Download - ALE Bab 1 SPL
Aljabar Linear Elementer 2011/2012
BAB I
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang
ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik
potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang ekonomi atau model
regresi statistik sering ditemukan sistem persamaan dengan banyaknya
persamaan sama dengan banyaknya variabel dalam hal memperoleh
jawaban tunggal bagi variabel.
Apabila variabel lebih banyak dari persamaan, seperti dalam
perancangan linear, umumnya diperoleh jawaban yang tak hingga
banyaknya. Namun dalam teknik listrik sering ditemukan variabel lebih
sedikit dari persamaan. Karena beberapa dari persamaan mempunyai
sifat ketergantungan maka jawaban masih mungkin untuk diperoleh.
Dalam bab ini, akan dibahas sistem persamaan linear bukan
hanya yang mempunyai jawaban tunggal, tetapi juga yang mempunyai
jawaban banyak. Untuk membantu penyelesaian masalah dipergunakan
konsep matriks.
Tujuan Instruksional Kusus
Setelah mempelari bab ini diharapkan mahasiswa dapat :
a. Menjelaskan pengertian sistem persamaan linear dan pengertian
penyelesaian sistem persamaan linear
1
Aljabar Linear Elementer 2011/2012
b. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dengan
metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan.
1.1. Pengertian Sistem Persamaan Linear
Definisi : Secara umum sebuah persamaan linear dalam n variabel
x1, x2, …, xn dapat dinyatakan dalam bentuk :
a1x1 a2 x 2 … an xn b,
dengan a1, a2, …, an dan b adalah konstanta real.
Contoh :
Persamaan berikut merupakan persamaan linear :
a. x 3y 7
b. y 5x 3z 1
Persamaan berikut bukan persamaan linear :
c. x2 3y = 5
d. y sin x = 0
Definisi : Himpunan berhingga dari persamaan linear- persamaan
linear dalam n variabel x1, x2, …, xn dinamakan sistem
persamaan linear atau sistem linear. Bentuk umum sistem
persamaan linear (disingkat SPL) yang terdiri dari m persamaan
dan n variabel x1, x2, …, xn dapat ditulis sebagai :
a11 x1 a12 x2 … a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 … a2n xn b2
:
am1x1 am2 x2 … amn xn bm,
2
Aljabar Linear Elementer 2011/2012
dengan aij dan bi (1 i m, 1 j n) adalah konstanta-konstanta
real.
Contoh :
a. SPL 2 persamaan dan 2 variabel :
x1 2 x2 5
2 x1 3 x2 8
b. SPL 2 persamaan 3 variabel :
x1 x2 x3 2
2 x1 x2 x3 4
c. SPL 3 persamaan 2 variabel :
x1 x2 2
x1 x2 1
x1 4
Sebuah sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk
matriks.
Definisi : Matriks adalah suatu susunan segiempat siku-siku dari
bilangan-bilangan, susunan tersebut disajikan di dalam kurung
besar atau kurung siku. Bilangan-bilangan itu disebut entri atau
elemen dari matriks.
Bentuk umum suatu matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom
adalah
3
Aljabar Linear Elementer 2011/2012
A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
atau A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
Bentuk matriks tersebut dapat disajikan dengan notasi matriks, yaitu
A = ija dengan i = 1,2,...,m dan j=1,2,...,n berturut-turut
menunjukkan baris dan kolom dari matriks A.
Suatu matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut
matriks berukuran mxn dan dilambangkan dengan Am n atau (aij)m
n, ditulis singkat A = ija . Dalam hal ini aij dinamakan elemen ke-
ij dari matriks A. Matriks A = ija dengan m = n dikatakan sebagai
matriks persegi.
Definisi : Suatu sistem persamaan linear dengan m persaman dan n
variabel-variabel yang tidak diketahui x1, x2, …, xn dapat
dinyatakan sebagai matriks
A X B
dengan Am x n = ija , Xn x 1 =
jx , dan Bm x 1 = ib . A disebut
matriks koefisien.
