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LA INTEGRAL INDEFINIDA
Introducción.
La 2da. parte del cálculo diferencial e integral. La antiderivación llamada tambiénantidiferenciación, o comúnmente denominada integración tiene dos interpretacionesdistintas: es un procedimiento inverso a la derivación, i es un método para determinar elárea de una región encerrada por una o varias curvas. Cada una de estas interpretacionestiene numerosas aplicaciones en matemáticas, física, ingeniería, administración, economía,biología, ciencias sociales, etc.
Integral indefinida
Definición 18.1 Diremos que la función y = F(x) es una antiderivada de y = f(x) en el
intervalo I, si F’(x) = f(x) ∀ x ∈ I. (Otras veces F recibe el nombre de primitiva de f).
Así por ejemplo: la antiderivada de f (x) = 4x3 es F(x) = x4 ∀x ∈ R ; puesDx (x
4) = 4x3 (Note que Dx (x4 + 8) = 4x3, Dx (x
4 – 6) = 4x3; en general Dx (x4 + C) = 4x3).
La antiderivada de g(x) = 1/x es G(x) = ln x, ∀x ∈ ] 0, + ∞[; pues Dx (ln x) = 1/x (Observeque Dx (ln x + 5) = 1/x, Dx (ln x – 1) = 1/x; en general Dx (ln x + C) = 1/x). La antiderivada
de h(x) = cos x es H(x) = sen x, ∀x ∈ R; pues Dx (sen x) = cos x (Mire que Dx (sen x + 3)= cos x, Dx (sen x – 2) = cos x; en general Dx (sen x + C) = cos x).
Así como el operador lineal Dx, llamado diferenciación asigna a la función y = f(x)la función y = g’(x); el operador lineal inverso Ax, llamado antidiferenciación, asigna a lafunción y = f’(x) la función y = f(x). Para los ejemplos anteriores: Ax(4x
3) = x4, Ax(1/x) =ln x, Ax(cos x) = sen x.
La notación Ax generalmente se reemplaza por otro símbolo. Leibnitz es el autor
para emplear “la s alargada”: ∫∫∫∫, i ésta es la que comúnmente se utiliza casi en todos lostextos de cálculo. A este símbolo se adjunta la diferencial dx. Por ejemplo, ∫4x3dx = x4 + C,∫ (1/x)dx = ln x + C, ∫ cos x dx = sen x + C.
En general, dx)x(f = F(x) + C , se llama antiderivada de f ó la integral
indefinida, donde f(x) se llama el integrando, ∫∫∫∫ se llama el signo integral, C se denominala constante de integración, i dx la diferencial de x, que indica la variable respecto a lacual se lleva a cabo el proceso de integración.
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Esta familia de curvas tiene la propiedad de que, dado un punto (x 0, y0) hay una i
sólo una curva de la familia que pasa por este punto particular de modo que la constante Ccorrespondiente estará determinada por C0 = y0 – f(x0). Vea la figura 1
Fig. 1
En el estudio de las ecuaciones diferenciales esta familia resulta ser la solucióngeneral de una ecuación diferencial ordinaria i la especificación del punto (x0, y0) seconoce como una condición inicial para hallar la solución particular.
18.1 Integrales inmediatas
Desde que la derivación i la integración son operaciones inversas, los casos mássencillos de integración se llevan a cabo invirtiendo las correspondientes fórmulas de la
derivación, razón por la cual las fórmulas resultantes se denominan integrales inmediatas.Los casos algo más complicados se manejan mediante técnicas de integración que se veránen un próximo capítulo.
En general este proceso es más complicado que el de derivación, i tendremos queser más cautelosos i pacientes con las técnicas que nos permitan obtener tales antiderivadas.Más adelante abordaremos métodos más especializados.
La naturaleza inversa de las operaciones de integración i derivación Ax i Dx respectivamente puede simbolizarse, como propiedades, de la manera siguiente:
La derivación es la inversa de la integración: )x(f dx)x(f dxd =
∫
. . . (1)
La integración es la inversa de la derivación: ∫ dx)x('f = f(x) + C . . . (2)
Aunque hemos definido el proceso de integración, no disponemos aún de reglasprácticas para calcular antiderivadas. Afortunadamente como la integración es inversa de ladiferenciación, es fácil obtener reglas de integración a partir, precisamente de las reglas dederivación.
• •
• C
• (xo , yo)
y = f(x) + C
a b x
yyo = f(xo) + Co
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Ahora estableceremos dos propiedades fundamentales de la integración indefinida,
llamadas propiedades de linealidad, que permitirán facilidad en los cálculos.
Si u = f(x) i v = g(x) son dos funciones definidas en un intervalo I, entonces:
∫ + dx)]x('g)x('f [ = ∫ dx)x('f + ∫ dx)x('g = ∫ + )dvdu( = ∫∫ + dvdu . . .(3)
∫ dx)x('f k = k ∫ dx)x('f = k ∫du . . . . (4)
Las demostraciones de las propiedades (3) i (4) se basan en las fórmulas dederivación correspondiente. Obsérvese que si u = x i v = 0, entonces la propiedad (3) se
convierte en ∫dx = x + C.
Geométricamente, la integral indefinida y = f(x) + C representa una familia decurvas en un intervalo I, de las cuales puede obtenerse una curva cualquiera desplazandoy = f(x) una distancia vertical C, resultando todas ellas “paralelas” entre sí.
A. Primer grupo de fórmulas.
Si u es una función de x: u = f(x) , donde du = f’(x) dx, entonces:
1. ∫ duun = 1nu 1n
+
+
+ C. o ∫ dx)x('f )]x(f [ n = 1n)]x(f [ 1n
+
+
+ C, n ≠ –1
2. ∫ udu
= ln | u | + C o ∫ )x(f dx)x('f
= ln | f(x) | + C, n = –1
Ejemplo 1. Suponga que y = f(x) es una función “suficientemente diferenciable”.
Simplifique las siguientes expresiones: (a) ∫ + dx)]x('f 5)x(''f 4[ (b) (x + ∫ dx)x('f )’.
Solución: Aplicando sucesivamente las propiedades (3) i (2), (a) ∫ + dx)]x('f 5)x(''f 4[ =
4 ∫∫ + dx)x('f 5dx)x(''f = 4 ∫ dx))x('f (dxd
+ ∫ dx)x('f 5 = 4 f’(x) + 5f(x). (b) Empleando
la derivada de un producto i la propiedad (1): (x + ∫ dx)x('f )’ =
+ ∫ dx)x('f xdx
d = 1 +
∫ dx)x('f dxd
= 1 + f’(x).
Ejemplo 3. Calcular las siguientes integrales:
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4
(a) C5
xC
14
xdxx
5144
+=+
+
=
+
∫
(b) ( ) CxxC2
x2
3
x3dxx2dxx3dxx2dxx3dxx2x3 23
23222
++=++=+=+=+ ∫∫∫∫∫
(c) Cx8
5C
15
3
xdxxdxx 5
815
3
535 3+=+
+
==
+
∫∫
(d) ( ) Cx
4x5
2
xC
1
x4x5
2
xdxx45xdx
x
4x5x 21222
23
+++=+−
−+=−+=−+
−−∫∫
(e) ( ) Cx7
2x
3
2dx)xx(dxxx1 2 / 72 / 32 / 52 / 12 +−=−=− ∫∫
Ejemplo 4. Obtener el valor de: (a) ∫ + dx)2x3( (b) ∫ + dx)2x3( 2
(c) ∫ + dx)2x3( 3 (d) ∫ + dx)2x3( 50
Solución: (a) Por la linealidad: ∫ ∫∫ +=+ dx2dxx3dx)2x3( = Cx2x23 2
++ .
(b) Desarrollando el binomio: ∫ + dx)2x3( 2 = ∫ ++ dx)4x12x9(2
= 9 ∫ dxx2 + 12 ∫ ∫ =+ dx4dxx 3x3 + 6x2 + 4x + 4 +C.
(c) Desarrollando el binomio: ∫ + dx)2x3( 3 = ∫ +++ dx)8x36x54x27( 23 =
∫ ∫ ∫ ∫ =+++ dx8dxx36dxx54dxx27 23 Cx8x18x18x427 234
++++ .
(d) ∫ + dx)2x3( 50 . ¡Un momento!. Una manera “agresiva” para obtener la integral seríadesarrollar mediante el binomio de Newton, el integrando, i luego integrar los 51términos del desarrollo; i esto, en principio no suena nada agradable. Este primitivoprocedimiento podemos remediar por medio de una sustitución elemental. Sea u =f(x) = 3x+2, entonces du = 3dx. Al integrando lo multiplicamos por 3, i para que novaríe lo dividimos también por 3; esto es:
∫ + dx)2x3( 50 = ∫ ∫ ++=+==+ C)2x3(1531
C51
u
3
1duu
3
1dx3)2x3(
3
1 5151
5050 .
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(Para comprobar el resultado se recomienda derivar la antiderivada, i debe ser igual al
integrando). Esta es una de las ideas más importantes que aparecerá constantemente enlos problemas de cálculo de integrales.
Ejemplo 5. Evaluar las siguientes integrales:
(a) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ++=++=+ dxx12x12x3dxx34x4xdxx32x 258236223 = .Cx4x2x31 369
+++
De otra manera, la integral puede evaluarse usando la sustitución u = x 3 + 2, de modo
que du = 3x 2 dx; luego la integral dada se convierte en ∫ duu2 ; por tanto:
( ) ( )
Cx4x2x3
1
C38x4x2x
31C2x
31C
3uduudxx32x
369
1369
133
1
32223
+++=
++++=++=+==+ ∫∫
(b) ( )∫ ∫ −+=+
dxx2x
2x
dxx 4 / 12
4 2. Sea x2 + 2 = u; x dx =
2
1 du, entonces:
∫ ++=+=− C)2x(32
Cu3
2du
2
1u 4 / 324 / 34 / 1 .
Ejemplo 6. Determinar los valores de las integrales siguientes: (a)∫
dxxcosxsen2
,
(b) ∫ dxxsenxcos3 , (c) ∫ dxxsecxtan 24 , (d) ∫ dxxcscxctg 25 Solución: Teniendo en cuenta la fórmula 1:
(a) ∫ dxxcosxsen 2 = ∫ += Cxsen31
)dxx(cos)xsen( 32
(b) ∫ dxxsenxcos3 = ∫ +−=−− Cxcos41
)dxxsen()x(cos 43
(c) ∫ dxxsecxtan24 = ∫ += Cxtan5
1)dxx(sec)x(tan 524
(d) ∫ dxxcscxctg 25 = ∫ +−=−− Cxctg61
)dxxcsc()xctg( 625
Ejemplo 7. Encontrar las siguientes integrales:
(a) ∫ + 4xdx
; si u = x + 4, du = dx, entonces: ∫ ∫ ++=+==+
C4xlnCulnu
du
4x
dx. En
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los siguientes ejercicios, para usar la fórmula Culnu
du+=
∫, debe tenerse en cuenta
que en el numerador está la diferencial del denominador.
