1
Elementarzelle
Periodisches Motiv 2D (3D) mit der kleinsten Fläche (Volumen)
2
Gitterparameter
Kantenlängen a, b, c
Winkel
a
b
c
AACC
BB
3
Kristallsysteme
Triklin: a≠b≠c, ≠≠
Monoklin: a≠b≠c, ==90°≠
(Ortho)rhombisch: a≠b≠c, ===90°
Tetragonal: a=b≠c, ===90°
Hexagonal: a=b≠c, ==90°, =120°
Rhomboedrisch (trigonal): a=b=c, ==≠90°
Kubisch: a=b=c, ===90°
7 (6) Kristallsysteme
rhomboedrische Elementarzelle kann man auch in hexagonalen Achsen beschreiben
4
Anzahl der Atome (Moleküle) in einer Elementarzelle
1/81/41/21
iiu Za
V
m
MN
N … Anzahl der Atome (Moleküle) in der Elementarzelle
M … Masse aller Atome in der Elementarzelle
m … Masse eines Moleküls … Dichte des MaterialsV … Volumen der Elementarzelleau … atomare Masseneinheit (1,66.10-27 kg)
Zi … Atommasse in AME (au)
5
6
Anzahl der Atome in einer Elementarzelle – Beispiele
iiu Za
V
m
MN
Diamant (C)
Kubischa = 3,57 Å
= 3,51 g/cm³
V = a³ V = 45,5.10-24 cm³
Zi = 12
N = 8
Graphit (C)
Hexagonala = 2,46 Åc = 6,70 Å
= 2,25 g/cm³
V = a²c sin120° V = 35,1.10-24 cm³
Zi = 12
N = 4
Fulleren (C60)
Kubischa = 14,17 Å
= 1,68 g/cm³
V = a³ V = 2845,2.10-24 cm³
Zi = 12N = 240
Zi = 720N = 4
7
Kristallformen von Kohlenstoff
o
a
b
c
oa
b
c
Diamant
Graphit
Fulleren
8
Anzahl der Moleküle in einer Elementarzelle
iiu Za
V
m
MN
Steinsalz (NaCl)
Kubischa = 5,62 Å
= 2,15 g/cm³
V = a³ V = 177,5.10-24 cm³
Zi = 23,0+35,5 = 58,5
N = 4o
a
b
c
9
Grundsymmetrieoperationen
Drehachse
t tmt
nt
1,12
cos
cos2
mn
nttmt
cos axis -1 180 2 -0.5 120 3 0 90 4 0.5 60 6 1 360 1
10
Das Penrose ParkettEine ausgesprochen
unerwartete Entdeckung begeisterte 1984 alle
Festkörperphysiker und Kristallographen: Proben einer
sehr schnell abgekühlten Aluminium-Mangan Legierung (Al_6 Mn) kristallisierten als kleine Ikosaeder und - noch
schlimmer - zeigten ein Röntgenbeugungsbild mit
fünfzähliger Symmetrie und ausgeprägten Maxima. Das
bedeutete, dass die Atome in dieser Legierung irgendwie mit
fünfzähliger (Rotations-) Symmetrie angeordnet sein
mussten.
