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caderno do
volume 1 - 2009
PROFESSOR
mat
Emát
ica
ensino médio
2ª- SÉRiE
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio - 2a série, volume 1 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-187-1
1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
CDU: 373.5:51
S239c
GovernadorJosé Serra
Vice-GovernadorAlberto Goldman
Secretária da EducaçãoMaria Helena Guimarães de Castro
Secretária-AdjuntaIara Gloria Areias Prado
Chefe de GabineteFernando Padula
Coordenadora de Estudos e NormasPedagógicasValéria de Souza
Coordenador de Ensino da RegiãoMetropolitana da Grande São PauloJosé Benedito de Oliveira
Coordenadora de Ensino do InteriorAparecida Edna de Matos
Presidente da Fundação para oDesenvolvimento da Educação – FDEFábio Bonini Simões de Lima
Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos ProfessoresGhisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume
Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli
Caderno do GestorLino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico)
APOIOFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação
CTP, Impressão e AcabamentoImprensa Oficial do Estado de São Paulo
EXECUÇÃO
Coordenação GeralMaria Inês Fini
ConcepçãoGuiomar Namo de MelloLino de MacedoLuis Carlos de MenezesMaria Inês FiniRuy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação:Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TéCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
Prezado(a) professor(a),
Dando continuidade ao trabalho iniciado em 2008 para atender a uma das
prioridades da área de Educação neste governo – o ensino de qualidade –, enca-
minhamos a você o material preparado para o ano letivo de 2009.
As orientações aqui contidas incorporaram as sugestões e ajustes sugeridos
pelos professores, advindos da experiência e da implementação da nova pro-
posta em sala de aula no ano passado.
Reafirmamos a importância de seu trabalho. O alcance desta meta é concre-
tizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e pelos alunos.
O Caderno do Professor foi elaborado por competentes especialistas na área
de Educação. Com o conteúdo organizado por disciplina, oferece orientação
para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas.
Esperamos que você aproveite e implemente as orientações didático-peda-
gógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer dúvidas ou
dificuldades, assim como para promover ajustes ou adaptações que aumentem
a eficácia deste trabalho.
Aqui está nosso novo desafio. Com determinação e competência, certamen-
te iremos vencê-lo!
Contamos com você.
Maria Helena Guimarães de CastroSecretária da Educação do Estado de São Paulo
SuMário
São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado 5
Ficha do Caderno 7
orientação geral sobre os Cadernos 8
Situações de Aprendizagem 12
Situação de Aprendizagem 1 – O reconhecimento da periodicidade 12
Situação de Aprendizagem 2 – A periodicidade e o modelo da circunferência trigonométrica 20
Situação de Aprendizagem 3 – Gráficos de funções periódicas envolvendo senos e cossenos 35
Situação de Aprendizagem 4 – Equações trigonométricas 49
Orientações para Recuperação 56
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 58
Considerações finais 59
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 60
5
São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA CurriCulAr PArA o EStAdo
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do
Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fun-
damental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão
também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas
durante a primeira fase de implantação da proposta.
Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida
das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto
na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e suges-
tões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam
ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los.
A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição.
Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de sig-
nificados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e
consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o
que estava sendo proposto.
Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para
o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse
processo.
Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação
da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único,
gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes.
Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no
contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia
escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da
aprendizagem e de seus resultados.
6
Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva,
na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, reve-
lando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas
e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Edu-
cação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e
recursos didáticos.
Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de
São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das
ações propostas para a construção de uma escola melhor.
O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que
acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a
em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será
apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi
alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos
Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados.
Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para
que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo
este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que
pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade
a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever
esse sucesso, que também é de vocês.
Bom ano letivo de trabalho a todos!
Maria inês FiniCoordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
7
FiCHA do CAdErno
trigonometria
nome da disciplina: Matemática
área: Matemática
Etapa da educação básica: Ensino Médio
Série: 2ª-
Período letivo: 1º- bimestre de 2009
temas e conteúdos: O modelo da circunferência trigonométrica e
os fenômenos periódicos
Arcos e ângulos: graus e radianos; as funções
seno e cosseno: gráficos e elementos
Equações e inequações trigonométricas:
resolução gráfica e resolução algébrica
8
oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS
Os temas escolhidos para compor o conteú-
do disciplinar de cada bimestre não se afastam,
de maneira geral, do que é usualmente ensina-
do nas escolas, ou do que é apresentado pe-
los livros didáticos. As inovações pretendidas
referem-se à forma de enfoque destes temas,
sugerida ao longo dos Cadernos de cada um
dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evi-
denciar os princípios norteadores do presente
currículo, destacando-se a contextualização
dos conteúdos, as competências pessoais envol-
vidas, especialmente as relacionadas à leitura e
à escrita matemática, bem como os elementos
culturais internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão
organizados em oito unidades de extensões
aproximadamente iguais, que podem cor-
responder a oito semanas de trabalho letivo.
De acordo com o número de aulas disponíveis
por semana, o professor vai poder explorar cada
assunto com mais ou menos profundidade, ou
seja, escolherá uma escala adequada para tra-
tar do tema. A critério do professor, em cada
situação específica, o tema correspondente a
uma das unidades pode ser estendido para mais
de uma semana, enquanto o de outra unidade
pode ser tratado de modo mais simplificado.
É desejável que o professor contemple todas
as oito unidades, uma vez que, juntas, com-
põem o panorama dos conteúdos do bimestre,
e, muitas vezes, uma das unidades contribui
para a compreensão das outras. Insistimos, en-
tretanto, no fato de que somente o professor,
com base nas particularidades que conhece, e
levando em consideração seu interesse e o dos
alunos pelos temas apresentados, pode deter-
minar com adequação o tempo ideal a ser de-
dicado a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresen-
tadas, além de uma visão panorâmica do
conteúdo do bimestre, quatro Situações de
Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem
ilustrar a forma de abordagem sugerida, ins-
trumentando o professor para sua ação na
sala de aula. As atividades são independen-
tes e podem ser exploradas pelos professores
com mais ou menos intensidade, conforme
seu interesse e de sua classe. Naturalmen-
te, em razão das limitações no espaço dos
Cadernos, nem todas as unidades foram
contempladas com Situações de Aprendiza-
gem, mas a expectativa é de que a forma de
abordagem dos temas seja explicitada nas
atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Cader-
no, sempre que possível, materiais disponíveis
(textos, softwares, sites e vídeos, entre outros)
em sintonia com a forma de abordagem pro-
posta, que podem ser utilizados pelo professor
para o enriquecimento de suas aulas.
O Caderno é ainda composto de algumas
considerações sobre a avaliação a ser rea-
lizada, bem como o conteúdo considerado
indispensável ao desenvolvimento das com-
petências esperadas no presente bimestre.
9
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
Conteúdos básicos do bimestre
O estudo da Trigonometria, ao relacionar
esses eixos, permite que sejam associadas en-
tre si relevantes ideias matemáticas. No caso
da Geometria e Medidas, o elemento nortea-
dor de todo o trabalho é a proporcionalidade,
enquanto os conceitos pertinentes ao segun-
do eixo, Números e Funções, têm por detrás
de si a ideia fundamental da periodicidade de
determinados fenômenos, e a possibilidade de
modelá-los, isto é, representá-los por intermé-
dio de uma equação matemática.
A ideia da proporcionalidade está pre-
sente no estudo das relações métricas en-
tre lados do triângulo retângulo e a noção
de semelhança, base para a aplicação das
razões trigonométricas seno, cosseno e tan-
gente. Assim, o início dos trabalhos do bi-
mestre inclui a avaliação do conhecimento
que os alunos desenvolveram anteriormente
sobre tais conceitos. Caso o professor iden-
tifique que as razões trigonométricas não
foram apresentadas aos alunos na 8ª- série
do Ensino Fundamental e na 1ª- série do
Ensino Médio, conforme previsto na pre-
sente Proposta Curricular, será deter-
minante que esse trabalho inicial não se
restrinja à retomada de conceitos deman-
dando, dessa forma, maior atenção do pro-
fessor. É fundamental que, para o início do
Geometria e Medidas Trigonometria Números e Funções
estudo das funções trigonométricas, a base
conceitual da proporcionalidade esteja ra-
zoavelmente consolidada.
Para estudar a periodicidade observada
em enorme gama de fenômenos naturais
foi preciso criar um modelo matemático. O
que melhor se aplica, nesse caso, é o mode-
lo em que um ponto gira em torno de uma
circunferência. A percepção de que um mo-
delo tão simples como esse permite traduzir
por equações matemáticas o comportamento
de diversos tipos de grandezas, amplia e dá
movimento à ideia da regularidade, da repe-
tição de um determinado padrão. As funções
trigonométricas, nesse contexto, podem ser
apresentadas aos alunos a partir de experi-
mentos reais ou de pensamento, para que
eles, além da motivação intrínseca e desejada,
percebam a necessidade do estudo que ora
se inicia. A Situação de Aprendizagem 1 – o reconhecimento da periodicidade contém pro-
posta de duas situações – O movimento apa-
rente do Sol e o comprimento das sombras,
e As sombras longas –, nas quais os alunos
são convidados, inicialmente, a reconhecer a
regularidade dos fenômenos envolvidos e, em
uma etapa posterior, a representar a variação
periódica observada por intermédio de um
gráfico cartesiano.
A Trigonometria, conteúdo propos-
to para ser desenvolvido no 1º- bimes-
tre da 2ª- série, apresenta a importante
característica de estabelecer ligação entre o
eixo Geometria e Medidas e o eixo Número
e Funções.
10
Um ponto girando em torno de uma cir-
cunferência é o modelo ideal para analisar a
periodicidade de determinados fenômenos e
para expressá-la por intermédio de equações
matemáticas. Esse modelo, portanto, precisa
ser compreendido com clareza pelos alunos a
fim de que eles possam ser apresentados, sem
sobressaltos, às funções trigonométricas. Uma
das possibilidades para a introdução do mode-
lo consiste em associar o movimento do ponto
que gira em torno da circunferência a algum fe-
nômeno periódico de fácil identificação, como,
por exemplo, o movimento aparente do Sol du-
rante a passagem dos dias. Essa foi a as sociação
escolhida para a proposição da Situação de Aprendizagem 2 – A periodicidade e o modelo da circunferência trigonométrica, cuja realiza-
ção, espera-se, permitirá que o aluno, por um
lado, relacione as razões trigonométricas do
triângulo retângulo às medidas das projeções
do ponto sobre os eixos coordenados, e, por
outro, que perceba a possibilidade de esboçar
situações reais por meio de equações que en-
volvam senos ou cossenos. Ainda na Situação
de Aprendizagem 2, destacamos a importân-
cia de os alunos navegarem com desenvoltura
pela circunferência trigonométrica, ao iden-
tificarem extremidades finais de arcos com
medidas entre 0º e 360º, exprimindo-as inicial-
mente em graus e posteriormente em radianos
e que, além disso, associem arcos de medidas
maiores que 360º aos côngruos na primeira
determinação positiva.
Uma das formas de tratamento dos conteú-
dos da trigonometria, normalmente adotado,
envolve a apresentação dos gráficos das fun-
ções y = senx e y = cosx apenas após o estudo
das equações, inequações e das relações entre
as funções. Entendemos que essa maneira de
conduzir o estudo restringe a possibilidade de
se agregar significados conceituais, uma vez
que as equações e as inequações são apresen-
tadas e resolvidas de forma descontextualiza-
da, não associadas a grandezas de natureza
conhecida dos alunos. A proposta de se reali-
zar o estudo das funções concomitantemente
ao dos demais conceitos permite associações
explícitas entre a periodicidade observada e
o modelo matemático escolhido, de maneira
que o estudo pode desenvolver-se sobre con-
textos significativos para os alunos. Por isso,
já na Situação de Aprendizagem 2 propomos
que, simultaneamente à apresentação do seno
e do cosseno de arcos medidos sobre a cir-
cunferência trigonométrica, os alunos sejam
convidados a construir os gráficos cartesianos
das funções y = senx e y = cosx. Não se trata,
porém, de se deter em demasia sobre a aná-
lise dos gráficos neste momento, visto que o
objetivo principal é que os alunos percebam
que o formato da “onda” desenhada reflete a
periodicidade de diversos fenômenos.
A Situação de Aprendizagem 3 – Gráfi-cos das funções periódicas envolvendo senos e cossenos vai permitir aos alunos que re-
conheçam as características dos gráficos das
funções y = senx e y = cosx e também que
avaliem as transformações sofridas pelos
gráficos com a inclusão de constantes nas
equações. Em outras palavras, após a apli-
cação da atividade, espera-se que os alunos
identifiquem as principais características dos
gráficos de funções do tipo y = C + A.senb.x
ou y = C + A.cosb.x.