(b) C9xln2
1
9x
dxx2
2
1
9x
dxx 222
+−=
−
=
− ∫∫
(c) C1xln3xx2
1dx
1x
31xdx
1x
2x 22
+++−=
++−=
+
+
∫∫ . (Cuando el grado delnumerador es mayor o igual que el grado del denominador, es conveniente dividirpreviamente).
(d) Cx4
1xlndx
x
1
x
1dx
x
1xdx
x
1x2xdx
x
2xx455
4
5
48
3
44+−=
+=
+=
++=
++
∫∫∫∫ −
(e) ( ) Ce1lne1
dxe
e1
dxe
1e
dx xx
x
x
x
x ++−=
+
−−=
+
=
+
−
−
−
−
−
∫∫ ∫ . (En el cual, se ha multiplicado elnumerador i el denominador por e– x ).
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1. Suponga que y = f(x) es derivable lo suficiente. Simplificar las expresiones siguientes:
(a) [ ] 'dx)x(f xsenx2
++∫ (b) dx])x(f x[
'
∫
(c) dx)x("f dx)x(f xdx
dx
dx
d 33∫ ∫
++ (d)
'dx]'x)x(f 3x[ 2
++∫
En los ejercicios del 2 al 60, evaluar las integrales dadas:
2. .Cx3
1x6x48xln64dx
x
)x4( 323
+−+−=−
∫
3.
∫ +−= C
x
1
x
dx
2
.
4. ( ) Cxxxxdx1x2x3x4 23423 ++++=+++∫ .
5. ∫ += Cx43
dxx 3 / 43 .
6. ( ) Cx8
3x
5
3dxxx1 3 / 83 / 5
3 2+−=−∫ .
7. Cx44
xx
3
2dx
x
2x
2
1x
22 / 3
++−=
+−∫
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8. ( ) C4x39
2dx4x3
2 / 3++=+
∫.
9. ( ) Cx314
1dxx31
3 / 43 ++−=−∫ .
10. ( ) ( )∫ +−−=− C1x2
1
1x
dx23
.
11. ( ) .C7
x
2
xxdxx1
7423
++−=−∫
12. ( ) ( )∫ ++−+=+
C3x63x3
2
3x
dxx 2 / 12 / 3
13. ( )
( ) ( ) Cx16x123
x1
dxx2 3 / 13 / 43 / 2
+−−−=
−∫
14. ( ) ( ) ( ) Cx36x35
12x3
7
2dxxx3 2 / 32 / 52 / 72 +−−−+−−=−∫ .
15. C1xln2xdx1x
1x++−=
+
−
∫ .
16. C4xln4xdx4x
x2 222
3
+−+=
−∫ .
17. C)x(lnln)x(lnln2
1
dxxlnx
1)x(lnln 2++=
+
∫
50. C1eln2
1dx
1e
e x2x2
x2
++=
+∫
51. ( )∫ +−+=+
−Cx1elndx
1e
1e 2xx
x
52. 2)x1(
Cln
)x1(x
dx
−
=
−∫
53. Cxlnlnxlnx
dx+=∫
54. ( ) Cxln221
dxx
xln22 ++=
+
∫
55. Cx3ln3
1dx
x
x3ln 32
+=∫
56. ( )
C|xln1|lnxln1x
dx+−−=
−∫
57. (a) .Cx2cos8
1dxx2senx2cos 42 +−=∫ (b) Cx3tan9
1dxx3secx3tan 322 +=∫ .
(c) .C8xln9ln9
1
)8xln9(x
dx++=
+∫ (d) .C9xcos8ln161
9xcos8
dxxcosxsen 22
++−=
+∫ B. Segundo grupo de fórmulas
Si u es una función de x: u = f(x), donde du = f ’(x) dx, entonces:
3. ∫ duau = alnau
+ C. o ∫ ]dx)x('f [a )x(f = alna )x(f
+ C
4. dueu∫ = eu + C o ∫ ]dx)x('f [e )x(f = )x(f e + C
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Ejemplo 8. Encontrar las siguientes integrales:
(a)∫
dx2 x5 . Para emplear la fórmula 3, observe que du es la diferencial de la función
exponente u. Multiplicando i dividiendo por 5, se tiene: ∫∫ = dx5251
dx2 x5x5 = C2ln
2.
5
1 x5+ .
(b) Caln
a
3
1dxx3a
3
1dxxa
333 x2x2x
+==∫ ∫ .
Ejemplo 9. Hallar: (a) ∫ dxba xx2 . En efecto, ∫ dxba xx2 = ∫ dxb)a( xx2 = ∫ =dx)ba( x2
.C)ba(ln
)ba(
2
x2
+ (b) dx3
4
1x
1x
∫ −−
+−
: En efecto: hagamos la sustitución elemental u = –x+1, de
donde x = 1 – u i du = – dx, luego dx3
41x
1x
∫ −−+−
= du3
41u1
u
∫ −+−− = – =∫ − du34
2u
u
du3
49
u
∫
− = – 9 .C
3
4
)3 / 4(ln
9.C
)3 / 4(ln
)3 / 4(x1u
+
−=+
−
Ejemplo 10. Hallar el valor de las siguientes integrales:
(a) ( ) Ce
3
1dx3e
3
1dxe x32x32x32 +−=−−= −−−
∫∫
(b) Ce2x2
dxe2
x
dxedx
x
e xxxx
+=== ∫∫∫
Ejemplo 11. Obtener dx2e
1x∫ +
Solución: Multiplicando numerador i denominador por e–x resulta ∫ −−
+x
x
e21
dxe.
Sea u = 1+2e–x ⇒ du = –2e–x dx, luego:
dx2e
1x∫ + = ∫ ∫ +−=
−=
+ −
−Culn
21
udu)2 / 1(
e21
dxex
x = Ce21ln21 x
++− − .
Ejemplo 12. Evaluar ∫ +
x2 / x ee
dx
Solución: Sea u = x/2, x = 2u, dx = 2du. Reemplazando en la integral, obtenemos:
∫ ∫ ∫∫
+
+−=
+
=
+
=
+ −
−
−
−
du1e
11e2
1e
due2
ee
du2dx
ee
1u
u
u
u2
u2ux2 / x =
+
+−= ∫ − due1e
1e2u
uu
( )( ) ( ) Ce1ln2xe2Ce1lnue2 2 / x2 / xuu +++−−=+++−−= −− .
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Ejemplo 13. Calcular
∫dx
2
xcoshe 2 / x .
Solución: Por definición, sabemos que cosh2
x= )ee(
2
1 2 / x2 / x −+ . Nuestra integral se
convierte en ∫ + dx)1e(21 x = C)xe(
2
1 x++
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En los ejercicios del 1 al 40, obtener al valor de las siguientes integrales:
1. (a) dx3
1x∫
= C3)3ln(
2x+− (b) C2
2ln1
xdx2 1xx += +
∫
2. Ce5
1dxe x5x5 +=∫
3. Ce2
1dxxe
22 xx+−=
−−∫
4. Ce4
1dxxe
44 x3x+=∫
5. Ce2
1dxxe 4x4x
22+−=
+−+−∫
6. Cedxx
e x / 12
x / 1
+−=∫ 7. ( ) Ce4ex4dxe2e xx22 / x2 / x
+−+=+ −−∫
22. ( ) C9ln
9
6ln
62
4ln
4dx32
xxx2xx++
×+=+∫
23. Caln1
eadxea
xxxx
++
=∫
24. C326ln
1dx32e
xxxx eeeex+=∫
25. Cedxeexeexxe
xee+=∫ +
26. C2
1
2ln5
1
5
1
5ln
2dx
10
52 xx
x
1x1x+
+
−=
−
∫ −+
27. C3
2
2
3
2ln3ln
1dx
32
49xx
xx
xx
+
+
−=
−
∫
28. Cxcoshdxxhsen +=∫
29. C1elndxe1
1 xx
++=
+∫ −
30. Cxsenhdxxcosh +=∫ 31. ( ) Ceelndxxhtan xx ++= −∫
32.
∫ ++= Cx2senh
4
1
2
xdxxcosh2
33. ( ) ( ) Cxsenh3
2dxx2senhxsenh 3 +=∫
34. ( ) ( ) Cx4senh8
1x2senh
4
1dxx3coshxcosh ++=∫
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C. Tercer grupo de fórmulasSi u es una función de x: u = f(x), donde du = f ’(x)dx, entonces:
5. ∫ +−= Cucosduusen o ∫ +−= C])x(f [cos]dx)x('f [])x(f [sen
6. ∫ += Cusenduucos o ∫ += C])x(f [sen]dx)x('f [])x(f [cos
7. Cutanduusec2 +=∫ o C])x(f [tan]dx)x('f [])x(f [sec2 +=∫
8. ∫ +−= Cuctgduucsc2 o ∫ +−= C])x(f [ctg]dx)x('f [])x(f [csc
2
9. ∫ += Cusecduutanusec o
∫ += C])x(f [sec]dx)x('f [])x(f [tan])x(f [sec
10. ∫ +−= Cucscduuctgucsc o
∫ +−= C])x(f [csc]dx)x('f [])x(f [ctg])x(f [csc
11. ∫ +−= Cucoslnduutan o ∫ +−= C])x(f [cosln]dx)x('f [])x(f [tan
12. ∫ += Cusenlnduuctg o ∫ += C])x(f [senln]dx)x('f [])x(f [ctg
13. ∫ ++= C)utanu(seclnduusec o ∫ ++= C]))x(f [tan])x(f [(secln]dx)x('f [])x(f [sec
14. ∫ +−= C)uctgu(csclnduucsc o
∫ +−= C))]x(f [ctg])x(f [(cscln]dx)x('f [])x(f [csc
15. ∫ += Cucoshduusenh o ∫ += C])x(f [cosh]dx)x('f [])x(f [senh
16. ∫ += Cusenhduucosh o ∫ += C])x(f [senh]dx)x('f [])x(f [cosh
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17. Cutanhduuhsec 2 +=
∫ o C])x(f [tanh]dx)x('f [])x(f [hsec 2 +=
∫
18. ∫ +−= Cuctghduuhcsc 2 o ∫ +− C])x(f [ctgh]dx)x('f [])x(f [hcsc 2
19. ∫ +−= Cuhsecduutanhuhsec o ∫ +−= C])x(f [hsec]dx)x('f [])x(f [tanh])x(f [hsec
20. ∫ +−= Cuhcscduuctghuhcsc o ∫ +−= C])x(f [hcsc]dx)x('f [])x(f [ctgh])x(f [hcsc
Ejemplo 14. Obtener el valor de: dx1xsec
xtanxsec
∫ −
Solución: Sea u = sec x –1, donde du = sec x tan x dx, luego dx1xsec
xtanxsec
∫ − =
∫ −=+= 1xseclnCulnudu
Ejemplo 15. ∫ dx)x4(cos . Sea du41
dx;x4u == , entonces ∫ ∫ =
= du
4
1ucosdx)x4(cos
= Cx4sen4
1Cusen
4
1+=+ .
