente se, de Cauchy.
Seo 3: Operaes com limites
1 Prove que, para todo p , tem-se lim 1n p
nn
+
+= .
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ANOTAES SOBRE ANLISE REAL LISTA 1 ERON 12
2 Se existem 0 > e k tais que knx n para todo n suficientemente grande, prove
que lim 1n nx = . Use este fato para calcular:
a) lim nn
n k+
+ b) lim n n n+
c) lim logn n d) lim logn n n
3 Dado 0a > , defina indutivamente a sequncia ( )nx pondo 1x a= e 1n nx a x+ = + . Prove
que ( )nx convergente e calcule seu limite L a a a= + + + .
4 Seja nnx a
ea
= o erro relativo na n-sima etapa do clculo de a . Prove que
2
1 2(1 )n
nn
ee
e+=
+. Conclua que 1 20,01 0,00005 0,00000000125n n ne e e+ + e observe
a rapidez de convergncia do mtodo.
7 Defina a sequncia ( )na indutivamente, pondo 1 2 1a a= = , 2 1n n na a a+ += + para todo
n . Escreva 1
nn
n
ax
a+
= e prove que lim nx c= , onde c o nico nmero positivo tal que
1 / (1 )c c+ = . O termo na chama-se n-simo nmero de Fibonacci e ( 5 1) / 2c = o nmero
de ouro da Geometria Clssica.
Seo 4: Limites infinitos
1 Prove que lim !n n = + .
2 Se lim nx = + e a , prove que lim log( ) log 0n nnx a x
+
+ = .
3 Dados k e 0a > , determine o !
limk nn
n
n a+.
Supondo que 0 a e< , calcule: a) !
limn
nn
n a
n+ b)
!lim
k n
nn
n n a
n+.
O caso em que a e= pode ser visto em .......
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ANOTAES SOBRE ANLISE REAL LISTA 1 ERON 13
4 Mostre que log( 1)
lim 1lognn
n+
+= .
5 Sejam ( )nx uma sequncia arbitrria e ( )ny uma sequncia crescente, com lim ny = + .
Supondo que 1
1
lim n n
n n
x xa
y y+
+
=
, prove que lim n
n
xa
y= .
b) Conclua que se 1lim( )n nx x a+ = ento limnx an
= .
c) Em particular, se 1
lim log 1 0n
+ = , conclua que
loglim 0
n
n= .
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ANOTAES SOBRE ANLISE REAL LISTA 1 ERON 14
CAPTULO 4 SRIES NUMRICAS REAIS
Sries numricas infinitas: definies e conceitos
Sries convergentes
Sries absolutamente convergentes
Testes de convergncia
Comutatividade
EXERCCIOS DE APRENDIZAGEM SRIES NUMRICAS REAIS
0 Leia as Notas histricas e complementares no livro de Geraldo vila Introduo Anlise
Matemtica, pginas 6871.
Seo 1: Sries convergentes
1 Dadas as sries na e nb , com 1na n n= + e 1
log 1nb n
= + .
a) Mostre que lim lim 0n na b= = .
b) Calcule explicitamente as n-simas reduzidas ns e nt dessas sries e mostre que
lim limn ns t= = + , logo as sries dadas so divergentes.
2 Use o critrio da comparao para provar que 2
1
n convergente, a partir da convergncia
de 2
( 1)n n +.
3 Seja ns a n-sima reduzida da srie harmnica. Prove que para 2mn = tem-se 1
2nm
s > + e
conclua da que a srie harmnica divergente.
4 Mostre que a srie 2
1logn n n
= diverge.
5 Mostre que se 1r > a srie 2
1
(log )n rn n
= converge.
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ANOTAES SOBRE ANLISE REAL LISTA 1 ERON 15
6 Prove que a srie2
logn
n converge.
7 Prove: se 1 2 na a a e na converge ento lim 0nnna
+= .
Seo 2: Sries absolutamente convergentes
1 Se na convergente e 0na para todo n ento mostre que:
a) a srie nna x absolutamente convergente para todo 1,1x .
b) sen( )na nx e cos( )na nx so absolutamente convergentes para todo x .
2 A srie 1 2 1 2 1 2 1 2 1
12 3 3 4 4 5 5 6 6
S = + + + + + tem termos alternadamente positivos
e negativos e seu termo geral tende para zero. Entretanto divergente. Porque isto no contradiz
o Teorema de Leibniz?
3 D exemplo de uma srie convergente na e de uma sequncia limitada ( )nx tais que a srie n na x seja divergente. Examine o que ocorre se uma das hipteses seguintes for verificada:
(a) ( )nx convergente;
(b) na absolutamente convergente.
4 Prove que convergente a srie obtida alternando-se os sinais dos termos da srie harmnica,
de modo que fiquem p termos positivos ( p fixado) seguidos de p termos negativos,
alternadamente.
5 Se 0 nna
= absolutamente convergente e lim 0nb = , ponha 0 1 1 0n n n nc a b a b a b= + + + e prove que lim 0nc = .
6 Se na absolutamente convergente, prove que 2na converge.
7 Se 2na e 2nb convergem, prove que n na b converge absolutamente.
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ANOTAES SOBRE ANLISE REAL LISTA 1 ERON 16
8 Prove: uma srie na absolutamente convergente se, e somente se, limitado o conjunto de todas as somas finitas formadas com os termos na .
Seo 3: Testes de convergncia
1 Prove que se existir uma infinidade de ndices n tais que 1n na ento a srie na
diverge.
Se 0na para todo n e 1 1n
n
a
a+ para todo 0n n> ento na diverge.
Por outro lado, a srie 2 2 3 3
1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2
S = + + + + + + converge mas se tem 1 1n
n
a
a+ = para
todo n mpar.
2 Se 0 1a b< < < , a srie 2 2 3 3S a b a b a b= + + + + + + convergente. Mostre que o teste
de Cauchy conduz a este resultado mas o teste de dAlembert inconclusivo.
3 Determine se a srie log
nn
n
convergente usando ambos os testes, de dAlembert e
Cauchy.
4 Dada uma sequncia de nmeros positivos nx , com lim nx a= , prove que
1 2limn
nnx x x a
+= .
5 Determine para quais valores de x cada uma das sries abaixo convergente:
a) k nn x b) n nn x c) n
n
x
n
d) ! nn x e) 2nx
n f)
Seo 4: Comutatividade
1 Se uma srie condicionalmente convergente, prove que existem alteraes da ordem dos seus
termos de modo a tornar sua soma igual a + e a .
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ANOTAES SOBRE ANLISE REAL LISTA 1 ERON 17
2 Efetue explicitamente uma reordenao dos termos da srie 1 1 1 1 1
12 3 4 5 6
S = + + +
de modo que sua soma seja igual a zero.