Algebra
ð ð¥
ð· ð¥ â¹ ð· ð¥ â 0
con ð pari
ðŽ(ð¥)ð
â¹ ðŽ ð¥ ⥠0
logðŽ ð¥ ðµ(ð¥) â¹
|||
con ðŒ > 0 irraz.
ð ð¥ ðŒ â¹ ð ð¥ ⥠0
con ðŒ < 0 irraz.
ð ð¥ ðŒ â¹ ð ð¥ > 0
ð ð¥ ð ð¥ â¹ ð ð¥ > 0
tan ð(ð¥) â¹ ð ð¥ â ð
2+ ðð
sec ð(ð¥) â¹ ð ð¥ â ð
2+ ðð
cosec ð(ð¥) â¹ ð ð¥ â ðð
cotan ð(ð¥) â¹ ð ð¥ â ðð
arccos ð(ð¥) â¹ â1 †ð 𥠆1
arcsin ð(ð¥) â¹ â1 †ð 𥠆1
Non hanno particolari condizioni:
ð2 ð¥ ð ð¥3
ð ð¥ cos ð ð¥ sin ð ð¥ 2ð ð¥ arctan ð(ð¥)
â Condizioni di Esistenza
â Definizione di valore assoluto
Caso banale
â Equazioni di secondo grado
ðð¥2 + ðð¥ + ð = 0
Î = ð2 â 4ðð
Se Î > 0: due soluzioni distinte ð¥1,2 =âð ± ð2 â 4ðð
2ð
Se Î = 0: due soluzioni coincidenti ð¥1,2 = âð
2ð
Se Î < 0: equazione impossibile
â Scomposizione di un trinomio di secondo grado
ðð¥2 + ðð¥ + ð = ð(ð¥ â ð¥1)(ð¥ â ð¥2) Se Î > 0:
ðð¥2 + ðð¥ + ð = ð ð¥ â ð¥12 Se Î = 0:
ðð¥2 + ðð¥ + ð Se Î < 0:
(il trinomio Ú un quadrato)
non si può scomporre in â
ðŽ ð¥ = ðŽ ð¥ se ðŽ ð¥ ⥠0
âðŽ ð¥ se ðŽ ð¥ < 0
Propr pot Propr radici
ðŽ ð¥ > 0
ðŽ ð¥ â 1
ðµ ð¥ > 0
||
â Equazioni e disequazioni irrazionali con radici quadrate
Propr pot Propr radici
â Teorema dâoro
â Teorema dâargento
ðŽ ð¥ â ðµ ð¥ â¹ ðŽð ð¥ â ðµð(ð¥)
Elevando entrambi i membri di unâequazione o disequazione ad un esponente dispari si ottiene unâequazione o
disequazione equivalente.
Elevando entrambi i membri di unâequazione o disequazione ad un esponente pari si ottiene unâequazione o
disequazione equivalente solo se entrambi i membri sono positivi o nulli.
Se ð Ú dispari: â ðŽ ð¥ , ðµ ð¥
ðŽ ð¥ â ðµ ð¥ â¹ ðŽð ð¥ â ðµð(ð¥) Se ð Ú pari: solo se ðŽ ð¥ , ðµ ð¥ ⥠0
Estraendo una radice ad indice dispari di entrambi i membri di unâequazione o disequazione si ottiene unâequa-
zione o disequazione equivalente.
Estraendo una radice ad indice pari di entrambi i membri di unâequazione o disequazione si ottiene unâequa-
zione o disequazione equivalente solo se entrambi i membri sono positivi o nulli.
Attenzione ai moduli: se ð Ú pari, ðŽð ð¥ð
= |ðŽ ð¥ |.
