Download - 8 Central Potential
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-1
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
8 Central Potential เนอหา 8.1 Introduction 8.2 Orbital Angular Momentum Operator 8.3 เซตของ Commuting Observables 8.4 Position Space ในพกดทรงกลม 8.5 Eigen State ของ Hamiltonian 8.6 Application - Nuclear Magic Number 8.7 Eigen State ของ ˆzL และ 2L 8.8 Application - Coulomb Potential 8.9 บทสรป 8.10 ปญหาทายบท
8.1 Introduction
ระบบทางฟสกสจานวนไมนอย ทอยภายใตอทธพลของพลงงานศกยซงมความสมมาตรในแนวรศม ยกตวอยางเชน อะตอมซงประกอบดวยอเลกตรอนและนวเคลยส โดยทอเลกตรอนจะอยภายใตอทธพลของ Coulomb interaction ระหวางประจลบของตวมน และประจบวกของโปรตอนทอยภายในนวเคลยส หรอเขยนใหอยในรปของสมการไดวา
2
0( )
4e ZV r
rπε= − (SI unit) _____________________ สมการ (8.1)
เมอ Z คอ atomic number ของนวเคลยส ซงแสดงถงจานวนของโปรตอนทบรรจอยภายใน และ r คอระยะทางระหวางอเลกตรอนและนวเคลยส โดยทเรากาหนดใหนวเคลยสของอะตอม อย ณ จดกาเนดพอด จากสมการ (8.1) จะเหนวา พลงงานศกยดงกลาวขนอยกบระยะทางของอนภาคจากจดกาเนดเพยงเทานน เราเรยกระบบทอยภายใตอทธพลของพลงงานศกยเชนนวา central potential และจะเปนประเดนหลกของเนอหาในบทน
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-2
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
central potential ( ) ( )V V r=r _____________________ สมการ (8.2) ซงจะสงผลให Hamiltonian operator ของระบบอยในรปของ
2ˆˆ ( )2pH V rm
= + _____________________ สมการ (8.3)
เนองจากสสารทกชนดทเราพบเหน ลวนประกอบดวยอะตอมทงสน การทเราสามารถนา quantum mechanics มาใชในการวเคราะหใหเหนถงพฤตกรรมในแงตางๆของอะตอม จงมความสาคญยง และจะเปนพนฐานทจาเปนในการศกษาระบบทซบซอนมากขน อาทเชนโมเลกล, ผลก, หรอ สมบตของวสด เปนตน ขอมลชนสาคญทไดจากการคานวณเชง quantum mechanics นอกจากระดบพลงงานของโมเลกลแลว กคอการกระจายตวของกลมหมอกอเลกตรอน เนองจากความกาวหนาทางวทยาการคอมพวเตอร ประกอบกบงานวจยเชงทฤษฏในดาน quantum chemistry ทาใหนกวทยาศาสตรสามารถทจะประมาณคาตอบของ Schrödinger equation ของโมเลกลขนาดใหญขน ซงผลลพธทไดกคอความนาจะเปนทจะพบอเลกตรอน ณ ตาแหนงตางๆ หรอทเรยกวา กลมหมอกอเลกตรอนนนเอง
กลมหมอกอเลกตรอนจากการถายภาพโดย STM เปรยบเทยบกบผลการคานวณ
Experimental
Quantum
กลมหมอกอเลกตรอนจากการถายภาพโดย STM เปรยบเทยบกบผลการคานวณ
Experimental
Quantum
ภาพ (8.1) [credit: Moresco and Gourdon, "Scanning tunneling microscopy experiments on single molecular landers". PNAS, Vol 102:8809-8814]
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-3
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
ภาพ (8.1) แสดงกลมหมอกอเลกตรอนจากการถายภาพโดย scanning tunneling microscope เปรยบเทยบกบผลการคานวณทไดจากทฤษฏ quantum mechanics โมเลกลทปรากฏเปนสารประกอบ hydrocarbon ทชอ pentacene ซงมโครงสรางทางเคมดงแสดงในภาพ (geometry) ภาพของกลมหมอกทอยภายใตชอ homo และ lumo โดยคราวๆแลวมความหมายเปนการกระจายตวของอเลกตรอนทมระดบพลงงานแตกตางกน สาหรบการคานวณเชง quantum mechanics นนเปนผลจากทฤษฏหนงทชอ density functional theory หรอ DFT ซงตอยอดออกมาจากฐานของ quantum mechanics และถงแมเนอหาของ DFT จะอยนอกเหนอจากขอบเขตของหนงสอเลมน ภาพทปรากฏใหเหนดงกลาว กจะเปนสงททาใหนกศกษาไดเหนถงเนอหาทนาตนเตนของ quantum mechanics ซงรออยในอนาคต ถานกศกษาตดสนใจทจะทางานวจยในดานน อยางไรกตาม central potential มไดจากดอยแตในปรากฏการณทางฟสกสในระดบของอะตอม ซง
มขนาดอยทประมาณ 1010− meter แตเพยงเทานน พฤตกรรมของนวเคลยสเอง ซงมขนาดเลกกวาอะตอมถง 1 แสนเทา (หรอราว 1 femto-meter) กสามารถทจะอธบายไดดวย central potential ของ nuclear force ซงเปนแรงทยดเหนยวใหโปรตอนและนวตรอนสามารถอยรวมกนได โดยทเราจะวกกลบมาวเคราะหระบบทเลกในระดบนวเคลยสในโอกาสตอไป ภายหลงจากทเราไดเขาใจในกลไกทางคณตศาสตรซง quantum mechanics ใชเปนเครองมอในการวเคราะห central potential เรยบรอยแลว
Position Space in 3 Dimensions
เมอจะทาการวเคราะหพฤตกรรมของระบบดวย quantum mechanics เราจาเปนจะตองเลอก basis state พนฐานในการบรรยายถงสถานะของอนภาคนนๆ วธการทงายและเปนธรรมชาตทสดในการอธบายพฤตกรรมของมน กคอการตงคาถามวา อนภาคอย ณ ตาแหนงใด กาหนดให
r แทนสถานะของอนภาค ซงอย ณ ตาแหนง r _______________ สมการ (8.4) และโดยทวไปแลว เรามวธในการกากบตาแหนงของอนภาคใน 3 มตโดยอาศย Cartesian coordinate ดวยเหตนเอง ในการอธบายสถานะดงสมการ (8.4) เราอาจจะใชสญลกษณ
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-4
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
, ,x y z แทนสถานะของอนภาค ซงอย ณ ตาแหนง ˆ ˆ ˆx y z= + +r i j k _____ สมการ (8.5)
z
x
y
2( , , )x y z dxdydzψ =
ความนาจะเปน ทจะพบอนภาคอยภายในกลองขนาด ซงตงอย ณ ตาแหนง ( , , )x y z
dV dxdydz=
z
x
y
2( , , )x y z dxdydzψ =
ความนาจะเปน ทจะพบอนภาคอยภายในกลองขนาด ซงตงอย ณ ตาแหนง ( , , )x y z
dV dxdydz=ความนาจะเปน ทจะพบอนภาคอยภายในกลองขนาด ซงตงอย ณ ตาแหนง ( , , )x y z
dV dxdydz=
ทงน นกศกษาจะตองไมลมวา กลไกในการบงบอกถงตาแหนงของอนภาค มไดมเพยง Cartesian coordinate ทใชตวแปร ( , , )x y z เพยงอยางเดยวเทานน ณ ตาแหนงเดยวกนนเอง เราอาจจะใช spherical coordinate ซงกากบตาแหนงของอนภาคดวย ( , , )r θ ϕ หรอแมกระทงการใชตวแปร ( , , )zρ θ ในพกดกระบอก อยางนเปนตน อยางไรกตาม ในขนตนน เราจะใช Cartesian coordinate ในการกาหนดตาแหนงของอนภาค และจะวกกลบมากลาวถงประเดนของ spherical coordinate อกครงหนงเมอมความจาเปน เราทราบดวา quantum mechanics มองสถานะของระบบในแงของความนาจะเปน กลาวคอเราไมอาจจะทราบไดวา แทจรงแลวอนภาคทกาลงสนใจ อย ณ ตาแหนงใดกนแน เพราะฉะนนถากาหนดให Ψ แทนสถานะของอนภาค แลวเราสามารถเขยนสถานะของระบบใหอยในรป linear superposition ของ basis state ในสมการ (8.5) ไดดงตอไปน
( , , ) , ,dxdydz x y z x y zψΨ = ∫∫∫
หรอนยมเขยนแบบยอวา 3d ( )rψΨ = ∫ r r _______________ สมการ (8.6)
เมอ ( )ψ r คอ probability amplitude ของสถานะ r และดวยคานยามของฟงชนกดงกลาว สามารถตความไดวา
2 3( ) d rψ =r ความนาจะเปนทอนภาคจะมตาแหนงอยระหวาง x x dx→ + , y y dy→ + , และ z z dz→ +
_______________ สมการ (8.7)
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-5
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
และจากคานยามของ basis state ใน 3 มต ดงในสมการ (8.4) กด หรอในระบบของพกด Cartesian ในสมการ (8.5) กด กลไกของ operator ทเราเคยไดศกษามาแลวใน 1 มต อาทเชน position operator x , translation operator ˆ( )T a , หรอ แมกระทง momentum operator ˆ xp กสามารถนามาประยกตใชกบระบบใน 3 มตไดเชนเดยวกน ซงกคอ position operator x , y , และ z เปน operator ซงทาหนาทเสมอนกบการวดตาแหนงของอนภาค ตามแนวแกน x, y, และ z ตามลาดบ โดยเขยนใหอยในรปของสมการไดวา
x x=r r , y y=r r , และ z z=r r _______________ สมการ (8.8) momentum operator ˆ xp , ˆ yp , และ ˆ zp เปน operator ซงทาหนาทในการวด momentum ของ
อนภาคตามแนวแกนตางๆ และผลของ operator ดงกลาวทกระทากบสถานะใน 1 มตทเราไดศกษามาแลว สามารถเขยนใหอยในรปของ 3 มตไดดงน
ˆ ( , , )
ˆ ( , , )
ˆ ( , , )
x
y
z
p x y zi x
p x y zi y
p x y zi z
ψ
ψ
ψ
∂Ψ =
∂∂
Ψ =∂∂
Ψ =∂
r
r
r
__________________ สมการ (8.9)
translation operator ˆ ( )xT a , ˆ ( )yT a , และ ˆ ( )zT a เปน operator ทมผลทาใหสถานะของอนภาค
เลอนตาแหนงของมนตามแนวแกน x, y, หรอ z ไปเปนระยะทางเทากบ a หรออกนยหนง
ˆ ˆ( ) ( ) , , , ,ˆ ˆ( ) ( ) , , , ,
ˆ ˆ( ) ( ) , , , ,
x x
y y
z z
T a T a x y z x a y z
T a T a x y z x y a z
T a T a x y z x y z a
= = +
= = +
= = +
r
r
r
____________ สมการ (8.10)
นอกจากน ในกรณทการเลอนของตาแหนงมขนาดเลกมากๆ เปนระยะทางสนๆ aΔ หรอทเรยกวา infinitesimal translation เราสามารถเขยน translation operator ใหอยในรปทสมพนธอยกบ momentum operator ซงกคอ
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-6
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
ˆ ˆ( ) 1
ˆ ˆ( ) 1
ˆ ˆ( ) 1
x x
y y
z z
iT a p a
iT a p a
iT a p a
Δ = − Δ
Δ = − Δ
Δ = − Δ
_____________________ สมการ (8.11)
จากคานยามของ position operator , momentum operator, และ translation operator ดงกลาว ทาใหเราสามารถเขยนความสมพนธของ operator ตางๆเหลานใหอยในรปของ commutator ไดวา
[ ]ˆ ˆ, xx p i= , ˆ ˆ, yy p i⎡ ⎤ =⎣ ⎦ , และ [ ]ˆˆ, zz p i= ___________ สมการ (8.12)
สาหรบ operator ซงกระทาในแกนของพกด Cartesian ทตางกน ยกตวอยางเชน x และ ˆ yp นน
เราสามารถสลบลาดบทของการกระทากบสถานะใดๆได กลาวคอ
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 ,y y yxp p x x p⎡ ⎤− = = ⎣ ⎦
แบบฝกหด 8.1 จงพสจนวา
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,y x x yxp yp p i p⎡ ⎤− =⎣ ⎦ _________________ สมการ (8.13)
และ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,y x y xxp yp p i p⎡ ⎤− = −⎣ ⎦ _________________ สมการ (8.14)
ความสมพนธในเชง commutator ระหวาง position operator และ momentum operator ประกอบกบคานยามของ infinitesimal translation operator นเอง จะเปนพนฐานสาคญในการวเคราะห orbital angular momentum operator ในลาดบตอไป
8.2 Orbital Angular Momentum Operator
เมอครงทศกษาถงสมบตทเกยวของกบการหมนของระบบ หรอทเรยกวา angular momentum นน เราใชสญลกษณ ˆ ˆ ˆx y zJ J J≡ + +J แทน angular momentum โดยทวไปของระบบ ซงแยก
ออกเปนสองประเภทดวยกนคอ orbital angular momentum และ spin angular momentum กลาวคอ
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-7
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
= +J L S เราใชเวลาอยพอสมควรในการศกษา spin angular momentum ˆ ˆ ˆx y zS S S≡ + +S โดยเฉพาะอยาง
ยง ˆzS operator นน นอกจากจะมความหมายถง operator ในการวด spin angular momentum ตามแนวแกน z ของระบบแลว มนยงทาหนาเปน generator of rotation กลาวคอ มนเปนตนเหตททาให spin ของอนภาคมการหมนรอบแกน z เปนมม infinitesimal dϕ นนเอง
ˆˆ ˆ( ) 1 ziR d S dϕ ϕ= −k _________________ สมการ (8.15)
อยางไรกตาม rotation operator ดงปรากฏอยในสมการขางตน มผลแตเฉพาะตอสมบตเชง spin ของอนภาคเพยงเทานน โดยทเราใช orbital angular momentum ˆzL เปน generator of rotation ซงทาใหเกดการหมนของอนภาคใน 3 มตรอบแกน z ซงในการวเคราะหทผานมา เราไดหลกเลยงการกลาวถง rotation operator ทมผลตอการหมนของตาแหนงของอนภาค มาโดยตลอด ในทานองเดยวกนกบสมการ (8.15) เราสามารถนยาม infinitesimal rotation operator
ˆ ˆ ˆ( ) 1 ziR d L dϕ ϕ= −k _________________ สมการ (8.16)
เมอ
ˆzL คอ 1) operator ในการวด orbital angular momentum ตามแนวแกน z 2) generator of rotation รอบแกน z
_________________ สมการ (8.17)
ขอแตกตางทสาคญระหวางสมการ (8.15) และสมการ (8.16) กคอ ˆ1 zi S dϕ⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠ อธบายการหมน
ของ spin ในขณะท ˆ1 zi L dϕ⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠ เปนการหมนของตาแหนงของอนภาคใน 3 มต และในลาดบ
ตอไปเราจะใชคานยามของ ˆzL ในสมการ (8.17) มาเปนเงอนไขในการเขยน ˆzL ใหอยในรปของ position และ momentum operator
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-8
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
ˆzL ในรปของ Position และ Momentum Operator
ภาพ (8.2) แสดงการหมนของตาแหนงของอนภาครอบแกน z เมอพจารณาในระนาบ x-y สมมตวาแตเดม ตาแหนงของอนภาคกคอ ( , )x y ซงทามมกบแกน x เทากบ α ณ ตาแหนงดงกลาวนเอง
ระยะหางของอนภาคจากจดกาเนดมคาเปน 2 2x yρ = + เมอเกดการหมนรอบแกน z ปรากฏวาอนภาคอย ณ ตาแหนงใหม ( , )x y′ ′ และเนองจากการหมนเปนมม dϕ ดงกลาว ระยะหางของอนภาคจากแกน z (หรอรศม) จะตองคงท เพราะฉะนนแลว
( ) ( )2 2cos cosx d x y dρ α ϕ α ϕ′ = + = + + _________________ สมการ (8.18) และ
( ) ( )2 2sin siny d x y dρ α ϕ α ϕ′ = + = + + _________________ สมการ (8.19)
x
y
, ,x y z=rdϕ
, , , ,x y z x yd y xd zϕ ϕ′ ′ ′= = − +r
การเปลยนสถานะของอนภาคดวยการหมน ตาแหนงของมน รอบแกน z
การเปลยนสถานะของอนภาคดวยการหมน ตาแหนงของมน รอบแกน z
α x
y
, ,x y z=rdϕ
, , , ,x y z x yd y xd zϕ ϕ′ ′ ′= = − +r
การเปลยนสถานะของอนภาคดวยการหมน ตาแหนงของมน รอบแกน z
การเปลยนสถานะของอนภาคดวยการหมน ตาแหนงของมน รอบแกน z
α
ภาพ (8.2) แสดงการเปลยนตาแหนงของอนภาค เนองจากการหมนรอบแกน z เปนมมขนาดเลก และเมอเราพจารณาเฉพาะในกรณทมม dϕ มขนาดเลกมาก สมการ (8.18) และ สมการ (8.19) ลดรปลงเหลอ
x x ydϕ′ = − และ y y xdϕ′ = + _______________ สมการ (8.20) แบบฝกหด 8.2 จงพสจนสมการ (8.20) จากสมการ (8.18) และ (8.19)
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-9
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
กระบวนการในการหมนของตาแหนงทอนภาคตงอย จากสถานะ , ,x y z มาเปน , ,x yd y xd zϕ ϕ− + นน เปนผลของ infinitesimal rotation operator ในสมการ (8.16)
เพราะฉะนนแลว
ˆ ˆ, , ( ) , ,x yd y xd z R d x y zϕ ϕ ϕ− + = k _______________ สมการ (8.21) ถาสงเกตใหดจะพบวา การหมนเปนมมขนาดเลกดงกลาว ประกอบดวยสองขนตอนดวยกน คอ 1) translation ของอนภาคตามแนวแกน y เปนระยะทาง xdϕ หรอ ˆ ( )yT xdϕ
2) translation ของอนภาคตามแนวแกน x เปนระยะทาง ydϕ− หรอ ˆ ( )xT ydϕ− ดงนน infinitesimal rotation operator ˆ ˆ( )R dϕ k จงสามารถเขยนใหอยในรปของ translation operator ทงสองไดดงน
( ) ( )
( )
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ1 1
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) 1
x y
x y
y x
R d T yd T xd
i ip yd p xd
iR d xp yp d
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − −
k
k