Jika matriks B pada SPL di atas diganti dengan matriks nol O, maka
sistem persamaan linear tersebut dikatakan homogen, jika tidak
disebut SPL non homogen.
Contoh :
4
Aljabar Linear Elementer 2011/2012
a. SPL non homogen berikut
x1 x2 x3 2
2x1 x2 x3 4
disajikan dalam bentuk matriks
4
2.
112
311
3
2
1
x
x
x
.
b. SPL homogen berikut
x1 x2 0
x1 x2 0
disajikan dalam bentuk matriks
0
0.
11
11
2
1
x
x
.
1.2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Sebuah penyelesaian (solution) persamaan linear a1x1 + a2 x2
+ … + anxn =b adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2, …, sn
sehingga persamaan tersebut dipenuhi jika kita mensubstitusikan x1 =
s1, x2 = s2, …, xn = sn. Himpunan semua penyelesaian tersebut
dinamakan himpunan penyelesaiannya.
Penyelesaian SPL adalah sebuah tupel n terurut bilangan-
bilangan x1, x2, …, xn yang memenuhi semua persamaan dalam
SPL tersebut.
Contoh :
a. Pasangan terurut (1,2) adalah penyelesaian dari sistem
x1 2x 2 5
5
Aljabar Linear Elementer 2011/2012
2x1 3x 2 8
karena : 1(1) + 2(2) = 5 dan 2(1) + 3(2) = 8.
Tetapi, pasangan terurut (3,1) bukan penyelesaian dari SPL tersebut
karena tidak memenuhi persamaan kedua, yakni 2(3) + 3(1) 8.
c. Tripel terurut (2,0,0) adalah penyelesaian dari SPL
x1 x2 x3 2
2x1 + x2 x3 4
karena 1(2) – 1(0) + 1(0) = 2
2(2) + 1(0) – 1(0) = 4
Periksalah bahwa tripel terurut (2,1,1), (2,2,2), (2,3,3), .... juga
merupakan penyelesaian SPL tersebut. Jadi SPL tersebut mempunyai
banyak penyelesaian. Jika adalah sebarang bilangan real, maka
terlihat bahwa tripel terurut (2,,) adalah penyelesaian SPL tersebut.
Tidak semua sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian,
hal ini dapat ditunjukkan pada sistem
x1 x2 2
x1 x2 1
x1 4
Jika persamaan ketiga x1= 4 disubstitusikan ke persamaan pertama dan
kedua, maka x2 harus memenuhi :
4 x2 = 2
4 x2 = 1
Karena tidak ada bilangan real yang memenuhi kedua persamaan ini,
maka SPL ini tidak mempunyai penyelesaian.
6
Aljabar Linear Elementer 2011/2012
Sebuah SPL yang tidak mempunyai penyelesaian disebut tak
konsisten (inconsistent). Sebuah SPL yang mempunyai paling sedikit
satu penyelesaian disebut konsisten (consistent).
Dari contoh di atas, banyaknya penyelesaian suatu SPL dibedakan 3
yaitu :
1. SPL mempunyai satu penyelesaian (penyelesaian tunggal)
2. SPL mempunyai banyak penyelesaian (tak terhingga
penyelesaian)
3. SPL tidak mempunyai penyelesaian
SPL homogen AX 0 selalu mempunyai penyelesaian (konsisten)
yaitu X0, yang dinamakan dengan penyelesaian trivial. Jika ada
penyelesaian lain (yang tidak nol), maka penyelesaian tersebut
dinamakan penyelesaian tak trivial.