ðŽ ð¥ â ðµ ð¥ â¹ ðŽ(ð¥)ð
â ðµ(ð¥)ð
Se ð Ú dispari: â ðŽ ð¥ , ðµ ð¥
ðŽ ð¥ â ðµ ð¥ â¹ ðŽ(ð¥)ð
â ðµ(ð¥)ð
Se ð Ú pari: solo se ðŽ ð¥ , ðµ ð¥ ⥠0
â Equazioni e disequazioni con un valore assoluto
Scorciatoie
ðŽ ð¥ = ð â¹ ðŽ ð¥ = âð âš ðŽ ð¥ = ð
ðŽ ð¥ > ð â¹ ðŽ ð¥ < âð âš ðŽ ð¥ > ð
ðŽ ð¥ < ð â¹ âð < ðŽ ð¥ < ð
Caso generale
ðŽ ð¥ â ðµ ð¥ â¹
||| ðŽ ð¥ ⥠0
ðŽ ð¥ â ðµ(ð¥) âš
||| ðŽ ð¥ < 0
âðŽ ð¥ â ðµ(ð¥)
ðŽ(ð¥) > ðµ ð¥ â¹ || ðµ ð¥ ⥠0
ðŽ ð¥ > ðµ2(ð¥) âš
ðµ ð¥ < 0
ðŽ ð¥ ⥠0
ðŽ(ð¥) = ðµ ð¥ â¹
|||
ðŽ ð¥ ⥠0
ðµ ð¥ ⥠0
ðŽ ð¥ = ðµ2(ð¥)
ðŽ(ð¥) < ðµ ð¥ â¹
|||
ðŽ ð¥ ⥠0
ðµ ð¥ ⥠0
ðŽ ð¥ < ðµ2(ð¥)
â Lunghezza di un segmento di estremi ð(ðð, ðð) e ð(ðð, ðð)
A
B
XA XB
YA
YB
ðŽðµ = (ððµ â ððŽ)2 + (ððµ â ððŽ)2
â Punto medio di un segmento di estremi ð(ðð, ðð) e ð(ðð, ðð)
ðð =ððŽ + ððµ
2
A
B
XA XB
YA
YBM
XM
YM
ðð =ððŽ + ððµ
2
Caso particolare: il segmento Ú orizzontale
Caso particolare: il segmento Ú verticale
ð¶ð· = |ðð· â ðð¶|
ðžð¹ = |ðð¹ â ððž|
C D
XC XD
YC â¡ YD E
F
XE â¡ XF
YE
YF
â Distanza del punto ð(ðð, ðð) dalla retta ð«: ðð + ðð + ð = ð
ð(ð, ð) =|ð ðð + ð ðð + ð|
ð2 + ð2
r
P
â Equazione della retta
ðð¥ + ððŠ + ð = 0Equazione implicita:
ðŠ = ðð¥ + ðEquazione esplicita:
Caso particolare: retta orizzontale ðŠ = ð
Caso particolare: retta verticale ð¥ = â
r
q
rk
r
h
â Coefficiente angolare di un segmento di estremi ð(ðð, ðð) e ð(ðð, ðð)
ððŽðµ =âðŠ
âð¥=ððµ â ððŽððµ â ððŽ
A
B
XA XB
YA
YB
âðŠ
âð¥
âðŠ
âð¥
ð =âðŠ
âð¥
Due rette sono parallele se e solo se ð1 = ð2
Due rette sono perpendicolari se e solo se ð1 = â1
ð2
Geometria Analitica
â Equazione della retta dati due punti di passaggio ð(ðð, ðð) e ð(ðð, ðð)
ð¥ â ððŽððµ â ððŽ
=ðŠ â ððŽððµ â ððŽ
â Equazione della retta dato il coefficiente angolare m e un punto di passaggio ð(ðð, ðð)
ðŠ â ðð = ð(ð¥ â ðð)
â Equazione della parabola
ðŠ = ðð¥2 + ðð¥ + ðParabola con asse verticale:
F
ðð ðV
ðð¹
XF â¡ XV
ð âð
2ð,â
â
4ð
ð¹ âð
2ð, â
â
4ð+
1
4ðð: ðŠ = â
â
4ðâ
1
4ð
ð¹ð =1
|4ð|
ð¥ = ððŠ2 + ððŠ + ðParabola con asse orizzontale:
ð âð
2ð,â
â
4ð
ð¹ âð
2ð, â
â
4ð+
1
4ðð: ðŠ = â
â
4ðâ
1
4ð
ð¹ð =1
|4ð|
ð
F
ðð
ð
Vðð¹ â¡ YV
XF ð
â Area di un segmento parabolico