_________ สมการ (8.22)
โดยทในสมการขางตน เราอาศยคานยามของ infinitesimal translation operator ดงปรากฏใน
สมการ (8.11) และตดเทอมทแปรผนกบ ( )2dϕ ทงไป และในทายทสดถาหากเราเปรยบเทยบสมการ (8.16) ซงเขยน infinitesimal rotation operator ใหอยในรปของ orbital angular momentum กบสมการ (8.22) ขางตน จะสรปไดวา
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆz y xL xp yp= − ____________________ สมการ (8.23)
สมการ (8.23) แสดงใหเหนถงความสมพนธของ orbital angular momentum operator ˆzL กบ position operator และ momentum operator และเปนความสมพนธทมประโยชนอยางมากในทางคณตศาสตร โดยเฉพาะอยางยงสมบตทเกยวของกบ commutator ระหวาง ˆzL และ operator อนๆ ยกตวอยางเชน ถาเราตองการพจารณา commutator ˆ ˆ,z xL p⎡ ⎤⎣ ⎦ กสามารถทาไดโดยการแทน ˆ ˆˆ ˆ ˆz y xL xp yp= − เขาไปใน commutator ซงจะทาให
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-10
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
[ ]
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,
z x y x x
y x x x
L p xp yp p
xp p yp p
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤= −⎣ ⎦
ˆ ˆ ˆ,z x yL p i p⎡ ⎤ =⎣ ⎦
เชนนเปนตน แบบฝกหด 8.3 จงพสจนสมบตตอไปนของ commutator
2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ, 0z x y zL p p p⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦ _________________ สมการ (8.24)
2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ, 0zL x y z⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦ __________________ สมการ (8.25)
และในทานองเดยวกนกบ ˆzL ดงในสมการ (8.23) เราสามารถเขยน ˆxL และ ˆyL ใหอยในรปของ
position operator และ momentum operator ไดเชนเดยวกน โดยเรมจากการพจารณาผลของการหมนเปนมมขนาดเลก รอบแกน x ในกรณของ ˆxL และ รอบแกน y ในกรณของ ˆyL และจะไดวา
ˆ ˆ ˆ ˆˆx z yL yp zp= − และ ˆ ˆ ˆˆˆy x zL zp xp= − _________________ สมการ (8.26)
เปนทนาสงเกตวา ความสมพนธขางตน สอดคลองกบคานยามของ angular momentum ในวชา classical mechanics ซงเขยนอยในรป vector ไดวา
classical
z yx
y x z
y xz
yp zpx py p zp xpz xp ypp
−⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥≡ × = × = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
L r p
อยางไรกตาม ถงแมบงเอญจะมรปแบบของความสมพนธทคลายกน ในทาง quantum mechanics เรานยาม orbital angular momentum โดยอาศยความสมพนธกบการหมนรอบแกนตางๆ ซงมไดเกยวของใดๆกบ cross product ของ vector r และ p แตอยางใด แบบฝกหด 8.4 จงพสจนสมบตตอไปนของ commutator
ˆ ˆ ˆ,x y zL L i L⎡ ⎤ =⎣ ⎦ _____________________ สมการ (8.27) ˆ ˆ ˆ,y z xL L i L⎡ ⎤ =⎣ ⎦ _____________________ สมการ (8.28)
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-11
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
ˆ ˆ ˆ,z x yL L i L⎡ ⎤ =⎣ ⎦ _____________________ สมการ (8.29)
2L ในรปของ Position และ Momentum Operator
นอกจากองคประกอบตามแนวแกน z ของ orbital angular momentum หรอ ˆzL แลวนน เราอาจจะมความตองการทราบเพยงขนาดของ orbital angular momentum โดยมไดสนใจวา vector ของ orbital angular momentum ดงกลาว ชไปในทศทางใดทศทางหนงโดยเฉพาะ เพราะฉะนนเรานยาม operator
2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆx y zL L L L≡ + + _____________________ สมการ (8.30)
เหมอนดงในกรณของ ˆzL ซงเราสามารถทจะเขยนใหอยในรปของ position operator และ momentum operator ได ดงปรากฏในสมการ (8.23) เรากสามารถเขยน 2L ใหอยในลกษณะเชนเดยวกนนได ซงกคอ
( )( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆx y z x y z x y zL x y z p p p xp yp zp i xp yp zp= + + + + − + + + + +
__________________ สมการ (8.31) หรอเขยนแบบยอๆไดวา
( )22 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆL r p r p i r p= − ⋅ + ⋅ __________________ สมการ (8.32)
เมอเรานยามใหสญลกษณตอไปนมความหมายเปน 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆr x y z≡ + + , 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆx y zp p p p≡ + + ,
และ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆx y zr p xp yp zp⋅ ≡ + + สาหรบเอกลกษณทางคณตศาสตรในสมการ (8.31) หรอ ทเขยน
อยางยอในสมการ (8.32) กด สามารถพสจนไดอยางไมยากเยนนก โดยเรมจากการเขยน
( ) ( ) ( )2 222 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆx y z z y x z y xL L L L yp zp zp xp xp yp≡ + + = − + − + −
และเมอทาการกระจายเทอม และจดกลมใหมจะไดวา
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-12
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
z z z y y z y y
x x x z z x z z
y y y x x y x x
z z y y x x z z y y x
L yp yp yp zp zp yp zp zp
zp zp zp xp xp zp xp xpxp xp xp yp yp xp yp yp
yp yp zp zp zp zp xp xp xp xp yp yp
= − − + +
− − + +
− − +
= + + + + +{ }{ }ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ
x
z y y z x z z x y x x yyp zp zp yp zp xp xp zp xp yp yp xp− + + + + +
__________________ สมการ (8.33) จะเหนวาสมการขางตนประกอบดวย 2 วงเลบดวยกน เราสามารถทจะใชสมบตของ commutator จดรปเทอมทอยภายในวงเลบปกกาอนแรกไดวา
{ }
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
ˆ ˆ
z z y y x x z z y y x x
z y x z y x
x y z x y z x y z x y z
yp yp zp zp zp zp xp xp xp xp yp yp
y p z p z p x p x p y p
x p p p y p p p z p p p x p y p z p
x y
+ + + + +
= + + + + +
= + + + + + + + + − − −
= + +( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆx y z x y zz p p p x p y p z p+ + − + +
ในขณะทเทอมในวงเลบปกกาอนทสองสามารถจดรปไดโดยอาศยสมบต ˆ ˆ ˆˆx xp x xp i= − , ˆ ˆ ˆ ˆy yp y yp i= − , และ ˆ ˆˆ ˆz zp z zp i= − ดงนนแลว
{ }( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 2
z y y z x z z x y x x y
z y y z x z
z x y x x y
y z x z x y x y
yp zp zp yp zp xp xp zp xp yp yp xp
y zp i p z yp i p z xp i p
x zp i p x yp i p y xp i p
yzp p xzp p xyp p i xp yp
+ + + + +
= − + − + − +
− + − + −
= + + − + +( )ˆ zzp
และเมอรวมวงเลบปกกาทงสองเขาดวยกน สมการ (8.33) จะอยในรปของ
( )( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 2
x y z x y z
y z x z x y x y z
L x y z p p p x p y p z p
yzp p xzp p xyp p i xp yp zp
= + + + + − + +
− + + + + +
สมการขางตนจะลดรปใหงายขนไปอก ถาเราใชเอกลกษณทวา
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-13
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
( )( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2
x y z
x y z y z x z x y x y z
xp yp zp
x p y p z p yzp p xzp p xyp p i xp yp zp
+ +
= + + + + + − + +
__________________ สมการ (8.34) แบบฝกหด 8.5 จงพสจนเอกลกษณในสมการ (8.34) ทาใหในทายทสดแลว
( )( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆx y z x y z x y zL x y z p p p xp yp zp i xp yp zp= + + + + − + + + + +
ซงกตรงกบสมการ (8.31) อยางไรกตาม การพสจนความสมพนธในสมการ (8.31) ดวยวธการกระจายเทอมตางๆออกมาโดยตรงนน คอนขางจะตองใชความรอบคอบและละเอยดพอสมควร เราสามารถทจะพสจนสมการเดยวกนน โดยใชอกวธหนงทมความซบซอนนอยกวา กลาวคอ ถาเราเปลยนการเรยกพกดในระบบ Cartesian ซงเดมเปน ( ), ,x y z ใหอยในรปแบบของสญลกษณ
( )1 2 3, ,x x x แทน เราจะเขยน orbital angular momentum ตามแกนตางๆไดวา
1 2 3 3 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆL x p x p= − , 2 3 1 1 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆL x p x p= − และ 3 1 2 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆL x p x p= − ____________ สมการ (8.35) หรอเขยนใหอยในรปทวไป
3 3
1 1
ˆ ˆ ˆi ijk j kj k
L x pε= =
= ∑ ∑ ____________ สมการ (8.36)
เมอ ijkε คอคาคงทซงอาจจะเปน 0, +1, หรอ -1 ขนอยกบดชน , ,i j k ทกากบมนอย และมชอเรยก
โดยทวไปวา permutation symbol ในทายทสดแลว การเขยนในรปของสมการขางตน มผลลพธทไดไมแตกตางจากสมการ (8.35) เพยงแตวาสมการ (8.36) มความกระชบมากกวาเทานน นอกจากน permutation symbol ijkε ยงมเอกลกษณหลายประการทสาคญ อาทเชน
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-14
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ){ }
01 , , 1, 2,3 , 2,3,1 , 3,1,2
1 , , 1,3, 2 , 3,2,1 , 2,1,3ijk
if i j j k k iif i j k
if i j k
ε
⎧ = ∨ = ∨ =⎪⎪= + ∈⎨⎪− ∈⎪⎩
____________ สมการ (8.37)
3 3
1 10ijk
i jε
= ==∑∑ ____________ สมการ (8.38)
3 3
1 12ipq jpq ij
p qε ε δ
= ==∑ ∑ ____________ สมการ (8.39)
3 3 3
1 1 16ijk ijk
i j kε ε
= = ==∑∑ ∑ ____________ สมการ (8.40)
3
1ijk imn jm kn jn km
iε ε δ δ δ δ
== −∑ ____________ สมการ (8.41)
[credit: Weisstein Eric W. "Permutation Symbol." MathWorld - A Wolfram Web Resource]
และจากสมการ (8.36) เราบอกไดวา
3 3 3 3 3 32 2
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 32
1 1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
i ijk j k imn m ni i j k m n
ijk imn j k m ni j k m n
L L x p x p
L x p x p
ε ε
ε ε
= = = = = =
= = = = =
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
=
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑∑∑ ∑ ∑
เนองจากเทอม ˆ ˆ ˆ ˆj k m nx p x p ไมขนอยกบดชน i เราสามารถจดกลมของ summation เสยใหม
ประกอบกบใช identity ในสมการ (8.41) ทาให
( )
3 3 3 3 32
1 1 1 1 13 3 3 3
1 1 1 13 3 3 3 3 3 3 3
2
1 1 1 1 1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ijk imn j k m nj k m n i
jm kn jn km j k m nj k m n
jm kn j k m n jn km j k m nj k m n j k m n
L x p x p
x p x p
L x p x p x p x p
ε ε
δ δ δ δ
δ δ δ δ
= = = = =
= = = =
= = = = = = = =
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
= −
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑∑ ∑ ∑
∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑
ถงแม summation ขางตนจะมเทอมทบวกกนอยเปนจานวนมาก ดวยสมบตของ Kronecker delta function จะมเฉพาะบางเทอมทไมเทากบศนย ดงนน
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-15
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
( ) ( )
3 3 3 32
1 1 1 13 3 3 3
1 1 1 13 3 3 3 3 3
2 2 2
1 1 1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
j k j k j k k jj k j k
j j k kj k j k j k jkj k j k
j k j j j j k k j jj k j j k j
L x p x p x p x p
x x p i p x p p x i
L x p i x p x p p x i x p
δ δ
= = = =
= = = =
= = = = = =
= −
= − − +
= − − −
∑ ∑ ∑ ∑
∑∑ ∑∑
∑∑ ∑ ∑∑ ∑
แตเทอมท 3 ในสมการขางตน สามารถจดรปเสยใหมไดวา
( )3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3j j k k j j k k j j k k j j
j k j k j k jx p p x x p x p i x p x p i x p
= = = = = = == − = −∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑
เพราะฉะนนแลว
3 3 3 3 32 2 2
1 1 1 1 1
3 3 3 3 32 2
1 1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
j k j j k k j jj k j k j
j k j j k k j jj k j k j
L x p x p x p i x p
x p x p x p i x p
= = = = =
= = = = =
= − +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
ทงนถาเรานยาม 2 2 2 2
1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆr x x x≡ + + , 2 2 2 21 2 3ˆ ˆ ˆ ˆp p p p≡ + + , และ 1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆr p x p x p x p⋅ ≡ + +
จะสามารถเขยนสมการขางตนอยางยอๆใหอยในรปของ
( )22 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆL r p r p i r p= − ⋅ + ⋅ ซงกไดผลลพธตรงกนกบสมการ (8.32) ไมวาเราจะทาการพสจนแบบกระจายเทอมออกมาโดยตรงเหมอนในวธแรก หรอการใช permutation symbol ijkε เขาชวยเหมอนดงวธทสอง กตาม
Commutator 2ˆ ˆ ˆ ˆ, 0 ,zL H L H⎡ ⎤⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ สมบตเชงคณตศาสตรทสาคญอกประการหนงของ ˆzL และ 2L กคอ operator ทงสอง ตางก commute กบ Hamiltonian ของระบบ central potential โดยในขนตนนเราจะเพยงพสจนเฉพาะ
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-16
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
เอกลกษณทางคณตศาสตรดงกลาวน แตจะขามการวเคราะหใหเหนถงความหมายในทางฟสกสไปกอน เมอพจารณา Hamiltonian operator ของระบบทเปน central potential พบวา ประกอบดวยสองเทอมดวยกนคอ พลงงานจลน และ พลงงานศกย
2ˆˆ ( )2pH V rm
= +
เมอ 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆx y zp p p p≡ + + จากสมการ (8.24) จะเหนวา 2ˆ ˆ, 0zL p⎡ ⎤ =⎣ ⎦ เพราะฉะนนแลว ˆzL
จะตอง commute กบพลงงานจลนของระบบ กลาวคอ
2ˆˆ , 02zpLm
⎡ ⎤=⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦ ____________________ สมการ (8.42)
สวนในกรณของพลงงานศกย ( )V r ถานยามตวแปร 2rξ ≡ และเขยน ( )V r ใหอยในรปของ ( ) ( )V r V ξ= จากนนเราสามารถกระจายใหอยในรปของ Taylor expansion ไดวา
2
220 0 0
0 0
1 1( ) ( ) ( ) ( )1! 2!
1 ( )!
nn
nn
V V V V
Vn
ξ ξ ξ
ξ
ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ
ξ ξξ
= = =
∞
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞∂⎜ ⎟=⎜ ⎟∂⎝ ⎠
∑
จากสมการ (8.25) เราทราบวา ˆzL commute กบ 2 2 2ˆ ˆ ˆx y zξ = + + เพราะฉะนน
ˆ , 0nzL ξ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ เมอ n คอเลขจานวนเตม 0,1,2, …
และถาพจารณา commutator ระหวาง ˆzL กบพลงงานศกย ( ) ( )V r V ξ= จะพบวา
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-17
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
0 00 0 0
1 1ˆ ˆ ˆ, ( ) , ( ) ( ) ,! !
