ก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมและกำรประยกต
ผชวยศำสตรำจำรย สปรชำ วงศอำรย
วท.ม. (คณตศำสตรประยกต)
ส ำนกวชำศกษำทวไป
มหำวทยำลยรำชภฏอดรธำน
2558
(1)
ค ำน ำ
ต ำรำ ก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมและกำรประยกต (Integer Linear Programming
and Application) เปนเอกสำรสวนหนงทใชประกอบกำรเรยนกำรสอนรำยวชำกำรคดและกำรตดสนใจ (GE40003) และรำยวชำก ำหนดกำรเชงเสน (MA07302) ทจ ำแนกเนอหำสำระเปนบทเรยน โดยมงเนนใหผศกษำไดมควำมรควำมเขำใจตวแบบก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมทชวยในกำรตดสนใจปญหำตำงๆ ทเกดขนในกำรด ำเนนงำน ซงกำรจดท ำต ำรำฉบบน ผเขยนไดศกษำคนควำจำกหนงสอ ต ำรำ ผลงำนวจย และจำกประสบกำรณทใชในกำรจดกจกรรมกำรเรยนกำรสอนแลวน ำมำเรยบเรยงเพอใหนกศกษำไดน ำไปใชประกอบกำรเรยนกำรสอน
ต ำรำเลมน ประกอบดวยเนอหำเกยวกบ ก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม กำรหำผลเฉลยดวยวธกำรคนหำผลเฉลย กำรหำผลเฉลยดวยวธกำรตดพนทออก ปญหำกำรขนสงทสมดล ปญหำกำรขนสงทไมสมดล และปญหำกำรมอบหมำยงำน
ผเขยนขอขอบพระคณผเขยนหนงสอ ต ำรำและเอกสำรตำงๆ ทไดน ำมำใชอำงองในกำรเรยบเรยงเปนต ำรำฉบบน และขอขอบพระคณบคคลทมสวนเกยวของทใหควำมชวยเหลอและก ำลงใจในกำรจดท ำต ำรำฉบบน จนกระทงส ำเรจ และหำกทำนทน ำต ำรำฉบบน ไปใชแลว มขอเสนอแนะทจะใหค ำแนะน ำแกผเขยน ซงผเขยนมควำมยนดทจะนอมรบและน ำค ำแนะน ำเหลำนนมำใชพฒนำ ปรบปรง แกไขใหต ำรำฉบบนมควำมถกตอง สมบรณมำกยงขนตอไป
สปรชำ วงศอำรย
ธนวำคม 2558
(3)
สารบญ
หนา
ค ำน ำ............................................................................................................................... (1)
สำรบญ............................................................................................................................ (3)
สำรบญภำพ..................................................................................................................... (7)
บทท 1 ก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมและกำรหำผลเฉลยดวยวธกำรคนหำผลเฉลย......... 1
รปแบบมำตรฐำนของปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม.................................. 1
ประเภทของตวแบบก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม............................................... 2
กำรหำผลเฉลยของปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม..................................... 3
วธกำรคนหำผลเฉลย.......................................................................................... 8
1. วธกำรแจกนบโดยตรง............................................................................. 8
2. วธกำรแตกกงสำขำและกำรก ำหนดขอบเขต.............................................. 11
ขนตอนท 1 กำรแตกกงสำขำของปญหำ.................................................. 12
ขนตอนท 2 กำรก ำหนดขอบเขตของปญหำ............................................. 16
3. วธกำรแจงนบโดยปรยำย......................................................................... 28
บทสรป.............................................................................................................. 51
แบบฝกหดบทท 1.............................................................................................. 52
บทท 2 กำรหำผลเฉลยดวยวธกำรตดพนทออก............................................................... 55
วธกำรตดทมสมประสทธของตวแปรมคำเปนหนง................................................ 55
สรปขนตอนกำรหำผลเฉลยดวยวธกำรตดทมสมประสทธของตวแปรมคำ
เปนหนง...................................................................................................... 56
วธกำรตดแบบเศษสวน....................................................................................... 64
กำรสรำงเงอนไขบงคบดวยกำรตดแบบเศษสวน............................................ 66
สรปขนตอนกำรหำผลเฉลยดวยวธกำรตดแบบเศษสวน................................. 67
วธกำรตดแบบจ ำนวนเตม................................................................................... 76
กำรสรำงเงอนไขบงคบดวยกำรตดแบบจ ำนวนเตม........................................ 82
สรปขนตอนกำรหำผลเฉลยดวยวธกำรตดแบบจ ำนวนเตม............................. 83
(4)
สารบญ (ตอ)
หนา
วธกำรตดแบบผสม............................................................................................ 99
รปแบบทวไปของก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมแบบผสม............................. 99
สรปขนตอนกำรหำผลเฉลยดวยวธกำรตดแบบผสม....................................... 103
บทสรป.............................................................................................................. 110
แบบฝกหดบทท 2.............................................................................................. 111
บทท 3 ปญหำกำรขนสงทสมดล...................................................................................... 115
ตวแบบก ำหนดกำรเชงเสนของปญหำกำรขนสง................................................... 115
ปญหำกำรขนสงทสมดล...................................................................................... 117
กำรหำผลเฉลยเรมตน......................................................................................... 121
1. วธกำรกฏมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ......................................................... 121
2. วธกำรประมำณของโวเกล........................................................................ 127
กำรหำผลเฉลยเหมำะสมทสดจำกกำรพฒนำผลเฉลยเรมตน................................ 138
1. วธกำรสเตปปงสโตน................................................................................ 139
2. วธกำรโมดฟำยดสทรบวชน...................................................................... 148
บทสรป.............................................................................................................. 155
แบบฝกหดบทท 3.............................................................................................. 156
บทท 4 ปญหำกำรขนสงทไมสมดล................................................................................. 159
กรณปรมำณอปทำนมำกกวำปรมำณอปสงค....................................................... 159
กรณปรมำณอปสงคมำกกวำปรมำณอปทำน...................................................... 177
ปญหำกำรขนสงทผลเฉลยมสภำพซอนสถำนะ.................................................... 188
1. ปญหำกำรขนสงทมสภำพซอนสถำนะในผลเฉลยเรมตน............................ 189
2. ปญหำกำรขนสงทมสภำพซอนสถำนะระหวำงกำรพฒนำผลเฉลย.............. 194
บทสรป.............................................................................................................. 198
แบบฝกหดบทท 4.............................................................................................. 199
(5)
สารบญ (ตอ)
หนา
บทท 5 ปญหำกำรมอบหมำยงำน.................................................................................... 203
ตวแบบก ำหนดกำรเชงเสนของปญหำกำรมอบหมำยงำน..................................... 203
ปญหำกำรมอบหมำยงำนทสมดล........................................................................ 205
กำรหำผลเฉลยของปญหำกำรมอบหมำยงำนทสมดล........................................... 209
1. กำรหำผลเฉลยของปญหำกำรมอบหมำยงำนทสมดลกรณกำรหำคำต ำสด.. 209
2. กำรหำผลเฉลยของปญหำกำรมอบหมำยงำนทสมดลกรณกำรหำคำสงสด.. 214
กำรหำผลเฉลยของปญหำกำรมอบหมำยงำนทไมสมดล....................................... 221
1. กำรหำผลเฉลยของปญหำกำรมอบหมำยงำนทไมสมดลกรณกำรหำ
คำต ำสด................................................................................................. 221
- กรณปรมำณงำนทมอบหมำยมำกกวำปรมำณเครองจกรทรบงำนได....... 221
- กรณปรมำณงำนทมอบหมำยนอยกวำปรมำณเครองจกรทรบงำนได....... 228
2. กำรหำผลเฉลยของปญหำกำรมอบหมำยงำนทไมสมดลกรณกำรหำ
คำสงสด................................................................................................. 237
- กรณปรมำณงำนทมอบหมำยมำกกวำปรมำณเครองจกรทรบงำนได....... 237
- กรณปรมำณงำนทมอบหมำยนอยกวำปรมำณเครองจกรทรบงำนได....... 245
บทสรป.............................................................................................................. 254
แบบฝกหดบทท 5.............................................................................................. 255
บรรณำนกรม................................................................................................................... 261
ภำคผนวก....................................................................................................................... 263
เฉลยแบบฝกหดทำยบท..................................................................................... 265
ดชน................................................................................................................................ 333
(6)
(7)
สารบญภาพ
ภาพท หนา
1.1 แสดงคำ Xbr ของเงอนไขบงคบใหม……............................................................ 13
1.2 กำรแตกกงสำขำปญหำจำก (IP1)....................................................................... 14
1.3 กำรแตกกงสำขำปญหำจำก (IP2)....................................................................... 15
1.4 กำรแตกกงสำขำจำก (IP4)................................................................................ 16
1.5 กำรแตกกงสำขำของปญหำทไดผลเฉลยเปนจ ำนวนเตม..................................... 17
1.6 กำรแตกกงสำขำของปญหำจำกตวอยำงท 1.6.................................................... 27
1.7 กำรแตกกงสำขำของปญหำจำกตวอยำงท 1.7.................................................... 44
1.8 กำรแตกกงสำขำของปญหำจำกตวอยำงท 1.8…................................................ 50
2.1 แสดงพนทผลเฉลยของปญหำจำกตวอยำงท 2.1 (IP1)........................................ 62
2.2 แสดงพนทผลเฉลยของปญหำทเพมเงอนไขทตยภม (IP2) จำกตวอยำงท 2.1...... 63
2.3 แสดงพนทผลเฉลยของปญหำจำกตวอยำงท 2.2 (IP1)…………………............... 74
2.4 แสดงพนทผลเฉลยของปญหำทเพมเงอนไขทตยภม (IP3) จำกตวอยำงท 2.2...... 76
2.5 แสดงพนทผลเฉลยของปญหำจำกตวอยำงท 2.7 (IP1)........................................ 108
2.6 แสดงพนทผลเฉลยของปญหำทเพมเงอนไขทตยภม (IP2) จำกตวอยำงท 2.7...... 109
1
บทท 1
ก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม
และกำรหำผลเฉลยดวยวธกำรคนหำผลเฉลย
จากการแกปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป (Linear Programming : LP) ผลเฉลยทเหมาะสมทสด (optimal solution) อาจเปนผลเฉลยทไมเปนจ านวนเตม (non-integer
solution) ซงจะเหนไดวาในบางปญหาอาจจะเปนการยากและไมเหมาะสมทจะน าผลเฉลยนไปใชในการปฏบตงานจรง อยางไรกตาม ผท าการตดสนใจสามารถบงคบใหผลเฉลยเหมาะสมทสดทไดใหเปนเฉพาะตวเลขทมคาเปนจ านวนเตม (integer number) เพยงอยางเดยวได เพอใหงายตอการตดสนใจและสามารถน าไปใชปฏบตงานไดจรง ซงเรยกวธการแกปญหาทผลเฉลยทไดเปนเฉพาะจ านวนเตมนวา “ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม” (Integer Linear Programming : ILP) หรออาจจะเรยกอกอยางวา “ก าหนดการจ านวนเตม” (Integer Programming : IP) กได ทงน รปแบบของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมจะเขยนไดในลกษณะเดยวกนกบปญหาก าหนดการเชงเสนรปแบบทวไป แตจะตางกนตรงทในปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมจะมการระบคาของตวแปรทตองการตดสนใจจะตองมคาเปนจ านวนเตมเทานน
รปแบบมำตรฐำนของปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม
รปแบบมาตรฐานของก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมมอยดวยกนสองลกษณะ ทงนขนอยกบวาปญหาก าหนดการเชงเสนทพจารณาอยนน เปนปญหาในลกษณะทตองการหาคาสงสด (maximization) หรอตองการหาคาต าสด (minimization) ซงจะเขยนไดดงน ก ำหนดให จ ำนวนของกจกรรมทงหมด เทำกบ n กจกรรม
จ ำนวนของเงอนไขบงคบ (constraint) หรอ จ ำนวนทรพยำกรทม เทำกบ m เงอนไข
P คอ ฟงกชนจดประสงค
Xj คอ ตวแปรทตองกำรตดสนใจตวท j Cj คอ สมประสทธของตวแปรตวท j ในฟงกชนจดประสงค ซงหมำยถง ก ำไรตอหนวย หรอ ตนทนตอหนวย ฯลฯ
aij คอ สมประสทธของตวแปรท j ในเงอนไขบงคบขอท i bi คอ คำคงททำงขวำมอของเงอนไขบงคบขอท i
2
ฟงกชนจดประสงค (maximize หรอ minimize) P = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn เงอนไขบงคบ a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn (, , , หรอ = ) b1
a21X1 + a22X2 + ... + a2nXn (, , , หรอ = ) b2
am1X1 + am2X2 + ... + amnXn (, , , หรอ = ) bm
Xj 0
และ Xj เปนเลขจ ำนวนเตม โดยท i = 1, 2, 3, …, m และ j = 1, 2, 3, …, n
ประเภทของตวแบบก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม
ตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม (linear integer programming model) คอ ตวแบบก าหนดการเชงเสนทวไป เพยงแตเพมเงอนไขบงคบในตวแบบทตวแปรทตองการตดสนใจ(decision variable) จะตองมคาเปนจ านวนเตม โดยสามารถแบงก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมออกไดเปน 3 ประเภท ดงน 1. ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทงหมด (all integer linear programming) คอ ตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม ทมตวแปรทตองการตดสนใจทกตวมคาเปนจ านวนเตม เชน
ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 6X1 + 5X2 + 10X3 เงอนไขบงคบ 1) 15X1 + 35X2 + 45X3 850
2) 8X1 + 18X2 + 38X3 900
3) 10X1 + 15X2 + 40X3 1,000
X1 , X2 , X3 0 และตวแปรทกตวมคาเปนจ านวนเตม
2. ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมแบบผสม (mixed integer linear programming) คอ ตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม ทตวแปรทตองการตดสนใจบางตวมคาเปนจ านวนเตม โดยตวแปรอนๆ จะมคาเปนจ านวนเตมหรอไมเปนจ านวนเตมได เชน
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 9X1 + 10X2 + 14X3 เงอนไขบงคบ 1) 125X1 + 80X2 + 78X3 550
2) 28X1 + 60X2 + 25X3 400
3) 80X1 + 90X2 + 55X3 800
X1 , X2 , X3 0 และ X1 , X2 มคาเปนจ านวนเตม
... ... ... ... ...
3
3. ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมศนย-หนง (zero-one integer linear programming) หรอ ปญหาก าหนดการเชงเสนแบบทวภาค (Binary Linear Programming : BLP หรอ BP) คอ ตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทมตวแปรทตองตดสนใจมคาเปนศนยหรอหนงเทานน เชน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 16X1 + 15X2 + 20X3 เงอนไขบงคบ 1) 55X1 + 85X2 + 42X3 90
2) 16X1 + 43X2 + 35X3 70
3) 15X1 + 45X2 + 85X3 85
X1 , X2 , X3 = 0 หรอ 1
กำรหำผลเฉลยของปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม
การหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมสามารถท าไดหลายวธเชนเดยวกบการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนรปแบบทวไป ไดแก วธกรำฟ (graphical method) วธซมเพลกซ (simplex method) และวธกำรใชโปรแกรมส ำเรจรป ซงผลเฉลยทไดใน ตวแบบก าหนดการเชงเสนรปแบบทวไปโดยไมตองค านงถงเงอนไขบงคบทคาของตวแปรทตองการตดสนใจจะตองมคาเปนจ านวนเตม ถาผลเฉลยทไดนนสอดคลองกบเงอนไขบงคบทคาของตวแปรทตองการตดสนใจ คอ มคาเปนจ านวนเตมแลวผลเฉลยทไดนนจะเปนผลเฉลยตามทตองการของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวย แตถาผลเฉลยทไดนนมคาไมเปนจ านวนเตมจะตองท าการเพมเงอนไขบงคบทจะท าใหผลเฉลยเปนจ านวนเตม แลวท าการปรบปรงผลเฉลยใหสอดคลองกบเงอนไขบงคบทคาของตวแปรทตองการตดสนใจจะตองมคาเปนจ านวนเตม หรอใชวธการทสามารถท าไดงายและสะดวกทสด คอ การใชวธการปดเศษ (round-off) เพอท าการปดผลเฉลยของปญหาทมต วเลขทมคำไมเปนจ ำนวนเตม (non-integer number) ใหมคาเปนตวเลขจ านวนเตม ซงสามารถแสดงไดจากตวอยางตอไปน
ตวอยำงท 1.1 จงหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทก าหนดใหตอไปน
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 30X1 + 50X2 เงอนไขบงคบ 1) X1 + 2X2 14
2) 5X1 + X2 18
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม วธท ำ ท าการหาผลเฉลยส าหรบปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมขางตน โดยไมตองค านงถงเงอนไขบงคบทผลเฉลยจะตองมคาเปนจ านวนเตม จะไดผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ
4
X1 = 2.444 , X2 = 5.777
(maximize) P = 362.222
จะเหนไดวาไดผลเฉลยเหมาะสมทสดทไดน เปนตวเลขทมคาไมเปนจ านวนเตมตามทตองการ ดงนนจะท าการปดเศษของผลเฉลย ไดดงน X1 = 2.444 ปดเปน 2
X2 = 5.777 ปดเปน 6
แทนคา X1 = 2 และ X2 = 6 ในเงอนไขบงคบของปญหาจะพบวาสอดคลองกบเงอนไขบงคบทงหมด ดงน เงอนไขบงคบขอท 1) X1 + 2X2 14
(2) + 2(6) = 14 14
เงอนไขบงคบขอท 2) 5X1 + X2 18
5(2) + (6) = 16 18
ดงนน การใชวธการปดเศษหาผลเฉลยของปญหาทผลเฉลยจะตองมคาเปนจ านวนเตมนน ผลเฉลยทไดส าหรบปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมในตวอยางน คอ
X1 = 2 , X2 = 6 (maximize) P = 30X1 + 50X2
= 30(2) + 50(6) = 360
ตวอยำงท 1.2 จงหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทก าหนดใหตอไปน
ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 10X2 + 20X3 เงอนไขบงคบ 1) X1 + 3X2 + X3 21
2) 2X1 + X2 + X3 14
3) X1 + X2 + 5X3 36
X1 , X2 , X3 0 และมคาเปนจ านวนเตม
วธท ำ ท าการหาผลเฉลยส าหรบปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมขางตน โดยไมตองค านงถงเงอนไขบงคบทผลเฉลยจะตองมคาเปนจ านวนเตม จะไดผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ
X1 = 1.818 , X2 = 4.409 , X3 = 5.954
(minimize) P = 181.363
5
จะเหนไดวาไดผลเฉลยเหมาะสมทสดทไดน เปนตวเลขทมคาไมเปนจ านวนเตมตามทตองการ ดงนนจะท าการปดเศษผลเฉลยไดดงน X1 = 1.818 ปดเปน 2
X2 = 4.409 ปดเปน 4
X3 = 5.954 ปดเปน 6
แทนคา X1 = 2 , X2 = 4 และ X3 = 6 ในเงอนไขบงคบของปญหาจะพบวาไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบขอท 1 ดงน X1 + 3X2 + X3 21
(2) + 3(4) + (6) = 20 21 เปนเทจ
ดงนน จากการใชวธการปดเศษหาผลเฉลย ถงแมจะท าไดงายและไดคาของตวแปรทตองตดสนใจทเปนตวเลขทมคาเปนจ านวนเตมแลวกตาม แตคาของตวแปรทไดนนอาจไมใชผลเฉลยเหมาะสมทสดส าหรบปญหาทพจารณาอย เพราะตวแปรทไดอาจไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบของปญหาซงผลเฉลยเหมาะสมทสดส าหรบปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมในตวอยางน คอ X1 = 2, X2 = 5, X3 = 6 เพราะเมอแทนคาลงไปในเงอนไขบงคบของปญหา จะพบวาสอดคลองกบเงอนไขบงคบทงหมด ดงน เงอนไขบงคบขอท 1) X1 + 3X2 + X3 21
(2) + 3(5) + (6) = 23 21
เงอนไขบงคบขอท 2) 2X1 + X2 + X3 14
2(2) + (5) + (6) = 15 14
เงอนไขบงคบขอท 3) X1 + X2 + 5X3 36
(2) + (5) + 5(6) = 37 36
และ (minimize) P = 10X1 + 10X2 + 20X3
= 10(2) + 10(5) + 20(6) = 190
จากตวอยางน แสดงใหเหนวาการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม จากการใชวธการปดเศษหาผลเฉลยไมไดท าใหไดผลเฉลยเหมาะสมทสดเสมอไป
ตวอยำงท 1.3 จงหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทก าหนดใหตอไปน
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 20X1 + 10X2 + 5X3 เงอนไขบงคบ 1) 3X1 + 4X2 + X3 45
2) 8X1 + 5X2 + X3 85
6
3) 5X1 + X2 + 2X3 55
X1 , X2 , X3 0 และมคาเปนจ านวนเตม
วธท ำ ท าการหาผลเฉลยส าหรบปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมขางตน โดยไมตองค านงถงเงอนไขบงคบทผลเฉลยจะตองมคาเปนจ านวนเตม จะไดผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ
X1 = 7.205 , X2 = 3.970 , X3 = 7.500 และ (maximize) P = 221.3
จะเหนไดวาไดผลเฉลยเหมาะสมทสดทไดน เปนตวเลขทมคาไมเปนจ านวนเตมตามทตองการ ดงนนจะท าการปดเศษของผลเฉลย ไดดงน X1 = 7.205 ปดเปน 7
X2 = 3.970 ปดเปน 4
X3 = 7.500 ปดเปน 7
แทนคา X1 = 7, X2 = 4 และ X3 = 7 ในเงอนไขบงคบของปญหาจะพบวาสอดคลองกบเงอนไขบงคบทงหมด ดงน เงอนไขบงคบขอท 1) 3X1 + 4X2 + X3 45
3(7) + 4(4) + (7) = 44 45
เงอนไขบงคบขอท 2) 8X1 + 5X2 + X3 85
8(7) + 5(4) + (7) = 83 85
เงอนไขบงคบขอท 3) 5X1 + X2 + 2X3 55 5(7) + (4) + 2(7) = 53 55
ดงนน การใชวธการปดเศษหาผลเฉลยของปญหาทผลเฉลยจะตองมคาเปนจ านวนเตมนน ผลเฉลยทไดส าหรบปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมในตวอยางน คอ
X1 = 7 , X2 = 4 , X3 = 7
(maximize) P = 20X1 + 10X2 + 5X3
= 20(7) + 10(4) + 5(7) = 215
แตผลเฉลยทไดนท าใหคาของฟงกชนจดประสงคมคานอยกวาคาของฟงกชนจดประสงคทเปนจรง คอ P = 221.323 แสดงวาผลเฉลยทไดอาจไมใชผลเฉลยเหมาะสมทสดกเปนไปได ซงสามารถแสดงวธการปดเศษไดอกแบบ ดงน X1 = 7.205 ปดเปน 7
X2 = 3.970 ปดเปน 4
X3 = 7.500 ปดเปน 8
7
แทนคา X1 = 7, X2 = 4 และ X3 = 8 ในเงอนไขบงคบของปญหาจะพบวาสอดคลองกบเงอนไขบงคบทงหมด ดงน เงอนไขบงคบขอท 1) 3X1 + 4X2 + X3 45
3(7) + 4(4) + (8) = 45 45
เงอนไขบงคบขอท 2) 8X1 + 5X2 + X3 85
8(7) + 5(4) + (8) = 84 85
เงอนไขบงคบขอท 3) 5X1 + X2 + 2X3 55 5(7) + (4) + 2(8) = 55 55
ดงน น การใชวธการปดเศษหาผลเฉลยในแบบท 2 ผลเฉลยทไดส าหรบปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม คอ
X1 = 7 , X2 = 4 , X3 = 8
(maximize) P = 20X1 + 10X2 + 5X3
= 20(7) + 10(4) + 5(8) = 220
จากการใชวธการปดเศษหาผลเฉลยทไดในแบบท 2 มคาของฟงกชนจดประสงคมากกวาแบบแรก แสดงวาการใชวธการปดเศษบางครงผลเฉลยทไดอาจไมใชผลเฉลยทเหมาะสมทสดกเปนไปได จากตวอยางทไดแสดงขางตนน การใชวธการปดเศษนนอาจท าใหไดคาของตวแปรทตองตดสนใจมคาเปนจ านวนเตม แตคาของตวแปรดงกลาวอาจไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบทก าหนดให หรอในกรณทสอดคลองกบเงอนไขบงคบแตผลเฉลยอาจไมใชผลเฉลยเหมาะสมทสด เพราะอาจจะเปนเพยงผลเฉลยทเปนไปไดเทานน ตอไปจะไดกลาวถงวธการทนยมใชในการหาผลเฉลยทเหมาะสมทสดส าหรบปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม ซงจะแสดงได 2 วธการ คอ
1. วธการคนหาผลเฉลย (enumeration method) 2. วธการตดพนทออก (cutting planes method) โดยในขนตนนจะท าการศกษาวธการคนหาผลเฉลยกอน สวนวธการตดพนทออกจะท าการศกษาในบทตอไป มรายละเอยดดงตอไปน
8
วธกำรคนหำผลเฉลย
การหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวยวธการคนหาผลเฉลยสามารถจ าแนกได 3 วธดวยกน ดงน 1. วธกำรแจงนบโดยตรง การหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวยวธการคนหาผลเฉลยนน มการพฒนามาจากแนวความคดทวา จากการหาผลเฉลยของก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม คาของตวแปรตดสนใจทไดจะตองมคาเปนจ านวนเตมเสมอ ดงนน จ านวนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมจงมจ านวนจ ากดหรอเปนจ านวนทนบได (finite) เสมอ เพราะฉะนน จะสามารถท าการประเมนคาของผลเฉลยทเปนไปไดของปญหาตางๆ นไดทกคา ซงวธการคนหา ผลเฉลยโดยการประเมนคาหาผลเฉลยทกคาน จะเรยกอกอยางวา วธการแจงนบโดยตรง (exhaustive method) ซงเปนวธการหาผลเฉลยทท าไดงายและสะดวกเชนเดยวกบวธการปดเศษ เพราะเพยงแตท าประเมนคาของผลเฉลยตางๆ ทเปนไปไดใหครบทกคาเทานน ซงสามารถแสดงไดดงตวอยางตอไปน
ตวอยำงท 1.4 จงหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทก าหนดใหตอไปนดวยวธการแจงนบโดยตรง ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 15
2) 5X1 + X2 10
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
วธท ำ การหาผลเฉลยทเหมาะสมทสดในตวอยางนโดยวธการแจงนบโดยตรงนนจะพจารณาเงอนไขบงคบ ดงน เงอนไขบงคบท 1) คาของตวแปร X1 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 7
คาของตวแปร X2 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 3 เงอนไขบงคบท 2) คาของตวแปร X1 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 2 คาของตวแปร X2 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 10
ดงนนเมอท าการพจารณาเงอนไขบงคบทงสองพรอมกนจะสรปไดวา คาของตวแปร X1 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 2
คาของตวแปร X2 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 3
9
และสามารถสรางตารางแสดงการประเมนคาของฟงกชนจดประสงค ไดดงน จาก (maximize) P = 15X1 + 10X2
X2
X1
0
1
2
3
0 0 10 20 30
1 15 25 35 45
2 40 - - -
จากตารางจะเหนไดวาการประเมนคาของฟงกชนจดประสงคของตวแปร X1 ทมคาอยระหวาง 0 ถง 2 และคาของตวแปร X2 ทมคาอยระหวาง 0 ถง 3 ส าหรบคาฟงกชนจดประสงคทไดจะมตวแปร X1 และตวแปร X2 ทสอดคลองกบเงอนไขบงคบทก าหนดให แตถาไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบทก าหนดใหจะไมท าการประเมนคาของฟงกชนจดประสงค เชน กรณทสอดคลองกบเงอนไขบงคบ คาของตวแปร X1 เทากบ 1 และคาของตวแปร X2 เทากบ 2 ซงจะสอดคลองกบเงอนไขบงคบทงสอง ดงน เงอนไขบงคบท 1) 2X1 + 4X2 15 2(1) + 4(2) = 10 15 เงอนไขบงคบท 2) 5X1 + X2 10
5(1) + (2) = 7 10
ท าการแทนคาของตวแปรในฟงกชนจดประสงค จะได
P = 15X1 + 10X2 = 15(1) + 10(2) = 35
กรณทไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบ คาของตวแปร X1 เทากบ 2 และคาของตวแปร X2
เทากบ 1 ซงจะเหนวาไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 2 ดงน 5X1 + X2 10
5(2) + (1) = 11 10 เปนเทจ
10
ดงนนจงไมท าการประเมนคาของฟงกชนจดประสงคในตาราง จากการประเมนคาของฟงกชนจดประสงคในตารางจะไดผลเฉลยทเหมาะสมทสด คอ คาของตวแปร X1 เทากบ 1
คาของตวแปร X2 เทากบ 3
คาของฟงกชนจดประสงค เทากบ 45
จากตวอยางขางตนจะเหนไดวาการหาคาของตวแปร X1 และตวแปร X2 จะตองท าการประเมนคาผลเฉลยทงหมด 12 ชด (3 X 4 = 12) ซงเปนจ านวนทไมมากนกสามารถท าการประเมนไดโดยตรง แตในบางปญหาถาผลเฉลยมจ านวนมากเกนไปซงเปนการยากทจะท าการประเมนคาผลเฉลยทงหมดไดครบทกคา ดงตวอยางตอไปน
ตวอยำงท 1.5 จงหาผลเฉลยของปญหาการวางแผนการผลตสนคา บรษทอดรการผลต ตองการผลตสนคาออกขายจ านวน 3 แบบ คอ แบบ A แบบ B และแบบ C ซงผจดการบรษทตองการทราบวาจะตองผลตสนคาอยางละเทาไรออกมาขายจงจะท าใหไดก าไรมากทสด โดยมขอมลจากฝายผลต ดงน สนคาแบบ A ตองใชแรงงานคน 5 ชวโมง ใชแรงงานเครองจกร 8 ชวโมง และใชไมจ านวน 10 เมตร สนคาแบบ B ตองใชแรงงานคน 4 ชวโมง ใชแรงงานเครองจกร 13 ชวโมง และใชไมจ านวน 9 เมตร และสนคาแบบ C ตองใชแรงงานคน 10
ชวโมง ใชแรงงานเครองจกร 6 ชวโมง และใชไมจ านวน 10 เมตร โดยทบรษทมเวลาใหคนงานท างานไดไมเกน 200 ชวโมง มเวลาใหเครองจกรท างานไดไมเกน 400 ชวโมง และมไมในการผลตทงหมด 300 เมตร ซงฝายการตลาดแจงวาก าไรตอหนวยของสนคาทงสามแบบ คอ 200 บาท 100
บาท และ 150 บาท ตามล าดบ วธท ำ จากปญหาสามารถสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมไดดงตอไปน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 200X1 + 100X2 + 150X3 เงอนไขบงคบ 1) 5X1 + 4X2 + 10X3 200
2) 8X1 + 13X2 + 6X3 400
3) 10X1 + 9X2 + 10X3 300
X1 , X2 , X3 0 และมคาเปนจ านวนเตม การหาผลเฉลยทเหมาะสมทสดในตวอยางนโดยวธการแจงนบโดยตรงนนจะพจารณาเงอนไขบงคบ โดยทเง อนไขบงคบท 1 จะได
คาของตวแปร X1 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 40 คาของตวแปร X2 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 50 คาของตวแปร X3 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 20
11
จากเงอนไขบงคบท 2 จะได
คาของตวแปร X1 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 50 คาของตวแปร X2 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 30
คาของตวแปร X3 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 66
จากเงอนไขบงคบท 3 จะได
คาของตวแปร X1 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 30
คาของตวแปร X2 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 33 คาของตวแปร X3 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 30
เมอท าการพจารณาเงอนไขบงคบทงสามพรอมกนจะสรปไดวา คาของตวแปร X1 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 30 (31 คา) คาของตวแปร X2 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 30 (31 คา) คาของตวแปร X3 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 20 (21 คา)
ดงนนจะเหนไดวาจ านวนของผลเฉลยทตองท าการประเมนมทงหมด 20,181 ชด ซงค านวณไดจาก (31 X 31 X 21 = 20,181) ซงเปนการยากททางบรษทจะท าการประเมนคาของ ผลเฉลยไดครบทกชด แตถาบรษทจะท าการประเมนจรงอาจจะท าใหเสยเวลาและงบประมาณเปนจ านวนมาก
จากการหาผลเฉลยโดยการประเมนคาหรอการแจงนบโดยตรงน เปนวธการหาผลเฉลย ทท าไดงายแตวธการนมขอเสย คอ ถาผลเฉลยมจ านวนมากเกนไปจะเปนการยากทจะประเมนคาผลเฉลยทงหมดไดครบ ซงถาเปนปญหาเกยวกบการท าธรกจอาจจะท าใหเสยเวลาและงบประมาณจ านวนมากในการหาผลเฉลยทเหมาะสมทสด ดงนน จงตองมวธทดและเหมาะสมกวาวธการคนหาผลเฉลยโดยการประเมนคาของผลเฉลยทกชด โดยจะไดศกษาในหวขอตอไป
2. วธกำรแตกกงสำขำและกำรก ำหนดขอบเขต จากการหาผลเฉลยของก าหนดการเชงเสนผลทวไป ผลเฉลยทเปนไปไดอาจมหลายชด ดงนนจะตองท าการคนหาผลเฉลยทเปนไปไดเพยงหนงชดเทานนทท าใหไดผลเฉลยเหมาะสมทสด แตถาจ านวนของผลเฉลยทเปนไปไดมจ านวนมากซงเปนการยากทจะท าการคนหาผลเฉลยใหครบทกชด เพราะฉะนนในหวขอนจะท าการศกษาวธการทไมตองท าการประเมนคาของผลเฉลยทเปนไปไดใหครบทกชด แตจะท าการประเมนคาแคบางชดเทานน ซงวธการคนหาผลเฉลยโดยการประเมนคาของผลเฉลยทเปนไปไดแคบางชดนจะใชวธการแตกกงสาขาและการก าหนดขอบเขต (branch and bound method) ซงมข นตอนในการด าเนนการดงรายละเอยดตอไปน
12
ขนตอนท 1 กำรแตกกงสำขำของปญหำ การหาผลเฉลยของ “ปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม” เขยนแทนดวย (IP1) ซงสามารถท าไดโดยการเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปน “ปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป ” เขยนแทนดวย (LP1) แลวท าการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป ถาผลเฉลยทไดเปนจ านวนเตมแลว ผลเฉลยทไดนจะเปน ผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวย แตถาเฉลยทไดไมเปนจ านวนเตมแสดงวา ผลเฉลยทไดนไมเปนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม ดงนนจะตองท าการหา ผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม โดยการเพมเงอนไขขอบงคบใหมเพมเตม เขาไป สามารถแสดงไดดงน จากปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม
ฟงกชนจดประสงค (maximize หรอ minimize) P = CX เงอนไขบงคบ AX b
X 0 และมคาเปนจ านวนเตม
พจารณาปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป
ฟงกชนจดประสงค (maximize หรอ minimize) P = CX เงอนไขบงคบ AX b
X 0
ถาผลเฉลยของ(LP1) เปนจ านวนเตม ผลเฉลยทไดจะเปนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม (IP1) ดวย แตถาผลเฉลยของ (LP1) ไมเปนจ านวนเตม จะตองท าการหาผลเฉลยตอไปโดยการเพมเงอนไขขอบงคบใหมเขาไปในตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมเดม ดงนนจะไดตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหมแลวท าการหาผลเฉลยใหมตอไป และการหาเงอนไขขอบงคบใหมทจะเพมเตมเขาไป สามารถแสดงไดดงตอไปน
จากการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป ผลเฉลยเหมาะสมทสด ทได คอ ตวแปรทเรยกวา ตวแปรพนฐาน (basic variable) เขยนแทนดวย Xbr โดยทจ านวนตวแปรพนฐานจะเทากบจ านวนของเงอนไขบงคบ (m เงอนไข) และถาตวแปรพนฐานท r (1 r m) มคาเปนจ านวนเตมแลวผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวย แตถาตวแปรพนฐานท r มคาไมเปนจ านวนเตม คอ มคาเปนเศษสวน (เขยนแทนดวย yr0) แลวผลเฉลยทไดจะไมเปนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมเชนกน และจะตองท าการหา ผลเฉลยตอไปโดยการเพมเงอนไขขอบงคบใหม ดงน
(IP1)
(LP1)
13
สมมตใหผลเฉลยของปญหาทไดไมเปนจ านวนเตม คอ ตวแปรพนฐานมคาไมเปนจ านวนเตม ดงนนจะได Xbr = yr0 = [yr0] + fr0
โดยท [yr0] คอ คาจ านวนเตมทนอยกวาคาของ yr0 และ fr0 คอ คาทเปนเศษของ yr0
ยกตวอยางเชน จากการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสน ไดผลเฉลยเปนตวแปรพนฐาน Xbr มคาเทากบ 8.75 ดงนน จ านวนเตมของ Xbr คอ [8.75] = 8 และคาทเปน
เศษ คอ fr0 = 0.75
ดงนน ถาคาของตวแปรพนฐานมคาไมเปนจ านวนเตม จะตองท าการเพมเงอนไขบงคบใหมโดยจะก าหนดใหคาของตวแปรพนฐานเปนจ านวนเตม ดงน 1) Xbr ≤ [yr0] หรอ
2) Xbr ≥ [yr0] + 1 และถาก าหนดให ‹yr0› = [yr0] + 1 ดงนนจะได Xb ≥ ‹yr0›
ถาท าการเตมเงอนไขบงคบท 1 จะเปนการบงคบใหคาของ Xbr ใหม มคานอย
กวาหรอเทากบคาจ านวนเตมทนอยกวาคาของ yr0 และถาเตมเงอนไขบงคบท 2 จะเปนการบงคบ
ใหคาของ Xbr ใหม มคามากกวาหรอเทากบคาจ านวนเตมทนอยกวาคาของ yr0 บวกดวย 1
สามารถแสดงไดดงแผนภาพ ดงตอไปน
ภาพท 1.1 แสดงคา Xbr ของเงอนไขบงคบใหม
จะเหนไดวาเมอเตมเงอนไขบงคบใหม คอ Xbr ≤ [yr0] หรอ Xbr ≥ ‹yr0› ลง
ไปในตวแบบก าหนดการเชงเสนเดม โดยเงอนไขนจะท าการตดคาทอยระหวาง ([yr0] , ‹yr0›) ซงจะ
เปนการตดคาของ yr0 ทเปนเศษสวนระหวางชวง [yr0] ถง ‹yr0› นนเอง
yr0 [yr0] ‹yr0›
Xbr ≤ [yr0] Xbr ≥ ‹yr0›
14
จากวธการเตมเงอนไขบงคบใหมทท าใหคาของตวแปรพนฐานเปนจ านวนเตมนจะเรยกวา กำรแตกกงสำขำของปญหำ (branching)
จากปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป (LP1) ทท าการพจารณาอย ถาผลเฉลยไมเปนจ านวนเตมจะตองท าการหาผลเฉลยใหม โดยการพจารณาปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมเดมแตเพมเงอนไขบงคบใหม ดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize หรอ minimize) P = CX (IP2) เงอนไขบงคบ AX b
Xbr ≤ [yr0] X 0 และมคาเปนจ านวนเตม
หรอ พจารณาปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมเดมแตเพมเงอนไขบงคบใหม
ฟงกชนจดประสงค (maximize หรอ minimize) P = CX (IP3) เงอนไขบงคบ AX b
Xbr ≥ ‹yr0› X 0 และมคาเปนจ านวนเตม
สามารถแสดงขนตอนการแตกกงสาขาปญหาไดดงแผนภาพตอไปน
ภาพท 1.2 การแตกกงสาขาปญหาจาก (IP1)
Xbr ≤ [yr0]
IP1
IP2 IP3
Xbr ≥ ‹yr0›
15
ตอไปจะพจารณาการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม(IP2) โดยการเปลยนปญหา (IP2) ใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป (LP2) แลวท าการหาผลเฉลยของปญหา (LP2) ถาผลเฉลยทไดไมเปนจ านวนเตมแสดงวาเปนผลเฉลยทไดยงไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบ ดงนนจะตองท าการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP2) เชนเดยวกนกบการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP1) แตถาผลเฉลยทไดเปนจ านวนเตมแสดงวาเปนผลเฉลยทสอดคลองกบเงอนไขบงคบแลวจะท าการหยดการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP2) แลวจะยอนกลบมาพจารณาการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม (IP3) ซงวธการนจะเรยกวา กำรท ำยอนกลบ (backtracking) และถาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสน (IP3) เปนจ านวนเตมจะท าการหยดการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP3) แตถาผลเฉลยทไดไมเปนจ านวนเตมจะท าการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP3) ตอไป
สามารถแสดงขนตอนการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP2) ไดดงแผนภาพตอไปน
ภาพท 1.3 การแตกกงสาขาปญหาจาก (IP2)
จากภาพท 1.3 จะท าการพจารณาการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการ เชงเสนจ านวนเตม (IP4) ถาผลเฉลยทไดไมเปนจ านวนเตมแสดงวาเปนผลเฉลยทยงไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบ ดงนนจะท าการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP4) แตถาผลเฉลยทไดเปนจ านวนเตมแสดงวาเปนผลเฉลยทสอดคลองกบเงอนไขบงคบแลวจะท าการหยดการแตกกงสาขาปญหาจาก(IP4) แลวจะยอนกลบมาพจารณาการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม (IP5) ถาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสน (IP5) เปนจ านวนเตมจะท าการหยดการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP5) แตถาผลเฉลยทไดไมเปนจ านวนเตมจะท าการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP5) ตอไป
Xbr ≤ [yr0]
IP1
IP2 IP3
Xbr ≥ ‹yr0›
IP5 IP4
Xbr ≤ [yr0] Xbr ≥ ‹yr0›
16
สามารถแสดงขนตอนการแตกกงสาขาจาก (IP4) ไดดงแผนภาพตอไปน
ภาพท 1.4 การแตกกงสาขาจาก (IP4)
ในท านองเดยวกนจากภาพท 1.4 จะท าการพจารณาการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม (IP6) ถาผลเฉลยทไดเปนจ านวนเตมจะท าการหยดการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP6) แลวยอนกลบมาพจารณาการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม(IP7) ตอไป แตจะเหนไดวาในกระบวนการท ายอนกลบน ยงมปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม(IP5) และ (IP3) อกทจะตองท าการพจารณาการหาผลเฉลย ซงถาท าการพจารณาทกปญหาอาจจะท าใหเกดความยงยากและเสยเวลาในการหาผลเฉลย ดงนนจะตองมวธการเลอกปญหาทเหมาะสมทจะท าการหาผลเฉลย ซงจะไดศกษาในขนตอนตอไป
ขนตอนท 2 กำรก ำหนดขอบเขตของปญหำ จากวธการแตกกงสาขาของปญหาเพอหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการ เชงเสนจ านวนเตม คอ การแตกกงสาขาของปญหาไปเรอยๆ จนกวาผลเฉลยทไดจะเปนจ านวนเตมจงจะหยดการแตกกงสาขาของปญหาทพจารณาอย แลวท าการยอนกลบมาพจารณาปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทไดแตกกงสาขามาจากปญหาเดยวกนกบทไดผลเฉลยเปนจ านวนเตมแลว ซงในการท ายอนกลบจะตองท าการพจารณากอนวาปญหาทจะท าการหาผลเฉลยน
Xbr ≤ [yr0]
IP1
IP2 IP3
Xbr ≥ ‹yr0›
IP5 IP4
IP7 IP6
17
เหมาะสมทจะพจารณาหรอไม โดยใชคาของฟงกชนจดประสงคในการพจารณาเปรยบเทยบวาปญหาใหมทจะพจารณาจะใหผลเฉลยทดกวาผลเฉลยทไดจากปญหาทมผลเฉลยเปนจ านวนเตมแลวหรอไม จากการใชคาของฟงกชนจดประสงคในการพจารณาเปรยบเทยบปญหาวาสมควรทจะพจารณาหาผลเฉลยหรอไมจะเรยกวา กำรก ำหนดขอบเขตของปญหำ (bound) สามารถแสดงขนตอนการแตกกงสาขาและการก าหนดขอบเขตของปญหา ไดดงแผนภาพตอไปน
ภาพท 1.5 การแตกกงสาขาของปญหาทไดผลเฉลยเปนจ านวนเตม
จากภาพท 1.5 การหาผลเฉลยทไดจากการแตกกงสาขาของปญหาจะได ผลเฉลยเปนจ านวนเตมทปญหา (IP6) ดงนนจงจะหยดการแตกกงสาขาจากปญหา (IP6) แลวตองยอนกลบไปพจารณาปญหา (IP7) ซงแตกกงสาขาออกมาจากปญหา (IP4) เหมอนกบปญหา (IP6) แตตองพจารณากอนวาปญหา (IP7) เหมาะสมทจะท าการปรบปรงเพอหาผลเฉลยหรอไม โดยใชการเปรยบเทยบคาของฟงกชนจดประสงคของปญหา (IP7) กบปญหา (IP6) ถาท าการปรบปรงคาของฟงกชนจดประสงคของปญหา (IP7) แลวจะดขนกวาคาของฟงกชนจดประสงคของปญหา (IP6) หรอไม เพราะถาปรบปรงแลวคาของฟงกชนจดประสงคของปญหา (IP7) ไมดขนกวาปญหา (IP6) กไมจ าเปนทจะตองแตกกงสาขาจากปญหา (IP7) แตถาเปรยบเทยบคาของฟงกชนจดประสงคแลว
ผลเฉลยเปนจ ำนวนเตม
Xbr ≤ [yr0]
IP1
IP2 IP3
Xbr ≥ ‹yr0›
IP5 IP4
IP7 IP6
18
ปญหา (IP7) ดขนกวาปญหา (IP6) จะท าการแตกกงสาขาของปญหา (IP7) ตอไป และถาเกดกรณทคาของฟงกชนจดประสงคของปญหา (IP7) ไมดขนกวาปญหา (IP6) แลวจะท าการพจารณาปญหา(IP5) ตอไป
ถาการปรบปรงคาของฟงกชนจดประสงคแลวปญหา (IP5) ดขนกวาปญหา(IP6) แลวจะท าการแตกกงสาขาของปญหา (IP5) แตถาการปรบปรงคาของฟงกชนจดประสงคแลวปญหา (IP5) ไมดข นกวาปญหา (IP6) แลวจะท าการพจารณาปญหา (IP3) ตอไป การแตกกงสาขาของปญหาจะท าไปเรอยๆ จนกระทงไดขอสรปประการใดประการหนง ดงตอไปน 1. คาของฟงกชนจดประสงคของปญหาทก าลงจะพจารณาท าการแตกกงสาขา ไมดขนกวาคาของฟงกชนจดประสงคทมผลเฉลยเปนจ านวนเตม หรอ
2. ปญหาทก าลงพจารณาอยน น เปนปญหาทไมมผลเฉลยท เปนไปได(infeasible solution) หรอ
3. ไดผลเฉลยทสอดคลองกบเงอนไขบงคบทวาคาของตวแปรตดสนใจหรอ ตวแปรพนฐานตองมคาเปนจ านวนเตม
กรณทปญหาก าหนดการเชงเสนทก าลงพจารณาอยมขอสรปอยางใดอยางหนงขางตนแลวไมตองพจารณาการแตกกงสาขาจากปญหานนอกตอไป นนหมายความวาปญหาก าหนดการเชงเสนทก าลงพจารณาอย ไดยตการพจารณาการแตกกงสาขาแลว ซงจะเหนไดวาในการก าหนดขอบเขตของปญหาจะเปนการชวยลดจ านวนปญหาก าหนดการเชงเสนทจะตองท าการพจารณาใหนอยลงซงจะท าใหสะดวกตอการหาผลเฉลยนนเอง และกรณทตวแปรพนฐานทเปน ผลเฉลยเหมาะสมทสดมคาไมเปนจ านวนเตมหลายตวจะท าการเลอกตวแปรทมคาไมเปนจ านวนเตมเพยงหนงตวเทานนเพอใชในการเรมตนการแตกกงสาขาของปญหาซงสามารถเลอกตวแปร ตวใดกอนกได (สามารถใชหลกเกณฑในการเลอกตวแปรทมคาไมเปนจ านวนเตม ไดโดย การพจารณาอตราสวนระหวางคาสมประสทธของตวแปรในฟงกชนจดประสงค หรอ Cj กบคา สมประสทธของตวแปรในเงอนไขบงคบ หรอ aij โดยจะเลอกตวแปรทมอตราสวนมากทสด) สามารถแสดงไดดวยตวอยางตอไปน
ตวอยำงท 1.6 จงหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม จากตวอยางท 1.4 โดยใชวธการแตกกงสาขาและการก าหนดขอบเขตของปญหา ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 15
2) 5X1 + X2 10
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
(IP1)๗
19
วธท ำ เปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไปและท าการหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 15
2) 5X1 + X2 10
X1 , X2 0
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2 + 0S1 + 0S2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 15
2) 5X1 + 1X2 + 0S1+ 1S2 = 10
X1 , X2 , S1 , S2 0
ตารางซมเพลกซท 1 (ตารางเรมตน) Cj 15 10 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 RHS(bi)
0 S1 2 4 1 0 15
0 S2 5 1 0 1 10
Pj 0 0 0 0 0
(Cj – Pj) 15 10 0 0
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 , S1 = 15 , S2 = 10 และ (maximize) P = 0
(LP1)
20
ตารางซมเพลกซท 2
Cj 15 10 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 RHS(bi)
0 S1 0 18
5 1 2
5 11
15 X1 1 1
5 0 1
5 2
Pj 15 3 0 3 30
(Cj – Pj) 0 7 0 – 3
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 2 , X2 = 0 , S1 = 11 , S2 = 0 และ (maximize) P = 30
ตารางซมเพลกซท 3
Cj 15 10 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 RHS(bi)
10 X2 0 1
5
18
1
9
55
18
15 X1 1 0
1
18
2
9
25
18
Pj 15 10 35
18
20
9
925
18
(Cj – Pj) 0 0 35
18
30
9
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน
X1 = 251.38
18
, X2 = 553.05
18
, S1 = 0 , S2 = 0
(maximize) P = 92551.38
18
จำกตำรำงซมเพลกซท 3 ผลเฉลยทไดมตวแปรพนฐำนไมเปนจ ำนวนเตม ดงนนจะท ำกำรหำผลเฉลยใหมโดยกำรเพมเงอนไขขอบงคบใหม แตตวแปรพนฐำนทได คอ X1 และ X2 มคำไมเปนจ ำนวนเตมทง 2 ตวแปร ดงนนจะท ำกำรเลอก 1 ตวแปร เพอใชในกำรสรำงเงอนไขขอบงคบ
21
ใหม โดยการพจารณาอตราสวนระหวางคาสมประสทธของตวแปร X1 และ X2 ในฟงกชนจดประสงค หรอ Cj กบคาสมประสทธของตวแปร X1 และ X2 ในเงอนไขบงคบ หรอ aij ซงจะเลอกตวแปรทมอตราสวนมากทสด สำมำรถแสดงได ดงน
อตราสวนของตวแปร X1 ทมคำมำกทสด คอ 157.5
2
อตราสวนของตวแปร X2 ทมคำมำกทสด คอ 1010
1
ดงนนจะท ำกำรเลอกตวแปร X2 เพอใชในกำรสรำงเงอนไขขอบงคบใหม ดงน
1. X2 ≤ [3.05
] นนคอ X2 ≤ 3 หรอ
2. X2 ≥ ‹3.05
› นนคอ X2 ≥ 4
ท าการเตมเงอนไขบงคบทเปนการบงคบใหคาของตวแปร X2 มคาลดลง คอ X2 ≤ 3 ซงจะไดปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP2) ดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 15
2) 5X1 + X2 10
3) X2 ≤ 3
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
เปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไปและท าการหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 15
2) 5X1 + X2 10
3) X2 ≤ 3
X1 , X2 0
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 15
2) 5X1 + 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 10
3) 0X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 3
(IP2)๗
(LP2)
22
X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0 ตารางซมเพลกซทเหมาะสมทสด
Cj 15 10 0 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 RHS(bi)
0 S1 0 0
1 2
5
18
5 14
15 X1 1 0
0 1
5
1
5
7
5
10 X2 0 1 0 0 1 3
Pj 15 10 0 3 7 51
(Cj – Pj) 0 0 0 – 3 – 7
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน
X1 = 71.4
5 , X2 = 3 , S1 = 14 , S2 = 0 , S3 = 0
และ (maximize) P = 51
จำกผลเฉลยทไดมตวแปรพนฐำนทยงไมเปนจ ำนวนเตม คอ X1 1.4 ดงนนจะท ำกำรหำผลเฉลยใหมทเปนจ ำนวนเตมโดยกำรเพมเงอนไขขอบงคบใหม ดงน 1. X1 ≤ [1.4 ] นนคอ X1 ≤ 1 หรอ
2. X1 ≥ ‹1.4 › นนคอ X1 ≥ 2
ท าการเตมเงอนไขบงคบทเปนการบงคบใหคาของตวแปร X1 มคาลดลง คอ X1 ≤ 1
ดงนนจะไดปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP3) ดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 15
2) 5X1 + X2 10
3) X2 ≤ 3
4) X1 ≤ 1
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
(IP3)๗
23
เปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป และท าการหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 15
2) 5X1 + X2 10
3) X2 ≤ 3
4) X1 ≤ 1
X1 , X2 0
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 = 15
2) 5X1 + 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 = 10
3) 0X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0S4 = 3
4) 1X1 + 0X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 1S4 = 1
X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , S4 0
ตารางซมเพลกซทเหมาะสมทสด
Cj 15 10 0 0 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 S4 RHS(bi)
0 S1 0 0
1 0
0
–2 1
0 S2 0 0
0 1
–1 –5 2
10 X2 0 1 0 0 1 0 3
15 X1 1 0 0 0 0 1 1
Pj 15 10 0 0 10 15 45
(Cj – Pj) 0 0 0 0 –10 –15
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 1 , X2 = 3
S1 = 1 , S2 = 2 , S3 = 0, S4 = 0
(maximize) P = 45
(IP3)
24
จำกผลเฉลยทไดมตวแปรพนฐำนเปนจ ำนวนเตมทงหมดแลว คอ X1 = 1 , X2 = 3
และมคำฟงกชนจดประสงค เทำกบ 45 ดงนนจะท ำกำรหยดกำรหำผลเฉลยของปญหำ(IP3) และตอไปจะท ำกำรยอนกลบไปค ำนวณหำผลเฉลยของปญหำ (IP2) โดยการบงคบใหคาของตวแปร X1
มคาเพมขน คอ X1 ≥ 2 ดงนนจะไดปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP4) ดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 15
2) 5X1 + X2 10
3) X2 3
4) X1 ≥ 2
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
เปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไปและท าการหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 15
2) 5X1 + X2 10
3) X2 ≤ 3
4) X1 ≥ 2
X1 , X2 0
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 + 0A = 15
2) 5X1 + 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 + 0A = 10
3) 0X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0S4 + 0A = 3
4) 1X1 + 0X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 – 1S4 + 1A = 2
X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , S4 , A 0
(IP4)๗
(IP4)
25
ตารางซมเพลกซทเหมาะสมทสด
Cj 15 10 0 0 0 0 –M
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 S4 A RHS(bi)
0 S1 0 18
5 1 2
5 0
0 0 11
15 X1 1 1
5 0 1
5 0
0 0 2
0 S3 0 1 0 0 1 0 0 3
–M A 0 1
5 0 1
5 0 –1 1 0
Pj 15 3+ M
5 0 3+ M
5 0 M –M 30
(Cj – Pj) 0 – M
5+7 0 –3– M
5 0 –M 0
จำกตำรำงซมเพลกซจะเหนไดวำไมมคำ (Cj – Pj) ทเปนบวกแสดงวำไดผลเฉลยทเหมำะสมทสดแลวและอำนผลเฉลยไดดงน X1 = 2 , X2 = 0 , S1 = 11 , S2 = 0 , S3 = 3 , A = 0
(maximize) P = 30
จำกผลเฉลยทไดมตวแปรพนฐำนเปนจ ำนวนเตมทงหมดแลว คอ X1 = 2 , X2 = 0 และมคำฟงกชนจดประสงค เทำกบ 30 ซงจะเหนไดวำคำของฟงกชนจดประสงคของปญหำ (IP4) นอยกวำคำของฟงกชนจดประสงคของปญหำ (IP3) แสดงวำไมสำมำรถพฒนำใหดขนไดอก ดงนนจะท ำกำรหยดกำรหำผลเฉลยของปญหำ (IP4) ตอไปจะท ำกำรยอนกลบไปค ำนวณหำผลเฉลยของปญหำ (IP1) โดยการบงคบใหคาของตวแปร X2 มคาเพมขน คอ X2 ≥ 4 ดงนนจะไดปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม(IP5) ดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 10X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 15
2) 5X1 + X2 10
3) X2 4 X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
(IP5)๗
26
เปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไปและท าการหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 15
2) 5X1 + X2 10
3) X2 ≥ 4
X1 , X2 0
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 10X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 – MA เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0A = 15
2) 5X1 + 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0A = 10
3) 0X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 – 1S3 + 1A = 4
X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , A 0
ตารางซมเพลกซทเหมาะสมทสด
Cj 10 10 0 0 0 –M
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 A RHS(bi)
10 X2 1
2 1
1
4 0
0
0 15
4
0 S2 9
2 0
1
4 1
0 0 25
4
–M A 1
2 0 1
4 0 –1 1 1
4
Pj 10 M
2
10 10 M
4
0 M –M 150 – M
2
(Cj – Pj) M –10( )
2 0 10 M
( )4
0 –M 0
จำกตำรำงซมเพลกซจะเหนไดวำไมมคำ (Cj – Pj) ทเปนบวกแสดงวำไดผลเฉลยทเหมำะสมทสดแลวและอำนผลเฉลยไดดงน
(LP5)
27
X1 = 0 , X2 = 15
4, S1 = 0 , S2 = 25
4 , S3 = 0 , A = 1
4
(maximize) P = 150 – M2
จำกผลเฉลยทได ตวแปรเทยม (A) ยงคงเปนตวแปรพนฐำนอยและคำของฟงกชนกจดประสงคไมสำมำรถหำผลเฉลยไดเพรำะ M มคำมำก (M ) ดงนนปญหำก ำหนดกำร เชงเสนน (IP5) ไมมผลเฉลยทเปนไปได และจะหยดกำรค ำนวณหำผลเฉลยของปญหำ (IP5) เมอท ำกำรยอนกลบไปค ำนวณหำผลเฉลยของปญหำ (IP1) จะพบวำท ำกำรเพมเงอนไขบงคบครบทกปญหำแลว จงสำมำรถสรปไดวำผลเฉลยทไดจำกปญหำ (IP3) เปนผลเฉลยทเหมำะสมทสด ดงนนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม (IP1) คอ ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 15
2) 5X1 + X2 10 X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
ผลเฉลยเหมำะสมทสด คอ X1 = 1 , X2 = 3
และ (maximize) P = 45
สามารถแสดงขนตอนการแตกกงสาขาและการก าหนดขอบเขตของปญหา ไดดงแผนภาพตอไปน
ผลเฉลยเปนจ ำนวนเตม
X1 ≤ 1
IP4 IP3
IP1
IP2 IP5
X2 ≥ 4 X2 ≤ 3
X1 ≥ 2
คำของฟงกชนจดประสงคไมดข น
ไมมผลเฉลยทเปนไปได
28
ภาพท 1.6 การแตกกงสาขาของปญหาจากตวอยางท 1.6
3. วธกำรแจงนบโดยปรยำย วธการแจงนบโดยปรยาย (implicit method) นจะเหมาะกบปญหาก าหนดการเชงเสนแบบทวภาค กลาวคอ เหมาะกบปญหาทมผลเฉลยหรอมตวแปรทตองการตดสนใจมคาเปน 0 หรอ 1 เทานน โดยทวธการแจงนบโดยปรยายจะมกระบวนการเหมอนกบวธการแตกกงสาขาและการก าหนดขอบเขตของปญหาดงทไดกลาวมาแลวขางตน แตจะแตกตางกนในขนตอนการค านวณหาผลเฉลย นนคอ ในการหาผลเฉลยดวยวธการแตกกงสาขาและการก าหนดขอบเขตของปญหาอาจจะใชวธกรำฟ วธซมเพลกซ หรอวธกำรใชโปรแกรมส ำเรจรปในการค านวณหาผลเฉลยไดแตวธการแจงนบโดยปรยายจะหาผลเฉลยโดยการพจารณาจากการค านวณความเปนไปไดของการก าหนดคาของตวแปรตดสนใจใหมคาเปน 0 หรอ 1 เทานน ซงมกระบวนการ ดงน ขนแรกจะตองท าฟงกชนจดประสงคใหอยในรปแบบทเหมาะสม คอ ถาเปนปญหาคาสงสด จะตองท าสมประสทธของตวแปรตดสนใจใหมคานอยกวาหรอเทากบศนย และถาเปนปญหาคาต าสด จะตองท าสมประสทธของตวแปรตดสนใจใหมคามากกวาหรอเทากบศนย หมายความวาตองจดสมประสทธของตวแปรตดสนใจใหมเครองหมายทอาจท าใหคาของฟงกชนจดประสงคมคาทแยลงกวาเดม นนคอถาเปนปญหาคาสงสดฟงกชนจดประสงคจะมคาลดลงถา ตวแปรตดสนใจมคาเทากบ 1 แตถาตวแปรตดสนใจมคาเทากบ 0 จะไดคาของฟงกชนจดประสงคทมคาสงทสด และถาเปนปญหาคาต าสดฟงกชนจดประสงคจะมคาเพมขนถาตวแปรตดสนใจมคาเทากบ 1 แตถาตวแปรตดสนใจมคาเทากบ 0 จะไดคาของฟงกชนจดประสงคทมคาต าทสด การท าฟงกชนจดประสงคใหอยในรปแบบทเหมาะสมจะท าไดโดยการแปลงคาของตวแปรตดสนใจ Xi เปนตวแปร Xi
