333
บทท 12 อนกรมฟเรยรและการประยกตใชในวงจรไฟฟา
Fourier’s Series and Their Applications in Electric Circuits
ในบททผานมาเราไดศกษาผลตอบสนองตอสญญาณแบบไซนซอยด ในบทนจะไดกลาวถงผลตอบสนองของวงจรตอสญญาณทไมเปนไซนซอยด โดยอาศยความรทางคณตศาสตรเกยวกบการแทนฟงกชนดวยอนกรมทาการแทนสญญาณทไมเปนไซนซอยดเหลานนดวยอนกรมทเรยกวา อนกรมฟเรยร (Fourier’s Series) ซงจะประกอบดวยผลรวมของสญญาณไซนซอยดหลายความถทสมพนธกนเชงฮารโมนกส ทาใหเราจะสามารถแยกพจารณาหาผลตอบสนองตอสญญาณแบบไซนซอยดแตละความถ โดยอาศยพนฐานเดมทเรยนไปแลว จากนนรวมผลตอบสนองของแตละความถเขาดวยกน เปนผลตอบสนองตอสญญาณทไมเปนไซนซอยดทกาลงพจารณา
12.1 อนกรมฟเรยร
ในชวงศตวรรษท 18 มนกคณศาสตรหลายคน รวมทงออยเลอร และเบอนล ททราบวารปคลน ( )f t ใดๆ สามารถแทนโดยประมาณไดดวยผลรวมแบบมนาหนกของไซนซอยดทความถสมพนธกนในเชง
ฮารโมนกส แตเปนฟเรยรทไดเสนอในป ค.ศ. 1807 (พ.ศ. 2350) วา รปคลนฟงกชนคาบใดๆ สามารถแตกยอยเปนอนกรมอนนตของไซนซอยด ซงเมอรวมเขาดวยกนจะสรางสญญาณเดมกลบมาได พจารณาฟงกชนคาบ
( ) ( ) 1, 2, 3,f t f t nT n= + = ± ± ± … (12.1)
สาหรบทกคาเวลา t และ T คอคาบซงหมายถงคาทนอยทสดของ T ททาใหสมการ (12.1) เปนจรง สมการสาหรบผลรวมจากดพจนของไซนซอยดทความถสมพนธกนในเชงฮารโมนกสเรยกวา อนกรมฟเรยร คอ
0 01 1
( ) cos sinN N
n nn n
0f t a a n t b n tω ω= =
= + +∑ ∑ (12.2)
หรอเขยนอกแบบไดวา
01
( ) cos( )N
nn
f t C C n t0 nω θ=
= +∑ + (12.3)
334
เม อ 02Tπω = และ เลขจานวนจรง a และ b คอ สมประสทธต รโกณของฟ เรยร (Fourier
Trigonometric Coefficient) ในสมการ (12.3) ซงเปนการเขยนอกรปแบบหนงจะได สวนตวเลขเชงซอน
0 na n
0C a= 0
2n n b= + 2
nC a และ 1n n
n
ba
−tanθ = −
โดยทวไปจะสามารถหาคาสมประสทธ และ ไดงายกวาการหาคาสมประสทธ C และ 0 na a nb n
nθ โดยเฉพาะในกรณท ( )f t เปนฟงกชนสมมาตร แตการใชอนกรมฟเรยรในรปของC และ n nθ จะชวยใหการวเคราะหผลตอบสนองในสภาวะคงตวของวงจรเชงเสนตอฟงกชนคาบทาไดสะดวกกวา พ จ า รณ าสม ก า ร (12.3) เม อ 1n = ค อ ม ห น ง รอ บ ใน ช ว ง เว ล า จ ะ ได ไซ น ซ อ ย ด T
1 0cos( )C t 1ω θ+ เรยกวาพจนหลกมล (Fundamental Term) ความถ 0ω เรยกวาความถหลกมล (Fundamental Frequency) ส า ห ร บ n k= ค อ ม ร อ บ ใ น ช ว ง เ ว ล า T จ ะ ไ ด ไ ซ น ซ อ ย ด k
0cos(kC k t )kω θ+ เรยกวาพจนฮารโมนก (Harmonic Term) ความถ k 0ω เรยกวาความถฮารโมนกท ( Harmonic Frequency) เราสามารถแทนฟงกชน
thkthk ( )f t ใหไดความถกตองเทาใดกไดโดยการเพม
จานวนพจนในอนกรมฟเรยร เมอจานวนพจนเขาสอนนตอนกรมฟเรยรจะแทนฟงกชนบางชนดไดอยางถกตองสมบรณ ธรรมชาตของรปคลน จะขนกบขนาดและเฟสของทกสวนประกอบฮารโมนกส และเราจะไดเรยนรวาสามารถจะสรางสญญาณทไมมลกษณะเปนไซนซอยดเลยจากการรวมฟงกชนไซนซอยดทเหมาะสม รปคลน ( )f t จะแทนไดดวยสมการ (12.2) หรอ (12.3) เมอฟงกชนนนเปนไปตามเงอนไขตอไปน
