4 Distribució dels estadístics mostrals
4.1. Distribució de la mitjana mostral 4.2. La distribució t-Student 4.3. Intèrval de confiança 1-α per la µ 4.4. La llei de Chi-Quadrat 4.5. Distribució de la variança mostral 4.6. Intèrval de confiança 1-α per la σ2
En acabar aquest tema seràs capaç de:
1. Deduir la distribució de la mitjana mostral i de la variança mostral i saber identificar les seves implicacions.
2. Calcular probabilitats sobre la mitjana o la variança mostral. 3. Estimar puntualment i per interval de confiança la mitjana i la
variança de la població a partir de les dades d'una mostra. 4. Enumerar les característiques de les distribucions t-student,
Chi-quadrat i F-Snedecor. 5. Demostrar com es distribueix la diferència de dos mitjanes o el
quocient de dues variances.
Concepte intuitiu de mostra aleatòria simple (m a s )
Distribució d’estadístics mostrals en m.a.sna
Concepte intuitiu de mostra aleatòria simple (m.a.s.)
stria
l de
Bar
celo
n
Població Mostra
Engi
nyer
ia In
dus
stic
a de
l’ET
S d’
E
m.a.s.: Tot element de la població té la mateixa probabilitat de serescollit per formar part de la mostra
fess
ors
d’es
tadí
s
Y1, Y2, ..., Yn són INDEPENDENTS
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 2
Distribució de mitjanes i variances
� �yf
na
Població
y
Mostres aleatòries�
stria
l de
Bar
celo
n y�
1n1211 Y...,,Y,Y
2n2221 Y...,,Y,Y
21S22S
1Y�
2Y�
Engi
nyer
ia In
dus 2n2221 ,,, 22
stic
a de
l’ET
S d’
E
KnK2K1 Y...,,Y,Y
?
2KS
?
KY�
fess
ors
d’es
tadí
s
0 ?�?� 22 SS
?
?�?�
?
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 3
� 22 SS?�?� yy
_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________
121
Exemple introductori: distribució de l’alçada de persones
M t 1 M t 2 M di t l
na
Muestra 1 Muestra 2 Medias muestrales183,7 171,9 170,9178,5 188,5 172,8160,0 168,3 169,5171,9 176,4 168,8176,6 173,0 171,1160 0 171 0 171 1
stria
l de
Bar
celo
n 160,0 171,0 171,1174,3 161,8 172,5160,0 169,2 170,4170,1 169,0 170,5170,1 177,6 170,7160,3 165,5 172,4165 5 171 7 169 6
Engi
nyer
ia In
dus 165,5 171,7 169,6
172,3 181,9 ... 169,7176,5 173,7 166,7175,5 185,5 170,6173,8 169,1 169,8181,1 184,0 171,2166,7 163,0 169,4
stic
a de
l’ET
S d’
E , , ,166,3 153,8 170,4174,0 186,5 168,7173,4 167,9 170,7171,6 176,0 173,6174,0 171,0 168,2173,2 177,5 171,5
fess
ors
d’es
tadí
s
162,2 165,7 170,7
Mitjana = 170,9 Mitjana = 172,8
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 4
Exemple introductori: distribució de l’alçada de persones
na
Les mitjanes de mostres de 25 individus
stria
l de
Bar
celo
nEn
giny
eria
Indu
s
160 170 180
Els 25 valors d’una de les mostres
stic
a de
l’ET
S d’
E Els 25 valors d una de les mostres
Hi ha més dispersió en els valors individuals que en
fess
ors
d’es
tadí
s Hi ha més dispersió en els valors individuals que en les mitjanes mostrals
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 5
_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________
122
Exemple introductori: distribució de l’alçada de personesna
Distribució de l’alçada mitjana de mostres de tamany 25
stria
l de
Bar
celo
n
25
Y25 ~ N(170; 1,6)
Engi
nyer
ia In
dus 20
15
Distribució d’alçades individuals
Y ~ N(170; 8)
stic
a de
l’ET
S d’
E
10
5
fess
ors
d’es
tadí
s
2.01.91.81.71.61.51.4
0
Altura
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 6
Si i (Y Y Y Y ) d
Distribució de la mitjana mostral
� ��;�N~Y
na
Sigui (Y1, Y2, Y3, ..., Yn) una m.a.s. de
Com que sóc una c.l. de v.a. que segueixen una normal també� �i Y++Y+Y1=Y=Y �
� ��;�N ~ Y
stria
