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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIAFACULDADE DE MATEMÁTICA
Unidade II
SISTEMAS LINEARES
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Introdução
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A resolução de sistemas lineares pode surgir em diversas áreas do conhecimento.
O caso geral, em que o sistema linear envolve m equações com n incógnitas, o sistema pode apresentar uma única solução, infinitas soluções ou não admitir solução.
Neste capítulo vamos analisar esquemas numéricos para soluções de sistemas lineares de n equações com n incógnitas, supondo que este tenha uma única solução:
nnnnnnn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
...
....
...
332211
22323222121
11313212111
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Os métodos de resolução de equações lineares são classificados em:
Métodos Diretos - fornecem a solução exata de um sistema linear, a menos dos erros de máquina, através da realização de um número finito de operações.
Métodos Iterativos – fornecem uma seqüência de aproximações para a solução X a partir de uma solução inicial X(0).
O sistema é representado por A x = b
onde aij são os coeficientes, xj são as incógnitas e os bj são os termos independentes.
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Métodos Iterativos
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Métodos IterativosVamos considerar um sistema linear AX = b, onde:
A: matriz de coeficientes, n x n; X =(x1, x2, ..., xn)t: vetor de variáveis, n x 1
b: vetor independente, n x 1 (constantes)
Tal sistema linear pode ser escrito na forma equivalente:
X = CX + d
onde: C: matriz com dimensões n x n;
d: vetor com dimensões n x 1;
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Partindo de um vetor X(0) (vetor aproximação inicial), constrói-se uma seqüência iterativa de vetores:
Primeira aproximação
De um modo geral, a aproximação X(k+1) é dada por:
Segunda aproximação
dCXX kk )()1( k = 0, 1, 2, ...
OBSERVAÇÃO: k é chamado de índice de iteração.
Sendo um processo iterativo, necessitamos de um critério de parada. E para isto temos que ter uma medida entre as aproximações X(k+1) e X(k). Para isto vamos usar o conceito de norma de matrizes.
X(1) = CX(0) + d
X(2) = CX(1) + d
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Definição:
Uma norma em é uma aplicação que satisfaz as seguintes propriedades:
mnR RR mn:
mn
mn
mn
B,A,BABA
A;,AA
A,AAA
R -
RR -
R -
P.3
P.2
eP.1
000
As normas matriciais mais usadas são:
Euclidiana Norma
linha Norma
coluna Norma
2/1
1 1
2
2
11
111
max
max
n
i
m
jij
m
jij
mi
n
iij
mj
aA
aA
aA
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Além disso, as normas satisfazem as seguintes propriedades:
e
21,
BAAB
XAAX
-P.5
-P.4
A norma vetorial pode ser vista como um caso particular da norma matricial, onde um vetor é equivalente a uma matriz de ordem .Com isto temos as normas de vetores dadas por:
nX R1n
Euclidiana Norma
linha) (norma infinita Normamax
coluna) (norma 1 Norma
2/1
1
2
2
1
11
n
ii
ini
n
ii
XX
XX
XX
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0lim )(
XX k
k
onde X é a solução do sistema linear.
O conceito de norma nos permite definir convergência de uma
seqüência de vetores {Xk}. Dizemos que X(k)→X se
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Com isto podemos definir os critérios de parada: Dado um
iteraçõesdemáximoNúmerokk
AXb
X
XX
XX
k
k
kk
kk
max
Resíduo do Teste
Relativo Erro||||
Absoluto Erro
)(
)1(
)()1(
)()1(
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Critério de convergência
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Seja ║.║ uma norma qualquer de matriz. Se ║C║<1 o processo
iterativo X(k+1)=CX(k)+d fornecerá uma seqüência {X(k)} convergente
para a solução do sistema AX = b.
Critério de convergência
Sendo o erro em cada iteração dado por e(k) =X(k) – X e usando as
propriedades de norma segue que:
Demonstração:
Seja X solução do sistema. Então: X = CX + d.
Subtraindo membro a membro de X = CX + d e X(k+1)=CX(k)+d tem-se:
dCXdCXXX Kk )()1(
BAAB
XXCXX kk )()1(
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)0(1
)1(2
)()1(
eC
eC
eCe
k
k
kk
Logo a seqüência {X(k)} converge para a solução do sistema X se
e isto ocorre se a matriz C satisfaz a
condição
,0limlim )0(1)1(
eCe
k
k
k
k
.1C
Quanto menor || C || mais rápido a convergência do processo.
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Método iterativo de Gauss-Jacobi
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Seja o sistema linear:
nnnnnnn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
...
....
...
332211
22323222121
11313212111
Supondo , isole a coordenada xi do vetor X, na i-ésima equação, da seguinte forma:
niaii ,...,2,1,0
)...(1
)...(1
)...(1
112211
2323121222
2
1313212111
1
nnnnnnnn
n
nn
nn
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
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Desta forma, tem-se o sistema equivalente X = CX + d, onde
nnnnnnnnn
n
n
n
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
C
///
///
///
///
321
33333323331
22222232221
11111131112
e
nnn ab
ab
abab
d
/
/
//
333
222
111
Dada uma aproximação inicial: X(0)
o Método de G.Jacobi consiste em obter seqüência: X(1), X(2),..., X(k)
através da relação recursiva: X(k+1)=CX(k)+d.