Ejemplo 16. θθ+θ∫ dcos1sen . Sea u = 1+ cos θ, donde du = – sen θ dθ, luego
= )dsen(cos1 θθθ+∫ = C)cos1(32
Cu3
2duu 2 / 32 / 32 / 1 +θ+−=+−=− ∫ .
Ejemplo 17. Cxcos2
1)dxx2(xsen
2
1dxxsenx 222 +−== ∫∫ .
Ejemplo 18. ∫ )x(tanlnx2sendx
( tan x > 0 ). Sea u = ln (tan x), donde:
du =xtandxxsec
2
=x2sen
dx2xcosxsen
dx = ⇒ 2
dux2sen
dx = , luego :
∫∫ = udu
2
1
x2sen
dx
)x(tanln
1= Culn
2
1+ = C)x(tanlnlnC])x(tanln[ln
2
1+=+ .
Ejemplo 19. ∫ ∫ +== Cxsecdxxsecxtanxcosdxxsen
2.
Ejemplo 20. ( ) ( )dxx2secx2secx2tan2x2tandxx2secx2tan 222 ∫∫ +−=−
∫ +−−=−−= Cxx2secx2tandx)1x2secx2tan2x2sec2( 2 .
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E J E R C I C I O S
En los ejercicios del 1 al 50, determinar el valor de las integrales siguientes:
1. Cxcosdxxsenx3 332 +−=∫
2. ∫ ++=++ C)1x3(sec31
dx)1x3(tan)1x3(sec
3. ∫ +−= C2x
cos2dx2
xsen
4. ∫ +−= Cxcos3
1dxxsenxcos 32
5. ( )∫ += Cxsenln21
dxxcotx 22
6. Cxtan3
1dxxsecx 3322 +=∫
7. ( )∫ ++= Cxtanxsecln2dxxxsec
8. Cxctg2dxx
xcsc
2
+−=
∫
9. Cxtan2dxxtan
xsec2+=∫
10. ∫ += Cesendxecosexxx
11. Cxxseclndxxcos
xcosxsen++=
+
∫
12. Ce6
1dxe x2cos3x2cos3 +−=∫
13. C2
xtg2dx
2
xsec
2
xtg 22 +=∫
14. ( ) Cxsec32ln3
1dx
xsec32
xtanxsec++=
+∫
15. Cxcosxctgxcsclnxsen
dxxcos2++−=∫
16. Cxcos1lnxcos1
dxxsen++−=
+
∫
17. Cxctgxcscxcos1
dx+−=
+∫
18. ∫ +−=+ Cxsecxtansenx1dx
19. ( ) Cx10ctgx10cscln5
2x5ctg
5
1x5tan
5
1dxx5cscx5sec 2 +−+−=+∫
20. ∫ +=+ Cx4tan81
x8cos1
dx 21. ∫ += Cedxxsece xtan2xtan
22. (a) Cxsenhlndxxsenh
xcosh+=∫ (b) Cxcoshlndxxcosh
xsenh+=∫
23. ∫ +−=−− C)1x(cosh31
dx)1x(senh)1x(cosh 32
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24. Cedxe
xsec xtan
xtan
2
+−= −
∫ 25. C
xtan1
1dx
xtan1
xsec2
+
+
−=
+
∫
26. ( ) Cx2coslnx2tan2
1dx1x2tan 2 ++=−∫
27. ( ) ( ) Cxxsecxtan2dxxtanxsec 2 +−−=−∫
28. C|xtan1|lndxxtan1
xsec2++=
+∫
29. ∫ += Cx2senh61
dxx2senhx2cosh 32
30. Cxctglnxcosxsen
dx+−=∫
31. C|x2sec|ln2
1dx
1xctg
xctg2
+=
−∫
32. ∫ ++=+−
Cxsen1lndx
senx1
senx1
33. C|xsenx|lndxsenxx
xcos1++=
+
+
∫
34. Cx2sen4
1dx
x2sen
x2cos23
+−=∫
18.3 Aplicaciones de la integral indefinida
Muchas situaciones prácticas, especialmente aquellas relacionadas con razones decambio, pueden describirse en forma matemática mediante ecuaciones diferenciales; iresolver una ecuación diferencial se convierte simplemente en integrar, obteniéndose unasolución general donde está incluido la constante de integración C sin determinar, o unasolución particular cuando está especificado alguna condición de modo que pueda serdeterminado el valor de C.
Los modelos exponenciales expuestos en la sección 2 del capítulo 8, como son lasleyes de crecimiento i de decrecimiento, la función de aprendizaje, la función logística, etc.no son sino soluciones de ecuaciones diferenciales elementales adecuadamenteestablecidas.
En esta sección estableceremos cuatro aplicaciones: leyes naturales de crecimientoi de decrecimiento, ley del enfriamiento de Newton, ley de dilución (problemas sobremezclas), i otras.
Así mismo, problemas referentes a movimiento de partículas a lo largo de unarecta, cuando se conoce su velocidad v = ds/dt i aceleración a = d2s/dt2, podemosdeterminar la posición de la partícula en un instante cualquiera por medio de la integralindefinida. Estos i otros tipos de problemas son estudiados por el cálculo integral. Nosotrosestamos más bien interesados en las aplicaciones que están orientadas a algunos fenómenosque ocurren en la naturaleza.
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A. Leyes de crecimiento i de decrecimiento
En muchos fenómenos naturales el crecimiento o el decrecimiento de unasustancia viene expresado a través de una ley natural, a saber:
“La rapidez de cambio de la cantidad de una sustanciacon respecto al tiempo es proporcional a la cantidad dela sustancia presente en un instante dado”
Esto ocurre en la química, física, biología, demografía, negocios, etc. Si t denota el tiempo iA la cantidad de sustancia presente en cualquier instante, entonces matemáticamente la ley
natural en mención se expresa como:
kAdt
dA=
donde k es la constante de proporcionalidad. Si A aumenta cuando t aumenta, entoncesk>0 i se tiene la ley del crecimiento natural; alternativamente, si A disminuye cuando taumenta, entonces k < 0 y se tiene la ley de decaimiento natural.
Ya que la ecuación anterior, puede escribirse en la forma k A
dA= dt, resulta que
al integrar ambos miembros, en virtud de la fórmula 2 se tiene:
∫∫ = dtk AdA
⇒ 1CktAln += ⇒ 1CkteA += ⇒ 1Ckt eeA = , de donde:
kteCA =
donde C = 1Ce ; por lo que los problemas de crecimiento i decaimiento que consideraremos
son aplicaciones de la función exponencial. Los distintos ejemplos que ilustramos acontinuación provienen de varios campos, cuya explicación se expresa en su desarrollo.
Ejemplo 3. (Crecimiento de población) Supongamos que la tasa de cambio (razón decambio) del tamaño de la población mundial es proporcional al tamaño de la población ique ésta crece a una tasa anual aproximada del 2%. Dado que la población mundial en 1965era de 3 mil millones i suponiendo que la tasa de crecimiento permanece inalterada, ¿cuálera la población en el año 2000?
Solución: Sea N(t) el tamaño de la población mundial en un tiempo t medido en años,
luego según el enunciado del problema se tiene: kNdt
dN=
. Desde que %2N
dt / dN
100 =
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entonces tenemos %2
N
kN100 = , es decir k = 0.02, por que la tasa de cambio resulta ser
N02.0dt
dN= ⇒ dt02.0
N
dN= . Integrando ambos miembros se tiene: ∫ ∫= dt02.0N
dN ⇒
ln N = 0.02t + C1 ⇒ N(t) = C e0.02 t. Como la condición inicial establece que cuando t = 0
(en 1965) se tiene N = 3 (10)9, entonces N(0) = C e 0.02(0) ⇒ C = 3 (10)9 ; esto es,
N(t) = 3 (10)9 e0.02t . La población en el año 2000 se obtiene cuando t = 35: N(35) = 3(10)9
e0.02(35) = 3(10)9 e0.7 = 6,041’258,100 habitantes.
Ejemplo 5. (Purificación del aire) Una habitación de 2400 pies cúbicos contiene un filtrode aire de carbón activado a través del cual pasa el aire a una razón de 400 pies cúbicos porminuto. El ozono del aire fluye a través del filtro i el aire purificado se vuelve a hacercircular en la habitación. Asumiendo que el ozono restante es distribuído uniformementepor toda la habitación en todo momento, determine cuánto tiempo dura el filtro en retirar el50% del ozono de la habitación.
Solución: Sea x el número de pies cúbicos de ozono que hay en la habitación después de tminutos que ha empezado a funcionar el filtro. Ya que todo el tiempo hay 2400 piescúbicos de aire en la habitación, al cabo de t minutos el número de pies cúbicos de ozono esx/2400. Como 400 pies cúbicos de aire salen del filtro cada minuto, entonces la habitaciónpierde 400(x/2400) pies cúbicos de ozono por minuto. Desde que x disminuye a medida
que t aumenta , se tiene:
−=
2400
x400
dt
dx ⇒ x
6
1
dt
dx−= ⇒ dt
6
1
x
dx−= . Integrando
ambos miembros obtenemos: ∫ ∫−= dt61
x
dx ⇒ x = Ce– t/ 6. Cuando t = 0, x = x0 que es la
cantidad inicial de ozono, luego x0 = Ce0/6 ⇒ C = x0; por tanto: x = x0e
– t/ 6. Pero en el
instante en que se retira el 50% de ozono se tendrá: 00 x2
1x
100
50x == , luego reemplazando
este valor tenemos:6t
00 exx2
1 −= ⇒ 2
1
e6t
=
−
⇒ t = 6 ln 2 = 4.16 minutos.
D. Otras aplicaciones
Existen todavía una gran variedad de problemas, con los cuales queremos mostraraún más la importancia de la integración indefinida. En el próximo capítulo, mediante laintegral definida, se expondrán otras aplicaciones orientadas a diferentes especialidades.
Ejemplo 13. (Depreciación) El valor de reventa de cierta maquinaria industrial decrece aun ritmo proporcional a la diferencia entre su valor actual i su valor residual de $ 5000. Lamaquinaria se compró nueva por $40000 i valía $30000 después de 4 años. ¿Cuánto
valdrá la maquinaria cuando tenga 8 años?.
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Solución: Sea V(t) el valor de la maquinaria cuando tenga t años. La derivada es igual alritmo, i según el enunciado, )5000V(k
dt
dV−= con las condiciones de que cuando t = 0,
V = 40000; i cuando t = 4, V = 30000. Pasemos a resolver la ecuación diferencial:
)5000V(k dt
dV−= ⇒ dtk
5000V
dV=
−. Integrando en ambos miembros:
ln (V-5000) = kt + C ⇒
40000 = V(0) = 5000 + C e k (0) ⇒ C = 35000
30000 = V(4) = 5000 + 35000 ek(4) ⇒ k =
7
5ln
4
1
Luego la solución particular es V(t) = 5000 + 35000t
7
5ln
4
1
e
.
