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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 1
APOSTILA 2015
MATEMTICA
PROFESSOR: DENYS YOSHIDA
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 2
Sumrio
1.Conjuntos...................................................................................................................................5
1.1 Representao de conjuntos...................................................................................................5
1.2 Operaes com conjuntos.......................................................................................................6
1.2 Propriedades da interseco...................................................................................................7
2. Conjuntos numricos...............................................................................................................10
2.1 Conjunto dos nmeros naturais.............................................................................................10
2.2 Conjunto dos nmeros inteiros..............................................................................................11
2.3 Conjunto dos nmeros racionais..........................................................................................13
2.4 Conjunto dos nmeros irracionais........................................................................................15
2.5 Conjunto dos nmeros reais.................................................................................................17
3.Intervalos numricos................................................................................................................21
3.1 Notaes de um intervalo......................................................................................................21
3.2 Tipos de intervalos................................................................................................................21
3.3 Unio e interseco de intervalos.........................................................................................22
4. Relaes Binrias entre conjuntos..........................................................................................26
4.1 Representao em um diagrama..........................................................................................26
4.2 Representao no plano cartesiano......................................................................................27
5. Funes...................................................................................................................................27
5.1 Definio................................................................................................................................27
5.2 Domnio, imagem e contra domnio.......................................................................................27
6. Funes do 1 grau.................................................................................................................30
6.1 Definio................................................................................................................................30
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 3
6.2 Representao grfica..........................................................................................................30
6.3 Raiz de uma funo...............................................................................................................31
6.4 Estudo do sinal......................................................................................................................32
6.5 Inequaes do 1 grau..........................................................................................................33
6.6 Sistemas de inequaes do 1 grau......................................................................................34
6.7 Inequao produto.................................................................................................................35
6.8 Inequao quociente.............................................................................................................36
7. Funo do 2 grau...................................................................................................................41
7.1 Grfico...................................................................................................................................41
7.2 O vrtice da parbola............................................................................................................42
7.3 Estudo da variao do sinal..................................................................................................43
7.4 Inequao do 2 grau............................................................................................................44
8. Funes exponenciais.............................................................................................................50
8.1 Equaes exponenciais.........................................................................................................50
8.2 Inequaes exponenciais......................................................................................................50
8.3 Grfico da funo exponencial..............................................................................................54
8.4 Crescimento e decrescimento..............................................................................................55
9. Logaritmos...............................................................................................................................58
9.1 Definio...............................................................................................................................58
9.2 Condies de existncia.......................................................................................................58
9.3 Sistemas de logaritmos.........................................................................................................58
9.4 Propriedades dos logaritmos................................................................................................59
9.5 Mudana de base.................................................................................................................61
9.6 Equaes logartmicas..........................................................................................................61
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 4
9.7 Funes logartmicas............................................................................................................66
9.8 Crescimento e decrescimento..............................................................................................66
Exerccios de vestibulares...........................................................................................................69
Referncias bibliogrficas...........................................................................................................98
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 5
1. Conjuntos
Denominamos Conjunto a uma reunio de elementos. uma definio bem primitiva, e
podemos relacionar essa ideia em diversas situaes. O conjunto universo e o conjunto vazio
so tipos especiais de conjuntos. O conjunto vazio no possui elementos e representado por
ou . J o conjunto universo possui todos os elementos, de acordo com o que estamos
trabalhando e geralmente representado pela letra maiscula U.
1.1 Representao de conjuntos
Sua representao depende basicamente dos dados que se tem e da motivao do uso dos
mesmos, veja abaixo uma demonstrao:
Exemplo: O conjunto dos nmeros mpares maiores que zero e menores que onze. Vejamos a
representao atravs de seus elementos.
A = {1, 3, 5, 7, 9}
Representao pela propriedade de seus elementos.
A = {x | x mpar e 0 < x < 11}, o smbolo da barra ( | ) significa tal que.
x tal que x mpar e x maior que zero e x menor que 11.
Representao por diagrama
Assim como podemos somar, subtrair, multiplicar, dividir, potenciar entre outras operaes
numricas podemos tambm operar conjuntos.
Essas operaes recebem nomes diferentes, como: Unio de conjuntos, Interseco de
conjuntos, Diferena de conjunto, Conjunto complementar.
Todas essas operaes so representadas por smbolos diferentes. Veja a representao de
cada uma delas:
1 3
5 7 9
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1.2 Operaes com conjuntos
Unio de conjuntos
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {4, 5, 6}, chamamos unio um terceiro conjunto com
todos os elementos de A e B (Sem repetir os elementos comuns)
A representao da unio de conjuntos feita pelo smbolo U. Ento,
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Representando a unio por meio de diagramas:
Sejam A e B os conjuntos abaixo
A B
Ento: AUB
Interseco de conjuntos
Quando queremos a interseco de dois conjuntos o mesmo que dizer que queremos os
elementos que eles tm em comum.
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}, a interseco representada pelo
smbolo , ento A B = {5, 6}, pois 5 e 6 so os elementos que pertencem aos dois
conjuntos.
Representando a interseco por meio de diagramas:
Sejam A e B os conjuntos abaixo
A B
1 3
2 4
4 5
6
1 2 3
4 5 6
1 2 3
4 5 6
5 6
7
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 7
Ento: A B
Se dois conjuntos no tm nenhum elemento comum, a interseco deles ser um conjunto
vazio.
1.3 Propriedades da interseco
1) A interseco de um conjunto por ele mesmo o prprio conjunto: A A = A
2) A propriedade comutatividade na interseco de dois conjuntos :
A B = B A.
3) A propriedade associativa na interseco de conjuntos :
A (B C) = (A B) C
Exerccios sobre conjuntos
1- Analise os conjuntos abaixo e diga quais so vazios:
a) 0/ xxM
b) 0.0/ xxN
c) 4.0/ yyO
d) 02/ ddP
e) 02/ eeQ
2- Escreva os conjuntos indicados a seguir nomeando seus elementos:
a) A o conjunto dos nmeros inteiros maiores que 2 e menores que 7.
b) B o conjunto dos nmeros inteiros positivos menores que 6.
c) C o conjunto dos nmeros inteiros maiores que 5 e menores que 7.
d) D o conjunto dos nmeros inteiros maiores que 8 e menores que 2.
3- Representar, usando um diagrama de Venn, o conjunto A dos nmeros naturais primos
menores do que 30.
1 2
3 4 6
5
7
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 8
4- Sendo A = {0,1,2,3,4}, escreva todos os subconjuntos de A que tm 2 elementos.
5- Dados os conjuntos 3,2,1A , 5,4,3B e 6,5,1C , efetue as operaes:
a) BA
b) CB
c) CA
d) CBA
e) BA
f) CA
g) CB
h) CBA
i) CBA
6- Considere os conjuntos: A={divisores naturais de 30}, B={mltiplos de 6} e C={mltiplos de
3}, calcule:
a) BA
b) CB
c) CA
d) CBA
e) BA
f) CA
g) CB
h) CBA
i) CBA
7- Numa cidade, foi feito um levantamento para saber quantas crianas haviam recebido as
vacinas Sabin e Trplice. Os resultados obtidos esto na tabela a seguir. Determine o
nmero de crianas:
a) Abrangidas pela pesquisa
b) Que receberam apenas a Sabin
c) Que receberam apenas uma vacina
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 9
Vacina Nmero de crianas
Sabin 5428
Trplice 4346
Sabin e Trplice 812
Nenhuma 1644
8- (FATEC-SP) O conjunto A tem 20 elementos, BA tem 12 elementos e BA tem 60
elementos. O nmero de elementos do conjunto B :
a) 28
b) 36
c) 40
d) 48
e) 52
9- Em uma pesquisa realizada com 112 moradores de uma cidade, obteve-se que 57 pessoas
usavam o sabonete Perfumado, 38 usavam o creme dental Dentinho e 22 usavam o
sabonete Perfumado e o creme dental Dentinho. Quantas pessoas no usavam qualquer
desses dois produtos?
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2. Conjuntos numricos
A partir da notao de conjunto, chamamos Conjuntos Numricos, os conjuntos cujos
elementos so nmeros que possuem algumas caractersticas em comum. Estudaremos nesse
volume os conjuntos de nmeros: naturais, inteiros, racionais, irracionais e finalmente os
nmeros reais.
2.1 Conjunto dos Nmeros Naturais
A partir da necessidade de contagem de objetos surgiu o conjunto de nmeros naturais, que
basicamente o conjunto numrico mais intuitivo, assim como qualquer criana sente a
necessidade de contar objetos, as civilizaes antigas sentiram a mesma necessidade, e
surgiu a noo intuitiva de nmeros naturais.
So elementos do conjunto dos naturais todos os nmeros inteiros positivos incluindo o zero.
Representado pela letra maiscula e seus elementos entre chaves, separados por vrgulas:
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, }
O primeiro elemento desse conjunto o zero, e o conjunto ilimitado superiormente, ou seja,
no existe um ltimo nmero, o conjunto infinito.
A partir da reta numerada podemos representar geometricamente os conjuntos numricos,
para representao dos nmeros naturais na reta numrica, escolhemos um ponto de origem
(equivalente ao nmero zero), fixamos medida unitria e a orientao, geralmente da esquerda
para a direita, e marcamos os nmeros sobre a reta:
1 2 3 4 5 6 7
Alguns subconjuntos importantes so pertencentes aos nmeros reais:
Conjunto dos nmeros naturais no nulos:
N*= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, }
Utilizamos o * (asterisco) direita do nome do conjunto para excluir de determinado
conjunto o nmero zero
Conjunto dos nmeros primos:
P= {2, 3,5, 7, 11, 13, ...}
Conjunto dos nmeros pares:
Np= {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
Conjunto dos nmeros mpares:
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 11
Ni= {2, 3,5, 7, 11, 13, ...}
Propriedades:
Os nmeros naturais apresentam a propriedade do fechamento apenas para a adio e a
multiplicao, ou seja se adicionarmos ou multiplicarmos dois ou mais, quaisquer nmeros
naturais entre si, o resultado ser um nmero natural, por exemplo:
, que nmero natural;
que nmero natural;
que nmero natural;
que nmero natural;
Podemos descrever simbolicamente essa propriedade:
e
Com a subtrao o caso diferente, a subtrao entre nmeros naturais pode ou no ser um
nmero natural, por exemplo:
, que nmero natural;
No existe no conjunto dos nmeros naturais, tal nmero
Ento podemos dizer que N no fechado para a subtrao, por esse motivo houve a
necessidade da ampliao desse conjunto, surgindo assim o conjunto dos nmeros inteiros.
