Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 1
OSN Fisika 2017 Number 1 GERAKAN KUMBANG DI PINGGIR PIRINGAN Sebuah piringan lingkaran (massa ๐, jari-jari ๐) digantung pada engsel/sumbu simetri mendatar tanpa gesekan yang melalui titik pusat piringan ๐ (lihat gambar). Seekor kumbang ๐พ bermassa ๐ bergerak merambat di tepian piringan dengan kelajuan konstan ๐ข. Piringan mula-mula dikondisikan dalam keadaan diam dahulu kemudian dilepas bersamaan dengan saat kumbang berada di titik terbawah tepian piringan. Tentukan besar minimum kelajuan ๐ข yang diperlukan agar kumbang akhirnya berhasil mencapai posisi tertinggi di tepian piringan tersebut. Pembahasan : Kita akan tinjau piringan dan kumbang secara terpisah. Berikut diagram gaya yang bekerja pada keduanya.
Piringan Dari Hukum II Newton tentang gerak rotasi didapatkan ฮฃ๐ = ฮ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐ =1
2๐๐2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐ =1
2๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
Kumbang ๐พ Dari Hukum II Newton pada koordinat polar didapatkan ฮฃ๐น = ๐๐๐ ๐ โ ๐๐ sin ๐ = ๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ 1
2๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๐๐ sin ๐ = ๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
Dari gerakan kumbang dan piringan akan kita dapatkan hubungan
๐ + ๐ =๐ข๐ก
๐โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ =
๐ข
๐โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 0 โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = โ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
maka
ฮธ
๐พ
๐ข
๐
๐
๐
๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐
๐
๐๐
๐ข
๐
๐ ๐
๐
๏ฟฝฬ๏ฟฝ ๐
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 2
1
2๐๐(โ๏ฟฝฬ๏ฟฝ) โ ๐๐ sin ๐ = ๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ (1
2๐ +๐) = โ๐๐ sin ๐
๏ฟฝฬ๏ฟฝ =๐๐
๐๐ก= ๐
๐๐
๐๐= โ
๐๐ sin ๐
๐ (12๐ +๐)
๐๐๐ = โ2๐๐ sin ๐
๐(๐ + 2๐)๐๐
โซ ๐๐๐๐
๐๐
= โ2๐๐
๐(๐ + 2๐)โซ sin ๐ ๐๐๐
0
๐2
2]๐๐
๐
= โ2๐๐
๐(๐ + 2๐)[โ cos ๐]0
๐
๐2
2โ๐๐
2
2= โ
2๐๐
๐(๐ + 2๐)(โ cos ๐ + 1)
๐2
2=๐๐
2
2โ
2๐๐
๐(๐ + 2๐)(1 โ cos ๐)
Nilai ฯo bisa kita dapatkan dengan melihat keadaan awal system. Saat awal berlaku
๐๐ =๐ข
๐
Subtitusi ke persamaan sebelumnya ๐2
2=๐ข2
2๐2โ
2๐๐
๐(๐ + 2๐)(1 โ cos ๐)
Untuk mengetahui nilai ๐ข minimum agar kumbang dapat mencapai puncak piringan, syarat yang harus dipenuhi adalah kecepatan sudut ๐ sama dengan nol saat berada di puncak piringan, artinya kecepatan sudut memiliki nilai minimum untuk mencapai puncak. Saat di puncak piringan ๐ = ๐.
0 =๐ข2
2๐2โ
2๐๐
๐(๐ + 2๐)(1 โ cos ๐โ
โ1
)
๐ข2 =8๐๐๐
(๐ + 2๐)โ ๐ข = โ
8๐๐๐
(๐ + 2๐)
OSN Fisika 2017 Number 2
KESETIMBANGAN DUMPBELL
Sebuah pojokan terdiri dari dinding dan lantai yang membentuk sudut ๐ seperti ditunjukkan pada gambar di bawah. Sebuah dumbbell yang terdiri dari dua bola identik yang bermassa ๐ dan terhubungkan oleh sebuah batang tak bermassa dengan panjang ๐. Dumbbell disimpan seperti pada gambar dan berada dalam posisi setimbang. Diketahui percepatan gravitasi adalah ๐ dan anggap bola sebagai partikel titik. Abaikan semua gaya gesekan.
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 3
Tentukanlah :
a. Nilai sin ๐ dinyatakan dalam ๐ฟ = ๐๐ ๐โ . b. Nilai sin ๐ untuk kasus ๐ฟ = ๐๐ ๐โ . c. Besar masing-masing gaya yang diberikan dumbbel pada dinding dan lantai
(dinyatakan dalam ๐ฟ,๐, dan ๐). d. Jenis keseimbangan dari system dumpbell tersebut.
PEMBAHASAN :
a. Perhatikan gambar di bawah ini!
Menurut aturan sinus akan kita dapatkan hubungan
๐
sin ๐=
๐๐sin๐
sin๐ =๐๐๐sin ๐
sin๐ = ๐ฟ sin ๐ โฆ (1)
Selanjutnya kita tinjau gaya-gaya yang bekerja pada sistem dumpbell.
