8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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5
Además de estos factores controlables, hay otros más que no pueden controlarse con facilidad una vez que
la máquina inicia la rutina de manufactura; entre éstos se incluyen:
1. El espesor de la tarjeta de circuitería
2. Los tipos de componentes utilizados en la tarjeta
1. Temperatura de la soldadura
2. Temperatura de precalentamiento
3. Velocidad de la banda transportadora
4. Tipo de flujo
5. Gravedad de flujo específica
6. Profundidad de la onda de soldadura
7. Ángulo de la banda transportadora
Un experimento de caracterización. Un ingeniero de desarrollo está trabajando en un nuevo proceso para
soldar componentes electrónicos en tarjetas de circuitería. Específicamente, trabaja con un nuevo tipo de sol-
dadura de flujo que, espera, reducirá el número de puntos de soldadura defectuosos. Una máquina de solda-
dura de flujo precalienta las tarjetas de circuitería y después las pone en contacto con una onda de soldadura
líquida. Esta máquina efectúa todas las conexiones eléctricas y la mayor parte de las mecánicas de los compo-
nentes en la tarjeta de circuitería. Los defectos de soldadura requieren retoque o volver a realizarse, lo que sig-
nifica mayor costo y, a menudo, daña las tarjetas. La máquina de soldadura de flujo tiene diversas variables
que el ingeniero puede controlar. Éstas son
3 E JEM PLO S D E AP L IC AC IO NES D EL D ISE Ñ O E XPE R IM EN TA L
Un experimento no es más que una prueba o una serie de pruebas. Los experimentos se realizan en
todas las disciplinas científicas
de la ingeniería,
son una parte fundamental del proceso de des-
cubrimiento aprendizaje. Las conclusiones que pueden extraerse de un experimento dependerán,
en parte, de cómo se llevó a cabo; por ello, su
is ño
desempeña un papel fundamental en la solu-
ción del problema. Este capítulo presenta útiles técnicas de diseño experimental cuando están invo-
lucrados varios factores.
Diseño de
experimentos con
varios factores
Capítulo
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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Un experimento de optimización. En un experimento de caracterización nos interesa determinar cuáles fac
tores afectan la respuesta. El siguiente paso lógico consiste en determinar la región en los factores importan
tes que conducen a una respuesta óptima. Por ejemplo, si la respuesta es rendimiento, consideraríamos una
región de rendimiento máximo, y si la respuesta es el costo, consideraríamos una región de costo mínimo.
A modo de ilustración, suponga que el rendimiento de un proceso químico es afectado por la temperatu
ra de operación y el tiempo de reacción. El proceso se está operando a 155°F y 1.7 horas de tiempo de reac
ción, y se presenta un rendimiento de aproximadamente 75 . La figura 13-2muestra una vista de este espacio
tiempo-temperatura. En esta gráfica hemos conectado con líneas los puntos de rendimiento constante. Estas
líneas se llaman contornos en la figura se muestran los contornos para rendimientos de 60, 70, 80, 90 Y95 .
Para localizar el rendimiento óptimo, es necesario diseñar un experimento que varíe al mismo tiempo la pre
sión y la temperatura. Este diseño se ilustra en la figura 13-2. Las respuestas observadas en los cuatro puntos
En esta situación, el ingeniero está interesado en caracterizar la máquina de soldadura de flujo; esto es,
lo que quiere es determinar qué factores tanto controlables como no controlables) afectan la ocurrencia de de
fectos en las tarjetas de circuitería. Para lograrlo, se puede diseñar un experimento que permitirá estimar la
magnitud y dirección de los efectos del factor. En ocasiones llamamos a este tipo de análisis experimentos de
encubrimiento La información de este estudio de caracterización o experimento de encubrimiento puede uti
lizarse para identificar factores críticos, determinar la dirección de ajuste respecto de estos factores para redu
cir el número de defectos,
ayudar en la determinación de cuáles factores deben controlarse cuidadosamente
durante la manufactura para evitar altos niveles de defectos y un funcionamiento errático del proceso.
Figura 13-1 Experimento de la soldadura de flujo.
Z z Zq
Factores no controlables de ruido
Insumo tarjetas Proceso máquina
de soldadura de flujo
de circuitería
Producción
defectos, y
Factores controlables
X x x
Con frecuencia. los factores no controlables se denominan factores de ruido Una representación esque
mática del proceso se muestra en la figura 13-1.
3. La distribución de los componentes en la tarjeta
4. El operador de la máquina
5. Factores ambientales
6. Tasa de producción
426 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARAINGENIERíA
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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4. Pruebas de confiabilidad
y
vida de servicio
5. Pruebas de funcionamiento
6. Configuración del diseño del producto
7. Determinación de tolerancia de los componentes
Estos ejemplos ilustran sólo dos aplicacionespotenciales de los métodos de diseño experimental.
En el ámbito de la ingeniería, las aplicaciones del diseño de experimentos son numerosas. Algunas
de las posibles áreas de aplicación son:
1. Resolución de problemas en un proceso
2. Desarrollo y optimización de procesos
3. Evaluación de materiales alternativos
del experimento 145°F, 1.2 h , l45°F, 2.2 h , l65°F, 1.2 h y 165°F, 2.2 h indican que debemos movemos
en la dirección general de aumento de temperatura
y
disminución de tiempo de reacción para incrementar el
rendimiento. Unas cuantas ejecuciones adicionales podrían efectuarse en esta dirección para localizar la región
de rendimiento máximo.
Figura 13-2 Gráfica de contornos del rendimiento como una función del tiempo de reacción
y
la
temperatura de reacción, ilustrando un experimento de optimización.
2 5
5
Tiempo h
15
2
Trayectoria que conduce
19
a la región de
rendimiento
más alto
18
~
~
17
Q
Condiciones de
16
operación actuales
15
14
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES 427
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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20
4
actor
A
Factor
Tabla 3
Experimento factorial con dos factores
30 10
20.
En algunos experimentos la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la mis-
ma en todos los niveles de los otros factores. Cuando esto ocurre hay una
interacción
entre ellos.
Por ejemplo considere los datos de la tabla 13 2.En el primer nivel del factor
B
el efecto de
es
B
20
40 _ 10
30
10.
Esto es el cambio del nivel 1 al nivel 2 en el factor ocasiona un incremento de 20 unidades
en la respuesta promedio. De modo similar el efecto principal de
B
es
30 40 _ 10 20
20.
Cuando hay varios factores de interés en un experimento debe emplearse un diseño factorial En es-
te tipo de diseño los factores varíanjuntos. Específicamente por experimento factorial entendemos
que en cada ensayo o réplica completos del experimento se investigan todas las combinaciones po-
sibles de los niveles de los factores. Por tanto si hay dos factores y
B
el primero con
niveles y
el segundo b niveles cada réplica contiene todas las ab combinaciones de tratamiento.
El efecto de un factor se define como el cambio producido en respuesta a un cambio en el ni-
vel del factor. Esto se denomina efecto principal porque se refiere a los factores principales en el
estudio. Por ejemplo considere los datos de la tabla 13 1. El efecto principal del factor es la di-
ferencia entre la respuesta promedio en el primer nivel de
y la respuesta promedio en el segun-
do nivel de A o
3 2 EX PE RIM EN TO SFAC TO RIA LES
Los métodos del diseño experimental permiten que estos problemas se resuelvan eficientemen-
te durante las primeras etapas del ciclo del producto. Gracias a ello es posible reducir en forma muy
considerable el costo total del producto y el tiempo de desarrollo.
8
PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
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Figura 3 3 Experimento factorial ninguna interacción.
Factor
A
5
4
B ~ ::
3
3
o
2 :
al
2
/
o
O
y estaríamos tentados a concluir que no hay efecto de Sin embargo cuando examinamos los efec
tos de A en diferentes niveles del factor B vimos que éste no era el caso. El efecto del factor A de
pende de los niveles del factor
B
Por tanto conocer la interacción
AB
es más útil que conocer el
efecto principal. Una interacción significativa puede enmascarar la importancia de los efectos prin
cipales.
El concepto de interacción puede ilustrarse en forma gráfica. En la figura 13-3 se grafican los
datos de la tabla 13-1 contra los niveles de
A
para ambos niveles de
B
Observe que las líneas
BI
y
B
2 son aproximadamente paralelas lo que indica que los factores
A
y
B
no interactúan en forma sig
nificativa. En la figura 13-4 se grafican los datos de la tabla 13-2.En la gráfica resultante las líneas
B
IY
B
no son paralelas señalando la interacción entre los factores
A
y
B
Así las representaciones
gráficas a menudo son útiles en la presentación de los resultados de un experimento.
A =
30 O _ 20
=
O
22
Puesto que el efecto de
A
depende del nivel elegido para el factor
B
hay una interacción entre
AyB
Cuando una interacción es grande los efectos principales correspondientes tienen poca impor
tancia. Por ejemplo empleando los datos de la tabla 13-2 encontramos el efecto principal de
como
A = O- 20 = -20.
y en el segundo nivel del factor
B
el efecto de
A
es
2
O
1
3
Factor A
Factor
B
Tabla 3 2
Experimento factorial con interacción
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES
9
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Figura 13-5 Rendimiento contra tiempo de reacción, con temperatura constante a 155°F
Tiempo (h)
2 5 5 2 5
5
~
e
1::
al
60
i5
1::
al
a •
8
Una alternativa para el diseño factorial que desafortunadamente se emplea en la práctica, con
siste en cambiar los factores uno a la vez en lugar de variarlos en forma simultánea, Para ilustrar es
te procedimiento de un factor a la vez, considere el experimento de optimización descrito en el
ejemplo 13-2.El ingeniero está interesado en encontrar los valores de temperatura y tiempo de reac
ción que maximicen el rendimiento. Suponga que fijamos la temperatura en 15SOP el nivel de ope
ración actual y efectuamos cinco ejecuciones a diferentes niveles de tiempo, digamos 0.5 horas, 1.0
horas, 1.5 horas, 2.0 horas y 2.5 horas. Los resultados de estas series de ejecuciones se muestran en
la figura 13-5. En ella, se indica que el rendimiento máximo se alcanza aproximadamente con un
tiempo de reacción de 1.7horas. Para optimizar la temperatura, el ingeniero fija el tiempo en 1.7 ho
ras el óptimo aparente y efectúa cinco ejecuciones a diferentes temperaturas, por ejemplo 140oP,
150
o
P, 160
o
P, 170
P Y 180°F.Los resultados de este grupo de ejecuciones se grafican en la figura
13-6. El rendimiento máximo ocurre cerca de 155°F.Por tanto, concluiríamos que la ejecución del
proceso a 155°P y 1.7horas constituye el mejor grupo de condiciones de operación, resultando en
un rendimiento de más o menos 75 por ciento.
La figura 13-7 presenta la gráfica de contornos del rendimiento como una función de la tempe
ratura y el tiempo, representando el experimento de un factor a la vez sobre el contorno. Es claro que
Figura 13-4 Experimento factorial, con interacción,
5
1::
4
o
u
3
<.
o
al
2
1
1
O
430 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
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el diseño de un factor a la vez ha fallado aquí en gran medida dado que el nivel de rendimiento óp-
timo real está por lo menos 20 puntos por encima y ocurre en tiempos de reacción mucho menores
y temperaturas más altas La falla en el descubrimiento de tiempos de reacción más cortos es par-
ticularmente importante en virtud de que tendría un impacto muy significativo en el volumen o la
capacidad de producción en la planeación en el costo de manufactura y en la productividad total
Figura 3 7 Experimento de optimización, utilizando el método de un factor a la vez.
Tiempo h
2 5
0
.5
.0 5
E
~
.3
~
al
a.
E
al
1
Figura 3 6
Rendimiento contra temperatura, con tiempo de reacción constante a 1.7 h.
Temperatura O F
8
~
; : : g
~
7
Q
E
6
6
Q
c
5
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES
4
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Suponga que los factores A y R son fijos. Esto es, el investigador elige específicamente los niveles
a del factor A y los niveles b del factor B y las deducciones se confinan sólo a estos niveles. En es
te modelo, es usual definir los efectos Ti f3j y (TfJ)ij como desviaciones respecto de la media, de ma
nera que
I t
Ti 0,
I
¡f3j 0, Ii= ¡(TfJ)ij y
I
TfJ)ij O.
Sea Yi .. el total de las observaciones bajo el nivel i-ésimo del factor A Y j el total de las obser
vaciones bajo el nivel j-ésimo del factor R Yij el total de las observaciones en la celda ij-ésima de
la tabla 13-3, y y ... el gran total de todas las observaciones. Defina Yi Y j Yij Y y como el ren
glón, la columna, la celda y los grandes promedios correspondientes. Esto es,
13 3 1 Análisis estadístico del modelo de efectos fijos
donde J es el efecto de la media general, Ti es el efecto del nivel i-ésimo del factor A f3 es el efec
to del nivel j-ésimo del factor B , (T fJ )ij es el efecto de la interacción entre A y R, Y Eijk es una com
ponente de error aleatorio NID O,
0 2
distribución normal e independiente . Estamos interesados en
probar las hipótesis de que no hay efecto significativo del factor
A
no hay efecto significativo del
factor R y no hay interacción significativa AB. Como en los experimentos de un solo factor anali
zados en el capítulo 12, emplearemos el análisis de varianza para probar estas hipótesis. Puesto que
hay dos factores bajo estudio, el procedimiento que se emplea se llama análisis de varianza bidirec
cional.
13-1
i 1, 2, , a
Yijk J t f3 j (TfJ)ij Eijk 1,2, , b
1,2, , n,
El tipo más simple de experimento factorial involucra sólo dos factores, digamos
A
y
B
Haya ni
veles del factor
A
y
b
niveles del factor
B
El factorial de dos factores se muestra en la tabla 13-3.
Observe que hay n réplicas del experimento, y cada una de ellas contiene todas las ab combinacio
nes de tratamiento. La observación en la celda ij-ésima de la réplica k-ésima se denota Yijk Al recopi
lar los datos, las observaciones abn se ejecutarían en orden aleatorio. En consecuencia, como en el
experimento de un solo factor estudiado en el capítulo 12, el factorial de dos factores es un diseño
completamente aleatorio.
Las observaciones pueden describirse mediante l modelo estadístico lineal
3 3 EXPER IM EN TO S FACTO R IALES D E D O S FAC TO R ES
El método de un factor a la vez ha fallado en este caso, porque fue incapaz de detectar la interac
ción entre la temperatura y el tiempo. Los experimentos factoriales son la única forma de detectar in
teracciones. Además, el método de un factor a la vez es ineficiente; requiere más experimentación que
uno factorial y, como acabamos de observar, no ofrece garantía de producir resultados correctos. El
experimento ilustrado en la figura 13-2, con información que señala la región del nivel óptimo, es un
ejemplo simple de experimento factorial.
432 PROB BILID D EST DíSTIC P R INGENIERí
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i= l j= l k= l
= l j= l
a b a b n
+
n
5 1 . .
y . y .
y
2
(y .. -
y
2
- - tj.
.J. ... - - -
ijk
lJ.·
j= l
= l
13-3
+ f _ o _ y . Y
(y k _
y ..
)]2
\ Y lJ lJ lJ.
a b
= bn L (5Ii. - Y . .Y an L(5ij. - Y . .Y
a b n
= L L L[ (5Ii. -
Y J
(5 I.j.-
Y J
i= l j= l k= l
a b n
L L L(Yijk -
Y ..
i= l j= l k= l
a suma de cuadrados corregida total puede escribirse como
j 1,2, ... , b,
13-2
1,2, ... ,
a,
j 1,2, ... , b,
i 1, 2, ... ,
a,
b n
Yi..
Yi . . L LYijk
Y i. ..
j= l
k= l
bn
a
n
v¡
Y.j.=LLYijk
Y .j .
i= l k= l
an
n
Yij .
Y ij. =Vijk
Y ij .
n
k= l
a b
n
Y .. .
Y .. .
L LLYijk
Y . . .
i= l
j= l
k= l
abn
Yabl Yab2 ... Yabn
all Ya12 ... Yaln Ya2l Ya22 ... Ya2n
Y211 Y212 ... Y2ln Y22l Y222 ... Y22n
Ylbl Ylb2 Ylbn
Y2bl Y2b2 Y2bn
Y111 Yl12 ... Ylln Y121 Y122 ... Y12n
b
actor A 2
Factor B
Tabla 13-3 Arreglo de datos para un diseño factorial de dos factores
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES 433
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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Por tanto, para probar
Ho
(ningún efecto de factor de renglón),
Ho
(ningún efecto
de factor de columna), y Ho
rfJ ij
(ningún efecto de interacción), dividiríamos la media cuadrá
tica correspondiente entre el error cuadrático medio. Cada una de estas razones seguirá una distribu
ción
F
con grados de libertad del numerador iguales al número de grados de libertad para la media
cuadrática del numerador y
aben -
1) grados de libertad del denominador; la región crítica se loca
lizará en la cola superior. El procedimiento de prueba se arregla en una tabla de análisis de varian
za, tal como se muestra en la tabla 13-4.
y
a
b
nLL rfJ t
E MC
AB
E SC
AB a2
__ i = _ l l _ = _ l _
a - l b - 1 a - l b - 1
b
-s»
E MC
B
E SC
B a2
__ 1 = _ 1 _
b b
Hay un total de abn - 1 grados de libertad. Los efectos principales A y B tienen a - 1 Yb - 1
grados de libertad, en tanto que el efecto de interacciónAB tiene a - l b - 1) grados de libertad.
