خيز تيرها: 9فصل
9. Deflection of Beams
2مقاومت مصالح
نيرومندمحمدرضادکتر
اصفهاندااگشنه ايپم نور
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 2
:رابطه بين گشتاور خمشی و انحنا•
EI
xM )(1
:تير طره ای تحت بار متمرکز در انتهای آزاد•
EI
Px
1
.تغيير می کندxانحنا به صورت خطی با •
A:در انتهای آزاد • AA
ρρ
,01
:Bدر تکيه گاه •PL
EIB
B
,01
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 3
تير سرآويز-الف
نيروهای تکيه گاهی-ب
نمودار لنگر خمشی-ج
رابر در هر نقطه ای که لنگر خمشی صفر است، انحنا ب•.Eيعنی دو انتها و نقطه . صفر است
EI
xM )(1
ر لنگر خمشی دارای عالمت مثبت و تقعEو Aبين نقاط •.تير به سمت باالست
لنگر خمشی دارای عالمت منفی و تقعرDو Eبين نقاط •. تير به سمت پايين است
که گشتاور، ماکزيمم است، انحنای سطح تير Cدر نقطه •(.شعاع انحنا، مينيمم است)ماکزيمم است
،کندمیمشخصراآنطولدرتيرشکلکهایمعادله•.داردناماالستيکمنحنی
الف
ب
ج
د
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 4
:از رياضيات داريم•
EI
xM
dx
yd
dx
yd
dx
dy
dx
yd
)(
1
12
2
2
2
232
2
2
:مرتب سازی و انتگرال گيری•
21
00
1
0
2
21
CxCdxxMdxyEI
CdxxMdx
dyEIEI
xMdx
ydEIEI
xx
x
.را صالبت خمشی می گويندEIو جمله معادله ديفرانسيل منحنی االستيک معادله فوق را
.دشيب تير در هر نقطه را مشخص می کن
.خيز تير در هر نقطه را مشخص می کند
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 5
21
00
CxCdxxMdxyEI
xx
:ندثوابت معادله با استفاده از شرايط مرزی تعيين می شو•
:سه نوع تير معين استاتيکی•
– Simply supported beam
0,0 BA yy
– Overhanging beam
0,0 BA yy
– Cantilever beam
0,0 AAy
ادهتير با تکيه گاه س
تير سرآويز
تير طره ای
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 6
:نکته
.استنيازM(x)برایمختلفیتوابعتير،مختلفهایقسمتبرایپيچيدههایبارگذاریدر•
.آمدخواهدوجودبهگيریانتگرالثابتدوگشتاور،معادالتازکدامهرازگيریانتگرالبا•
.استنيازمرزیشرطزيادیتعدادبهوداشتهوجودزيادیهایثابتديگرعبارتبه•
نقاطدرخمشیلنگروبرشینيرویاگرچهکهکرددقتبايدمرزیشرايطاينتعيينبرای•
.ستندنيگسستگیدارایتيرشيبوخيزاماباشند،ناپيوستهاستممکنتيرمختلف
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 7
:w(x)برای يک تير تحت بار توزيعی •
xwdx
dV
dx
MdxV
dx
dM
2
2
:معادله ديفرانسيل مرتبه چهارم منحنی االستيک•
xwdx
ydEI
dx
Md
4
4
2
2
432
2213
161 CxCxCxC
dxxwdxdxdxxyEI
:چهار بار انتگرال گيری•
.ثوابت معادله با استفاده از شرايط مرزی بدست می آيند•
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 8
. را درنظربگيريدBو تکيه گاه غلتکی Aبا تکيه گاه ثابت ABتير •
.از دياگرام آزاد مشخص است که چهار نيروی مجهول وجود دارد•
:شرايط تعادل استاتيکی•
000 Ayx MFF
.سه معادله و چهار مجهول، لذا تير از نظر استاتيکی نامعين است
21
00
CxCdxxMdxyEI
xx
اهیگتکيهنيروهایتعيينبرایکهديديم1مصالحمقاومتدر•
همرازهساهایشکلتغييربايداستاتيکی،نامعينهایسازهدر
.(سازگاریمعادالت)درنظرگرفت
:تيرخيزمعادله•
.در نتيجه سه معادله و دو مجهول اضافه می شود
0,At 00,0At yLxyx
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 9
ft 4ft15kips50
psi1029in7236814 64
aLP
EIW
:مطلوبستABCاز تير سرآويز فوالدی ABبرای قسمت
معادله منحنی االستيک-الف
محل خيز ماکزيمم-ب
