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8 Das Bohrsche Atommodell
1. Einführung1.1. Quantenmechanik – versus klassische Theorien1.2. Historischer Rückblick
2. Kann man Atome sehen? Größe des Atoms3. Weitere Eigenschaften von Atomen: Masse, Isotopie4. Atomkern und Hülle: das Rutherfordexperiment5. Das Photon: Welle und Teilchen6. Teilchen als Welle (de Broglie)7. Heisenbergsche Unschärferelation8. Das Bohrsche Atommodell 8.1. Experimenteller Befund 1: Diskrete Spektren
8.2. Experimenteller Befund 2: Franck Hertz Versuch8.3. Model: Die Bohrschen Postulate8.4. Veranschaulichung des Models 1: Rydbergatome8.5. Korrektur durch endliche Kernmasse8.6. Veranschaulichung des Models 2: Myonische Atome8.7. Veranschaulichung des Models 3: Positronium, Antiwasserstoff8.8. Weitere Korrektur: Sommerfeld8.9. Bohrmodell und DeBroglie Wellen8.10. Die Grenzen des Bohrmodells
9. Grundlagen der Quantenmechanik
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9. Grundlagen der Quantenmechanik
9.1. Operatoren, Messwerte9.2. Zeitabhängige und stationäre Schrödingergleichung9.3. Beispiel 1: Ebene Wellen als Lösung der Potentialfreien Schrödingergleichung9.4. Beispiel 2: Der unendliche Potentialtopf9.5. Beispiel 3: Die Potentialstufe9.6. Der Tunneleffekt
9.6.1. Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen9.6.2. Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop
9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator
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Klassische Mechanik Quantenmechanik Teilchen Punkt im Phasenraum Wellenfunktion
komplexwertig(r,t)
normierbar s 2(x) dx =1stetig differenzierbar
Evolutionsgleichung
Hamilton Gleichungen Schrödingergleichung
Messgrössen
Funktionen von r,p Operatoren
Ort: x(t)
Impuls mv(t)=m dx(t)/dt
Drehimpuls L=
X (Multiplikation mit x)
Energie (Hamilton-Funktion)
)(),( rVm
pprHE
2
2
Drehimpulsoperator
Hamiltonoperator
)(),(ˆ rVm
irH 2
H2
Basis
Abgeleitet,allgemein:ersetzt x,p durchOperatoren
Messung:Jede Einzelmessung kannals Zahlenwert nur die Eigenwerte des Operatorsliefern.Beispiel 1: ImpulsEigewertgleichung:
Beispiel 2: Energie:H (x) = E (x)
Energieeigenwerte(Diskrete Energien)
Energieoperator
Wellengleichung für ein Teilchenim Potentzial V(r)Zeitabhängige SG daraus folgtmit (r),t)=(r) eiE/~ t die stationäre SG,siehe extra slide
Prinzip 2:
Jeder physikalischen Größe A(r, p) (“Observable“), die eine Funktion von Ort r und Impuls p eines Teilchens ist, entspricht ein Differentialoperator Â, den man erhält, indem man p durch -iħ ersetzt:
Prinzip 1:9. Grundlagen der Quantenmechanik
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Zeitabhängige Schrödingergleichung:Komplexwertige Wellenfunktion (x,t) Beispiel: deBroglie Ebene Welle
A(x,t) = A0 cos(kx - t)
Ansatz:
Für zeitunabhängiges Potential
Wie kommt man drauf?Geraten, aber naheliegend!Wieso ist das die Energie?Zunächst nur Konstante die E heisstDimension Energie: ~ == Energie*ZeitGesamtenergie klärt sich bei Anwendung
9. Grundlagen der Quantenmechanik
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Zeitabhängige Schrödingergleichung:Komplexwertige Wellenfunktion (x,t) Beispiel: deBroglie Ebene Welle
A(x,t) = A0 cos(kx - t)
Für zeitunabhängiges Potential
9. Grundlagen der Quantenmechanik
Stationäre Schrödingergleichung
Für zeitunabhängiges Potential
Ansatz:
Linear: wenn a(x) und b(x) Lösungen sindLöst auch
x) = A * a(x) + B * b(x)
Bsp: Überlagerungen von Ebenen Wellen zu Wellenpaketen
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Zeitabhängige Schrödingergleichung:Komplexwertige Wellenfunktion (x,t) Beispiel: deBroglie Ebene Welle
A(x,t) = A0 cos(kx - t)
Für zeitunabhängiges Potential
9. Grundlagen der Quantenmechanik
Stationäre Schrödingergleichung
Für zeitunabhängiges Potential
Ansatz:
Beispiel 1: V(x)=0 Allgemeiner Ansatz: (x)=Aeikx + B e-ikx
löst:
Kinetische EnergieKonstante EIst dieEnergie des Systems(da V(x)=0 nur kinetische Energie)
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Zeitabhängige Schrödingergleichung:Komplexwertige Wellenfunktion (x,t) Beispiel: deBroglie Ebene Welle
A(x,t) = A0 cos(kx - t)
Für zeitunabhängiges Potential
9. Grundlagen der Quantenmechanik
Stationäre Schrödingergleichung
Für zeitunabhängiges Potential
Ansatz:
Beispiel 1: V(x)=0 Allgemeiner Ansatz: (x)=Aeikx + B e-ikx
löst:
Beispiel 1: V(x)=0 Allgemeiner Ansatz: (x)=Aeikx + B e-ikx
Mit Zeitabhängigkeit:
löst:
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9. Grundlagen der Quantenmechanik
Beispiel 2: Unendlicher Potentialkasten
V(x)=0 für 0·x¸L1 sonst
(x)=Aeikx + B e-ikx
(x·0)=(x¸L)=0
(x=0) = 0 ) A+B=0 ) (x)=A(eikx - e-ikx)=2iA sin(kx)
Randbedingung 1
(x=L) = 2iA sin(kL) = 0) kL= n (n=1,2,3 ...)
Rand-bedingung 2
Quantenzahlen n
Stationäre Wellenfunktionen in der Box:
N ist nicht Anzahl der KnotenN=0 ist psi=o kein Teilchen
Mögliche Energieniveaus in der Box:
fehlte
Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
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9. Grundlagen der Quantenmechanik
Stationäre Wellenfunktionen in der Box:
Mögliche Energieniveaus in der Box:
Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
Bemerkungen:1) Nur feste Impulse2) Nullpunktsenergie (steigt wenn L->0)3) Woher kommt die Quantisierung??4) Zeitentwicklung der Zustände?
hängt von En (n2) ab!
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9. Grundlagen der Quantenmechanik
Stationäre Wellenfunktionen in der Box:
Mögliche Energieniveaus in der Box:
Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
Bemerkungen:1) Nur feste Impulse2) Nullpunktsenergie (steigt wenn L->0)3) Woher kommt die Quantisierung??4) Zeitentwicklung der Zustände?
hängt von En (n2) ab!
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9. Grundlagen der Quantenmechanik
Visualisierung der Zeitabhängikeit der Zustände:a) Eigenzustände haben keine Zeitabhängikkeit der Aufenthaltswahrscheinlichkeit
http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/en/stationary.html
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Real Imaginärteil
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9. Grundlagen der Quantenmechanik
Stationäre Wellenfunktionen in der Box:
Mögliche Energieniveaus in der Box:
Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
Bemerkungen:1) Nur feste Impulse2) Nullpunktsenergie (steigt wenn L->0)3) Woher kommt die Quantisierung??4) Zeitentwicklung der Zustände?
5) Was passiert wenn manandere Energie, Wellenfunktionerzwingt?z.B. Barriere aufziehen?
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9. Grundlagen der Quantenmechanik
Imagine a quantum particle initially described by a Gaussian wave packet centered at the middle of a square box, with momentum zero. WAS PASSIERT??
http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/potential.htm
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9. Grundlagen der QuantenmechanikTeilchen mit Anfangsimpuls in 2 dim Potentialtopf
http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/potential.htm
(kx , ky) = (0.86 , 0.5)
(x , y) = (2 , 2)
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9. Grundlagen der Quantenmechanik
Stationäre Wellenfunktionen in der Box:
Mögliche Energieniveaus in der Box:
Wichtigste Lehre aus dem Beispielunendlicher Potentialtopf:
Quantenzahlen, und die Quantisierungeiner Größe sind Folge der Randbedingungenund der Forderung nach Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Am Beispiel der Potentialtopf ist dies ohneexplizites Lösen der Schrödingergleichungersichtlich, bei „echten“ Potentialen ist diesetwas versteckter, das Prinzip ist aber gleich.