l de
Bar
celo
n segueixen una normal, també sóc normal
� �n21i Y+...+Y+Y
n =
n = Y �
Engi
nyer
ia In
dus
Esperança matematica de Y
��������� )...(n1)Y(E
n cops
stic
a de
l’ET
S d’
E n
Variança de Y n cops
fess
ors
d’es
tadí
s
nn)...(
n1)Y(V Y
2222
2
�
�����
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 7
_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________
123
Distribució de mitjanes i variances
� �yf
na
Poblacióm.a.s. (tamany n)
Fins i tot si
� �yf
�
stria
l de
Bar
celo
n Fins i tot si les dades
originals no 11n1211 YY...,,Y,Y �
YYYY �
�
Engi
nyer
ia In
dus segueixen
una normal, les mitjanes
22n2221 YY...,,Y,Y �
stic
a de
l’ET
S d’
E
sí (a partir d’un cert
valor de n),
KKnK2K1 YY...,,Y,Y ���
���
n�;�N ~ Y
fess
ors
d’es
tadí
s valor de n), pel teorema
central del límit
n
�
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 8
límit�
_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________
124
Activitat: Cas Mercamona (1ª part)
Mercamona produeix sacs de terra per a gats amb un pes que es distribueix segons una llei N(10kg; 0.25kg) on els sacs passen un estricte control de qualitat. El control consisteix en prendre una mostra de 4 sacs a l’atzar de cada lot produït i pesar-los. Es produeix un lot cada hora, així es van recollint mostres de 4 sacs cada hora.
Quina és la probabilitat de que el pes promig dels quatre sacs estigui per sobre de 10.38 kg.?
I la probabilitat de que més d’una mitjana del pes dels quatre sacs de 5 mostres consecutives estigui per sota de 9.755 Kg o per sobre de 10.245 Kg?
_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________
125
Distribució de la mitjana mostral
�
na
és el millor estimador puntual de Y �
El barret indica que
��
���
n�;�N ~ Y
Y=�̂
stria
l de
Bar
celo
n és un estimador
Per què?
Y=�
Engi
nyer
ia In
dus Per què?
1. És no esbiaixat. � � � = YE
stic
a de
l’ET
S d’
E
2. És consistent � � 0 = n
�lim = YVlim2
nn ����
fess
ors
d’es
tadí
s©
Pro
f
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 12
La distribució t-Student
Jo em vaig
na
Jo em vaig inventar la distribució t-Student
� � � �
�Y�
1;0N ~�
�-Y = Z �;�N~Y
�
�
stria
l de
Bar
celo
n
William Gosset (1876 – 1937)
� �1;0N ~ n
��-Y = Z
n��;N~Y ��
�
���
Engi
nyer
ia In
dus
Si es desconeguda i s’estima mitjançant una mostra de tamany n:
� �2
stic
a de
l’ET
S d’
E � �1-ny-y =
llibertat de grausquadrats de suma = s
2i�
fess
ors
d’es
tadí
s
Quina és la distribució de i de ? s
� -Y =t
ns
� -Y =t
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 13
n
_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________
126
La distribució t-Studentna
S’estima mitjançant s, calculada en una
d t
� �yf
stria
l de
Bar
celo
n m.a.s. de tamany n�
s� -Y=t 1
1
�Y
y
Engi
nyer
ia In
dus
s�-Y=t 2
2
� �tf
stic
a de
l’ET
S d’
E
s� -Y=t K
K
Y t
fess
ors
d’es
tadí
s
Les Yi i s són independentss
�-Y=t it
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 14
Tenim una mostra de 5 elements: 3 4 5 6 7
Per què els graus de llibertat es diuen graus de llibertat?
na
Tenim una mostra de 5 elements: 3, 4, 5, 6, 7
Sempre s’acompleix: 0=y-yn
1ii
stria
l de
Bar
celo
n
0=5)-(7+5)-(6+5)-(5+5)-(4+5)-(30=y-yn
1=i
Engi
nyer
ia In
dus 0=5)-(7+5)-(6+5)-(5+5)-(4+5)-(30=y-y
1=ii
Es pot “tapar” qualsevol dels números
stic
a de
l’ET
S d’
E Es pot tapar qualsevol dels números amb el cercle vermell (però només un), i
recuperar-lo. Els altres 4 es poden “moure” lliurement.
fess
ors
d’es
tadí
s Els altres 4 es poden moure lliurement. Per això tenim 4 graus de llibertat.
