Problema do Caixeiro Viajante
Dadosgrafo
�
comprimento
���� da aresta
��
(
� � � � )
Circuito hamiltoniano: circuito que passa por todos os vértices
Problema (TSP): Dados e , encontrar circuitohamiltoniano em de comprimento mínimo.
TSP – p.2/19
Problema do Caixeiro Viajante
Dadosgrafo
�
comprimento
���� da aresta
��
(
� � � � )
Circuito hamiltoniano: circuito que passa por todos os vértices
Problema (TSP): Dados e , encontrar circuitohamiltoniano em de comprimento mínimo.
TSP – p.2/19
Problema do Caixeiro Viajante
Dadosgrafo
�
comprimento
���� da aresta
��
(
� � � � )
Circuito hamiltoniano: circuito que passa por todos os vértices
Problema (TSP): Dados
�
e
�
, encontrar circuitohamiltoniano
�
em
�
de comprimento
� � � �
mínimo.
TSP – p.2/19
Variantes do Caixeiro Viajante
TSP métricografo completofunção comprimento
�
satisfazdesigualdade triangular:
��� � �� � � � �� � ���
��
� � �
ji
k
TSP euclideanoCaso particular do métricoVértices são pontos no plano(ou num espaço euclideano qq de dimensão fixa)
é a distância euclideana entre e
TSP – p.3/19
Variantes do Caixeiro Viajante
TSP métricografo completofunção comprimento
�
satisfazdesigualdade triangular:
��� � �� � � � �� � ���
��
� � �
ji
k
TSP euclideanoCaso particular do métricoVértices são pontos no plano(ou num espaço euclideano qq de dimensão fixa)
��� é a distância euclideana entre
�
e
�
TSP – p.3/19
Resultados Conhecidos
NP-difícil mesmo se
���
� � ��
� �
para toda aresta � [GJ79]
Difícil de aproximar [SG76]
� � �
-aproximação para o caso métrico [C76]
PTAS para o caso euclideano [A98,M99]
Nesta aula:
-aproximação para o caso métrico [RSL77]
-aproximação para o caso métrico
Comentários sobre o PTAS do caso euclideano
TSP é difícil de aproximar
TSP – p.4/19
Resultados Conhecidos
NP-difícil mesmo se
���
� � ��
� �
para toda aresta � [GJ79]
Difícil de aproximar [SG76]
� � �
-aproximação para o caso métrico [C76]
PTAS para o caso euclideano [A98,M99]
Nesta aula:
�
-aproximação para o caso métrico [RSL77]
� � �
-aproximação para o caso métrico
Comentários sobre o PTAS do caso euclideano
TSP é difícil de aproximar
TSP – p.4/19
-aproximação p/o TSP Métrico
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial)(2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par)(3) Obtenha ciclo euleriano
�
(polinomial)ciclo euleriano: passeio fechado que passaexatamente uma vez por cada aresta(4) Obtenha de
�
circuito hamiltoniano
�
(5) Devolva
�
(2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par)(3) Obtenha ciclo euleriano (polinomial)ciclo euleriano: passeio fechado que passaexatamente uma vez por cada aresta(4) Obtenha de circuito hamiltoniano(5) Devolva
TSP – p.5/19
-aproximação p/o TSP Métrico
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial)(2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par)(3) Obtenha ciclo euleriano
�
(polinomial)ciclo euleriano: passeio fechado que passaexatamente uma vez por cada aresta(4) Obtenha de
�
circuito hamiltoniano
�
(5) Devolva
�
(3) Obtenha ciclo euleriano (polinomial)ciclo euleriano: passeio fechado que passaexatamente uma vez por cada aresta(4) Obtenha de circuito hamiltoniano(5) Devolva
TSP – p.5/19
-aproximação p/o TSP Métrico
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial)(2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par)(3) Obtenha ciclo euleriano
�
(polinomial)ciclo euleriano: passeio fechado que passaexatamente uma vez por cada aresta(4) Obtenha de
�
circuito hamiltoniano
�
(5) Devolva
�
(4) Obtenha de circuito hamiltoniano(5) Devolva
TSP – p.5/19
-aproximação p/o TSP Métrico
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial)(2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par)(3) Obtenha ciclo euleriano
�
(polinomial)ciclo euleriano: passeio fechado que passaexatamente uma vez por cada aresta(4) Obtenha de
�
circuito hamiltoniano
�
(5) Devolva
�
(5) Devolva
TSP – p.5/19
-aproximação p/o TSP Métrico
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial)(2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par)(3) Obtenha ciclo euleriano