Arah
Gravitasi
dinding
๐
๐๐
๐
๐ ๐
๐๐ ๐
๐
๐
2๐๐
๐2
๐1
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 4
ฮฃ๐น๐ฅ = 0 โ ๐1 โ ๐2 cos ๐ = 0 โ ๐1 = ๐2 cos ๐โฆ (2)
ฮฃ๐น๐ฆ = 0 โ ๐2 sin ๐ โ 2๐๐ = 0 โ๐2 sin ๐ = 2๐๐โฆ(3)
Keseimbangan torsi terhadap pusat massa sistem
ฮฃ๐ = 0
๐1๐
2cos๐ + ๐2 cos ๐
๐
2cos๐ โ ๐2 sin ๐
๐
2sin๐ = 0
๐1 cos๐ = ๐2 sin ๐ sin๐ โ๐2 cos ๐ cos๐โฆ (4)
Subtitusi persamaan (2) ke (4)
๐2 cos ๐ cos๐ = ๐2 sin ๐ sin๐ โ๐2 cos ๐ cos ๐
2 cos ๐ cos๐ = sin ๐ sin๐โฆ (5)
Berdasarkan identitas trigonometri didapatkan
cos ๐ = โ1 โ sin2 ๐
cos๐ = โ1 โ sin2๐
Subtitusi hasil ini ke persamaan (5)
2โ1 โ sin2 ๐โ1 โ sin2 ๐ = sin ๐ sin๐
Kemudian subtitusi persamaan (1)
2โ1 โ sin2 ๐โ1 โ ๐ฟ2 sin2 ๐ = sin ๐ ๐ฟ sin ๐
4(1 โ sin2 ๐)(1 โ ๐ฟ2 sin2 ๐) = ๐ฟ2 sin4 ๐
4(1 โ sin2 ๐ โ ๐ฟ2 sin2 ๐ +๐ฟ2 sin4 ๐) = ๐ฟ2 sin4 ๐
4 โ 4 sin2 ๐ โ 4๐ฟ2 sin2 ๐ + 4๐ฟ2 sin4 ๐ = ๐ฟ2 sin4 ๐
3๐ฟ2 sin4 ๐ โ 4(1 + ๐ฟ2) sin2 ๐ + 4 = 0
Persamaan di atas adalah persamaan kuadrat dengan variabel sin2 ๐
Menggunakan rumus kuadrat akan kita dapatkan
sin2 ๐ =4(1 + ๐ฟ2) ยฑ โ(4(1 + ๐ฟ2))
2โ 4(3๐ฟ2)(4)
2(3๐ฟ2)
sin2 ๐ =4(1 + ๐ฟ2) ยฑ โ16 + 16๐ฟ4 + 32๐ฟ2 โ 48๐ฟ2
6๐ฟ2
sin2 ๐ =2(1 + ๐ฟ2) ยฑ 2โ1 + ๐ฟ4 โ ๐ฟ2
3๐ฟ2โน sin๐ = โ
2
3(1 + ๐ฟ2 ยฑ โ1 + ๐ฟ4 โ ๐ฟ2
๐ฟ2)
b. Untuk nilai ๐ฟ = 1, nilai sin ๐ akan menjadi
sin ๐ = โ2
3(1 + 12 ยฑ โ1 + 14 โ 12
12) โ sin ๐ = โ
2
3(2 ยฑ 1)
Karena nilai sin ๐ hanya mungkin pada selang 0 โค sin ๐ โค 1, maka solusi yang mungkin adalah
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 5
sin ๐ = โ2
3
c. Gaya yang diberikan lantai pada dumpbell adalah
๐2 sin ๐ = 2๐๐
๐2 =2๐๐
sin ๐
๐2 =2๐๐
โ23(1 + ๐ฟ2 ยฑ โ1 + ๐ฟ4 โ ๐ฟ2
๐ฟ2)
Dari persamaan (6) akan kita dapatkan
cos ๐ = โ1 โ sin2 ๐
cos ๐ = โ1 โ2
3(1 + ๐ฟ2 ยฑ โ1 + ๐ฟ4 โ ๐ฟ2
๐ฟ2)
Maka gaya yang diberikan dinding pada dumpbell adalah
๐1 = ๐2 cos ๐
๐1 =2๐๐
sin ๐cos ๐
๐1 =2๐๐
โ23(1 + ๐ฟ2 ยฑ โ1 + ๐ฟ4 โ ๐ฟ2
๐ฟ2)
โ1 โ2
3(1 + ๐ฟ2 ยฑ โ1 + ๐ฟ4 โ ๐ฟ2
๐ฟ2)
d. Untuk mengetahui jenis keseimbangan system, kita akan melihatnya dari turunan kedua energy potensial system.
๐ = Energi Potensial Sistem
Jika ๐2๐ ๐๐2โ โฅ 0, maka system berada dalam keseimbangan stabil
Jika ๐2๐ ๐๐2โ = 0, maka system berada dalam keseimbangan netral
Jika ๐2๐ ๐๐2โ โค 0, maka system berada dalam keseimbangan labil
Dimana ๐ adalah variabel yang bebasnya.
Kita tinjau energi potensial sistem terhadap titik pojok lantai dan dinding. Terhadap titik ini energi potensial sistem adalah
๐ = ๐๐๐ sin ๐
tan ๐+ ๐๐ (
๐ sin๐
tan ๐+ ๐ cos๐)
๐ = ๐๐๐ (2 sin ๐
tan ๐+ cos๐)
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 6
Kenapa kita tidak menggunanakan ๐๐ pada persamaan di atas? Karena nilai ๐๐ tidak konstan, jadi kita harus nyatakan ๐ sebagai fungsi salah satu peubah bebas saja. Karena ๐ juga bernilai konstan, jadi kita nyatakan ๐ sebagai fungsi ๐.
๐2๐
๐๐2= ๐๐๐
๐2
๐๐2(2 sin๐
tan ๐+ cos๐) = ๐๐๐
๐
๐๐(2 cos๐
tan ๐โ cos๐)
๐2๐
๐๐2= โ๐๐๐ (
2 sin ๐
tan ๐+ sin๐)
Karena ๐2๐
๐๐2< 0 maka sistem berada pada kesetimbangan labil
OSN Fisika 2017 Number 3
RODA MELUNCUR Tinjau sebuah roda pejal dengan massa ๐, jari-jari ๐ dan momen inersia ๐ผ terhadap sumbu roda yang melewati pusat massanya (lihat gambar). Roda berputar disekitar sumbunya dengan kelajuan sudut konstan ๐0, lalu dilepaskan pada posisi tegak di atas bidang lantai datar sehingga roda sempat tergelincir (slip) selama waktu ๐ lalu selanjutnya mulai menggelinding tanpa slip. Diketahui koefisien gesek antara roda dengan bidang lantai datar adalah ๐.
a. Tentukan besar ๐ dan kecepatan pusat massa roda ๐ฃ saat menggelinding. Buat sketsa grafik hubungan antara gaya ๐น yang bekerja, kecepatan ๐ฃ dan kecepatan sudut ๐ terhadap waktu ๐ก.
b. Katakan roda dalam soal (a) di atas memiliki kelajuan pusat massa awal ๐ฃ0 selain kelajuan sudut ๐0 sehingga roda mulai menggelingding tanpa slip tepat pada saat ๐ก =๐. Tentukan nilai ๐ tersebut dan kelajuan pusat massa ๐ฃ(๐). Hitung besar energi kinetik yang hilang karena harus mengatasi gaya gesek agar tidak slip.
c. Sekarang tinjau roda dalam soal (a) di atas yang telah memiliki kelajuan pusat massa awal ๐ฃ0 dan kelajuan sudut โ๐0. Dalam kasus sekarang, roda tergelincir dulu selama ๐ dan kemudian menggelinding tanpa slip. Tentukan nilai ๐ tersebut dan kelajuan pusat massa ๐ฃ(๐).
