Autor: Mario A. Jordán
Fundamentos de Control Realimentado
NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2014 Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la
Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Para mostrar animaciones desde el comienzo presione F5
Clases 2 y 3 - Versión 1 - 2014
Contenido básico:
Sistemas Dinámicos
Linealidad
Leyes y Principios de comportamiento dinámico
2
Sistemas dinámicos según áreas de la Física
Identificación de sistemas dinámicos
Un sistema dinámico es lineal si obedece al
Principio de Superposición
Linealidad
Si un sistema dinámico obedece al Principio de Superposición,
entonces es Lineal
Modelo Dinámico
u1(t)u2(t)u1(t) + u2(t)
y(t) = y1(t) + y2(t)
y1(t)y2(t)y(t)
Ejemplo 1
3
Linealidad
u(t)dy/dt = y(t) + u(t)
0
Ejemplo 2
dy1/dt = y1 + u1 (t) dy2/dt = y2 + u2 (t)
dy/dt = y + u1 + u2
dy/dt = y + dy1/dt - y1 + dy2/dt – y2
[dy/dt – dy1/dt – dy2/dt] – [y – y1 – y2]= 0
0
y = y1 + y2
y(t)
4
Leyes y Principios de comportamiento dinámico
Sistemas Mecánicos
Sistemas Eléctricos
Sistemas Electromagnéticos
Sistemas Térmicos
Sistemas Termodinámicos
Sistemas Electromecánicos
5
Sistemas Mecánicos
Leyes de Newton – Movimiento traslacional
u = m x..
Fuerza = masa x aceleración
o también
6
Sistemas Mecánicos
Sistema amortiguador
m1
m2
resorte
amortiguador
7
Sistemas MecánicosSistema multicuerpos: 2 masas
rueda
Chasis/4
elasti-cidad
resorte amortiguador
calle
cota de referencia
2) Cuerpo libre1) Diagrama en bloques
{3) Sistema de ODEs
{O bien
8
Sistemas MecánicosResolución del sistema ODE
Encontrar x(t) e y(t) para un perfil de camino r(t) y CI determinadas
{
{
Resolvemos el sistema de ODE (Numéricamente c/MATLAB)
O cambiamos de dominio: Reemplazamos s por d/dt
Y nos queda un sistema algebraico con dos incógnitas X e Y
9
Sistemas MecánicosResolución del sistema algebraico
٠Se despeja X(s) en la primera ecuación y se reemplaza en la segunda٠Se despeja Y(s) en función de la única entrada R(s)
٠Y(s) expresa en el dominio s la oscilación que percibe el conductor del auto para un camino sinuoso R(s).
٠Y(s) debería ser más suave y menos intensa que R(s).
٠La parte derecha de la función racional es un filtro pasabajos
10
Sistemas MecánicosLey de Newton (rotacional): Sistema satélite
Fc d+MD=uFc d+MD=u
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Sistemas ElectomecánicosSistema de disco rígido para lectura
Esquema de fuerzasI1
I2
1
Mc + MD
k(1-2)
k
b(1-2). .
2k(1-2)
b(1- 2). .
b
12
Sistemas ElectomecánicosSistema de dos cuerpos rotacionales
Cuerpo libre
{Sistema ODE
Sistema Algebraico
Despreciando b y MD, queda un sistema oscilatorio:
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Sistema: disco rígido para lectura de datos
Sistemas Electomecánicos
Sistemas colocados: A través de Mc se debe llevar a 2 a unareferencia 2 ref pasando por 1 con nexoselásticos (eje del motor)
Sistemas no-colocados: A través de Mc se debe llevar a 2 a unareferencia 2 ref con un eje rígido del motor,
es decir 2=1 casi instantáneamente.
14
Sistema: péndulo
Sistemas Mecánicos
Linealización
I=m l2I=m l2
15
Sistema: péndulo
Sistemas Mecánicos
Sistema linealizado:
Transferencia del torque al movimiento de la masa en el puntal
Respuesta impulsiva del péndulo de reloj
16
Sistema: Grúa pórtico
Sistemas Mecánicos17
Sistema: Grúa pórticoSistemas Mecánicos
{Función de transferencia
{
18
Sistema: Péndulo invertidoSistemas Mecánicos
{
19
Sistema: Brazo Robótico flexibleSistemas Mecánicos
20
Sistema: Brazo Robótico flexibleSistemas Electromecánicos
Péndulos invertidos simple, doble, etc.
1er Modo de oscilación
2do Modo de oscilación
21
ODE de parámetros distribuidos
Sistema: Motor DC
Sistemas Electromecánico22
Sistema: Motor DCSistemas Electromecánicos
Electromagnetismo: Ley de Faraday:
Mecánica: 2o Ley de Newton:
Electricidad: Ley de Kirchoff:
23
Sistema: Motor DC
Sistemas Electromecánicos
Definición de entrada y salida según objetivo de control
Entrada: ua Salida: qm
Función de transferencia para control de posición de un motor DC
Modelo de tercer ordencon un integrador
24
Sistema: Motor DC
Sistemas Electromecánico
Definición de entrada y salida según objetivo de control
Entrada: ua Salida: Wm
La dia/dt + Ra ia = ua – Ke Wm
Jm dWm /dt + b Wm = Kt ia
Modelo simplificado para control de velocidad de un motor DC
con Wm = qm .