�
(polinomial)ciclo euleriano: passeio fechado que passaexatamente uma vez por cada aresta(4) Obtenha de
�
circuito hamiltoniano
�
(5) Devolva
�
(5) Devolva
TSP – p.5/19
-aproximação p/o TSP Métrico
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial)(2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par)(3) Obtenha ciclo euleriano
�
(polinomial)ciclo euleriano: passeio fechado que passaexatamente uma vez por cada aresta(4) Obtenha de
�
circuito hamiltoniano
�
(5) Devolva
�
(5) Devolva
TSP – p.5/19
-aproximação p/o TSP Métrico
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial)(2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par)(3) Obtenha ciclo euleriano
�
(polinomial)ciclo euleriano: passeio fechado que passaexatamente uma vez por cada aresta(4) Obtenha de
�
circuito hamiltoniano
�
(5) Devolva
�
(5) Devolva
TSP – p.5/19
-aproximação p/o TSP Métrico
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial)(2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par)(3) Obtenha ciclo euleriano
�
(polinomial)ciclo euleriano: passeio fechado que passaexatamente uma vez por cada aresta(4) Obtenha de
�
circuito hamiltoniano
�
(5) Devolva
�
(5) Devolva
TSP – p.5/19
-aproximação p/o TSP Métrico
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial)(2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par)(3) Obtenha ciclo euleriano
�
(polinomial)ciclo euleriano: passeio fechado que passaexatamente uma vez por cada aresta(4) Obtenha de
�
circuito hamiltoniano
�
(5) Devolva
�
(5) Devolva
TSP – p.5/19
-aproximação p/o TSP Métrico
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial)(2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par)(3) Obtenha ciclo euleriano
�
(polinomial)ciclo euleriano: passeio fechado que passaexatamente uma vez por cada aresta(4) Obtenha de
�
circuito hamiltoniano
�
(5) Devolva
�
(5) Devolva
TSP – p.5/19
-aproximação p/o TSP Métrico
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial)(2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par)(3) Obtenha ciclo euleriano
�
(polinomial)ciclo euleriano: passeio fechado que passaexatamente uma vez por cada aresta(4) Obtenha de
�
circuito hamiltoniano
�
(5) Devolva
�
(5) Devolva
TSP – p.5/19
-aproximação p/o TSP Métrico
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial)(2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par)(3) Obtenha ciclo euleriano
�
(polinomial)ciclo euleriano: passeio fechado que passaexatamente uma vez por cada aresta(4) Obtenha de
�
circuito hamiltoniano
�
(5) Devolva
�
(5) Devolva
TSP – p.5/19
-aproximação p/o TSP Métrico
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial)(2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par)(3) Obtenha ciclo euleriano
�
(polinomial)ciclo euleriano: passeio fechado que passaexatamente uma vez por cada aresta(4) Obtenha de
�
circuito hamiltoniano
�
(5) Devolva
�TSP – p.5/19
-Aproximação p/o TSP Métrico
Algoritmo TSPM-Rosenkrantz-Stearn-Lewis
� ��
� �
� �
MST
� ��
� �
� � � � � �
� �
EULER
� � � �
� �
ATALHO
� � �
devolve
�
Tempo de execução:
: o número de vértices de: o número de arestas de
TSP – p.6/19
-Aproximação p/o TSP Métrico
Algoritmo TSPM-Rosenkrantz-Stearn-Lewis
� ��
� �
� �
MST
� ��
� �
� � � � � �
� �
EULER
� � � �
� �
ATALHO
� � �
devolve
�
Tempo de execução: � ��� ��
� : o número de vértices de
�
�: o número de arestas de
�
TSP – p.6/19
-Aproximação p/o TSP Métrico
Delimitação inferior para opt: opt
� � � � �
onde
�
é árvore geradora de comprimento mínimo
Prova:: circuito hamiltoniano de comprimento mínimo
: aresta deé árvore geradora
opt
Teorema: TSPM-Rosenkrantz-Stearn-Lewis é uma-aproximação polinomial para o TSP métrico.
Prova: opt
TSP – p.7/19
-Aproximação p/o TSP Métrico
Delimitação inferior para opt: opt
� � � � �
onde
�
é árvore geradora de comprimento mínimo
Prova:
� �
: circuito hamiltoniano de comprimento mínimo
�: aresta de
� �
� �
� � é árvore geradora
opt
Teorema: TSPM-Rosenkrantz-Stearn-Lewis é uma-aproximação polinomial para o TSP métrico.