Pembahasan :
๐0
๐ผ
๐ ๐
๐
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 7
a. Sebelumnya kita jadikan arah kanan dan putaran berlawanan arah jarum jam sebagai arah positif. Pada kasus ini gaya gesek berarah ke kekanan sehingga mempercepat roda ke kanan dengan percepatan ๐ = ๐๐(ke kanan). Gaya gesek ini menghasilkan torsi yang berlawanan arah jarum jam dan memperlambat putaran roda dengan perlambatan sudut sebesar ๐ผ = โ๐๐๐๐/๐ผ. Persamaan gerak roda akan menjadi Gerak Translasi โ ๐ฃ(๐ก) = ๐๐๐ก Gerak Rotasi โ ๐(๐ก) = ๐0 โ ๐๐๐๐๐ก/๐ผ Saat roda sudah menggelinding tanpa slip, yaitu setelah waktu ๐, akan berlaku ๐ฃ(๐) = ๐(๐)๐.
๐๐๐ = ๐0๐ โ๐๐๐๐2
๐ผ๐
๐ผ + ๐๐2
๐ผ๐๐๐ = ๐0๐ โ ๐ =
๐ผ
๐ผ + ๐๐2๐0๐
๐๐
๐ฃ(๐) =๐ผ๐0๐
๐ผ + ๐๐2 dan ๐(๐) =
๐ผ๐0๐ผ + ๐๐2
b. Untuk kasus yang kedua ini ada dua kemungkinan arah gaya gesek yaitu ke kiri (jika ๐ฃ0 > ๐0๐) dan ke kanan (jika ๐ฃ0 < ๐0๐).
๐
๐๐๐
๐ก
๐(gaya gesek)
๐
๐๐
๐ก
๐(gaya normal)
๐
๐0
๐ก
๐(gaya berat)
๐
๐ผ๐0๐
๐ผ + ๐๐2
๐ก
๐ฃ
๐0
๐
๐ผ๐0๐ผ + ๐๐2
๐ก
๐
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 8
Kondisi pertama (jika ๐ฃ0 > ๐0๐) Gaya gesek memberikan perlambatan ๐ = โ๐๐ dan percepatan sudut ๐ผ = ๐๐๐๐/๐ผ. Maka persamaan gerak roda menjadi Gerak Translasi โ ๐ฃ(๐ก) = ๐ฃ0 โ ๐๐๐ก Gerak Rotasi โ ๐(๐ก) = ๐0 + ๐๐๐๐๐ก/๐ผ Saat roda sudah menggelinding tanpa slip, yaitu setelah waktu ๐, akan berlaku ๐ฃ(๐) = ๐(๐)๐.
๐ฃ0 โ ๐๐๐ = ๐0๐ +๐๐๐๐2
๐ผ๐
๐ผ + ๐๐2
๐ผ๐๐๐ = ๐ฃ0 โ ๐0๐ โ ๐ =
๐ผ
๐ผ + ๐๐2๐ฃ0 โ ๐0๐
๐๐
๐ฃ(๐) =๐ผ(๐ฃ0 โ ๐0๐)
๐ผ +๐๐2 dan ๐(๐) =
๐ผ(๐ฃ0 โ ๐0๐)
๐ผ๐ + ๐๐3
โ๐ธ = ๐ธ๐พ๐๐ค๐๐ โ ๐ธ๐พ๐๐โ๐๐ =1
2๐๐ฃ0
2 +1
2๐ผ๐0
2 โ1
2๐๐ฃ2(๐) โ
1
2๐ผ๐2(๐)
โ๐ธ =1
2๐๐ฃ0
2 +1
2๐ผ๐0
2 โ1
2๐(
๐ผ(๐ฃ0 โ ๐0๐)
๐ผ + ๐๐2)
2
โ1
2๐ผ (๐ผ(๐ฃ0 โ ๐0๐)
๐ผ๐ + ๐๐3)
2
Kondisi kedua (jika ๐ฃ0 < ๐0๐) Gaya gesek memberikan percepatan ๐ = ๐๐ dan perlambatan sudut ๐ผ = โ๐๐๐๐/๐ผ. Maka persamaan gerak roda menjadi Gerak Translasi โ ๐ฃ(๐ก) = ๐ฃ0 + ๐๐๐ก Gerak Rotasi โ ๐(๐ก) = ๐0 โ ๐๐๐๐๐ก/๐ผ Saat roda sudah menggelinding tanpa slip, yaitu setelah waktu ๐, akan berlaku ๐ฃ(๐) = ๐(๐)๐.
๐ฃ0 + ๐๐๐ = ๐0๐ โ๐๐๐๐2
๐ผ๐
๐ผ + ๐๐2
๐ผ๐๐๐ = ๐0๐ โ ๐ฃ0 โ ๐ =
๐ผ
๐ผ + ๐๐2๐0๐ โ ๐ฃ0๐๐
๐ฃ(๐) =๐ผ(๐0๐ โ ๐ฃ0)
๐ผ +๐๐2 dan ๐(๐) =
๐ผ(๐0๐ โ ๐ฃ0)
๐ผ๐ + ๐๐3
๐0
๐ฃ0
๐๐๐
๐0
๐ฃ0
๐๐๐
๐ฃ0 > ๐0๐ ๐ฃ0 < ๐0๐
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 9
โ๐ธ = ๐ธ๐พ๐๐ค๐๐ โ ๐ธ๐พ๐๐โ๐๐ =1
2๐๐ฃ0
2 +1
2๐ผ๐0
2 โ1
2๐๐ฃ2(๐) โ
1
2๐ผ๐2(๐)
โ๐ธ =1
2๐๐ฃ0
2 +1
2๐ผ๐0
2 โ1
2๐(
๐ผ(๐0๐ โ ๐ฃ0)
๐ผ + ๐๐2)
2
โ1
2๐ผ (๐ผ(๐0๐ โ ๐ฃ0)
๐ผ๐ + ๐๐3)
2
c. Untuk kasus yang ketiga ini arah gaya gesek adalah ke kiri. Gaya gesek memberikan perlambatan ๐ = โ๐๐ dan percepatan sudut ๐ผ = ๐๐๐๐/๐ผ. Persamaan gerak roda akan menjadi Gerak Translasi โ ๐ฃ(๐ก) = ๐ฃ0 โ ๐๐๐ก Gerak Rotasi โ ๐(๐ก) = โ๐0 + ๐๐๐๐๐ก/๐ผ Saat roda sudah menggelinding tanpa slip, yaitu setelah waktu ๐, akan berlaku ๐ฃ(๐) = ๐(๐)๐.