Dentro de cada una de las
ab
celdas de la tabla 13-3, hay
n -
1 grados de libertad entre
n
réplicas, y
las observaciones en la misma celda pueden diferir sólo debidoal error aleatorio. En consecuencia,
hay
aben -
grados de libertad para el error. La razón de cada suma de cuadrados en
el
lado dere
cho de la ecuación 13-4 respecto de sus grados de libertad, es una
media cuadrática.
Suponiendo que los factores
A
y
B
son fijos, los valores esperados de las medias cuadradas son
(13-4)
Por consiguiente, la suma de cuadrados total se divide en una suma de cuadrados debida a ren
glones o factores de
A SCA ,
una suma de cuadrados debida a columnas o factore s de
B SCB ,
una suma de cuadrados debida a la interacción entreA y B
SC
AB , y una suma de cuadrados debida
al error
SCE .
Observe que debe haber al menos dos réplicas para obtener una suma de cuadrados
del error diferente de cero.
La identidad de la suma de cuadrados en la ecuación 13-3puede escribirse simbólicamentecomo
PROBABILIDADY ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
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13-8)
C
B
SCsubtotales
SCA SCB·
Esta suma de cuadrados contiene también SCA y SCB Por tanto, el segundo paso consiste en
calcular
SC AB
como
a
b
se
~ ~
Y ij Y
subtotales
~ ~
i=l j=l n abn
Usualmente calculamos las SCAB en dos pasos. Primero, calculamos la suma de cuadrados entre
los totales de la celda ab llamada suma de cuadrados debido a subtotales .
13-7)
b
SC ~
j
Y
B ~
an - abn
j=l
y
13-6)
a
SCA=L~ z
i=l bn abn
Las sumas de cuadrados para los efectos principales son
13-5)
Las fórmulas de cálculo para la suma de cuadrados en la ecuación 13-4 se obtienen con facili
dad. La suma de cuadrados total se calcula a partir de
Fuente de Suma de
Grados de Media
variación cuadrados libertad cuadrática
Tratamientos
SG
a-1
SG
MG
MG
a-1
MGE
Tratamientos B
SGB
b-1
SGB
MGB
MG
B
b-1
MG
E
Interacción SG B
a-1 b-1
SG B
MG
B
MG
B
a - 1 b- 1
MG
E
Error
SGE
ab n- 1
MG SGE
E
ab n-1
Total
SG
T
abn-1
Tabla 3 4 El análisis de la tabla de varianza para la clasificación bidireccional, modelo de efectos fijos
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES
435
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12.8 2
15.9 2
15.5 2 89.8 2
= - -- - 4.58 - 4.91= 0.24,
3 18
a b 2 2
se
~~ ij se se
interacción
~ ~
tipos - métodos
n n
i~ j~l
40.2 2
49.6 2 89.8 2
= ---=4.91,
18
b
i
2
se ~ _j_ ~
metodos e:
b
j~ an a n
28.7 2
34.1 2
27.0 2 89.8 2
4 58
6 18
a
2 2
se ~ _. t. ~
tipos ~
i~[ bn abn
_ 2 2 2 89.8 2_
- 4.0 4.5 5.0 - -- - 10.72,
18
a b n y2
se;
L L L Y J k _
._[ ._[ [ abn
~~
Cierta pintura tapaporos para aviones se aplica a superficies de aluminio mediante dos métodos: baño
rocia
do. El propósito del tapaporos es mejorar la adhesión de la pintura. Algunas partes pueden pintarse empleando
cualquier método de aplicación,
y
el departamento de ingeniería está interesado en conocer si tres tapaporos
diferentes tienen distintas propiedades de adhesión. Se llevó a cabo un experimento factorial para investigar
el efecto del tipo de tapaporos y demétodo de aplicación en el nivel de adhesión de la pintura. Se pintan tres
muestras con cada tapaporos empleando cada método de aplicación, se aplica una pintura de acabado y se mi
de la fuerza de adhesión. Los datos del experimento se muestran en la tabla 13-5.Los números encerrados en
círculos en las celdas son los totales
Yij
Las sumas de cuadrados requeridas para efectuar el análisis de va
rianza se calculan del modo siguiente:
l3-9b
o
13-9a
El error de la suma de cuadrados se halla mediante la resta, ya sea
6 PROBABILIDADY ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
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Tabla 13 6 Análisis de varianza para el ejemplo 13 3
Fuente de
Suma de
Grados de
Media
variación
cuadrados
libertad
cuadrática
Tipos de tapaporos
4.581 2
2.291
27.86
Métodos de aplicación 4.909
1 4.909
59.70
Interacción
0.241
2
0.121 1.47
Error
0.987
12 0.082
Total 10.718 17
Pruebas en medias individuales Cuando ambos factores son fijos las comparaciones entre
las medias individuales de cualquier factor pueden efectuarse empleando la prueba de Tukey.
Cuando no hay interacción estas comparaciones pueden hacerse empleando ya sea los promedios
El análisis de varianza se resume en la tabla 13 6. Puesto que
O .05 2 1 2
3.89 y
O .05 1 1 2
4.75 conclui-
mos que los efectos principales del tipo de tapaporos y del método de aplicación afectan la fuerza de adhesión.
Además puesto que 1.5
O .05 2 12
no hay señal de interacción entre estos factores.
En la figura 13 8 se muestra una gráfica de los promedios de fuerza de adhesión de la celda Ji contra
los niveles del primer tipo para cada aplicación. La ausencia de interacción es evidente gracias al paralelismo
de las dos líneas. Además puesto que una respuesta con una cifra grande indica una fuerza de adhesión ma-
yor concluimos que el rociado es un mejor método de aplicación y que el tapaporos del tipo 2 es más eficaz.
10.72 4.58 4.91 0.24
0.99.
SC E
SCT SCtipos SCmétodo SCinteracción
y
v¡
Tipo de tapaporos
Método de aplicación
Baño Rociado
¡
4.0 4.5 4.3
@
5.4 4.9 5.6
28.7
5.6 4.9 5.4
5.8 6.1 6.3
@
34.1
3.8 3.7 4.0
@
5.5 5.0 5.0
@
27.0
40.2 49.6
89.8
Y
Tabla 13 5 Datos de la fuerza de adhesión para el ejemplo 13 3
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES 437
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3
2
Tipo de tapaporo
Método de aplicación
Baño Rociado
0.27
0.23 0.03
0.10
0.40 0.30
0.30
0.40 0.10
0.27 0.03
0.23
0.03 0.13 0.17 0.33 0.17 0.17
Tabla 13 7 Residuos para el experimento de la pintura tapaporos para aviones en el ejemplo 13 3
Esto es los residuos son justo la diferencia entre las observaciones y los promedios de celda co
rrespondientes.
La tabla 13-7presenta los residuos para los datos de la pintura tapaporos de aeronaves del ejem
plo 13-3.La gráfica de probabilidad normal de estos residuos se muestra en la figura 13-9.Esta grá
fica tiene colas que no caen exactamente a lo largo de la línea recta que pasa por el centro de la
misma lo que indica algunos problemas potenciales con la suposición de normalidad pero la des
viación respecto de la normalidad no parece considerable. En las figuras 13-10y 13-11 se grafican
Justo como en los experimentos de un solo factor estudiados en el capítulo 12 los residuos de un
experimento factorial desempeñan un papel importante en la evaluación de la suficiencia del mode
lo. Los residuos de un factorial de dos factores son
13 3 2 Verificación de
l
suficiencia
el mo elo
de renglón
i
o los promedios de columna
y
j
Sin embargo cuando la interacción es significativa
las comparaciones entre las medias de un factor digamos
A
pueden ser ocultadas por la interacción
AB.
En este caso podemos aplicar la prueba de Tukey a las medias del factor
A
con el factor
B
fi
jo en un nivel particular.
Figura 13 8 Gráfica de la fuerza de adhesión promedio contra los tipos de tapaporos del ejemplo 13 3.
2 3
TIpo de tapa poro
438 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
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Figura 13 11
Gráfica de residuos contra el método de aplicación
~ r ~ ~ ~
D S Métododeaplicación
0 .5
0 .5
Figura 13 1
Gráfica de residuos contra el tipo de tapaporos
0~ 4~ ~2~ ~3 ~
Tipode tapaporos
0.5
0.5
Figura 13 9
Gráfica de probabilidad normal de los residuos del ejemplo 13 3
ijk residuo
•
• •
•
1.0
1.0
2. 0
L-::-....:. ---- -:-----~~----._----~ ...__-
0.5 0.3 0.1 0.1 0.3
2. 0. . ~ . ~ . ~ ~1.
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES 439
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13-10)
¡
1, 2, , a
ijk = r¡ j rf3)ij Eijk j = 1,2, , b
k 1,2, , n
Hasta ahora hemos considerado el caso en que y B son factores fijos. Consideraremos ahora la si
tuación en la que los niveles de ambos factores se seleccionan al azar a partir de poblaciones más
grandes de niveles de factor, y deseamos extender nuestras conclusiones a la población muestral de
niveles del factor. Las observaciones se representan por medio del modelo
13 3 4 Modelo de efectos aleatorios
En algunos casos que involucran un experimento factorial de dos factores, podemos tener sólo una ré
plica. Esto es, sólo una observación por celda. En esta situación hay exactamente tantos parámetros
en el modelo del análisis de varianza como observaciones, y los grados de libertad del error son ce
ro. Por consiguiente, es imposible probar hipótesis en tomo a los efectos e interacciones principales,
a menos que se haga una suposición adicional. La suposición usual es ignorar el efecto de interacción
y usar la media cuadrática de interacción como un error medio cuadrático. Por tanto, el análisis es
equivalente al empleado en el diseño de bloque aleatorio. Esta suposición de no interacción puede ser
peligrosa, y el investigador debe examinar cuidadosamente los datos y los residuos como indicadores
de que ahí realmente está presente la interacción. Para más detalles, véase Montgomery 2001 .
13 3 3 Una observación por celda
los residuos contra los niveles de los tipos de tapaporos y los métodos de aplicación, respectivamen
te. Existe cierto indicio de que el tipo 3 de tapaporos produce una variabilidad ligeramente inferior
en la fuerza de adhesión que los otros dos tapaporos. La gráfica de residuos contra valores ajustados
y jk Y¡j en la figura 13-12 no revela patrón inusual ni de diagnóstico.
Figura 3 2 Gráfica de residuos contra los valores predichos Yijk =Yij
0.5
• ••
• •
\
5
6
Yijk
•
•
•
0.5
PROB BILID D EST DíSTIC P R INGENIERí
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la cual se distribuye como
Fb-1, a-l) b--l)
Todas éstas son pruebas de una cola superior. Observe que
estas estadísticas de prueba no son las mismas que las utilizadas si ambos factores y son fi
jos. Las medias cuadráticas esperadas se emplean siempre como una guía para probar la construc
ción de la estadística.
13-14
que se distribuye como Fa-1, a-l) b--I) Ypara probar Ho:
<1~
O,la estadística es
1 3 - 1 3
M C
A
M C
puesto que bajo
Ho
tanto el numerador como el denominador de
Fo
tienen esperanza <1
2,
y sólo si
Ho
es falsa E M C A B ) es más grande que E M C E ). La razón Fo se distribuye como F a-l) b--l), ab n-l) De
manera similar, para probar Ho:
<1~
O,usaríamos
1 3 - 1 2
M C A B
M C
E
Observe, a partir de las medias cuadráticas esperadas, que la estadística apropiada para probar
Ho:
<1~/3
O
es
y
1 3 - 1 1
E M C A )
<1
n< 1~/3
b n < 1~,
E M C B )
<1
2 n< 1~/ 3 ancr~ ,
E M C A B )
<1
2 n< 1~/3
y
<1~ , <1~ , <1~ /3
Y
<1
2
se llaman com ponentes de varianza. Las hipótesis que estamos interesados en
probar son Ho:
<1~
O,Ho:
<1~
Oy Ho:
<1~/3
O.Advierta la similitud con el modelo de efectos alea
torios de clasificación unidireccional.
El análisis de varianza básico permanece sin cambio; esto es, SC A SC B , SC A B S C T y SC E se
calculan todos como en el caso d e efectos fijos. Para construir las estadísticas de prueba, debemos
examinar las medias cuadráticas esperadas. Éstas son
V í y
-
ijk -
<1r + <1/3 + <1r/3+ <1,
donde los parámetros Ti j, T{3)ij Y€ijk son variables aleatorias. Específicamente, suponemos que si
Ti es NID O,
<1~),
j es NID O,
<1 )
T{3)ij es NID O,
<1;/3 )
y €ijk es NID O,
.
La varianza de cual
quier observación es
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bl 13 8 Análisis de varianza para el ejemplo 13 4
Fuente de
Suma de
Grados de Media
variación
cuadrados libertad
cuadrática
o
Tipos de tapaporos
4 58 2
2 29 19 08
Métodos de aplicación 4 91
4 91 40 92
Interacción
0 24 2
0 12 1 5
Error 0 99 12 0 08
Total 10 72 17
Es evidente que las dos componentes de varianza más grandes son para los tipos de tapaporos ~
=
0.36
y los métodos de aplicación
~ =
0.53 .
~
= 4.91 ~ 0.12 = 0.53.
2
=
0.08,
~f = 0.12; 0.08 = 0.0133,
2.29 - 0.12
=
O 36
6
Suponga que en el ejemplo 13-3, podría emplearse un gran número de pinturas tapaporos y varios métodos de
aplicación. Tres tapaporos, digamos 1,2, y 3, se seleccionaron en forma aleatoria, así como dos métodos de apli
cación. El análisis de varianza, suponiendo el modelo de efectos aleatorios, se muestra en la tabla 13-8.
Observe que las cuatro primeras columnas de la tabla del análisis de varianza son exactamente como en
el ejemplo 13-3. Después de esto, sin embargo, las razones
se calculan de acuerdo con las ecuaciones 13-12
a 13-14. Puesto que o o s 2 12 = 3.89, concluimos que la interacción no es significativa. Además, puesto que
FO O S 2 2
=
19.0 y FO O S 2
=
18.5, concluimos que tanto los tipos como los métodos de aplicación afectan signi
ficativamente la fuerza de adhesión, aunque el tipo de tapaporos es apenas significativo en
=
0.05. Las com
ponentes de varianza pueden estimarse empleando la ecuación 13-15 como sigue:
13-15
2
= MC
2 MCAB MCE
r f 3
n
Las componentes de varianza pueden estimarse igualando las medias cuadráticas esperadas con
sus valores esperados,
y
resolviendo para las componentes de varianza. Lo anterior produce
442 PROBABILIDAD
ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
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se distribuye como F a-l) b-l), ab n-l)
13-20
se distribuye como
Fb l ab n-l)
Por último, para probar
H o: O ~f3
O,utilizaríamos
13-19
que se distribuye como
Fa-1, a-l) b-l)
Para probar H o : O ~
0, la estadística de prueba es
13-18
En consecuencia, la estadística apropiada para probar
H o : Ti
Oes
y
13-17
MCB) 0 2 a n O ~ ,
E MC
AB) 0 2 n O ~ f3
E MC
A) 0 2
n~JJ+ __
i=_l_,
l
a
b n T
En este modelo, Ti es un efecto fijo definido tal que L~
1 Ti
0, j es un efecto aleatorio, el tér
mino de interacción
TfJ)ij
es un efecto aleatorio y
Eijk
es un error aleatorio NID O,
0 2).
Suele supo
nerse que j es NID O,
O ~
y que los elementos de interacción
TfJ)ij
son variables aleatorias
normales con media cero y varianza [ a - 1)/a] ~JJ No todos los elementos de interacción son n-
dependientes.
Las medias cuadráticas esperadas en este caso son
Suponga ahora que uno de los factores, A, es fijo y el otro, B, es aleatorio. Esto recibe el nombre de
análisis de varianza del
modelo mixto
El modelo lineal es
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES 44
-r
13 3.5
o elo mixto
13-16
i
1, 2, ,
Yijk u
Ti
~ TfJ)ij Eijk = 1 2
b,
k - 1 2
n
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Muchos experimentos involucran más de dos factores. En esta sección presentaremos el caso en el
que haya niveles del factor A b niveles del factor B e niveles del factor
etc., arreglados en un
experimento factorial. En general, habrá abe n observaciones totales, si hay n réplicas del expe
rimento completo.
Por ejemplo, considere el experimento de tres factores, con el modelo básico
3 4 E XP ER IM E NT OS FA CT OR IA LE SG EN ER ALE S
Tabla 13 9 Análisis de varianza para el modelo mixto de dos factores
Fuente de Suma de Grados de Media
Media
variación
cuadrados
libertad cuadrática cuadrática esperada
Renglones
A
SG
a-1
MG
0 2 M~f3 bn LrT/ a-1)
MG
MG
Columnas
B
SG
b-1
MG
0 2 anci
MG
MGE
Interacción
SG
a-1) b-1)
MG
0 2 n~f3
MG
MG
E
Error
SGE
ab n-1)
MGE
0 2
Total
SGT
abn-1
Esteplanteamientogeneralpuedeutilizarsepara estimar las componentesde varianzaen cualquier
modelo mixto. Después de eliminar las medias cuadráticas que contienen factores fijos, permanecerá
siempre un conjunto de ecuaciones que puede resolverse respecto de las componentesde varianza.La
tabla 13-9resume el análisis de varianzapara el modelomixto de dos factores.