Prova: opt
TSP – p.7/19
-Aproximação p/o TSP Métrico
Delimitação inferior para opt: opt
� � � � �
onde
�
é árvore geradora de comprimento mínimo
Prova:
� �
: circuito hamiltoniano de comprimento mínimo
�: aresta de
� �
� �
� � é árvore geradora
opt � � � � � � � � � � �
� � � � � � � ��
�
Teorema: TSPM-Rosenkrantz-Stearn-Lewis é uma-aproximação polinomial para o TSP métrico.
Prova: opt
TSP – p.7/19
-Aproximação p/o TSP Métrico
Delimitação inferior para opt: opt
� � � � �
onde
�
é árvore geradora de comprimento mínimo
Prova:
� �
: circuito hamiltoniano de comprimento mínimo
�: aresta de
� �
� �
� � é árvore geradora
opt � � � � � � � � � � �
� � � � � � � ��
�
Teorema: TSPM-Rosenkrantz-Stearn-Lewis é uma
�
-aproximação polinomial para o TSP métrico.
Prova: opt
TSP – p.7/19
-Aproximação p/o TSP Métrico
Delimitação inferior para opt: opt
� � � � �
onde
�
é árvore geradora de comprimento mínimo
Prova:
� �
: circuito hamiltoniano de comprimento mínimo
�: aresta de
� �
� �
� � é árvore geradora
opt � � � � � � � � � � �
� � � � � � � ��
�
Teorema: TSPM-Rosenkrantz-Stearn-Lewis é uma
�
-aproximação polinomial para o TSP métrico.
Prova:
� � � � � � � � �
� � � � � �
� � � � � � � �
opt�
�
TSP – p.7/19
Algoritmo de Christofides
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo
(2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo nosubgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial)
(3) Junte os dois obtendo euleriano(4) Obtenha ciclo euleriano de(5) Obtenha de circuito hamiltoniano(6) Devolva
TSP – p.8/19
Algoritmo de Christofides
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo
(2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo nosubgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial)
(2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo nosubgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial)
(3) Junte os dois obtendo euleriano(4) Obtenha ciclo euleriano de(5) Obtenha de circuito hamiltoniano(6) Devolva
TSP – p.8/19
Algoritmo de Christofides
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo
(2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo nosubgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial)
(2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo nosubgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial)
(3) Junte os dois obtendo euleriano(4) Obtenha ciclo euleriano de(5) Obtenha de circuito hamiltoniano(6) Devolva
TSP – p.8/19
Algoritmo de Christofides
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo
(2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo nosubgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial)
(3) Junte os dois obtendo� �
euleriano
(2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo nosubgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial)
(3) Junte os dois obtendo euleriano(4) Obtenha ciclo euleriano de(5) Obtenha de circuito hamiltoniano(6) Devolva
TSP – p.8/19
Algoritmo de Christofides
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo
(2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo nosubgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial)
(3) Junte os dois obtendo� �
euleriano(4) Obtenha ciclo euleriano
�
de
� �
(2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo nosubgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial)
(3) Junte os dois obtendo euleriano(4) Obtenha ciclo euleriano de(5) Obtenha de circuito hamiltoniano(6) Devolva
TSP – p.8/19
Algoritmo de Christofides
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo
(2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo nosubgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial)
(3) Junte os dois obtendo
� �
euleriano(4) Obtenha ciclo euleriano
�
de
� �
(5) Obtenha de�
circuito hamiltoniano
�
(6) Devolva
TSP – p.8/19
Algoritmo de Christofides
(1) Árvore geradora de comprimento mínimo
(2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo nosubgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial)
(3) Junte os dois obtendo
� �
euleriano(4) Obtenha ciclo euleriano
�
de
� �
(5) Obtenha de�
circuito hamiltoniano
�
(6) Devolva�
TSP – p.8/19
Algoritmo de Christofides
Algoritmo TSPM-Christofides
� ��
� �
� �
MST
� ��
� �
� � conjunto de vértices de grau ímpar de
�
�
EDMONDS
� � � � ��
� �
� � � � �
� �
EULER
� � � �
� �
ATALHO
� � �
devolve
�
(
� � � �
: subgrafo de
�
induzido por
�
)
Tempo de execução:( : o número de vértices de )
TSP – p.9/19