11
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
Quadro geral de conteúdos do 1o- bimestre da 2a- série do Ensino Médio
A resolução de equações do tipo sen(ax) = m
ou cos(bx) = n é um procedimento esperado
dos alunos, uma vez que exige conhecimentos
que devem ser construídos nesta etapa de es-
tudo. A importância dos conceitos trigonomé-
tricos justifica a sua abordagem em diferentes
contextos, com distintos significados. Alguns
desses contextos foram adotados na elabora-
ção da Situação de Aprendizagem 4 – Equações trigonométricas, na qual os alunos vão entrar
em contato com situações reais que implicam
a resolução de equações trigonométricas.
Para uma determinada função f(x), pode ou
não ser possível estabelecer a relação f(x + b) =
f(x) + f(b). As funções de 1º- grau, por exem-
plo, obedecem a essa relação, enquanto as de
2º- grau, não. Nas funções trigonométricas, es-
pecialmente, essa relação não pode ser aplica-
da, embora os alunos normalmente o façam.
Dessa forma, é necessário dedicar períodos de
aula para a apresentação do cálculo de senos
e/ou de cossenos de soma de arcos, o que fica
a cargo do professor definir a escala que julgar
adequada à condução dessa atividade.
A organização do trabalho com os con-
teúdos de trigonometria, sob o foco da pe-
riodicidade descrito anteriormente, pode ser
realizada com base nas seguintes oito unidades,
cor respondendo, aproximadamente, a oito se-
manas de aula.
unidade 1 – Reconhecimento e registro da periodicidade.
unidade 2 – O modelo da circunferência trigonométrica com as medições de senos e de cossenos de arcos de 0º a 360º; arcos côngruos; arcos notáveis e sime-trias na circunferência.
unidade 3 – Funções trigonométricas: os gráficos das funções y = senx e y = cosx; graus e radianos; senos e cossenos de arcos medidos em radianos.
unidade 4 – Equações e inequações do tipo senx = m ou cosx = k.
unidade 5 – Funções trigonométricas: grá-ficos de funções do tipo y = C + AsenBx ou y = C + AcosBx.
unidade 6 – Equações e inequações do tipo C + AsenBx = m ou C + AcosBx = k.
unidade 7 – Funções trigonométricas: tangente e cotangente na circunferência. Gráficos de y = tgx e de y = cotgx. Equações do tipo tgx = m ou cotgx = k.
unidade 8 – Adição de arcos e algumas relações entre as funções trigonométricas.
12
SituAçõES dE APrEndizAGEM
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1 O RECONHECIMENTO DA PERIODICIDADE
roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1
Funções são, em qualquer instância, ma-
neiras que encontramos para demonstrar a de-
pendência entre grandezas. No Ensino Médio
o eixo de conteúdos que engloba Números
e Funções é um dos mais importantes e am-
plia, sobremaneira, os estudos realizados nas
etapas anteriores da escolaridade dos alunos.
A partir dessa premissa, vale refletir sobre
quais são os tipos de funções estudados no
Ensino Médio, além de identificar os signifi-
cados que normalmente lhes são associados.
O primeiro grupo de funções com o qual os
alunos tomam contato no Ensino Médio é o das
funções polinomiais. Ao começar pelas funções
de 1º- grau, o estudo prossegue, ainda nas séries
iniciais, com a função do 2º- grau, para, ao fim da
3ª- série do Ensino Médio, complementar-se com
a apresentação das funções polinomiais de grau
qualquer. Há uma série infindável de situações
possíveis de serem modeladas com funções po-
linomiais de diferentes graus. São comuns, no
início do trabalho com funções, a proposição de
situações aos alunos que exijam, por exemplo, a
análise de como o preço da corrida de táxi depen-
de da quilometragem, ou da verificação de que
a quantidade de calor que um corpo absorve é
em função do aumento de sua temperatura ou,
ainda, o fato de que um corpo em queda livre ao
acelerar aumenta cada vez mais a distância que
percorre a cada segundo sucessivo.
Outro grupo de funções analisado no Ensino
Médio é aquele que discute o crescimento ex-
ponencial de uma grandeza em função da va-
riação de outra. Nesse grupo incluem-se, além
das funções exponenciais propriamente ditas,
as funções logarítmicas. Enquanto as funções
exponenciais tratam dos processos de cresci-
mento ou decrescimentos rápidos, as funções
logarítmicas modelam fenômenos que crescem
ou decrescem de modo mais lento. Processos
de crescimento populacional e também de
tempo previsto: 1 semana.
Conteúdos e temas: fenômenos periódicos; gráficos cartesianos de funções periódicas.
Competências e habilidades: reconhecer a periodicidade presente em alguns fenômenos naturais; representar a periodicidade identificada em situações-problema por intermédio de um gráfico cartesiano.
Estratégias: resolução de situações-problema.
13
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
acumulação financeira constituem contextos
fecundos para a significação de funções desse
grupo, e são, normalmente, apresentados em
inúmeros materiais didáticos. Além disso, os
logaritmos e as exponenciais estão presentes
ainda na determinação da intensidade dos
terremotos, no nível de intensidade sonora,
e também no cálculo da capacidade de arma-
zenagem de informação.
As funções trigonométricas, que constituem
o terceiro grupo das funções estudadas no
Ensino Médio, caracterizam-se por permitir
a modelagem de fenômenos periódicos, isto é,
fenômenos que se repetem, de tempos em
tempos, que mantêm as características de
dependência entre as grandezas envolvidas. A
existência de uma enorme gama de fenômenos
dessa natureza contrasta com a baixa frequên-
cia com que as funções trigonométricas são
contextualizadas nos materiais didáticos. Na
maioria das vezes o tratamento dado aos senos,
cossenos e tangentes fica restrito ao cálculo de
valores para arcos notáveis e seus côngruos, e
para a relação algébrica entre estas funções, sem
que a periodicidade, foco principal do estudo,
seja analisada com a importância merecida.
Ao partir do princípio de que as funções cons-
tituem ferramenta fundamental na análise da
dependência entre grandezas e considerando a
importância que o grupo das funções trigonomé-
tricas desempenha nessa análise, propomos, neste
Caderno, algumas Situações de Aprendizagem que
priorizam, por um lado, o reconhecimento da pe-
riodicidade em uma série de fenômenos naturais
e, por outro, a possibilidade de que equações que
envolvam senos, cossenos e tangentes possam ser
utilizadas para expressar matematicamente a rela-
ção entre as grandezas envolvidas.
Para concluir, a maior motivação pelo es-
tudo das funções trigonométricas deve ser o
reconhecimento de que são necessárias para
a modelagem de fenômenos periódicos. Nesse
sentido, antes da apresentação dos conceitos
propriamente dita, os alunos precisam ser sen-
sibilizados para a observação – real, virtual ou
imaginativa – de uma série de manifestações
naturais de caráter periódico.
As etapas propostas a seguir para esta
Situação de Aprendizagem têm por objetivo
possibilitar aos alunos o reconhecimento da
periodicidade em diferentes contextos não
exigindo, desse modo, nenhum conhecimento
prévio acerca das funções trigonométricas.
o movimento aparente do Sol e o comprimento das sombras
Talvez o mais elementar fenômeno periódi-
co que podemos observar é o movimento apa-
rente do Sol, do nascente ao poente, durante
a passagem dos dias do ano. O registro dessa
periodicidade pode ser realizado por intermé-
dio da medição do comprimento da sombra
de uma estaca fixada verticalmente no solo.
Essa situação pode ter estimulado os seres hu-
manos a elaborar os primeiros calendários e a
reconhecer as estações do ano. O professor po-
derá estimular os alunos a se imaginarem rea-
lizando uma experiência na qual mediriam o
comprimento da sombra da estaca durante a
passagem de um determinado período de tem-
po, como, por exemplo, dois anos. A figura a
seguir ilustra aproximadamente esta situação.
14
Sabemos que o percurso do Sol durante o
inverno é mais inclinado em relação à linha
zenital1 que o percurso similar realizado duran-
te o verão. O comprimento da sombra da estaca
em um determinado horário do dia, ao meio-
dia, por exemplo, varia durante o ano desde
um valor mínimo até um máximo, correspon-
dendo às datas que marcam, respectivamente,
o início do inverno (21 de junho) e o do verão
zênite
caminho doSol no inverno
caminho doSol no verão
VERÃO
sombramínima
(solstício
de verão)
sombra máxima
(solstício de inverno)
1 zênite: o ponto em que a vertical de um lugar encontra a esfera celeste acima do horizonte.
(22 de dezembro), denominados solstícios. A proposta a ser feita aos alunos é a seguinte:
Atividade 1
Imagine o acompanhar do comprimento
da sombra da estaca durante dois anos, e que
tais comprimentos tenham sido registrados
em uma tabela. A tarefa agora será imaginar
como seria o formato de um gráfico que repre-
sentasse o comprimento da estaca em função
da passagem dos dias do ano, e desenhar o
que se pensou sobre essa situação.
A discussão sobre os resultados da ativida-
de deverá servir para que os alunos reconhe-
çam que a periodicidade pode ser traduzida
por um gráfico cujo formato é, por enquanto,
aproximadamente o de uma onda. Assim, es-
tudar movimentos periódicos pode significar
estudar as ondas e as funções matemáticas a
elas associadas. A seguir, são apresentadas
algumas soluções propostas por alunos da
2ª- série do Ensino Médio para esta atividade:
tam
anho
da
som
bra
(cm
)
15
verão(1º- ano)
verão(2º- ano)
outono(1º- ano)
outono(2º- ano)
inverno(1º- ano)
inverno(2º- ano)
primavera(1º- ano)
primavera(2º- ano)
30
45
60
Gráfico do tamanho da sombra da estação em função das estações do ano
15
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
A observação dos gráficos desenhados pode
ser acompanhada pela seguinte questão, talvez
a principal de todo o estudo sobre fenômenos
periódicos, a ser proposta pelo professor:
Como podemos traduzir este tipo de gráfico
por uma equação matemática?
A busca da resposta a essa questão nor-
teará todo o estudo da trigonométrica. Es-
pera-se que as questões apresentadas nessa
primeira atividade sejam desafiadoras aos
alunos e motivadoras no estudo dos con-
ceitos trigonométricos de forma que, no fu-
turo, os alunos possam se envolver com um
Gráfico do tamanho da sombra da estação em função das estações do ano
processo completo de modelagem de um fe-
nômeno natural, conforme discutiremos na
Situação de Aprendizagem 4.
O professor pode comentar com os alu-
nos que as “ondas” desenhadas são formas
de gráficos que podem estar associadas tan-
to a função denominada seno como a função
chamada cosseno. Além disso, tais funções
estão respectivamente relacionadas com as
razões trigonométricas seno ou cosseno que
foram estudadas nas séries anteriores, e es-
tas poderão ser reconhecidas por meio do
estudo que se inicia.
O professor vai poder aproveitar os grá-
ficos desenhados pelos alunos para iniciar a identificação de conceitos importantes, as-
sociados à periodicidade da onda. Trata-se
dos conceitos de período (ou comprimento
de onda) e de amplitude. O professor poderá
solicitar a cada aluno que os identifique no
gráfico que desenhou, como destacamos no
exemplo a seguir.
tam
anho
da
som
bra
(cm
)
15
verão(1º- ano)
verão(2º- ano)
outono(1º- ano)
outono(2º- ano)
inverno(1º- ano)
inverno(2º- ano)
primavera(1º- ano)
primavera(2º- ano)
30
45
60
Período1 ano
Amplitude
tam
anho
(cm
)
mês
1
2
F A AA AJ JO D F
16
Vale observar que todos os gráficos pro-
duzidos pelos alunos deverão ter o mesmo
período de um ano, uma vez que registram
a mudança das estações do ano. A amplitu-
de, todavia, pode variar de um gráfico para
outro, uma vez que a escala escolhida para a
suposta tomada de medidas não precisou ser
uniformizada. Assim, mais do que determi-
nar um valor para a amplitude e outro para
o período, a importância do trabalho está no
reconhecimento de que é possível associar
parâmetros matemáticos para a descrição da
periodicidade observada nos fenômenos.
Comprimento da sombra diminuindo
As sombras longas
Outra situação utilizada para salientar a ma-
neira pela qual podemos representar graficamen-
te a periodicidade de um fenômeno consiste em
imaginar a observação da sombra da estaca ver-
tical durante alguns dias, e o registro do compri-
mento da sombra em função das horas do dia.
Quando o Sol nasce e lentamente vai se
elevando no horizonte, o comprimento da
sombra da estaca, inicialmente maior, passa a
diminuir até um valor mínimo, atingido, pro-
vavelmente, por volta do meio-dia.
Comprimento da sombra aumentado no sentido oposto ao inicial
No período da tarde a sombra da estaca muda
de lado, e, à medida que o Sol inicia sua “descida”,
o comprimento da sombra aumenta cada vez
mais, até tornar-se novamente incomensurável.