1. ( )f t เปนฟงกชนคาเดยว (Single-Value Function) โดยอาจยกเวนบางจดทมจานวนนบได 2. คาอนตรกรล 0
0
( )t T
tf t dt
+< ∞∫ สาหรบทกเวลา t 0
3. ในชวงเวลาหนงคาบ ( )f t มจานวนความไมตอเนอง (Discontinuities) เปนจานวนนบได 4. ในชวงเวลาหนงคาบ ( )f t มจานวนคาสงสดและตาสด (Maxima and Minima) เปนจานวนนบได
ในการศกษาตอไปน เราจะพจารณา ( )f t เพอแทนรปคลนแรงดนหรอกระแส และคาแรงดนหรอกระแสทเราจะพจารณานนจะมคณสมบตทงสขอขางตนอยางแนนอน ดงนนเราจะถอวาสญญาณทจะพจารณาตอไปนมคณสมบตตามเงอนไขทงสขอเสมอ ในทางวศกรรมไฟฟามสญญาณทเปนฟงกชนคาบมากมาย และสามารถแทนดวยอนกรมฟเรยรได เมอเราทราบฟงกชน ( )f t
0a
ทาการคานวณหาคาสมประสทธของฟเรยร เราจะสามารถแยกฟงกชนนนออกเปนพจนกระแสตรง บวกกบผลรวมของพจนไซนซอยดทอธบายดวยคาสมประสทธ a และ เราจะn nb
335
เลอกจานวนพจนทงหมดเทากบ เพอใหไดตวแทนทดของฟงกชน N ( )f t และใหไดระดบของคาความผดพลาดทยอมรบได
ntT T
π n
0cos
0
Tn m
2 2T T
π
t
t dt
t dt
0n n0 00 0
T Ta t b
n =
จากการศกษาแคลคลสเราทราบวาไซนซอยดซงมความถเปนจานวนเทาทเปนจานวนเตมของความถมลฐาน 0 1f T= จะสรางเซทของฟงกชนตงฉาก (Orthogonal Function) คอ
0
2 2 2sin cos 0T mt dt
Tπ
=∫ สาหรบทกคาของ และ (12.4) m
และ
0
2 2 2 2sin sin cos
0 1
T Tnt mt nt mtdt dtT T T
n m
π π=
≠= = ≠
∫ ∫π
(12.5)
คาสมประสทธของสมการ (12.2) หาไดจาก
0
00
1 ( )t T
ta f
T+
= ∫ (12.6) t d
0
00
2 ( )cost T
n ta f t n
Tω
+= ∫ (12.7)
0
00
2 ( )sint T
n tb f t n
Tω
+= ∫ (12.8)
ซงจะไดแสดงใหเหนตอไปวา สมการ (12.6)-(12.8) ไดมาจากการใชความสมพนธตงฉากในสมการ (12.4) และ (12.5) เชน เพอหา เราคณสมการ (12.2) ดวยแลวอนตรเกรททงสองดาน จะได ka
0 001
( )cos cos ( cos sin )cosN T
n0f t k t dt k t dt a n n t k t dtω ω ω ω
=
= + +∑∫ ∫ ∫ (12.9) ω
หาคาดานขวามอของสมการ (12.9) จะไดวาพจนทไมเปนศนยคอ กรณ k ดงนน
00( )cos
2T
kTf t k t dt aω =
∫ (12.10)
ยายขางจะไดสมการ (12.7) ต วอย าง 12.1 จงหาอน กรมฟ เรยรของฟ งก ชนคาบ เรคแทงก ลาร ด งแสดงในรป Ex 12.1 (ก) จากนนเขยนคาประมาณของรปคลนนเมอ 7N = วธทา คาความถเชงมมพนฐานคอ
02Tπω =
336
( )f t
1
-2T -
4T
4T0
2T 3
4T T t
(ก)
-2T
2T0
12
1
t
(ข) รปท Ex 12.1
เราจะหาคาเฉลยของฟงกชนคอ กอน โดยท 0a
0
00
/ 2 / 4
/ 2 / 4
1 ( )
1 1( ) 12
t T
t
T T
T T
a f t dtT
f t dt dtT T
+
− −
=
= =
∫
∫ ∫1
=
เราเลอกอนตรเกรทจาก 2T− ถง 2T เพอความสะดวก และคาของฟงกชนกไมเปนศนยในชวง 4T− ถง 4T เทานน เราเรยกฟงกชนนวาฟงกชนคเนองจาก ( ) ( )f t f t= − หรอมความสมมาตรรอบแกนตงทเวลา ดงนน จากสมการ (12.8) จะได 0t =
0
00
/ 4
0/ 4
2 ( )sin
2 1 sin 0
t T
n t
T
T
b f t n t dT
n t dtT
ω
ω
+
−
= t