n nn n
z z zn nn n
L V r L V V Ln n
ξ ξ
ξ ξ ξ ξξ ξ
∞ ∞
= == = =
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∑
ดงนน
ˆ , ( ) 0zL V r⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ____________________ สมการ (8.43)
เนองจาก orbital angular momentum ตามแนวแกน z commute กบทงพลงงานจลนและพลงงานศกย จงสรปไดทนทวา
ˆ ˆ, 0zL H⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ____________________ สมการ (8.44)
และในกรณของ ˆxL และ ˆyL เราจะใชตรรกะของความสมมาตร กลาวคอ Hamiltonian operator
H มไดขนอยกบทศทางใด ทศทางหนงโดยเฉพาะ หากแตมความสมมาตรในแนวรศม เพราะฉะนนสมการ (8.44) เมอเปนจรงตามแนวแกน z แลว กจะตองเปนจรงตามแนวแกนอนๆดวย เพราะวาแกนทเรากาหนดขนวาเปน x, y, หรอ z นน เปนเพยงสงทสมมตขน ดงนน
ˆ ˆ ˆ ˆ, 0 ,x yL H L H⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ____________________ สมการ (8.45)
ในเมอไดขอสรปแลววา orbital angular momentum operator ทง 3 ลวน commute กบ Hamiltonian ของระบบ central potential ทงสน เราสามารถโยงความสมพนธดงกลาวไปยง operator 2L ไดดวยเชนกน กลาวคอ
2 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,x y z x y zL H L L L H L H L H L H⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + = + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
อาศยสมบตของ commutator ทวา ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , ,AB C A B C A C B⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ทาใหเราทราบวาเทอมทง 3 ท
ปรากฏอยทางขวามอของสมการขางตน ลวนมคาเปนศนย เพราะฉะนนแลว
2ˆ ˆ, 0L H⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ____________________ สมการ (8.46)
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-18
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
แบบฝกหด 8.6 จงพสจนวา 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 , , ,x y zL H L H L H⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
และภายหลงจากทไดพสจนใหเหนในเชงคณตศาสตร ถงความสมพนธเชง commutator ดงในสมการ (8.44) และ สมการ (8.46) เรยบรอยแลว ในลาดบตอไปเราจะไดกลาวถงนยสาคญทซอนอยเบองหลงเปลอกนอกของคณตศาสตรเหลาน
8.3 เซตของ Commuting Observables
quantum mechanics ใชกลไกของ operator ในการวดปรมาณทางฟสกส เราเรยกปรมาณเหลานวา observable อาทเชน ตาแหนง , momentum, angular momentum, หรอ พลงงาน เปนตน เราแทนกระบวนการในการวด observable เหลานดวย operator อาทเชน x , ˆ xp , ˆzL , หรอ H สมมตวาเรากาลงพจารณา operator ทใชแทนกระบวนการวด observable A และ B ใดๆ และปรากฏวา operator ทงสองนน commute หรอ ˆ ˆ, 0A B⎡ ⎤ =⎣ ⎦
ในทางตรงกนขาม ถาสมมตตอไปอกวา operator C มได commute กบ A กลาวคอ ˆ ˆ, 0A C⎡ ⎤ ≠⎣ ⎦
ผลลพธทจะตามมาในแงของการตความในเชง quantum mechanics นน มความสาคญมากทเราจาเปนจะตองทาความเขาใจนยสาคญทางฟสกส ทอยลกลงไปจากพนผวของคณตศาสตรทปรากฏ
ความเขาใจผดเกยวกบ operator และ Eigen Equation
กาหนดใหสถานะ r แทนสถานะของอนภาคทเราทราบแนชดวาอย ณ ตาแหนง r ซงถาเราใชพกด Cartesian ในการกากบตาแหนง กจะเขยนใหชดเจนยงขนไดวา
, ,x y z=r แทนสถานะของอนภาค ททราบแนชดวาอย ณ พกด ( ), ,x y z พจารณา operator x ทใชแทนกระบวนการวดตาแหนงตามแนวแกน x ของอนภาค แนนอนวาเราสามารถเขยนสมการในรปดงตอไปน
x x=r r ____________________ สมการ (8.47) ทางซายมอของสมการ แสดงถงกระบวนการวดพกดตามแนวแกน x ถาระบบอยในสถานะ r
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-19
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
ทางขวามอของสมการ แสดงถงผลลพธของการวด นนกคอ ไดคาตอบเทากบ x สมการ (8.47) เรยกอกอยางหนงวา eigen equation และใหสงเกตวาสถานะ r ปรากฏอยทงทางซายและขวามอของสมการดงกลาว นอกจากน เมอพจารณา operator ˆ xp ทใชแทนกระบวนการวด momentum ตามแนวแกน x ของอนภาค มนกศกษาอยจานวนไมนอยทอาศยสมการ (8.47) เปนตวอยาง และเขยน eigen equation อยางผดๆวา
Incorrect ! ˆ x xp p=r r ____________________ สมการ (8.48) ดวยความเขาใจทผดวา เมอนา operator ˆ xp เขาไปวด momentum ของสถานะ r แลวจะไดคา momentum xp ออกมาเปนผลลพธ เราจะอภปรายความผดพลาดของสมการขางตนใน 4 ประเดนดวยกน คอ
1) จาก Heisenberg uncertainty principle ทวา 2
x pΔ Δ ≥ นนกแสดงวา ถาเราทราบตาแหนงทแน
ชดของสถานะ r หรออกนยหนง ความคลาดเคลอนของการวดตาแหนง 0xΔ = ยอมหมายความวาสถานะดงกลาวมความคลาดเคลอนของการวด momentum pΔ = ∞ พดงายๆกคอ เราไมมทางทราบเลยวา momentum ของสถานะ r มคาเปนเทาใดกนแน นนกแสดงวา อนภาคทอยในสถานะ r ไมอาจจะม momentum xp ทแนนอนเปนสมบตเฉพาะตวของมนเอง ดงนนความพยายามในการเขยนสมการ (8.48) ดงกลาวจงไมถกตอง 2) ในเชงคณตศาสตร การเขยนสมการ (8.48) นน คลายกบจะพยายามจะสอความหมายวาสถานะ r เปน eigenstate ของ operator ˆ xp ซงในทางคณตศาสตรแลว เปนไปไมได
เนองจาก operator x และ ˆ xp ตางกไม commute กลาวคอ [ ]ˆ ˆ, 0xx p i= ≠ ดงนน operator ทงสองไมอาจจะม eigenstate รวมกนได และถาเรากาหนดให r เปน eigenstate ของ x ตงแตแรกเสยแลว มนกไมอาจจะเปน eigenstate ของ operator ˆ xp ไดอกตอไป
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-20
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
3) ในเชงฟสกส ถาพจารณา operator A ใดๆทใชวดปรมาณทางฟสกส การทเราจะเขยน eigen equation ในลกษณะ A aα α= ไดนน ยอมมความหมายทละไวในถานทเขาใจวา สถานะ α จะตองมสมบตเฉพาะตวทแนนอนคาหนง ซงมคาเทากบ a ยกตวอยางเชน
x x=r r แสดงวา สถานะ r มพกดตามแกน x ทแนนอน y y=r r แสดงวา สถานะ r มพกดตามแกน y ทแนนอน z z=r r แสดงวา สถานะ r มพกดตามแกน z ทแนนอน
4) จรงๆแลว เราสามารถคานวณผลของ operator ˆ xp ทกระทาตอสถานะ r ไดโดยใชความสมพนธระหวาง infinitesimal translation operator ˆ ( )xT aΔ และ momentum operator ˆ xp ได
จากการพจารณา ˆ ˆ( ) 1x xiT a p aΔ = − Δ ดงนน
ˆˆ ( )x xp T a
i a i a= − Δ
Δ Δ
และผลของ operator ˆ xp ทกระทากบสถานะ r กคอ
( )ˆˆ ( ) , , , , , ,x xp T a x y z x y z x a y zi a i a i a
⎛ ⎞= − Δ = + + Δ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠r
จะเหนวา สถานะผลลพธทได เปน linear superposition ระหวางสถานะทอนภาคอย ณ ตาแหนงเดม ผสมกบสถานะทอนภาคเลอนไปขางหนาเปนระยะทาง aΔ ดวยเหตเหลานเอง สมการ (8.48) จงไมถกตอง
Simultaneous Observables
ในกรณตวอยางของ position operator x และ momentum operator ˆ xp ทกลาวมาแลวขางตน เราสามารถสรปใหครอบคลมไปถงกรณทวไป โดยการพจารณา Hermitian operator A และ B ใดๆ (ซงเปนตวแทนของการวดปรมาณทางฟสกส ) ถาสมมตให operator A commute กบ operator B หรออกนยหนง ถา ˆ ˆ, 0A B⎡ ⎤ =⎣ ⎦ แลวผลลพธ
ทจะตามมากคอ ทงสอง operator ดงกลาวม eigenstate รวมกน ซงเขยนในรปของสมการไดวา
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-21
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
A aΠ = Π และ B bΠ = Π จากสมการขางตน จะเหนวาสถานะ Π เปน eigenstate ของ A ซงกหมายถงสถานะดงกลาวมปรมาณทางฟสกสทแทนดวย observable a ทชดเจนแนนอนคาหนง และสถานะ Π กยงเปน eigenstate ของ B ซงกหมายถงสถานะดงกลาวมปรมาณทางฟสกสทแทนดวย observable b ทชดเจนแนนอนคาหนง อกเชนกน ในเมอคาของ a และ b ตางกเปนสมบตเฉพาะตวของสถานะ Π จงไมแปลกทเราอาจจะเขยนสถานะดงกลาววา
,a bΠ = นกศกษาอาจจะมเพอนทมสมบตเฉพาะตวคอ เขาเปนคนทสงมาก และเพอนคนเดยวกนน ยงเปนคนมฐานะรารวยเปนพเศษ ในบางครงเราเอยถงเขาโดยอาศยสมบตเฉพาะตวทมอย และเรยกเพอนคนนวา เสย , โยง การทสถานะ Π สามารถมคาทง a และ b เปนสมบตเฉพาะตวพรอมๆกนได เราเรยกเหตการณในลกษณะนวา A และ B เปน simultaneous observables ซงจะเกดขนกตอเมอ ˆ ˆ, 0A B⎡ ⎤ =⎣ ⎦
เทานน
Eigen State ของระบบ Central Potential ในกรณของ Hamiltonian operator ซงใชในการวดระดบพลงงานของระบบ ถาสมมตใหสถานะ Ψ เปน eigenstate ของ H operator แลว จะไดวา
H EΨ = Ψ
เมอ E คอพลงงานของระบบ นอกจากน จากสมการ (8.46) เราทราบวา 2ˆ ˆ, 0L H⎡ ⎤ =⎣ ⎦
เพราะฉะนน Ψ ยอมตองเปน eigenstate ของ operator 2L ดวย กลาวคอ
( )2 2ˆ 1L l lΨ = + Ψ
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-22
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
เมอ l กคอเลข quantum number ของ orbital angular momentum สมการขางตนแสดงใหเหนวา
ระบบดงกลาวมขนาดของ orbital angular momentum เทากบ ( ) 21l l + (สาหรบนกศกษาทยง
ขาดความแมนยาในประเดนดงกลาว สามารถทบทวนเนอหาในบทท 3 Angular Momentum ได) ในกรณทวไปแลว angular momentum j สามารถทจะมคาไดทงทเปนเลขจานวนเตม และเปนครงหนงของจานวนเตม กลาวคอ
angular momentum 1 30, ,1, , 2,2 2
j ⎧ ⎫∈⎨ ⎬⎩ ⎭
แตในกรณของ orbital angular momentum l ซงเกยวของเฉพาะกบการหมนของอนภาคใน 3 มตนน มคาไดเฉพาะเปนเลขจานวนเตมเทานน หรออกนยหนง
orbital angular momentum { }0,1,2,l∈ โดยทเราจะไดกลาวถงเหตผลของขอจากดดงกลาวในโอกาสตอไป และในทายทสด เนองจาก Hamiltonian H commute กบ operator ˆzL ดงจะเหนไดจากสมการ (8.44) ทาให Ψ เปน eigenstate ของ ˆzL โดยปรยาย ดงนน
ˆzL mΨ = Ψ เมอ m กคอองคประกอบตามแนวแกน z ของ orbital angular momentum ซงคาของ m ทเปนไปไดนนมอยภายในชวงทจากด คอ ( ) ( ){ }, 1 , , 1 ,m l l l l∈ − − − + − +
และในเมอสถานะ Ψ มสมบตเฉพาะตวททราบคาแนชดอย 3 ปรมาณดวยกน 1) พลงงาน , 2) ขนาด orbital angular momentum , และ 3) องคประกอบตามแนวแกน z ของ orbital angular momentum เราจงอาจจะเรยก Ψ ดวยสมบตทมนมอยไดวา
ให , ,E l m เปนสถานะ eigenstate ของระบบ central potential โดยท ˆ , , , ,H E l m E E l m= ____________________ สมการ (8.49)
( )2 2ˆ , , 1 , ,L E l m l l E l m= + ____________________ สมการ (8.50) ˆ , , , ,zL E l m m E l m= ____________________ สมการ (8.51)
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-23
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
จากสมการทงสามขางตน จะพบวา , ,E l m แสดงถงสถานะของระบบทมสมบตเฉพาะตวพรอมๆกน 3 ประการดวยกนคอ 1) มพลงงานเทากบ E , 2) มขนาดของ orbital angular momentum เทากบ
( ) 21l l + , และ 3) มองคประกอบตามแนวแกน z ของ orbital angular momentum เปน m
ขอควรระวง เนองจากเราใชสญลกษณ m แทนมวลของอนภาค ในขณะเดยวกน m กอาจจะหมายถง องคประกอบตามแนวแกน z ของ orbital angular momentum นกศกษาจงควรระมดระวงเปนพเศษไมใหสบสน โดยดจากสภาพแวดลอมของสมการ เพอแยกแยะระหวางกรณทงสอง
8.4 Position Space ในพกดทรงกลม
ดงทไดเกรนไวแลววา การอธบายถงตาแหนงของอนภาค มไดจากดอยแตเพยง Cartesian coordinate เพยงเทานน ในขนนเราจะพยายามทจะใชพกดทรงกลม ในการกากบตาแหนงของอนภาค รวมไปถงการเขยน operator ตางๆอาทเชน 2L , และ ˆzL ใหอยในรปของ spherical coordinate
Spherical Coordinate
ในพกดทรงกลมดงแสดงใน ภาพ (8.3) เราอธบายตาแหนง r ของอนภาคดวยเซตของตวแปร 3 ตวดวยกนคอ ( ), ,r θ ϕ เมอ r ≡ ระยะหางของอนภาคจากจดกาเนด θ ≡ มมกมทกระทากบแกน z ϕ ≡ มมกวาด ทเงาซงทอดลงบนระนาบ x-y กระทากบแกน x
z
x
y
2 2( , , ) sinr r drd dψ θ ϕ θ θ ϕ =
ความนาจะเปน ทจะพบอนภาคอยภายในกลองขนาด ซงตงอย ณ ตาแหนง ( , , )r θ ϕ
2 sindV r drd dθ θ ϕ=θ
ϕ
r
z
x
y
2 2( , , ) sinr r drd dψ θ ϕ θ θ ϕ =
ความนาจะเปน ทจะพบอนภาคอยภายในกลองขนาด ซงตงอย ณ ตาแหนง ( , , )r θ ϕ
2 sindV r drd dθ θ ϕ=θ
ϕ
r
ภาพ (8.3) ภาพแสดงวธการอธบายตาแหนงของอนภาค ในระบบของ spherical coordinate
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-24
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
จากคานยามของตวแปรในพกดทรงกลมทง 3 เราสามารถเขยนความสมพนธกบตวแปรในพกด Cartesian ไดวา
sin cosx r θ ϕ= sin siny r θ ϕ= cosz r θ= ____________ สมการ (8.52) และ
2 2 2r x y z= + + 12 2 2
cos z
x y zθ −
⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
1tan yx
ϕ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
_____ สมการ (8.53)
และสามารถคานวณ partial derivative ระหวางคตางๆของตวแปรเหลานได ซงกคอ
sin cos cos cos sin sin
sin sin cos sin sin cos
cos sin 0
x x xr rry y yr rrz z zrr
θ ϕ θ ϕ θ ϕθ ϕ
θ ϕ θ ϕ θ ϕθ ϕ
θ θθ ϕ
⎡ ⎤∂ ∂ ∂= = = −⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥
⎢ ⎥∂ ∂ ∂= = = +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥
⎢ ⎥∂ ∂ ∂= = − =⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦
_____ สมการ (8.54)
และ
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 0
r x r y r zx y zx y z x y z x y z
x yxz yzx y z x y zx y x y z x y x y z
y xx y zx y x y
θ θ θ
ϕ ϕ ϕ
⎡∂ ∂ ∂ ⎤= = =⎢ ⎥∂ ∂ ∂+ + + + + +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥− +∂ ∂ ∂
= = =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ + +⎢ ⎥+ + + + + +⎢ ⎥⎢ ⎥∂ − ∂ ∂
= = =⎢ ⎥∂ ∂ ∂+ +⎣ ⎦
___________________ สมการ (8.55) นอกจากน เพอความสะดวก partial derivative ดงในสมการขางตน สามารถเขยนใหอยในรปของตวแปรในพกดทรงกลม โดยอาศยสมการ (8.52) เปนตวชวย ไดดงตอไปน
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-25
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
sin cos sin sin cos
cos cos sin cos sin
sin cos 0sin sin
r r rx y z
x r y r z r
x r y r z
θ ϕ θ ϕ θ
θ ϕ θ θ ϕ θ θ θ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕθ θ
⎡ ⎤∂ ∂ ∂= = =⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥
⎢ ⎥∂ ∂ ∂= = = −⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥
⎢ ⎥∂ ∂ ∂= − = + =⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦
____________ สมการ (8.56)
และถากาหนดให , ,r θ ϕ=r เปนสถานะททราบแนชดวา อนภาคอย ณ ตาแหนง r เราสามารถทเขยนสถานะ Ψ ใดๆของอนภาคใหอยในรป linear superposition ไดวา
3
22
0 0 0
d ( )
( , , ) , ,
sin ( , , ) , ,
r
dxdydz x y z x y z
drd d r r rπ π
ψ
ψ
θ ϕ θψ θ ϕ θ ϕ
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞∞
Ψ =
=
Ψ =
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
r r
____________ สมการ (8.57)
จะสงเกตวา คาทเปนไปไดของตวแปร ( ), ,r θ ϕ ในพกดทรงกลมนน มไดอยในชวง ( ),−∞ +∞ เหมอนกนกบในกรณของ Cartesian coordinate แตวามคาจากดอยในชวง ( )0,r∈ +∞ ,
( )0,θ π∈ , และ ( )0,2ϕ π∈ เพยงเทานน จากสมการ (8.57) ขางตน ประกอบกบ ภาพ (8.3) เราบอกไดวา
2 2( , , ) sinr r drd dψ θ ϕ θ θ ϕ =ความนาจะเปนทจะพบอนภาคภายในกลอง
ขนาด 2 sindV r drd dθ θ ϕ= ซงตงอย ณ ตาแหนง ( ), ,r θ ϕ=r
__________________ สมการ (8.58)
Operator ( )ˆ ˆr p⋅ ในพกดทรงกลม
เพอแสดงขนตอนในการเขยนผลของ operator ตางๆ ทแตเดมนยามอยในรปของพกด Cartesian ใหอยในรปของตวแปรในพกดทรงกลม เราจะเสนอตวอยางของ operator ˆ ˆr p⋅ ซงมคานยามวา
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆx y zr p xp yp zp⋅ ≡ + +
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-26
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
ในขนแรก พจารณาผลของ operator ดงกลาวใน Cartesian coordinate กาหนดให Ψ แทนสถานะใดๆของระบบ จะไดวา
( )ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆx y z x y zr p xp yp zp xp yp zp⋅ Ψ = + + Ψ = Ψ + Ψ + Ψr r r r r
ในแตละเทอมทปรากฏอยทางขวามอของสมการ ยกตวอยางเชน ˆˆ xxp Ψr เนองจาก x เปน Hermitian operator เราสามารถนามนมากระทากบสถานะ bra r ไดโดยไมผดกตกา นอกจากน โดยคานยามแลว x x=r r เนองจาก r เปน eigenstate ของ x ดงนน
( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y zr p x p y p z p⋅ Ψ = Ψ + Ψ + Ψr r r r
ถาเราเขยนสถานะ Ψ ในรปของ linear superposition ของ position ในพกด Cartesian
( , , ) , ,dxdydz x y z x y zψ+∞ +∞+∞
−∞ −∞ −∞
Ψ = ∫ ∫ ∫ จะไดวา
( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y z
i x i zi y