13-21)
y
~
Me MeE
u
a n
Las componentes de varianza
j~ j~p
y
j
pueden estimarse eliminando la primera ecuación de
la ecuación 13-17, con lo cual quedan tres ecuaciones con tres incógnitas, cuyas soluciones son
444 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
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bla 13 10 La tabla de análisis de varianza para el modelo de efectos fijos de tres factores
Fuente de Suma de
Grados de Media Medias cuadráticas
variación cuadrados
libertad cuadrática
esperadas
MeA
ben irf MeA
A
se,
a-1
0 2 __ -
MeE
-1
B
ses
b-1
Mes
aen i 3J
Mes
0 2 __ -
b-1
MeE
Mee
abn in
uc¿
e
se¿
e-1
0 2 __ -
e-1
MeE
se¿
(a-1)(b-1) MeAS
0 2
en i i(rf3)~
MeAS
AB
(a-1)(b-1)
MeE
0 2
bn i i(rnfk
MeAe
Ae
se¿
(a-1)(e-1) MeAC
(a-1)(e-1)
MeE
an i i( 3i1Jk
Mesc
Be
sesc
(b-1)(e-
1)
Mesc
0 2
MeE
b-1)(e-1)
ABe seASC
(a-1)(b-1) (e-1) MeASC
0 2
n i i i( r 3i1~k
MeASC
(a-1)(b-1){e-1)
MeE
Error
se
abc(n-1)
MeE
0 2
Total
se,
aben -1
= j=l k=l =
13-23)
a b e n y~...
S T
L L
L
L y i j k l
aben
Suponiendo que A, By C son fijos, el análisis de varianza semuestra en la tabla 13-10.Observe
debe haber al menos dos réplicas (n ~ 2) para calcular una suma de cuadrados del error. Las
bas de F en los efectos e interacciones principales son resultado directo de las medias cuadráti
as esperadas.
Las fórmulas de cálculo para las sumas de cuadrados de la tabla 13-10 se obtienen fácilmente.
suma de cuadrados total es, usando la obvia notación de puntos ,
13-22)
{
i
1, 2, , a,
j
1,2, ,
b,
r f i>i jk E ijkl
c
1,2, ,
n.
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13-31)
C
E
SC
T
SCsubtotales ABC)
La suma de cuadrados del error puede encontrarse sustrayendo la suma de cuadrados para cada
efecto e interacción principal de la suma de cuadrados total, o mediante
13-30b)
SCsubtotales ABC) - SCA - SCB - SCc - SCAB SCAC - SCBC
13-30a)
a b e
2 2
SCABC Yijk ~ SCA - SCB - SCc - SCAB - SCAC - SCBC
1 1
k= 1
n en
J
La suma de cuadrados de interacción de tres factores se calcula a partir de los totales de celda
de tres sentidos
y ijk.
como
SCsubtotaies BC) -
SCB - SCc·
13-29)
b e
2
2
SCBC= L L
Yjk.
_Y_.... _ -SCB-SCC
j=1 k l n en
y
SCsubtotales AC) -
SCA - SCo
13-28)
a e y t
2
SCAC
L L
.as: -
_ _ 2 :: : : : _
SCA - SCc
i l k=1 n en
SCsubtotales AB) -
SCA - SCB
13-27)
a b
2 1
SCAB=LL Yij .. _ .._. -SCA-SCB
i l j=l en en
Para calcular las sumas de cuadrados de interacción de dos factores, son necesarios los totales
. de las celdas A x B A x C y B x C. Puede ser útil descomponer la tabla de datos original en tres ta
blas de dos sentidos con el fin de calcular estos totales. Las sumas de cuadrados son
13-26)
C
- ~ k 1 ...
c ~
k=l n en
13-25)
C
_ ~~.. l...
B~
j l en en
13-24)
a
2 1
SC
_ ~
Y i
A ~
i=l
en en
La suma de cuadrados para los efectos principales se calcula a partir de los totales para los fac
tores A(Y i .) , B ( y j ) YC(y k ) como sigue:
PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
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a b
e
n y2
177 2
SCT
LLLll~kl- _ _
2051 - -- 92.9375,
;=1j=1 k=11=1
aben 6
Las sumas de cuadrados se calculan como sigue, empleando las ecuaciones 13-23 a 13-31:
Tabla 13-11 Datos de rugosidad superficial registrados para el ejemplo 13-5
Profundidad de corte 8
0.025 pulgs 0.040 pulgs
Tasa de Ángulo de herramienta
C
Ángulo de herramienta
C
alimentación
A
15°
25°
15°
25°
Y r
9
11
9
10
20 pulgs/min 7
10 11
8
75
@ @
@ @
10 10 12 16
30 pulgs/min 12 13
15 14 102
@ @
@ @
totales
Bx e
y . p (
38
44 47 48
177 y . .. .
totales A x B
totales
A
x
e
Y i j
y ¡ . / (
AlB
0.025 0.040
Ale
15 25
20 37 38
20
36 39
30
57
30
49 53
Y . j . .
82 95
Y . .k.
85
92
Un ingeniero mecánico está estudiando la rugosidad superficial de una pieza producida en una operación de
corte metálico. Son de interés tres factores: la tasa de alimentación A , la profundidad de corte B y el ángu
lo de la herramienta
C .
A cada factor se le han asignado dos niveles,
y
se están ejecutando dos réplicas de di
seño factorial. Los datos codificados se muestran en la tabla 13-11.Los totales de celda de tres sentidos y ijk
están encerrados por un círculo.
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES 447
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177)2
- -- - 45.5625 - 10.5625 - 3.0625 - 7.5625 - 0.0625 - 1.5625
16 .
=
5.0625,
2
16)2 21)2 30)2
b e
SCABC
Yijk. ~ SCA SCB SCc SCAB SCAC SCBC
i l j=l k=l n aben
1.5625
=
38)2
44)2
47)2
48)2 _ 177)2 _ 10.5625 _ 3.0625
16
=
36)2
39)2
49)2
53)2 _ 177)2 _ 45.5625 _ 3.0625
16
a
e 2 2
SCAc
=
Yi.k. ~ SCA SCc
i l k l bn aben
=
7.5625
37)2 38)2 45)2 57)2 177)2
45.5625 - 10.5625
16
2 2
SCAB=LL Yij ~ SCA SCB
i l j=l en aben
85)2
92)2 _ 177)2
3.0625
8 16
e
SCc
L Y..k. _ 2 _ = _
k=l abn aben
= 82)2
95)2 177)2 = 10.5625,
8 16
b 2 2
SC
L . . J : : _ ~
B j=l aen aben
a 2 2
SCA=L~ ~
i l ben aben
2 2 2
75) 102) _ 177) 45.5625,
8 16
PROBABILIDAD
ESTADíSTICAPARAINGENIERíA
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El tipo más simple de diseño
2
es el 22, esto es, de dos factores
A
y
B
cada uno en dos niveles. So
lemos considerarlos como los niveles bajo y alto del factor. El diseño 2
2
se muestra en la figura
13 5 1 Diseño 2
2
Ciertos tipos de diseños factoriales son muy útiles. Uno de éstos es un diseño factorial con
facto
res, cada uno en dos niveles. Debido a que cada réplica completa del diseño tiene
k ejecuciones o
combinaciones de tratamiento, el arreglo se llama diseño factorial
k
Estos diseños tienen un análi
sis estadístico sumamente simplificado, y además forman la base de muchos otros diseños útiles.
D IS EÑ O F T OR I L
3 5
Es evidente que los experimentos factoriales con tres o más factores son complicados y requie
ren muchas ejecuciones, en particular si alguno de los factores tiene varios (más de dos) niveles. Es
to nos lleva a considerar una clase de diseños factoriales con todos los factores en dos niveles. Estos
diseños son muy sencillos de establecer y analizar, y, como veremos, es posible reducir en gran me
dida el número de ejecuciones experimentales mediante la técnica de réplica fraccionaria.
Tabla 13-12 Análisis de varianza para e l ejemplo 13-5
Fuente de Suma de Grados de Media
variación cuadrados libertad cuadrática
Tasade alimentación A
45.5625
1
45.5625 18.69
Profundidad de corte 8) 10.5625 1 10.5625
4 33
Ángulo de herramienta
C
3.0625 1 3.0625
1.26
AB
7.5625 1
7.5625 3.10
AC
0.0625 1
0.0625 0.03
BC
1.5625 1 1.5625
0.64
ABC
5.0625 1 5.0625
2.08
Error
19.5000
8
2.4375
Total 92.9375
15
aSignificativo en 1 .
Significativo en 10 .
El análisis de varianza se resume en la tabla 13-12. La tasa de alimentación tiene un efecto significativo
en el acabado superficial < 0.01), y lo mismo ocurre con la profundidad de corte (0.05 < < 0.10). Existe
cierta evidencia de una ligera interacción entre estos factores, ya que la prueba F para la interacciónAB es ape
nas menor que 10 del valor crítico.
92.9375 - 73.4375
19.5000.
SC
SC
T
SCsubtotales A BC)
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De manera similar, el efecto principal de
se encuentra promediando las observaciones en la
parte superior del cuadrado, donde
se encuentra en el nivel alto, y sustrayendo el promedio de las
observaciones en la base del cuadrado, donde está en el nivel bajo:
2n [a
+
a b b
1 ].
13-32
A
a + ab _ b + 1
2n 2n
Por ejemplo, la combinación de tratamiento
a
indica que el factor
A
está en el nivel alto y el fac
tor
B
está en el nivel bajo. La combinación de tratamiento con ambos factores en el nivel bajo se re
presenta por medio de 1 . Esta notación se usa a largo de las series del diseño
2
k• Por ejemplo, la
combinación de tratamiento en un diseño 2
con
y
en el nivel alto
YD en el nivel bajo se
denota mediante
ac
Los efectos de interés en el diseño 22 son los efectos principales
y
Yla interacción de dos
factoresAB Sean 1 , b y ab también una representación de los totales de las n observaciones to
madas en esos puntos del diseño. Es fácil estimar los efectos de estos factores. Para estimar el efec
to principal de
promediaríamos las observaciones en el lado derecho del cuadrado, donde
está
en el nivel alto, y restaríamos del resultado el promedio de las observaciones en el lado izquierdo
del cuadrado, donde
A
está en el nivel bajo, o
igur 13-13 El diseño factorial 2
2.
Alto
+
a
Bajo
- 1
Bajo
-
ab
lto
b
+ ---------___,.
13-13. Observe que el diseño puede presentarse geométricamente como un cuadrado en donde las
2
2
= 4
ejecuciones forman sus esquinas. Se emplea una notación especial para representar las com
binaciones de tratamiento. En general, una combinación de tratamiento se representa por medio de
una serie de letras minúsculas. Si está presente una letra, el factor correspondiente se ejecuta en su
nivel alto en esa combinación de tratamiento; si no hay letra, significa que el factor se está ejecutan
do en su nivel bajo.
450 PROBABILIDADY ESTADíSTICAPARAINGENIERíA
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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13-35
e
contraste? .
nI coeficientes de contraste ?
Para obtener las sumas de cuadrados para A B YAB podemos utilizar la ecuación 12-18, que
expresa la relación entre un contraste con un solo grado de libertad y la suma de sus cuadrados:
Tabla 13-13 Signos para los efectos en el diseño 22
Efecto factorial
Combinaciones
de tratamiento
1
+
+
a
+ +
b
+
+
ab
+ +
+
+
En estas ecuaciones, los coeficientes de contraste son siempre +1 o
-1.
Una tabla de signos de
más
y
de menos, como la tabla 13-13, puede utilizarse para determinar el signo en cada combina
ción de tratamiento para un contraste particular. Los encabezados de columna de la tabla 13-13 se
refieren a los efectos principales A y B la interacción AB e 1 que representa el total. Los encabe
zados de renglón son las combinaciones de tratamiento. Observe que los signos en la columna
AB
son el producto de los signos de las columnas
A y B
Para generar un contraste a partir de esta tabla,
se multiplican los signos de la columna apropiada de la tabla 13-13 por las combinaciones de trata
miento listadas en los renglones, y se suma.
Contraste,
a + a b b 1 .
Las cantidades entre corchetes en las ecuaciones 13-32, 13-33 Y 13-34 se llaman contrastes Por
ejemplo, el contraste A es
13-34
AB
ab
+
1 _ a
+
b
2n 2n
Por último, la interacción AB se estima tomando la diferencia en los promedios
de
la diagonal
en la figura 13-13, o
1
2n [b + ab a 1 ].
13-33
a + 1
2n
ah
2n
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES 451
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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A =-[a+ab-b- l) ]
2n
= [59.299 + 59.156 - 55.686 - 56.081] = 0.836,
2 4)
B = [b+ ab - a - 1) ]
2n
La tabla 13-14 presenta los resultados de un diseño factorial 2
2
con
n
4 réplicas empleando los factores
A tiempo de deposición
y
B tasa de flujo de arsénico. Los dos niveles del tiempo de deposición son - cor
to y + largo, y los dos niveles de la tasa de flujo de arsénico son - 55 y + 59 . La variable de respues
ta es el espesor de la capa epitaxial jlm . Podemos encontrar las estimaciones de los efectos utilizando las
ecuaciones 13-32, 13-33 13-34 como sigue:
Factores de diseño Espesor J1m)
Combinaciones
de tratamiento
A B AB
Espesor
J - lm
Total Promedio
1)
+
14.037, 14.165, 13.972,
13.907 56.081
14.021
+
14.821, 14.757, 14.843, 14.878 59.299 14.825
b
+
13.880,
13.860,
14.032, 13.914
55.686 13.922
ab
+ + +
14.888, 14.921, 14.415, 14.932 59.156 14.789
Tabla 3 4 El diseño 2
para el experimento del proceso epitaxial
Un artículo publicado en la AT TTechnical Journal marzo/abril, 1986, vol. 65. p. 39) describe la aplicación
de diseños experimentales de dos niveles para la manufactura de circuitos integrados. Una etapa básica de pro
cesamiento en esta industria consiste en poner una capa epitaxial en obleas de silicio pulidas. Las obleas se
montan en un susceptor y se colocan dentro de un recipiente de campana. Se introducen vapores químicos a
través de boquillas cerca de la parte superior del recipiente. El susceptor se rota y se le aplica calor. Estas con
diciones se mantienen hasta que la capa epitaxial es lo suficientemente gruesa.
El análisis de varianza se completa calculando la suma de cuadrados total SC
T
con 4n - 1 gra
dos de libertad) en la forma usual, y obteniendo la suma de cuadrados del error SCE [con 4 n - 1)
grados de libertad] por sustracción.
SCA
[a + ab b 1 ]2
4n
SCB
[b
+
ab a 1)]2
4n
SCAB
[ab + 1) - a b]2
4n
En consecuencia, las sumas de cuadrados para A B YAB son
5 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
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y
3 + ¡x ¡ +
€
Análisis residual
Es fácil obtener los residuos de un diseño
ajustando un modelo de regre
sión a los datos. En el experimento del proceso epitaxial, el modelo de regresión es
El análisis de varianza se resume en la tabla 13-15. En ella se confirman nuestras conclusiones, obtenidas
al
examinar la magnitud
y
la dirección de los efectos;
el
tiempo de deposición afecta el espesor de la capa epi
taxial, y a partir de la dirección de las estimaciones del efecto, sabemos que los tiempos de deposición más
largos conducen a capas epitaxiales más gruesas.
[0.256]2
16
0.0040.
16
0.0181,
[ab+ I -a-b]2
SC
AB
16
16
[-0.538]2
16
2.7956,
[b
+
ab - a -
1 ]2
[6.688]2
SC
Contraste 2
·
[a + ab - b - 1 ]2
16
Las estimaciones numéricas de los efectos indican que el efecto del tiempo de deposición es grande
y
que
tiene una dirección positiva el aumento del tiempo de deposición incrementa el espesor , puesto que cambiar
el tiempo de deposición de bajo a alto modifica el espesor medio de la capa epitaxial en 0.836
ua:
Los efec
tos de la tasa de flujo de arsénico
B
y
de la interacción
AB
aparecen pequeños.
La magnitud de estos efectos puede confirmarse con el análisis de varianza. Las sumas de cuadrados, pa
ra
A, B
Y
AB
se calculan empleando la ecuación 13-35:
[59.156
+
56.081 - 59.299 - 55.686]
0.032.
2 4
1
[55.686
+
59.156 - 59.299 - 56.081]
0.067,
2 4
1
AB
[ab
+
1 -
a - b]
n
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES
5
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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es
13.880 - 13.971 -0.091,
e
13.860 - 13.971
-0.111,
14.932 - 13.971
0.061,
e
13.914 - 13.971
-0.057,
Es fácil verificar que los valores predichos y los residuos restantes son, para el tiempo de deposi
ción bajo XI = -1 Ytasa alta de flujo de arsénico, = 14.389
+
0.836/2 -1) = 13.971
J m
el 14.037 - 13.971 0.066,
e 14.165 - 13.971 0.194,
e 13.972 - 13.971 0.001,
e 13.907 - 13.971 -0.064.
y
los residuos serían
14.389 + 0.~36 -1 13.971 J m
donde la ordenadaal origen
i o
es el granpromediode las 16observaciones
Y
y la pendiente
i l
es la
mitad de la estimacióndel efectodel tiempo de deposición.La razón de que el coeficientede regresión
sea la mitad de la estimación del efecto, es que los coeficientes de regresión miden el efecto de un
cambio unitario enXl en la media de y y la estimación del efecto sebasa en un cambio de dos unida
des de a
+1).
Este modelo puede utilizarse para obtener los valores predichos en los cuatro puntos del diseño.