Deseamos saber V cuando t = 8, entonces: V(8) = 5000 + 35000)8(
7
5ln
4
1
e
=22 857.14
dólares.
Ejemplo 14. (Crecimiento) Se calcula que dentro de t años el valor de 1 m2 de terrenocerca de un pueblo (Departamento del Cusco), estará aumentando a una razón de
8000t2.0
t14
4
3
+soles por año. Si el terreno vale actualmente S/. 500 por m
2
, ¿cuánto valdrá
dentro de 10 años?.
Solución: Sea x el valor del terreno en soles por m2 dentro de t años, entonces:
8000t2.0
t14
dt
dx
4
3
+
= . Luego ∫ ∫ −+=+
= dtt)8000t2.0(148000t2.0
dtt14x 32 / 14
4
3
,
K8000t2.04.0
14x 4 ++= . Usando las condiciones iniciales x = 500 cuando t = 0,
obtenemos K = 500 – 4.26304.0
)540()14(−= Reemplazando este valor de K resulta
4.26308000t2.04.0
14x 4 −+= . Necesitamos saber el valor de x cuando t = 10; es decir,
6.8694.263035004.2630)100(4.0
14x =−=−= . Por tanto, el valor de m2 de terreno a los 10
años será aproximadamente de S/. 870.
Ejemplo 15. (Crecimiento de población) En marzo de 1987 la población mundial erade 4.5 miles de millones de habitantes i después creció a razón de 380 mil personas diarias.
V(t) = 5000 + Ce kt ⇒
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Suponiendo que son constantes los índices de natalidad i mortalidad, ¿para cuándo se
puede esperar una población mundial de 10 mil millones? (Suponga que el crecimiento dela población mundial obedece la ley del crecimiento natural).
Solución: Sabemos que kPdt
dP= ⇒ P(t) = C ekt, donde C = P(0) = P0, de modo que la
solución de la E.D. es P(t) = P0ekt. Podríamos escribir también la E.D. como P’(t) = k P(t), i
para t = 0, P’(0) = k P(0) ⇒ )0(P
)0('Pk = . Tomaremos t = 0 correspondiente a 1987, así
P0 = 4.5 miles de millones. Como P está aumentando 380 mil / día en t = 0; es decir,0.00038 mil millones en 1día, entonces en 1 año significa que P’(0) = (0.00038) (365.25) =
0.138795 miles de millones al año. Luego 030843.05.4
138795.0)0(P)0('Pk === . Por tanto, el
cambio porcentual de la población al año 1987 está creciendo al 3.08%. Deseamos sabercuándo alcanzará 10 mil millones, para ello basta resolver la ecuación P(t) = P0e
0.030843 t
para P(t) = 10. En efecto, 10 = 4.5 e0.030843 t ⇒ t = 25.89 años, aproximadamente la
población mundial llegará a 10 mil millones cuando t ≈ 26 años después de 1987; esto es,el año 2013.
E J E R C I C I O S
1. (Decrecimiento) Una sustancia radioactiva tiene una vida media de 810 años. Si hay10 gramos al principio; ¿cuánto quedará al cabo de 300 años?.
2. (Decrecimiento) La razón de decaimiento del radio es proporcional a la cantidadpresente en cualquier tiempo. Si se tiene 60 mg. de radio i su vida media es 1690 años,¿qué cantidad de radio estará presente dentro de 100 años a partir de hoy?.
3. (Bienes raíces) En la actualidad el precio de cierta casa es S/. 200000. Suponga que seestima que después de t meses el precio p(t) se incrementará a la razón de 0.01 p(t) +1000t soles. ¿Cuánto costará la casa dentro de 9 meses?.
4. (Reventa) El valor de reventa de cierta maquinaria industrial decrece durante unperiodo de 10 años a un ritmo que depende de la antigüedad de la maquinaria. Cuandola maquinaria tiene x años, el ritmo al que cambia su valor es 220 (x–10) dólares poraño. Si la maquinaria valía originalmente 12 mil dolares, ¿cuánto valdrá cuando tenga10 años?.
5. (Decrecimiento) El radio se desintegra a una razón proporcional a la cantidadpresente. Se necesitan 1690 años para que el 50% de una cantidad dada de radio sedesintegre.(a) ¿Qué cantidad de un abastecimiento inicial de 50 gramos de radio quedará
después de 2000 años?.
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(b) ¿Cuánto tiempo se necesitará para que un abastecimiento de 50 gramos de radio
se reduzca a 5 gramos?
6. (Crecimiento) Supongamos que la población de bacterias crece en un cultivo a unatasa proporcional al tamaño de la población. Si el tamaño de la población es 106 inicialmente i 25× 105 después de la primera hora, ¿cuál es el tamaño de la poblacióndespués de 2 horas?.
7. (Decrecimiento) Si la vida media del radio es de 1690 años. ¿Qué porcentaje de lacantidad ahora presente permanecerá después de : (a) 100 años, (b)1000 años.
8. (Crecimiento de población) La población de cierto pais crece al 3.2% anual; esdecir, si al comenzar un año es A, al final del año será 1.0321. Suponiendo que ahoraes de 4.5 millones, ¿cuál será al finalizar el año, ¿2 años?, ¿10 años?, ¿100 años?.
9. (Crecimiento) La tasa de crecimiento natural de la población de una cierta ciudad esproporcional a la población. Si la población aumenta de 40,000 a 60,000 en 40 años,¿cuándo llegará a ser la población 80,000?
10. (Decrecimiento) El radio se descompone con una velocidad proporcional a la cantidadde radio presente. Supóngase que se descubre que en 25 años aproximadamente 1.1%de una cierta cantidad de radio se ha descompuesto. Determínese aproximadamentecuánto tiempo tomará el radio para que se descomponga la mitad de la cantidad
original.
11. (Decrecimiento) Calcúlese el período de semidesintegración de una sustanciaradioactiva si en 10 años desaparece el 25% de ésta.
Aplicaciones adicionales a la administración i economía.
A. Función marginal.
Con frecuencia en la situación de negocios ocurre que la tasa de cambio de una
función con respecto a alguna variable se determina fácilmente derivando dicha función. Elproblema ahora consiste en encontrar la función cuya tasa de cambio se conoce. Así porejemplo, dadas las funciones de costo marginal C’(x) i de ingreso marginal R’(x) puede sernecesario conocer las funciones de costo total i del ingreso total con el propósito de queuna compañía realice trabajos de planificación; para tal efecto, bastará integrar lasfunciones marginales; es decir:
∫ += K)x(Cdx)x('C donde la constante K se determina especificando una condición inicial, que frecuentementese hace en términos de un costo fijo o de gastos generales; es decir, cuando x = 0. De una
manera análoga se tiene:
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∫ += K)x(Rdx)x('R donde K se encuentra generalmente asumiendo que el ingreso es cero cuando la demandaes cero.
Si c=f(x) representa la función de consumo nacional total i x es la renta total,entonces la “propensión marginal al consumo” se define como:
dx
dc)x('f =
En el análisis teórico elemental de la renta nacional total se hace frecuentemente la
suposición de que la renta disponible x es igual al consumo c más el ahorro s; esto seexpresa
como: x = c + s de donde, la “propensión marginal al ahorro” es:
dx
dc1
dx
ds−=
Por consiguiente, el consumo nacional total estará dado por la integral con respecto a x de
la propensión marginal a consumir; esto es:
∫ += K)x(f dx)x('f , donde la constante K
debe determinarse especificando una condición inicial.
A continuación se presentan 3 problemas en que se conoce la función marginal(como razón de cambio) i el objetivo es hallar dicha función.
Ejemplo 1. (Función marginal) La función de costo marginal para la producción de x
unidades es C’(x) = 10 + 24x – 3x2. Si el costo total para producir una unidad es 25, hallar
la función del costo total i del costo promedio.
Solución: Desde que se conoce la tasa de cambio del costo, la función costo se encuentra
integrando: C(x)= ( )∫ +−+=⇒−+ k xx12x10)x(Cdxx3x2410322 . Para encontrar la
constante de integración k, debemos tener en cuenta que cuando x = 1, C = 25; luego 25 =
10(1) + 12(1)2 – (1)3 + k ⇒ k = 4. Por consiguiente la función del costo total es: C(x) = 10x
+ 12x2 – x3 + 4, i la función del costo promedio es: ( )x
4xx1210
x
)x(CxQ 2 +−+== .
Ejemplo 2. (Costo de almacenamiento de inventarios) Un minorista recibe uncargamento de 12000 kilos de semillas de soya que se consumirán a una razón constante de300 kilos por semana. Si el costo de almacenamiento de las semillas de soya es un centavopor kilo a la semana, ¿cuánto tendrá que pagar el minorista el costo de almacenamiento en
las próximas 40 semanas.
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Solución: Sea S(t) el costo total de almacenamiento (en soles) durante t semanas. Las
semillas de soya se consumen a una razón constante de 300 kilos a la semana, la cantidadde semillas de soya almacenadas después de t semanas es 12000 – 300 t. Como el costo dealmacenamiento es un centavo por kilo a la semana, la razón de cambio del costo de
almacenamiento con respecto al tiempo es: kgr.)deNúmero(kgr)porCosto(dt
dS= = (0.01)
(12000 – 300t); es decir, t3120dt
dS−= ⇒ S(t) = 120t – Kt
2
3 2+ . Para determinar la
constante de integración K, utilizamos el hecho de que en el momento en que llega el
cargamento no hay costo; esto es, S = 0 cuando t = 0, luego 0 = S(0) = 0 – 0 + K ⇒ K = 0,
por tanto S(t) = 120t – 2
3
t
2
. Ahora el costo de almacenamiento durante las próximas 40semanas es S(40) = 2400 soles.
Ejemplo 3. (Función de consumo) La propensión marginal a consumir (en millones de
soles) es2 / 1x2
5,06,0
dx
dc+= Cuando la renta es cero, el consumo es de S/. 10 millones.
Hallar la función de consumo.
Solución: Deseamos encontrar la función del consumo c=f(x), donde x es la renta nacional
total; para ello basta integrar la propensión marginal a consumir:
∫ ++=
+= Kx5,0x6,0dx
x2
5,06,0c 2 / 1
2 / 1. Como c =10 cuando x = 0, entonces
obtenemos K = 10, luego la función de consumo es 10x5,06,0c 2 / 1 ++= .
B. Interés continuo
En seguida estamos interesados en otra aplicación más a los negocios que es elinterés compuesto en forma continua, cuya ley se comporta en forma similar a la ley delcrecimiento natural. Para esto, recordemos el interés simple i compuesto, vistas en la parte
C de la sección 1 del capítulo 8.
Cuando el dinero se invierte, genera (usualmente) interés. La cantidad de dineroinvertida se denomina capital.