๐ฃ0 โ ๐๐๐ = โ๐0๐ +๐๐๐๐2
๐ผ๐
๐ผ + ๐๐2
๐ผ๐๐๐ = ๐ฃ0 + ๐0๐ โ ๐ =
๐ผ
๐ผ + ๐๐2๐ฃ0 + ๐0๐
๐๐
๐ฃ(๐) =๐ผ(๐ฃ0 + ๐0๐)
๐ผ +๐๐2 dan ๐(๐) =
๐ผ(๐ฃ0 + ๐0๐)
๐ผ๐ + ๐๐3
OSN Fisika 2017 Number 4
GERAK PLANET DI ANGKASA BERDEBU
Sebuah planet yang massa m mengorbit Matahari yang bermassa ๐. Terdapat awan debu yang tersebar merata pada di luar angkasa dengan kerapatan ๐ termasuk diantara planet tersebut dan matahari. Diketahui bahwa konstanta gravitasi umum adalah ๐บ serta pengaruh gesekan dan tumbukan antara partikel debu dan planet dapat diabaikan.
a. Tunjukkan bahwa awan debu memberikan penambahan gaya gravitasi planet terhadap Matahari yang sebanding dengan jarak planet dan Matahari ๐ dalam bentuk ๐นโฒ = ๐๐๐. Tentukan nilai konstanta ๐.
๐0
๐ฃ0
๐๐๐
๐
๐
๐
๐
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 10
b. Tinjau kasus dimana planet bergerak dengan momentum sudut yang konstan sebesar L. L juga merupakan nilai momentum sudut jika planet bergerak melingkar dengan jari-jari ro. Tentukan persamaan gerak planet dalam arah radial yang menghubungkan ๐0, ๐ฟ, ๐บ,๐,๐, dan ๐.
c. Tentukan periode revolusi planet mengelilingi Matahari jika diasumsikan orbit planet adalah lingkaran. Nyatakan jawaban dalam ๐ฟ,๐, dan ๐0.
d. Pada suatu ketika planet mengalami sedikit simpangan kecil pada arah radial sehingga orbitnya terganggu. Tunjukkan bahwa planet mengalami gerak osilasi harmonik sederhana pada arah radial.
e. Asumsikan nilai Fโฒ cukup kecil jika dibandingkan dengan gaya tarik Matahari. Tunjukkan bahwa orbit planet membentuk โprecessing ellipseโ. Hint : gerakan precessing ellipse adalah gerakan dengan bentuk dasar elips, namun sumbu elips tersebut juga ikut berputar (lihat gambar di bawah). Anda tidak perlu menggunakan persamaan elips untuk mengerjakan soal ini.
f. Tunjukkan waktu yang dibutuhkan planet untuk kembali ke titik semula (titik sebelum mengalami simpangan) untuk pertama kalinya. Nyatakan jawaban dalam ๐ฟ,๐, ๐, dan ๐0, ๐.
g. Apakah arah putar dari sumbu elips sama gerakan precessing ellipse searah atau berlawanan arah kecepatan sudut planet? Jelaskan.
Pembahasan :
a. Debu tersebar merata di luar angkasa. Jika kita jadikan pusat matahari sebagai acuan, planet bias diasumsikan berada di permukaan bola debu padat berjari-jari r. Bola debu inilah yang memberikan gaya tambahan Fโ pada planet dan besarnya adalah
๐นโฒ = ๐บ๐๐๐๐๐๐ข
๐2
Massa bola debu ini adalah
๐๐๐๐๐ข =4
3๐๐๐3
Sehingga gaya Fโ adalah
๐นโฒ = ๐บ๐
๐2(4
3๐๐๐3)
๐นโฒ =4
3๐บ๐๐๐๐
๐นโฒ = ๐๐๐ โน ๐ =4
3๐บ๐๐
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 11
b. Kita tinjau gaya yang bekerja pada planet menurut pengamat yang berada di lintasan orbit planet. Arah positif adalah arah radial keluar. Perhatikan gambar di bawah
Hukum II Newton arah radial menghasilkan
ฮฃ๐น = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
โ๐บ๐๐
๐2โ ๐๐๐ +๐๐๐ = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
โ๐บ๐๐
๐2โ ๐๐๐ +๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ2๐ = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
Kita ketahui planet bergerak dengan momentum sudut L maka akan kita dapatkan hubungan
๐ฟ = ๐๐2๏ฟฝฬ๏ฟฝ โน ๏ฟฝฬ๏ฟฝ =๐ฟ
๐๐2
Karena planet bergerak di lintasan orbit dengan jari-jari ๐0 maka ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 0. Persamaan gerak planet akan menjadi
โ๐บ๐๐
๐๐2โ ๐๐๐๐ +๐(
๐ฟ
๐๐๐2)2
๐๐ = ๐(0)
โ๐บ๐๐
๐๐2โ ๐๐๐๐ +
๐ฟ2
๐๐๐3= 0
Keterangan :
Jika terdapat suatu peubah ๐ฅ maka ๏ฟฝฬ๏ฟฝ dan ๏ฟฝฬ๏ฟฝ adalah turunan pertama dan kedua peubah tersebut terhadap waktu.
๏ฟฝฬ๏ฟฝ =๐๐ฅ
๐๐ก ๐๐๐ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ =
๐2๐ฅ
๐๐ก2
c. Momentum sudut planet adalah
๐ฟ = ๐๐2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
Hubungan ๏ฟฝฬ๏ฟฝ dan T adalah
๏ฟฝฬ๏ฟฝ =2๐
๐
Periode revolusi planet adalah
๐ฟ = ๐๐2 (2๐
๐) โน ๐ =
2๐๐๐2
๐ฟ
d. Sekarang planet diberikan sedikit simpangan sehingga akan terjadi gerak osilasi. Kita misalkan planet di simpangkan sejauh ๐ฅ ke arah luar(menjauhi matahari) secara radial sehingga planet akan megalami percepatan arah radial ๏ฟฝฬ๏ฟฝ.
๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐๐ ๐บ๐๐
๐2+ ๐๐๐
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 12
Persamaan gerak planet akan menjadi
โ๐บ๐๐
(๐๐ + ๐ฅ)2โ ๐๐(๐๐ + ๐ฅ) +
๐ฟ2
๐(๐๐ + ๐ฅ)3= ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
โ๐บ๐๐
๐๐2 (1 +๐ฅ๐๐)2 โ ๐๐๐๐ (1 +
๐ฅ
๐๐) +
๐ฟ2
๐๐๐3 (1 +๐ฅ๐๐)3 = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
Karena simpangan sangat kecil di bandingkan jari-jari orbit, ๐ฅ โช ๐๐, maka ๐ฅ ๐๐โ โช 1, dan kita bisa menggunakan hampiran binomial newton yaitu untuk nilai ๐ฆ โช 1, berlaku (1 + ๐ฆ)๐ โ 1 + ๐๐ฆ
Persamaan gerak planet akan menjadi
โ๐บ๐๐
๐๐2(1 โ 2
๐ฅ
๐๐) โ ๐๐๐๐ (1 +
๐ฅ
๐๐) +
๐ฟ2
๐๐๐3(1 โ 3
๐ฅ
๐๐) โ ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
โ๐บ๐๐
๐๐2โ ๐๐๐๐ +
๐ฟ2
๐๐๐3โ 0
+ 2๐บ๐๐
๐๐3๐ฅ โ ๐๐๐ฅ โ 3
๐ฟ2
๐๐๐4๐ฅ = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
2๐บ๐๐
๐๐3๐ฅ โ ๐๐๐ฅ โ 3
๐ฟ2
๐๐๐4๐ฅ = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
โ
[ ๐ฟ2
๐๐๐4+ ๐๐ +
2
๐๐(โ๐บ
๐๐
๐๐2+
๐ฟ2
๐๐๐3)
โ ๐๐๐๐ ]
๐ฅ = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
โ(๐ฟ2
๐๐๐4+ 3๐๐)๐ฅ = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
โ(๐ฟ2
๐๐๐4+ 3๐๐)๐ฅ = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๏ฟฝฬ๏ฟฝ + (๐ฟ2
๐2๐๐4+ 3๐)
โ ๐๐๐ ๐2
๐ฅ = 0
Persamaan di atas adalah persaamaan gerak haromis sederhana dengan frekuensi sudut
๐๐๐ ๐ = โ๐ฟ2
๐2๐๐4+ 3๐
๐ฅ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐ฟ2
๐(๐๐ + ๐ฅ)3
๐บ๐๐
(๐๐ + ๐ฅ)2+ ๐๐(๐๐ + ๐ฅ)
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 13
Hal ini membuktikan bahwa planet mengalami gerak harmonik sederhana pada arah radial.
e. Gerak precessing elips terjadi jika terdapat perbedaan antar frekuensi sudut osilasi planet(๐๐๐ ๐) dan frekuensi sudut revolusi(kecepatan sudut revolusi) planet (๐๐๐๐ฃ). Kenapa seperti ini, Karena saat planet sudah berevolusi satu putaran, maka secara radial planet belum mencapai titik setimbangnya(jika ๐๐๐ ๐ < ๐๐๐๐ฃ) atau telah melewati titik seetimbangnya(jika ๐๐๐ ๐ > ๐๐๐๐ฃ). Karena ๐๐๐ ๐ > ๐๐๐๐ฃ terjadi putaran pada sumbu elips dan gerakan ini disebut sebagai โGerak Precessing Ellipseโ . Frekuensi gerak Precessing Ellipse ini sama dengan selisih ๐๐๐ ๐ dan ๐๐๐๐ฃ.
Frekuensi sudut osilasi planet adalah
๐๐๐ ๐ = โ๐ฟ2
๐2๐๐4+ 3๐
Frekuensi sudut revolusi planet adalah
๐๐๐๐ฃ =๐ฟ
๐๐๐2
Frekuensi sudut gerak Precessing Ellipse adalah
๐๐๐๐ = ๐๐๐ ๐ โ ๐๐๐๐ฃ = โ๐ฟ2
๐2๐๐4+ 3๐ โ
๐ฟ
๐๐๐2
๐๐๐๐ = ๐๐๐ ๐ โ ๐๐๐๐ฃ =๐ฟ
๐๐๐2โ1 +
3๐๐2๐๐4
๐ฟ2โ
๐ฟ
๐๐๐2
Gaya ๐นโฒdiasumsikan jauh lebih kecil dari gaya gravitasi ๐น๐บ , maka akan berlaku
๐นโฒ โช ๐น๐บ
๐๐๐๐ โช ๐บ๐๐
๐๐2
Dari persamaan gerak planet akan kita dapatkan hubungan
๐บ๐๐
๐๐2= โ๐๐๐๐ +
๐ฟ2
๐๐๐3
๐๐๐๐ โช โ๐๐๐๐ +๐ฟ2
๐๐๐3
2๐๐๐๐ โช๐ฟ2
๐๐๐3
2๐๐2๐๐4
๐ฟ2โช 1
Jika nilai 2๐๐2๐๐
4
๐ฟ2โช 1,maka
3๐๐2๐๐4
๐ฟ2โช 1
Kemudian kita bisa menggunakan hampiran binomial newton untuk mencari frekuensi sudut gerak Precessing Ellipse.
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 14
๐๐๐๐ =๐ฟ
๐๐๐2โ1 +
3๐๐2๐๐4
๐ฟ2โ
๐ฟ
๐๐๐2
๐๐๐๐ โ๐ฟ
๐๐๐2(1 +
3๐๐2๐๐4
2๐ฟ2) โ
๐ฟ
๐๐๐2
๐๐๐๐ =3๐๐๐๐
2
2๐ฟ
Dengan ini dibuktikan bahwa planet mengalami gerak Precessing Ellipse dengan frekuensi sudut
๐๐๐๐ =3๐๐๐๐
2
2๐ฟ
f. Waktu yang dibutuhkan planet untuk kembali ke titik semula sama dengan periode gerak Precessing Ellipse.
