1 |SMA SANTA ANGELA
2 |SMA SANTA ANGELA
VEKTOR
A. Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah.
Dilambangkan dengan :
Keterangan :
Titik A disebut titik Pangkal
Titik B disebut titik Ujung
Dinotasikan : atau
B. Vektor di R2 ( Ruang Dimensi Dua )
Panjang Vektor, Vektor Nol, Vektor Satuan dan Vektor Basis
1. Panjang Vektor
adalah jarak antara titik pangkal dan titik ujung vektor.
Misalkan diketahui titik ( ) dan titik ( ). Panjang vektor
dinotasikan | |.
2. Vektor Nol
adalah suatu vektor yang ukurannya nol dan arahnya sembarang.
Dinotasikan : ( )
𝐴 𝐵
|𝐴𝐵 | (𝑦 − 𝑦 ) + (𝑥 − 𝑥 )
3 |SMA SANTA ANGELA
3. Vektor Satuan
adalah suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Hanya vektor nol
yang tidak memiliki satuan. Jika * + maka vektor satuan ke arah
adalah . Secara aljabar | |
( )
√ + dan | | .
4. Vektor Basis
adalah vektor-vektor yang saling tegak lurus. Pada bidang koordinat
kartesius terdapat dua vektor basis yang dinyatakan dalam dan .
Secara aljabar vektor *
+ dan *
+. Jika diketahui suatu vektor
* + maka kombinasi linear vektor dalam vektor basis dan
adalah :
5. Vektor Posisi
Misalkan diketahui titik ( ). Vektor posisi yang diwakili oleh
adalah vektor posisi dari titik . Vektor posisi dari titik ( )
adalah * +.
𝑎 𝑥 ��+ 𝑦 𝑗
𝑌
𝑋 𝑂
𝐴(𝑥 𝑦 )
Vektor Posisi
4 |SMA SANTA ANGELA
Ruas Garis berarah
6. Operasi Pada Vektor
a. Secara Geometri
1. Penjumlahan
Aturan segitiga : jumlah vektor dan dapat ditentukan
dengan cara memindah vektor ( tanpa mengubah besar dan
arahnya )
Aturan jajarangenjang : jumlah vektor dan dapat
ditentukan dengan cara memindah vektor ( tanpa mengubah
besar dan arahnya ), tetapi titik pangkal vektor berimpit dengan
titik pangkal vektor
Aturan poligon : penjumlahan tiga buah vektor atau lebih.
Sifat – sifat operasi penjumlahan vektor
Sifat Bentuk
Komutatif
Asosiatif
Elemen identitas
Negatif ( lawan )
+ +
( + ) + + ( + )
, dengan + +
− , dengan (− ) + + (− )
𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 𝑂𝐵
𝐴𝐵 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴
𝐴𝐵 *𝑥𝑏 − 𝑥𝑎𝑦𝑏 − 𝑦𝑎
+
𝑌
𝑋 𝑂
𝑎
��
𝐴(𝑥𝑎 𝑦𝑎)
𝐵(𝑥𝑏 𝑦𝑏)
𝐴𝐵
5 |SMA SANTA ANGELA
2. Pengurangan
Metode penyelesaiannya : sama seperti penjumlahan vektor
yaitu menggunakan aturan segitiga, jajarangenjang maupun
poligon.
b. Secara Aljabar
7. Perkalian Suatu Skalar dengan Vektor
Misalkan : diketahui suatu skalar dan vektor * +
Secara Aljabar vektor [
]
Jika diketahui suatu skalar k, skalar l, vektor dan vektor maka
berlaku sifat :
Penjumlahan dan pengurangan dua vektor secara aljabar
dilakukan dengan menjumlahkan maupun mengurangkan
masing-masing komponen yang bersesuaian.
