![Page 1: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/1.jpg)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΘερμοδυναμικήΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ
Διδάσκων : Καθηγητής Γ. Φλούδας
![Page 2: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/2.jpg)
Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. • Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
![Page 3: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/3.jpg)
Κινητική θεωρία
ιδανικών αερίων
(γέφυρα μακροσκοπικών και μικροσκοπικών ποσοτήτων)
Εμπειρικές σχέσεις
Boyle, Gay-Lussac, Charles,
υπόθεση Avogadro «όταν δυο ή περισσότερα αέρια έχουν τα ίδια V, P και Τ περιέχουν τον ίδιο αριθμό
ατόμων ή μορίων»
1 mol NA (=6.02x1023 άτομα)
Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας
![Page 4: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/4.jpg)
Θερμική κίνηση Brown (το παρακάτω παράδειγμα δεν αφορά σε ιδανικό αέριο)
![Page 5: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/5.jpg)
Παραδοχές
• Μονοατομικό αδρανές αέριο
• Τεράστιος αριθμός μορίων (~1023 μόρια/mol)
• Μικρά μόρια αμελητέου όγκου
• Μόρια σε συνεχή άτακτη κίνηση
• Ελαστικές συγκρούσεις
• Ομαλή κίνηση μεταξύ συγκρούσεων
• Απουσία έλξεων/απώσεων μεταξύ μορίων
Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας
![Page 6: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/6.jpg)
N: αριθμός μορίων, m: μοριακή μάζα (μάζα ενός μορίου) mtotal: μάζα δείγματος Μ: γραμμομοριακή μάζα (μάζα 1 γραμμομορίου (1mol))
total total
A A
m mNn
N M mN
M(He)=0.004 kg/mol
M(Ne)=0.02 kg/mol
M(O2)=0.032 kg/mol
M(N2)=0.028 kg/mol
M(αέρα)~0.029 kg/mol
![Page 7: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/7.jpg)
Υπολογισμός της πίεσης
2
1,
22 2 2
1
2 2 2
21 2
2
( ) 2
4 2
22 2 2
...2 2
3
x x x x
x x xx
yx z
N
N
dp m m m
dp m mF
dt dt l
mm m mF
l l l l
mN mNF
l N l
F mNP
A V
Μεταβολή
της ορμής
ανά κρούση
Δύναμη που ασκεί ένα μόριο στα
τοιχώματα Α και Α’
Δύναμη που ασκεί ένα μόριο σε
όλα τα τοιχώματα
Δύναμη που ασκούν όλα τα μόρια
Πίεση που εξασκούν τα μόρια
<υ2>: μέση τετραγωνική ταχύτητα
(1) Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας
(dt=2l/υx)
Έστω κρούσεις μόνο με τα τοιχώματα
![Page 8: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/8.jpg)
Υπολογισμός της θερμοκρασίας
21 13
2 2m k
B
A
PV Nk T
N nN
2
3 B
mT
k
Αρχή ισοκατανομής της ενέργειας:
«κάθε βαθμός ελευθερίας κίνησης συνδέεται με ενέργεια kBT/2 »
(2)
Από (1)+(2)
και } A BPV nN k T nRT
23 1 236.023 10 ( ) 1.381 10 ( / ) 8.314 /A BR N k mol J K J Kmol
Παγκόσμια σταθερά των αερίων:
Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας
![Page 9: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/9.jpg)
Μια εφαρμογή: N. Boyle ιδανικών αερίων
Γ. Ζαρδαλίδης, Θ. Κουκούλης
![Page 10: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/10.jpg)
Μια πρόβλεψη της κινητικής θεωρίας
2
3
P RT
N mP
Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας
} Για 1 mol αερίου:
2 2
3 3
AN m MRT
2 3RT
M
2
3
PV nRT
NmPV
(3)
(4)
από (3) και (4):
Θεωρητικά,
μέση ταχύτητα των μορίων
με ένα θερμόμετρο!
Π.χ. He σε θ=27 0C (T=300.15 K) (M=0.004 kg/mol), μέση ταχύτητα 1370 m/s
Ne σε θ=27 0C (T=300.15 K) (M=0.02 kg/mol), μέση ταχύτητα 610 m/s
![Page 11: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/11.jpg)
Μέση ελεύθερη διαδρομή των μορίων Παρατήρηση: Τα μόρια έχουν υψηλές ταχύτητες αλλά απομακρύνονται αργά!!
Απ. : Λόγω διαδοχικών κρούσεων μεταξύ τους
(αν τα μόρια ήταν σημεία δεν θα συγκρούονταν μεταξύ τους)
Μέση ελεύθερη διαδρομή λ:
N/V: πυκνότητα μορίων,
σ: μοριακή διάμετρος
2
1 1~ , ~
N
V
2
1
2N
V
σ
Σύγκρουση για
r=σ
Όγκος κυλίνδρου:
Αριθμός μορίων στον κύλινδρο:
Αριθμός συγκρούσεων στον κύλινδρο:
Μέση ελεύθερη διαδρομή =
2 2V s t
2 Nt
V
2 Nt
V
2 2
1t
N Nt
V V
Μήκος σε χρ. Δt
Αριθμ. συγκρ. σε Δt
Σε χρόνο Δt
το μόριο Α
σαρώνει
κύλινδρο
μήκους Δs
και ακτίνας σ.