مقدار خيز ماکزيمم-ج
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 10
:حل
منحنی االستيک-الف
نيروهای تکيه گاهی-
L
aPR
L
PaR BA 1
:ADبا استفاده از تعادل گشتاور در قسمت -
LxxL
aPM 0
xL
aP
dx
ydEI
2
2
:معادله ديفرانسيل منحنی االستيک-
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 11
PaLCLCLL
aPyLx
Cyx
6
1
6
10:0,at
0:0,0at
113
2
:دو بار انتگرال گيری و اعمال شرايط مرزی•
213
12
6
1
2
1
CxCxL
aPyEI
CxL
aP
dx
dyEI
32
6 L
x
L
x
EI
PaLy
PaLxxL
aPyEI
L
x
EI
PaL
dx
dyPaLx
L
aP
dx
dyEI
6
1
6
1
3166
1
2
1
3
2
2
:جايگذاری
منحنی االستيک
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 12
محل خيز ماکزيمم-ب
.که شيب صفر است، رخ می دهدEخيز ماکزيمم در نقطه
LL
xL
x
EI
PaL
dx
dym
m 577.03
316
0
2
مقدار خيز ماکزيمم-ج
32
max 577.0577.06
EI
PaLy
EI
PaLy
60642.0
2
max
46
2
maxin723psi10296
in180in48kips500642.0
y
in238.0max y
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 13
:مطلوبستABبرای تير
Aواکنش در تکيه گاه -الف
معادله منحنی االستيک-ب
Aشيب در انتهای -ج
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 14
:حل
.تير، ناميعن استاتيکی درجه اول است: توجه
Aنيروی تکيه گاهی -الف
معادله گشتاور
L
xwxRM
Mx
L
xwxR
M
A
A
D
6
032
1
0
30
20
L
xwxRM
dx
ydEI A
6
30
2
2
معادله ديفرانسيل منحنی االستيک
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 15
دو بار انتگرال گيری•
21
503
1
402
1206
1
242
1
CxCL
xwxRyEI
CL
xwxREI
dx
dyEI
A
A
:اعمال شرايط مرزی•
01206
1:0,at
0242
1:0,at
0:0,0at
21
403
1
302
2
CLCLw
LRyLx
CLw
LRLx
Cyx
A
A
:Aحل معادله جهت تعيين نيروی تکيه گاه •
030
1
3
1 40
3 LwLRA LwRA 010
1
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 16
xLwL
xwxLwyEI
3
0
503
0120
1
12010
1
6
1
xLxLxEIL
wy 43250 2
120
معادله منحنی االستيک-ب
RAو C2و C1جايگذاری
42240 65120
LxLxEIL
w
dx
dy
EI
LwA
120
30
Aشيب در انتهای -ج
مشتق گيری برای پيدا کردن شيب
at x = 0,
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 17
(:Superposition)اصل ترکيب
ل ناشی از هر ناشی از چند بارگذاری برابر است با ترکيب خطی تغيير شک( خيز و شيب)تغيير شکل تيرها
.يک از بارگذاری ها
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 18
.را بدست آوريدBبرای تير مقابل، شيب و خيز در انتهای
:حل
.درنظر می گيريم2و 1بارگذاری را به صورت برآيند بارگذاری
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 19
Loading I:
EI
wLIB
6
3
EI
wLy IB
8
4
Loading II:
EI
wLIIC
48
3
EI
wLy IIC
128
4
رایباالستيکمحنیلذاواستصفرخمشیلنگر،CBقسمتدر
.استراستخطيکصورتبهقسمتاين
EI
wLIICIIB
48
3
EI
wLL
EI
wL
EI
wLy IIB
384
7
248128
434
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 20
EI
wL
EI
wLIIBIBB
486
33
EI
wL
EI
wLyyy IIBIBB
384
7
8
44
EI
wLB
48
7 3
EI
wLyB
384
41 4
:ترکيب حل ها
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 21
.کرداستفادهترکيبروشازتوانمیاستاتيکینامعينتيريکتحليلبرای•
بهآنراهیگاتکيهنيرویوکردهحذف(شودمیناميدهزائدگاهتکيهکه)راهاگاهتکيهازيکیابتدا•
.گيريمدرنظرمیمجهولبارعنوان
.نيمکمیترکيبسپسوکردهحسابجداگانهراواردهبارهایومجهولبارازناشیهایتغييرشکل•