= =
∫
∫
337
นนคอสมประสทธ ทงหมดมคาเปนศนย สวนคา หาจากสมการ (12.7) ได nb na
/ 4
0/ 4
/ 4
0 / 40
2 1 cos
2 sin |
T
n T
T
T
a nT
n tT n
ω
ωω
−
−
=
=
∫ t dt
แทนคาชวงเวลาของการอนตรเกรทจะได
1 sin sin2 2nn na
nπ π
π− = −
คาสมประสทธ จะมคาเปนศนยเมอ n เปนเลขค หรอ na 2, 4, 6,n = … และจะมคา
2( 1)qna nπ
−= เมอ 1, 3, 5, n = … และ ( 1)q n 2= −
ดงนนจะไดอนกรมฟเรยร
01,
1 2( 1)( ) cos2
qN
n odd
f t nn
tωπ=
−= + ∑
แทนคา จาก 1 ถง 7 จะได n
1 3 52 2
3 5a a a 2
π π π−
= = = และ 72
7a
π−
=
ซงจะเหนวาคาสมประสทธ ลดลงเมอคา เพมมากขน หรอมคาขนกบ na n 1 เชนคาสมประสทธของฮาร โมน กท เจ ด จะม ขน าด เพ ย ง
n
1 ของค าส มป ระส ท ธ ม ลฐาน รปท Ex 12.1 (ข ) แสดงคาประมาณของรปคลนนเมอ จะเหนวามคาความแตกตางจากฟงกชนเดมอยางเหนไดชด อยางไรกตามคาประมาณนจะประยกตใชไดในหลายกรณ หากตองการใหใกลเคยงมากขนจะตองเพมพจนฮารโมนกสเขามาอก โดยอาจพจารณาจากคาเปอเซนตของขนาดของฮารโมนกนนตอคาสมประสทธมลฐาน เชน ฮารโมนกทเกาจะมขนาดเพยง
7 1a
7=N
1a
1 หรอ ประมาณ 11 % ของคาสมประสทธมลฐาน a ดงนนหากตองการรวมฮารโมนกสทมขนาดไมนอยกวา 10 % กจะตองรวมฮารโมนกทเกาดวย เปนตน
9 1
12.2 ฟงกชนสมมาตร
ความสมมาตรของฟงกชนสามาตรแบงออกไดเปนสแบบ ซงสามารถนามาใชประกอบทาใหการหาคาสมประสทธของฟเรยรทาไดงายขน
1. ความสมมาตรฟงกชนค (Even-Function Symmetry) 2. ความสมมาตรฟงกชนค (Odd-Function Symmetry) 3. ความสมมาตรครงคลน (Half-Wave Symmetry)
338
4. ความสมมาตรหนงในสคลน (Quarter-Wave Symmetry) ฟงกชนใดๆ จะเปนฟงกชนคเมอ ( ) ( )f t f t= − และฟงกชนจะเปนฟงกชนคเมอ ( ) ( )f t f= − −t
สาหรบฟงกชนค ดงในตวอยาง 12.1 คาสมประสทธ จะมคาเปนศนย และ nb
/ 2
00
4 ( )cosT
na f t nT
ω= ∫ t dt
สาหรบฟงกชนค คาสมประสทธ จะมคาเปนศนย และ na
/ 2
00
4 ( )sinT
nb f t nT
ω= ∫ t dt
ตวอยางฟงกชนคคอ 0sin tω และฟงกชนในรปท 12.1 ฟงกชนใดๆจะมคณสมบตความสมมาตรครงคลนเมอ
( ) ( )2Tf t f t= − −
นนคอฟงกชนเหลานจะมครงหลงของแตละคาบเหมอนครงแรกทถกควากลบบนลงลางและลางขนบน ดงฟงกชนตวอยางในรปท 12.1 เมอฟงกชนมคณสมบตความสมมาตรครงคลนแลวจะไดคาเฉลย a และทงคา a และ b เปนศนยสาหรบ n ทเปนเลขค
0 0=
n n
( )f t
1
-2T -
4T
-1
4T
2T 3
4T T t
รปท 12.1 ตวอยางฟงกชนคทมคณสมบตความสมมาตรครงคลน
คณสมบตความสมมาตรหนงในสคลนจะใชกบฟงกชนทนอกจากจะมคณสมบตความสมมาตรครงคลนแลวยงมความสมมาตรรอบจดกงกลางของครงคลนบวกและครงคลนลบ รปท 12.2 แสดงตวอยางฟงกชนคทมคณสมบตความสมมาตรหนงในสคลนดวย ถาฟงกชนเปนฟงกชนคและมคณสมบตความสมมาตรหนงในสคลนจะได สาหรบทกคาของ และ เปนศนยสาหรบ n ทเปนเลขค สาหรบ ทเปนเลขคจะได
0 0a = 0na = n nb
n
/ 4
00
8 ( )sinT
nb f t nT
ω= ∫ t dt
339
แตถาฟงกชนเปนฟงกชนคและมคณสมบตความสมมาตรหนงในสคลนจะได 0 0a = สาหรบทกคาของ n และ เปนศนยสาหรบ ทเปนเลขค สาหรบ ทเปนเลขคจะได