โดยทจะก าหนดให Xi = 1 – Xi หรอ Xi = 1 – Xi
และเน องจากคาของตวแปรตดสนใจ Xi มคาเทา 0 หรอ 1 ดงนนคาของ
ตวแปร Xi จะมคาเทากบ 1 หรอ 0 เชนกน และจะเรยกตวแปร Xi วา ตวแปรคอมพลเมนต
(complement) ของตวแปร Xi สามารถแสดงไดดวยตวอยางตอไปน
ตวอยำงท 1.7 จงหาผลเฉลยของตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทก าหนดใหตอไปน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 12X2 + 3X3 + 5X4
เงอนไขบงคบ 1) X1 + 13X2 + 4X3 – 5X4 10 2) 5X1 + 2X2 + X3 + 8X4 10
3) 6X1 + X2 – 2X3 – X4 3
4) X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 5
X1 , X2 , X3 , X4 = 0 หรอ 1
(BP1)
29
วธท ำ ท าฟงกชนจดประสงคใหอยในรปแบบทเหมาะสม คอ ท าสมประสทธของตวแปรตดสนใจใหมคานอยกวาหรอเทากบศนย โดยการแทนคาของตวแปร Xi ในเทอมของตวแปร Xi โดยท
ก าหนดให Xi = 1 – Xi ลงในตวแบบ จะได
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5(1 – X1) + 12(1 – X2) + 3(1 – X3) + 5(1 – X4) เงอนไขบงคบ 1) (1 – X1) + 13(1 – X2) + 4(1 – X3) – 5(1 – X4) 10 2) 5(1 – X1) + 2(1 – X2) + (1 – X3) + 8(1 – X4) 10
3) 6(1 – X1) + (1 – X2) – 2(1 – X3) – (1 – X4) 3
4) (1 – X1) + 2(1 – X2) + 4(1 – X3) + 3(1 – X4) 5 X1 , X2 , X3 , X4 = 0 หรอ 1
สามารถเขยนตวแบบใหมไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 25 – 5X1 – 12X2 – 3X3 – 5X4 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 13X2 – 4X3 + 5X4 – 3 2) – 5X1 – 2X2 – X3 – 8X4 – 6
3) – 6X1 – X2 + 2X3 + X4 – 1 4) – X1 – 2X2 – 4X3 – 3X4 – 5
X1 , X2 , X3 , X4 = 0 หรอ 1
จะเหนไดวาฟงกชนจดประสงคอยในรปแบบทเหมาะสมแลว คอ สมประสทธของตวแปรตดสนใจของฟงกชนจดประสงคมคานอยกวาหรอเทากบศนย ซงคาของฟงกชนจดประสงคจะมคาไดมากทสด คอ 25 ถาก าหนดใหตวแปร Xiมคาเทากบ 0 ทงหมด แตถาก าหนดใหตวแปร Xiตวใดตวหนงหรอทกตวมคาเทากบ 1 แลวจะท าใหคาของฟงกชนจดประสงคมคาลดลง ดงนนจากการพจารณาฟงกชนจดประสงค จะสรปไดวาผลเฉลยของปญหาน คอ ตวแปร Xi มคาเทากบ 0
ทงหมด นนคอ ตวแปร Xi จะมคาเทากบ 1 ทงหมดนนเอง จากตวอยางทไดแสดงขางตนเปนการหาผลเฉลยโดยการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงค ซงจะสามารถก าหนดผลเฉลยของปญหาไดวาคาของตวแปรตดสนใจจะมคาเทากบ 0
ทงหมด หรอ 1 ทงหมดได แตผลเฉลยทไดนจะเปนผลเฉลยทเหมาะสมหรอไมจะตองท าการพจารณาทเง อนไขบงคบดวยวาผลเฉลยทไดจากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะสอดคลองกบเงอนไขบงคบหรอไม และเพอใหสะดวกกบการพจารณาจะตองจดเงอนไขบงคบใหอย
(BP1)
30
ในรปของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ ( ) ทกเงอนไขบงคบกอน และจากตวอยางท 1.7 ตวแบบใหมทอยในรปของตวแปร Xi มเงอนไขบงคบท 1 และเงอนไขบงคบท 2 อยในรปของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบแลว แตเงอนไขบงคบท 3 และเงอนไขบงคบท 4 ยงไมอยในรปของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ ดงนนจะท าการคณ (–1) เขาในเงอนไขบงคบทงสอง ดงน จากเงอนไขบงคบท 3) คณดวย (–1) จะได
(– 6X1 – X2 + 2X3 + X4 )(–1) (– 1) (– 1) 6X1 + X2 – 2X3 – X4 1 จากเงอนไขบงคบท 4) คณดวย (–1) จะได
( – X1 – 2X2 – 4X3 – 3X4)(–1) (– 5)(– 1) X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 5
สามารถเขยนตวแบบใหมไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 25 – 5X1 – 12X2 – 3X3 – 5X4 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 13X2 – 4X3 + 5X4 – 3 2) – 5X1 – 2X2 – X3 – 8X4 – 6
3) 6X1 + X2 – 2X3 – X4 1 4) X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 5
X1 , X2 , X3 , X4 = 0 หรอ 1
จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคทไดแสดงขางตนจะไดผลเฉลย คอ คาของ ตวแปร Xi มคาเทากบ 0 ทงหมด แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองเงอนไขบงคบท 1 และเงอนไขบงคบ
ท 2 เพราะถาใหคาของตวแปร Xi มคาเทากบ 0 ทงหมด จะท าใหเงอนไขบงคบไมเปนจรง คอจะท าใหคาทางซายมอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ มคาเทากบ 0 ซงจะมคาไมนอยกวาคาทอยทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ คอ – 3 และ – 6 ตามล าดบ ดงนนแสดงวาจะก าหนดใหตวแปร Xi มคาเทากบ 0 ทงหมดไมได ซงหมายความวาจะท าใหตวแปร Xi มคาเทากบ
1 ทงหมดไมไดดวยนนเอง แตถาตองการใหเงอนไขบงคบท 1 เปนจรง จะตองใหอยางนอยตวแปร X2 เทากบ 1 เพยงตวเดยว หรออาจจะใหตวแปร Xi เทากบ 1 ทงหมดทกตวกได และถาตองการใหเงอนไขบงคบท 2 เปนจรง จะตองใหอยางนอยตวแปร X4 มคาเทากบ 1 เพยงตวเดยว หรออาจจะใหตวแปร Xi เทากบ 1 ทงหมดทกตวกได ดงนนจากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงค
(BP1)
31
และเงอนไขบงคบทงหมด จะไดผลเฉลยของตวแปรตดสนใจ Xi มคาเปนไปไดทง 0 และ 1 นนคอ
จะท าใหตวแปร Xi จะมคาเปนไปไดทง 1 และ 0 ดวยเชนกน จากตวอยางทไดพจารณามานจะเหนไดวาในการก าหนดคาของตวแปรใหมคาเปน 0
หรอ 1 มขนตอนทคอนขางยงยาก ดงนนจะตองท าการศกษาสญลกษณทจะชวยใหการก าหนดคาของตวแปรใหงายและสะดวกมากยงขน การก าหนดคาของตวแปรจะมสญลกษณทเกยวของในการพจารณา ดงน
1. ก าหนดให Qk = { i bi < 0 } และให n(Qk) คอ จ านวนสมาชกทงหมดเซต Qk
หมายความวา Qk คอ เซตของดชนทก ากบเงอนไขบงคบทมคาทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ มคานอยกวา 0 ส าหรบปญหาท k ทพจารณาอย จากตวอยางท 1.7 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 13X2 – 4X3 + 5X4 – 3 2) – 5X1 – 2X2 – X3 – 8X4 – 6
3) 6X1 + X2 – 2X3 – X4 1 4) X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 5
X1 , X2 , X3 , X4 = 0 หรอ 1
จะเหนไดวาเงอนไขบงคบท 1 และเงอนไขบงคบท 2 มคาทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ มคานอยกวา 0 ดงน นจะได Qk = Q1 = { 1 , 2 } และ n(Q1) = 2 ซงหมายความวาจากตวอยางท 1.7 ในการพจารณาเงอนไขบงคบท 1 และเงอนไขบงคบท 2 ไมสามารถก าหนดใหคาของตวแปร Xi มคาเทากบ 0 ทงหมดได แตถาในกรณท Qk = จะได
n(Qk) = 0 แสดงวาไมมเงอนไขบงคบทคาทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ มคานอย
กวา 0 ดงนน ถา Qk = จะสามารถก าหนดใหคาของตวแปร Xi มคาเทากบ 0 ทงหมดได ซง
หมายความวาสามารถก าหนดใหตวแปร Xi มคาเทากบ 1 ทงหมดไดนนเอง
2. ก าหนดให Rk = { j aij < 0 ส าหรบบางคาของ i ทอยใน Qk } และให n(Rk) คอ
จ านวนสมาชกทงหมดเซต Rk หมายความวา Rk คอ เซตของดชนทก ากบตวแปรตดสนใจทมคาของสมประสทธนอยกวา 0 ส าหรบเงอนไขบงคบทมคาทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ มคานอยกวา 0 จากตวอยางท 1.7 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 13X2 – 4X3 + 5X4 – 3 2) – 5X1 – 2X2 – X3 – 8X4 – 6
3) 6X1 + X2 – 2X3 – X4 1
32
4) X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 5
X1 , X2 , X3 , X4 = 0 หรอ 1
จาก Q1 = { 1 , 2 } ดงนนจะพจารณาเฉพาะเงอนไขบงคบท 1 และเงอนไขบงคบท 2 ซงในเงอนไขบงคบท 1 มตวแปรทคาของสมประสทธนอยกวา 0 คอ X1 , X2 , X3 และในเงอนไขบงคบท 2 มตวแปรทคาของสมประสทธนอยกวา 0 คอ X1 , X2 , X3 , X4 ดงนน Rk = R1 = { 1 , 2 , 3 , 4 } และ n(R1) = 4 หมายความวาจะสามารถก าหนดให
คาของตวแปร X1 , X2 , X3 , X4 ตวใดตวหนงหรอทกตวมคาเปน 1 ได แตถา Rk = และ
n(Rk) = 0 แสดงวาไมมสมประสทธของตวแปรใดเลยทมคานอยกวาหรอเทากบศนยในเงอนไขบงคบทมคาทางขวามอนอยกวาหรอเทากบศนย หมายความวาจะไมสามารถก าหนดคาของตวแปรตวใดตวหนงหรอทกตวมคาเปน 1 ได ยกตวอยางเชน เงอนไขบงคบ 5X1 + 2X2 + X3 + X4 – 10
จะไดวาถามตวแปรอยางนอยหนงตวมคาเทากบ 1 จะท าใหเงอนไขบงคบไมเปนจรง จากทไดกลาวมาขางตนจะเหนไดวา ถา n(Qk) 0 จะไมสามารถก าหนดใหคาของ ตวแปร Xi มคาเทากบ 0 ทงหมดได ซงจะมตวแปรตวใดตวหนงมคาเทากบ 1 แตถาเกดกรณท
n(Rk) = 0 ตามมา ซงหมายความวาจะไมสามารถก าหนดคาของตวแปรตวใดตวหนงหรอทกตวมคา
เปน 1 ได ซงจะขดแยงกบกรณท n(Qk) 0 ดงนน ถาในกรณท n(Qk) 0 และ n(Rk) = 0 จะสรปไดวาปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได ดงนนจะไดการสรปการก าหนดคาตวแปรแลวปญหามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม ดงน
การทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม โดยก าหนดให
n
i ij
j=1
t min { 0 , a } ; i = 1, 2, 3, …, m
โดยท it จะเปนผลรวมของคาสมประสทธของตวแปรตวท j ทมคานอยกวาศนยในเงอนไขบงคบท i ทมคาทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ( ib ) มคานอยกวา 0
โดยทจะใชคา it เพอทจะพจารณาหาผลเฉลยของปญหาวาจะมผลเฉลยทเปนไปได
หรอไม โดยจะใชการเปรยบเทยบคา it กบคาทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ( ib )ถาหากคา it มคามากกวา ib สามารถสรปไดวาปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได ยกตวอยางเชน เงอนไขบงคบ 5X1 – 2X2 + X3 – X4 –10
33
จะได it = min { 0 , 5 } + min { 0 , –2 } + min { 0 , –1) } + min { 0 , 4 } = – 3
และ ib = –10 ดงนน it ib แสดงวาเงอนไขบงคบไมมผลเฉลยทเปนไปได จ าก ต ว อ ย า งท
1.7
เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 13X2 – 4X3 + 5X4 – 3 2) – 5X1 – 2X2 – X3 – 8X4 – 6
3) 6X1 + X2 – 2X3 – X4 1 4) X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 5
จะได 1t = min { 0 , –1 } + min { 0 , – 13 } + min { 0 , –4) } + min { 0 , 5 } = – 18 และ 1b = – 3 ดงนน 1t
< 1b แสดงวาเงอนไขบงคบมผลเฉลยทเปนไปได
จะได 2t = min { 0 , – 5 } + min { 0 , – 2 } + min { 0 , –1) } + min { 0 , –8 } = – 16
และ 2b = – 6 ดงนน 2t < 2b แสดงวาเงอนไขบงคบมผลเฉลยทเปนไปได
3. ก าหนดให m
i
i 1
I max { 0 , – b }
หมายความวา I คอ ผลรวมของความเปนไป
ไมได (Sum of Infeasibility) ของปญหาทพจารณาอย จากตวอยางท 1.7
เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 13X2 – 4X3 + 5X4 – 3 2) – 5X1 – 2X2 – X3 – 8X4 – 6
3) 6X1 + X2 – 2X3 – X4 1 4) X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 5
X1 , X2 , X3 , X4 = 0 หรอ 1
จะได I = max { 0, – (– 3) } + max { 0, – (– 6) } + max { 0, – 1 } + max { 0, – 5 }
ดงนน I = 9
4. ก าหนดให m
k i ij
i 1
I j max { 0 , – b a }
หมายความวา kI j คอ ผลรวม
ของความเปนไปไมได ของปญหาท k+1 และถาก าหนดใหคาของตวแปรตดสนใจท j ในปญหาท k มคาเทากบ 1 ดงนนจะท าการค านวณคา kI j เฉพาะตวแปรตดสนใจท j ทอยในเซต Rk เพราะ
34
เนองจากคาของตวแปรทอยในเชตของ Rk สามารถมคาเทากบ 1 ได และการค านวณจะค านวณผลรวมในทกเงอนไขบงคบ จากตวอยางท 1.7
เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 13X2 – 4X3 + 5X4 – 3 2) – 5X1 – 2X2 – X3 – 8X4 – 6
3) 6X1 + X2 – 2X3 – X4 1 4) X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 5
X1 , X2 , X3 , X4 = 0 หรอ 1
จาก Q1 = { 1 , 2 } และ R1 = { 1 , 2 , 3 , 4 } ดงนนจะได 1I 1 = max {0 , 3 + (–1)} + max {0 , 6 + (–5)} + max {0 , –1 + 6} + max {0 , –5 + 1} = 8
1I 2 = max {0 , 3 + (–13)} + max {0 ,6 + (–2)} + max {0 , –1 + 1} + max {0 , –5 + 2} = 4
1I 3 = max {0 , 3 + (– 4)} + max {0 ,6 +(–1)} + max {0 ,–1 + (–2)} + max {0 , –5 + 4} = 5
1I 4 = max {0 , 3 + 5 } + max {0 ,6 + (–8)} + max {0 ,–1 +(–1)} + max {0 , –5 + 3} = 8
และจะก าหนดคาของตวแปรตดสนใจท j ใหมคาเทากบ 1 โดยพจารณาจาก
I = min { kI j } จากตวอยางท 1.7 จะได
I = min { 8 , 4 , 5 , 8 } = 4
จาก I = 4 ทไดนมาจากการค านวณของตวแปร X2 ดงนนจงจะก าหนดใหตวแปร X2 มคาเทากบ 1 และจาก I = 4 ทค านวณไดจะสามารถบอกไดวาเปนผลรวมของความเปนไปไมไดของปญหาใหมทไดจากการแทนคาตวแปร X2 ทมคาเทากบ 1 ดงนนจากตวอยางท 1.7 จะสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP2) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 13 – 5X1 – 3X3 – 5X4 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 4X3 + 5X4 10 2) – 5X1 – X3 – 8X4 – 4
3) 6X1 – 2X3 – X4 0 4) X1 + 4X3 + 3X4 3
X1 , X3 , X4 = 0 หรอ 1
(BP2)
35
ดงนนจะค านวณคาผลรวมของความเปนไปไมได ( I ) ดงน
จาก i m
i
i 1
I max { 0 , – b }
จะได I = max { 0 , –10 } + max { 0 , – (– 4) } + max { 0 , 0 } + max { 0 , –3 }
ดงนน I = 4
จากตวอยางท 1.7 ปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP2) สามารถหาผลเฉลยไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 13 – 5X1 – 3X3 – 5X4 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 4X3 + 5X4 10 2) – 5X1 – X3 – 8X4 – 4
3) 6X1 – 2X3 – X4 0 4) X1 + 4X3 + 3X4 3
X1 , X3 , X4 = 0 หรอ 1
จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X1,X3,X4 มคาเทากบ 0 ทงหมด แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 2 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยตามขนตอนทไดกลาวมาขางตน ดงน
1. จาก Qk = { i bi < 0 } จะได Q2 = { 2 } และ n(Q2) = 1 แสดงวายงมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนย ดงนนจะท าการหาผลเฉลยตอไป
2. จาก Rk = { j aij < 0 ส าหรบบางคาของ i ทอยใน Qk}
จะได R2 = { 1 , 3 , 4 } และ n(R2) = 3 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหาม ผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม จาก 2t = min { 0 , – 5 } + min { 0 , –1 } + min { 0 , – 8) } = –14
และ 2b = – 4 ดงนน 2t < 2b แสดงวาปญหามผลเฉลยทเปนไปได
3. จาก
i m
k i ij
i 1
I j max { 0 , – b a }
ดงนนจะได
2I 1 = max{0 , –10 + (–1)} + max{0 , 4 + (– 5)} + max{0 , 0 + 6} + max{0 , – 3 + 1} = 6
2I 3 = max{0 , –10 + (– 4)} + max{0 , 4 + (– 1)} + max{0 , 0 + (–2)} + max{0 , – 3 + 4} = 4
2I 4 = max{0 , –10 + 5 } + max{0 , 4 + (– 8)} + max{0 , 0 + (–1)} + max{0 , – 3 + 3} = 0
(BP2)
36
4. ก าหนดคาของตวแปรตดสนใจท j ใหมคาเทากบ 1 โดยพจารณา I = min { kI j } จะได I = min { 6 , 4 , 0 } = 0
ดงนนจงจะก าหนดใหตวแปร X4 มคาเทากบ 1 และจาก I = 0 ทค านวณไดจะสามารถบอกไดวาเปนผลรวมของความเปนไปไมไดของปญหาใหมทไดจากการแทนคาตวแปร X4 ทมคาเทากบ 1 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP3) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 8 – 5X1 – 3X3 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 4X3 5
2) – 5X1 – X3 4
3) 6X1 – 2X3 1 4) X1 + 4X3 0
X1 , X4 = 0 หรอ 1
ท าการค านวณคาผลรวมของความเปนไปไมได ( I ) ไดดงน
จาก i m
i
i 1
I max { 0 , – b }
จะได I = max { 0, – 5) } + max { 0, – 4 } + max { 0, –1 } + max { 0, 0 }
ดงนน I = 0
จากปญหาใหม (BP3) ท าการหาผลเฉลยตอไปไดดงน จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X1, X3 มคาเทากบ 0 ทงหมด และผลเฉลยนจะสอดคลองกบเงอนไขบงคบทงหมดดวย นนคอ จาก Q3 = และ n(Q3) = 0 แสดงวาไมมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนยแลว
ดงนนจะหยดการพจารณาแตกกงสาขาจากปญหา(BP3) และผลเฉลยทไดคอ
X1 = 0 , X2 = 1 , X3 = 0 , X4 = 1 (maximize) P = 8
ตอไปจะท ำกำรยอนกลบมาพจารณาปญหา (BP2) คอ ก าหนดใหคาตวแปร X4 ใหมคาเทากบ 0 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP4) ไดดงน
(BP3)
37
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 13 – 5X1 – 3X3 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 4X3 10 2) – 5X1 – X3 – 4
3) 6X1 – 2X3 0 4) X1 + 4X3 3
X1 , X3 = 0 หรอ 1
จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X1 , X3 มคาเทากบ 0 ทงหมด แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 2 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยตามขนตอนทไดกลาวมาขางตน ดงน
1. จาก Qk = { i bi < 0 } จะได Q4 = { 2 } และ n(Q4) = 1 แสดงวายงมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนย ดงนนจะท าการหาผลเฉลยตอไป
2. จาก Rk = { j aij < 0 ส าหรบบางคาของ i ทอยใน Qk}
จะได R4 = { 1, 3 } และ n(R4) = 2 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหาม ผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม จาก 2t = min { 0 , – 5 } + min { 0 , –1 } = – 6 และ 2b = – 4
ดงนน 2t < 2b แสดงวาปญหามผลเฉลยทเปนไปได
3. จาก
i m
k i ij
i 1
I j max { 0 , – b a }
ดงนนจะได
4I 1 = max{0 , –10 + (– 1)} + max{0 , 4 + (– 5)} + max{0 , 0 + 6} + max{0 , –3 + 1} = 6
4I 3 = max{0 , –10 + (– 4)} + max{0 , 4 + (– 1)} + max{0 , 0 + (–2)} + max{0 , –3 + 4} = 4
4. ก าหนดคาของตวแปรตดสนใจท j ใหมคาเทากบ 1 โดยพจารณา I = min { kI j } จะได I = min { 6 , 4 } = 4
(BP4)
38
ดงนนจงจะก าหนดใหตวแปร X3 มคาเทากบ 1 และจาก I = 4 ทค านวณไดจะสามารถบอกไดวาเปนผลรวมของความเปนไปไมไดของปญหาใหมทไดจากการแทนคาตวแปร X3 ทมคาเทากบ 1 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP5) ไดดงน
ฟงกชนจดประสงค(maximize) P = 10 – 5X1 เงอนไขบงคบ 1) – X1 14 2) – 5X1 – 3
3) 6X1 2 4) X1 –1
X1 = 0 หรอ 1
จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X1 มคาเทากบ 0 แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 2 และเงอนไขบงคบท 4 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยตามขนตอนทไดกลาวมาขางตน ดงน
1. จาก Qk = { i bi < 0 } จะได Q5 = { 2 , 4 } และ n(Q5) = 2 แสดงวายงมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนย ดงนนจะท าการหาผลเฉลยตอไป
2. จาก Rk = { j aij < 0 ส าหรบบางคาของ i ทอยใน Qk}
จะได R5 = { 1 } และ n(R4) = 1 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม
จาก 2t = min { 0 , – 5 } = – 5 และ 2b = – 3 ดงนน 2t < 2b แสดงวา
ปญหามผลเฉลยทเปนไปได และ 4t = min { 0 , 1 } = 0 และ 4b = – 1 ดงน น 4t
4b แสดงวา
ปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได
จะเหนไดวาไมมตวแปรทท าใหเงอนไขบงคบท 4 เปนจรงได ดงนนจงหยดการพจารณาปญหา (BP5) แลวท าการยอนกลบมาพจารณาปญหา (BP4) คอ ก าหนดใหคาตวแปร X3 ใหมคาเทากบ 0 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP6) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 13 – 5X1 เงอนไขบงคบ 1) – X1 10 2) – 5X1 – 4
(BP5)
(BP6)
39
3) 6X1 0 4) X1 3
X1 = 0 หรอ 1
จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X1 มคาเทากบ 0 แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 2 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยตามขนตอนทไดกลาวมาขางตน ดงน
1. จาก Qk = { i bi < 0 } จะได Q6 = { 2 } และ n(Q6) = 1 แสดงวายงมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนย ดงนนจะท าการหาผลเฉลยตอไป
2. จาก Rk = { j aij < 0 ส าหรบบางคาของ i ทอยใน Qk}
จะได R6 = { 1 } และ n(R6) = 1 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยท
เปนไปไดหรอไม จาก 2t = min { 0 , – 5 } = – 5 และ 2b = –4 ดงนน 2t < 2b แสดงวาปญหามผลเฉลยทเปนไปได
3. จาก
i m
k i ij
i 1
I j max { 0 , – b a }
ดงนนจะได
6I 1 = max{0 , –10 + (– 1)} + max{0 , 4 + (– 5)} + max{0 , 0 + 6} + max{0 , – 3 + 1} = 6
4. ก าหนดคาของตวแปรตดสนใจท j ใหมคาเทากบ 1 โดยพจารณา I = min { kI j } จะได I = min { 6 } = 6
ดงนนจงจะก าหนดใหตวแปร X1 มคาเทากบ 1 แตถาก าหนดใหคาตวแปร X1 เทากบ 1 จะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 3 แสดงวาปญหานไมมผลเฉลยทเปนไปได ดงนนจงหยดการพจารณาปญหา (BP6) และจาก I = 6 ทค านวณไดจะสามารถบอกไดวาเปนผลรวมของความเปนไปไมไดของปญหาใหมทไดจากการแทนคาตวแปร X1 ทมคาเทากบ 1
ท าการยอนกลบมาพจารณาปญหา (BP1) คอ ก าหนดใหคาตวแปร X2 ใหมคาเทากบ 0 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP7) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 25 – 5X1– 3X3 – 5X4 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 4X3 + 5X4 – 3 2) – 5X1 – X3 – 8X4 – 6
3) 6X1 – 2X3 – X4 1 (BP7)
40
4) X1 + 4X3 + 3X4 5
X1 , X3 , X4 = 0 หรอ 1
จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X1,X3,X4 มคาเทากบ 0 ทงหมด แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 1 และเงอนไขบงคบท 2 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยตามขนตอนทไดกลาวมาขางตน ดงน
1. จาก Qk = { i bi < 0 } จะได Q7 = { 1 , 2 } และ n(Q7) = 2 แสดงวายงมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนย ดงนนจะท าการหาผลเฉลยตอไป
2. จาก Rk = { j aij < 0 ส าหรบบางคาของ i ทอยใน Qk}
จะได R7 = { 1 , 3 , 4 } และ n(R7) = 3 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหาม ผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม จาก 1t = min { 0, –1 } + min { 0, – 4 } + min { 0, 5) } = –5 และ 1b = – 3
ดงนน 1t < 1b แสดงวาปญหามผลเฉลยทเปนไปได
และ 2t = min { 0, –5 } + min { 0, –1 } + min { 0, – 8) } = –14 และ 2b = – 6
ดงนน 2t < 2b แสดงวาปญหามผลเฉลยทเปนไปได
3. จาก
i m
k i ij
i 1
I j max { 0 , – b a }
ดงนนจะได
7I 1 = max{0 , 3 + (–1)} + max{0 , 6 + (–5)} + max{0 , –1 + 6} + max{0 , – 6 + 1} = 8
7I 3 = max{0 , 3 + (– 4)} + max{0 , 6 + (–1)} + max{0 , –1 + (–2)} + max{0 , – 6 + 4} = 5
7I 4 = max{0 , 3 + 5 } + max{0 , 6 + (– 8)} + max{0 , –1 + (–1)} + max{0 , – 6 + 3} = 8
4. ก าหนดคาของตวแปรตดสนใจท j ใหมคาเทากบ 1 โดยพจารณา I = min { kI j } จะได I = min { 8 , 5 , 8 } = 5
ดงนนจงจะก าหนดใหตวแปร X3 มคาเทากบ 1 และจาก I = 5 ทค านวณไดจะสามารถบอกไดวาเปนผลรวมของความเปนไปไมไดของปญหาใหมทไดจากการแทนคาตวแปร X3 ทมคาเทากบ 1 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP8) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 22 – 5X1 – 5X4 เงอนไขบงคบ 1) – X1 + 5X4 1
2) – 5X1 – 8X4 – 5 (BP8)
41
3) 6X1 – X4 3 4) X1 + 3X4 1
X1 , X4 = 0 หรอ 1
ท าการค านวณคาผลรวมของความเปนไปไมได ( I ) ไดดงน
จาก i m
i
i 1
I max { 0 , – b }
จะได I = max { 0 , –1 } + max { 0 , 5 } + max { 0 , –3 } + max { 0 , –1 }
ดงนน I = 5 จากปญหาใหม (BP8) ท าการหาผลเฉลยตอไปไดดงน จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X1, X4 มคาเทากบ 0 ทงหมด แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 2 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยตามขนตอนทไดกลาวมาขางตน
1. จาก Qk = { i bi < 0 } จะได Q8 = { 2 } และ n(Q8) = 1 แสดงวายงมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนย ดงนนจะท าการหาผลเฉลยตอไป
2. จาก Rk = { j aij < 0 ส าหรบบางคาของ i ทอยใน Qk}
จะได R8 = { 1 , 4 } และ n(R8) = 2 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหาม ผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม จาก 2t = min { 0 , – 5 } + min { 0 , – 8 } = – 13 และ 2b = – 5
ดงนน 2t < 2b แสดงวาปญหามผลเฉลยทเปนไปได
3. จาก
i m
k i ij
i 1
I j max { 0 , – b a }
ดงนนจะได
8I 1 = max{0 , –1 + (– 1)} + max{0 , 5 + (– 5)} + max{0 , – 3 + 6} + max{0 , – 1 + 1} = 3
8I 4 = max{0 , –1 + 5 } + max{0 , 5 + (– 8)} + max{0 , – 3 + (– 1)} + max{0 , – 1 + 3} = 6
4. ก าหนดคาของตวแปรตดสนใจท j ใหมคาเทากบ 1 โดยพจารณา I = min { kI j } จะได I = min { 3 , 6 } = 3
ดงนนจงจะก าหนดใหตวแปร X1 มคาเทากบ 1 และจาก I = 3 ทค านวณไดจะสามารถบอกไดวาเปนผลรวมของความเปนไปไมไดของปญหาใหมทไดจากการแทนคาตวแปร X1 ทมคาเทากบ 1 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP9) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 17 – 5X4 เงอนไขบงคบ 1) 5X4 2
2) – 8X4 0 (BP9)
42
3) – X4 – 3 4) 3X4 0
X4 = 0 หรอ 1
ท าการค านวณคาผลรวมของความเปนไปไมได ( I ) ไดดงน
จาก i m
i
i 1
I max { 0 , – b }
จะได I = max { 0 , – 2) } + max { 0 , 0 } + max { 0 , 3 } + max { 0 , 0 }
ดงนน I = 3 จากปญหาใหม(BP9) ท าการหาผลเฉลยตอไปไดดงน จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X4 มคาเทากบ 0 แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 3 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยตามขนตอนทไดกลาวมาขางตน ดงน
1. จาก Qk = { i bi < 0 } จะได Q9 = { 3 } และ n(Q9) = 1 แสดงวายงมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนย ดงนนจะท าการหาผลเฉลยตอไป
2. จาก Rk = { j aij < 0 ส าหรบบางคาของ i ทอยใน Qk}
จะได R9 = { 3 } และ n(R9) = 1 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม จาก 3t = min { 0 , –1 } = – 1 และ 3b = – 3 ดงนน 3t
3b แสดงวา
ปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได
จะเหนไดวาไมมตวแปรทท าใหเงอนไขบงคบท 3 เปนจรงได ดงนนจงหยดการพจารณาปญหา (BP9) แลวท าการยอนกลบมาพจารณาปญหา (BP8) คอ ก าหนดใหคาตวแปร X1 ใหมคาเทากบ 0 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP10) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 22 – 5X4 เงอนไขบงคบ 1) 5X4 1
2) 8X4 – 5
3) X4 3 4) 3X4 1
X4 = 0 หรอ 1
วธท ำ
(BP10)
43
จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X4 มคาเทากบ 0 แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 2 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยตามขนตอนทไดกลาวมาขางตน ดงน
1. จาก Qk = { i bi < 0 } จะได Q10 = { 2 } และ n(Q10) = 1 แสดงวายงมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนย ดงนนจะท าการหาผลเฉลยตอไป
2. จาก Rk = { j aij < 0 ส าหรบบางคาของ i ทอยใน Qk}
จะได R10 = { 2 } และ n(R10) = 1 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม จาก 2t = min { 0 , 8 } = 0 และ 2b = – 5 ดงนน 3t
3b แสดงวาปญหา
ไมมผลเฉลยทเปนไปได ดงนนจงหยดการพจารณาปญหา (BP10)
ท าการยอนกลบมาพจารณาปญหา (BP7) คอก าหนดใหคาตวแปร X3 ทมคาเทากบ 0 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP11) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 25 – 5X1 – 5X4 เงอนไขบงคบ 1) – X1 + 5X4 – 3 2) – 5X1 – 8X4 – 6
3) 6X1 – X4 1 4) X1+ 3X4 5
X1 , X4 = 0 หรอ 1
จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X1, X4มคาเทากบ 0 ทงหมด แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 1 และเงอนไขบงคบท 2
ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยตามขนตอนทไดกลาวมาขางตน
1. จาก Qk = { i bi < 0 } จะได Q11 = { 1 , 2 } และ n(Q11) = 2 แสดงวายงมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนย ดงนนจะท าการหาผลเฉลยตอไป
2. จาก Rk = { j aij < 0 ส าหรบบางคาของ i ทอยใน Qk}
จะได R11 = { 1 , 2 } และ n(R11) = 2 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม จาก 1t = min { 0, –1 } + min { 0, 5) } = –1 และ 1b = – 3 ดงนน 1t
1b
แสดงวาปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได
(BP11)
44
และ 2t = min { 0, –5 } + min { 0, –8) } = –13 และ 2b = – 6 ดงนน 2t < 2b
แสดงวาปญหามผลเฉลยทเปนไปได จะเหนไดวาไมมตวแปรทท าใหเงอนไขบงคบท 1 เปนจรงได ดงนนจงหยดการพจารณาปญหา (BP11) เนองจากท าการพจารณาปญหาทแตกกงสาขามาจากปญหา (BP1) ครบทกปญหาแลว จงสรปไดวามผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว คอ ผลเฉลยทไดจากปญหา (BP3) นนคอ
X1 = 0 , X2 = 1 , X3 = 0 , X4 = 1
และ (maximize) P = 8
ดงนนจะไดผลเฉลยเหมาะสมทสดของปญหำในตวอยำงท 1.7 คอ
X1 = 1 , X2 = 0 , X3 = 1 , X4 = 0
และ (maximize) P = 8
สามารถแสดงขนตอนการแตกกงสาขาปญหาไดดงแผนภาพตอไปน
ภาพท 1.7 การแตกกงสาขาของปญหาจากตวอยางท 1.7
BP4 BP3
BP1
BP2 BP7
BP11 BP8
BP10 BP9 BP5 BP6
มผลเฉลย ไมมผลเฉลย
ไมมผลเฉลย ไมมผลเฉลย ไมมผลเฉลย ไมมผลเฉลย
X2 = 1 X2 = 0
X4 = 1 X4 = 0 X3 = 0 X3 = 1
X3 = 0
X3 = 1 X1 = 0 X1 = 1
45
จากตวอยางทไดแสดงขางตนสามารถสรปขนตอนการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมแบบทวภาคดวยวธการแจงนบโดยปรยาย ไดดงน 1. กำรจดรปแบบ คอ การจดรปแบบของฟงกชนจดประสงคและเงอนไขบงคบใหอยในรปแบบทเหมาะสม ดงน 1.1 ถาเปนปญหาคาสงสด จะตองท าสมประสทธของตวแปรตดสนใจใหมคานอยกวาหรอเทากบศนย 1.2 ถาเปนปญหาคาต าสด จะตองท าสมประสทธของตวแปรตดสนใจใหมคามากกวาหรอเทากบศนย
1.3 เงอนไขบงคบจะตองอยในรปของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ ( ) ทกเงอนไขบงคบ
2. ก ำหนดขอบเขตของปญหำ พจารณาปญหาท k 2.1 ถาคาทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ ( ) ในเงอนไขบงคบ มคามากกวาหรอเทากบศนย นนคอ Qk = แลวจะสรปไดวา ปญหาทก าลงพจารณาอยมผลเฉลยทเปนไปไดแลว โดยผลเฉลยทได คอ ตวแปรตดสนใจทกตวมคาเทากบ 0 ซงคาของฟงกชนจดประสงคทไดนจะใชเปรยบเทยบกบคาของฟงกชนจดประสงคของปญหาอนตอไป และใหไปพจารณาขนตอนการท ายอนกลบ (ขนตอนท 4) ตอไป 2.2 ถาคาทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ ( ) ในเงอนไขบงคบ มคานอยกวาศนย นนคอ Qk แลวจะสรปไดวา ไมสามารถก าหนดใหตวแปรตดสนใจทกตวมคาเทากบ 0 ได แสดงวาตองมตวแปรตดสนใจอยางนอยหนงตวมคาเทากบ 1 และการทจะก าหนดใหตวแปรใดใหมคาเทากบ 1 ใหไปพจารณาการแตกกงสาขาของปญหา (ขนตอนท 3) ตอไป
3. กำรแตกกงสำขำของปญหำ พจารณาปญหาท k ทคาทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ ( ) ในเงอนไขบงคบ มคานอยกวาศนย นนคอ Qk พจารณาปญหาวามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม โดยใช it ในการทดสอบ 3.1 ถาไมมผลเฉลยทเปนไปได ใหหยดการพจารณาปญหาท k และใหไปพจารณาขนตอนการท ายอนกลบ (ขนตอนท 4) ตอไป 3.2 ถามผลเฉลยทเปนไปได ใหพจารณาการก าหนดคาของตวแปรตดสนใจวาควรจะก าหนดใหตวแปรตดสนใจท j ตวใดใหมคาเทากบ 1 โดยการค านวณคา kI j และถาแทนคา ตวแปรตดสนใจท j ทมคาเทากบ 1 แลวจะไดปญหาท (k + 1) และจะท าการหาผลเฉลยของปญหาตามขนตอนของวธการก าหนดขอบเขตของปญหา (ขนตอนท 2) ตอไป
4. กำรท ำยอนกลบ เมอไดขอสรปของปญหาท k แลว คอ มผลเฉลยทเปนไปไดหรอไมมผลเฉลยทเปนไปได ใหท าการยอนกลบมาพจารณาปญหาท (k – 1) แตจะก าหนดใหคาของตวแปร
46
ตดสนใจมคาเทากบ 0 ซงตวแปรทจะก าหนดใหมคาเทากบ 0 น จะตองเปนตวแปรตวเดยวกบ ตวแปรทมคาเทากบ 1 ทแตกออกมาจากปญหาท (k – 1) และท าการด าเนนการตามวธการก าหนดขอบเขตของปญหา(ขนตอนท 2) ตอไป เมอด าเนนการตามวธการท ายอนกลบของปญหาท (k – 1) และเมอปญหาท (k – 1) เปนปญหาเรมตนทก าหนดใหแลว ดงนนจะสรปไดวา ปญหามผลเฉลยทเหมาะสมทสดแลวหรออาจจะไมมผลเฉลยทเปนไปไดแลวแตกรณ และจะหยดกระบวนการ การหาผลเฉลย ตวอยำงท 1.8 จงหาผลเฉลยของตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทก าหนดใหตอไปน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = X1 + 5X2 + 3X3 + 2X4
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 – 5X3 + 3X4 – 2 2) X1 – X2 – 3X3 + X4 4
3) 7X1 + 4X2 – X3 – 5X4 – 5
X1 , X2 , X3 , X4 = 0 หรอ 1
วธท ำ ตวแบบอยในรปแบบทเหมาะสมแลว คอ ฟงกชนจดประสงคมสมประสทธของตวแปรตดสนใจมคามากกวาหรอเทากบศนย และเงอนไขบงคบอยในรปของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ ( ) ทงหมด
จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลยทมคานอยทสดถาใหตวแปรตดสนใจมคาเทากบ 0 ทงหมด นนคอ คาของตวแปร X1 , X2 , X3 , X4 จะมคาเทากบ 0 ทงหมด แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 1 และ เงอนไขบงคบท 3 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยไดดงตอไปน
1. จาก Qk = { i bi < 0 } จะได Q1 = { 1 , 3 } และ n(Q1) = 2 แสดงวายงมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนย ดงนนจะท าการหาผลเฉลยตอไป
2. จาก Rk = { j aij < 0 ส าหรบบางคาของ i ทอยใน Qk}
จะได R1 = { 3 , 4 } และ n(R2) = 2 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยท
เปนไปไดหรอไม โดยใช i ij
j
t min { 0 , a }
จะได 1t = min { 0 , 2 } + min { 0 , 1 } + min { 0 , – 5 } + min { 0 , 3 } = – 5 และ 1b = – 2
ดงนน 1t < 1b แสดงวาปญหามผลเฉลยทเปนไปได
จะได 3t = min { 0 , 7 } + min { 0 , 4 } + min { 0 , – 1 } + min { 0 , – 5 } = – 6 และ 3b = – 5
(BP1)
47
ดงนน 3t < 3b แสดงวาปญหามผลเฉลยทเปนไปได
3. จาก
i m
k i ij
i 1
I j max { 0 , – b a }
ดงนนจะได
1I 3 = max{0 , 2 + (–5)} + max{0 , – 4 + (–3)} + max{0 , 5 + (–1)} = 4
1I 4 = max{0 , 2 + 3} + max{0 , – 4 + 1} + max{0 , 5 + (– 5)} = 5
4. ก าหนดคาของตวแปรตดสนใจท j ใหมคาเทากบ 1 โดยพจารณา I = min { kI j } จะได I = min { 4 , 5 } = 4
ดงนนจงจะก าหนดใหตวแปร X3 มคาเทากบ 1 และจาก I = 4 ทค านวณไดจะสามารถบอกไดวาเปนผลรวมของความเปนไปไมไดของปญหาใหมทไดจากการแทนคาตวแปร X3 ทมคาเทากบ 1 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP2) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 3 + X1 + 5X2 + 2X4
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 + 3X4 3 2) X1 – X2 + X4 7
3) 7X1 + 4X2 – 5X4 – 4
X1 , X2 , X4 = 0 หรอ 1
ท าการค านวณคาผลรวมของความเปนไปไมได( I ) ไดดงน
จาก i m
i
i 1
I max { 0 , – b }
จะได I = max { 0 , – 3) } + max { 0 , – 7 } + max { 0 , 4 }
ดงนน I = 4
จากปญหาใหม(BP2) ท าการหาผลเฉลยตอไปไดดงน จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลยทมคานอยทสดถาใหตวแปรตดสนใจมคาเทากบ 0 ทงหมด นนคอ คาของตวแปร X1 , X2 , X4 จะมคาเทากบ 0 ทงหมด แต ผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 3 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยไดดงตอไปน
1. จาก Qk = { i bi < 0 } จะได Q2 = { 3 } และ n(Q2) = 1 แสดงวายงมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนย ดงนนจะท าการหาผลเฉลยตอไป
2. จาก Rk = { j aij < 0 ส าหรบบางคาของ i ทอยใน Qk}
(BP2)
48
จะได R2 = { 4 } และ n(R2) = 1 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม จาก 3t = min { 0, 7 } + min { 0, 4 } + min { 0, – 5 } = – 5 และ 3b = – 4
ดงนน 3t < 3b แสดงวาปญหามผลเฉลยทเปนไปได
3. จาก
i m
k i ij
i 1
I j max { 0 , – b a }
ดงนนจะได
2I 4 = max{0 , – 3 + 3} + max{0 , – 7 + 1} + max{0 , 4 + (– 5)} = 0
4. ก าหนดคาของตวแปรตดสนใจท j ใหมคาเทากบ 1 โดยพจารณา I = min { kI j } จะได I = min { 0 } = 0
ดงนนจงจะก าหนดใหตวแปร X4 มคาเทากบ 1 และจาก I = 0 ทค านวณไดจะสามารถบอกไดวาเปนผลรวมของความเปนไปไมไดของปญหาใหมทไดจากการแทนคาตวแปร X4 ทมคาเทากบ 1 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP3) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 5 + X1 + 5X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 0 2) X1 – X2 6
3) 7X1 + 4X2 1
X1 , X2 = 0 หรอ 1
จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลยทมคานอยทสดถาใหตวแปรตดสนใจมคาเทากบ 0 ทงหมด นนคอ คาของตวแปร X1 , X2 จะมคาเทากบ 0 ทงหมด และผลเฉลยนจะสอดคลองกบเงอนไขบงคบทงหมดดวย นนคอ จาก Q3 = และ n(Q3) = 0 แสดงวาไมมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนยแลว ดงนนจะหยดการพจารณาแตกกงสาขาจากปญหา (BP3) และผลเฉลยทไดคอ X1 = 0 , X2 = 0 , X3 = 1 , X4 = 1
และ (minimize) P = 5
ตอไปจะท ำกำรยอนกลบมาพจารณาปญหา (BP2) คอ ก าหนดใหคาตวแปร X4 ใหมคาเทากบ 0 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP4) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 3 + X1 + 5X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 3 2) X1 – X2 7
(BP3)
(BP4)
49
3) 7X1 + 4X2 – 4
X1 , X2 = 0 หรอ 1
จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลยทมคานอยทสดถาใหตวแปรตดสนใจมคาเทากบ 0 ทงหมด นนคอ คาของตวแปร X1 , X2 จะมคาเทากบ 0 ทงหมด แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 3 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยไดดงตอไปน
1. จาก Qk = { i bi < 0 } จะได Q4 = { 3 } และ n(Q4) = 1 แสดงวายงมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนย ดงนนจะท าการหาผลเฉลยตอไป
2. จาก Rk = { j aij < 0 ส าหรบบางคาของ i ทอยใน Qk}
จะได R4 = และ n(R4) = 0 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม จาก 3t = min { 0 , 7 } + min { 0 , 4 } = 0 และ 3b = – 4
ดงนน 3t 3b แสดงวาปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได
ดงนนจงหยดการพจารณาปญหา(BP4) แลวท าการยอนกลบมาพจารณาปญหา (BP1) คอ ก าหนดใหคาตวแปร X3 ใหมคาเทากบ 0 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม(BP5) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค(minimize) P = X1 + 5X2 + 2X4
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 + 3X4 – 2 2) X1 – X2 + X4 4
3) 7X1 + 4X2 – 5X4 – 5
X1 , X2 , X4 = 0 หรอ 1
จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลยทมคานอยทสดถาใหตวแปรตดสนใจมคาเทากบ 0 ทงหมด นนคอ คาของตวแปร X1 , X2 , X4 จะมคาเทากบ 0 ทงหมด แต ผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 1 และเงอนไขบงคบท 3 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยไดดงตอไปน
1. จาก Qk = { i bi < 0 } จะได Q2 = { 1 , 3 } และ n(Q2) = 2 แสดงวายงมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนย
2. จาก Rk = { j aij < 0 ส าหรบบางคาของ i ทอยใน Qk}
จะได R5 = { 4 } และ n(R5) = 1 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม
(BP5)
50
จาก 1t = min { 0 , 2 } + min { 0 , 1 } + min { 0 , 3 } = 0 และ 1b = – 2 ดงนน 1t 1b แสดงวาปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได
ดงนนจงหยดการพจารณาปญหา (BP5) เนองจากท าการพจารณาปญหาทแตกกงสาขามาจากปญหา (BP1) ครบทกปญหาแลว จงสรปไดวามผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว คอ ผลเฉลยทไดจากปญหา (BP3) นนคอ X1 = 0 , X2 = 0 , X3 = 1 , X4 = 1
และ (minimize) P = 5
สามารถแสดงขนตอนการแตกกงสาขาปญหาไดดงแผนภาพตอไปน
ภาพท 1.8 การแตกกงสาขาของปญหาจากตวอยางท 1.8
BP4 BP3
BP1
BP2 BP5
X3 = 1 X3 = 0
X4 = 1 X4 = 0
มผลเฉลย
ไมมผลเฉลย
ไมมผลเฉลย
51
บทสรป
ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม คอ ตวแบบก าหนดการเชงเสนนนเอง เพยงแตเพมเงอนไขในเรองของผลเฉลย ทจะตองเปนเลขจ านวนเตม และขนอยกบวาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมจะเปนประเภทใด โดยสามารถแบงก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมเปน 3 ประเภท ไดแก ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทงหมด ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมแบบผสม และก าหนดการ เชงเสนจ านวนเตมศนย-หนง ในกำรหำผลเฉลยของปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมสามารถท าไดหลายวธเชนเดยวกบการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนรปแบบทวไป เชน วธกรำฟ วธซมเพลกซ และวธกำรใชโปรแกรมส ำเรจรป แตวธการทนยมน ามาใชในการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดส าหรบปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม ไดแก วธการคนหาผลเฉลย และวธการตดพนทออก ส าหรบวธการคนหาผลเฉลย สามารถจ าแนกได 3 วธ ไดแก วธกำรแจกนบโดยตรง วธกำรแตกกงสำขำและกำรก ำหนดขอบเขต และวธกำรแจงนบโดยปรยำย ในการเลอกใชวธการใดขนอยกบลกษณะปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมจะเปนประเภทใด
52
แบบฝกหดบทท 1
จากปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทก าหนดใหตอไปน จงหาผลเฉลยดวยวธการแจงนบโดยตรง
1.1 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 15X2 เงอนไขบงคบ 5X1 + 4X2 11 X1 + 5X2 11
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
1.2 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 20X1 + 30X2 เงอนไขบงคบ 3X1 + 5X2 11 4X1 + 6X2 25
2X1 + 3X2 7
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
1.3 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 30X1 + 10X2 + 20X3
เงอนไขบงคบ 2X1 + 6X2 + 7X3 10 5X1 + 3X2 + 8X3 14
X1 , X2 , X3 0 และมคาเปนจ านวนเตม
1.4 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 20X2 + 10X3
เงอนไขบงคบ 3X1 + 7X2 + 2X3 13 8X1 + 6X2 + 5X3 14
2X1 + 3X2 + 9X3 17
X1 , X2 , X3 0 และมคาเปนจ านวนเตม
53
1.5 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 20X1 + 10X2 + 20X3 + 20X4
เงอนไขบงคบ 2X1 + 8X2 + 2X3 + 4X4 15 8X1 + 4X2 + 10X3 + 5X4 18
7X1 + 3X2 + 5X3 + 10X4 12
X1 , X2 , X3 , X4 0 และมคาเปนจ านวนเตม
จากผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนทก าหนดใหตอไปน จงหาผลเฉลยทเปนจ านวนเตมดวยวธการแตกกงสาขาและการก าหนดขอบเขต
1.6 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 20X1 + 30X2 เงอนไขบงคบ 2X1 + 4X2 15 2X1 + X2 12
X1 , X2 0
ผลเฉลย คอ X1 = 5.5 , X2 = 1 และ (maximize) P = 140
1.7 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 40X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 3X1 + X2 10 2X1 + 6X2 8
X1 , X2 0
ผลเฉลย คอ X1 = 3.25 , X2 = 0.25 และ (maximize) P = 135
1.8 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 30X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ X1 + 3X2 6 2X1 + X2 8
X1 , X2 0
ผลเฉลย คอ X1 = 3.6 , X2 = 0.8 และ (minimize) P = 124
1.9 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 20X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 3X1 + X2 8 2X1 + 4X2 10
X1 , X2 0
ผลเฉลย คอ X1 = 2.2 , X2 = 1.4 และ (minimize) P = 58
54
1.10 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 20X1 + 10X2 + 20X3
เงอนไขบงคบ 3X1 + 4X2 + 2X3 16 2X1 + 2X2 + 5X3 10
X1 , X2 0
ผลเฉลย คอ X1 = 0 , X2 = 3.75 , X3 = 0.5 และ (minimize) P = 47.5
จากผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนทก าหนดใหตอไปน จงหาผลเฉลยทเปนจ านวนเตมดวยวธการแจงนบโดยปรยาย
1.11 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 3X2 + 2X3
เงอนไขบงคบ X1 + 4X2 + 2X3 10 2X1 + X2 + 3X3 8
4X1 + 2X2 + X3 12
X1 , X2 , X3 = 0 หรอ 1
1.12 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 50X1 + 20X2 + 150X3
เงอนไขบงคบ 10X1 + 5X2 + 17X3 25 5X1 + 15X2 + 13X3 – 28
14X1 + 25X2 + 14X3 – 15 X1 , X2 , X3 = 0 หรอ 1
1.13 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 3X02 + 15X3
เงอนไขบงคบ 2X1 + 5X2 + 7X3 – 2 X1 + X2 + 3X3 – 8
4X1 + X2 + 5X3 – 5 X1 , X2 , X3 = 0 หรอ 1
1.14 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 20X2 + 30X3
เงอนไขบงคบ 3X1 + X2 + 2X3 8 2X1 – 3X2 + 6X3 4
2X1 + X2 – 5X3 5
X1 , X2 , X3 = 0 หรอ 1
55
1.15 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 20X1 + 30X2 + 40X3
เงอนไขบงคบ 3X1 – X2 + 4X3 4 X1 + 2X2 + 3X3 6 5X1 + X2 – 2X3 – 5
X1 , X2 , X3 = 0 หรอ 1
บทท 2
การหาผลเฉลยดวยวธการตดพนทออก
การหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวยวธการตดพนทออก (cutting planes method) เปนวธการทท าการตดพนททใหผลเฉลยทไมเปนจ านวนเตมออกแลว ผลเฉลยใหมทไดจะเปนผลเฉลยทเปนเฉพาะจ านวนเตม โดยการเพมเงอนไขบงคบใหมเขาไปใน ตวแบบก าหนดการเชงเสนทผลเฉลยยงไมเปนจ านวนเตม ซงเงอนไขบงคบใหมทเพมลงไปนจะท าหนาทตดผลเฉลยทไมเปนจ านวนเตมออกไปจากพนททมผลเฉลยเปนจ านวนเตม โดยทเง อนไขบงคบใหมทเพมลงไปจะไมขดแยงกบเงอนไขบงคบเดมทมอยกอนแลว ซงเงอนไขบงคบใหมทเพมลงไปนจะเรยกวา เงอนไขบงคบทตยภม (secondary constraint) ซงสามารถจ าแนกวธการสรางเงอนไขบงคบทตยภมได 4 วธ ดงน 1. วธการตดทมสมประสทธของตวแปรมคาเปนหนง (cuts with unit coefficients) 2. วธการตดแบบเศษสวน (fractional cuts) 3. วธการตดแบบจ านวนเตม (all integer cuts) 4. วธการตดแบบผสม (mixed cuts) สามารถแสดงไดดงรายละเอยดตอไปน
วธการตดทสมประสทธของตวแปรมคาเปนหนง
การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดทเปนจ านวนเตมดวยวธการน มแนวความคดทวาเมอท าการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนแลว ถาผลเฉลยเหมาะสมทสดทไดไมเปนจ านวนเตม จะไดวา ตวแปรพนฐานทกตวจะมคาไมเทากบ 0 และตวแปรไมพนฐานทกตวจะมคาเทากบ 0 ซงหมายความวาการทตวแปรไมพนฐานทกตวมคาเทากบ 0 นจะท าใหผลเฉลยทไดมคาไมเปนจ านวนเตม ดงนนถาตองการใหผลเฉลยมคาเปนจ านวนเตมจะตองท าใหตวแปรไมพนฐานบางตวมคามากกวา 0 เพราะฉะนนจะไดวาผลรวมของตวแปรไมพนฐานทกตวมคามากกวา 0 ดงนนจะไดเงอนไขบงคบใหมทจะเพมลงในตวแบบของปญหาก าหนดการเชงเสน หรอทเรยกวาเงอนไขบงคบทตยภม ไดดงน
j R
Xj 0 ----------------------(1)
โดยท R คอ กลมของตวแปรไมพนฐาน
จากรปแบบของเงอนไขบงคบ (1) ทไดจะอยในรปของเครองหมายมากกวาอยางเดยวซงจะเปนการยากในการหาผลเฉลย เพราะจะไมสามารถเตมตวแปรสวนเกนลงไปในเงอนไขบงคบได ดงนนจะท าการแปลงเงอนไขบงคบ (1) ใหอยรปของเครองหมายมากกวาหรอเทากบ ไดดงน
56
j R
Xj ----------------------(2)
โดยท คอ คาทมากกวาศนยทเหมาะสม
จากรปแบบของเงอนไขบงคบ (2) ทอยในรปของเครองหมายมากกวาหรอเทากบ ซงจะชวยท าใหการหาผลเฉลยไดงายขน เพราะจะสามารถเตมตวแปรสวนเกนลงไปในเงอนไขบงคบได และโดยทวไปแลวปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทสมประสทธของตวแปรตดสนใจมคาเปนจ านวนเตม และคาทางขวามอของเครองหมายมากกวาหรอเทากบมคาเปนจ านวนเตมแลวจะสามารถก าหนดใหคาของ ใหมคาเทากบ 1 ดงน นจะไดเงอนไขบงคบใหมทอยในรปของเครองหมายมากกวาหรอเทากบ ดงน
j R
Xj 1 ----------------------(3)
เมอท าการเพมเงอนไขบงคบ (3) ทอยในรปของเครองหมายมากกวาหรอเทากบ ซงจะเรยกวาเงอนไขบงคบทตยภม ลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสนแลวเงอนไขบงคบนจะท าหนาทตดพนททไมใชคาจ านวนเตมออกไป ซงจะเหนไดวาสมประสทธของตวแปรไมพนฐานในเงอนไขบงคบมคาเปน 1 ทงหมด ดงนนจะเรยกวธการเพมเงอนไขบงคบทตยภมทมสมประสทธของตวแปรไมพนฐานในเงอนไขบงคบมคาเปน 1 ทงหมดนวา การตดทมสมประสทธของตวแปรมคาเปนหนง และท าการหาผลเฉลยของปญหาใหมตอไป ถาตวแปรตดสนใจมคาเปนคาจ านวนเตมทกคา แสดงวาผลเฉลยทไดเปนผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว แตถาตวแปรตดสนใจบางคาไมเปนจ านวนเตม แสดงวาผลเฉลยทไดยงไมใชผลเฉลยเหมาะสมทสด จะตองท าการสรางเงอนไขทตยภมใหมเพมลงไปในตวแบบของปญหาอก แลวท าการหาผลเฉลยของปญหาใหมตอไป จนกระทงไดตวแปรตดสนใจมคาเปนคาจ านวนเตมทกคาหรอจนกวาไมมผลเฉลยทเปนไปได
สรปขนตอนการหาผลเฉลยดวยวธการตดทมสมประสทธของตวแปรมคาเปนหนง
1. เปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป 2. ท าการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป 2.1 ถาผลเฉลยเหมาะสมทสดเปนจ านวนเตมแสดงผลเฉลยทไดนเปนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมเชนกน 2.2 ถาผลเฉลยเหมาะสมทสดไมเปนจ านวนเตม ใหด าเนนการตามขนตอนท 3 ตอไป
3. ท าการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ตามอสมการ (3) เพมลงไปในปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม แลวยอนกลบไปด าเนนการตามขนตอนท 1 สามารถแสดงไดดวยตวอยางตอไปน
57
ตวอยางท 2.1 จงหาผลเฉลยของตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทก าหนดใหตอไปน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 6X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 15
2) 3X1 + 2X2 10 X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
วธท า
ท ำกำรเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 6X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 15
2) 3X1 + 2X2 10
X1 , X2 0
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 6X2 + 0S1 + 0S2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 + 1S1 + 0S2 = 15
2) 3X1 + 2X2 + 0S1 + 1S2 = 10
X1 , X2 , S1 , S2 0 S1 , S2 คอ ตวแปรสวนขำด
ตารางซมเพลกซท 1
Cj 5 6 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 RHS(bi)
0 S1 2
5
1
0
15
0 S2 3
2
0
1
10
Pj 0 0 0
0 0
(Cj – Pj) 5
6 0
0
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 , S1 = 12 , S2 = 10 (maximize) P = 0
(IP1)
(LP1)
58
ตารางซมเพลกซท 2
Cj 5 6 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 RHS(bi)
6 X2 2
5 1
1
5 0
3
0 S2 11
5 0
2
5 1
4
Pj 4 6 6
5 0 18
(Cj – Pj) 1
0 6
5 0
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 3 , S1 = 0 , S2 = 4 (maximize) P = 18
ตารางซมเพลกซท 3
Cj 5 6 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 RHS(bi)
6 X2 0
1
3
11
2
11
25
11
5 X1 1
0
2
11
5
11
20
11
Pj 5 6 8
11
13
11
250
11
(Cj – Pj) 0
0 8
11
13
11
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน
X1 = 20
11 , X2 = 25
11 , S1 = 0 , S2 = 0
(maximize) P = 250
11
59
จำกตำรำงซมเพลกซท 3 ผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยเหมำะสมทสดแตเปนผลเฉลยทไมเปนจ ำนวนเตม ดงนนจะท ำกำรหำผลเฉลยใหมโดยกำรเพมเงอนไขบงคบทตยภมลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสนแลวเงอนไขบงคบนจะท าหนาทตดพนททไมใชคาจ านวนเตมออกไป ซงจะเหนไดวำตวแปร S1 , S2 เปนตวแปรไมพนฐำน ดงนนเงอนไขบงคบทตยภม คอ ผลรวมของตวแปรไมพนฐานทกตวมคามากกวาหรอเทากบ 1 สำมำรถแสดงไดดงน S1 + S2 1 หรอ S1 + S2 – S3 = 1 โดยท S3 คอ ตวแปรสวนเกน
ดงนนสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP2) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 6X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 15
2) 3X1 + 2X2 10
3) S1 + S2 1
X1 , X2 , S1 , S2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
ท ำกำรเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 6X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 15
2) 5X1 + 2X2 10
3) S1 + S2 1
X1 , X2 , S1 , S2 0
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 6X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 – MA1 – MA2 – MA3
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 1A1 + 0A2 + 0A3 = 15
2) 3X1 + 2X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0A1 + 1A2 + 0A3 = 10
3) 0X1 + 0X2 + 1S1 + 1S2 – 1S3 + 0A1 + 0A2 + 1A3 = 1 X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , A1 , A2 , A3 0
จำกกำรค ำนวณหำผลเฉลยดวยตำรำงซมเพลกซจะเหนไดวำตวแปรเทยมทเพมลงในเงอนไขบงคบทอยในตำรำงทเปนผลเฉลยเหมำะสมทสดหรอตำรำงสดทำย ถำปญหำมผลเฉลย
(IP2)
(LP2)
60
เหมำะสมทสดแลว ตวแปรเทยมนจะเปนตวแปรไมพนฐำนทมคำเทำกบ 0 เสมอและจะไมกลบมำเปนตวแปรพนฐำนอก และจะไมมผลกระทบกบผลเฉลยของปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมใหมทเพมเงอนไขบงคบทตยภมใหมลงไปเพรำะเปนเพยงตวแปรทสรำงขนเพอใชในกำรเรมตนกำรค ำนวณดวยวธซมเพลกซเทำนน ดงนนในกำรค ำนวณหำผลเฉลยตอจำกตำรำงซมเพลกซทเปน ผลเฉลยเหมำะสมทสดของปญหำเดมจงไมจ ำเปนทจะตองใสตวแปรเทยมทออกมำเปนตวแปรไมพนฐำนแลว แตจะใสเฉพำะตวแปรเทยมทสรำงขนมำใหมเพอใชในกำรเรมตนกำรค ำนวณเทำนน
กำรค ำนวณหำผลเฉลยดวยตำรำงซมเพลกซใหมตอจำกตำรำงซมเพลกซทเปนผลเฉลยเหมำะสมทสดของปญหำเดม มวธกำรค ำนวณทสะดวกกวำทจะเรมค ำนวณจำกตำรำงซมเพลกซเรมตน สำมำรถท ำไดโดยกำรเพมแถวใหมในตำรำงซมเพลกซทเปนผลเฉลยเหมำะสมทสดของปญหำเดม ซงแถวทเพมใหมนจะเปนแถวทเกดจำกเงอนไขบงคบทตยภมใหมทเพมลงไปและท าการเพมหลกใหมในตารางซมเพลกซ คอ หลกของตวแปรสวนขาดหรอตวแปรสวนเกนแลวแตกรณ ซงถาเปนการเพมตวแปรสวนเกนตองเพมตวแปรเทยมใหมดวยเพอใชในกำรเรมตนกำรค ำนวณดวยวธซมเพลกซ แลวท าการค านวณหาผลเฉลยใหมตอไปไดเลยโดยทไมตองท าการเรมค านวณตารางซมเพลกซตงแตเรมตน สำมำรถแสดงไดดงน