Die genaue Anordnung der Atome ist auch heute noch
nicht bekannt, aber es gibt ein sehr gutes Modell. In zwei
Dimensionen ist das Modell verblüffend einfach und auch ästhetisch sehr ansprechend -
das Penrose Parkett. A: 36° und 144°B: 72° und 108°
11
Das Penrose Parkett – eine andere Variante
12
Grundsymmetrieoperationen
Inversionszentrum
Spiegelebene
Verschiebung
13
Transformationen in der Kristallographie
x M x M y M z
y M x M y M z
z M x M y M z
x
y
z
M
x
y
z
11 12 13
21 22 23
31 32 33
14
Identität (1)
x
y
[x,y,z]
x x
y y
z z
EM 100
010
001
Drehachse „1“
15
_Inversionszentrum (1)
x
y
[x,y,z]
x x
y y
z z[x’,y’,z’]M
1 0 0
0 1 0
0 0 1
EM
100
010
001
100
010
001
100
010
0012
16
Spiegelebene (m)
x
y
[x,y,z][x1’,y1’,z1’]M
1 0 0
0 1 0
0 0 1
M E2
[x2’,y2’,z2’]
x x
y y
z z
1
1
1
zz
yy
xx
2
2
2
M 1 0 0
0 1 0
0 0 1
zz
yy
xx
3
3
3
100
010
001
M
17
Drehachse
x
[x,y,z]
[x’,y’,z’]
y
1
x r
y r
x r
y r
cos
sin
cos
sin
1
1
1
1
x r r
y r r
cos cos cos sin sin
sin sin cos cos sin
1 1 1
1 1 1
x x y
y x y
cos sin
sin cos
M cos sin
sin cos
0
0
0 0 1
M E nn ;
2
18
Drehachse
Zähligkeit der Achse =360°n
2 180°
3 120°
4 90°
6 60°
100
0cossin
0sincos
M
100
010
001
2M
100
0
0
21
23
23
21
3M
100
001
010
4M
100
0
0
21
23
23
21
6M
Für die Drehachse entlang c
19
Kopplung der Symmetrieoperationen
Drehachsen1, 2, 3, 4, 6
+ Spiegelebene senkrecht zu den Drehachsen
+ Inversion (Drehinversionsachsen)-1, -2, -3, -4, -6
20
Kopplung der Symmetrieoperationen
-1, -3 und -4 sind die einmaligen
Symmetrieoperationen
-2 und -6 sind es nicht, weil:-2 = m
-6 = 3/m
21
Kombination der Symmetrieoperationen
Drehachsen mit senkrechter Spiegelebene
22
Kombination / Kopplung der Symmetrieoperationen
Oktaeder Tetraeder
23
Kombinationen der Symmetrieoperationen
Drehachsen mit parallelen Spiegelebene(n)
24
Kombinationen der Symmetrieoperationen
Kombination von Drehachsen
25
Kombinationen der Symmetrieoperationen
Kombination von Drehachsen und Spiegelebenen
26
Kombinationen der Symmetrieoperationen
Kombination der Drehspiegelachsen mit Drehachsen und Spiegelebenen
27
Drehinversionsachsen _ _ _ _ __ _ _ _ _ ( 1, 2, 3, 4, 6)( 1, 2, 3, 4, 6)
|1 0 0|1 = |0 1 0| |0 0 1|
_ |-1 0 0|1 = | 0 -1 0| | 0 0 -1|
_ |-1 0 0|1.1 = | 0 -1 0| | 0 0 -1|
|-1 0 0|2 = | 0 -1 0| | 0 0 1|
_ |1 0 0|2.1 = |0 1 0| = m(x,y) |0 0 -1|
|-1/2 -3/2 0|3 = |3/2 -1/2 0| | 0 0 1|
_ | 1/2 3/2 0|3.1 = |-3/2 1/2 0| | 0 0 -1|
|0 -1 0|4 = |1 0 0| |0 0 1|
_ | 0 1 0|4.1 = |-1 0 0| | 0 0 -1|
| 1/2 -3/2 0|6 = |3/2 1/2 0| | 0 0 1|
_ | -1/2 3/2 0|6.1 = | -3/2 -1/2 0| | 0 0 -1|
28
Kombinationen der SymmetrieoperationenErgeben 32 Kristallklassen (Punktgruppen)
System
Triklin C1, Ci
Monoklin Cs, C2, C2h
Rhombisch C2v, V, Vh
Tetragonal C4, C4h, C4v, D4, D4h, S4, Vd
Hexagonal C6, C6h, C6v, D6, D6h
Trigonal C3, C3i, C3v, D3, D3d, C3h, D3h
Kubisch T, Th, Td, O, Oh
mmm
m
mmmmm
mmm
m
mmmmmm
m
mmmmmm
m
23
4,34,3
2,432,23
226,
6,26
,6,622,6,6,2
3,3,32,3,3
224,24,4,422,
4,4,4
,2,222
2,,2
1,1
29
Die Mindestsymmetrie in Kristallsystemen
