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8/17/2019 Analise Algebrica Da Demanda (2)
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Tratamento algébrico
Prof. Renilson R. Silva
TEORIA DA DEMANDA
MICROECONOMIA I - PROF. DR. RENILSON R SILVA
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A FUNÇÃO DE DEMANDA
1. Maximizar a utilidade
I. Função de utilidade do tipo Cobb-Douglas
Bem comportada
Monotônica convexa
A fórmula que a descreve é a fórmula algébrica maissimples que gera preferências bem comportadas
(Varian, p.66)
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A FUNÇÃO DE DEMANDA
Uma função de demanda refere-se à demanda de um bem aqualquer nível de preço (uma curva)
Quantidade demandada refere-se à demanda de um bem a
um determinado nível de preços (ponto na curva)
1. Demanda Marshaliana
O consumidor maximiza sua função de utilidade supondo
que sua renda real permaneça constante.Tem como propriedade ser homogênea de grau zero
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, ≡ ,
Veja que é uma identidade. Assim,
ela é válida para qualquer valor de p
e R . Em palavras o que ele diz é que,se o consumidor escolhe a cesta x
(p, R), quando os preços são p e a
renda é R , e se multiplicam todos os
preços e renda por um fator, α > 0, o
consumidor irá escolher a mesma
cesta depois da multiplicação. Como
antes, , ≡ , .
Uma função é homogênea se:
, = ,
é o grau da função
Exemplo: , = 2 + 2
= ()2+()2
= 2 2+ 2 2
= 2
(
2
+
2
)
, = 2 (, )
FUNÇÕES HOMOGÊNEAS
Função homogênea Função homogênea de grau zero (economia)
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O TEOREMA DO ENVELOPE E IDENTIDADE DE ROY Qual o significado da função objetivo indireta?
Em qualquer problema de otimização, a função objetivo ou é
maximizada ou minimizada para um dado conjunto de parâmetros
(Chiang, p.406)
A função objetivo indireta rastreia todos os valores de máximo da
função objetivo à medida que esses parâmetros variam. Portanto, a função objetivo indireta é um envelope do conjunto de
funções objetivos otimizadas geradas pelas variações dos
parâmetros. Ou seja, trata-se de uma curva envoltória.
Assim, podemos dizer que o teorema do envelope envolve ou
envelopa todas as demandas marshallianas nos seus pontos de
máximo.
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O TEOREMA DO ENVELOPE E IDENTIDADE DE ROY = 1, 2
= 1 1 + 22
Sujeito a:
Demanda ordinária ou marshalliana
1 = 1 1, 2,
2 = 2 1, 2,
Substituindo na função objetivo, tem-se:
= 1
, 2
= 1, 2,
Função de utilidade indireta
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O TEOREMA DO ENVELOPE E IDENTIDADE DE ROY
Pelo teorema do envelope temos que:
1, 2,
1=
1= −1
...e que:
1, 2,
=
=
Em que lambda é a utilidade marginal da renda
= 1
, 2
= 1, 2,
Função de utilidade indireta
Tomando a razão entre essas duas derivadasparciais, vemos que:
1, 2,
1 1, 2,
=−
1
= −1
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O TEOREMA DO ENVELOPE E IDENTIDADE DE ROY
1 = 1, 2, = −
1, 2, 1
1, 2,
= −1
Temos então que :
Identidade de Roy
A identidade de Roy mostra que a demanda marshalliana é a negativa da razão entre duasderivadas parciais da função de valor máximo V em relação aos preços e à renda. (Chiang,p.416)
Com isso, se aplicarmos a identidade de Roy em uma função de utilidade indireta V, obtemosa demanda Marshalliana.
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O TEOREMA DO ENVELOPE E O LEMA DE SHEPARD
= 11 + 22
1, 2 = ∗
Sujeito a:
Demanda compensada ou hicksiana
1 = 1
1, 2, ∗
2 = 2
1, 2, ∗
Substituindo na função de lagrange, tem-se:
1, 2, ∗ = 11
+ 22 + ∗ − 1
, 2
Função despesa ou função gasto = valor mínimonecessário para obter o nível de utilidade U*.