Algoritmo de Christofides
Algoritmo TSPM-Christofides
� ��
� �
� �
MST
� ��
� �
� � conjunto de vértices de grau ímpar de
�
�
EDMONDS
� � � � ��
� �
� � � � �
� �
EULER
� � � �
� �
ATALHO
� � �
devolve
�
(
� � � �
: subgrafo de
�
induzido por
�
)
Tempo de execução: � �
(� : o número de vértices de
�
)
TSP – p.9/19
Algoritmo de Christofides
Uma segunda delimitação para opt: opt
� � � � �
onde é e. p. de comprimento mínimo em� � � �
Pr: : circuito hamiltoniano de comprimento mínimo: conj. vért. de grau ímpar de ( é par): circuito induzido por em
determina dois e. p. em : e
TSP – p.10/19
Algoritmo de Christofides
Uma segunda delimitação para opt: opt
� � � � �
onde é e. p. de comprimento mínimo em� � � �
Pr:
� �
: circuito hamiltoniano de comprimento mínimo
�
: conj. vért. de grau ímpar de
�
(
� � �
é par)
� �
: circuito induzido por
� �
em�
: circuito induzido por em
determina dois e. p. em : e
TSP – p.10/19
Algoritmo de Christofides
Uma segunda delimitação para opt: opt
� � � � �
onde é e. p. de comprimento mínimo em� � � �
Pr:
� �
: circuito hamiltoniano de comprimento mínimo
�
: conj. vért. de grau ímpar de
�
(
� � �
é par)
� �
: circuito induzido por
� �
em�
determina dois e. p. em : e
TSP – p.10/19
Algoritmo de Christofides
Uma segunda delimitação para opt: opt
� � � � �
onde é e. p. de comprimento mínimo em� � � �
Pr:
� �
: circuito hamiltoniano de comprimento mínimo
�
: conj. vért. de grau ímpar de
�
(
� � �
é par)
� �
: circuito induzido por
� �
em�
� �
determina dois e. p. em
� � � �
: � e �
TSP – p.10/19
Algoritmo de Christofides
Uma segunda delimitação para opt: opt
� � � � �
onde é e. p. de comprimento mínimo em� � � �
.
Prova:
� � � � � � �
�� � � �
��
� � � � � �
� � � � � �
(pela desigualdade triangular)
� opt �
�
TSP – p.11/19
Algoritmo de Christofides
Teorema: TSPM-Christofides é uma
��
�
-aproximaçãopolinomial para o TSP métrico.
Prova:
opt opt
opt
Melhor algoritmo de aproximação conhecidopara o TSP métrico.
TSP – p.12/19
Algoritmo de Christofides
Teorema: TSPM-Christofides é uma
��
�
-aproximaçãopolinomial para o TSP métrico.
Prova: � � � � � � � � �
� � � � � �
� � � � � � � � �
�
opt ��
� opt
�
�� opt �
�
Melhor algoritmo de aproximação conhecidopara o TSP métrico.
TSP – p.12/19
Algoritmo de Christofides
Teorema: TSPM-Christofides é uma
��
�
-aproximaçãopolinomial para o TSP métrico.
Prova: � � � � � � � � �
� � � � � �
� � � � � � � � �
�
opt ��
� opt
�
�� opt �
�
Melhor algoritmo de aproximação conhecidopara o TSP métrico.
TSP – p.12/19
Algoritmo de Christofides
A análise é justa.
Christofides
vérticesComprimento:
Circuito ótimo
Comprimento:
TSP – p.13/19
Algoritmo de Christofides
A análise é justa.
Christofides
�� � � vértices
Christofides
vérticesComprimento:
Circuito ótimo
Comprimento:
TSP – p.13/19
Algoritmo de Christofides
A análise é justa.
Christofides
�� � � vértices
vérticesComprimento:
Circuito ótimo
Comprimento:
TSP – p.13/19
Algoritmo de Christofides
A análise é justa.
Christofides
�� � � vérticesComprimento:
��
Circuito ótimo
Comprimento:
TSP – p.13/19
Algoritmo de Christofides
A análise é justa.
Christofides
�� � � vérticesComprimento:
��
Circuito ótimo
Comprimento:�� � �
TSP – p.13/19
TSP Euclideano
PTAS: esquema de aproximação polinomial
� � ��� �
-aproximação polinomial para todo� � �
fixo
Arora’96 e Mitchel’96: PTAS para o TSP euclideano
Idéia:
TSP – p.14/19
TSP Euclideano
PTAS: esquema de aproximação polinomial
� � ��� �
-aproximação polinomial para todo� � �
fixo
Arora’96 e Mitchel’96: PTAS para o TSP euclideano
Idéia:
PSfrag replacements portal
TSP – p.14/19
TSP Euclideano
PTAS: esquema de aproximação polinomial
� � ��� �
-aproximação polinomial para todo� � �
fixo
Arora’96 e Mitchel’96: PTAS para o TSP euclideano
Idéia:
PSfrag replacements portal
TSP – p.14/19
TSP Euclideano
PTAS: esquema de aproximação polinomial
� � ��� �
-aproximação polinomial para todo� � �
fixo
Arora’96 e Mitchel’96: PTAS para o TSP euclideano
Idéia:
PSfrag replacements portal
TSP – p.14/19
TSP Euclideano
PTAS: esquema de aproximação polinomial
� � ��� �
-aproximação polinomial para todo� � �
fixo
Arora’96 e Mitchel’96: PTAS para o TSP euclideano
Idéia:
PSfrag replacements portal
TSP – p.14/19
TSP Euclideano
PTAS: esquema de aproximação polinomial
� � ��� �
-aproximação polinomial para todo� � �
fixo
Arora’96 e Mitchel’96: PTAS para o TSP euclideano
Idéia:
Circuito que respeita portal: entra e sai dos quadrados dadissecção através de portais.