Due parabole sono congruenti se e solo se |ð1| = |ð2|
C
ð
A
BD
ðŽ =2
3ðŽðŽðµð¶ð·
â Equazione della circonferenza
ð¥2 + ðŠ2 + ðð¥ + ððŠ + ð = 0 rappresenta una circonferenza se âð
2
2+ â
ð
2
2â ð ⥠0
ð¶ âð
2,â
ð
2
ð = âð
2
2
+ âð
2
2
â ð
Cðð¶
XC
â Equazione di una circonferenza dato il centro ð ðð, ðð e il raggio r
(ð¥ â ðð¶)2 + (ðŠ â ðð¶)
2 = ð2
â Equazione dellâellisse
Ellisse coi fuochi sullâasse x Ellisse coi fuochi sullâasse y
ð
ð
ð
ð
ð¥2
ð2+ðŠ2
ð2= 1 con ð > ð
ð
ð
ð
ð
ð¥2
ð2+ðŠ2
ð2= 1 con ð > ð
ððð ð¡ = 2ð
0 †ð =ð
ð< 1
ð2 = ð2 + ð2
ððð ð¡ = 2ð
0 †ð =ð
ð< 1
ð2 = ð2 + ð2
ð1(ð, 0) ð2(âð, 0)
ð3(0, ð) ð4(0, âð)
ð¹1(ð, 0) ð¹2(âð, 0)
ð1(ð, 0) ð2(âð, 0)
ð3(0, ð) ð4(0, âð)
ð¹1(0, ð) ð¹2(0, âð)
â Equazione dellâiperbole riferita ai propri assi di simmetria
Iperbole coi fuochi sullâasse x Iperbole coi fuochi sullâasse y
ð
ð
ð
ð¥2
ð2âðŠ2
ð2= 1 â
ð¥2
ð2+ðŠ2
ð2= 1
ððð ð¡ = 2ð
ð =ð
ð> 1
ð2 = ð2 + ð2
ððð ð¡ = 2ð
ð =ð
ð> 1
ð2 = ð2 + ð2
ð1(ð, 0) ð2(âð, 0)
ð¹1(ð, 0) ð¹2(âð, 0)
ð1(0, ð) ð2(0, âð)
ð¹1(0, ð) ð¹2(0, âð)
ðð
ð
ð
ð
â Equazione di ellissi o iperboli traslate con centro nel punto ð(ðð, ðð)
Unâiperbole si dice equilatera se e solo se i suoi asintoti sono perpendicolari
se e solo se i suoi asintoti sono le bisettrici ðŠ = ±ð¥
se e solo se ð = ð
asintoti: y = ±ð
ðð¥ asintoti: y = ±
ð
ðð¥
ð
ðP
XP
YP
±ð¥ â ðð
2
ð2±
ðŠ â ðð2
ð2= 1
â Equazione dellâiperbole equilatera riferita ai propri asintoti
ðŠ =ð
ð¥
con ð > 0
ðŠ =ð
ð¥
con ð < 0
â Equazione della funzione omografica
ðŠ =ðð¥ + ð
ðð¥ + ð
con ð â 0 e ð
ðâ
ð
ð
ð
ð
âð
ð
ð
ð
â ð
ð
â Altre curve importanti
ðŠ = |ð¥| ðŠ = 1 â ð¥2ðŠ = ð¥
1
1
1
1
2
4
1
1
Goniometria e Trigonometria
â Principali funzioni goniometriche
Caso banale
Propr pot Propr radici
|| ðŠ = ðð¥
ð > 1
cos(ðŒ) = ðð
sin(ðŒ) = ðð
tan(ðŒ) = ðð
sec(ðŒ) =1
cos ðŒ= ðð
cosec(ðŒ) =1
sin ðŒ= ðð
cotan(ðŒ) =cos ðŒ
sin ðŒ= ðð
1
ð ð
ð
ð
ð
0
ð: ð¥2 + ðŠ2 = 1 ð¥ = 1
ðŠ = 1
ðŒ
â Prima proprietà fondamentale
cos2 ð¥ + sin2 ð¥ = 1
tan ð¥ =sin ð¥
cos ð¥
â Radiante
Un radiante Ú lâampiezza dellâangolo al centro di una circonferenza che sottende un
arco di circonferenza avente la stessa lunghezza del raggio.