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 15
_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________
127
La distribució t-Student
�Y
na
1-n
1-n
Student-t~s� -Y=t
Student-t~s
�-Y=t
stria
l de
Bar
celo
n
Com més g.l., més s’assembla
a la normal
ns
Engi
nyer
ia In
dus a la normal
estandaritzada
stic
a de
l’ET
S d’
E
t-Student amb � graus de llibertat
121
1 ��
��� ��
�
��� Normal f(t) �
0=E(t)
fess
ors
d’es
tadí
s
21
2t1
1
2
21f(t) ��
��
��
��
�
���
��� ��
�����
�
2 >2-
= Var(t)
0 E(t)
���
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 16
Distribució de Y quan és desconeguda
Y
na
t-Student amb �graus de llibertat (� = n-1)
~
ns
� -Y =t
stria
l de
Bar
celo
n
Quan no coneixem i l’estimem a
n
Engi
nyer
ia In
dus Quan no coneixem i l estimem a
partir d’una mostra (tenim s, per tant), la normal estandaritzada es converteix en un t-Student
stic
a de
l’ET
S d’
E
També hi ha taules amb
converteix en un t Student
fess
ors
d’es
tadí
s taules amb àrees de cua per
la t-Student
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 17
_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________
128
Interval de confiança (IC) 1 – � per la �
1 - �Distribució de
na
Prenem valors de la distribució de les mitjanes. Sumem i restem
Distribució de les mitjanes
mostrals
n
��;N~Y ��
��
�
stria
l de
Bar
celo
n
��/ 2 ��/ 2aquest segment a cada punt. Una proporció 1-� d’intervals
n�z�/2
��
Engi
nyer
ia In
dus Una proporció 1-� d intervals
contenen el veritable valor de ��
�/2y
stic
a de
l’ET
S d’
E
�/2y és el valor de que deixa una àrea de cua a la dreta de �/2
Y
fess
ors
d’es
tadí
s a la dreta de �/2
n�z = � -Y
n�
� -Y =z �/2�/2�/2
�/2
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 18
n
Interval de confiança (IC) 1 – � per la �
�z=�-Y� -Y=z �/2 Distribució de les mitjanes
na
�-1 =�z + �Y�z - �Prob
nz=�-Y
n�=z
�/2�/2
�/2�/2�/2
��
��� ��
les mitjanes mostrals
n
��;N~Y ��
��
�
stria
l de
Bar
celo
n
��
�-1 =n
�z + Y-� -n
�z -Y-Prob
nn
�/2�/2
�/2�/2
�
��
��� ��
��
�1y � �y
Engi
nyer
ia In
dus
�-1 =n
�z - Y � n
�z +YProb �/2�/2 ��
��� ��2
-1 �2�y
stic
a de
l’ET
S d’
E IC 1-� per μ
quan coneixem ���
��� �z+ Y;�z - Y �/2�/2
fess
ors
d’es
tadí
s
quan és desconeguda, i l’estimem amb s��
����
����
nst + Y;
nst - Y
n;
n
�/2 1;-n�/2 1;-n
�/2�/2
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 19
�� nn
_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________
129
Interval de confiança (IC) 1 – � per la �
Q è i l é fi i ll d l’IC d l 95%
na
Què passa si vols més confiança, i en lloc de l’IC del 95% trobes l’IC del 97%, o del 99%?
stria
l de
Bar
celo
n
Quanta més confiança, més ample és l’intèrval, i menys ens informa d’on és el veritable valor de �
Engi
nyer
ia In
dus
IC 95%
Y
stic
a de
l’ET
S d’
E
IC 97%
IC 99%
fess
ors
d’es
tadí
s IC 99%
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 20
Exemple
Tenim una mostra del temps de caiguda de 8 helicòpters de
na
Tenim una mostra del temps de caiguda de 8 helicòpters de paper: 2,06 2,03 2,01 2,12 1,94 1,76 2,08 2,01
!