2.2 Conjunto dos Nmeros Inteiros
Com a limitao do conjunto dos nmeros naturais para a subtrao, como vimos essa no
fechada no conjunto, houve a necessidade de ampliar esse conjunto, surgindo assim o
conjunto dos nmeros inteiros.
So elementos do conjunto dos nmeros, todos os nmeros naturais e seus respectivos
opostos (nmeros negativos), representado pela letra Z, o conjunto dos nmeros inteiros :
Z= {...,-5, -4, -3, -2, -1, 0 ,1,2 ,3 ,4 ,5 , }
O conjunto ilimitado inferiormente e ilimitado superiormente, ou seja, no existe um primeiro
ou um ltimo nmero inteiro.
Podemos representar tambm esse conjunto a partir de uma reta numrica:
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-3
Alguns subconjuntos importantes so pertencentes aos nmeros inteiros:
Conjunto dos nmeros inteiros no nulos:
Z*= {...,-5, -4, -3, -2, -1,1,2 ,3 ,4 ,5 , }
Conjunto dos nmeros inteiros no negativos:
= {0, 1,2 ,3 ,4 ,5 , }
Conjunto dos inteiros positivos:
= {1,2 ,3 ,4 ,5 , }
Conjunto dos nmeros inteiros no positivos:
= {...,-5, -4, -3, -2, -1,0}
Conjunto dos inteiros Negativos:
= {...,-5, -4, -3, -2, -1}
Propriedades:
Os nmeros inteiros tem como subconjunto os nmeros naturais, note por exemplo, que
o subconjunto = {0, 1,2 ,3 ,4 ,5 , } idntico ao conjunto N, ento podemos
escrever que N Z, ou o conjunto N est contido no conjunto Z
Da mesma maneira que os nmeros naturais, o conjunto dos nmeros inteiros so fechados
para a adio e para a multiplicao, porm, podemos incluir tambm o fechamento para a
subtrao
, que nmero inteiro;
que nmero inteiro.
Podemos sintetizar esse conjunto simbolicamente:
e finalmente
No tocante diviso, podemos definir que a diviso entre dois nmeros naturais, pode ou no
ser um nmero natural, por exemplo:
, que nmero inteiro;
que nmero inteiro;
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 13
, de forma que no existe no conjunto de nmeros inteiros um valor que
satisfaa a equao;
Ento, podemos concluir que Z no fechado para a diviso, mas como podemos classificar o
resultado dessas divises, seno nmeros inteiros?
Assim, foram classificados os nmeros racionais.
2.3 Conjunto dos Nmeros Racionais
Representado pela letra Q, os elementos do conjunto dos nmeros racionais so todos aqueles
nmeros que podem ser expressos na forma de uma frao na qual o numerador e o
denominador so nmeros inteiros, simbolicamente temos:
Ou de maneira genrica:
Q =
A partir da definio de nmeros racionais, podemos definir que um nmero pertencente ao
conjunto dos nmeros inteiros racional, observe a demonstrao:
Seja qualquer nmero , e temos por definio que Q, ento,
substituindo temos Q, como , podemos afirmar que qualquer
elemento de Z, tambm elemento de Q, essa propriedade vlida, pois Z subconjunto de
Q.
Existem tambm alguns nmeros de Q, que so representados em maneira de um nmero
decimal exato ou tambm de uma dzima peridica, nas prximas linhas verificaremos que em
ambos os casos podemos escrever esses nmeros como uma frao :
Transformando nmeros decimais finitos em fraes
Uma das representaes dos elementos do conjunto dos nmeros Racionais, so os nmeros
decimais sendo finitos ou peridicos, temos como, por exemplo, de um nmero decimal finito
1,32, esse nmero possui seu equivalente fracionrio, ou seja, pode ser escrito como frao.
Para transformar os nmeros decimais em fraes, podemos mover a vrgula e dividir por uma
potencia de 10 satisfatria, por exemplo, ainda utilizando o nmero , observe que aps da
vrgula temos duas casas decimais.
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 14
Ento vamos mover a vrgula de forma que no fique nenhuma casa decimal, , nesse caso
devemos mov-la por duas casas decimais e dividir por 102:
, ou ainda simplificando: .
Observao: o valor da potncia de 10 dever ser igual ao nmero de casas decimais aps a
vrgula.
Transformando dzimas peridicas em fraes
Nem sempre uma frao entre dois nmeros inteiros tem como resultado um nmero decimal
exato, um exemplo a frao a essa maneira de escrever chamamos dzima
peridica, sendo essa uma representao numrica, tanto decimal quanto fracionria, onde
existe uma sequncia finita de algarismos que se repetem indefinidamente, como por exemplo
0,111111111, assim como nos nmeros racionais finitos, as dzimas peridicas tambm
podem ser dadas por meio de frao, por exemplo a dzima que utilizamos acima dada pela
frao 1/9.
Podemos classificar as dizimas peridicas em simples e compostas, conforme abaixo:
Dzimas peridicas simples: Quando o perodo aparece logo aps virgula.
Exemplos:
0,1111111 Perodo: 1
0,1212121212. Perodo: 12
Dzimas peridicas compostas: Quando existe uma parte no repetitiva entre a vrgula e a
parte peridica.
Exemplos:
0,833333. Perodo: 3 , Parte no peridica: 8
0,277777. Perodo: 7 , Parte no peridica: 2
0,98111111. Perodo: 1 , Parte no peridica: 98
Geratriz de uma dzima peridica
possvel determinar a frao (nmero racional) que deu origem a uma dzima peridica.
Denominamos esta frao de geratriz da dzima peridica.
Procedimentos para determinao da geratriz de uma dzima:
Dzima simples
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A geratriz de uma dzima simples uma frao que tem para numerador o perodo e para
denominador tantos noves quantos forem os algarismos do perodo.
Exemplos:
1. Determine a frao geratriz das dzimas peridicas abaixo
a)
No exemplo dado a parte peridica composta pelo nmero 2, que dever estar no
numerador da dzima peridica, sendo que o seu denominador ser dado pelo nmero 9,
aparecendo apenas uma vez, pois o perodo 1, ento:
b)
No exemplo acima a parte peridica composta pelo nmero 32, que dever estar no
numerador da dzima peridica, sendo que o seu denominador ser dado pelo nmero 99,
ou seja, o algarismo 9 duas vezes, pois o perodo 2, ento:
Dzima Composta:
A geratriz de uma dzima composta uma frao da forma , sendo a parte no peridica
seguida da parte peridica uma vez, menos a parte no peridica e b a mesma quantidade
de noves quantos forem os algarismos do perodo seguidos de tantos zeros quantos forem os
algarismos da parte no peridica.
2.4 Conjunto dos nmeros irracionais
Para definirmos nmeros irracionais, vamos relembrar dos nmeros racionais, temos que um
nmero racional todo nmero escrito da forma a/b, com a e b Z, assim podemos definir um
nmero irracional como sendo justamente o contrrio, ou seja, no possvel escrever um
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 16
nmero irracional da forma a/b, com a e b Z a esse conjunto representamos pela letra I. um
exemplo de nmeros irracionais so as dzimas no peridicas, Como por exemplo:
1,456846154674...
1,4142135623730950488016887242097
3,1415926535897932384626433832795... entre outros
Podemos separar os nmeros irracionais em dois grupos os algbricos e os transcendentes, os
nmeros irracionais algbricos so as razes no exatas de um nmero, como por exemplo 2,
5, 11, 113 e qualquer outra raiz inexata. J os nmeros irracionais transcendentes
complementam aqueles irracionais algbricos, sendo os exemplos mais famosos de nmeros
irracionais transcendentes, o nmero (pi), o nmero de Euler e, cujos valores aproximados
com duas decimais so respectivamente 3,14 e 2,72.
O nmero representa a razo do comprimento de qualquer circunferncia dividido pelo
dimetro da mesma circunferncia e o nmero e a base do sistema de logaritmos
neperianos.
Para identificar os nmeros irracionais, podemos adotar alguns critrios, vamos comear
definindo o que so nmeros irracionais, so nmeros racionais:
Todas as dzimas no peridicas so nmeros irracionais.
Todas as razes inexatas so nmeros irracionais.
A soma de um nmero racional com um nmero irracional sempre um nmero
irracional.
No so nmeros irracionais:
Todas as dzimas peridicas so nmeros racionais.
Todos os nmeros inteiros so racionais.
Todas as fraes ordinrias so nmeros racionais.
Casos especiais
Nesses casos devemos sempre nos atentar a cada caso, pois o resultado entre essas
operaes pode ou no ser um nmero racional:
A diferena de dois nmeros irracionais:
Exemplo: - = 0 e 0 um nmero racional. Porm, tambm temos que diferena
entre dois irracionais pode ser irracional, como: - .
O quociente de dois nmeros irracionais:
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 17
Exemplo: : = = 2 e 2 um nmero racional. Porm temos tambm:
: = que irracional.
O produto de dois nmeros irracionais pode ser um nmero racional.