En primer lugar, el interés que sólo se calcula sobre el capital se llama interéssimple, i el saldo A (otras veces llamada el monto M) después de t años viene dado por:
Interés simple: A(t) = P(1 + rt) soles . . . (1)
donde r es la tasa de interés simple anual (expresado como un decimal), t en años.
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21
El ejemplo 1, expresado en la sección 8.1, considera P = S/. 15000, r = 2%
trimestral, t = 5 años; el interés total simple que obtuvimos fue de S/. 6000, de donde elsaldo se determinó A = 15000 + 6000 = S/. 21000. Este mismo resultado obtenemos por la
última fórmula (1). En efecto, A(t) = P(1 + rt) ⇒ A(5) = 15000 [1 + (0.08) (5)] = S/.21000.
En segundo lugar, el interés que se calcula sobre el capital más los interesesprevios se llama interés compuesto. Supongamos que se invierte una cantidad de P soles auna tasa de interés r por periodo, compuesto al final de cada periodo, entonces lascantidades A1, A2, ... , An respectivamente, al final del primer periodo, del segundoperiodo, etc, son:
A1 = P + Pr = P(1+ r) = P(1+r)
1
A2 = A1 + A1 r = A1 (1+r) = P(1+r)2
A3 = A2 + A2 r = A2 (1+r) = P(1+r)3
........................................................An= An-1 + An-1 r = An-1 (1+r) = P(1+r)
n
En consecuencia, la cantidad An al final de n periodos viene dada por:
An = P(1+r)n soles . . . (2)
donde, n es el número de periodos, r es la tasa por periodo.
El ejemplo 2, en la sección 8.1 considera P = $ 5000, r = 8% anual, t = 2 años; elinterés compuesto total que obtuvimos fue de $ 849.30 después de 4 etapas sucesivas conlo cual el saldo fue M = 5000 + 849.30 = $ 5849.30. Este mismo resultado determinamospor medio de la fórmula (2). En efecto, P = $ 5000, r = 4% semestral, t = 4 semestres,
entonces A4 = P(1+ r)4 ⇒ A4 = 5000 (1 + 0.04)
4 = $ 5849.30.
Resumimos la fórmula anterior de la forma siguiente. Asumamos que cadaperiodo está representado por 1 año i que el interés anual r se compone con una frecuenciade m veces por año, entonces la cantidad acumulada al cabo de t años viene dada en el
siguiente cuadro:
Número de veces por año enque se compone el interés
Cantidad después de t años
1 P(1 + r) t
2 P(1 + r / 2)2t
3 P(1 + r / 3)t
. . . . . .
365 P(1 + r / 365)365 t
. . . . . .
m P(1 + r / m) m t
-
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Por tanto, la cantidad A después de t años, si P soles son invertidos a una tasa del r%
compuesto m veces por año, está expresada por:
A =P (1 + r / m)m t soles . . . (3)
que se conoce con el nombre de fórmula del interés compuesto, donde r es la tasa deinterés anual, i el interés se capitaliza m veces por año, t está dado en años. ¿Qué sucedecuando m crece indefinidamente en la fórmula (3)?. En tal caso observamos que
tr)tr(
r
m
m
tm
mPe
m
r1Plim
m
r1Plim =
+=
+
∞+→∞+→
; es decir, la cantidad A tiene una cota
superior definida cuando el interés se compone continuamente. En consecuencia: “Si Asoles es el monto total después de t años, cuando se han invertido inicialmente P soles,
entonces la ley del interés compuesto continuamente establece que kAdt
dA= , k > 0 ”,
donde su solución A(t) = C ekt se convierte en:
treP)t(A = soles . . . (4)
con C = P para el cual P = A(0), k = r.
Finalmente, en lo que sigue vamos a ver cómo la integración indefinida puede seraplicada en un modelo del análisis económico dinámico sencillo expresado en términos deecuaciones diferenciales. El señor Domar desarrolló un primer modelo para predecir ladeuda nacional. Este modelo contiene las hipótesis de que el ingreso nacional marginal esuna constante i que un aumento anual en la deuda nacional varía directamente con elingreso nacional; esto es, si I representa el ingreso nacional, entonces la primera hipótesis
de Domar establece que: Bdt
dI= , donde t denota el tiempo i B la cantidad constante anual
expresada en soles. Para resolver esta ecuación escribimos dI = B dt e integrando ambosmiembros se tiene I=Bt+C1. Aplicando la condición inicial I=I0, cuando t = 0 , entonces
C1 = I0 ,
I = Bt + I0 . . . (5)
Si N representa la deuda nacional, entonces la segunda hipótesis de Domar afirma que:
kIdt
dN= , donde k es la constante de proporcionalidad. Reemplazando (5) en la última
ecuación diferencial, resulta: ( )0IBtk dt
dN+= o dN = (kBt + kI0) dt, i al resolver esta
ecuación diferencial obtenemos: 202
CkIt2
kB
N ++=
. Nuevamente aplicando la
-
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condición inicial N = N0 cuando t = 0 se tiene C2 = N0, por consiguiente la deuda nacional
N viene expresada por:( ) 00
2 NkIt2
kBtN ++= . . . (6)
que representa la solución del modelo Domar, dado inicialmente por las ecuaciónes
“estructurales”: Bdt
dI= ; kI
dt
dN= ; I(0) = I0; N(0) = N0; B > 0; k > 0.
Ejemplo 4. Suponga que se invierten 10000 soles al 5% anual. Compare las cantidadesdespués de 5 años si el interés se compone: (a) anualmente, (b) semestralmente, (c)trimestralmente, (d) continuamente.
Solución Para las partes (a), (b) i (c) de este ejemplo, por tratarse de interés compuesto
(no continuo) utilizamos la fórmula (3), i para la parte (d), la fórmula (4). En efecto:tm
m
r1PA
+= , donde P = 10000, r = 5% = 0.05, t = 5 años.
(a) Para m = 1: 8.127621
05.0110000A
)5(1
=
+=
(b) Para m = 2: 8.128002
05.0
110000A
)5(2
=
+=
(c) Para m = 4: 4.128204
05.0110000A
)5(4
=
+=
(d) 2.12840e10000PeA )5)(05,0(rt ===
Comparando estos resultados se observa que las cantidades son cada vez mayorescuando se capitalizan más frecuentemente. A su vez obsérvese también que el cálculo en elcaso periódico es más laborioso que en el caso continuo.
Ejemplo 5. Con qué rapidez se triplicará el dinero si se invierte a una tasa de interés anualdel 6% capitalizado: (a) ¿semestralmente?, (b) ¿continuamente?.
Solución (a) Según la fórmula (3), A(t) = t2)2
r1(P + ⇒ A(t) = t2)
2
06.01(P + . El objetivo
es hallar t para el cual A(t) = 3 P, luego 3P = t2)2
06.01(P + ⇒ 3P = t2)03.1(P ⇒
t = 58.18)03.1(ln2
3ln= años. (b) Según la fómula (4), treP)t(A = ⇒ 3P = t06.0eP ⇒
-
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31.18
06.0
3lnt == años.
C. Un modelo de ajuste de precios.
Sea p el precio de un determinado artículo i S(p) i D(p) las funciones de oferta idemanda de dicho artículo respectivamente. En cierto modelo dinámico de ajuste deprecios, el precio, la oferta i la demanda se consideran como función del tiempo t, i sesupone que “la razón de cambio del precio con respecto al tiempo es proporcional a la
escasez”. Es decir, )SD(k dt
dp−= , donde k > 0 es la constante de proporcionalidad i
D – S es la escasez.
Ejemplo 6. Suponga que el precio p(t) de determinado artículo varía de modo que su
razón de cambiodt
dp es proporcional a la escasez D – S, donde D = 7 – p, S = 1 + p son las
funciones de demanda i de oferta del artículo respectivamente: (a) Si el precio es S/. 6cuando t = 0 i S/. 4 cuando t = 4, halle la función p(t). (b) Demuestre que cuando t crecesin límite, p(t) se aproxima al precio en que la oferta es igual a la demanda.
Solución: Desde que )SD(k dt
dp−= , entonces ])p1()p7([k
dt
dp+−−= ⇒ )p26(k
dt
dp−=
⇒ ∫∫ =− dtk p26dp ⇒ 1Ctk )p26(ln
21 +=−− ⇒ kt2Ce3)t(p −−= , donde 1CeC = .
Por las condiciones iniciales: p(t) = 3–C e –2 k t ⇒ )4(k 2
)0(k 2
e33)4(p4
Ce3)0(p6−
−
+==
−==
Luego p(t) = 3 + 3 t)3ln)4 / 1((e − . Por otra parte, cuando t → + ∞; esto es, 3)t(plimt
=∞+→
, ya
que t)3ln)4 / 1((e − → 0. Por tanto, p(t) se aproxima al precio en que la oferta es igual a la
demanda; es decir, a largo plazo el precio p(t) se aproxima al precio de equilibrio.
E J E R C I C I O S
1. (Costo marginal) Un fabricante ha encontrado que el costo marginal es 6x +1 solespor unidad cuando se han producido x unidades. El costo total (incluido los costosindirectos) de producción de la primera unidad es S/. 130. ¿Cuál es el costo total deproducción de las 10 primeras unidades?.
2. (Utilidad marginal) La utilidad marginal de cierta compañía es 100 – 2x soles porunidad cuando se producen x unidades. Si la utilidad de la compañía es S/. 700 cuandose producen 10 unidades, ¿cuál es la máxima utilidad de la compañía?.
⇒ C = –3
⇒ k = (1/8) ln 3
-
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3. (Costo marginal) El costo marginal del producto “Cusper” es C’(x) = 3 + 0.001 x i
el costo de fabricar 100 unidades es S/. 1005. ¿Cuál es el costo de producir 200unidades?. Los artículos se venden a S/. 5 cada uno. Determine el incremento en lautilidad si el volumen de venta es incrementado de 1000 a 2000.
4. (Costo total i costo promedio) El costo marginal C’(x) como función de las unidadesproducidas x, está dado por C’(x) = 1.064 – 0.005x. Si el costo fijo es 16.3, hallar lasfunciones de costo total i costo promedio.
5. (Valores permitidos) Si el ingreso marginal está dado por 27 – 12x + x2, encontrar lafunción del ingreso total i la ecuación de la demanda. Determinar también los valorespermisibles de x.
6. (Costo total i costo promedio) El costo marginal C’(x) como función de las unidadesproducidas x, está dado por C’(x) = 2 + 60x – 5x 2. Si el costo fijo es 65, hallar lasfunciones de costo total i costo promedio.
7. (Ingreso total) Si el ingreso marginal está dado por R’(x) = 100x – 8x2, encontrar lafunción de ingreso total si el ingreso total es S/. 600 cuando x =3.
8. (Función de costo) Si el costo marginal es constante, demostrar que la función decosto es una línea recta.