Por ejemplo, considere el punto con tiempo de deposición bajo
Xl =
-1 Ytasa de flujo de arsénico
baja. El valor predicho es
14.389
+
0.~36 x
puesto que la única variable activa es el tiempo de deposición, que se representa por Xl Los niveles
bajo y alto del tiempo de deposición están asignados a los valores
Xl
-1 y
Xl +
1 respectivamen
te. El modelo de ajuste es
Fuente de
Suma de
Grados de ,
Media
variación cuadrados libertad cuadrática
Fa
A
tiempo de deposición 2.7956
2.7956 134.50
B flujo de arsénico
0.0181
1 0.0181 0.87
AB
0.0040 1
0.0040 0.19
Error
0.2495 12 0.0208
Total
3.0672 15
Tabla 3 5 Análisis de varianza para el experimento del proceso epitaxial
PROBABILIDADY ESTADíSTICAPARAINGENIERíA
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2
•
•
1r-
•
•
•
•
j
Or-
•
•
••
-1 r-
•
•
•
-2
I r
-0.39200 -0.29433 -0.19667 -0.09900 -0.00133 0.09633 0.19400
Residuos
Figura 3 4 Gráfica de probabilidad normal de residuos para el experimento del proceso epitaxial
En la figura 13-14 se muestra una gráfica de probabilidad normal de estos residuos. Esta gráfi
ca indica que un residuo,
l5
-0.392 está fuera de lugar. El examen de las cuatro ejecuciones con
tiempo de deposición alto
y
tasa de flujo de arsénico elevada revela que l a observación
Y 5
14.415
es bastante más pequeña que las otras tres observaciones en esa combinación de tratamiento. Esto
agrega cierta evidencia adicional a la conclusión tentativa de que la observación 15está fuera de lu
gar. Otra posibilidad es que algunas variables del proceso afecten la
v ri bilid d
del espesor de la
capa epitaxial; si pudiéramos descubrir qué variables producen este efecto, podríamos ajustarlas a
niveles que minimizaran la variabilidad. Esto tendría importantes implicaciones en etapas de manu
factura subsecuentes. Las figuras 13-15 y 13-16son gráficas de residuos contra el tiempo de deposi
ción y la tasa de flujo de arsénico, respectivamente.Aparte del residuo inusualmentegrande asociado
con
Y 5
no hay una evidencia contundente de que el tiempo de deposición o la tasa de flujo de arsé
nico afecten la variabilidad del espesor de la capa epitaxial.
el
14.888 - 14.807
0.081,
e¡ 14.921 - 14.807
0.114,
l
14.415 - 14.807
-0.392,
el
14.932- 14.807
0.125.
y
para el tiempo de deposición alto
xl
+1 Yalta tasa de flujo de arsénico,
14.389+ 0.836/2
+1 14.807 us» son
e9
14.821 - 14.807
0.014,
r o
14.757 - 14.807
-0.050,
e¡¡
14.843 - 14.807
0.036,
el 14.878 - 14.807
0.071,
para el tiempo de deposición alto
xl
+
1
y tasa baja de flujo de arsénico, 14.389 + 0.836/2
+1 14.807
ps»
son
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON V RIOS F CTORES
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La figura 13 17 muestra la desviación estándar del espesor de la capa epitaxial en la totalidad
de las cuatro ejecuciones del diseño 22 Estas desviaciones estándar se calcularon empleando los da-
tos en la tabla 13 14 Observe que la desviación estándar de las cuatro observaciones con y en
Figura 3 7
La desviación estándar estimada del espesor de la capa epitaxial en las cuatro
ejecuciones del diseño 2
2•
5
0.051
+
_ 1
5=0.110
-
a
5 = 0.250
ab
0.077
+ b
Figura 3 6 Gráfica de residuos contra la tasa de flujo de arsénico.
0.5 Tasadeflujodearsénico
O~ ~~ _ ~ ~
Baja Alta
+0.5
Figura 3 5 Gráfica de residuos contra el tiempo de deposición.
0.5 Tiempodedeposición
•
O~ ~B~· ~A~lt o ~
ajo
+0.5
456 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
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be
abe
+1
e
e
b
ab
+1
- 1
1
~
- 1
A
+1
Figura 3 8
El diseño 3.
13-36
A
=-
[a
ab
ae
abe b
e
be 1 ].
Los métodos presentados en la sección anterior para los diseños factoriales con
2 factores cada
uno en dos niveles, pueden extenderse con facilidad a más de dos factores. Por ejemplo, considere
k
3 factores, cada uno en dos niveles. Éste es un diseño factorial 2
3
y tiene ocho combinaciones
de tratamiento. Geométricamente, el diseño es un cubo, como se muestra en la figura 13-18, con las
ocho ejecuciones formando sus esquinas. Este diseño permite estimar tres factores principales
A, B
YC junto con tres interacciones de dos factores
AB, AC
y
BC
Yuna interacción de tres factores
ABC .
Los principales efectos pueden estimarse con facilidad. Recuerde que 1 , a b ab e, ae be y
abe representan el total de todas las n réplicas en cada una de las ocho combinaciones de tratamien
to en el diseño. Respecto del cubo de la figura 13-18, estimaríamos el efecto principal deA prome
diando las cuatro combinaciones de tratamiento en el lado derecho, donde
A
está en el nivel alto, y
sustrayendo de esa cantidad el promedio de las cuatro combinaciones de tratamiento en el lado iz
quierdo del cubo, donde
A
está en el nivel bajo. Esto da como resultado
13 5 2 Diseño para factores
el nivel alto es considerablemente más grande que las desviaciones estándar en cualquiera de los
otros tres puntos de diseño. La mayor parte de esta diferencia es atribuible a la medida de espesor
inusualmente baja asociada con
YlS.
La oesviación estándar de las cuatro observaciones con A y B
en el nivel bajo es también algo más grande que las desviaciones estándar en las dos ejecuciones res
tantes. Esto podría ser una señal de que hay otras variables del proceso no incluidas en este experi
mento que afectan la variabilidad del espesor de la capa epitaxial. Otro experimento para estudiar
esta posibilidad, involucrando otras variables del proceso, podría diseñarse y llevarse a cabo de
hecho, el artículo original muestra que hay dos factores adicionales, no considerados en este ejem
plo, que afectan la variabilidad del proceso .
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES
7
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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1
=
[abe - be - ae
e -
ab
b
a -
1» .
13-42
1
ABC
=
{[abe - be] - [ae -
e] -
[ab - b]
[a -
1 ]}
El efecto de interacción ABC es la diferencia promedio entre la interacción AB en los dos nive
les de C. Por tanto,
13-41
BC
=
[be
1
abe
a - b -
e -
ab - ae].
13-40
A
C
=
[ae
1
abe
b - a -
e -
ab - be]
Al emplear un planteamiento similar, podemos demostrar que las estimaciones de los efectos de
interacción AC y BC son como sigue:
13-39AB
=
[ab
1 abe
e -
b - a - be - ae].
La interacción AB es exactamente el promedio de estas dos componentes, o
1 1
AB C alta [abe - be] - - [ae - e .
2n 2n
En forma similar, cuando C está en el nivel alto, la interacción
AB
es
AB C baja _1_ [ah b] _1_ [a 1» .
2n 2n
Considere ahora la interacción de dos factores
AB.
Cuando C está en el nivel bajo,
AB
es justo
la diferencia promedio del efecto
A
en los dos niveles de
B
o
13-38
C = [ e ae be abe - a - b - ab - 1 ].
y el efecto de C es la diferencia promedio entre las cuatro combinaciones de tratamiento en la cara
superior del cubo y las cuatro en su base, o
13-37
1
B
[b
ab
be
abe - a -
e -
ae -
1 ],
De manera similar, el efecto de B es la diferencia promedio de las cuatro combinaciones de tra
tamiento en la cara posterior del cubo y las cuatro de la cara anterior, o
8
PROBABILIDADY ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
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13-43)
t Contraste
lec o
n2
k
La estimación de cualquier efecto principal o interacción se determina multiplicando las combi
naciones de tratamiento en la primera columna de la tabla por los signos de la columna correspon
diente de interacción o efecto principal, sumando el resultadopara producir un contraste, y dividiendo
luego el contraste entre la mitad del número total de ejecuciones en el experimento. Expresado ma
temáticamente,
2. La suma de los productos de signos en cualesquiera dos columnas es cero; esto es, las co
lumnas de la tabla son ortogonales
3. No hay cambio al multiplicar cualquier columna por la columna ;esto es, es un elemento
identidad
4. El producto de cualesquiera dos columnas produce una columna en la tabla; por ejemplo,
A
x
B
AB
Y
AB
x
ABe
A2B2e
puesto que cualquier columna multiplicada por sí
misma es la columna identidad.
Las cantidades entre corchetes en las ecuaciones 13-36 a 13-42 son contrastes en las ocho com
binaciones de tratamiento. Estos contrastes pueden obtenerse a partir de una tabla de signos de más
y de menos para el diseño 2
3
como la que se muestra en la tabla 13-16. Los signos correspondien
tes a los efectos principales columnas
A B
Y
C)
se obtienen asociando un signo de más con el ni
vel alto del factor y un signo de menos con el nivel bajo. Una vez que se han establecido los signos
para los efectos principales, los signos para las columnas restantes se encuentran multiplicando las
columnas precedentes apropiadas, renglón por renglón. Por ejemplo, los signos de la columnaAB
son el producto de los signos de las columnasA y B
La tabla 13-16 tiene varias propiedades interesantes:
1 Excepto la columna identidad 1 cada columna tiene un número igual de signos de más y de
menos.
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES 9
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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Tabla 3 7 Datos de rugosidad superficial para el ejemplo 13-7
Factores de diseño
Combinaciones
Rugosidad
de tratamiento
A B
e
superficial
Totales
1 -1
-1 -1 9, 7
16
a
-1 -1
10, 12 22
b
-1
1
-1
9, 11 20
b 1
1
-1
12,5 27
e
-1 -1
1
11, 10 21
ae
1
-1
1 10, 13 23
be
-1 1 1 10,8 18
be
1 1 1
16,14
30
1.625,
C
0.875,
Es fácil verificar que los otros efectos son
Contrastejj?
S
-
n
k
27 2
45.5625.
2 8
y la suma de cuadrados para A se determina empleando la ecuación 13-44:
A
_1_
[a
+
ab
+
ae
+
abe b e be l ]
4n
1 \
[22 + 27 + 23 + 30 - 20 - 21-18 - 16]
4 2
_ _ 27]
3.375,
8
Considere el experimento de la rugosidad superficial descrito originalmente en el ejemplo 13-5. Éste es un di
seño factorial 23, con los factores tasa de alimentación A , profundidad de corte B , y ángulo de herramien
ta C , con n
2 réplicas. La tabla 13-17 presenta los datos de rugosidad superficial observados.
Los principales efectos pueden estimarse utilizando las ecuaciones 13-36 a 13-42. El efecto de
A
es, por
ejemplo,
13-44
Contrastej
SC -
n
k
La suma de cuadrados para cualquier efecto es
6 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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13-45
una estimación de la varianza de la ejecución i-ésima donde
Ji
=
L J= lYij/n
es el ejemplo medio de
as observaciones Las 2
k
estimaciones de varianza pueden combinarse para dar una estimación de
nza general
i=1,2, ... ,2k
Otros métodos para juzgar el significado de los efectos El análisis de varianza es un método
l para determinar cuáles efectos son diferentes de cero. Hay otros dos métodos que son útiles.
el primero, podemos calcular los errores estándar de los efectos y comparar la magnitud de éstos
el resultado. El segundo método utiliza las gráficas de probabilidad normal para evaluar la im
ancia de los efectos.
El error estándar de un efecto se encuentra con facilidad. Si suponemos que hay
réplicas en
una de las
2
k
ejecuciones del diseño, y si
Yil Ya
o o
Y in
son las observaciones en la i-ésima
ución punto de diseño , entonces,
3 8 Análisis de varianza para el experimento de rugosidad superficial
Fuente de Suma de Grados de Media
variación cuadrados libertad cuadrática
45 5625 45 5625
18 69
1 5625
1 5625 4 33
C
3 625
3 625 1 26
7 5625
7 5625 3 1
C
625 625
3
C
1 5625 1 1 5625
64
C
5 625 1
5 625 2 8
Error
19 5
8
2 4375
Total
92 9375 15
A partir del examen de la magnitud de los efectos, es claro que la tasa de alimentación factorA es do
te, seguido por la profundidad de corte B y la interacción AB, aunque el efecto de interacción es rela
vamente pequeño. El análisis de varianza se resume en la tabla 13-18, y confirma nuestra interpretación de
as estimaciones del efecto.
AB
1.375,
AC
0.125,
BC=-O.625,
ABC
1.125.
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES 6
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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A:
3.375 ± 1.56,
B: 1.625 ± 1.56,
e 0.875 ± 1.56,
AB:
1.375 ± 1.56,
Ae:
0.125 ± 1.56,
Be:
-0.625 ± 1.56,
ABe:
1.125 ± 1.56.
En consecuencia, los límites de la desviación estándar en las estimaciones del efecto son
0.78.
Efecto 1 S
n2k-2
¡ r 2.4375
2.23-2
El error estándar estimado de un efecto se encontraría sustituyendo
por su estimación
S
y to
mando la raíz cuadrada de la ecuación 13-46.
Como ejemplo, para el experimento de la rugosidad superficial encontramos que S 2.4375, Y
el error estándar de cada efecto estimado es
13-46
y la varianza de un efecto es
V Contraste n2
k
a
Cada contraste es una combinación lineal de k totales de tratamiento, y cada total consta de n
observaciones. Por tanto,
2 V Contraste .
n2k-l
Contraste
n2k-l
Efecto
donde, obviamente, hemos supuesto varianzas iguales para cada punto diseñado. Ésta es también la
estimación de varianza dada por el error cuadrático medio a partir del procedimiento de análisis de
varianza. Cada estimación del efecto tiene una varianza dada por
6
PRO ILID Dy EST DíSTIC P R INGENIERí
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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Los valores observados en esta ejecución son
9
y
7,
por lo que los residuos son
9 - 9.25
-0.25
y 7 - 9.25 -2.25. Los residuos para las otras siete ejecuciones se obtienen de manera similar
En la figura
13-19
se muestra una gráfica de probabilidad normal de los residuos Puesto que
éstos caen aproximadamente a lo largo de una línea recta no sospechamos anormalidad alguna de
importancia en los datos y tampoco h y señales de aislamientos severos También sería de utilidad
graficar los residuos contra los valores predichos y contra cada uno de los factores
A B
C
Algoritmo de Yates para
a».
En lugar de emplear la tabla de signos de menos y de más para
obtener los contrastes para las estimaciones del efecto y las sumas de cuadrados puede utilizarse un
simple algoritmo tabular ideado por Yates Para usar el algoritmo de Yates construya una tabla con
las combinaciones de tratamiento y los totales de tratamiento correspondientes registrados en orden
y
11.0625 3.~75) _1) 1.:25 ) -1) 1.~75) -1) -1)
9.25.
y los valores predichos se obtendrían mediante la sustracción de los niveles bajo y alto de A y B en
esta ecuación A modo ilustrativo en la combinación de tratamiento donde A B C están todas en el
nivel bajo el valor predicho es
~-110625 3.375) 1.625) 1.375)
X2
x¡x2
2 2 2
donde Xl representa el factor
A
x2 representa el factor
B
y xlx2 representa la interacción
AB.
Los
coeficientes de regresión i ¡
f i
y
f i
se estiman a través de la mitad de las estimaciones del efecto
correspondiente y
f i o
es el gran promedio Por tanto
Éstos son intervalos de confianza de aproximadamente 95 , y nos indican que los dos efectos
principales
A
y
B
son importantes pero que los otros no lo son dado que los intervalos para todos
los efectos excepto
A
y
B
incluyen el cero
Las gráficas de probabilidad normal también pueden emplearse para juzgar la significación de
los efectos Ilustraremos ese método en la sección siguiente
Proyección de los diseños 2
k•
Cualquier diseño 2
k
se disolverá o proyectará en otro diseño 2
k
con menos variables si uno o más de los factores originales se descarta En ocasiones esto puede
brindar evidencia adicional respecto de los factores restantes Por ejemplo considere el experi-
mento de la rugosidad superficial Puesto que el factor C y todas sus interacciones son insignifi-
cantes podríamos eliminarlo del diseño El resultado es disolver el cubo de la figura
13-18
en un
cuadrado en el plano
A B;
sin embargo cada una de las cuatro ejecuciones en el nuevo diseño tie-
ne cuatro réplicas En general si eliminamos h factores de manera que r k h factores permanez-
can el diseño
2k
original con
n
réplicas se proyectará en un diseño 2
con
n2h
réplicas
Análisis residual. Podemos obtener los residuos de un diseño 2
k
utilizando el método demostra-
do antes para el diseño 22 Como ejemplo considere el experimento de la rugosidad superficial Los
tres efectos más grandes son
A B
la interacción
AB.