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O TEOREMA DO ENVELOPE E O LEMA DE SHEPARD
1, 2, ∗ = 11
+ 22 + ∗ − 1
, 2
Função despesa ou função gasto
Pelo teorema do envelope temos que:
1, 2, ∗
1=
1= 1
1, 2, ∗
2=
2= 2
1, 2, ∗
∗ =
∗ =
Lema de Shepard
Com o lema de shepard é possível obter ademanda hickisiana/compensada a partir dafunção gasto.
1 1, 2,
∗ = 1, 2,
∗
1
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SÍNTESE DO USO DO TEOREMA DO ENVELOPE
Funçãoutilidade indireta
Identidadede Roy
Demanda ordinária/marshalliana
1 = 1, 2, =
1, 2,
1 1, 2,
1, 2,
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SÍNTESE DO USO DO TEOREMA DO ENVELOPE
Funçãogasto
Lemade shepard
Demanda Compensada/Hicskiana
1, 2, ∗
1 1, 2,
∗ = 1, 2, ∗
1
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A RELAÇÃO ENTRE OS PROBLEMAS PRIMAL E DUAL
A despesa mínima com a qual se alcança o máximo nível de utilidade
possível, dados os preços dos bens e um determinado nível de renda R, é justamente o nível de renda.
O inverso também é verdadeiro, isto é, o máximo nível de utilidade U quese pode alcançar gastando o mínimo possível, é justamente o nível deutilidade:
Ambos os problemas geram a mesma solução (a mesma cesta ótima) se
u = v (P 1, P 2 , R) e se e (P 1, P 2 ,u) = R.
Portanto, essas duas funções são uma o inverso da outra.
1, 2, 1, 2, =
1, 2, 1, 2, =
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Então, se inserirmos a FUI na função gasto:
O inverso também é verdadeiro, isto é, se inserirmos a função gasto na
F.U.I. temos:
1, 2, 1, 2, =
1, 2, 1, 2, =
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O
x2
R/p1 X1
u*=v(P, m)
O
x2
e/p1 X1
A
U o
x* = x(p, R) x* = h(p, u o )
Primal Dual
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FORMAS DE CALCULAR AS DEMANDAS
Forma de obter a demanda marshalliana a partir da hicksiana
1. Inverter a função gasto e(p1; p2 ; U) para obter a FUI = v(p1; p2 ; R ):Então, use a identidade de Roy para obter a demandamarshalliana.
1, 2, 1
1, 2,
= = , ,
∗ = , , ∗
∗ = , = , ∗
F.U.I. a partir de da Função gasto
i d e n t i d a d e d
e R o y
≡
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FORMAS DE CALCULAR AS DEMANDAS
Formas de obter hicksiana a partir da marshalliana
Inverter a FUI para obter a função gasto e depois usar Shepard.
1. Pode-se fazer o processo contrário
= , ,
∗ = , = , ∗
Função gasto a partir de da F.U.I
1, 2, ∗
1=
, , ∗
L e m a d e S
h e p a r d
≡ ∗
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Diferença entre as demandas
A função x (p, R) responde à questão: “qual
cesta de bens maximiza a utilidade quando os
preços são p e a renda é R ?”
A função h (p, u) responde à questão: “qual
cesta de bens minimiza o custo de alcançar a
utilidade u quando os preços são p?
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A EQUAÇÃO DE SLUTSKY
Equação do problema dual
ℎ ; ∗ = ;
ℎ ; ∗ ≡ ; ,
∗
Como a renda é igual à função gasto,
Temos
, , =
Diferenciando os dois lados da equação acima com respeito p, tem-se:
ℎ(,∗)
≡
;
+
;
,∗
em que K é a quantidade demanda do bem em questão
≡
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A EQUAÇÃO DE SLUTSKY
Equação do problema dual
ℎ , ∗ = ,∗
=
Por shepard, sabemos que a derivada da função gasto é igual à demanda hicksiana
Substituindo em (1), tem-se:
(1)
(2)
(3)
ℎ(,∗)
≡
;
+
;
,∗
ℎ(,∗)
≡ ;
+
;
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A EQUAÇÃO DE SLUTSKY
A equação de Slutsky
Reodernando (3), obtemos a equação de Slutsky
(4)
(3)
;
≡
(,∗)
−
;
ℎ(,∗)
≡
;
+
;
Efeito total Efeito Subst. Efeito renda
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