9. (Ecuación de demanda) Encontrar la ecuación de la demanda para un artículo para elcual la función del ingreso marginal está dado por. 10/(x+5)2 – 4.
10. (Costo total) Dada la función de costo marginal x1)x('C += , encontrar la función
de costo, C(x), si C = 2 cuando x = 9.
METODOS DE INTEGRACION.
19.1 Integración por sustitución
El uso eficaz del método de sustitución depende de la pronta disponibilidad de las 17fórmulas básicas que es tan útil que creemos que todo estudiante debe memorizarla.Llamaremos a estas fórmulas dadas en forma “estándar”. Si usted tropieza con una integralindefinida estándar, basta con escribir la respuesta. Si no, búsquese una sustitución que latransforme en la forma estándar. Si la primera sustitución no funciona, busque otra.Adiestrarse en esto, como en la mayoría de las actividades que valen la pena, depende de lapráctica.
La técnica de la integración: por sustitución fue introducido prácticamente en elcapítulo anterior en algunas ocasiones. Ahora revisaremos el método, que descansa enrealidad en lo siguiente:
-
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“Sea g una función derivable i supongamos que F es una antiderivada de f,
entonces si u = g(x), ∫ ∫ +=+== C))x(g(FC)u(Fdu)u(f dx)x('g))x(g(f ”
Ejemplo 1. Hallar ∫ + dx10x2x 54 Solución Mentalmente, sustituya u = 2x5 + 10, de donde du = 10x4 dx, entonces
∫ + dxx10x2 45 = C)10x2(151
Cu3
2
10
1duu
10
1 352 / 32 / 1++=+=∫ .
Cuando en el integrando aparece una raíz de la forma n bax + , por lo general
haga u = n bax + .
Ejemplo 2. Determinar ∫ + 3xx dxSolución: Sea u = 3x + ⇒ u2 = x + 3 ⇒ x = u2 – 3 i dx = 2u du, luego ∫ + 3xx dx
= 3535242 )3x(2)3x(5
2Cu2u
5
2du)u6u2()duu2()u()3u( +−+=+−=−=− ∫∫ + C
Ejemplo 3. Obtener∫
− dxx45x 3
Solución: Sea u = 3 x45 − ⇒ u3 = 5 – 4x ⇒ x =4
1(5 – u3) i 3u2 du = – 4 dx, de donde
dx= –4
3u2 du. Luego ∫ − dxx45x 3 = ( )∫
−
−duu
4
3u
4
u5 23
= ∫ − du)u15u3(161 36 =
Cu64
15u
112
3 47+− = 3 43 7 )x45(
64
15)x45(
112
3−−− + C.
Ejemplo 4. Encontrar∫ + x2
2 dx
Solución: Sea u = x ⇒ u2 = x i 2u du = dx, luego ∫ + x2
2dx = ∫
+ u2
2(2u du) =
4 ∫ ∫
+−=
+du
u2
214du
u2
u = 4 [ u – 2 ln (2 + u) ] + C = 4 x – 8 ln (2 + x ) + C.
Ejemplo 5. Encontrar ∫ −+ x4xdx
-
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Solución: A pesar de que el integrando contiene radicales de la forma n bax + , la
sustitución es innecesaria. Basta racionalizar el denominador: ∫ −+ x4xdx =
∫ ++ dx)x4x(41
=
++
2 / 32 / 3 x3
2)4x(
3
2
4
1 + C = )x)4x((
6
1 33++ + C.
E J E R C I C I O S
En los ejercicios del 1 al 14, obtener el valor de:
1. C)2x()3x(52
dx3xx2 / 3
++−=− 2.
C)8x12x15()x1(105
2dxx1x 22 / 32 +++−−=−∫
3. ∫ −
−dx
1x2
1x2= C)13x2x3(
15
1x2 2+−+
− 4. ∫
−dx
x
1x= C)1xarctan1x(2 +−−−
5. dxx
x3x2
∫ −
= Cx)32(2 +− 6. ∫ + dx1x1
= C])x1(lnx[2 ++−
7. ∫ +−+
−dx
1x1x
x= C)1x2x( +++− 8. ∫
+−
dx
1xx
1= C])1x(x[
3
2 2 / 32 / 3+++−
9. ∫ +
dxx2x6
x2= C])1x23(lnx23[
9
1++−
10. ∫ + dxx2x1
= Cx)12(2 +−
19. 4 Integración por partes
El método siguiente, llamado integración por partes es fundamental, aplicable a
una gran variedad de problemas, i es particularmente útil para integrandos que contenganproducto de funciones. Por ejemplo, x ln x, ex sen x , x2 ex, x sen x, arcsen x, etc. Es unatécnica que se basa en la derivación de un producto: sean u = f(x), v = g(x) dos funciones.
En forma de derivada:dx
duv
dx
dvu)vu(
dx
d+= . En forma de diferencial: d (u v) = u dv + v
du. Por tanto: ∫∫∫ += duvdvu)vu(d ⇒ ∫∫ −= duvvudvu
Para aplicar esta fórmula, debe descomponerse el integrando en dos factores u idv, los cuales u se debe diferenciar i dv integrar (recomendando u sea la parte más
complicada para derivar, i dv sea la parte más fácil para integrar).
-
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Ejemplo 1. Hallar∫
dxex x
Solución: Sean u = x ⇒ du = dx; dv = exdv ⇒ v = ex . Luego:
∫ dxex x = x ex – ∫ dxex = xe
x – ex + C = ex (x – 1) + C.
Ejemplo 2. Obtener ∫ dxxcosx Solución: Sean u = x ⇒ du = dx; dv = cos x dx ⇒ v = sen x, entonces se tiene:
∫ ∫ ++=−= Cxcosxsenxdxxsenxsenxdxxcosx .
Téngase en cuenta que al hacer la sustitución : u = cos x ⇒ du = – sen x dx; dv = x dx ⇒
v = (½) x 2 , entonces dxxsenx2
1xcosx
2
1dxxcosx 22∫ ∫+= . Pero evaluar ∫ dxsenxx2
es más difícil que evaluar ∫ dxxcosx . De aquí que la elección de los factores, en este caso,no es conveniente.
Ejemplo 3. Determinar ∫ dxex2x3
Solución: Sean u = x 2 ⇒ du = 2x dx; dxexdv2x
= ⇒ 2xe
2
1v = . Luego
( ) C1xe2
1Ce
2
1ex
2
1dxexex
2
1dxex 2xxx2xx2x3
222222+−=+−=−=∫ ∫ .
Ejemplo 4. Encontrar ∫ dxxarcsen
Solución: Sea u = arcsen x ⇒ du = dxx1
1
2−
; dv = dx ⇒ v = x. Luego
∫∫ +−+=
−
−= Cx1xarcsenx
x1
dxxxarcsenxdxxarcsen 22
.
Ejemplo 5. Hallar .dxxsec3∫ Solución: La integral dada podemos escribirla como ∫= dxxsecxsecdxxsec 23 . Seanu = sec x ⇒ du = sec x tan x dx; dv = sec2 x dx ⇒ v = tan x; entonces:
( )∫∫∫ −−=−= dx1xsecxsecxtanxsecdxxtanxsecxtanxsecdxxsec 223
-
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∫ ∫+−= dxxsecxdxsecxtanxsec3
⇒ ∫ ∫+= dxxsecxtanxsecdxxsec2 3 , de donde:
[ ] Cxtanxseclnxtanxsec2
1dxxsec3 +++=∫
Ejemplo 6. Obtener ∫ dxxcosex Solución: Sean : xeu = ⇒ du = exdx ; dxxcosdv = ⇒ v = sen x; entonces:
∫ ∫−= dxxsenexsenedxxcose xxx . Para evaluar ∫ dxxsenex , nuevamente procedemos aintegrar por partes: Sean: xeu = ⇒ du = ex dx; dv = sen x ⇒ v = – cos x, entonces:
∫∫ +−−= dxxcosexcosexsenedxxcose xxxx =
∫ += xcosexsenedxxcose2 xxx ⇒
( ) Cxcosxsene2
1dxxcose xx ++=∫ .
E J E R C I C I O S
1. ( )∫ +−= C1xlnxdxxln 2. Cx41
xlnx2
1dxxlnx 22 +−=∫
3. Cx9
1xlnx
3
1dxxlnx 332 +−=∫ 4. Cx
1
x
xlndx
x
xln2
+−−=∫
5. C2
1xe
2
1dxex x2x2 +
−=∫ 6. C3ln
1x
3ln
3dx3x
xx
+
−=∫
7. ( ) Cxxarctan1xdxxarctan +−+=∫
-
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30
INTEGRAL DEFINIDA
20.1 Integral definida
Considérese una función y = f(x) definida i continua en un intervalo cerrado [a,b]
cuya gráfica aparece en la figura 1, con la propiedad de que f(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a,b].
Dividimos [a,b] en n subintervalos cerrados, escogiendo puntos x0 , x1 , x2 , . . . , xn tales
que a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn–1 < xn = b. El conjunto ∆ = { [xi–1, xi] / i = 1, 2, . . . , n} se
llama partición de [a,b], i ∆ se llama norma de la partición, definida como la
longitud del subintervalo más grande.
Sea ∆ix = xi – xi–1 la longitud del i–ésimo subintervalo, i eligiendo
arbitrariamente puntos ti en cada subintervalo [xi–1, xi] formamos los productos f(ti) ∆ix.
Este producto representa el área del rectángulo cuya base es ∆ix i cuya altura es f(ti) (Véasela figura 1), entonces la suma total de las áreas de los n rectángulos, así construidos estádada por:
f(t1) ∆1x + f(t2) ∆2x + . . . + f(tn) ∆nx = ∑=
∆
n
1i
ii x)t(f
cuando el número de subintervalos crece indefinidamente; es decir, n → + ∞, entonces cada
∆ix se aproxima a cero; en consecuencia ∆ → 0, i por tanto, la suma ∑=
∆
n
1i
ii x)t(f se
aproxima al área de la región limitada por la curva, el eje x i las rectas x = a, x = b.
Bajo una consideración similar se arriba al mismo resultado cuando la curva y =
f(x) ≤ 0, para todo x ∈ [a,b].
El hecho de que una función y = f(x) sea continua en [a,b] es una condición algo
excesiva para que exista el límite de la sumatoria anterior cuando la norma de la partición ∆
a = x0 x1 x2 x3 xi-1 xi ti t0 t1 t2 xn-1 xn = btn
• • • • •
∆ix
f(ti)
y = f(x)y
x
Fig. 1
•
•
• •
•
-
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tiende a cero; pues si y = f(x) presenta un número finito de discontinuidades, tal como se
expone en la figura 2, entonces todavía podemos calcular el área siguiendo el mismoprocedimiento al anterior en cada una de las regiones, ya que y = f(x) está definida sobrecada intervalo [a,c], [c,d] i [d,b] (la continuidad en los subintervalos [c,d] i [d,b] falla, apesar de ello sigue teniendo validez la consideración del caso general).