Contoh :
2x1 + x 2 - 3 x 3 = 0
x 1 + 2 x 2 = 0
x 2 + x 3 = 0
SPL homogen di atas mempunyai penyelesaian tak trivial yaitu :
x 1 = 2 x 3
x 2 = x 3
Jika x3 = t, dengan t bilangan real, maka x1 = 2t, x2 = t sehingga
himpunan penyelesaiannya adalah {(t,2t,-t)} = {t(1,2,-1)}. Ini
7
Aljabar Linear Elementer 2011/2012
menunjukkan SPL di atas mempunyai tak terhingga banyak
penyelesaian, sebanyak bilangan real t. Š
1.3. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Metode
Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan
Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris (row-
echelon form) jika memenuhi :
a. Jika terdapat baris yang tidak semua elemennya nol, maka
elemen pertama yang tidak nol adalah 1, dan disebut 1 utama
(pivot)
b. Jika terdapat baris yang semua elemennya nol, maka baris ini
diletakkan pada baris paling bawah.
c. Pada sebarang dua baris yang berurutan yang tidak semua
elemennya nol, 1 utama pada baris yang bawah terletak di
sebelah kanan dari 1 utama baris di atasnya.
Contoh :
100
310
241
dan
00000
21000
31100
50231
adalah bentuk eselon baris,
sedangkan [1 0 00 0 00 0 1 ] dan
[1 2 60 0 10 1 2 ] bukan bentuk eselon baris
Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris
tereduksi (reduced row-echelon form) jika matriks tersebut
8
Aljabar Linear Elementer 2011/2012
dalam bentuk eselon baris dan pada masing-masing kolom yang
memuat 1 utama, elemen 1 merupakan satu-satunya elemen
yang tidak nol.
Contoh.
000
100
010
001
dan
0000
1000
0210
adalah bentuk eselon baris
tereduksi,
sedangkan [0 1 3 50 0 1 20 0 0 0 ] bukan bentuk eselon baris tereduksi.
Matriks Yang Diperbesar
Ingat bahwa suatu sistem persamaan linear dengan m persaman dan n
variabel-variabel yang tidak diketahui x1, x2, …, xn dapat dinyatakan
sebagai matriks
A X B
dengan Am n = ija , Xn x 1 =
jx , dan Bm x 1 = ib . A disebut matriks
koefisien.
Untuk menyelesaikan SPL tersebut dibentuk matriks yang diperbesar
(augmented matrix) [A|b]
Contoh.
SPL non homogen berikut
x1 x2 x3 2
9
Aljabar Linear Elementer 2011/2012
2x1 x2 x3 4
disajikan dalam bentuk matriks
4
2.
112
311
3
2
1
x
x
x
.
Matriks yang diperbesar dari SPL tersebut adalah [1 −1 3 22 −1 −1 4 ]
Metode dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan linear
adalah dengan menggantikan sistem yang ada dengan suatu sistem
baru yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama (sistem
yang ekivalen) tetapi penyelesaiannya lebih mudah. Sistem baru ini
biasanya diperoleh melalui beberapa langkah dengan cara menerapkan
tiga jenis operasi berikut untuk mengeliminasi variabel-variabel yang
tidak diketahui secara sistematis.
1. Menukar posisi dua persamaan
2. Mengalikan persamaan dengan bilangan real k dengan k ¿0.
3. Menambahkan kelipatan satu persamaan ke persamaan lainnya.
Karena baris-baris dari matriks yang diperbesar [A|b] bersesuaian
dengan persamaan-persamaan dalam sistem yang berkaitan, ketiga
operasi ini bersesuaian dengan operasi-operasi berikut pada baris-baris
matriks yang diperbesar.
1. Menukar posisi dua baris
2. Mengalikan baris dengan bilangan real k dengan k ¿0.
3. Menambahkan kelipatan satu baris ke baris lainnya
Operasi-operasi tersebut disebut dengan operasi baris elementer.
10
Aljabar Linear Elementer 2011/2012
Contoh :
Selesaikan SPL berikut :
x + y + 2 z = 9
2 x + 4 y 3 z = 1
3 x + 6 y 5 z = 0
Pada kolom kiri di bawah ini, SPL diselesaikan dengan melakukan
operasi terhadap persamaan dalam sistem, sedangkan pada kolom
kanan SPL yang sama diselesaikan dengan melakukan operasi terhadap
baris pada matriks diperbesarnya.