r p x p y p z pψ ψψ∂ ∂∂∂ ∂∂
⋅ Ψ = Ψ + Ψ + Ψr r r r
เพราะฉะนนแลว ในพกด Cartesian
( )ˆ ˆr p x y zi x y z
ψ ψ ψ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⋅ Ψ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
r __________________ สมการ (8.59)
ในขนทสอง เราทาการเปลยนทางขวามอของสมการ (8.59) ใหอยในรปตวแปรของพกดทรงกลม
พจารณา xψ∂∂
เนองจากเราทราบวา นอกจากเราจะเขยนฟงชนก ( , , )x y zψ ψ= แลว มนยง
อาจจะเขยนใหอยในรปของตวแปร ( ), ,rψ θ ϕ ไดอกดวย ดงนน อาศยกฎลกโซของ partial derivative
rx r x x xψ ψ ψ θ ψ ϕ
θ ϕ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-27
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
เพราะฉะนน
rx y z xx y z r x x x
ryr y y y
rzr z z z
ψ ψ ψ ψ ψ θ ψ ϕθ ϕ
ψ ψ θ ψ ϕθ ϕ
ψ ψ θ ψ ϕθ ϕ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
จดกลมสมการขางตน ใหอยในรปผลคณของ rψ∂∂
, ψθ
∂∂
, และ ψϕ
∂∂
จะได
r r rx y z x y z
x y z r x y z
x y zx y z
x y zx y z
ψ ψ ψ ψ
ψ θ θ θθ
ψ ϕ ϕ ϕϕ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
ในทายทสด ใชสมการ (8.56) ชวยในการคานวณเทอมทอยภายในวงเลบทงสาม จะไดวา
2 2 2 2 2
2 2
sin cos sin sin cos
sin cos cos sin cos sin sin cos 0
sin cos sin cos 0 0
r r rx y z r r r rx y z
x y zx y z
x y zx y z
θ ϕ θ ϕ θ
θ θ θ θ θ ϕ θ θ ϕ θ θ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + = + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + = + − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + = − + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
ดวยเหตน x y z rx y z rψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂
+ + =∂ ∂ ∂ ∂
และเมอแทนผลลพธทไดเขาไปในสมการ (8.59) จะ
ไดผลของ operator ( )ˆ ˆr p⋅ ใน spherical coordinate กลาวคอ
( )ˆ ˆ ( , , )r p r ri r
ψ θ ϕ∂⋅ Ψ =
∂r ถา
22
0 0 0sin ( , , ) , ,drd d r r r
π πθ ϕ θψ θ ϕ θ ϕ
∞Ψ = ∫ ∫ ∫
_____________________ สมการ (8.60)
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-28
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
แบบฝกหด 8.7 จงหาผลของ operator ˆxL , ˆyL , และ ˆzL ใน spherical coordinate โดยใชวธใน
ทานองเดยวกบทกลาวมาแลวขางตน และแสดงใหเหนวา
ˆ sin cot cos ( , , )xL ri
ϕ θ ϕ ψ θ ϕθ ϕ
⎛ ⎞∂ ∂Ψ = − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
r _____ สมการ (8.61)
ˆ cos cot sin ( , , )yL ri
ϕ θ ϕ ψ θ ϕθ ϕ
⎛ ⎞∂ ∂Ψ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
r ______ สมการ (8.62)
ˆ ( , , )zL ri
ψ θ ϕϕ∂
Ψ =∂
r ____________________________ สมการ (8.63)
Operator 2L ในพกดทรงกลม
จากการเขยน operator ˆxL , ˆyL และ , ˆzL ใหอยในรปของ spherical coordinate ดงในสมการ (8.61)
, สมการ (8.62) , และสมการ (8.63) นน เราสามารถนารปแบบดงกลาว มาประกอบกนขนเปน operator ทซบซอนมากขน อาทเชน
2
2
ˆ
sin sin cot cos cot cos sin cot cos
xL
ψ ψ ψ ψϕ ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ θ ϕθ θ ϕ ϕ θ ϕ
Ψ
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
r
2
2
ˆ
cos cos cot sin cot sin cos cot sin
yL
ψ ψ ψ ψϕ ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ θ ϕθ θ ϕ ϕ θ ϕ
Ψ
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − − − −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
r
2
2 22
ˆzL ψϕ∂
Ψ = −∂
r
และเมอรวมเทอมทงสามเขาดวยกน จะปรากฏวาเทอมจานวนมากหกลางกนหายไป เหลอแตเพยง
2 2 22 2 2 2 2
2 2 2ˆ ˆ ˆ cot cotx y zL L L ψ ψ ψ ψθ θ
θθ ϕ ϕ
⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪+ + Ψ = − + + +⎨ ⎬∂∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭r
ซงสามารถจดรปไดวา
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-29
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
( )2
2 22 2
1 1ˆ sin , ,sin sin
L rθ ψ θ ϕθ θ θ θ ϕ
⎧ ⎫∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎛ ⎞Ψ = − +⎨ ⎬⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭r
______________________ สมการ (8.64)
8.5 Eigen State ของ Hamiltonian
ในการวเคราะหหา eigenstate และ eigen energy ของ Hamiltonian operator H นน ในเมอเราทราบวาพลงงานศกย ( )V r มความสมมาตรในแนวรศม จงอาจจะเปนประโยชนอยบาง ถาเราจะลองเขยน H ใหอยในรปของ spherical coordinate
Operator H ในพกดทรงกลม
การสราง Hamiltonian operator ในพกดทรงกลมนน สามารถเรมไดจากการพจารณา operator
( )22 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆL r p r p i r p= − ⋅ + ⋅ ในสมการ (8.32) จะไดวา
( )
( )
22 2 2
22 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
L r p r p i r p
r p r p i r p
Ψ = − ⋅ + ⋅ Ψ
= Ψ − ⋅ Ψ + ⋅ Ψ
r r
r r r
โดยทเราจะพจารณาทางขวามอของสมการ ไปทละเทอมดวยกน เทอมท 3) จากสมการ (8.60) เราทราบวา
( ) 2ˆ ˆ ( , , )i r p r rrψ θ ϕ∂
⋅ Ψ =∂
r
เทอมท 2) ไดจากการนา operator ( )ˆ ˆr p⋅ มากระทาซอนกน 2 ครง ดงนน
( )22 2 2 22
ˆ ˆ ( , , ) ( , , ) ( , , )r p r r r r r r rr r rr
ψ θ ϕ ψ θ ϕ ψ θ ϕ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⋅ Ψ = − = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎝ ⎠
r
เทอมท 1) เนองจาก position operator 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆr x y z= + + เปน Hermitian operator เราสามารถนามนมากระทากบสถานะ bra r ไดวา
( )2 2 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆr p x y z p r pΨ = + + Ψ = Ψr r r
และเมอรวมเทอมทงสามเขาดวยกน จะทาใหไดผลลพธ
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-30
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
2
2 2 2 2 22
ˆ ˆ 2 ( , , )L r p r r rrrψ θ ϕ
⎛ ⎞∂ ∂Ψ = Ψ + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂⎝ ⎠
r r
จากนนทาการจดรปใหอยในรปของ operator 2ˆ2pm
Ψr
2 2 2
22 2
ˆ 1 2ˆ ( , , )2 22p L rm m r rmr r
ψ θ ϕ⎛ ⎞∂ ∂
Ψ = Ψ − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂⎝ ⎠r r
สมการขางตนเปนผลของ operator 2ˆ2pm
ทกระทากบสถานะ Ψ ใดๆ ในพกดทรงกลม ซงเปน
operator ทแสดงถงพลงงานจลนของระบบ เพราะฉะนน เราสามารถสราง Hamiltonian eigen equation ไดวา
2
2
2 22
2 2
ˆˆ , , ( ) , ,2ˆ
( ) , , ( ) , ,2
1 2ˆ ˆ, , , , ( , , ) ( ) ( , , )22
E E
pH E l m V r E l mm
p V r E l m V r E l mm
H E l m L E l m r V r rm r rmr r
ψ θ ϕ ψ θ ϕ
= +
= + +
⎛ ⎞∂ ∂= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂⎝ ⎠
r r
r r
r r
______________________ สมการ (8.65) ในสมการขางตน เราเขยน probability amplitude (หรอ wave function) ซงเปน eigenstate ของ Hamiltonian วา
, , ( , , )EE l m rψ θ ϕ≡r eigenstate ของ Hamiltonian ทงนเพอปองกนการสบสนกบสถานะอนๆ แตจากคานยามของสมการ (8.50)
( )2 2ˆ , , 1 , ,L E l m l l E l m= + และสมการ (8.49) ˆ , , , ,H E l m E E l m= ดงนนแลว สมการขางตนลดรปลงเหลอ
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-31
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
( ) 2 2 2
2 21 2, , , , ( , , ) ( ) ( , , )
22E E
l lE E l m E l m r V r r
m r rmr rψ θ ϕ ψ θ ϕ
⎛ ⎞+ ∂ ∂= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂⎝ ⎠
r r
หรอ
( ) 22 2
2 212 ( ) ( , , ) ( , , )
2 2E E
l lV r r E r
m r rr mrψ θ ϕ ψ θ ϕ
⎧ ⎫⎛ ⎞ +∂ ∂⎪ ⎪− + + + =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∂∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
______________________ สมการ (8.66) ทแสดงขางตนเปน eigen equation ของ Hamiltonian operator ทเขยนขนไป spherical coordinate ในมมมองของคณตศาสตร มนเปนสมการอนพนธอนดบสอง ทมผลเฉลยคอ 1) eigen function ( , , )E rψ θ ϕ ซงมความหมายในทาง quantum mechanics เปน probability amplitude ทจะพบ
อนภาค ณ ตาแหนง ( ), ,r θ ϕ=r และ 2) eigen value E ซงกคอระดบพลงงานของอนภาคทอยในสถานะนนๆ นอกจากนจะสงเกตวา ผลเฉลย ( , , )E rψ θ ϕ และ E ของสมการ (8.66) นน ขนอยกบสมบตเชง orbital angular momentum ของอนภาคดวย ดงจะเหนไดจากเทอม ( ) 21l l + ทปรากฏในสมการดงกลาว
Radial Equation
สมการ (8.66) มลกษณะพเศษทสาคญอยขอหนงกคอ operator ทางซายมอของสมการ ขนอยกบตวแปร r เพยงอยางเดยว ดวยเหตนจงเปนการสมเหตผลทเราจะสมมตวา probability amplitude ( , , )E rψ θ ϕ ซงจากนยามแลวเปนฟงชนกของทง r , θ , และ ϕ นน สามารถเขยนใหอยในรป
( , , ) ( ) ( , )E r R r Yψ θ ϕ θ ϕ= ______________________ สมการ (8.67)
กลาวคอ สวนทขนอยกบรศม r นน เปนอสระจากสวนทขนอยกบมมทงสอง และเมอแทนสมมตฐานดงกลาวเขาไปในสมการ (8.66) จะไดวา
( ) 22 2
2 212 ( ) ( ) ( )
2 2
l lV r R r E R r
m r rr mr
⎧ ⎫⎛ ⎞ +∂ ∂⎪ ⎪− + + + =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∂∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-32
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
______________________ สมการ (8.68) นอกจากนเมอพจาณาสมบตเชง normalization ทวา summation ของความนาจะเปนทงหมดมคาเปนหนง หรอ
222
0 0 02
2 22
0 0 02
2 22
0 0 0
1 sin ( , , )
sin ( ) ( , )
1 ( ) sin ( , )
drd d r r
drd d r R r Y
dr r R r d d Y
π π
π π
π π
θ ϕ θ ψ θ ϕ
θ ϕ θ θ ϕ
θ ϕ θ θ ϕ
∞
∞
∞
=
=
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
เพราะฉะนน เพอความสะดวก เราจะกาหนดใหทงสองเทอมทคณกนอยมคาเปน 1 ทงค กลาวคอ
normalization condition
22
02
2
0 0
( ) 1
sin ( , ) 1
dr r R r
d d Yπ π
θ ϕ θ θ ϕ
∞=
=
∫
∫ ∫ ______________ สมการ (8.69)
จากสมการ (8.68) เปนหวใจสาคญในการวเคราะหระดบพลงงานของระบบทมลกษณะเปน central potential ซงการจะหาผลเฉลยของสมการดงกลาว จาเปนตองมขอมลเบองตนอย 2 ประการคอ 1) ทราบฟงชนกของ central potential ( )V r ทเรากาลงศกษา และ 2) กาหนดขนาดของ orbital angular momentum l ทเรากาลงพจารณา ดวยขอมลทงสองชนดงกลาว ถาเราประสบผลสาเรจในการแกสมการ กจะไดผลเฉลยเปนขอมลออกมา 2 ประเภทดวยกนคอ 1) ระดบพลงงาน E ทเปนไปไดของระบบ และ 2) ฟงชนก ( )R r ทสอดคลองกบระดบพลงงานนนๆ นอกจากนจะสงเกตวา ระดบพลงงานดงกลาว มไดเกยวของกบลกษณะการกระจายตวเชงมม ( , )Y θ ϕ แตอยางใด
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-33
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
Degeneracy
จากทกลาวมาแลวขางตนวา eigenstate ของระบบ มสมบตเฉพาะตวอยอยางนอย 3 ชนดดวยกนคอ 1) พลงงาน 2) ขนาดของ orbital angular momentum และ 3) องคประกอบตามแกน z ของ angular momentum หรอทเขยนใหอยในรปของสญลกษณวา
, ,E E l mψ = อยางไรกตาม จากสมการ (8.68) เราทราบวา ระดบพลงงาน E ของระบบ มไดเกยวของกบ m แตอยางใด ดวยเหตนเอง จงหลกเลยงไมได ทจะม eigenstate อยจานวนหนงทมพลงงานเทากน ทงๆทตว eigenstate เอง มคณสมบตทเกยวของกบ องคประกอบตามแกน z ของ angular momentum แตกตางกน ยกตวอยางเชน สมมตวาเรากาลงวเคราะหอนภาคทเคลอนทภายใตอทธพลของ central potential ( )V r และพจารณากรณทระบบม 1l = หรออกนยหนง กาหนดใหระบบมขนาดของ orbital
angular momentum เทากบ ( )1 1 1 2⋅ + =
ในเมอ 1l = กแสดงวา { }1,0, 1m∈ − + ทาใหม eigenstate อย 3 สถานะดวยกนคอ
, 1, 1E l m= = − , , 1, 0E l m= = , และ , 1, 1E l m= = + โดยทสถานะทง 3 เหลาน มองคประกอบตามแกน z ของ orbital angular momentum แตกตางกน แตมพลงงานเทากน (สาเหตทพลงงานเทากนกเพราะวา พลงงานขนอยกบคาของ l เพยงเทานน)
ในทาง quantum mechanics การท eigenstate มสมบตแตกตางกน แตมพลงงานเทากน เราเรยกเหตการณเชนนวา "degeneracy"
จากตวอยางขางตน เรามกจะเรยกเหตการณเชนนวา 3 fold degeneracy และในกรณของ l ใดๆนน เนองจาก ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 1 , 2 , , 2 , 1 ,m l l l l l l∈ − − − − − + − + − +… เราจงสรปไดวา
ในระบบ central potential eigenstate ทม quantum number l จะแยกออกเปน
(2 1)l + fold degeneracy เปนอยางนอย
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-34
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
ความเขาใจในธรรมชาตของ degeneracy ของระบบ มความสาคญเกยวกบการวเคราะหระบบในกรณทประกอบดวยอนภาคมากกวาหนงอนภาค ซงจะไดยกตวอยางการนามาใชงานในลาดบตอไป เมอกลาวถง nuclear magic number
8.6 Application - Nuclear Magic Number
application ทสาคญอนหนงซงจะเปนตวอยางในการนาสมการ (8.68) มาใชในการวเคราะหระดบพลงงานของระบบ กคอ "nuclear magic number"
C12
6 atomic numbermass number
a) mass number คอจานวนของ nucleon b) simple model ของ nucleus
credit: graphic จาก atomicarchive.com และ Virginia university Astronomy Group
C12
6 atomic numbermass number
a) mass number คอจานวนของ nucleon b) simple model ของ nucleus
credit: graphic จาก atomicarchive.com และ Virginia university Astronomy Group ภาพ (8.4) a) แสดง mass number ทปรากฏอยในตารางธาต ซงกหมายจานวนของ nucleon ภายในนวเคลยสนนเอง b) model อยางงายทใชในการคานวณเชง quantum mechanics ภายในนวเคลยส ซงมขนาดเลกกวาอะตอมประมาณถง 1 แสนเทานน โดยทวไปแลวประกอบดวยอนภาคโปรตอนและนวตรอน เราเรยกอนภาคทงสองชนดนวา nucleon ในธาตแตละชนดกจะมจานวน nucleon แตกตางกนออกไป และจานวนของ nucleon ภายในนวเคลยสนเอง มชอเรยกวา "mass number" ซงมกจะแทนดวยสญลกษณ A ยกตวอยางเชน อะตอมของ carbon ทมจานวนโปรตอน 6 ตวนน มอยดวยกนหลาย isotope กลาวคอ carbon-12 และ carbon-14 ซงหมายถงม mass number เทากบ 12 และ 14 ตามลาดบ จากการทดลองของนกวทยาศาสตร ถาจานวนของ nucleon มคาเฉพาะคาหนง จะพบวานวเคลยสดงกลาวนนมความเสถยรเปนพเศษ จานวนเหลานนกคอ 2, 8, 20, 28, 50, 82, … ดวยความพเศษของมน เราเรยกลาดบของตวเลขดงกลาวนวา "magic number" (Warner, "Not-so-magic-number"
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-35
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
Nature 430:517-519 (2004) และ Mayer "On closed shell nuclei II" Phys.Rev. 75:1969-1970 (1949))
Infinite Spherical Potential Well ดงแสดงใน ภาพ (8.4)b เราจะใช model อยางงายในการคานวณหาระดบพลงงานของ nucleon ทบรรจอยภายในนวเคลยส โดยมองวาอนภาค nucleon โดนกกอยภายในดวยอทธพลของ central potential ทมความแขงเปนอนนต หรอ
0( )
r aV r
r a<⎧
= ⎨∞ ≥⎩ __________________ สมการ (8.70)
ลกษณะของบอพลงงานศกยดงกลาว มความคลายคลงกบ infinite square well ใน 1 มต เพยงแต ( )V r ในสมการ (8.70) นนเปนระบบใน 3 มต และเนองจากกาแพงศกย ณ r a= มความแขงเปน
อนนต probability amplitude บรเวณภายนอกทรงกลมจะตองมคาเปนศนยเสมอ ซงเราจะเรยกเงอนไขนวา boundary condition
( , , ) 0E rψ θ ϕ = ถา r a≥ __________________ สมการ (8.71) และในเมอเราแยก probability amplitude (หรอ wave function) ออกเปน 2 สวนดวยกนคอ ( , , ) ( ) ( , )E r R r Yψ θ ϕ θ ϕ= จะไดวา ณ ตาแหนงรศมเทากบ a นน
( ) 0R a = boundary condition __________________ สมการ (8.72)
จากสมการ (8.68) ระดบพลงงานของ central potential นนถกกาหนดโดยฟงชนก ( )R r และ orbital angular momentum quantum number l เพยงเทานน ซงอยในรปของสมการดงตอไปน
( ) 22 2
2 212 ( ) ( )
2 2
l lR r E R r
m r rr mr
⎧ ⎫⎛ ⎞ +∂ ∂⎪ ⎪− + + =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∂∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ เมอ r a< ________ สมการ (8.73)
ในสมการขางตน จะเหนวาเรากาหนดให ( ) 0V r = ซงกสบเนองมาจากลกษณะของบอศกยทกาลงพจารณาอย เมอ m กคอมวลของ nucleon (หรอมวลของโปรตอน) เราสามารถจดรปสมการขางตนใหดงายขนไดวา
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-36
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
( )2
2 2 212 2 0
l lR R mER Rr rr r
+∂ ∂ ⎛ ⎞+ − + =⎜ ⎟∂∂ ⎝ ⎠
