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Aula 11
Cálculo de Limites. Exercícios
Ano académico 2017
Analise Matemática
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Tema 1. Cálculo Diferencial
Cálculo de limites.
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Bibliografia Básica
Autor Título Editorial Data
Stewart, James Cálculo, Volume 1
5ta. Edição,
Pioneira
Thompson
Learning
2006
Zuma Medeiros ,
Valéria
Pré-Cálculo
2ª edição revista actualizada
CENGAGE
Learning 2012
Demana,
Franklin... (et al.) Pré-Cálculo
Pearson
Education do
Brasil
2011
Larson, Ron Cálculo Aplicado
1 Edição,
Pioneira
Thomson
Learning
2011
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EXERCÍCIO 1
y
x 1 5
2
1
O que ocorre com f(x) próximo de x = 1?
Lim f(x) não existe x 1
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O que ocorre com f(x) quando x = 1?
y
x 1 5
3
2
EXERCÍCIO 2
Lim f(x) = L = 2 x 1
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Lim f(x) sim existe, mas não coincide com f(1) x 1
x 1
y
5
2
1
EXERCÍCIO 3
O que ocorre com f(x) quando x = 1?
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Dado o gráfico de f(x):
3
5
-3
3
-2 x
f(x)
3.5
f(x)d)f(x)c)
f(x)b)f(x)a)
limlim
limlim
2x0x
3x3x
Encontre:
EXERCÍCIO 4
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Cálculo de Limites
PASSOS A SEGUIR PARA O CÁLCULO DE LIMITES
1. Avaliar para saber se é um límite directo ou se estamos na
presença de uma forma indeterminada.
2. TENTAR desaparecer a indeterminação através de operações
algébricas: factorização, produtos notáveis, racionalização,
sustituição de alguma identidade trigonométrica ... se for o
caso...
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3xsi,1x1/
3 xsi2,xf(x)dondef(x);4)
2
3
2
3:Rpta;
3x4xx
2xx3)
1:Rpta,x
x1x12)
1/4:Rpta,x
24x1)
2
3x
1/31/3
23
2
1x
0x
0x
lim
lim
lim
lim
3
Determine os seguintes limites:
EXERCÍCIO 5
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)(
4
11
(
4(
(
)(
(
(.
)(
2
x1x1
x1x1
x
x1x12)
24x2)4xx
4)
2)4xx
44x
2)4x
2)4x
x
24x
24x
24x
x
24x1)
lim
limlim
limlim
lim
0x
0x0x
0x0x
0x
porndomultiplicaarRacionaliz
x
porndomultiplicaarRacionaliz
• Nas linhas 1 e 2 tem que racionalizar
EXERCÍCIO 5
• Na linha 3 tem que factorizar
• Na linha 4 tem que calcular os limites laterais
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Utilize as regras para calcular limites indeterminados:
EXERCÍCIO 6
x2
x4xlim4)
ba,ax
babxlim3)
4x
2xlim2)
1-x
1xlim1)
2
4x
22ax
22x
4
1x
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EXERCÍCIO 7
Calcular :
23
2lim)
2
2
1
xx
xxa
x
h
hb
h
8)2(lim)
3
0
t
tc
t
3
9lim)
9
)).(( 2233 babababa
Factorizar
Racionalizar denominador
1
2
1
1lim)
21 xxd
x Factorizar
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EXERCÍCIO 7 Calcular :
0
(5 )) lim
2x
sen xe
x
x
x
xf
x
31
lim)
52
4lim)
2
xx
xg
x
npsemou
npsemb
a
npsem
bxbxb
axaxap
p
p
p
n
n
n
n
x
)(
0
...
...lim
0
1.
1
0
1.
1
Leibniz
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EXERCÍCIO 8
Calcular :
x
xxf
x
xxxe
x
xxd
xx
xxc
x
xxbxxa
xxx
xxx
46
232 lim)
34
353 lim)
45
332 lim)
43
523 lim)
35
32 lim))574( lim)
2
2
3
23
2
2
1
3
2
2
2
2
3
2
1
xx
xg5
01lim)
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EXERCÍCIO 9
Calcular :
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EXERCÍCIO 10
Calcular :
253) 2
lim
xxax
1032
74)
2
3
lim xx
xxb
x
12
13)
2
3
lim xx
xxd
x
75
32)lim x
xe
x
124
121)
2
3
lim x
xf
x
84
63)
2
lim x
xxg
x
xxx
xxh
x 533
322)
23
3
lim