ตารางซมเพลกซท 4
Cj 5 6 0 0 0 – M
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 A RHS(bi)
6 X2 0
1
3
11
2
11 0 0 25
11
5 X1 1
0
2
11
5
11 0 0 20
11
–M A 0 0 1 1 – 1
1 1
Pj 5 6 8
11– M
13
11– M M – M 250
11– M
(Cj – Pj) 0
0 M – 8
11 M –13
11 – M 0
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน
X1 = 20
11 , X2 = 25
11 , S1 = 0 , S2 = 0
(maximize) P = 250
11– M
61
ตารางซมเพลกซท 5
Cj 5 6 0 0 0 – M
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 A RHS(bi)
6 X2 0
1
0
5
11
3
11
3
11 2
5 X1 1
0
0
7
11
2
11
2
11 2
0 S1 0 0 1 1 –1
1 1
Pj 5 6 0
5
11
8
11
8
11 22
(Cj – Pj) 0
0 0 5
11
8
11 –M– 8
11
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 2 , X2 = 2 S1 = 1 , S2 = 0 , S3 = 0 (maximize) P = 22
จำกตำรำงซมเพลกซท 5 ผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยเหมำะสมทสดเพรำะตวแปรตดสนใจเปนจ ำนวนเตมทกตวแลว ดงนนผลเฉลยทไดจำกกำรเพมเงอนไขบงคบทตยภมลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสน คอ เงอนไขบงคบทตยภม S1 + S2 1 ดงนนจะสรปไดวา ผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม คอ
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 6X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 15
2) 3X1 + 2X2 10
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
ผลเฉลยเหมำะสมทสดคอ X1 = 2 , X2 = 2 (maximize) P = 22
(IP1)
62
จำกปญหำก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม (IP1) สำมำรถแสดงพนทกำรหำผลเฉลยโดยกรำฟไดดงตอไปน
กราฟท 2.1 แสดงพนทผลเฉลยของปญหาจากตวอยางท 2.1 (IP1)
จากปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP2) ทเพมเงอนไขทตยภม ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 6X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 15
2) 3X1 + 2X2 10
3) S1 + S2 1
X1 , X2 , S1 , S2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
สามารถเปลยนตวแปร S1 , S2 ใหอยในเทอมของตวแปร X1 , X2 ไดดงตอไปน จาก 2X1 + 5X2 + 1S1 + 0S2 = 15 และ 3X1 + 2X2 + 0S1 + 1S2 = 10
ดงนน S1 = 15 – 2X1 – 5X2 และ S2 = 10 – 3X1 – 2X2 และจำก S1 + S2 1
(IP2)
63
ดงนน (15 – 2X1 – 5X2 ) + (10 – 3X1 – 2X2 ) 1
– 5X1 – 7X2 – 24
5X1 + 7X2 24
สามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP2) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 6X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 15
2) 3X1 + 2X2 10
3) 5X1 + 7X2 24
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
สำมำรถแสดงพนทกำรหำผลเฉลยโดยกรำฟไดดงตอไปน
กราฟท 2.2 แสดงพนทผลเฉลยของปญหาทเพมเงอนไขทตยภม (IP2) จากตวอยางท 2.1
(IP2)
64
วธการตดแบบเศษสวน
การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดทเปนจ านวนเตมดวยวธการตดแบบเศษสวนเปนวธการทน าเสนอโดย โกโมร (R.E. Gomory) ซงไดแสดงอสมการพนฐานทจะใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภมและเงอนไขบงคบทตยภมใหมทสรางนจะมสมประสทธของตวแปรเปนทศนยม ซงจะมวธการสรางดงรายละเอยดตอไปน โดยทวไปแลวคาของตวแปรพนฐานในตำรำงซมเพลกซ สำมำรถแสดงไดในรปของสมกำร ไดดงน Xbi = yi0 –
j R
yij Xj -------------------------(1)
ก าหนดให h คอ คาทไมเทากบ 0 น า h คณสมการ (1) จะได
hXbi = hyi0 –j R
hyij Xj
หรอ hXbi + j R
hyij Xj = hyi0 ------------------------(2)
จากขอความทวา คาในสวนทเปนคาเชงจ านวนเตมของจ านวน a ใดๆ จะมคานอยกวาหรอเทากบคาของจ านวนนนๆ เสมอ (ประกอบ จรกต, 2535 : 80) ดงนนจะได [ a ] a
ยกตวอยางเชน [ 6.5 ] = 6 < 6.5
[ 7 ] = 7
[– 4.8 ] = –5 < – 4.8
เพราะฉะนน จาก h คอ คาทไมเทากบ 0 ดงนน [ h ] h ------------------(3) คณอสมการ (3) ดวยตวแปรพนฐาน Xbi ทมคามากกวาหรอเทากบศนย จะได
[ h ] Xbi h Xbi ----------------------(4)
หรอ [ h Xbi ] h Xbi ----------------------(5)
จาก Xbi = yij ดงนนอสมการ (5) สามารถเขยนใหมได
[ hyij ] hyij ----------------------(6)
65
คณอสมการ (6) ดวยตวแปร Xj ทมคามากกวาหรอเทากบศนย จะได
[ hyij ] Xj hyij Xj ----------------------(7)
จากอสมการ (7) เมอท าการรวมทกๆ คา j จะได
j R
[ hyij ] Xj j R
hyij Xj ----------------------(8)
จากอสมการ (4) และอสมการ (8) สามารถเขยนผลรวมของอสมการทงสองไดดงน [ h ] Xbi +
j R
[ hyij ] Xj h Xbi + j R
hyij Xj
จากสมการ (2) hXbi + j R
hyij Xj = hyi0
ดงนน [ h ] Xbi + j R
[ hyij ] Xj hyi0 ----------------------(9)
จากผลเฉลยเหมาะสมทสดของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมตวแปรพนฐาน (Xbi) ทไดจะตองเปนจ านวนเตม ดงนนตวแปรตดสนใจ (Xj) จะเปนจ านวนเตมดวย ซงจะไดวาคาทางซายมอของอสมการ (9) ทกเทอมจะมคาเปนจ านวนเตมทงหมดและผลรวมของคาจ านวนเตมทางซายมอทกเทอมจะมคาไมเกนคาจ านวนเตมของคาทางขวามอของอสมการ (9) ดงนนจะไดวา [ h ] Xbi +
j R
[ hyij ] Xj [ hyi0 ] ----------------------(9)
จากคาของตวแปรพนฐานในสมการ(1); Xbi = yi0 –j R
yij Xj
คณสมการ(1) ดวย [ h ] ทมคามากกวาหรอเทากบศนย จะได
[ h ]Xbi = [ h ]yi0 –j R
[ h ]yij Xj ----------------------(10)
แทนคา [ h ]Xbi ในสมการ(10) ลงในอสมการ(9) จะได
[ h ]yi0 –j R
[ h ]yij Xj + j R
[ hyij ] Xj [ hyi0 ]
j R
[ hyij ] Xj – j R
[ h ]yij Xj [ hyi0 ] – [ h ]yi0 ----------------------(11)
66
ดงนนจะได อสมการ (11) คอ อสมการพนฐานทจะใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภมตามวธการน าเสนอของโกโมร
การสรางเงอนไขบงคบดวยการตดแบบเศษสวน
จากอสมการ(11); j R
[ hyij ] Xj – j R
[ h ]yij Xj [ hyi0 ] – [ h ]yi0 ถาก าหนดให
คา h มคาเทากบ 1 จะได
j R
[ yij ] Xj – j R
yij Xj [ yi0 ] – yi0
j R
{ [ yij ] – yij } Xj [ yi0 ] – yi0 ----------------------(12)
โดยทวไปแลวจ านวนทมคาเปนเศษสวนหรอทศนยม สามารถเขยนไดสองสวนดวยกน คอ สวนทเปนจ านวนเตมและสวนทเปนทศนยม เชน 8.5 สวนทเปนจ านวนเตมคอ 8 และสวนทเปนทศนยม คอ 0.5 ดงนน ถาก าหนดให yij คอ จ านวนใดๆ สามารถเขยนคา yij ไดดงตอไปน
yij = [ yij ] + fi โดยท [ yij ] คอ คาของจ านวนเตมทนอยกวาหรอเทากบคาของจ านวน yij
fij คอ คาทศนยมของจ านวน yij
จากอสมการ (12); j R
{ [ yij ] – yij } Xj [ yi0 ] – yi0 จะได
j R
{ [ yij ] – ( [ yij ] + fij ) } Xj [ yi0 ] – { [ yi0 ] + fi0 } = j R
–( fij ) Xj –fi0
หรอ j R
fij Xj fi0 ----------------------(13)
ดงนนจะไดวา อสมการ (13) คอ อสมการพนฐานทใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ทจะใชตดพนทผลเฉลยทไมเปนจ านวนเตมออก ซงจะเหนไดวาเงอนไขบงคบทตยภมทสรางจากอสมการ (13) เปนการสรางมาจากคาเศษสวนหรอทศนยมของสมประสทธของตวแปรพนฐานในตารางซมเพลกซ ดงนนจะเรยกวธการนวา การหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวยวธการตดแบบเศษสวน
67
สรปขนตอนการหาผลเฉลยดวยวธการตดแบบเศษสวน 1. ท าการเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป 2. ท าการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป
2.1 ถาผลเฉลยเหมาะสมทสดเปนจ านวนเตมแสดงผลเฉลยทไดนเปนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมเชนกน
2.2 ถาผลเฉลยเหมาะสมทสดไมเปนจ านวนเตม ใหด าเนนการตามขนตอนท 3 ตอไป
3. ท าการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ตามอสมการ (13) เพมลงไปในปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม แลวยอนกลบไปด าเนนการตามขนตอนท 1
การหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวยวธการตดแบบเศษสวน จะตองท าการเลอก แถวของตวแปรตดสนใจ Xi ทมคาไมเปนจ านวนเตม เพอใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ซงจะเรยกแถวนวา แถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม (source row) และในการเลอกแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม สามารถเลอกแถวใดกไดถาตวแปรตดสนใจ Xi มคาเปนทศนยมหลายตว ซงจะมความแตกตางกนเฉพาะขนตอนการค านวณในตำรำงซมเพลกซเทานน แตสดทายจะไดผลเฉลยเหมอนกน และเพอความสะดวกในการค านวณมวธการเลอก คอ การเปรยบเทยบคาทเปนทศนยมของตวแปร (fractional value) โดยจะเลอกคาทเปนทศนยมของ ตวแปรทมคามากกวาเปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม สามารถแสดงไดดวยตวอยางตอไปน
ตวอยางท 2.2 จงหาผลเฉลยของตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทก าหนดใหตอไปน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 12X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 15
2) 2X1 + X2 5
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
วธท า
ท าการเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 12X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 15
2) 2X1 + X2 5
X1 , X2 0
(IP1)
(LP1) (LP1)
68
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 12X2 + 0S1 + 0S2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 + 1S1 + 0S2 = 15
2) 2X1 + X2 + 0S1 + 1S2 = 5
X1 , X2 , S1 , S2 0 S1 , S2 คอ ตวแปรสวนขำด
ตารางซมเพลกซท 1
Cj 15 12 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 RHS(bi)
0 S1 2
5
1
0
15
0 S2 2
1
0
1
5
Pj 0 0 0
0 0
(Cj – Pj) 15
12 0
0
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 , S1 = 15 , S2 = 5 (maximize) P = 0
ตารางซมเพลกซท 2
Cj 15 12 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 RHS(bi)
0 S1 0
4
1
–1 10
15 X1 1
0.5
0
0.5
2.5
Pj 15 7.5
0
7.5
37.5
(Cj – Pj) 0
4.5
0
–7.5
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 2.5 , X2 = 0 , S1 = 10 , S2 = 0 (maximize) P = 37.5
69
ตารางซมเพลกซท 3
Cj 15 12 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 RHS(bi)
12 X2 0
1
0.25
– 0.25 2.5
15 X1 1
0
– 0.125 0.625
1.25
Pj 15 12
1.125
6.375
48.75
(Cj – Pj) 0
0
– 1.125 – 6.375
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 1.25 , X2 = 2.5 , S1 = 0 , S2 = 0 (maximize) P = 48.75
จำกตำรำงซมเพลกซท 3 ผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยเหมำะสมทสดแตเปนผลเฉลยทไมเปนจ ำนวนเตมหรอมคำเปนจ ำนวนทศนยม ดงนนจะท ำกำรหำผลเฉลยใหมโดยกำรเพม เงอนไขบงคบทตยภมลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสนแลวเงอนไขบงคบนจะท าหนาทตดพนททไมใชคาจ านวนเตมออกไป โดยจะใชวธการตดแบบเศษสวน ซงจะเหนไดวา ตวแปรตดสนใจ X1 และ X2 มคาเปนทศนยมทงค ดงนนจะตองเลอกแถวของตวแปรตวใดตวหนงในตำรำงซมเพลกซ เพอใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ซงจะเรยกแถวนวา แถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม และในการเลอกแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม จะใชการเปรยบเทยบคาทเปนทศนยมของตวแปร โดยจะเลอกคาทเปนทศนยมของตวแปรทมคามากกวาเปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม
ซงในตวอยางน คาทศนยมของตวแปรตดสนใจ X1 และ X2 มคาเทากน ดงน จาก X1 = 1.25 คาทเปนทศนยมของตวแปรตดสนใจ X1 คอ 0.25
จาก X2 = 2.5 คาทเปนทศนยมของตวแปรตดสนใจ X2 คอ 0.5
ดงนนจะเลอกแถวของตวแปรตดสนใจ X2 เปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม จาก อสมการพนฐานทจะใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภม
j R
fij Xj fi0
จะไดเงอนไขบงคบทตยภม คอ 0.25S1 + 0.75S2 0.5
70
ดงนนสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP2) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 12X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 15
2) 2X1 + X2 5
3) 0.25S1 + 0.75S2 0.5
X1 , X2 , S1 , S2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
ท ำกำรเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 12X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 15
2) 2X1 + X2 5
3) 0.25S1 + 0.75S2 0.5
X1 , X2 , S1 , S2 0
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 12X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 – MA1 – MA2 – MA3
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 1A1 + 0A2 + 0A3 = 15
2) 2X1 + X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0A1 + 1A2 + 0A3 = 5
3) 0X1 + 0X2 + 0.25S1 + 0.75S2 – 1S3 + 0A1 + 0A2 + 1A3 = 0.5
X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , A1 , A2 , A3 0
(LP2)
(IP2)
71
ตารางซมเพลกซท 4
Cj 15 12 0 0 0 –M
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 A RHS(bi)
12 X2 0
1
0.25
–0.25 0 0 2.5
15 X1 1
0
– 0.125 0.625
0 0 1.25
–M A 0 0 0.25 0.75 – 1
1 0.5
Pj 15 12
1.125 – 0.25M 6.375 – 0.75M M –M 48.75 – 0.5M
(Cj – Pj) 0
0
0.25M – 1.125 0.75M – 6.375 –M 0
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 1.25 , X2 = 2.5 , S1 = 0 , S2 = 0 , S3 = 0 , A = 0.5
(maximize) P = 48.75 – 0.5M
ตารางซมเพลกซท 5
Cj 15 12 0 0 0 – M
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 A RHS(bi)
12 X2 0
1
0
– 1 1 – 1 2
15 X1 1
0
0
1 – 0.5 0.5
1.5
0 S1 0 0 1 3 – 4
4 2
Pj 15 12
0
3
4.5
– 4.5 46.5
(Cj – Pj) 0
0
0 – 3 – 4.5 – M –4.5
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 1.5 , X2 = 2 , S1 = 2 , S2 = 0 , S3 = 0
(maximize) P = 46.5
จำกตำรำงซมเพลกซท 5 ผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยเหมำะสมทสดแตตวแปรตดสนใจ X1 เปนผลเฉลยทไมเปนจ ำนวนเตมหรอมคำเปนจ ำนวนทศนยม ดงนนจะท ำกำรหำผลเฉลยใหมโดยกำรเพมเงอนไขบงคบทตยภมลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสน โดยจะใชวธการตดแบบเศษสวน ดงนนในตวอยางนจะเลอกแถวของตวแปรตดสนใจ X1
72
จาก อสมการพนฐานทจะใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภม
j R
fij Xj fi0
จะไดเงอนไขบงคบทตยภม คอ 0.5S3 0.5 หรอ S3 1
ดงนนสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP3) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 12X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 15
2) 2X1 + X2 5
3) 0.25S1 + 0.75S2 0.5
4) S3 1
X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0 และมคาเปนจ านวนเตม
ท าการเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 12X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 15
2) 2X1 + X2 5
3) 0.25S1 + 0.75S2 0.5
4) S3 1
X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 12X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 – MA1 – MA2 – MA3
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 + 1A1 + 0A2 + 0A3 + 0A4 = 15
2) 2X1 + X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 + 0A1 + 1A2 + 0A3 + 0A4 = 5
3) 0X1 + 0X2 + 0.25S1 + 0.75S2 –1S3 + 0S4 + 0A1 + 0A2 + 1A3 + 0A4 = 0.5 4) 0X1 + 0X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 – 1S4 + 0A1 + 0A2 + 0A3 + 1A4 = 1
X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , S4 , A1 , A2 , A3 , A4 0
(IP3)
(LP3)
73
ตารางซมเพลกซท 6
Cj 15 12 0 0 0 0 – M
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 S4 A RHS(bi)
12 X2 0
1
0 – 1 1 0 0 2
15 X1 1
0
0
1
– 0.5 0 0
1.5
0 S1 0 0 1 3 – 4
0 0 2
– M A 0 0 0 0 0.5
– 1
1 0.5
Pj 15 12
0
3
4.5 – M M – M 46.5 – M
(Cj – Pj) 0
0
0 – 3
M – 4.5 – M 0
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 1.5 , X2 = 2 S1 = 2 , S2 = 0 , S3 = 0 , S4 = 0 , A = 0.5
(maximize) P = 46.5 – M
ตารางซมเพลกซท 7
Cj 15 12 0 0 0 0 – M
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 S4 A RHS(bi)
12 X2 0
1
0
– 1 0 2 – 2 1
15 X1 1
0
0
1
0
– 1 1
2
0 S1 0 0 1 3 0
8 -8 6
0 S3 0 0 0 0 1
– 2
2 1
Pj 15 12
0
3
0
9 – 9 42
(Cj – Pj) 0
0
0 – 3 0 – 9 – M+9
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 2 , X2 = 1
S1 = 0 , S2 = 0 , S3 = 1 , S4 = 0
(maximize) P = 42
74
จำกตำรำงซมเพลกซท 7 ผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยเหมำะสมทสดเพรำะตวแปรตดสนใจเปนจ ำนวนเตมทกตวแลว ดงนนผลเฉลยทไดจำกกำรเพมเงอนไขบงคบทตยภมลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสน คอ เงอนไขบงคบทตยภม 0.25S1 + 0.75S2 0.5 และ S3 1
ดงนนจะสรปไดวา ผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม คอ ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 12X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 15
2) 2X1 + X2 5
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
ผลเฉลยเหมำะสมทสดคอ X1 = 2 , X2 = 1 (maximize) P = 42
จำกปญหำก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม (IP1) สำมำรถแสดงพนทกำรหำผลเฉลยโดยกรำฟไดดงตอไปน
กราฟท 2.3 แสดงพนทผลเฉลยของปญหาจากตวอยางท 2.2 (IP1)
(IP1)
75
จากปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP3) ทเพมเงอนไขทตยภม ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 12X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 15
2) 2X1 + X2 5
3) 0.25S1 + 0.75S2 0.5
4) S3 1
X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0 และมคาเปนจ านวนเตม
สามารถเปลยนตวแปร S1 , S2 , S3 ใหอยในเทอมของตวแปร X1 , X2 ไดดงตอไปน จาก 2X1 + 5X2 + 1S1 + 0S2 = 15 และ 2X1 + X2 + 0S1 + 1S2 = 5 ดงนน S1 = 15 – 2X1 – 5X2 และ S2 = 5 – 2X1 – X2 จำกเงอนไขบงคบ 3) 0.25S1 + 0.75S2 0.5
ดงนน 0.25 (15 – 2X1 – 5X2 ) + 0.75 (5 – 2X1 – X2 ) 0.5
– 2X1 – 2X2 – 7
2X1 + 2X2 7
และจำก 0.25S1 + 0.75S2 – S3 = 0.5 จะได S3 = 0.25S1 + 0.75S2 – 0.5
= 0.25 (15 – 2X1 – 5X2 ) + 0.75 (5 – 2X1 – X2 ) – 0.5
= 7.5 – 2X1 – 2X2 – 0.5
= 7 – 2X1 – 2X2 จำกเงอนไขบงคบ 4) S3 1 ดงนน 7 – 2X1 – 2X2 1
–2X1 – 2X2 – 6
X1 + X2 3
สามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP3) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 12X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 15
2) 2X1 + X2 5
3) 2X1 + 2X2 7
4) X1 + X2 3
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
(LP3)
(IP3)
76
สำมำรถแสดงพนทกำรหำผลเฉลยโดยกรำฟไดดงตอไปน
กราฟท 2.4 แสดงพนทผลเฉลยของปญหาทเพมเงอนไขทตยภม (IP3) จากตวอยางท 2.2
วธการตดแบบจ านวนเตม
จากการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดทเปนจ านวนเตมดวยวธการตดแบบเศษสวนทไดกลาวมาแลวขางตนซงเงอนไขบงคบทตยภมทไดจะมสมประสทธของตวแปรเปนทศนยมและจะเหนไดวาเปนการยากและไมสะดวกในการค านวณในตำรำงซมเพลกซ เพรำะอำจจะท ำใหเกดขอผดพลำดในกำรหำผลเฉลยได ดงนน โกโมรผทน าเสนอการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดทเปนจ านวนเตมดวยวธการตดแบบเศษสวน ไดเสนอวธทสามารถค านวณไดงายกวา คอ การสรางเงอนไขบงคบทตยภมทมสมประสทธของตวแปรเปนจ านวนเตมทกตว ซงจะเรยกวธการสรางเงอนไขบงคบทตยภมทมสมประสทธของตวแปรเปนจ านวนเตมทกตวนวา การตดแบบจ านวนเตม ซงหมายความวาในการเรมตนการค านวณดวยตำรำงซมเพลกซ คาตางๆ ในตำรำงจะมคำเปนจ ำนวนเตมทงหมดและ ทกตำรำงในกระบวนกำรค ำนวณจนถงตำรำงสดทำยจะมคาตางๆ ในตำรำงเปนจ ำนวนเตม ทกตำรำงเสมอ ดงรายละเอยดตอไปน
77
การเปลยนเงอนไขบงคบทมคาสมประสทธของตวแปรทเปนเศษสวนหรอเปนทศนยมใหเปนจ านวนเตม เพอใชในการเรมตนการค านวณดวยตำรำงซมเพลกซ มวธการดงตอไปน
เงอนไขบงคบ 1
5X1 + 3
7X2 8
คณ 35 ทงสองขาง จะได 7X1 + 15X2 280
เงอนไขบงคบ 2.5X1 + 5.45X2 10
คณ 100 ทงสองขาง จะได 250X1 + 545X2 100
เมอท าการเปลยนคาของสมประสทธของตวแปรการตดสนใจใหเปนจ านวนเตมแลวจะเรมตนการค านวณในตำรำงซมเพลกซ โดยการพจารณาคณสมบตของตารางซมเพลกซวาม ผลเฉลยเหมาะสมทสดแลวหรอไม (optimality condition) และพจารณาคณสมบตของการม ผลเฉลยทเปนไปได (infeasibility condition) มรายละเอยดดงตอไปน 1. กรณปญหาคาสงสด เมอท าการพจารณาคาของ (Cj – Pj) โดยทถาคาของ (Cj – Pj) เปนจ านวนลบหรอศนยทกคา แลวจะไดวาตารางซมเพลกซมผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว และคาของตวแปรพนฐานทกตวจะตองมคามากกวาหรอเทากบศนย แสดงวาตารางมผลเฉลยทเปนไปได แตถามตวแปรพนฐานบางตวมคานอยกวาศนย แสดงวาตารางมผลเฉลยทเปนไปไมได ซงถาเกดกรณทงสองขนพรอมกนจะท าการเรมตนการค านวณดวยตำรำงซมเพลกซดวยวธการตดแบบจ านวนเตม ดงตวอยางตอไปน
ตวอยางท 2.3 จงหาผลเฉลยของตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทก าหนดใหตอไปน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 20X2
เงอนไขบงคบ 1) X1 + 3X2 12
2) 4X1 + 1X2 8
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
วธท า
ท ำกำรเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 1) X1 + 3X2 12
2) 4X1 + 1X2 8
X1 , X2 0
(IP1)
(LP1)
78
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 20X2 + 0S1 + 0S2
เงอนไขบงคบ 1X1 + 3X2 + 1S1 + 0S2 = 12
4X1 + 1X2 + 0S1 + 1S2 = 8
X1 , X2 , S1 , S2 0 S1 , S2 คอ ตวแปรสวนขำด
ตารางซมเพลกซท 1
Cj 10 20 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 RHS(bi)
0 S1 1
3
1
0
12
0 S2 4
1
0
1
8
Pj 0 0 0
0 0
(Cj – Pj) 10
20 0
0
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 , S1 = 12 , S2 = 8 (maximize) P = 0
จำกตำรำงซมเพลกซท 1 จะเหนไดวำตำรำงยงไมเปนตำรำงเรมตนของวธการตดแบบจ านวนเตม เพรำะคาของ (Cj – Pj) ไมเปนจ านวนลบหรอศนยทกคา และไมมตวแปรพนฐานตวใดทมคานอยกวาศนย ดงนนจะท าการจดตารางใหม ดงน โดยวธปกตแลวจะท าการน าตวแปร X2 เขาเปนตวแปรพนฐานและน าตวแปร S1 ออกจากตวแปรพนฐาน แตในการจดตารางเรมตนใหมจะเปลยนเปนการน าตวแปร X1 เขาเปนตวแปรพนฐานและน าตวแปร S1 ออกจากตวแปรพนฐาน
79
ตารางซมเพลกซท 2
Cj 10 20 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 RHS(bi)
10 X1 1
3
1
0
12
0 S2 0
– 11 – 4 1
– 40
Pj 10 30 10
0 120
(Cj – Pj) 0
– 10 – 10 0
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 12 , X2 = 0 , S1 = 0 , S2 = – 40 (maximize) P = 120
จำกตำรำงซมเพลกซท 2 จะเหนไดวำตำรำงน เปนตำรำงเรมตนของวธการตดแบบจ านวนเตมแลว เพรำะคาของ (Cj – Pj) เปนจ านวนลบหรอศนยทกคา และมตวแปรพนฐานบางตวทมคานอยกวาศนย คอ S2 = – 40 ดงนน ตำรำงซมเพลกซท 2 ทไดน จงเปนตารางเรมตนของกำรค ำนวณดวยวธการตดแบบจ านวนเตมตอไป
2. กรณปญหาคาต าสด เมอท าการพจารณาคาของ (Cj – Pj) โดยทถาคาของ (Cj – Pj) เปนจ านวนบวกหรอศนยทกคา แลวจะไดวาตารางซมเพลกซมผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว และคาของตวแปรพนฐานทกตวจะตองมคามากกวาหรอเทากบศนย แสดงวาตารางมผลเฉลยทเปนไปได แตถามตวแปรพนฐานบางตวมคานอยกวาศนย แสดงวาตารางมผลเฉลยทเปนไปไมได ซงถาเกดกรณทงสองขนพรอมกนจะท าการเรมตนการค านวณดวยตำรำงซมเพลกซ ดวยวธการตดแบบจ านวนเตม ดงตวอยางตอไปน
ตวอยางท 2.4 จงหาผลเฉลยของตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทก าหนดใหตอไปน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2
เงอนไขบงคบ 1) X1 + 3X2 12
2) 4X1 + 1X2 8
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
(IP1)
80
วธท า
ท าการเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป
ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 1) X1 + 3X2 12
2) 4X1 + 1X2 8
X1 , X2 0
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2 เงอนไขบงคบ 1X1 + 3X2 – 1S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 12
4X1 + 1X2 + 0S1 – 1S2 + 0A1 + 1A2 = 8
X1 , X2 , S1 , S2 0 S1 , S2 คอ ตวแปรสวนเกน และ A1 , A2 คอ ตวแปรเทยม
ตารางซมเพลกซท 1
Cj 10 20 0 0 M M
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 A1 A2 RHS(bi)
M A1 1
3
– 1 0
1 0 12M
M A2 4
1
0
– 1 0 1 8M
Pj 5M 4M – M – M M M 20M
(Cj – Pj) 10 – 5M 20 – 4M M
M 0 0
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 , S1 = 0 , S2 = 0 , A1 = 12M , A2 = 8M (maximize) P = 20M
จำกตำรำงซมเพลกซท 1 จะเหนไดวำตำรำงนยงไมเปนตำรำงเรมตนของวธการตดแบบจ านวนเตม เพรำะคาของ (Cj – Pj) ไมเปนจ านวนบวกหรอศนยทกคา และไมมตวแปรพนฐานตวใดทมคานอยกวาศนย ดงนนจะท าการจดตารางใหม โดยการคณ –1 เขาในเงอนไขบงคบ สามารถเขยนตวแบบใหม ไดดงน
(LP1)
81
ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 1) –X1 – 3X2 – 12
2) – 4X1 – 1X2 – 8
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
ท ำกำรเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป
ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 3X2 – 12
2) – 4X1 – 1X2 – 8
X1 , X2 0
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 20X2 + 0S1 + 0S2
เงอนไขบงคบ 1) – 1X1 – 3X2 + 1S1 + 0S2 = – 12
2) – 4X1 – 1X2 + 0S1 + 1S2 = – 8 X1 , X2 , S1 , S2 0
S1 , S2 คอ ตวแปรสวนขำด
ตารางซมเพลกซท 1 ใหม
Cj 10 20 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 RHS(bi)
0 S1 – 1 – 3 1
0
– 12
0 S2 – 4 – 1 0
1
– 8
Pj 0 0 0
0 0
(Cj – Pj) 10
20 0
0
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 , S1 = – 12 , S2 = – 8 (minimize) P = 0
(IP1)
(LP1)
82
จำกตำรำงซมเพลกซท 1 ใหม จะเหนไดวำตำรำงนเปนตำรำงเรมตนของวธการตดแบบจ านวนเตมแลว เพรำะคาของ (Cj – Pj) เปนจ านวนบวกหรอศนยทกคา และมตวแปรพนฐานทมคานอยกวาศนย คอ S1 = –12 และ S2 = –8 ดงนน ตำรำงซมเพลกซท 1 ใหม ทไดน จงเปนตารางเรมตนของกำรค ำนวณดวยวธการตดแบบจ านวนเตม ตอไป
การสรางเงอนไขบงคบดวยการตดแบบจ านวนเตม
จากอสมการพนฐานทจะใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภมตามวธการน าเสนอของ โกโมร ทไดแสดงไวในหวขอทผานมา นนคอ วธการสรางเงอนไขบงคบโดยการตดแบบเศษสวน จะได
j R
[ hyij ] Xj – j R
[ h ] yij Xj [ hyi0 ] – [ h ] yi0 ------------------(1)
ถาก าหนดใหคา h มคาอยระหวาง 0 กบ 1 นนคอ 0 < h < 1 จะไดวาคาจ านวนเตมของ h หรอ [ h ] จะมคาเทากบศนย ดงนนจะได
j R
[ hyij ] Xj [ hyi0 ] ----------------------(2)
การหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวยวธการตดแบบจ านวนเตม จะท าการเลอก แถวของตวแปรพนฐาน yi0 เพอใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ซงจะเรยก
แถวนวา แถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม โดยทจะตองเลอกแถวทตวแปรพนฐาน yi0 มคานอยกวาศนย และในการเลอกแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม สามารถเลอกแถวใดกได ถาตวแปรพนฐาน yi0 มคานอยกวาศนยหลายตว ซงจะมความแตกตางกนเฉพาะขนตอนการค านวณในตำรำงซมเพลกซเทานน แตสดทายจะไดผลเฉลยเหมอนกน และเพอความสะดวกในการค านวณมวธการเลอก คอจะเลอกแถวของตวแปรพนฐาน yi0 ทมคานอยกวาศนยมากทสดเปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม และในการค านวณดวยตำรำงซมเพลกซ ถำก ำหนดใหสมำชกตำมหลก มคาเทากบ – 1 แลวจะไดวาคาตางๆ ในตำรำงซมเพลกซจะมคาเปนจ านวนเตมเสมอ หลงจากการปรบปรงตารางแลว การก าหนดใหคา h มคาอยระหวาง 0 กบ 1 ทเหมาะสมทจะท าใหคาของสมำชกตำมหลกมคาเทากบ – 1 นน มข นตอนดงตอไปน 1. เลอกแถวของตวแปรพนฐานทมคานอยกวาศนยมากทสดเปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม แทนดวยแถวท r
83
2. พจารณาคา yrj คอ คาของสมประสทธของตวแปรในแถวท r โดยทจะเลอกเฉพาะคา
yrj ทมคานอยกวาศนย ซงอาจจะเปนสมำชกตำมหลก ทจะใชในการค านวณเพอปรบปรงตำรำง ซมเพลกซตอไป 3. ก าหนดให Rr คอ เซตของดชนของกลม yrj ทมคานอยกวาศนย นนคอ
Rr = { j yrj < 0 }
4. พจารณาคา yrj ใน Rr และก าหนดใหคา yrk ดงน
yrk = min { yrj j เปนสมาชกของ Rr }
5. ค านวณคา h ทเหมาะสม ดงน h = min { Mj / yrj j เปนสมาชกของ Rr } โดยท Mj = – [ yrj / yrk ]
เมอค านวณคา h ทเหมาะสมแลวจะท าการสรางเงอนไขบงคบทตยภม โดยการแทนคา h
ลงในอสมการท (2) จะได
j R
[ hyrj ] Xj [ hyr0 ] ----------------------(3)
สรปขนตอนการหาผลเฉลยดวยวธการตดแบบจ านวนเตม
1. เปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป 2. ท าการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป 2.1 ถาผลเฉลยเหมาะสมทสดเปนจ านวนเตมแสดงผลเฉลยทไดนเปนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมเชนกน
2.2 ถาผลเฉลยเหมาะสมทสดไมเปนจ านวนเตม ใหด าเนนการตามขนตอนท 3 ตอไป
3. ท าการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ตามอสมการ (3) เพมลงไปในปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม แลวยอนกลบไปด าเนนการตามขนตอนท 1 สามารถแสดงไดดวยตวอยางตอไปน
ตวอยางท 2.5 จงหาผลเฉลยของตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนจากตวอยางท 2.3 ดวยวธการตดแบบจ านวนเตม ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 20X2
เงอนไขบงคบ 1) X1 + 3X2 12
2) 4X1 + 1X2 8
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
(IP1)
84
วธท า
จากตวอยางท 2.3 สามารถสรางตารางซมเพลกซ เรมตนของวธการตดแบบจ านวนเตม ไดดงน
ตารางซมเพลกซท 1
Cj 10 20 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 RHS(bi)
10 X1 1
3
1
0
12
0 S2 0
– 11 – 4 1
– 40
Pj 10 30 10
0 120
(Cj – Pj) 0
– 10 – 10 0
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 12 , X2 = 0 , S1 = 0 , S2 = – 40 (maximize) P = 120
จำกตำรำงจะเหนไดวำ ตวแปรพนฐำน S2 = – 40 ซงจะเปนผลเฉลยทเปนไปไมได ดงนน จะท ำกำรปรบปรงตำรำงเพอหำผลเฉลยใหม โดยท ำกำรเลอกแถวของตวแปรพนฐำน S2 เปนแถวส ำหรบการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ท าการค านวณหาคา h ทเหมาะสม เพอทจะท าใหไดคาของสมาชกตามหลกมคาเทำกบ – 1 ดงขนตอนตอไปน 1. เลอกแถวของตวแปรพนฐานทมคานอยกวาศนย คอ แถวท 2 เปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม 2. พจารณาคา y2j คอ คาของสมประสทธของตวแปรในแถวท 2 โดยทจะเลอกเฉพาะคา
y2j ทมคานอยกวาศนย ซงในตวอยางน คอ y22 = – 11 และ y23 = – 4
3. ก าหนดให R2 คอเซตของดชนของกลม y2j ทมคานอยกวาศนย นนคอ
R2 = { 2 , 3 }
4. พจารณาคา y2j ใน R2 และก าหนดใหคา y2k ดงน
y2k = min { y22 , y23 } = min { – 11 , – 4 } = – 11
85
5. ค านวณคา h ทเหมาะสม ไดดงน h = min { M2 / y22 , M3 / y23 } = min { 1 / 11 , 1 / 11 } = 1 / 11
โดยท M2 = – 1 , M3 = – 4/11
แทนคา h ลงในอสมการ j R
[ hyrj ] Xj [ hyr0 ] จะได
[(1 / 11)(–11)] X2 + [(1 / 11)(–4)] S1 [(1 / 11)(–40)]
(– 1) X2 + (– 1) S1 – 4
– 1X2 – 1S1 + S3 = – 4
ดงนน สามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP2) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 20X2
เงอนไขบงคบ 1) X1 + 3X2 12
2) 4X1 + 1X2 8
3) – X2 – S1 – 4
X1 , X2 , S1 0 และมคาเปนจ านวนเตม S1 คอ ตวแปรสวนขำด
ท ำกำรเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 1) X1 + 3X2 12
2) 4X1 + 1X2 8
3) – X2 – S1 – 4
X1 , X2 , S1 0
S1 คอ ตวแปรสวนขำด
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 20X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3
เงอนไขบงคบ 1) 1X1 + 3X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 12
2) 4X1 + 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 8
3) 0X1 –1X2 –1S1 + 0S2 + 1S3 = – 4
X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0 S1 , S2 , S3 คอ ตวแปรสวนขำด
(IP2)
(LP2)
86
ตารางซมเพลกซท 2
Cj 10 20 0 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 RHS(bi)
10 X1 1
3
1
0
0 12
0 S2 0
– 11 – 4 1
0 – 40
0 S3 0 – 1 – 1 0 1 – 4
Pj 10 30 10
0 0 120
(Cj – Pj) 0
– 10 – 10 0 0
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 12 , X2 = 0 , S1 = 0 , S2 = – 40 , S3 = – 4 (maximize) P = 120
ตารางซมเพลกซท 3
Cj 10 20 0 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 RHS(bi)
10 X1 1
0
– 2 0
3 0
0 S2 0
0 7 1
– 11 4
20 X2 0 1 1 0 – 1
4
Pj 10 20 0 0 10 80
(Cj – Pj) 0
0 0 0 – 10
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 4 , S1 = 0 , S2 = 4 , S3 = 0 (maximize) P = 80
จำกตำรำงซมเพลกซท 3 จะเหนไดวำคำ (Cj – Pj) มคำนอยกวำหรอเทำกบศนยทกตวและตวแปรพนฐำนทกตวมคำมำกกวำหรอเทำกบศนย ดงนน ผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยเหมำะสมทสดและมตวแปรตดสนใจเปนจ ำนวนเตมทกตวแลว ดงนน ผลเฉลยทไดจำกกำรเพมเงอนไขบงคบทตยภมลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสน คอ
87
เงอนไขบงคบทตยภม – X2 – S1 – 4 จะสรปไดวา ผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม คอ ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 12X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 15
2) 2X1 + X2 5
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
ผลเฉลยเหมำะสมทสด คอ X1 = 0 , X2 = 4
(maximize) P = 80
ตวอยางท 2.6 จงหาผลเฉลยของตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนจากตวอยางท 2.4 ดวยวธการตดแบบจ านวนเตม ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2
เงอนไขบงคบ 1) X1 + 3X2 12
2) 4X1 + 1X2 8
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
วธท า
จากตวอยางท 2.4 สามารถสรางตารางซมเพลกซ เรมตนของวธการตดแบบจ านวนเตม ไดดงน
ตารางซมเพลกซท 1 Cj 10 20 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 RHS(bi)
0 S1 – 1 – 3 1
0
– 12
0 S2 – 4 – 1 0
1
– 8
Pj 0 0 0
0 0
(Cj – Pj) 10
20 0
0
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 , S1 = – 12 , S2 = – 8 (minimize) P = 0
(IP1)
(IP1)
88
จำกตำรำงจะเหนไดวำ ตวแปรพนฐำน S1 = –12 , S2 = – 8 ซงจะเปนผลเฉลยทเปนไปไมได ดงนน จะท ำกำรปรบปรงตำรำงเพอหำผลเฉลยใหม โดยท ำกำรเลอกแถวของตวแปรพนฐำน S1 เปนแถวส ำหรบการสรางเงอนไขบงคบทตยภม เพราะมคาทนอยกวาศนยมากทสด
ท าการค านวณหาคา h ทเหมาะสม เพอทจะท าใหไดคาของสมาชกตามหลกมคาเทำกบ – 1 ดงขนตอนตอไปน 1. เลอกแถวของตวแปรพนฐานทมคานอยกวาศนย คอ แถวท 1 เปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม 2. พจารณาคา y1j คอ คาของสมประสทธของตวแปรในแถวท 1 โดยทจะเลอกเฉพาะคา
y1j ทมคานอยกวาศนย ซงในตวอยางน คอ y11 = – 1 และ y12 = – 3
3. ก าหนดให R1 คอ เซตของดชนของกลม y1j ทมคานอยกวาศนย นนคอ
R1 = { 1 , 2 }
4. พจารณาคา y1j ใน R1 และก าหนดใหคา y1k ดงน
y1k = min { y11 , y12 } = min { – 1 , – 3 } = – 3 5. ค านวณคา h ทเหมาะสม ไดดงน h = min { M1 / y11 , M2 / y12 } = min { 1/3 , 1/3 } = 1/3 โดยท M2 = – 1/3 , M3 = – 1
แทนคา h ลงในอสมการ j R
[ hyrj ] Xj [ hyr0 ] จะได
[(1 / 3)(–1)] X1 + [(1 / 3)(–3)] X2 [(1 / 3)(– 12)]
(– 1) X1 + (– 1) X2 – 4
– 1X1 – 1X2 + S3 = – 4
ดงนน สามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP2) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2
เงอนไขบงคบ 1) –X1 – 3X2 – 12
2) – 4X1 – 1X2 – 8
3) – X1 – X2 – 4
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
(IP2)
89
ท ำกำรเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป
ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 3X2 – 12
2) – 4X1 – 1X2 – 8
3) – X1 – X2 – 4
X1 , X2 0
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3
เงอนไขบงคบ – 1X1 – 3X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = – 12
– 4X1 – 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = – 8
– 1X1 – 1X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = – 4
X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0 S1 , S2 , S3 คอ ตวแปรสวนขำด
ตารางซมเพลกซท 2
Cj 10 20 0 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 RHS(bi)
0 S1 – 1 – 3 1
0
0 – 12
0 S2 – 4 – 1 0
1
0 – 8
0 S3 – 1 – 1 0 0 1 – 4
Pj 0 0 0
0 0 0
(Cj – Pj) 10
20 0
0 0
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 , S1 = – 12 , S2 = –8 , S3 = – 4
(minimize) P = 0
(LP2)
90
ตารางซมเพลกซท 3
Cj 10 20 0 0 0
ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 RHS(bi)
0 S1 0 – 2 1
0
– 1 – 8
0 S2 0 3 0
1
– 4 8
10 X1 1 1 0 0 – 1
4
Pj 10 10 0
0 – 10 40
(Cj – Pj) 0
10 0
0 10
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 4 , X2 = 0 , S1 = – 8 , S2 = 8 , S3 = 0
(minimize) P = 40
จำกตำรำงจะเหนไดวำ ตวแปรพนฐำน S1 = – 8 ซงจะเปนผลเฉลยทเปนไปไมได ดงนน จะท ำกำรปรบปรงตำรำงเพอหำผลเฉลยใหม โดยท ำกำรเลอกแถวของตวแปรพนฐำน S1 เปนแถวส ำหรบการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ท าการค านวณหาคา h ทเหมาะสม เพอทจะท าใหไดคาของสมาชกตามหลกมคาเทำกบ – 1 ดงขนตอนตอไปน 1. เลอกแถวของตวแปรพนฐานทมคานอยกวาศนย คอ แถวท 1 เปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม 2. พจารณาคา y1j คอ คาของสมประสทธของตวแปรในแถวท 1 โดยทจะเลอกเฉพาะคา
y1j ทมคานอยกวาศนย ซงในตวอยางน คอ y12 = – 2 และ y15 = – 1
3. ก าหนดให R1 คอเซตของดชนของกลม y1j ทมคานอยกวาศนย นนคอ
R1 = { 2 , 5 }
4. พจารณาคา y1j ใน R1 และก าหนดใหคา y1k ดงน
y1k = min { y12 , y15 } = min { – 2 , – 1 } = – 2 5. ค านวณคา h ทเหมาะสม ไดดงน h = min { M2 / y12 , M5 / y15 } = min { 1/2 , 1/2 } = 1/2 โดยท M2 = – 1 , M5 = – 1/2
91
แทนคา h ลงในอสมการ j R
[ hyrj ] Xj [ hyr0 ] จะได
[(1 / 2)(–2)] X2 + [(1 / 2)(–1)] S3 [(1/2)(–8)]
(–1) X2 + (–1) S3 – 4
–1X2 – 1S3 + S4 = – 4
ดงนนสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP3) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2
เงอนไขบงคบ 1) –X1 – 3X2 – 12
2) –4X1 – 1X2 – 8
3) – X1 – X2 – 4
4) – X2 – S3 – 4
X1 , X2 , S3 0 และมคาเปนจ านวนเตม S3 คอ ตวแปรสวนขำด
ท ำกำรเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป
ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 1) –X1 – 3X2 – 12
2) – 4X1 – 1X2 – 8
3) – X1 – X2 – 4
4) – X2 – S3 – 4
X1 , X2 , S3 0 S3 คอ ตวแปรสวนขำด
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4
เงอนไขบงคบ – 1X1 – 3X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 = – 12
– 4X1 – 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 = – 8
– 1X1 – 1X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0S4 = – 4
0X1 – 1X2 + 0S1 + 0S2 – 1S3 + 1S4 = – 4
X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , S4 0 S1 , S2 , S3 , S4 คอ ตวแปรสวนขำด
(IP3)
(LP3)
92
ตารางซมเพลกซท 4
Cj 10 20 0 0 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 S4 RHS(bi)
0 S1 0 – 2 1
0
– 1 0 – 8
0 S2 0 3 0
1
– 4 0 8
10 X1 1 1 0 0 – 1
0 4
0 S4 0 – 1 0 0 – 1 1 – 4
Pj 10 10 0
0 – 10 0 40
(Cj – Pj) 0
10 0
0 10 0
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 4 , X2 = 0 , S1 = – 8 , S2 = 8 , S3 = 0 , S4 = – 4 (minimize) P = 40
ตารางซมเพลกซท 5
Cj 10 20 0 0 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 S4 RHS(bi)
0 S1 0 0 1
0
1 – 2 0
0 S2 0 0 0
1
– 7 3 – 4
10 X1 1 0 0 0 – 2
1 0
20 X2 0 1 0 0 1 – 1 4
Pj 10 20 0
0 0 – 10 80
(Cj – Pj) 0
0 0
0 0 10
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 4 , S1 = 0 , S2 = – 4 , S3 = 0 , S4 = 0
(minimize) P = 80
93
จำกตำรำงจะเหนไดวำ ตวแปรพนฐำน S2 = – 4 ซงจะเปนผลเฉลยทเปนไปไมได ดงนน จะท ำกำรปรบปรงตำรำงเพอหำผลเฉลยใหม โดยท ำกำรเลอกแถวของตวแปรพนฐำน S2 เปนแถวส ำหรบการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ท าการค านวณหาคา h ทเหมาะสม เพอทจะท าใหไดคาของสมาชกตามหลกมคาเทำกบ – 1 ดงขนตอนตอไปน 1. เลอกแถวของตวแปรพนฐานทมคานอยกวาศนย คอ แถวท 2 เปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม 2. พจารณาคา y2j คอ คาของสมประสทธของตวแปรในแถวท 1 โดยทจะเลอกเฉพาะคา
y2j ทมคานอยกวาศนย ซงในตวอยางน คอ y25 = – 7
3. ก าหนดให R2 คอเซตของดชนของกลม y2j ทมคานอยกวาศนย นนคอ
R2 = { 5 }
4. พจารณาคา y2j ใน R1 และก าหนดใหคา y2k ดงน
Y2k = min { y25 } = min { – 7 } = – 7
5. ค านวณคา h ทเหมาะสม ไดดงน h = min { M5 / y25 } = min { 1/7 } = 1/7 โดยท M5 = –1
แทนคา h ลงในอสมการ j R
[ hyrj ] Xj [ hyr0 ] จะได
[(1/7)(– 7)] S3 [(1/7)(– 4)]
(– 1) S3 – 1
– 1S3 + S5 = – 1
ดงนนสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP4) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2
เงอนไขบงคบ 1) –X1 – 3X2 – 12
2) – 4X1 – 1X2 – 8
3) – X1 – X2 – 4
4) – X2 – S3 – 4
5) – S3 – 1
X1 , X2 , S3 0 และมคาเปนจ านวนเตม S3 คอ ตวแปรสวนขำด
(IP4)
94
ท ำกำรเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป
ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 1) –X1 – 3X2 – 12
2) – 4X1 – 1X2 – 8
3) – X1 – X2 – 4
4) – X2 – S3 – 4
5) – S3 – 1
X1 , X2 , S3 0 S3 คอ ตวแปรสวนขำด
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4
เงอนไขบงคบ 1) –1X1 – 3X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 + 0S5 = – 12
2) – 4X1 – 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 + 0S5 = – 8
3) –1X1 – 1X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0S4 + 0S5 = – 4
4) 0X1 – 1X2 + 0S1 + 0S2 – 1S3 + 1S4 + 0S5 = – 4
5) 0X1 + 0X2 + 0S1 + 0S2 – 1S3 + 0S4 + 1S5 = – 1
X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , S4 , S5 0 S1 , S2 , S3 , S4 , S5 คอ ตวแปรสวนขำด
ตารางซมเพลกซท 6
Cj 10 20 0 0 0 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 S4 S5 RHS(bi)
0 S1 0 0 1
0
1 – 2 0 0
0 S2 0 0 0
1
– 7 3 0 – 4
10 X1 1 0 0 0 – 2
1 0 0
20 X2 0 1 0 0 1 – 1 0 4
0 S5 0 0 0 0 – 1 0 1 – 1
Pj 10 20 0
0 0 –10 0 80
(Cj – Pj) 0
0 0
0 0 10 0
(LP4)
95
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 4 , S1 = 0 , S2 = – 4 , S3 = 0 , S4 = 0 , S5 = –1 (minimize) P = 80
ตารางซมเพลกซท 7
Cj 10 20 0 0 0 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 S4 S5 RHS(bi)
0 S1 0 0 1
0
0 –2 1 –1 0 S2
0 0 0
1
0 3 –7 3
10 X1 1 0 0 0 0
1 –2
2
20 X2 0 1 0 0 0 –1 1 3
0 S3 0 0 0 0 1 0 –1 1
Pj 10 20 0
0 0 –10 0 80
(Cj – Pj) 0
0 0
0 0 10 0
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 2 , X2 = 3 , S1 = –1 , S2 = 3 , S3 = 1 , S4 = 0 , S5 = 0 (minimize) P = 80
จำกตำรำงจะเหนไดวำ ตวแปรพนฐำน S1 = –1 ซงจะเปนผลเฉลยทเปนไปไมได ดงนน จะท ำกำรปรบปรงตำรำงเพอหำผลเฉลยใหม โดยท ำกำรเลอกแถวของตวแปรพนฐำน S1 เปนแถวส ำหรบการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ท าการค านวณหาคา h ทเหมาะสม เพอทจะท าใหไดคาของสมาชกตามหลกมคาเทำกบ –1 ดงขนตอนตอไปน 1. เลอกแถวของตวแปรพนฐานทมคานอยกวาศนย คอ แถวท 1 เปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม 2. พจารณาคา y1j คอ คาของสมประสทธของตวแปรในแถวท 1 โดยทจะเลอกเฉพาะคา
y1j ทมคานอยกวาศนย ซงในตวอยางน คอ y16 = – 2
3. ก าหนดให R1 คอเซตของดชนของกลม y1j ทมคานอยกวาศนย นนคอ
R1 = { 6 }
96
4. พจารณาคา y1j ใน R1 และก าหนดใหคา y1k ดงน
y1k = min { y16 } = min { – 2 } = – 2 5. ค านวณคา h ทเหมาะสม ไดดงน h = min { M6 / y16 } = min { 1/2 } = 1/2
โดยท M2 = – 1
แทนคา h ลงในอสมการ j R
[ hyrj ] Xj [ hyr0 ] จะได
[(1 / 2)(–2)] S4 [(1/2)(–2)]
(–1) S4 – 1
– 1S4 + S6 = – 1
ดงนนสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP5) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 1) –X1 – 3X2 – 12
2) – 4X1 – 1X2 – 8
3) – X1 – X2 – 4
4) – X2 – S3 – 4
5) – S3 – 1
6) – S4 – 1
X1 , X2 , S3 , S4 0 และมคาเปนจ านวนเตม S3 , S4 คอ ตวแปรสวนขำด
ท ำกำรเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป
ฟงกชนจดประสงค(minimize) P = 10X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 1) –X1 – 3X2 – 12
2) – 4X1 – 1X2 – 8
3) – X1 – X2 – 4
4) – X2 – S3 – 4
5) – S3 – 1
6) – S4 – 1
(IP5)
(LP5)
97
X1 , X2 , S3 , S4 0 S3 , S4 คอ ตวแปรสวนขำด
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 + 0S5 + 0S6
เงอนไขบงคบ 1) –1X1 – 3X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 + 0S5 + 0S6 = – 12
2) – 4X1 – 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 + 0S5 + 0S6 = – 8
3) –1X1 – 1X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0S4 + 0S5 + 0S6 = – 4
4) 0X1 – 1X2 + 0S1 + 0S2 – 1S3 + 1S4 + 0S5 + 0S6 = – 4
5) 0X1 + 0X2 + 0S1 + 0S2 – 1S3 + 0S4 + 1S5 + 0S6 = – 1
6) 0X1 + 0X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 – 1S4 + 0S5 + 1S6 = – 1
X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , S4 , S5 , S6 0 S1 , S2 , S3 , S4 , S5 , S6 คอ ตวแปรสวนขำด
ตารางซมเพลกซท 8
Cj 10 20 0 0 0 0 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 S4 S5 S6 RHS(bi)
0 S1 0 0 1
0
0 –2 1 0 –1 0 S2
0 0 0
1
0 3 –7 0 3
10 X1 1 0 0 0 0
1 –2
0 2
20 X2 0 1 0 0 0 –1 1 0 3
0 S3 0 0 0 0 1 0 –1 0 1
0 S6 0 0 0 0 0 –1 0 1 –1
Pj 10 20 0
0 0 –10 0 0 80
(Cj – Pj) 0
0 0
0 0 10 0 0
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 2 , X2 = 3 , S1 = –1 ,
S2 = 3 , S3 = 1 , S4 = 0 , S5 = 0 , S6 = –1 (minimize) P = 80
98
ตารางซมเพลกซท 9
Cj 10 20 0 0 0 0 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 S4 S5 S6 RHS(bi)
0 S1 0 0 1
0
0 0 1 –2 1 0 S2
0 0 0
1
0 0 –7 3 0
10 X1 1 0 0 0 0
0 –2
1 1
20 X2 0 1 0 0 0 0 1 –1 4
0 S3 0 0 0 0 1 0 –1 0 1
0 S6 0 0 0 0 0 1 0 –1 1
Pj 10 20 0
0 0 0 0 –10 90
(Cj – Pj) 0
0 0
0 0 0 0 10
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 1 , X2 = 4 , S1 = 1 , S2 = 0 , S3 = 1 , S4 = 1 , S5 = 0 , S6 = 0
(minimize) P = 90
จำกตำรำงซมเพลกซท 9 จะเหนไดวำคำ (Cj – Pj) มคำมำกกวำหรอเทำกบศนยทกตวและตวแปรพนฐำนทกตวมคำมำกกวำหรอเทำกบศนย ดงนน ผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยเหมำะสมทสดและมตวแปรตดสนใจเปนจ ำนวนเตมทกตวแลว ดงนนผลเฉลยทไดจำกกำรเพมเงอนไขบงคบทตยภมลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสน คอ เงอนไขบงคบทตยภม 3) – X1 – X2 – 4
4) – X2 – S3 – 4
5) – S3 – 1
6) – S4 – 1
จะสรปไดวาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม คอ ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2
เงอนไขบงคบ 1) X1 + 3X2 12
2) 4X1 + 1X2 8
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
ผลเฉลยเหมำะสมทสดคอ X1 = 1 , X2 = 4
(maximize) P = 90
(IP1)
99
วธการตดแบบผสม การแกปญหาก าหนดการเชงเสนทมผลเฉลยเหมาะสมทสดเปนจ านวนเตมทไดกลาวมาแลวในหวขอทผานมาเปนการหาผลเฉลยทตวแปรตดสนใจจะตองมคาเปนจ านวนเตมทงหมด แตในบางปญหาของก าหนดการเชงเสนผลเฉลยทเปนจ านวนเตมทไดอาจจะไมใชผลลพธทดทสดกเปนไปได นนคอ ผลเฉลยทตองการอาจจ าเปนจะตองมคาเปนเศษสวนหรอทศนยมได ยกตวอยางเชน ปญหาเกยวกบปรมาณน า ปรมาณของสารเคม หรอ ผลตอบแทนทเกยวกบจ านวนเงนทอาจจะมคาเปนทศนยมได ซงปญหาทผลเฉลยเปนไดทงจ านวนเตมและไมเปนจ านวนเตมนจะเรยกวา ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมแบบผสม
รปแบบทวไปของก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมแบบผสม ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = C1X + C2Y
เงอนไขบงคบ AX + DY B
X 0 และมคาเปนจ านวนเตม
Y 0
ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = C1X + C2Y เงอนไขบงคบ AX + DY B
X 0 และมคาเปนจ านวนเตม
Y 0
จากตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมแบบผสม (1) และ (2) จะเหนไดวา ตวแปรตดสนใจมทงแบบจ านวนเตม คอ ตวแปร X และแบบไมเปนจ านวนเตม คอ ตวแปร Y
โดยทวไปแลวคาของตวแปรพนฐานท i ใดๆ ทมคาเปนจ านวนเตมในตำรำงซมเพลกซ สำมำรถแสดงไดในรปของสมกำรไดดงน Xbi = yi0 –
1j R
yij Xj –2j R
yij Yj -------------------------(3)
โดยท R1 คอ เซตของกลมตวแปรตดสนใจทมคาเปนจ านวนเตม คอ ตวแปร Xj
R2 คอ เซตของกลมตวแปรตดสนใจทมคาไมเปนจ านวนเตม คอ ตวแปร Yj
Xbi คอ ตวแปรพนฐานท i ทตองการใหมคาเปนจ านวนเตม
จาก yi0 = [yi0] + fi0 และ yij = [yij] + fij
(2)
(1)
100
ดงนนจากสมการ (3) สามารถเขยนสมการใหมไดดงน Xbi = [yi0] + fi0 –
1j R
([yij] + fij) Xj –2j R
yij Yj
= [yi0] + fi0 –1j R
[yij] Xj –1j R
fij Xj –2j R
yij Yj
1j R
fij Xj +2j R
yij Yj – fi0 = [yi0] –1j R
[yij] Xj – Xbi --------------------(4)
ถาคาของตวแปรพนฐาน Xbi มคาไมเปนจ านวนเตม จะตองท าการเพมเงอนไขบงคบ
ใหมใหคาของ Xbi เปนจ านวนเตม ไดดงน
1) Xbi ≤ [yi0] หรอ
2) Xbi ≥ ‹ yi0 ›
จากการเตมเงอนไขบงคบใหมทงสองทท าใหคาของ Xbi เปนจ านวนเตมน คอ การ แตกกงสาขาของปญหา ในวธการแตกกงสาขาและการก าหนดขอบเขตของปญหา และในกรณทเพมเงอนไขบงคบท 1) Xbi ≤ [yi0] ในสมการท (4) จะได
จากสมการ(4); 1j R
fij Xj +2j R
yij Yj – fi0 = [yi0] –1j R
[ yij ] Xj – Xbi
แทนคา Xbi ดวย [yi0] จะได [yi0] –1j R
[ yij ] Xj – [yi0] 0
แตจาก Xbi ≤ [yi0] จะได [yi0] –1j R
[ yij ] Xj – Xbi ≥ 0
จาก
1j R
fij Xj +2j R
yij Yj – fi0 = [yi0] –1j R
[ yij ] Xj – Xbi
ดงนน
1j R
fij Xj +2j R
yij Yj – fi0 ≥ 0 --------------------(5)
จาก R2 คอ เซตของกลมตวแปรตดสนใจทมคาไมเปนจ านวนเตม คอตวแปร Yj หมายความวากลมของ R2 เปนคาทตอเนอง ดงนนสามารถแยกกลมของ R2 ไดสองกลม คอ กลมทสมประสทธของ yij มคามากกวาหรอเทากบศนย (R2+) และกลมทสมประสทธของ yij มคานอยกวาหรอเทากบศนย (R2-) ดงนนจากอสมการท(5) สามารถเขยนใหมไดดงน
101
จาก
1j R
fij Xj +2j R
yij Yj – fi0 ≥ 0
จะได
1j R
fij Xj +2j R
yij Yj +2j R
yij Yj – fi0 ≥ 0
จาก
2j R
yij Yj 0
จะได
1j R
fij Xj +2j R
yij Yj – fi0 ≥ 0
หรอ
1j R
fij Xj +2j R
yij Yj ≥ fi0 --------------------(6)
ในท านองเดยวกน ถาท าการเพมเงอนไขบงคบท 2) Xbi ≥ ‹yi0› ในสมการท (4) จะได
จากสมการ (4); 1j R
fij Xj +2j R
yij Yj – fi0 = [yi0] –1j R
[ yij ] Xj – Xbi
แทนคา Xbi ดวย ‹yi0› จะได [yi0] –1j R
[ yij ] Xj – ‹yi0›
จาก ‹yr0› = [yi0] + 1 จะได [yi0] –1j R
[ yij ] Xj – [yi0] – 1 ≥ –1
แตจาก Xbi ≥ ‹yi0› จะได [yi0] –1j R
[ yij ] Xj – Xbi –1
จาก
1j R
fij Xj +2j R
yij Yj – fi0 = [yi0] –1j R
[ yij ] Xj – Xbi
ดงนน
1j R
fij Xj +2j R
yij Yj – fi0 –1 --------------------(7)
จาก R2 คอ เซตของกลมตวแปรตดสนใจทมคาไมเปนจ านวนเตม คอตวแปร Yj หมายความวากลมของ R2 เปนคาทตอเนอง ดงนนสามารถแยกกลมของ R2 ไดสองกลม คอ กลมทสมประสทธของ yij มคามากกวาหรอเทากบศนย(R2+) และกลมทสมประสทธของ yij มคานอยกวาหรอเทากบศนย (R2-) ดงนนจากอสมการท(5) สามารถเขยนใหมไดดงน
จาก
1j R
fij Xj +2j R
yij Yj – fi0 –1
จะได
1j R
fij Xj +2j R
yij Yj +2j R
yij Yj – fi0 –1
จาก
2j R
yij Yj ≥ 0
102
จะได
1j R
fij Xj +2j R
yij Yj – fi0 –1
หรอ
1j R
fij Xj +2j R
yij Yj –1 + fi0 --------------------(8)
จาก R1 คอ เซตของกลมตวแปรตดสนใจทมคาเปนจ านวนเตม หมายความวาจะไมมคา yij ของ R1 ทมคาเปนทศนยม แสดงวา fij มคาเทากบศนย ดงนน
1j R
fij Xj = 0 ซงสามารถเขยน
อสมการท (8) ใหมไดดงน
2j R
yij Yj –1 + fi0 --------------------(9)
คณอสมการท (9) ดวย fi0 / (–1 + fi0) จะได
2j R
fi0 (yij Yj) /(–1 + fi0) ≥ fi0 --------------------(10)