1 ððð
ð
ð 1 ððð â 57,3°
Vale la seguente proporzione tra la misura in gradi e in radianti di uno stesso angolo ðŒ:
ðŒ ° ⶠðŒ ððð = 180° ⶠð
â Lunghezza dellâarco e area del settore circolare
ðŒ
ð
ð
ð ðŒ ⶠð = 2ð ⶠ2ðð
ðŒ ⶠð = 2ð ⶠðð2
â Seconda proprietà fondamentale
â Relazione tra angolo e coefficiente angolare di una retta
ðŒ tanðŒ =
ÎðŠ
Îð¥= ð
ÎðŠ
Îð¥
cosen
o
seno
ta
ng
ente
tan
gen
te
cota
ng
ente
cosen
o
seno
â
Fun
zion
i gon
iom
etriche d
ei prin
cipali an
goli
â Grafico della funzione Seno
ð
2
3
2ð
5
2ð â
5
2ð â
3
2ð â
ð
2
â1
1
ðŠ = sin(ð¥)
ð 2ð 3ð â3ð â2ð âð 0
ð· = â ð¶ðð· = [â1,1]
â Grafico della funzione Coseno
ð
2
3
2ð
5
2ð â
5
2ð â
3
2ð â
ð
2
â1
1
ðŠ = cos(ð¥)
ð 2ð 3ð â3ð â2ð âð 0
ð· = â ð¶ðð· = [â1,1]
â Grafico della funzione Tangente
ð
2
3
2ð
5
2ð â
5
2ð â
3
2ð â
ð
2
ðŠ = tan(ð¥)
ð 2ð 3ð â3ð â2ð âð 0
ð· = â âð
2+ ðð ð¶ðð· = â
ð· = â âð
2+ ðð
ð· = â â ðð
â Grafico della funzione Secante ðŠ = sec(ð¥)
ð¶ðð· = ] â â,â1 ⪠1, +â[
â Grafico della funzione Cotangente ðŠ = cotan(ð¥)
ð· = â â ðð ð¶ðð· = â
ð
2
3
2ð
5
2ð â
5
2ð â
3
2ð â
ð
2 ð 2ð 3ð â3ð â2ð âð 0
ð
2
3
2ð
5
2ð â
5
2ð â
3
2ð â
ð
2 ð 2ð 3ð â3ð â2ð âð 0
â1
1
â Grafico della funzione Cosecante ðŠ = cosec(ð¥)
ð¶ðð· = ] â â,â1 ⪠1, +â[
ð
2
3
2ð
5
2ð â
5
2ð â
3
2ð â
ð
2 ð 2ð 3ð â3ð â2ð âð 0
â1
1
â Grafico della funzione Arcoseno ðŠ = arcsin(ð¥)
â Grafico della funzione Arcocoseno ðŠ = arccos(ð¥)
ð· = [â1,1] ð¶ðð· = [0, ð]
â Grafico della funzione Arcotangente ðŠ = arctan(ð¥)
ð· = â
â1
ð
2
ð
0 1 â1
ð
0 1 â1
ð
2
âð
2
0
ð
2
âð
2
ð· = [â1,1] ð¶ðð· = âð
2,ð
2
ð¶ðð· = âð
2,ð
2
â Formule di addizione e sottrazione
cos ðŒ + ðœ = cos ðŒ â cos ðœ â sin ðŒ â sin ðœ
cos ðŒ â ðœ = cos ðŒ â cos ðœ + sin ðŒ â sin ðœ
sin ðŒ + ðœ = sin ðŒ â cosðœ + cosðŒ â sin ðœ
sin ðŒ â ðœ = sin ðŒ â cos ðœ â cosðŒ â sin ðœ
â Formule di duplicazione
cos 2ðŒ = cos2 ðŒ â sin2 ðŒ
= 1 â 2 sin2 ðŒ
sin 2ðŒ = 2 sin ðŒ â cos ðŒ
= 2 cos2 ðŒ â 1
tan 2ðŒ =2 tanðŒ
1 â tan2 ðŒ
tan ðŒ + ðœ =tanðŒ + tanðœ
1 â tanðŒ â tan ðœ
tan ðŒ â ðœ =tanðŒ â tanðœ
1 + tanðŒ â tan ðœ
â Formule di bisezione
cosðŒ
2= ±
1 + cos ðŒ
2 sin
ðŒ
2= ±
1 â cosðŒ
2 tan
ðŒ
2=
sin ðŒ
1 + cosðŒ
â Formule per lâabbassamento di grado
cos2 ðŒ =1 + cos 2ðŒ
2 sin2 ðŒ =
1 â cos 2ðŒ
2 cos ðŒ â sin ðŒ =
1
