Miercuri, 15 iulie 2009

Problema 1. Fie n un numr natural nenul i e a1, . . . , ak (k 2) numere naturale nenuledistincte din mulimea {1, . . . , n} astfel nct n divide ai(ai+1 1) pentru i = 1, . . . , k 1. Artaic n nu divide ak(a1 1).

Problema 2. Fie ABC un triunghi n care centrul cercului circumscris este O. Punctele P i Q sea pe laturile CA, respectiv AB, n interiorul acestora. Fie K, L i M mijloacele segmentelor BP ,CQ, respectiv PQ, i e cercul circumscris triunghiului KLM . Artai c dac dreapta PQ estetangent cercului , atunci OP = OQ.

Problema 3. Fie s1, s2, s3, . . . un ir strict cresctor de numere naturale nenule, astfel nct sub-irurile

ss1 , ss2 , ss3 , . . . i ss1+1, ss2+1, ss3+1, . . .

sunt ambele progresii aritmetice. Demonstrai c irul s1, s2, s3, . . . este el nsui o progresie aritme-tic.

Language: Romanian Timp de lucru: 4 ore i 30 de minute

Fiecare problem este notat cu 7 puncte

Language: Romanian

Day: 1

Joi, 16 iulie 2009

Problema 4. Fie ABC un triunghi cu AB = AC. Bisectoarele unghiurilor CAB i ABC taielaturile BC, respectiv CA n punctele D, respectiv E. Fie K centrul cercului nscris n triunghiulADC. Se tie c BEK = 45. Determinai toate valorile posibile pentru CAB.

Problema 5. Determinai funciile f : N N, astfel nct, pentru orice a, b N, numerele

a, f(b) i f(b + f(a) 1)

pot lungimile laturilor unui triunghi nedegenerat.

Problema 6. Fie a1, a2, . . . , an numere naturale nenule distincte i e M o mulime format dinn 1 numere naturale nenule diferite de s = a1 + a2 + + an. O lcust sare ctre dreapta, nlungul axei reale, pornind din punctul 0, fcnd n salturi cu lungimile a1, a2, . . . , an ntr-o anumitordine. Demonstrai c lcusta poate alege ordinea salturilor n aa fel nct niciunul dintre punctele

din M s nu e atinse la captul vreunui salt.

Language: Romanian Timp de lucru: 4 ore i 30 de minute

Fiecare problem este notat cu 7 puncte

Language: Romanian

Day: 2