4. Rad i energija
4.1. Rad
Rad u svakodnevnom životu predstavlja bilo koji oblikaktivnosti koji zahtjeva miši ćni napor ili djelovanjestrojeva .
Rad u fizici se općenito definira kao - svladavanje sile na danom putu- djelovanje sile na odre đenom putu
4.1. Rad
Što je potrebno da bismo izvršili određeni rad?
Sila određenog iznosa i smjera .
F
s
Primjer 1 : Djelovanje stalne sileu smjeru gibanja tijela.
W = F·s
Primjer 2 : Djelovanje stalne sile pod kutom θ prema smjeru gibanja tijela.
F
s
θ
W = F·s· cos θ
F
s
W = 0
F
s
θ
W = - F·s· cos θ
a)
b) c)
F· cos θ
4.1. Rad
Rad je skalarna veličina i može biti:
a) pozitivan 0 < θ < π/2 F ║ s
b) nula θ = π/2 F ┴ s
c) negativan π/2 < θ < π F ↑↓ s
a) b) c)
→ centriptralna sila
→ sila trenja
Primjer za F:
→ sila (komp.) u smjeru gibanja
W F s= ⋅ur r
4.1. Rad stalne sile
W F l= ⋅ur r
“guranje”
“nošenje”
“spuštanje”
F/N
s/m
W F s= ⋅
F-s dijagram
rad = površina ispod krivulje F(s)
4.1. Rad promjenjive sile
Čestica se giba duž krivocrtne putanje od točke A do točke B pod utjecajem promjenljive sile:
Putanju od A do B rastavimo na Nmalih odsječaka (∆si) tako da je u svakom od njih sila gotovo nepromjenljiva:
F-s dijagram
i iTiW F s∆ ≈ ⋅∆
Element rada:
A
B
∆s∆s
01
limi
BN
Ti i Ts
i A
W F s F ds∆ → =
= ∆ =∑ ∫
4.1. Rad
Rad sile F na elementarnom pomaku dr:
dW F dr= ⋅ur r
B B
A A
W F dr F d s= ⋅ = ⋅∫ ∫ur r ur r
Rad sile F na putanji čestice od točke A do točke B:
dr ds=r r
elementarnipomak
elementarniput
Rad je linijski integral sile duž putanje čestice od po četne do krajnje to čke.2 2J = N m = kg m /s Mjerna jedinica = džul (joule), J
- elektronvolt (eV) = energija elektrona ubrzanog razlikom potencijala 1 V
- vatsat (W h) – rad električne struje
(1 eV = 1.6·10-19 J)
(1 Wh = 3600 J)
4.1. RadPrimjer: Rad pri podizanju tijela :
rad podizanja = mghrad sile teže = -mgh
rad sile teže = mgh rad nošenja = 0
Automobil mase 1000 kg giba se uz brijegnagiba 10° stalnom brzinom 36 km/h. Rad silemotora za vrijeme 1 min je:
6sin sin 1,02 10 J
sin
W F s mg s mg vt
W mg h mg vt
θ θθ
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅
ur r
G
G sin θ F
sθ
h
4.1. Rad
Rad po zatvorenoj krivulji (A-B-C-D-A) je nula.
Primjer: Rad pri podizanju tijela :
4.1. Rad
F/N
x/m
W
Primjer: Rad pri rastezanju opruge :
Oprugu rastežemo silom koja je jednaka po iznosu, a suprotna po smjeru, elastičnoj sili opruge:
F = k x = -Fo-sila opruge:
Fo = -kx - Hookeov zakon: sila je proporcionalna deformaciji i suprotnog smjera
Rad koji izvršimo pri rastezanju (stezanju) opruge za elongaciju x jednak je:
2
0 0
1
2
x x
W Fdx kxdx kx= = =∫ ∫
4.1. RadPrimjer: Rad pri svladavanju sile trenja :
Ftr
F
s
Rad sile F:
0
s
trW Fds F s mg sµ= = = ⋅ ⋅∫
Tijelo se giba jednoliko → F = Ftr
Rad sile Ftr:
W mg sµ= − ⋅ ⋅
Rad sile trenja je uvijek negativan!
4.2. Snaga
1W JP Js W
t s− = = =
Srednja snaga :
2 1
2 1
W W WP P
t t t
− ∆≡ = =− ∆
Trenutna ili prava snaga:
0limt
W dW F d s F v dtP
t dt dt dt∆ →
∆ ⋅ ⋅= = = =∆
ur r ur r
( )cos , ,P F v F v F vα α= ⋅ = ⋅ ⋅ =v vv v
Definicijom rada se ne uzima u obzir vrijeme u kojem sila djeluje – razumno je definirati neku fizikalnu veličinu koja opisuje brzinu izvršavanja rada.