17
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
Após comentar com os alunos a situação
descrita, o professor pode solicitar a seguin-
te atividade:
Atividade 2
Representem em um gráfico cartesiano
a evolução do comprimento da sombra da
estaca durante a passagem de, por exemplo,
3 dias.
Os gráficos produzidos pelos alunos poderão
variar (ver exemplos a seguir), e caberá ao pro-
fessor valorizar e comentar cada um deles, tendo
em vista o objetivo principal da atividade que é o
reconhecimento da possibilidade de representação
cartesiana de fenômenos periódicos. Em todo
caso, vale comentar o fato de que alguns gráficos
apresentarão descontinuidade, aspecto esse que de
fato ocorre em alguns fenômenos periódicos.
18
Após a análise dos gráficos dos alunos, o
professor poderá destacar que o fenômeno ima-
ginado, da evolução do comprimento da sombra
durante vários dias, é normalmente modelado
por uma função denominada tangente (que
pode ser também pela cotangente), que está re-
lacionada à razão trigonométrica tangente (ou
cotangente), estudada anteriormente a partir da
proporcionalidade observada entre as medidas
de triângulos retângulos semelhantes.
Insistimos para que o professor valorize os
gráficos dos alunos e solicite, em cada caso,
que sejam justificados os motivos pelos quais
o gráfico foi desenhado de uma forma e não de
outra. Não haverá necessidade de se escolher
algum tipo de gráfico mais representativo da
atividade, mas, sim, que se perceba a presença
da periodicidade em todos eles.
Assim, como dissemos inicialmente, as
atividades componentes desta Situação de
Aprendizagem têm por objetivo introduzir
a ideia de que é possível modelar matemati-
camente fenômenos periódicos com um tipo
especial de função, denominadas funções tri-
gonométricas, que serão estudadas a seguir.
Caso o professor julgue apropriado deter-se
um pouco mais na identificação do período
e da imagem de uma função trigonométrica,
sugerimos que peça a seus alunos que o façam
nos seguintes gráficos:
y
x0 1
1
2
3
4
2 3 4 5 6 7
0
–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
–6–7
Período = 2; Imagem = {y ∈ R/ –1 ≤ y ≤ 1}; Amplitude = 1
19
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
Período = 2; Imagem = {y ∈ R / –3 ≤ y ≤ 3}; Amplitude = 3
y
x0 1
1
2
3
4
2 3 4 5 6 7
0
–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
–6–7
Período = 4; Imagem = {y ∈ R / –4 ≤ y ≤ 4}; Amplitude = 4y
x
2
4
6
8
10 12 14
0
–2
–2
–4
–4
–6
–6
–8
–8
–10
–10
–12–14 86410
20
Completadas as etapas de reconhecimento da periodicidade, construção dos gráficos, e identificação de alguns elementos importan-tes, encerra-se esta Situação de Aprendiza-gem. Ao dar sequência aos objetivos traçados para todo o Caderno, a próxima Situação de Aprendizagem vai apresentar aos alunos o modelo matemático que permitirá estudar matematicamente a periodicidade. Trata-se da circunferência trigonométrica e das medidas das projeções sobre os sistemas de eixos coor-denados. Acreditamos que a compreensão das características dos arcos e dos valores de suas funções trigonométricas, que os alunos vão encontrar a partir da circunferência trigono-métrica, tornar-se-á eficaz quando tiver sido cumprida com qualidade a etapa de reconhe-cimento da periodicidade, que ora se encerra.
Considerações sobre a avaliação
Esta Situação de Aprendizagem focou
sobre dois objetivos principais. O primeiro
deles diz respeito à sensibilização dos alunos
quanto à observação de fenômenos perió-
dicos próximos de sua realidade; o segundo
refere-se à possibilidade de que fenômenos
periódicos sejam representados por gráficos
cartesianos que possuem, em muitos casos, o
formato de uma onda.
Com relação à avaliação, sugerimos que
o professor considere a realização das ati-
vidades de construção dos gráficos e de
reconhecimento de períodos e amplitudes,
evidenciando principalmente a organiza-
ção da tarefa apresentada.
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2 A PERIODICIDADE E O MODElO DA
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
tempo previsto: 3 semanas.
Conteúdos e temas: fenômenos periódicos; gráficos cartesianos das funções y = senx e y = cosx; medidas de arcos em radianos; correspondência entre radianos e graus; arcos côngruos e me-nor determinação positiva; equações trigonométricas; inequações trigonométricas.
Competências e habilidades: reconhecer a periodicidade presente em alguns fenômenos naturais; representar graficamente fenômenos periódicos por intermédio de gráficos cartesianos; iden-tificar as simetrias presentes na circunferência trigonométrica, utilizando-as para a resolução de situações-problema; localizar na circunferência trigonométrica a extremidade final de arcos dados em graus ou em radianos; resolver equações trigonométricas simples.
Estratégias: resolução de situações-problema contextualizadas.
21
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2
Nesta Situação de Aprendizagem continua-
remos a explorar a ideia do reconhecimento
da periodicidade de alguns fenômenos e a
possibilidade de representá-los graficamente.
A diferença, em relação à Situação de Apren-
dizagem anterior, é que agora serão introduzi-
dos os elementos matemáticos que permitirão
o estudo completo da periodicidade. Para tan-
to, vamos propor uma espécie de transposição
dos experimentos de pensamento realizados
nas atividades anteriores, com o objetivo de
fazer com que os alunos visualizem mais cla-
ramente o modelo da “onda” como uma das
formas possíveis para a representação carte-
siana desejada.
A periodicidade de determinado fenôme-
no pode ser associada ao movimento de um
ponto girando sobre uma circunferência. As
medidas das projeções desse ponto sobre de-
terminados eixos são, como sabemos, valores
de funções trigonométricas associados a arcos
percorridos pelo ponto. É preciso, em nossa
avaliação, que os alunos compreendam clara-
mente os motivos pelos quais apresentamos
a eles a circunferência trigonométrica. Isso
pode ser conseguido se valorizarmos o reco-
nhecimento da periodicidade, em detrimento
da justificativa de podermos calcular senos
e cossenos de ângulos maiores do que 180º.
Afinal, a obtenção de valores de funções tri-
gonométricas para ângulos maiores do que
180º, mais do que ter aplicações na resolução
de triângulos não retângulos, é uma das exi-
gências do estudo da periodicidade.
Por essa razão, propomos nesta Situação
de Aprendizagem um processo de construção do modelo da circunferência trigonométrica
que parte da necessidade de sua criação, por
conta do reconhecimento da periodicidade, e
que prossegue para a identificação das sime-
trias e das características mais importantes
das funções seno e cosseno de arcos de quais-
quer medidas.
Construção do modelo
O modelo do ponto girando em torno de
uma circunferência centrada na origem do sis-
tema cartesiano e a observação das projeções
desse ponto sobre os eixos, como sabemos,
constitui a base do estudo das funções trigono-
métricas seno e cosseno. A fim de que os alunos
formem uma imagem de proximidade entre a
Matemática e o cotidiano, no nível em que se
encontram, pode-se apresentar a eles uma ale-
goria que transporta a ideia de acompanhar o
comprimento da sombra de uma estaca verti-
cal, discutido anteriormente, e o modelo da cir-
cunferência, conforme descrito a seguir.
Imaginemos a sobreposição de um siste-
ma de eixos cartesianos sobre a linha em que
a sombra da estaca “caminha”, de maneira
que a origem do sistema coincida com a ex-
tremidade final do comprimento da sombra
nos equinócios.2
2 Equinócio é o nome que se dá ao dia que marca o início da primavera ou ao dia que marca o início do outono. Segundo o dicionário Michaelis, equinócio refere-se a Cada uma das duas épocas em que o Sol passa pelo Equador, fazendo os dias iguais às noites em todos os países do mundo.
22
zênite
VERÃO
Faixa de varia
ção do
comprim
ento da so
mbra caminho doSol no inverno
caminho doSol no verão
sombramínima
(solstício
de verão)
(solstício de inverno)sombra máxima
Extremidade �nal do
comprim
ento da sombra
nos equinóciosO comprimento dasombra é mínimo
no solstício de verão.
O comprimento dasombra é máximo
no solstício de inverno.
O comprimento dasombra nos equinócios
é considerado nulo.
Fai
xa d
e va
riaç
ão d
oco
mpr
imen
to d
a so
mbr
a
Faixa de variação do comprimento da sombra, observado ao meio-dia durante um ano.
Em seguida, a fim de acompanhar a evolu-
ção do comprimento da sombra de um solstí-
cio a outro, pode-se associar o movimento do
Sol ao movimento de um ponto sobre uma
circunferência centrada no sistema de eixos
cartesianos, de maneira que o comprimento
da sombra seja definido pela distância en-
tre a origem e a projeção do ponto sobre o
eixo vertical.
Comprimento da sombra em um dia entre o equinócio de outono e o solstício de inverno
Sentido do movimento
aparente do Sol
Comprimento da sombra no solstício de inverno
Sentido do movimento
aparente do Sol
Comprimento nulo da sombra no equinóciode primavera
Sentido do movimento
aparente do Sol
Comprimento da sombra em um dia entre o equinócio de primavera e o solstício de verão
Sentido do movimento
aparente do Sol
23
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
vertical, medida em frações do raio da circun-
ferência (R), como nesta atividade:
Atividade 1
Imaginem uma volta completa do Sol sobre a circunferência. Preencham a tabela a seguir associando o ângulo de elevação do Sol (β) em relação ao eixo horizontal com a medida apro-ximada da projeção no eixo vertical.
Compri-mento da sombra no solstício de verão
Sentido do movimento
aparente do Sol
Comprimento da sombra em um dia entre o solstício de verão e o equinócio de outono
Sentido do movimento
aparente do Sol
Assim, uma volta completa do Sol em torno da circunferência corresponderá ao período de um ano, e ao desenhar uma escala sobre o eixo vertical será possível associar ângulos de giro do Sol a medidas de segmentos. Realizada a identificação entre a projeção sobre o eixo vertical e o comprimento da sombra da estaca, o professor poderá pedir que os alunos dese-nhem novamente o gráfico que desenharam na Situação de Aprendizagem anterior, implemen-tando agora uma escala simplificada no eixo
–R
R
0,75R
0,5R
0,25R
–0,25R
–0,75R
–0,5R
Ângulo (°) 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
Projeção (kr)
0 0,5 0,7 0,9 1,0 0,9 0,7 0,5 0 –0,5 –0,7 –0,9 –1,0 –0,9 –0,7 –0,5 0
A segunda linha dessa tabela contém os va-lores da projeção do ponto sobre o eixo orien-tado e dividido em frações de raio, isto é, um número real (k) entre –1 e +1, multiplicado pela medida do raio (R).
–R
R
0,75R
0,5R
β0,25R
–0,25R
–0,75R
–0,5R
Chamamos a atenção do professor para o fato de que os ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º, não pre-cisam ainda ser assinalados com precisão na cir-cunferência, mas será importante que os alunos percebam especialmente os seguintes aspectos:
24
as medidas das projeções verticais serão f
escritas em frações de raio, como, por
exemplo, 0,5 R ou 0,85 R.
os valores das medidas das projeções f
serão aproximados a décimos. Assim,
para 45º os alunos vão poder registrar o
valor correspondente de 0,7, e para 60º,
o valor de 0,9.
a medida do ângulo f não é diretamen-
te proporcional à medida da projeção,
como alguns alunos poderiam supor.
A fim de esclarecer, basta chamar a
atenção para o fato de que a projeção
para 60º não mede o dobro da proje-
ção para 30º.
há ângulos que permitem medidas f
iguais para a projeção vertical, como,
por exemplo, 30º e 150º, ou 45º e 135º, e
o professor, ao destacar tal fato, estará
inserindo a caracterização das simetrias
na circunferência, como se pode perce-
ber nos desenhos a seguir:
há pares de ângulos que permitem me- f
didas simétricas para os valores da pro-
jeção vertical, como, por exemplo, 30º e
330º, ou 60º e 300º.
Salientamos ainda a importância de que
os alunos reconheçam a simetria das proje-
ções apresentada por determinados pares de
ângulos, pois esse ponto, mais adiante, será
0,75R
150º
30º0,25R
–0,25R
–0,75R
–0,5R
0,5R
–R
R
135º45º0,25R
–0,25R
–0,75R
–0,5R
0,5R
0,75R
–R
R
330º
0,25R
–0,25R
–0,75R
–0,5R
0,5R
0,75R
30º
0,75R
300º
0,25R
–0,25R
–0,75R
–0,5R
0,5R60º
–R
–R
R
R
25
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
fundamental na resolução de equações e de
inequações trigonométricas.
Preenchida a tabela, o professor pode soli-
citar que os alunos representem a dependên-
cia entre as variáveis da tabela por intermédio
de um gráfico cartesiano.
Atividade 2
Desenhem um gráfico para representar os va-
lores registrados na tabela lançando as medidas
de ângulos no eixo horizontal e as medidas de
projeção no eixo vertical.