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)...(1
)...(1
)...(1
)(11
)(22
)(11
)1(
)(2
)(323
)(1212
22
)1(2
)(1
)(313
)(2121
11
)1(1
knnn
kn
knn
nn
kn
knn
kkk
knn
kkk
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
Observe que o processo iterativo utiliza somente estimativas da iteração anterior.
Assim,
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Método iterativo de Gauss-Seidel
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Observando as equações de iteração no método de Jacobi ou seja
)...(1
)...(1
)...(1
)(11
)(22
)(11
)1(
)(2
)(323
)(1212
22
)1(2
)(1
)(313
)(2121
111
knnn
kn
knn
nn
kn
knn
kkk
knn
kk1)(k
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
nota-se que na iteração de ordem (k+1) são usadas as
componentes xj(k) da iteração anterior.
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No Método de Gauss-Seidel para calcular a
componente xj da iteração (k+1), utiliza-se as componentes já
atualizadas x1(k+1), x2
(k+1), ..., xj-1(k+1) e as componentes ainda não
atualizadas da iteração anterior xj+1(k), xj+2
(k), ..., xn(k).
x1(k+1)= (b1 - a12
x2 (k) - a13
x3 (k) - a13
x3 (k) - ... - a1n
xn (k)
x2(k+1)= (b2 - a21
x1 (k+1) - a23
x3 (k) – a24
x4 (k) - ... - a2n
xn (k)
x3(k+1)= (b3 - a31
x1(k+1) - a32
x2 (k+1) – a34x4
(k) - ... - a3n xn
(k)
.
.
.
xn(k+1)= (bn - an1
x1(k+1) - an2
x2 (k+1) – an3x4
(k+1) - ... - ann-1 xn-1
(k+1)
11
1
a
22
1
a
33
1
a
nna
1
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Interpretação Geométrica do Método de Gauss-Seidel
Considere o sistema linear 2x2 dado pelas equações abaixo e geometricamente representados pela retas r1 e r2.
222122
121111
:
:
cxbxar
cxbxar r2
r1
y
x
Temos:
222222
121111
222122
121111
/)(:
/)(:
:
:
axbcxr
axbcxr
cxbxar
cxbxar
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Inicie no ponto (x10, x2
0) = (0,0).
Para determinar (x11, x2
0), substitua na reta r1 o valor x20, ou seja mova ao
longo da reta horizontal iniciando no ponto (0, 0) até encontrar a reta r2.
O próximo ponto (x11, x2
1), é determinado movendo-se ao longo de uma reta
vertical iniciando no ponto (x11, x2
0) até encontrar a reta r1.
Continuando desde modo, aproxima-se sucessivamente da solução do
sistema, no caso da seqüência ser convergente.
),( 02
11 xx
r2
r1
y
x),( 02
01 xx
),( 12
11 xx
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),( 12
21 xx
y
x),( 02
01 xx
),( 12
11 xx
),( 02
11 xx
),( 22
21 xx
r2
r1),( 22
31 xx
),( 32
31 xx
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Critério de Sassenfeld
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Seja o sistema linear
11
11413121
.......
a
aaaa n e
jj
jnjjjjjjj
ja
aaaaa ..................... 1112211
para j = 2, 3, ..., n.
nnnnnnn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
...
....
...
332211
22323222121
11313212111
definindo:
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Define-se jnj
1max
Se β<1, então o Método de Gauss-Seidel gera uma
seqüência convergente para a solução do sistema, qualquer que seja
o vetor inicial. Além disso, quanto menor for o valor de β mais rápida
é a convergência.
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Métodos diretos
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Os Métodos Diretos são aqueles que após um número finito
de operações fornecem a solução exata do sistema, a menos dos
erros de arredondamentos.
Definição:
Dois sistemas lineares são equivalentes se estes tem a
mesma solução.
Podemos obter um sistema equivalente ao dado, efetuando
as seguintes operações elementares:
Trocar duas equações;
multiplicar uma equação por uma constante;
somar uma equação a outra multiplicada por uma constante;
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Sistema Triangular Superior
Denomina-se sistema triangular superior a todo sistema
Ax =bem que aij = 0, para j < i.
nnnn
nn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
33333
22323222
11313212111
....
....
...
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Método de Eliminação de Gauss
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O Método de Eliminação de Gauss consiste em transformar um
sistema linear Ax= b em um sistema triangular superior equivalente.
Considere o sistema linear:
nnnnnnn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
...
....
...
332211
22323222121
11313212111
onde det(A) ≠ 0, isto é, o sistema admite uma única solução.
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O sistema linear pode ser representado na forma de matriz estendida [A0 | b0 ], ou seja:
nbaaa
baaa
baaa
nnnn
n
n
)0()0()0(
)0(2
)0()0()0(
)0(1
)0()0()0(
21
22221
11211
onde o índice superior indica a etapa do processo.