2sin 2ðŒ
â Formule parametriche
cos ðŒ =1 â ð¡2
1 + ð¡2 sin ðŒ =
2ð¡
1 + ð¡2 ð¡ = tan
ðŒ
2 dove
â Triangoli rettangoli
cos ðŒ =ððð¡. ðððððððð¡ð
ðððð¡ððð¢ð ð sin ðŒ =
ððð¡. ððððð ð¡ð
ðððð¡ððð¢ð ð tan ðŒ =
ððð¡. ððððð ð¡ð
ððð¡. ðððððððð¡ð
ðŒ
ðœ cos ðŒ = sin ðœ
sin ðŒ = cosðœ
â Area di un triangolo qualunque
ðŸ
ð
ð
ðŽ =1
2ð ð sin ðŸ
â Teorema del coseno
ð
ð ð ðŒ
ð2 = ð2 + ð2 â 2 ð ð cos ðŒ
â Teorema del seno
ð
sin ðŒ=
ð
sin ðœ
ð
ð ðŒ
ðœ
â Teorema della corda
ð = 2ð sin ðŒ
ð
ðŒ
â Corde notevoli e rispettivi angoli alla circonferenza
ð 3
60°
ð 2
45°
ð
30°
Triangolo equilatero Quadrato Esagono regolare
Esponenziali e logaritmi
â Proprietà delle potenze
1) ðð â ðð = ðð+ð
2) ðð: ðð = ððâð
3) ðð â ðð = ð â ð ð
4) ðð: ðð = ð: ð ð
5) ðð ð = ððâ ð
â Definizione di logaritmo
Il logaritmo in base ð di ð Ú quel numero ð a cui va elevato ð per ottenere ð.
ð = logð ð ⺠ðð = ð
5ð) logð ð = log1ð 1
ð
3) ð â logð ð = logð ðð
4) logð ð =logð ð
logð ð
5) logð ð = logðð ðð
3ð) logð ð = â logð 1
ð
4ð) logð ð â logð ð = logð ð 4ð) logð ð =1
logð ð
â Proprietà dei logaritmi
1) logð ð + logð ð = logð(ð + ð)
2) logð ð â logð ð = logð(ð: ð)
â Grafico della funzione esponenziale
1
ð
1
|| ðŠ = ðð¥
ð > 1
1 ð
1
|| ðŠ = ðð¥
0 < ð < 1
â Grafico della funzione logaritmica
1 ð
1
|| ðŠ = logð ð¥
ð > 1 1 ð
1 || ðŠ = logð ð¥
0 < ð < 1
â Formula per equazioni e disequazioni logaritmiche
ð = logð ðð
Esempio: logð ð¥ = ð â¹ logð ð¥ = logð ðð â¹ ð¥ = ðð
â Teorema per le disequazioni esponenziali
Siano ð, ð¥1, ð¥2 â â e sia ð > 1. Allora:
ðð¥1 < ðð¥2 ⺠ð¥1 < ð¥2
Siano ð, ð¥1, ð¥2 â â e sia 0 < ð < 1. Allora:
ðð¥1 < ðð¥2 ⺠ð¥1 > ð¥2
â Teorema per le disequazioni logaritmiche
Siano ð, ð¥1, ð¥2 â â e sia ð > 1. Allora:
logð ð¥1 < logð ð¥2 ⺠ð¥1 < ð¥2
Siano ð, ð¥1, ð¥2 â â e sia 0 < ð < 1. Allora:
logð ð¥1 < logð ð¥2 ⺠ð¥1 > ð¥2
â Formula per equazioni e disequazioni esponenziali
ð = ðlogð ð
Esempio: ðð¥ = ð â¹ ðð¥ = ðlogð ð â¹ ð¥ = logð ð
F
ðð ð V
ðð¹
XF â¡ XV
â Lunghezza di un segmento di estremi ð e ð
ðŽðµ = (ððµ â ððŽ)2 + (ððµ â ððŽ)2+ (ððµ â ððŽ)2= ðµ â ðŽ
Se il segmento Ú parallelo allâasse x: ðŽðµ = |ððµ â ððŽ|
Geometria nello spazio
â Operazioni con i vettori
Siano dati due vettori ð£ =
ð£1
ð£2
ð£3
e ð€ =
ð€1
ð€2
ð€3
, e ð â â.