โดยทวไปแลวสมการอนพนธอนดบสองจะมผลเฉลยทซบซอนและแกสมการไดลาบาก แตโชคดทเราสามารถเปลยนรปของสมการขางตนใหอยในรปของ spherical Bessel equation ซงนกคณตศาสตรไดศกษาผลเฉลยไวเรยบรอยแลว โดยใชเทคนคการเปลยนตวแปร
22mE rρ ≡
สมการอนพนธขางตนจะอยในรปของ
( )2
2 212 1 0
l lR R Rρ ρρ ρ
⎡ ⎤+∂ ∂+ − =⎢ ⎥
∂∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦
spherical Bessel equation ทปรากฏขางตน ในทางคณตศาสตรแลว มผลเฉลยอย 2 ประเภทใหญๆคอ 1) spherical Bessel functions
( ) 1 sin( )l
ll
djd
ρρ ρρ ρ ρ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ________ สมการ (8.74)
และ 2) spherical Neumann functions
( ) 1 cos( )l
ll
dd
ρη ρ ρρ ρ ρ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ________ สมการ (8.75)
จะเหนวา ฟงชนกทงสองมรปแบบทขนอยกบ l ซงเชอมโยงอยกบขนาดของ orbital angular momentum ของระบบ โดยมลกษณะของฟงชนกดงแสดงใน ภาพ (8.5)
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-37
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
ผลเฉลยของ Spherical Bessel Equationผลเฉลยของ Spherical Bessel Equation ( )2
2 212 1 0
l lR R Rρ ρρ ρ
⎡ ⎤+∂ ∂+ − =⎢ ⎥
∂∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦
0 2 4 6 8 100.5−
0
0.5
1
0 2 4 6 8 102−
1−
0
Spherical Bessel Function ( )lj ρ Spherical Neumann Function ( )lη ρ
ρ ρ
0j
1j
2j
0η 1η 2η
ผลเฉลยของ Spherical Bessel Equationผลเฉลยของ Spherical Bessel Equation ( )2
2 212 1 0
l lR R Rρ ρρ ρ
⎡ ⎤+∂ ∂+ − =⎢ ⎥
∂∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦
0 2 4 6 8 100.5−
0
0.5
1
0 2 4 6 8 102−
1−
0
Spherical Bessel Function ( )lj ρSpherical Bessel Function ( )lj ρ Spherical Neumann Function ( )lη ρSpherical Neumann Function ( )lη ρ
ρ ρ
0j
1j
2j
0η 1η 2η
ภาพ (8.5) แสดงผลเฉลยของ spherical Bessel equation ซงมฟงชนกทเปนผลเฉลยอย 2 ประเภทคอ spherical Bessel function และ spherical Neumann functions ฟงชนกทงสองแบบดงกลาว ม close form ดงตอไปน
0
1 2
2 3 2
sin( )
sin cos( )
3 1 3cos( ) sin
j
j
j
ρρρρ ρρ
ρρ
ρρ ρρρ ρ
=
= −
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
0
1 2
2 3 2
cos( )
cos sin( )
3 1 3sin( ) cos
ρη ρρρ ρη ρ
ρρ
ρη ρ ρρρ ρ
= −
= − −
⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
อยางไรกตาม ถงแมวาผลเฉลยในทางคณตศาสตรมไดสองแบบ เนองจาก spherical Neumann functions ( )lη ρ → −∞ ณ จดกาเนด ในทางฟสกสเราจงตดผลเฉลยนออกไป คงเหลอไวแต spherical Bessel functions เทานนเอง เพราะฉะนน probability amplitude สามารถเขยนใหอยในรป
22( ) R lmER r N j r
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ เมอ 0,1,2,l = ___________ สมการ (8.76)
เมอ RN คอ normalization constant ททาให 22
0( ) 1dr r R r
∞=∫
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-38
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
Energy Eigen Values
และเนองจากขอกาหนดของ probability amplitude ทวา ( ) 0R r a= = ซงเงอนไขนเองจะเปนตวกาหนดใหพลงงาน E ของระบบมคาไดเฉพาะเพยงคาใดคาหนง กลาวคอ
22( ) 0lmEj a = __________________ สมการ (8.77)
ยกตวอยางเชน ในกรณท 0l = จะไดวา 2
0 2
2
2sin2( ) 0
2
mE amEj a
mE a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =
หรอ
22mE a nπ= เมอ 1,2,3,n =
นนกคอ
2 2
2, 0 22
n lE nmaπ
=⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
เมอ 1,2,3,n = ____________ สมการ (8.78)
สมการขางตน แสดงระดบพลงงานทเปนไปไดของ nucleon เฉพาะกรณทม orbital angular momentum เปนศนย สวนในกรณท 0l ≠ การคานวณหาระดบพลงงานมความซบซอนมากขน และจะตองอาศยขอมลจากตารางดงแสดงใน ภาพ (8.6)
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-39
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
0 2 4 6 8 10
0.5−
0.5
1
3.14 6.28 9.42
ρ
0j
1j
( )1 0j ρ =
( )0 0j ρ =
4.49 7.73
spherical Bessel function เปนศนย ณ ตาแหนงตางๆกน
1n = 2n = 3n =
1n = 2n =
0 2 4 6 8 10
0.5−
0.5
1
3.14 6.28 9.42
ρ
0j
1j
( )1 0j ρ =
( )0 0j ρ =
4.49 7.73
spherical Bessel function เปนศนย ณ ตาแหนงตางๆกน
1n = 2n = 3n =
1n = 2n =
ภาพ (8.6) spherical Bessel functions ( ) 0lj ρ = ณ ตาแหนง ρ ตางๆกน จดทฟงชนกเปนศนย
นเองจะเปนตวกาหนดระดบพลงงานของระบบ โดยอาศยเงอนไข 22( ) 0lmEj a =
0l = 1l = 2l = 3l =
1n = 3.142 4.493 5.763 6.988
2n = 6.283 7.725 9.095 10.417
3n = 9.425 10.904 12.323 13.698 ตารางแสดงคาของ ρ ททาให ( ) 0lj ρ = หรอเรยกอกอยางหนงวา zeroth of Bessel function (จาก MathCAD Version 14) สาหรบขนตอนในการอานตารางขางตน เพอทจะนาไปคานวณระดบพลงงานของระบบนน สมมตวาเราตองการทราบระดบพลงงานลาดบท 3n = ของ nucleon ในขณะทมนมขนาดของ orbital
angular momentum เปน ( ) 22 2 1+ สามารถทาไดโดยการกาหนดให
( )3, 22
212.323n lm E
a= = =
เพราะฉะนนแลว
( )22
3, 2 212.323
2n lE
ma= = =
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-40
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
และเราอาจจะนาระดบพลงงานดงกลาว แทนเขาไปในสมการ (8.76) ทงนเนองจากระดบพลงงานขางตน ขนอยกบเลข quantum number ,n l จงเปนการเหมาะสมทเราจะใชดชน ,n l กากบ probability amplitude ( )R r เพอใหเกดความชดเจนยงขน กลาวคอ
,, 2
2( ) ( )n l
n l R lmE
R r N j r= เมอ 0,1,2,l = ___________ สมการ (8.79)
0 0.5 1
1
2
3
4
5
0 0.5 1
4−
2−
2
4
6
8
1,0R
r
r
1,1R
1,2R
, ( )n lR r ในกรณตางๆกน สาหรบนวเคลยสรศม a = 1
1,1R2,1R
3,1R
0 0.5 1
1
2
3
4
5
0 0.5 1
4−
2−
2
4
6
8
1,0R
r
r
1,1R
1,2R
, ( )n lR r ในกรณตางๆกน สาหรบนวเคลยสรศม a = 1
1,1R2,1R
3,1R
ภาพ (8.7) แสดง probability amplitude ในสวนของ , ( )n lR r ในสถานการณตางๆกน
ภาพ (8.7) แสดง probability amplitude , ( )n lR r ทระดบพลงงาน และ ท orbital angular momentum ตางๆกน จะสงเกตวาเมอขนาดของ orbital angular momentum สงขน (ในภาพซายทกาลงเปรยบเทยบ , 0 ( )n lR r= , , 1( )n lR r= , และ , 2 ( )n lR r= ) อนภาค nucleon โดยเฉลยแลวจะอยในบรเวณทมรศมจากจดศนยกลางมากขน ซงกสอดคลองกบลกษณะการเคลอนทในมมมองของ classical mechanics ทวา ถาอนภาคเคลอนทดวยรศมของการหมนเพมขน angular momentum ของมนกจะมากขนเปนเงาตามตวนนเอง
Nucleon Magic Number
จากตวอยางขางตน จะเหนวาเมอเราพจารณาระบบของ nucleon ทโดนกกอยในนวเคลยส ซง model อยางงายทเราใชเปนเครองมอในการศกษาเบองตนกคอ spherical infinite potential well หรอบอพลงงานศกยรปทรงกลมทแขงมาก ทาใหอนภาคไมสามารถออกไปภายนอกไดนน
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-41
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
ในแตละกรณทอนภาคดงกลาวม orbital angular momentum (ซงกากบดวยเลข quantum number l ) ทแตกตางกน กจะมระดบพลงงานเปนชนๆ เปนเซตของตวมนเอง (ซงกากบดวยเลข quantum number n ) ดงทไดสรปไวในภาพ ภาพ (8.8)
0
100
200
0l = 1l = 2l =
2
2
2
6
6
6
14
14
14
2, 22
n lmaE
2288
10
10
10
181820203434 4040
จานวน nucleon สะสม
แสดงจานวน nucleon ทสามารถบรรจอยในแตละระดบชนพลงงาน
3l =0
100
200
0l = 1l = 2l =
2
2
2
6
6
6
14
14
14
2, 22
n lmaE
2288
10
10
10
181820203434 4040
จานวน nucleon สะสม
แสดงจานวน nucleon ทสามารถบรรจอยในแตละระดบชนพลงงาน
3l = ภาพ (8.8) แสดงระดบพลงงานของ nucleon ในกรณของ n และ l ตางๆกนออกไป ภาพ (8.8) แสดงระดบพลงงาน ,n lE ของ nucleon ในกรณของ orbital angular momentum ( 1)l l + ตางๆกน จะเหนวาระดบพลงงานดงกลาว ขนอยกบคาของ n และ l
ตวเลขทเขยนกากบอยกบในแตละชนพลงงาน อาท 2, 6, 10, หรอ 14 แสดงถงจานวนของ nucleon ทสามารถบรรจเขาไปใหเตม ในแตละระดบพลงงานนนๆ ซงตวเลขดงกลาว ขนอยกบคาของ l และสมบตเชง spin ของ nucleon ยกตวอยางเชน ถา 1l = แลวจะไดวา ณ ระดบพลงงานเดยวกนน องคประกอบตามแนวแกน z ของ angular momentum หรอทแทนดวยสญลกษณ m นน มคาทเปนไปไดกคอ { }1,0, 1m∈ − + ซงเปนไปไดทงสน 2 1 3l⋅ + = แบบ หรอทเรยกวา 3 fold degeneracy ประกอบกบการท nucleon ซงกคอ
โปรตอนหรอนวตรอนนน ม spin 12
s = ดงนน เราสามารถบรรจ nucleon ถง 6 ตวเขาไปอยใน
ระดบพลงงานเดยวกนน โดยททง 6 ตวดงกลาว มสถานะไมซากนเลย ซงกคอ
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-42
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
1l =
1m = +
0m =
1m = −
1 2zS = +1 2zS = −
1 2zS = +1 2zS = −1 2zS = +1 2zS = −
nucleon ทง 6 อยในระดบพลงงานเดยวกน
3 fold 2 fold
รวมทงหมด6 fold degeneracy1l =
1m = +
0m =
1m = −
1 2zS = +1 2zS = −
1 2zS = +1 2zS = −1 2zS = +1 2zS = −
nucleon ทง 6 อยในระดบพลงงานเดยวกน
3 fold 2 fold
รวมทงหมด6 fold degeneracy
เมอพจารณานวเคลยสของธาตตางๆ จากการทดลองพบวา ถาจานวน nucleon ทอยภายในนวเคลยสมคาเทากบ 2, 8, 20, 28, 50, หรอ 82 แลว นวเคลยสดงกลาวจะมความเสถยรเปนพเศษ ทาใหนกวทยาศาสตรตงชอลาดบของตวเลขเหลานวา "nuclear magic number" ในความพยายามทจะใชอธบาย nuclear magic number โดยใช model ของ quantum mechanics แบบ infinite spherical potential well นน เราจะตงสมมตฐานวา
การทนวเคลยสมความเสถยรเปนพเศษกเพราะจานวน nucleon ทอยภายใน บรรจอยเตมชนระดบพลงงานของระบบพอด
ในทางทฤษฏนน โดยอาศยระดบพลงงานทคานวณไดดงแสดงใน ภาพ (8.8) เงอนไขขางตนจะเกดขนได กตอเมอจานวน nucleon ทงหมดของนวเคลยส มคาเทากบ "จานวน nucleon สะสม" ซงกคอ 2, 8, 18, 20, 34, และ 40 นนเอง โดยอาศยตรรกะอนน เราสามารถทานายตวเลข magic number ในทางทฤษฏ ซงกคอ 2, 8, 18, 20, 34, หรอ 40 และจะเหนวามความใกลเคยงกบ magic number จากการทดลองอยบาง โดยเฉพาะอยางยงตวเลขในสองอนดบแรก คอเลข 2 และ เลข 8 ตนเหตททาใหเกดความแตกตางระหวางการคานวณและผลททดลองไดนน มทมาจากการท model ทเราใชศกษา มการประมาณทหยาบจนเกนไป อกทงยงมอนตรกรยาภายในนวเคลยสอนๆทเรยกวา spin-orbit interaction ซงเราละเลยมไดนามาพจารณารวมดวย และภายหลงจากการนาปจจยตางๆทเกยวของเขามาวเคราะหเชง quantum mechanics โดยละเอยด เราจะพบวา magic number ทไดจากการคานวณนน ตรงกนพอดกบผลทปรากฏจากการทดลอง (B.T.Feld, Ann. Rev. Nuclear Sci. 2:239 (1953))
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-43
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
8.7 Eigen State ของ ˆzL และ 2L
ทผานมาเราไดใชเวลาสวนใหญในการคานวณ ( )R r ซงแทนการกระจายตวของ probability amplitude ( , , )E rψ θ ϕ ในเชงรศม แตยงมขอมลอกสวนหนงทเรายงไมไดกลาวถง ซงกคอ
( , )Y θ ϕ
รปแบบทางคณตศาสตรของ ( , )Y θ ϕ เมอพจารณา operator ˆzL และ operator 2L นน จะพบวา operator ทงสอง เมอเขยนใหอยในรปของพกดทรงกลมแลว ขนอยกบมม θ และมม ϕ ดงตอไปน
ˆ ( , , )zL ri
ψ θ ϕϕ∂
Ψ =∂
r
และ
( )2
2 22 2
1 1ˆ sin , ,sin sin
L rθ ψ θ ϕθ θ θ θ ϕ
⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞Ψ = − +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦r
ถากาหนดให สถานะ Ψ เปน eigenstate ของ Hamiltonian หรอ , ,E l mΨ = แลวจะทาให
{ }
( )
ˆ , , ( ) ( , )
, ,
z
R r
L E l m R r Yi
m E l m
θ ϕϕ∂
=∂
r
r
( , )
( )
Y
R r
θ ϕ
= ( , )Yi
θ ϕϕ∂∂
หรอ
igenvalueˆ operatorin sphericalcoordinate
( , ) ( , )e
Lz
Y m Yi
θ ϕ θ ϕϕ∂
=∂
_______________ สมการ (8.80)
และในกรณของ 2L จะไดวา
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-44
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
{ }2
2 22 2
2
( )
1 1ˆ , , sin ( ) ( , )sin sin
( 1) , ,
R r
L E l m R r Y
l l E l m
θ θ ϕθ θ θ θ ϕ
⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
+
r
r
( , )
( )
Y
R r
θ ϕ
= −2
22 2
1 1sin ( , )sin sin
Yθ θ ϕθ θ θ θ ϕ
⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞ +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
หรอ
22 2
2 2eigenvalue
2ˆ operator in spherical coordinate
1 1sin ( , ) ( 1) ( , )sin sin
L
Y l l Yθ θ ϕ θ ϕθ θ θ θ ϕ
⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + = +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ _______________
สมการ (8.81) จากสมการ (8.80) และ (8.81) จะเหนวา นอกจาก ( , )Y θ ϕ จะแสดงถงการกระจายตวของ Hamiltonian eigenstate ในสวนทเกยวของกบมม ( , )θ ϕ แลว มนยงมสมบตทมความสาคญกคอ
( , )mlY θ ϕ เปน eigenstate ของ ˆzL และ 2L operator
ซงม l และ m เปนสมบตเฉพาะตว โดยทเราใชดชน ,l m กากบฟงชนก ( , )Y θ ϕ กเพอบงชใชชดเจนวา ฟงชนก ( , )m
lY θ ϕ ในพกดทรงกลมดงกลาว เปนตวแทนของ eigenstate ซงม ขนาดของ orbital angular momentum เทากบ
2( 1)l l + และมองคประกอบในแนวแกน z ของ orbital angular momentum เทากบ m และการทเราใหดชน m เปน superscript (ปรากฏอยดานบน) นน กเพยงเพอใหสอดคลองรปแบบการใชสญลกษณแบบสากลของฟงชนก ( , )m
lY θ ϕ เทานน นอกจากน เรายงอาจจะเขยน eigenstate ของ ˆzL และ 2L operator ใหอยในรปของ ket ไดวา ,l m ซงมคณสมบตคอ
2 2ˆ , ( 1) ,L l m l l l m= + และ ˆ , ,zL l m m l m=
eigenstate ,l m ทเขยนอยในลกษณะของ ket นน มขอดคอมนไมไดยดตดอยกบพกดใดๆ ของ
ระบบ หากแตใชไดในกรณทวไป ซงตางจาก ( , )mlY θ ϕ ซงเปนตวแทนของ eigenstate ในพกด
ทรงกลมเพยงเทานน กลาวคอ
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-45
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
, , ( , )m
ll m Yθ ϕ θ ϕ= __________________ สมการ (8.82) เมอ ,θ ϕ มความหมายเปนสถานะทอนภาคตงอย ณ มมกม θ และ มมกวาด ϕ ในพกดทรงกลม โดยมไดสนใจวาอนภาคดงกลาวมรศม r หางจากจดกาเนดเปนระยะทางเทาใด และเพอทจะแสดงใหเหนวา ( , )m
lY θ ϕ เปนฟงชนกทขนอยกบ มม θ และมม ϕ อยางไรบาง เราเรมดวยการพจารณาสมการ (8.81)
22 2
2 2
2
2 2
1 1sin ( , ) ( 1) ( , )sin sin
1 1sin ( , ) ( , ) ( 1) ( , ) 0sin sin
m ml l
m m ml l l
Y l l Y
Y Y l l Y
θ θ ϕ θ ϕθ θ θ θ ϕ
θ θ ϕ θ ϕ θ ϕθ θ θ θ ϕ
⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + = +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞ + + + =⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎣ ⎦
แตจากสมการ (8.80) ( , ) ( , )m ml lY m Y
iθ ϕ θ ϕ
ϕ∂
=∂
ดงนน 2
22 ( , ) ( , )m m
l lY m Yθ ϕ θ ϕϕ∂
= −∂
หรอ
2
2 21 sin ( , ) ( , ) ( 1) ( , ) 0
sin sinm m m
l l lmY Y l l Yθ θ ϕ θ ϕ θ ϕ
θ θθ θ⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞ − + + =⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦
__________________ สมการ (8.83) เนองจากสมการขางตน เปนสมการอนพนธของ , ( , )l mY θ ϕ ทขนอยกบมม θ เพยงอยางเดยว ในขณะทสมการ (8.80) กเปนสมการอนพนธของ , ( , )l mY θ ϕ ทขนอยกบมม ϕ เพยงเทานน เราสามารถเขยนมนใหอยในรปของ
( , ) ( ) ( )mlY θ ϕ θ ϕ= Θ Φ __________________ สมการ (8.84)
กลาวคอ สวนทขนกบมมทงสองนน เปนฟงชนกทเปนอสระตอกน และเมอแทนคานยามขางตนเขาไปในสมการ (8.80) จะไดวา
( ) ( )mi
ϕ ϕϕ∂Φ = Φ
∂
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-46
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
ซงมผลเฉลยของสมการกคอ ( ) ime ϕϕΦ = ____________________ สมการ (8.85)
สวนในกรณของมม θ นน แทนสมการ (8.84) เขาไปในสมการ (8.83) จะทาให
2
2 21 sin ( ) ( ) ( 1) ( ) 0
sin sinm l lθ θ θ θ
θ θθ θ⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞ Θ − Θ + + Θ =⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦
ใชเทคนคของการเปลยนตวแปร โดยนยามให cosx θ≡ และเขยนสมการขางตนในรปของ x
2 22
2 2(1 ) 2 ( 1) 01
mx x l lxx x
⎡ ⎤∂ ∂− Θ− Θ+ + − Θ =⎢ ⎥
∂∂ −⎢ ⎥⎣ ⎦
เปนทนายนดทมปราชญนามวา Adrien-Marie Legendre ไดศกษาสมการอนพนธขางตน และทราบผลเฉลยเปนอยางด สมการขางตนมชอเฉพาะวา associated Legendre differential equation ซงมผลเฉลยคอ
( ) ( )mlP xθΘ = เมอ cosx θ≡
เมอ ( ) ( )2 2 21( ) (1 ) 1
2 !