"
0 0120,11 = s2,00 = y
2
stria
l de
Bar
celo
n
> Quin és el millor estimador puntual de μ? � = y = 2,00ˆ
# 0,012=s2
Engi
nyer
ia In
dus
> Entre quins valors es troba μ amb una confiança del 95%?
IC del 95% per a μ: 1 – � = 0,95 � = � 0,05 � � /2 = 0,025
stic
a de
l’ET
S d’
E
taules
2,365=t= t 0,025 1;-80,025 1;-8
st+ Y;st - Y �/21;n�/21;n ���
���
fess
ors
d’es
tadí
s
$ %2,09 ; 1,918
0,112,365 + 2,00;8
0,112,365 - 2,00
n;
n �/21;-n�/2 1;-n
���
���
����
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 21
_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________
130
� �f y � �f y
La llei de Chi-quadrat
� �f y
2�&
na
N (0;1)�
�
y N (0;1)�
�
yN (0;1)�
�
y
stria
l de
Bar
celo
n
12
11
YY
�
22
21
YY
�
2
1
YY
�
�
�
� 21iY
� 22iY
Engi
nyer
ia In
dus
i1Y �
i2Y�
iY�
�
� �2iY
stic
a de
l’ET
S d’
E
� �0;1N ~Yi
��
22 Y� �2f �&
fess
ors
d’es
tadí
s
i independents ��&1=i
2i
2 Y=� ��&
0 2�&
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 22
La llei de Chi-quadrat 2�&
� �2f
na
� �2f �&
2��20��
stria
l de
Bar
celo
n 20��
Engi
nyer
ia In
dus
2�&
stic
a de
l’ET
S d’
E
� ����& 2;N2
La forma de la densitat de �2 depèn de �
Quan � � � aleshores
fess
ors
d’es
tadí
s � ����&� 2;N
� � � � �� �� 2 = �V� = = �E 22
Quan � � aleshores
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 23
_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________
131
Taules de la llei de Chi-quadrat na
�� �2f �&
stria
l de
Bar
celo
n
2�&
Engi
nyer
ia In
dus
stic
a de
l’ET
S d’
E
Valors que deixen l’àrea de cua indicada en
fess
ors
d’es
tadí
s de cua indicada en funció dels graus de llibertat.
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 24
Aproximacions de la llei de Chi-quadrat 2�&
na
Per � 200 � taules
stria
l de
Bar
celo
n
Per 30 � < 200 � � � ���
���
��
��
2; lnN ~ �ln 2
Engi
nyer
ia In
dus
Per � > 200 � � ���� 2;N ~ �2
stic
a de
l’ET
S d’
E
A b d d “ ’ t ”
fess
ors
d’es
tadí
s Amb dades que “s’apreten” cap a l’esquerra, transformar-les amb el logaritme sovint les converteix en normals. És una altra possibilitat.
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 25
_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________
132
Distribució de la variança mostral s2na � � 2
21s1n �' � ���;N
stria
l de
Bar
celo
n � � 2
� � 2
22s1n
�'
� ���;N
Engi
nyer
ia In
dus
� �2ks1
stic
a de
l’ET
S d’
E � � 2ks1n
�'
� �2
n
1i
2i2
�yy
s1)(n �� '
� �2s1n
fess
ors
d’es
tadí
s 21n2
1i2 �~
��1)(n '
��' � � 2�1-n
Si tinguessim � �
2
n
1i
2i
�~�y�
�
'
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 26
n2 �~� Tranparència 20
Per què la distribució de la variança mostral és la que és?