Addizione e sottrazione
ð£ + ð€ =
ð£1
ð£2
ð£3
+
ð€1
ð€2
ð€3
=
ð£1 + ð€1
ð£2 + ð€2
ð£3 + ð€3
ð£ â ð€ =
ð£1
ð£2
ð£3
â
ð€1
ð€2
ð€3
=
ð£1 â ð€1
ð£2 â ð€2
ð£3 â ð€3
Prodotto per uno scalare
ð â ð£ = ð â
ð£1
ð£2
ð£3
=
ð â ð£1
ð â ð£2
ð â ð£3
Prodotto scalare
ð£ â ð€ =
ð£1
ð£2
ð£3
â
ð€1
ð€2
ð€3
= ð£1 â ð€1 + ð£2 â ð€2 + ð£3 â ð€3
Se ð£ ⥠ð€ : ð£ + ð€ = ð£ 2 + ð€ 2
Se ð£ ⥠ð€ : ð£ + ð€ = ð£ | + |ð€
ð â ð£ = |ð| â ð£
ð£ â ð€ = ð£ â ð€ â cos ðŒ
Prodotto vettoriale
ð£ à ð€ =
ð£1
ð£2
ð£3
Ã
ð€1
ð€2
ð€3
=
ð£2ð€3 â ð£3ð€2
ð£3ð€1 â ð£1ð€3
ð£1ð€2 â ð£2ð€1
ð£ à ð€ = ð£ â ð€ â sin ðŒ
(Ú il prodotto tra la lunghezza di un vettore e la lunghezza della proiezione dellâaltro vettore su di esso)
(Ú un vettore di intensità pari allâarea del parallelogramma generato dai due vettori e perpendicolare ad esso - regola mano dx)
Se il segmento Ú parallelo allâasse y: ðŽðµ = |ððµ â ððŽ|
Se il segmento Ú parallelo allâasse z: ðŽðµ = |ððµ â ððŽ|
Due vettori sono paralleli se e solo se ð£ à ð€ = 0
Due vettori sono perpendicolari se e solo se ð£ â ð€ = 0
Due vettori sono paralleli se e solo se esiste ð â â0 tale che ð£ = ð â ð€
ð£
ð€
ð£
âð€
ð€
ð£
ð â ð£
ð£
ð€
ðŒ
ðŒ ð£
ð€
ð£ à ð€
ð£ = ð£12 + ð£2
2 + ð£32
â Operazioni con i vettori
Modulo di un vettore
â Punto medio di un segmento di estremi ð e ð
ðð =ððŽ + ððµ
2 ðð =
ððŽ + ððµ2
ðð =ððŽ + ððµ
2
â Equazione del piano
ðð¥ + ððŠ + ðð§ + ð = 0
Caso particolare: retta orizzontale ðŠ = ð
Equazione cartesiana
Equazione vettoriale ð¥ðŠð§
=ðð
ðððð
+
ð£1
ð£2
ð£3
,
ð€1
ð€2
ð€3
Equazione parametrica
ð¥ = ðð + ð ð£1 + ð¡ð€1
ðŠ = ðð + ð ð£2 + ð¡ð€2
ð§ = ðð + ð ð£3 + ð¡ð€3
Se il piano Ú perpendicolare allâasse x: ð¥ = ð
Se il piano Ú perpendicolare allâasse y: ðŠ = ð
Se il piano Ú perpendicolare allâasse z: ð§ = ð
Da equazione cartesiana a parametrica: porre due variabili rispettivamente uguali a ð e ð¡, ricavare ð¥, ðŠ e ð§.