Exemplo: . = =4 e 4 um nmero racional, porm podemos ter tambm
que um nmero irracional.
2.5 Conjunto dos nmeros reais
A unio do conjunto dos nmeros irracionais com o conjunto dos nmeros racionais resulta
num conjunto denominado conjunto R dos nmeros reais.
Sendo assim, todo nmero Natural, Inteiro, Racional ou Irracional considerado um nmero
real.
Propriedades da adio em R
Associativa: (x + y) + z = x + (y + z)
Comutativa: x + y = y + x
Elemento neutro: x + 0 = 0 + x = x
Simtrico Aditivo ou aposto: x + (-x) = (-x) + x = 0
Propriedades de multiplicao em R
Associativa: (x. y). z = x. (y. z) Comutativa: x. y = y. x
Elemento neutro: x. 1 = 1. x = x
Simtrico multiplicativo ou inverso: x. x-1 = x-1. x = 1.
Propriedade distributiva da multiplicao em relao adio
x. (y + z) = xy + xz.
Os nmeros reais so importantes, pois a partir dele estudamos funes, que so um dos
assuntos mais importantes da matemtica elementar.
OBS: Nem todo nmero um nmero real. Alguns nmeros que no so considerados
nmeros reais: 4 , 4 1 , 8 , 6 10 , entre outros.
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 18
Exerccios sobre conjuntos numricos
10- Preencha a tabela substituindo os espaos em branco por SIM ou No:
Nmero 8 7 -2,05 1,212212221... 6,325325... -2,333... 2
Natural?
Inteiro?
Racional?
Irracional?
Real?
11- Sendo 2a e 1b , determine o valor numrico das expresses:
a) 22 ..2 bbaay
b) 333)( babay
12- Assinale as afirmaes verdadeiras:
a) 74
b) N0
c) Q56789,0
d) R7
e) Q...14141414,3
f) R8
13- (Fuvest-SP) Calcule:
a) 6
1
10
1
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 19
b) 0,22,3
3,0.2,0
14- Dados 3n e 3 2m efetue as operaes e classifique cada afirmao em verdadeira
ou falsa:
a) mn racional.
b) mn. irracional.
c) 2m irracional.
d) 3m irracional.
15- Escreva dois nmeros racionais que estejam entre 0 e 1.
16- Escreva dois nmeros racionais que esto entre:
a) 0 e 5
3
b) 1 e 4
9
c) 4
3 e
5
1
17- Transforme os seguintes nmeros decimais em fraes:
a) 0,8
b) 1,5
c) 0,65
d) 5,36
e) 0,047
f) 0,5825
18- Determine a frao geratriz das seguintes dizimas peridicas:
a) 0,777....
b) 0,2323...
c) 0,444...
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 20
d) 0,545454...
e) 0,12525...
f) 0,04777...
19- Classifique as afirmaes abaixo em verdadeira ou falsa:
a) Todo nmero racional tem uma representao decimal finita.
b) Se a representao decimal infinita de um nmero peridica, ento esse nmero
racional.
c) Os nmeros que possuem representao decimal peridica so irracionais.
d) O produto de dois nmeros irracionais sempre um nmero irracional.
20- D cinco exemplos de nmeros que no so reais.
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 21
3. Intervalos numricos
Chamamos intervalo a um conjunto que contm cada nmero real entre dois extremos
indicados, e possivelmente os prprios extremos.
3.1 Notaes de um intervalo
Geralmente se simboliza um intervalo numrico por meio de colchetes [" e "] para indicar
que um dos extremos do intervalo parte deste intervalo e os parnteses ( e ) ou,
tambm, os colchetes invertidos ] e [" para indicar o contrrio.
Ento, considere que a e b so nmeros reais, com a b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa
o conjunto dos x R, tal que a < x b. Note que a no faz parte do intervalo.
Representao de um intervalo na reta real
Tambm podemos representar intervalo na reta real utilizando-se de uma pequena bolinha
vazia para indicar que um dos pontos extremos no pertence ao intervalo e de uma bolinha
cheia para indicar que o ponto extremo pertence.
3.2 Tipos de Intervalos
Dados a e b nmeros reais, com a b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento,
podemos definir seu intervalo como a diferena entre o extremo superior e o extremo inferior,
assim c = b a. Podemos classificar os intervalos como:
a) Intervalo Fechado de comprimento finito:
[a,b] = {x R | a x b}
b) Intervalo fechado esquerda e aberto direita de comprimento finito:
[a,b[ = [a,b) = {x R | a x < b}
c) Intervalo aberto esquerda e fechado direita de comprimento finito
(a,b] = ]a,b] = {x R | a < x b}
d) Intervalo aberto de comprimento finito:
]a,b[ = (a,b) = {x R | a < x < b}
e) Intervalo aberto direita de comprimento infinito:
]-,b[ = (-,b) = {x R | x < b}
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 22
f) Intervalo fechado direita de comprimento infinito:
]-,b] = (-,b] = {x R | x b}
g) Intervalo fechado esquerda de comprimento infinito:
[a,+) = [a,+[ = {x R | a x}
h) Intervalo aberto esquerda de comprimento infinito:
]a,+[ = (a,+) = {x R | x > a}
i) Intervalo aberto de comprimento infinito:
]-,+[ = (-,+) = R
j) Intervalo fechado de comprimento nulo:
Como o comprimento nulo e o intervalo fechado, ento a = b e esse intervalo corresponde ao
conjunto unitrio {a}, isto , a um ponto da reta real.
3.3 Unio e Interseco de Intervalos
Como intervalos so conjuntos tambm podemos realizar as operaes de unio e interseco.
Podemos represent-los atravs de sua representao grfica, acredita-se que e a maneira
mais fcil de visualizar essas operaes. Para tanto utilizaremos um exemplo numrico:
Sejam A = [-1,6] = e B = [3, 9) dois intervalos e vamos determinar A U B e A B.
A U B
Lembrando das definies de unio de conjuntos, incluir em um terceiro diagrama todos os
nmeros de ambos os intervalos, excluindo se as repeties, para tanto, iremos comparar
duas retas em um sistema nico:
Para realizar essa operao, basta fazer paralelamente as retas reais com os dados dos
intervalos, respeitando sua posio de cada valor, e uma terceira reta, tambm paralela a
essas duas, sobre a terceira reta iremos sobrepor o resultado das duas demais, assim, toda a
rea em negrito faz parte da unio das retas.
A
1 6
B
3 9
A U B
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 23
1 3 6 9
Assim sendo: A U B = [1,9)
A B
Para a interseco entre intervalos, o procedimento parecido, porm ao invs de replicarmos
na terceira reta todos os valores, iremos apenas marcar os valores que so comuns s duas
retas:
A
1 6
B
3 9
A B
1 3 6 9
Assim sendo: A B = [3, 6]
Exerccios sobre intervalos numricos
21- Represente na reta real os seguintes intervalos:
a) 0,4
b) 5,0
c) 7,3
d) 2,1
e) 5,0
f) ,8
g) 6,
h) ,10
22- Escreva os intervalos na forma de subconjuntos de R:
a) 5,0M
b) 2,3N
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 24
c) 4,1P
d) 6,1Q
e) ,7K
f) 4,O
g) ,2R
h) 5,S
23- Escreva os subconjuntos de R na notao de intervalos:
a) }1/{ xRx
b) }62/{ xRx
c) }3/{ xRx
d) }41/{ xRx
e) }42/{ xRx
f) }50/{ xRx
g) }1/{ xRx
h) }5/{ xRx
24- Escreva, usando as duas formas, os intervalos:
a) aberto de extremos -3 e 7.
b) fechado de extremos 1 e 4.
c) aberto esquerda de extremos 1 e 3.
d) aberto direita de extremos -4 e 1.
25- Sendo A o conjunto dos nmeros reais maiores que ou igual a 3 e menores que 8, escreva
esse conjunto nas duas formas possveis e represente-o na reta real.
26- Dados os intervalos 4,2A , 5,3B e 3,1C , efetue as operaes indicadas:
a) BA
b) CB
c) CA
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 25
d) CA
e) CB
f) CBA
g) CBA
h) CBA
27- Considerando os intervalos: 11,0M , 8,3N e 7,2K , efetue as seguintes
operaes:
a) NM
b) NM
c) KM
d) KM
e) KN
f) KNM
g) KNM
h) KNM
28- Dados 3,4A , 5,5B e 1,E , determine:
a) BA
b) EA
c) EB
d) EA
e) EBA
f) EBA
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 26
4. Relaes Binrias entre conjuntos
Denominamos relao ou relao binria entre dois conjuntos A e B qualquer subconjunto
de A B, ao qual chamamos produto cartesiano A por B.
Exemplo:
Sejam os conjuntos A e B:
Obtemos o produto cartesiano de A por B
A = {1,2,3}
B = {4,5,6}
Podemos obter A B tomando alguns subconjuntos deste conjunto de pares ordenados,
teremos algumas relaes de A em B:
R1 = {(1,4)}
R2 = {(1,4),(2,6)}
R3 = {(1,5),(2,6),(3,4)}
R1, R2 e R3 so relaes de A em B, pois seus elementos so pares ordenados (x, y),
com x pertencente a A e y pertencente a B.
4.1 Representao em um Diagrama
Outra maneira de representarmos uma relao binria atravs de um diagrama de flechas,
por exemplo, a relao R3 vista acima representada abaixo pelo diagrama de flechas:
A B
Em R3 = {(1,5),(2,6),(3,4)}, h trs setas partindo do conjunto A, chamado de conjunto de
partida e chegando no conjunto B, chamado de conjunto de chegada.
1
2
3
4
5
6
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 27
4.2 Representao no Plano Cartesiano
Outra maneira de representarmos uma relao binria por
meio do plano cartesiano, para isso basta localizarmos o ponto
referente ao par ordenado dado no plano cartesiano xOy.
