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Projeto de pilares
1. Conceituação
2. Anteprojeto
3. Esbeltez do pilar λ
4. Excentricidades
5. Disposições construtivas
6. Pilares intermediários e de extremidade
7. Pilares de canto
8. Método geral
Proj. Dim. e Det. Estr. CA – 09 Projeto de pilares
Proj. Dim. e Det. Estr. CA – 09 Projeto de pilares
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1. Conceituação
Pilares são os elementos verticais que transmitem as reações de vigas e de lajes à fundação.
São elementos lineares de eixo reto, usualmente na vertical, em que as forças normais de compressão são preponderantes (NBR6118:2007 – 14.4.1.2).
A segurança estrutural de um edifício depende primordialmente da estabilidade dos pilares, razão pela qual estes elementos podem ser considerados os mais
importantes.
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Diferenciação
a > 5b
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Regra usual: o momento traciona o lado externo do edifício no topo do pilar e o lado interno na base (diagrama dente de serra).
Situação geralProj. Dim. e Det. Estr. CA – 09 Projeto de pilares
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Cada trecho de pilar (lance) é analisado de forma isolada da estrutura real, sendo considerados efeitos locais, mínimos e de fluência.
Metodologia
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Quanto mais esbelto for o pilar, mais detalhado e cuidadoso deve ser o projeto pois os efeitos locais de 2ª ordem são mais importantes e é maior a tendência à instabilidade.
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Instabilidade na flexo-compressão
Pilares de CA não estão sujeitos à flambagem !
O problema é de verificação de deformações pois as ações aplicadas são muito menores do que a carga de Euler Pcr .
( )/
( )ext i
int
2
2
i3 22
M e y P
1M EI
rd y
1 Pdx e yr EIdy
1dx
= +
=
= = − +
+
P
P
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Instabilidade na flexo-compressão
� Enquanto o material permanecer no regime elástico não haverá problema de instabilidade.
� A configuração fletida é uma configuração de equilíbrio estável e a ruína ocorre por falha do material.
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Esquema estático
De modo simplificado, os pilares são considerados como barras elasticamente ligadas às vigas nas extremidades e sujeitos à flexo-compressão decorrente das excentricidades das cargas verticais.
As cargas verticais são obtidas através das reações das vigas que chegam até cada pilar, considerando a continuidade das vigas, além do peso próprio Gdo elemento. G pode ser admitido aplicado no topo do pilar, como simplificação a favor da segurança.
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Comprimento equivalente Le
Lo = vão livre do pilar entre vigashp = dimensão da seção transversal do pilar na direção
consideradaL = vão teórico tomado como a distância entre os eixos
dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado (NBR 6118:2003 – 15.6).
Para elementos em balanço, tal como ocorre em galpões ou em pontes, o comprimento equivalente de pilares com uma extremidade livre, deve ser tomado como o dobro do anterior:
o pe
o v
L h L
L L h
+≤
= +
eL 2 L= ⋅
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2. Anteprojeto
Na fase de anteprojeto é comum avaliar a carga vertical dos pilares por meio de áreas de influência com carga estimada de q = 12 kN/m2
para pisos residenciais e comerciais e de 0,6 ~ 0,8.qpara coberturas (admitindo alvenarias típicas de tijolos cerâmicos com pé-direito de ~3m e espaçamento médio de ~4m) para cada um dos n pavimentos acima do piso.
Carga na fundação ≈ n q S + 0,7 q SNk = q S (n + 0,7)
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Refinamento
Para melhor avaliação da estimativa da carga na fundação, o efeito da continuidade das vigas pode ser considerado admitindo, no cálculo da área de influência S, as parcelas da distância entre os pilares como segue:
Vão de viga bi-apoiada : a = 0,5L b = 0,5L
Vão interno de viga contínua : a = 0,5L b = 0,5L
Vão de extremidade de viga contínua : a = 0,4L b = 0,6L
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Classificação dos pilares
As vigas que terminam no pilar determinam os planos de momento de engastamento elástico viga/pilar.
intermediárioduas vigas
passam pelo pilar
de extremidadeuma viga
termina no pilar
de cantoduas vigas
terminam no pilar
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Seção transversal
a
b
a
b
a
b
Para facilitar a execução das formas, geralmente é utilizada a seção transversal retangular.
x x h
Outras formas por razões arquitetônicas:
A menor dimensão deve ser superior a 19 cm (NBR 6118:2007 –13.2.3) e a maior dimensão não deve exceder 5 vezes a menor dimensão, evitando o pilar-parede (NBR 6118:2007 – 18.4.1).
