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1
Mais Propriedades de
Linguagens Regulares
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2
Já provamos
Linguagens Regulares são fechadas sob:
União
Concatenação
Operação Star
Reverso
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3
Ou seja, para linguagens regulares e :1L 2L
21 LL
21LL
1L
União
Concatenação
Operação Star
Reverso RL1
LinguagensRegulares
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4
Vamos provar
Linguagens Regulares são fechadas sob:
Complemento
Interseção
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5
Ou seja, para linguagens regulares e :1L 2L
1L
21 LL
Complemento
Interseção
LinguagensRegulares
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6
Complemento
Teorema:Para qq linguagem regularo complemento é regular L
L
Prova: Tome um DFA que aceita e faça• os estados não finais finais• os estados finais não finais
O DFA resultante aceita
L
L
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7
Exemplo:a
b ba,
ba,
0q 1q 2q
)*( baLL
a
b ba,
ba,
0q 1q 2q
)*))((**( bababaaLL
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8
Interseção
Teorema:Para linguagens regulares e a interseção é regular 21 LL
1L 2L
Prova: Use a Lei de DeMorgan:
2121 LLLL
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9
21 , LL regular
21 , LL regular
21 LL regular
21 LL regular
21 LL regular
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10
Representações Padrão de
Linguagens Regulares
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11
Representações Padrão de Linguagens Regulares
Linguagens Regulares
DFAs
NFAsExpressõesRegulares
GramáticasRegulares
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12
Quando dizemos:Dada uma Linguagem Regular
Queremos dizer:
L
Linguagem em umarepresentação padrão
L
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13
Questões Elementares
sobre
Linguagens Regulares
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14
Questão da Pertinência
Questão:Dada uma linguagem regulare um string como determinar se ?
Lw
Resposta: Tome um DFA que aceitae verifique se é aceito ou não
Lw
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15
DFA
Lw
DFA
Lw
w
w
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16
Dada uma linguagem regular como podemos determinarse é vazia: ?
L
L )( L
Questão:
Tome um DFA que aceita
Verifique se existe um caminhodo estado inicial até o estado final
LResposta:
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17
DFA
L
DFA
L
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18
Dada um linguagem regularcomo podemos determinarse é finita?
L
L
Questão:
Tome um DFA que aceita
Verifique se existe um caminho doestado inicial para um estado final que possua um ciclo
LResposta:
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19
DFA
L é infinita
DFA
L é finita
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20
Dadas linguagens regulares e como determinar se ?
1L 2L
21 LL Questão:
)()( 2121 LLLL
Determine seResposta:
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21
)()( 2121 LLLL
21 LL 21 LL e
21 LL
1L 2L 1L2L
21 LL 12 LL 2L 1L
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22
)()( 2121 LLLL
21 LL 21 LLou
1L 2L 1L2L
21 LL 12 LL
21 LL
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23
Linguagens Não Regulares
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24
Linguagens Regulares
ba* acb *
...etc
*)( bacb
Linguagens Não Regulares
}0:{ nba nn
}*},{:{ bawwwR
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25
Como podemos provar que uma linguagemnão é regular?
L
Provar que não existe um DFA que aceite L
Problema: isso não é fácil de provar
Solução: Lema do Bombeamento !!!
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32
DFA com estados 4
1q 2q 3qa
b
4q
b
b b
b
a a
Antes de formular o Lema do Bombeamento,vamos introduzir sua idéia básica por meiode um exemplo
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33
1q 2q 3qa
b
4q
b
b
b
a a
a
Nos caminhos dos strings:
aab
aa
anenhum estadoé repetido
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34
Nos caminhos dos strings:
1q 2q 3qa
b
4q
b
b
b
a a
a
...abbbabbabb
abbabb
bbaa
aabbalgum estadoé repetido
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35
Se o caminho de um string
tem comprimento
1q 2q 3qa
b
4q
b
b
b
a a
a
w4|| w
então algum estado é repetido
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36
Se em um caminho de um string no. de transições estados do DFAentão algum estado é repetido
1q 2q 3qa
b
4q
b
b
b
a a
a
w
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38
Em geral:
String tem comprimento no. de estados w
Um estado deve ser repetido no caminho dewq
q...... ......
caminho de w
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39
Lema do Bombeamento
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40
Seja uma linguagem regular infinitaL
DFA que aceita L
mestados
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41
Tome um string tal que w Lw
Existe um caminho com rótulo :w
.........
caminho w
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42
Se o string tem comprimentow mw ||
número de estados
então algum estado é repetido no caminhoq w
q...... ......
caminhow
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43
Escreva zyxw
q...... ......
x
y
z
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44
q...... ......
x
y
z
Observações: myx || númerode estados
1|| y
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45
O string é aceito zxObservação:
q...... ......
x
y
z
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46
O string é aceito
zyyxObservação:
q...... ......
x
y
z
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47
O string é aceito
zyyyxObservação:
q...... ......
x
y
z
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48
O string é aceito
zyx iEm Geral:
...,2,1,0i
q...... ......
x
y
z
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49
Em outras palavras, nós descrevemos:
O Lema do Bombeamento !!!
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50
O Lema do Bombeamento:
• Dada uma linguagem regular infinitaL
• existe um inteiro m
• para todo string comLw mw ||
• podemos escrever zyxw
• com emyx || 1|| y
• tal que: Lzyx i ...,2,1,0i
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51
Aplicações
do
Lema do Bombeamento
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52
Teorema: A linguagem }0:{ nbaL nn
não é regular
Prova: Use o Lema do Bombeamento
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53
Suponha, por contradição,que é uma linguagem regularL
Como é infinitapodemos aplicar o Lema do Bombeamento
L
}0:{ nbaL nn
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54
Seja o inteiro do Lema do Bombeamento
Tome um string tal que: w Lw
mw ||comprimento
Exemplo:mmbawtome
m
}0:{ nbaL nn
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55
Escreva: zyxba mm
deve ser verdade que
Pelo Lema do Bombeamento 1||,|| ymyx
Portanto: babaaaaba mm ............
1, kay kx y z
m m
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56
Do Lema do Bombeamento: Lzyx i
...,2,1,0i
Portanto:
mmbazyx
Lbazyyxzyx mkm 2
Lzyx 2
Temos: 1, kay k
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57
Lba mkm Portanto:
}0:{ nbaL nnMAS:
Lba mkm
CONTRADIÇÃO!!!
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58
Nossa hipótese de queé uma linguagem regular não é verdadeira!
L
Conclusão: Lnão é uma linguagem regular
Portanto:
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59
Linguagens Regularesba* acb *
...etc
*)( bacb
Linguagens Não Regulares }0:{ nba nn