Ainda utilizando como exemplo o R3 iremos identificar seus
pontos e marca-los no plano cartesiano, aqui a primeira
coordenada dever ser identificada no eixo horizontal, tambm
chamado de abcissas ou eixo x, e o segundo elemento do par
ordenado dever ser identificado e marcado no eixo vertical,
tambm chamado de eixo das ordenadas ou eixo y, uma vez
identificados todos os pontos, temos a representao do R3,
conforme imagem ao lado.
5. Funes
5.1 Definio
Sejam A e B dois conjuntos no vazios, denominada funo de A em B, representada por f:
A B; y = f(x), a toda e qualquer relao binria que associa a cada elemento de A, um
nico elemento de B.
De acordo com a relao entre os conjuntos podemos obter inmeras leis de formao, e
classificar as funes quanto a seu tipo de estudos. Dentre os estudos das funes temos:
funo do 1 grau, funo do 2 grau, funo exponencial, funo modular, funo
trigonomtrica, funo logartmica, funo polinomial.
Podemos representar as funes geometricamente, atravs do plano cartesiano, associando
s funes pares ordenados (x,y), que determinam conjuntos de valores pertencentes
funo.
5.2 Domnio, imagem e contra domnio
Considere um conjunto A, ao qual chamamos de conjunto de sada e um conjunto B,
denominado conjunto de chegada. Ao conjunto A (conjunto de chegada) denominamos de
Domnio. O domnio de uma funo tambm chamado de campo de definio ou campo de
existncia da funo, e representado pela letra D.
Ao conjunto B (conjunto de chegada) denominamos contradomnio. Nem todos os elementos
do contradomnio so necessariamente relacionados com algum elemento do domnio, ento,
aos elementos do contradomnio que so associados com os elementos do domnio,
denominamos imagem.
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 28
Exemplo.
Considerando o Domnio A ={1, 2, 3, 4} e Contradomnio B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},
identifique o conjunto imagem para a funo relacionada pela lei de formao f(x) = y = 2x (ou
seja, cada elemento do conjunto A deve se associar ao dobro de seu valor em B ).
Podemos resolver essa questo a partir da lei de formao da funo, demonstrando a partir
do diagrama, mas antes utilizaremos a lei de formao da funo para identificar os elementos
do conjunto imagem:
f(1) = 2 (1) = 2
f(1) = 2 (2) = 4
f(1) = 2 (3) = 6
f(1) = 2 (4) = 8
Assim sendo, o conjunto imagem dessa funo ser Im = {2, 4, 6, 8}
Representando o sistema acima por meio do diagrama, teremos:
Exerccios sobre funo
29- Sendo },0,1{A e }4,3,1{B , obtenha AXB e BXA .
30- Dados os conjuntos }6,5,3{A e }4,1{B , determine o produto cartesiano nos
seguintes casos:
1
2
3
4
1
2 3
4 5
6 7
8 9
10
2
4
6
8
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 29
a) AXB
b) BXA
31- Represente no plano cartesiano os produtos cartesianos obtidos no exerccio anterior.
32- Considere a funo 13)( xxf . Calcule:
a) )0(f
b) )2(f
c) )2(f
d) )5,0(f
e) n tal que 21)( nf
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 30
6. Funes do 1 grau
Considere a situao abaixo:
Felipe vai a um rodzio de pizzas, no qual paga o valor fixo de R$15,00 para consumao,
sendo que a cada refrigerante que ele toma paga R$ 4,00. Ao final do dia Felipe tomou 5
refrigerantes, qual ser o valor da conta do restaurante?
Bem, podemos perceber que o valor de R$15,00 dever ser pago independente da quantidade
de refrigerantes tomados, ou seja, um valor fixo, agora, a cada refrigerante tomado, Felipe
paga R$ 4,00, como ele tomou 5 refrigerantes, ele dever pagar R$ 4,00 5= R$ 20,00 mais o
valor de R$15,00, ou seja, R$ 15,00 + 20,00 = R$ 35,00
Agora, caso Felipe tomasse apenas 3 refrigerantes, pagaria quanto?
Os R$ 20,00 continuariam fixos, o que mudaria era o valor pago nos refrigerantes, ou seja, R$
4,00 5= R$ 12,00, ento o valor total da conta seria R$ 15,00 + R$ 12,00 = R$ 27,00.
Enfim, para cada nmero x de refrigerantes tomados, temos um valor diferente ao final da
conta, por isso dizemos que o preo uma funo de x, e podemos expressar essa
funo atravs da lei matemtica:
Que um caso particular de funo polinomial de 1 grau.
6.1 Definio
Definimos funo do 1 grau ou funo Afim, qualquer funo f de IR em IR definida por uma lei
matemtica da forma f(x) = ax + b, onde a e b so nmeros reais dados e a 0.
Na funo f(x) = ax + b, o nmero a chamado de coeficiente angular da varivel x e o
nmero b chamado termo constante ou coeficiente linear.
Exemplos de funo do primeiro grau:
, com
, com
, com
, com
6.2 Representao Grfica:
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 31
A representao grfica de uma funo do 1 grau uma reta oblqua em relao aos eixos
coordenados.
A reta poder ser crescente, decrescente ou paralela ao eixo , de acordo com a lei de
formao de cada funo.
Reta crescente: na reta crescente, o valor da funo diretamente proporcional ao valor da
varivel ou seja, a medida que os valores de aumentam, o valor da funo tambm
aumenta, uma funo de 1 grau tem seu grfico crescente, tem sempre o coeficiente .
Reta decrescente: na reta decrescente, o valor da funo inversamente proporcional ao valor
da varivel ou seja, a medida que os valores de aumentam, o valor da funo diminui, uma
funo de 1 grau tem seu grfico crescente, tem sempre o coeficiente .
Interseco com os eixos coordenados:
A interseco de com o eixo acontece quando ento genericamente, teremos:
Ento, temos que, o grfico de intercepta o eixo no exato valor do coeficiente linear, ou
seja, no valor de b.
6.3 Raiz de uma funo
As razes de uma funo so os valores para os quais o grfico dessa funo intercepta com o
eixo das abcissas, para que isso ocorra, o valor do eixo das ordenadas deve ser zero, ou seja,
para identificar as razes da funo, temos que ter .
Uma funo do primeiro grau admite uma nica raiz e determin-la simplesmente resolver
uma equao do primeiro grau, considerando que ou seja:
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 32
e
Exemplo: Achar a raiz da funo 12 xy
2
112012 xxx
6.4 Estudo do sinal
Estudar o sinal de qualquer funo determinar para que valores de a funo tem sinal
positivo ou negativo.
No caso da equao de primeiro grau, devemos levar em considerao o valor da raiz (como
vimos anteriormente)
Funo Crescente
y > 0 ax + b > 0 x >
y < 0 ax + b < 0 x <
Ou seja, o valor de positivo se x for maior que a raiz, e o valor de y negativo se x for
mentor que a raiz.
Funo decrescente
y > 0 ax + b > 0 x <
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 33
y < 0 ax + b < 0 x >
Ou seja, y positivo para valores de x menores que a raiz; y negativo para valores de x
maiores que a raiz.
Exemplos:
Determine os sinais da funo .
Primeiro passo determinar a raiz da funo, ou seja, ,
Ento, temos uma funo crescente (termo >0) e com raiz = -3, logo:
Soluo:
6.5 Inequaes do 1 grau
So chamadas inequaes quaisquer sentenas matemticas descritas por meio de
desigualdades, as inequaes do 1 grau so muito utilizadas para resoluo de problemas
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 34
sobre estudo de sinais das equaes do 1 grau, abaixo iremos resolver algumas atividades
que podemos aplicar ao nosso estudo.
Exemplos:
Resolva as inequaes:
O mordo de resoluo bem semelhante uma equao do primeiro grau, aqui tambm
comearemos nosso procedimento pelos parnteses:
Ento isolamos os termos que tem a incgnita , mantendo-o no 1 membro e
desenvolvemos:
6.6 Sistemas de inequaes do 1 grau
A resoluo de um sistema de inequaes pode ser feita a partir do estudo dos sinais de
uma funo para cada inequao, separadamente, seguido da determinao da
interseco dos conjuntos verdade dessas inequaes.
Exemplo: Resolva o seguinte sistema:
01
044
x
x
144044 xxx
101 xx
Calculando agora o conjunto soluo temos:
Logo 1,S
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 35
6.7 Inequao Produto
Considerando f(x) e g(x) funes de varivel x, do 1 grau, chamamos de inequao
produto uma desigualdade do tipo:
0)().( xgxf
0)().( xgxf
0)().( xgxf
0)().( xgxf
A resoluo de uma inequao produto pode ser feita com o estudo do sinal das funes,
separadamente, seguido da determinao dos sinais do produto de f(x) por g(x) e
posteriormente identificando os valores de x que satisfazem a inequao produto.
Exemplo: Resolva a inequao: 0)75).(63( xx
Primeiro fazemos o estudo do sinal de cada funo:
263063 xxx
5
775075 xxx
Fazemos o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma funo:
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 36
Logo 5
7/{ xRxS ou }2x
6.8 Inequao Quociente
Considerando f(x) e g(x) funes de varivel x, do 1 grau, chamamos de inequao
produto uma desigualdade do tipo:
0)(
)(
xg
xf
0)(
)(
xg
xf
0)(
)(
xg
xf
0)(
)(
xg
xf
Na resoluo de uma inequao quociente o denominador deve ser diferente de zero e a
regra de sinais a mesma tanto para produto como para diviso no conjunto dos nmeros
reais.
Exemplo: Resolva a seguinte inequao: 012
1
x
x.
Primeiro fazemos o estudo do sinal de cada funo:
101 xx
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 37
2
112012 xxx
Fazemos o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma funo:
Logo }5,01/ xRxS
Exerccios sobre funo do 1 grau
33- O permetro P de um quadrado funo linear da medida l de seu lado. Qual a sentena
que define essa funo?