Misalkan diketahui vektor 𝑎 *𝑥 𝑦 + dan �� *
𝑥 𝑦 + maka :
𝑎 + �� *𝑥 𝑦 + + *
𝑥 𝑦 + *
𝑥 + 𝑥 𝑦 + 𝑦
+
𝑎 − �� *𝑥 𝑦 + − *
𝑥 𝑦 + *
𝑥 − 𝑥 𝑦 − 𝑦
+
1. 𝑘(𝑙𝑎 ) (𝑘𝑙)𝑎
2. (𝑘 + 𝑙)𝑎 𝑘𝑎 + 𝑙𝑎
3. 𝑘(𝑎 + �� ) 𝑘𝑎 + 𝑘��
4. 𝑘(𝑎 − �� ) 𝑘𝑎 − 𝑘��
6 |SMA SANTA ANGELA
8. Perbandingan Vektor
Misalkan diketahui titik ( ) dan ( ) . jika titik pada
garis sedemikian sehingga dengan p dan q
masing-masing-masing suatu skalar , maka vektor posisi titik
adalah :
9. Perkalian Titik dan Sudut antar Dua Vektor
Misalkan diketahui vektor * +, *
+ dan sudut antara vektor
dan adalah . Perkalian titik dua vektor dan ( biasa
disebut dot product dan ) adalah :
Diketahui vektor dan skalar . Berlaku sifat–sifat perkalian skalar
dua vektor :
𝑐 𝑞𝑎 + 𝑝��
𝑝 + 𝑞
𝑎 ∙ �� |𝑎 | ∙ |�� | cos𝛼 |𝑎 + �� | |𝑎 | + |�� |
+ |𝑎 ||�� |𝑐𝑜𝑠𝛼
cos𝛼 �� ∙��
|�� |∙|�� | |𝑎 − �� |
|𝑎 | + |�� |
− |𝑎 ||�� |𝑐𝑜𝑠𝛼
1. 𝑎 ∙ 𝑎 |𝑎 |
2. 𝑎 ∙ �� �� ∙ 𝑎
3. ∙ 𝑎 𝑎 ∙
4. 𝑎 (�� + 𝑐 ) 𝑎 ∙ �� + 𝑎 ∙ 𝑐
5. 𝑘(𝑎 ∙ �� ) (𝑘𝑎 )�� 𝑎 (𝑘�� )
6. Jika vektor 𝑎 dan �� searah maka 𝑎 ∙ �� |𝑎 | ∙ |�� |
7. Jika vektor 𝑎 dan �� saling tegak lurus maka 𝑎 ∙ ��
8. Jika vektor 𝑎 dan �� berlawanan arah maka 𝑎 ∙ �� −|𝑎 | ∙ |�� |
7 |SMA SANTA ANGELA
Contoh Soal :
1. Tentukan + dan − dari vektor-vektor di bawah ini !
2. Tentukan dcba dari vektor-vektor di bawah ini :
3. Diketahui : titik ( ) dan ( − )
a. Nyatakan vektor posisinya dengan bentuk vektor kolom dengan
kombinasi linear dan .
b. carilah panjang masing – masing vektornya.
4. Diketahui : vektor * − +, vektor *
+ dan *
− +
a. Tentukan + dan +
b. Periksalah apakah + +
c. Tentukan ( + ) + dan + ( + )
d. Periksalah apakah ( + ) + + ( + )
5. Diketahui : vektor − + , vektor − + dan vektor vektor
+ . Tentukan vektor-vektor berikut ini ( dalam dan ).
a. + + c. − +
b. − − d. + −
𝑎 ��
𝑎 ��
𝑐 𝑑
8 |SMA SANTA ANGELA
6. Diketahui : titik ( ) dan titik ( ). Titik adalah sebuah titik pada
garis hubung sehingga
a. Tentukanlah vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah
b. Tentukanlah vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah
c. Tentukan koordinat titik
7. Diketahui : vektor * + , vektor *
− + dan vektor *
− + .
Tentukan :
a. | |
b. | + |
8. Diketahui : vektor * − +, tentukan vektor satuan dari vektor .
9. Diketahui ruas garis AB dengan koordinat titik ( − ) dan koordinat titik
( ).
a. Tentukan koordinat titik C, jika
b. Tentukan koordinat titik D, jika −
10. Diketahui vektor * + dan vektor *
− + maka tentukanlah ∙ dan
∙ .
11. Diketahui : vektor * + dan vektor *
+ serta vektor orthogonal
(tegak lurus) terhadap vektor , hitunglah nilai .
Latihan 1
1. Diketahui : vektor-vektor * + dan *
− +. Tentukanlah :
a. | | b. | | c. | + | d. | − |
2. Diketahui : * − + dan *
+ . Tentukan nilai agar dan sejajar
dan searah.
9 |SMA SANTA ANGELA
3. Koordinat titik ( ) dan ( − ) . Titik R terletak pada garis
sehingga
.
a. Tentukan vektor yang diwakili oleh ruas garis
b. Tentukan vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah
c. Tentukan koordinat titik .
4. Diketahui : titik ( − ) dan titik (− ) maka tentukanlah koordinat titik
P, jika
5. Diketahui : titik (− − ) dan titik ( ) . Titik C terletak pada
perpanjangan ruas garis AB, sehingga . Tentukanlah koordinat
titik C.
6. Diketahui : vektor * +, vektor *
+ dan vektor + . Tentukan
panjang vektor dan vektor satuan dari vektor .