Algoritmo: Encontra um circuito hamiltoniano mais curtoque respeita os portais por programação dinâmica.
Tal circuito está tão próximo quando se queirade um TSP tour.
TSP – p.15/19
Resultado de Inaproximabilidade
�� � � �
função polinomialmente computável
Teorema (Sahni e Gonzalez ’76): Se existir
� �� �
-aproximação polinomial p/o TSP� ��
� �, onde � � �
� � �
,então P=NP.
Problema HC: Dado , decidir se tem ou não um circuitohamiltoniano.
NP-completo [K72]
TSP – p.16/19
Resultado de Inaproximabilidade
�� � � �
função polinomialmente computável
Teorema (Sahni e Gonzalez ’76): Se existir
� �� �
-aproximação polinomial p/o TSP� ��
� �, onde � � �
� � �
,então P=NP.
Problema HC: Dado
�
, decidir se
�
tem ou não um circuitohamiltoniano.
NP-completo [K72]
TSP – p.16/19
Resultado de Inaproximabilidade
Teorema (Sahni e Gonzalez ’76): Se existir
� �� �
-aproximação polinomial p/o TSP
� ��
� �
, onde � � �� � �
,então P=NP.Pr: � � � �� �
-aproximação polinomial p/o TSP � �
�
� �
algoritmo polinomial p/o HC � �
-aproximação polinomial p/o TSP
algoritmo polinomial p/o HCAlgoritmo
grafo completo empara cada em façapara cada em faça
seentão devolva “Sim”então devolva “Não”
TSP – p.17/19
Resultado de Inaproximabilidade
Teorema (Sahni e Gonzalez ’76): Se existir
� �� �
-aproximação polinomial p/o TSP
� ��
� �
, onde � � �� � �
,então P=NP.Pr: � � � �� �
-aproximação polinomial p/o TSP � �
�
� �
algoritmo polinomial p/o HC � �
Algoritmografo completo em
para cada em façapara cada em faça
seentão devolva “Sim”então devolva “Não”
TSP – p.17/19
Resultado de Inaproximabilidade
Teorema (Sahni e Gonzalez ’76): Se existir
� �� �
-aproximação polinomial p/o TSP
� ��
� �
, onde � � �� � �
,então P=NP.Pr: � � � �� �
-aproximação polinomial p/o TSP � �
�
� �
algoritmo polinomial p/o HC � �
Algoritmo
� �� �
� � grafo completo em
���para cada � em
� � faça� � �
para cada � em
� � � � � faça
� � �� �� � � � �� � � �
� � � � ��� �
se
� � ��� � � � �� � � � �� �
então devolva “Sim”então devolva “Não”
TSP – p.17/19
Resultado de Inaproximabilidade
�
polinomial � �
polinomial
se existe circuito hamiltoniano em ,então opt e
opt
se não existe circuito hamiltoniano em ,então
pois qq circ. hamilt. usa(i.e., ).
TSP – p.18/19
Resultado de Inaproximabilidade
�
polinomial � �
polinomial
se existe circuito hamiltoniano em
�
,então opt �
� � �
e
� � � � � � � � � � �
opt � � � � � � � � � ��
se não existe circuito hamiltoniano em ,então
pois qq circ. hamilt. usa(i.e., ).
TSP – p.18/19
Resultado de Inaproximabilidade
�
polinomial � �
polinomial
se existe circuito hamiltoniano em
�
,então opt �
� � �
e
� � � � � � � � � � �
opt � � � � � � � � � ��
se não existe circuito hamiltoniano em
�
,então
� � � � � � � � � � � � � � � �
pois qq circ. hamilt. usa � �� �
(i.e.,
�� � � � � � � � � � � � �).
�
TSP – p.18/19