Na prática, recomenda-se limitar a relação entre as dimensões:
a
b < a
max
b 19 cm
a 2 3 b
≥
≤ ≈
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Seção reduzida
A seção pode ser reduzida desde que seja aplicado o coeficiente adicional γn da Tabela 13.1 da NBR 6118:2007 sobre o coeficiente de majoração γf para todos os esforços solicitantes.
Em qualquer caso, não são permitidos pilares com seção transver-sal de área inferior a 360 cm² e nem dimensão b ≤ 12cm.
Tabela 13.1 – Valores do coeficiente adicional γn
b ≥19 18 17 16 15 14 13 12
γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35
onde: γn = 1,95 – 0,05 · b
b é a menor dimensão da seção transversal do pilar, em cm
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Na fase de anteprojeto, os momentos atuantes podem ser consi-derados com a majoração da carga Nk (obtida através da área de influência e inicialmente suposta centrada) por um coeficiente αadotado em função do tipo de pilar.
Estimativa da carga no pilar
Pilar intermediário : α = 1,3
Pilar de extremidade: α = 1,6
Pilar de canto : α = 1,8
A carga estimada de cálculo para determinação das dimensões do pilar pode ser então obtida como sendo:
d est f n kN N= γ ⋅ γ ⋅ α ⋅
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Compressão simples
Na fase de anteprojeto, a situação de cálculo considerada é de pilar sujeito à compressão simples com encurtamento de εcc = 2 ‰ (reta b da Fig. 17.1 da NBR 6118:2003).
Rcc = 0,85 fcd Acc = 0,85 fcd (Ac - As)Rsc = σs2 As
Ac = área geométrica bruta da seção do pilarσs2 = 42 kN/cm2 é a tensão de compressão
no aço para encurtamento de 2 ‰
2s1 A
a
b
1 A2
1/2 Rsc
ccR
sc1/2 R
sA
A
Seção Transversal Vista A
Nd = Rcc + Rsc
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Substituindo as resultantes na equação de equilíbrio, têm-se:
Nd = 0,85 Ac fcd + As (σs2 - 0,85 fcd)
Dessa forma, a área da seção do pilar fica conhecida quando é imposta uma determinada taxa de armadura ρ , resultando:
Nd = Ac
σid = tensão ideal de cálculo
Tensão ideal
���������������
[ ]cd s2 cd0,85 f ( - 0,85 f )+ ρ σ
d2d
c cid 2
id
N kN N
A A cm
kN/cm
→
= →σ σ →
Podendo obter
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Adotando taxa de armadura ρ entre 1% e 3%, é possível obter valores da tensão ideal para concretos usuais em edifícios:
Valores usuais
[ ]id cd s2 cd0,85 f ( - 0,85 f )σ = + ρ σ
Valores de tensão ideal segundo a classe do concreto e a taxa de armadura (kN/cm2)
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concreto fck (kN/cm2) ρ = 1% ρ = 2% ρ = 3%
C20 2,0 1,62 2,03 2,44
C25 2,5 1,92 2,33 2,74
C30 3,0 2,22 2,63 3,03
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3. Esbeltez do pilar λ
eLesbeltez: =
iλ
raio de giração: i = AΙ x
hretângulo: i =
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Segundo a NBR 6118:2007 - 15.8.1:
λ ≤ λ1 → pilar pouco esbelto → é permitido desprezar ainstabilidade local
λ1 < λ ≤ 90 → pilar medianamente esbelto → é permitidosimplificar a instabilidade local
90 < λ ≤ 140 → pilar esbelto → é necessário considerar a fluência do concreto
140 <λ ≤ 200 → pilar excessivamente esbelto → é necessário cálculo exato da instabilidade local e considerar a fluência do concreto
x x h
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Esbeltez limite λ1
11
b
35e25 = 1
902h
≥ λ + → ≤α
>
α = + → = ≤≤
Bb 1 min
A
0,4 M
0,6 0,4 1 quando e eM
1,0
MA = maior valor entre os momentos de extremidade MA e MB
,
,
B A B
B A B
M 0 quando M e M tracionam a mesma face
M 0 quando M e M tracionam faces diferentes
>
<
h = dimensão do pilar na direção principal considerada
e1 = excentricidade de primeira ordem
emín = excentricidade mínima
adotado por simplicidade, na prática
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4. Excentricidades
Os pilares de edifícios devem ser calculados na situação de flexo-compressão e, geralmente, é mais útil considerar os momentos fletores atuantes admitindo a aplicação da carga de compressão com excentricidade:
As excentricidades a serem consideradas são:emín = excentricidade mínima (desaprumos)e1 = excentricidade de primeira ordem (geométrica e
elástica)e2 = excentricidade de segunda ordem (instabilidade
local do pilar)e = excentricidade total (seção crítica)
e = M / N
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Excentricidades
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Obtidos durante a análise estrutural elástica do edifício
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Excentricidade mínima
As imperfeições geométricas executivas e a incerteza do ponto exato de aplicação das reações das vigas sobre os pilares exigem a consideração de uma excentricidade mínimadessas cargas a ser comparada com a excentricidade total em cada direção principal (NBR 6118:2007 - 11.3.3.4.3).
