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11. Grundlagen der Quantenmechanik
Klassische Mechnik Quantenmechanik
Teilchen Punkt im Phasenraum Wellenfunktion Komplexwertig
(r,t)
Evolutionsgleichung Hamilton Gleichungen Schrödingergleichung
Messgrössen
Funktionen von r,pOperatoren
Mögliche Messwerte: Eigenwerte
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Zeitabhängige Schrödingergleichung:
Komplexwertige Wellenfunktion (x,t) Beispiel: deBroglie Ebene WelleA(x,t) = A0 cos(kx - t)
Ansatz:
Wiederholung komplexe Zahlen:
Imag
inär
teil
Realteil
x
t
Beobachtbar:VektorlängeUnsichtbar: Rotation mit t
Für zeitunabhängiges Potential
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Stationäre Schrödingergleichung
Zeitabhängige Schrödingergleichung:
Komplexwertige Wellenfunktion (x,t) Beispiel: deBroglie Ebene WelleA(x,t) = A0 cos(kx - t)
Für zeitunabhängiges Potential
Ansatz:
Beispiel 1: V(x)=0 Allgemeiner Ansatz: (x)=Aeikx + B e-ikx
Mit Zeitabhängigkeit:
löst:
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Darstellung einer Ebenen Welle im Ort
(x) = eikx = sin(x) + i cos(x)
Realteil
Imaginärteil-> |(x)|2 = const. = 1
Graphik aus: Bern Thaller Visual Quantum Mechanicshttp://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/index.html
Alternative Darstellung:Farbkodierung der komplexen Zahlen
|(x)|2 = const. = 1
moving-plane-wave-01_18a.mov
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Aufbau eines Wellenpaketes
(x) = eikx
d.h. die Phasengeschwindigkeit ist Energieabhängig -> Dispersion
Gauss-wellenpaket-aus-ebenen-wellen-03_02b.mov
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Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
Beispiel 2: Unendlicher Potentialkasten
V(x)=0 für 0·x¸L1 sonst
(x)=Aeikx + B e-ikx
(x·0)=(x¸L)=0
(x=0) = 0 ) A+B=0 ) (x)=A(eikx - e-ikx)=2iA sin(kx)
Randbedingung 1
(x=L) = 2iA sin(kL) = 0) kL= n (n=1,2,3 ...)
Rand-bedingung 2
Quantenzahlen n
Mögliche Energieniveaus in der Box:
Stationäre Wellenfunktionen in der Box:
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Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
Mögliche Energienivieaus in der Box:
Stationäre Wellenfunktionen in der Box:
Bemerkungen:1) Unschärfe Relation Ort/Impuls
k= n/L (n=1,2,3 ...) 2) Nullpunktsenergie3) Woher kommt die Quantisierung??4) Zeitentwicklung der Zustände?
hängt von En (n2) ab!
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http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/en/stationary.html
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Real Imaginärteil
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Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
Mögliche Energienivieaus in der Box:
Stationäre Wellenfunktionen in der Box:
Bemerkungen:1) Unschärfe Relation Ort/Impuls
k= n/L (n=1,2,3 ...) 2) Nullpunktsenergie3) Woher kommt die Quantisierung??4) Zeitentwicklung der Zustände?
5) Was passiert wenn manandere Energie, Wellenfunktionerzwingt?z.B. Barriere aufziehen?
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Teilchen in 2 dim Potentialtopf
http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/potential.htm
(kx , ky) = (0.86 , 0.5)
(x , y) = (2 , 2)
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Imagine a quantum particle initially described by a Gaussian wave packet centered at the middle of a square box, with momentum zero. WAS PASSIERT??