34- Para produzir certo produto, uma empresa tem um custo fixo de R$ 1200,00. Alm disso,
cada unidade produzida desse produto custa R$ 5,00.
a) Represente o custo C, de x unidades desse produto, como uma funo de x.
b) Quantas unidades do produto sero fabricadas em determinado ms, se o custo for de R$
18900,00?
35- Em certa cidade se paga pelo servio de txi, em dia til das 6h s 20h, o valor de R$ 3,20
pela bandeirada mais R$ 1,02 por quilmetro rodado.
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 38
a) Escreva a lei da funo que expressa o preo P a pagar em funo do quilmetro rodado x.
b) Calcule quantos quilmetros o txi percorreu se foram pagos R$ 13,20 pelo servio.
36- Represente no plano cartesiano as seguintes funes do 1 grau:
a) 32 xy
b) xy 3
c) 22 xy
d) 2
xy
37- Classifique as funes do exerccio anterior em crescente, decrescente ou constante.
Justifique suas respostas.
38- Determine o zero das seguintes funes:
a) 62 xy
b) 123)( xxf
c) xy 2
d) 4
1
2)(
xxf
e) 5
8
2
3
xy
39- Sendo 25)( xxf , determine:
a) )4(f
b) o zero da funo
40- Estude o sinal das seguintes funes:
a) 204)( xxf
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 39
b) 32 xy
c) 92
)( x
xf
d) xy 104
e) 4
1
2
3
xy
41- Seja kxkxf 3)1()( . Determine k, de modo que a funo seja crescente.
42- Estude os sinais da funo em cada caso:
a) xxxf 75)2.(3)(
b) xxxxxf 4)2).(1()( 2
43- D o conjunto soluo das inequaes:
a) 862 x
b) 0182 x
c) 206010 x
d) 055 x
e) 27
4
2
x
f) 16
7
3
x
44- Resolva a inequao 2)2()1.(23 xxxx .
45- Resolva os seguintes sistemas de inequaes do 1 grau:
a)
03
512
x
x
b)
05,0
712
x
x
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 40
c)
042
134
x
xx
d)
01
124
x
xx
46- Resolva: 451 xx .
47- Calcule a soma dos nmeros inteiros x que satisfazem xxx 4312 .
48- Resolva as inequaes produto:
a) 0)2).(1( xx
b) 0)1).(24( xx
c) 0)5).(33( xx
d) 0)105).(12( xx
e) 0)3( 2 x
49- Resolva a inequao 0)2).(3).(2( xxx .
50- Resolva as seguintes inequaes quociente:
a) 01
x
x
b) 02
3
x
x
c) 02
12
x
x
d) 05
4
x
x
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 41
7. Funo do 2 Grau
Definimos funo do 2 grau ou funo quadrtica, qualquer funo f de IR em IR definida por
uma lei matemtica da forma f(x) = ax + bx+c, onde a, b e c so nmeros reais dados e a 0.
Exemplos de funes quadrticas:
;
;
;
7.1 Grfico
A representao geomtrica de uma funo do 2 grau dada por uma parbola,
que tem sua concavidade voltada para cima ou para baixo.
Construo da Par
Razes de uma funo do 2 grau
Uma funo do 2 grau pode interceptar o eixo x em at dois pontos, ento assim como a
uno de 1 grau, devemos ter e desenvolver os valores das razes reais a partir do
clculo do discriminante, representado pela letra grega
.
Clculo das razes de uma funo do segundo grau:
O nmero de razes de uma funo do 2 grau depende diretamente do valor do discriminante
> 0, a equao possui duas razes reais e diferentes. A parbola intercepta o eixo x em dois
pontos distintos.
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 42
= 0, a equao possui apenas uma raiz real. A parbola intercepta o eixo x em um nico
ponto.
< 0, a equao no possui razes reais. A parbola no intercepta o eixo x.
7.2 O vrtice da parbola
Chamamos vrtice V de uma parbola os pontos de maior valor em uma parbola com
concavidade voltada para baixo, ou o ponto de menor valor de uma parbola com concavidade
voltada para cima. O ponto V pode tem as coordenadas .
Construo da Parbola:
Para construirmos uma parbola, utilizaremos as informaes obtidas nos passos anteriores,
como suas razes, concavidade e o ponto do vrtice, essa forma de construir grficos
denominada construo atravs dos pontos notveis. Veja o exemplo abaixo:
Construa o grfico da funo
Concavidade: a=1>0, concavidade voltada para cima.
Razes:
As razes da funo so: x = -1 e x = 2
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 43
Agora vamos calcular o valor do vrtice:
Agora, tendo todos esses pontos notveis, basta marc-los no grfico e a partir deles desenhar
a parbola.
7.3 Estudo da Variao do Sinal
Assim como na funo do 1 grau, para realizarmos o estudo da variao do sinal de uma
funo quadrtica precisamos conhecer as suas razes e tambm se a parbola tem a sua
concavidade voltada para cima ou para baixo.
Como vimos no incio de nossos estudos sobre funes do 2 grau, a concavidade da parbola
ser voltada para cima ou para baixo est associada ao coeficiente a. Para realizar o estudo do
sinal dessa funo temos seis possibilidades:
Funo com Duas Razes Reais e Concavidade Voltada para Cima
Funes com duas razes reais: como vimos acima, se
ento vamos estudar o sinal se a > 0 e a < 0:
Funes com uma raiz real: sabemos tambm que, se
real, ento vamos estudar o sinal se a > 0 e a < 0:
Para a > 0:
y > 0 (x < x1 ou x > x2)
y < 0 x1 < x < x2
Para a < 0:
y > 0 x1 < x < x2
y < 0 (x < x1 ou x > x2)
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 44
Funes com nenhuma raiz real: sabemos tambm que, se no possui razes
reais, ento vamos estudar o sinal se a > 0 e a < 0:
7.4 Inequao do segundo grau
As inequaes do 2 grau so resolvidas de forma similar equao do 2 grau. Porm aqui o
resultado no so valores, mas sim intervalos para os quais a funo assume valores maiores,
menores ou iguais a zero, assim sendo, vejamos um exemplo para fixao.
Exemplo
1. Resolva a inequao
Para a > 0:
Para a < 0:
Para a > 0:
Para a < 0:
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 45
Resoluo:
Podemos resolver uma inequao do segundo grau, semelhantemente uma equao
do mesmo tipo, ento, vamos resolver inicialmente a equao:
, pelo mtodo resolutivo:
e
Para visualizarmos o sinal da inequao, podemos esboar parcialmente o grfico,
anotando suas razes e verificando, conforme seu comportamento, para que intervalo a
funo assume valores maiores ou menores que zero.
Fica fcil observar que, os valores de x subentendidos entre as razes tem sua imagem menor
que zero, ento:
, assim sendo:
Soluo:
Exerccios sobre funo do 2 grau
51- Sendo 373)( 2 xxxf , calcule:
a) )0(f
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 46
b) )1(f
c) )4(f
d) )2(f
52- Dadas as funes reais 16)( 2 xxf e 142)( 2 xxxg , calcule:
a) )0(f
b) )0(g
c) )1(f
d) )1(g
e)
2
1)1( gf
53- Um atleta arremessa um dardo em um campo plano de tal forma que a altura h que o dardo
alcana em cada instante expressa pela funo ttth 8)( 2 , em que h a medida
em metros e t em segundos. Aps quanto tempo o dardo atingir o solo?
54- Determine k de modo que o grfico da funo dada por 15)( 2 kxxxf passe pelo
ponto (-1,2).
55- Determine o mximo ou o mnimo das seguintes funes quadrticas:
a) xxy 2
b) xxy 126 2
c) 30020 2 xy
d) 342 xxy
e) 10122 xxy
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 47
f) 2)5( xy
56- Construa o grfico das funes:
a) 2)( xxf
b) 2)( xxf
c) 4)( 2 xxf
d) 2xy
e) 1)( 2 xxf
57- Dada a funo 1272 xxy , determine:
a) O vrtice V.
b) As razes.
c) O corte no eixo y.
d) O esboo do grfico.
58- Determine para quais valores de p as funes tm como grfico uma parbola com
concavidade voltada para cima:
a) 65)3()( 2 xxpxf
b) 6)34()( 2 xpxf
c) 4)26()( 2 xpxf
59- Um corpo lanado do solo e a lei que expressa esse movimento dada por:
2880)( sssh (h e s em cm). Determine a altura mxima atingida e o alcance
horizontal.
60- (VUNESP) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posio no espao descrita
em funo do tempo (em segundos) pela expresso: 233)( ttth , onde h a altura
atingida em metros.
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 48
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo?
b) Qual a altura mxima em metros atingida pelo grilo?
61- Em um experimento com certo tipo de moscas verificou-se que, em determinadas
condies, o crescimento do nmero de moscas uma funo do tempo dada por
80168)( 2 tttn . Qual era a populao inicial de moscas? At que instante a
populao de moscas cresceu?
62- Um empresrio determinou que o custo de certo produto de sua empresa funo do
nmero de unidades produzidas desse produto. Essa funo definida por
21002510 nnC , em que n o nmero de unidades produzidas e C o custo. Qual
deve ser o nmero de unidades produzidas para que o custo seja mnimo?
63- Determine os zeros das funes:
a) 363)( 2 xxxf
b) xxxf 126)( 2
c) 205)( 2 xxf
d) 523)( 2 xxxf
e) 16)( 2 xxf
64- Considere a funo real 65)( 2 xpxxf . Determine p para que 3 seja zero da
funo.