Snaga = koli čina izvršenog rada u jedinici vremena
Mjerna jedinica je vat.
4.3. Energija
= sposobnost tijela ili sustava da djeluje ili obav lja rad
više energije → veći rad
- ako tijelo obavlja rad → energija mu se smanjuje
- ako okolina obavlja rad na tijelu → energija tijela raste
- rad i energija imaju istu mjernu jedinicu → čemu potreba za dvije različite fizikalne veličine?
Energija
stanje sustava:- t1, r1→ E1- t2, r2→ E2
Rad
promjena stanja sustava:W12
t1, r1 → E1 � t2,r2 → E2
Pojavni oblici energije
MEHANIČKA NEMEHANIČKI oblici
- električna,- kemijska- sunčeva- toplinska- nuklearna, …
= zbroj kinetičke i potencijalne energije tijela
4.3. Energija
Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi, ali se ne može ni stvoriti ni uništiti.
4.4. Kineti čka energija
= energija koju tijelo posjeduje kao posljedicu svo ga gibanjanekom brzinom
Kolika je kinetička energija tijela mase m koje se giba brzinom v?
→ izračunajmo rad potreban da sila F ubrza to tijelo iz mirovanja
2
0
1
2
vdv dvW F ds ma ds m ds m vdt m vdv mv
dt dt= ⋅ = ⋅ = = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 2
2 2k
mv pE
m= =
Ek = kinetička energija tijela mase m i brzine v (impulsa p).
4.4. Kineti čka energija
- rad sile F da bi ubrzala tijelo od početne brzine v1 do konačne brzine v2 je:
2 2
1 1
2 22 1
2 1
2 2
s v
s v
k k k
mv mvW Fds m vdv
W E E E
= = = −
= − = ∆
∫ ∫
Izvršeni rad jednak je promjeni kineti čke energije,
i obratno
promjena kineti čke energije jednaka je izvršenom radu.
Poučak o radu i kineti čkoj energiji
Ako tijelo vrši rad (W < 0), kinetička energija mu se smanjuje (∆Ek < 0).
Ako se nad tijelom vrši rad (W > 0), kinetička energija mu se povećava (∆Ek > 0).
Ako je rad jednak nuli, energija tijela ostaje konstantna.
4.5. Potencijalna energija
= energija koju tijelo posjeduje zbog svoga položaj a prema drugim tijelima
Primjeri potencijalne energije (ovisno o sili koja djeluje na tijelo): - gravitacijska- elasti čna- elektrostatska- magnetska
- može se pretvoriti u kinetičku energiju i obratno, a isto tako i u rad
4.5. Gravitacijska potencijalna energijaIzračunajmo potencijalnu energiju tijela u gravitacijskom polju na Zemljinoj površini.
Rad sile teže na putu od A do B je:
( )B B
B Ag
A A
W F dr mg dr mg r r= ⋅ = = −∫ ∫uur r ur r ur r r
Budući je
( )( )
g
B A B A
B A
F mg mg j
j r r y y
W mgy mgy
= = −
⋅ − = −
⇒ = − −
ur ur r
r r r
Rad sile teže jednak je razlici dvaju funkcija položaja.
pE mgy= Gravitacijska potencijalna energija
Razlika potencijalne energije početne i konačne točke jednaka je radu sile teže.
1 2p p pW E E E= − = −∆
4.5. Gravitacijska potencijalna energija
Referentni nivo (Ep=0) može se odabati proizvoljno te je potencijalna energija određene do na konstantu.
Potencijalna energija može biti i pozitivna i negativna, dok je Ek uvijek pozitivna veličina.
Ep = 0 (y=0)
( )i fW mg y y mgd= − =
4.5. Elasti čna potencijalna energija
Rad vanjske sile pri rastezanju opruge:
21
2W kx=
Rad sile opruge :
( ) ( )
2
2
1
1
2
21
2
2
1
2
1 1
2 2
op
x
op
p p
x
op
W kx
W Fdx kx k
W E x E
x
x
= −
= =
= −
−∫
Potencijalna energija elastične opruge :
( ) 21
2pE x kx=
4.6. Konzervativne i nekonzervativne sile
Konzervativne sile su one sile kod kojih je rad po svakoj zatvorenojputanji jednak nuli, ma kakav oblik ta putanja imala.
→ rad konzervativnih sila ovisi samo o početnoj i konačnoj točki, a ne oputanji između tih dviju točaka.
zxzy
yxWW
WW
WW=
=+=+
0
0
0k
F ds⋅ =∫v v
→ Rad po zatvorenoj putanji=0.
Konzervativne sile su :-Elastična sila-Gravitacijska sila-Elektrostatska sila
4.6. Konzervativne i nekonzervativne sile
Nekonzervativne (disipativne) sile su one sile kod kojih rad ovisi oobliku putanje kojom je tijelo došlo iz početne u konačnu točku.