O gráfico seguinte é apenas uma possibilidade,
já que as escalas podem variar. No entanto, o
professor deve salientar o fato de o gráfico apre-
sentar o formato de uma onda, agora mais
preciso do que aquele que os alunos idealiza-
ram na Situação de Aprendizagem anterior
para a variação do comprimento da sombra
com o passar dos dias do ano.
y
x
0,75R
0,5R
0,25R
–0,25R
–0,5R
–0,75R
–R
R
60º 120º 180º 240º 300º 360º0
A construção e a análise do gráfico permi-
tirá que os alunos identifiquem o formato da
onda, confrontando-a com as formas por eles
obtidas nos gráficos desenhados na Situação
de Aprendizagem 1.
Reconhecida a periodicidade envolvida na ob-
tenção da medida da projeção vertical, o profes-
sor pode solicitar que seus alunos reproduzam, de
forma semelhante, a representação da evolução
da medida da projeção no eixo horizontal, de
acordo com o ângulo de elevação do Sol.
26
Atividade 3
Completem a tabela a seguir associando
a medida do ângulo de elevação do Sol com
a medida da projeção sobre o eixo horizontal. Depois, desenhem um gráfico cartesiano para
representar os dados tabelados.
Ângulo (°) 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
Projeção (kr)
1 0,9 0,7 0,5 0 –0,5 –0,7 –0,9 –1 –0,9 –0,7 –0,5 0 0,5 0,7 0,9 1
–R R
0,75R
0,5R
0,25R–0,25R
–0,5R
–0,75R
A segunda linha dessa tabela contém os va-
lores da projeção do ponto sobre o eixo orien-
tado e dividido em frações de raio, isto é, um
número real (m) entre –1 e +1, multiplicado
pela medida do raio (R).
O gráfico a seguir é apenas uma possibili-
dade, já vez que as escalas podem variar.
y
x
0,75R
0,5R
0,25R
–0,25R
–0,5R
–0,75R
–R
R
60º 120º 180º 240º 300º 360º0
O professor pode discutir com seus alunos
sobre as diferenças e as semelhanças entre
os gráficos das duas projeções, horizontal
e vertical, não deixando de salientar o fato
de que os gráficos são idênticos, se con-
siderarmos a “defasagem de 90º” de um
para o outro.
27
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
Em seguida à atividade, o professor pode cha-
mar a atenção de seus alunos para o fato de que:
há pares de ângulos que alternam os f
valores das medidas das projeções ho-
rizontal e vertical, como é o caso, por
exemplo, da projeção vertical do ângulo
de 60º que é igual à medida da projeção
horizontal do ângulo de 30º.
há ângulos que apresentam valores f
iguais para projeções horizontal e ver-
tical, como é o caso, por exemplo, do
ângulo de 45º.
não existe ângulo que apresente, simul- f
taneamente, medidas nulas para as duas
projeções.
o formato de onda apresentado no gráfico f
é de mesma natureza da onda desenha-
da na atividade anterior.
Identificada a correspondência que a perio-
dicidade provoca entre a medida do segmento,
horizontal ou vertical, e o ângulo de giro do
ponto sobre a circunferência, o passo seguin-
te pode ser o de desenhar, em escala, o modelo
apresentado, com o objetivo de construir o grá-
fico cartesiano das funções trigonométricas seno
e cosseno. Vale notar que, até então, a medida
do segmento sobre o eixo vertical não foi ainda
denominada seno, pois, para que isso possa ser
feito com significado, será importante relacionar
o conhecimento anterior dos alunos sobre as ra-
zões trigonométricas no triângulo retângulo com
o modelo que ora lhes é apresentado, o que pode
ser feito neste momento, antecedendo à constru-
ção efetiva dos gráficos, da seguinte forma:
Será necessário que os alunos conheçam os valores dos senos e dos cossenos dos ângulos
notáveis, 30º, 45º e 60º. Caso não tenham tal co-
nhecimento, o professor pode apresentar a eles a
dedução desses valores a partir de um triângulo
retângulo isósceles, no caso do ângulo de 45º, e
de um triângulo equilátero, no caso dos ângulos
de 30º e de 60º, conforme descrito a seguir.
Raio (R)
Medida da projeção vertical
Medida da projeção horizontal
m.r
kr
Fração do raio (kR)
Fração do raio (mR)
1442443
144424443
123
123
sen = k.RR = k cos = m.R
R = m
28
Ângulo de 45º
Ângulos de 30º e de 60º
Discutida a igualdade entre a medida do
segmento projetado no eixo vertical e o valor
do seno do ângulo de giro, e a medida do seg-
mento projetado no eixo horizontal e o cosseno
do ângulo de giro convém, em seguida, deno-
minar circunferência trigonométrica, sistema
formado pelo conjunto circunferência-sistema
de eixos cartesianos. Feito isso, com o objetivo
sen 45º = m
m.√2 =
1√2
= √22
sen 60º =
m.√32m
= √32
cos 60º =
m2m
= 12
sen 30º =
m2m
= 12
cos 30º =
m.√32m
= √32
cos 45º = m
m.√2 =
1√2
= √22
m
mm
m
2
m
2
m
45º
60º 60º
30º
m.√2
m.√32
de reunir todas as informações anteriores, o
professor pode pedir que os alunos desenhem
uma circunferência trigonométrica, para que
os valores de senos e cossenos dos ângulos no-
táveis e também dos ângulos que dividem os
quadrantes sejam associados aos valores apro-
ximados, utilizados anteriormente. Toda essa
etapa pode ser proposta da seguinte maneira:
29
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
Atividade 4
Em uma folha de caderno ou em papel mi-
limetrado, desenhem uma circunferência tri-
gonométrica de raio 10 centímetros.
a) Adotando a escala 1:10 centímetros, divi-dam os eixos cartesianos em subunidades, como, por exemplo, de 0,1 em 0,1.
b) Assinalem sobre a circunferência a ex-tremidade final dos arcos de 30º, 45º e
60º, bem como os simétricos em rela-ção aos eixos nos demais quadrantes. Para essa tarefa, utilize compasso ou transferidor.
c) Desenhem uma tabela como a seguinte, relacionando todos os arcos assinala-dos às medidas de seus senos e cossenos,
lembrando que 1
2 = 0,5;
√22
≅ 0,7 e que
√32
≅ 0,87.
Ângulo (°) 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
Seno
Cosseno
d) Desenhem os gráficos das funções y = senx e de y = cosx em um mesmo sistema de eixos cartesianos.
Chamamos a atenção do professor para
que a tabela deste exercício seja comple-
tada com os valores exatos dos senos e
cossenos dos ângulos notáveis, em vez de
aproximações, já utilizadas no momento de
completar a tabela do exercício anterior.
No entanto, será importante que os alunos
associem os valores exatos a suas devidas
aproximações no momento de assinalarem
os senos e cossenos na circunferência tri-
gonométrica que constroem.
y
x
y = senx
y = cosx1
√32
√22
12
60º 120º 180º 240º 300º 360º0
–1
– √32
– √22
– 12
30
Ressaltamos mais uma vez o fato de que
não se trata ainda de aprofundar o estudo
dos gráficos das funções trigonométricas,
aspecto esse que será explorado na Situação
de Aprendizagem seguinte, quando os alunos
já tiverem tomado contato com a identifica-
ção de arcos côngruos, quando já souberem
calcular a menor determinação positiva de
qualquer ângulo de medida maior do que
360º, quando conseguirem determinar a so-
lução de algumas equações trigonométricas
simples e, por fim, trabalharem com facili-
dade com medidas de ângulos expressas não
apenas em graus, mas também em radianos.
Destacamos que nesta primeira etapa
os arcos foram medidos em graus e não em
radianos. Isso é aconselhável pelo fato de o
grau ser a unidade de medida de arco fami-
liar aos alunos nesse momento, uma vez que
convivem com a ideia de ângulo de giro desde
a 7ª- série do Ensino Fundamental. No entan-
to, completada a primeira etapa, é aconselhá-
vel apresentar aos alunos a unidade radiano,
bem como a relação de conversão entre as
unidades de medida nesse caso. Para tanto,
será necessário retomar alguns conceitos e
apresentar outros, de maneira similar ao que
se segue.
Apresentando os radianos
Um arco de circunferência pode ser medi-
do em graus e também em radiano (rad). Para
apresentar os radianos a seus alunos, propo-
mos que o professor retome com eles o con-
teúdo, que, em princípio, deve fazer parte dos
prévios conhecimentos deles:
C
D = 3,14159... = π
D
C
Um radiano é a medida de um arco de com-
primento igual ao do raio da circunferência.
Em uma circunferência de centro O e raio R,
podemos assinalar cerca de 3,14 radianos em
sua meia-volta, ou, em outras palavras, um arco
de semicircunferência mede sempre π radianos,
conforme representado na figura a seguir:
Com base nesses dados, o professor pode
pedir a seus alunos que resolvam as seguintes
situações-problema, com o objetivo de que ve-
nham a identificar com destreza arcos de me-
didas iguais a frações inteiras de π radianos.
A razão entre as medidas do compri-mento e do diâmetro de qualquer cir-cunferência resulta sempre no mesmo valor: o número irracional π ≅ 3,14
3,14 RAD
1RAD
1RAD
1RAD
R Ro
31
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
Atividade 5
O arco AB representado na figura mede
1,5 rad, e as 3 circunferências têm centro no
ponto O. Quanto mede o arco:
a) CD?
b) EF?
Os arcos assinalados nas circunferências têm,
em radianos, medidas iguais, visto que são
“enxergados” por um único ângulo central.
Assim, os arcos CD e EF medem, cada um,
1,5 radiano.
Atividade 6
Na circunferência da figura estão assinala-
dos dois ângulos centrais: um de medida 60º
e outro de medida 120º. Quanto mede, em
radianos e no sentido indicado, o arco:
a) MP?
b) MQ?
c) MN?
AB
DF
CE
a) O arco MP mede aproximadamente 3,14
radianos, ou, precisamente, π radianos.
b) O arco MQ é “enxergado” pelo ângulo
central de 60º, que corresponde à terça par-
te de 180º. Assim, o arco MQ mede a terça
parte de π, ou π3
radianos.
c) O arco MN é “enxergado” pelo ângulo
central de 120º, que é igual ao dobro de 60º.
Portanto, o arco MN mede 2π3
radianos.
Atividade 7
A circunferência do desenho apresenta-se
dividida em 8 partes iguais pelos pontos A, B,
C, D, E, F, G e H.
a) Quanto mede, em graus, o ângulo cen-tral β?
b) Quanto mede, no sentido indicado no desenho, os arcos AB, AC, AD, AF e AH?
Como a circunferência foi dividida em 8 partes iguais, cada arco correspondente a
uma parte mede 1
8 de 2π rad, isto é, mede
π4
rad.
a) O ângulo central β mede a oitava parte de
360º, isto é, mede 45º.
N
M
Q
120º
60ºP
DC
A
H
G
F
B
βE
o
32
Um arco de comprimento igual à circunfe-
rência mede 2π rad, ou, aproximadamente,
6,28 rad. Assim, são necessários cerca
de 6,28 arcos de medida igual à do arco AB
para completar uma volta da circunferência.
Depois da resolução dessas atividades, em
que os alunos tomaram contato com a defini-
ção de radianos, o professor pode ajudá-los a
estabelecer a relação entre 180º e π radianos
para que sejam capazes, na atividade a seguir,
de assinalar as extremidades finais dos arcos
correspondentes aos valores notáveis e seus
correspondentes nos demais quadrantes.
Atividade 9
levando-se em conta giros no sentido anti-
horário, assinale nas circunferências a medida
em radianos do arco que tem extremidade fi-
nal em cada ponto, de A a R.
b) Os arcos medem:
AB = π4
rad AC = 2π4
= π2
rad
AD = 3π4
rad AF = 5π4
rad
AH = 7π4
rad
Atividade 8
Observe a circunferência do desenho. A
medida do arco AB é igual à medida do raio
da circunferência.
Responda:
a) quantas vezes o arco AC é maior que o arco AB?
A medida do arco AC é cerca de 3,14 vezes
maior do que a medida do arco AB.
b) quantas vezes o arco AD é maior que o arco AB?
O arco AD mede 3π2
radianos, medida essa
que é, aproximadamente, 4,7 radianos. Por-
tanto, o arco AD é cerca de 4,7 vezes maior
que o arco AB.
c) quantos arcos de medida igual a AB podem ser justapostos, um ao lado do outro, sobre a circunferência a fim de completar uma volta?