m l m lm ml l l m
dP x x xl dx
+
+−
≡ − − อาทเชน
00 ( ) 1P x =
01 ( )P x x= ( )1 21 2
1 ( ) 1P x x+ = − −
( )1 21 21
1( ) 12
P x x− = −
( )0 22
1( ) 3 12
P x x= − ( )1 21 22 ( ) 3 1P x x x+ = − −
( )2 22 ( ) 3 1P x x+ = −
( )1 21 22
1( ) 12
P x x x− = −
( )2 22
1( ) 18
P x x− = −
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-47
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
( )0 23
1( ) 5 32
P x x x= −
( )( )1 21 2 2
33( ) 1 5 12
P x x x+ = − −
( )2 23 ( ) 15 1P x x x+ = −
( )3 23 23 ( ) 15 1P x x+ = − −
( )( )1 21 2 23
1( ) 1 5 18
P x x x− = − − −
( )2 23
1( ) 18
P x x x− = −
( )3 23 23
1( ) 148
P x x− = −
ตารางแสดง associated Legendre polynomial (credit: Weisstein, Eric W. "Legendre Polynomial." From MathWorld--
A Wolfram Web Resource) และเมอเรานาผลลพธ ( ) ( )m
lP xθΘ = เขามารวมกบ ( ) ime ϕϕΦ = จะทาใหได ( , )mlY θ ϕ อยใน
รปทสมบรณคอ
( )( )
!2 1( , ) (cos )4 !
m m iml l
l mlY P el m
ϕθ ϕ θπ
−+= ⋅
+ _______________ สมการ (8.86)
สาเหตทจาเปนจะตองมสมประสทธ ( )( )
!2 14 !
l mll mπ−+
⋅+
คณอยกบผลเฉลยของ associated Legendre
equation กเพราะวา เราตองการใหฟงชนก ( , )mlY θ ϕ normalized เปนหนง กลาวคอ
2
2
0 0sin ( , ) 1d d Y
π πθ ϕ θ θ ϕ =∫ ∫
สมประสทธของการ normalization ดงแสดงในสมการ (8.86) นน สามารถพสจนใหเหนไดอยางไมยากเยนนก โดยการสมมตให
( , ) (cos )m m iml lY N P e ϕθ ϕ θ= ⋅
เมอ N คอ normalization constant และอาศยเงอนไข
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-48
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
( )
( )
2 2
0 02 22
0 0
22
0
1 sin (cos )
sin (cos )
1 2 sin (cos )
m iml
ml
ml
d d N P e
d d N P
N d P
π πϕ
π π
π
θ ϕ θ θ
θ ϕ θ θ
π θ θ θ
= ⋅
=
=
∫ ∫
∫ ∫
∫
กาหนดให cosx θ≡ ดงนน sind dxθ θ = เพราะฉะนน
( )1 22
11 2 ( )m
lN dx P xπ+
−
= ∫
อาศยสมบตทางคณตศาสตรของ associated Legendre function ทวา
( ) ( )( )
1 2
1
!2( )2 1 !
ml
l mdx P x
l l m
+
−
+= ⋅
+ −∫ __________________ สมการ (8.87)
ทาให ( )( )
2 !21 22 1 !
l mN
l l mπ
+= ⋅
+ − หรออกนยหนง
( )( )
!2 14 !
l mlNl mπ−+
= ⋅+
นอกจากน associated Legendre function ยงมสมบตทเปนประโยชนในการคานวณทางคณตศาสตรมากกคอ
1 1(2 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )m m ml l ll xP x l m P x l m P x− ++ = + + − + _________ สมการ (8.88)
ดงปรากฏในสมการ (8.86) ดงกลาว นอกจากนฟงชนก , ( , )l mY θ ϕ ยงมชอเรยกอกอยางหนงวา spherical harmonic ซงจะปรากฏใหเหนบอยครงมากในสมการทางฟสกสทใชพกดทรงกลมในการวเคราะห ตารางดงตอไปนแสดงตวอยางของ spherical harmonic , ( , )l mY θ ϕ ในกรณ ,l m ตางๆกน
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-49
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
00
1 1( , )2
Y θ ϕπ
=
01
1 3( , ) cos2
Y θ ϕ θπ
= 11
1 3( , ) sin2 2
iY e ϕθ ϕ θπ
+ += −
( )0 22
1 5( , ) 3cos 14
Y θ ϕ θπ
= − 12
1 15( , ) sin cos2 2
iY e ϕθ ϕ θ θπ
+ += −
2 2 22
1 15( , ) sin4 2
iY e ϕθ ϕ θπ
+ +=
( )0 23
1 7( , ) cos 5cos 34
Y θ ϕ θ θπ
= − ( )1 23
1 21( , ) sin 5cos 18
iY e ϕθ ϕ θ θπ
+ += − −
2 2 23
1 105( , ) sin cos4 2
iY e ϕθ ϕ θ θπ
+ +=
3 3 33
1 35( , ) sin8
iY e ϕθ ϕ θπ
+ += −
ตารางแสดง associated Legendre polynomial (credit: Weisstein, Eric W. "Spherical Harmonics." From MathWorld-
-A Wolfram Web Resource) ตารางขางตนแสดงเฉพาะในสวนท 0m ≥ สาหรบกรณท 0m < เราสามารถใชเอกลกษณทางคณตศาสตรทเกยวของกบ complex conjugate ของ ( , )m
lY θ ϕ กลาวคอ
( )( , ) 1 ( , )mm ml lY Yθ ϕ θ ϕ
∗− ⎡ ⎤= − ⎣ ⎦
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-50
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
0, 0l m= =
1, 0l m= = 1, 1l m= =±
2, 0l m= = 2, 1l m= =± 2, 1l m= =±
x
y
z
Spherical Harmonics 2( , )m
lY θ ϕ
2
mlY(θ,φ)
0, 0l m= =
1, 0l m= = 1, 1l m= =±
2, 0l m= = 2, 1l m= =± 2, 1l m= =±
x
y
z
Spherical Harmonics 2( , )m
lY θ ϕ
2
mlY(θ,φ)
ภาพ (8.9) แสดงรปรางของ spherical harmonics ยกกาลงสอง ในกรณตางๆกน แบบฝกหด 8.8 จงแสดงใหเหนวา
( ) ( ) ( )2
, 1 , 1 ,0 0
sin ( , ) cos ( , )m ml l l l l m mld d Y Y
π πϕ θ θ θ ϕ θ θ ϕ δ δ δ
∗′′ ′ ′+ −′ = +∫ ∫
l และ m เปนจานวนเตม
เมอกลาวถง angular momentum โดยทวไปนน เราใชสญลกษณ = +J L S ซงรวมเอา angular momentum ทงสองชนดไดดวยกน กลาวคอ 1) orbital angular momentum และ 2) spin angular momentum นอกจากน ในบทท 3 เราไดพสจนแลววา เมอพจารณาขนาดของ angular momentum และ องคประกอบตามแนวแกน z ของ angular momentum
2 2ˆ , ( 1) ,J j m j j j m= + และ ˆ , ,zJ j m m j m=
โดยท j มคาไดอยในชวง 1 30, ,1, , 2,2 2
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
เพยงเทานน แตเมอเราเรมศกษาเกยวกบ eigenstate
ของ orbital angular momentum operator ซงอาจจะเขยนอยในรป
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-51
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
2 2ˆ , ( 1) ,L l m l l l m= + และ ˆ , ,zL l m m l m=
ดงกลาวนน เราไดสมมตวา l มคาไดอยในชวง { }0,1,2,3, ซงเปนจานวนเตม และแตกตางจากกรณของ j ทเปนไดทงจานวนเตม หรอ ครงหนง ของจานวนเตมกได และใน Section น เราจะไดอภปรายถงสาเหตท l และ m จะตองเปนเลขจานวนเตมเพยงเทานน ถาเราพจารณา eigenstate ของ ˆzL ในพกดทรงกลม ซงกคอ
( ) ime ϕϕΦ = โดยทตวแปร ϕ แสดงถงมมกวาดตามแนวราบในพกดทรงกลม และสมมตวา แตเดมอนภาคตงอย ณ ตาแหนงทมมม 0ϕ ϕ= จากนนทาการหมนอนภาคดงกลาวใหครบ 1 รอบพอด กลาวคอ กาหนดให 0 2ϕ ϕ π→ + เนองจากเรากาลงพจารณาพกดทรงกลมใน 3 มต อนภาคจะตองมาอย ณ จดเดม กอนทจะมการหมน หรออกนยหนง
( )0 0
200
( ) ( 2 )imime e ϕ πϕ
ϕ ϕ π+
Φ = Φ +
=
สมการขางตนจะเปนจรงไดในทกๆกรณ กตอเมอ 2 1i me π = ซงจะเกดขนไดถา
m เปนจานวนเตม และเนองจาก ( ) ( ){ }, 1 , , 1 ,m l l l l∈ − − − + + + การท m เปนจานวนเตม กยอมหมายความวา
l เปนจานวนเตม
ดวยเชนกน กลาวโดยสรปกคอ โดยอาศยตรรกะทเกยวของกบ symmetry ของระบบพกดใน 3 มต ซงกคอ eigenstate ของ ˆzL จะตองไมมการเปลยนแปลง เนองจากการหมนเปนมม 2π รอบแกน z เราสามารถบอกไดวา l และ m จะตองเปนจานวนเตมเสมอ
รปแบบทสมบรณของ ( ), ,E rψ θ ϕ ในพกดทรงกลม
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-52
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
มาถงขนน เรามขอมลทครบถวนทจะสราง probability amplitude หรอ ทเรยกวา wave function ของอนภาคในพกดทรงกลม และเปนการดทเราจะไดสรปขนตอนโดยทวไปของการนา quantum mechanics มาวเคราะหระบบทเปน central potential
โจทยกาหนด central potential ( )V r
แกสมการ radial equation
( ) 22 2, , ,2 2
12 ( ) ( )2 2
n l n l n ll l
R r E R rm r rr mr
⎧ ⎫⎛ ⎞ +∂ ∂⎪ ⎪− + + =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∂∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
,
,
( )n l
n l
R r
E⎧⎪⎨⎪⎩
ไดผลลพธ
สราง complete wave function
, , ,( , , ) ( ) ( , )mn l m n l lr R r Yψ θ ϕ θ ϕ=
General Steps for Solving Central Potential Problem
โจทยกาหนด central potential ( )V r
แกสมการ radial equation
( ) 22 2, , ,2 2
12 ( ) ( )2 2
n l n l n ll l
R r E R rm r rr mr
⎧ ⎫⎛ ⎞ +∂ ∂⎪ ⎪− + + =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∂∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
,
,
( )n l
n l
R r
E⎧⎪⎨⎪⎩
ไดผลลพธ
สราง complete wave function
, , ,( , , ) ( ) ( , )mn l m n l lr R r Yψ θ ϕ θ ϕ=
General Steps for Solving Central Potential Problem
ภาพ (8.10) แสดงขนตอนโดยทวไปของการวเคราะหระบบแบบ central potential ดงแสดงใน ภาพ (8.10) กลไกโดยทวไปในการวเคราะหระบบแบบ central potential แบงออกเปน 3 ขนตอนดวยกนคอ 1) อาศยกฎเกณฑทางฟสกสเปนตวกาหนด central potential ( )V r ของระบบทเราตองการศกษา
ยกตวอยางเชน model อยางงายของ nucleon ภายในนวเคลยส 0( )
r aV r
r a<⎧
= ⎨∞ ≥⎩ หรออกตวอยาง
หนงกคอ อเลกตรอนของ hydrogen atom 2
0
1( )4eV r
rπε= − เปนตน
2) ทาการแกสมการ ( ) 22 2, , ,2 2
12 ( ) ( ) ( )2 2
n l n l n ll l
V r R r E R rm r rr mr
⎧ ⎫⎛ ⎞ +∂ ∂⎪ ⎪− + + + =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∂∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-53
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
ซงกขนอยกบความซบซอนของ ( )V r วาเราสามารถทจะหาผลเฉลยใหอยในรปของ analytical solution ไดหรอไม ถาหากไมได การใชวธ numerical method ในการประมาณคาตอบของสมการกเปนทางเลอกหนง ทสามารถทาไดโดยไมยากนก ผลลพธทไดจากการแกสมการกคอ i) ระดบพลงงาน ,n lE ของระบบ ซงการใชดชน ,n l ในการกากบพลงงานดงกลาว กเพอทจะบงชใหชดเจนวา ระดบพลงงานทไดนน ขนอยกบ orbital angular momentum l และในแตคาของ l กจะมระดบพลงงานไดมากกวาหนงอน ซงกากบดวยดชน n นนเอง และ ii) radial wave function , ( )n lR r ซงเปนฟงชนกทแสดงถงการกระจายตวในแนวรศมของ probability amplitude ทงน ดชน ,n l เปนสงทบงชใหเหนวา ระบบทม orbital angular momentum l และระดบพลงงาน n ทแตกตางกน กจะมการกระจายตวในแนวรศมทแตกตางกนดวยเชนกน 3) สราง probability amplitude ใน 3 มตทสมบรณของระบบ โดยท
,, , ( ) ( , )mn l lE l m R r Y θ ϕ=r __________________ สมการ (8.89)
เมอ , ( , )l mY θ ϕ กคอ spherical harmonics function ดงทแสดงในตารางขางตน
8.8 Application - Coulomb Potential
ตงแตป 1913 นกวทยาศาสตรไดทาการศกษาการแผรงสของ hydrogen atom หรอทเรยกวา emission spectrum อยางละเอยดและพบวาแสงทเปลงออกมานน มความยาวคลน λ แตกตางกนออกไป ยกตวอยางเชน ในชวงแสงสแดง ณ ความยาวคลน 410.2nmλ = หรอในชวงแสงสนาเงน ณ ความยาวคลน 486.1nmλ = เปนตน กอนหนานนถง 30 ป โดยอาศยการลองผดลองถก ในป 1885 อาจารยชาว Swiss ชอ Johann Balmer ไดคนพบสตรทางคณตศาสตรทสามารถทานายความยาวคลนของแสง ทแผออกมาจาก hydrogen atom ไดตรงกบผลของการทดลอง (เปนบางสวน) ซงมสมการวา
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-54
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
2 21 1 1
2R
nλ⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠
______________ สมการ (8.90)
และความยาวคลนแสงทสอดคลองกบสมการขางตนนน เรยกวา Balmer series เมอ R คอคาคงทซงเทากบ 7 11.097 10 m−× อยางไรกตาม ความเขาใจทถองแทเกยวกบทมาของสมการดงกลาว ตลอดจนขอมลเชงทฤษฏในแงอนๆทเกยวของกบ hydrogen atom ยงจาเปนจะตองรอจนกวาจะมการถอกาเนดของ quantum mechanics ในป 1926 และใน Section น เราจะไดศกษาถงระดบพลงงานของ hydrogen ในมมมองของ quantum mechanics ซงจะเปนพนฐานทสาคญในการทาความเขาใจกบธรรมชาตของอะตอม ทประกอบกนขนเปนสรรพสงรอบๆตวเรา
Bound State Solutions ณ Asymptotic Limits
เมอพจารณาการเคลอนทของอเลกตรอน ทอยภายใตอทธพลของ Coulomb interaction ระหวางนวเคลยส ซงมประจเทากบ Ze+ จะพบวาพลงงานศกยกคอ
2
0( )
4e ZV r
rπε= −
และในการคานวณ probability amplitude ของระบบ เราเรมดวย radial equation
( ) 22 2 2
2 2 0
12 ( ) ( )2 42
l l e Z R r E R rm r r rr mr πε
⎧ ⎫⎛ ⎞ +∂ ∂⎪ ⎪− + + − =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∂∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ ________ สมการ (8.91)
เพอทจะทราบสมบตอยางคราวๆของผลเฉลย ( )R r เรามาลองวเคราะหผลเฉลยดงกลาวในสอง asymptotic limit ดวยกนคอ 1) ทรศมหางจากนวเคลยสอยมากพอสมควร หรอ 1r และ 2) ทบรเวณใกลกบจดกาเนด หรอ 1r