System
TriklinMonoklinRhombischTetragonalHexagonalTrigonal
Kubisch mmm
m
mmmmmmm
mm
mmmmmm
m
mmmmmm
m
23
4,34,3
2,432,23
226,
6,26,6,622,6,6,
23,3,32,3,3
224,24,4,422,
4,4,4
,2,222
2,,2
1,1 3oder34
3oder31
6oder61
4oder41
2oder23
2oder21
1oder1
30
Symmetrieelemente in einem Würfel
11
9
26
34
43
m
31
Die 32 Punktgruppen
32
Die 32 Punktgruppen
33
Gittertranslation
Zentrierte (Bravais) Gitter:– P [primitiv]: (x,y,z)
– I [innenzentriert (raumzentriert)]: (x,y,z) + (1/2,1/2,1/2)
– F [flächenzentriert]: (x,y,z) + (1/2,1/2,0), (1/2,0,1/2), (0,1/2,1/2)
– C [zentrierte C Fläche]: (x,y,z) + (1/2,1/2,0)
– R [rhomboedrisch]: (x,y,z) + (1/3,1/3,1/3), (2/3,2/3,2/3) Gleitspiegelebenen
– Spiegelung + Verschiebung entlang der a, b oder c Achse (a/2, …)
– Spiegelung + Verschiebung entlang der Diagonale (n = a/2+b/2, …)
– Spiegelung + Verschiebung entlang der Diagonale [Diamantverschiebung] (d = a/4+b/4, …)
Schraubenachsen :– 21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64, 65 – Drehachse + Verschiebung entlang
der Schraubenachse
34
Gittertranslation
Gitter(sub)translation
x M x M y M z t x
y M x M y M z t y
z M x M y M z t z
x
y
z
M
x
y
z
t x
t y
t z
11 12 13
21 22 23
31 32 33
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x
y
z
M M M t x
M M M t y
M M M t z
x
y
z
1 0 0 0 1 1
11 12 13
21 22 23
31 32 33
( )
( )
( )
Erweiterte Notation für die Matrix der
Symmetrieoperationen
35
Bravais Gitter (Translationsgitter)
Triklin: P
Monoklin: P, I
Orthorhombisch:P, I, F, C
36
Bravais Gitter (Translationsgitter)
Tetragonal: P, I
Hexagonal: P, R
Kubisch: P, I, F
37
Kubisches Gitter
o
a
b
c
o
a
b
c
oa
b
c
Primitiv Raumzentriert Flächenzentriert
Gefülltes Volumen: x = V (Atome) / V (Elementarzelle)
%526
8
2
334
3
EZ
Atome
Atome
EZ
V
Vx
rV
rV
ra
%688
3
2
3,123
4
3
4
334
3
3
EZ
Atome
Atome
EZ
V
Vx
rV
rr
V
ra
%746
2
4
6,222
4
2
4
334
3
3
EZ
Atome
Atome
EZ
V
Vx
rV
rr
V
ra
38
Gleitspiegelebenen
a
b
c
Verschiebung entlang b
T = b/2
Gleitspiegelebene (Verschiebung entlang b) +
Spiegelebene
39
Gleitspiegelebenen
Mögliche Gleitspiegelebenen
Typ der Verschiebung Symbol Translationsvektor
entlang der a Achse a a/2
entlang der b Achse b b/2
entlang der c Achse c c/2
entlang der Diagonale n a/2+b/2, b/2+c/2, c/2+a/2
Diamantverschiebung d a/4+b/4,b/4+c/4,c/4+a/4
40
SchraubenachseKombination der Drehachse und der Gittertranslation
entlang der jeweiligen Achse
Bezeichnung: MN; M ist das Symbol für die Drehachse, N ist die Verschiebung in den 1/M-
Einheiten des Gitterparameters
c/2
c/2
c
n
mtT
41
Schraubenachsen
2, 21
3, 31, 32
4, 41, 42, 43
6, 61, 62, 63, 64, 65
42
Symbole der Symmetrieelemente
43
Kombination der Symmetrieoperationen
Kombination vonDrehachsen + Inversion + Spiegelebenen
ergibt32 Punktgruppen (Kristallklassen)
Kombination vonDrehachsen + Inversion + Spiegelebenen + Zentrierung +
Gleitspiegelebenen + Schraubenachsenergibt
230 Raumgruppen
Zu finden in: International Tables for X-ray Crystallography, Vol. A