๐๐๐๐ =2๐
๐๐๐๐
๐๐๐๐ =2๐
(3๐๐๐๐2
2๐ฟ )
๐๐๐๐ =4๐๐ฟ
3๐๐๐๐2
g. Misalkan arah putaran revolusi planet adalah searah jarum jam. Maka saat planet sudah berevolusi satu putaran, secara radial planet belum kembali ke titik setimbangnya. Ini mengakibatkan sumbu elips akan berputar berlawanan arah jarum jam. Perhatikan gambar di bawah ini
Jadi dapat disimpulkan bahwa
Arah gerak Precessing Ellipse ๐๐๐ซ๐ฅ๐๐ฐ๐๐ง๐๐ง ๐๐ซ๐๐ก dengan arah gerak revolusi planet
๐๐๐๐ฃ
๐๐๐๐
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 15
OSN Fisika 2017 Number 5
GERAKAN ELEKTRON DAN RADIASI LARMOR
Sebuah bola pejal berjari-jari ๐ memiliki muatan total ๐ dengan persebaran densitas muatan merata. Sebuah elektron bermuatan โ ๐ bermassa m dan bergerak bebas di daerah dalam dalam dan luar bola tersebut. Elektron tersebut bergerak membentuk orbit lingkaran pada jarak ๐ dari pusat bola. Dalam gerakannya, elektron tersebut dipercepat dengan gaya sentripetal sehingga akan terjadi radiasi ๐ yang dapat dinyatakan dengan
๐ = ๐ถ๐๐๐
dimana C adalah konstanta tak berdimensi dengan nilai ๐ถ = 1/6๐, ๐ adalah konstanta fisik sebagai fungsi dari muatan ๐, laju cahaya ๐, dan permitivitas ruang vakum ํ๐, serta ๐ adalah percepatan muatan dan ๐ konstanta tak berdimensi. Persamaan di atas dikenal sebagai Lamor Formula.
Sebelumnya, abaikan radiasi pada soal berikut.
a. Ambil ๐ < ๐ , tentukan periode ๐ gerak orbit elektron (nyatakan dalam ๐, ๐ , ๐, ๐,๐, dan ํ๐)!
b. Ambil ๐ > ๐ , tentukan periode ๐ gerak orbit elektron (nyatakan dalam ๐, ๐ , ๐, ๐,๐, dan ํ๐)!
c. Asumsikan elektron berada pada posisi diam di ๐ = 2๐ , tentukan kelajuan elektron saat melewati titik pusat bola bermuatan (nyatakan dalam ๐ , ๐, ๐,๐, dan ํ๐)!
Sekarang radiasi tak diabaikan
d. Tentukan ekspresi ๐(๐, ๐, ํ0) dan n, lalu tentukan formula Larmor P di atas (nyatakan dalam ๐ , ๐, ๐,๐, dan ํ๐)!
Asumsikan bentuk orbit setelah mengalami radiasi tetap berbentuk lingkaran dan jari-jari orbit tersebut berubah sebesar |โ๐| โช ๐.
e. Ambil < ๐ , tentukan perubahan jari-jari orbit โr dalam satu orbit (nyatakan dalam ๐, ๐ , ๐, ๐,๐, ํ๐ ,dan ๐)!
f. Ambil > ๐ , tentukan perubahan jari-jari orbit โr dalam satu orbit (nyatakan dalam ๐, ๐ , ๐, ๐,๐, ํ๐ ,dan ๐)!
g. Tentukan waktu yang dibutuhkan elektron untuk jatuh dari orbit ๐ = ๐ ke orbit ๐ =๐ /2.
๐โ
๐โ ๐
๐
๐
๐โ
๐โ
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 16
Pembahasan :
a. Untuk menghitung periode gerak orbit electron, kita harus menemukan gaya yang bekerja secara radial pada electron kemudian menyamakannya dengan gaya sentripetal. Dari gaya sentripetal kita akan mendapatkan percepatan sentripetal dan hubungannya dengan kecepatan sudut electron. Dari kecepatan sudut ini kita bisa menghubungkannya dengan periode gerak orbit electron.
Untuk kasus yang pertama ini, elektron berada di dalam bola bermuatan. Gaya yang bekerja pada elektron adalah gaya listrik antara elektron dan bagian dari bola bermuatan yang berjari-jari ๐. Gaya yang bekerja pada elektron akan kita hitung dengan terlebih dahulu menghitung medan listrik yang bekerja padanya menggunakan Hukum Gauss.
Hukum Gauss menyatakan bahwa
โDalam suatu permukaan tertutup, jumlah Fluks Listrik neto sama dengan jumlah muatan yang dilingkupi oleh permukaan tertutup dibagi dengan permitivitas ruang hampaโ
Secara matematis dapat dinyatakan sebagai
โฎ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐๐ด =๐๐๐๐ํ๐
Untuk poin a, medan listrik yang bekerja pada elektron adalah
โฎ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐๐ด =๐๐๐๐ํ๐
โน ๐ธโฎ๐๐ด =๐๐๐๐ํ๐
โน ๐ธ(4๐๐2) =๐๐3
๐ 3
ํ๐
๐ธ =๐๐
4๐๐ 3ํ๐
Maka gaya yang bekerja pada elektron adalah
๐น = ๐๐ธ =๐๐๐
4๐๐ 3ํ๐, untuk ๐ < ๐
Gaya ini akan berperan sebagai gaya sentripetal pada gerakan melingkar elektron
๐๐๐
4๐๐ 3ํ๐= ๐๐2๐
๐๐๐
4๐๐ 3ํ๐= ๐(
2๐
๐)2
๐ โน ๐ = โ16๐ํ๐๐3๐ 3
๐๐
b. Untuk poin b, bola bermuatan ๐ bisa kita anggap sebagai muatan titik yang berada di pusat bola. Gaya akibat interaksi bola bermuatan dan elektron dapat di anggap sebagai gaya interaksi antara muatan titik ๐ yang berada di pusat bola dengan elektron. Besar gaya ini adalah
๐น =๐๐
4๐ํ๐๐2, untuk ๐ > ๐
Gaya ini akan berperan sebagai gaya sentripetal pada gerakan melingkar elektron
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 17
๐๐
4๐ํ๐๐2= ๐๐2๐
๐๐
4๐ํ๐๐2= ๐(
2๐
๐)2
๐ โน ๐ = โ16๐ํ๐๐3๐3
๐๐
c. Pada saat awal elektron berada pada jarak 2R dari pusat bola. Untuk mencari kecepatan elektron ketika mencapai pusat bola, kita gunakan dalil usaha energy.
