Download - 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας
![Page 1: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/1.jpg)
Γραμμική ΄Αλγεβρα
΄Υπαρξη - Μοναδικότητα - Τάξη 1 - Μετασχηματισμοί
Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
14 Νοεμβρίου 2014
![Page 2: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/2.jpg)
2η εξέταση προόδου
Ï θα πραγματοποιηθεί 9-10 το Σάββατο 22
Νοεμβρίου στο Αμφιθέατρο Κορδάτου
Ï εξεταστέα ύλη την έως και την Παρασκευή
(σήμερα) διδαχθήσα.
Ï υποχρεωτική και αφορά μόνον πρωτοετείς.
![Page 3: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/3.jpg)
΄Υπαρξη Λύσης
Το Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννοι στήλες του A παράγουν τον Rm
mΤο Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννr=m (και m≤ n)
mΕάν r=m (και m≤ n) τότε υπάρχει δεξιόςαντίστροφος του A
![Page 4: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/4.jpg)
΄Υπαρξη Λύσης
Το Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννοι στήλες του A παράγουν τον Rm
mΤο Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννr=m (και m≤ n)
mΕάν r=m (και m≤ n) τότε υπάρχει δεξιόςαντίστροφος του A
![Page 5: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/5.jpg)
΄Υπαρξη Λύσης
Το Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννοι στήλες του A παράγουν τον Rm
mΤο Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννr=m (και m≤ n)
mΕάν r=m (και m≤ n) τότε υπάρχει δεξιόςαντίστροφος του A
![Page 6: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/6.jpg)
΄Υπαρξη Λύσης
Το Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννοι στήλες του A παράγουν τον Rm
mΤο Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννr=m (και m≤ n)
mΕάν r=m (και m≤ n) τότε υπάρχει δεξιόςαντίστροφος του A
![Page 7: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/7.jpg)
΄Υπαρξη Λύσης
Το Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννοι στήλες του A παράγουν τον Rm
mΤο Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννr=m (και m≤ n)
mΕάν r=m (και m≤ n) τότε υπάρχει δεξιόςαντίστροφος του A
![Page 8: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/8.jpg)
Μοναδικότητα Λύσης
Το Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οιστήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
mΤο Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b αννr= n (και n≤m)
mΕάν r= n (και n≤m) τότε υπάρχει αριστερόςαντίστροφος του A
![Page 9: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/9.jpg)
Μοναδικότητα Λύσης
Το Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οιστήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
mΤο Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b αννr= n (και n≤m)
mΕάν r= n (και n≤m) τότε υπάρχει αριστερόςαντίστροφος του A
![Page 10: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/10.jpg)
Μοναδικότητα Λύσης
Το Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οιστήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
mΤο Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b αννr= n (και n≤m)
mΕάν r= n (και n≤m) τότε υπάρχει αριστερόςαντίστροφος του A
![Page 11: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/11.jpg)
Μοναδικότητα Λύσης
Το Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οιστήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
mΤο Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b αννr= n (και n≤m)
mΕάν r= n (και n≤m) τότε υπάρχει αριστερόςαντίστροφος του A
![Page 12: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/12.jpg)
Μοναδικότητα Λύσης
Το Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οιστήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
mΤο Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b αννr= n (και n≤m)
mΕάν r= n (και n≤m) τότε υπάρχει αριστερόςαντίστροφος του A
![Page 13: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/13.jpg)
΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης
Μια πιθανή λύση του Ax= b είναι ηx=Cb μια και Ax=ACb= b, μπορείόμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις
(C).Αν το Ax= b έχει λύση τότε αυτήθα είναι της μορφής x=BAx=Bb .
![Page 14: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/14.jpg)
΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης
Μια πιθανή λύση του Ax= b είναι ηx=Cb
μια και Ax=ACb= b, μπορείόμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις
(C).Αν το Ax= b έχει λύση τότε αυτήθα είναι της μορφής x=BAx=Bb .
![Page 15: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/15.jpg)
΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης
Μια πιθανή λύση του Ax= b είναι ηx=Cb μια και Ax=ACb= b,
μπορεί
όμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις
(C).Αν το Ax= b έχει λύση τότε αυτήθα είναι της μορφής x=BAx=Bb .
![Page 16: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/16.jpg)
΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης
Μια πιθανή λύση του Ax= b είναι ηx=Cb μια και Ax=ACb= b, μπορείόμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις
(C).
Αν το Ax= b έχει λύση τότε αυτήθα είναι της μορφής x=BAx=Bb .
![Page 17: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/17.jpg)
΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης
Μια πιθανή λύση του Ax= b είναι ηx=Cb μια και Ax=ACb= b, μπορείόμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις
(C).Αν το Ax= b έχει λύση τότε αυτήθα είναι της μορφής x=BAx=Bb .
![Page 18: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/18.jpg)
Παράδειγμα
A=[
4 0 00 5 0
]
m= 2,n= 3,r= 2
![Page 19: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/19.jpg)
Παράδειγμα
A=[
4 0 00 5 0
]m= 2,n= 3,r= 2
![Page 20: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/20.jpg)
Πίνακες τάξης 1
A=
2 1 14 2 28 4 4−2 −1 −1
=
124
−1
[2 1 1
]
Κάθε πίνακας A τάξης 1 μπορεί ναγραφθεί στην μορφή A= uvT
![Page 21: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/21.jpg)
Πίνακες τάξης 1
A=
2 1 14 2 28 4 4−2 −1 −1
=
124
−1
[2 1 1
]
Κάθε πίνακας A τάξης 1 μπορεί ναγραφθεί στην μορφή A= uvT
![Page 22: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/22.jpg)
Πίνακες τάξης 1
A=
2 1 14 2 28 4 4−2 −1 −1
=
124
−1
[2 1 1
]
Κάθε πίνακας A τάξης 1 μπορεί ναγραφθεί στην μορφή A= uvT
![Page 23: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/23.jpg)
Μετασχηματισμοί στον R2
Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)
με πολλαπλασιασμό πινάκων
Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax
Ï Δηλαδή
x→ y=Ax
Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
![Page 24: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/24.jpg)
Μετασχηματισμοί στον R2
Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)
με πολλαπλασιασμό πινάκων
Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax
Ï Δηλαδή
x→ y=Ax
Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
![Page 25: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/25.jpg)
Μετασχηματισμοί στον R2
Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)
με πολλαπλασιασμό πινάκων
Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax
Ï Δηλαδή
x→ y=Ax
Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
![Page 26: 22η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062710/5597cc4a1a28ab53608b4831/html5/thumbnails/26.jpg)
Μετασχηματισμοί στον R2
Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)
με πολλαπλασιασμό πινάκων
Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax
Ï Δηλαδή
x→ y=Ax
Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.