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8/17/2019 01 - Conjuntos Numéricos
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Matemática
Professora: Denise Cristiane Pereira Cabral
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Conjuntos Numéricos
Conjunto Símbolo
Números Naturais
Números Inteiros
Números Racionais
Números Irracionais
Números Reais
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Conjunto dos números naturais
O conjunto dos números naturais é composto pelos números
inteiros positivos.
N = 0,1,2,3,4,5,6, …
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...} ⇒ naturais não nulos
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Conjunto dos números naturais
Propriedades:
Fechamento: A adição e a multiplicação de dois números
naturais sempre é um número natural.
Comutativa: Trocando os termos na adição e na multiplicação
o resultado não se altera.
Exemplo: 56 + 44 = 100 = 44 + 56
Elemento neutro: Elemento que não altera o resultado. Adição: 0(zero) é o elemento neutro da adição
Multiplicação: 1(um) é o elemento neutro da
multiplicação
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Conjunto dos números naturais
Propriedades:
Associativa: O resultado não depende da ordem.
Exemplo: 5 + 2 + 7 = 7 + 7 = 14
5 + 2 + 7 = 5 + 9 = 14
2 . 3 . 5 = 6 . 5 = 30
2 . 3 . 5 = 2 . 15 = 30
Cancelamento: Exemplo:
2 + = 2 + 4 ⇒ = 4
3. = 3 . 2 ⇒ = 2
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Conjunto dos números naturais
Propriedades:
Distributiva (Multiplicação):
Exemplos:
2 3 + 4 = 2 . 7 = 14
2 3 + 4 = 2 . 3 + 2 . 4 = 6 + 8 = 14
3 2 + = 3 . 2 + 3 . = 6 + 3
+ = +
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Conjunto dos números naturais
Operações inversas:Adicionar e multiplicar são operações diretas e de natureza
repetitiva. No entanto, quando temos a soma de dois números
em que conhecendo apenas uma das parcelas e queremos
determinar a outra parcela estamos diante de um problema
inverso, neste caso é necessário utilizar uma operação inversa à
adição, ou seja, a subtração. Sendo n, p e m ∈ N, observe que:
m + p = n então n − p = m
Exemplo:
6 + 4 = 10 então 10 − 4 = 6
3 + 2 = 5 então 5 − 2 = 3
2 + = 5 então 5 − 2 = logo 3 =
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Conjunto dos números naturais
Analogamente, dado o produto de dois números em que
conhecendo apenas um dos fatores e queremos determinar o
outro fator estamos diante de um problema inverso, neste caso
é necessário utilizar uma operação inversa à multiplicação, ou
seja, a divisão. Sendo n, p e m ∈ N, e p ≠ 0 observe que:
= m ↔ . =
Exemplo:10
5 = 2 ↔ 2 . 5 = 10
2= 5 ↔ 5 . 2 = → 10 =
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Conjunto dos números inteiros
O conjunto dos números inteiros é portanto, a reunião do
conjunto dos números naturais e o conjunto dos opostos dos
números naturais, ou seja, é a união do conjunto dos números
naturais e seus simétricos.
Observe que o oposto/simétrico do 3 é o -3, assim como o
oposto/simétrico de -3 é 3.
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Conjunto dos números inteiros
Propriedades : Comutativa: Trocando os termos o resultado não se altera.
Associativa: O resultado não depende da ordem.
Distributiva(Multiplicação): + = +
Elemento neutro:
Adição: 0 (zero) é o elemento neutro da adição.
Multiplicação: 1(um) é o elemento neutro da multiplicação.
Elemento oposto: O número oposto à 2 é o -2 e vice versa,
valendo a seguinte propriedade: todo número somado ao seu
oposto/simétrico resulta em zero. Observe:
2 + −2 = 0 = −2 + 2
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Conjunto dos números inteiros
Pergunta:
A subtração é comutativa?
Não! Basta observar que:
2 − 3 = −1 ≠ 1 = 3 − 2
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Conjunto dos números inteiros
Divisão:
A divisão é a operação inversa da multiplicação, como já vimos
anteriormente, assim como no conjunto dos números naturais
se:
= m
Então:
. =
Exemplo:
= 2 ⇒ 2 . 5 = 10
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Conjunto dos números inteiros
Pergunta:Por que não podemos dividir por 0 (zero)?
Observe que para qualquer ∈ ≠ 0 teriamos:
0
=
Ou seja, . = 0
O que contraria o fato de que ≠ 0
Logo ∄ divisão por 0 (zero)
Exemplo:
= ⇒ .0 = 2
Como todo número multiplicado por zero é zero, então temos
que m . 0 = 0, assim podemos disser que 0 = 2. O que é
contraditório pois 0 ≠ 2.
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Conjunto dos números inteiros
Pergunta:
Mas e se tivermos
?
Observe que neste caso temos:
= , ∈ Z
Ou seja, 0 = 0
Note que, neste caso, para qualquer valor que m assumir a
expressão estará correta, assim temos então uma
indeterminação.
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Conjunto dos números inteiros
Subconjuntos dos números inteiros:
Inteiros não nulos
Inteiros não-negativos
Inteiros não-positivos
Inteiros negativos
Inteiros positivos
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Conjunto dos números inteiros
Regra de sinal:
− − = +
+ + = +
+ − = −
− + = −