0nb =
na n n
/ 4
00
8 ( )cosT
na f t nT
ω= ∫ t dt
( )f t
1
-2T -
4T
-1
4T
2T 3
4T T
t3-4T
8T 3
8T
รปท 12.2 ตวอยางฟงกชนคทมคณสมบตความสมมาตรหนงในสคลน
ตาราง 12.1 สรปการหาคาสมประสทธของฟเรยรสาหรบฟงกชนทมคณสมบตความสมมาตรแบบตางๆ
ตาราง 12.1 การหาคาสมประสทธของฟเรยรสาหรบฟงกชนทมคณสมบตความสมมาตร
ความสมมาตร คาสมประสทธของฟเรยร 1. ฟงกชนค ( ) ( )f t f= − −t 0na = สาหรบทกคาของ n
0na = / 2
00
4 ( )sinT
nb f t nT
ω= ∫ t dt 2. ฟงกชนค ( ) ( )f t f t= − 0nb = สาหรบทกคาของ n
0nb = / 2
00
4 ( )cosT
na f t nT
ω= ∫ t dt 3. ครงคลน ( ) ( 2)f t f t T= − −
0 0a = 0 0a = เปนศนยสาหรบ ทเปนเลขค na n
0 0a = เปนศนยสาหรบ n ท เปนเลขค
na nb
/ 2
00
4 ( )cosT
na f t nT
ω= ∫ t dt สาหรบ n ทเปนเลขค / 2
00
4 ( )sinT
nb f t nT
ω= ∫ t dt สาหรบ ทเปนเลขค n
340
ความสมมาตร คาสมประสทธของฟเรยร
4. หนงในสคลน คอมคณสมบตความสมมาตรครงคลนและมความสมมาตรรอบจดกงกลางของครงคลนบวกและครงคลนลบ
(ก) ฟงกชนค 0 0a =
0na = สาหรบทกคาของ nnb เปนศนยสาหรบ ทเปนเลขค n
/ 4
00
8 ( )sinT
nb f t nT
ω= ∫ t dt สาหรบ ทเปนเลขค n
(ข) ฟงกชนค 0 0a =
0nb = สาหรบทกคาของ nna เปนศนยสาหรบ ทเปนเลขค n
/ 4
00
8 ( )cosT
na f t nT
ω= ∫ t dt สาหรบ n ทเปนเลขค ตวอยาง 12.2 จงหาอนกรมฟเรยรของฟงกชนคาบไตรแองกลารดงแสดงในรป Ex 12.2 จากนนหาคาจานวนพจน โดยทคาประมาณของรปคลนนจะรวมพจนทมขนาดมากกวา 2 % ของพจนมลฐาน N
วธทา เราจะใชคณสมบตความสมมาตรชวยในการหาคาสมประสทธใหมากทสด จากรปจะเหนวาฟงกชนมคณสมบตความสมมาตรหนงในสคลน ดงนน จาก 2T π= จะได
02 4Tπω = = rad/s
mf
T
t
mf−
1t
รปท Ex 12.2
ใชตาราง 12.1 หาคาสมประสทธของฟเรยรสาหรบฟงกชนคทมคณสมบตความสมมาตรหนงในสคลน ได สาหรบทกคาของ เปนศนยสาหรบ ทเปนเลขค และ 0 0a = 0na = n nb n
/ 4
00
8 ( )sinT
nb f t nT
ω= ∫ t dt สาหรบ ทเปนเลขค n
เขยนสมการของฟงกชน
341
4( ) 0 / 4/ 4m mf ff t t t t T
T T= = ≤ ≤
แทนคา 2T π= และ จะได 4mf =
32( ) 0 / 4f t t t Tπ
= ≤ ≤
ดงนน สาหรบ n ทเปนเลขค จะได
/ 4
00
/ 4
0 02 2 2
0 0 0
2 2
8 32 sin
512 sin cos
32 sin2
T
n
T
b t n t dT
n t t n tn n
nn
ωπ
ω ωπ ω ω
ππ
=
t
= −
=
∫
จะไดอนกรมฟเรยร
021
1( ) 3.24 sin sin2
N
n
nf tn
π n tω=
= ∑ สาหรบ ทเปนเลขค n
เขยนสพจนแรกทไมเปนศนย คอ จะได 1, 3, 5, 7n =
1 1 1( ) 3.24(sin 4 sin12 sin 20 sin 28 )9 25 49
f t t t t= − + − t
พจนถดไปคอ n จะไดคาขนาด 9= 3.24 81 0.04= ซงนอยกวา 2 % ของ 3.24 ( ) ดงนนเราจะประมาณรปคลนนโดยใช
1a
7N =
12.3 อนกรมฟเรยรในรปเอกโปเนนเทยล
รปแบบของอนกรมฟเรยรในสมการท (12.2) เรยกวารปแบบไซน-โคไซน หรอรปแบบเรกแทงกลาร อกรปแบหนงของอนกรมฟเรยรคอ
01
( ) cos( )N
nn
f t C C n t0 nω θ=