El modelo de regresión utilizado para obte-
ner los valores predichos es
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES
6
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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Tabla 13-19 Algoritmo de Yates para el experimento de rugosidad superficial
Suma de
Estimaciones
Combinaciones
cuadrados
de efectos
de tratamiento Respuesta
[1] [2] [3] Efecto
[3 ] n
[3 ] n
1 16
38
85
177 Total
22 47
92 27 A 45.5625 3.375
20 44 13 13
B
10.5625
1.625
27 48
14 11
AB
7.5625 1.375
e 21
6 9
7
C 3.0625 0.875
e
23 7 4 1 AC 0.0625 0.125
e
18
2 1
-5
BC
1.5625 -0.625
e 30 12 10 9
ABC
5.0625
1.125
estándar
Por orden estándar queremosdecir que los factores deben introducirseuno por uno, combi-
nando cadauno de ellos con todos los niveles superioresdel factor.En consecuencia,para un 22, el or-
den estándar es 1 , a b ab en tanto que para un 23 es 1 , a b ab e, ae be abe y para un 24 es 1 ,
a b ab e, ae be abe d ad bd abd cd aed bed abed Luego se sigue este procedimiento de cuatro
pasos:
1. La columna adyacente se marca como [1]. Se calculan las entradas en la mitad superior de
esta columna, añadiendo las observacionesen pares adyacentes. Se calculan las entradas en la
mitad inferior de esta columna cambiando el signo de la primera entrada en cada par de
las observaciones originales, y sumando los pares adyacentes.
2. La columna adyacente se marca como [2]. Se construye la columna [2] empleando las en-
tradas en la columna [1]. Se sigue el mismo procedimiento empleado para generar la colum-
na [1]. Se continúa este proceso hasta construir k columnas. La columna [k ] contiene los
contrastes designados en los renglones.
3. Se calculan las sumas de cuadrados para los efectos, elevando al cuadrado las entradas de la
columna [k ] y dividiendo entre n2k
4. Se calculan las estimacionesdel efecto, dividiendo las entradas en la columna [k ] entre
n2k l
+2
+1
Z j
-1
-2
-2.2500 -1.5833 -0.9167 -0.2500 0.4167 1.0833 1.7500
Residuos, e¡
Figura 13-19 Gráfica de probabilidad normal de residuos del experimento de rugosidad superficial.
464 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
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La tabla 13-20presenta los datos de las 16 ejecuciones del diseño 24.La tabla 13-21 es la de los signos
de más y de menos para dicho diseño. Los signos en las columnas de esta tabla pueden emplearse para esti
mar los efectos del factor.A modo ilustrativo, la estimación del factor es
Factor de diseño
A e
Entrehierro Presión
Flujo de CZF6
Potencia
Nivel
cm) mTorr) SCCM)
w
Bajo -)
0.80
450 125 275
Alto + 1.20 550 200 325
Un artículo publicado en
Salid State Technology
Orthogonal Design for Process Optimization and its Appli
cation in Plasma Etching , mayo de 1987, p. 127), describe la aplicación de los diseños factoriales en el desa
rrollo de un proceso de grabado con nitruro en una máquina de plasma de una sola oblea. El proceso emplea
CZF6como gas reactante. Es posible variar el flujo de gas, la potencia aplicada en el cátodo, la presión en la
cámara del reactor, y el espaciamiento entre el ánodo y el cátodo entrehierro). Diversas variables de respues
ta usualmente serían de interés en este proceso, pero en este ejemplo nos concentraremos en la tasa de graba
do del nitruro de silicio.
Emplearemos una sola réplica de un diseño 24para investigar este proceso. Puesto que es improbable que
las interacciones de tres y cuatro factores sean significativas, tentativamente planearemos combinarlas como
una estimación del error. Los niveles del factor usados en el diseño se muestran en seguida:
Cuando aumenta el número de factores en un experimento factorial, lo mismo ocurre con el núme
ro de efectos que pueden estimarse. Por ejemplo, un experimento 2
4
tiene 4 efectos principales, 6 in
teracciones de 2 factores, 4 interacciones de tres factores y una interacción de cuatro factores, en
tanto que un experimento 2
6
tiene 6 efectos principales, 15 interacciones de dos factores, 20 interac
ciones de tres factores, 15 interacciones de cuatro factores, 6 interacciones de cinco factores, y una
interacción de seis factores. En casi todas las situaciones se aplica la dispersión del principio de los
efectos; esto es, los efectos principales y las interacciones de orden menor suelen dominar el siste
ma. Las interacciones de tres omás factores por lo regular son despreciables.Enconsecuencia, cuan
do el númerodefactores es moderadamente grande, digamos
e 4 o 5, una práctica común consiste
en ejecutar únicamente una sola réplica del diseño
k
y después mezclar o combinar las interaccio
nes de orden mayor como una estimación del error.
13-5.3 Réplica simple del diseño k
Considere el experimento de la rugosidad superficial del ejemplo 13-7. Éste es un diseño 23 con 2 répli
cas. El análisis de estos datos mediante el algoritmo de Yates se ilustra en la tabla 13-19 página anterior).
Observe que las sumas de cuadrados calculadas a partir del algoritmo de Yates concuerdan con los resultados
obtenidos previamente en el ejemplo 13-7.
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES 6
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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1
[a + ab + ae + abe + ad + abd + aed + abed
1 -
b e d be bd ed bed]
8
1
[669
+
650
+
642
+
635
+
749
+
868
+
860
+
729 550 604 633 601 1037 1052 1075 1063]
8
101 625
Tabla 13 21
Constantes de contraste para el diseño 2
A
C AC
C C O O O O CO
CO CD CO
1
+ + +
+
+ + +
+
+
+
+ + +
+
+ + + + + + +
+ +
+
+ + + +
e
+ +
+ + + +
+
e
+ + + + + + +
e
+ + + + + + +
e
+ + +
+ + +
+
d
+ +
+
+ + + +
d
+ + + + + +
d
+ + + + + + +
d
+ + + + + + +
ed
+ + + + + + +
ed
+ + + + + + +
ed
+
+
+ + + +
+
ed
+ + + + + + + + + + +
+ + + +
PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
Tabla 13 2 El
diseño 2
4
para el experimento de grabado con nitruro
C
O
Tasa de grabado
Entrehierro Presión Flujo de C
2
F
6
Potencia
Nmin
-1 -1 -1
-1 550
-1
-1
-1
669
-1
1
-1
-1 604
1 1
-1
-1
650
-1 -1 1
-1 633
1
-1
1
-1 642
-1
1
1
-1 601
1
1 1
-1 635
-1
-1 -1 1
1037
1
-1 -1 1
749
-1 1 -1 1052
1
1 -1 868
-1 -1 1 1075
1
-1 860
-1
1 1063
1 1
729
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Tabla 3 22
Análisis de varianza para el experimento de grabado con nitruro
Fuente de Suma de
Grados de Media
variación
cuadrados libertad cuadrática
A 41 310 563 41 310 563 20 28
10 563
10 563
1
C
217 563
217 563
1
O
374 850 063
374 850 063
183 99
248 063
248 063
1
AC
2 475 063
2 475 063 1 21
O
94 402 563
99 402 563
48 79
C
7 700 063
7 700 063 3 78
O
1 563 1 563
1
CO
18 063 18 063
1
Error
10 186 815
5
2 037 363
Total 531 420 938
15
Un métodomuy útil en la evaluaciónde la significaciónde los factores en un experimento k con-
siste en construir una gráfica de probabilidad normal de las estimaciones del efecto. Si ninguno de los
efectos es significativo las estimaciones se comportarán como una muestra aleatoria extraída de una
distribución normal con media cero y los efectos graficados se encontrarán aproximadamente a lo
largo de una línea recta. Aquellos efectos que no caigan sobre la línea son factores significativos.
La gráfica de probabilidad normal de las estimaciones del efecto a partir del experimento del
grabado con nitruro se muestra en la figura 13 20. Es claro que los efectos principales deA y D Yla
interacción
AD
son significativos ya que caen lejos de la línea que pasa a través de los otros pun-
tos. El análisis de varianza resumido en la tabla 13 22confirma estos descubrimientos. Observe que
en el análisis de varianza hemos combinado las interacciones de tres y cuatro factores para formar la
media cuadrática del error. Si la gráfica de probabilidad normal hubiera indicado que cualquiera de
estas interacciones era importante no deberían incluirse en el término del error.
101.625
D
306.125
1.625
D
153.625
7.875 D
0.625
7.375
D
4.125
C
24.875
CD
2.125
C
43.875
CD
5.625
C
15.625
CD
25.375
CD
40.125.
En consecuencia incrementar el entrehierro entre el ánodo
el cátodo de 0.80 cm a 1.20cm tiene el efec-
to de reducir la tasa de grabado en 101.625 Á/min.
Es fácil verificar que el conjunto completo de estimaciones del efecto es
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES 7
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101.625~ 306.125 153.625
776.0625-
+ X4 x1x4
2 2 2
Los residuos del experimento pueden obtenerse a partir del modelo de regresión
Figura 13 21 Interacción AD del experimento de grabado con nitruro.
A Entrehierro
Alto
1.20
cmajo
0.80
cm
~Dalto=325W
_-------Dba¡o =275w
1400
c:
1200
~
1000
o
O
800
.o
~
Ol
600
Q
O
c
400
n
c
200
o
Puesto que -101.625, el aumento del entrehierro entre el cátodo el ánodo tiene por efecto
disminuir la tasa de grabado Sin embargo D 306.125,de modo que la aplicación de niveles de
potencia más altos incrementará la tasa de grabado La figura 13-21es una gráfica de la interacción
D
Esta gráfica indica que el efecto de cambiar el ancho de entrehierro en parámetros de potencia
bajos es pequeño pero que al aumentar el entrehierro con parámetros de potencia elevados se redu-
ce en forma considerable la tasa de grabado Se obtienen tasas de grabado altas con parámetros de
potencia altos
y
anchos de entrehierro estrechos
Figura 13 2
Gráfica de probabilidad normal de los efectos del experimento de grabado con nitruro.
u_ ~ ~ _ ~ ~
-153.62 -77.00 -0.37 79.25 152.37 229.80 306.12
Efectos
A
•
+1
8 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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menudo es imposible ejecutar una réplica completa de un diseño factorial en condiciones experi
ntales homogéneas. La confusión es una técnica de diseño para ejecutar un experimento factorial
n bloques, donde el tamaño del bloque es más pequeño que el número de combinaciones de trata
iento en una réplica completa. La técnica ocasiona ciertos efectos de interacción que son indistin
uibles de los bloques, o que se confunden con éstos. ilustraremos la confusión en el diseño factorial
k
en 2Pbloques, donde p < k.
Considere un diseño 2
2•
Suponga que cada una de las 2
2
4 combinaciones de tratamiento re
uiere cuatro horas de análisis de laboratorio. Así, se requieren dos días para efectuar el experimen
o. Si los días se consideran como bloques, tendremos que asignar dos de las cuatro combinaciones
e tratamiento a cada día.
3 6 CONFUSiÓN EN ELD ISEÑO
igur 13-22 Gráfica de probabilidad normal de los residuos del experimento de grabado con nitruro.
~
- 7~2~. 5~O- - - - ~~9~. 3~3~- - - ~2~6~. 176- - - - - 73~. 070- - - - 2~O~. 1~6~- - ~4~3. ~33~- - ~6
Residuos, e¡
•
•
•
• •
•
••
•
•
•
•
1
•
2n- - - - - - - - - - - - - . - - - - - - - r - ~- - - - ~1- - - - - - - 1 - - - - - ~
•
Los residuos en las otras tres combinaciones de tratamiento Aalto. D bajo , Abajo, D alto ,
y
alto, D alto se obtienen de manera similar. Una gráfica de probabilidad normal de los residuos
e muestra en la figura 13-22. La gráfica es satisfactoria.
l
550 - 597
--47,
604 - 597 7,
e
=638 597=41
601 - 597
4.
los cuatro residuos en esta combinación de tratamiento son
776.0625 - 101 625 -1 306 125 -1 - 153 625 -1 -1
597,
Por ejemplo, cuando tanto como están en el nivel bajo, el valor predicho es
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES 9
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donde Xi es el nivel del factor i-ésimo que aparece en una combinación de tratamiento y
a;
es el ex
ponente que aparece sobre el factor i-ésimo en el efecto que será confundido. Para el sistema 2
k
te
nemos ya sea
a¡
o 1,Y
Xi
nivel bajo o
x¡
1 nivel alto . Las combinaciones de tratamiento
que producen el mismo valor de
L
módulo 2 se situarán en el mismo bloque. Puesto que los úni
cos valores posibles de L módulo 2 son
y
1, esto asignará las combinaciones de tratamiento 2
k
a
exactamente dos bloques.
13-47
Puesto que las dos combinaciones de tratamiento con el signo de más, ab y
1 ,
están en el blo
que 1 y las dos con el signo de menos,
a
y
b
están en el bloque 2, el efecto de bloque y la interac
ción
AB
son idénticos. Esto es,
AB
se confunde con bloques.
La razón de esto es evidente a partir de la tabla de signos de más y de menos para el diseño 22,
mostrado en la tabla 13-13.En ella vemos que todas las combinaciones de tratamiento que tienen un
más en
AB
se asignan al bloque 1, en tanto que todas las combinaciones de tratamiento que tienen
un signo de menos en AB se asignan al bloque 2.
Este esquema puede utilizarse para confundir cualquier diseño 2 en dos bloques. Como un se
gundo ejemplo, considere un diseño 23 que se ejecuta en dos bloques. Suponga que deseamos con
fundir con bloques la interacción de tres factores
ABe
Tomando en cuenta la tabla de signos de más
y de menos para el diseño 23 tabla 13-16 , asignamos las combinaciones de tratamiento con signo
de menos enABe al bloque 1, y aquellas que tienen signo de más enABe al bloque 2. El diseño re
sultante se presenta en la figura 13-24.
Hay un método más general para construir los bloques; en él se emplea un contraste de defi-
nición por ejemplo
Contraste.j,
ab
+ 1 -
a b.
Observe también que estos contrastes no se ven afectados por los bloques, ya que en cada con
traste hay una combinación de tratamiento más y una menos por cada bloque. Esto es, cualquier di
ferencia entre el bloque 1 y el bloque 2 se cancelará. El contraste para la interacción AB es
Contraste,
=
ab + a b 1 ,
Contrastes = ab + b a 1 .
Considere el diseño que se muestra en la figura 13-23. Observe que el bloque 1 contiene las
combinaciones de tratamiento 1 y ab y que el bloque 2 contiene a y b. Los contrastes para estimar
los efectos principales
A
y
B
son
Figura 13-23 El diseño 22 en dos bloques. Figura 13-24 El diseño 23 en dos bloques; e confundido.
Bloque 1 Bloque 2
Bloque 1 Bloque 2
1
IJ
[TI
ab
be
470 PROBABILIDADY ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
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· 1
b ab
ab2
a
b· ae
abe
b be b
e e
Las combinaciones de tratamiento en el otro bloque o bloques pueden generarse multiplican
o un elemento del nuevo bloque por cada elemento del módulo 2 del bloque principal. En el dise
o 23 con
ABe
confundido, puesto que el bloque principal es 1 ,
ab ae y be
sabemos que
b
está en
otro bloque. Por tanto, los elementos de este segundo bloque son
ab ae
a2be
be
ab be
ab e
ae
ae be
abe
ab
En consecuencia, 1 , ab ac
be se ejecutan en el bloque 1,
a b e
abe se ejecutan en el blo
ue 2. Éste es el mismo diseño que se muestra en la figura 13-24.
Un método corto es útil en la construcción de estos diseños. El bloque que contiene la combina
ón de tratamiento 1 se denomina bloque principal Cualquier elemento [excepto 1 ] en el bloque
incipal puede generarsemultiplicando otros dos elementos en elmódulo 2 del bloque principal. Por
, considere el bloque principal del diseño 2 conABe confundido, el cual se muestra en la
gura 13-24. Observe que
1 :
L
1 0 1 0 1 0 mód 2 ,
a L 1 1 1 0 1 0 1 1 mód 2 ,
b: L
1 0 1 1 1 0 1 1 mód 2 ,
ab: L
1 1 1 1 1 0 2
O
mód 2 ,
e:
L
1 0 1 0 1 1 1 1 mód 2 ,
ae: L
1 1 1 0 1 1 2
O
mód 2 ,
be: L 1 0 1 1 1 1 2 O mód 2 ,
abe: L
1 1 1 1 1 1 3 1 mód 2 .
Para asignar las combinaciones de tratamiento a los dos bloques, las sustituimos en los contras
s de definición como sigue:
Como un ejemplo, considere un diseño 2 conABe confundido con bloques. Aquí xl correspon
aA x2 a B x3 a
a X ¿
l X
1. Por tanto, el contraste de definición para ABe es
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON V RIOS F CTORES 7
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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Tabla 13-23 Algoritmo de Yates para e l diseño 2 del ejemplo 13-10
Combinaciones Suma de
Efecto
de tratamiento
Respuesta [1] [2] [3] [4] Efecto
cuadrados estimado
1 3 10 22 48 111 Total
a 7 12 26
63
21
A 27.5625
2.625
5
12 30 4
5
1.5625 0.625
7 14 33 17 -1
0.0625 -0.125
e 6
14
6
4 7
C 3.0625 0.875
ae
6
16 -2
1 -19 AC 22.5625
-2.375
e
8 17
14
-3
C
0.5625
-0.375
e
6
16
3 3
-1
C
0.0625 -0.125
d
4 4
2 4 15
O
14.0625 1.375
d
10 2 2
3
13
O
10.5625 1.625
d
4
2
-3 O 0.5625 -0.375
d
12
-2
-1 -11 7
O
3.0625 0.875
ed
8
6
-2
-1
CO
0.0625 -0.125
ed 9
8
-2 -3 -3
CO
0.5625
-0.375
ed 7 1 2
-3 CD 0.5625
-0.375
ed
9 2 -1 -1
CO
0.0625 -0.125
El análisis del diseño mediante el algoritmo de Yates se muestra en la tabla 13-23. Una gráfica de proba
bilidad normal de los efectos revelaría que A el tipo de blanco , D el alcance hasta el blanco y AD tienen
efectos importantes. Un análisis de varianzade confirmación, usando interaccionesde tres factores como error,
se muestra en la tabla 13-24.