65- Faa o estudo do sinal das funes:
a) 352)( 2 xxxf
b) xxxf 2)( 2
c) 9103 2 xxy
d) 2)( 2 xxxf
e) 96)( 2 xxxf
f) 735 2 xxy
g) 332 xxy
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 49
66- Para que valores de x tm-se y > 0?
a) 962 xxy
b) 134 2 xxy
c) 102 xxy
67- Resolva as inequaes do 2 grau:
a) 0452 xx
b) 0542 2 xx
c) 06148 2 xx
d) 062 xx
e) 01582 xx
68- Para quais valores reais de x tm-se:
a) 025102 xx
b) 0132 2 xx
c) 0)3).(2( xx
d) 0)4).(4( xx
e) 0)7.( xx
69- (PUCCAMP-SP) No Conjunto R, qual o conjunto verdade de 01522 xx ?
70- Sendo 64)(2 xxxf , correto afirmar que:
a) A funo admite dois zeros reais e distintos.
b) A funo positiva para x maior que 1000.
c) A funo positiva somente para x no intervalo 6,1 .
d) A funo negativa para qualquer valor real.
e) A funo negativa somente para x no intervalo 6,1 .
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 50
8. Funes Exponenciais
Para entendermos os conceitos de funes exponenciais, vamos falar primeiramente de
equaes exponenciais, seu entendimento primordial para entender o conceito de funes
aplicados a esse campo.
8.1 Equaes exponenciais
Equaes exponenciais so aquelas cujas incgnitas so potencias de um determinado
nmero a , ou seja:
xa b
Para resolvermos uma equao exponencial podemos fatorar o termo independente da
equao para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes so iguais.
Assim sendo, teremos que nb a , como xa b , ento, consequentemente:
( 1 e 0)x na a m n a a
Observe a resoluo da equao exponencial a seguir.
Exemplo
1. Resolva as equaes exponenciais abaixo:
a) 2 256x
Resoluo:
Fatorando 256, temos que: 256 = 28, logo:
82 256 2 2 8x x x
b) 13 27x
Resoluo:
Fatorando 27, temos que: 27 = 33, logo:
1 1 33 27 3 3 1 3 2x x x x
Para se resolver a inequao exponencial procedemos da mesma forma que a
equao: igualar as bases, e resolver a inequao com os expoentes, porm
necessrio se atentar com o valor da base.
8.2 Inequaes exponenciais
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 51
Inequao para 0 < a < 1
Observe que quando a base est entre 0 e 1, conforme aumentam-se os expoentes,
aumentam-se os valores, conforme abaixo:
1 2 3 4 2 , 2 , 2 , 2 ... respectivamente igual a 2, 4, 8, 16...
Ento, ou seja, x na a x n , mantm-se o sinal da desigualdade.
Inequao para a < 1
Observe que quando a base maior que 1, conforme aumentam-se os expoentes,
diminuem-se os valores, conforme abaixo:
1 2 3 41 1 1 1
, , , ... 2 2 2 2
respectivamente igual a
0,5 , 0,25 , 0,125, 0,0625...
Ento:
Se a
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 52
71- Resolva as seguintes equaes exponenciais:
a) 25625 x
b) 644 x
c) 3
19 x
d) 33 232 x
e) 55 x
f) 125 2 x
g) 33 232 x
h)
32
1
2
1x
i) 2
145 x
j) 2733 5 x
72- Resolva 01,010 34 x .
73- Determine o conjunto verdade das seguintes equaes exponenciais:
a) 0224 xx
b) 082.622 xx
c) 015.252 xx
d) 033.49 xx
e) 1255.3025 xx
f) 01010.11100 xx
74- Para que valores de x tm-se a igualdade: 273.1232 xx ?
75- Determine os valores reais de x de tal forma que:
52
44
x
x
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 53
76- Resolva as inequaes em R:
a) 273 x
b) 162 x
c) 9
1
3
1
x
d) 12
42
2
12
x
x
e)
101
5
2
5
2
x
f) 13
213
x
g)
412
3
1
3
1
xx
h) xx 10)001,0( 24
i) 2
81
127
xx
77- Para que valores reais de x so vlidas as desigualdades?
a) 648 x
b) 34349 1 x
c) 25
1
5
13
x
d) 16
1
4
1
x
e)
13
2
1
4
1
xx
78- Resolva 16
48.2
xx .
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 54
8.3 Grfico da funo exponencial
Definimos funo exponencial, qualquer funo f de em definida por uma lei matemtica
da forma ( ) xf x a com * e 1a .
Supondo que no existissem essas restries, teramos:
Para a = 1, a funo ( ) 1xf x seria equivalente a ( ) 1f x , que no uma funo
exponencial, mas sim uma funo constante.
Para a = 0, teramos ( ) 0xf x que admite 0(0) 0f que uma indeterminao matemtica.
Para a < 0, teramos que a = -b (ou seja, a um nmero negativo) e. ( ) ( )xf x b , a funo
admite
1
21
( )2
f b b . E como sabemos no existe raiz quadrada (ou par) de
nmeros negativos.
Para construo do grfico de uma funo exponencial vamos atribuir alguns valores a x, e a
partir desse valor, encontrar f(x), identificar esses pontos no plano cartesiano e traar a curva.
Exemplo:
Para a representao grfica da funo ( ) 2xf x vamos atribuir os seguintes valores a x: -4, -
2, -1, 0, 1, e 2.
Montando a tabela temos:
x y = 2x
-6 y = 2-4
= 0,625
-3 y = 2-2
= 0,25
-1 y = 2-1
= 0,5
0 y = 20 = 1
1 y = 21 = 2
2 y = 22 = 4
Preenchemos esses valores no plano cartesiano e traamos o grfico, assim teremos:
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 55
8.4 Crescimento e Decrescimento
Podemos classificar a funo exponencial quanto ao crescimento e decrescimento, uma funo
exponencial crescente ou decrescente, diferente da funo quadrtica que assume ambos
comportamentos em uma mesma funo, nas funes exponenciais, o comportamento
depende diretamente do valor de sua base.
Funo Exponencial Crescente
Se a funo exponencial crescente, ou seja, conforme x aumenta o valor de f(x)
tambm aumenta.
Exemplo: Grfico de f(x) = 2x
Funo Exponencial Decrescente
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 56
Se a funo exponencial decrescente, ou seja, conforme x aumenta, o valor de
f(x) diminui.
Exemplo: Grfico de f(x) = 0,5x
Exerccios sobre funo exponencial
79- Esboce o grfico e identifique como crescente ou decrescente as funes exponenciais:
a)
x
y
3
1
b) xy 3
c) xy 23
d) 12 xy
e) xy 22
f)
3
2
1
x
y
g) xy 5
80- (Fuvest-SP) Sejam
x
xf
3
2)( e
x
xg
5
1)( , usando o mesmo par de eixos, esboce
os grficos de f(x) e g(x).
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 57
81- Resolva graficamente o sistema de equaes:
xy
yx
2
6
82- Esboce num mesmo plano cartesiano, os grficos das funes xxf 2)( e 3)( xxf
e verifique quantas solues tem a equao 32 xx .
83- Uma funo f dada por xaxf )( tal que seu grfico passa pelo ponto (1,3). Determine
o valor de a.
84- Para fazer uma experincia, um bilogo colocou 200 bactrias em um meio propcio ao seu
desenvolvimento, e observou que a cada hora o nmero de bactrias dobrava. Escreva a
sentena que define o nmero de bactrias N em funo do tempo t em horas.
85- Asclpio deposita R$ 500,00 na caderneta de poupana e, mensalmente, so creditados
juros de 2% sobre o saldo. Sabendo que a frmula do montante (capital + rendimento),
aps x meses, xxM )02,1.(500)( , calcule:
a) o montante aps um ano.
b) o rendimento no primeiro ano.
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 58
9. Logaritmos
9.1 Definio
Logaritmo um tpico da matemtica que depende diretamente do conhecimento sobre
potenciao e suas propriedades, afinal o logaritmo, basicamente um expoente.
a x = b x = loga b
Onde:
a a base, a *
, a 1
b logaritmando, b *
, b 0
x o valor do logaritmo
Obs: Sempre que o logaritmo no estiver indicando base, utilizamos a base 10, ou seja: log a =
log10 a.
Exemplos:
1. Resolva os seguintes logaritmos.
a) log28
Soluo:
log28 = 3, pois 23 = 8
b) log327
Soluo:
log327 = 3, pois 3 = 27
c) log10100
Soluo:
log10100 = 2, pois 10 = 100
9.2 Condies de existncia
A base a de um logaritmo no pode ser negativa, no pode ser igual a zero nem igual a um.
O logaritmando b no pode ser negativo e nem igual a zero.
9.3 Sistemas de logaritmos
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 59
Chama-se sistema de logaritmos de base a ( )01 a , o conjunto dos logaritmos de todos os
nmeros reais positivos na base a.
Dois sistemas de logaritmos destacam-se pelo seu importante papel no campo das Cincias,
so eles: sistema de logaritmos decimais e sistema de logaritmos neperianos. No nosso estudo
veremos o sistema de logaritmos decimais.
Sistema de logaritmos decimais
um sistema de logaritmos no qual se adota a base 10, o que vem simplificar clculos no
campo da Matemtica. Para esse sistema de logaritmos, na notao, iremos omitir a base.
Exemplo: 2loglog 210
9.4 Propriedades dos logaritmos
Assim como as demais operaes matemticas os logaritmos possuem propriedades que
facilitam sua utilizao, bem como a realizao de operaes.