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-55
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
1) ในกรณท 1r จะมอย 3 เทอมทปรากฏอยทางซายมอของสมการขางตน ทมคานอยมาก
โดยประมาณแลว เราสามารถตดออกจากสมการได ซงเทอมเหลานกคอ 2r
, ( ) 2
21
2
l l
mr
+ , และ
2
04e Z
rπε เพราะฉะนนแลว สมการ (8.91) ลดรปเหลอ
1r 2
2 22( ) ( ) 0mER r R r
r∂
+ =∂
ในทางคณตศาสตรแลว สมการขางตนมผลเฉลยอยสองประเภท ขนอยกบคาของระดบพลงงาน E กลาวคอ
ถา 0E > 22
( ) expm E
R r i r⎛ ⎞⎜ ⎟±⎜ ⎟⎝ ⎠
∼ ________ สมการ (8.92)
ถา 0E < 22
( ) expm E
R r r⎛ ⎞⎜ ⎟±⎜ ⎟⎝ ⎠
∼ ________ สมการ (8.93)
ทงน เมอเรากาลงพจารณา bound state solution ซงหมายถงการกาหนดใหอเลกตรอนอยภายในบรเวณใกลเคยงกบนวเคลยส หรออกนยหนง
bound state solution lim ( ) 0r
R r→∞
=
นนกคอ ความนาจะเปนทจะพบอนภาค ณ ตาแหนงไกลออกไปจากนวเคลยส จะตองมคาเปนศนย แตจากสมการ (8.92) และ (8.93) เงอนไของ bound state จะเกดขนไดกตอเมอ ระดบพลงงาน
0E < และ 22
( ) expm E
R r r⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
∼ ดงนนเราสรปไดวา
ในกรณ bound state ของ hydrogen atom 0E <
และเมอ 1r จะทาให 22
( ) expm E
R r r⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
∼
__________________ สมการ (8.94)
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-56
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
ดงแสดงในสมการขางตน จะพบวาในสถานะ bound state นน พลงงานของ hydrogen atom จะตองมคาเปนลบ และในบรเวณทอยหางออกไปจากนวเคลยส ความนาจะเปนทจะพบอเลกตรอนมคาลดลงเรอยๆแบบ exponential decay นนเอง 2) ในกรณท 1r เราลองเดาผลเฉลยของ ( )R r ในกรณดงกลาวน โดยสมมตใหอยในรป ( ) sR r r= ซงเมอแทนเขาไปในสมการ (8.91) จะได
( ) ( ) 22 22 2 2 1
0
1( 1) 2
2 2 4s s s s sl l es s r sr r Zr Er
m m πε− − − −+
− − + + − =
เมอคณทงสองขางของสมการดวย 2sr− + ทาให
[ ] ( ) 22 22
0
1( 1) 2
2 2 4l l es s s Zr Er
m m πε+
− − + + − =
ในกรณท 0r → เราสามารถทจะตดเทอม 2
04e Zrπε
และ 2Er ทงไปได เพราะฉะนน
( )
[ ] ( )( 1) 2 1 0
1 0
s s s l l
s l s l
− − − + + =
⎡ ⎤− + + =⎣ ⎦
หรอ s l= + และ ( 1)s l= − + ในทนเราเลอกเฉพาะผลเฉลยท ( ) lR r r∼ เทานน เพราะวาผล
เฉลย ( 1)( ) lR r r− +∼ นนมคาลเขาส infinity ณ จดกาเนด เพราะฉะนน
ในกรณ bound state ของ hydrogen atom เมอ 1r จะทาให ( ) lR r r∼
__________________ สมการ (8.95) ขอมลทเราวเคราะหได มาจนถงบดนกคอลกษณะทางคณตศาสตรแบบหยาบของฟงชนก ( )R r ใน 2 กรณดวยกนคอ
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-57
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
22
exp if 1( )
if 1l
m Er r
R r
r r
⎧ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟−⎪ ⎜ ⎟⎨ ⎝ ⎠⎪⎪⎩
∼
จะเปนพนฐานทสาคญในการชวยแนะแนวทางใหเราสามารถเขยนผลเฉลย ( )R r ณ ตาแหนง r ใดๆ ไดสาเรจ
ระดบพลงงานของ Bound State
จะสงเกตวาสมการ (8.91) ยงประกอบดวยคาคงทจานวนหนง อาทเชน 2
2m หรอแมกระทง
พลงงาน E ซงกถอวาเปนคาคงทของระบบอกอนหนง ถาเรานยามตวแปรของระยะทาง
28m E
rρ = __________________ สมการ (8.96)
จากนนเขยนสมการ (8.91) ใหอยในรปของ ρ จะไดวา
( ) ( ) ( ) ( )2
2 212 1 0
4l l
R R Rγρ ρ ρρ ρ ρρ ρ
⎛ ⎞ + ⎛ ⎞∂ ∂+ − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠
_________ สมการ (8.97)
โดยท 2
04 2Ze m
Eγ
πε= และเมอพจารณา asymptotic limit ดงในสมการ (8.94) และ สมการ
(8.95) จะพบวา
2 if 1( )
if 1l
eR
ρ ρρ
ρ ρ
−⎧⎪⎨⎪⎩
∼
เทคนคในทางฟสกสทพบบอย เพอทจะหาผลเฉลยของสมการ (8.97) นน ทาไดโดยการเขยน ( )R ρ ใหอยในรปผลคณของ asymptotic limit ทงสอง และคณอยกบฟงชนกทวไปอนหนง
กลาวคอ กาหนดให
2( ) ( )lR e ρρ ρ ρ−= L _________________ สมการ (8.98)
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-58
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
สมการขางตนมไดมการประมาณเขามาเกยวของแตอยางใด ถงแมเราจะจากดรปแบบทางคณตศาสตรใหอยในรปของ 2le ρρ − แตฟงชนก ( )ρL กยงสามารถทจะเปนอะไรกได และเพอทจะหาวา ( )ρL มรปแบบเชนใด แทน ( )R ρ ดงในสมการ (8.98) เขาไปในสมการ (8.97) ทาให
( )2
212 2( ) 1 ( ) ( ) 0
ll γρ ρ ρ
ρ ρ ρρ
⎛ ⎞− +⎛ ⎞∂ + ∂+ − + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
L L L _________ สมการ (8.99)
กอนทจะทาการวเคราะหเพอหาผลเฉลยทางคณตศาสตรของ ( )ρL เราจะทาการพสจนใหเหนวา การทผลเฉลยจะอยลกษณะทเปน bound state solutions นน γ จะตองเปนจานวนเตมเสมอ พจารณาฟงชนก ( )ρL ทอยในรป power series expansion
0( ) k
kk
cρ ρ∞
== ∑L
และเมอแทน summation ดงกลาวเขาไปในสมการ (8.99) จะพบวา
( ) ( )
[ ] ( )
2 2 1 1
2 1 1 0
2 1
2 0
( 1) 2 1 1 0
( 1) 2( 1) 1 0
k k k kk k k k
k k k k
k kk k
k k
k k c l kc kc l c
kc k l c l k
ρ ρ ρ γ ρ
ρ γ ρ
∞ ∞ ∞ ∞− − − −
= = = =∞ ∞
− −
= =
⎡ ⎤− + + − + − + =⎣ ⎦
⎡ ⎤− + + + − + + =⎣ ⎦
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
ถาสงเกตใหดจะเหนวาเทอมแรก สามารถจดรปของ summation ใหมไดเปน
[ ] 2 11
2 0( 1) 2( 1) ( 1)( 2 2)k k
k kk k
kc k l k k l cρ ρ∞ ∞
− −+
= =− + + = + + +∑ ∑
เพราะฉะนนแลว สมการขางตนกลายเปน
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-59
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
( )
[ ] ( ){ }
1 11
0 0
11
0
( 1)( 2 2) 1 0
( 1)( 2 2) 1 0
k kk k
k k
kk k
k
k k l c c l k
k k l c l k c
ρ γ ρ
γ ρ
∞ ∞− −
+= =
∞−
+=
⎡ ⎤+ + + + − + + =⎣ ⎦
⎡ ⎤+ + + + − + + =⎣ ⎦
∑ ∑
∑
เนองจากสมบตความเปน orthogonal ของ polynomial 1kρ − สมการจะเปนจรงไดในทกกรณ กตอเมอเทอมภายในวงเลบปกกาตองมคาเทากบศนย หรอ
[ ] ( )1( 1)( 2 2) 1 0k kk k l c l k cγ+ ⎡ ⎤+ + + + − + + =⎣ ⎦
ทาให
( )1
1( 1)( 2 2)k k
l kc c
k k lγ
++ + −
=+ + +
_________________ สมการ (8.100)
สมการขางตน เปนกลไกทสามารถใชในการคานวณหาเซตของสมประสทธ { }kc ยกตวอยางเชน เราอาจจะกาหนดให 0l = และ 0 1c = ซงจะไดวา 0 1c =
( )1 0
0 1 0 1(0 1)(0 2 0 2) 2
c cγ γ+ + − −
= =+ + ⋅ +
( )2 1
0 1 1 2 1(1 1)(1 2 0 2) 6 2
c cγ γ γ+ + − − −
= = ⋅+ + ⋅ +
3c = เชนนเปนตน
อยางไรกตาม ถาสมประสทธมคา 0kc ≠ เชนนเรอยไป สดทายแลวจะทาให 1 1lim kk k
cc k+
→∞=
ซงกหมายถง 0
( ) kk
kcρ ρ
∞
== ∑L จะมคาเขาสอนนต ณ บรเวณทอยไกลจากนวเคลยส ( ρ →∞ )
และทาใหขดกบขอกาหนดของ bound state solutions ทเราตงใจไวตงแตแรก วธการทจะหลกเลยงไมใหเกดสถานการณทไมพงประสงคดงกลาว กคอการกาหนดให γ มคาเทากบจานวนเตมบวกคาหนง กลาวคอ
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-60
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
กาหนดให nγ = เมอ 1,2,3,n = และในสถานการณเชนน เมอ 1k n l= − − จะทาให 1 0kc + = , 2 0kc + = , และ 3 0kc + =
อยางนเรอยไป สงผลให ( 1)
0( )
n lk
kk
cρ ρ− −
== ∑L เปน polynomial ทม order สงสดเพยงแค order
( 1)n l− − และจะไมลเขาสอนนต เปนไปตามทเราตองการ
จากคานยามของ 2
04 2Ze m
Eγ
πε= จะไดวา ระดบพลงงานของระบบกคอ
22
2 20
14 2
nZe mE
nπε
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
เมอ 1,2,3,n = ____________ สมการ (8.101)
นอกจากนจะพบวา มคาของ l ทเปนไปไดอยจานวนหนง ททาใหระดบพลงงานเทากน ซงกคอ
0,1, , ( 1)l n= − _________________ สมการ (8.102)
r
En
( )V r
1E
2E3E
ระดบพลงงานของ hydrogen atom
อเลกตรอนกระโดดลงมาทระดบพลงงานตากวาและเปลงแสงออกมา
อเลกตรอนกระโดดลงมาทระดบพลงงานตากวาและเปลงแสงออกมา
photon
fn
in
f ihv E E= −
r
En
( )V r
1E
2E3E
ระดบพลงงานของ hydrogen atom
อเลกตรอนกระโดดลงมาทระดบพลงงานตากวาและเปลงแสงออกมา
อเลกตรอนกระโดดลงมาทระดบพลงงานตากวาและเปลงแสงออกมา
photon
fn
in
f ihv E E= −
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-61
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
ในกรณของ hydrogen atom นน 22
2013.6eV
4 2Ze mπε
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
และเพอเปรยบเทยบกบผลการ
ทานายทเรยกวา Balmer series ดงทไดเกรนไวขางตนในสมการ (8.90) เรามองวาแสงทเปลงออกมาจาก hydrogen atom นน เกดขนจากการทอเลกตรอนมการกระโดดจากระดบพลงงานในชน fn ท
สงกวา มายงระดบพลงงาน in ทตากวา สงผลใหเปลงแสงทมพลงงานเทากบ f iE E EΔ = −
หรออกนยหนง
2 22 2
2 2 2 2 2 20 0
1 1 1 14 42 2f i i f
Ze m Ze mhvn n n nπε πε
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
และเมออาศยความสมพนธระหวางความยาวคลนของแสง และความถของมน c vλ= ทาให
22
2 2 20
Rydberg constant
1 1 1 14 2 i f
Ze mhc n nλ πε
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦
จากการคานวณ เราจะพบวา Rydberg constant นนมคาเทากบ 7 11.097 10 m−× และ Balmer series นนเปนเพยงกรณทมการกระโดดจากระดบพลงงาน fn ใดๆ มาสระดบพลงงานชนท 2in =
Radial Wave Function
มาถงขนนเรากมความพรอมทจะคานวณหา radial wave function ( )R ρ กอนอน เพอความสะดวก
เราจะเขยนคานยามของ 28m E
rρ = เสยใหม โดยอาศย 22
2 20
14 2Ze mE
nπε
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
จะได
2
201 0
24
a
e m Z rn
ρπε
= ⋅ ⋅ ⋅
ซงโดยทวไปแลว คาคงท 2
00 2
4 0.529Aame
πε= ≅ มชอเรยกวา Bohr radius ซงเปนหนวยใน
การวดระยะทางในระดบอะตอม เพราะฉะนนแลว จงเปนการเหมาะสมเราจะเขยน
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-62
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
0
2Z rn a
ρ = ⋅ ______________________ สมการ (8.103)
นอกจากนจะสงเกตวาสมการ (8.99) นน มความคลายคลงกบสมการทางคณตศาสตรทชอ associated Laguerre equation ทวา
2
21( ) 1 ( ) ( ) 0k sx x x
x x xx∂ + ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂L L L _________ สมการ (8.104)
เมอ k และ s เปนจานวนเตม และ Edmond Laguerre (1834-1886) ไดทาการศกษาผลเฉลยของสมการดงกลาว ซงมชอวา associated Laguerre function ทมกจะเขยนโดยใชสญลกษณ
( )( ) ( )!
k x sk x s ks s
x e dx e xs dx
−− +=L ______________ สมการ (8.105)
ยกตวอยางเชน
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
( )0( )1
( ) 22
( ) 3 23
( ) 1
( ) 11( ) 2 2 1 221( ) 3 3 3 2 3 1 2 36
k
k
k
k
x
x x k
x x k x k k
x x k x k k x k k k
=
= − + +
⎡ ⎤= − + + + +⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + + − + + + + + +⎣ ⎦
L
L
L
L
ซงมเอกลกษณทางคณตศาสตรทเกยวของกบ integration ดงตอไปน
( )( ) ( ),
0
!( ) ( )
!k kx k
s ss ss k
dx e x x xs
δ∞
−′′
+=∫ L L ______________ สมการ (8.106)
และ
( ) ( )21 ( )
0
!( ) 2 1
!x k k
ss k
dx e x x s ks
∞− + +⎡ ⎤ = + +⎣ ⎦∫ L ______________ สมการ (8.107)
นอกจากน ( 1)( ) ( 1)1( ) ( ) ( )kk k
s s sx x x++−= −L L L ______________ สมการ (8.108)
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-63
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
เมอเปรยบเทยบ associated Laguerre equation (8.104) กบสมการ (8.99) เราสามารถเขยนผลเฉลยของ radial equation ไดวา
(2 1)2, 1( ) ( )ll
n l n lR N e ρρ ρ ρ+−− −= L
ซง N กคอ normalization constant ทจะทาให 22,
0( ) 1n ldr r R r
∞⎡ ⎤ =⎣ ⎦∫ หรอในรปของ ρ
3 2(2 1)2 2 20
10
( ) 12
lln l
naN d eZ
ρρ ρ ρ ρ∞
+−− −
⎛ ⎞ ⎡ ⎤ =⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ∫L
และจากเอกลกษณทางคณตศาสตรของ associated Laguerre functionsในสมการ (8.107) จะพบวา
( )( )
2(2 1)2 21
0
2 !( )
1 !ll
n ln n l
d en l
ρρ ρ ρ ρ∞
+−− −
+⎡ ⎤ =⎣ ⎦ − −∫ L ดงนน ( )
( )
3 2
0
1 !22 !n lZN
na n n l− −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ และ
ในทายทสด
( )( )
3 2(2 1)2
, 10
1 !2( ) ( )2 !