จากอสมการท (6) และอสมการท (10) จะได
1j R
fij Xj +2j R
yij Yj + 2j R
fi0 (yij Yj) /(–1 + fi0) ≥ 2fi0
หรอ 1j R
fij Xj +2j R
yij Yj + 2j R
fi0 (yij Yj) /(–1 + fi0) ≥ fi0 --------------(11)
ดงนนจะไดวา อสมการท (11) คอ อสมการพนฐานทใชในการสรางเงอนไขทตยภม เพอตดพนททไมเปนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนแบบผสม ซงจะเรยกวธการนวา การตดแบบผสม จากอสมการท (11) ถาท าการตดเทอมของ R2 ทเปนเซตของกลมตวแปรตดสนใจทมคาไมเปนจ านวนเตมออกไป จะท าใหไดอสมการใหม คอ
1j R
fij Xj ≥ fi0
ซงจะเหนไดวาอสมการใหมทไดน คอ อสมการพนฐานทจะใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ของการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวยวธการตดแบบเศษสวน นนเอง
103
สรปขนตอนการหาผลเฉลยดวยวธการตดแบบผสม
1. เปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป 2. ท าการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป 2.1 ถาผลเฉลยเหมาะสมทสดเปนจ านวนเตมแสดงผลเฉลยทไดนเปนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมเชนกน
2.2 ถาผลเฉลยเหมาะสมทสดไมเปนจ านวนเตม ใหด าเนนการตามขนตอนท 3 ตอไป
3. ท าการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ตามอสมการ (11) เพมลงไปในปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม แลวยอนกลบไปด าเนนการตามขนตอนท 1 สามารถแสดงไดดวยตวอยางตอไปน
ตวอยางท 2.7 จงหาผลเฉลยของตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทก าหนดใหตอไปน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 10X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 5
2) X1 + 3X2 6
X1 0 และมคาเปนจ านวนเตม
X2 0
วธท า
ท าการเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 5
2) X1 + 3X2 6
X1 , X2 0
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 10X2 + 0S1 + 0S2
เงอนไขบงคบ 2X1 + 1X2 + 1S1 + 0S2 = 5
1X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 = 6
X1 , X2 , S1 , S2 0 S1 , S2 คอ ตวแปรสวนขำด
(IP1)
(LP1)
104
ตารางซมเพลกซท 1
Cj 5 10 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 RHS(bi)
0 S1 2
1
1
0
5
0 S2 1
3
0
1
6
Pj 0 0 0
0 0
(Cj – Pj) 5
10 0
0
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 , S1 = 5 , S2 = 6
(maximize) P = 0
ตารางซมเพลกซท 2
Cj 5 10 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 RHS(bi)
0 S1 5
3 0
1
1
3 3
10 X2 1
3 1
0
1
3 2
Pj 10
3 10 0
10
3 20
(Cj – Pj) 5
3 0 0
10
3
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 2 , S1 = 3 , S2 = 0
(maximize) P = 20
105
ตารางซมเพลกซท 3
Cj 5 10 0 0
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 RHS(bi)
5 X1 1
0
0.6
– 0.2 1.8
10 X2 0
1
– 0.2 0.4
1.4
Pj 5
10 1
3
23
(Cj – Pj) 0
0 – 1 – 3
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 1.8 , X2 = 1.4 , S1 = 0 , S2 = 0
(maximize) P = 23
จำกตำรำงซมเพลกซท 3 ผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยเหมำะสมทสดแตเปนผลเฉลยทยงไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท X1 0 และมคาเปนจ านวนเตม นนคอ X1 = 1.8
ดงนนจะท ำกำรหำผลเฉลยใหมโดยกำรเพม เงอนไขบงคบทตยภมลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสนแลวเงอนไขบงคบนจะท าหนาทตดพนททไมเปนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนแบบผสมออกไป โดยจะใชวธการตดแบบผสม และจะตองเลอกแถวของตวแปรตวในตำรำง ซมเพลกซ เพอใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภม จาก X1 = 1.8 ดงนนจะเลอกแถวของตวแปรตดสนใจ X1 เปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม
จาก อสมการพนฐานทจะใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภม
1j R
fij Xj +2j R
yij Yj + 2j R
fi0 (yij Yj) /(–1 + fi0) ≥ fi0
จะไดเงอนไขบงคบทตยภม คอ 0.6S1 + (0.8)(– 0.2)/(–1 + 0.8) S2 0.8
0.6S1 + 0.8S2 0.8
106
ดงนนสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP2) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 10X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 5
2) X1 + 3X2 6
3) 0.6S1 + 0.8S2 0.8
X1 0 และมคาเปนจ านวนเตม
X2 0
ท ำกำรเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 5
2) X1 + 3X2 6
3) 0.6S1 + 0.8S2 0.8
X1 , X2 , S1 , S2 0
จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 10X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 – MA1 – MA2 – MA3
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 1X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 1A1 + 0A2 + 0A3 = 5
2) 1X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0A1 + 1A2 + 0A3 = 6
3) 0X1 + 0X2 + 0.6S1 + 0.8S2 – 1S3 + 0A1 + 0A2 + 1A3 = 0.8
X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , A1 , A2 , A3 0
ตารางซมเพลกซท 4
Cj 5 10 0 0 0 – M
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 A RHS(bi)
5 X1 1
0
0.6
– 0.2 0 0 1.8
10 X2 0
1
– 0.2 0.4
0 0 1.4
– M A 0 0 0.6 0.8 – 1
1 0.8
Pj 5
10 1 – 0.6M 3 – 0.8M M – M 23 – 0.8M
(Cj – Pj) 0
0 0.6M – 1 0.8M – 3 – M 0
(IP2)
(LP2)
107
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 1.8 , X2 = 1.4 S1 = 0 , S2 = 0 , S3 = 0 , A = 0.8
(maximize) P = 23 – 0.8M
ตารางซมเพลกซท 5
Cj 5 10 0 0 0 – M
Cb ตวแปร
พนฐาน
X1 X2 S1 S2 S3 A RHS(bi)
5 X1 1
0
0
–1 1 –1 1
10 X2 0
1
0
0.6
0.3
0.3
1.6
0 S1 0 0 1
1.3
1.6
1.6
1.3
Pj 5
10 0 1.6
1.6
1.6
21.6
(Cj – Pj) 0
0 0
1.6
1.6
–M 1.6
อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน
X1 = 1 , X2 = 1.6
S1 = 1.3
, S2 = 0 , S3 = 0
(maximize) P = 21.6
จำกตำรำงซมเพลกซท 5 ผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยเหมำะสมทสดและตวแปรตดสนใจ X1 เปนผลเฉลยทเปนจ ำนวนเตมแลว คอ X1 = 1 ดงนนผลเฉลยทไดจำกกำรเพมเงอนไขบงคบทตยภมลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสน คอ เงอนไขบงคบทตยภม 0.6S1 + 0.8S2 0.8 ดงนนจะสรปไดวา ผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม คอ ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 10X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 5
2) X1 + 3X2 6
X1 0 และมคาเปนจ านวนเตม
X2 0
(IP1)
108
ผลเฉลยเหมำะสมทสดคอ X1 = 1 , X2 = 1.6
(maximize) P = 21.6
จำกปญหำก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม (IP1) สำมำรถแสดงพนทกำรหำผลเฉลยโดยกรำฟไดดงตอไปน
กราฟท 2.5 แสดงพนทผลเฉลยของปญหาจากตวอยางท 2.7 (IP1)
จากปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP2) ทเพมเงอนไขทตยภม ดงนนสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP2) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 10X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 5
2) X1 + 3X2 6
3) 0.6S1 + 0.8S2 0.8
X1 0 และมคาเปนจ านวนเตม
X2 0
(IP2)
109
สามารถเปลยนตวแปร S1 , S2 ใหอยในเทอมของตวแปร X1 , X2 ไดดงตอไปน จาก 2X1 + X2 + 1S1 + 0S2 = 5 และ X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 = 6
ดงนน S1 = 5 – 2X1 – X2 และ S2 = 6 – X1 – 3X2 จำกเงอนไขบงคบ 3) 0.6S1 + 0.8S2 0.8
ดงนน 0.6 (5 – 2X1 – X2) + 0.8 (6 – X1 – 3X2) 0.8
– 2X1 – 3X2 – 7
หรอ 2X1 + 3X2 7
สามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP3) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 10X2
เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 5
2) X1 + 3X2 6
3) 2X1 + 3X2 7
X1 0 และมคาเปนจ านวนเตม
X2 0
สำมำรถแสดงพนทกำรหำผลเฉลยโดยกรำฟไดดงตอไปน
กราฟท 2.6 แสดงพนทผลเฉลยของปญหาทเพมเงอนไขทตยภม (IP2) จากตวอยางท 2.7
(IP2)
110
บทสรป
ในกำรหำผลเฉลยของปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมดวยวธการตดพนทออก เปนวธการกระท าซ าๆ ส าหรบการแกปญหาก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมทมผลเฉลยเปนเลขจ านวนเตมทงหมด ซงวธการตดพนทออกจะเพมเงอนไขบงคบทตยภมเขาไปในตวแบบ โดยจะไปท าใหผลเฉลยทยงไมเปนจ านวนเตมใหกลายเปนผลเฉลยทอยนอกพนทหาผลเฉลย กระบวนการกระท าซ าจะเกดขนตอไปจนกวาจะไดผลเฉลยทเปนเลขจ านวนเตม ซงจ าแนกวธการสรางเงอนไขบงคบทตยภมได 4 วธ ไดแก วธการตดทมสมประสทธของตวแปรมคาเปนหนง วธการตดแบบเศษสวน วธการตดแบบจ านวนเตม และวธการตดแบบผสม
111
แบบฝกหดบทท 2
จำกปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมทก ำหนดใหตอไปน จงหำผลเฉลยดวยวธการตดพนทออกโดยใชวธการตดทมสมประสทธของตวแปรมคาเปนหนง
2.1 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 8X2 เงอนไขบงคบ 2X1 + X2 6 X1 + 3X2 5
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
2.2 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 5X2 เงอนไขบงคบ 3X1 + X2 4 2X1 + 2X2 5
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
2.3 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 3X1 + 2X2 5 2X1 + 3X2 4
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
2.4 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 5X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 2X1 + 2X2 5 2X1 + 5X2 5
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
จำกปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมทก ำหนดใหตอไปน จงหำผลเฉลยดวยวธการตดพนทออกโดยใชวธการตดแบบเศษสวน
2.5 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 20X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 3X1 + X2 5 X1 + 2X2 6
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
112
2.6 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ X1 + 3X2 8 2X1 + 3X2 9
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
2.7 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 20X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 4X1 + 5X2 14 2X1 + 3X2 12
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
2.8 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 15X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 3X1 + 2X2 15 4X1 + 5X2 10
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
จำกปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมทก ำหนดใหตอไปน จงหำผลเฉลยดวยวธการตดพนทออกโดยใชวธการตดแบบจ านวนเตม
2.9 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ X1 + 2X2 16 2X1 + 5X2 15
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
2.10 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 15X2 เงอนไขบงคบ 4X1 + 5X2 15 2X1 + 2X2 15
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
2.11 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 4X1 + 2X2 16 2X1 + 3X2 15
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
113
2.12 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 20X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 5X1 + 4X2 20 4X1 + 2X2 25
X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
จำกปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมทก ำหนดใหตอไปน จงหำผลเฉลยดวยวธการตดพนทออกโดยใชวธการตดแบบผสม
2.13 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 20X1 + 30X2 เงอนไขบงคบ 2X1 + X2 18
X1 + 3X2 12 X1 0 และมคาเปนจ านวนเตม
X2 0
2.14 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 12X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ X1 + 2X2 10
5X1 + X2 15 X1 0
X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
2.15 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 20X1 + 15X2 เงอนไขบงคบ 3X1 + 4X2 11
6X1 + 3X2 10
X1 0
X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม
2.16 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 5X1 + 5X2 เงอนไขบงคบ 2X1 + X2 4
X1 + 3X2 6
X1 0 และมคาเปนจ านวนเตม
X2 0
บทท 3
ปญหาการขนสงทสมดล
จากการศกษาปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทไดกลาวมาแลวในขางตน เปนการศกษาเกยวกบความรพนฐานและการหาผลเฉลยในรปแบบตางๆ ซงจะเปนประโยชน อยางมากในการน าไปประยกตใชในปญหาอนๆ ทแตกตางออกไป ในหวขอนจะเปนการน าไปประยกตใชในปญหาทสามารถพบไดทวไปในการใชชวตประจ าวน ซงปญหาทนาสนใจและ มการศกษากนอยางแพรหลาย คอ ปญหาการขนสงและปญหาการมอบหมายงาน ปญหาทงสองนคอปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป แตจะมลกษณะพเศษทแตกตางออกไปและมการน าไปประยกตใชในประกอบการทางธรกจกนอยางแพรหลาย โดยตวแบบก าหนดการเชงเสนของทงสองปญหานจะมลกษณะพเศษและมกระบวนการหาผลเฉลยทเฉพาะและแตกตางจากวธการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนแบบทวไป สวนใหญจะใชวธซมเพลกซในการค านวณ ซงเปนวธการค านวณทมข นตอนทคอนขางยาก ในทนจงขอน าเสนอวธการหาผลเฉลยของปญหาการขนสงและปญหาการมอบหมายงานทมข นตอนทงายกวาวธซมเพลกซและผลเฉลยทไดจะเปนจ านวนเตมเสมอ โดยในขนตนนจะท าการศกษาปญหาการขนสงกอนซงจะเปนพนฐานส าคญส าหรบการศกษาปญหาการมอบหมายงานตอไป ตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการขนสง
ปญหาการขนสง (transportation problem) เปนประเภทปญหาอกประเภทหนงทอยในปญหาก าหนดการเชงเสน โดยมวตถประสงคเพอการขนสงสนคาจากแหลงผลต (source) ไปยงปลายทางหรอคลงสนคา (destination) โดยใหมคาใชจายในการขนสงต าทสด หรอเพอใหไดก าไรจากการขนสงสงสด ในการพจารณาตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการขนสง (transportation
problem model) สามารถพจารณาไดจากปญหาการขนสงสนคา เชน สมมตวามโรงงานผลตสนคาทต งอยในทตางๆ m แหง โดยทแตละแหงสามารถผลตสนคาไดจ านวนทแตกตางกน กลาวคอแตละโรงงานสามารถผลตสนคาไดจ านวนเทากบ Si หนวย ( i = 1, 2, 3,…, m ) ซงปรมาณของสนคาทผลตไดจะเรยกวาอปทาน (supply) และโรงงานตองการสงสนคาไปจดเกบทคลงสนคากอนทจะกระจายไปยงรานคายอยตางๆ ทงหมด n แหง และคลงสนคาแตละแหงสามารถจดเกบสนคาไดจ านวนทแตกตางกน คอแตละคลงสนคาสามารถจดเกบสนคาไดจ านวนเทากบ Dj หนวย ( j = 1, 2,
3,…, n ) ซงจ านวนสนคาทคลงสนคาจะจดเกบไดจะเรยกวาอปสงค (demand) สามารถแสดงไดดงน
116
ภาพท 3.1 แสดงการสงสนคาระหวางอปทาน (จ านวน m) และอปสงค (จ านวน n)
จะเหนไดวา ปญหาการขนสงเปนการพจารณาการจดสงสนคาจากตนทางไปยงปลายทางตามจดประสงคของปญหาและตองท าใหเสยคาใชจายนอยทสด โดยจะก าหนดให Cij เปน
คาใชจายในการขนสงสนคาจากโรงงานท i ไปยงคลงสนคาท j และก าหนดให Xij เปนจ านวนสนคาในการขนสงสนคาจากโรงงานท i ไปยงคลงสนคาท j ดงนนสามารถสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการขนสง ไดดงน
ก าหนดให P แทน คาใชจายในการขนสงรวมทงหมด Cij แทน คาใชจายในการขนสงสนคาจากโรงงานท i ไปยงคลงสนคาท j
Xij แทน จ านวนสนคาในการขนสงสนคาจากโรงงานท i ไปยงคลงสนคาท j
Si แทน จ านวนสนคาทผลตไดแตละโรงงาน
Dj แทน จ านวนสนคาทจดเกบไดแตละคลงสนคา โดยท i = 1, 2, 3,…, m และ j = 1, 2, 3,…, n
โรงงานท m
…….
โรงงานท 1
คลงสนคาท 1
…….
…….
คลงสนคาท n
อปทาน อปสงค
117
ดงนนตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการขนสง คอ
ฟงกชนจดประสงค
n m
ij ij
j 1 i 1
minimize P C X
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานอปทาน
n
ij
j 1
X = Si , i = 1, 2, 3,…, m
2) เงอนไขดานอปสงค
m
ij
i 1
X = Dj , j = 1, 2, 3,…, n
Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3,…, m และ j = 1, 2, 3,…, n
ปญหาการขนสงทสมดล
ปญหาการขนสงเปนการแจกจายทรพยากรหรอสนคาทจะท าการขนสงจากแหลงผลตสนคาหรอจากตนทางไปยงกลมผบรโภคหรอจดหมายปลายทาง โดยทจะท าการก าหนดใหปรมาณของสนคาทออกจากตนทางจะตองมคาเทากบปรมาณของสนคาทตองการของปลายทาง ยกตวอยางเชน ปญหาการขนสงของธรกจคาปกทวไป จะก าหนดใหปรมาณของสนคาทมหรออปทานจะเทากบความตองการสนคาหรออปสงค ซงจะเรยกวาปญหานวา ปญหาการขนสงทสมดล (balanced transportation problem) แตในความเปนจรงในการท าธรกจจะพบปญหาการขนสงทสมดลไดนอยมาก เพราะสวนใหญแลวในปญหาการขนสงอาจจะไดวาปรมาณของสนคาทตองการสงจะไมเทากบปรมาณของสนคาทตองการโดยจะเรยกปญหานวา ปญหาการขนสงทไมสมดล (unbalanced transportation problem) ซงจะไดศกษาในหวขอตอไป ดงนนในหวขอนจะท าการศกษาปญหาการขนสงทสมดล ดงรายละเอยดตอไปน จากการสรางตวแบบปญหาการขนสงแบบทวไป คอ
ฟงกชนจดประสงค n m
ij ij
j 1 i 1
minimize P C X
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานอปทาน
n
ij
j 1
X = Si , i = 1, 2, 3,…, m
118
2) เงอนไขดานอปสงค
m
ij
i 1
X = Dj , j = 1, 2, 3,…, n
Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3,…, m และ j = 1, 2, 3,…, n
ถาก าหนดใหปรมาณของสนคาทมหรออปทานเทากบความตองการสนคาหรออปสงค แสดงวาเปนปญหาการขนสงทสมดล (Summation of Supply = Summation of Demand)
ดงนนจะไดวา m
i
i 1
S =
n
j
j 1
D
จากเงอนไขดานอปทาน คอ n
ij
j 1
X = Si ดงนน
m
i
i 1
S =
m n
ij
i 1 j 1
X
และจากเงอนไขดานอปสงค คอ m
ij
i 1
X = Dj ดงนน
n
j
j 1
D =
n m
ij
j 1 i 1
X
ดงนนจะได m n
ij
i 1 j 1
X
= n m
ij
j 1 i 1
X
จากสมการทไดนหมายความวาผลรวมของจ านวนสนคาทผลตไดในแตละโรงงานทงหมด m โรงงานทสงไปยงคลงสนคาทงหมด n แหง จะมจ านวนเทากบผลรวมของจ านวนสนคาในแตละคลงสนคาตองการทงหมด n แหง ทถกสงมาจากโรงงานทงหมด m โรงาน นนเอง สามารถแสดงไดดงตวอยางตอไปน
ตวอยางท 3.1 บรษทผผลตเสอผาไหมแหงหนงในจงหวดอดรธานมโรงงานผลต 3 แหง ซงสนคาทผลตไดจากโรงงานทงสามแหงจะถกสงไปเกบทคลงสนคาของบรษททตงอยตามอ าเภอตางๆ ทงหมดซงมอย 3 แหง คอ อ าเภอหนองหาน อ าเภอกมภวาป และอ าเภอศรธาต เพอรอจดสงใหลกคาตอไป ถาโรงงานแหงแรกผลตสนคาไดวนละ 500 หนวย โรงงานแหงทสองผลตสนคาไดวนละ 250 หนวย และโรงงานแหงทสามผลตสนคาไดวนละ 250 หนวย สวนคลงสนคาทง 3 แหงนน สามารถเกบสนคาไดเตมทแหงละ 400 หนวย 250 หนวย และ 350 หนวย ตามล าดบ ในการสงสนคาจากโรงงานทงสามแหงไปยงคลงสนคาตางๆ จะเสยคาใชจายในการขนสงตางกน ดงน
119
ตารางแสดงคาใชจายในการขนสงสนคา (บาท/หนวย) ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
โรงงานท 1
โรงงานท 2
โรงงานท 3
30
20
35
50
40
45
35
30
20
บรษทควรจดสงสนคาจากโรงงานทงสามแหงไปยงคลงสนคาทง 3 แหง อยางไรจงจะเหมาะสมทสด โดยแตละโรงงานจะตองสงสนคาใหหมด และคลงสนคาแตละแหงจะตองเกบสนคาใหไดตามความตองการ
จากตวอยางขางตนจะเหนไดวาเปนปญหาการขนสงทสมดลเพราะจ านวนสนคาทผลตไดในโรงงานทงหมดหรออปทานมจ านวนเทากบความจของคลงสนคาทงหมดทรบไดหรออปสงค ดงนนสามารถสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาไดดงน
เพอทจะท าใหการสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนท าไดงายขน สามารถสรปลกษณะของปญหาน ไดดงน
สงทบรษทตองการทราบ คอ จ านวนสนคาทจะสงจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาทง 3 แหง จ านวนสนคาทจะสงจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาทง 3 แหง และจ านวนสนคาทจะสงจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาทง 3 แหง ซงจ านวนการจดสรรการขนสงสนคาจากโรงงานไปยงคลงสนคาดงกลาวนนจะตองกอใหเกดคาใชจายในการขนสงสนคารวมต าสดและโรงงานแตละโรงจะตองสงสนคาใหครบทงหมด และคลงสนคาแตละแหงจะตองเกบสนคาใหเตมตามความตองการ
40
35
30
50
20
20
โรงงานท 1 500 หนวย
โรงงานท 2 250 หนวย
โรงงานท 3 250 หนวย
45
35
30
คลงสนคาท 2 250 หนวย
คลงสนคาท 1 400 หนวย
คลงสนคาท 3 350 หนวย
120
ก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน คาใชจายในการขนสงรวมทงหมด (บาท)
X11 แทน จ านวนสนคาสงจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1 (หนวย) X12 แทน จ านวนสนคาสงจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 2 (หนวย) X13 แทน จ านวนสนคาสงจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3 (หนวย) X21 แทน จ านวนสนคาสงจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 1 (หนวย) X22 แทน จ านวนสนคาสงจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 2 (หนวย) X23 แทน จ านวนสนคาสงจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 3 (หนวย) X31 แทน จ านวนสนคาสงจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 1 (หนวย) X32 แทน จ านวนสนคาสงจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 2 (หนวย) X33 แทน จ านวนสนคาสงจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 3 (หนวย)
ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 30X11 + 50X12 + 35X13 + 20X21 + 40X22 + 30X23 + 35X31 + 45X32 + 20X33
เงอนไขบงคบ
1) เงอนไขดานอปทาน
X11 + X12 + X13 = 500
X21 + X22 + X23 = 250
X31 + X32 + X33 = 250
2) เงอนไขดานอปสงค
X11 + X21 + X31 = 400
X12 + X22 + X32 = 250 X13 + X23 + X33 = 350
Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3
จากปญหาการขนสงสามารถสรปเปนตารางไดดงน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1 X11 X12 X13 500
โรงงานท 2 X21 X22 X23 250
โรงงานท 3 X31 X32 X33 250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
121
ในการสรางตารางเรมตนของปญหาการขนสงจะท าการเพมคาใชจายลงไปในตารางขางตนตรงมมขวาบนของแตละชอง ดงนนจะไดตารางเรมตนของปญหาการขนสง ดงน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
X13
500
โรงงานท 2
X21
X22
X23
250
โรงงานท 3
X31
X32
X33
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
จากตวแบบก าหนดการเชงเสนทสรางจากปญหาการขนสงทไดขางตนน สามารถน าไปหาผลเฉลยไดดวยวธซมเพลกซ แตในการค านวณดวยวธซมเพลกซมข นตอนทคอนขางจะยงยากและใชเวลานานท าใหเสยเวลาในการแกปญหา ดงนนจะท าการค านวณตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการขนสงดวยวธเฉพาะส าหรบปญหาการขนสงเทานน โดยมขนตอนอย 2 ขน ไดแก
1. การหาผลเฉลยเรมตน (initial feasible solution) 2. การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตน
การหาผลเฉลยเรมตน
การหาผลเฉลยเรมตน สามารถแสดงได 2 วธ ดงน 1. ว ธการกฎมมทศตะวนตกเฉ ยงเหนอ (northwest corner rule method) มขนตอนดงตอไปน
1.1 พจารณาตารางเรมตนของปญหาการขนสง
1.2 เรมตนพจารณาจากชองแรกของตารางเสมอหรอชองมมซายสด (ชองทอยทศเหนอเฉยงไปทางตะวนตกของตาราง) โดยทจะตองก าหนดใหมจ านวนสนคาใหมคามากทสด แตตองไมเกนอปสงคและอปทานของชองทพจารณาอย 1.3 ท าการลดจ านวนอปทานและอปสงคของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด แลวท าการตดแถวหรอหลกของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก โดยจะตดแถวหรอหลกทมจ านวนสนคาหลงจากลดจ านวนสนคาแลวทมคาเทากบ 0 นน
30 50
20
35
40 30
35 45 20
122
คอหลงจากการลดจ านวนสนคาแลว ถาจ านวนของอปทานเทากบ 0 ใหตดแถวออก หรอถาจ านวนของอปสงคเทากบ 0 ใหตดหลกออก
1.4 กลบไปด าเนนตามขนตอนท 2 จนกวาจะสงสนคาไดครบตามจ านวนทตองการ
ดงนนจากตวอยางท 3.1 สามารถแสดงการหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ ดงน 1. พจารณาตารางเรมตนของปญหาการขนสง
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
X13
500
โรงงานท 2
X21
X22
X23
250
โรงงานท 3
X31
X32
X33
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
2. เรมตนพจารณาจากชองแรกของตารางหรอชองมมซายสด คอ ชองของ X11 โดยทจะตองก าหนดใหมจ านวนสนคามคามากทสด คอ X11 = 400 หนวย แตตองไมเกนอปสงค (400 หนวย) และอปทาน (500 หนวย)
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400
X12
X13
500
โรงงานท 2
X21
X22
X23
250
โรงงานท 3
X31
X32
X33
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
30 50 35
20 40 30
35 45 20
30 50 35
20 40 30
35 45 20
123
3. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 400 หนวย แลวท าการตดแถวหรอหลกของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก โดยจะท าการตดหลกออกเพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (400 – 400 = 0)
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400
X12
X13
100
โรงงานท 2
X21
X22
X23
250
โรงงานท 3
X31
X32
X33
250
อปสงครวม 0 250 350 600
4. พจารณาชองแรกของตารางหรอชองมมซายสดทไดจากขอ 3 คอ ชองของ X12 โดยทจะก าหนดใหมจ านวนสนคาทเหลอจากชองแรก คอ 500 – 400 = 100 และใหมคามากทสด คอ X12 = 100 หนวย ซงจะตองไมเกนอปสงค (250 หนวย) และอปทาน (100 หนวย)
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400
100
X13
100
โรงงานท 2
X21
X22
X23
250
โรงงานท 3
X31
X32
X33
250
อปสงครวม 0 250 350 600
5. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 100 หนวย และจะท าการตดแถวออกเพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (100 – 100 = 0)
30 50 35
20 40 30
35 45 20
30 50 35
20 40 30
35 45 20
124
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400
100
X13
0
โรงงานท 2
X21
X22
X23
250
โรงงานท 3
X31
X32
X33
250
อปสงครวม 0 150 350 500
6. พจารณาชองแรกของตารางหรอชองมมซายสดทไดจากขอ 5 คอ ชองของ X22 โดยทจะก าหนดใหมจ านวนสนคาทเหลอจากชองทไดก าหนดจ านวนสนคาในหลกหรอแถวเดยวกน คอ 250 – 100 = 150 และใหมคามากทสด นนคอ X22 = 150 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค(150 หนวย) และอปทาน (250 หนวย)
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400
100
X13
0
โรงงานท 2
X21
150
X23
250
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
อปสงครวม 0 150 350 500
7. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 150 หนวย และจะท าการตดหลกออกเพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (150 – 150 = 0)
20 40 30
30 50 35
30 50 35
20 40 30
35 45 20
35 45 20
125
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400
100
X13
0
โรงงานท 2
X21
150
X23
100
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
อปสงครวม 0 0 350 350
8. พจารณาชองแรกของตารางหรอชองมมซายสดทไดจากขอ 7 คอ ชองของ X23 โดยทจะก าหนดใหมจ านวนสนคาทเหลอจากชองทไดก าหนดจ านวนสนคาในหลกหรอแถวเดยวกน คอ 250 – 150 = 100 และใหมคามากทสด นนคอ X23 = 100 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (350 หนวย) และอปทาน (100 หนวย)
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400
100
X13
0
โรงงานท 2
X21
150
100
100
โรงงานท 3
X31
X32
X33
250
อปสงครวม 0 0 350 350
9. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 100 หนวย และจะท าการตดแถวออกเพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (100 – 100 = 0)
20 40 30
35 45 20
30 50 35
20 40 30
35 45 20
30 50 35
126
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400
100
X13
0
โรงงานท 2
X21
150
100
0
โรงงานท 3
X31
X32
X33
250
อปสงครวม 0 0 250 250
10. พจารณาชองแรกของตารางหรอชองมมซายสดทไดจากขอ 9 คอ ชองของ X33 โดยทจะก าหนดใหมจ านวนสนคาทเหลอจากชองทไดก าหนดจ านวนสนคาในหลกหรอแถวเดยวกน คอ 350 – 100 = 250 และใหมคามากทสด นนคอ X33 = 250 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (250 หนวย) และอปทาน (250 หนวย)
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400
100
X13
0
โรงงานท 2
X21
150
100
0
โรงงานท 3
X31
X32
250
0
อปสงครวม 0 0 0 0
จะเหนไดวาทกโรงงานไดท าการขนสงสนคาไปยงคลงสนคาครบตามจ านวนทตองการแลว ดงนนจะไดเสนทางในการสงสนคาเรมตน ดงน
20 40 30
35 45 20
30 50 35
20 40 30
35 45 20
30 50 35
127
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400
100
X13
500
โรงงานท 2
X21
150
100
250
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
ดงนนจะไดแผนการสงสนคาและคาใชจายในการขนสงรวมทเปนผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ ดงตารางตอไปน
เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 30 400 12,000
1 2 50 100 5,000
2 2 40 150 6,000
2 3 30 100 3,000
3 3 20 250 5,000
รวม 1,000 31,000
2. วธการประมาณของโวเกล (Vogel’s Approximation Method หรอ VAM) การหาผลเฉลยเรมตนของวธการประมาณของโวเกล เปนการประมาณคาเสยโอกาส (penalty cost) นนคอ ถาเปนปญหาการลงทนหรอปญหาการหาคาต าสดจะเปนการหาตนทนทอาจตองจายเพมขนและถาเปนปญหาการเกยวกบก าไรหรอปญหาการหาคาสงสดจะเปนการหาก าไรทอาจตองลดลง เมอมการเลอกเสนทางทไมเหมาะสม ดงนนจะตองท าการเลอกเสนทางทเหมาะสมทท าใหคาเสยโอกาสนอยทสด โดยจะใชคาเสยโอกาสของคาใชจายในการขนสงสนคาเปนเกณฑในการก าหนดปรมาณของสนคาในแตละเสนทางมขนตอนดงตอไปน 2.1 ท าการค านวณคาเสยโอกาส ดงน ถาเปนปญหาการลงทน คอ ผลตางระหวางตนทนการขนสงตอหนวยของคานอยทสดกบคาทนอยรองลงมา ส าหรบทกแถวและทกหลก และถาเปนปญหาเกยวกบก าไร คอ ผลตางระหวางก าไรตอหนวยของคาสงทสดกบคาทสงทสดรองลงมา
30 50 35
35 45 20
20 40 30
128
ส าหรบทกแถวและทกหลก (กรณทมตนทนการขนสงตอหนวยนอยทสดมากกวา 1 คา หรอมก าไรตอหนวยสงทสดมากกวา 1 คา จะไดคาเสยโอกาส เทากบ 0) แลวท าการเขยนคาทไดก ากบไวตรงแถวและหลกนนๆ
2.2 ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 1 เปนแถวหรอหลกทจะใชก าหนดปรมาณสนคาทตองการขนสงกอน (กรณทมคาเสยโอกาสสงสดมากกวา 1 คา ใหเลอกแถวหรอหลกทมตนทนการขนสงตอหนวยนอยทสดแตถาเกดกรณทตนทนการขนสงตอหนวยนอยทสดมมากกวา 1 คา ใหท าการเปรยบเทยบตนทนการขนสงตอหนวยทมากสด โดยจะตองเลอกแถวหรอหลกทมตนทนการขนสงตอหนวยทมากสด ทมากกวา ส าหรบปญหาการลงทน และใหเลอกแถวหรอหลกทมก าไรตอหนวยมากทสดแตถาเกดกรณทก าไรตอหนวยมากทสดมมากกวา 1 คา ใหท าการเปรยบเทยบก าไรตอหนวยทนอยสด โดยจะตองเลอกแถวหรอหลกทมก าไรตอหนวยทนอยสด ทนอยกวา ส าหรบปญหาเกยวกบการหาก าไร) 2.3 ท าการเลอกชองทมตนทนการขนสงตอหนวยทนอยสดในแถวหรอหลกทไดจากขอ 2 ส าหรบปญหาการลงทน และ เลอกชองทมก าไรตอหนวยทสงสดในแถวหรอหลกทไดจากขอ 2
ส าหรบปญหาเกยวกบก าไร โดยจะใชชองนเปนชองทจะก าหนดปรมาณสนคากอน ซงจะท าการก าหนดใหจ านวนสนคามคามากทสด แตตองไมเกนอปสงคและอปทาน 2.4 ท าการลดจ านวนอปทานและอปสงคของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด แลวท าการตดแถวหรอหลกของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก โดยจะตดแถวหรอหลกทมจ านวนสนคาหลงจากลดจ านวนสนคาแลวทมคาเทากบ 0 นนคอ หลงจากการลดจ านวนสนคาแลว ถาจ านวนของอปทานเทากบ 0 ใหตดแถวออก หรอถาจ านวนของอปสงคเทากบ 0 ใหตดหลกออก
2.5 กลบไปด าเนนตามขนตอนท 2 จนกวาจะสงสนคาไดครบตามจ านวนทตองการ
ดงนนจากตวอยางท 3.1 สามารถแสดงการหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล ดงน 1. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสส าหรบทกแถวและทกหลก แลวท าการเขยนคาทไดก ากบไวตรงแถวและหลกนนๆ ดงน จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงสามารถแสดงการหาคาเสยโอกาสในการขนสงของแตละแถวไดดงน - โรงงานท 1 คาใชจายต าสด คอ 30 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 35 บาท มผลตางคอ 35 – 30 = 5
- โรงงานท 2 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท
มผลตางคอ 30 – 20 = 10
129
- โรงงานท 3 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 35 บาท
มผลตางคอ 35 – 20 = 15
และสามารถแสดงการหาคาเสยโอกาสในการขนสงของแตละหลกไดดงน - คลงสนคาท 1 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท มผลตางคอ 30 – 20 = 10
- คลงสนคาท 2 คาใชจายต าสด คอ 40 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 45 บาท มผลตางคอ 45 – 40 = 5
- คลงสนคาท 3 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท มผลตางคอ 30 – 20 = 10
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
X11
X12
X13
500
5
โรงงานท 2
X21
X22
X23
250
10
โรงงานท 3
X31
X32
X 33
250
15
อปสงครวม 400 250 350 1,000
คาเสยโอกาส 10 5 10
2. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 1 เปนแถวหรอหลกทจะใชก าหนดปรมาณสนคาทตองการขนสงกอนซงในตวอยางน คอ 15 ในแถวท 3 (โรงงานท 3) ดงนนจะใชแถวท 3 เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา
3. ท าการเลอกชองทมตนทนการขนสงตอหนวยทนอยสด จากแถวท 3 (โรงงานท 3) คอ 20 บาท ดงนนจะใชชองนเปนชองทจะก าหนดปรมาณสนคา โดยทจะท าการก าหนดใหจ านวนสนคามคามากทสด นนคอ X33 = 250 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (350 หนวย) และอปทาน (250 หนวย)
30 50 35
20 40 30
35 45 20
130
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
X11
X12
X13
500
5
โรงงานท 2
X21
X22
X23
250
10
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
15
อปสงครวม 400 250 350 1,000
คาเสยโอกาส 10 5 10
4. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 250 หนวย และท าการตดแถวของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (250 – 250 = 0)
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
X11
X12
X13
500
5
โรงงานท 2
X21
X22
X23
250
10
โรงงานท 3
X31
X32
250
0
0
อปสงครวม 400 250 100 750
คาเสยโอกาส 10 5 10
5. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสใหมส าหรบทกแถวและทกหลกจากขอ 4 แลวท าการเขยนคาทไดก ากบไวตรงแถวและหลกนนๆ ดงน หาคาเสยโอกาสในการขนสงของแตละแถวไดดงน - โรงงานท 1 คาใชจายต าสด คอ 30 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 35 บาท
มผลตางคอ 35 – 30 = 5
30 50 35
20 40 30
35 45 20
30 50 35
20 40 30
35 45 20
131
- โรงงานท 2 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท
มผลตางคอ 30 – 20 = 10
และหาคาเสยโอกาสในการขนสงของแตละหลกไดดงน - คลงสนคาท 1 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท
มผลตางคอ 30 – 20 = 10
- คลงสนคาท 2 คาใชจายต าสด คอ 40 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 50 บาท
มผลตางคอ 50 – 40 = 10
- คลงสนคาท 3 คาใชจายต าสด คอ 30 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 35 บาท
มผลตางคอ 35 – 30 = 5
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
X11
X12
X13
500
5
โรงงานท 2
X21
X22
X23
250
10
โรงงานท 3
X31
X32
250
0
0
อปสงครวม 400 250 100 750
คาเสยโอกาส 10 10 5
6. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 5 เปนแถวหรอหลกทจะใชก าหนดปรมาณสนคาทตองการขนสง ซงจะไดวา หลกท 1 (คลงสนคาท 1) และแถวท 2 (โรงงานท 2) มคาเสยโอกาสมากทสดเทากน คอ 10 และมตนทนการขนสงตอหนวยนอยสดเทากน คอ 20 บาทดงนนจะท าการเปรยบเทยบตนทนการขนสงตอหนวยทมากสด คอ หลกท 1 เทากบ 30 บาท และแถวท 2 เทากบ 40 บาท โดยจะท าการเลอกแถวหรอหลกทมตนทนการขนสงตอหนวยท มากสด ทมากกวา นนคอ แถวท 2 ดงนนจะท าการเลอกแถวท 2 (โรงงานท 2) เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา
7. ท าการเลอกชองทมตนทนการขนสงตอหนวยทนอยสด จากแถวท 2 (โรงงานท 2) คอ 20 บาท ดงนนจะใชชองนเปนชองทจะก าหนดปรมาณสนคา โดยทจะท าการก าหนดใหจ านวนสนคามคามากทสด นนคอ X21 = 250 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (400 หนวย) และอปทาน (250 หนวย)
30 50 35
20 40 30
35 45 20
132
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
X11
X12
X13
500
5
โรงงานท 2
250
X22
X23
250
10
โรงงานท 3
X31
X32
250
0
0
อปสงครวม 400 250 100 750
คาเสยโอกาส 10 10 5
8. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 250 หนวย และท าการตดแถวของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (250 – 250 = 0)
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
X11
X12
X13
500
5
โรงงานท 2
250
X22
X23
0
0
โรงงานท 3
X31
X32
250
0
0
อปสงครวม 150 250 100 500
คาเสยโอกาส 10 10 5
9. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสใหมส าหรบทกแถวและทกหลกจากขอ 8 แลวท าการเขยนคาทไดก ากบไวตรงแถวและหลกนนๆ ดงน หาคาเสยโอกาสในการขนสงของแตละแถวไดดงน - โรงงานท 1 คาใชจายต าสด คอ 30 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 35 บาท
มผลตางคอ 35 – 30 = 5
30 50 35
20 40 30
35 45 20
30 50 35
20 40 30
35 45 20
133
และหาคาเสยโอกาสในการขนสงของแตละหลกไดดงน - คลงสนคาท 1 คาใชจายต าสด คอ 30 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท
มผลตางคอ 30 – 30 = 0
- คลงสนคาท 2 คาใชจายต าสด คอ 50 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 50 บาท
มผลตางคอ 50 – 50 = 0
- คลงสนคาท 3 คาใชจายต าสด คอ 35 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 35 บาท
มผลตางคอ 35 – 35 = 0
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
X11
X12
X13
500
5
โรงงานท 2
250
X22
X23
0
0
โรงงานท 3
X31
X32
250
0
0
อปสงครวม 150 250 100 500
คาเสยโอกาส 0 0 0
10. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 9 เปนแถวหรอหลกทจะใชก าหนดปรมาณสนคาทตองการขนสง คอ 5 ในแถวท 1 (โรงงานท 1) ดงนนจะใชแถวท 1 เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา
11. ท าการเลอกชองทมตนทนการขนสงตอหนวยทนอยสด จากแถวท 1 (โรงงานท 1) คอ 30 บาท ดงนนจะใชชองนเปนชองทจะก าหนดปรมาณสนคา โดยทจะท าการก าหนดใหจ านวนสนคามคามากทสด นนคอ X11 = 150 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (150 หนวย) และอปทาน (500 หนวย)
30 50 35
20 40 30
35 45 20
134
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
150
X12
X13
500
5
โรงงานท 2
250
X22
X23
0
0
โรงงานท 3
X31
X32
250
0
0
อปสงครวม 150 250 100 500
คาเสยโอกาส 0 0 0
12. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 150 หนวย และท าการตดหลกของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (150 – 150 = 0)
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
150
X12
X13
350
5
โรงงานท 2
250
X22
X23
0
0
โรงงานท 3
X31
X32
250
0
0
อปสงครวม 0 250 100 350
คาเสยโอกาส 0 0 0
13. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสใหมส าหรบทกแถวและทกหลกจากขอ 12 แลวท าการเขยนคาทไดก ากบไวตรงแถวและหลกนนๆ ดงน หาคาเสยโอกาสในการขนสงของแตละแถวไดดงน - โรงงานท 1 คาใชจายต าสด คอ 35 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 50 บาท
มผลตางคอ 50 – 35 = 15
30 50 35
20 40 30
35 45 20
30 50 35
20 40 30
35 45 20
135
และหาคาเสยโอกาสในการขนสงของแตละหลกไดดงน - คลงสนคาท 2 คาใชจายต าสด คอ 50 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 50 บาท มผลตางคอ 50 – 50 = 0
- คลงสนคาท 3 คาใชจายต าสด คอ 35 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 35 บาท
มผลตางคอ 35 – 35 = 0
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
150
X12
X13
350
15
โรงงานท 2
250
X22
X23
0
0
โรงงานท 3
X31
X32
250
0
0
อปสงครวม 0 250 100 350
คาเสยโอกาส 0 0 0
14. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 13 เปนแถวหรอหลกทจะใชก าหนดปรมาณสนคาทตองการขนสง คอ 15 ในแถวท 1 (โรงงานท 1) ดงนนจะใชแถวท 1
เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา
15. ท าการเลอกชองทมตนทนการขนสงตอหนวยทนอยสด จากแถวท 1 (โรงงานท 1) คอ 35 บาท ดงนนจะใชชองนเปนชองทจะก าหนดปรมาณสนคา โดยทจะท าการก าหนดใหจ านวนสนคามคามากทสด นนคอ X13 = 100 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (100 หนวย) และอปทาน (350 หนวย)
30 50 35
20 40 30
35 45 20
136
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
150
X12
100
350
15
โรงงานท 2
250
X22
X23
0
0
โรงงานท 3
X31
X32
250
0
0
อปสงครวม 0 250 100 350
คาเสยโอกาส 0 0 0
16. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 100 หนวย และท าการตดหลกของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (150 – 150 = 0)
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
150
X12
100
250
15
โรงงานท 2
250
X22
X23
0
0
โรงงานท 3
X31
X32
250
0
0
อปสงครวม 0 250 0 250
คาเสยโอกาส 0 0 0
17. จากการก าหนดจ านวนสนคาในเสนทางตางๆ ทไดแสดงมาขางตนจะพบวาเหลอเสนทางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาอยหนงชอง คอ ชองของ X12 ซงจะเหนไดวามสนคาทยงไมไดสงอยจ านวน 250 หนวย และยงเหลอมทวางของคลงสนคาทสามารถเกบไดอก 250
หนวยเชนกน ดงนนจงสามารถก าหนดจ านวนสนคาในเสนทางนไดทงหมด 250 หนวย ดงน
30 50 35
20 40 30
35 45 20
30 50 35
20 40 30
35 45 20
137
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
150
250
100
0
0
โรงงานท 2
250
X22
X23
0
0
โรงงานท 3
X31
X32
250
0
0
อปสงครวม 0 0 0 0
คาเสยโอกาส 0 0 0
จะเหนไดวาทกโรงงานไดท าการขนสงสนคาไปยงคลงสนคาครบตามจ านวนทตองการแลว ดงนนจะไดเสนทางในการสงสนคาเรมตน ดงน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3 อปทานรวม
โรงงานท 1
150
250
100
500
โรงงานท 2
250
X22
X23
250
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
30 50 35
30 50 35
20 40 30
35 45 20
20 40 30
35 45 20
138
ดงนนจะไดแผนการสงสนคาทเปนผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล ดงน
เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 30 150 4,500
1 2 50 250 12,500
1 3 35 100 3,500
2 1 20 250 5,000
3 3 20 250 5,000
รวม 1,000 30,500
เมอท าการเปรยบเทยบวธการหาผลเฉลยเรมตนทงสองนจะเหนไดวาวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอมข นตอนทงายกวาวธการประมาณของโวเกล แตวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอจะไดผลเฉลยทใหคาใชจายมากกวาวธการประมาณของโวเกล เพราะวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอไมไดค านงถงคาใชจายในการขนสงกอนทจะก าหนดจ านวนสนคา
การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตน
การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตน สามารถท าไดหลายวธดวยกน ในหวขอนจะท าการแสดงวธการ 2 วธ คอ วธการสเตปปงสโตน (stepping stone method) และวธการโมดฟายดสทรบวชน (modified distribution method) แตกอนทจะท าการพฒนาผลเฉลยจะตองท าการตรวจสอบจ านวนของชองทมการก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนกอน ซงจะตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) เสมอ โดยท m คอ จ านวนจากตนทาง และ n คอ จ านวนจากปลายทาง จงจะสามารถพฒนาผลเฉลยได นนคอ จ านวนตวแปรพนฐานของปญหาการขนสงจะตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) ตวเสมอ แตถาจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนทมการก าหนดจ านวนสนคามจ านวนนอยกวา (m + n – 1) ซงจะเรยกวา เกดสภาพซอนสถานะ (degeneracy) หมายความวา โดยทวไปแลวตวแปรพนฐานทกตวจะมคาไมเทากบ 0
แตถามตวแปรพนฐานบางตวมคาเทากบ 0 แลวจะเรยกกรณนวา เกดสภาพซอนสถานะ ซงจะไดศกษาในหวขอตอไป ดงนนในขนนจะท าการแสดงวธการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตน ไดดงน
139
1. วธการสเตปปงสโตน มข นตอนดงตอไปน การพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนดวยวธการสเตปปงสโตน เปนการใชหลกการวเคราะหตนทนของการขนสงสนคาจากผลเฉลยเรมตน โดยจะท าการพจารณาทกๆ เสนทางการขนสงทไดจากผลเฉลยเรมตน ทจะตองน ามาค านวณตนทนทจะเปลยนไปหากมการขนสงสนคาจากเสนทางเดมทก าหนดในผลเฉลยเรมตนไปใชเสนทางใหม และในการค านวณตนทนทจะเปลยนไปเมอมการเปลยนเสนทางใหมโดยทตนทนจะเปลยนไป 1 หนวยสนคาทมการยายเสนทาง มข นตอนดงน ท าการตรวจสอบผลเฉลยเรมตนทไดกอนวาเปนผลเฉลยทเหมาะสมทสดแลวหรอไม โดยการสรางวงจรปด (loop) ของตวแปรไมพนฐานทกตว แลวท าการค านวณตนทนตอหนงหนวยสนคาของทกวงจรปด แลวจงพจารณาวาควรทจะพฒนาผลเฉลยตอไปหรอไมและควรจะพฒนาเสนทางใด ซงจะเรยกวธการน วา การตรวจสอบผลเฉลยเหมาะสมทสด(optimum) มกระบวนการดงน 1) พจารณาผลเฉลยเรมตนโดยท าการเลอกชองใดกได 1 ชองทไมมการก าหนดจ านวนสนคา คอ ชองทเปนตวแปรไมพนฐาน แลวใหใสเครองหมาย + ก ากบไว
2) พจารณาในแถวหรอหลกเดยวกบชองทไดจากขอ 1 แลวเลอกชองทใกลทสดทม การก าหนดจ านวนสนคาทสามารถท าเปนวงจรปดมายงชองเรมตน (ชองในขอท 1) ได แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไว 3) พจารณาในชองทไดจากขอ 2 แลวท าการวนผานชองนไปเปนมมฉากไปยงชองทมการก าหนดจ านวนสนคาทใกลทสดทสามารถท าเปนวงจรปดมายงชองเรมตน (ชองในขอท 1) ได แลวใหใสเครองหมาย + ก ากบไว
4) พจารณาในชองทไดจากขอ 3 แลวท าการวนผานชองนไปเปนมมฉากไปยงชองทมการก าหนดจ านวนสนคาทใกลทสดทสามารถท าเปนวงจรปดมายงชองเรมตน (ชองในขอท 1) ได แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไว 5) ท าการด าเนนการเชนน ไปเรอยๆ จนกระทงเสนทางกลบมายงชองทเปนจดเรมตน (ชองในขอท 1) ซงจะเปนวงจรปด โดยทมเครองหมาย + กบ – สลบกนไปเรอยๆ โดยการก าหนดวงจรปดนจะตองวนไปทางขวาหรอทางซายในทศทางใดทศทางหนง และตวแปรไมพนฐานแตละตวสามารถสรางวงจรปดไดเพยงหนงวงจรเทานน
6) ท าการค านวณตนทนตอหนงหนวยสนคา จากเสนทางทเปลยนไปถามการยายสนคาไปตามแนววงจรทได โดยการน าตนทนการขนสงตอหนวยสนคาในแตละชองคณกบจ านวนสนคา คอ 1 หนวย และใหผลลพธทไดของแตละชองมคาตามเครองหมายทไดก ากบไวในวงจร (ถาเสนทางของวงจรปดมการลากผานตวแปรพนฐานตวอนไมตองใสเครองหมายก ากบใดๆ ไวในชองตวแปรพนฐานตวนนและไมตองใชในการค านวณตนทนหรอก าไรตอหนงหนวยสนคา) 7) ด าเนนการซ าในชองทไมมการก าหนดจ านวนสนคาทเหลอจนครบทกชอง
140
8) ท าการพจารณาผลทไดดงน กรณปญหาการลงทน ถาคาตนทนตอหนงหนวยสนคา มคามากกวาหรอเทากบ 0 แสดงวาไดผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว แตถาคาตนทนตอหนงหนวยสนคา มคานอยกวา 0 แสดงวายงไมไดผลเฉลยทเหมาะสมทสด ดงนนจะท าการพฒนาหา ผลเฉลยเหมาะสมทสดตอไป (กรณปญหาเกยวกบการหาก าไร ถาคาก าไรตอหนงหนวยสนคา มคานอยกวาหรอเทากบ 0 แสดงวาไดผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว แตถาคาก าไรตอหนงหนวยสนคา ม คามากกวา 0 แสดงวายงไมไดผลเฉลยทเหมาะสมทสด ดงนนจะท าการพฒนาหาผลเฉลยเหมาะสมทสดตอไป) จากขนตอนทงหมดทไดกลาวมานจะเรยกวา การวเคราะหเสนทางขนสงทวาง และสามารถแสดงการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนดวยวธการสเตปปงสโตน ไดดงตวอยางตอไปน จากตวอยางท 3.1 สามารถหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ ไดดงน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400
100
X13
500
โรงงานท 2
X21
150
100
250
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
ท าการตรวจสอบจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนทมการก าหนดจ านวนสนคากอนซงมจ านวน 5 ชอง และตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) จาก m = 3 และ n = 3
ดงนน (m + n – 1) = (3 + 3 – 1) = 5 แสดงวาในตวอยางนสามารถพฒนาผลเฉลยดวยวธการสเตปปงสโตนได จากผลเฉลยเรมตนจะเหนไดวามชองวางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาทงหมด 4 ชอง คอ ชองของตวแปรไมพนฐาน X13 , X21 , X31 และ X32 ดงนนจะตองท าการวเคราะหเสนทางขนสงทวางทงหมด 4 วงจร ดงน
30 50
20
35
40 30
35 45 20
141
วงจรท 1 ชองของตวแปรไมพนฐาน X13 1. เลอกชองของเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 3 โดยใหก าหนดเครองหมาย + ก ากบไวในชองเรมตนน 2. เลอกชองในแถวเดยวกบชองทไดจากขอ 1 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 100 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 2 แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไวในชองน 3. เลอกชองในหลกเดยวกบชองทไดจากขอ 2 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 150 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2 แลวใหใสเครองหมาย + ก ากบไวในชองน 4. เลอกชองในแถวเดยวกบชองทไดจากขอ 3 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 100 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 3 แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไวในชองน
สามารถแสดงไดดงตอไปน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400 –
100
เรมตน+ X13
500
โรงงานท 2
X21 +
150
–
100
250
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
ค านวณตนทนตอหนงหนวยสนคาในแตละชอง ดงน เสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 3 = +(1×35) = 35
เสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 2 = –(1×50) = – 50
เสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2 = +(1×40) = 40
เสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 3 = –(1×30) = – 30
รวม = – 5
30 50
20
35
40 30
35 45 20
142
ผลลพธทไดมคาเทากบ – 5 หมายความวา ถามการเปลยนเสนทางการขนสงตามแนวทางทเลอกไวในวงจรน คอ เมอเพมจ านวนสนคา 1 หนวยในเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 3 และเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2 พรอมๆ กบการลดจ านวนสนคาลง 1 หนวยในเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคา 2 และเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 3 จะท าใหคาใชจายรวมทงหมดลดลง 5 บาทตอสนคาทเปลยนเสนทาง 1 หนวย ดงนนแผนการเปลยนแปลงในเสนทางนจงเหมาะกบการปรบผลเฉลยเรมตน
วงจรท 2 ชองของตวแปรไมพนฐาน X21
1. เลอกชองของเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 1 โดยใหก าหนดเครองหมาย + ก ากบไวในชองเรมตนน 2. เลอกชองในแถวเดยวกบชองทไดจากขอ 1 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 150 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2
แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไวในชองน 3. เลอกชองในหลกเดยวกบชองทไดจากขอ 2 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 100 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 2
แลวใหใสเครองหมาย + ก ากบไวในชองน 4. เลอกชองในแถวเดยวกบชองทไดจากขอ 3 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 400 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 1
แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไวในชองน
สามารถแสดงไดดงตอไปน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
–
400
+
100
X13
500
โรงงานท 2
เรมตน+ X21 –
150
100
250
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
30 50
20
35
40 30
35 45 20
143
ค านวณตนทนตอหนงหนวยสนคาในแตละชอง ดงน เสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 1 = +(1×20) = 20
เสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2 = –(1×40) = – 40
เสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 2 = +(1×50) = 50 เสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 1 = –(1×30) = – 30
รวม = 0
ผลลพธทไดมคาเทากบ 0 หมายความวา ถามการเปลยนเสนทางการขนสงตามแนวทางทเลอกไวในวงจรน คอ เมอเพมจ านวนสนคา 1 หนวยในเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 1 และเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 2 พรอมๆ กบการลดจ านวนสนคาลง 1 หนวยในเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2 และเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 1 จะท าใหคาใชจายรวมทงหมดไมมการเปลยนแปลง ดงนนแผนการเปลยนแปลงในเสนทางนจงไมเหมาะกบการปรบผลเฉลยเรมตน
วงจรท 3 ชองของตวแปรไมพนฐาน X31
1. เลอกชองของเสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 1 โดยใหก าหนดเครองหมาย + ก ากบไวในชองเรมตนน 2. เลอกชองในแถวเดยวกบชองทไดจากขอ 1 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 250 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 3 แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไวในชองน 3. เลอกชองในหลกเดยวกบชองทไดจากขอ 2 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 100 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 3 แลวใหใสเครองหมาย + ก ากบไวในชองน