Etapa 1
Eliminar a incógnita x1 das equações k = 2, 3, ..., n. Sendo a11(0) ≠0,
subtraímos da linha k a primeira linha multiplicada por:
)0(11
)0(1
1 a
am k
k
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Os elementos mk1 são chamados de multiplicadores e o
elemento a11(0) é chamado de pivô da Etapa 1. Indicando a linha k da
matriz por Lk(0), esta etapa se resume em:
nkLmLL
LL
kkk ...,,3,2,)0(11
)0()1(
)0(1
)1(1
)1()1()1(
)1(3
)1()1()1(
)1(2
)1()1()1(
)1(1
)1()1()1()1(
2
33332
22322
1131211
nbaa
baaa
baaa
baaaa
nnn
n
n
n
Ao final desta etapa tem-se:
que representa um sistema linear equivalente ao sistema original, onde a incógnita x1 foi eliminada das equações k = 2, 3,..., n.
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Etapa 2
Eliminar a incógnita x2 das equações k = 3, 4, ..., n. Supondo que
a22(1) ≠ 0,vamos tomar este elemento como pivô desta etapa e desta
forma os multiplicadores são dados por
)1(22
)1(2k
2ka
am
A eliminação segue com as seguintes operações sobre as linhas:
nkLmLL
LL
LL
kkk ...,,4,3,)1(22
)1()2(
)1(2
)2(2
)1(1
)2(1
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obtendo ao final da etapa a matriz
)2()2()2(
)2(3
)2()2(
)2(2
)2()2()2(
)2(1
)2()2()2()2(
3
333
22322
1131211
nbaa
baa
baaa
baaaa
nnn
n
n
n
Com procedimentos análogos ao das etapas 1 e 2 elimina-se as
incógnitas xk das equações k + 1, k + 2, ..., n e ao final de n -1 etapas
tem-se a matriz:
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)1()1(
)1(3
)1()1(
)1(2
)1()1()1(
)1(1
)1()1()1()1(
333
22322
1131211
nn
n
nnn
nnnn
nnnnn
ba
baa
baaa
baaaa
nn
n
n
n
Esta matriz representa um sistema triangular superior equivalente
ao sistema original. Logo a solução deste sistema, obtido pela
Retro-Solução (substituição regressiva), é solução do sistema
original.
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)1(
)1(
n
nn
nn
n a
bx
Assim,
)1(11
)1(1
)1(1
1
n
nn
nn
nn
nn a
xabx
n
ijj
niji
iii xab
ax
1
)1(1
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Pivotamento Parcial
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Em cada etapa k da eliminação temos o cálculo do multiplicador
)1(
)1(
k
kk
kkj
kj a
am
Se o pivô |akk(k-1)| << 1, ou seja, próximo de zero, os erros de
arredondamento se tornam significativos, pois operar números de
grandezas muito diferentes aumenta os erros.
A estratégia de pivotamento parcial é baseada na operação
elementar: Trocar duas equações.
No início de cada etapa k escolhemos como pivô o elemento de
maior módulo entre os coeficientes akk(k-1) para i = k, k + 1, ..., n.
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Inversão de matrizespelo método de Gauss
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Vamos supor que desejamos resolver os sistemas
lineares Ax = b1, Ax = b2, Ax = bk, onde a matriz A é a mesma para
todos os sistemas. A matriz triangular superior, resultante do
processo de eliminação, não depende do vetor b e portanto será
a mesma em qualquer um dos sistemas.
Assim podemos resolver estes sistemas num único
processo de eliminação usando a matriz estendida (A |b1|b2|...| bk)
e aplicando a Retro-Solução para cada vetor bk.
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O Cálculo da inversa de uma matriz é um caso particular do
esquema acima. A inversa de uma matriz ARnxn, denotada por A-1,
é uma matriz nxn tal que
AA-1 = I
Como exemplo vamos considerar uma matriz A de dimensão 3 3
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
cuja a inversa A-1 é dada por
333231
232221
131211
xxx
xxx
xxx
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Logo tem-se:
100
010
001
333231
232221
131211
333231
232221
131211
xxx
xxx
xxx
aaa
aaa
aaa
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Portanto cada coluna k da inversa da matriz A é solução de
um sistema linear, onde o vetor dos termos independentes é a
k-ésima coluna da matriz identidade, isto é
0
0
1
31
21
11
333231
232221
131211
x
x
x
aaa
aaa
aaa
1
0
0
33
23
31
333231
232221
131211
x
x
x
aaa
aaa
aaa
0
1
0
32
22
12
333231
232221
131211
x
x
x
aaa
aaa
aaa
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Portanto, se temos uma matriz nxn, podemos achar a
inversa resolvendo n sistemas lineares, representados pela matriz
estendida (A | b1| b2 | ... | bk) , onde os vetores bk são os vetores
unitários ( 1 na posição k e zeros nas demais posições).