B
D
C A
r
r
B
C D
A
30º
F
G H
E
45º
33
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
J: 2π3
L : 4π3
M: 5π3
N: π5
P: π5
π – = 4π5
Q: π5
π + = 6π5
R: π5
2π = 11π
5
Ao completar a Situação de Aprendi-zagem, após a apresentação dos senos e cossenos dos arcos notáveis e de seus cor-respondentes nos demais quadrantes, o professor pode pedir que seus alunos re-solvam algumas equações trigonométricas, do tipo senx = k ou cosx = m, definidas em R e também em intervalos definidos, como, por exemplo, [0, 2π], [0,4π], [2π, 6π], etc. Para não ressaltar apenas o aspecto al-gébrico envolvido na resolução de equações dessa natureza, o professor pode pedir que, algumas vezes, os alunos as resolvam grafica-mente, como, por exemplo, neste caso:
Qual é a solução da equação senx = –1
2
no intervalo [0, 4π]?
x
y
1
–1
π 2π 3π 4π0
12
–
12
7π6
11π6
19π6
23π6
J
l M
I
60º
P
Q R
N
36º
A: π6
B: 5π6
C: 7π6
D:11π
4 E:
π4
F: 3π4
G: 5π4
H: 7π4
I: π3
34
Há 4 soluções para essa equação no in-
tervalo considerado: 7π6
, 11π
6,
19π6
e 23π
6,
conforme representado no gráfico da função
y = senx.
Apesar de não propormos nesta Situação
de Aprendizagem que os alunos sejam apre-
sentados a arcos com extremidades finais
negativas, produzidos a partir de giros no
sentido horário na circunferência trigonomé-
trica, julgamos importante que eles saibam
da existência desses tipos de arco e que, ao
menos, desenhem uma circunferência e nela
assinalem os arcos com extremidade final na
primeira volta negativa.
Considerações sobre a avaliação
O modelo da circunferência trigonomé-
trica precisa ser bem compreendido para que
o estudo de conceitos relacionados a ela pos-
sa ser realizado com qualidade. Ao fim desta
Situação de Aprendizagem é importante que o
professor avalie se os alunos são capazes de:
identificar a posição da extremidade f
final de um arco medido em graus;
identificar a posição da extremidade fi- f
nal de um arco medido em radianos;
converter para radianos uma medida de f
arco expressa em graus;
obter a menor determinação positiva de f
um arco qualquer;
reconhecer as diferenças e as semelhan- f
ças entre os gráficos das funções y = senx
e y = cosx;
resolver equações trigonométricas simples. f
As diversas propostas de atividades
apresentadas neste Caderno podem servir
de exemplo para a elaboração de questões
a fim de avaliar os alunos. Nesse sentido,
destacamos a importância de o professor
priorizar questões de caráter conceitual, em
detrimento daquelas que exigem passagens
algébricas ou formalizações além do neces-
sário. De qualquer maneira, será importan-
te que todos os itens de conteúdo listados
anteriormente sejam contemplados de uma
maneira ou de outra nas avaliações do pe-
ríodo, sejam elas individuais ou em grupos,
com consulta ou não, etc.
Finalizada essa etapa de apresentação
do modelo da circunferência trigonométri-
ca e da construção dos gráficos das funções
seno e cosseno, o passo a seguir, que será
discutido na próxima Situação de Apren-
dizagem, envolve a mobilização de todos
esses conteúdos na representação da perio-
dicidade de um fenômeno por meio de um
gráfico cartesiano.
35
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3
Fenômenos periódicos ocorrem regular-
mente mantendo suas características básicas,
isto é, se repetem sempre da mesma maneira.
Há uma enorme gama de fenômenos dessa
natureza, e alguns deles serão analisados na
Situação de Aprendizagem 4, que, assim como
esta, tem como objetivo o estudo das funções
matemáticas que modelam a periodicidade.
Um processo completo de modelagem
de determinado fenômeno envolve a observação
da ocorrência deste, a tomada de dados, que nor-
malmente exige a representação cartesiana dos
dados obtidos, e, finalmente, exige a obtenção de
uma equação matemática que se ajusta aos dados
experimentais. Por consequência, a equação obtida
poderá ser aplicada a novas situações, que venham
a ocorrer em condições semelhantes às observadas
durante o experimento realizado.
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3 GRÁFICOS DE FUNçÕES PERIÓDICAS ENVOlVENDO
SENOS E COSSENOS
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: gráficos de funções do tipo y = C + AsenBx ou y = C + AcosBx; período e amplitude de uma função trigonométrica; gráficos de funções seno ou cosseno em depen-dência com o tempo.
Competências e habilidades: construir o gráfico de uma função trigonométrica dada a equa-ção que a representa; identificar alguns parâmetros importantes do modelo ondulatório para a descrição matemática de fenômenos periódicos; determinar a equação da função representada por um gráfico dado.
Estratégias: construção de gráficos e identificação das constantes, avaliando significados; uti-lização de software auxiliar para a construção de gráficos.
Vários fenômenos periódicos podem ser
modelados por intermédio de uma função
trigonométrica cuja equação é composta de
senos e/ou cossenos. Para que seja possível
aos alunos compreender em profundidade o
significado da modelação de um fenômeno
por meio de uma equação que envolva senos
ou cossenos, é necessário que saibam, de um
lado, desenhar gráficos de funções desse tipo
a partir de suas equações, e, de outro, que
consigam escrever a equação de um gráfico
dado. Com esse objetivo, propomos nesta
Situação de Aprendizagem que os alunos cons-
truam os gráficos e reconheçam as proprieda-
des de funções do tipo y = C + A.senb.x e
y = C + A.cosb.x, comparando-as com as
funções elementares y = senx e y = cosx, com
que já tiveram contato anterior. Nesse per-
curso, poderão avaliar as transformações que
as constantes A, b e C impõem aos gráficos
das funções elementares.
36
Para compreender a importância do estudo que ora propomos, podemos analisar o processo que normalmente desenvolvemos ao apresentar as funções de 2º- grau para nossos alunos.
O gráfico cartesiano que tem formato de uma parábola com o eixo de simetria na ver-tical, como sabemos, é a representação de uma função do tipo y = a.x2 + b.x + c, com a ≠ 0. Ao observarmos uma equação desse tipo, com coeficientes numéricos, identifica-mos se a concavidade da parábola é voltada para cima ou para baixo, somos capazes de avaliar se a parábola tem ou não raízes reais, e prevemos a posição do vértice da parábola. A partir daí, conseguimos não apenas dese-nhar o gráfico da função, como também analisar todas suas propriedades (simetrias, imagem, domínio, sinal, etc.).
Assim como fazemos com as parábolas, identificando e significando os coeficientes da equação da função e representando-a carte-sianamente, também devemos ser capazes de fazer com os demais grupos de funções que es-tudamos no Ensino Médio, ou seja, relacionar a variação de seus coeficientes com as mudan-ças gráficas correspondentes. Com as funções trigonométricas não poderia ser diferente, dada a enorme quantidade de situações con-textualizadas em que se detecta sua presença.
Discutiremos nesta Situação de Aprendi-zagem apenas os gráficos das funções seno ou cosseno, deixando para segundo plano os gráficos das demais funções (tangente, cotan-gente, secante e cossecante). Acreditamos que o professor, decerto, vai avaliar a pertinência de apresentar a seus alunos também os demais
gráficos, dependendo das condições de sua turma e do tempo disponível.
A Situação de Aprendizagem será desen-volvida sobre três percursos, que o professor poderá trilhar totalmente ou parcialmente, a seu critério. No primeiro percurso, propomos a construção dos gráficos a partir de uma tabela de valores especialmente escolhidos. No segundo percurso, sugerimos que o professor utilize um software de construção de gráficos para auxiliar a compreensão dos alunos e imprimir maior ve-locidade às conclusões. Por fim, no terceiro per-curso, sugerimos que o professor discuta com os alunos sobre gráficos trigonométricos em que o seno e o cosseno variam em função do tempo, isto é, gráficos expressos por equações do tipo y = C + A.senb.t, com t escrito em segundos, ou
em minutos, ou em horas, etc.
Percurso 1 – Construção do gráfico a partir de tabela de valores
Para motivar os alunos a se envolver com a
construção e análise de gráficos trigonométri-
cos o professor pode comentar sobre o fato de
que o modelo ondulatório está presente na ex-
plicação de uma série de fenômenos próximos
ao dia-a-dia dos alunos, como, por exemplo, as
transmissões radiofônicas ou televisivas. Para
tanto, o professor pode comentar que a fre-
quência de transmissão de rádios em FM é da
ordem de megahertz, isto é, ondas que passam
por um ponto “carregando” cerca de 1 milhão
de períodos (ou comprimentos de onda) por se-
gundo. De outra forma, as estações AM trans-
mitem na faixa dos quilohertz, isto é, uma onda
de rádio dessa faixa “carrega” cerca de mil pe-
ríodos ou comprimentos de onda) por segundo.
37
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
Essas variações de período e de frequência são
visíveis no desenho da onda e também na escri-
ta de sua equação, e isso será feito a partir da
construção dos gráficos, que ora iniciamos.
Comentaremos alguns exemplos de gráfi-
cos construídos a partir de tabela de valores,
introduzindo valores de uma constante a cada
vez. O professor pode utilizar-se desses mes-
mos exemplos ou recorrer a outros, que julgar
mais apropriados ao desenvolvimento de suas
turmas de trabalho. Todavia, sugerimos que,
em qualquer caso, os alunos possam, inicial-
mente, utilizar papel quadriculado para dese-
nhar os gráficos das tabelas que elaboram.
Exemplo 1: y = Asenx ou y = Acosx
A elaboração da tabela para a construção do
gráfico vai levar em conta os valores que marcam
a divisão entre os quadrantes da circunferência
trigonométrica, isto é, 0, π2
, π, 3π2
, 2π. Para
começar, podem ser desenhados, em um mesmo
sistema de eixos cartesianos os gráficos de y =
senx e de y = 2senx. Para tanto, pode ser elabora-
da a seguinte tabela de valores:
Os dados tabelados permitem que sejam
desenhados os seguintes gráficos:
x y = senx y = 2senx0 0 0π2 1 2
π 0 0
3π2
–1 –2
2 0 0
Em seguida, o professor pode pedir que seus alunos desenhem mais dois pares de gráficos, um em cada sistema de eixos car-tesianos, a fim de que seja possível intuir
x
2
y = 2.senx
y = senx1
–1
–2
π 2π0 π2
3π2
a conclusão a respeito da interferência da constante A na forma do gráfico. Para tanto, propomos que sejam aplicadas as
seguintes atividades:
38
Atividade 2
Qual é a diferença entre os gráficos das
funções y = senx e y = Asenx? Isto vale tam-
bém para os gráficos das funções y = cosx e
y = A.cosx?
Atividade 1
Completem as tabelas e construam os
tabela 1
x y = senx y = 1,5.senx
0 0 0
π2 1 +1,5
π 0 0
3π2
–1 –1,5
2π 0 0
tabela 2
x y = cosx y = 3.cosx
0 1 3
π2 0 0
π –1 –3
3π2
0 0
2π 1 3
xx
y y
1,5 3y = 1,5.senx
y = 3.cosx
y = senx y = cosx
1 2
1
–1 –2
–1
–1,5 –3
π π2π 2π0 03π2
3π2
π2
π2
A constante A está relacionada à amplitude
da onda, isto é, à distância entre o eixo ho-
rizontal e o valor máximo da função. A ima-
gem da função, nesse caso, será o intervalo
[–A, +A], se A > 0.
gráficos utilizando um sistema de eixos carte-
sianos para cada tabela.
39
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
x
2
y = 2.sen2x
y = senx1
–1
–2
π 2π0 3π2
π2
2x x y = sen2x y = 2 sen2x
0 0 0 0
π2
π4 1 2
ππ2 0 0
3π2
3π4
–1 –2
2π π 0 0
A partir da análise e discussão desse grá-
fico o professor pode pedir aos alunos que
construam mais alguns a fim de estabelece-
rem conclusões a respeito do significado das
alterações introduzidas no gráfico de y = senx
ou de y = cosx quando acrescentamos a suas
equações as constantes A e b, de maneira a
formar equações do tipo y = A.senBx ou
y = A.cosBx.
Atividade 3
Complete a tabela e desenhe em um mes-
mo sistema de eixos cartesianos os gráficos de
y = cosx e de y = cos x
2 , no intervalo [0, 4π].
Exemplo 2: y = Asenbx ou y = Acosbx
O professor pode apresentar aos alunos o seguinte exemplo, formado pela tabela e gráfico correspondente:
Vale a pena destacar aos alunos que a pri-
meira coluna da tabela, à esquerda, contém
os valores divisórios dos quadrantes, que são
adotados para facilitar a construção. Para
melhor demonstrar a importância do fator 2,
introduzido na equação, o professor pode de-
senhar os gráficos de y = senx e de y = 2sen2x
em um único sistema de eixos cartesianos,
conforme representado a seguir:
y
40
Atividade 4
Qual é a diferença entre os gráficos das
funções y = senx e y = senBx? Isto vale tam-
bém para os gráficos das funções y = cosx e
y = cosBx?