4. เลอกชองในแถวเดยวกบชองทไดจากขอ 3 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 150 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2 แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไวในชองน 5. เลอกชองในหลกเดยวกบชองทไดจากขอ 4 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 100 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 2 แลวใหใสเครองหมาย + ก ากบไวในชองน 6. เลอกชองในแถวเดยวกบชองทไดจากขอ 5 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 400 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 1 แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไวในชองน
144
สามารถแสดงไดดงตอไปน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
–
400
+
100
X13
500
โรงงานท 2
X21 –
150
+
100
250
โรงงานท 3
เรมตน+ X31
X32 –
250
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
ค านวณตนทนตอหนงหนวยสนคาในแตละชอง ดงน เสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 1 = +(1×35) = 35
เสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 3 = –(1×20) = – 20
เสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 3 = +(1×30) = 30
เสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2 = –(1×40) = – 40
เสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 2 = +(1×50) = 50
เสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 1 = –(1×30) = – 30
รวม = 25
ผลลพธทไดมคาเทากบ 25 หมายความวา ถามการเปลยนเสนทางการขนสงตามแนวทางทเลอกไวในวงจรน คอ เมอเพมจ านวนสนคา 1 หนวยในเสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 1 เสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 3 และเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 2 พรอมๆ กบการลดจ านวนสนคาลง 1 หนวยในเสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 3 เสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2 และเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 1 จะท าใหคาใชจายรวมทงหมดเพมขน 20 บาทตอสนคาทเปลยนเสนทาง 1 หนวย ดงนนแผนการเปลยนแปลงในเสนทางนจงไมเหมาะกบการปรบผลเฉลยเรมตน
30 50
20
35
40 30
35 45 20
145
วงจรท 4 ชองของตวแปรไมพนฐาน X32
1. เลอกชองของเสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 2 โดยใหก าหนดเครองหมาย + ก ากบไวในชองเรมตนน 2. เลอกชองในแถวเดยวกบชองทไดจากขอ 1 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 250 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 3 แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไวในชองน 3. เลอกชองในหลกเดยวกบชองทไดจากขอ 2 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 100 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 3 แลวใหใสเครองหมาย + ก ากบไวในชองน 4. เลอกชองในแถวเดยวกบชองทไดจากขอ 3 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 150 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2 แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไวในชองน
สามารถแสดงไดดงตอไปน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400
100
X13
500
โรงงานท 2
X21 –
150
+
100
250
โรงงานท 3
X31
เรมตน+ X32 –
250
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
ค านวณตนทนตอหนงหนวยสนคาในแตละชอง ดงน เสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 1 = +(1×45) = 45
เสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 3 = –(1×20) = – 20
เสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 3 = +(1×30) = 30
เสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2 = –(1×40) = – 40
รวม = 15
30 50
20
35
40 30
35 45 20
146
ผลลพธทไดมคาเทากบ 15 หมายความวา ถามการเปลยนเสนทางการขนสงตามแนวทางทเลอกไวในวงจรน คอ เมอเพมจ านวนสนคา 1 หนวยในเสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 1 และเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 3 พรอมๆ กบการลดจ านวนสนคาลง 1 หนวยในเสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 3 และเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2 จะท าใหคาใชจายรวมทงหมดเพมขน 15 บาทตอสนคาทเปลยนเสนทาง 1 หนวย ดงนนแผนการเปลยนแปลงในเสนทางนจงไมเหมาะกบการปรบผลเฉลยเรมตน
สามารถสรปเสนทางของวงจรปดทงหมดไดดงน
ตวแปรไมพนฐาน
วงจรปด
ตนทนตอหนงหนวยสนคา
X13 X13 X12 X22 X23 +35 – 50 + 40 – 30 = –5
X21 X21 X22 X12 X11 +20 – 40 + 50 – 30 = 0
X31 X31 X33 X23 X22 X12 X11 +35 – 20 + 30 – 40 + 50 –30 = 25
X32 X32 X33 X23 X22 +45 – 20 + 30 – 40 = 15
จากผลการวเคราะหเสนทางวางทมผลตอตนทนการเปลยนแปลงไปตามเสนทางทก าหนดใหมจะไดเสนทางทเหมาะกบการปรบผลเฉลยเรมตน คอ วงจรท 1 หรอชองของตวแปรไมพนฐาน X13 ดงนนจะท าการพจารณาวงจรท 1 วาควรจะเปลยนแปลงจ านวนสนคาเทาไรและในเสนทางใดบาง ซงจากการทท าการก าหนดชองของวงจรโดยการใสเครองหมาย + และ – ก ากบไว หมายความวาจะท าการลดจ านวนสนคาในชองทมเครองหมาย – และท าการเพมจ านวนสนคาในชองทมเครองหมาย + ซงจะท าใหไดผลลพธตามความหมายของวงจรทได คอ เมอมการเปลยนแปลงจ านวนสนคา 1 หนวย แลวตนทนจะลดลง 5 บาท และในวงจรท 1 มชองทมเครองหมาย – สองชองและมการก าหนดจ านวนสนคาเดม คอ 100 หนวย ทงสองชอง ดงนนจะท าการลดจ านวนสนคาลง 100 หนวย ทงสองชอง แลวน าจ านวนสนคาทลดลงนไปเพมในชองทมเครองหมาย + ในวงจรเดยวกน ซงจะตองไมเกนอปทานและอปสงคของแตละเสนทางทเพมจ านวนสนคาลงไปใหม ดงนนจะไดวามการเปลยนแปลงจ านวนสนคา 100 หนวย ซงตนทนจะลดลง 500
บาท นนเอง สามารถแสดงไดดงน
147
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400 100 –
100
เรมตน+100
500
โรงงานท 2
X21 100 +
150
100 –
100
250
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
การพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนวธการสเตปปงสโตน สามารถแสดงไดดงน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400
X12
100
500
โรงงานท 2
X21
250
X23
250
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
ท าการตรวจสอบจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมจ านวน 4 ชอง แต (m + n – 1) = (3 + 3 – 1) = 5 แสดงวาในผลเฉลยทไดนไมสามารถพฒนาผลเฉลยดวยวธการสเตปปงสโตนไดอก (สามารถพฒนาผลเฉลยไดดวยวธอนอกซงจะไดท าการแสดงการพฒนาผลเฉลยทไดนในบทตอไป)
30 50
20
35
40 30
35 45 20
30 50
20
35
40 30
35 45 20
148
ดงน นจะสรปแผนการสงสนคาทไดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการ สเตปปงสโตน ดงน
เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 30 400 12,000
1 3 35 100 3,500
2 2 40 250 10,000
3 3 20 250 5,000
รวม 1,000 30,500
จากผลเฉลยทไดมคาขนสงรวม คอ 30,500 บาท ซงจะเหนไดวามคาทลดลงจากผลเฉลยเรมตนทไดจากวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ 500 บาท (คาขนสงเดม 31,000 บาท) ซงจะเหนไดวามคาเทากบเฉลยเรมตนทไดจากวธการประมาณของโวเกล แสดงวาการหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกลจะไดผลเฉลยทดกวาวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอและบางปญหาผลเฉลยทไดจากวธการประมาณของโวเกล อาจจะเปนผลเฉลยทเหมาะสมทสดโดยทไมตองพฒนาผลเฉลยเลยกเปนไปได ดงนนวธการประมาณของโวเกล จงเปนวธทนยมใชกนมากในการหาผลเฉลยเรมตนของปญหาการขนสง
2. วธการโมดฟายดสทรบวชน การพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน เปนการวเคราะหตนทนหรอก าไรของการขนสงสนคาจากผลเฉลยเรมตนเชนเดยวกบวธการ สเตปปงสโตน แตในวธการโมดฟายดสทรบวชนน ไมตองท าการพจารณาตนทนหรอก าไรของการขนสงสนคาในทกๆ เสนทางการขนสงทไดจากผลเฉลยเรมตน คอ ไมตองพจารณาวงจรปดของ ตวแปรไมพนฐานทกตวนนเอง แตจะท าการพจารณาเสนทาการขนสงทจะใหคาตนทนหรอก าไร การขนสงทเปลยนไปทมคาเหมาะสมมากทสด หมายความวาจะท าใหมการพจาณาตนทนหรอก าไรของการขนสงสนคาในเสนทางเพยงเสนทางเดยวเทานน ซงจะท าใหสะดวกและประหยดเวลาในการหาผลเฉลยไดมากกวาวธการสเตปปงสโตน โดยจะท าการพจารณาคาดชนประหยดตนทนกอนเพอทจะใชเปนคาทจะใชเลอกเสนทางทเหมาะสมเพยงเสนทางเดยวเทานน มข นตอนดงตอไปน
149
1. ก าหนดสมการ Ri + Cj = Kij ส าหรบทกชองทมก าหนดจ านวนสนคา
โดยท Ri คอ คาทก าหนดใหส าหรบแถวท i
Cj คอ คาทก าหนดใหส าหรบหลกท j
Kij คอ คาใชจายการขนสงทก าหนดใหส าหรบแตละเสนทางจาก ตนทางท i ไปยงปลายทางท j
2. ก าหนดให R1 = 0
3. หาคา Ri และ Cj
4. ค านวณคาดชนประหยดตนทน ij(I ) ส าหรบทกชองทไมมก าหนดจ านวนสนคา จากสมการ ij ij i jI K R –C
5. ท าการเลอกเสนทางทมคาดชนประหยดตนทนทมคาลบสงสด
6. ท าการพฒนาผลเฉลยของเสนทางท ไดจากขอ 5 ตามขนตอนของวธ สเตปปงสโตน
สามารถแสดงวธการและขนตอน การพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน ไดดวยตวอยางตอไปน จากปญหาในตวอยางท 3.1 หาผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ ไดดงน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400
100
X13
500
โรงงานท 2
X21
150
100
250
โรงงานท 3
X31
X23
250
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
ท าการตรวจสอบจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนทมการก าหนดจ านวนสนคากอนซงมจ านวน 5 ชอง และตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) จาก m = 3
30 50
20
35
40 30
35 45 20
150
และ n = 3 ดงนน (m + n – 1) = (3 + 3 – 1) = 5 แสดงวาในตวอยางนสามารถพฒนาผลเฉลยดวย วธการโมดฟายดสทรบวชน ไดดงน 1. ก าหนดสมการ Ri + Cj = Kij ส าหรบทกชองทมก าหนดจ านวนสนคา จะได
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทาน
รวม
โรงงานท 1
400
100
X13
500
โรงงานท 2
X21
150
100
250
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
1) R1 + C1 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1
2) R1 + C2 = 50 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 2
3) R2 + C2 = 40 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 2
4) R2 + C2 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 3
5) R3 + C3 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 3
2. ก าหนดให R1 = 0 ดงนนจากสมการในขอ 1 จะได
1) 0 + C1 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1
2) 0 + C2 = 50 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 2
3) R2 + C2 = 40 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 2
4) R2 + C3 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 3
5) R3 + C3 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 3
3. หาคา Ri และ Cj
จาก 1) จะได C1 = 30 จาก 2) จะได C2 = 50 จาก 3) จะได R2 + 50 = 40 ดงนน R2 = –10
จาก 4) จะได –10 + C3 = 30 ดงนน C3 = 40
จาก 5) จะได R3 + 40 = 20 ดงนน R3 = –20
R1
R2
R3
C1 C2 C3
30 50
20 40 30
35
35 45 20
151
4. ค านวณคาดชนประหยดตนทน ij(I ) ส าหรบทกชองทไมมก าหนดจ านวนสนคา จากผลเฉลยเรมตนจะเหนไดวามชองวางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาทงหมด 4 ชอง คอ ชองของตวแปรไมพนฐาน X13 , X21 , X31 และ X32
จากสมการ ij ij i jI K R –C จะได 13 13 1 3I K R –C = 35 – 0 – 40 = –5
21 21 2 1I K R –C = 20 – (–10) – 30 = 0
31 31 3 1I K R –C = 35 – (–20) – 30 = 25
32 32 3 2I K R –C = 45 – (–20) – 50 = 15
5. เสนทางทมคาดชนประหยดตนทนทมคาลบสงสด คอ 13I = – 5
ดงนนจะเลอกเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3 เปนชองเรมตนในการค านวณตนทนของการขนสงสนคา
6. ท าการพฒนาผลเฉลยของเสนทางทไดจากขอ 5 คอ เสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3 ตามขนตอนของวธการสเตปปงสโตน
จากตวอยางการพฒนาผลเฉลยดวยวธการสเตปปงสโตนทผานมาจะไดผลเฉลยทเกดจากการใชชองของเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3 เปนชองเรมตน หรอ ชองของ ตวแปรไมพนฐาน X13 ดงน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400 –
100
เรมตน+ X13
500
โรงงานท 2
X21 +
150
–
100
250
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
30 50
20
35
40 30
35 45 20
152
การพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดส ทรบวชน สามารถแสดงไดดงน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400
X12
100
500
โรงงานท 2
X21
250
X23
250
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
ดงนนจะสามารถสรปแผนการสงสนคาทไดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน ดงน
เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 30 400 12,000
1 3 35 100 3,500
2 2 40 250 10,000
3 3 20 250 5,000
รวม 1,000 30,500
จากผลเฉลยทไดมคาขนสงรวม คอ 30,500 บาท ซงจะเหนไดวามคาเทากบคาขนสงรวมของวธการสเตปปงสโตน แตในวธการโมดฟายดสทรบวชนนไมตองท าการพจารณาตนทนของการขนสงสนคาในทกๆ เสนทางการขนสงทไดจากผลเฉลยเรมตน ซงจะท าใหสะดวกและประหยดเวลาในการหาผลเฉลยไดมากกวาวธการสเตปปงสโตน ดงนนวธการโมดฟายดสทรบวชนนจงเปนวธทนยมใชกนมากในการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตน
30 50
20
35
40 30
35 45 20
153
ตอไปจะแสดงวธการและขนตอน การพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน โดยจะใชผลเฉลยเรมตนทไดจากวธการประมาณของโวเกล จากปญหาในตวอยางท 3.1 หาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล ไดดงน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3 อปทานรวม
โรงงานท 1
150
250
100
500
โรงงานท 2
250
X22
X23
250
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
ท าการตรวจสอบจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนทมการก าหนดจ านวนสนคากอนซงมจ านวน 5 ชอง และตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) จาก m = 3 และ n = 3 ดงนน (m + n – 1) = (3 + 3 – 1) = 5 แสดงวาในตวอยางนสามารถพฒนาผลเฉลยดวย วธการโมดฟายดสทรบวชน ไดดงน 1. ก าหนดสมการ Ri + Cj = Kij ส าหรบทกชองทมก าหนดจ านวนสนคาจะได
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทาน
รวม
โรงงานท 1
150
250
100
500
โรงงานท 2
250
X22
X23
250
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
30 50 35
20 40 30
R1
R2
R3
35 45 20
C1 C2 C3
30
20
35
50
40
45
35
30
20
154
1) R1 + C1 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1
2) R1 + C2 = 50 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 2
3) R1 + C3 = 35 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3
4) R2 + C1 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 1
5) R3 + C3 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 3 2. ก าหนดให R1 = 0 ดงนนจากสมการในขอ 1 จะได
1) 0 + C1 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1
2) 0 + C2 = 50 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 2
3) 0 + C3 = 35 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3
4) R2 + C1 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 1
5) R3 + C3 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 3
3. หาคา Ri และ Cj
จาก 1) จะได C1 = 30 จาก 2) จะได C2 = 50 จาก 3) จะได C3 = 35
จาก 4) จะได R2 + 30 = 20 ดงนน R2 = –10 จาก 5) จะได R3 + 35 = 20 ดงนน R3 = –15 4. ค านวณคาดชนประหยดตนทน ij(I ) ส าหรบทกชองทไมมก าหนดจ านวนสนคา จากสมการ ij ij i jI K R –C
จะได 22 22 2 2I K R –C = 40 – (–10) – 50 = 0
23 23 2 3I K R –C = 30 – (–10) – 35 = 5
31 31 3 1I K R –C = 35 – (–15) – 30 = 20
32 32 3 2I K R –C = 45 – (–15) – 50 = 10
จะเหนไดวาไมมเสนทางใดทมคาดชนประหยดตนทนทมคาลบ แสดงวาผลเฉลยนไมสามารถพฒนาผลเฉลยใหดขนไดอก นนคอ ผลเฉลยเรมตนทไดจากวธการประมาณของโวเกล เปนผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว แสดงใหเหนวาการหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล จะไดผลเฉลยทเหมาะสมทสดโดยทไมตองพฒนาผลเฉลยเลยกเปนไปได
155
บทสรป
ตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการขนสง ใชส าหรบจ าลองปญหาการขนสงหรอการจายแจกสนคาจากตนทางซงอาจมแหงเดยวหรอหลายแหง ไปยงปลายทางซงอาจมแหงเดยวหรอหลายแหงเชนกน โดยใหมคาใชจายในการขนสงต าทสด หรอเพอใหไดก าไรจากการขนสงสงสด ปญหาการขนสงทสมดล เปนการก าหนดใหปรมาณของสนคาทออกจากตนทางจะตองมคาเทากบปรมาณของสนคาทตองการของปลายทาง กลาวคอ ปรมาณของสนคาทมหรออปทานจะเทากบความตองการสนคาหรออปสงค ในการหาผลเฉลยของปญหาการขนสงทสมดล มข นตอนอย 2 ขน ไดแก การหาผลเฉลยเรมตน และการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตน โดยการหาผลเฉลยเรมตน สามารถแสดงได 2 วธ ไดแก วธการกฏมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ และวธการประมาณของโวเกล สวนการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตน สามารถแสดงได 2 วธเชนกน ไดแก วธการสเตปปงสโตน และวธการโมดฟายดสทรบวชน
156
แบบฝกหดบทท 3
3.1 จากตวแบบของปญหาการขนสงทก าหนดใหตอไปน จงสรางตารางเรมตนของปญหาการขนสง
3.1.1 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X11 + 20X12 + 30X21 + 40X22 + 20X31 + 50X32 เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานอปทาน
X11 + X12 = 100
X21 + X22 = 200
X31 + X32 = 100 2) เงอนไขดานอปสงค
X11 + X21 + X31 = 150
X12 + X22 + X32 = 250
Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2
3.1.2 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 30X11 + 20X12 + 10X13 + 40X21 + 50X22 + 30X23
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานอปทาน
X11 + X12 + X13 = 300
X21 + X22 + X23 = 200
2) เงอนไขดานอปสงค
X11 + X21 = 150
X12 + X22 = 200
X13 + X23 = 150 Xij 0 โดยท i = 1, 2 และ j = 1, 2, 3
3.1.3 ฟงกชนจดประสงค
(minimize)P = 40X11 + 20X12 + 10X13 + 50X21 + 20X22 + 60X23 + 30X31 + 20X32 + 40X33
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานอปทาน
X11 + X12 + X13 = 200
X21 + X22 + X23 = 150
X31 + X32 + X33 = 250
2) เงอนไขดานอปสงค
X11 + X21 + X31 = 100
X12 + X22 + X32 = 300
X13 + X23 + X33 = 200
Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3
157
3.1.4 ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 20X11 + 20X12 + 30X13 + 50X21 + 60X22 + 70X23 + 20X31 + 40X32 + 50X33 + 20X41 + 10X42 + 40X43
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานอปทาน
X11 + X12 + X13 = 300
X21 + X22 + X23 = 150
X31 + X32 + X33 = 150
X41 + X42 + X43 = 200
2) เงอนไขดานอปสงค
X11 + X21 + X31 + 20X41 = 350
X12 + X22 + X32 + 20X42 = 200
X13 + X23 + X33 + 20X43 = 250
Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3
3.2 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 3.1 จงหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ
3.3 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 3.1 จงหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของ โวเกล
3.4 จากการหาผลเฉลยเรมตนของปญหาการขนสงดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอใน ขอ 3.2 จงหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการสเตปปงสโตน
3.5 จากการหาผลเฉลยเรมตนของปญหาการขนสงดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอใน ขอ 3.2 จงหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
3.6 จากการหาผลเฉลยเรมตนของปญหาการขนสงดวยวธการประมาณของโวเกลในขอ 3.3 จงหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการสเตปปงสโตน
3.7 จากการหาผลเฉลยเรมตนของปญหาการขนสงดวยวธการประมาณของโวเกลในขอ 3.3 จงหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
158
3.8 จงหาผลเฉลยเรมตนโดยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงทก าหนดใหตอไปน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
X13
300
โรงงานท 2
X21
X22
X23
350
โรงงานท 3
X31
X32
X33
150
อปสงครวม 200 250 350 800
3.9 จากผลเฉลยเรมตนของปญหาการขนสงทไดในขอ 3.8 จงหาผลเฉลยเหมาะสมทสด โดยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
3.10 โรงงานผลตของเลนเดกแหงหนงในจงหวดหนองคายมเครองจกรในการผลตทงหมด 3 เครอง ซงมก าลงการผลต 200 , 300 และ 500 ชนตอวนตามล าดบ และมตวแทนตองการน าไปจดจ าหนายในตางอ าเภอทงหมด 3 อ าเภอ ดงนนทางโรงงานจะตองท าการขนสงคาไปเกบยงคลงสนคาตามอ าเภอตางๆ กอนทจะแจกจายใหตวแทนน าไปจดจ าหนาย ซงคลงสนคาในแตละอ าเภอมความสามารถในการจดเกบสนคาได 300 , 450 และ 250 ชนตามล าดบ โดยทโรงงานจะตองเสยคาใชจายในการขนสงสนคาไปยงคลงสนคาในอ าเภอตางๆ ดงตารางตอไปน
ตารางแสดงคาใชจายในการขนสงสนคา (บาท/หนวย) ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
เครองจกรท 1
เครองจกรท 2
เครองจกรท 3
5
4
3
4
7
5
6
3
4
โรงงานควรจดสงสนคาไปยงคลงสนคาทง 3 แหง อยางไรจงจะเสยคาใชจายนอยทสด โดยทโรงงานจะตองสงสนคาใหหมดและคลงสนคาจะตองเกบสนคาใหไดครบทงหมดเชนกน
20 30
50
35
40 20
35 45 30
บทท 4
ปญหาการขนสงทไมสมดล
จากปญหาการขนสงทไดกลาวมาแลว เปนการศกษาปญหาการขนสงทเรยกวา การขนสงทสมดล คอ ปรมาณของสนคาทมหรออปทาน จะมจ านวนเทากบความตองการของจ านวนสนคาหรออปสงค แตในความเปนจรงแลวในปญหาการขนสงจะพบกรณทการขนสงทสมดลคอนขางยาก เพราะปญหาสวนมากแลวจะเปนปญหากรณทการขนสงทไมสมดล (unbalanced
transportation problem) ซงอาจจะเปนไปได 2 กรณ คอ ปรมาณอปทานมากกวาปรมาณอปสงค หรอปรมาณอปสงคมากกวาปรมาณอปทาน ซงจะไมสามารถหาผลเฉลยตามขนตอนของปญหาการขนสงแบบสมดลได ดงนนในหวขอนจะท าการศกษาการหาผลเฉลยของปญหาการขนสงทไมสมดลนนเอง
กรณปรมาณอปทานมากกวาปรมาณอปสงค
จากตวอยางท 3.1 จะเปนปญหาการขนสงทสมดล หมายความวา ปรมาณอปทานจะมคาเทากบปรมาณอปสงค แตถามการเพมปรมาณของสนคาทผลตไดในแตละโรงงานเพมขน คอ การเพมจ านวนอปทานแตปรมาณของสนคาทแตละคลงสนคาจะรบไดมจ านวนเทาเดม คอ จ านวน อปสงคมคาเทาเดม ซงจะไดวาปรมาณอปทานจะมากกวาปรมาณอปสงค ซงจะเรยกปญหานวา ปญหาการขนสงทไมสมดล ดงตวอยางตอไปน
ตวอยางท 4.1 จากตวอยางท 3.1 เปนปญหาการขนสงทสมดล แตถาท าการก าหนดใหโรงงานท 2
สามารถผลตสนคาไดเพมจากเดมวนละ 250 หนวย เปนวนละ 450 หนวย แตคลงสนคาทงหมดยงสามารถเกบจ านวนสนคาไดเทาเดม แสดงวาปญหาการขนสงทก าหนดจ านวนการผลตใหมนจงเปนปญหาการขนสงทไมสมดล จากลกษณะปญหาทก าหนดจ านวนการผลตใหมขางตนน สามารถสรางตวแบบก าหนดการเชงเสน ไดดงน ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 30X11 + 50X12 + 35X13 + 20X21 + 40X22 + 30X23 + 35X31 + 45X32 + 20X33
เงอนไขบงคบ
1) เงอนไขดานอปทาน
X11 + X12 + X13 = 500
X21 + X22 + X23 = 450
X21 + X22 + X23 = 250
160
2) เงอนไขดานอปสงค
X11 + X21 + X31 = 400
X12 + X22 + X32 = 250
X13 + X23 + X33 = 350
Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3
ดงนนจะท าการสรปเปนตารางไดดงน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1 X11 X12 X13 500
โรงงานท 2 X21 X22 X23 450
โรงงานท 3 X31 X32 X33 250
อปสงครวม
400
250
350 1,200
1,000
และจะไดตารางเรมตนของปญหาการขนสง ดงน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
X13
500
โรงงานท 2
X21
X22
X23
450
โรงงานท 3
X31
X32
X33
250
อปสงครวม
400
250
350 1,200
1,000
30 50 35
20 40 30
35 45 20
161
จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงจะเหนวาปรมาณอปทานรวม (1,200 หนวย) จะมคามากกวาปรมาณอปสงครวม (1,000 หนวย) ซงจะท าใหไมสามารถหาผลเฉลยเรมตนดวยวธปกตทไดกลาวมาแลวได ดงนนจะตองท าการปรบตารางเรมตนของปญหาใหเปนปญหาการขนสงทสมดล โดยจะท าการก าหนดใหมคลงสนคาเทยม (dummy destination) ขนมาเพอทจะจดเกบสนคาทผลตเพมขนจากปญหาเดม (1,200 – 1,000 = 200 หนวย) แตคลงสนคาใหมทก าหนดขนนจะไมมผลกบคาใชจายรวมในการขนสง ดงนนคลงสนคาเทยมนจะมคาใชจายในการขนสงเทากบ 0 บาทตอหนวย นนเอง ดงนนจะไดตารางเรมตนของปญหาการขนสงใหมทมการเพมคลงสนคาเทยม ดงน
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4) อปทาน
รวม
โรงงานท 1
X11
X12
X13
X14
500
โรงงานท 2
X21
X22
X23
X24
450
โรงงานท 3
X31
X32
X33
X34
250
อปสงครวม 400 250 350 200 1,200
ท าการหาผลเฉลยตามขนตอนทไดอธบายไวขางตน คอ การหาผลเฉลยเรมตนกอนซงจะใชวธการประมาณของโวเกล แลวท าการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการพฒนาผลเฉลยเรมตน ตอไป
จากตวอยางท 3.1 ทท าการก าหนดใหโรงงานท 2 สามารถผลตสนคาไดเพมจากเดม วนละ 250 หนวย เปนวนละ 450 หนวย แตคลงสนคาทงหมดยงสามารถเกบจ านวนสนคาได เทาเดม สามารถแสดงการหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล ดงน 1. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสส าหรบทกแถวและทกหลก ดงน - โรงงานท 1 คาใชจายต าสด คอ 0 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท
มผลตางคอ 30 – 0 = 30
- โรงงานท 2 คาใชจายต าสด คอ 0 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 20 บาท
มผลตางคอ 20 – 0 = 20
- โรงงานท 3 คาใชจายต าสด คอ 0 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 20 บาท
มผลตางคอ 20 – 0 = 20
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
162
- คลงสนคาท 1 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท
มผลตางคอ 30 – 20 = 10
- คลงสนคาท 2 คาใชจายต าสด คอ 40 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 45 บาท
มผลตางคอ 45 – 40 = 5
- คลงสนคาท 3 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท
มผลตางคอ 30 – 20 = 10
- คลงสนคาเทยม คาใชจายต าสด คอ 0 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 0 บาท
มผลตางคอ 0 – 0 = 0
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4) อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
X11
X12
X13
X14
500
30
โรงงานท 2
X21
X22
X23
X24
450
20
โรงงานท 3
X31
X32
X33
X34
250
20
อปสงครวม 400 250 350 200 1,200
คาเสยโอกาส 10 5 10 0
2. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 1 คอ 30 ในแถวท 1 ดงนนจะใชแถวท 1 เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา
3. ท าการเลอกชองทมตนทนการขนสงตอหนวยทนอยสด จากแถวท 1 คอ 0 บาท ดงนนจะใชชองของ X14 เปนชองทจะก าหนดปรมาณสนคา โดยทจะท าการก าหนดใหจ านวนสนคามคามากทสด นนคอ X14 = 200 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (200 หนวย) และอปทาน (500 หนวย)
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
163
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4) อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
X11
X12
X13
200
500
30
โรงงานท 2
X21
X22
X23
X24
450
20
โรงงานท 3
X31
X32
X33
X34
250
20
อปสงครวม 400 250 350 200 1,200
คาเสยโอกาส 10 5 10 0
4. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา (ชอง X14)โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 200 หนวย และท าการตดหลกของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (200 – 200 = 0)
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4) อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
X11
X12
X13
200
500
30
โรงงานท 2
X21
X22
X23
X24
450
20
โรงงานท 3
X31
X32
X33
X34
250
20
อปสงครวม 400 250 350 0 1,000
คาเสยโอกาส 10 5 10 0
5. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสใหมส าหรบทกแถวและทกหลกจากขอ 4 ดงน - โรงงานท 1 คาใชจายต าสด คอ 0 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 35 บาท
มผลตางคอ 35 – 0 = 35
- โรงงานท 2 คาใชจายต าสด คอ 0 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท
มผลตางคอ 30 – 0 = 30
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
164
- โรงงานท 3 คาใชจายต าสด คอ 0 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 20 บาท
มผลตางคอ 20 – 0 = 20
- คลงสนคาท 2 คาใชจายต าสด คอ 40 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 45 บาท
มผลตางคอ 45 – 40 = 5
- คลงสนคาท 3 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท
มผลตางคอ 30 – 20 = 10
- คลงสนคาเทยม คาใชจายต าสด คอ 0 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 0 บาท
มผลตางคอ 0 – 0 = 0
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4) อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
X11
X12
X13
200
300
35
โรงงานท 2
X21
X22
X23
X24
450
30
โรงงานท 3
X31
X32
X33
X34
250
20
อปสงครวม 400 250 350 0 1,000
คาเสยโอกาส 10 5 10 0
6. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 5 คอ 35 ในแถวท 1 ดงนนจะใชแถวท 1 เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา
7. ท าการเลอกชองทมตนทนการขนสงตอหนวยทนอยสด จากแถวท 1 คอ 30 บาท ดงนนจะใชชองของ X11 เปนชองทจะก าหนดปรมาณสนคา โดยทจะท าการก าหนดใหจ านวนสนคามคามากทสด นนคอ X11 = 300 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (400 หนวย) และอปทาน (300 หนวย)
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
165
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4) อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
300
X12
X13
200
300
35
โรงงานท 2
X21
X22
X23
X24
450
30
โรงงานท 3
X31
X32
X33
X34
250
20
อปสงครวม 400 250 350 0 1,000
คาเสยโอกาส 10 5 10 0
8. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา (ชอง X11) โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 300 หนวย และท าการตดแถวของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (300 – 300 = 0)
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4) อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
300
X12
X13
200
0
35
โรงงานท 2
X21
X22
X23
X24
450
30
โรงงานท 3
X31
X32
X33
X34
250
20
อปสงครวม 100 250 350 0 700
คาเสยโอกาส 10 5 10 0
9. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสใหมส าหรบทกแถวและทกหลกจากขอ 8 ดงน - โรงงานท 2 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท
มผลตางคอ 30 – 20 = 10
- โรงงานท 3 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 35 บาท
มผลตางคอ 35 – 20 = 15
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
166
- คลงสนคาท 1 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 35 บาท
มผลตางคอ 35 – 20 = 15
- คลงสนคาท 2 คาใชจายต าสด คอ 40 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 45 บาท
มผลตางคอ 45 – 40 = 5
- คลงสนคาท 3 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท
มผลตางคอ 30 – 20 = 10
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4) อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
300
X12
X13
200
0
0
โรงงานท 2
X21
X22
X23
X24
450
10
โรงงานท 3
X31
X32
X33
X34
250
15
อปสงครวม 100 250 350 0 700
คาเสยโอกาส 15 5 10 0
10. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 9 ซงจะได หลกท 1 และแถวท 3 มคาเสยโอกาสมากทสดเทากน คอ 15 และมตนทนการขนสงตอหนวยนอยสดเทากน คอ 20 บาท โดยจะท าการเลอกตนทนการขนสงตอหนวยทมากสดทมากกวา คอ หลกท 1 เทากบ 35
และแถวท 3 เทากบ 45 บาท ดงนนจะท าการเลอกแถวท 3 เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา
11. ท าการเลอกชองทมตนทนการขนสงตอหนวยทนอยสด จากแถวท 3 คอ 20 บาท ดงนนจะใชชองของ X33 เปนชองทจะก าหนดปรมาณสนคา โดยทจะท าการก าหนดใหจ านวนสนคามคามากทสด นนคอ X33 = 250 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (350 หนวย) และอปทาน (250 หนวย)
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
167
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4) อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
300
X12
X13
200
0
0
โรงงานท 2
X21
X22
X23
X24
450
10
โรงงานท 3
X31
X32
250
X34
250
15
อปสงครวม 100 250 350 0 700
คาเสยโอกาส 15 5 10 0
12. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา (ชองX33) โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 250 หนวย และท าการตดแถวของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (250 – 250 = 0)
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4) อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
300
X12
X13
200
0
0
โรงงานท 2
X21
X22
X23
X24
450
10
โรงงานท 3
X31
X32
250
X34
0
15
อปสงครวม 100 250 100 0 450
คาเสยโอกาส 15 5 10 0
13. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสใหมส าหรบทกแถวและทกหลกจากขอ 12 ดงน - โรงงานท 2 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท
มผลตางคอ 30 – 20 = 10
- คลงสนคาท 1 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 20 บาท
มผลตางคอ 20 – 20 = 0
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
168
- คลงสนคาท 2 คาใชจายต าสด คอ 40 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 40 บาท
มผลตางคอ 40 – 40 = 0
- คลงสนคาท 3 คาใชจายต าสด คอ 30 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท
มผลตางคอ 30 – 30 = 0
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4) อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
300
X12
X13
200
0
0
โรงงานท 2
X21
X22
X23
X24
450
10
โรงงานท 3
X31
X32
250
X34
0
0
อปสงครวม 100 250 100 0 450
คาเสยโอกาส 0 0 0 0
14. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 13 คอ 10 ในแถวท 2 ดงนนจะใชแถวท 1 เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา
15. ท าการเลอกชองทมตนทนการขนสงตอหนวยทนอยสด จากแถวท 2 คอ 20 บาท ดงนนจะใชชองของ X21 เปนชองทจะก าหนดปรมาณสนคา โดยทจะท าการก าหนดใหจ านวนสนคามคามากทสด นนคอ X21 = 100 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (100 หนวย) และอปทาน (450 หนวย)
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4) อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
300
X12
X13
200
0
0
โรงงานท 2
100
X22
X23
X24
450
10
โรงงานท 3
X31
X32
250
X34
0
0
อปสงครวม 100 250 100 0 450
คาเสยโอกาส 0 0 0 0
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
169
16. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา (ชองX21) โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 100 หนวย และท าการตดหลกของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (100 – 100 = 0)
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4) อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
300
X12
X13
200
0
0
โรงงานท 2
100
X22
X23
X24
350
10
โรงงานท 3
X31
X32
250
X34
0
0
อปสงครวม 0 250 100 0 450
คาเสยโอกาส 0 0 0 0
17. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสใหมส าหรบทกแถวและทกหลกจากขอ 16 ดงน - โรงงานท 2 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท
มผลตางคอ 30 – 20 = 10
- คลงสนคาท 2 คาใชจายต าสด คอ 40 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 40 บาท
มผลตางคอ 40 – 40 = 0
- คลงสนคาท 3 คาใชจายต าสด คอ 30 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท
มผลตางคอ 30 – 30 = 0
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4) อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
300
X12
X13
200
0
0
โรงงานท 2
100
X22
X23
X24
350
10
โรงงานท 3
X31
X32
250
X34
0
0
อปสงครวม 0 250 100 0 350
คาเสยโอกาส 0 0 0 0
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
170
18. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 17 คอ 10 ในแถวท 2 ดงนนจะใชแถวท 2 เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา
19. ท าการเลอกชองทมตนทนการขนสงตอหนวยทนอยสด จากแถวท 2 คอ 30 บาท ดงนนจะใชชองของ X23 เปนชองทจะก าหนดปรมาณสนคา โดยทจะท าการก าหนดใหจ านวนสนคามคามากทสด นนคอ X23 = 100 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (100 หนวย) และอปทาน (350 หนวย)
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4) อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
300
X12
X13
200
0
0
โรงงานท 2
100
X22
100
X24
350
10
โรงงานท 3
X31
X32
250
X34
0
0
อปสงครวม 0 250 100 0 350
คาเสยโอกาส 0 0 0 0
20. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา (ชองX23) โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 100 หนวย และท าการตดหลกของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (100 – 100 = 0)
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4) อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
300
X12
X13
200
0
0
โรงงานท 2
100
X22
100
X24
250
10
โรงงานท 3
X31
X32
250
X34
0
0
อปสงครวม 0 250 0 0 250
คาเสยโอกาส 0 0 0 0
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
171
21. จากการก าหนดจ านวนสนคาในเสนทางตางๆ ทไดแสดงมาขางตนจะพบวาเหลอเสนทางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาอยหนงชอง คอ ชองของ X22 ซงจะเหนไดวามสนคาทยงไมไดสงอยจ านวน 250 หนวย และยงเหลอมทวางของคลงสนคาทสามารถเกบไดอก 250 หนวยเชนกน ดงนนจงสามารถก าหนดจ านวนสนคาในเสนทางนไดทงหมด 250 หนวย และจะเหนไดวาทกโรงงานไดท าการขนสงสนคาไปยงคลงสนคาครบตามจ านวนทตองการแลว ดงนนจะไดเสนทางในการสงสนคาเรมตน ไดดงน
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม(ท 4) อปทาน
รวม
โรงงานท 1
300
X12
X13
200
500
โรงงานท 2
100
250
100
X24
450
โรงงานท 3
X31
X32
250
X34
250
อปสงครวม 400 250 350 200 1,200
จากผลเฉลยทไดจะเหนวาจ านวนสนคาทเหลอของโรงงานท 1 คอ 200 หนวย จะอยในคลงสนคาเทยม ซงหมายความวาไมมการสงสนคาจรงเกดขน และมคาใชจายในการขนสง 0 บาทตอหนวย ซงจะไมมผลกบคาใชจายรวมในการขนสง ดงนนจะไดแผนการสงสนคาทเปนผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล ดงน
เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 30 300 9,000
1 4 0 200 0
2 1 20 100 2,000
2 2 40 250 10,000
2 3 30 100 3,000
3 3 20 250 5,000
รวม 1,200 29,000
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
172
และตอไปจะท าการแสดงการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนทไดดวย วธการโมดฟายดสทรบวชน ดงน
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม(ท 4) อปทาน
รวม
โรงงานท 1
300
X12
X13
200
500
โรงงานท 2
100
250
100
X24
450
โรงงานท 3
X31
X32
250
X34
250
อปสงครวม 400 250 350 200 1,200
ท าการตรวจสอบจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนทมการก าหนดจ านวนสนคากอนซงมจ านวน 6 ชอง และตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) จาก m = 3 และ n = 4 ดงนน (m + n – 1) = (3 + 4 – 1) = 6 แสดงวาในตวอยางนสามารถพฒนาผลเฉลยดวย วธการโมดฟายดสทรบวชนไดดงน 1. ก าหนดสมการ Ri + Cj = Kij ส าหรบทกชองทมก าหนดจ านวนสนคา จะได
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4) อปทาน
รวม
โรงงานท 1
300
X12
X13
200
500
โรงงานท 2
100
250
100
X24
450
โรงงานท 3
X31
X32
250
X34
250
อปสงครวม 400 250 350 200 1,200
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
30
20 40 0
35 45 20 0
50 35 0
30
C1 C2 C3 C4
R1
R2
R3
173
1) R1 + C1 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1
2) R1 + C4 = 0 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 4
3) R2 + C1 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 1
4) R2 + C2 = 40 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 2
5) R2 + C3 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 3 6) R3 + C3 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 3
2. ก าหนดให R1 = 0 ดงนนจากสมการในขอ 1 จะได
1) 0 + C1 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1
2) 0 + C4 = 0 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 4
3) R2 + C1 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 1
4) R2 + C2 = 40 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 2
5) R2 + C3 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 3 6) R3 + C3 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 3
3. หาคา Ri และ Cj
จาก 1) จะได C1 = 30 จาก 2) จะได C4 = 0 จาก 3) จะได R2 + 30 = 20 ดงนน R2 = – 10
จาก 4) จะได –10 + C2 = 20 ดงนน C2 = 30 จาก 5) จะได –10 + C3 = 30 ดงนน C3 = 40 จาก 6) จะได R3 + 40 = 20 ดงนน R3 = – 20 4. ค านวณคาดชนประหยดตนทน ij(I ) ส าหรบทกชองทไมมก าหนดจ านวนสนคา จากผลเฉลยเรมตนจะเหนไดวามชองวางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาทงหมด 6 ชอง คอ ชองของตวแปรไมพนฐาน X12 , X13 , X24 , X31 , X32 และ X34
จากสมการ ij ij i jI K R –C จะได 12 12 1 2I K R –C = 50 – 0 – 30 = 20
13 13 1 3I K R –C = 35 – 0 – 40 = –5
24 24 2 4I K R –C = 0 – (–10) – 0 = 10
31 31 3 1I K R –C = 35 – (–20) – 0 = 55
32 32 3 2I K R –C = 45 – (–20) – 30 = 35
34 34 3 4I K R –C = 0 – (–20) – 0 = 20
5. เสนทางทมคาดชนประหยดตนทนทมคาลบสงสด คอ 13I = – 5
ดงนนจะเลอกเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3 เปนชองเรมตนในการค านวณตนทนของการขนสงสนคา
174
6. ท าการพฒนาผลเฉลยของเสนทางทไดจากขอ 5 คอ เสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3 ตามขนตอนของวธการสเตปปงสโตน ดงน
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม(ท 4) อปทาน
รวม
โรงงานท 1
– 300
X12
+ X13
200
500
โรงงานท 2
+ 100
250
– 100
X24
450
โรงงานท 3
X31
X32
250
X34
250
อปสงครวม 400 250 350 200 1,200
ดงนนจะท าการลดจ านวนสนคาลง 100 หนวย ในชองทมการใสเครองหมาย – แลวน าจ านวนสนคาทลดลงนไปเพมในชองทมเครองหมาย + ในวงจรเดยวกน ซงจะตองไมเกนอปทานและอปสงคของแตละเสนทางทเพมจ านวนสนคาลงไปใหม ดงนนจะไดวามการเปลยนแปลงจ านวนสนคา 100 หนวย ซงตนทนจะลดลง 500 บาท นนเอง สามารถแสดงการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน ไดดงน
ตอไปท าการตรวจสอบจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยทไดซงมการก าหนดจ านวนสนคาจ านวน 6 ชอง และตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) จาก m = 3 และ n = 4 ดงนน (m + n – 1) = (3 + 4 – 1) = 6 แสดงวาในตวอยางนสามารถพฒนาผลเฉลยดวยวธการ โมดฟายดสทรบวชนไดดงน
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4) อปทาน
รวม
โรงงานท 1
200
X12
100
200
500
โรงงานท 2
200
250
X23
X24
450
โรงงานท 3
X31
X32
250
X34
250
อปสงครวม 400 250 350 200 1,200
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
30 50 35 0
20 40 30 0
35 45 20 0
175
1. ก าหนดสมการ Ri + Cj = Kij ส าหรบทกชองทมก าหนดจ านวนสนคา จะได
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4) อปทาน
รวม
โรงงานท 1
200
X12
100
200
500
โรงงานท 2
200
250
X23
X24
450
โรงงานท 3
X31
X32
250
X34
250
อปสงครวม 400 250 350 200 1,200
1) R1 + C1 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1
2) R1 + C3 = 35 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3
3) R1 + C4 = 0 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 4
4) R2 + C1 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 1
5) R2 + C2 = 40 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 2
6) R3 + C3 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 3
2. ก าหนดให R1 = 0 ดงนนจากสมการในขอ 1 จะได
1) 0 + C1 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1
2) 0 + C3 = 35 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3
3) 0 + C4 = 0 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 4
4) R2 + C1 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 1
5) R2 + C2 = 40 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 2
6) R3 + C3 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 3
3. หาคา Ri และ Cj
จาก 1) จะได C1 = 30 จาก 2) จะได C3 = 35 จาก 3) จะได C4 = 0
จาก 4) จะได R2 + 30 = 20 ดงนน R2 = –10 จาก 5) จะได –10 + C2 = 40 ดงนน C2 = 50 จาก 6) จะได R3 + 35 = 20 ดงนน R3 = –15
R1
R2
R3
C1 C2 C3 C4
30 50
30 0
35 45 20 0
35 0
40
176
4. ค านวณคาดชนประหยดตนทน ij(I ) ส าหรบทกชองทไมมก าหนดจ านวนสนคา จากผลเฉลยเรมตนจะเหนไดวามชองวางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาทงหมด 6 ชอง คอ ชองของตวแปรไมพนฐาน X12 , X23 , X24 , X31 , X32 และ X34
จากสมการ ij ij i jI K R –C จะได 12 12 1 2I K R –C = 50 – 0 – 50 = 0
23 23 2 3I K R –C = 30 – (–10) – 35 = 5
24 24 2 4I K R –C = 0 – (–10) – 0 = 10
31 31 3 1I K R –C = 35 – (–15) – 0 = 50
32 32 3 2I K R –C = 45 – (–15) – 50 = 10
34 34 3 4I K R –C = 0 – (–15) – 0 = 15
จะเหนไดวาไมมเสนทางใดทมคาดชนประหยดตนทนทมคาลบ แสดงวาผลเฉลยนไมสามารถพฒนาผลเฉลยใหดขนไดอก แสดงวาผลเฉลยทไดเปนผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว
ดงนนสามารถสรปแผนการสงสนคาของปญหาจากตวอยางท 4.1 ไดดงน
เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 30 200 6,000
1 3 35 100 3,500
1 4 0 200 0
2 1 20 200 4,000
2 2 40 250 10,000
3 3 20 250 5,000
รวม 1,200 28,500
177
กรณปรมาณอปสงคมากกวาปรมาณอปทาน
ถามการเพมปรมาณของสนคาทคลงสนคาจะรบไดใหมจ านวนเพมขน คอ การเพมจ านวนอปสงค แตปรมาณของสนคาทผลตไดในแตละโรงงานมจ านวนเทาเดม คอ จ านวนอปทานมคาเทาเดม ซงจะไดวาปรมาณอปสงคจะมากกวาปรมาณอปทาน ดงตวอยางตอไปน
ตวอยางท 4.2 จากตวอยางท 3.1 เปนปญหาการขนสงทสมดล แตถาท าการก าหนดใหคลงสนคา ท 3 สามารถรบจ านวนสนคาไดเพมจากเดม 350 หนวย เปน 450 หนวย แตโรงงานทงหมดยงสามารถผลตสนคาไดจ านวนเทาเดม แสดงวาปญหาการขนสงทก าหนดจ านวนการผลตใหมนจงเปนปญหาการขนสงทไมสมดล จากลกษณะปญหาทก าหนดจ านวนการผลตใหมขางตนน สามารถสรางตวแบบก าหนดการเชงเสน ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 30X11 + 50X12 + 35X13 + 20X21 + 40X22 + 30X23 + 35X31 + 45X32 + 20X33
เงอนไขบงคบ
1) เงอนไขดานอปทาน
X11 + X12 + X13 = 500
X21 + X22 + X23 = 250
X21 + X22 + X23 = 250
2) เงอนไขดานอปสงค
X11 + X21 + X31 = 400
X12 + X22 + X32 = 250
X13 + X23 + X33 = 450
Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3
ดงนนจะท าการสรปเปนตารางไดดงน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1 X11 X12 X13 500
โรงงานท 2 X21 X22 X23 250
โรงงานท 3 X31 X32 X33 250
อปสงครวม
400
250
450 1,000
1,100
178
และจะไดตารางเรมตนของปญหาการขนสง ดงน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
X13
500
โรงงานท 2
X21
X22
X23
250
โรงงานท 3
X31
X32
X33
250
อปสงครวม
400
250
450 1,000
1,100
จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงจะเหนวาปรมาณอปสงครวม (1,100 หนวย) จะมคามากกวาปรมาณอปทานรวม (1,000 หนวย) ซงจะท าใหไมสามารถหาผลเฉลยเรมตนดวยวธปกตทไดกลาวมาแลวได ดงนนจะตองท าการปรบตารางเรมตนของปญหาใหเปนปญหาการขนสงทสมดล โดยจะท าการก าหนดใหมโรงงานเทยม (dummy source) ขนมาเพอทจะผลตสนคาใหมจ านวนเทากบจ านวนของสนคาทคลงสนคาจะรบได ซงจะตองท าการผลตเพมขนจากปญหาเดม (1,100 – 1,000 = 100 หนวย) แตโรงงานใหมทก าหนดขนนจะไมมผลกบคาใชจายรวมในการขนสง ดงนนโรงงานเทยมนจะมคาใชจายในการขนสงเทากบ 0 บาทตอหนวย นนเอง ดงนนจะไดตารางเรมตนของปญหาการขนสงทท าการเพมโรงงานเทยม ดงน
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
อปทาน
รวม
โรงงานท 1
X11
X12
X13
500
โรงงานท 2
X21
X22
X23
250
โรงงานท 3
X31
X32
X33
250
โรงงานเทยม
(ท 4)
X41
X42
X43
100
อปสงครวม 400 250 450 1,100
30 50 35
20 40 30
35 45 20
30 50 35
20 40 30
35 45 20
0 0 0
179
ท าการหาผลเฉลยเรมตนซงจะใชวธการประมาณของโวเกล แลวท าการผลเฉลยเหมาะสมทสดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตน ตอไป จากตวอยางท 3.1 ก าหนดใหคลงสนคาท 3 สามารถรบจ านวนสนคาไดเพมจากเดม 350 หนวย เปน 450 หนวย แตโรงงานทงหมดยงสามารถผลตสนคาไดจ านวนเทาเดม สามารถแสดงการหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล ดงน
1. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสส าหรบทกแถวและทกหลก ดงน
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
X11
X12
X13
500
5
โรงงานท 2
X21
X22
X23
250
10
โรงงานท 3
X31
X32
X33
250
15
โรงงานเทยม
(ท 4)
X41
X42
X43
100
0
อปสงครวม 400 250 450 1,100
คาเสยโอกาส 20 40 20
2. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 1 คอ 40 ในหลกท 2 ดงนนจะใชหลกท 2 เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา
3. ท าการเลอกชองทมตนทนการขนสงตอหนวยทนอยสด จากหลกท 2 คอ 0 บาท ดงนนจะใชชองของ X42 เปนชองทจะก าหนดปรมาณสนคา โดยทจะท าการก าหนดใหจ านวนสนคามคามากทสด นนคอ X14 = 100 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (250 หนวย) และอปทาน (100 หนวย)
4. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา (ชองX42)โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 100 หนวย และท าการตดแถวของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (100 – 100 = 0)
30 50 35
20 40 30
35 45 20
0 0 0
180
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
X11
X12
X13
500
5
โรงงานท 2
X21
X22
X23
250
10
โรงงานท 3
X31
X32
X33
250
15
โรงงานเทยม
(ท 4)
X41
100
X43
0
0
อปสงครวม 400 150 450 1,100
คาเสยโอกาส 20 40 20
5. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสใหมส าหรบทกแถวและทกหลกจากขอ 4 ดงน
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
X11
X12
X13
500
5
โรงงานท 2
X21
X22
X23
250
10
โรงงานท 3
X31
X32
X33
250
15
โรงงานเทยม
(ท 4)
X41
100
X43
0
0
อปสงครวม 400 150 450 1,000
คาเสยโอกาส 10 5 10
6. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 5 คอ 15 ในแถวท 3 ดงนนจะใชแถวท 3 เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา
30 50 35
20 40 30
35 45 20
0 0 0
30 50 35
20 40 30
35 45 20
0 0 0
181
7. ท าการเลอกชองทมตนทนการขนสงตอหนวยทนอยสด จากแถวท 3 คอ 20 บาท ดงนนจะใชชองของ X33 เปนชองทจะก าหนดปรมาณสนคา โดยทจะท าการก าหนดใหจ านวนสนคามคามากทสด นนคอ X33 = 250 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (450 หนวย) และอปทาน (250 หนวย)
8. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา (ชองX33)โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 250 หนวย และท าการตดแถวของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (250 – 250 = 0)
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
X11
X12
X13
500
5
โรงงานท 2
X21
X22
X23
250
10
โรงงานท 3
X31
X32
250
0
0
โรงงานเทยม
(ท 4)
X41
100
X43
0
0
อปสงครวม 400 150 200 750