0NKF ds ≠∫r r
Rad sile trenja ovisi o putu:što je put duži, rad je veći!
4.6. Veza između rada vanjske sile i energije sustava
Primjer: gibanje tijela uz kosinu djelovanjem vanjske sile F’ (bez trenja).
II Newtonov zakon: ' sinma F mg α= −
Rad sile F’:
( )
( ) ( )
2 2
1 1
2 22 1
2 1
2 1 2 1
' ' sin
' sin
'2 2
'
s v
s v
p p k k
dvW F ds mg m ds
dt
dvW mg ds m vdt
dt
mv mvW mg y y
W E r E r E E
α
α
= = + =
= + =
= − + − =
= − + −
∫ ∫
∫ ∫
r r
' p kW E E= ∆ + ∆Kada vanjska sila djeluje na tijelo koje se nalazi u polju konzervativnih sila (gravitacija), tijelu se mijenja Ep i Ek.
4.6. Veza između rada vanjske sile i energije sustava
Rad vanjske sile W’ i rad konzervativne sile W mijenjaju Ek:
2 1' k kE EW W = −+
Rad konzervativne sile W:
( ) ( )1 2k p pW E rds E rF= ⋅ = −∫ur r
Rad ostalih sila F’:
2 1 2 12 1' p p k kW E E E EE E= − = −+ −
- mijenja ukupnu mehaničku energiju sustava
4.7. Zakon o čuvanja energije
U zatvorenom sustavu ukupna energija ostaje sačuvana.
iE const=∑Primjer: slobodni pad.
p kE E const+ =
4.7. Zakon o čuvanja energije
21
2mgh mv=
4.8. Sudari
Zakoni očuvanja impulsa i energije!
Savršeno elastičan sudar- tijela se nakon sudara vraćaju u prvobitni oblik → Ep (deformacije) = Ek vrijedi ZOE
-centralni sudar: čestice se prije i poslije sudara gibaju po pravcu
- izoliran sustav (nema vanjskih sila)
- III Newtonov zakon: F12 = -F21 → ZOP: p1+p2= p’1+p’2
1 2 1 2
2 21 1
' '
1 2 1 2
2 '22 '2
1 11 1
2 2 2 2
m v m v m v m v
m v m vm v m v
+ = +
+ = +
r r r r
r rr r
ZOP:
ZOE:
4.8. Sudari
Savršeno elastičan sudar
( )
( )
' 1 21 2 21
1 2
' 2 12 1 12
1 2
2
2
m m v m vv
m m
m m v m vv
m m
− +=
+
− +=
+
r rr
r rr
Posebni slučajevi:1. m1=m2=m → čestice zamijene brzine2. m1<<m2; v2=0 → udar u zid; zid prima impuls 2m1v1
3. m1>>m2; v2=0 → v’1≈v1, v’2≈2v1
' '1 2 2 1v v v v= =r r r r
'1 1v v= −r r
4.8. Sudari
Savršeno neelastičan sudar
- tijela se nakon sudara deformiraju, slijepe i gibaju zajedno istom brzinom (miruju)
- Ek nije očuvana → dio prijeđe na promjenu unutrašnje energije (toplinu)
- ukupna energija ostaje sačuvana
- impuls je očuvan
( )
( )
1 2
1 2
21
'
1 2 1 2
1 2
1 2
2 2'21 1
1 2
'
1
2 2 2
m v m v m m v
m v m vv
m m
m v m vm m v Q
+ = +
+=+
+ = + +
r r r
r rr
r rr
ZOP:
ZOE:
Ek = Ek’ + Q
4.8. Sudari
Savršeno elastičan sudar
Primjer: Balističko njihalo.Odredi brzinu metka v.
( ) 'mv m M v= +ZOP:
ZOE:
2m M
v ghm
+=
( ) ( )21'
2m M v m M gh+ = +
' 2v gh⇒ =
( )
( ) ( )
2'2
11 2
2'2
11 2 1 2
1
2 2:
1
2 2
m vm m v Q
zbog toga ne može
m vm m v m m gh
= + +
= + + +
rr
rr
PAZI!
Domaća zadaća1. Je li lakše gurati tijelo ili ga vući? Zašto? Obrazložite odgovor bez trenja i uzimanjem trenja u obzir. Koliki je rad sile na putu s?
F FF
θ θ
a) b) c)
Domaća zadaća2. Tri identične kugle bačene su s vrha zgrade istom početnom brzinom: prva je bačena horizontalno, druga pod nekim kutom prema gore, a treća pod nekim kutom prema dolje. Zanemarujući otpor zraka, poredajte kugle: a) po redosljedu pada na tlo,b) po iznosu brzine pri padu na tlo.Obrazložite odgovore!