Ausblick: Die Quantisierung des Drehimpulses wird sichauch herausstellen als Folge von Randbedingungen,allerdings nicht des Potentials, sondern aus der Rotation
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9. Grundlagen der Quantenmechanik
9.1. Operatoren, Messwerte9.2. Zeitabhängige und stationäre Schrödingergleichung9.3. Beispiel 1: Ebene Wellen als Lösung der Potentialfreien Schrödingergleichung9.4. Beispiel 2: Der unendliche Potentialtopf9.5. Beispiel 3: Die Potentialstufe9.6. Der Tunneleffekt
9.6.1. Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen9.6.2. Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop
9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator
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(II)
Bereich (II):
Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
11.4. Potentialstufe
x
E(x
)
E0
(I)
Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A eikx + B e-ikx
2
(x)=C ex + D e-x
(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )
I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)
) ik(A-B)=(C-D) (ii)
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9. Grundlagen der Quantenmechanik
reel ) C=0 weil sonst II(x!1) divergiert
(II)(I)
Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
11.4. Potentialstufe
x
E(x
)
E0
Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A eikx + B e-ikx
Bereich (II):
2
(x)=C ex + D e-x
(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )
I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)
) ik(A-B)=(C-D) (ii)
Fall a) E<E0
C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)= (A+B) )
Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:
ik+ik-
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(II)(I)
Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
11.4. Potentialstufe
x
E(x
)
E0
Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A eikx + B e-ikx
Bereich (II):
2
(x)=C ex + D e-x
(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )
I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)
) ik(A-B)=(C-D) (ii)
Fall a) E<E0
reel ) C=0 weil sonst II(x!1) divergiert
C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)= (A+B) )
Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:
ik+ik-
1. Potentialwall reflektiert vollständig2. Wellenfunktion dringt in den klassisch verbotenen Bereich ein
Energieerhaltung??? E t > ~
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(II)(I)
Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
11.4. Potentialstufe
x
E(x
)
E0
Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A eikx + B e-ikx
Bereich (II):
2
(x)=C ex + D e-x
(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )
I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)
) ik(A-B)=(C-D) (ii)
Fall b) E>E0
klassisch: Teilchen fliegt mit verminderter Geschwindigkeit weiter
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(x)=C eik‘x + D e-ik‘x D=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen
D=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k‘ (A+B) )
(II)(I)
Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
11.4. Potentialstufe
x
E(x
)
E0
Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A eikx + B e-ikx
Bereich (II):
2
(x)=C ex + D e-x
(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )
I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)
) ik(A-B)=(C-D) (ii)
Fall b) E>E0
![Page 22: 8 Das Bohrsche Atommodell 1.Einführung 1.1. Quantenmechanik – versus klassische Theorien 1.2. Historischer Rückblick 2.Kann man Atome sehen? Größe des](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bec29/html5/thumbnails/22.jpg)
(II)(I)
Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
11.4. Potentialstufe
x
E(x
)
E0
Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A eikx + B e-ikx
Bereich (II):
2
(x)=C ex + D e-x
I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)
) ik(A-B)=-(C-D) (ii)
Fall b) E>E0
(x)=C e-ik‘x + D eik‘x C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen
C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k‘ (A+B) )
1. Auch wenn E>E0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_0)2. Wellenfunktion
|A|2
|B|2
|D|2
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(II)(I)
Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
11.4. Potentialstufe
x
E(x
)
E0
Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A eikx + B e-ikx
Bereich (II):
2
(x)=C ex + D e-x
|A|2
|B|2
|D|2
(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )
I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)
) ik(A-B)=-(C-D) (ii)
1. Auch wenn E>E0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_0)2. Wellenfunktion
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9. Grundlagen der QuantenmechanikVeranschaulichung der Potentialstufe mit Wellenpaketen:
gausspaket-auf-potentialstufe-mit-halber-energie07_06b.mov
E = ½ Ekin
Ort
Impuls+ auf Stufe zu- reflektiert
Teilchen läuft mit doppelter Energie der Stufe auf die Stufe zuein klassisches Teilchen würde mit 1/2Ekin weiterlaufen!