lln l n l
n lZR r ena n n l
ρρ ρ+−− −
− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟ +⎝ ⎠
L เมอ 0
2Z rn a
ρ = ⋅
____________________ สมการ (8.109) ยกตวอยางเชน
3 2
01,00
( ) 2 Zr aZR r ea
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
3 2
2 02,00 0
( ) 2 12 2
Zr aZ ZrR r ea a
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
2 02,10 0
1( )23
Zr aZ ZrR r ea a
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )3 2 23 03,0 20 0 0
22( ) 2 13 3 27
Zr aZrZ ZrR r ea a a
−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-64
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
3 2
3 03,10 0 0
4 2( ) 19 3 6
Zr aZ Zr ZrR r ea a a
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2 2
3 03,20 0
2 2( )327 5
Zr aZ ZrR r ea a
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0 5 10 15 20
0.5
1
1.5
2
0 5 10 15 200.2−
0.2
0.4
0.6
0.8
0 5 10 15 20
0.1−
0.1
0.2
0.3
0r a
1,0 ( )R r 2,0R
2,1R
3,0R3,1R3,2R
Radial Probability Amplitude ของ Hydrogen Atom, ( )n lR r
0 5 10 15 20
0.5
1
1.5
2
0 5 10 15 200.2−
0.2
0.4
0.6
0.8
0 5 10 15 20
0.1−
0.1
0.2
0.3
0r a
1,0 ( )R r 2,0R
2,1R
3,0R3,1R3,2R
Radial Probability Amplitude ของ Hydrogen Atom, ( )n lR r
Complete Wave Function ของ Hydrogen Atom
สงทเราไดวเคราะหมาดวยความลาบากพอสมควร กคอ , ( )n lR r , ( , )mlY θ ϕ , และ nE ของ
hydrogen atom ทาใหเราทราบขอมลทงหมดเกยวกบ hydrogen atom นนกคอ probability amplitude (หรอ wave function) ของอเลกตรอนภายในอะตอมนนเอง กาหนดให , ,n l m แทนสถานะ eigenstate ของ hydrogen atom จะไดวา
( ), , ,, , , , , , ( ) ( , )mn l m n l lr n l m r R r Yθ ϕ ψ θ ϕ θ ϕ= = ______________ สมการ (8.110)
โดยท ( )( )
3 2(2 1)2
, 10
1 !2( ) ( )2 !
lln l n l
n lZR r ena n n l
ρρ ρ+−− −
− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟ +⎝ ⎠
L เมอ 0
2Z rn a
ρ = ⋅
( )( )
!2 1( , ) (cos )4 !
m m iml l
l mlY P el m
ϕθ ϕ θπ
−+= ⋅
+
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-65
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
1n =
2n =
3n =
0, 0l m= =
1, 0l m= = 1, 1l m= = ±
0, 0l m= =0, 0l m= =
1, 0l m= = 1, 1l m= = ±
2, 0l m= = 2, 1l m= = ± 2, 2l m= = ±
x
z
การกระจายตวของ probability density ในระนาบ x-z2
, ( ) ( , )mn l lR r Y θ ϕ
1n =
2n =
3n =
0, 0l m= =
1, 0l m= = 1, 1l m= = ±
0, 0l m= =0, 0l m= =
1, 0l m= = 1, 1l m= = ±
2, 0l m= = 2, 1l m= = ± 2, 2l m= = ±
x
z
x
z
การกระจายตวของ probability density ในระนาบ x-z2
, ( ) ( , )mn l lR r Y θ ϕ
ภาพ (8.11) แสดงการกระจายตวของ probability density หรอ
2, ( ) ( , )m
n l lR r Y θ ϕ ของ hydrogen
atom ในระนาบ x-z บรเวณทภาพมความเขมสงหมายถงมความนาจะเปนทจะพบอเลกตรอน ณ ตาแหนงดงกลาวสง ในขณะท background สขาวหมายถงบรเวณทไมมอเลกตรอนปรากฏอย และสมบตอนๆทเกยวของกบ operator อาทเชน
ˆ , , , ,nH n l m E n l m= ซง 22
2 20
14 2
nZe mE
nπε
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
( )2 2ˆ , , 1 , ,L n l m l l n l m= + { }0,1, , ( 1)l n∈ − ˆ , , , ,zL n l m m n l m= ( ) ( ){ }, 1 , , 1 ,m l l l l∈ − − − + − +
ดงแสดงใน ภาพ (8.11) ทเรยกไดวาเปนการกระจายตวของกลมหมอกอเลกตรอน ในกรณทมนมระดบพลงงาน และ สมบตเชง orbital angular momentum ตางๆกน ซงมขอสงเกตอยหลายประการดงตอไปน 1) เฉพาะในกรณท orbital angular momentum 0l = เพยงเทานน ทอเลกตรอนมโอกาสทจะอย ณ ตาแหนงของนวเคลยสพอด
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-66
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
2) ในระดบพลงงานสงขน หรอ n มากขนนน อเลกตรอนมโอกาสทจะอยหางไกลจากนวเคลยสมากขน ซงจะสงเกตไดจากภาพวา อะตอมมขนาดใหญขน ในทางคณตศาสตร เราสามารถคานวณรศมโดยเฉลยของของอเลกตรอนไดวา
20, , , , 3 ( 1)2ar n l m r n l m n l lZ⎡ ⎤= = − +⎣ ⎦ _____________ สมการ (8.111)
แบบฝกหด 8.9 จงพสจนสมการ (8.111) นอกจากน ยงมสมบตทางคณตศาสตรอกจานวนหนงทจะเปนประโยชนมากในการคานวณคาเฉลยของปรมาณทางฟสกสในลาดบตอไป อาทเชน
22 2 20, , , , 2 5 1 3 ( 1)
2a nr n l m r n l m n l l
Z⎛ ⎞ ⎡ ⎤= = + − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
_______ สมการ (8.112)
20
1 1, , , , Zn l m n l mr r n a
= = _______ สมการ (8.113)
( )
2
2 2 3 20
1 1 2, , , ,2 1
Zn l m n l mr r n a l
= =+
_______ สมการ (8.114)
( )( )
3
3 3 3 30
1 1 2, , , ,1 2 1
Zn l m n l mr r n a l l l
= =+ +
_______ สมการ (8.115)
แบบฝกหด 8.10 จงคานวณพลงงานจลนโดยเฉลยของ hydrogen atom ถาระบบอยในสถานะ eigenstate , ,n l m และแสดงใหเหนวา
2ˆ2 np Em
= ___________________ สมการ (8.116)
เมอเปรยบเทยบกบอะตอมอนๆทมอยในธรรมชาต hydrogen atom ถอเปน model พนฐานและไมซบซอนจนเกนไป ทจะเปดโอกาสใหเราใชผลการวเคราะหทางคณตศาสตรไดอยางแมนยา อยางไรกตาม เรองราวเกยวกบ hydrogen atom ยงมไดจบลงแตเพยงระดบพลงงานและรปรางของกลมหมอกอเลกตรอนทปรากฏเทานน ยงมอนตรกรยาอนๆ อกทเรายงไมไดกลาวถง อาทเชน interaction ทเกยวของกบ spin ของโปรตอนและอเลกตรอนภายใน hydrogen atom, interaction ระหวาง hydrogen atom กบ สนามไฟฟา หรอ
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-67
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
สนามแมเหลก ภายนอกทปอนใหกบระบบ, หรอแมกระทง ปรากฏการณทมวลของอเลกตรอนมคาเพมขนเลกนอยเมอมนเคลอนทดวยความเรวสง (อนเปนผลจากทฤษฏ special relativity ของ Einstein) ซงเราจะไดกลาวถงปรากฏการณตางเหลานในอนาคต ภายหลงจากทไดศกษาเทคนคทาง quantum mechanics ทเรยกวา perturbation theory เรยบรอยแลว
8.9 บทสรป
ประเดนหลกของเนอหาในบทนกคออนภาคทเคลอนทอยภายใตอทธพลของ central potential
( ) ( )V V r=r สงผลให Hamiltonian ของระบบอยในรปของ
2ˆˆ ( )2pH V rm
= +
ดวยความทเปนระบบใน 3 มต เราเขยนสถานะ Ψ ของอนภาคใหอยในรป linear superposition ของ position basis states
3d ( )rψΨ = ∫ r r
เมอ ( )ψ r คอ probability amplitude ของสถานะ r และดวยคานยามของฟงชนกดงกลาว สามารถตความไดวา
2 3( ) d rψ =r ความนาจะเปนทอนภาคจะมตาแหนงอยระหวาง x x dx→ + , y y dy→ + , และ z z dz→ +
operator ทมความสาคญอยางมากในการศกษา central potential กคอ operator ทเกยวของกบ orbital angular momentum ˆzL และ 2L ซงเขยนใหอยในรปของ position และ momentum operator ไดวา
ˆ ˆˆ ˆ ˆz y xL xp yp= − และ ( )22 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆL r p r p i r p= − ⋅ + ⋅
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-68
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
ซง operator ทงสองนน commute กบ Hamiltonian กลาวคอ
2ˆ ˆ ˆ ˆ, 0 ,zL H L H⎡ ⎤⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
สงผลให เราสามารถกาหนดให , ,E l m เปนสถานะ eigenstate ของระบบ central potential โดยท
( )2 2
ˆ , , , ,
ˆ , , 1 , ,ˆ , , , ,z
H E l m E E l m
L E l m l l E l m
L E l m m E l m
=
= +
=
เมอ l มคาไดอยในชวง { }0,1,2,3, และ ( ) ( ){ }, 1 , , 1 ,m l l l l∈ − − − + + + ทงน นอกจาก
พกด Cartesian ทเราใชเปนตวกากบตาแหนงของอนภาคแลว เราอาจจะใชพกดทรงกลม ( ), ,r θ ϕ และเขยนสถานะ Ψ ใหอยในรปของ linear superposition
23 2
0 0 0d ( ) sin ( , , ) , ,r drd d r r r
π πψ θ ϕ θψ θ ϕ θ ϕ
∞Ψ = =∫ ∫ ∫ ∫r r
ซงฟงชนก ( , , )rψ θ ϕ กคอ probability amplitude ในพกดทรงกลม และ
2 2( , , ) sinr r drd dψ θ ϕ θ θ ϕ =ความนาจะเปนทจะพบอนภาคภายในกลองขนาด 2 sindV r drd dθ θ ϕ= ซงตงอย ณ ตาแหนง ( ), ,r θ ϕ=r
และในระบบ spherical coordinate นเอง operator ทสาคญๆสามารถเขยนใหอยในรป
( )2
2 22 2
ˆ ( , , )
1 1ˆ sin , ,sin sin
zL ri
L r
ψ θ ϕϕ
θ ψ θ ϕθ θ θ θ ϕ
∂Ψ =
∂
⎧ ⎫∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎛ ⎞Ψ = − +⎨ ⎬⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭
r
r
รวมไปถง operator ทเกยวของกบ Hamiltonian ดวย ซงกคอ
2 2 22
2 2ˆ 1 2ˆ ( , , )2 22p L rm m r rmr r
ψ θ ϕ⎛ ⎞∂ ∂
Ψ = Ψ − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂⎝ ⎠r r
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-69
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
และ
2 22
2 21 2ˆ ˆ ( , , ) ( ) ( , , )
22H L r V r r
m r rmr rψ θ ϕ ψ θ ϕ
⎛ ⎞∂ ∂Ψ = Ψ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂⎝ ⎠
r r
รปแบบของ Hamiltonian operator ในพกดทรงกลมดงกลาว นาไปสการเขยน probability amplitude ใน 3 มตของระบบ ใหอยในรป
, , ,( , , ) ( ) ( , )mn l m n l lr R r Yψ θ ϕ θ ϕ=
เมอ , , ( , , )n l m rψ θ ϕ คอ eigenstate ของ Hamiltonian ซงจากสมการขางตน แยกออกเปนสองสวน
คอ 1) radial part , ( )n lR r และ 2) angular part ( , )mlY θ ϕ
ในสวนของ radial part นน สามารถหาไดจากการแกสมการ
( ) 22 2, ,2 2
12 ( ) ( ) ( )2 2
n l n ll l
V r R r E R rm r rr mr
⎧ ⎫⎛ ⎞ +∂ ∂⎪ ⎪− + + + =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∂∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
โดยจะไดผลเฉลยของสมการเปน , ( )n lR r และ eigen energy ,n lE ของระบบ จะสงเกตวา สมการดงกลาวขนอยกบ orbital angular momentum l และ ( )V r เพยงเทานน และมไดเกยวของกบ องคประกอบตามแกน z หรอ m แตอยางใด ทาใหในระบบ central potential eigenstate ทม quantum number l จะแยกออกเปน (2 1)l + fold degeneracy เปนอยางนอย นอกจากน เพอเปนตวอยางของการนาสมการดงกลาวมาประยกตใชงาน เราไดศกษาระบบของนวเคลยส โดยจาลองวาเปนกาแพงพลงงานศกยทรงกลมทแขงมาก จนโปรตอนและนวตรอนทบรรจอยภายในนน ทะลออกมาไมได
0( )
r aV r
r a<⎧
= ⎨∞ ≥⎩
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-70
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
จากการวเคราะหระดบพลงงานของระบบดงกลาวพบวา model อยางหยาบๆทเราใชนน ทานาย "nuclear magic number" วามคาเปน 2, 8, 18, 20, 34, และ 40 ทงน เมอเปรยบเทยบกบผลทไดจากการทดลอง ซงกคอ 2, 8, 20, 28, 50, หรอ 82 กถอไดวา เปนจดเรมตนทด ในสวนของ angular part ( , )m
lY θ ϕ นน ปรากฏวาไมไดขนอยกบลกษณะเฉพาะตวของ central potential ( )V r แตอยางใด และฟงชนกดงกลาว สามารถคานวณไดดวยการแกสมการ
22 2
2 21 1sin ( , ) ( 1) ( , )sin sin
m ml lY l l Yθ θ ϕ θ ϕ
θ θ θ θ ϕ
⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + = +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
ซงมผลเฉลยกคอ
( )( )
!2 1( , ) (cos )4 !
m m iml l
l mlY P el m
ϕθ ϕ θπ
−+= ⋅
+
เมอ ( )m
lP x คอ associated Legendre polynomial นอกจาก ( , )mlY θ ϕ จะเปนสวน angular part
ของ eigenstate ในระบบทเปน central potential แลว ตวมนเองยงมสมบตเปน eigenstate ของ ˆzL และ 2L operator อกดวย ในทายทสด เราไดใชเวลาในการศกษา hydrogen atom เพอทจะไดทราบถงระดบพลงงาน ตลอดจนการกระจายตวของ probability amplitude ใน 3 มตของมน hydrogen atom ประกอบดวยอเลกตรอนทอยภายใตอทธพลของ Coulomb interaction ซงมพลงงานศกยอยในรปของ
2
0( )
4e ZV r
rπε= −
และจากการแกระบบของสมการดงทกลาวไวขางตน พบวาระดบพลงงานของมนมคาเปน
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-71
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
22
2 20
14 2
nZe mE
nπε
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
เมอ 1,2,3,n =
ในแตละชน n ของระดบพลงงานนนๆ ระบบม orbital angular momentum 0,1, , ( 1)l n∈ − และถากาหนดให , ,n l m แทนสถานะ eigenstate ของ hydrogen atom จะไดวา
( ), , ,, , , , , , ( ) ( , )mn l m n l lr n l m r R r Yθ ϕ ψ θ ϕ θ ϕ= =
โดยท ( )( )
3 2(2 1)2
, 10
1 !2( ) ( )2 !
lln l n l
n lZR r ena n n l
ρρ ρ+−− −
− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟ +⎝ ⎠
L เมอ 0
2Z rn a
ρ = ⋅
( )( )
!2 1( , ) (cos )4 !
m m iml l
l mlY P el m
ϕθ ϕ θπ
−+= ⋅
+
8.10 ปญหาทายบท
แบบฝกหด 8.11 จงแสดงใหเหนวา ในกรณ eigenstate ของ hydrogen atom นน คาเฉลยของพกดตามแนวแกน z ของอเลกตรอนนน มคาเทากบ
ˆ, , , , 0z n l m z n l m= = แบบฝกหด 8.12 พจารณาพลงงานของ diatomic molecule ทอยในรปพลงงานจลนของการหมนรอบตวเอง กลาวคอ กาหนดให Hamiltonian
2ˆˆ2LHI
=
เมอ I คอคาคงท ซงอาจจะตความไดวาเปน moment of inertia
2m1m
Center of Mass
0r
Moment of Inertia21 20
1 2
m mI rm m
⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
2m1m
Center of Mass
0r
Moment of Inertia21 20
1 2
m mI rm m
⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
a) จงคานวณระดบพลงงานและ eigenstate ของระบบ b) ในกรณของ hydrochloric acid หรอ HCl พบวา absorption spectrum เกดขนท ความยาวคลน
Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 8 Central Potential 8-72
Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009
λ = 479, 243, 162, 121, และ 96 micron จงวเคราะห spectrum ดงกลาวเพอคานวณหาระยะหางระหวาง chlorine atom และ hydrogen atom ภายในโมเลกล หมายเหต: ขอมลจาก D. Bloor et at., Proc. Roy. Soc. A260, 510(1961) แบบฝกหด 8.13 พจารณา Hamiltonian ของระบบทมรปแบบทางคณตศาสตรดงตอไปน
20
ˆˆ ˆ2 zLH LI
ω= +
เมอ I และ 0ω คอคาคงท a) จงคานวณ eigen energy และ eigenstate ของระบบ b) จงใหความหมายในทางฟสกสของ Hamiltonian ดงกลาว โดยเฉพาะอยางยงทมาของเทอม 0 ˆzLω แบบฝกหด 8.14 พจารณา ground state ของ hydrogen atom จงคานวณความนาจะเปนทจะพบอเลกตรอนอยนอก classically allowed region หมายเหต: classically allowed region คอบรเวณท 0E V− ≥ แบบฝกหด 8.15 พจารณา isotope ของ hydrogen atom ทเรยกวา tritium นนกคออเลกตรอนทอยภายใตอทธพลของนวเคลยสซงประกอบดวย 1 proton และ 2 นวตรอน กาหนดใหแตเดม อเลกตรอนอยในสถานะ ground state จากนนสมมตวาเกดปฏกรยานวเคลยรขนภายในนวเคลยส ทาใหนวตรอน 1 ตวกลายเปน proton ทาใหในทายทสด นวเคลยสประกอบดวยโปรตอนถง 2 ตว a) จงคานวณความนาจะเปนทอเลกตรอนจะอยในสถานะ ground state ของระบบภายหลงจากปฏกรยานวเคลยรดงกลาว b) แสดงคาตอบออกมาเปนตวเลข แบบฝกหด 8.16 พจารณา Hamiltonian ของระบบทอยในรปของ spherical harmonic กลาวคอ
22 2ˆ 1ˆ ω
2 2pH m rm
= +
เมอ ω คอคาคงท และสมมตใหระบบอยในสถานะ bound state a) จงหาผลเฉลยของ ( )R r ณ asymptotic limit 1r และ 1r b) จงคานวณ energy eigenstate ของระบบ c) จงคานวณรปแบบผลเฉลยของ ( )R r ณ รศม r ใดๆ