La expresión ∑=→∆
∆n
1iii
0x)t(f lim no sólo se presenta cuando se desea calcular área de regiones
planas, si no también en otras situaciones como en el cálculo de volúmenes de sólidos, en eltrabajo realizado por una fuerza, etc.
Definición 20.1 Si y = f(x) es una función definida en un intervalo cerrado [a,b], entonces:
∫ =b
adx)x(f ∑
=→∆
∆
n
1i
ii0
x)t(f lim . . . (1)
siempre que el límite exista, se llama integral definida (según Riemann) de la función y =f(x), desde a hasta b.
Los números a i b se llaman límites de integración, siendo a el límite inferior i b el límite superior.
De lo expuesto anteriormente podemos afirmar que la integral definida∫
b
a dx)x(f
se interpreta desde el punto de vista geométrico como el área de la región limitada por lacurva y = f(x), el eje x i las rectas x = a, x = b, con f(x) ≥ 0.
Cuando el límite de la definición anterior existe, se dice que la función y = f(x) esintegrable (según Riemann) sobre el intervalo [a,b]. Evidentemente la existencia o no dellímite por lo general es más dificil de determinar, en cambio si se conoce algunacaracterística de la función y = f(x) nos puede ser más útil para saber si es o no integrablesobre [a,b]; en tal sentido, existe un teorema (cuya demostración omitimos, por estar fueradel alcance de la presente obra. Puede consultar un libro de cálculo avanzado)
x
• •
• •
a = x0 c d b = xn
y
Fig. 2
-
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32
Teorema 20.1 Si y = f(x) es una función definida i acotada en [a,b] i si f tiene sólo un
número finito de discontinuidades, entonces f es integrable sobre [a,b].
O B S E R V A C I O N E S
1. Una función y = f(x) definida en [a,b] se dice que es acotada en [a,b] si existe un
número real k > 0, talque f(x) ≤ k para todo x ∈ [a,b].2. Desde que una función y = f(x) es continua en [a,b], alcanza un máximo absoluto i un
mínimo absoluto, entonces f es acotada en [a,b]. Por consiguiente, toda funcióncontinua sobre [a,b] es integrable sobre [a,b].
3. El recíproco del teorema de existencia de funciones integrables está lejos de ser cierto.Hay funciones que son integrables pero no están definidas sobre un intervalo cerrado
[a,b]; por ejemplo la función de Gauss 2 / x2
ey −= para x ∈ ]– ∞, + ∞[.
4. Una función no integrable en [0,1], por ejemplo es
=irracionalesxsi1
racionalesxsi0)x(f . Para
ello: 0x)0(x)t(f n
1i
i
n
1i
ii =∆=∆ ∑∑==
si ti ∈ [xi–1, xi] con ti racional;
1x)1(x)t(f
n
1i
i
n
1i
ii =∆=∆ ∑∑==
si ti ∈ [xi–1, xi] con ti irracional;
de modo que las sumas de Riemann son 0 i 1; esto es, ∑=
∞→
∆
n
1i
iin
x)t(f lim no
existe, donde ∆ → 0 es equivalente a n → +∞
5. Otra función no integrable, es por ejemplo la
función
=
≠=
0x,1
0x,x / 1)x(f
2
cuya gráfica se
muestra en la figura 3Cualquier suma riemanniana del subintervalo que
contenga a x = 0 se hace arbitrariamente grande.Este razonamiento demuestra que la función debeser acotada.
A. Propiedades de la integral definida
Dentro de las propiedades básicas de la integral definida, en primer lugar , podemosmencionar las dos propiedades de linealidad; en otras palabras, estamos diciendo que la
integral definida ∫b
a. . . dx es un operador lineal: Si f i g son integrables en [a.b], entonces:
- 2 0 2
0
2
•
2
1
Fig. 3
-
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33
1 kf es integrable en [a,b] i
∫∫ =
b
a
b
a
dx)x(f k dx)x(f k .
2 f + g es integrable en [a,b] i ∫∫∫ +=+b
a
b
a
b
adx)x(gdx)x(f dx)]x(g)x(f [ .
Por ejemplo, ∫∫ π
π
π
π
=
3 /
4 /
23 /
4 /
2 dx2
xsen5dx
2
xsen5 ;
∫ ∫∫ +=+4
1
4
1
4
1
xx dxxlndxedx)xlne(
En segundo lugar , se refiere al intercambio i a la igualdad de los límites de integración :
3 ∫∫ −=a
b
b
adx)x(f dx)x(f 4 0dx)x(f
a
a=∫
Por ejemplo: dx9xdx9x2
4
24
2
2 ∫∫ −
−
+−=+ i ∫ =−
6
6 20
1xx
dx
En tercer lugar , se refiere al área de un rectángulo i a la propiedad aditiva de intervalos. Sik es una constante, entonces respectivamente:
5 ),ab(k dxk b
a−=∫ cuya área se muestra en la figura 4.
Por ejemplo, 12)25(4dx4dx45
2
5
2=−== ∫∫
6 ∫∫∫ +=b
c
c
a
b
adx)x(f dx)x(f dx)x(f , con c ∈ [a,b], cuya interpretación se expone en la
figura 5.
Ejemplo 6. Sea y = f(x) una función tal que 7dx)x(f 5
2=∫ i 3dx)x(f
2
3=∫ , determine
∫3
5dx)x(f . En efecto, como ∫∫∫ +=
5
3
3
2
5
2dx)x(f dx)x(f dx)x(f ⇒ =∫
5
3dx)x(f
=− ∫∫3
2
5
2dx)x(f dx)x(f 1037dx)x(f dx)x(f
2
3
5
2=+=+ ∫∫
Fig. 4
a b
k
a bx x
yy
c
Fig. 5
-
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34
En cuarto lugar , se refiere a las propiedades de comparación i acotamiento,
respectivamente dadas por:7 Si f i g son integrables en [a,b] i si f(x) ≤ g(x) ∀ x ∈ [a,b], ⇒ ∫∫ ≤
b
a
b
adx)x(gdx)x(f .
Figura 6.
Fig. 6 Fig. 7
8 Si f es integrable en [a,b] i si m ≤ f(x) ≤ M ∀ x ∈ [a,b], entonces:
m (b – a) ≤ )ab(Mdx)x(f b
a−≤∫ . Figura 7
Ejemplo 7. Diga cuál de las integrales ∫∫1
0
31
0
2 dxxidxx es mayor (sin calcularla). En
efecto, sabemos que x2 ≥ x3 ∀ x ∈ [0,1], luego ∫∫ ≥1
0
31
0
2 dxxdxx .
Ejemplo 8. Dada ∫ +1
0
2 dx1x , halle un intervalo para el cual el valor de la integral se
cumpla la propiedad (8). En efecto, sea 1x)x(f 2 += ⇒ 01x
x)x('f
2=
+
= ⇒ x = 0 es
el único punto crítico, luego f(0)=1 i f(1) = 2 ; de modo que m = 1 es el mínimo
absoluto i M = 2 es el máximo absoluto. En consecuencia. m (b – a) ≤
)ab(Mdx)x(f b
a−≤∫ ⇒ 1 (1 – 0) ≤ )01(2dx1x
1
0
2−≤+∫ ; esto es,
2dx1x11
0
2≤+≤ ∫ ; el intervalo es I = [1, 2 ].
En quinto lugar , la propiedad de simetría de las funciones permite evaluar lasintegrales definidas con cierta facilidad (Vea B sección 2, capítulo 6).
y = g (x)
y = f (x)
a b• •
x
y
a b• • x
y
m
M
y = f (x)
-
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9 Teorema de simetría: Si f es una función par, entonces
∫∫ =
−
a
0
a
a
dx)x(f 2dx)x(f . Si f
es función impar, entonces 0dx)x(f a
a=∫
−
. (La demostración puede verlo, por ejemplo
en: Cálculo con geometría analítica, Purcell–Varberg)
Ejemplo 9. 0dx2x
x3
32
3
=
+∫−
, puesto que f es impar.
Ejemplo 10. Sabiendo que3
8dxx
2
0
2=∫ , hallar el valor de las siguientes integrales (sin
recurrir al teorema fundamental del cálculo): (a) ∫−
2
2
2
dxx , (b) ∫−
0
2
2
dxx ,
(c) ∫ −2
0
2 dxx , (d) ∫ +2
0
2 dx)1x( , (e) ∫−
0
2
2 dxx3 .
Solución: (a) La función f(x) = x2 es par, ya que f(–x) = f(x); luego
3
16
3
82dxx2dxx
2
0
22
2
2=
== ∫∫
−
. (b) Por la propiedad aditiva: =∫−
2
2
2 dxx
∫∫ +−
2
0
20
2
2 dxxdxx ⇒3
8
3
8
3
16dxxdxxdxx
2
0
22
2
20
2
2=−=−= ∫∫∫
−−
(c)38dxxdxx
2
02
2
02 −=−=−
∫∫.
(d)3
14)02(
3
8dxdxxdx)1x(
2
0
2
0
22
0
2=−+=+=+ ∫∫∫ ,
(e) 83
83dxx3dxx3
0
2
20
2
2=
== ∫∫
−−
En sexto lugar , la propiedad de periodicidad de una función, ofrece simplificar laevaluación de integrales definidas.
10 Si f es una función periódica con periodo p, entonces ∫∫ =+
+
b
a
pb
padx)x(f dx)x(f
Ejemplo 11. Si 2dxxsen0
=∫ π
, calcule
∫ π2
0dxxsen .
Solución: Como f(x) = sen x es periódica
de periodo π, entonces:π 2π
x
y
Fig. 8
-
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==
∫∫
π
π
π+π
π+
2
0
dxxsendxxsen
∫
π
0
dxxsen . Por otra parte,
=∫ π2
0dxxsen +∫
π
0dxxsen dxxsen
2
∫ π
π
= ∫∫ ππ
+00
dxxsendxxsen =
∫π
0dxxsen2 =2 ∫
π
0dxxsen = 2(2) = 4.
Hemos hallado el área de la región mostrada en la figura 8.
B. Teorema fundamental del cálculo ( TFC )
El teorema fundamental del cálculo es muy importante ya que nos provee de unaherramienta poderosa para evaluar integrales definidas. Pero su más profundo significadoes que sirve de eslabón entre la derivación i la integración, entre derivadas e integrales.
En esta subsección, añadiremos 3 propiedades más a las 10 anteriores. La últimade estas 3 se llama propiamente el TFC, aunque la penúltima es parte de este teorema.
11 Teorema del valor medio para integrales Sea y = f(x) una función continua en
[a,b], entonces existe c ∈ ]a,b[ tal que
∫−=b
adx)x(f
ab1)c(f . . . (2)
El teorema del valor medio afirma que entre los tamaños de los inscritos i circunscritos hayun rectángulo intermedio que tiene por área exactamente la de la región limitada por la
curva: f(c) (b – a) = ∫b
adx)x(f . (Véa la figura 9).