คาเสยโอกาส 10 5 10
9. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสใหมส าหรบทกแถวและทกหลกจากขอ 8 ดงน
30 50 35
20 40 30
35 45 20
0 0 0
182
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
X11
X12
X13
500
5
โรงงานท 2
X21
X22
X23
250
10
โรงงานท 3
X31
X32
250
0
0
โรงงานเทยม
(ท 4)
X41
100
X43
0
0
อปสงครวม 400 150 200 750
คาเสยโอกาส 10 10 5
10. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 9 ซงจะไดวา หลกท 1 และแถวท 2 มคาเสยโอกาสมากทสดเทากน คอ 10 และมตนทนการขนสงตอหนวยนอยสดเทากน คอ 20 บาท ดงนนจะท าการเปรยบเทยบตนทนการขนสงตอหนวยทมากสด คอ หลกท 1 เทากบ 30
บาท และแถวท 2 เทากบ 40 บาท โดยจะท าการเลอกแถวหรอหลกทมตนทนการขนสงตอหนวยทมากสด ทมากกวา ดงนนจะท าการเลอกแถวท 2 เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา
11. ท าการเลอกชองทมตนทนการขนสงตอหนวยทนอยสด จากแถวท 2 คอ 20 บาท ดงนนจะใชชองของ X21 เปนชองทจะก าหนดปรมาณสนคา โดยทจะท าการก าหนดใหจ านวนสนคามคามากทสด นนคอ X21 = 250 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (400 หนวย) และอปทาน (250 หนวย)
12. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา (ชองX21)โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 250 หนวย และท าการตดแถวของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (250 – 250 = 0)
30 50 35
20 40 30
35 45 20
0 0 0
183
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
X11
X12
X13
500
5
โรงงานท 2
250
X22
X23
0
0
โรงงานท 3
X31
X32
250
0
0
โรงงานเทยม
(ท 4)
X41
100
X43
0
0
อปสงครวม 150 150 200 500
คาเสยโอกาส 10 10 5
13. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสใหมส าหรบทกแถวและทกหลกจากขอ 12 ดงน
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
X11
X12
X13
500
5
โรงงานท 2
250
X22
X23
0
0
โรงงานท 3
X31
X32
250
0
0
โรงงานเทยม
(ท 4)
X41
100
X43
0
0
อปสงครวม 150 150 200 500
คาเสยโอกาส 0 0 0
14. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ คอ 5 ในแถวท 1 ดงนนจะใชแถวท 1 เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา
30 50 35
20 40 30
35 45 20
0 0 0
30 50 35
20 40 30
35 45 20
0 0 0
184
15. ท าการเลอกชองทมตนทนการขนสงตอหนวยทนอยสด จากแถวท 1 คอ 30 บาท ดงนนจะใชชองของ X11 เปนชองทจะก าหนดปรมาณสนคา โดยทจะท าการก าหนดใหจ านวนสนคามคามากทสด นนคอ X11 = 150 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (150 หนวย) และอปทาน (500 หนวย)
16. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา (ชองX21) โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 150 หนวย และท าการตดหลกของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (150 – 150 = 0)
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
อปทาน
รวม
คาเสยโอกาส
โรงงานท 1
150
X12
X13
350
5
โรงงานท 2
250
X22
X23
0
0
โรงงานท 3
X31
X32
250
0
0
โรงงานเทยม
(ท 4)
X41
100
X43
0
0
อปสงครวม 0 150 200 350
คาเสยโอกาส 0 0 0
17. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสใหมส าหรบทกแถวและทกหลกจากขอ 16
18. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 17 คอ 5 ในแถวท 1 ดงนนจะใชแถวท 1 เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา
19. ท าการเลอกชองทมตนทนการขนสงตอหนวยทนอยสด จากแถวท 1 คอ 35 บาท ดงนนจะใชชองของ X13 เปนชองทจะก าหนดปรมาณสนคา โดยทจะท าการก าหนดใหจ านวนสนคามคามากทสด นนคอ X13 = 200 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (200 หนวย) และอปทาน (350 หนวย)
30 50 35
20 40 30
35 45 20
0 0 0
185
20. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา (ชองX13) โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 200 หนวย และท าการตดหลกของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (200 – 200 = 0)
21. จากการก าหนดจ านวนสนคาในเสนทางตางๆ ทไดแสดงมาขางตนจะพบวาเหลอเสนทางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาอยหนงชอง คอ ชองของ X12 ซงจะเหนไดวามสนคาทยงไมไดสงอยจ านวน 150 หนวย และยงเหลอมทวางของคลงสนคาทสามารถเกบไดอก 150 หนวยเชนกน ดงนนจงสามารถก าหนดจ านวนสนคาในเสนทางนไดทงหมด 150 หนวย
ดงนนจะไดเสนทางในการสงสนคาเรมตน ดงน
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
อปทาน
รวม
โรงงานท 1
150
150
200
500
โรงงานท 2
250
X22
X23
250
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
โรงงานเทยม
(ท 4)
X41
100
X43
100
อปสงครวม 400 250 450 1,100
จากผลเฉลยทไดจะเหนวาปรมาณสนคาทคลงสนคาท 2 จะจดเกบไดยงเหลออก 100
หนวย เพราะเปนการสงมาจากโรงงานเทยม หมายความวาไมมการสงสนคามาจรง ซงจะมคาใชจายในการขนสง 0 บาทตอหนวย และจะไมมผลกบคาใชจายรวมในการขนสง แผนการสงสนคาทเปนผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล คอ
30 50 35
20 40 30
35 45 20
0 0 0
186
เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 30 150 4,500
1 2 50 150 7,500
1 3 35 200 7,000
2 1 20 250 5,000
3 3 20 250 5,000
4 2 0 100 0
รวม 1,200 29,000
และตอไปจะท าการแสดงการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนทไดดวย วธการโมดฟายดสทรบวชน ดงน
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
อปทาน
รวม
โรงงานท 1
150
150
200
500
โรงงานท 2
250
X22
X23
250
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
โรงงานเทยม
(ท 4)
X41
100
X43
100
อปสงครวม 400 250 450 1,100
ท าการตรวจสอบจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนทมการก าหนดจ านวนสนคากอนซงมจ านวน 6 ชอง และตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) จาก m = 4 และ n = 3
ดงนน (m + n – 1) = (3 + 4 – 1) = 6 แสดงวาในตวอยางนสามารถพฒนาผลเฉลยดวย วธการโมดฟายดสทรบวชน ไดดงน
C1 C2 C3
R4
R1
R2
R3
30 50 35
35 45 20
20 40 30
0 0 0
187
1. ก าหนดสมการ Ri + Cj = Kij ส าหรบทกชองทมก าหนดจ านวนสนคา จะได
1) R1 + C1 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1
2) R1 + C2 = 50 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 2
3) R1 + C3 = 35 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3
4) R2 + C1 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 1
5) R3 + C3 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 3 6) R4 + C2 = 0 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 4 ไปคลงสนคาท 2
2. ก าหนดให R1 = 0 ดงนนจากสมการในขอ 1 จะได
1) 0 + C1 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1
2) 0 + C2 = 50 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 2
3) 0 + C3 = 35 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3
4) R2 + C1 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 1
5) R3 + C3 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 3 6) R4 + C2 = 0 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 4 ไปคลงสนคาท 2
3. หาคา Ri และ Cj
จาก 1) จะได C1 = 30 จาก 2) จะได C2 = 50 จาก 3) จะได C3 = 35
จาก 4) จะได R2 + 30 = 20 ดงนน R2 = –10 จาก 5) จะได R3 + 35 = 20 ดงนน R3 = –15 จาก 6) จะได R4 + 50 = 0 ดงนน R4 = –50
4. ค านวณคาดชนประหยดตนทน ij(I ) ส าหรบทกชองทไมมก าหนดจ านวนสนคา จากผลเฉลยเรมตนจะเหนไดวามชองวางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาทงหมด 6 ชอง คอ ชองของตวแปรไมพนฐาน X22 , X23 , X31 , X32 , X41 และ X43
จากสมการ ij ij i jI K R –C จะได 22 22 2 2I K R –C = 40 – (–10) – 50 = 0
23 23 2 3I K R –C = 30 – (–10) – 35 = 5
31 31 3 1I K R –C = 35 – (–15) – 30 = 20
32 32 3 2I K R –C = 45 – (–15) – 50 = 10
41 41 4 1I K R –C = 0 – (–50) – 30 = 20
43 4 4 3I K R –C = 0 – (–50) – 35 = 15
188
จะเหนไดวาไมมเสนทางใดทมคาดชนประหยดตนทนทมคาลบ แสดงวาผลเฉลยนไมสามารถพฒนาผลเฉลยใหดขนไดอก แสดงวาผลเฉลยทไดจากการหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกลเปนผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว
ดงนนสามารถสรปแผนการสงสนคาของปญหาจากตวอยางท 4.2 ไดดงน
เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 30 150 4,500
1 2 50 150 7,500
1 3 35 200 7,000
2 1 20 250 5,000
3 3 20 250 5,000
4 2 0 100 0
รวม 1,200 29,000
ปญหาการขนสงทผลเฉลยมสภาพซอนสถานะ
จากการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนจะตองท าการตรวจสอบจ านวนของชองก าหนดสนคาของผลเฉลยเรมตนกอน ซงชองทมการก าหนดจ านวนสนคาตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) ชองเสมอ นนคอ ตวแปรพนฐานตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) ตว จงจะสามารถพฒนาผลเฉลยดวยวธปกตได ดงทไดกลาวมาแลวในหวขอขางตน แตถาจ านวนของชองทม การก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนมจ านวนนอยกวา (m + n – 1) ชอง หรอตวแปรพนฐานมจ านวนนอยกวา (m + n – 1) ตว และจะเรยกกรณนวา สภาพซอนสถานะ (degeneracy) ซงจะไมสามารถพฒนาผลเฉลยดวยวธปกตได และบางกรณทปญหามผลเฉลยเรมตนไมมสภาพซอนสถานะแตอาจจะเกดสภาพซอนสถานะระหวางการพฒนาผลเฉลยกได และถาผลเฉลยเหมาะสมทสดทไดมจ านวนชองทมการก าหนดจ านวนสนคามจ านวนนอยกวา (m + n – 1) ชอง หรอตวแปรพนฐานมจ านวนนอยกวา (m + n – 1) ตว จะเรยกกรณนวา ผลเฉลยเหมาะสมทสดทเกดสภาพซอนสถานะ(degeneracy optimal solution) สามารถแยกไดเปน 2 กรณ ดงน
189
1. ปญหาการขนสงทมสภาพซอนสถานะในผลเฉลยเรมตน จากผลเฉลยเรมตนของปญหาการขนสงทไดจะตองท าการตรวจสอบจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนทมการก าหนดจ านวนสนคากอน ซงจะตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) ชอง จงจะสามารถพฒนาผลเฉลยได แตถาจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของ ผลเฉลยเรมตนทมการก าหนดจ านวนสนคามจ านวนนอยกวา (m + n – 1) ชอง ซงจะเรยกวาการเกดสภาพซอนสถานะ และจะไมสามารถพฒนาผลเฉลยได ดงนนจะตองท าการก าหนดจ านวนสนคาใหมจ านวนเทากบ (m + n – 1) ชอง นนคอ โดยการก าหนดชองก าหนดจ านวนสนคาใหจ านวนสนคาเทากบ 0 หนวย ซงจะท าใหการเปนสภาพซอนสถานะของผลเฉลยเรมตนหายไป แลวจงท าการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดตอไป และทวไปแลวสามารถเลอกชองก าหนดจ านวนสนคาใดกไดแตเพอความสะดวกในการเลอกสามารถก าหนดไดดงน ในกรณทผลเฉลยเรมตนไดจากวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอจะเลอกก าหนดชองทไมมการก าหนดจ านวนสนคาทอยในแนวทแยงมมของตาราง (โดยประมาณ) และถากรณทผลเฉลยเรมตนไดจากวธการประมาณของโวเกล จะเลอกก าหนดชองทไมมการก าหนดจ านวนสนคาทสามารถสรางเปนวงจรปด (loop) ไดงายทสด
ตวอยางท 4.3 สมมตผลเฉลยเรมตนทไดจากวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ สามารถแสดงไดดงน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
10
20
X13
30
โรงงานท 2
X21
X22
10
10
อปสงครวม 10 20 10 40
แผนการสงสนคาทไดจากการหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ คอ
5 6 3
4 3 5
190
เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 5 10 50
1 2 6 20 120
2 3 5 10 50
รวม 40 220
ท าการตรวจสอบจ านวนของชองทมการก าหนดจ านวนสนคากอนซงมจ านวน 3 ชอง และตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) จาก m = 2 และ n = 3 แต (m + n – 1) = (2 + 3 – 1) = 4 แสดงวาในตวอยางนเปนสภาพซอนสถานะของผลเฉลยเรมตนและไมสามารถพฒนาผลเฉลยได ดงนนจะท าการเลอกชองก าหนดจ านวนสนคาใหมคาเทากบ 0 หนวย โดยจะเลอกชองของ X22 ดงนนจะให X22 = 0 และไดผลเฉลยเรมตนใหมดงน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
10
20
X13
30
โรงงานท 2
X21
0
10
10
อปสงครวม 10 20 10 40
ท าการตรวจสอบจ านวนของชองทมการก าหนดจ านวนสนคากอนซงมจ านวน 4 ชอง และตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) จาก m = 2 และ n = 3 และ (m + n – 1) = (2 + 3 – 1) = 4 แสดงวาความเปนสภาพซอนสถานะของผลเฉลยเรมตนไมมแลวและสามารถพฒนาผลเฉลยได และจะท าการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน ดงน
1. ก าหนดสมการ Ri + Cj = Kij ส าหรบทกชองทมก าหนดจ านวนสนคา จะได
5 6 3
4 3 5
191
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทาน
รวม
โรงงานท 1
10
20
X13
30
โรงงานท 2
X21
0
10
10
อปสงครวม 10 20 10 40
1) R1 + C1 = 5 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1
2) R1 + C2 = 6 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 2
3) R2 + C2 = 3 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 2
4) R2 + C3 = 5 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 3
2. ก าหนดให R1 = 0 ดงนนจากสมการในขอ 1 จะได
1) 0 + C1 = 5 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1
2) 0 + C2 = 6 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 2
3) R2 + C2 = 3 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 2
4) R2 + C3 = 5 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 3
3. หาคา Ri และ Cj
จาก 1) จะได C1 = 5 จาก 2) จะได C2 = 6 จาก 3) จะได R2 + 6 = 3 ดงนน R2 = –3
จาก 4) จะได –3 + C3 = 5 ดงนน C3 = 8
4. ค านวณคาดชนประหยดตนทน ij(I ) ส าหรบทกชองทไมมก าหนดจ านวนสนคา จากผลเฉลยเรมตนจะเหนไดวามชองวางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาทงหมด
2 ชอง คอ ชองของตวแปรไมพนฐาน X13 และ X21 จากสมการ ij ij i jI K R –C จะได 13 13 1 3I K R –C = 3 – 0 – 8 = – 5
21 21 2 1I K R –C = 4 – (–3) – 5 = 2
C1 C2 C3
5 6 3
4 3 5
R1
R2
192
5. เสนทางทมคาดชนประหยดตนทนทมคาลบสงสด คอ 13I = – 5
ดงนนจะเลอกเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3 เปนชองเรมตนในการค านวณตนทนของการขนสงสนคา
6. ท าการพฒนาผลเฉลยของเสนทางทไดจากขอ 5 คอ เสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3 ตามขนตอนของวธการสเตปปงสโตน ดงน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
10
– 20
+ X13
30
โรงงานท 2
X21
+ 0
–10
10
อปสงครวม 10 20 10 40
ดงนนจะท าการลดจ านวนสนคาลง 10 หนวย ในชองทมการใสเครองหมาย – แลวน าจ านวนสนคาทลดลงนไปเพมในชองทมเครองหมาย + ในวงจรเดยวกน ซงจะตองไมเกนอปทานและอปสงคของแตละเสนทางทเพมจ านวนสนคาลงไปใหม ดงนนจะไดวามการเปลยนแปลงจ านวนสนคา 10 หนวย ซงตนทนจะลดลง 50 บาท นนเอง สามารถแสดงการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตน ไดดงน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
10
10
10
30
โรงงานท 2
X21
10
X23
10
อปสงครวม 10 20 10 40
ตอไปจะท าการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดทไดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน ดงน
5 6 3
4 3 5
5 6 3
4 3 5
193
1. ก าหนดสมการ Ri + Cj = Kij ส าหรบทกชองทมก าหนดจ านวนสนคา จะได
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทาน
รวม
โรงงานท 1
10
10
10
30
โรงงานท 2
X21
10
X23
10
อปสงครวม 10 20 10 40
1) R1 + C1 = 5 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1
2) R1 + C2 = 6 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 2
3) R1 + C3 = 3 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3
4) R2 + C2 = 3 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 2
2. ก าหนดให R1 = 0 ดงนนจากสมการในขอ 1 จะได
1) 0 + C1 = 5 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1
2) 0 + C2 = 6 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 2
3) 0 + C3 = 3 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3
4) R2 + C2 = 3 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 2
3. หาคา Ri และ Cj
จาก 1) จะได C1 = 5 จาก 2) จะได C2 = 6 จาก 3) จะได C3 = 3 จาก 4) จะได R2 + 6 = 3 ดงนน R2 = –3
4. ค านวณคาดชนประหยดตนทน ij(I ) ส าหรบทกชองทไมมก าหนดจ านวนสนคา จากผลเฉลยเรมตนจะเหนไดวามชองวางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาทงหมด
2 ชอง คอ ชองของตวแปรไมพนฐาน X21 และ X23
C1 C2 C3
R1
R2
5 6 3
4 3 5
194
จากสมการ ij ij i jI K R –C จะได
21 21 2 1I K R –C = 4 – (–3) – 5 = 2 23 23 2 3I K R –C = 5 – (–3) – 3 = 5
จะเหนไดวาไมมเสนทางใดทมคาดชนประหยดตนทนทมคาลบ แสดงวาผลเฉลยนไมสามารถพฒนาผลเฉลยใหดขนไดอก แสดงวาผลเฉลยทไดเปนผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว
ดงนนสามารถสรปแผนการสงสนคาของปญหาจากตวอยางท 4.3 ไดดงน
เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 5 10 50
1 2 6 10 60
1 3 3 10 30
2 2 3 10 30
รวม 40 170
2. ปญหาการขนสงทมสภาพซอนสถานะระหวางการพฒนาผลเฉลย
จากการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนของปญหาการขนสง เมอท าการตรวจสอบจ านวนของชองทมการก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนมคาเทากบ (m + n – 1) ชอง แสดงวาผลเฉลยเรมตนไมเปนสภาพซอนสถานะจงสามารถท าการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดได แตเมอท าการพฒนาผลเฉลยแลวเกดกรณทจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยทมการก าหนดจ านวนสนคาใหมทไดมคานอยกวา (m + n –1) ชอง แสดงวาผลเฉลยมความเปนสภาพซอนสถานะระหวางการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสด ดงนนจะท าการก าหนดชองก าหนดจ านวนสนคาใหจ านวนสนคาเทากบ 0 หนวย ซงจะท าใหการเปนสภาพซอนสถานะของผลเฉลยหายไป แลวจงท าการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดตอไป และทวไปแลวสามารถเลอกชองก าหนดจ านวนสนคาใดกไดแตเพอความสะดวกในการเลอกควรเลอกชองเดมทมการเปลยนแปลงการก าหนดจ านวนสนคาไปเปนชองทไมมการก าหนดจ านวนสนคา ยกตวอยางเชน
195
ตวอยางท 4.4 จากตวอยางท 3.1 การพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน สามารถแสดงไดดงน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400
X12
100
500
โรงงานท 2
X21
250
X23
250
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
ท าการตรวจสอบจ านวนของชองทมการก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยซงมจ านวน 4 ชอง มคาไมเทากบ (m + n – 1) = (3 + 3 – 1) = 5 แสดงวาผลเฉลยทไดนเปนสภาพซอนสถานะและไมสามารถพฒนาผลเฉลยไดอก ดงนนจะท าการเลอกชองก าหนดจ านวนสนคาใหมคาเทากบ 0
หนวย โดยจะเลอกชองของ X12 เพราะเปนชองเดมทมการเปลยนแปลงการก าหนดจ านวนสนคาไปเปนชองทไมมการก าหนดจ านวนสนคา ดงนนจะให X12 = 0 และไดผลเฉลยเรมตนใหมดงน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400
0
100
500
โรงงานท 2
X21
250
X23
250
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
ท าการตรวจสอบจ านวนของชองทมการก าหนดจ านวนสนคากอนซงมจ านวน 5 ชอง และตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) จาก m = 3 และ n = 3 และ (m + n – 1) = (2 + 3 – 1) = 5
30 50
20
35
40 30
35 45 20
30 50
20
35
40 30
35 45 20
196
แสดงวาความเปนสภาพซอนสถานะของผลเฉลยเรมตนไมมแลวและสามารถพฒนาผลเฉลยได และจะท าการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยดวยวธการโมดฟายดสทรบวชนตอไป ดงน
1. ก าหนดสมการ Ri + Cj = Kij ส าหรบทกชองทมก าหนดจ านวนสนคา จะได
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
400
0
100
500
โรงงานท 2
X21
250
X23
250
โรงงานท 3
X31
X32
250
250
อปสงครวม 400 250 350 1,000
1) R1 + C1 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1
2) R1 + C2 = 50 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 2
3) R1 + C3 = 35 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3
4) R2 + C2 = 40 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 2
5) R3 + C3 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 3
2. ก าหนดให R1 = 0 ดงนนจากสมการในขอ 1 จะได 1) 0 + C1 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1
2) 0 + C2 = 50 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 2
3) 0 + C3 = 35 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3
4) R2 + C2 = 40 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 2
5) R3 + C3 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 3
3. หาคา Ri และ Cj
จาก 1) จะได C1 = 30 จาก 2) จะได C2 = 50
จาก 3) จะได C3 = 35
R1
R2
R3
C1 C2 C3
30 50
20
35
40 30
35 45 20
197
จาก 4) จะได R2 + 50 = 40 ดงนน R2 = –10
จาก 5) จะได R3 + 35 = 20 ดงนน R3 = –15
4. ค านวณคาดชนประหยดตนทน ij(I ) ส าหรบทกชองทไมมก าหนดจ านวนสนคา จากผลเฉลยเรมตนจะเหนไดวามชองวางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาทงหมด 4 ชอง คอ ชองของตวแปรไมพนฐาน X21 , X23 , X31 และ X32
จากสมการ ij ij i jI K R –C จะได
21 21 2 1I K R –C = 20 – (–10) – 30 = 0 23 23 2 3I K R –C = 30 – (–10) – 35 = 5 31 31 3 1I K R –C = 35 – (–15) – 30 = 20
32 32 3 2I K R –C = 45 – (–15) – 50 = 10
จะเหนไดวาไมมเสนทางใดทมคาดชนประหยดตนทนทมคาลบ แสดงวาผลเฉลยนไมสามารถพฒนาผลเฉลยใหดขนไดอก แสดงวาผลเฉลยทไดในตวอยางท 3.1 เปนผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว
ดงนนสามารถสรปแผนการสงสนคาของปญหาจากตวอยางท 3.1 ไดดงน
เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 30 400 12,000
1 3 35 100 3,500
2 2 40 250 10,000
3 3 20 250 5,000
รวม 1,000 30,500
198
บทสรป
ปญหาการขนสงทไมสมดล เปนปญหาการขนสงทมปรมาณสนคาทมหรอทผลตได ไมเทากบความตองการสนคา ซงอาจจะเปนไปได 2 กรณ คอ ปรมาณอปทานมากกวาปรมาณ อปสงค หรอปรมาณอปสงคมากกวาปรมาณอปทาน ส าหรบการหาผลเฉลยของปญหาการขนสงทไมสมดล มข นตอนเชนเดยวกนกบปญหาการขนสงทสมดล ซงม 2 ขนไดแก การหาผลเฉลยเรมตน และการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตน แตจะมการเพมดมม หรอความตองการเทยมขนมาจ านวนเทากบสวนตางระหวางอปทานและอปสงค ส าหรบผลเฉลยของปญหาการขนสงทไมสมดล สามารถเกดสภาพซอนสถานะขนได สามารถแยกไดเปน 2 กรณ ไดแก ปญหาการขนสงทมสภาพซอนสถานะในผลเฉลยเรมตน และปญหาการขนสงทมสภาพซอนสถานะระหวางการพฒนาผลเฉลย
199
แบบฝกหดบทท 4
จากตวแบบของปญหาการขนสงทก าหนดใหตอไปน จงสรางตารางเรมตนของปญหาการขนสง 4.1 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X11 + 20X12 + 30X21 + 40X22 + 20X31 + 50X32 เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานอปทาน
X11 + X12 = 150
X21 + X22 = 300
X31 + X32 = 150 2) เงอนไขดานอปสงค
X11 + X21 + X31 = 100
X12 + X22 + X32 = 250
Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2
4.2 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 30X11 + 20X12 + 10X13 + 40X21 + 50X22 + 30X23
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานอปทาน
X11 + X12 + X13 = 300
X21 + X22 + X23 = 200
2) เงอนไขดานอปสงค
X11 + X21 = 250
X12 + X22 = 300
X13 + X23 = 300 Xij 0 โดยท i = 1, 2 และ j = 1, 2, 3
4.3 ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 40X11 + 20X12 + 10X13 + 50X21 + 20X22 + 60X23 + 30X31 + 20X32 + 40X33
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานอปทาน
X11 + X12 + X13 = 200
X21 + X22 + X23 = 150
X31 + X32 + X33 = 250
2) เงอนไขดานอปสงค
X11 + X21 + X31 = 300
X12 + X22 + X32 = 350
X13 + X23 + X33 = 250
Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3
200
4.4 ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 40X11 + 20X12 + 10X13 + 50X21 + 20X22 + 60X23 + 30X31 + 20X32 + 40X33
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานอปทาน
X11 + X12 + X13 = 300
X21 + X22 + X23 = 250
X31 + X32 + X33 = 250
2) เงอนไขดานอปสงค
X11 + X21 + X31 = 100
X12 + X22 + X32 = 300
X13 + X23 + X33 = 200
Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3
4.5 ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 20X11 + 20X12 + 30X13 + 50X21 + 60X22 + 70X23 + 20X31 + 40X32 + 50X33 + 20X41 + 10X42 + 40X43
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานอปทาน
X11 + X12 + X13 = 300
X21 + X22 + X23 = 150
X31 + X32 + X33 = 150
X41 + X42 + X43 = 200
2) เงอนไขดานอปสงค
X11 + X21 + X31 + 20X41 = 400
X12 + X22 + X32 + 20X42 = 250
X13 + X23 + X33 + 20X43 = 350
Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3
4.6 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 4.1 จงหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ และหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการ สเตปปงสโตน
4.7 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 4.2 จงหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล และหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
201
4.8 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 4.3 จงหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศ ตะวนตกเฉยงเหนอ และหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวย วธการโมดฟายดสทรบวชน
4.9 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 4.4 จงหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของ โวเกล และหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการสเตปปงสโตน
4.10 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 4.5 จงหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ และหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการ โมดฟายดสทรบวชน
4.11 จงหาผลเฉลยเรมตนโดยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ และวธการประมาณของโวเกล จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงทก าหนดใหตอไปน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
X13
250
โรงงานท 2
X21
X22
X23
450
โรงงานท 3
X31
X32
X33
200
อปสงครวม
300
350
450 900
1,100
4.12 จากผลเฉลยเรมตนของปญหาการขนสงทไดในขอ 4.11 จงหาผลเฉลยเหมาะสมทสด โดยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
20 30
50
35
40 20
35 45 30
บทท 5
ปญหาการมอบหมายงาน
จากการศกษาปญหาการขนสงทผานมาจะเหนไดวามวธการหาผลเฉลยทมความพเศษเฉพาะเชนเดยวกนกบปญหาการมอบหมายงาน โดยการแกปญหาการมอบหมายงานจะเรมจากการสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานแลวจงท าการหาผลเฉลย โดยท ตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานจะมลกษณะพเศษ และมกระบวนการหา ผลเฉลยทเฉพาะทแตกตางจากวธการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนแบบทวไป ซงวธการหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานจะมขนตอนทงายกวาวธซมเพลกซและผลเฉลยทไดจะเปนจ านวนเตมเสมอเชนเดยวกนกบปญหาการขนสง
ตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงาน
ปญหาการมอบหมายงาน (assignment problem) เปนการพจารณาการมอบหมายงานใหกบบคคลหรอเครองจกร โดยทมจดประสงคเพอใหงานทมอบหมายไปแลวเสรจสนโดยเรวเพอทจะไดประหยดเวลาและตองเสยคาใชจายนอยทสดหรอใหไดก าไรมากทสด ซงลกษณะของปญหาการมอบหมายงานจะเปนการพฒนามาจากปญหาการขนสงทไดกลาวมาแลวขางตน ดงน จากปญหาการขนสงโดยทจะท าการขนสงจากแหลงผลตสนคาหรอจากตนทาง (source) ทงหมด m แหง และแตละแหงสามารถผลตสนคาไดจ านวนเทากบ Si หนวย( i = 1, 2, 3,…, m ) ไปยงกลมผบรโภคหรอจดหมายปลายทาง (destination) ทงหมด n แหง และแตละแหงสามารถจดเกบสนคาไดจ านวนเทากบ Dj หนวย ( j = 1, 2, 3,…, n ) และถาเปนปญหาการมอบหมายงานจะเปนการก าหนดงาน (job) ทงหมดจ านวน m งาน และแตละงานสามารถก าหนดไดเพยง 1 ครงเทาน น ดงน น Si = 1 (i =1, 2, 3,…,m) ซงจะท าการก าหนดใหกบบคลากรหรอเครองจกร
(Machine) ทงหมด n เครอง และแตละเครองสามารถรบงานไดเพยง 1 งานเทานน ดงนน Dj = 1
( j = 1, 2, 3,…, n ) และจะตองเสยคาใชจายนอยทสดหรอใหไดก าไรมากทสด โดยจะก าหนดให Cij
เปนคาใชจายในการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j และก าหนดให Xij เปนการแสดงการ
มอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยทถามการมอบหมายงานแลว Xij จะเทากบ 1 และถาไมม
การมอบหมายงานแลว Xij จะเทากบ 0 แสดงวาตวแปร Xij มคาเปนไบนาร (binnary) หมายความวาผลเฉลยมคาเปนไปได 2 อยาง คอ 0 กบ 1 เทานน สามารถสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานไดดงน
204
ก าหนดให P แทน คาใชจายหรอก าไรในการมอบหมายงานรวมทงหมด Cij แทน คาใชจายหรอก าไรในการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij แทน การแสดงการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Si แทน จ านวนงานทสามารถมอบหมายไดในแตละงาน สามารถมอบหมายงาน
ไดเพยง 1 งาน ดงนนจะได Si = 1
Dj แทน จ านวนงานทสามารถรบไดในแตละเครองจกร สามารถรบงานไดเพยง
1 งาน ดงนนจะได Dj = 1
โดยท Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j i = 1, 2, 3,…, m และ j = 1, 2, 3,…, n
ดงนนตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงาน คอ
ฟงกชนจดประสงค
(maximize หรอ minimize) n m
ij ij
j 1 i 1
P C X
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
n
ij
j 1
X = 1 , i = 1, 2, 3,…, m
2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน
m
ij
i 1
X = 1 , j = 1, 2, 3,…, n
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3,…, m และ j = 1, 2, 3,…, n
205
ปญหาการมอบหมายงานทสมดล
ปญหาการมอบหมายงานจะเปนการมอบหมายงานใหกบบคลากรหรอเครองจกร เชน ถามอบหมายงานใหกบเครองจกร จะท าการมอบหมายงานใหแตละเครองจกรไดเพยง 1 ครงเทานน และแตละเครองจกรสามารถรบงานไดเพยง 1 งานเทานนเชนกน โดยทจะท าการมอบหมายใหปรมาณของงานทออกจากตนทางหรอทตองการมอบหมายจะตองมคาเทากบปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได ซงจะเรยกวาปญหานวา ปญหาการมอบหมายงานทสมดล (balanced
assignment problem) แตบางครงอาจจะเจอปญหาการมอบหมายงานทปรมาณของงานทออกจากตนทางหรอทตองการมอบหมายไมเทากบปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได โดยจะเรยกปญหานวา ปญหาการมอบหมายงานทไมสมดล ซงจะไดศกษาในหวขอตอไป ดงนนในหวขอนจะท าการสรางตวแบบของปญหาการมอบหมายทสมดล ดงน จากการสรางตวแบบปญหาการมอบหมายงานแบบทวไป คอ ฟงกชนจดประสงค
(maximize หรอ minimize)n m
ij ij
j 1 i 1
P C X
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
n
ij
j 1
X = 1 , i = 1, 2, 3,…, m
2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน
m
ij
i 1
X = 1 , j = 1, 2, 3,…, n
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3,…, m และ j = 1, 2, 3,…, n
ถาก าหนดใหปรมาณของงานทออกจากตนทางหรอทตองการมอบหมายจะตองมคาเทากบปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได แสดงวาเปนปญหาการมอบหมายงานทสมดล (summation of job = summation of machine)
206
ดงนนจะไดวา m
i
i 1
S =
n
j
j 1
D
จากเงอนไขดานการมอบหมายงาน คอ
n
ij
j 1
X = Si = 1 ดงนน
m
i
i 1
S =
m
i 1 1 = m
และจากเงอนไขดานการรบผดชองงาน คอ
m
ij
i 1
X = Dj = 1 ดงนน
n
j
j 1
D =
n
j 1 1 = n
ดงนนจะได m = n
จากสมการหมายความวาจ านวนของงานทตองการมอบหมายทงหมด m งาน จะมจ านวนเทากบเครองจกรทสามารถรบงานไดทงหมด n เครอง ซงจะเรยกวาปญหาลกษณะนวา ปญหาการมอบหมายงานทสมดล นนเอง สามารถแสดงไดดงตวอยางตอไปน
ตวอยางท 5.1 บรษทกมภวาปการผลตเปนบรษทผรบจางผลตสนคาในเขตจงหวดอดรธานท าการตกลงท าสญญารบสนคามาผลต 3 ชนด คอ กางเกงผชาย กางเกงผหญง และกางเกงเดก โดยทผบรหารของบรษทก าลงท าการตดสนใจจะใชเครองจกรแบบใดในการผลตสนคา โดยทบรษทมเครองจกรทงหมด 3 เครอง และในการท างานของเครองจกรจะเสยคาใชจายในการผลตสนคาแตละชนดตางกน ดงน
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
2
1
1.5
3
2.5
2
1.5
3
1
ผบรหารของบรษทควรมอบหมายงานใหเครองจกรแตละเครองผลตสนคาชนดใดจงจะเสยใชจายนอยทสด โดยทเครองจกรแตละเครองสามารถผลตสนคาไดทละชนดเทานน จากตวอยางขางตนจะเหนไดวาเปนปญหาการมอบหมายงานทสมดลเพราะจ านวนจ านวนสนคาทจะผลตทงหมดหรอจ านวนงานทตองการมอบหมายมจ านวนเทากบเครองจกรทงหมดทบรษทมอย สามารถสรปลกษณะของปญหาน ไดดงน
207
สงทผบรหารของบรษทตองการทราบ คอ คาใชจายในการมอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรทง 3 เครอง คาใชจายในการมอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรทง 3 เครองและคาใชจายในการมอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรทง 3 เครอง ซงการมอบหมายงานดงกลาวนจะตองท าใหเกดคาใชจายในการผลตสนคารวมต าทสด
สามารถสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงาน ไดดงน ก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน คาใชจายในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2
X13 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3
X21 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1
X22 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 2 X23 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3 X31 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1 X32 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2 X33 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3
ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33
1.5
2
3
1
1
2
1.5
3
2.5
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
เครองจกรท 2
เครองจกรท 1
เครองจกรท 3
208
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 = 1
X21 + X22 + X23 = 1
X31 + X32 + X33 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน X11 + X21 + X31 = 1
X12 + X22 + X32 = 1
X13 + X23 + X33 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3
ถาท าการพจารณาวธทสามารถมอบหมายงานทงหมดจะม 3! วธ คอ 3 × 2 = 6 วธ สามารถแสดงการเปรยบเทยบผลเฉลยในแตละวธไดดงน
จากการเปรยบเทยบคาใชจายในการมอบหมายงานจะไดวธทใหคาใชจายนอยทสด คอ วธท 5 โดยจะใหคาใชจายนอยทสด คอ 4,500 บาท ดงน - มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3 - มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1
- มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2
วธท การมอบหมายงาน คาใชจายในการมอบหมาย
งานรวมทงหมด (พนบาท) สนคาชนดท 1 สนคาชนดท 2 สนคาชนดท 3
1 เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 2 + 2.5 + 1 = 5.5
2 เครองจกรท 1 เครองจกรท 3 เครองจกรท 2 2 + 3 + 2 = 7
3 เครองจกรท 2 เครองจกรท 1 เครองจกรท 3 3 + 1 + 1 = 5
4 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 1 3 + 3 + 1.5 = 7.5
5 เครองจกรท 3 เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 1.5 + 1 + 2 = 4.5
6 เครองจกรท 3 เครองจกรท 2 เครองจกรท 1 1.5 + 2.5 + 1.5 = 5.5
209
จะเหนไดวาในการเปรยบเทยบคาใชจายในแตละวธคอนขางจะเสยเวลามากเพราะยงถาปญหามจ านวนงานและเครองจกรเพมขนจะท าใหจ านวนวธเพมมากขน เชน ถาปญหามจ านวนงาน 7 งาน และเครอ งจกร 7 เครอ ง ดงน นจ านวนวธท จะท าการพจารณ ามท งหมด 7! คอ 7×6×5×4×3×2×1 = 5,040 วธ ซงจะเปนการยากทจะพจารณาไดครบทกวธ ดงนนในการหาผลเฉลยจะตองมกระบวนการทดกวาการเปรยบเทยบทละวธซงจะไดท าการศกษาตอไป
การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานทสมดล
1. การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานทสมดลกรณการหาคาต าสด การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานจะใชวธการทเรยกวา วธฮงกาเรยน(hungarian method) ซงเปนการหาคาใชจายใหมจากตารางคาใชจายเดม โดยการลดคาของตารางคาใชจายเดมจนกระทงไดตารางคาใชจายทใหผลเฉลยเหมาะสมทสดและตวทถกมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0 โดยใชหลกการทวาถาผลเฉลย (Xij) ใหคาฟงกชนจดประสงค (P) ทเหมาะสมทสดในตารางคาใชจายซงถามการบวกหรอลบคาใชจายในตารางคาใชจายทกตวในแตละแถวหรอแตละหลกดวยคาคงทแลวผลเฉลย (Xij) ทไดจากตารางคาใชจายทมการบวกคาคงทนจะไมมการ
เปลยนแปลง นนคอจะไดผลเฉลย (Xij) เหมอนเดมและผลเฉลย (Xij) จะใหคาฟงกชนจดประสงคใหม ( P ) ทเหมาะสมทสดเชนกน สามารถพสจนไดดงน ก าหนดให Cij แทน คาใชจายในการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
ai แทน คาคงททใชในการบวกหรอลบคาจายในแถวท i
bj แทน คาคงททใชในการบวกหรอลบคาจายในหลกท j
ijC แทน คาใชจายใหมในการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j หลงจากการบวกหรอลบคาคงท ai และ bj แลว โดยท i = 1, 2, 3,…, m และ j = 1, 2, 3,…, n ดงนนจะได ij ij i jC C a b จากฟงกชนจดประสงคของปญหาการมอบหมายงาน ( P ) คอ
n m
ij ij
j 1 i 1
P C X
----------------------------(1)
210
ดงนนฟงกชนจดประสงคของปญหาการมอบหมายงานใหม ( P ) คอ
n m
ij ij
j 1 i 1
P C X
n m
ij i j ij
j 1 i 1
(C a b )X
n m
ij ij
j 1 i 1
C X
n m
i ij
j 1 i 1
a X
n m
j ij
j 1 i 1
b X
n m
ij ij
j 1 i 1
C X
m n
i ij
i 1 j 1
a X
n m
j ij
j 1 i 1
b X
จาก
n
ij
j 1
X = 1 และ
m
ij
i 1
X = 1
และจาก m
i
i 1
a และ
n
j
j 1
b เปนคาคงท
ดงนน n m
ij ij
j 1 i 1
P C X
คาคงท
จาก (1) จะได P P คาคงท
จะเหนไดวาถา คาคงท มคาเทากบ 0 แสดงวา P P นนคอ ตารางคาใชจายเดมเปนตารางคาใชจายทเหมาะสมแลว คอใหคาฟงกชนจดประสงคทเหมาะสมทสดแลวนนเอง แตถาคาคงท มไมคาเทากบ 0 แสดงวา P P นนคอ ตารางคาใชจายเดมยงไมเปนตารางคาใชจายทเหมาะสม คอคาฟงกชนจดประสงคยงไมเปนคาทเหมาะสมทสด ดงนนจะตองท าการปรบปรงตารางคาใชจายโดยการบวกหรอลบคาคงทในแตละแถวหรอแตละหลกตอไป
จากการหาผลเฉลยดวยวธฮงกาเรยนนจะไดผลเฉลยทเหมาะสมทสดโดยไมตองท าการเปรยบเทยบผลเฉลยทไดทละวธเหมอนกบวธทไดกลาวมาแลวขางตน ดงนนการหาผลเฉลยดวยวธฮงกาเรยนจะท าใหไดผลเฉลยรวดเรวและสะดวกกวา ซงมรายละเอยดดงน 1. สรางตารางคาใชจายเสยโอกาสหรอตนทนเสยโอกาส (opportunity cost) จากตารางคาใชจายการมอบหมายงาน โดยทตนทนเสยโอกาส คอ คาของตนทนทจะแพงกวาเมอไมไดมอบหมายงานทมตนทนนอยทสด มข นตอนการสรางตารางดงน 1.1 พจารณาคาใชจายในทกแถว โดยน าคาใชจายนอยทสดลบออกจากคาใชจายของทกคาในแตละแถว 1.2 พจารณาคาใชจายในทกหลกทไดจากขอ 1.1 โดยน าคาใชจายนอยทสดลบออกจากคาใชจายของทกคาในแตละหลก 2. ตรวจสอบตารางตนทนเสยโอกาส ทไดจากขอ 1 เปนตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสดหรอไม มข นตอนดงน
211
2.1 ท าการลากเสนตรงตามแถวหรอหลกโดยทเสนตรงตองผานคาใชจายทเทากบ 0 ทกตว และใหใชเสนตรงนอยทสด
2.2 ถาจ านวนเสนตรงทใชมคาเทากบจ านวนของสนคาทตองการมอบหมายหรอเทากบจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานได แสดงวาตารางทไดเปนตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสดแลว และจะด าเนนการตามขนตอนท 4 ตอไป
2.3 ถาจ านวนเสนตรงทใชมคาไมเทากบจ านวนของสนคาทตองการมอบหมายหรอไมเทากบจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานได แสดงวาตารางทไดยงไม เปนตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสด และจะด าเนนการตามขนตอนท 3 ตอไป
3. ท าการปรบปรงตารางตนทนเสยโอกาสจากขอ 2.3 โดยการน าตวเลขทไมถกเสนตรงลากผานทมจ านวนนอยทสดไปลบกบตวเลขทกตวทไมถกเสนตรงลากผาน และน าไปบวกกบตวเลขทอยบนจดตดของเสนตรงแลวกลบไปด าเนนการตามขนตอนท 2 ตอไป
4. ท าการมอบหมายงานโดยใหพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด แลวท าการมอบหมายงานทชองนนและท าการตดแถวและหลกนนออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอจนครบทกงาน
ดงนนจากตวอยางท 5.1 สามารถแสดงการหาผลเฉลยดวยวธฮงกาเรยน ไดดงน
1. สรางตารางตนทนเสยโอกาสจากตารางคาใชจายการมอบหมายงาน
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 2 3 1.5
สนคาชนดท 2 1 2.5 3
สนคาชนดท 3 1.5 2 1
1.1 พจารณาคาใชจายในทกแถว โดยน าคาใชจายนอยทสดลบออกจากคาใชจายของทกคาในแตละแถว
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 2 3 1.5 ลบดวย 1.5
สนคาชนดท 2 1 2.5 3 ลบดวย 1
สนคาชนดท 3 1.5 2 1 ลบดวย 1
212
1.2 พจารณาคาใชจายในทกหลกทไดจากขอ 1.1 โดยน าคาใชจายนอยทสดลบออกจากคาใชจายของทกคาในแตละหลก
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 0.5 1.5 0
สนคาชนดท 2 0 1.5 2
สนคาชนดท 3 0.5 1 0
ลบดวย 0 ลบดวย 1 ลบดวย 0
ดงนนจะไดตารางตนทนเสยโอกาส ดงน
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 0.5 0.5 0
สนคาชนดท 2 0 0.5 2
สนคาชนดท 3 0.5 0 0
2. ตรวจสอบตารางตนทนเสยโอกาส ทไดจากขอ 1
2.1 ท าการลากเสนตรงตามแถวหรอหลกโดยทเสนตรงตองผานคาใชจายทเทากบ 0 ทกตว และใหใชเสนตรงนอยทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 0.5 0.5 0
สนคาชนดท 2 0 0.5 2
สนคาชนดท 3 0.5 0 0
2.2 จ านวนเสนตรงทใชจ านวน 3 เสน ซงมคาเทากบจ านวนของสนคาทตองการมอบหมายหรอเทากบจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานไดคอเทากบ 3 แสดงวาตารางทไดเปนตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสดแลว
213
ขนตอนตอไปท าการมอบหมายงาน ดงน 1. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด แลวท าการมอบหมายงานทชองนน ซงจะเลอกแถวท 1 คอ สนคาชนดท 1 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 3 และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอจนครบทกงาน
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 0.5 0.5 0
สนคาชนดท 2 0 0.5 2
สนคาชนดท 3 0.5 0 0
2. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด แลวท าการมอบหมายงานทชองนน ซงจะเลอกแถวท 2 คอ สนคาชนดท 2 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 1 และท าการตดแถวและหลกออก
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 0.5 0.5 0
สนคาชนดท 2 0 0.5 2
สนคาชนดท 3 0.5 0 0
3. เหลอการมอบหมายงานสดทาย คอ แถวท 3 ของสนคาชนดท 3 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 2 ดงนนจะสรปการมอบหมายงานและคาใชจายทงหมด ดงน - มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3 ดงนน X13 = 1
- มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1 ดงนน X21 = 1
- มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2 ดงนน X32 = 1
และ Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
214
จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานในตวอยางท 5.1 จะได
ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33
= 2(0) + 3(0) + 1.5(1) + 1(1) + 2.5(0) + 3(0) + 1.5(0) + 2(1) + 1(0) = 1.5 + 1 + 2 = 4.5
เงอนไขบงคบ
1) เงอนไขดานการก าหนดงาน
X11 + X12 + X13 = 1 = 0 + 0 + 1
X21 + X22 + X23 = 1 = 1 + 0 + 0
X31 + X32 + X33 = 1 = 0 + 1 + 0
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 = 1 = 0 + 1 + 0
X12 + X22 + X32 = 1 = 0 + 0 + 1
X13 + X23 + X33 = 1 = 1 + 0 + 0
ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 4.5 หรอ 4,500 บาท และ X13 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3
X21 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1
X32 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
จะเหนไดวาจากการหาผลเฉลยทไดดวยวธฮงกาเรยนจะมคาเทาการเปรยบเทยบคาใชจายในแตละวธแตวธฮงกาเรยนไมจ าเปนตองท าการพจารณาทกวธและวธฮงกาเรยนนมกระบวนการทเปนขนตอนทงายท าใหไดผลเฉลยรวดเรวและสะดวกกวา
2. การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานทสมดลกรณการหาคาสงสด ในปญหาของการมอบหมายงานจดประสงคโดยทวไปแลวจะตองเสยคาใชจายใหนอยทสดในการมอบหมายงานแตบางปญหาอาจจะตองการก าไรทสงทสดในการประกอบการกเปนไปได จากตวอยางท 5.1 ถาท าการเปลยนขอมลจากคาใชจายทจะเสยไปจากการมอบหมายงานเปนก าไรทจะไดรบในการมอบหมายงาน ดงนนจะไดปญหาใหมดงน
215
ตวอยางท 5.2 บรษทกมภวาปการผลตเปนบรษทผรบจางผลตสนคาในเขตจงหวดอดรธานท าการตกลงท าสญญารบสนคามาผลต 3 ชนด คอ กางเกงผชาย กางเกงผหญง และกางเกงเดก โดยทผบรหารของบรษทก าลงท าการตดสนใจจะใชเครองจกรแบบใดในการผลตสนคา โดยทบรษทมเครองจกรทงหมด 3 เครอง และในการท างานของเครองจกรจะไดรบก าไรในการผลตสนคาแตละชนดตางกน ดงน
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
2
1
1.5
3
2.5
2
1.5
3
1
ผบรหารของบรษทควรมอบหมายงานใหเครองจกรแตละเครองผลตสนคาชนดใดจงจะเหมาะสมทสดหรอไดรบก าไรมากทสด โดยทเครองจกรแตละเครองสามารถผลตสนคาไดทละชนดเทานน ดงนนสามารถสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาไดดงน
ก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน ก าไรทไดรบในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2
X13 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3
X21 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1
X22 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 2 X23 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3 X31 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1 X32 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2 X33 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3
ฟงกชนจดประสงค
(maximize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33
216
เงอนไขบงคบ
1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 = 1
X21 + X22 + X23 = 1
X31 + X32 + X33 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน X11 + X21 + X31 = 1
X12 + X22 + X32 = 1
X13 + X23 + X33 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3
ถาท าการพจารณาวธทสามารถมอบหมายงานทงหมดจะม 3! วธ คอ 3 × 2 = 6 วธ สามารถแสดงการเปรยบเทยบผลเฉลยในแตละวธไดดงน
วธท การมอบหมายงาน คาใชจายในการมอบหมาย
งานรวมทงหมด (พนบาท) สนคาชนดท 1 สนคาชนดท 2 สนคาชนดท 3
1 เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 2 + 2.5 + 1 = 5.5
2 เครองจกรท 1 เครองจกรท 3 เครองจกรท 2 2 + 3 + 2 = 7
3 เครองจกรท 2 เครองจกรท 1 เครองจกรท 3 3 + 1 + 1 = 5
4 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 1 3 + 3 + 1.5 = 7.5
5 เครองจกรท 3 เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 1.5 + 1 + 2 = 4.5
6 เครองจกรท 3 เครองจกรท 2 เครองจกรท 1 1.5 + 2.5 + 1.5 = 5.5
จากการเปรยบเทยบก าไรทไดรบในการมอบหมายงานจะไดวธทใหก าไรมากทสด คอ วธท 4 โดยจะใหก าไรมากทสด คอ 7,500 บาท ดงน - มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2 - มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3
- มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1
217
การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานในกรณ นจะใช วธฮงกาเรยน เชนเดยวกบปญหาการหาคาต าสดแตจะมขอแตกตางกน คอ กอนทจะเรมตนวธการค านวณแบบ ฮงกาเรยนในปญหาการหาคาสงสดจะตองน าเอาคาของก าไรทสงทสดลบดวยคาของก าไรทกตวในตารางแสดงคาของก าไรแลวจงเรมวธฮงกาเรยนได
ดงนนจากตวอยางท 5.2 สามารถแสดงการหาผลเฉลยดวยวธฮงกาเรยน ไดดงน ท าการเลอกคาของก าไรทสงทสดแลวลบดวยคาของก าไรทกตวในตารางแสดงคาของก าไร ซงในตวอยางน คอ 3 หรอ 3,000 บาท ดงนนจะไดตารางแสดงคาของก าไรใหม ดงน
ถง
จาก
ตารางแสดงคาของก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 1 0 1.5
สนคาชนดท 2 2 0.5 0
สนคาชนดท 3 1.5 1 2
1. สรางตารางก าไรเสยโอกาสจากตารางแสดงการไดก าไรในการมอบหมายงาน
1.1 พจารณาก าไรในทกแถว โดยน าคาของก าไรนอยทสดลบออกจากคาใชจายของทกคาในแตละแถว
ถง
จาก
ตารางแสดงคาของก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 1 0 1.5 ลบดวย 0
สนคาชนดท 2 2 0.5 0 ลบดวย 0
สนคาชนดท 3 1.5 1 2 ลบดวย 1
1.2 พจารณาคาของก าไรในทกหลกทไดจากขอ 1.1 โดยน าคาใชจายนอยทสดลบออกจากคาใชจายของทกคาในแตละหลก
218
ถง
จาก
ตารางแสดงคาของก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 1 0 1.5
สนคาชนดท 2 2 0.5 0
สนคาชนดท 3 0.5 0 1
ลบดวย 0.5 ลบดวย 0 ลบดวย 0
ดงนนจะไดตารางก าไรเสยโอกาส ดงน
ถง
จาก
ตารางแสดงคาของก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 0.5 0 1.5
สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0
สนคาชนดท 3 0 0 1
2. ตรวจสอบตารางก าไรเสยโอกาส ทไดจากขอ 1
2.1 ท าการลากเสนตรงตามแถวหรอหลกโดยทเสนตรงตองผานคาใชจายทเทากบ 0 ทกตว และใหใชเสนตรงนอยทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงคาของก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 0.5 0 1.5
สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0
สนคาชนดท 3 0 0 1
2.2 จ านวนเสนตรงทใชจ านวน 3 เสน ซงมคาเทากบจ านวนของสนคาทตองการมอบหมายหรอเทากบจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานไดคอเทากบ 3 แสดงวาตารางทไดเปนตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสดแลว
219
ขนตอนตอไปท าการมอบหมายงาน ดงน 1. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด แลวท าการมอบหมายงานทชองนน ซงจะเลอกแถวท 1 คอ สนคาชนดท 1 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 2 และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอจนครบทกงาน
ถง
จาก
ตารางแสดงคาของก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 0.5 0 1.5
สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0
สนคาชนดท 3 0 0 1
2. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด แลวท าการมอบหมายงานทชองนน ซงจะเลอกแถวท 2 คอ สนคาชนดท 2 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 3 และท าการตดแถวและหลกออก
ถง
จาก
ตารางแสดงคาของก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 0.5 0 1.5
สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0
สนคาชนดท 3 0 0 1
3. เหลอการมอบหมายงานสดทาย คอ แถวท 3 ของสนคาชนดท 3 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 1 ดงนนจะสรปการมอบหมายงานและคาใชจายทงหมด ดงน - มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2 ดงนน X12 = 1
- มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3 ดงนน X23 = 1
- มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1 ดงนน X31 = 1
และ Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
220
จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานในตวอยางท 5.2 จะได
ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33
= 2(0) + 3(1) + 1.5(0) + 1(0) + 2.5(0) + 3(1) + 1.5(1) + 2(0) + 1(0) = 3 + 3 + 1.5
= 7.5
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการก าหนดงาน
X11 + X12 + X13 = 1 = 0 + 1 + 0
X21 + X22 + X23 = 1 = 0 + 0 + 1
X31 + X32 + X33 = 1 = 1 + 0 + 0
2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน X11 + X21 + X31 = 1 = 0 + 0 + 1
X12 + X22 + X32 = 1 = 1 + 0 + 0
X13 + X23 + X33 = 1 = 0 + 1 + 0
จะไดผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 7.5 หรอ 7,500 บาท และ X12 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2
X23 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3
X31 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
ปญหาการมอบหมายงานทไมสมดล
ปญหาการมอบหมายงานทปรมาณของงานทออกจากตนทางหรอทตองการมอบหมายไมเทากบปรมาณของบคลากรหรอเครองจกรทสามารถรบงานได ซงอาจจะเปนไปได 2 กรณ คอ ปรมาณของงานทตองการมอบหมายมากกวาปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได หรอปรมาณของงานทตองการมอบหมายนอยกวาปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได ซงจะไมสามารถหาผลเฉลยตามขนตอนของปญหาการมอบหมายงานแบบสมดลได และจะเรยกปญหาลกษณะนวา ปญหาการมอบหมายงานทไมสมดล (unbalanced assignment problem) ดงนนในหวขอนจะท าการศกษาการหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานทไมสมดลตอไป
221
การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานทไมสมดล
1. การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานทไมสมดลกรณการหาคาต าสด
กรณปรมาณงานทมอบหมายมากกวาปรมาณเครองจกรทรบงานได จากปญหาการมอบหมายทสมดลจะไดวาปรมาณของงานทตองการมอบหมายจะมคาเทากบปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได แตถามการเพมปรมาณของงานทตองการมอบหมายเพมขน แตปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานไดมจ านวนเทาเดม ซงจะเรยกปญหานวา ปญหาการการมอบหมายทไมสมดล สามารถแสดงไดดงตวอยางตอไปน
ตวอยางท 5.3 จากตวอยางท 5.1 ถาท าการก าหนดใหเพมจ านวนสนคาทตองการผลตจาก 3 ชนด เปน 4 ชนด แตจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานไดมจ านวนเทาเดมและมคาใชจายของสนคาชนดท 4 ในการมอบหมายงานใหเครองทง 3 เครอง คอ 2,000 บาท 1,000 บาท และ 1,500 บาทตามล าดบ ดงนนปญหาการมอบหมายงานทก าหนดจ านวนสนคาทตองการผลตใหมนจงเปนปญหาการขนสงทไมสมดล สามารถสรปตารางคาใชจายไดดงน
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
สนคาชนดท 4
2
1
1.5
2
3
2.5
2
1
1.5
3
1
1.5
สามารถสรางตวแบบปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมสนคาชนดท 4 ดงนก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน คาใชจายในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2
X13 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3
X21 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1
X22 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 2 X23 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3 X31 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1
222
X32 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2 X33 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3 X41 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 1 X42 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 2
X43 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 3
ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23
+ 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 2X41 + 1X42 + 1.5X43
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 = 1
X21 + X22 + X23 = 1
X31 + X32 + X33 = 1
X41 + X42 + X43 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน X11 + X21 + X31 + X41 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3
จากตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกรจะเหนวาปรมาณของงานทตองการมอบหมายจะมคามากกวาปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได ซงจะท าใหไมสามารถหาผลเฉลยเรมตนดวยวธปกตทไดกลาวมาแลวได ดงนนจะตองท าการปรบตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกรใหเปนปญหาการมอบหมายงานทสมดล โดยจะท าการก าหนดใหมปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานไดเพมขน คอ เครองจกรเทยม (dummy machine) ขนมาเพอทจะรบงานใหครบทกงานซงในตวอยางน คอ เครองจกรท 4 แตเครองจกรเทยมใหมทก าหนดขนนจะไมมผลกบคาใชจายรวมในการมอบหมายงาน ดงนนเครองจกรเทยมนจะมคาใชจายในการท างานเทากบ 0 บาท นนเอง ซงจะไดตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกรทเพมเครองจกรเทยมหรอเครองจกรท 4 ดงน
223
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกร
เทยม(ท 4) สนคาชนดท 1 2 3 1.5 0
สนคาชนดท 2 1 2.5 3 0
สนคาชนดท 3 1.5 2 1 0
สนคาชนดท 4 2 1 1.5 0
ท าการหาผลเฉลยตามขนตอนทไดอธบายไวขางตน คอ ท าการหาผลเฉลยเชนเดยวกบปญหาการมอบหมายงานทสมดลดวยวธฮงกาเรยน ดงน
สรางตวแบบปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมสนคาชนดท 4 และเครองจกรเทยม ก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน คาใชจายในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2
X13 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3
X14 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 4
X21 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1
X22 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 2 X23 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3
X24 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 4 X31 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1 X32 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2 X33 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3 X34 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 4 X41 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 1 X42 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 2 X43 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 3
X44 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 4
ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 0X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 0X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 0X34 + 2X41 + 1X42 + 1.5X43 + 0X44
224
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 = 1
X41 + X42 + X43 + X44 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน X11 + X21 + X31 + X41 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 = 1
X14 + X24 + X34 + X44 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3 , 4
1. สรางตารางตนทนเสยโอกาสจากตารางคาใชจายการมอบหมายงาน
1.1 พจารณาคาใชจายในทกแถว โดยน าคาใชจายนอยทสดลบออกจากคาใชจายของทกคาในแตละแถว
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1
เครองจกรท 2
เครองจกรท 3
เครองจกรเทยม(ท 4)
สนคาชนดท 1 2 3 1.5 0 ลบดวย 0
สนคาชนดท 2 1 2.5 3 0 ลบดวย 0
สนคาชนดท 3 1.5 2 1 0 ลบดวย 0
สนคาชนดท 4 2 1 1.5 0 ลบดวย 0
1.2 พจารณาคาใชจายในทกหลกทไดจากขอ 1.1 โดยน าคาใชจายนอยทสดลบออกจากคาใชจายของทกคาในแตละหลก
225
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกร
เทยม (ท 4) สนคาชนดท 1 2 3 1.5 0
สนคาชนดท 2 1 2.5 3 0
สนคาชนดท 3 1.5 2 1 0
สนคาชนดท 4 2 1 1.5 0
ลบดวย 1 ลบดวย 1 ลบดวย 1 ลบดวย 0
ดงนนจะไดตารางตนทนเสยโอกาส ดงน
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกร
เทยม(ท 4) สนคาชนดท 1 1 2 0.5 0
สนคาชนดท 2 0 1.5 2 0
สนคาชนดท 3 0.5 1 0 0
สนคาชนดท 4 1 0 0.5 0
2. ตรวจสอบตารางตนทนเสยโอกาส ทไดจากขอ 1
2.1 ท าการลากเสนตรงตามแถวหรอหลกโดยทเสนตรงตองผานคาใชจายทเทากบ 0 ทกตว และใหใชเสนตรงนอยทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
เครองจกร
เทยม(ท 4) สนคาชนดท 1 1 2 0.5 0
สนคาชนดท 2 0 1.5 2 0
สนคาชนดท 3 0.5 1 0 0
สนคาชนดท 4 1 0 0.5 0
226
2.2 จ านวนเสนตรงทใชจ านวน 4 เสน ซงมคาเทากบจ านวนของสนคาทตองการมอบหมายหรอเทากบจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานไดคอเทากบ 4 แสดงวาตารางทไดเปนตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสดแลว
ขนตอนตอไปท าการมอบหมายงาน ดงน 1. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด แลวท าการมอบหมายงานทชองนน ซงจะเลอกแถวท 1 คอ สนคาชนดท 1 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรเทยม (ท 4) และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอ
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกร
เทยม (ท 4) สนคาชนดท 1 1 2 0.5 0
สนคาชนดท 2 0 1.5 2 0
สนคาชนดท 3 0.5 1 0 0
สนคาชนดท 4 1 0 0.5 0
2. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด แลวท าการมอบหมายงานทชองนน ซงจะเลอกแถวท 2 คอ สนคาชนดท 2 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 1 และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอ
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกร
เทยม (ท 4) สนคาชนดท 1 1 2 0.5 0
สนคาชนดท 2 0 1.5 2 0
สนคาชนดท 3 0.5 1 0 0
สนคาชนดท 4 1 0 0.5 0
227
3. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด แลวท าการมอบหมายงานทชองนน ซงจะเลอกแถวท 3 คอ สนคาชนดท 3 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 3 และท าการตดแถวและหลกออก
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกร
เทยม (ท 4) สนคาชนดท 1 1 2 0.5 0
สนคาชนดท 2 0 1.5 2 0
สนคาชนดท 3 0.5 1 0 0
สนคาชนดท 4 1 0 0.5 0
4. เหลอการมอบหมายงานสดทาย คอ แถวท 4 ของสนคาชนดท 4 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 2 ดงนนจะสรปการมอบหมายงานและคาใชจายทงหมด ดงน - มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรเทยม (ท 4) ดงนน X14 = 1 - มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1 ดงนน X21 = 1
- มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3 ดงนน X33 = 1
- มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 2 ดงนน X42 = 1 และ Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมจ านวนสนคา ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 0X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 0X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 0X34 + 2X41 + 1X42 + 1.5X43 + 0X44
= 2(0) + 3(0) + 1.5(0) + 0(1)+ 1(1) + 2.5(0) + 3(0) + 0(0)+ 1.5(0) + 2(0) + 1(1) + 0(0) + 2(0) + 1(1) + 1.5(0) + 0(0) = 1 + 1 + 1 = 3
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 = 1 = 0 + 0 + 0 + 1
X21 + X22 + X23 + X24 = 1 = 1 + 0 + 0 + 0
X31 + X32 + X33 + X34 = 1 = 0 + 0 + 1 + 0
X41 + X42 + X43 + X44 = 1 = 0 + 1 + 0 + 0
228
2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน X11 + X21 + X31 + X41 = 1 = 0 + 1 + 0 + 0
X12 + X22 + X32 + X42 = 1 = 0 + 0 + 0 + 1
X13 + X23 + X33 + X43 = 1 = 0 + 0 + 1 + 0
X14 + X24 + X34 + X44 = 1 = 1 + 0 + 0 + 0
จะไดผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 3 หรอ 3,000 บาท และ X14 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 4
X21 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1
X33 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3
X42 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 2
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
กรณปรมาณงานทมอบหมายนอยกวาปรมาณเครองจกรทรบงานได จากปญหาการมอบหมายทสมดล ถามการเพมปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานไดเพมขนแตปรมาณของงานทตองการมอบหมายมจ านวนเทาเดม ซงจะเรยกปญหาลกษณะนวา ปญหาการการมอบหมายทไมสมดล สามารถแสดงไดดงตวอยางตอไปน
ตวอยางท 5.4 จากตวอยางท 5.1 ถาท าการก าหนดใหเพมจ านวนเครองจกรทสามารถรบงานไดจาก 3 เครอง เปน 4 เครอง แตจ านวนของสนคาทตองการผลตมจ านวนเทาเดมและมคาใชจายในการมอบหมายงานใหเครองจกรท 4 ของสนคาทง 3 ชนด คอ 2,000 บาท 1,000 บาท และ 1,500
บาท ตามล าดบ ดงนนปญหาการมอบหมายงานทก าหนดจ านวนเครองจกรทสามารถรบงานไดใหมนจงเปนปญหาการขนสงทไมสมดล สามารถสรปตารางคาใชจายไดดงน
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) ถง
จาก เครองจกร
ท 1
เครองจกร
ท 2
เครองจกร
ท 3
เครองจกร
ท 4
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
2
1
1.5
3
2.5
2
1.5
3
1
2
1
1.5
229
สามารถสรางตวแบบปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมเครองจกรท 4 ดงน ก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน คาใชจายในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2
X13 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3
X14 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 4
X21 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1
X22 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 2 X23 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3
X24 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 4 X31 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1 X32 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2 X33 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3 X34 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 4
ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 2X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 1.5X34 เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน X11 + X21 + X31 = 1
X12 + X22 + X32 = 1
X13 + X23 + X33 = 1
X14 + X24 + X34 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3, 4
230
จากตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกรจะเหนวาปรมาณของงานทตองการมอบหมายจะมคานอยกวาปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได ซงจะท าใหไมสามารถหาผลเฉลยเรมตนดวยวธปกตทไดกลาวมาแลวได ดงนนจะตองท าการปรบตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกรใหเปนปญหาการมอบหมายงานทสมดล โดยจะท าการก าหนดใหมปรมาณของงานทตองการมอบหมายเพมขน คอ งานเทยม (dummy job) ขนมาเพอทจะไดมจ านวนงานทมอบหมายใหครบทกเครองจกร ซงในตวอยางน คอ สนคาชนดท 4 แตงานเทยมใหมทก าหนดขนนจะไมมผลกบคาใชจายรวมในการมอบหมายงาน ดงนน งานเทยมนจะมคาใชจายในการมอบหมายใหเครองจกร เทากบ 0 บาท นนเอง ซงจะไดตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกรทมเพมงานเทยมหรอเพมสนคาชนดท 4 ดงน
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกร
ท 1
เครองจกร
ท 2
เครองจกร
ท 3
เครองจกร
ท 4
สนคาชนดท 1 2 3 1.5 2
สนคาชนดท 2 1 2.5 3 1
สนคาชนดท 3 1.5 2 1 1.5
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0 0 0
ท าการหาผลเฉลยเชนเดยวกบปญหาการมอบหมายงานทสมดลดวยวธฮงกาเรยน ดงน สรางตวแบบปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมเครองจกรท 4 และงานเทยม ก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน คาใชจายในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2
X13 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3
X14 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 4
X21 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1
X22 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 2 X23 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3
X24 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 4 X31 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1 X32 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2
231
X33 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3 X34 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 4 X41 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 1 X42 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 2 X43 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 3
X44 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 4
ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 2X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 1.5X34 + 0X41 + 0X42 + 0X43 + 0X44
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 = 1
X41 + X42 + X43 + X44 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน X11 + X21 + X31 + X41 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 = 1
X14 + X24 + X34 + X44 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3 , 4 1. สรางตารางตนทนเสยโอกาสจากตารางคาใชจายการมอบหมายงาน
1.1 พจารณาคาใชจายในทกแถว โดยน าคาใชจายนอยทสดลบออกจากคาใชจายของทกคาในแตละแถว
232
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1
เครองจกรท 2
เครองจกรท 3
เครองจกร
ท 4
สนคาชนดท 1 2 3 1.5 2 ลบดวย 1.5
สนคาชนดท 2 1 2.5 3 1 ลบดวย 1
สนคาชนดท 3 1.5 2 1 1.5 ลบดวย 1
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0 0 0 ลบดวย 0
1.2 พจารณาคาใชจายในทกหลกทไดจากขอ 1.1 โดยน าคาใชจายนอยทสดลบออกจากคาใชจายของทกคาในแตละหลก
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกร
ท 1
เครองจกร
ท 2
เครองจกร
ท 3
เครองจกร
ท 4
สนคาชนดท 1 0.5 1.5 0 0.5
สนคาชนดท 2 0 1.5 2 0
สนคาชนดท 3 0.5 1 0 0.5
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0 0 0
ลบดวย 0 ลบดวย 0 ลบดวย 0 ลบดวย 0
ดงนนจะไดตารางตนทนเสยโอกาส ดงน
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกร
ท 1
เครองจกร
ท 2
เครองจกร
ท 3
เครองจกร
ท 4
สนคาชนดท 1 0.5 1.5 0 0.5
สนคาชนดท 2 0 1.5 2 0
สนคาชนดท 3 0.5 1 0 0.5
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0 0 0
233
2. ตรวจสอบตารางตนทนเสยโอกาส ทไดจากขอ 1
2.1 ท าการลากเสนตรงตามแถวหรอหลกโดยทเสนตรงตองผานคาใชจายทเทากบ 0 ทกตว และใหใชเสนตรงนอยทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 0.5 1.5 0 0.5
สนคาชนดท 2 0 1.5 2 0
สนคาชนดท 3 0.5 1 0 0.5
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0 0 0
2.2 จ านวนเสนตรงทใชมจ านวน 3 เสน ซงมคาไมเทากบจ านวนของสนคาทตองการมอบหมายหรอไมเทากบจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานไดซงมคาเทากบ 4 แสดงวาตารางทไดยงไมเปนตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสด และจะด าเนนการตามขนตอนท 3
ตอไป
3. ท าการปรบปรงตารางตนทนเสยโอกาส โดยการน าตวเลขทไมถกเสนตรงลากผานทมจ านวนนอยทสด คอ 0.5 ไปลบกบตวเลขทกตวทไมถกเสนตรงลากผาน และน าไปบวกกบตวเลขทอยบนจดตดของเสนตรงแลวกลบไปด าเนนการตามขนตอนท 2 ตอไป
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 0 1 0 0
สนคาชนดท 2 0 1.5 2.5 0
สนคาชนดท 3 0 0.5 0 0
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0 0.5 0
4. ตรวจสอบตารางตนทนเสยโอกาส ทไดจากขอ 3 4.1 ท าการลากเสนตรงตามแถวหรอหลกโดยทเสนตรงตองผานคาใชจายทเทากบ 0 ทกตว และใหใชเสนตรงนอยทสด
234
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 0 1 0 0
สนคาชนดท 2 0 1.5 2.5 0
สนคาชนดท 3 0 0.5 0 0
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0 0.5 0
4.2 จ านวนเสนตรงทใชจ านวน 4 เสน ซงมคาเทากบจ านวนของสนคาทตองการมอบหมายหรอเทากบจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานไดคอเทากบ 4 แสดงวาตารางทไดเปนตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสดแลว
ขนตอนตอไปท าการมอบหมายงาน ดงน 1. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด แลวท าการมอบหมายงานทชองนน ซงจะเลอกหลกท 2 คอ เครองจกรท 2 โดยไดรบการมอบหมายงานใหผลตสนคาเทยม (ชนดท 4) และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอ ตอไป
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 0 1 0 0
สนคาชนดท 2 0 1.5 2.5 0
สนคาชนดท 3 0 0.5 0 0
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0 0.5 0
2. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด แลวท าการมอบหมายงานทชองนน ซงจะเลอกหลกท 3 คอ เครองจกรท 3 โดยเปนการไดรบการมอบหมายงานใหผลตสนคาชนดท 3 และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอ ตอไป
235
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 0 1 0 0
สนคาชนดท 2 0 1.5 2.5 0
สนคาชนดท 3 0 0.5 0 0
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0 0.5 0
3. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด ซงแบงไดเปน 2 กรณ ไดแก
กรณท 1 จะเลอกแถวท 1 คอ สนคาชนดท 1 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 1 และท าการตดแถวและหลกนนออก
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 0 1 0 0
สนคาชนดท 2 0 1.5 2.5 0
สนคาชนดท 3 0 0.5 0 0
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0 0.5 0
สวนการมอบหมายงานสดทาย คอ แถวท 2 ของสนคาชนดท 2 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 4 ดงนนจะสรปการมอบหมายงานและคาใชจายทงหมด ดงน - มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 ดงนน X11 = 1
- มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 4 ดงนน X24 = 1
- มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3 ดงนน X33 = 1
- มอบหมายสนคาเทยม(ชนดท 4) ใหเครองจกรท 2 ดงนน X42 = 1 และ Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมเครองจกรท 4 จะได
236
ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 2X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 1.5X34 + 0X41 + 0X42 + 0X43 + 0X44
= 2(1) + 3(0) + 1.5(0) + 2(0)+ 1(0) + 2.5(0) + 3(0) + 1(1)+ 1.5(0) + 2(0) + 1(1) + 1.5(0) + 0(0) + 0(1) + 0(0) + 0(0)
= 2 + 1 + 1 = 4 จะไดผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 4 หรอ 4,000 บาท และ X11 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1
X24 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 4
X33 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3
X42 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 2
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
กรณท 2 จะเลอกแถวท 2 คอ สนคาชนดท 2 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 1 และท าการตดแถวและหลกนนออก
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 0 1 0 0
สนคาชนดท 2 0 1.5 2.5 0
สนคาชนดท 3 0 0.5 0 0
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0 0.5 0
สวนการมอบหมายงานสดทาย คอ แถวท 1 ของสนคาชนดท 1 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 4 ดงนนจะสรปการมอบหมายงานและคาใชจายทงหมด ดงน - มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 4 ดงนน X14 = 1
- มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1 ดงนน X21 = 1
- มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3 ดงนน X33 = 1
- มอบหมายสนคาเทยม(ชนดท 4) ใหเครองจกรท 2 ดงนน X42 = 1
และ Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
237
จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมเครองจกรท 4 จะได
ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 2X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 1.5X34 + 0X41 + 0X42 + 0X43 + 0X44
= 2(0) + 3(0) + 1.5(0) + 2(1)+ 1(1) + 2.5(0) + 3(0) + 1(0)+ 1.5(0) + 2(0) + 1(1) + 1.5(0) + 0(0) + 0(1) + 0(0) + 0(0) = 2 + 1 + 1 = 4
จะไดผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 4 หรอ 4,000 บาท และ X14 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 4
X21 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1
X33 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3
X42 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 2
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
จากตวอยางจะเหนไดวาเมอเกดกรณทสามารถเลอกวธการมอบหมายงานในแตละงานไดหลายวธซงจากตวอยางจะไดวาผลเฉลยทไดมคาเทากน ดงนนแสดงวาสามารถเลอกมอบหมายงานใดกอนกไดนนเอง
2. การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานทไมสมดลกรณการหาคาสงสด
ในปญหาของการมอบหมายงานจดประสงคของบางปญหาอาจจะตองการก าไรทสงทสด ดงทไดกลาวมาแลวในตวอยางท 5.2 ซงเปนปญหาการมอบหมายงานทสมดลกรณทหาคาสงสดหรอก าไรสงสด ถาท าการเปลยนแปลงขอมล 2 กรณ คอ ปรมาณของงานทตองการมอบหมายมากกวาปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได และปรมาณของงานทตองการมอบหมายนอยกวาปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได สามารถแสดงไดดงตวอยางตอไปน
กรณปรมาณงานทมอบหมายมากกวาปรมาณเครองจกรทรบงานได
ตวอยางท 5.5 จากตวอยางท 5.2 ถาท าการก าหนดใหเพมจ านวนสนคาทตองการผลตจาก 3 ชนด เปน 4 ชนด แตจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานไดมจ านวนเทาเดมและในการท างานของเครองจกรจะไดรบก าไรในการผลตสนคาแตละชนดตางกน ดงน 2,000 บาท 1,000 บาท และ 1,500
บาทตามล าดบ ดงนนปญหาการมอบหมายงานทก าหนดจ านวนสนคาทตองการผลตใหมนจงเปนปญหาการขนสงทไมสมดล สามารถสรปตารางคาใชจายไดดงน
238
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
สนคาชนดท 4
2
1
1.5
2
3
2.5
2
1
1.5
3
1
1.5
สามารถสรางตวแบบปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมสนคาชนดท 4 ดงนก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน ก าไรทไดรบในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2
X13 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3
X21 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1
X22 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 2 X23 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3 X31 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1 X32 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2 X33 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3 X41 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 1 X42 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 2 X43 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 3
ฟงกชนจดประสงค
(maximize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23
+ 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 2X41 + 1X42 + 1.5X43
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 = 1
X21 + X22 + X23 = 1
X31 + X32 + X33 = 1
X41 + X42 + X43 = 1
239
2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน X11 + X21 + X31 + X41 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3
จากตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกรจะเหนวาปรมาณของงานทตองการมอบหมายจะมคามากกวาปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได ดงนนจะท าการก าหนดใหมปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานไดเพมขน คอ เครองจกรเทยม (Dummy Machine) ขนมาเพอทจะรบงานใหครบทกงาน (เครองจกรท 4) แตเครองจกรเทยมนจะมคาใชจายในการท างานเทากบ 0 บาท ดงนนจะไดตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกรทเพมเครองจกรเทยมหรอเครองจกรท 4 ดงน
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกร
เทยม (ท 4) สนคาชนดท 1 2 3 1.5 0
สนคาชนดท 2 1 2.5 3 0
สนคาชนดท 3 1.5 2 1 0
สนคาชนดท 4 2 1 1.5 0
สรางตวแบบปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมสนคาชนดท 4 และเครองจกรเทยม ก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน ก าไรทไดรบในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2
X13 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3
X14 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 4
X21 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1
X22 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 2 X23 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3
240
X24 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 4 X31 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1 X32 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2 X33 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3 X34 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 4 X41 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 1 X42 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 2 X43 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 3
X44 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 4
ฟงกชนจดประสงค
(maximize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 0X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 0X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 0X34 + 2X41 + 1X42 + 1.5X43 + 0X44
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 = 1
X41 + X42 + X43 + X44 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน X11 + X21 + X31 + X41 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 = 1
X14 + X24 + X34 + X44 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3 , 4
การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานในกรณ นจะใช วธฮงกาเรยน เชนเดยวกบปญหาการหาคาต าสดแตจะมขอแตกตางกน คอ กอนทจะเรมตนวธการค านวณแบบ ฮงกาเรยนในปญหาการหาคาสงสดจะตองน าเอาคาของก าไรทสงทสดลบดวยคาของก าไรทกตวในตารางแสดงคาของก าไรแลวจงเรมวธฮงกาเรยนได
241
1. ท าการเลอกคาของก าไรทสงทสดแลวลบดวยคาของก าไรทกตวในตารางแสดงคาของก าไร คอ 3 หรอ 3,000 บาท ดงนนจะไดตารางแสดงคาของก าไรใหม ดงน
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกร
เทยม (ท 4) สนคาชนดท 1 1 0 1.5 3
สนคาชนดท 2 2 0.5 0 3
สนคาชนดท 3 1.5 1 2 3
สนคาชนดท 4 1 2 1.5 3
2. สรางตารางก าไรเสยโอกาสจากตารางแสดงคาของก าไรใหม
2.1 พจารณาก าไรในทกแถว โดยน าก าไรนอยทสดลบออกจากก าไรของทกคาในแตละแถว
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1
เครองจกรท 2
เครองจกรท 3
เครองจกรเทยม (ท 4)
สนคาชนดท 1 1 0 1.5 3 ลบดวย 0
สนคาชนดท 2 2 0.5 0 3 ลบดวย 0
สนคาชนดท 3 1.5 1 2 3 ลบดวย 1
สนคาชนดท 4 1 2 1.5 3 ลบดวย 1
2.2 พจารณาก าไรในทกหลกทไดจากขอ 2.1 โดยน าก าไรนอยทสดลบออกจากก าไรของทกคาในแตละหลก
242
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกร
เทยม(ท 4) สนคาชนดท 1 1 0 1.5 3
สนคาชนดท 2 2 0.5 0 3
สนคาชนดท 3 0.5 0 1 2
สนคาชนดท 4 0 1 0.5 2
ลบดวย 0 ลบดวย 0 ลบดวย 0 ลบดวย 2
ดงนนจะไดตารางก าไรเสยโอกาส ดงน
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกร
เทยม(ท 4) สนคาชนดท 1 1 0 1.5 1
สนคาชนดท 2 2 0.5 0 1
สนคาชนดท 3 0.5 0 1 0
สนคาชนดท 4 0 1 0.5 0
3. ตรวจสอบตารางก าไรเสยโอกาส ทไดจากขอ 2
3.1 ท าการลากเสนตรงตามแถวหรอหลกโดยทเสนตรงตองผานก าไรทเทากบ 0 ทกตว และใหใชเสนตรงนอยทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกร
เทยม(ท 4) สนคาชนดท 1 1 0 1.5 1
สนคาชนดท 2 2 0.5 0 1
สนคาชนดท 3 0.5 0 1 0
สนคาชนดท 4 0 1 0.5 0
243
3.2 จ านวนเสนตรงทใชจ านวน 4 เสน ซงมคาเทากบจ านวนของสนคาทตองการมอบหมายหรอเทากบจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานไดคอเทากบ 4 แสดงวาตารางทไดเปนตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสดแลว
ขนตอนตอไปท าการมอบหมายงาน ดงน 1. ท าการมอบหมายงานโดยเลอกแถวท 1 คอ สนคาชนดท 1โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 2 และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอ
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกร
เทยม (ท 4) สนคาชนดท 1 1 0 1.5 1
สนคาชนดท 2 2 0.5 0 1
สนคาชนดท 3 0.5 0 1 0
สนคาชนดท 4 0 1 0.5 0
2. ท าการมอบหมายงานโดยเลอกแถวท 2 คอ สนคาชนดท 2 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 3 และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอ
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกร
เทยม (ท 4) สนคาชนดท 1 1 0 1.5 1
สนคาชนดท 2 2 0.5 0 1
สนคาชนดท 3 0.5 0 1 0
สนคาชนดท 4 0 1 0.5 0
3. ท าการมอบหมายงานโดยเลอกแถวท 3 คอ สนคาชนดท 3 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรเทยม (ท 4) และท าการตดแถวและหลกออก
244
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกร
เทยม (ท 4) สนคาชนดท 1 1 0 1.5 1
สนคาชนดท 2 2 0.5 0 1
สนคาชนดท 3 0.5 0 1 0
สนคาชนดท 4 0 1 0.5 0
4. เหลอการมอบหมายงานสดทาย คอ แถวท 4 ของสนคาชนดท 4 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 1 ดงนนจะสรปการมอบหมายงานและก าไรรวมทงหมด ดงน - มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2 ดงนน X12 = 1
- มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3 ดงนน X23 = 1
- มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรเทยม (ท 4) ดงนน X34 = 1
- มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 1 ดงนน X41 = 1
และ Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมจ านวนสนคา ฟงกชนจดประสงค
(maximize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 0X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 0X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 0X34 + 2X41 + 1X42 + 1.5X43 + 0X44
= 2(0) + 3(1) + 1.5(0) + 0(0)+ 1(0) + 2.5(0) + 3(1) + 0(0)+ 1.5(0) + 2(0) + 1(0) + 0(1) + 2(1) + 1(0) + 1.5(0) + 0(0) = 3 + 3 + 2 = 8
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 = 1 = 0 + 1 + 0 + 0
X21 + X22 + X23 + X24 = 1 = 0 + 0 + 1 + 0
X31 + X32 + X33 + X34 = 1 = 0 + 0 + 0 + 1
X41 + X42 + X43 + X44 = 1 = 1 + 0 + 0 + 0
245
2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน X11 + X21 + X31 + X41 = 1 = 0 + 0 + 0 + 1
X12 + X22 + X32 + X42 = 1 = 1 + 0 + 0 + 0
X13 + X23 + X33 + X43 = 1 = 0 + 1 + 0 + 0
X14 + X24 + X34 + X44 = 1 = 0 + 0 + 1 + 0
จะไดผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 8 หรอ 8,000 บาท และ X12 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2
X23 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3
X34 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 4
X41 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 1
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
กรณปรมาณงานทมอบหมายนอยกวาปรมาณเครองจกรทรบงานได
ตวอยางท 5.6 จากตวอยางท 5.2 ถาท าการก าหนดใหเพมจ านวนเครองจกรทสามารถรบงานไดจาก 3 เครอง เปน 4 เครอง แตจ านวนของสนคาทตองการผลตมจ านวนเทาเดมและมก าไรในการมอบหมายงานใหเครองจกรท 4 ของสนคาทง 3 ชนด คอ 2,000 บาท 1,000 บาท และ 1,500 บาทตามล าดบ ดงนนปญหาการมอบหมายงานทก าหนดจ านวนเครองจกรทสามารถรบงานไดใหมนจงเปนปญหาการขนสงทไมสมดล สามารถสรปตารางก าไรไดดงน
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
2
1
1.5
3
2.5
2
1.5
3
1
2
1
1.5
สามารถสรางตวแบบปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมเครองจกรท 4 ดงน ก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน ก าไรในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2
X13 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3
X14 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 4
246
X21 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1
X22 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 2 X23 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3
X24 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 4 X31 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1 X32 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2 X33 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3 X34 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 4
ฟงกชนจดประสงค
(maximize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 2X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 1.5X34 เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน X11 + X21 + X31 = 1
X12 + X22 + X32 = 1
X13 + X23 + X33 = 1
X14 + X24 + X34 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3, 4
จากตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกรจะเหนวาปรมาณของงานทตองการมอบหมายจะมคานอยกวาปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได ซงจะท าการก าหนดใหมปรมาณของงานทตองการมอบหมายเพมขน คอ งานเทยม (dummy job) ขนมาเพอทจะไดมจ านวนงานทมอบหมายใหครบทกเครองจกร (สนคาชนดท 4) และงานเทยมนจะมคาใชจายในการมอบหมายใหเครองจกร เทากบ 0 บาท ดงนนจะไดตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกรทมเพมงานเทยมหรอเพมสนคาชนดท 4 ดงน
247
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 2 3 1.5 2
สนคาชนดท 2 1 2.5 3 1
สนคาชนดท 3 1.5 2 1 1.5
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0 0 0
สรางตวแบบปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมเครองจกรท 4 และงานเทยม ก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน ก าไรในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2
X13 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3
X14 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 4
X21 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1
X22 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 2 X23 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3
X24 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 4 X31 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1 X32 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2 X33 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3 X34 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 4 X41 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 1 X42 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 2 X43 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 3
X44 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 4
ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 2X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 1.5X34 + 0X41 + 0X42 + 0X43 + 0X44
248
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 = 1
X41 + X42 + X43 + X44 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 + X41 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 = 1
X14 + X24 + X34 + X44 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3 , 4
การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานในกรณ นจะใช วธฮงกาเรยน เชนเดยวกบปญหาการหาคาต าสดแตจะมขอแตกตางกน คอ กอนทจะเรมตนวธการค านวณแบบ ฮงกาเรยนในปญหาการหาคาสงสดจะตองน าเอาคาของก าไรทสงทสดลบดวยคาของก าไรทกตวในตารางแสดงคาของก าไรแลวจงเรมวธฮงกาเรยนได 1. ท าการเลอกคาของก าไรทสงทสดแลวลบดวยคาของก าไรทกตวในตารางแสดงคาของก าไร คอ 3 หรอ 3,000 บาท ดงนนจะไดตารางแสดงคาของก าไรใหม ดงน
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 1 0 1.5 1
สนคาชนดท 2 2 0.5 0 2
สนคาชนดท 3 1.5 1 2 1.5
สนคาเทยม (ชนดท4) 3 3 3 3
249
2. สรางตารางก าไรเสยโอกาสจากตารางแสดงคาของก าไรใหม
2.1 พจารณาก าไรในทกแถว โดยน าก าไรนอยทสดลบออกจากก าไรของทกคาในแตละแถว
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1
เครองจกรท 2
เครองจกรท 3
เครองจกร
ท 4
สนคาชนดท 1 1 0 1.5 1 ลบดวย 0
สนคาชนดท 2 2 0.5 0 2 ลบดวย 0
สนคาชนดท 3 1.5 1 2 1.5 ลบดวย 1
สนคาเทยม (ชนดท4) 3 3 3 3 ลบดวย 3
2.2 พจารณาก าไรในทกหลกทไดจากขอ 2.1 โดยน าก าไรนอยทสดลบออกจากก าไรของทกคาในแตละหลก
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 1 0 1.5 1
สนคาชนดท 2 2 0.5 0 2
สนคาชนดท 3 0.5 0 1 0.5
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0 0 0
ลบดวย 0 ลบดวย 0 ลบดวย 0 ลบดวย 0
ดงนนจะไดตารางก าไรเสยโอกาส ดงน
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 1 0 1.5 1
สนคาชนดท 2 2 0.5 0 2
สนคาชนดท 3 0.5 0 1 0.5
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0 0 0
250
3. ตรวจสอบตารางก าไรเสยโอกาส ทไดจากขอ 2
3.1 ท าการลากเสนตรงตามแถวหรอหลกโดยทเสนตรงตองผานก าไรท เทากบ 0 ทกตว และใหใชเสนตรงนอยทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 1 0 1.5 1
สนคาชนดท 2 2 0.5 0 2
สนคาชนดท 3 0.5 0 1 0.5
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0 0 0
3.2 จ านวนเสนตรงทใชมจ านวน 3 เสน ซงมคาไมเทากบจ านวนของสนคาทตองการมอบหมายหรอไมเทากบจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานไดซงมคาเทากบ 4 แสดงวาตารางทไดยงไมเปนตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสด และจะด าเนนการตามขนตอนท 4
4. ท าการปรบปรงตารางก าไรเสยโอกาส โดยการน าตวเลขทไมถกเสนตรงลากผานทมจ านวนนอยทสด คอ 0.5 ไปลบกบตวเลขทกตวทไมถกเสนตรงลากผาน และน าไปบวกกบตวเลขทอยบนจดตดของเสนตรงแลวกลบไปด าเนนการตามขนตอนท 2 ตอไป
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 0.5 0 1.5 0.5
สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0 1.5
สนคาชนดท 3 0 0 1 0
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0.5 0.5 0
5. ตรวจสอบตารางก าไรเสยโอกาส ทไดจากขอ 4
5.1 ท าการลากเสนตรงตามแถวหรอหลกโดยทเสนตรงตองผานคาใชจายทเทากบ 0 ทกตว และใหใชเสนตรงนอยทสด
251
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 0.5 0 1.5 0.5
สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0 1.5
สนคาชนดท 3 0 0 1 0
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0.5 0.5 0
5.2 จ านวนเสนตรงทใชจ านวน 4 เสน ซงมคาเทากบจ านวนของสนคาทตองการมอบหมายหรอเทากบจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานไดคอเทากบ 4 แสดงวาตารางทไดเปนตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสดแลว
ขนตอนตอไปท าการมอบหมายงาน ดงน 1. ท าการมอบหมายงานโดยเลอกแถวท 1 คอ สนคาชนดท 1 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 2 และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอ
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 0.5 0 1.5 0.5
สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0 1.5
สนคาชนดท 3 0 0 1 0
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0.5 0.5 0
2. ท าการมอบหมายงานโดยเลอกแถวท 2 คอ สนคาชนดท 2 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 3 และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอ
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 0.5 0 1.5 0.5
สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0 1.5
สนคาชนดท 3 0 0 1 0
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0.5 0.5 0
252
3. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด ซงแบงไดเปน 2 กรณ ไดแก
กรณท 1 ท าการมอบหมายงานโดยเลอกแถวท 3 คอ สนคาชนดท 3 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 1 และท าการตดแถวและหลกนนออก
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 0.5 0 1.5 0.5
สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0 1.5
สนคาชนดท 3 0 0 1 0
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0.5 0.5 0
สวนการมอบหมายงานสดทาย คอ แถวท 4 ของสนคาเทยม (ชนดท 4) โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 4 ดงนนจะสรปการมอบหมายงานและก าไรรวมทงหมด ดงน - มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 ดงนน X11 = 1
- มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3 ดงนน X23 = 1
- มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1 ดงนน X31 = 1
- มอบหมายสนคาเทยม(ชนดท 4) ใหเครองจกรท 4 ดงนน X44 = 1
และ Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมเครองจกรท 4 จะได
ฟงกชนจดประสงค
(maximize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 2X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 1.5X34 + 0X41 + 0X42 + 0X43 + 0X44
= 2(1) + 3(0) + 1.5(0) + 2(0)+ 1(0) + 2.5(0) + 3(1) + 1(0)+ 1.5(0) + 2(0) + 1(0) + 1.5(1) + 0(0) + 0(0) + 0(0) + 0(1)
= 2 + 3 + 1.5
= 6.5
จะไดผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 6.5 หรอ 6,500 บาท และ X11 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1
X23 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3
253
X31 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1
X44 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 4
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
กรณท 2 ท าการมอบหมายงานโดยเลอกแถวท 4 คอ สนคาเทยม(ชนดท 4) โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 1 และท าการตดแถวและหลกนนออก
ถง
จาก
ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 0.5 0 1.5 0.5
สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0 1.5
สนคาชนดท 3 0 0 1 0
สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0.5 0.5 0
สวนการมอบหมายงานสดทาย คอ แถวท 3 ของสนคาชนดท 3 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 4 ดงนนจะสรปการมอบหมายงานและคาใชจายทงหมด ดงน - มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 ดงนน X11 = 1
- มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3 ดงนน X23 = 1
- มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 4 ดงนน X34 = 1
- มอบหมายสนคาเทยม(ชนดท 4) ใหเครองจกรท 2 ดงนน X42 = 1
และ Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมเครองจกรท 4 จะได
ฟงกชนจดประสงค
(maximize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 2X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 1.5X34 + 0X41 + 0X42 + 0X43 + 0X44
= 2(1) + 3(0) + 1.5(0) + 2(0)+ 1(0) + 2.5(0) + 3(1) + 1(0)+ 1.5(0) + 2(0) + 1(0) + 1.5(1) + 0(0) + 0(1) + 0(0) + 0(0)
= 2 + 3 + 1.5 = 6.5
254
จะไดผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 6.5 หรอ 6,500 บาท และ X11 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1
X23 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3
X34 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 4
X42 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 2
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
จากตวอยางจะเหนไดวาเมอเกดกรณทสามารถเลอกวธการมอบหมายงานในแตละงานไดหลายวธซงจากตวอยางจะไดวาผลเฉลยทไดมคาเทากน ดงนนแสดงวาสามารถเลอกมอบหมายงานใดกอนกไดนนเอง บทสรป
ปญหาการมอบหมายงาน เปนการพจารณาการมอบหมายงานใหกบบคคลหรอเครองจกร โดยทมจดประสงคเพ อใหงานทมอบหมายไปแลวเสรจสนโดยเรวเพ อทจะไดประหยดเวลาและตองเสยคาใชจายนอยทสดหรอใหไดก าไรมากทสด ซงการมอบหมายโดยใหปรมาณของงานทออกจากตนทางหรอทตองการมอบหมายมคาเทากบปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได เรยกวา ปญหาการมอบหมายงานทสมดล สวนการมอบหมายงานทปรมาณของงานทออกจากตนทางหรอทตองการมอบหมายไมเทากบปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได เรยกวา ปญหาการมอบหมายงานทไมสมดล ในการหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานทสมดลและปญหาการมอบหมายงานทไมสมดล สามารถท าได 2 กรณ ไดแก กรณการหาคาต าสด และกรณการหาคาสงสด
255
แบบฝกหดบทท 5
จากตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกรของปญหาการมอบหมายงานทก าหนดใหตอไปน จงสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนและสรางตารางตนทนเสยโอกาสของปญหา
5.1 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
2.5
1.5
1
3
5.2 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
1.5
2
3.5
3
2.5
2
5.3 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
3
2.5
5
4.5
2.5
3.5
5.4 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
4
3.5
2.5
5.5
2.5
2
3
4
5.5
256
5.5 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
สนคาชนดท 4
6
4.5
2.5
3
4.5
2.5
3
5
3.5
5
5.5
2.5
5.6 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
4
3.5
6.5
3.5
5.5
6
5.5
6
5
3.5
7
4.5
5.7 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
สนคาชนดท 4
8
3.5
6.5
5
4
6.5
5
7
5.5
6
7
8
3.5
5
8
4
5.8 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
สนคาชนดท 4
สนคาชนดท 5
4
5.5
4.5
5
6
3.5
6.5
6
8
4.5
5.5
7
4
4.5
5
6.5
5
6
5.5
3.5
257
5.9 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท
1
เครองจกรท 2
เครองจกรท 3
เครองจกรท 4
เครองจกรท 5
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
สนคาชนดท 4
12
11
15.5
10
13
12.5
20
9.5
11.5
13
15
9
14.5
10
18
12
10.5
12
14
12.5
5.10 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท
1
เครองจกรท 2
เครองจกรท 3
เครองจกรท 4
เครองจกรท 5
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
สนคาชนดท 4
สนคาชนดท 5
20
11
15.5
15
12
22
12.5
22
14.5
15
10.5
13
21
20
13
10.5
21
18
25
10.5
11.5
18
15.5
17
15
จากตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกรของปญหาการมอบหมายงานทก าหนดใหตอไปน จงสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนและสรางตารางก าไรเสยโอกาสของปญหา
5.11 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
2.5
1.5
1
3
5.12 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
1.5
2
3.5
3
2.5
2
258
5.13 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
3
2.5
5
4.5
2.5
3.5
5.14 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
4
3.5
2.5
5.5
2.5
2
3
4
5.5
5.15 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
สนคาชนดท 4
6
4.5
2.5
3
4.5
2.5
3
5
3.5
5
5.5
2.5
5.16 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
4
3.5
6.5
3.5
5.5
6
5.5
6
5
3.5
7
4.5
259
5.17 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
สนคาชนดท 4
8
3.5
6.5
5
4
6.5
5
7
5.5
6
7
8
3.5
5
8
4
5.18 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
สนคาชนดท 4
สนคาชนดท 5
4
5.5
4.5
5
6
3.5
6.5
6
8
4.5
5.5
7
4
4.5
5
6.5
5
6
5.5
3.5
5.19 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท
1
เครองจกรท 2
เครองจกรท 3
เครองจกรท 4
เครองจกรท 5
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
สนคาชนดท 4
12
11
15.5
10
13
12.5
20
9.5
11.5
13
15
9
14.5
10
18
12
10.5
12
14
12.5
5.20 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก
ถง เครองจกรท
1
เครองจกรท 2
เครองจกรท 3
เครองจกรท 4
เครองจกรท 5
สนคาชนดท 1
สนคาชนดท 2
สนคาชนดท 3
สนคาชนดท 4
สนคาชนดท 5
20
11
15.5
15
12
22
12.5
22
14.5
15
10.5
13
21
20
13
10.5
21
18
25
10.5
11.5
18
15.5
17
15
260
5.21 จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานทตองการคาใชจายนอยทสดใน ขอ 5.1 – 5.10 จงหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธฮงกาเรยน และแสดงตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสด
5.22 จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานทตองการก าไรสงทสดใน ขอ 5.11 – 5.20 จงหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธฮงกาเรยนและแสดงตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสด
261
บรรณานกรม
กตต ภกดวฒนะกล. (2554). การวเคราะหเชงปรมาณเพอการตดสนใจ. กรงเทพฯ : เคพพ คอมพ แอนด คอนซลท
ประกอบ จรกต (2535). การโปรแกรมเชงเสนจ านวนเตม. กรงเทพฯ : โครงการสงเสรมและ
พฒนาเอกสารวชาการ สถาบนบณฑตพฒนบรหารศาสตร. ประพนธ ชยกจอราใจ. (2550). การวเคราะหเชงปรมาณเพอการจดการและกรณศกษา.