Bloque 1
Bloque 2
1
3
a=7
ab
7
b=5
ae
6
e=6
be
8
d=4
ad abe
6
bd
4
bed
7
ed 8
aed
9
abed
9 abd
12
L Xl + x2 + x3 + x4
El diseño del experimento y los datos resultantes son
Se efectúa un experimento para investigar el efecto de cuatro factores respecto de la distancia de pérdida ter
minal de un misil manual tierra-aire.
Los cuatro factores son el tipo de blanco A , el tipo de aparato guía B , la altitud del blanco
C
el al
cance hasta el blanco
D).
Cada factor puede ejecutarse de manera conveniente en dos niveles,
el sistema de
rastreo óptico permitirá medir la distancia de pérdida terminal hasta la unidad de medición más cercana en
este caso, pies . Se utilizaron dos artilleros diferentes en la prueba de vuelo
puesto que puede haber diferen
cias entre los individuos, se decidió conducir el diseño 2
4
en dos bloques con
ABCD
confundido. Por consi
guiente, el contraste definido es
7 PROBABILIDADY ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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Este procedimiento general puede extenderse para confundir el diseño en 2Pbloques don-
< k. Se seleccionan efectos a confundir de manera que ninguno de ellos sea una interacción
Bloque 1
Bloque 2 Bloque 3
Bloque 4
L¡
0 L
L¡
1 L
L¡ 0 L
1
L¡
1 L 1
1
e e
e
e
d
d d d
e d e d e d
e d
Es fácil verificar que los cuatro bloques son
L¡ =x¡ x3
L
x3
x4
Es posible confundir el diseño k en cuatro bloques de k- 2 observaciones cada uno En la cons-
cción del diseño se eligen dos efectos para confundir con bloques y obtener sus contrastes de de-
nición Un tercer efecto la interacción generalizada de los dos elegidos inicialmente también se
unde con bloques La interacción generalizada de los dos efectos se encuentra multiplicando
s columnas respectivas
Por ejemplo considere el diseños 24 en cuatro bloques Si
AC
y
BD
se confunden con bloques
interacción generalizada es
AC BD ABCD
El diseño se construye empleando los contrastes
e definición para AC y BD:
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES 473
la 3 24 Análisis de varianza para el ejemplo 13-10
Fuente de Suma de Grados de Media
variación cuadrados libertad cuadrática
Bloques
ABCD
0.0625 0.0625 0.06
A
27.5625 27.5625 25.94
B 1.5625 1.5625 1.47
C 3.0625 3.0625 2.88
D
14.0625 14.0625 13.24
AB 0.0625 0.0625 0.06
AC
22.5625 22.5625
21.24
AD
10.5625 10.5625 9.94
BC
0.5625
0.5625 0.53
BD 0.5625
0.5625 0.53
CD
0.0625
0.0625
0.06
Error ABC ABD ACD BCD 4.2500 4 1.0625
Total
84.9375 15
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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Tabla 13 25
Signos de más y de menos para el diseño factorial
Efecto factorial
Combinaciones
de tratamiento A B
C
AB AC
BC ABC
a
e
e
ae
e
1
Una fracción media del diseño
k
contiene
k l
ejecuciones y suele llamarse diseño factorial fraccio
nario
k •
Como ejemplo, considere el diseño 23-1; esto es, una fracción media del diseño 23. La ta
bla de signos de más y de menos para el diseño 23 se muestra en la tabla 13-25. Suponga que
seleccionamos cuatro combinaciones de tratamiento
b
e, y
be
como nuestra media fracción.
Estas combinaciones de tratamiento se muestran en la mitad superior de la tabla 13-25. Usaremos
13 7 1 Fracción media del diseño
Conforme el número de factores en un diseño 2k aumenta, el número de ejecuciones que se requie
ren aumenta rápidamente. Por ejemplo, un diseño 2 requiere 32 ejecuciones. En este diseño, sólo
cinco grados de libertad corresponden a los efectos principales y 10grados de libertad corresponden
a interacciones de dos factores. Si podemos suponer que ciertas interacciones de orden mayor son
despreciables, es posible usar un diseño factorial fraccionario que involucre un número menor que
el conjunto completo de
2
k ejecuciones para obtener información acerca de los efectos principales y
las interacciones de orden menor. En esta sección, presentaremos la réplica fraccional del diseño
2
k
Para un tratamiento más completo, véase Montgomery 2001, capítulo 8 .
R É PL I F R IO N L D E L D IS EÑO
3 7
generalizada de los otros. Los bloques pueden construirse a partir de los
p
contrastes de definición
L
1
L
2
Lp
asociados con estos efectos. Además, exactamente 2 P
p
1 otros efectos son con
fundidos con bloques, siendo éstos la interacción generalizada de los
p
efectos originalmente elegi
dos. Debe tenerse cuidado de no confundir efectos de interés potencial.
Para mayor información acerca de la confusión, refiérase a Montgomery 2001, capítulo 7 . Es
te libro contiene guías para seleccionar factores que se confundan con bloques, de modo que no se
confundan los efectos principales y las interacciones de orden menor. En particular, el libro contie
ne una tabla de los esquemas de confusión sugeridos con diseños hasta para siete factores y una va
riedad de tamaños de bloque, algunos tan pequeños como dos ejecuciones.
PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
http://slidepdf.com/reader/full/13-diseno-de-experimentos-con-varios-factores 51/69
En consecuencia la combinación lineal de observaciones en la columna por ejemplo
A
es
A
Be. De manera similar B estima B
AC
y
e estima C
AB. Dos o más efectos que tie
n esta propiedad se llaman seudónimos. En nuestro diseño 23 1 A YBC son seudónimos lo mismo
B AC C AB. La generación de seudónimos es resultado directo de la réplica fraccional.
BC
_ _ [a - b - e abe]
2
1
AC = [-a
b -
e
abe]
2
1
AB = [-a - b
e
abe].
También es fácil verificar que las estimaciones de las interacciones de dos factores son
1
A
=
[a - b - e
abe]
2
1
B = [-a
b -
e
abe]
2
1
C = [-a - b
e
abe].
2
la relación de definición para el diseño.
Las combinaciones de tratamiento en los diseños 23-1 producen tres grados de libertad asocia
s con los efectos principales. De la tabla 13-25 obtenemos las estimaciones de los efectos princi
les como
I=ABC
Observe que el diseño 23 1 se forma seleccionando sólo aquellas combinaciones de tratamiento
e producen un signo de más en el efecto ABC. En consecuencia ABC se llama el generador de
ta fracción particular. Además el elemento identidad
también tiene signo de más en las cuatro
ecuciones así que llamamos
e
abe
-
a
b
Notación 2otación 1
nto la notación convencional
a
b e ... como la de signos de más
y
menos para las combinacio
s de tratamiento. La equivalencia entre las dos notaciones es como sigue:
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON V RIOS F CTORES
7
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
http://slidepdf.com/reader/full/13-diseno-de-experimentos-con-varios-factores 52/69
~ =A -BC
e~ =B-AC
e~= C-AC.
Suponga que en este punto estamos dispuestos a asumir que las interacciones de dos factores son
despreciables. Si lo son, el diseño 23-1 ha producido estimaciones de los tres efectos principales,
YC. Sin embargo, si después de ejecutar la fracción principal dudamos de las interacciones, es po
sible estimarlas ejecutando la fracción alternativa La fracción alternativa produce las siguientes es
timaciones del efecto:
=A BC
eB=B AC
ee= C AB.
Suponga ahora que hubiéramos elegido la otra fracción media, esto es, las combinaciones de tra
tamiento de la tabla 13.25 asociadas con el signo de menos en ABC. La relación de definición para
este diseño es 1= -ABe. Los seudónimos sonA
-BC B -AC YC
-AB. Así que las estimacio
nes deA By C con esta fracción, en realidad estimanA - BC B - AC YC - AB. En la práctica, casi
nunca es importante cuál fracción media seleccionamos. La fracción con el signo de más en la rela
ción de definición suele llamarse fracción principal y la otra fracción se denomina fracción alter-
nativa
Algunas veces utilizamos secuencias de diseños factoriales fraccionarios para estimar efectos.
Por ejemplo, suponga que hemos ejecutado la fracción principal del diseño 23-1. De este diseño te
nemos las siguientes estimaciones de efecto:
ABC ABC2 AB.
y
B B .ABC AB2C AC
puesto que A . 1= A YA2
l. Los seudónimos de B y C son
En muchas situaciones prácticas será posible seleccionar la fracción de manera que los efectos prin
cipales y las interacciones de orden menor de interés serán seudónimos con interacciones de orden
mayor las cuales serán, probablemente, insignificantes .
La estructura de seudónimos para este diseño se determina usando la relación de definición
1= ABe.
La multiplicación de cualquier efecto por la relación de definición produce los seudónimos
para ese efecto. En nuestro ejemplo, el seudónimo deA
7
PROB BILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
http://slidepdf.com/reader/full/13-diseno-de-experimentos-con-varios-factores 53/69
A . 1
A .ABCD,
=A2BCD,
BCD,
Para ilustrar el empleo de una fracción media considere el experimento del grabado con nitruro de silicio des
crito en el ejemplo 13-9. Suponga que decidimos utilizar un diseño
24-1
con
1
ABCD
para investigar los cua
tro factores: entrehierro A , presión B , tasa de flujo de C
2
F
6 C
y el ajuste de potencia D . Este diseño se
onstruirá escribiendo un 2
3
en los factores A, B YC y fijando luego D ABe. El diseño y las tasas de gra
bado resultantes se muestran en la tabla l3-26.
En este diseño los efectos principales se hacen seudónimos con las interacciones de tres factores; observe
ue el seudónimo deA es
Para obtener la fracción alternativa igualaríamos la última columna como C AB.
C=AB
23 1 1 +ABC
completo
Por lo tanto combinando una secuencia de dos diseños factoriales fraccionarios podemos ais
lar tanto los efectos principales como las interacciones de dos factores. Esta propiedad hace que el
diseño factorial fraccionario sea muy útil en los problemas experimentales cuando podemos ejecu
tar secuencias de pequeños experimentos eficientes combinar información a través de varios expe
rimentos y aprovechar el aprendizaje en tomo al proceso con el que estamos experimentando
conforme se avanza.
Un diseño 2k puede construirse escribiendo las combinaciones de tratamiento para un factorial
completo con
k
1 factores y agregando después el factor
k ésimo
al identificar sus niveles de más
y de menos con los signos más y menos de la interacción de orden más alto
ABC·· K
1 . En
consecuencia se obtiene un factorial fraccionario 23-1 al escribir el factorial 22 completo e igualar
después el factor C con la interacción
±AB
De tal modo para obtener la fracción principal utiliza
ríamos C +AB de la manera siguiente:
~ [A
BC - A - BC ]
BC
~[B AC - B -AC ]
AC
~ [C AB - C - AB ] AB
~ A
BC
A - BC A
~ B AC B -AC B
~ C AB C - AB C
i=A
i=B
i C
Efecto i
Si combinamos las estimaciones de las dos fracciones obtenemos lo siguiente:
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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Combinaciones
Tasade
B
C
D=ABC
de tratamiento
grabado
1 550
d
749
d
1052
650
ed
1075
e
642
e 601
ed 729
bl 13 26 El diseño
24
con relación de definición
1= ABCD
D
ABC
290.50.
y
E
=B ACD=4.00
C
ABD
11.50,
Las otras columnas producen
-127.00.
A
BCD
- -550
749 - 1052
650 - 1075
642 - 601
729
4
Las estimaciones de los efectos principales y sus seudónimos se encuentran utilizando las cuatro colum
nas de signos de la tabla 13-26. Por ejemplo, a partir de la columnaA obtenemos
AC =BD
AD
Be.
Los otros seudónimos son
AB . 1
AB . ABCD
=A2B2CD
=CD.
Las interacciones de dos factores son seudónimos con cada una de las otras. Por ejemplo, el seudónimo
deAB es CD:
B
ACD
C
=ABD
D =ABe.
y de modo similar,
8 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARAINGENIERíA
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
http://slidepdf.com/reader/full/13-diseno-de-experimentos-con-varios-factores 55/69
Resolución del diseño
El concepto de resolución del diseño es una manera útil de catalogar
eños factoriales fraccionarios de acuerdo con los patrones de seudónimo que producen. Los
Proyección del diseño 2k l Si uno o más factores de una fracción media de un 2kpueden eli
minarse, el diseño se proyectará en un diseño factorial completo. Por ejemplo, la figura 13-25pre
senta un diseño 23-1. Observe que este diseño se proyectará en un factorial completo en cualesquiera
dos de los tres factoresoriginales.En consecuencia, sipensamosque cuandomucho dos de los tres fac
tores son importantes, el diseño 2
3
es excelentepara identificarlos.Algunas veces llamamos
experi-
mentos de eliminación a los que sirvenpara identificar relativamentepocos factores significativosentre
un grannúmero de factores. Esta propiedadde proyección es sumamenteútil en la eliminaciónde fac
tores, ya que permite eliminar aquellos que son despreciables, lo que resulta en un experimento más
consistente en los factores activos que quedan.
En el diseño 24--1 empleado en el experimento del grabado con nitruro en el ejemplo 13-11, en
contramos que dos de los cuatro factores By C podrían descartarse. Si eliminamos estos dos fac
tores, las columnas restantes de la tabla 13-26 forman un diseño 22 en los factores
y
D
con dos
plicas. Este diseño se muestra en la figura 13-26.
Gráfica de probabilidad normal y residual La gráfica de probabilidad normal es muy útil en la
aluación de la significación de los efectos de un factorial fraccionario. Esto es particularmentecier
cuandohay muchos efectos por estimar.Los residuospueden obtenerse a partir de un factorial frac
ionario mediante el método del modelo de regresión que se mostró antes. Estos residuos deben
graficarse contra los valores predichos, contra los niveles de los factores, y sobre papel de probabi
lidad normal, como hemos estudiado antes, para evaluar la validez de las suposiciones del modelo
sico y para obtener mayor conocimiento de la situación experimental.
La estimación D es grande; la interpretación más directa de los resultados es que ésta es la interacción
Por consiguiente, los resultados obtenidos del diseño 24 concuerdan con los resultados del factorial com
leto que se analizó en el ejemplo 13-9.
A partir de las columnas AC y AD encontramos
e
= AC
BD = -25.50,
D
=
AD
BC
=
-197.50.
= -10.00.
B
AB + CD
- 550 - 749 - 1052 + 650 + 1075- 642 - 601 + 729
4
Es evidente que
son grandes, si creemos que las interacciones de tres factores son despreciables,
efectos principales A entrehierro
y
D ajuste de potencia afectan de manera significativa la tasa de gra
.
Las interacciones se estiman formando las columnas
AB AC
y
AD
Yagregándolas a la tabla. Los signos
la columna AB son
+, -,
r
+, +, -, -, +,
Yesta columna produce la estimación
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES 9
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
http://slidepdf.com/reader/full/13-diseno-de-experimentos-con-varios-factores 56/69
diseños de resolución 11I,IV y V son particularmente importantes. Las definiciones de estos térmi
nos
y
un ejemplo de cada uno de ellos se encuentran a continuación,
Diseños de resolución l l Son diseños en los que ningún efecto principal se hace seudóni
mo.con cualquier otro efecto principal, pero los efectos principales se hacen seudónimos
con interacciones de dos factores y las interacciones de dos factores pueden hacerse seu
dónimos entre sí. El diseño 23 - 1 con l
ABC es de resolución 1I1.Solemos emplear un
subíndice de número romano para indicar la resolución del diseño; así, esta fracción media
es un diseño 2fu 1.
2 Diseños de resolución
Son diseños en los que ningún efecto principal es seudónimo con
cualquier otro efecto principal o interacción de dos factores, pero las interacciones de dos fac
tores se hacen seudónimos entre sí. El diseño 2
4 - 1
con
l
ABCD
empleado en el ejemplo
13-11,es de resolución IV 2iv 1 .
igur
13-26 El diseño 2
2
obtenido al eliminar los factores B y
e
del experimento de grabado con nitruro.
A (Entrehierro)
1
550,601 650,642
1 _ ·
1
o (Potencia)
1052,1075 749,729
1~ ~
igur
13-25 Proyección de un diseño
23-1
en tres diseños
2
2.
e
[ ]
a
~ {
f
I abc
A
------ / f --- la
I
I I I
I I I I
I I I I
i
B
8
PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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A
BCE
CDF
ABDEF,
B
ACE
DEF
ABCDF,
ABE
ADF
BCDEF,
D
ACF
BEF
ABCDE,
E ABC BDF ACDEF,
F
ACD
BDE
ABCEF,
Para encontrar el seudónimo de cualquier efecto simplemente se multiplica el efecto por cada
en la relación de definición anterior. La estructura de seudónimo completa se muestra aquí.
1
ABCE
ACDF
BDEF.
Aunque el diseño k es valioso en la reducción del número de ejecuciones que se requieren para
un experimento encontramos con frecuencia que las fracciones más pequeñas brindarán informa-
ción casi igual de útil pero todavía con mayor economía. En general un diseño 2 puede ejecutar-
se en una fracción 1/2Pllamada diseño factorial fraccional
2k p
Por consiguiente una fracción 1/4 se
denomina diseño factorial fraccionario
2k-2,
una fracción 1/8 se llama diseño
2k-3,
etcétera.