โ๐ธ๐ = ๐
1
2๐๐ฃ2 โ 0 = โซ ๐น๐๐
0
2๐
1
2๐๐ฃ2 = โซ (โ
๐๐
4๐ํ๐๐2)๐๐ + โซ (โ
๐๐๐
4๐๐ 3ํ๐) ๐๐
0
๐
๐
2๐
1
2๐๐ฃ2 = โ
๐๐
4๐ํ๐[โ1
๐]2๐
๐
โ๐๐
4๐๐ 3ํ๐[๐2
2]๐
0
1
2๐๐ฃ2 =
๐๐
4๐ํ๐[1
๐ โ1
2๐ ] +
๐๐
4๐๐ 3ํ๐[๐ 2
2]
1
2๐๐ฃ2 =
๐๐
8๐ํ๐๐ +
๐๐
8๐ํ๐๐ =
๐๐
4๐ํ๐๐
๐ฃ = โ๐๐
4๐๐ํ๐๐
d. Untuk mencari hubungan antar besaran ini, kita akan menggunakan metode anasilis dimensi.
Berikut dimensi masing masing besaran
๐ = ๐ผ๐
๐ = ๐ฟ๐โ1
๐ = ๐ฟ๐โ2
ํ๐ = ๐ผ2๐4๐โ1๐ฟโ3
๐ = ๐๐ฟ๐โ3
Hubungan konstantan fisik dengan ketiga besaran di atas adalah
๐ = ๐๐ฅ๐๐ฆํ๐๐ง
Sedangkan persamaan larmor adalah
๐ = ๐ถ๐๐๐
Dengan mensubtitusi konstanta fisik dan nilai ๐ถ = 1 6๐โ ke dalam persamaan larmor kita dapatkan
๐ =1
6๐๐๐ฅ๐๐ฆํ๐
๐ง๐๐
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 18
๐๐ฟ2๐โ3 =1
6๐(๐ผ๐)๐ฅ(๐ฟ๐โ1)๐ฆ(๐ผ2๐4๐โ1๐ฟโ3ํ๐)
๐ง(๐ฟ๐โ2)๐
๐๐ฟ2๐โ3 =1
6๐๐โ๐ง๐ฟ๐ฆโ3๐ง+๐๐๐ฅโ๐ฆ+4๐งโ2๐๐ผ๐ฅ+2๐ง
Dari persamaan di atas kita dapatkan untuk masing masing dimensi
๐โน 1 = โ๐ง โน ๐ง = โ1
๐ฟ โน 2 = ๐ฆ โ 3๐ง + ๐โฆ (1)
๐ โน โ3 = ๐ฅ โ ๐ฆ + 4๐ง โ 2๐โฆ (2)
๐ผ โน 0 = ๐ฅ + 2๐งโฆ (3)
Dengan mensubtitusikan nilai z ke persamaan (3) kita dapatkan nilai x
๐ฅ = โ2๐ง = โ(โ1) = 2
Kemudian subtitusi nilai yang diketahui ke persamaan (2) dan (3), maka kita dapatkan
2 = ๐ฆ โ 3(โ1) + ๐ โน ๐ฆ = โ๐ โ 1โฆ(4)
โ3 = (2) โ ๐ฆ + 4(โ1) โ 2๐ โน ๐ฆ + 2๐ = 1โฆ (5)
Dengan mensubtitusi persamaan (4) dengan (5) kita dapatkan nilai n
โ๐ โ 1 + 2๐ = 1
๐ = 2
Nilai y adalah
๐ฆ = โ๐ โ 1 = โ2 โ 1 = โ3
Konstanta fisik akan menjadi
๐ =๐2
ํ๐๐2
Dan persamaan larmor akan berbentuk
๐ =๐2๐2
6๐ํ๐๐2
Karena elektron bergerak melingkar, maka percepatannya ๐ adalah percepatan sentripetalnya.
๐น๐ = ๐๐๐
Untuk ๐ < ๐ ๐๐๐
4๐๐ 3ํ๐= ๐๐
๐ =๐๐๐
4๐๐ํ๐๐ 3
๐ =๐2
6๐ํ๐๐2(
๐๐๐
4๐๐ํ๐๐ 3)2
โน ๐ =๐4๐2
96๐2๐3ํ๐3๐2๐ 6๐2
Untuk ๐ > ๐
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 19
๐๐
4๐๐2ํ๐= ๐๐
๐ =๐๐
4๐๐ํ๐๐2
๐ =๐2
6๐ํ๐๐2(
๐๐
4๐๐ํ๐๐2)2
โน ๐ =๐4๐2
96๐2๐3ํ๐3๐2๐4
e. Untuk mencari perubahan jari-jari orbit elektron kita perlu mendapatkan bentuk ๐๐ ๐๐กโ kemudian mengintegralkannya. Untuk batas atas dan bawah r adalah ๐ โ โ๐ dan ๐. Sedangkan t adalah ๐ dan 0.
Untuk ๐ < ๐
Radiasi larmor akan sebanding dengan
๐ = โ๐๐ธ
๐๐กโน๐๐ธ
๐๐ก= โ๐ = โ
๐4๐2
96๐2๐3ํ๐3๐2๐ 6๐2
Tanda negative menandakan bahwa radiasi adalah pengurangan energy system.
Energi system adalah
๐ธ = ๐ธ๐พ + ๐ธ๐
Kecepatan elektron bisa kita dapatkan dari persamaan gaya sentripetal elektron dan nilainya adalah
๐๐๐
4๐๐ 3ํ๐= ๐
๐ฃ2
๐
๐ฃ2 =๐๐๐2
4๐๐ํ๐๐ 3
Sehingga energy kinetiknya adalah
๐ธ๐พ =1
2๐๐ฃ2 =
๐๐๐2
8๐ํ๐๐ 3
Energy potensial elektron adalah negative dari usaha yang dilakukan untuk memindahkan elektron dari titik tak berhingga sampai posisinya sekarang.
