Download - 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
1/25
PITA ENERGI
BAB 7
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
2/25
7.1.Asal mula celah energi
.Model elektron hampir bebas.
MATERI:
. .
.Fungsi Bloch
.Model Kronig-Peney.Persamaan sentral
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
3/25
INDIKATOR:
Mahasiswa harus dapat :
Menjelaskan asal mula celah.
Menggunakan persamaan
sentral untuk menentukan nilaicelah energi.
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
4/25
PITA ENERGITUJUAN :
Menjelaskan asal mula celah energi
Menggunakan persamaan sentral untuk menentukan nilai celah energi
Pita energi digunakan untuk membedakan antara konduktor,
semikonduktor, isolator dan superkonduktor.
Kristal dapat dikelompokkan dalam 4 golongan :
1. Konduktor
2. Semikonduktor
3. Isolator
4. Superkonduktor
Dapat dijelaskanberdasarkankonduktivitasnya
0
0
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
5/25
dan berdasarkan pita energinya :
P.K
P.V
E.g
P.K
P.V
P.K
P.V
P.V = Pita Valensi = pita energi yang terisi oleh elektron valensi
P.K = Pita Konduksi = pita energi diatas pita valensi,yang akan terisielektron konduksi
E.g = celah energi = energi yang diperlukan elektron untuk loncat
ke pita konduksi
isolator konduktor semikonduktor
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
6/25
Model Elektron Bebas ( V=0 )
Hamiltonian : 222
2m2m
pH
EH
22 2m
rkie
22
k2m
E
Fungsi Gelombang elektron bebas :
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
7/25
E
Makna:
Energiyang boleh dimiliki oleh elektron
22
k
2m
E
Dari nilai diperoleh grafik :
KO
hingga untuk setiap nilai k
Gagal digunakan sebagai teori untuk menjelaskan perbedaan
antara konduktor, semikonduktor, isolator, dan superkonduktor,
karena energi yang dimiliki elektron kontinu sehingga tidak ada
energi gap (celah energi).
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
8/25
Model elektron yang hampir bebas
: Tidak bolehE
E3
E4
E
oleh elektron(celahterlarang)
E1
E2
KK1 =K2 = K1 = K2 =
Daerah Brillouin Pertama
a
2
E
a
a
2
a
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
9/25
Sehingga model yang berlaku adalah model elektron yang hampir
bebas ( V
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
10/25
Dari solusi gelombang berdiri dapat dicari kerapatan elektronnya
)ax(2cosee ax-iaxi
Sehingga persamaan gelombang berdiri dapat diturunkan dari
persamaan gelombang berjalan yaitu :
)ax(2sinee ax-iaxi
axcos
ax22 sin
Ternyata kedua solusi ini menumpuk elektron pada daerah yangberlainan relatif terhadap kedudukan ion-ionnya sehingga energi
potensialnya berbeda, hal inilah yang menimbulkan loncatan
energi sehingga timbul celah energi pada ak
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
11/25
2
2
Besarnya celah energi: UxdxUEg 221
0
dimana )x a(2UcosxU
TrVrV
332211 anananT
3 Dimensi
maka
periodikrV
X
Inti atom
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
12/25
Fungsi gelombang elektron yang hampir bebas dinyatakan oleh :
Fungsi Bloch :
rkikk erUr
rUrU
...................(1)
merupakan teorema untuk menyelesaikan
persamaan Scrhodinger pada potensial padapotensial periodik
sehingga : 22
rr
dimana : rfr
Beberapa fungsi dari T
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
13/25
dengan :
1Tf2
1eTf0
2
rikeTf
2T
1TT
atau : TieTf
...................(2)
bila : 21 TTT
maka : 2121 TiTiTTi21 eeeTTf
merupakan fungsi 21 TT
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
14/25
2121 TTTT
ZYX TCTBTT
ZCYBXk
Untuk kasus 3D
ZYX
ZYX TCTBTATk
TkT
maka : reTr Tki ...................(3)
sehingga :
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
15/25
Bukti bahwa : Uk periodik
Persamaan Bloch :
r.kikk erUr
reTr T.ki
Tr.kik .eTrUTr
.................*
.................**
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
16/25
subtitusikan dari pers.(1) ke pers.(3) :
r.ki
k
T.ki (r)eUeTr
Tr.kik(r)eUTr
Bila kita bandingkan :
Tr.kik eTrUTr
TrUrU kk
terbukti Uk fungsi periodik
Tr.kik e(r)UTr
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
17/25
Karena : V periodik maka V dapat dinyatakan dalam bentuk
Deret Fourier (untuk 1 dimensi) :
)xna2i(
n
.eVV
nx)2
sin(iVnx)2
cos(VV21
nn
Bila : xa
b1 Vektor kisi resiprok
a = konstanta kisi
maka :r.bnxn
a
21
xnr
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
18/25
Sehingga dalam 3-dimensi, dapat kita tuliskan:
3z2y1xzyx bnbnbniZnYnXna2
iee
Jadir.Gi
GG
.eVV
r.GiG
Gk .eU)r(U
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
19/25
Persamaan Schrodingernya:
EV2m2
2
r.kir.Gi
GG
22 eeU
...................(4)
dengan
).rGki(G
G
2 eU
r).Gki(G
22 eUGk
...................(5)
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
20/25
Bila persamaan (5) di substitusi ke persamaan (4), akan diperoleh:
EeUVeUGk2m
r).kGi(GGG
GG
.rGkiG
2
G
2'
''
r.kir.GiGG
r.iG
GG .eeUeVV
'
''
Maka
r.GiG
G
).rGi(GG
GGG
r.GiG
2
G
2
eUEeUVeUGk2m
'
'
'
rG).i(G
GGGG
r.GiGG
2
G
2'
'''
eUVeEUUGk2m
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
21/25
rGir)GGi( '
eUVeUV GG
0GGG0G'
'
r).GGi(GGG0G
r.GiG0GG
22 '
' eUVeUVEUUGk2m
.............(6)
bila ''' GGG
maka ''' GGG
bila ''GG atau 0G'
maka dari persamaan (6) diperoleh :
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
22/25
''''
''''''' GG0G
GGGG
2''2 UVVUEUUGk2m
PERSAMAAN SENTRAL
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
23/25
1. Jelaskan
Asal mula terbentuknya celah energi
untuk model elektron hampir bebas.
Fungsi Bloch
Model Kronig-Peney
LATIHAN SOAL
2. Gunakan persamaan sentral untuk
menentukan nilai celah energi.
3. Jelaskan apa yang dimaksud denganenergi gap
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
24/25
4. Jelaskan
Perbedaan antara konduktor,
semikonduktor, isolator dan
superkonduktor berdasarkan
konduktivitasnya.
LATIHAN SOAL
5. Jelaskan
Perbedaan antara konduktor,
semikonduktor, isolator dansuperkonduktor berdasarkan energi
gapnya.
-
7/28/2019 7.PitaEnergi_(Kuliah) gdousgdygsdysgd
25/25
6. A cubic lattice with lattice spacing a has
crystal potential, where a = lattice spacing
of a cubic lattice
LATIHAN SOAL
-
a. Apply the central equation to calculate
the approximate band gap at the point
k = (/a, /a, /a)
b.Sketch the band diagram along the
[111] direction, including the first two
bands.