Para ilustrar una fracción 1/4 considere un experimento con seis factores y suponga que el in-
geniero está interesado sobre todo en los efectos principales pero también le gustaría obtener algu-
na información acerca de las interacciones de dos factores. Un diseño
26 1
requeriría
32
ejecuciones
y tendría 31 grados de libertad para la estimación de los efectos. Puesto que sólo hay 6 efectos prin-
cipales y 15interacciones de dos factores la fracción media es ineficiente es decir requiere dema-
siadas ejecuciones. Suponga que consideramos una fracción de 1/4 o un diseño 26 2 Este diseño
contiene 16 ejecuciones y con 15 grados de libertad permitirá la estimación de la totalidad de los
6 efectos principales con cierta capacidad para el examen de las interacciones de dos factores. Para
generar este diseño escribiríamos en forma completa un diseño 2
en los factores
B
C Y
D
Ylue-
go agregaríamos dos columnas para
E
y
F
Para encontrar las nuevas columnas seleccionaríamos
los dos
generadores de diseño 1
ABCE ACDF.
ASÍ la columna
E
se encontraría a partir de
E ABC
y la columna
F
sería
F ACD,
de tal manera que las columnas
ABCE
y
ACDF
son igua-
les a la columna identidad. Sin embargo sabemos que el producto de cualesquiera dos columnas en
la tabla de signos de más y de menos para un 2
k
es justamente otra columna de la tabla; en conse-
cuencia el producto de ABCE y ACDF o ABCE ACDF A2BCZDEF
BDEF es también una co-
lumna identidad. Por consiguiente la relación de definición completa para el diseño 26 2 es
13 7 2 Fracciones menores: el factorial fraccionario
2k p
Los diseños de resolución III y IV son particularmente útiles en los experimentos de eliminación
de factores. El diseño de resolución IV brinda muy buena información acerca de los efectos princi-
pales y proporcionará ciertos datos acerca de las interacciones de dos factores.
3. Diseños de resolución V.Son diseños en los que ningún efecto principal o interacción de dos
factores se hace seudónimo con cualquier otro efecto principal o interacción de dos facto-
res pero las interacciones de dos factores se hacen seudónimos con interacciones de tres fac-
tores. Un diseño 2
5 1
con
1
ABCDE
es de resolución V 2~
1 .
DISEÑO DE EXPERIMENTOS ON V RIOS F TORES 8
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
http://slidepdf.com/reader/full/13-diseno-de-experimentos-con-varios-factores 58/69
Tabla 3 27
Construcción del diseño
6
con generadores
I
BCE
e
I
CDF
B
C
O
E BC F CD
1
+ + +
aef
+ +
be
+ +
+
abf
+
+ +
cef
+ +
ac
+ +
+
bcf
+ + + +
abce
+
+
df
+ + +
ade
+ + + +
bdef
+ +
+
abd
+
+
+
cde
+
+
+
+
acdf
+ + +
bcd
+ + +
+ + +
abcdef
Observe que éste es un diseño de resolución IV; los efectos principales se hacen seudónimos con
interacciones de tres o más factores, y las interacciones de dos factores se hacen seudónimos entre
sí. El diseño proporcionaría muy buena información respecto de los efectos principales y brindaría
alguna idea acerca de la intensidad de las interacciones de dos factores. Por ejemplo, si la interac
ción
AD
se muestra significativa, entonces
AD
y/o
CF
son significativas. Si
A
y/o D tienen efectos
significativos principales, pero C y
no, el analista podría razonable y tentativamente atribuir la sig
nificación a la interacción
AD.
La construcción del diseño se muestra en la tabla 13-27.
Los mismos principios pueden aplicarse para obtener fracciones aún más pequeñas. Suponga
que deseamos investigar siete factores en 16ejecuciones. Éste es un diseño 27 3 una fracción 1/8 .
Este diseño se construye escribiendo en forma completa un diseño 24 en los factores
B
C Y
D
Y
AB
CE
BCDF
ADEF,
AC
BE
DF
ABCDEF,
AD CF BCDE ABEl ,
AE
BC
CDEF
ABDF,
AF
CD
BCEF
ABDE,
BD
EF ACDE ABCF,
BF
DE
ABCD
ACEF,
ABF CEF BCD ADF,
CDE ABD AEF CBF.
8 PROBABILIDADY ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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Este diseño es de resolución III puesto que el efecto principal se hace seudónimo con interac
iones de dos factores. Si suponemos que la totalidad de las interacciones de tres
y
más factores son
preciables los seudónimos de los siete efectos principales son
A
BD
CE
ABCF
BCG
ABCDE
CDF
ACDG
BEF
ABEG
FG
ADEF DEG
ACEFG
ABDFG
BCDEFG
El seudónimo de cualquier efecto principal se encuentra multiplicando ese efecto por cada tér
ino en la relación de definición. Por ejemplo el seudónimo de A es
1
ABD
ACE
BCF
ABCG
BCDE
ACDF
CDG
ABEF
BEG
AFG
DEF
ADEG
CEFG
BDFG
ABCDEFG
La relación de definición completa se encuentra multiplicando los generadores de dos en dos de
es en tres
y
finalmente de cuatro en cuatro produciendo
D =AB E =
AC
F = BC
G = ABCe
abla 3 28
Diseño factorial fraccionario 2~¡¡4
Observe que cualquier efecto principal en este diseño será seudónimo con tres factores e interac
s más altas
y
que las interacciones de dos factores serán seudónimos entre sí. En consecuen
éste es un diseño de resolución IV.
Para siete factores podemos reducir aún más el número de ejecuciones. El diseño 27 4es un ex
rimento de ocho ejecuciones que acomoda siete variables. Ésta es una fracción 1/16
y
se obtiene
cribiendo primero en forma completa un diseño 2
en los factores
A, B
YC
y
formando después
s cuatro nuevas columnas a partir de
1
ABD 1
ACE 1
BCF
e
1
ABCG
El diseño se mues
a en la tabla 13-28.
1
ABCE
BCDF
ACDG
ADEF
BDEG
ABFG
CEFG
ñadiendo después tres nuevas columnas. Son elecciones razonables para los tres generadores re
s 1
ABCE 1
BCDF e 1
ACDG Por tanto las nuevas columnas se forman fijando E
F BCD
YG
ACD
La relación de definición completa se encuentra multiplicando los ge
eradores juntos dos a la vez
y
después tres a la vez lo que da como resultado
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES 483
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
http://slidepdf.com/reader/full/13-diseno-de-experimentos-con-varios-factores 60/69
Los resultados de Minitab® concuerdan con los dados en la tabla 13-6.
Anal ys i s of
Var i ance f or For ce
Source
DF
SS
MS F
Type
2 4 5811 2 2906 27 86 0 000
Appl i cat 1 4 9089
4 9089
59 70 0 000
Type Appl i cat
2 0 2411 0 1206 1 47 0 269
Er r or 12 0 9867 0 0822
Tot al
17 10 7178
Reconsidere el ejemplo 13-3,que trata de pinturas tapaporos en aeronaves. Los resultados que ofrece
Minitab®respecto del diseño factorial 3 x 3 con tres réplicas son
Resultado en computadora de la muestra para el ejemplo 13-3
Proporcionamoslos resultadosdeMinitab®para algunos de los ejemplospresentadosen este capítulo.
3 8 R ESU LTAD OD E LA M UESTR A EN C O M PU TAD O R A
Este diseño
2
4 se llama factorial fraccionario saturado debido a que se utilizan todos los gra
dos de libertad disponibles para estimar los efectos principales. Es posible combinar secuencias de
estos factoriales fraccionarios de resolución IDpara separar los efectos principales de las interaccio
nes de dos factores. El procedimiento se ilustra en Montgomery 2001, capítulo 8 .
Al construir un diseño factorial fraccionario es importante seleccionar el mejor conjunto de ge
neradores de diseño. Montgomery 2001 presenta una tabla de generadores de diseño óptimos para
diseños
k con hasta 10 factores. Los generadores de dicha tabla producirán diseños de resolución
máxima para cualquier combinación específica de
y
Para más de 10 factores, se recomienda un
diseño de resolución lIT.Estos diseños pueden construirse con el mismo método empleado antes pa
ra el diseño tt Por ejemplo, para investigar hasta 15 factores en 16ejecuciones, escriba en forma
completa un diseño 24 en los factores A B C y D Yluego genere 11nuevas columnas tomando los
productos de las cuatro columnas originales, de dos en dos, de tres en tres y de cuatro en cuatro. El
diseño resultante es un factorial fraccionario 2~ 1l Estos diseños, junto con otros factoriales frac
cionarios útiles, son analizados por Montgomery 2001, capítulo 8 .
4 = A
BD
CE
FG
= B AD CF FG
=
AE
BF
DG
D
=
D
AB
CG
EF
E = E AC BG DF
F =F BC AG DE
= G CD BE AF.
8 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARAINGENIERíA
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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n este capítulo sepresentó el diseño y análisis de experimentos con varios factores en especial con
seños factoriales y factoriales fraccionarios. Se consideraron modelos fijos aleatorios y combina
s. Las pruebas para los efectos y las interacciones principales en estos diseños dependen de si
s factores son fijos o aleatorios.
Se trataron también los diseños factoriales
»
Éstos son diseños muy útiles en los que los
k
fac
res aparecen en dos niveles. Los diseños cuentan con un método bastante simplificado de análisis
ístico. En situaciones donde el diseño no puede ejecutarse en condiciones homogéneas el di
k puede confundirse fácilmente en bloques P Esto requiere que ciertas interacciones se con
dan mediante bloques. El diseño
k
tiende también por sí mismo a la réplica fraccionaria en la
al sólo un subconjunto particular de las combinaciones de tratamiento k se ejecutan. En la répli
fraccionaria cada efecto se hace seudónimo con uno o más de los demás efectos. La idea gene
l es hacer seudónimos los efectos principales y las interacciones de orden menor con interacciones
e orden más alto. Este capítulo analizó los métodos de construcción de diseños factoriales fraccio
k que es una fracción l/2P del diseño k Estos diseños son particularmente útiles en la ex
entación industrial.
R S U N
3 9
Los resultados de Minitab son ligeramente diferentes de los resultados dados en el ejemplo
. Se proporcionanlas pruebas
de los efectos principalesy las interacciones además del análisis
varianza sobre el significado de los efectos principales y las interacciones de dos y tres factores.
s resultados usando la funciónANOVAindican que al menos uno de los efectos principales es sig
mientras que ninguna de las interacciones de dos o tres factores es importante.
rm
Ef f ect Coef SE Coef
T P
onst ant
11. 0625 0. 3903
28. 34 0. 000
3. 3750
1. 6875 0. 3903
4. 32 0. 003
1. 6250
0. 8125 0. 3903
2. 08 0. 071
0. 8750 0. 4375
0. 3903 1. 12 0. 295
B 1. 3750
0. 6875 0. 3903 1. 76 0. 116
C 0. 1250
0. 0625 0. 3903
0. 16
0. 877
C
0. 6250 0. 3125 0. 3903
0. 80
0. 446
C
1. 1250 0. 5625 0. 3903 1. 44 0. 188
nal ysi s of Var i ance
urce DF
Seq SS
Adj SS Adj MS F P
ai n Ef f ect s 3 59. 187
59. 187
19. 729 8. 09 0. 008
Way I nt er acti ons
3
9. 187 9. 187
3. 062
1. 26 0. 352
Way I nt er act i ons 1 5. 062 5. 062 5. 062 2. 08 0. 188
esi dual Er ror
8
19. 500 19. 500 2. 437
ur e Er r or 8 19. 500 19. 500 2. 438
ot al 15 92. 937
considere el ejemplo 13-7 que trata de la rugosidad superficial. Los resultados usando Minitab
ara el diseño 2
3
con dos réplicas son
esultado en computadora de la muestra para el ejemplo 3 7
DISEÑO DE EXPERIMENTOS ON V RIOS F TORES
485
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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13-6 Una compañía emplea a dos ingenieros para
estudios de tiempos. Su supervisora desea de
terminar si los estándares fijados por ellos se
ven afectados por alguna interacción entre los
ingenieros y los operadores. La supervisora se
lecciona tres operadoras al azar y efectúa un
3 5
Supongaque en el ejercicio 13-4los operadores
se eligieron al azar, pero que sólo había cuatro
máquinas disponibles para la prueba. ¿Afecta
esto el análisis o sus conclusiones?
Pruebe la interacción y los efectos principales
en el nivel de 5 . Estime las componentes de
la varianza.
Operador 1
2 3 4
A 109 110 108 110
110 115 109 116
111
110 111 114
112
111 109 112
C 109
112
114 111
111 115 109
112
Máquina
3 4
Se están estudiando los factores que influyen
en la resistencia al rompimiento de tela. Se eli
gen al azar cuatro máquinas y tres operadores
y se ejecuta un experimento utilizando tela del
mismo pedazo de una yarda. Los resultados
son los siguientes:
13-3 Suponga que en el ejercicio 13-2 los tipos de
pintura fueron efectos fijos. Calcule una esti
mación de intervalo de 95 de la diferencia en
las medias entre las respuestas para la pintura
tipo 1 y la pintura tipo 2.
varios de los que se dispone. El ingeniero reali
za un experimento y obtiene los datos que se
muestran en la tabla anterior.Analice los datos
y formule sus conclusiones. Estime las compo
nentes de la varianza.
20
25
30
74
73 78
64 61
85
50 44 92
92 98 66
86 73 45
68
88 85
Pintura
Tiempo de secado min)
3 2 Un ingeniero sospechaque el acabado superfi
cial de una piezametálica es afectado por el ti
po de pintura utilizado y el tiempo de secado.
Seleccionatres tiemposde secado-20, 25Y30
minutos- y elige al azardos tipos de pinturade
18.75
15
0.170 0.198 0.217
0.185 0.210 0.241
0.110 0.232 0.223
0.178 0.215 0.260
0.210 0.243 0.289
0.250 0.292 0.320
0.212 0.250
0.285
0.238 0.282 0.325
0.267 0.321 0.354
12
3
elocidadde corte
Profundidad de corte
Un artículo publicado en el Joumal Mate-
rialsProcessingTechnology
000,p . 113)pre
senta los resultados de un experimento que
implica la estimación del desgaste de la herra
mienta en la molienda. El objetivo es minimi
zar el desgaste de la herramienta. Dos factores
de interés en el estudio fueron la velocidad de
corte m/min)y la profundidad del corte mm).
Una respuesta de interés es el borde de uso de
la herramienta mm). Se seleccionaron tres ni
veles para cada factor y se realizó un experi
mento factorial con tres réplicas. Analice los
datos y estipule sus conclusiones.
13-1
J R I IO S
3 1
8
PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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13-11 Tomando en cuenta el experimento de la com
badura del ejercicio 13-10,obtenga los residuos
y graffquelos sobre un papel de probabilidad
normal. También grafique los residuos contra
los valores predichos. Comente sobreestas grá
ficas.
-1 -1
-1
1.35
1.40
1 -1 -1 2.15 2.20
-1 1
-1
1.50 1.50
1 1
-1
1.10 1.20
-1
-1
1 0.70 0.70
-1
1.40 1.35
-1
1 1.20 1.35
1
1 1 1.10 1.00
13-10 Un artículo publicado en
Quality Engineering
1999, p. 357 presenta los resultados de un ex
perimentorealizadopara determinar los efectos
de tres factores sobre la combadura en un pro
ceso de modelado por inyección. La combadu
ra se define como la propiedad de no planicie
en el producto fabricado. La compañía que se
analiza en este caso particular fabrica compo
nentes de plástico moldeados para utilizarse en
equipos de televisión, máquinas lavadoras y
automóviles. Los tres factores de interés ca
da uno para dos niveles son temperatura
de derretimiento,
velocidad de inyección
y C proceso de inyección. Se realizó un dise
ño factorial completo 2
3
con réplica. En la tabla
que se muestra a continuación se listan los re
sultados de dos réplicas. Analice los datos de
este experimento.
10 96.6 97.7 99.4
98.4
99.6 100.6
96.0 96.0 99.8 98.6 100.4 100.9
15 98.5 96.0 98.4 97.5 98.7 99.6
97.2 96.9 97.6 98.1 98.0 99.0
20 97.5 95.6 97.4 97.6 97.0 98.5
96.6 96.2 98.1 98.4 97.8 99.8
concentración
de madera dura 400 500 650 400 500 650
Purezaureza
orcentaje de
Tiempo de cocido Tiempo de cocido
de 1.5 horas de 2.0 horas
13-9 Se están investigando los efectos que tienen el
porcentaje de concentraciónde madera dura en
la pulpa cruda, la pureza y el tiempo de cocido
de la pulpa sobre la resistenciadel papel.Anali
ce los datos que semuestran en la siguiente ta
bla, suponiendoque los tres factores son fijos.
13-8 Considere los datos de desgaste de herramien
tas del ejercicio 13-1.Grafique los residuos del
experimento en función de los niveles de la ve
locidad de corte y en función de la profundidad
de corte. Comente sobre las gráficas obtenidas.
¿Cuáles sonlasposibles consecuenciasde la in
formacióncontenidaen las gráficas residuales?