Espera-se que os alunos percebam que o grá-
fico de y = cosx completa um período em 2π,
enquanto o gráfico de y = cosx2 completa
apenas meio período em 2π, o que significa
que o período desta última função é 4π.
x2
x y = cos x2
0 0 1
π2 π 0
π 2 π –1
3π2
3 π 0
2π 4 π 1
x
y = cosx1
–1
π 2π 3π 4π0
3π2
π2
y = cos x
2
Exemplo 3: y = C + A.senbx ou y = C + A.cosbx
Para discutir a variação que a constante
C causa ao ser incluída na equação da fun-
ção elementar, sugerimos que o professor
construa com os alunos o gráfico da função
y = 1 + 2sen4x a partir de uma tabela de va-
lores. Salientamos novamente que pelo fato
de os alunos conhecerem a forma do gráfico
y = senx e os valores dos senos dos arcos 0, π2
,
π, 3π2
, 2π é interessante que estes sejam os
valores atribuídos ao que se quer calcular o
seno, isto é, a 4x. Assim, pode-se construir a
seguinte tabela:
O desenho dos gráficos de y = senx e de
y = 1 + 2.sen4x em um único sistema de eixos
coordenados permite que sejam discutidas as
modificações que as constantes introduzidas
na equação causam ao gráfico elementar.
4x xy =
sen4xy =
2.sen4xy = 1 +2.sen4x
0 0 0 0 1
π2
π8 1 2 3
ππ4 0 0 1
3π2
3π8
–1 –2 –1
2ππ2 0 0 1
y
41
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
Comparação entre os dois gráficos
y = senx y = 1 + 2sen4x
Período 2π2π4
= π2
Imagem [–1, +1] [–1, 3]
Amplitude 1 2
x
y
2y = 1 + 2 sen4x
y = senx
3
1
–1
π2π
0 3π2
π2
x
y
y = –1 + 2sen x2
y = senx1
2
3
–3
–2
–1
π2π 3π 4π
0 3π2
π2
Observa-se que em relação ao gráfico de
y = senx o gráfico de y = 1 + 2sen4x foi deslo-
cado verticalmente 1 unidade para cima, teve
seu período diminuído 4 vezes e sua amplitude
dobrada, efeitos estes causados, respectiva-
mente, pelas constantes 1, 4 e 2.
x2
x 2sen x2 y = –1 + 2sen x
2 0 0 0 –1
π2 π 2 1
π 2π 0 –1
3π2
3π –2 –3
2π 4π 0 –1
Atividade 5
Complete a tabela e desenhe os gráficos das
funções y = –1 + 2sen x2 e de y = senx em um
mesmo sistema de eixos cartesianos.
42
Atividade 6
Qual é a diferença entre os gráficos das
funções y = senx e y = C + senx?
Espera-se que os alunos percebam que o gráfi-
co de y = senx desloca-se verticalmente C uni-
dades, sem alterar seu período ou amplitude.
Para encerrar esta etapa, o professor pode
pedir aos alunos que generalizem suas conclu-
sões em um exercício como o seguinte:
Atividade 7
Quais são as variações introduzidas nos grá-
ficos das funções y = senx ou y = cosx pelas
constantes A, b e C, formando funções de equa-
ções y = C + AsenBx ou y = C + AcosBx?
O professor pode auxiliar os alunos a gene-
ralizarem as seguintes conclusões:
Em relação às funções y = senx e y = cosx, as
funções y = C + AsenBx e y = C + AcosBx
apresentam:
Deslocamento vertical de f C unidades;
Amplitude igual a f A;
Período igual a f 2πB
.
Por fim, pode ser proposto um exercício
que, no sentido oposto ao realizado anterior-
mente, exija dos alunos a obtenção de equações
de gráficos já desenhados, como na atividade
a seguir.
Atividade 8
Quais são as equações das funções que
podem ser associadas aos gráficos represen-
tados abaixo?
x x
y y
33y = 2 + senx y = 1 + 2cos
2 2
1 1
π 2π
4π
6π 8π2π0 0
–1
x4
Percurso 2 – Construção de gráficos com o auxílio de um software
Caso haja possibilidade de se utilizar um
software como ferramenta para a construção
de gráficos, o professor vai poder elabo-
rar fichas de acompanhamento da ativida-
de. Nesse caso, o fato de que cada cons-
tante acrescentada à função elementar
produz alguma modificação importante
43
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
x
em seu gráfico deve nortear a sequên-
cia de comandos. Assim, podem ser cons-
truídos inicialmente gráficos do tipo
y = Asenx ou y = Acosx para, em seguida, se-
rem solicitados os gráficos do tipo y = AsenBx
ou y = AcosBx. Depois de analisadas as trans-
formações causadas nos gráficos das funções
elementares pelas inclusões das constantes A
e b, o próximo passo pode ser a inclusão da
constante C, sendo, então, gerados os gráfi-
cos de funções do tipo y = C + AsenBx ou
y = C + AcosBx.
Apresentamos a seguir algumas possibili-
dades para esse trabalho.
Atividade 9
1º- tipo – Gráficos y = A.senx
1. Desenhe em um mesmo sistema de eixos
os gráficos:
( I ) y = senx
( II ) y = 2senx
( III ) y = 3senx
y
3
4
5
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
0,5π–0,5π–1,5π–2,5π 1,5π 2,5π
00
2. Apague da tela os gráficos ( II ) e ( III )
e desenhe mais dois gráficos:
y = 3senx
y = 2senx
y = senx
–2π –1π 1π 2π
( IV ) y = 5senx
( V ) y = – 3senx
44
Qual é a alteração produzida no grá-
fico de y = senx quando multipli-
camos toda a função por um valor
constante A?
Varia a amplitude do gráfico e, portanto,
também a imagem da função.
3. Observe todos os gráficos desenhados
até agora e responda:
a) Qual é o domínio de uma função do
tipo y = Asenx?
R.
b) Qual é a imagem de uma função do
tipo y = Asenx?
x
y
6
8
10
4
2
–2
–4
–6
–8
–10
1π–1π–2π–3π–4π–5π 2π 3π 4π 5π
00
[–A, +A], A>0.
c) Qual é o período de uma função do
tipo y = Asenx?
2π.
2º- tipo – Gráficos y = Asen(bx) ou y = Acos(bx)
4. Desenhe em um único sistema de eixos
os gráficos:
( I ) y = senx
( VI ) y = sen2x
( VII ) y = sen4x
y = 5senx
y = –3senx
y = senx
45
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
y = sen x2
x
y
3
4
5
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
0,5π–0,5π–1π–1,5π–2π 1π 1,5π 2π 2,5π0
0
5. Você deve ter percebido diferença entre as
formas “senoidais” dos 3 gráficos que aca-
bou de desenhar. Explique a diferença.
A diferença está no período das funções.
6. Desenhe em um único sistema de eixos:
(I) y = senx (VIII) y = sen x
2
(IX) y = sen x
4
y = 4 senxy = sen2xy = senx
–2,5π
x
y
6
8
10
4
2
–2
–4
–6
–8
–10
1π–2π–4π–5π 2π 3π 4π
00
y = sen x4 y = senx
5π–1π–3π
46
7. Desenhe os gráficos:
( X ) y = cosx ( XI ) y = cos2x ( XII) y = cos x
2
8. Em funções do tipo y = Asenbx ou do
tipo y = Acosbx, qual é:
a) O domínio?
R.
b) A imagem?
[–A, +A] para A>0.
c) O período? 2πB
.
9. Responda:
a) Qual é o domínio da função
y = – 4sen4x?
R.
b) Qual é a imagem da função y = 5sen x
5?
–5 ≤ x ≤ 5.
c) Quais são os períodos das funções dos
itens a e b? π2
e 10π.
Não estamos apresentando aqui uma
sequên cia de trabalho para a discussão
do 3º- tipo de gráfico, y = C + AsenBx ou
y = C +AcosBx, e muito menos para gráficos
gerados por deslocamentos horizontais, do tipo
y = sen(x + D). Propomos que o professor
avalie a pertinência de incluir ou não gráficos
desses tipos em algumas rotinas de trabalho
com a ajuda de software.
y = cos x2
x
y
6
8
10
4
2
–2
–4
–6
–8
–10
1π–2π–4π 2π 3π 4π
00
y = cos(2x)y = cosx
–1π–3π–5π 5π
47
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
Percurso 3 – Gráficos trigonométricos em função do tempo
Fenômenos periódicos são aqueles que se
repetem a cada intervalo determinado de tem-
po, mantendo suas características básicas.
Se quisermos analisar os fenômenos pe-
riódicos e, se possível modelá-los, não po-
demos deixar de considerar as funções nas
quais uma grandeza varia periodicamente
em função do tempo.
Depois da realização das etapas anterio-
res, o professor pode questionar os alunos
sobre o período de gráficos de funções do tipo
y = senBx quando b for da forma kπ, com
k ∈ Q. Consideremos, por exemplo, o gráfico
da função y = sen(πx), para o qual vamos ter
as seguintes condições:
Domínio: R. f
Imagem: [–1, +1]. f
Período: f
2ππ
= 2.
Nessas condições, teremos o seguinte gráfico:
De forma semelhante, o professor pode pe-
dir que os alunos avaliem as condições de alguns
x
y = senπx1
–1
1 1,5 20,5
0
gráficos e, se desejável, que eles os desenhem.
Para tanto sugerimos a seguinte atividade:
Atividade 10
Escreva o domínio, a imagem e o período
das seguintes funções:
a) y = 2sen (2πx)
Domínio: R; Imagem: [–2, + 2];
Período: 2π2π
= 1.
b) y = cos πx
2 Domínio: R; Imagem: [–1, +1];
Período: 2π ÷ π2 = 4.
c) y = 1 + 3senπx
4 Domínio: R; Imagem: [–2, +4]; Período:
2π ÷ π4 = 8.
Compreendido o fato de que o período do gráfico da função será igual a um número ra-cional quando a constante B for igual ao pro-duto entre π e um número racional, o próximo passo pode ser pedir aos alunos que reflitam sobre o seguinte exercício, em que um movi-mento periódico é claramente identificado e representado em função do tempo.
Atividade 11
Um pequeno corpo gira em torno de uma
circunferência de raio 4 cm, no sentido indica-
do, completando uma volta a cada 2 segundos.
Considerando que o corpo parte do ponto o assinalado na figura, determine a equação
matemática que permite calcular a medida da
projeção do ponto sobre o eixo vertical, e, em
48
seguida, desenhe o gráfico cartesiano repre-
sentativo da equação obtida.
A amplitude da projeção vertical é igual a
4 cm, correspondente à medida do raio da
t
P
6
8
4
2
–2
–4
–6
–8
–10
2–2–4–6–8–10 4 6 8 10
00
circunferência. O período, isto é, o tempo para
o corpo completar uma volta na circunferên-
cia, é igual a 2 segundos, o que permite con-
cluir que o valor da constante b é, nesse caso,
igual a π. Associando a medida da projeção
(P) sobre o eixo vertical ao valor do seno do
arco, podemos escrever a seguinte equação:
P = 4sen(πt)
na qual t é dado em segundos e P em centí-
metros.
O gráfico da situação, para 3 períodos do
movimento, é este:
P = 4sen(πt)
Considerações sobre a avaliação
A construção e o reconhecimento de grá-
ficos de funções trigonométricas é uma im-
portante etapa do estudo deste conteúdo,
sobretudo se considerarmos a possibilidade
de contextualizar os conceitos em situações
do cotidiano, que envolva periodicidade.
Sabemos, entretanto, que, assim como o trata-
mento dos gráficos dos demais grupos de fun-
ções, também as trigonométricas costumam
acarretar dificuldades aos alunos, e por isso,
recomendamos que o processo de avaliação
considere a maior variedade possível de instru-
mentos, e não apenas avaliações individuais.
0
49
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
Os diversos exercícios que compõem esta
Situação de Aprendizagem podem ser utilizados
em avaliações realizadas em duplas de alunos. Tal
estratégia estimula o diálogo e aumenta a possibi-
lidade de busca de significados conceituais. Caso
o professor opte por trabalhar com o auxílio do
computador para a construção dos gráficos, po-
derá utilizar as fichas de acompanhamento como
outro elemento de avaliação.
De qualquer modo, ao fim do período de
trabalho com esta Situação de Aprendizagem
espera-se que os alunos consigam:
completar uma tabela com valores de f
arcos e de funções.
construir o gráfico de uma função tri- f
gonométrica dada a equação que a
representa.
determinar a equação da função repre- f
sentada por um gráfico dado.
escrever a equação de uma função trigono- f
métrica que envolva um par de grandezas
do qual uma delas é o tempo.
roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4
Uma equação trigonométrica envolven-
do seno ou cosseno exige a determinação
de uma medida de arco para o qual o seno
ou cosseno assume determinado valor,
como, por exemplo, determinar x para que
senx = 1
2, ou cosx = –1. Casos como esses,
frequentemente apresentados e resolvidos
em cursos de Ensino Médio, se forem
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 4 EQUAçÕES TRIGONOMÉTRICAS
tempo previsto: 1 semana.