Α
s t σ
![Page 12: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/12.jpg)
Μέση ελεύθερη διαδρομή των μορίων
λ αέρα στην επιφάνεια της θάλασσας~0.1 μm
λ αέρα σε ύψος 100 km ~ 20 cm
λ αέρα σε ύψος 300 km ~ 20 km
![Page 13: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/13.jpg)
Κατανομή μοριακών ταχυτήτων
Maxwell-Boltzmann
2
3/ 2
/ 2
( , , ) ( ) ( ) ( )
2B
x y z x y z x y z x y z
m k T
x y z
B
d d d d d d
me d d d
k T
• Κατανομή ταχυτήτων σε 1-διεύθυνση (πυκνότητα πιθανότητας)
2
1/ 2
/ 2( )
2x Bm k T
x
B
me
k T
• Κατανομή ταχυτήτων σε 3-διευθύνσεις (θεώρημα σύνθετης πιθανότητας: η σύνθετη πιθανότητα είναι το
γινόμενο των μερικών πιθανοτήτων)
φ
υx
Κατανομή μοριακών ταχυτήτων
σε 1-διεύθυνση
2 2 22
x y z
Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας
(συμμετρική κατανομή)
![Page 14: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/14.jpg)
Απλοποίηση με χρήση πολικών συντεταγμένων
2 2 2 2
2
r x y z
x r
y r
z r
dx dy dz r dr d d
Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας
2
,
3/ 2
/ 2 2
, ,
( )2
B
x y z
m k T
B
r x y z
me d d d
k T
Στοιχειώδης όγκος σε καρτεσιανές
συντεταγμένες = dxdydz
Στοιχειώδης όγκος σε πολικές
συντεταγμένες = (rημθdφ)(rdθ)dr
=r2ημθ dφdθdr
![Page 15: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/15.jpg)
Εύρεση πιθανότητας για ταχύτητες μεταξύ υ και
υ+dυ
2
2
2
2
3/ 22
/ 2 2
0 0
3/ 2 2
/ 2 2
0 0
3/ 2
/ 2 2
3/ 2
/ 2 2
( )2
2
2 22
42
B
B
B
B
m k T
B
m k T
B
m k T
B
m k T
B
md e d d d
k T
me d d d
k T
me d
k T
me d
k T
2
3/ 2
/ 2 2( ) 42
M RTMe
RT
Κατανομή μοριακών ταχυτήτων MB:
1( )x dx x
a
Μη-συμμετρική κατανομή
![Page 16: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/16.jpg)
φ(υ)
υ x 10-2 (m/s)
Κατανομή μοριακών ταχυτήτων
Maxwell-Boltzmann
2
3/ 2
/ 2 2( ) 42
M RTMe
RT
![Page 17: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/17.jpg)
Εύρεση της μέσης ταχύτητας <υ>, της μέσης τετραγωνικής
ταχύτητας <υ2>1/2 και της πιθανότερης ταχύτητας υπ
2
3/ 2
/ 2 2
0 0
( ) 42
M RTd e dRT
2
2
3
0
3/ 2 2
2
2 14
2 2
bxRTx e dx
M
M RT
RT M
8RT
M
2
3/ 2
2 2 2 / 2 2
0 0
( ) 42
M RTd e dRT
2 1/ 2 3RT
M
dφ/dυ=0 2RT
M
23
2
0
1
2
bx dxx eb
3/ 2
42
Ma
RT
2
1
0 2
1
2
2
n bx dx
n
n
x e
b
![Page 18: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/18.jpg)
Σχέση των τριών ταχυτήτων
2RT
M 8RT
M
2 1/ 2 3RT
M φ(υ)
υ x 10-2 (m/s)
![Page 19: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/19.jpg)
Ασκήσεις [1] Να βρεθεί ο αριθμός των ατόμων του αέρα σε ένα κυβικό μικρόμετρο (κανονικές συνθήκες
και ιδανική συμπεριφορά) (Τ=300 Κ και P=1 atm)
(1atm=1.01x105Ν/m2=1.01x105Pa).
[2] Να υπολογισθεί η απόσταση των ατόμων ενός ιδανικού αερίου σε κανονικές συνθήκες
(Τ=300 Κ και P=1 atm)
(1atm=1.01x105Ν/m2=1.01x105Pa).
[3] Να βρεθεί η μέση ελεύθερη διαδρομή μορίων οξυγόνου σε κανονικές συνθήκες
θερμοκρασίας (Τ=300 Κ) και πίεσης (P=1 atm) και ιδανική συμπεριφορά (μοριακή
διάμετρος=2.9Å)
(1atm=1.01x105Ν/m2=1.01x105Pa).
[4] Στον παρακάτω πίνακα η πρώτη σειρά δίνει την πίεση ενός αερίου σε θερμόμετρο αερίου
σταθερού όγκου όταν το αέριο περιβάλλεται από μια συσκευή νερού στο τριπλό σημείο. Η
δεύτερη σειρά δίνει την πίεση του ίδιου αερίου όταν το θερμόμετρο αερίου σταθερού όγκου
περιβάλλει ένα υλικό άγνωστης θερμοκρασίας. Υπολογίστε τη θερμοκρασία ιδανικού
αερίου T του υλικού.
PTP (kPa) : 133.32 99.992 66.661 33.331
P (kPa): 204.69 153.54 102.37 51.190
![Page 20: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/20.jpg)
Τέλος Ενότητας
![Page 21: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/21.jpg)
Χρηματοδότηση• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του
εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
![Page 22: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/22.jpg)
Σημειώματα
![Page 23: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/23.jpg)
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου
Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις:• Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1116 .
![Page 24: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/24.jpg)
Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Γ. Φλούδας. «Θερμοδυναμική. ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1116 .
![Page 25: : x w recourse.uoi.gr/pluginfile.php/87837/mod_resource... · Θερμοδυναμική – Γ. Φλούδας} Για 1 mol αρίου : 22 33 RT N m M A ! !XX 2 3RT M ! X 2 3 PV](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071211/602361f40ef07b682912109b/html5/thumbnails/25.jpg)
Σημείωμα Αδειοδότησης• Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού -Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη.
• [1] https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/