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Números Complexos e Senóides
Números Complexos e Senóides
Edmar José do Nascimento(Análise de Sinais e Sistemas)
http://www.univasf.edu.br/˜edmar.nascimento
Universidade Federal do Vale do São FranciscoColegiado de Engenharia Elétrica
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Roteiro
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Números Complexos
Roteiro
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Números Complexos e Senóides
Números Complexos
Introdução
Os números complexos surgiram inicialmente como umartifício matemático para a resolução de equaçõesalgébricas
Equações possuíam soluções reaisSurgiam raízes quadradas de números negativos empassos intermediários da solução
Números reais passaram a ser um subconjunto doscomplexos
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Números Complexos
Definição
Um número complexo pode ser representado na forma
z = a + jb; a,b ∈ R; j =√−1
As coordenadas (a,b) de um número complexo podem serrepresentadas no plano complexo
Eixos das abscissas - Parte real (Coordenada a)Eixos das ordenadas - Parte imaginária (Coordenada b)
Assim, tem-se:a = Re{z}b = Im{z}
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Números Complexos
Forma Polar
Além da representação cartesiana, os números complexossão freqüentemente representados na forma polar
a = r cos θ
b = r sin θ
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Números Complexos
Forma Polar
A partir da expansão da série de Maclaurin para ejθ,obtém-se a Fórmula de Euler
ejθ = cos θ + j sin θ
Portanto,
z = a + jb = r(cos θ + j sin θ) = rejθ
Ou ainda,
z = |z|ej arg z
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Números Complexos
Forma Polar
A correspondência entre as duas representações éfacilmente obtida
a = r cos θ,b = r sin θ
r =√
a2 + b2, θ = arctanba
O conjugado de um número complexo z = a + jb édefinido como
z∗ = a− jb = r(cos θ − j sin θ) = re−jθ = |z|e−j arg z
Tem-se ainda que
z + z∗ = 2a = 2Re{z}z.z∗ = r2 = |z|2
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Números Complexos
Identidades Úteis
A partir das representações no plano complexo, podemser obtidas várias relações
e±jnπ = −1, n ímpar; e±j2nπ = 1, n inteiro
ejπ/2 = j , e−jπ/2 = −j
e±jnπ/2 = ±j , n = 1,5,9,13, · · ·e±jnπ/2 = ∓j , n = 3,7,11,15, · · ·
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Números Complexos
Operações com Números Complexos
Adição e subtraçãoForma cartesiana
Multiplicação e divisãoForma cartesiana e polar
Potenciação e radiciaçãoForma polar
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Senóides
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Senóides
Senóides
Uma senóide pode ser escrita como
x(t) = C cos (2πf0t + θ) = C cos (ω0t + θ)
Sendo,f0 - freqüência em Hertzω0 = 2πf0 - freqüência angular em radianos por segundoθ - fase em radianos
Casos particulares
C cos (ω0t − π/2) = = C sin (ω0t)
C sin (ω0t + π/2) = = C cos (ω0t)
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Senóides
Senóides
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Senóides
Adição de Senóides
Senóides de mesma freqüência mas com fases diferentespodem ser somadas resultando em uma senóide commesma freqüência
C cos (ω0t + θ) = C cos θ cosω0t − C sin θ sinω0t
= a cosω0t + b sinω0t
Sendo,
a = C cos θ, b = −C sin θ
Essas relações resultam em
C =√
a2 + b2, θ = arctan−ba
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Senóides
Fasores
C e θ são o módulo e a fase de z = a− jb = Cejθ
Uma senóide é então representada como um fasor demódulo C e ângulo θ
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Senóides
Exponenciais
É de grande importância no estudo das transformadas arelação entre senóides e exponenciais
Duas relações importantes podem ser obtidas a partir dafórmula de Euler
cosϕ =12(ejϕ + e−jϕ)
sinϕ =12j
(ejϕ − e−jϕ)