1 propriedade - Logaritmo de 1 em qualquer base a 0.
loga1 = 0
loga1 = x
ax = 1 (a
0 = 1)
x = 0
Exemplo:
Log21 = 0, pois 20 = 1
2 propriedade - O logaritmo da base, qualquer que seja a base, ser 1.
logaa = 1
logaa = x
ax = a
x = 1
Exemplo:
Log22 = 1, pois 21 = 2
3 propriedade - O logaritmo de uma potncia de base a igual ao expoente m.
logaam = m
logaam = x
ax = a
m
x = m
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 60
Exemplo:
Log2(22) = 2, pois 2
2 = 4
4 propriedade - Se dois logaritmos em uma mesma base so iguais, ento os logaritmandos
tambm so iguais.
logab = logac
logab = x ax = b
logac = x ax = c
b = c
Exemplo:
Log22 = log2c c = 4
5 propriedade - A potncia de base a e expoente logab igual a b.
alog
ab= b
logab = x
ax = b
Exemplo:
2log
24= 4, pois log24=2 e 2
2=4.
6 Propriedade - Logaritmo do produto a soma dos logaritmos.
logc (a . b) = logc a + logc b, sendo a > 0 e b > 0.
Exemplo:
log2 (2 . 3) = log2 2 + log2 3
7 Propriedade - Logaritmo da diviso a subtrao dos logaritmos
logc (a/ b) = logc a - logc b, sendo a > 0 e b > 0.
Exemplo:
log2 (2 / 3) = log2 2 - log2 3
8 Propriedade - Inverso de logaritmos
Exemplo:
9 Propriedade - Mudana de bases de um logaritmo
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 61
Podemos representar um logaritmo de base b como um logaritmo de base a, para isso,
utilizamos o procedimento de mudana de base:
Exemplo:
Sabemos que log216 = 4, resolva, utilizando o algoritmo de mudana de base log416
Soluo:
Utilizando o procedimento de mudana de bases, temos que:
=
9.5 Mudana de Base
Nos casos em que o logaritmo apresentar uma base que no convm, esta poder ser
substituda por outra.
Considerando-se o logaritmo de um nmero real e positivo a, numa base b real, positiva e
diferente de 1, faremos a mudana para uma base c, real, positiva e diferente de 1:
Exemplos:
Mudar para base 2 o logaritmo 5
4log :
2
log
log
loglog
5
2
4
2
5
25
4
9.6 Equaes logartmicas
So aquelas que apresentam a incgnita no logaritmando ou na base do logaritmo.
Exemplos: 12log)3log()2log( xx
1loglog 228 xx
Em geral, para resolvermos uma equao logartmica aplicamos a definio, a propriedade ou
a mudana de base de logaritmos.
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 62
Exemplo: Resolva a equao 2log 6 xx .
C.E: 06 x 01 x
}3{
3
2
25
06
6
2
1
2
2
S
x
x
xx
xx
Exerccios sobre logaritmos
86- Determine, pela definio, o valor de:
a) 1
5log
b) 625
5log
c) 25
5
1log
d) 27
3log
e) 008,0
2,0log
f) 2
512log
g) 04,0
2,0log
h) 1000
1,0log
87- Determine o valor de x em cada um dos casos:
a) 3log8 x
b) 5log2x
c) 4log 00016,0 x
d) 2log 5,0 x
88- Se x1,0log , calcule o valor de 2x .
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 63
89- Calcule o valor da soma 1
8
33
3
001,0
10 logloglog S .
90- Obtenha o valor de cada expresso a seguir:
a) 9
9
9
3 loglog
b) 2,0
5
2
2
1 log.2loglog
91- O logaritmo de um nmero na base 8 3
5. Qual esse nmero?
92- Determine x para que exista:
a) 12
3log x
b) 72
2log
x
x
93- Dados os valores 30,02log , 47,03log , 69,05log e 84,07log , determine o
valor de:
a) 12log
b) 49log
c) 108log
d) 120log
e) 200log
f) 75log
g) 23log
h) 03,0log
i) 8,4log
j) 5,7log
k) 5,10log
94- Sabendo que 4log ab , 1log c
b , encontre o valor de:
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 64
a) ca
b
.log
b)
c
a
blog
c) 2.log cab
95- Sendo 5
3loga e 2
3logb , calcule os logaritmos a seguir em funo de a e b:
a) 10
3log
b) 53
3log
96- Resolva as equaes:
a) 3log 32 x
b) 1log52log xx
c) 12loglog2
44 xx
d) xxx 6log)4log()4log(
e) 1loglog 112 x
a
x
97- Resolva a equao 3log1 )21(2 x
.
98- Sendo 30,02log ; 47,03log e 69,05log , calcule:
a) 50
2log
b) 4
6log
c) 45
3log
d) 2
9log
e) 6
2log
f) 600
8log
99- Considerando 69,05log e 47,03log , qual o logaritmo de 5 na base 3?
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 65
100- Calcule 4
8log .
101- Dados 3010,0log 210 e 4306,1log10
5 calcule o valor de 2
5log .
102- Se xa 3log , ento 2
9loga
igual a:
a) 22x
b) 2x
c) 2x
d) x2
e) x
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 66
9.7 Funes Logartmicas
Denominamos funo logartmica de base a toda funo definida pela lei de formao f(x) =
logax, com a > 0 e a 1. De maneira que seu domnio representado pelo conjunto dos
nmeros reais maiores que zero e o contradomnio, o conjunto dos reais.
Para construo do grfico de uma funo exponencial vamos atribuir alguns valores a x, e a
partir desse valor, encontrar f(x), identificar esses pontos no plano cartesiano e traar a curva.
Exemplo:
Para a representao grfica da funo ( ) 2xf x vamos atribuir os seguintes valores a x: -4, -
2, -1, 0, 1, e 2.
Montando a tabela temos:
x y = logx
1 y = log (1) = 0
2 y = log (2) =0,30103
3 y = log (3) =0,477121
4 y = log (4) =0,60206
5 y = log (5) =0,69897
Preenchemos esses valores no plano cartesiano e traamos o grfico, assim teremos:
9.8 Crescimento e Decrescimento de uma funo logartmica
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 67
Assim como fizemos com as funes exponenciais, podemos classificar a funo logaritmica
quanto ao crescimento e decrescimento, em uma funo decrescente o comportamento
depende diretamente do valor de sua base.
Se a funo exponencial crescente, ou seja, conforme x aumenta o valor de f(x)
tambm aumenta.
Exemplo: Grfico de f(x) = log2 x
Funo Logartmica Decrescente
Se a funo logartmica decrescente, ou seja, conforme x aumenta, o valor de
f(x) diminui.
Exemplo: Grfico de f(x) = log0,5 x
Exerccios sobre funo logartmica
103- Esboce o grfico das seguintes funes:
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 68
a) xy 3log
b) xy 4log
c) xy 1,0log
d) 1
5,0log xy
104- Esboce o grfico cartesiano das seguintes funes:
a) 1
3log xy
b) 1
2log xy
105- Construa num mesmo sistema de eixos os grficos de xxf 2)( e xxg 2log)( .
106- D o domnio e o conjunto imagem das seguintes funes:
a) xy 3log
b) 63log xxy
c) 1
2log xy
d) 4log xy
e) 164
3
2
log x
xy
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 69
Exerccios de vestibulares
Questo 1
(Enem-MEC) Nas ltimas eleies presidenciais de um determinado pas, onde 9% dos
eleitores votaram em branco e 11% anularam o voto, o vencedor obteve 51% dos votos
vlidos. No so considerados vlidos os votos em branco e nulos.
Pode-se afirmar que o vencedor, de fato, obteve de todos os eleitores um percentual de votos
da ordem de:
a) 38%
b) 41%
c) 44%
d) 47%
e) 50%
Questo 2
(Enem-MEC) Um fabricante de cosmticos decide produzir trs diferentes catlogos de seus
produtos, visando a pblicos distintos. Como alguns produtos estaro presentes em mais de
um catlogo e ocupam uma pgina inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os
gastos com originais de impresso. Os catlogos C1, C2 e C3 tero, respectivamente, 50, 45 e
40 pginas.
Comparando os projetos de cada catlogo, ele verifica que C1 e C2 tero 10 pginas em
comum; C1 e C3 tero 6 pginas em comum; C2 e C3 tero 5 pginas em comum, das quais 4
tambm estaro em C1.
Efetuando os clculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos trs
catlogos, necessitar de um total de originais de impresso igual a:
a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 70
Questo 3
(ITA-SP) Considere as seguintes afirmaes sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}:
Pode-se dizer, ento, que (so) verdadeira(s):
a) Apenas I e III.
b) Apenas II e IV.
c) Apenas II e III.
d) Apenas IV.
e) Todas as afirmaes.
Questo 4
(PUC-PR) Uma Universidade est oferecendo trs cursos de extenso para a comunidade
externa com a finalidade de melhorar o condicionamento fsico de pessoas adultas, sendo eles:
Curso A: Natao.
Curso B: Alongamento.
Curso C: Voleibol.
As inscries nos cursos se deram de acordo com a tabela seguinte:
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 71
Analise as afirmativas seguintes com base nos dados apresentados na tabela.
I. 33 pessoas se inscreveram em pelo menos dois cursos.
II. 52 pessoas no se inscreveram no curso A.
III. 48 pessoas se inscreveram no curso B.
IV. O total de inscritos nos cursos foi de 88 pessoas.
A alternativa que contm todas as afirmativas corretas :
a) I e II.
b) I e III.
c) III e IV.
d) I, II e III.
e) II, III e IV.
Questo 5
Questo 6
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 72
(UFF-RJ) Observe a imagem:
O histrico desempenho dos atletas brasileiros no PAN-2007 (54 de ouro, 40 de prata e 67 de
bronze, total de 161 medalhas) superou os objetivos traados pelo Comit Olmpico Brasileiro
(COB). Embora tenha superado Cuba (59 de ouro, 35 de prata e 41 de bronze, total de 135
medalhas) no total de medalhas, o Brasil terminou os Jogos em terceiro lugar no quadro, atrs
de Cuba (segundo) e Estados Unidos (primeiro lugar, com 237 medalhas).
Adaptado de:
.