= +∑ + (12.11)
เมอ C คอคาเฉลยของฟงกชน 0 ( )f t มคาเทากบ สวนตวเลขเชงซอน 0a
( )2
n nn n
a jb C nθ−
= = ∠C
โดยท
2 2
2n n
n na b
C+
= =C
342
และ
1
1
tan 0
180 tan 0
nn
nn
nn
n
b aa
b aa
θ
−
−
>
= ° − − <
หรอ
2 cosn na C nθ= และ 2 sinn nb C nθ=
เขยน 0cos( )nn tω θ+ ในรปเอกโปเนนเทยลโดยใชสมการออยเลอร ( cos 1 2( )j je eβ ββ −= + ) และ จะได N = ∞
00
0
( ) jn t jn tn
n nn
f t C e e 0n
ω ω∞ ∞
=−∞ =−∞≠
= + =∑ ∑C C (12.12)
เมอ C คอสมประสทธเชงซอนมคา n
00
0
1 ( ) nt T jn t j
n t nf t e dt C eT
ω θ+ −= ∫C = (12.13)
นอกจากน คาสมประสทธของพจนท เปนลบจะเทากบคอนจเกตของสมประสทธของพจนท n เปนบวก
n*
n n−=C C
ตวอยาง 12.3 จงหาอนกรมฟเรยรเชงซอนของฟงกชนแสดงในรป Ex 12.3
( )f t
T
t
1
-1
8π
−8π0 (s)
รปท Ex 12.3
วธทา จากรปจะไดวาคาเฉลยของ ( )f t เปนศนย ดงนน C0 0= และฟงกชนนเปนฟงกชนค ใชสมการ (12.13) เลอกคา 0 2
Tt = − และนยาม 0jn mω = จะได
343
( )
( )
0/ 2
/ 2
/ 4 / 4 / 2
/ 2 / 4 / 4
/ 4 / 4 / 2/ 2 / 4 / 4
/ 2 / 2
0
1 ( )
1 1 1
| | |
2 2
0 4sin 2sin( )
2 2
T jn tn T
T T Tmt mt mt
T T T
mt T mt T mt TT T T
jn jn jn jn
f t e dtT
Ae dt Ae dt Ae dtT T TA e e emTA e e e e
jn T
A n nn
ω
π π π π
ω
π ππ
−
−
− − −
− −
− − − −− −
− −
=
= − + + −
= − +
= − + −
= − =
∫
∫ ∫ ∫
C
−
2 sin
2sin
nA n nn
xAx
ππ
=
for evenfor odd
โดยท 2nx π
= และเนองจาก ( )f t เปนฟงกชนค จะไดวาคาสมประสทธเชงซอน C จะมคาเปนเลขจานวนจรง และ C สาหรบคา n ทเปนเลขค
n
0n =
สาหรบ เราได 1n =
1 1sin / 2 2
/ 2A Aππ π −= =C C=
สาหรบ จะได 2n =
2 2sin 0A ππ −= = =C C
และสาหรบ 3n =
3 3sin(3 / 2) 2
3 / 2 3A Aπ
π π −−
= =C C=
ดงนนอนกรมฟเรยรเชงซอนของฟงกชนนคอ
( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
3 3
3 3
0 0
01
2 2 2 2( )3 3
2 23
4 4cos cos33
4 ( 1) cos
j t j t j t j t
j t j t j t j t
q
nn odd
A A A Af t e e e e
A Ae e e e
A At t
A n tn
ω ω ω ω
ω ω ω ω
π π π π
π π
ω ωπ π
ωπ
− −
− −
∞
==
− −= + + + +
−= + + + +
= − +
−= ∑
… …
…
…
+
344
เมอ 12nq −
= สงเกตวาอนกรมนเรมจาก n = −∞ ถง n = +∞ เราทราบวาคาแรงดนและกระแสทกคาของวงจรใดๆ เปนฟงกชนเลขจานวนจรง สาหรบฟงกชนเลขจานวนจรง ( )f t ใดๆ จะได
n n−=C C ถาเราทราบวาฟงกชนทกาลงพจารณาเปนฟงกชนเลขจานวนจรง เราจะหาคาเฉพาะ n เปนบวกเทานน นอกจากนหากฟงกชนเลขจานวนจรงมคณสมบตเปนฟงกชนคดวย จะไดวาคาสมประสทธเชงซอน
จะมคาเฉพาะสวนจนตภาพเทานน nC
ตวอยาง 12.4 จงหาอนกรมฟเรยรเชงซอนของฟงกชนสเหลยมแสดงในรป Ex 12.4
1
4T0 3
4T
t4T
−
รปท Ex 12.4 วธทา ใชสมการ (12.13) และนยาม 0jn mω = จะได
( )
/ 4
/ 4
/ 4/ 4
/ 4 / 4
1 1
1 |
1
T mtn T
mt TT
mT mT
e dtT
emT
e emT
−
−
−−
− +