onde h é a dimensão do pilar na direção principal considerada.
emín = 1,5 + 0,03h (cm)
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Excentricidade geométrica
Sempre que o centro do apoio da viga não coincidir com o centro geométrico do pilar, deve ser considerada essa excentricidade geométrica inicial como parte da excentricidade de primeira ordem.
No entanto, em pisos residenciais ecomerciais o travamento oferecidopelas vigas e lajes nas extremidadesdos pilares permite desprezar essaparcela de excentricidade.
***
CG do apoio
CG do apoio
V2
V1
PLANTA
da V2 CG do pilar
da V1
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Momentos de apoios internos de viga
Para pilares intermediários onde o comprimento do apoio na direção da viga é menor do que 1/4 da altura do pilar, a carga sobre o pilar pode ser considerada centrada.
Em caso contrário, a viga deve ser conside-rada perfeitamente engastada em cada tramo adjacente ao pilar e deve ser aplicado no pilar intermediário omomento resultanteentre aqueles de engas-tamento perfeito da viga em cada tramo (NBR 6118:2007 – 14.6.7.1.b).
sup
viga sup
infM
PILAR
½ M
M M VIGA
½ Minf
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Excentricidade de 1a ordem e1
Conhecidos os momentos nas extremidades do pilar (no topo e na base) tanto para os pilares de extremidade de vigas quanto para os pilares intermediários, as excentricidades elásticas de primeira ordem ficam determinadas como sendo:
onde i é o pavimento considerado.
Obs.: mesmo que os momentos fletores sejam iguais entre os pisos, a força normal varia e, também, a excentricidade e1.
1,i 1,i-11,i 1,i-1
i i-1
M Me = e =
N N
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Instabilidade local
Quando a esbeltez do pilar é superior à esbeltez limite (λ > λ1), o efeito de instabilidade local ou de deformações de 2a ordem (deformações elásticas que modificam a posição inicial das cargas)deve ser adicionado à excentricidade de primeira ordem.
ei → excentricidade inicial de 1a
ordem do pilar
e2 → excentricidade originada após adeformaçãoelástica
2
N N
M=N.e M=N.(e +e )
NN
e+ei 2ie
i i
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Força normal reduzida
É a relação entre os valores de cálculo da ação aplicada e da resistência da seção bruta de concreto e pode ser utilizada para avaliar a seção do pilar.
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d2d
cc cd 2
cd
N kN N
A cm A f
f kN/cm
→
ν = →⋅ →
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Seção crítica
1b 1 2
min
excentricidade total
e e e e
e
= α ⋅ + ≥
A seção crítica é avaliada pela combinação das excentricidades parciais (NBR 6118:2003 – 15.8.3.3.2):
Na prática, para edifícios usuais: MA ≅ –MB → αb ≅ 0,4para e1 ≤ emin → αb = 1,0
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-
+
MB
e1B
M e 22
e A 1A
M
e= MNe
2a. ordem1a. ordem
30
Excentricidade de 2a ordem e2
Para pilares medianamente esbeltos (λ ≤ 90) com seção constantee armadura simétrica e constante no lance considerado, é válido ométodo do pilar padrão com rigidez κ (kapa) aproximada, sendo estimada a excentricidade e2 diretamente com (ver Scandelai
(2004) – Mestrado EESC–USP):
1b
2
1
2
2 1 1
e h é a dimensão do pilar
h
k 13.840
e k kh 10 2 5 10 2
ξ = α
λ= −
ξ ξ ξ = − + − +
Para pilares pouco esbeltos (λ ≤ λ1), é permitido adotar e2 = 0 !
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Efeito da fluência
-
g
e g
N
N Ngcc
g
g g
c ce 2
e
Me L 2,718 1
N
M e N são esforços solicitantes na CQP
1300
desaprumo, (H em metros)1
100 HE I
N 10 (carga crítica de Euler)L
(coeficiente de fluência 2
ϕ = + θ −
θ ≥
=
ϕ = , em geral)
Para λ > 90 é obrigatório considerar o efeito da fluência, podendo ser avaliado de modo simplificado pela adição da excentricidade suplementar ecc à excentricidade total e.