.باشدسازگاراصلیتيرهایگاهتکيهوضعيتبابايدهابارگذاریترکيبازناشیشکلتغيير•
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 22
:برای تير داده شده مطلوبست
الف واکنش در هر تکيه گاه
Aشيب در انتهای -ب
:حل
.را حذف می کنيمBتکيه گاه زائد
(RBو نيروی مجهول wنيروی گسترده )اصل ترکيب
(.بايد صفر باشدBجابجايی در نقطه )اعمال شرط سازگاری با توجه به تير اصلی
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 23
:اثر بارگذاری توزيعی•
EI
wL
LLLLLEI
wy wB
4
334
01132.0
3
2
3
22
3
2
24
:اثر نيروی تکيه گاه زائد•
EI
LRLL
EIL
Ry BB
RB
322
01646.033
2
3
واکنش در تکيه گاه ها-الف
:شرط سازگاری•
EI
LR
EI
wLyy B
RBwB
34
01646.001132.00
wLRB 688.0
:از تعادل استاتيکی•
wLRwLR CA 0413.0271.0
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 24
EI
wL
EI
wLwA
33
04167.024
EI
wLLL
L
EIL
wLRA
322 03398.0
336
0688.0
EI
wL
EI
wLRAwAA
33
03398.004167.0 EI
wLA
3
00769.0
Aشيب در انتهای -ب
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 25
در اين قسمت برای تعيين شيب و خيز از خواص منحنی•
.االستيک تير استفاده می کنيم
:قضيه اول ممان مساحت
EI
M
dx
yd
dx
d
dx
dy
2
2
dxEI
Md
D
C
x
x
CD dxEI
M
CD / ( Dو Cبين نقاط M//EIسطح زير منحنی )
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 26
:مساحتمماندومقضيه
ممانبااستبرابرD(tC/D)نقطهبهنسبتCنقطهمماسیانحراف
محوربهنسبتDوCنقاطبينM/EIمنحنیزيرسطحاول
.Cنقطهازگذراعمودی
گذراعمودیمحوراالستيک،منحنیبر’PوPنقاطازواردههایمماس•
.کنندمیقطعدارند،قرارهمازdtفاصلهبهکهنقاطیدرراCنقطهاز
dxEI
Mxt
dxEI
Mxdtdxdt
D
C
x
x
DC
1/
11. کوچک dθ
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 27
يکعمودیفاصلهمساحت،مماندومقضيهکهديديم•يکازواردهمماستا(C)االستيکمنحنیازنقطه.دهدمینشانرا(D)ديگرنقطه
عنوانبهAثابتگاهتکيهازواردهمماسای؛طرهتير•.مرجعمماس
وارده مماس: تير با تکيه گاه ساده تحت بارگذاری متقارن•.به عنوان مماس مرجعCاز مرکز
ADD
ADD
A
ty /
/
0
cBCDD
CDD
C
tty //
/
0
مساحت-با کمک قضيه اول ممانDشيب در
مساحت-با کمک قضيه دوم ممانDخيز در
مساحت-با کمک قضيه اول ممانDشيب در
مساحت-با کمک قضيه دوم ممانDخيز در
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 28
استبهترtD/CمماسیانحرافوθD/Cزاويهتعيينبرایمعموالً•
صورتبهواردهبارهایازيکهربرایرامذکورهایجمله
.بيابيمجداگانه
جداگانهطوربهبارهربرایراM/EIنمودارمنظور،اينبرای•
.کنيممیرسم
زاويهD/Cهایمنحنیزيرمساحتجبریمجموعازرا
.يابيممیمختلف
مماسیانحرافtD/Cمذکورسطوحاولهایممانمجموعازرا
.يابيممیDنقطهازگذراعمودیمحوربهنسبت
طوربهواردهبارهربرایطريقاينبهکهراM/EIنمودار•
.گويندمیچندقسمتینمودارآيد،میبدستجداگانه
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 29
.را بيابيدEبرای تير داده شده، شيب و خيز در سر
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 30
:حل
تعيين نيروهای تکيه گاهی-
waRR DB
M/EIنمودارهای نيروی برشی، لنگر خمشی و رسم -
EI
waa
EI
waA
EI
LwaL
EI
waA
623
1
422
32
2
22
1
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
9 - 31
:Eشيب در سر •
EI
wa
EI
LwaAA
CECECE
64
32
21
aLEI
waE 23
12
2
EI
Lwa
EI
wa
EI
Lwa
EI
Lwa
LA
aA
LaA
tty CDCEE
168164
44
3
4
224223
121
aLEI
wayE 2
8
3
:Eسر خيز در •