Da equazione parametrica a cartesiana: ricavare ð e ð¡ e sostituirli nella terza equazione del sistema.
â Vettore perpendicolare a due vettori ð e ð
ð =ððð
Vettore normale al piano:
Metodo 1 ð = ð£ à ð€
Metodo 2 Ricavare il vettore ð normale ad un piano generato da ð£ e ð€.
â Equazione del piano dati un punto P e due generatori ð e ð
ð: ð¥ðŠð§
=ðð
ðððð
+
ð£1
ð£2
ð£3
,
ð€1
ð€2
ð€3
â Equazione del piano dati tre punti P, Q e R
ð: ð¥ðŠð§
=ðð
ðððð
+
ð£1
ð£2
ð£3
,
ð€1
ð€2
ð€3
ð£ = ð â ð
ð€ = ð â ð
Siano
â Equazione del piano dati un punto P e il vettore normale ð(ð, ð, ð)
(dove ð viene determinato imponendo il passaggio per ð) ð: ðð¥ + ððŠ + ðð§ + ð = 0
â Perpendicolarità e parallelismo tra piani Due piani sono perpendicolari se e solo se lo sono i loro vettori normali.
Due piani sono paralleli se e solo se lo sono i loro vettori normali.
â Vettori perpendicolari a un vettore ð
Ricavare i vettori generatori di un piano avente vettore normale ð (esistono infinite soluzioni).
ð£ ð€
ð
ð
â Distanza di un punto P da un piano ð : ðð + ðð + ðð + ð = ð
ð(ð, ð) =|ð ðð + ð ðð + ð ðð + ð|
ð2 + ð2 + ð2
â Equazione della retta
Equazione cartesiana
Equazione vettoriale ð¥ðŠð§
=ðð
ðððð
+
ð£1
ð£2
ð£3
Equazione parametrica
ð¥ = ðð + ð¡ð£1
ðŠ = ðð + ð¡ð£2
ð§ = ðð + ð¡ð£3
Da equazione cartesiana a parametrica: porre una variabile uguale a ð¡, ricavare ð¥, ðŠ e ð§.
Da equazione parametrica a cartesiana: ricavare ð¡ e sostituirla nelle altre equazioni del sistema.
ð1ð¥ + ð1ðŠ + ð1ð§ + ð1 = 0ð2ð¥ + ð2ðŠ + ð2ð§ + ð2 = 0
â Equazione della retta dati un punto P e il generatore ð
ð: ð¥ðŠð§
=ðð
ðððð
+
ð£1
ð£2
ð£3
â Equazione della retta dati due punti P e Q
ð£ = ð â ð Sia
â Equazione della retta dati un punto P e il piano perpendicolare ð
Sia ð la normale al piano
â Perpendicolarità e parallelismo tra piani Due rette sono perpendicolari se e solo se lo sono i loro vettori generatori.
Due rette sono parallele se e solo se lo sono i loro vettori generatori.
ð: ð¥ðŠð§
=ðð
ðððð
+
ð£1
ð£2
ð£3
ð: ð¥ðŠð§
=ðð
ðððð
+
ð1
ð2
ð3
â Distanza di un punto P da una retta ð
Determinare H, il punto della retta di minima distanza da r: Ú il punto di intersezione tra r e il piano passante per P e perpendicolare a r.