=
=−
= −−
∫C
แทนคา 0m jnω= จะได
( )/ 2 / 2
( 1) / 2
12
0 even, 0( 1) odd
jn jnn
n
e ejn
n nn
π π
π− +
−
= −−
≠= −
C
หาคาเฉลย
0 0
/ 4
/ 4
1 ( )
1 112
T
T
T
C f tT
dtT −
= dt
= =
∫
∫
345
12.4 ฟเรยรสเปคตรม ถาเราเขยนกราฟของคาสมประสทธเชงซอน เทยบกบความถเชงมม nC ω เราจะไดฟเรยรสเปคต
รม (Fourier Spectrum) เนองจาก C อาจเปนจานวนเชงซอนดงนนจะเขยน n
n n nθ= ∠C C และเราจะแยกเขยนกราฟของขนาด nC เทยบกบความถเชงมม ω เรยกวาสเปคตรมขนาด (Amplitude Spectrum) และเขยนกราฟของมมเฟส nθ∠ เทยบกบความถเชงมม ω เรยกวา สเปคตรมเฟส (Phase Spectrum) ฟเรยรสเปคตรมจะมอยทคาความถมลฐานและฮารโมนกสเทานนจงถกเรยกวาเปนดสครต (Discrete) หรอเปนเสนสเปคตรม (Line Spectrum) กราฟของวาสเปคตรมขนาดจะปรากฏเปนเสนในแนวตงทอยหางกนเปนคาสมาเสมอ โดยมความสงตามคาขนาดขององคประกอบความถนน ในทานองเดยวกนสเปคตรมเฟสกจะปรากฏเปนเสนในแนวตงทอยหางกนเปนคาสมาเสมอ โดยมความสงตามคาเฟสขององคประกอบความถนน คาวาสเปคตรมถกนามาใชครงแรกโดยนวตนในการศกษาการแยกแสงออกเปนองคประกอบทความถตางๆของปรซม
δ
t2δT−
A
T2δ
−0
รปท 12.3 รปคลนพลสซงมความกวางพลส δ
พจารณารปคลนพลสซงมความกวางพลส δ มอตราการซาทกๆ T ดงแสดงในรปท 12.3 เราจะหาคาสมประสทธเชงซอน และเขยนกราฟสเปคตรมขนาดและสเปคตรมเฟสของรปคลนน เรมจากคาสมประสทธเชงซอน
s
nC
0/ 2
/ 2
1 T jn tn T
Ae dtT
ω−
−= ∫C
สาหรบ จะได 0n ≠
346
( )
0
0 0
/ 2
/ 2
/ 2 / 2
0
0
0
2 sin2
jn tn
jn jn
A e dtTA e e
jn TA n
n T
δ ω
δ
ω δ ω δ
ωω δ
ω
−
−
−
=
−= −
=
∫C
หรอเขยนใหมในรป
0
0
sin( / 2)( / 2)
sin
nA nT nA xT x
δ ω δω δ
δ
=
=
C
โดยท 0 / 2x nω δ= เมอ n เราได 0=
/ 2
0 / 2
1 AAdtT T
δ
δ
δ−
= =∫C
จากกฎของโลปธาล ( ) เราทราบวา ˆ' 'L Hopital s Rule
sin 1 for 0
ˆ' ' sin( ) 0 1, 2, 3,
x xxL Hopital s Rulen nnπ
π
= = = =
…
เราเขยนกราฟขนาด nC เทยบกบความถเชงมม 0nω ω= สาหรบคา ในรปท 12.4 (ก) เทยบกบกรอบของฟงกชน
15n = ±
sin x x สงเกตวา 0n =C เมอ n n0 / 2ω δ π= หรอ
22Tπδ π=
ในกรณน 1 5Tδ = ดงนน 0n =C เมอ 05ω ω= 010ω ω= ไปเรอยๆ ถาคาอตราสวน Tδ ไมเปนเลขจานวนตม จะไดวาขนาด nC ยงคงอยในกรอบฟงกชน sin x x แตจะไมมคาเสน สเปคตรมใดเปนศนยเลย กราฟสเปคตรมเฟสสามารถเขยนได ดงแสดงในรปท 12.4 (ข) ซงจะเหนวาในชวงความถ
0 2ω ω π≤ ≤ δ มมเฟสมคาเปนศนย สวนในชวง 2 4π δ ω π δ≤ ≤ มมเฟสมคาเปน π เรเดยน พจารณาในกรณทเราคงคาความกวางของพลส δ แตปรบคาคาบ T เมอคาคาบเพมขนจะไดวา
1. ขนาดของสเปคตรมจะลดลง คอจะแปรกบ 1 โดยไมเปลยนรปราง ซงหมายความวารปรางของสเปคตรมจะไมขนอยกบคาบ
T
2. คาระยะหางของเสนสเปคตรม ω∆ จะลดลงคอแปรตาม 2 Tπ
347
2- πδ
4- πδ
6- πδ
2πδ
4πδ
6πδ
2- πδ
4- πδ
6- πδ
0ω
ω
θ
nCATδ sin x
x
)
รปท 12.4 (ก) กราฟสเปคตรมขนาด nC เทยแตในกรณทเราคงคาคาบไวและเปลยนค