No satisfeita com o terceiro lugar do Brasil na competio, uma professora de matemtica
sugeriu que a classificao geral deveria ser feita pelo total de pontos obtido por cada equipe
segundo o seguinte critrio: cada medalha de bronze valeria 1 ponto, a medalha de prata q
pontos e a medalha de ouro q2 pontos, sendo q, obviamente, maior que 1. Considere ento B o
conjunto que contm todos valores reais possveis de q tal que, segundo o critrio da
professora, o Brasil ficaria na frente de Cuba no PAN-2007. Assim sendo, pode-se afirmar que:
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 73
Questo 7
(UFU-MG) Sejam A, B e C conjuntos de nmeros inteiros, tais que A tem 8 elementos, B tem 4
elementos, C tem 7 elementos e A B C tem 16 elementos. Ento, o nmero mximo de
elementos que o conjunto D = (A B) (B C) pode ter igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
Questo 8
Ento:
a) apenas I verdadeira.
b) apenas III verdadeira.
c) apenas I e III so verdadeiras.
d) apenas IV verdadeira.
e) todas as afirmaes so falsas.
Obs.: denota o conjunto dos nmeros irracionais.
Questo 9
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 74
Entre os conjuntos de nmeros naturais a seguir, encontre os pares de conjuntos iguais:
A = conjunto dos pares mltiplos de 3
B = conjunto dos pares mltiplos de 5
C = conjunto dos mltiplos de 6
D = conjunto dos mpares mltiplos de 3
E = conjunto dos mltiplos de 10
F = conjunto dos que so mltiplos de 3, mas no de 6
Questo 10
Escreva a frao geratriz do decimal 4,3252525...
Questo 11
Numa pesquisa realizada por tcnicos da ONG GUALIMPA, foram coletadas amostras do
lago XOROR.
Das 340 amostras coletadas, verificou-se que:
100 apresentaram a bactria A;
150 apresentaram a bactria B;
120 apresentaram a bactria C;
40 apresentaram as bactrias A e B;
25 apresentaram as bactrias A e C;
30 apresentaram as bactrias B e C;
55 no apresentaram nenhuma das trs bactrias.
Determine:
a) Quantas amostras apresentaram as 3 bactrias.
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 75
b) Quantas amostras apresentaram pelo menos 2 bactrias.
Questo 12
Represente os seguintes intervalos:
a) [1,1]
b) [0, 1)
c) ( , 2]
Questo 13
Se um conjunto A tem 3 elementos e B tem 4 elementos, quantos elementos pode ter a unio
entre A e B?
Questo 14
a) 12
b) 17
c) 20
d) 22
e) 24
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 76
Questo 15
(PUC-PR) Observe a charge abaixo:
Joo Xavier/Arquivo da editora
Observando a charge e considerando N = {0, 1, 2, 3, ...} o conjunto dos nmeros naturais,
analise as seguintes afirmaes:
I) Para qualquer nmero natural escolhido, a resposta da moa sempre estar correta.
II) Existe um nico nmero natural que no satisfaz a resposta da moa.
III) Existem dois nmeros naturais que no satisfazem a resposta da moa.
Ento, pode-se concluir que:
a) Somente uma afirmao verdadeira.
b) As afirmaes I e III so verdadeiras.
c) As afirmaes II e III so verdadeiras.
d) As afirmaes I e II so verdadeiras.
e) As afirmaes I, II e III so FALSAS.
Questo 16
A planta de uma casa foi desenhada numa escala em que cada 5cm representam 1m.
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 77
a) Qual foi a escala utilizada?
b) Se a planta mede 50 cm 40 cm, quais as medidas do terreno ocupado pela casa?
Questo 17
Ana uma vendedora que recebe um salrio fixo de R$ 500,00 e mais comisses de 10%
sobre o que vende.
a) Complete a tabela para calcular o pagamento dela em funo das vendas.
b) Escreva a funo afim que representa o ganho dela em funo da venda e responda: quanto
ela ganhar se vender R$ 17.000,00? Quanto ela deve vender se quiser ganhar no mnimo R$
3.000,00?
Questo 18
Dada a funo f(x) = 2x + 5, calcule os valores de x para os quais:
a) f(x) = 1
b) f(x) = 0
c) f(x) = 5
d) f(x) = 5
Questo 19
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 78
Dado os grficos, escreva a equao da funo afim.
Questo 20
Desenhe o grfico e estude o sinal da funo f(x) = 3x + 6.
Questo 21
(ESPM-SP) Considere as funes reais f(x) = (1/2)x ; g(x) = x
2 2x e h(x) = f[g(x)]. O conjunto
imagem da funo h(x) dado pelo intervalo:
a) ]0; 2]
b) ] ; 2]
c) ]; 2]
d) [2; +[
e) [2; 2]
-
MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 79
Questo 22
(FGV-SP) O valor da expresso para x = 1,3 :
a) 2
b) 2
c) 2,6
d) 1,3
e) 1,3
Questo 23
(FGV-SP) Seja a funo f(x) = x2. O valor de f(m + n) f(m n) :
a) 2m2 + 2n
2
b) 2n2
c) 4mn
d) 2m2
e) 0
Questo 24
(PUC-Camp-SP) O grfico abaixo mostra o comportamento das exportaes de algodo em
pluma no Brasil, no perodo de 1990 a 2001. A partir desse grfico conclui-se corretamente que
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 80
a exportao de algodo em pluma no Brasil:
a) foi crescente no perodo de 1994 a 2001.
b) foi decrescente na dcada de 1990 a 2000.
c) teve seu mximo no perodo de 1996 a 1998.
d) ultrapassou o total de 60 000 toneladas no perodo de 1994 a 1996.
e) no ultrapassou a marca anual de 100 000 toneladas no perodo de 1992 a 2000.
Questo 25
(PUC-MG) O domnio da funo real f (x) = o intervalo [a,b]. O valor de a + b
igual a:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 5
Questo 26
(Unesp-SP) Seja TC a temperatura em graus Celsius e TF a mesma temperatura em graus
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 81
Fahrenheit. Essas duas escalas de temperatura esto relacionadas pela equao:
9TC = 5TF 160
Considere agora TK a mesma temperatura na escala Kelvin. As escalas Kelvin e Celsius esto
relacionadas pela equao:
TK = TC + 273
A equao que relaciona as escalas Fahrenheit e Kelvin :
Questo 27
A regra a seguir fornece a altura h percorrida por um objeto que cai ao ser abandonado do alto
de um prdio.
h(t) = 5 t2 (h em metros, t em segundos)
Responda:
a) Qual a varivel dependente?
b) Qual a varivel independente?
c) Construa uma tabela que mostre a altura percorrida nos primeiros 5s.
d) Se a altura do prdio 80m, para que valores de t essa regra pode ser usada?
e) O que acontece para valores de t fora dos limites que voc calculou?
Questo 28
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 82
Qual o valor inicial da funo f(x) = 3x + 1?
Questo 29
Resolva a seguinte inequao produto (x1) (3x) (2x+4) > 0.
Questo 30
Sem fazer o grfico, estude o sinal das seguintes funes:
a) f(x) = 5x
b) f(x) = 2x + 3
Questo 31
Um comerciante tem um lucro de R$ 500,00 quando vende 30 aparelhos e de R$ 300,00
quando vende 20. Sabendo que o lucro em funo do nmero de aparelhos vendidos uma
funo afim, qual o menor nmero de aparelhos que ele deve vender para no ter prejuzo?
Questo 32
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 83
(ESPM-SP) O grfico abaixo representa a funo real f(x) = x + kx + p, com k e p reais.
O valor de p k :
a) 12
b) 15
c) 18
d) 18
e) 3
Questo 33
(FGV-RJ) No retngulo ABCD da figura abaixo, AD = 6 m e AB = 4 m, e os pontos M, N, P e Q
dos lados AD, AB, CB e CD, respectivamente, so tais que AM = AN = CP = CQ.
Determine o valor mximo da rea do quadriltero MNPQ.
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 84
Questo 34
(FGV-SP) A soma das razes da equao = 0 vale:
Questo 35
(Fuvest-SP) A equao 2x = 3x + 2, com x real:
a) No tem soluo.
b) Tem uma nica soluo entre 0 e .
c) Tem uma nica soluo entre e 0.
d) Tem duas solues, sendo uma positiva e outra negativa.
e) Tem mais de duas solues.
Questo 36
(Fuvest-SP) Os pontos (0, 0) e (2, 1) esto no grfico de uma funo quadrtica f. O mnimo de
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 85
f assumido no ponto de abscissa x = . Logo, o valor de f(1) :
Questo 37
(Ibmec-SP) O grfico da funo dada pela lei y = ax2 + bx + c, com a 0, a parbola
esboada abaixo, que tem vrtice no ponto V. A partir do esboo, pode-se concluir que:
a) a > 0, b > 0 e c > 0
b) a > 0, b > 0 e c < 0
c) a > 0, b < 0 e c > 0
d) a > 0, b < 0 e c < 0
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MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 86
e) a < 0, b < 0 e c < 0
Questo 38
(PUC-MG) A funo que relaciona o risco R de morte de um indivduo com a dose D de
radiao a que ele submetido dada por R = 1,5D2 + D. Com relao a um indivduo que
tenha sido submetido a uma contaminao radioativa, o aumento de R, em porcentagem,
devido a uma variao de D de 1 para 2, igual a:
a) 80%
b) 130%
c) 179%
d) 220%
Questo 39
Um granjeiro dispe de 40 m de cerca para fazer um galinheiro. Este deve ser retangular e um
de seus lados deve ser um muro j existente de 25m, como indica o desenho. Quais devem ser
as dimenses do galinheiro para que o granjeiro consiga a maior rea possvel com a cerca
disponvel? Quanto ser essa rea? Ele utilizar toda a extenso do muro? Calcule quanto
seria a rea do galinheiro se o granjeiro utilizasse todo o