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(II)
Bereich (II):
Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
11.4. Potentialstufe
x
E(x
)
E0
(I)
Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A eikx + B e-ikx
2
(x)=C eix + D e-ix
(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )
I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)
) ik(A-B)=-(C-D) (ii)
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reel ) C=0 weil sonst II(x!1) divergiert
(II)(I)
Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
11.4. Potentialstufe
x
E(x
)
E0
Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A eikx + B e-ikx
Bereich (II):
2
(x)=C eix + D e-ix
(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )
I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)
) ik(A-B)=-(C-D) (ii)
Fall a) E<E0
C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=- (A+B) )
Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:
ik+ik-
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(II)(I)
Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
11.4. Potentialstufe
x
E(x
)
E0
Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A eikx + B e-ikx
Bereich (II):
2
(x)=C eix + D e-ix
(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )
I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)
) ik(A-B)=-(C-D) (ii)
Fall a) E<E0
reel ) C=0 weil sonst II(x!1) divergiert
C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=- (A+B) )
Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:
ik+ik-
1. Potentialwall reflektiert vollständig2. Wellenfunktion dringt in den klassisch verbotenen Bereich ein
Energieerhaltung??? E t > ~
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(II)(I)
Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
11.4. Potentialstufe
x
E(x
)
E0
Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A eikx + B e-ikx
Bereich (II):
2
(x)=C eix + D e-ix
(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )
I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)
) ik(A-B)=-(C-D) (ii)
Fall b) E>E0
klassisch: Teilchen fliegt mit verminderter Geschwindigkeit weiter
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(x)=C e-ik‘x + D eik‘x C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen
C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k‘ (A+B) )
(II)(I)
Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
11.4. Potentialstufe
x
E(x
)
E0
Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A eikx + B e-ikx
Bereich (II):
2
(x)=C eix + D e-ix
(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )
I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)
) ik(A-B)=-(C-D) (ii)
Fall b) E>E0
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(II)(I)
Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
11.4. Potentialstufe
x
E(x
)
E0
Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A eikx + B e-ikx
Bereich (II):
2
(x)=C eix + D e-ix
I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)
) ik(A-B)=-(C-D) (ii)
Fall b) E>E0
(x)=C e-ik‘x + D eik‘x C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen
C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k‘ (A+B) )
1. Auch wenn E>E0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_0)2. Wellenfunktion
|A|2
|B|2
|D|2
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(II)(I)
Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
11.4. Potentialstufe
x
E(x
)
E0
Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A eikx + B e-ikx
Bereich (II):
2
(x)=C eix + D e-ix
|A|2
|B|2
|D|2
(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )
I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)
) ik(A-B)=-(C-D) (ii)
1. Auch wenn E>E0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_0)2. Wellenfunktion
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gausspaket-auf-potentialstufe-mit-halber-energie07_06b.mov
Wellenpaket, Potentialstufe
E = ½ Ekin
Ort
Impuls+ auf Stufe zu- reflektiert
Klassisches Teilchen würde mit 1/2Ekin weiterlaufen!
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gausspaket-potentialstufe-bergab07_06c.mov
Wellenpaket, Potentialstufe BERGAB!
Klassisches Teilchen würde beschleunigt weiterlaufen!
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Potentialstufe in 2 Dimensionen
gausspaket-2dim-potentialstufe-07_08a.mov
Farbcode:Farbe: PhaseSättigung: Amplitude
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Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
11.5. Tunneleffekt
(II)(I)
x
E(x
)
E0
Idee: kann man die Welle “freisetzen”??
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Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung
11.5. Tunneleffekt (I) (II) (III)
x0 a
E0
(x)=A eikx + B e-ikx
(x)=C eix + D e-ix
(x)=A‘ eikx
Randbedingungen:
I(0)=II(0) , II(a)=III(a)
Transmissionskoeffizient (E<E0)
für a >>1(dicke Barriere)
10-4
10-3
10-2
10-1
100
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
T
ENERGY (eV)
Höhe 0.3eV, Breite 1nm
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Transmission hängt ab von:1. Barrierenhöhe (Exponentiell)2. Barrierenbreite3. Masse
Makroskopisch irrelevant
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Ekin<E
Fragen:1. Energieerhaltung ???2. Wie lange braucht das Teilchen?
![Page 26: 11. Grundlagen der Quantenmechanik Klassische Mechnik Quantenmechanik Teilchen Punkt im Phasenraum Wellenfunktion Komplexwertig (r,t) Evolutions gleichung](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062417/55204d6449795902118ba14d/html5/thumbnails/26.jpg)
Tunnel-welle-durch-einstellbare-potentialstufe07_09d.mov
x
(I) (II) (III)
0 a
E0
Wellenfunktion und Transmission als Funktion der Barrierenhöhe
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V = 2E, d =
http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/tunnel.htm#Potential%20barrier
Überhöht
Tunneln eines Wellenpaketes
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Mittlere Energie des Wellenpaketes
Gausspaket-durch-barriere-07_11c.mov
Tunnels eines Gauss Wellenpaketes im Ortsraum
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Orts und Impulsraum:
Gausspaket-Tunnel-orts-impuls07_12c.mov
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Mittlere Energie nahe an Schwellenhöhe
Durch Mehrfachreflexionenwird ein Teil der Wellenfunktionfür einige Zeit unter der Barriere
gefangen
Gauss-tunnel-trapping07_12a.mov