กรงเทพฯ : ซ.ว.แอล การพมพ. พชราภรณ เนยมมณ. (2556). ตวแบบการจดสรรทรพยากร. พมพครงท 2. กรงเทพฯ : โครงการ
สงเสรมและพฒนาเอกสารวชาการ สถาบนบณฑตพฒนบรหารศาสตร. มานพ วราภกด. (2552). การวจยด าเนนการ. กรงเทพฯ : ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย. รงรตน ภสชเพญ (สเหลองสวสด). (2556). การวจยด าเนนงาน. กรงเทพฯ : ซเอดยเคชน. สดา เถลงตระการ. (2550). การวจยด าเนนงาน 1. นครปฐม : คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลย
ศลปากร นครปฐม. สทธมา ช านาญเวช. (2554). การวเคราะหเชงปรมาณ. กรงเทพฯ : วทยพฒน. อ าพล ธรรมเจรญ. (2551). ก าหนดการเชงเสนเบองตน. กรงเทพฯ : พทกษการพมพ. ฮลเลอร, เฟรเดอรก เอส. (2553). การวจยด าเนนงาน. กรงเทพฯ : ทอป. Bazaraa, M.S., Jarvis, J.J., and Sherali, H.D. (1990). Linear Programming and Network
Flows. 2nd. New York : Wiley.
Cooper L. and D.Steinbery. (1974). Methods and Applications of Linear Programming.
Philadelphia : W.B.Saunders.
Dantzig, G.B. (1963). Linear Programming and Extensions. Princeton, N.J. : Princeton
University Press.
Garefinkel, R.S., Nemhauser, G.L. (1972). Integer Programming. New York : John Wiley &
Sons.
Gass, S.I. (1985). Linear Programming, Methods and Application. 5th Ed. New York :
McGraw-Hill.
Hadley, G. (1969). Linear Programming. 4th Ed. MA : Addison-Wesley Publishing
Company.
Hu, T.C. (1969). Integer Programming and Network Flows. California : Addison-Wesley.
Ignizio, J.P. and Cavalier, T.M. (1994). Linear Programming. N.J. : Prentice-Hall.
262
Luenberger, D.G. (1973). Introduction to Linear and Nonlinear Programming. New York :
Addison-Wesley Reading Mass.
Murty, K.G. (1983). Linear Programming. New York : Wiley.
Nash, Stephen G. and Ariela Sofer. (1996). Linear and Nonlinear Programming.
New York : The McGraw-Hill Companies, Inc.
Nering, E. and Tucker, A. (1992). Linear Programming and Related Problems. Boston :
Academic Press.
Swanson, L.W. (1980). Linear Programming, Basic theory and Applications. New York :
MxGraw-Hill Book Company.
ภาคผนวก
265
เฉลยแบบฝกหดทายบท
แบบฝกหดบทท 1
1.1 X1 = 0 , X2 = 2 และ (maximize) P = 30
1.2 X1 = 2 , X2 = 1 และ (maximize) P = 70
1.3 X1 = 2 , X2 = 1 , X3 = 0 และ (maximize) P = 70
1.4 X1 = 1 , X2 = 1 , X3 = 1 และ (maximize) P = 40
1.5 X1 = 1 , X2 = 0 , X3 = 1 , X4 = 0 และ (maximize) P = 40
1.6 X1 = 5 , X2 = 1 และ (maximize) P = 130
1.7 X1 = 3 , X2 = 0 และ (maximize) P = 120
1.8 X1 = 3 , X2 = 2 และ (minimize) P = 130
1.9 X1 = 2 , X2 = 2 และ (minimize) P = 60
1.10 X1 = 0 , X2 = 5 , X3 = 0 และ (minimize) P = 50
1.11 X1 = 1 , X2 = 1 , X3 = 1 และ (maximize) P = 10
1.12 X1 = 0 , X2 = 0 , X3 = 0 และ (minimize) P = 0
1.13 ปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได 1.14 X1 = 0 , X2 = 1 , X3 = 1 และ (maximize) P = 50
1.15 X1 = 0 , X2 = 0 , X3 = 1 และ (minimize) P = 40
266
แบบฝกหดบทท 2
2.1 X1 = 2 , X2 = 1 และ (maximize) P = 80
2.2 X1 = 1 , X2 = 1 และ (maximize) P = 15
2.3 X1 = 2 , X2 = 0 และ (minimize) P = 20
2.4 X1 = 3 , X2 = 0 และ (minimize) P = 15
2.5 X1 = 1 , X2 = 2 และ (maximize) P = 40
2.6 X1 = 4 , X2 = 0 และ (maximize) P = 40
2.7 X1 = 3 , X2 = 0 และ (minimize) P = 60
2.8 X1 = 0 , X2 = 8 และ (minimize) P = 80
2.9 X1 = 7 , X2 = 0 และ (maximize) P = 70
2.10 X1 = 3 , X2 = 0 และ (maximize) P = 45
2.11 X1 = 3 , X2 = 3 และ (minimize) P = 60
2.12 X1 = 7 , X2 = 0 และ (minimize) P = 140
2.13 X1 = 8 , X2 = 1 และ (maximize) P = 190
2.14 X1 = 2 , X2 = 4 และ (maximize) P = 64
2.15 X1 = 1 , X2 = 2 และ (minimize) P = 50
2.16 X1 = 1 , X2 = 2 และ (minimize) P = 15
267
แบบฝกหดบทท 3
3.1 ตารางเรมตนของปญหาการขนสง
3.1.1 ตารางเรมตนของปญหา
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
100
โรงงานท 2
X21
X22
200
โรงงานท 3
X31
X32
100
อปสงครวม 150 250 400
3.1.2 ตารางเรมตนของปญหา
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
X13
300
โรงงานท 2
X21
X22
X23
200
อปสงครวม 150 200 150 500
10 20
30 40
20 50
30 20
40
10
50 30
268
3.1.3 ตารางเรมตนของปญหา
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
X13
200
โรงงานท 2
X21
X22
X23
150
โรงงานท 3
X31
X32
X33
250
อปสงครวม 100 300 200 600
3.1.4 ตารางเรมตนของปญหา
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
X13
300
โรงงานท 2
X21
X22
X23
150
โรงงานท 3
X31
X32
X33
150
โรงงานท 4
X41
X42
X43
200
อปสงครวม 350 200 250 800
40 20
50
10
20 60
30 20 40
20 20
50
30
60 70
20 40 50
20 10 40
269
3.2 การหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ
3.2.1 ตารางผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
อปทานรวม
โรงงานท 1
100
X12
100
โรงงานท 2
50
150
200
โรงงานท 3
X31
100
100
อปสงครวม 150 250 400
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 10 100 1,000
2 1 30 50 1,500
2 2 40 150 6,000
3 2 50 100 5,000
รวม 400 13,500
3.2.2 ตารางผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
150
150
X13
300
โรงงานท 2
X21
50
150
200
อปสงครวม 150 200 150 500
10 20
30 40
20 50
30 20
40
10
50 30
270
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 30 150 4,500
1 2 20 150 3,000
2 2 50 50 2,500
2 3 30 150 4,500
รวม 500 14,500
3.2.3 ตารางผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
100
100
X13
200
โรงงานท 2
X21
150
X23
150
โรงงานท 3
X31
50
200
250
อปสงครวม 100 300 200 600
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 40 100 4,000
1 2 20 100 2,000
2 2 20 150 3,000
3 2 20 50 1,000
3 3 40 200 8,000
รวม 600 18,000
40 20
50
10
20 60
30 20 40
271
3.2.4 ตารางผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
300
X12
X13
300
โรงงานท 2
50
100
X23
150
โรงงานท 3
X31
100
50
150
โรงงานท 4
X41
X42
200
200
อปสงครวม 350 200 250 800
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 20 300 6,000
2 1 50 50 2,500
2 2 60 100 6,000
3 2 40 100 4,000
3 3 50 50 2,500
4 4 40 200 8,000
รวม 800 29,000
20 20
50
30
60 70
20 40 50
20 10 40
272
3.3 การหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล
3.3.1 ตารางผลเฉลยเรมตนวธการประมาณของโวเกล
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
อปทานรวม
โรงงานท 1
50
50
100
โรงงานท 2
X21
200
200
โรงงานท 3
100
X32
100
อปสงครวม 150 250 400
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 10 50 500
1 2 20 50 1,000
3 2 40 200 8,000
3 1 20 100 2,000
รวม 400 11,500
3.3.2 ตารางผลเฉลยเรมตนวธการประมาณของโวเกล
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
200
100
300
โรงงานท 2
150
X22
50
200
อปสงครวม 150 200 150 500
10 20
30 40
20 50
30 20
40
10
50 30
273
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 2 20 200 4,000
1 3 10 100 1,000
2 1 40 150 6,000
2 3 30 50 1,500
รวม 500 12,500
3.3.3 ตารางผลเฉลยเรมตนวธการประมาณของโวเกล
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
200
200
โรงงานท 2
X21
150
X23
150
โรงงานท 3
100
150
X33
250
อปสงครวม 100 300 200 600
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 3 10 200 2,000
2 2 20 150 3,000
3 1 30 100 3,000
3 2 20 150 3,000
รวม 600 11,000
40 20
50
10
20 60
30 20 40
274
3.3.4 ตารางผลเฉลยเรมตนวธการประมาณของโวเกล
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
50
X12
250
300
โรงงานท 2
150
X22
X23
150
โรงงานท 3
150
X32
X33
150
โรงงานท 4
X41
200
X43
200
อปสงครวม 350 200 250 800
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 20 50 1,000
1 3 30 250 7,500
2 1 50 150 7,500
3 1 20 150 3,000
4 2 10 200 2,000
รวม 800 21,000
20 20
50
30
60 70
20 40 50
20 10 40
275
3.4 การพฒนาผลเฉลยเรมตนจากวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอดวยวธการสเตปปงสโตน
3.4.1 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการสเตปปงสโตน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
อปทานรวม
โรงงานท 1
50
50
100
โรงงานท 2
X21
200
200
โรงงานท 3
100
X32
100
อปสงครวม 150 250 400
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 10 50 500
1 2 20 50 1,000
2 2 40 200 8,000
3 1 20 100 2,000
รวม 400 11,500
3.4.2 ตารางผลเฉลยเรมตนดวยวธการสเตปปงสโตน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X12
200
100
300
โรงงานท 2
150
X22
50
200
อปสงครวม 150 200 150 500
10 20
30 40
20 50
30 20
40
10
50 30
276
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 2 20 200 4,000
1 3 10 100 1,000
2 1 40 150 6,000
2 3 30 50 1,500
รวม 500 12,500
3.4.3 ตารางผลเฉลยเรมตนดวยวธการสเตปปงสโตน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
200
200
โรงงานท 2
X21
150
X23
150
โรงงานท 3
100
150
X33
250
อปสงครวม 100 300 200 600
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 3 10 200 2,000
2 2 20 150 3,000
3 1 30 100 3,000
3 2 20 150 3,000
รวม 600 11,000
40 20
50
10
20 60
30 20 40
277
3.4.4 ตารางผลเฉลยเรมตนดวยวธการสเตปปงสโตน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
50
X12
250
300
โรงงานท 2
150
X22
X23
150
โรงงานท 3
150
X32
X33
150
โรงงานท 4
X41
200
X43
200
อปสงครวม 350 200 250 800
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท)
จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 20 50 1,000
1 3 30 250 7,500
2 1 50 150 7,500
3 1 20 150 3,000
4 2 10 200 2,000
รวม 800 21,000
20 20
50
30
60 70
20 40 50
20 10 40
278
3.5 การพฒนาผลเฉลยเรมตนจากวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ ดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
3.5.1 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
อปทานรวม
โรงงานท 1
50
50
100
โรงงานท 2
X21
200
200
โรงงานท 3
100
X32
100
อปสงครวม 150 250 400
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 10 50 500
1 2 20 50 1,000
2 2 40 200 8,000
3 1 20 100 2,000
รวม 400 11,500
3.5.2 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X12
200
100
300
โรงงานท 2
150
X22
50
200
อปสงครวม 150 200 150 500
30 20
40
10
50 30
10 20
30 40
20 50
279
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 2 20 200 4,000
1 3 10 100 1,000
2 1 40 150 6,000
2 3 30 50 1,500
รวม 500 12,500
3.5.3 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
200
200
โรงงานท 2
X21
150
X23
150
โรงงานท 3
100
150
X33
250
อปสงครวม 100 300 200 600
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 3 10 200 2,000
2 2 20 150 3,000
3 1 30 100 3,000
3 2 20 150 3,000
รวม 600 11,000
40 20
50
10
20 60
30 20 40
280
3.5.4 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
50
X12
250
300
โรงงานท 2
150
X22
X23
150
โรงงานท 3
150
X32
X33
150
โรงงานท 4
X41
200
X43
200
อปสงครวม 350 200 250 800
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 20 50 1,000
1 3 30 250 7,500
2 1 50 150 7,500
3 1 20 150 3,000
4 2 10 200 2,000
รวม 800 21,000
20 20
50
30
60 70
20 40 50
20 10 40
281
3.6 การพฒนาผลเฉลยเรมตนจากวธการประมาณของโวเกลดวยวธการสเตปปงสโตน
3.6.1 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการสเตปปงสโตน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
อปทานรวม
โรงงานท 1
50
50
100
โรงงานท 2
X21
200
200
โรงงานท 3
100
X32
100
อปสงครวม 150 250 400
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 10 50 500
1 2 20 50 1,000
3 2 40 200 8,000
3 1 20 100 2,000
รวม 400 11,500
3.6.2 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการสเตปปงสโตน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
200
100
300
โรงงานท 2
150
X22
50
200
อปสงครวม 150 200 150 500
10 20
30 40
20 50
30 20
40
10
50 30
282
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 2 20 200 4,000
1 3 10 100 1,000
2 1 40 150 6,000
2 3 30 50 1,500
รวม 500 12,500
3.6.3 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการสเตปปงสโตน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
200
200
โรงงานท 2
X21
150
X23
150
โรงงานท 3
100
150
X33
250
อปสงครวม 100 300 200 600
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 3 10 200 2,000
2 2 20 150 3,000
3 1 30 100 3,000
3 2 20 150 3,000
รวม 600 11,000
40 20
50
10
20 60
30 20 40
283
3.6.4 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการสเตปปงสโตน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
50
X12
250
300
โรงงานท 2
150
X22
X23
150
โรงงานท 3
150
X32
X33
150
โรงงานท 4
X41
200
X43
200
อปสงครวม 350 200 250 800
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 20 50 1,000
1 3 30 250 7,500
2 1 50 150 7,500
3 1 20 150 3,000
4 2 10 200 2,000
รวม 800 21,000
20 20
50
30
60 70
20 40 50
20 10 40
284
3.7 การพฒนาผลเฉลยเรมตนจากวธการประมาณของโวเกลดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
3.7.1 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
อปทานรวม
โรงงานท 1
50
50
100
โรงงานท 2
X21
200
200
โรงงานท 3
100
X32
100
อปสงครวม 150 250 400
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 10 50 500
1 2 20 50 1,000
3 2 40 200 8,000
3 1 20 100 2,000
รวม 400 11,500
3.7.2 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
200
100
300
โรงงานท 2
150
X22
50
200
อปสงครวม 150 200 150 500
10 20
30 40
20 50
30 20
40
10
50 30
285
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 2 20 200 4,000
1 3 10 100 1,000
2 1 40 150 6,000
2 3 30 50 1,500
รวม 500 12,500
3.7.3 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
200
200
โรงงานท 2
X21
150
X23
150
โรงงานท 3
100
150
X33
250
อปสงครวม 100 300 200 600
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 3 10 200 2,000
2 2 20 150 3,000
3 1 30 100 3,000
3 2 20 150 3,000
รวม 600 11,000
40 20
50
10
20 60
30 20 40
286
3.7.4 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
50
X12
250
300
โรงงานท 2
150
X22
X23
150
โรงงานท 3
150
X32
X33
150
โรงงานท 4
X41
200
X43
200
อปสงครวม 350 200 250 800
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 20 50 1,000
1 3 30 250 7,500
2 1 50 150 7,500
3 1 20 150 3,000
4 2 10 200 2,000
รวม 800 21,000
20 20
50
30
60 70
20 10 40
20 40 50
287
3.8 ผลเฉลยเรมตนโดยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
200
100
X13
300
โรงงานท 2
X21
150
200
350
โรงงานท 3
X31
X32
150
150
อปสงครวม 200 250 350 800
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 20 200 4,000
1 2 30 100 3,000
2 2 40 150 6,000
2 3 20 200 4,000
3 3 30 150 4,500
รวม 800 21,500
20 30
50
35
40 20
35 40 30
288
3.9 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
200
100
X13
300
โรงงานท 2
X21
X22
350
350
โรงงานท 3
X31
150
X33
150
อปสงครวม 200 250 350 800
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 20 200 4,000
1 2 30 100 3,000
2 3 20 350 7,000
3 2 40 150 6,000
รวม 800 20,000
20 30
50
35
40 20
35 40 30
289
3.10 ตารางเรมตนของปญหา
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
เครองจกรท 1
X11
X12
X13
200
เครองจกรท 2
X21
X22
X23
300
เครองจกรท 3
X31
X32
X33
500
อปสงครวม 300 450 250 1,000
ผลเฉลยเรมตน ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
เครองจกรท 1
200
X12
X13
200
เครองจกรท 2
100
200
X23
300
เครองจกรท 3
X31
250
250
500
อปสงครวม 300 450 250 1,000
ผลเฉลยเหมาะสมทสด
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
เครองจกรท 1
X11
X12
200
200
เครองจกรท 2
300
X22
X23
300
เครองจกรท 3
X31
450
50
500
อปสงครวม 300 450 250 1,000
5 4
4
6
7 3
3 5 4
5 4
4
6
7 3
3 5 4
5 4
4
6
7 3
3 5 4
290
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
เครองจกรท ถง
คลงสนคาท 1 3 6 200 1,200
2 1 4 300 1,200
3 2 5 450 2,250
3 3 4 50 200
รวม 1,000 4,850
291
แบบฝกหดบทท 4
4.1 ตารางเรมตนของปญหาการขนสง
ถง
จาก คลงสนคาท 1 คลงสนคาท 2
คลงสนคา
เทยม (ท 3)
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
X13
150
โรงงานท 2
X21
X22
X23
300
โรงงานท 3
X31
X32
X33
150
อปสงครวม 100 250 250 600
4.2 ตารางเรมตนของปญหาการขนสง
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
X13
300
โรงงานท 2
X21
X22
X23
200
โรงงานเทยม
(ท 3)
X31
X32
X33
350
อปสงครวม 250 300 300 850
30 20
40
10
50 30
10 20
30 40
20 50
0
0
0
0 0 0
292
4.3 ตารางเรมตนของปญหาการขนสง
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
X13
200
โรงงานท 2
X21
X22
X23
150
โรงงานท 3
X31
X32
X33
250
โรงงานเทยม
(ท 4)
X41
X42
X43
300
อปสงครวม 300 350 250 900
4.4 ตารางเรมตนของปญหาการขนสง
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม(ท 4)
อปทาน
รวม
โรงงานท 1
X11
X12
X13
X14
300
โรงงานท 2
X21
X22
X23
X24
250
โรงงานท 3
X31
X32
X33
X34
250
อปสงครวม 100 300 200 200 800
40 20
50
10
20 60
30 20 40
0 0 0
40 20 10
50 20 60
30 20 40
0
0
0
293
4.5 ตารางเรมตนของปญหาการขนสง
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
X13
300
โรงงานท 2
X21
X22
X23
150
โรงงานท 3
X31
X32
X33
150
โรงงานท 4
X41
X42
X43
200
โรงงานเทยม
(ท 5)
X51
X52
X53
200
อปสงครวม 400 250 350 1,000
4.6 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 4.1
4.6.1 ตารางผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ
ถง
จาก คลงสนคาท 1 คลงสนคาท 2
คลงสนคา
เทยม(ท 3)
อปทานรวม
โรงงานท 1
100
50
X13
150
โรงงานท 2
X21
200
100
300
โรงงานท 3
X31
X32
150
150
อปสงครวม 100 250 250 600
20 20
50
30
60 70
20 40 50
20 10 40
0 0 0
10 20
30 40
20 50
0
0
0
294
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 10 100 1,000
1 2 20 50 1,000
2 2 40 200 8,000
2 3 0 100 0
3 3 0 150 0
รวม 600 10,000
4.6.2 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการสเตปปงสโตน
ถง
จาก คลงสนคาท 1 คลงสนคาท 2
คลงสนคา
เทยม(ท 3)
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
150
X13
150
โรงงานท 2
X21
100
200
300
โรงงานท 3
100
X32
50
150
อปสงครวม 100 250 250 600
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 2 20 150 3,000
2 2 40 100 4,000
2 3 0 200 0
3 1 20 100 2,000
3 3 0 50 0
รวม 600 9,000
10 20
30 40
20 50
0
0
0
295
4.7 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 4.2
4.7.1 ตารางผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
200
100
300
โรงงานท 2
X21
X22
200
200
โรงงานเทยม
(ท 3)
250
100
X33
350
อปสงครวม 250 300 300 850
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 2 20 200 4,000
1 3 10 100 1,000
2 3 30 200 6,000
3 1 0 250 0
3 2 0 100 0
รวม 850 11,000
30 20
40
10
50 30
0 0 0
296
4.7.2 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
200
100
300
โรงงานท 2
X21
X22
200
200
โรงงานเทยม
(ท 3)
250
100
X33
350
อปสงครวม 250 300 300 850
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 2 20 200 4,000
1 3 10 100 1,000
2 3 30 200 6,000
3 1 0 250 0
3 2 0 100 0
รวม 850 11,000
30 20
40
10
50 30
0 0 0
297
4.8 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 4.3
4.8.1 ตารางผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
200
X12
X13
200
โรงงานท 2
100
50
X23
150
โรงงานท 3
X31
250
X33
250
โรงงานเทยม
(ท 4)
X41
50
250
300
อปสงครวม 300 350 250 900
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 40 200 8,000
2 1 50 100 5,000
2 2 20 50 1,000
3 2 20 250 5,000
4 2 0 50 0
4 3 0 250 0
รวม 900 19,000
40 20
50
10
20 60
30 20 40
0 0 0
298
4.8.2 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
200
X12
X13
200
โรงงานท 2
X21
150
X23
150
โรงงานท 3
50
200
X33
250
โรงงานเทยม
(ท 4)
50
X42
250
300
อปสงครวม 300 350 250 900
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 40 200 8,000
2 2 20 150 3,000
3 1 30 50 1,500
3 2 20 200 4,000
4 1 0 50 0
4 3 0 250 0
รวม 900 16,500
40 20
50
10
20 60
30 20 40
0 0 0
299
4.9 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 4.4
4.9.1 ตารางผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม (ท 4)
อปทาน
รวม
โรงงานท 1
X11
100
200
X14
300
โรงงานท 2
X21
50
X23
200
250
โรงงานท 3
100
150
X33
X34
250
อปสงครวม 100 300 200 200 800
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 2 20 100 2,000
1 3 10 200 2,000
2 2 20 50 1,000
2 4 0 200 0
3 1 30 100 3,000
3 2 20 150 3,000
รวม 800 11,000
40 20 10
50 20 60
30 20 40
0
0
0
300
4.9.2 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการสเตปปงสโตน
ถง
จาก
คลงสนคา
ท 1
คลงสนคา
ท 2
คลงสนคา
ท 3
คลงสนคา
เทยม(ท 4)
อปทาน
รวม
โรงงานท 1
X11
100
200
X14
300
โรงงานท 2
X21
50
X23
200
250
โรงงานท 3
100
150
X33
X34
250
อปสงครวม 100 300 200 200 800
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 2 20 100 2,000
1 3 10 200 2,000
2 2 20 50 1,000
2 4 0 200 0
3 1 30 100 3,000
3 2 20 150 3,000
รวม 800 11,000
40 20 10
50 20 60
30 20 40
0
0
0
301
4.10 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 4.5
4.10.1 ผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
300
X12
X13
300
โรงงานท 2
100
50
X23
150
โรงงานท 3
X31
150
X33
150
โรงงานท 4
X41
50
150
200
โรงงานเทยม
(ท 5)
X51
X52
200
200
อปสงครวม 400 250 350 1,000
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 20 300 6,000
2 1 50 100 5,000
2 2 60 50 3,000
3 2 40 150 6,000
4 1 10 50 500
4 3 40 150 6,000
5 3 0 200 0
รวม 800 26,500
20 20
50
30
60 70
20 40 50
20 10 40
0 0 0
302
4.10.2 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
100
50
150
300
โรงงานท 2
150
X22
X23
150
โรงงานท 3
150
X32
X33
150
โรงงานท 4
X41
200
X43
200
โรงงานเทยม
(ท 5)
X51
X52
200
200
อปสงครวม 400 250 350 1,000
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 20 100 2,000
1 2 20 50 1,000
1 3 30 150 4,500
2 1 50 150 7,500
3 1 20 150 3,000
4 2 10 200 2,000
5 3 0 200 0
รวม 800 20,000
20 20
50
30
60 70
20 40 50
20 10 40
0 0 0
303
4.11 ตารางเรมตนของปญหาการขนสง
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
X11
X12
X13
250
โรงงานท 2
X21
X22
X23
450
โรงงานท 3
X31
X32
X33
200
โรงงานเทยม
(ท 4)
X41
X42
X43
200
อปสงครวม 300 350 450 1,100
4.11.1 ผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
250
X12
X13
250
โรงงานท 2
50
350
50
450
โรงงานท 3
X31
X32
200
200
โรงงานเทยม
(ท 4)
X41
X42
200
200
อปสงครวม 300 350 450 1,100
20 30
50
35
40 20
35 45 30
0 0 0
20 30
50
35
40 20
35 45 30
0 0 0
304
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 20 250 5,000
2 1 50 50 2,500
2 2 40 350 14,000
2 3 20 50 1,000
3 3 30 200 6,000
4 3 0 200 0
รวม 1,100 28,500
4.11.2 ผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
250
X12
X13
250
โรงงานท 2
X21
X22
450
450
โรงงานท 3
50
150
X33
200
โรงงานเทยม
(ท 4)
X41
200
X43
200
อปสงครวม 300 350 450 1,100
20 30
50
35
40 20
35 45 30
0 0 0
305
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 20 250 5,000
2 3 20 450 9,000
3 1 35 50 1,750
3 2 45 150 6,750
4 2 0 200 0
รวม 1,100 22,500
4.12 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน
ถง
จาก
คลงสนคาท 1
คลงสนคาท 2
คลงสนคาท 3
อปทานรวม
โรงงานท 1
250
X12
X13
250
โรงงานท 2
X21
X22
450
450
โรงงานท 3
50
150
X33
200
โรงงานเทยม
(ท 4)
X31
200
X33
200
อปสงครวม 300 350 450 1,100
20 30
50
35
40 20
35 45 30
0 0 0
306
แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา
คาขนสง/หนวย
(บาท/หนวย)
จ านวนสนคา
(หนวย)
คาขนสงรวม
(บาท) จาก
โรงงานท ถง
คลงสนคาท 1 1 20 250 5,000
2 3 20 450 9,000
3 1 35 50 1,750
3 2 45 150 6,750
4 2 0 200 0
รวม 1,100 22,500
307
แบบฝกหดบทท 5
5.1 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 2.5X11 + 1X12 + 1.5X21 + 3X22 เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 = 1
X21 + X22 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 = 1
X12 + X22 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2 และ j = 1, 2
ตารางตนทนเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2
สนคาชนดท 1 1.5 0
สนคาชนดท 2 0 1.5
5.2 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 1.5X11 + 3X12 + 0X13 + 2X21 + 2.5X22 + 0X23 + 3.5X31 + 2X32 + 0X33
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 = 1
X21 + X22 + X23 = 1
X31 + X32 + X33 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 = 1
X12 + X22 + X32 = 1
X13 + X23 + X33 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3
308
ตารางตนทนเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรเทยม (ท 3) สนคาชนดท 1 0 1 0
สนคาชนดท 2 0.5 0.5 0
สนคาชนดท 3 2 0 0
5.3 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 3X11 + 5X12 + 2.5X13 + 2.5X21 + 4.5X22 + 3.5X23
+ 0X31 + 0X32 + 0X33 เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 = 1
X21 + X22 + X23 = 1
X31 + X32 + X33 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 = 1
X12 + X22 + X32 = 1
X13 + X23 + X33 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3
ตารางตนทนเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 0.5 2.5 0
สนคาชนดท 2 0 2 1
สนคาเทยม(ชนดท3) 0 0 0
309
5.4 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 4X11 + 5.5X12 + 3X13 + 3.5X21 + 2.5X22 + 4X23
+ 2.5X31 + 2X32 + 5.5X33
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 = 1
X21 + X22 + X23 = 1
X31 + X32 + X33 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 = 1
X12 + X22 + X32 = 1
X13 + X23 + X33 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3
ตารางตนทนเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 0.5 2.5 0
สนคาชนดท 2 0.5 0 1.5
สนคาชนดท 3 0 0 3.5
5.5 ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 6X11 + 4.5X12 + 3.5X13 + 0X14 + 4.5X21 + 2.5X22 + 5X23 + 0X24
+ 2.5X31 + 3X32 + 5.5X33 + 0X34 + 3X41 + 5X42 + 2.5X43 + 0X44
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 = 1
X41 + X42 + X43 + X44 = 1
310
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 + X41 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 = 1
X14 + X24 + X34 + X44 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3, 4
ตารางตนทนเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรเทยม (ท 4) สนคาชนดท 1 3.5 2 1 0
สนคาชนดท 2 2 0 2.5 0
สนคาชนดท 3 0 0.5 3 0
สนคาชนดท 4 0.5 2.5 0 0
5.6 ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 4X11 + 3.5X12 + 5.5X13 + 3.5X14 + 3.5X21 + 5.5X22 + 6X23 + 7X24 + 6.5X31 + 6X32 + 5X33 + 4.5X34 + 0X41 + 0X42 + 0X43 + 0X44
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 = 1
X41 + X42 + X43 + X44 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 + X41 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 = 1
X14 + X24 + X34 + X44 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3, 4
311
ตารางตนทนเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 0.5 0 2 0
สนคาชนดท 2 0 2 2.5 3.5
สนคาชนดท 3 2 1.5 0.5 0
สนคาเทยม(ชนดท4) 0 0 0 0
5.7 ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 8X11 + 4X12 + 5.5X13 + 3.5X14 + 3.5X21 + 6.5X22 + 6X23 + 5X24 + 6.5X31 + 5X32 + 7X33 + 8X34 + 5X41 + 7X42 + 8X43 + 4X44
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 = 1
X41 + X42 + X43 + X44 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 + X41 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 = 1
X14 + X24 + X34 + X44 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3, 4
ตารางตนทนเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 4.5 0.5 0 0
สนคาชนดท 2 0 3 0.5 1.5
สนคาชนดท 3 1.5 0 0 3
สนคาชนดท 4 1 3 2 0
312
5.8 ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 4X11 + 3.5X12 + 5.5X13 + 6.5X14 + 0X15 + 5.5X21 + 6.5X22 + 7X23
+ 5X24 + 0X25 + 4.5X31 + 6X32 + 4X33 + 6X34 + 0X35 + 5X41 + 8X42 + 4.5X43 + 5.5X44 + 0X45 + 6X51 + 4.5X52 + 5X53 + 3.5X54 + 0X55
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1
X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1
X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 + X41 + X51 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1
X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1
X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4, 5 และ j = 1, 2, 3, 4, 5
ตารางตนทนเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกร
ท 1
เครองจกร
ท 2
เครองจกร
ท 3
เครองจกร
ท 4
เครองจกร
เทยม (ท 5) สนคาชนดท 1 0 0 1.5 3 0
สนคาชนดท 2 1.5 3 3 1.5 0
สนคาชนดท 3 0.5 2.5 0 2.5 0
สนคาชนดท 4 1 4.5 0.5 2 0
สนคาชนดท 5 2 1 1 0 0
313
5.9 ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 12X11 + 13X12 + 11.5X13 + 14.5X14 + 10.5X15 + 11X21 + 12.5X22 + 13X23 + 10X24 + 12X25 + 15.5X31 + 20X32 + 15X33 + 18X34 +14X35 + 10X41 + 9.5X42 + 9X43 + 12X44 + 12.5X45 + 0X51 + 0X52 + 0X53
+ 0X54 + 0X55
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1
X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1
X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 + X41 + X51 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1
X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1
X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4, 5 และ j = 1, 2, 3, 4, 5
ตารางตนทนเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกร
ท 1
เครองจกร
ท 2
เครองจกร
ท 3
เครองจกร
ท 4
เครองจกร
ท 5
สนคาชนดท 1 1.5 2.5 1 14.5 4
สนคาชนดท 2 1 2.5 3 0 2
สนคาชนดท 3 1.5 6 1 4 0
สนคาชนดท 4 1 0.5 0 3 3.5
สนคาเทยม(ชนดท5)
0
0
0
0
0
314
5.10 ฟงกชนจดประสงค
(minimize) P = 20X11 + 30X12 + 10.5X13 + 10.5X14 + 11.5X15 + 11X21 + 12.5X22 + 13X23 + 21X24 + 18X25 + 15.5X31 + 22X32 + 21X33 + 18X34 + 15.5X35 + 15X41 + 14.5X42 + 20X43 + 25X44 + 17X45 + 0X51 + 0X52 + 0X53 + 0X54 + 0X55
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1
X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1
X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 + X41 + X51 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1
X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1
X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4, 5 และ j = 1, 2, 3, 4, 5
ตารางตนทนเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกร
ท 1
เครองจกร
ท 2
เครองจกร
ท 3
เครองจกร
ท 4
เครองจกร
ท 5
สนคาชนดท 1 9.5 11.5 0 0 1
สนคาชนดท 2 11 1.5 2 10 7
สนคาชนดท 3 0 6.5 5.5 2.5 0
สนคาชนดท 4 0.5 0 5.5 10.5 2.5
สนคาชนดท 5 1.5 4.5 2.5 0 4.5
315
5.11 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 2.5X11 + 1X12 + 1.5X21 + 3X22 เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 = 1
X21 + X22 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 = 1
X12 + X22 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2 และ j = 1, 2
ตารางก าไรเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2
สนคาชนดท 1 0 1.5
สนคาชนดท 2 1.5 0
5.12 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 1.5X11 + 3X12 + 0X13 + 2X21 + 2.5X22 + 0X23
+ 3.5X31 + 2X32 + 0X33 เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 = 1
X21 + X22 + X23 = 1
X31 + X32 + X33 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 = 1
X12 + X22 + X32 = 1
X13 + X23 + X33 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3
316
ตารางก าไรเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรเทยม (ท 3) สนคาชนดท 1 1.5 0 0.5
สนคาชนดท 2 0.5 0 0
สนคาชนดท 3 0 1.5 1
5.13 ฟงกชนจดประสงค
(maximize) P = 3X11 + 5X12 + 2.5X13 + 2.5X21 + 4.5X22 + 3.5X23
+ 0X31 + 0X32 + 0X33 เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 = 1
X21 + X22 + X23 = 1
X31 + X32 + X33 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 = 1
X12 + X22 + X32 = 1
X13 + X23 + X33 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3
ตารางก าไรเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 2 0 2.5
สนคาชนดท 2 2 0 1
สนคาเทยม(ชนดท3) 0 0 0
317
5.14 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 4X11 + 5.5X12 + 3X13 + 3.5X21 + 2.5X22 + 4X23
+ 2.5X31 + 2X32 + 5.5X33
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 = 1
X21 + X22 + X23 = 1
X31 + X32 + X33 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 = 1
X12 + X22 + X32 = 1
X13 + X23 + X33 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3
ตารางก าไรเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 1 0 2.5
สนคาชนดท 2 0 1.5 0
สนคาชนดท 3 2.5 3.5 0
5.15 ตวแบบก าหนดการเชงเสน
ฟงกชนจดประสงค
(maximize) P = 6X11 + 4.5X12 + 3.5X13 + 0X14 + 4.5X21 + 2.5X22 + 5X23 + 0X24
+ 2.5X31 + 3X32 + 5.5X33 + 0X34 + 3X41 + 5X42 + 2.5X43 + 0X44
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 = 1
X41 + X42 + X43 + X44 = 1
318
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 + X41 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 = 1
X14 + X24 + X34 + X44 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3, 4
ตารางก าไรเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรเทยม(ท 4) สนคาชนดท 1 0 1.5 2.5 1
สนคาชนดท 2 0.5 2.5 0 0
สนคาชนดท 3 3 2.5 0 0.5
สนคาชนดท 4 2 0 2.5 0
5.16 ฟงกชนจดประสงค
(maximize) P = 4X11 + 3.5X12 + 5.5X13 + 3.5X14 + 3.5X21 + 5.5X22 + 6X23 + 7X24 + 6.5X31 + 6X32 + 5X33 + 4.5X34 + 0X41 + 0X42 + 0X43 + 0X44
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 = 1
X41 + X42 + X43 + X44 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 + X41 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 = 1
X14 + X24 + X34 + X44 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3, 4
319
ตารางก าไรเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 1.5 2 0 2
สนคาชนดท 2 3.5 1.5 1 0
สนคาชนดท 3 0 0.5 1.5 2
สนคาเทยม(ชนดท4) 0 0 0 0
5.17 ฟงกชนจดประสงค
(maximize) P = 8X11 + 4X12 + 5.5X13 + 3.5X14 + 3.5X21 + 6.5X22 + 6X23 + 5X24 + 6.5X31 + 5X32 + 7X33 + 8X34 + 5X41 + 7X42 + 8X43 + 4X44
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 = 1
X41 + X42 + X43 + X44 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 + X41 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 = 1
X14 + X24 + X34 + X44 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3, 4
ตารางก าไรเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 0 4 2.5 4.5
สนคาชนดท 2 3 0 0.5 1.5
สนคาชนดท 3 1.5 3 1 0
สนคาชนดท 4 3 1 0 4
320
5.18 ฟงกชนจดประสงค
(maximize) P = 4X11 + 3.5X12 + 5.5X13 + 6.5X14 + 0X15 + 5.5X21 + 6.5X22 + 7X23
+ 5X24 + 0X25 + 4.5X31 + 6X32 + 4X33 + 6X34 + 0X35 + 5X41 + 8X42 + 4.5X43 + 5.5X44 + 0X45 + 6X51 + 4.5X52 + 5X53 + 3.5X54 + 0X55
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1
X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1
X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 + X41 + X51 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1
X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1
X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4, 5 และ j = 1, 2, 3, 4, 5
ตารางก าไรเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกร
ท 1
เครองจกร
ท 2
เครองจกร
ท 3
เครองจกร
ท 4
เครองจกร
เทยม (ท 5) สนคาชนดท 1 2.5 3 1 0 0.5
สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0 2 1
สนคาชนดท 3 1.5 0 2 0 0
สนคาชนดท 4 3 0 3.5 2.5 2
สนคาชนดท 5 0 1.5 1 2.5 0
321
5.19 ฟงกชนจดประสงค
(maximize) P = 12X11 + 13X12 + 11.5X13 + 14.5X14 + 10.5X15 + 11X21 + 12.5X22 + 13X23 + 10X24 + 12X25 + 15.5X31 + 20X32 + 15X33 + 18X34 +14X35 + 10X41 + 9.5X42 + 9X43 + 12X44 + 12.5X45 + 0X51 + 0X52 + 0X53
+ 0X54 + 0X55
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1
X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1
X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 + X41 + X51 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1
X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1
X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4, 5 และ j = 1, 2, 3, 4, 5
ตารางก าไรเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกร
ท 1
เครองจกร
ท 2
เครองจกร
ท 3
เครองจกร
ท 4
เครองจกร
ท 5
สนคาชนดท 1 1 0 1.5 8.5 2.5
สนคาชนดท 2 2 0.5 0 3 1
สนคาชนดท 3 4.5 0 5 2 6
สนคาชนดท 4 2.5 3 3.5 0.5 0
สนคาเทยม(ชนดท5)
0
0
0
0
0
322
5.20 ฟงกชนจดประสงค
(maximize) P = 20X11 + 30X12 + 10.5X13 + 10.5X14 + 11.5X15 + 11X21 + 12.5X22 + 13X23 + 21X24 + 18X25 + 15.5X31 + 22X32 + 21X33 + 18X34 + 15.5X35 + 15X41 + 14.5X42 + 20X43 + 25X44 + 17X45 + 0X51 + 0X52 + 0X53 + 0X54 + 0X55
เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน
X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1
X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1
X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1
2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 + X41 + X51 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1
X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1
X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1
Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j
Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4, 5 และ j = 1, 2, 3, 4, 5
ตารางก าไรเสยโอกาส
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกร
ท 1
เครองจกร
ท 2
เครองจกร
ท 3
เครองจกร
ท 4
เครองจกร
ท 5
สนคาชนดท 1 0 0 10.5 11.5 10.5
สนคาชนดท 2 8 8.5 7 0 3
สนคาชนดท 3 4.5 0 0 4 6.5
สนคาชนดท 4 8 10.5 4 0 8
สนคาชนดท 5 1 0 1 4.5 0
323
5.21 จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานใน ขอ 5.1 – 5.10
5.21.1 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 2.5 หรอ 2,500 บาท X12 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2
X21 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
ตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2
สนคาชนดท 1 1.5 0
สนคาชนดท 2 0 1.5
5.21.2 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 3.5 หรอ 3,500 บาท X11 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1
X23 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3
X32 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
ตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรเทยม(ท 3) สนคาชนดท 1 0 1 0
สนคาชนดท 2 0.5 0.5 0
สนคาชนดท 3 2 0 0
5.21.3 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 5 หรอ 5,000 บาท X13 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3
X21 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1
X32 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
324
ตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 0.5 2.5 0
สนคาชนดท 2 0 2 1
สนคาเทยม(ชนดท3) 0 0 0
5.21.4 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 8 หรอ 8,000 บาท X13 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3
X22 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 2
X31 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
ตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 0.5 2.5 0
สนคาชนดท 2 0.5 0 1.5
สนคาชนดท 3 0 0 3.5
5.21.5 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 11 หรอ 11,000 บาท X13 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 4
X22 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 2
X31 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1
X43 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 3
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
ตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรเทยม(ท 4) สนคาชนดท 1 3.5 2 1 0
สนคาชนดท 2 2 0 2.5 0
สนคาชนดท 3 0 0.5 3 0
สนคาชนดท 4 0.5 2.5 0 0
325
5.21.6 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 11.5 หรอ 11,500 บาท X12 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2
X21 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1
X34 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 4
X43 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 3
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
ตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสด ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 0.5 0 2 0
สนคาชนดท 2 0 2 2.5 3.5
สนคาชนดท 3 2 1.5 0.5 0
สนคาเทยม(ชนดท4) 0 0 0 0
5.21.7 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 18 หรอ 18,000 บาท X13 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3
X21 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1
X32 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2
X44 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 4
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
ตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 4.5 0.5 0 0
สนคาชนดท 2 0 3 0.5 1.5
สนคาชนดท 3 1.5 0 0 3
สนคาชนดท 4 1 3 2 0
326
5.21.8 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 16 หรอ 16,000 บาท X12 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2
X25 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 5
X31 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1
X43 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 3
X54 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 5 ใหเครองจกรท 4
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
ตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกร
ท 1
เครองจกร
ท 2
เครองจกร
ท 3
เครองจกร
ท 4
เครองจกร
เทยม (ท 5) สนคาชนดท 1 0 0 2 3 1
สนคาชนดท 2 0.5 2 2.5 0.5 0
สนคาชนดท 3 0 2 0 2 0.5
สนคาชนดท 4 0 3.5 0 1 0
สนคาชนดท 5 2 1 1.5 0 1
5.21.9 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 45 หรอ 45,000 บาท X11 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1
X24 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 4
X35 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 5
X43 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 3
X52 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 5 ใหเครองจกรท 2
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
327
ตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกร
ท 1
เครองจกร
ท 2
เครองจกร
ท 3
เครองจกร
ท 4
เครองจกร
ท 5
สนคาชนดท 1 0 1 0 14 4
สนคาชนดท 2 0 1.5 2.5 0 2.5
สนคาชนดท 3 0 4.5 0 3.5 0
สนคาชนดท 4 0.5 0 0 3.5 4.5
สนคาเทยม(ชนดท5)
0
0
0.5
1
1.5
5.21.10 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 53.5 หรอ 53,500 บาท X13 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3
X22 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 2
X35 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 5
X41 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 1
X54 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 5 ใหเครองจกรท 4
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
ตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกร
ท 1
เครองจกร
ท 2
เครองจกร
ท 3
เครองจกร
ท 4
เครองจกร
ท 5
สนคาชนดท 1 9 11.5 0 1 0.5
สนคาชนดท 2 9 0 0.5 9.5 5
สนคาชนดท 3 0 7 6 4 0
สนคาชนดท 4 0 0 5.5 11.5 2
สนคาชนดท 5 0 3.5 1.5 0 3
328
5.22 จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานในขอ 5.11 – 5.20
5.22.1 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 5.5 หรอ 5,500 บาท X11 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1
X22 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 2
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
ตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2
สนคาชนดท 1 0 1.5
สนคาชนดท 2 1.5 0
5.22.2 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 6.5 หรอ 6,500 บาท X12 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2
X23 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3
X31 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
ตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรเทยม (ท 3) สนคาชนดท 1 1.5 0 0.5
สนคาชนดท 2 0.5 0 0
สนคาชนดท 3 0 1.5 1
5.22.3 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 8.5 หรอ 8,500 บาท X12 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2
X23 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3
X31 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
329
ตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสด
ถง จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 1 0 1.5
สนคาชนดท 2 1 0 0
สนคาเทยม(ชนดท3) 0 1 0
5.22.4 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 14.5 หรอ 14,500 บาท X12 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2
X21 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1
X33 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
ตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3
สนคาชนดท 1 1 0 2.5
สนคาชนดท 2 0 1.5 0
สนคาชนดท 3 2.5 3.5 0
5.22.5 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 16.5 หรอ 16,500 บาท X11 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1
X24 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 4
X33 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3
X42 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 2
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
ตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรเทยม(ท 4) สนคาชนดท 1 0 1.5 2.5 1
สนคาชนดท 2 0.5 2.5 0 0
สนคาชนดท 3 3 2.5 0 0.5
สนคาชนดท 4 2 0 2.5 0
330
5.22.6 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 19 หรอ 19,000 บาท X13 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3
X24 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 4
X31 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1
X42 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 2
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
ตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสด ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 1.5 2 0 2
สนคาชนดท 2 3.5 1.5 1 0
สนคาชนดท 3 0 0.5 1.5 2
สนคาเทยม(ชนดท4) 0 0 0 0
5.22.7 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 30.5 หรอ 30,500 บาท X11 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1
X22 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 2
X34 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 4
X43 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 3
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
ตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4
สนคาชนดท 1 0 4 2.5 4.5
สนคาชนดท 2 3 0 0.5 1.5
สนคาชนดท 3 1.5 3 1 0
สนคาชนดท 4 3 1 0 4
331
5.22.8 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 27.5 หรอ 27,500 บาท X14 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 4
X23 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3
X35 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 5
X42 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 2
X51 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 5 ใหเครองจกรท 1
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
ตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสด
ถง จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร เครองจกร
ท 1
เครองจกร ท 2
เครองจกร ท 3
เครองจกร ท 4
เครองจกร เทยม(ท 5)
สนคาชนดท 1 2.5 3 1 0 0.5
สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0 2 1
สนคาชนดท 3 1.5 0 2 0 0
สนคาชนดท 4 3 0 3.5 2.5 2
สนคาชนดท 5 0 1.5 1 2.5 0
5.22.9 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 57.5 หรอ 57,500 บาท X11 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1
X23 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3
X32 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2
X45 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 5
X54 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 5 ใหเครองจกรท 4
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
332
ตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสด ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกร
ท 1
เครองจกร
ท 2
เครองจกร
ท 3
เครองจกร
ท 4
เครองจกร
ท 5
สนคาชนดท 1 0 0 1.5 7.5 2
สนคาชนดท 2 1 0.5 0 2 0.5
สนคาชนดท 3 3.5 0 5 1 5.5
สนคาชนดท 4 2 3.5 4 0 0
สนคาเทยม(ชนดท5)
0
1
1
0
0.5
5.22.10 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 84 หรอ 84,000 บาท X11 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1
X25 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 5
X33 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3
X44 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 4
X52 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 5 ใหเครองจกรท 2
Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0
ตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสด
ถง
จาก
ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร
เครองจกร
ท 1
เครองจกร
ท 2
เครองจกร
ท 3
เครองจกร
ท 4
เครองจกร
ท 5
สนคาชนดท 1 0 0 10.5 14.5 13.5
สนคาชนดท 2 5 5.5 4 0 0
สนคาชนดท 3 4.5 0 0 7 6.5
สนคาชนดท 4 5 7.5 1 0 5
สนคาชนดท 5 1 0 1 7.5 0
333
ดชน
หนา
ก
การก าหนดขอบเขตของปญหา (bound) 17
การตดทมสมประสทธของตวแปรมคาเปนหนง (cuts with unit coefficients) 55,56
การตดแบบจ านวนเตม (all integer cuts) 55,76
การตดแบบผสม (mixed cuts) 55,99
การตดแบบเศษสวน (fractional cuts) 55,64,66
การแตกกงสาขาของปญหา (branching) 14,100
การท ายอนกลบ (backtracking) 15
การปดเศษ (round-off) 3
ก ำหนดกำรจ ำนวนเตม (integer programming) 1
ก ำหนดกำรเชงเสน (linear programming) 1
ก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม (linear integer programming) 1
ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทงหมด (all integer linear programming) 2
ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมแบบผสม (mixed integer linear programming) 2
ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมศนย-หนง (zero-one integer linear programming) 3
ก าหนดการเชงเสนแบบทวภาค (binary linear programming) 3,28
ค
คลงสนคาเทยม (dummy destination) 161
คำต ำสด (minimize) 1
คำสงสด (maximize) 1
คาเสยโอกาส (penalty cost) 127
ง
งานเทยม (dummy job) 230,246
เงอนไขบงคบ (constraint) 1
เงอนไขบงคบทตยภม (secondary constraint) 55
จ
จ านวนจ ากด (finite) 8
334
ดชน (ตอ)
หนา
ต
ตนทนเสยโอกาส (opportunity cost) 210
ตวแบบก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม (linear integer programming model) 1
ตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการขนสง (transportation problem model) 115
ตวแปรคอมพลเมนต (complement) 28
ตวแปรทตองกำรตดสนใจ (decision variable) 2
ตวแปรพนฐำน (basic variable) 12
ตวเลขทมคำเปนจ ำนวนเตม (integer number) 1
ตวเลขทมคำไมเปนจ ำนวนเตม (non-integer number) 3
ถ
แถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม (source row) 67,82
ท
ทศนยมของตวแปร (fractional value) 67
บ
ไบนาร (binnary) 203
ป
ปญหำกำรขนสง (transportation problem) 115
ปญหาการขนสงทสมดล (balanced transportation problem) 117
ปญหาการขนสงทไมสมดล (unbalanced transportation problem) 159
ปญหำกำรมอบหมำยงำน (assignment problem) 203
ปญหาการมอบหมายงานทสมดล (balanced assignment problem) 205,206
ปญหาการมอบหมายงานทไมสมดล (unbalanced assignment problem) 205,220
ปลายทาง (destination) 115
ผ
ผลเฉลยทเปนไปได (infeasible solution) 18,27
ผลเฉลยทไมเปนจ ำนวนเตม (non-integer solution) 1
ผลเฉลยเรมตน (initial feasible solution) 121
ผลเฉลยเหมำะสมทสด (optimal solution) 1,18
ผลเฉลยเหมาะสมทสดทเกดสภาพซอนสถานะ (degeneracy optimal solution) 188
335
ดชน (ตอ)
หนา
ว
วงจรปด (loop) 139,189
วธกรำฟ (graphical method) 3
วธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ (northwest corner rule method) 121
วธการแจงนบโดยตรง (exhaustive method) 8
วธการแจงนบโดยปรยาย (implicit method) 28
วธการตดพนทออก (cutting planes method) 55
วธการแตกกงสาขาและการก าหนดขอบเขต (branch and bound method) 11
วธการประมาณของโวเกล (Vogel’s Approximation Method) 127
วธการโมดฟายดสทรบวชน (modified distribution method) 138,148
วธการสเตปปงสโตน (stepping stone method) 138,139
วธซมเพลกซ (simplex method) 3
วธฮงกาเรยน (hungarian method) 209
ห
แหลงผลต (source) 115,203
ส
สภาพซอนสถานะ (degeneracy) 138,188
อ
อปทาน (supply) 115
อปสงค (demand) 115