๐ธ๐ = โโซ ๐น๐๐ = โโซ (โ๐๐
4๐๐2ํ๐)๐๐ โ โซ (โ
๐๐๐
4๐๐ 3ํ๐)๐๐
๐
๐
๐
โ
๐
โ
๐ธ๐ =๐๐
4๐ํ๐[โ1
๐]โ
๐
+๐๐
4๐๐ 3ํ๐[๐2
2]๐
๐
๐ธ๐ =๐๐
4๐ํ๐[โ1
๐ +1
โโ0
] +๐๐
4๐๐ 3ํ๐[๐2
2โ๐ 2
2]
๐ธ๐ = โ2๐๐
8๐ํ๐๐ +
๐๐๐2
8๐๐ 3ํ๐โ
๐๐
8๐ํ๐๐
๐ธ๐ = โ๐๐
8๐ํ๐๐ 3(3๐ 2 โ ๐2)
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 20
Maka energy system adalah
๐ธ =๐๐๐2
8๐ํ๐๐ 3โ
๐๐
8๐ํ๐๐ 3(3๐ 2 โ ๐2)
๐ธ =๐๐
8๐ํ๐๐ 3(2๐2 โ 3๐ 2) โน
๐๐ธ
๐๐ก=
๐๐๐
2๐ํ๐๐ 3๐๐
๐๐ก
Dengan mensubtitusi ๐๐ธ ๐๐กโ yang sudah didapat sebelumnya didapatkanlah
โ๐4๐2
96๐2๐3ํ๐3๐2๐ 6๐2 =
๐๐๐
2๐ํ๐๐ 3๐๐
๐๐ก
๐๐
๐= โ
๐3๐
48๐2๐2ํ๐2๐2๐ 3๐๐ก
โซ๐๐
๐
๐โโ๐
๐
= โโซ๐3๐
48๐2๐2ํ๐2๐2๐ 3๐๐ก
๐๐<๐
0
ln |๐ โ โ๐
๐| = โ
๐3๐
48๐2๐2ํ๐2๐2๐ 3โ16๐ํ๐๐3๐ 3
๐๐
๐ โ โ๐
๐= exp(โ
๐3๐
12๐2๐ํ๐2๐2๐ 2โ๐ํ๐๐๐
๐๐)
ฮ๐ = ๐ [1 โ exp(โ๐3๐
12๐2๐ํ๐2๐2๐ 2โ๐ํ๐๐๐
๐๐)]
f. Dengan cara yang sama untuk ๐ > ๐
Radiasi larmor akan sebanding dengan
๐ = โ๐๐ธ
๐๐กโน๐๐ธ
๐๐ก= โ๐ = โ
๐4๐2
96๐2๐3ํ๐3๐2๐4
Tanda negative menandakan bahwa radiasi adalah pengurangan energy system.
Energi system adalah
๐ธ = ๐ธ๐พ + ๐ธ๐
Kecepatan elektron bisa kita dapatkan dari persamaan gaya sentripetal elektron dan nilainya adalah
๐๐
4๐๐2ํ๐= ๐
๐ฃ2
๐
๐ฃ2 =๐๐
4๐๐ํ๐๐
Sehingga energy kinetiknya adalah
๐ธ๐พ =1
2๐๐ฃ2 =
๐๐
8๐ํ๐๐
Energy potensial elektron adalah
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 21
๐ธ๐พ = โ๐๐
4๐ํ๐๐
Maka energy system adalah
๐ธ =๐๐
8๐ํ๐๐โ
๐๐
4๐ํ๐๐
๐ธ = โ๐๐
8๐ํ๐๐โน๐๐ธ
๐๐ก=
๐๐
8๐ํ๐๐2๐๐
๐๐ก
Dengan mensubtitusi ๐๐ธ ๐๐กโ yang sudah didapat sebelumnya didapatkanlah
โ๐4๐2
96๐2๐3ํ๐3๐2๐4=
๐๐๐
8๐ํ๐๐2๐๐
๐๐ก
๐2๐๐ = โ๐3๐
12๐2๐2ํ๐2๐2๐๐ก
โซ ๐2๐๐๐โโ๐
๐
= โโซ๐3๐
12๐2๐2ํ๐2๐2๐๐ก
๐๐>๐
0
[๐3
3]๐
๐โโ๐
= โ๐3๐
12๐2๐2ํ๐2๐2โ16๐ํ๐๐3๐3
๐๐
(๐ โ โ๐)3
3โ๐3
3= โ
๐3๐๐
3๐2๐ํ๐2๐2โ๐ํ๐๐๐
๐๐
๐3 (1 โโ๐๐ )
3
3โ๐3
3= โ
๐3๐๐
3๐2๐ํ๐2๐2โ๐ํ๐๐๐
๐๐
Karena โ๐ โช ๐, maka โ๐ ๐โ โช 1. Dari sini kita bisa menggunakan hampiran binomial newton yaitu untuk nilai ๐ฅ โช 1 maka akan berlaku
(1 โ ๐ฅ)๐ โ 1 โ ๐๐ฅ
Dengan menggunakan ๐ฅ = โ๐ ๐โ dan ๐ = 3 maka akan menjadi
(1 โโ๐
๐)3
โ 1 โ 3โ๐
๐
Maka persamaanny akan menjadi
๐3 (1 โ 3โ๐๐ )
3โ๐3
3= โ
๐3๐๐
3๐2๐ํ๐2๐2โ๐ํ๐๐๐
๐๐
๐3
3โ๐3
3โ 0
โ โ๐๐2 = โ๐3๐๐
3๐2๐ํ๐2๐2โ๐ํ๐๐๐
๐๐
โ๐ =๐3๐
3๐2๐ํ๐2๐2โ๐ํ๐๐
๐๐๐
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 22
g. Waktu yang dibutuhkan elektron untuk jatuh dari orbit berjari-jari ๐ = ๐ sampai ๐ =๐ 2โ adalah ๐. Kita bisa menghitung ๐ dengan meninjau ulang persamaan ๐๐ ๐๐กโ untuk ๐ < ๐ .
๐๐
๐๐ก= โ
๐3๐
48๐2๐2ํ๐2๐2๐ 3๐
โซ ๐๐ก =๐
0
โ48๐2๐2ํ๐
2๐2๐ 3
๐3๐โซ
๐๐
๐
๐ 2โ
๐
๐ =48๐2๐2ํ๐
2๐2๐ 3
๐3๐ln |
๐
๐ 2โ|
๐ =48๐2๐2ํ๐
2๐2๐ 3
๐3๐ln 2