0563
1342
92
zyx
zyx
zyx
0563
1342
9211
0563
1772
92
zyx
zy
zyx
0563
17720
9211
27113
1772
92
zy
zy
zyx
271130
17720
9211
11
Tambahkan 2 kali persamaan pertama ke persamaan kedua untuk memperoleh
Tambahkan 2 kali baris pertama ke baris kedua untuk memperoleh
Tambahkan 3 kali persamaan pertama ke persamaan ketiga untuk memperoleh
Tambahkan 3 kali baris pertama ke baris ketiga untuk memperoleh
Kalikan persamaan kedua dengan ½ untuk memperoleh
Kalikan baris kedua dengan ½ untuk memperoleh
Aljabar Linear Elementer 2011/2012
27113
92
217
27
zy
zy
zyx
271130
10
9211
217
27
23
21
217
27
92
z
zy
zyx
23
21
217
27
00
10
9211
3
92
217
27
z
zy
zyx
3100
10
9211
217
27
3217
27
235
211
z
zy
zx
3100
10
01
217
27
235
211
3
2
1
z
y
x
3100
2010
1001
Penyelesaian x = 1, y = 2, dan z = 3 kini telah diperoleh.
12
Tambahkan 3 kali persamaan kedua ke persamaan ketiga untuk memperoleh
Tambahkan 3 kali baris kedua ke baris ketiga untuk memperoleh
Kalikan persamaan ketiga dengan 2 untuk memperoleh
Kalikan baris ketiga dengan 2 untuk memperoleh
Tambahkan 1 kali persamaan kedua ke persamaan pertama untuk memperoleh
Tambahkan 1 kali baris kedua ke baris pertama untuk memperoleh
Tambahkan 211
kali persamaan ketiga ke persamaan pertama
dan 27
kali persamaan ketiga ke persamaan kedua untuk memperoleh
Tambahkan 211
kali baris ketiga
ke baris pertama dan 27
kali baris ketiga ke baris kedua untuk memperoleh
Aljabar Linear Elementer 2011/2012
Contoh di atas menggambarkan bagaimana operasi baris elementer
dapat digunakan untuk menyelesaikan SPL. Untuk mempersingkat
penulisan, operasi baris elementer di atas dinotasikan sebagai berikut :
1. Menukar baris ke-i dan baris ke-j, dinyatakan dengan Bij.
2. Menggandakan setiap elemen baris ke i dengan skalar 0k ,
dinyatakan dengan Bi(k).
3. Menambahkan k kali elemen-elemen baris ke-j (k skalar) kepada
baris ke-i, dinyatakan dengan Bij(k).
Jika operasi baris elementer dikenakan pada suatu matriks untuk
memperoleh matriks yang lain, maka matriks awal dan hasilnya
dihubungkan dengan tanda .
Metode Eliminasi Gauss
Definisi : Proses menggunakan operasi baris elementer untuk
mengubah suatu SPL dalam bentuk matriks diperbesar [A|b] ke
bentuk eselon baris disebut Eliminasi Gauss.
Contoh :
Selesaikan SPL berikut :
x1 2 x2 4
3 x1 x2 2
4 x1 x2 6
13
Aljabar Linear Elementer 2011/2012
SPL di atas diubah ke bentuk matriks AX b dengan
A=[1 23 −14 1 ]
2
1
x
xX
dan
6
2
4
b
.
Selanjutnya dibentuk matriks diperbesar [ A|b ] =
614
213
421
.
Dengan operasi baris elementer , diperoleh
614
213
421
)3(21
B
614
1070
421
)4(31
B
1070
1070
421
)1(32
B
000
1070
421
)(71
2
B
000
10
421
710
Jika dikembalikan seperti saat penyusunan AX b, matriks terakhir
menunjukkan SPL :
710
2
21 42
x
xx
SPL terakhir yang diperoleh merupakan SPL yang ekivalen dengan SPL
awal.
Dari SPL terakhir diperoleh penyelesaian :
x2=107 , dan selanjutnya diperoleh juga
x1=87
14
Aljabar Linear Elementer 2011/2012
Jadi penyelesaian dari SPL tersebut adalah ( x1 , x2 )=( 8
7, 107)
Contoh :
Selesaikan SPL berikut : x1 + 2x2 + x3 = 1
2x1 x2 + x3 = 2
4x1 + 3x2 + 3x3 = 4
3x1 + x2 + 2x3 = 3
Penyelesaian :
SPL di atas diubah ke bentuk matriks AX b dengan
213
334
112
121
A
,
X=[ x1x2x3 ]dan
3
4
2
1
b
.