Además, si La=0, el modelo es de 1er orden
El modelo resultará de 2do orden
25
Sistema: Puente T (redes de Zobel)Sistemas Electrónicos
Circuito de red cuya característica es que tiene una impedancia de entrada específica independiente de la función de transferencia entrada-salida
Tiene dos elementos acumulativos de energía (2 capacitores), por tanto sus 2 ODEs poseen dos variables de estado.
Aplicando la ley de Kirchoff de corriente en nodos que involucran a ambos capacitores, se tiene:
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Sistema: Puente T, Ecuación de Estado
Sistemas Electrónicos
Ecuación del sistema
Ecuación de salida
Vector de estados
Matrices del sistema y de entrada
Matriz de salida
ODE vectorial de1er orden
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J = 0Matriz de transferencia directa
Transmisión de Calor por Conducción: Resistencia térmica
Sistemas Térmicos
R q = T1-T2
R: resistencia térmicaq: flujo de calorT1: Temperatura altaT2: Temperatura bajaT2T1
T1>T2
l
k: Conductividad térmica
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Transmisión de Calor por Convección Transferencia térmica entre masas líquidas
Sistemas Térmicos
q = w cv (T1-T2)
w: caudal de masa líquida
cv: calor específico a V=cte
T1: Temperatura alta
T2: Temperatura baja
q: flujo de calorT1
T2
q
w
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T1>T2
Ecuaciones básicas: Capacidad térmica
Sistemas Térmicos
q = C dT/dtC: capacidad térmicaq: flujo de calordT/dt: variación de temperatura en un punto
Recinto cerrado conuna fuente de calor
m: masa del aire (fluido)cv: calor específico a V=cte
Tq
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Sistema: Recinto cerradoSistemas Térmicos
q = C dTi/dt
q = q1 + q2
q1 =1/R1 (Ti-To)
q2 =1/R2 (Ti-To)
dTi/dt =1/C (1/R1+1/R2) (Ti-To)Ecuación del Sistema:
Ti
To
q2
qq1
R1
R2
C
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aislados
aisl
ado
aislado
Sistema: Caldera
Sistemas Térmicos32
Sistema: IntercambiadorSistemas Térmicos
El vapor transfiere calor a la cámara:
El agua absorbe calor por conducción:
El calor del vapor en la cámaraaumenta la temperatura:
Válvula de control
Termómetro
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Ks es el factor de flujo
Cámara El calor del agua en la tuberíaaumenta la temperatura:
qw w w
Sistema: Intercambiador
Sistemas Térmicos
El calor del vapor es:
El calor del agua es:
El termómetro del agua marca:
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Sistema: CalderaSistemas Térmicos
Válvula de control
Termómetro Objetivo de Control
Sistema de ODEs
Matrices de las Ecuaciones de Estado
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Sistemas MecánicosSistemas varios: Engranajes
w2/w1 = k1 n1/n2 = k1
n: número de dientes
w3/w2 = k2 n2/n3 = k2
w3/w1 = n1/n3 = k1 k2
w: velocidad angularw1
w2
w3
Torque 2 / Torque 1 = n2/n1 = 1/k1
Torque 3 / Torque 2 = n3/n2 = 1/k2
Torque 3/Torque 1 = 1/ k1 k2
36
Sistemas MecánicosSistemas varios: Engranajes
Relación cualitativa entre torque y velocidad en los cambios de un auto
Torque 2 / Torque 1 = n2/n1 = 1/k
El torque aplicado al engranaje motriz de menor número de dienteses amplificado en el eje del engranajeconducido.
Sin embargo la velocidad angular se reduce en este último.
Relación = k : 1
37
Sistemas MecánicosSistemas varios: Poleas
w2/w1 = k = R1/R2 Torque 2/Torque 1 = 1/k
w2w1
R2R1
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Sistemas MecánicosSistemas varios: Aparejos
Fuerza en el cabo P = peso Q / número de cuerdas entre poleas
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Sistemas Mecánicos
Palanca
Pistones
Diafragma
Columna de agua
Fuerza = presión x Área
Fuerza 1 x L1 = Fuerza 2 x L2
Fuerza = presión x Área
Presión = densidad x g x h
Sistemas varios
Parlante
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Identificación de Sistemas41
Sea:
Sistema Dinámico
u (t) y (t)
Se conoce de él que:1) Es lineal alrededor de un punto de operación de interés
2) Puede excitarse en un intervalo pequeño alrededor del punto el operación de interés midiendo la salida
sensor
PC
3) Puede o no conocerse la estructura de la ecuación diferencial ordinaria ODE
ym (t)
Identificación de Sistemas42
a) Si se conoce la estructura de la ecuación diferencial,por ejemplo:
b) Si, por el contrario, la estructura de la ODE no es conocida:
Se puede emplear un método frecuencial por ejemplo para determinar los órdenes de los polinomios numerador y denominador de la ODE y luego estimar sus coeficientes.
d3y/dt3 = – a1 d2y/dt2 – a2 dy/dt – a3y + b0 du/dt + b1 u
entonces sólo los coeficientes a1 , a2 , a3, b0 y b1 y b0 son desconocidos y deberán ser determinados.
Identificación Paramétrica43
Se trata de determinar los coeficientes de la ODE
Frecuenciales: Determinar asíntotas en respuesta frecuencial
Métodos
TemporalesDeterminar características singulares de la respuesta al escalón
Métodos estadísticosExcitando al sistema con señales aleatorias o pseudo-aleatorias
Se conoce su estructura.