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Diâmetro das barras longitudinais: 10mm ≤ øL ≤ b / 8
(b = menor dimensão do pilar)
5. Disposições construtivas
agreg h
L
2 cm40 cm
1,2 d s2 b
⋅ ≤ ≤ ⋅φ
Espaçamento horizontal das barras:
hs
>10mmøL
>5mmtø
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(NBR 6118:07 -18.4.2)
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Taxa de armadura:
Disposições construtivas
v
L
20 cm
s b
12
≤ φ
Espaçamento vertical dos estribos:
mins
maxc
0,4% A4,0% (incluindo emendas)A
≥ ρ =ρ =
≤ ρ =
Diâmetro dos estribos:/
tL
5 mm
4
φ ≥ φ
Os estribos devem ser posicionados em toda altura do pilar,inclusive e, obrigatoriamente, na região de cruzamento com vigas
ou lajes.
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Segundo a NBR 6118:2007, estão protegidas contra flambagem as barras longitudinais até 20 φt da quina do estribo, desde que não haja mais do que 2 barras (fora a da quina) nesse trecho, sendo utilizado estribo suplementar quando necessário.
Proteção contra flambagem das barras
20ø
suplementarestribo
t20ø t estriboduplo
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Detalhamento da armadura
Geralmente, pilares estão sujeitos à flexão oblíqua.
Cada armadura deve ficar no seu plano de flexão.
A taxa total de armadura deve respeitar a taxa máxima ρmax = 4,0% (já considerando haver a região de emendas de barras).
Obs: para armadura em uma camada, é adotado d´=4cm.
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6. Pilares intermediários e de extremidade
Nestes pilares há predominância da flexo-compressão normal ou reta em uma direção principal de inércia, quando a seção transversal é simétrica com pelo menos um eixo de simetria.
O dimensionamento da armadura é efetuado separadamente em cada direção, não sendo somados os resultados obtidos e escolhendo um arranjo para as barras que satisfaça às duas situações independentes.
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Tipos de flexão composta
Proj. Dim. e Det. Estr. CA – 09 Projeto de pilares
Nd
e
CG
cσ
cσ
CG
As
Nd
Md
sA'Nd
σt
e
σc
M
N
d
d
A's
sA
Flexão com pequena excentricidade
Flexão com grande excentricidade
tensões não mudam de sinal
tensões mudam de sinal
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Flexão normal composta – FNC
Proj. Dim. e Det. Estr. CA – 09 Projeto de pilares
N h/2
sA
d
sR
h/2
sA'
Md
=
R'd's
cR
a
d
d s c s
d s c s
d(N > 0 compressãoN R' R R
h h hM R
)
' d' R a R d2 2 2
= + +
= − + − + −
→
c s sε ε ε'
x d - x x - d'= =
Equações de equilíbrio:
Equações de compatibilidade:
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Resolução do sistema de equações
Conhecendo o concreto e as dimensões da seção transversal, o sistema fica com 3 equações independentes e 7 incógnitas:
As , A´s , σsd , σ´sd, εs , ε´s , x
Como as tensões no aço dependem da deformação, o sistema pode ser reduzido a 5 incógnitas:
As , A´s , εs , ε´s , x
Para evitar dificuldades de montagem da armadura, usualmente é adotado no dimensionamento de pilares:
As = A´s
Restando ainda 1 grau de liberdade, a solução é obtida fixando, por exemplo, a posição da linha neutra x para serem determinados εs e ε´s , então calculados σsd , σ´sd, As e A´s.
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Flexão normal composta - cálculo prático
2
d
cd
M ebh f h
µ = = ν⋅
d
cd
Nbh f
ν =⋅
yd yds
cd cd
f fAbh f f
ω = = ρ
2
forças e momentos kN e kN.cm
dimensões lineares cm
tensões resistentes kN/cm
→
→ →
Usar os ábacos de flexo-compressão reta com armadura simétrica
h/2M
N
d
d
A's
sA
=
R'
h/2
s
cR
sR
d'a
d
Força normal reduzida
Momento fletor reduzido
Taxa mecânica da armadura
Proj. Dim. e Det. Estr. CA – 09 Projeto de pilares
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Curvas de interação
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Impondo uma seção de CA (aço e concreto) e variando a posição da Linha Neutra, é obtido cada ponto da curva representando
uma posição de equilíbrio de um par de esforços Nd e Md.