Per què ? S b2
2
~s)1n( &� � �� �
n2
n 2i z� -y
na
Per què ? Sabem que
on z~ N(0;1), segueix una
1n2 ~)1n( '&
' ��1=i1=i
2 z�
2n&
stria
l de
Bar
celo
n � � � � � �
� � � �� � � �2��
���
���
���
���
���1
� - y + y -y�1
�� - y + y -y
�� -y
nnn2
n
1=i
2i2
n
1=i2
2i
n
1=i2
2i
Engi
nyer
ia In
dus � � � �� � � �
� � � � � � � �2
2
2
2
��
��
���
���
���
����
���
���
�-yy-y�-yy-y1
�-y�-yy-yy -y�1
nn
i
n2
i
1=i1=ii
1=i
2i2
stic
a de
l’ET
S d’
E � � � � � � � �
� � � � 22
2
��
���
�
��
�
��
��
��
��
��
�
���
�-y+1)s-(n�-y�-yy -y
� -y
�yyy�yy y�
2ni
2
n
1=i
2in 2
i
1=i1=ii
1=ii2
0
fess
ors
d’es
tadí
s � ����
���
��
����
�
����� ��
n�
�y+�
)(=�
�y�
�yn��
�y2
1=i
i2
1=i
1=i2
i
21)s-(n2
� -x���
����
2& 2&2&
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 27
2� n� ��
���� n& 1n'& 1&
_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________
133
Activitat: Cas Mercamona (2ª part)
Reprenem el cas de Mercamona. (Repassa la 1ª Part)
Mercamona decideix també monitoritzar la variança del pes de les mostres que es prenen de cada lot. Recordeu que el pes d’un sac segueix una N(10kg; 0.25kg.).
Quina és la probabilitat de que la variança d’una mostra de 4 sacs estigui per sobre de 0.1948?
_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________
134
Distribució de la variança mostral s2na
s2 és el millor estimador puntual de 2
21n2
2
~s)1n( '&
'22 s = �̂
stria
l de
Bar
celo
n
Per què?
1. És no esbiaixat.
Engi
nyer
ia In
dus
� � � � � � 22
21-n
22
21-n2 � = 1-n
1-n�=E
1-n� = �
1-nE = sE &�
�
��
� &
2 É i t t
stic
a de
l’ET
S d’
E 2. És consistent
( ) ( ) ( )1n
2� = 1)(n
� 1-n2=1)(n
� = �1n V= V
4
2
42
1n-2
42
21n-2 �V
�s
fess
ors
d’es
tadí
s 1-n1)-(n1)-(n1-n
� � � � 0 = sVlim1-n
2�=sV 2
n
42
��
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 30
1n
Interval de confiança (IC) 1 – � per la (
2
na
21n2
2
~s)1n( '&
'2
1n'&
stria
l de
Bar
celo
n
��/ 2
��/ 2 � -1 =Prob 2
2�1;-n
21-n
2
2�-1;1-n ��
�
���
�&�&�&
Engi
nyer
ia In
dus 2
2�-1;1-n
& 2
2�1;-n
&� � � -1 =
�s1-nProb
22
2
2�1;-n2
22
2�-1;1-n
�
�� &&
���
���
�&��&
stic
a de
l’ET
S d’
E
IC 1-� per 2
��
�� 22 ss
� -1 =1)s-(n�
11)s-(n
Prob 22�1;-n
222�-1;1-n
�
���
�
���
�
� &��
&
fess
ors
d’es
tadí
s
���
����
�&& 2
2�-1;1-n
2
2�1;-n
s1)-(n;s1)-(n� -1 =1)s-(n�1)s-(nProb 2
2�1;-n
22
2
2�-1;1-n
2
���
�
���
�
�
&��
&
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 31
22 ��
_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________
135
Exemple
Tenim una mostra del temps de caiguda de 8 helicòpters de
na
Tenim una mostra del temps de caiguda de 8 helicòpters de paper: 2,06 2,03 2,01 2,12 1,94 1,76 2,08 2,01
!
"0,11 = s2,00 = y
stria
l de
Bar
celo
n
> Quin és el millor estimador puntual de (?
> Entre quins valors es troba ( amb una confiança del
# 0,012 = s2
0,012 = s = �̂ 22
Engi
nyer
ia In
dus > Entre quins valors es troba amb una confiança del
95%?