Demostración Caso 1: Si f es constante en [a,b], el resultado es trivial, ya que cualquier
punto x ∈ ]a,b[ se toma como x = c. Caso 2: Si f no es constante en [a,b], el teorema devalores extremos para funciones continuas (Vea la sección 13.3–A) permite escoger f(m) i
f(M) como valores mínimos i máximos absolutos de f en [a,b] tal que f(m) ≤ f(x) ≤ f(M) ∀ x ∈ [a,b]. Por la propiedad 7 de comparación, resulta
∫∫∫ ≤≤b
a
b
a
b
adx)M(f dx)x(f dx)m(f . Desde que f(m)
i f(M) son constantes, por la propiedad 5 de área de
un rectángulo, )ab()m(f dx)m(f b
a−=∫ ,
)ab()M(f dx)M(f b
a−=∫ , luego f(m) (b – a) ≤
x•
• •
a c b
f(c)
y
Fig. 9
-
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∫
b
a
dx)x(f ≤ f(M) (b – a); que dividiendo entre (b – a), resulta f(m) ≤
)M(f dx)x(f ab
1 b
a≤
− ∫ . Aplicando el teorema del valor intermedio (sección 13.3–B),
existe c ∈ ]a,b[ tal que f(c) = ∫−b
adx)x(f
ab
1.
12 Derivación de una integral definida
El área de la región (fija) bajo la curva y = f(x) i las rectas verticales x = a, x = b;
figura 10, viene dado por∫
=
b
a dx)x(f A ; en cambio, el área de la región (variable) con
límite superior variable x está dado por ∫=x
adx)x(f A ; figura 11. El área es una función de
x, que podríamos expresar como F(x) = ∫x
adt)t(f . En consecuencia, establecemos que:
)x(f dt)t(f dx
d x
a=∫ . . . (3)
Este teorema es prácticamente la primera parte del TFC. Quiere decir: si F(x) =
∫x
adt)t(f , entonces la integral definida con respecto a su límite superior es el
integrando en su límite superior: F’(x) = f(x). La derivada deshace la acción de laintegral de la función.
Demostración: En efecto demostraremos la última fórmula encerrada en un rectángulo:
Sea g(x) = ∫x
adt)t(f , entonces g(x+∆x) – g(x) = ∫∫ −
∆+ x
a
xx
adt)t(f dt)t(f
y = f(x)
a bx
y•
•
Fig. 10
a x b
y = f(x)
x
y
•
• •
Fig. 11
-
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=
∫∫ +
∆+ a
x
xx
a
dt)t(f dt)t(f =
∫∫
∆+
+
xx
a
a
x
dt)t(f dt)t(f =
∫
∆+ xx
x
dt)t(f . Por el teorema del valor
medio para integrales, existe c∈[x,x+∆x] tal que f(c) = ∫ ∆+
−∆+
xx
xdt)t(f
x)xx(
1, de donde
∫ ∆+ xx
xdt)t(f = f(c) ∆x, luego g(x+∆x) – g(x) = f(c) ∆x ⇒
x
)x(g)xx(glim
0x ∆
−∆+
→∆
= )c(f lim0x→∆
,
de donde g’(x) = f( clim0x→∆
) por ser f continua. Como x ≤ c ≤ x + ∆x, entonces
)xx(limclimxlim0x0x0x
∆+≤≤→∆→∆→∆
⇒ xclimx0x
≤≤→∆
. Por tanto xclim0x
=→∆
. Finalmente
tenemos g’(x) = f(x); es decir: )x(f dt)t(f dxd
x
a=
∫.
13 Teorema fundamental del cálculo Sea y = f(x) una función continua en un intervalocerrado [a,b]. Si g es una antiderivada de f sobre [a,b], entonces
)a(g)b(gdx)x(f b
a−=∫ . . . (4)
Demostración: Por hipótesis, g’(x) = f(x) para todo x ∈ [a,b]. Sea h(x) =∫
x
a dt)t(f ,
entonces por la propiedad anterior se tiene h’(x) = f(x) = g’(x), x ∈ [a,b]. Tomando lasantiderivadas de h’(x) i g’(x), resulta h(x) = g(x) + C, de donde h(a) = g(a) + C. Pero
h(a) = ∫a
adt)t(f = 0, luego C = – g(a), entonces h(a) = g(x) – g(a), x ∈ [a,b] i h(b) =
g(b) – g(a); es decir, ∫b
adt)t(f = g(b) – g(a). Por tanto )a(g)b(gdx)x(f
b
a−=∫ .
Obsérvese que según el teorema anterior, para calcular la integral definida de f(x) de a hasta b, debe encontrarse una antiderivada g(x) i calcular la diferencia g(b) – g(a).
Denotando g(b) – g(a) por ] ba)x(g , podemos escribir ]ba
b
a)x(gdx)x(f =∫ .
Esta “formulita” es aunque usted no lo crea, el resultado más espectacular quehaya aparecido en los 19 capítulos que lleva estudios en este libro. En él revela elparentesco que hay entre los dos problemas más importantes del cálculo diferencial eintegral, el del cálculo de derivadas i el del cálculo de integrales.
Ejemplo 18. (Eficiencia) Un estudio realizado en una fábrica de radios a transistoresindica que un trabajador nuevo que no tenga experiencia anterior empleará 15 + 15 e–0.01n
minutos para ensamblar su n-ésimo radio. (a) Escriba una expresión para el tiempo total
-
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que necesita un nuevo trabajador para ensamblar sus 100 primeros radios. (b) Aproxime el
tiempo total de la parte (a), calculando una integral definida adecuada.
Solución: (a) Sea f (n) = 15 + 15 e–0.01n la función que represente el número de minutospara ensamblar su n-ésimo radio:Para el primer radio emplea f (1) = 15 + 15 e–0.01(1) = 29.8507 minutos.Para el segundo radio emplea f (2) = 15 + 15 e–0.01(2) = 29.7029 minutos.
. . .Para el n-ésimo radio emplea f (n) = 15 + 15 e–0.01( n) = . . . minutos.Luego el tiempo total que necesitará para ensamblar los 100 primeros radios es f (1) + f (2)
+ f (3) + . . . + f (100) = )e1515(100
1i
i01.0
∑=−
+ .
(b) Como el valor exacto de la suma anterior es difícil de calcular, aproximamos este valormediante una integral definida; para ello, dividimos el intervalo de radios desde n = 0 a
n = 100, en subintervalos iguales de longitud ∆i n = ∆ n = 1; por tanto:
)e1515(
100
1i
i01.0∑=
−+ ∆i n = ∫ −+
100
0
n01.0 dn)e1515( = [15n –01.0
15e–0.01n ] 1000 = (1500 –
1500 e–1) – (0 – 1500) = 2448.15 min. = 40.8 hs. Luego el tiempo será aproximadamente de41 horas para ensamblar los 100 primeros radios.
Ejemplo 19. Evaluar ∫−
−−8
4
2 dx12x4x
Solución: Si x2 – 4x – 12 ≥ 0, entonces x ∈ ] – ∞, –2] ∪ [6,+∞ [. Intersectando ésta
solución con [–4, 8] resulta x ∈ [–4, –2] ∪ [6,8], ∫−
−−
8
4
2 dx12x4x =
∫ −
−
−−
2
4
2 dx)12x4x( + ∫ −−8
6
2 dx)12x4x( .
Si x2
– 4x – 12 < 0, entonces x ∈ ]–2,–6[. Intersectando esta solución con [–4,8] resulta x ∈ ]–2,6[, luego ∫
−
−−
8
4
2 dx12x4x = ∫−
−−−
6
2
2 dx)12x4x( . Por tanto:
∫−
−−
8
4
2 dx12x4x = ∫ −
−
−−
2
4
2 dx)12x4x( + ∫−
−−−
6
2
2 dx)12x4x( + ∫ −−8
6
2 dx)12x4x(
=3
368
3
56
3
256
3
56=++ .
• • • –4 –2 0 2 4 6 8• • • •
-
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E J E R C I C I O S
1. Diga cúal de las dos integrales dxx42
2
2∫−
− o ∫−
−
1
1
2 dx)x1( es mayor.
2. Sea y = f(x) una función tal que: (a) 6dx)x(f 4
1=∫ i 2dx)x(f
1
2=∫ , obtenga dx)x(f
4
2∫ ,
(b) 7dx)x(f 26
1=∫ i 12dx)x(f 4
6
3=∫ , calcule dx)x(f 2
1
3∫ .
3. Sean f i g continuas en R i que dx)x(f 3
1∫ =4, 3dx)x(f 5
3=∫ , 2dx)x(g
5
1−=∫ . Hallar:
(a) ∫∫∫ ++2
1
5
2
5
1dx)x(g3dx)x(g3dx)x(f (b) ∫∫ ++
5
3
3
1dx)x(gdx])x(g)x(f 2[
(c) ∫∫ ++−3
1
5
3dx)x(g4dx])x(g4)x(f 3[ (d) ∫∫ −−+
5
3
3
1dx])x(g7)x(f 4[dx])x(g7)x(f 2[
En los ejercicios del (7) al (21), obtener las integrales dadas:
4. ∫ −7
2
2 dx)x2x( 5. ∫−
+
1
1
3 / 13 / 4 dx)x4x( 6. ∫−
−
0
2
2 dxx4x3
7. ∫++
+1
0 3 23
2
dx
4x3x
x2x
8. ∫ +
15
04 / 3)x1(
dxx 9. ∫
−
−
5
2dx3x
10. dxxx1
1∫− − 11. ∫2
0
2 dxxcosx 12. ∫− −
1
1 x45
dxx
13. ∫ −2ln
0
x dx1e 17. ∫ −9
1
3 dxx1x 18. ∫ −
− −
1
2 2 1xx
dx
19. ∫ +1
0
815 dxx31x 20. dx)x1(x
xarcsen1
0∫ − 21. ∫
++
1
02 6x5x
dxx
22. Hallar el valor de C para el que f(C) (4 –1) = ∫ −
4
1
2 dx)x2x3( . ¿Cuál es el valor medio
de f(x) = 3x2 – 2x en [1,4] ?
En los ejercicios del (23) al (25): Hallar el valor medio en el intervalo indicado de lassiguientes funciones:
23. f(x) = 4 – x2; [–2,2] 24. f(x) = x 2x4 − ; [0,2] 25. f(x) = x2x − ;
[0,4]En los ejercicios del (26) al (31), evaluar las integrales siguientes:
-
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26.
∫
2ln
0
x dxex
27. ∫e
1dxxlnx
28. ∫ +
−
1e
2dx
1x
x
29. dxxln
2e
1∫
30.
∫
2e
1
2
dxx
)x(ln
31. ∫e
1
2 dxxlnx
C. Problemas empleando integrales definidas.
1° Problemas frecuentes i prácticos:
Ejemplo 20. (Crecimiento de población) Un estudio indica que dentro de x meses lapobla