Conteúdos e temas: arcos côngruos; equações trigonométricas envolvendo senos e cossenos.
Competências e habilidades: relacionar situações-problema, apresentadas em língua materna, com os significados associados aos fenômenos periódicos; resolver equações trigonométricas en-volvendo senos e cossenos; interpretar resultados e fazer inferências.
Estratégias: resolução de situações-problema contextualizadas.
compreendidos à luz da modelagem de fun-
ções trigonométricas, podem ampliar sobre-
maneira os significados associados a esse
tipo de função.
Entre os diversos fenômenos periódicos
possíveis de serem modelados por equações
trigonométricas envolvendo senos ou cos-
senos, foram selecionados quatro, apresenta-
dos a seguir, com a proposta de resolução de
algumas equações.
50
A Situação de Aprendizagem consiste em
fornecer aos alunos o texto descritivo de cada
fenômeno, solicitar a leitura, eliminar even-
tuais dúvidas e, finalmente, a resolução de
algumas questões.
Atividade 1
Cálculo do período de claridade de uma cidade
A inclinação do eixo de rotação da Terra
é o fator responsável pela alteração da quan-
tidade de insolação que uma cidade recebe
durante o ano. Essa alteração da quantidade
de horas de luz solar marca as estações, pri-
mavera, verão, outono e inverno.
Em cidades próximas à linha do Equador
quase não se percebe a passagem das esta-
ções, pois o índice de claridade é pratica-
mente o mesmo durante todo o ano, cerca
de 12 horas por dia, o mesmo dado vale para
a temperatura média mensal. Já em regiões
mais afastadas do Equador a inclinação do
eixo terrestre faz com que o verão tenha dias
bem longos, com alto índice de insolação,
enquanto no inverno a situação se inverte,
observando-se dias bem curtos, com poucas
horas de claridade.
Em uma região um pouco afastada do
Equador como, por exemplo, no Sul de nos-
so país, se registrarmos durante um ano o
número de horas de claridade diária perce-
beremos que os dados obtidos podem ser
ajustados por uma função trigonométrica,
isto é, que a quantidade de horas de clari-
dade diária varia periodicamente em função
do tempo. A equação a seguir traduz essa
situação para determinada localidade, que
chamaremos cidade b.
N = 35
3 +
7
3 ∙ sen 2πx
365 A variável x dessa equação corresponde ao
número de dias contados a partir do dia 23 de
setembro, dia que marca o início da primavera
no Hemisfério Sul, dia esse chamado equinó-
cio de primavera. O arco 2πx
365 é medido em
radianos e N é a quantidade de horas de clari-
dade diária. Assim, no dia 23 de setembro, x = 0
e o valor de n pode ser assim obtido:
N = 35
3 +
7
3 ∙ sen 2πx . 0
365 =
35
3 +
7
3 ∙ sen0 =
35
3 ≅ 11,7 horas
Como era de se esperar, nos dias de equi-
nócio o número de horas de claridade é próxi-
mo da metade da duração de um dia.
a) Qual é o número aproximado de ho-ras diárias de insolação da cidade b no dia 21 de dezembro, dia de solstí-cio, que marca a entrada do verão no Hemisfério Sul?
Adotando x = 90 correspondente ao número
de dias do período, têm-se:
N = 353 +
73 ∙ sen 2π . 90
365 . Aproximando
365 ≅ 4 . 90, têm-se:N = 353 +
73 ∙ sen
π2 .
Portanto, N ≅ 14 horas.
51
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
Ao observar que a imagem da função é
o intervalo [80, 120], que a amplitude é 20 e
que o período é 0,75 = 3
4, podemos escrever a
equação da função:
P(t) = 100 – 20 . cos 8πt
3 a) Calcule a medida da pressão no instan-
te 2 segundos.
Aproximadamente 110 mmHg.
b) Quais são os instantes de tempo entre 0 e 1 segundo em que a pressão sanguínea é igual a 100 mmHg?
P(t) = 100 – 20 . cos 8πt3 = 100 ⇒
cos 8πt3 = 0 ⇒ 8π
3 = π
2 = kπ ⇒
t = 3 + 6.k
16 , k ∈ Z. Os possíveis valores
de k, neste caso, são 0, 1 e 2, de modo que
os valores de t serão:
3
16,
9
16 e
15
16 segundos.
Atividade 3
A temperatura pode ser periódica?
A temperatura de determinada localidade
varia periodicamente, como, em geral, ocor-
re em muitos lugares durante certas épocas
do ano. Ao observar e anotar os valores de
b) Qual é o número de horas diárias de insolação da cidade b no dia 21 de junho, solstício de inverno no Hemis-fério Sul?
Adotando x = – 90, visto que junho antecede
setembro em três meses, e adotando a sim-
plificação realizada no item anterior, têm-se:
N = 353 +
73 ∙ sen –
π2 =
353 +
73 ∙ (–1) =
283
≅ 9,3 horas
c) De posse de uma tabela trigonométrica, ou de uma calculadora científica, deter-mine os dias do ano em que o número de horas de claridade na cidade b seja igual a 13 horas.
13 = 353 +
73 ∙ sen 2π
365 ⇒
sen 2πx365 =
47
≅ 0,6
Precisamos responder: qual é o arco, em
radianos, cujo seno é igual a 0,6? A res-
posta, de acordo com a calculadora cien-
tífica, é 0,64. Assim, 2πx365
≅ 0,64 ⇒
x ≅ 37,2 dias. Para encontrar o dia desejado
precisamos contar 37 dias a partir de 23 de
setembro. Feito isso, obteremos 30 de outubro.
Atividade 2
A periodicidade da pressão sanguínea
O gráfico a seguir representa a variação
da pressão (P, em milímetros de mercúrio,
mmHg) nas paredes dos vasos sanguíneos em
função do instante (t, em segundos) em que a
medida da pressão foi realizada.
t
P
120
100
80
0,375 0,75 1,51,125 1,875 2,25
52
temperatura dia a dia nesse local, percebe-se
que é possível modelar a variação por meio da
seguinte função trigonométrica:
T = 50 . sen 2π (t – 101)
360 + 7
Nessa equação, o tempo t é dado em dias,
t = 0 corresponde ao 1º- dia de janeiro, e a tem-
peratura t é medida na escala Fahrenheit.
A temperatura do dia 11 de maio, por
exemplo, 131 dias após 1º- de janeiro, pode ser
assim prevista:
T = 50 . sen 2π (131 – 101)
360 + 7
T = 50 . sen 2π . 30
360 + 7 = 50 . sen π6
+ 7.
Uma vez que sen π6
= 1
2 , temos que
T = 50 . 1
2 + 7 = 32 ºF.
lembrando que a conversão entre ºC e ºF
é feita de acordo com a expressão:
T(ºF) = 1,8.T(ºC) + 32
32 = 1,8.T(ºC) + 32 ⇒ T(ºC) = 0º
A cidade em que a temperatura diá-
ria obedece a essa equação deve estar bem
afastada da linha do Equador, uma vez que
11 de maio é dia de outono no Hemisfério
Sul e de primavera no hemisfério Norte, não
sendo comuns, nessa época, temperaturas tão
baixas em cidades próximas ao Equador.
a) Qual é a temperatura da referida cidade, em ºC, em 26 de maio, 15 dias adiante da data do exemplo comentado ante-riormente?
(lembre-se que sen45º = 22
≅ 0,7).
b) Qual é a máxima temperatura dessa cidade? Em qual dia do ano ela ocorre?
A temperatura máxima ocorrerá quando o va-
lor do seno for máximo, isto é, for igual a 1.
Portanto, a temperatura máxima será 57 ºF,
ou 25
1,8 ≅ 14 ºC. Para que o valor do seno seja
igual a 1 é preciso que o arco seja igual a π2
rad.
Assim, 2π(t – 101)360
= π2
⇒ t = 191 dias.
Portanto, a temperatura máxima da cidade
será de 14 ºC, 191 dias após 1º- de janeiro, isto
é, por volta de 10 de julho. Esses dados nos
mostram que a cidade está localizada em um
país do Hemisfério Norte, em latitude alta,
como, por exemplo, Finlândia ou Noruega.
Atividade 4
o fenômeno das marés
A conjugação da atração gravitacional
entre os corpos do sistema Terra-lua-Sol e a
rotação da Terra em torno de seu eixo são os
principais fatores responsáveis pela ocorrência
do fenômeno das marés, no qual as águas do
mar atingem limites máximos e mínimos com
determinada regularidade.
T = 50. sen 2π(146 – 101)360 + 7
T = 50 . sen π4 + 7 ⇒ T ≅ 42 ºF e
T (ºC) = 10
1,8 ≅ 5,5 ºC
53
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
As atrações gravitacionais do Sol e da lua
sobre a Terra causam, em geral, duas marés
altas por dia em cada ponto da Terra, separa-
das por cerca de 12 horas. De fato, se for ob-
servada uma maré alta às 10 horas da manhã,
por exemplo, a próxima maré alta, no mes-
mo ponto, ocorrerá por volta de 22h12, ou
seja, cerca de 12 minutos além das 12 horas
de diferença.
A lua, por estar muito mais perto da
Terra que o Sol, tem a maior influência so-
bre as marés, como representado na figura
a seguir:
Atração lunar
Sol
LuaLua
Atração solar
No entanto, quando o Sol e a lua se
alinham com a Terra, nas condições de lua
cheia ou de lua nova, as atrações dos dois
astros se somam e são observadas as marés
mais altas entre todas.
O subir e o descer das marés é registrado
por uma medida de comprimento, relativa
às alturas, máxima e mínima, que a água
atinge em relação a um valor médio. Em
um intervalo aproximado de 12 horas, a
altura máxima corresponde à maré cheia e
a altura mínima à maré baixa. Vários sites
divulgam dados das alturas das marés bai-
xa e alta a cada dia e em cada porto, como
neste exemplo:
data Horário Altura (m)dom 02/03/08 00:21 1,1
08:15 0,712:56 1,118:02 0,4
Seg 03/03/08 00:56 1,307:45 0,713:23 1,218:47 0,3
ter 04/03/08 01:30 1,407:45 0,613:54 1,419:26 0,1
"Esta publicação não substitui as "TÁBUAS
DAS MARÉS:, editadas pela DHN."
"As tábuas de previsão de marés constantes
desta publicação foram cedidas pela Diretoria
de Hidrografia e Navegação e reproduzidas
mediante autorização"; "Esta publicação não
substitui as "TÁBUAS DAS MARÉS", editadas
pela DHN, mencionada no item 0240 das Normas
para Embarcações Empregadas na Navegação
de Mar Aberto (NORMAN-01/DPC)".
Publicação para distribuição gratuita. Não pode
ser vendida.
Observa-se, por exemplo, que no dia 02 as
marés altas alcançaram 1,1 m enquanto as
marés baixas mediram 0,7 m e 0,4 m. Nota-
se também que a maré alta do dia 03 (1,3 m)
foi de maior amplitude que a do dia anterior
(1,1 m), e de menor amplitude que a maré alta
do dia seguinte. (1,4 m). Assim, a amplitude
da maré alta aumenta com a passagem dos
dias representados na tábua.
Escolhido um porto e um período, e se-
lecionadas as alturas, em metros, das marés altas, e apenas delas, organizadamente e de
acordo com a ordem de observação, é possível
Tre
cho
da t
ábua
de
mar
és d
o po
rto
de S
anto
s, e
m m
arço
de
2008
.
54
desenhar um gráfico que reflita a periodici-
dade e que possa ser modelado por uma fun-
ção trigonométrica. Observe, por exemplo, o
gráfico do porto do Recife durante um perío-
do de dois meses. No eixo horizontal estão
assinalados os números de observações, cujo
valor máximo chega próximo de 120, o que é
razoável visto que ocorrem, em média, duas
marés altas por dia, e o período do gráfico
compreende 2 meses.
Podemos obter a equação desse gráfico,
do tipo y = C + AsenBx, se fizermos algumas
simplificações:
adotar que o gráfico é uma senoide. f
traçar uma linha horizontal para iden- f
tificar a constante C da equação. No
caso, C ≅ 1,8.
identificar o valor da amplitude A f ≅ 0,5.
deslocar a origem do sistema para o f
ponto de observação nº- 25, de maneira
que todos os demais valores de observa-
ção passem a ser subtraídos de 25.
identificar o período do gráfico, corres- f
pondente, nesse caso, a 26 observações.
Como, em média, são duas obser-
vações por dia, o período do grá-
fico, em dias, é aproximadamente
igual a 13 dias. Assim, a constante
B = 2π13
.
a) De acordo com as simplificações rea-lizadas, qual é a equação da função que pode ser representada por esse gráfico?
y = 1,8 + 0,5sen 2π13
t, com t em dias e y em
metros.
b) Qual será a altura da maré no 39º- dia de observação?