จะไดวาเมอคาความกวางของพลสเพมขน 1. ขนาดของสเปคตรมจะเพมขน คอจะแปรก
เปคตรมจะไมขนอยกบความกวางของพล2. คาระยะหางของเสนสเปคตรม ω∆ จะล
ในชวงความถทแคบลง วธวดการกระจาความถซงขนาดมคาเปนศนยครงแรก
12.5 อนกรมฟเรยรทมจานวนพจนจ
ในทางปฏบตการแทนฟงกชนดวยอนกรมคอเราจะใชจานวนพจนจานวนจากดในอนกรมฟจากผลรวม พจน N
( )N
n N
f t=−
≅ ∑
(ก
2πδ
4πδ
6πδ
0ω
(ข)
บกบความถเชงมม 0nω ω= (ข) กราฟสเปคตรมเฟส าความกวางของพลสแทน โดยทมขอจากดวา 2Tδ <
บ δ โดยไมเปลยนรปราง ซงหมายความวารปรางของสสเชนเดยวกน ดลงคอองคประกอบความถตางๆ จะถกบบใหปรากฏอยยขององคประกอบความถอยางงายวธหนงคอการดคา
ากด ฟเรยร เราจะตองตดบางองคประกอบความถทงไป นนเรยร ดงนนคาฟงกชน ( )f t จะถกแทนดวยคาประมาณ
0 ( )jn tn Ne Sω =C t (12.14)
348
คาผดพลาดสาหรบ พจนคอ N
( ) ( ) ( )Nt f t S tε = − (12.15)
ถาเราใชคาผดพลาดเฉลยกาลงสอง (Mean-Square Error, MSE) ตามนยาม
2
0
1 ( )T
MSE t dtT
ε= ∫ (12.16)
จะไดวาคาผดพลาดเฉลยกาลงสองจะมคานอยทสดเมอเราแทนฟงกชนดวยอนกรมฟเรยร อยางไรกตามเมอเราตดบางพจนออก คอเมอ N < ∞ จะเกดคาผดพลาดขน เชนถา จะไดรปคลนสเหลยมในรปท 12.5 ซงจะเหนไดวาเกดความผดพลาดในลกษณะออสซลเลทขน และมคาพงเกน (Overshoot) เกดขนทตาแหนงทมความไมตอเนองของฟงกชน นกคณตศาสตรชาวอเมรกนคอ กบบสไดศกษาปรากฎการณนและสรปไววา คาพงเกนจะคงคาทประมาณ 10 % ไมวาจานวนพจน จะเปนเทาไร คณสมบตนเรยกวา ปรากฎการณของกบบส (Gibbs Phenomenon)
15N =
N
( )f t15N =
t
Gibbs Phenomenon
รปท 12.5 รปคลนสเหลยมแทนดวยอนกรมฟเรยรทมคา 15N =
12.6 การประยกตใชอนกรมฟเรยรในวงจรไฟฟา ในการวเคราะหวงจรทถกกระตนดวยสญญาณฟงกชนคาบ เราสามารถแทน v t ดวย
อนกรมฟเรยร แลวหาผลตอบสนองของวงจรตอสญญาณมลฐานและฮารโมนกสตางๆ ถาวงจรเปนวงจรเชง( )sv t ( )s
349
เสนซงสามารถใชหลกการทบซอนได เราจะไดผลตอบสนองสทธคอผลรวมของผลตอบสนองตอ คาเฉลย (หรอคาพจนกระแสตรง) สญญาณมลฐานและฮารโมนกแตละฮารโมนก
( )sv t
R
( )ov t+
-
(ก)
0 ( )sv t
(ข)
R
( )ov t+
-
1( )sv t
3 ( )sv t
5 ( )sv t
รปท 12.6 (ก) วงจร RC ถกกระตนดวยแหลงจาย v t ( )s
(ข) วงจรสมมลของแหลงจายแทนโดยสพจนแรกของอนกรมฟเรยร พจารณาตวอยางวงจร RC ในรปท 12.6 (ก) เราตองการหาคาผลตอบสนองในสภาวะคงตวคอแรง
ดนออก v ซงจะทาไดโดยการแตกแหลงจาย ออกเปนสวนยอยโดยใชอนกรมฟเรยร กาหนด ( )o t ( )sv t
1 R = Ω F และ C = 2 T π= s จะไดจากตวอยาง 12.1 วา
01,
1 2( 1)( ) cos2
qN
sn odd
v t n tn
ωπ=
−≅ + ∑
เมอ และ 1, 2, 3, n = … ( 1)q n= − 2 จากคา 0 2ω = rad/s จะไดสพจนแรกของ v 0 1 3 5( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s s s st v t v t v t v t= + + + ได
0 1 3 5
1 2 2 2( ) cos2 cos6 cos102 3 5( ) ( ) ( ) ( )
sv t t t t
v t v t v t v ts s s s
π π π≅ + − +