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9. Grundlagen der QuantenmechanikVeranschaulichung der Potentialstufe mit Wellenpaketen:
Teilchen läuft “bergab”: klassisch würde es beschleunigt weiterlaufen
gausspaket-potentialstufe-bergab07_06c.mov
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9. Grundlagen der QuantenmechanikVeranschaulichung der Potentialstufe mit Wellenpaketen:
Potentialstufe in 2 Dimensionen
gausspaket-2dim-potentialstufe-07_08a.mov
Farbcode:Farbe: PhaseSättigung: Amplitude
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9. Grundlagen der Quantenmechanik9.6. Der Tunneleffekt
(II)(I)
x
E(x
)
E0
Idee: kann man die Welle “freisetzen”??
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9. Grundlagen der Quantenmechanik9.6. Der Tunneleffekt
(I) (II) (III)
x0 a
E0
(x)=A eikx + B e-ikx
(x)=A‘ eikx
Randbedingungen:
I(0)=II(0) , II(a)=III(a)
Transmissionskoeffizient (E<E0)
für a >>1(dicke Barriere)
10-4
10-3
10-2
10-1
100
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
T
ENERGY (eV)
Höhe 0.3eV, Breite 1nm
(x)=C ex + D e-x
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9. Grundlagen der Quantenmechanik9.6. Der Tunneleffekt
Transmission hängt ab von:1. Barrierenhöhe (Exponentiell)2. Barrierenbreite a3. Masse
Makroskopisch irrelevant
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9. Grundlagen der Quantenmechanik9.6. Der Tunneleffekt
Ekin<E
Fragen:1. Energieerhaltung ???2. Wie lange braucht das Teilchen?
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9. Grundlagen der Quantenmechanik9.6. Der Tunneleffekt
9.6.1. Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen
Alpha Zerfall: Pollonium 212Po -> + 208Pb + 8.78 MeV
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuclear/alptun2.html#c1
208Pb
He
Kernkräfte
Coulombabstossung
1012 Tunnel-wahrscheinlichkeit
Coulomb versus Kasten!
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9. Grundlagen der Quantenmechanik9.6.1. Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen
9.6.2. Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop
•Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional•Dämpfung!!!•Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation)
Elektronen in Metallspitzequasi frei
Wand: Potentialstufe
Zwischenraum: Potentialbarriere
x
0 a
Spitze
Substrat
Zwischenraum
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9. Grundlagen der Quantenmechanik9.6.1. Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen
9.6.2. Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop
•Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional•Dämpfung!!!•Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation)
STM-still07_18a.mov
STM-scanning07_18c.mov
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9. Grundlagen der Quantenmechanik9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator
Klassische Lösung: harmonische SchwingungOszillation zwischen Ekin und Epot
Stationäre Schrödingergleichung:
Potential:
Enn2
E(x
)E0
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9. Grundlagen der Quantenmechanik9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator
Klassische Lösung: harmonische SchwingungOszillation zwischen Ekin und Epot
Stationäre Schrödingergleichung:
Potential:
(x)
(x)|2
Substituiere:
Lösung für C=1
E=1/2 ~
Gausskurve:1. Tunnels in den klassich verbotenen Bereich2. Maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei 0 (Hier ist klassisch ein Minimum!)
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9. Grundlagen der Quantenmechanik9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator
Klassische Lösung: harmonische SchwingungOszillation zwischen Ekin und Epot
Stationäre Schrödingergleichung:
Potential:
(x)
(x)|2
Substituiere:
Lösung für C=1
E=1/2 ~
Hermitesche Polynome
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9. Grundlagen der Quantenmechanik
Harmonischer Oszillator:1. Energieniveus äquidistant (~)2. Nullpunkstenergie 1/2 (~)
Kastenpotential:En n2
Bohrsche Atom: En 1/n2
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9. Grundlagen der QuantenmechanikRayleigh, Jeans Strahlungsgesetzt
Plancks Annahme: harmonischer Oszillator kann nicht kontinuierlich absorbieren, sonder nur E= nh diskret
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9. Grundlagen der QuantenmechanikVergleich QM – Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit
=20
=4
=0
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9. Grundlagen der Quantenmechanik
Überlagerung von Zuständen 0,1
Ort
Impuls
05_03c.mov
Merke:Grosse Auslenkung
Kleiner mittleren Impuls!
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9. Grundlagen der Quantenmechanik
Kohärenter Zustand: Versuch den klassischen Oszillator nachzubilden
Gauss:läuft NICHT ausseinander(dank Potential)
Wellenpaket im Impuls undOrtsraum
05_10c.mov