Selanjutnya dibentuk matriks [ A|b ] =
3213
4334
2112
1121
.
Dengan operasi baris elementer B21(-2), B31(-4), B41(-3), B32(-1), B42(-1),
B2(-1/5) kita dapat memperoleh bentuk eselon baris dari matriks [ A|b ]
yaitu
15
Aljabar Linear Elementer 2011/2012
0000
0000
05/110
1121
Jika kita kembalikan seperti saat penyusunan AX b, matriks terakhir
menunjukkan SPL :
0x5
1x
1xx2x
32
321
SPL terakhir yang diperoleh merupakan SPL yang ekivalen dengan SPL
awal.
Dari SPL terakhir diperoleh penyelesaian :
31
32
x5
31x
x5
1x
Jika x3 = t, maka t5
1x2
dan t5
31x1
, dengan t sebarang bilangan
real.
Jadi penyelesaian dari SPL tersebut adalah
( x1 , x2 , x3 )=(1−35t ,− 1
5t ,t )=(1,0,0 )+ t(− 3
5,−1
5,1)
Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Definisi : Proses menggunakan operasi baris elementer untuk
mengubah suatu SPL dalam bentuk matriks diperbesar [A|b] ke
bentuk eselon baris tereduksi disebut Eliminasi Gauss-Jordan.
Contoh :
Selesaikan SPL berikut :
16
Aljabar Linear Elementer 2011/2012
x1 2 x2 4
3 x1 x2 2
4 x1 x2 6
SPL di atas diubah ke bentuk matriks AX b dengan
A=[1 23 −14 1 ]
,
2
1
x
xX
dan
6
2
4
b
. Selanjutnya dibentuk matriks diperbesar [ A|b ] =
614
213
421
.
Dengan operasi baris elementer , diperoleh
614
213
421
)3(21
B
614
1070
421
)4(31
B
1070
1070
421
)1(32
B
000
1070
421
)(71
2
B
000
10
421
710
)2(12
B
000
10
01
71078
Jika dikembalikan seperti saat penyusunan AX b, diperoleh SPL yang
ekivalen dengan SPL awal dan sekaligus merupakan penyelesaian dari
SPL tersebut, yaitu :
710
2
1 4
x
x
Jadi penyelesaian dari SPL tersebut adalah ( x1 , x2 )=(4 , 10
7)
Contoh :
Selesaikan SPL berikut dengan eliminasi Gauss-Jourdan
x1 + x 2 x 3 + 3 x 4 = 0
17
Aljabar Linear Elementer 2011/2012
3 x 1 + x 2 x 3 x 4 = 0
2 x 1 x 2 2 x 3 x 4 = 0
Penyelesaian :
Langkah pertama adalah menbentuk matriks diperbesar [ A|b ] dari SPL
di atas, yaitu:
01212
01113
03111
Selanjutnya dengan melakukan operasi baris elementer berikut :
B21(3), B31(-2), B32(-1/4), B2(1/4), B3(-1/3), B23(1), B13(1), B12(-1), B1(-1)
diperoleh matriks:
01100
01010
01001
Dari matriks di atas diperoleh SPL yang ekivalen dengan SPL awal, yaitu
:
x3 – x4 = 0
x2 + x4 = 0
x1 – x4 = 0
Dari SPL terakhir diperoleh penyelesaian :
x 3 = x 4
x 2 = x 4
x1 = x4
Misal x4 = t dengan t sebarang bilangan real maka x1 = t, x2 = t, x3 =
t.
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah X = { t(1,-1, 1, 1)}.
18
Aljabar Linear Elementer 2011/2012
Eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan dapat digunakan
untuk semua sistem persamaan linear tanpa tergantung pada
banyaknya persamaan dan banyaknya variabel.
19