รปท 12.6 (ข) แสดงการใชหลกการซปเปอรโพสชนในตวอยางน ซงจากการเขยนแหลงจาย เปนแหลงจายสแหลงจายตออนกรมกน ทาใหสามารถแยกวงจรเปนสวงจรยอยซงสามารถทาการวเคราะห
( )sv t
350
ไดโดยอาศยเฟสเซอรทความถนน ดงแสดงในรปท 12.6 (ค) โดยอาศยหลกการซปเปอรโพสชน ผลตอบสนองสทธจะไดจากการรวมผลตอบสนองจากวงจรยอยทงส
0 1 3 5( ) ( ) ( ) ( ) ( )o o o o ov t v t v t v t v t= + + +
(ค)
1( )sv t
R
C 1( )ov t+
-
5 ( )sv t
R
C 5 ( )ov t+
-
(ง)
R
+
-0
15j Cω
1SV
5SV 5OV
R
+
-0SV 0OV0 ( )sv t
R
C 0 ( )ov t+
-
R
0
1j Cω
+
-1OV
R
0
13j Cω
+
-3SV 3OV
3 ( )sv t
R
C 3 ( )ov t+
-
รปท 12.6 (ค) ใชหลกการซปเปอรโพสชนพจารณาแตละแหลงจายแยกกน
(ง) ใชเฟสเซอรในการหาผลตอบสนองของแตละแหลงจาย
ในรปท 12.6 (ง) จะเปนวงจรยอยทงสในโดเมนเวลา โดยทคาอมพแดนซของตวเกบประจคอ
0
1C jn Cω=Z สาหรบ n 0,1, 3, 5,= …
แตละวงจรยอยจะตรงกบคา แตละคา สงเกตวาเมอ nn 0= จะได C = ∞Z ตวเกบประจจะถกแทนดวยเปดวงจร คาเฟสเซอรของแรงดนออกไดจากการแบงแรงดน
351
0
0
1
1on snjn C
Rjn C
ω
ω
=+
V V สาหรบ n 0,1, 3, 5,= …
เมอ คอเฟสเซอรของ v และ onV ( )on t snV คอเฟสเซอรของ v ( )sn t
01
snon jn CRω=
+VV สาหรบ 0,1, 3, 5,n = …
แทนคา 0 4CRω = จะได
1 4
snon j n=
+VV สาหรบ 0,1, 3, 5,n = …
เขยนผลตอบสนองในโดเมนเวลาไดดงน
0
102
( ) cos(
cos( tan 4 )1 16
on on on
snsn
v t n t
n t nn
ω
ω −
= +∠
= +∠ −+
V V
VV
ในตวอยางน
012
2 1, 3, 5
0 0,1, 3, 5
s
sn
sn
nn
nπ
=
= =
∠ = =
V
V
V
ดงนน
0
1
2
1( )2
2( ) cos( 2 tan 4 ) 1,3,51 16
o
on
v t
v t n t n nn nπ
−
=
= −+
=
แทนคา จะได n
1
3
5
( ) 0.154cos(2 76 )( ) 0.018cos(6 85 )( ) 0.006cos(10 87 )
o
o
o
v t tv t tv t t
= − °= −= −
°°
และสดทายจะไดผลตอบสนองของวงจรเรมตนในรปท 12.6 (ก) จากการรวมผลตอบสนองของ วงจรยอยสวงจร
1( ) 0.154cos(2 76 ) 0.018cos(6 85 ) 0.006cos(10 87 )2ov t t t t= + − ° + − ° + − °
352
ควรสงเกตวาเรารวมผลตอบสนองในโดเมนเวลา เนองจากจะไมมความหมายทจะทาการรวมผลเฟสเซอรทมความถตางกน
12.7 แบบฝกหดทายบท
1. จงหาอนกรมฟเรยรในรปตรโกณของฟงกชน ( ) sinf t A tω= 2. จงหาอนกรมฟเรยรในรปตรโกณของฟงกชน ( )f t ดงแสดงในรป P12.2
( )f t
t
π
π−
-2π π π 2π
รปท P12.2
3. จงหาอนกรมฟเรยรในรปเอกโปเนนเทยลของฟงกชน ( )f t ดงแสดงในรป P12.3
( )f t
1
-1
t1 2 3 4 5-1-2-3 (s)
รปท P12.3
4. จงหาอนกรมฟเรยรในรปตรโกณของฟงกชน ( )f t ดงแสดงในรป P12.4 แลวเขยนฟเรยรสเปคตรม
ทงขนาดละเฟสของสพจนแรก
353
( )f t
t0
2T
−
2A
2T
-2A
รปท P12.4
5. เมอปอนแหลงจายแรงดนรปคลนสเหลยมดงแสดงในรป P12.5 (ก) ใหกบวงจร RL ในรป P12.5 (ข) จงใชการแทนฟงกชนดวยอนกรมฟเรยรในการหาคากระแส i t ( )
10
2π π t
( )sv t
32π
2π
−
(ก)
4 Ωsv0t =
i
(ข)
2 H
(s)
รปท P12.5