230
235
240
220
225
230
260
240
235
2
290
285
290
300
310
295
280
290
285
2 3ipo de vidrio
Tipo de fósforo
13-7 Un artículo publicado en
Industrial Quality
Control 1956, p. 5 describe un experimento
para investigarel efectode dos factores tipode
vidrio y tipo de fósforo en la brillantez de un
cinescopio para televisores.La variable de res
puesta medida es la corriente necesaria en mi
croamperes para obtener un nivel de brillantez
específico. Los datos se muestran a continua
ción.Analícelos y formule conclusiones, supo
niendo que ambos factores son fijos.
2
Operador
2 3
2.59 2.38 2.40
2.78 2.49
2.72
2.15 2.85
2.66
2.86 2.72 2.87
Ingeniero
experimento en el que los ingenieros fijan los
tiempos para un mismo trabajo. Se obtienen
los datos que se muestran aquí. Analícelos y
formule conclusiones.
DISEÑO DE EXPERIMENTOS CON VARIOS FACTORES 8
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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a Estime los efectos y prepare una gráfica
de probabilidad normal con los mismos.
b
Construyauna gráfica de probabilidadnor
mal de los residuosy comente sobre los re
sultados.
1
=42
=40
= 31
d
= 30
= 45 d = 50
= 29
d
= 25
e = 39
e d
=40
e
= 28 e d
= 25
e
=46
e d
= 50
e
= 32
e d
= 23
3 6
Un experimento descrito por M. G. Natrella en
el andbook of xperimental Statistiesdel Na
tional Bureau of Standards Núm. 91, 1963 ,
involucra la prueba con flama de fibras después
de aplicar tratamientos de resistencia al fuego.
Hay cuatro factores: el tipo de fibra
A ,
el tipo
de tratamiento de resistencia al fuego B , la
condición de lavado
e,
el nivel bajo, es sin la
vado, el nivel alto es conun lavado y el méto
do con que se efectúa la prueba por flama D .
Todos los factores se ejecutan en dos niveles, y
la variable de respuesta es la cantidad depulga
das de fibra que se queman en una muestra de
prueba de tamaño estándar.Los datos son:
1 =
700 d = 1000
e
800 de = 1900
900 d = 1100 e = 1200 de = 1500
b = 3400
bd = 3000
be = 3500 bde = 4000
b = 5500 bd = 6100 be = 6200 bde = 6500
e
600
ed
800
ce
600 ed e = 1500
e = 1000 ed = 1100
ee = 1200 ede = 2000
be = 3000 bed = 3300
bee = 3006 bede = 3400
be = 5300 bed = 6000 bee = 5500 bede = 6300
se emplea en un experimento para estudiar la
resistencia del concreto a la compresión. Los
factores sonmezcla A , tiempo B , laboratorio
C , temperatura D y tiempo de secado E .
Analice los datos, suponiendo que las interac
ciones de tres o más factores son despreciables.
Utilice una gráfica de probabilidad normal pa
ra evaluar a estos efectos.
3 5 Los datos que se muestran a continuación re
presentan una sola réplica de un diseño 2
5
que
3 4
Encuentre el error estándar de los efectos para
el experimento del ejercicio 13-12.Empleando
los errores estándar como guía, ¿cuáles facto
res parecen significativos?
3 3Considere el experimento del ejercicio 13-12.
Grafique los residuos contra los niveles de los
factores
A, B,
e y D. Además construya una
gráfica de probabilidad normal de los residuos.
Comente sobre estas gráficas.
Réplica
Combinaciones
de tratamiento
1
1
190 193
174
178
181 185
183 180
e
177 178
e
181 180
e
188 182
e
173 170
d
198 195
d
172 176
d
187 183
d
185 186
e d 199
190
e d
179 175
e d 187 184
e d
180 180
3 2
Se piensa que posiblemente cuatro factores
afectan el sabor de un refresco: el tipo de sabo
rizante A , la proporción entre el jarabe y el
agua B , el nivel de carbonatación C y la
temperatura
D .
Cada factor puede ejecutarse
en dos niveles, produciendo un diseño 2
4.
En
cada ejecucióndeldiseño, sedan muestrasde la
bebida a un grupo de prueba compuesto por 20
personas. Cadauna de ellas asignauna califica
ción de 1 a 10 al refresco. La calificación total
es la variable de respuesta, y el objetivo es en
contrar una fórmula que maximice la califica
ción total. Se ejecutan dos réplicas de este
diseño, y losresultados sepresentana continua
ción.Analice los datos y formule conclusiones.
488 PRO ILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
http://slidepdf.com/reader/full/13-diseno-de-experimentos-con-varios-factores 65/69
13-23 Un artículo publicado en el
Journal of Quality
Teehnology
Vol. 17, 1985, p. 198)describe el
empleo de un factorial fraccionario con réplica
para investigar los efectos de cinco factores en
la altura libre de resortes de hojas utilizados
en una aplicación automotriz. Los factores son
e
Si todos los factores pueden despreciarse,
descompongael diseño
25--1
en un factorial
completo en los factores activos. Comente
sobre el diseño resultante e interprete los
resultados.
b
Calcule los residuos. Construya una gráfi
ca de probabilidad normal de los residuos
y grafique éstos contra los valores ajusta
dos. Comente sobre las gráficas.
a
Elaboreunagráficade probabilidadnormal
de los efectos.¿Cuálesfactores sonactivos?
e
= -0.63
d
= 6.79
a =
2.51
ade
= 6.47
b
= -2.68
bde
= 3.45
abe = 1.66 abd = 5.68
e
= 2.06
ede
= 5.22
aee
= 1.22
aed
= 4.38
bee
= -2.09
bed
= 4.30
abe
= 1.93
abede
= 4.05
13-22
R.
D. Snee Experimentingwith a LargeNum
ber of Variables , en
Experiments in Industry:
Design Analysis and Interpretation of Results
por
R.
D. Snee,
L.
B. Hare y
J.
B. Trout, Edi
tores, ASQC, 1985) describe un experimento
en el que se usó un diseño 2
5-1
con
I =ABCDE
para investigar los efectos de cinco factores en
la coloración de un producto químico. Los fac
tores son solvente/reactivo, B
cataliza
dor/reactivo, C
temperatura, D
pureza del
reactivo y
E =
pH del reactivo. Los resultados
obtenidos son los siguientes:
d
Sugiera un mejor diseño; específicamente,
uno que proporcionaría cierta información
respecto de
todas
las interacciones.
e Comente sobre la eficiencia de este diseño.
Observe que hemos repetido dos veces el
experimento, aunque no tenemos informa
ción relativa a la interacción
B e
a
Analice los datos de este experimento.
b
Grafiquelos residuosenpapel de probabili
dad normal y contra los valores predichos.
Comente sobre las gráficas obtenidas.
Réplica
Réplica 2
Bloque 1
Bloque 2 Bloque 1
Bloque 2
1 = 99
a
= 18
1
= 46
a
= 18
ab
= 52
b
= 51
ab
=-47
b
= 62
ae
= 42
e
= 108
ae
= 22
e
= 104
be
= 95
abe
= 35
be
= 67
abe
= 36
-21 Un artículo publicado en
Industrial and Engi-
neering Chemistry
Factorial Experiments in
Pilot Plant Studies , 1951,p. 1300) informa de
un experimento en el que se investiga el efecto
de la temperatura
A ,
el gasto de gas
B
y la
concentración C en la intensidad de la solu
ción de un producto en una unidad de recircu
lación. Se emplearon dos bloques con
ABC
confundido, y el experimento se repitió dos
veces. Los datos son los siguientes:
3-20 Construya un diseño 2
5
en cuatro bloques. Se
leccione los efectos que se van a confundir, de
manera que se confundan las interaccionesmás
altas posibles con bloques.
-19 Repita el ejercicio 13-18,suponiendoque sere
quierencuatro bloques. Confunda
ABD
y
ABC
yen consecuencia
CD
con bloques.
3-18 Considere los datos de la primera réplica del
ejercicio 13-12. Construya un diseño con dos
bloques de ocho observaciones cada uno, con
ABCD
confundido. Analice los datos.
3-17 Considere los datos de la primera réplica del
ejercicio 13-10. Suponga que no todas estas
observaciones pudieran ejecutarse en las mis
mas condiciones. Establezca un diseño para
ejecutar estas observaciones en dos bloques de
cuatro observaciones, cada una con
ABC
con
furidido.Analice los datos.
e
Construya una tabla de análisis de varian
za, suponiendo que son despreciables las
interacciones de tres y cuatro factores.
DISEÑO DE EXPERIMENTOS ON V RIOS F TORES 9
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
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En la siguiente tabla se muestran los resultados
usuales de este tipo de experimento:
Ejecución
A B C
Densidad
-1 -1 -1
1 2.001
2 1
-1 -1
-1 2.062
3
-1
1
-1 -1
2.019
4
1
-1
1 2.059
5
-1 -1
1
-1
1.990
6 1
-1 1
1 2.076
7
-1
1 1
1
2.038
8 1 1
-1
2.118
a
¿Cuál es el generador para esta fracción?
b
Analice los datos. ¿Qué factores influyen
en la media de la densidad de volumen?
Nivel bajo Nivel alto
Factor
(-1)
+1
A
Fez03
30
B
ZnO
15
C PbO
2.5
D:
CrZ03
2.5
13-25 Un artículo publicado en Cement and Concre-
te Researeh
(2001, p. 1213) describe un expe
rimento para investigar los efectos de cuatro
óxidos metálicos sobre diferentes propiedades
del cemento. Los cuatro factores se están
ejecutando en dos niveles y una respuesta de
interés es la media de la densidad de volumen
(g/cm ). Los cuatro factores y sus niveles son
a Compruebe que los generadores de diseño
utilizados fueron
= ACE
e
= BDE
b Escriba la relación de definición completa
los seudónimos de este diseño.
e) Estime los efectos principales.
d
Prepare una tabla de análisis de varianza.
Verifiqueque estén disponibles las interac
ciones
AB
y
AD
para usarse como error.
e
Grafique los residuos contra los valores
ajustados. Construya también una gráfica
de probabilidad normal de los residuos.
Comente los resultados.
e
23.2,
ad
16.9,
ed
23.8,
bde
16.8,
ab
15.5,
be
16.2,
aee
23.4,
abede
18.1.
13-24 Un artículo publicado en
Industrial and Engi-
neering Chemistry
( More on PlanningExperi
mentsto IncreaseResearchEfficiency , 1970,p.
60) utilizaun diseño 25-Zpara investigarel efec
to que tienensobreel rendimientoestos factores:
A =
temperaturade condensación,
B =
cantidad
del material 1, C
volumen del solvente,
tiempode condensacióny
E
cantidaddel ma
terial 2.Los resultadosobtenidosson:
ti
Analice los residuos de este experimento
y comente sus resultados.
e) Calcule el intervalo d e la altura libre para
cada ejecución. ¿Hay alguna señal de que
alguno de estos factores afecte la variabi
lidad de la altura libre?
b
Analice los datos. ¿Qué factores afectan la
altura libre media?
a
¿Cuál es el generador para esta fracción?
Escriba en forma completa la estructura
del seudónimo.
7.78, 7.78,
7.81
8.15,
8.18,
7.88
7.50, 7.56,
7.50
7.59, 7.56,
7.75
7.54, 8.00,
7.88
7.69, 8.09,
8.06
7.56, 7.52,
7.44
7.56, 7.81,
7.69
7.50, 7.25, 7.12
7.88, 7.88,
7.44
7.50,
7.56,
7.50
7.63, 7.75,
7.56
7.32, 7.44,
7.44
7.56, 7.69,
7.62
7.18, 7.18,
725
7.81, 7.50,
7.59
A BCD
A
temperaturadel horno,
B
tiempode calen
tamiento,C tiempode transferencia,
tiem
po de bombeo y
E
temperatura de inmersión
en aceite.Los datos semuestrana continuación.
9 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
http://slidepdf.com/reader/full/13-diseno-de-experimentos-con-varios-factores 67/69
13-31 Construyaun diseño factorial fraccionario
~t
Escriba en forma completalos seudónimos s u
poniendo que sólo los efectos principales y las
interaccionesde dos factoresson de interés.
13-30 Considere los datos del ejercicio 13-15. Su
ponga que podría ejecutarse sólo una fracción
cuarta del diseño 2
5.
Construya diseño y
analice los datos.
13-29
Suponga que en el ejercicio 13-15 sólo una
fracción media del diseño 2
5
pudiera ejecutar
se. Construya el diseño y efectúe el análisis.
13-28 Suponga que en el ejercicio 13-12 sólo pudie
ra ejecutarse una fracción media del diseño 4
Construyael diseñoy efectúe el análisisestadís
tico; use los datos de la réplica l.
27 Considere el diseño 26-2de la tabla 13-27. Su
ponga que después de análizar los datos origi
nales se encuentra que los factores y
pueden descartarse. ¿Qué tipo de diseño
queda para las variables restantes? Compare
los resultados con el ejercicio
13-26.
¿Puede
explicar por qué son diferentes las respuestas?
-26 Considere el diseño
26-2
de la tabla
13-27.
Su
ponga que después del análisis de los datos
originales encontramos que los factores
y
pueden eliminarse. ¿Qué tipo de diseño
se
deja en las variables restantes?
e Analice los residuos de este experimento
y comente sus hallazgos.
DISEÑO DE EXPERIMENTOS ON V RIOS F TORES 9
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
http://slidepdf.com/reader/full/13-diseno-de-experimentos-con-varios-factores 68/69
Los efectos principales son significativos, la interacción no es significativa.
13-1. Fuent e
v e
F
e s
2 3178 5
1589 3 15 94
oc
2 271854 135927 13 64
e s D
4 6873
1718 17 95
Er r or 18 179413
9967
T ot al 26
775945
Capítulo 3
12-15. a 20.47,
tI
0.33,
t2
1.73,
t3
2.07. b
tI t2
-1.40.
12 11 n
3.
2-9. a
Fo
2.38. b Ninguno.
12-7. a Fo
4.01. b La media 3 difiere de la media 2. e SSc2
246.33. d 0.88.
12-5. a Fo
2.62. b 21.70,
tI
0.023,
t2
-0.166,
t3
0.029,
t4
0.059.
12-1. a Fo
3.17. 12-3. a Fo
12.73. b La técnica de mezclado 4 e s diferente de 1,2 Y3.
Capítulo
11 59 22.06, se rechaza Ho·
1 57 34.896, se rechaza Ho·
11 47
2.915, no se rechaza
Ho
11-49. 4.724, no se rechaza
Ho~
11 53 0.0331, no se rechaza Ho 11-55. 2.465, no se rechaza Ho
11 37 Zo
1.333, no se rechaza Ho 11-41. Zo
-2.023, no se rechaza Ho·
11 33 o
2.4465, no se rechaza Ho 11-35. o
5.21, se rechaza Ho
11 31 Fo
30.69, se rechaza Ho; 0.65.b 0.58.
1-29. a
x
2.28, se rechaza Ho
d
17.
e 0.30.
1-27. a
x
43.75, se rechaza
Ho
b 0.3078 x 10-4.
11 25 o
0.56, no se rechaza Ho
11 21 Fo
0.8832, no se rechaza Ho 11-23. a Fo
1.07, no se rechaza Ho b 0.15. e 75.
11-19. a o
8.49, se rechaza Ho b o
-2.35, no se rechaza Ho e 1. d 5.
11 13 o
1.842, no se rechaza
Ho
11-15.
o
1.47, no se rechaza
Ho
en 0.05. 11-17. 3.
11-11.Zo
-7.25, se rechaza Ho
1-9. Zo
2.656, se rechaza Ho
77 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARAINGENIERíA
8/17/2019 13. Diseño de Experimentos Con Varios Factores
http://slidepdf.com/reader/full/13-diseno-de-experimentos-con-varios-factores 69/69
Capítulo 14
13 27 2
3
con dos réplicas. 13 29 25 2 diseño. Las estimaciones para A, B YAB son grandes.
13 25 a) D
ABe. b) A es significativo.
3 21 A y son significativos.
13 19 Bloque 1:
1
ab, bcd, acd, Bloque 2: a, b, cd, abcd, Bloque 3: e, abe, bd, ad, Bloque 4: d,
abd, be, ac.
13 17 Bloque 1:
1 ,
ab, ac, be, Bloque 2: a, b, e, abe.
13 15 Los principales efectos A, B, D, E y la interacciónAB son significativos.
La concentración, tiempo, limpieza y la interacción tiempo
limpieza son significativos al
0.05.
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
13 3
-23.93 ~
1 1
1 0 ~ 5.15.
13 5
Las conclusiones no cambian.
13 7 Fuent e
VC
Pe MS
F
Vi dr i o 1 1445 1445 273 79
f ó s f o r o 2 933 3 466 7 8 84 4
vi dr i o
f ós f or o 2 133 3 66 7 1 26
318
Er r or 12
63 3 3 52 8
Tot al 17
1615
Principales efectos significativos.
13 9
Fue nt e DF
ss MS
Concent r ac i ón 2 7 763 9 3 88 19 1 62
1
L i mpi ez a 2 19 3739 9 686 9 26 5
Ti empo
1 2 25 2 25 55 4
Conc ent r a ci ón
l i mpi ez a 4
6 91 1
1 5228 4 17
15
Conc ent r a ci ó n
t i empo 2 2 817 1 4 8 2 85 84
L i mpi ez a
t i empo 2 2 195 1 975 3 75
Concent r ac i ón
l i mpi ez a
t i e mpo 4 1 9733 4933 1 35 29
Er r or 18 6 58 365 6
T ot a l
35 66 3 89