1,8 m.
c) Quais serão os dias em que a maré alta atingirá 2,05 m de altura?
2,05 = 1,8 + 0,5sen 2π13
t ⇒ sen 2π13
t = 0,5
⇒ 2π13
t = π6
+ 2kπ
ou 2π13
t = 5π6
+ 2kπ . (Isolando t, tem-se:
t = 13
12 + 13k, ou t =
65
12 + 13k. Atribuindo
altura (m)
Tábua de marés - Recifeagosto/setembro 2004
1
1019181716151413121111 111
2,5
2
1,5
0,5
0
altura (m)
Tábua de marés - Recifeagosto/setembro 2004
1
1019181716151413121111 111
2,5
2
1,5
0,5
0
51 – 25
55
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
valores naturais para k, obtém-se os valores
de t no intervalo que se desejar.)
Considerações sobre a avaliação
A escala apropriada para o desenvolvimen-
to de cada conteúdo só pode ser devidamente
indicada pelo professor na articulação entre
o conhecimento que tem sobre sua turma de
alunos e o respeito a seu projeto de ensino.
De forma semelhante, entendemos que, nas
diferentes etapas de avaliação, deve ser levada
em conta a pertinência de instrumentos, o per-
curso estabelecido e os conteúdos abordados.
Vale destacar que, dada a relevância de de-
terminados conceitos é importante que estes
tenham sua compreensão avaliada em vários
momentos. No entanto, apesar da variedade
de formas e conteúdos, algumas premissas
precisam ser adotadas. Como ponto de par-
tida, convém buscar resposta a duas questões
de suma importância:
Quais as principais habilidades que de- f
vem ser avaliadas?
Quais instrumentos podem avaliar as f
habilidades selecionadas?
Com relação à primeira questão, referente
às principais habilidades que os alunos preci-
sam mobilizar para serem avaliados, é neces-
sário que eles consigam:
Identificar a posição da extremidade f
final dos arcos notáveis na circunferên-
cia, associando-os aos correspondentes
valores de senos, cossenos, tangentes e
cotangentes.
Obter a menor determinação positi- f
va de arcos medidos em radianos ou
em graus.
Representar os gráficos das funções f
trigonométricas e reconhecer suas pro-
priedades.
Determinar o conjunto solução de f
equações ou de inequações trigonomé-
tricas, mesmo daquelas envolvidas por
contextos não apenas matemáticos.
No processo de avaliação sugere-se que o
professor utilize diferentes instrumentos de for-
ma que o quadro final da avaliação retrate tanto
as características do trabalho realizado como
as diversas competências que cada um de seus
alunos consegue ou não mobilizar no enfrenta-
mento de situações-problema de trigonometria.
Dessa forma, é possível considerar que:
a) uma atividade avaliativa individual deve ser realizada com o objetivo de permitir que os alunos busquem e dis-corram sobre situações do cotidiano em que se observa claramente a perio-dicidade.
b) as atividades desenvolvidas em sala de aula, cumpridas em grupos ou in-dividualmente, devem ser avaliadas continuamente, a fim de compor um quadro que considere todos os passos do processo de construção conceitual. Algumas vezes, portanto, avalia-se não só o que foi “feito” pelo aluno mas, com maior ênfase, seu processo de trabalho.
c) todas as atividades aplicadas para os alu-nos poderão ser resolvidas em duplas ou trios, cabendo ao professor acompanhar
56
as equipes durante a realização, sanando dúvidas e eliminando difi culdades. Ao fi nal, todos os alunos podem entregar sua produção para que o professor as comente e avalie.
d) Resolver equações trigonométricas é uma habilidade esperada dos alunos ao fim do estudo. Cabe ao profes-sor definir quais tipos de equações vão exigir resolução, de acordo com aquilo que apresentou e discutiu an-teriormente. No entanto, vale salien-tar a importância de que algumas dessas equações sejam apresentadas e
ORIENTAçÕES PARA RECUPERAçãO
Acreditamos que a quase totalidade dos alu-
nos conseguirá atingir os objetivos traçados na
Situação de Aprendizagem 1, dispensando, dessa
forma, a necessidade de elaboração de um longo
processo de recuperação. Todavia, se alguns alu-
nos anunciarem qualquer difi culdade na compre-
ensão esperada, o professor poderá estimulá-los
com a observação de outros experimentos peri-
ódicos como, por exemplo, a distensão de uma
mola em que foi pendurada determinada massa,
de acordo com a ilustração seguinte.
posição "mínima"
posição "neutra"
posição "máxima"
Para os alunos que, por algum motivo,
não atinjam o nível de desempenho espera-
do nas avaliações propostas na Situação de
Aprendizagem 2, o professor, a fi m de auxi-
liá-los em sua recuperação, poderá adotar a
seguinte rotina:
orientar os alunos para a construção de f
nova circunferência trigonométrica, na
qual as extremidades fi nais dos arcos se-
jam assinaladas em graus e também em
radianos.
construir, mais uma vez, os gráfi cos das f
funções y = senx e y = cosx, os dois em
um único sistema de eixos cartesianos.
discutir novamente com os alunos so- f
bre a conversão de medidas de arcos de
graus para radianos e vice-versa.
resolvidas com base em situações do cotidiano, como é o caso das equa-ções que compõem esta Situação de Aprendizagem, e que, posteriormen-te, passem a compor instrumentos de avaliação objetiva.
livros didáticos contêm, via de regra, uma série de equações trigonométricas para os alunos resolverem. Estas séries são indicadas especialmente para os alunos que, por algum motivo, não tenham conseguido se apropriar do conhecimento desejado durante a realiza-ção da Situação de Aprendizagem.
57
preparar lista de exercícios para que os f
alunos calculem a menor determinação
de alguns arcos.
solicitar que os alunos resolvam algu- f
mas equações trigonométricas simples,
do tipo senx = k ou cosx = m, e que as
resoluções algumas vezes envolvam ape-
nas o observar da posição dos arcos na
circunferência, e, em outras, que sejam
representadas nos gráficos cartesianos
das funções.
Com relação às duas últimas Situações de
Aprendizagem, sugerimos que o professor
oriente os alunos que não tenham desenvolvi-
do o conhecimento desejado, e que necessitem
se recuperar, a resolver novamente alguns dos
exercícios propostos de forma a mostrarem
respostas diferentes das apresentadas ante-
riormente, sobretudo nos casos de respostas
redigidas em língua materna. Além disso, ha-
vendo possibilidade, os alunos poderão desti-
nar algum tempo extra para desenhar gráficos
com o auxílio de um software.
58
RecuRsos paRa ampliaR a peRspectiva do pRoFessoR e do aluno paRa a compReensão do tema
Caso o professor julgue necessário apro-
fundar o estudo de alguns dos temas apresen-
tados neste Caderno, sugerimos a leitura dos
seguintes artigos da Revista do Professor de
Matemática (RPM), da Sociedade Brasileira
de Matemática:
Sobre a evolução de algumas ideias mate-
máticas, de Elon lages lima, RPM, nº- 6.
Nesse artigo, o professor Elon discorre so-
bre abordagens conceituais para alguns tópi-
cos de conteúdo do Ensino Médio, entre eles,
a Trigonometria e a periodicidade.
Ensinando Trigonometria através da ima-
gem, de Abdala Gannam, RPM, nº- 9.
Funções Trigonométricas e leis da Trigo-
nometria, de Wu-yi-Hsiang, RPM, nº- 23.
Seno de 30 é um meio?, de Renate G.
Watanabe, RPM, nº- 30.
Além desses artigos, sugerimos ainda a lei-
tura das publicações do professor Elon lages
lima, pelo Instituto de Matemática Pura e
Aplicada (IMPA), dentre os quais destacamos:
Coordenadas no Plano. f
Meu professor de Matemática. f
59
consideRações Finais
Apresentamos neste Caderno uma propos-
ta de desenvolvimento para os conteúdos de
trigonometria que prioriza o reconhecimen-
to da periodicidade. De fato, como comen-
tado na apresentação inicial das Situações
de Aprendizagem, o grupo das funções tri-
gonométricas é um dos mais importantes
entre aqueles que mostramos aos alunos no
Ensino Médio, embora muitas vezes não seja
contextualizado com a devida atenção.
Afinal, há uma série bastante grande de fe-
nômenos naturais modelados por funções
trigonométricas, e apesar de apresentarmos
algumas delas durante os diversos exercícios,
de forma alguma esgotamos o rol possível
(batimento cardíaco, movimentos eletrôni-
cos, etc.).
Enfatizamos a possibilidade real de abor-
dar o estudo da trigonometria do ponto de
vista que aqui apresentamos, dada a variedade
surpreendente de significados que podemos, com
essa postura, agregar aos conceitos tratados.
Não abordamos neste Caderno, por ex-
clusiva escolha de prioridades, alguns as-
pectos que merecem também destaque no
planejamento didático-pedagógico do pro-
fessor, como, por exemplo, os gráficos e as
equações envolvendo tangente e cotangente,
e algumas transformações trigonométricas,
especialmen te a adição de arcos.
Para que se tenha uma ideia mais nítida
das múltiplas inter-relações entre os diversos
conteúdos aqui tratados, apresentamos, a
seguir, a grade curricular com os conteú dos
de Matemática de todas as séries do Ensino
Médio, destacando-se com um sombreado
os conteúdos de outras séries e de outros
bimestres diretamente relacionados com os
conteú dos apresentados neste bimestre da
2ª- série.
60
conteúdos de matemática poR séRie/bimestRe do ensino médio
O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste bimestre.
1a série 2a série 3a série
1o bim
estr
e
NÚMEROS E SEQUÊNCIAS- Conjuntos numéricos.- Regularidades numéricas: sequências.- Progressões aritméticas, progres-sões geométricas; ocorrências em diferentes contextos; noções de Matemática Financeira.
TRIGONOMETRIA- Arcos e ângulos; graus e radianos.- Circunferência trigonométrica: seno, cosseno, tangente.- Funções trigonométricas e fenô-menos periódicos.- Equações e inequações trigono-métricas.- Adição de arcos.
GEOMETRIA ANAlÍTICA- Pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos.- Reta: equação e estudo dos coefi-cientes, retas paralelas e perpendi-culares, distância de ponto a reta; problemas lineares.- Circunferências e cônicas: pro-priedades, equações, aplicações em diferentes contextos.
2o bim
estr
e
FUNçÕES- Relação entre duas grandezas.- Proporcionalidades: direta, inversa, direta com o quadrado.- Função do 1o grau, função do 2o grau; significado e ocorrência em diferentes contextos.
MATRIzES, DETERMINANTES E SISTEMAS lINEARES- Matrizes: significado como tabe-las, características e operações.- A noção de determinante de uma matriz quadrada.- Resolução e discussão de siste-mas lineares: escalonamento.
EQUAçÕES AlGÉBRICAS, POlINÔMIOS, COMPlEXOS- Equações polinomiais: história, das fórmulas à análise qualitativa.- Relações entre coeficientes e raízes de uma equação polinomial.- Polinômios: identidade, divisão por x - k e redução no grau de uma equação.- Números complexos: significado geométrico das operações.
3o bim
estr
e
FUNçÕES EXPONENCIAl E lOGARÍTMICA- Crescimento exponencial.- Função exponencial: equações e inequações.- logaritmos: definição, proprie-dades, significado em diferentes contextos.- Função logarítmica: equações e inequações simples.
ANÁlISE COMBINATÓRIA E PROBABIlIDADE- Raciocínio combinatório: princí-pios multiplicativo e aditivo.- Probabilidade simples.- Arranjos, combinações e permu-tações.- Probabilidades; probabilidade condicional.- Triângulo de Pascal e Binômio de Newton.
ESTUDO DAS FUNçÕES- Panorama das funções já estuda-das: principais propriedades.- Gráficos: funções trigonométri-cas, exponenciais, logarítmicas e polinomiais.- Gráficos: análise de sinal, cres-cimento, decrescimento, taxas de variação.- Composição: translações, refle-xões, inversões.
4o bim
estr
e
GEOMETRIA- TRIGONOMETRIA- Razões trigonométricas nos triângulos retângulos.- Polígonos regulares: inscrição, circunscrição; pavimentação de superfícies. - Resolução de triângulos não retângulos: lei dos senos e lei dos cossenos.
GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAl- Organização do conhecimento geométrico: conceitos primitivos, definições, postulados, teoremas.- Prismas e cilindros: propriedades, relações métricas.- Pirâmides e cones: propriedades, relações métricas.- A esfera e suas partes; relações métricas; a esfera terrestre.
ESTATÍSTICA- Cálculo e interpretação de índi-ces estatísticos.- Medidas de tendência central: média, mediana e moda.- Medidas de dispersão: desvio médio e desvio-padrão.- Elementos de amostragem.