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Ábacos de FNC
Para elementos comprimidos, deve ser respeitada armadura mínima com taxa ρmin = 0,4%
Proj. Dim. e Det. Estr. CA – 09 Projeto de pilares
traçãocompressãoν
µ
Domínio 5
Domínio 4a
Domínio 4Domínio 3
Domínio 2
Domínio 1As = 0
ωω
2
1
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Ábacos de Pinheiro (EESC-USP)Proj. Dim. e Det. Estr. CA – 09 Projeto de pilares
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7. Pilares de canto
Estes pilares estão sujeitos predominantemente a flexo-compressãooblíqua e o dimensionamento da armadura geralmente é efetuadoatravés de métodos numéricos ou ábacos específicos, já que aposição da linha neutra depende do arranjo adotado da armadura.
De modo simplificado, é permito verificar a segurança de umadeterminada seção transversal de pilar sujeita a flexão compostaoblíqua por transformação afim da seção. Para tanto, é imposto umarranjo para a armadura e são calculados os momentos resistentes de 2 flexões compostas retas independentes de modo a satisfazer aexpressão de iteração seguinte (NBR 6118:03 – 17.2.5.2)
Proj. Dim. e Det. Estr. CA – 09 Projeto de pilares
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Cálculo aproximado
onde: x e y são as direções principais de inércia da seção do pilarµRx e µRy são as componentes do momento resistente na
flexão oblíqua a serem verificadas quando atua a força de compressão Nd
µRx* e µRy* são os momentos resistentes na flexão composta reta para cada direção principal quando atua a mesma força de compressão Nd
α é tomado como 1 para o caso geral (a favor da segurança) e como 1,2 para o caso de seção transversal retangular
RyR
Rx* Ry
x
*
1
αα
µ µ
+ =
µµ
É permitido verificar uma seção transversal sujeita a FOC por transforma-ção afim com a imposição de um arranjo para a armadura e o cálculo de momentos resistentes de 2 FNCs independentes com:
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Verificação da flexão oblíqua
Fixando uma taxa geométrica ρ para cada direção principal de inércia (não superpondo a armadura) e admitindo que o momento reduzido resistente é igual ao maior momento aplicado em uma mesma direção, por exemplo x,
µRx = µx
é possível verificar se o momento aplicado na outra direção y é menor do que o momento resistente nessa mesma direção y.
Ry*Rx
y Ry*
1/
x 1
αα µ µ ≤ ⋅ −
µ µµ
=
µRx* e µRy* = momentos resistentes na flexão reta
µx e µy = momentos aplicados na flexão oblíqua
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Flexão oblíqua composta – FOC
Geralmente, o dimensionamento exige a utilização de processo numérico com a discretização da seção em elementos com dimensões finitas pois o cálculo exato é de difícil solução.
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Flexão oblíqua composta – FOC
A resolução conduz a uma superfície no espaço para um terno Nd, Mxd e Myd para um dado arranjo da armadura, sendo comum o uso
de ábacos para uma dada força de compressão Nd (ou ν).
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Programa Oblíqua – CESEC/UFPR
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8. Método geral
Para λ > 90, o Método Geral determina e2 de modo mais preciso.
a) Dividir o pilar em n trechos: Δx = L/n
b) Arbitrar valor para a flecha a: yo = a
c) Calcular M2d = a Nd
d) Calcular Mo= M1d + M2d → µo = µ1 + µ2
e) Obter a curvatura 1/ro
f) Obter
g) Repetir c) para obter µ1 e 1/r1
h) Obter
i) Continuar para as demais seções com:
j) Verificar se yn=0 (forma estável)
h) Se yn≠0, arbitrar nova flecha a
0
0
2
1
x 1y y
2 r∆
= −
22 1 o
1
1y 2y y x
r
= − − ∆
2i+1 i i-1
i
1y 2y y x
r
= − − ∆
Proj. Dim. e Det. Estr. CA – 09 Projeto de pilares
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Relações Momento Curvatura
EM
y
1 M r y
σε =
σ =Ι
ε⇒ = =
Ι
Admitindo a linearidade física do material:
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Relações Momento Curvatura
,cc o
c s
ss o
y3 5‰
r1r d y
10‰r
ε = ε + ≤
ε − ε =
ε = ε − ≤
Fixando 1/r e utilizando as equações de equilíbrio, pode ser determinado o par N e M que satisfaz os
limites máximos de deformação dos materiais.
para cada 1/r, pode ser determinado εo
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26/01/2013
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Diagrama Normal, Momento, Curvatura
A rigidez secante é obtida a partir de diagramas N, M, 1/r:
é necessário conhecer Nd, As, concreto e aço. Na prática, o
processo só é viável com uso de computadores.
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