ð(ð, ð) = ðð»
â Equazione della superficie sferica
Equazione esplicita: ð¥ â ðð¶2 + ðŠ â ðð¶
2 + ð§ â ðð¶2 = ð2
Equazione esplicita: ð¥2 + ðŠ2 + ð§2 + ðð¥ + ððŠ + ðð§ + ð = 0
ð¶ âð
2,â
ð
2,â
ð
2 ð = â
ð
2
2
+ âð
2
2
+ âð
2
2
â ð se âð
2
2+ â
ð
2
2+ â
ð
2
2â ð ⥠0
ð
ð
ð ð£
ð
ð»
â Equazione del cilindro di raggio r
ð¥2 + ðŠ2 = ð2 (asse: asse z)
ðŠ2 + ð§2 = ð2 (asse: asse y)
ð§2 + ð¥2 = ð2 (asse: asse x)
â Equazione del cono
ð¥2 + ðŠ2 = ð2ð§2 (asse: asse z)
ðŠ2 + ð§2 = ð2ð¥2 (asse: asse y)
ð§2 + ð¥2 = ð2ðŠ2 (asse: asse x)
â Equazione dellâellissoide
ð¥2
ð2+
ðŠ2
ð2+
ð§2
ð2= 1
â Equazione del paraboloide ellittico
ð¥2
ð2+
ðŠ2
ð2= 2ð§
ðŠ2
ð2+
ð§2
ð2= 2ð¥
ð§2
ð2+
ð¥2
ð2= 2ðŠ (asse: asse y)
(asse: asse z)
(asse: asse x)
â Equazione del paraboloide iperbolico (sella)
±ð¥2
ð2â
ðŠ2
ð2= 1
±ðŠ2
ð2â
ð§2
ð2= 1 ±
ð§2
ð2â
ð¥2
ð2= 1 (asse: asse y)
(asse: asse z)
(asse: asse x)
â Equazione dellâiperboloide a una falda
+ð¥2
ð2+
ðŠ2
ð2â
ð§2
ð2= 1
+ð¥2
ð2â
ðŠ2
ð2+
ð§2
ð2= 1 â
ð¥2
ð2+
ðŠ2
ð2+
ð§2
ð2= 1 (asse: asse y)
(asse: asse z)
(asse: asse x)
â Equazione dellâiperboloide a una falda
âð¥2
ð2â
ðŠ2
ð2+
ð§2
ð2= 1
âð¥2
ð2+
ðŠ2
ð2â
ð§2
ð2= 1 +
ð¥2
ð2â
ðŠ2
ð2â
ð§2
ð2= 1 (asse: asse y)
(asse: asse z)
(asse: asse x)
â Teorema delle tre perpendicolari
Siano dati due vettori ð£ =
ð£1
ð£2
ð£3
e ð€ =
ð€1
ð€2
ð€3
, e ð â â.
Se dal piede di una perpendicolare ad un piano si manda la perpendi-colare a una qualunque retta del piano, questâultima risulta perpen-dicolare al piano delle prime due.
ð
ð
ð¡
ð
ð
ð ⥠ð
ð ⥠ð¡ ð¡ ⥠ð
â Principio di Cavalieri
Due solidi che possono essere disposti in modo che ogni piano paral-lelo ad uno dato li tagli secondo sezioni equivalenti, sono equivalenti.
â Proporzioni tra solidi
Se due solidi Î1 e Î2 sono simili:
ð1: ð2 = ð12 ⶠð2
2 ð1: ð2 = ð13 ⶠð2
3
â Superfici e volumi dei principali solidi
Prisma
ð = 2ððµ + ðð¿ ð = ððµ â â
Cilindro
ð = 2ððµ + ðð¿ = 2ðð2 + 2ððâ ð = ððµ â â
Cono
ð = ððµ + ðð¿ = ðð2 + ððð ð =1
3 ððµ â â
Piramide
ð = ððµ + ðð¿ ð =1
3 ððµ â â
Sfera
ð = 4ðð2 ð =4
3ðð3
â Solidi platonici
Tetraedro 4 tr. equilateri
4 vertici
Esaedro 6 quadrati
8 vertici
Ottaedro 8 tr. equilateri
6 vertici
Dodecaedro 12 pentagoni
20 vertici
Icosaedro 20 tr. equilateri
12 vertici