IC del 95% per a ( 1 – � = 0,95 � ��= 0,05 � �)(�= 0,02516 01=2&
stic
a de
l’ET
S d’
E
tauless1)-(8;s1)-(8s1)-(n;s1)-(n 2
0,975 1;-8
2
20,025 1;-8
2
2
2�-1;1-n
2
2
2�1;-n
2
��
���
�&&
���
�
�
���
�
�
&&
16,01=0,025 1;-8&
1 69=2&
fess
ors
d’es
tadí
s
taules$ %0,0497 ; 0,00521,69
0,0121)-(8;16,010,0121)-(8
2;
2;
���
���
���� 1,69=0,9751;-8&
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 32
En resum...
Estimació puntual de μ Y=�̂
na �coneguda
Estimació puntual de μ Y=�
��
�� �z+Y;�z-Y
stria
l de
Bar
celo
n
IC 1-� per μ�coneguda
�desconeguda���
���
����
nst + Y;
nst - Y
nz+Y;
nzY
�/2 1;-n�/2 1;-n
�/2�/2
Engi
nyer
ia In
dus
Estimació puntual de �2
���� nn
22 s=�̂
stic
a de
l’ET
S d’
E p s=�
fess
ors
d’es
tadí
s
IC 1-� per 2�
;� 2
2�
- 1;1n-
2
2
2�
1;n-
2 s1)-(n
s1)-(n
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 33
_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________
136
Paràmetres i estadístics, població i mostra
Jo conec el model de la població Per tant
na
Jo conec el model de la població. Per tant, sé quant valen els paràmetres μ i �2. No
necessito fer estimacions (ni estimacions puntuals, ni calcular IC).
Sí que puc fer me preguntes sobre la
stria
l de
Bar
celo
n Sí que puc fer-me preguntes sobre la distribució de la mitjana mostral i la distribució de la variança mostral.
Engi
nyer
ia In
dus
Només puc recollir mostres de dades
stic
a de
l’ET
S d’
E pi intentar estimar la μ i la �2 ,o bé ambuna estimació puntual o bé calculantun IC. Com que no conec els valors
reals de μ i de �2 no puc fer-me
fess
ors
d’es
tadí
s
preguntes sobre la distribució de la mitjana mostral i la distribució de la
variança mostral.
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 34
_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________
137
Activitat: Un nou transport públic, el Bicicleting
El Bicicleting és un nou transport públic urbà, saludable i que respecta el medi ambient. S’han triat a l’atzar 15 bicicletes i se’ls ha mesurat el radi de la roda del darrera: 28.2, 30.5, 29.1, 32, 28.7, 29.3, 31.6, 31.4, 30.2, 29.4, 28.9, 31.7, 30.9, 29.1, 28.8.
Calcula un interval de confiança del 95% per la mitjana del radi de les rodes.
_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________
138
Llibres per estudiar
Llegeix el capítol 4 del llibre: “Métodos
na
Llegeix el capítol 4 del llibre: Métodos estadísticos. Control y mejora de la calidad”, titulat Algunos modelos probabilísticos
Vols saber més de tot el que hem vist en aquest tema?
stria
l de
Bar
celo
nEn
giny
eria
Indu
sst
ica
de l’
ETS
d’E
fess
ors
d’es
tadí
s
Referència: “Métodos Estadísticos. Control y Mejora de la Calidad”. Prat Tort Martorell Grima Pozueta Sole Edicions UPC 2004
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 38
Prat, Tort-Martorell, Grima, Pozueta, Sole. Edicions UPC, 2004
Llibres per estudiar
Algunes preguntes freqüents d’aquest tema…
na
g p g q q
• Sabem que les característiques d’una mostra (proporció, mitjana...) varien d’una mostra a
lt è ll l
stria
l de
Bar
celo
n una altra. per què llavors creure en els resultats d’una mostra, sabent que si prenguéssim una altra aquests resultats serien dif t ?
Engi
nyer
ia In
dus diferents?
• Què vol dir l’expressió de que “un interval de confiança del 95% és 27,5 % ± 3,6 %"?
é
stic
a de
l’ET
S d’
E
Les respostes, en el llibre “55 Respuestas a
• …i unes quantes més!
fess
ors
d’es
tadí
s
Referència: “55 Respuestas a Dudas Típicas de Estadística”.
Dudas Típicas de Estadística”
© P
rof
Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 39
Behar, Grima. Díaz de Santos, 2004.
_______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________
139