7. Diberikan vektor-vektor ( − ) + ( + ) , ( + ) + ( − )
dan + . Jika + + maka tentukanlah kombinasi linear dari
− + dalam dan .
8. Diketahui : vektor * + dan *
− − + maka tentukanlah ∙ .
9. Tentukan sudut antara vektor dan , jika diberikan | | , | | dan
∙ √ .
10. Diketahui : vektor * + dan *
+ maka tentukan sudut antara vektor
dan .
11. Diberikan vektor * + dan *
− + dan vektor dan saling tegak
lurus maka tentukanlah nilai .
10 |SMA SANTA ANGELA
VEKTOR
C. Vektor di R3 ( Ruang Dimensi Tiga )
Pada dimensi 3 semuanya analog dengan vektor pada dimensi 2
Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor Ortogonal
Contoh :
1. Diketahui : − − dan + − . Berdasarkan vektor –
vektor tersebut maka tentukan :
a. Tentukan proyeksi skalar orthogonal dari vektor pada arah vektor
b. Tentukan proyeksi skalar orthogonal dari vektor pada arah vektor
c. Tentukan proyeksi vektor orthogonal dari vektor pada arah vektor
2. Diketahui : vektor ( − ) dan vektor (
− ). Jika panjang vektor
pada adalah
maka tentukanlah nilai .
1. Proyeksi skalar ortogonal dari vektor 𝑎 pada arah vektor �� , ditentukan :
|𝑐 | �� ∙ ��
|�� |
2. Proyeksi vektor ortogonal dari vektor 𝑎 pada arah vektor �� , ditentukan :
𝑐 (�� ∙ ��
|�� |2) ∙ 𝑏
11 |SMA SANTA ANGELA
Contoh Soal :
1. Diketahui : vektor (− ), vektor (
− ) dan vektor (
− )
a. Tentukan : − +
b. Tentukan :
−
+
2. Diketahui : 3 buah titik yaitu titik ( ), ( ) dan ( − ). Ruas-
ruas garis berarah , dan masing-masing mewakili vektor ,
dan
a. Nyatakan vektor , dan dalam vektor kolom
b. Nyatakan ruas garis , dan dalam vektor kolom
c. Tunjukkan bahwa titik dan segaris atau kolinear.
d. Tentukan
3. Diketahui : titik ( − ) dan ( − ). Titik R adalah titik pada garis
hubung sehingga
a. Tentukan vektor yang diwakili ruas garis berarah
b. Tentukan vektor yang diwakili ruas garis berarah
c. Tentukan koordinat titik
4. ABC adalh bangun geometri segitiga dengan koordinat titik sudutnya
( ) , ( − ) dan ( − ) . Dengan menggunakan rumus jarak,
perlihatkan bahwa segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di B.
5. Diketahui : vektor (− ), tentukan vektor satuan dari vektor .
6. Diketahui : ruas garis dengan koordinat titik ( − ) dan
( − ). Titik R membagi ruas garis dengan perbandingan .
Tentukan koordinat titik R.
12 |SMA SANTA ANGELA
7. Diketahui : ( ) , (− ) dan ( − ) . Ruas garis berarah
mewakili vektor dan ruas garis berarah mewakili vektor . Tentukan
( ∙ ).
8. Diketahui : vektor ( − ) dan vektor (
− ). Vektor + dan
vektor tegak lurus pada vektor . Tentukan nilai yang mungkin.
9. Diketahui : vektor ( − ) dan vektor (
− − ). Tentukan besar sudut
antara vektor dan .
10. Diketahui : titik ( − ), (− − ) dan vektor − + .
a. Tentukan proyeksi skalar vektor pada arah
b. Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor pada arah
13 |SMA SANTA ANGELA
LATIHAN SOAL VEKTOR
1. Diketahui : vektor dan . Jika | | , | | dan | + |
maka nilai | − | sama dengan……
a. √ d. √
b. √ e.
c. √
2. Diketahui : vektor-vektor ( − ) , (
) dan (
− ) maka
+ − sama dengan……
a. ( − ) d. (
− )
b. (− − ) e. (
− )
c. ( )
3. Diketahui : vektor-vektor ( − ), (
) dan (
). Besar vektor
− ( − ) adalah……
a. √ d. √
b. e. √
c. √
4. Diketahui : vektor-vektor − , + − dan +
maka − + sama dengan……
a. + − d. − +
b. − + e. − +
c. − +
5. Diketahui : vektor (− ) dan (
− ) dan (
− ) . Jika
− + maka | | adalah……
a. √ d. √
14 |SMA SANTA ANGELA
b. √ e. √
c. √
6. Diketahui : vektor ( − − ), (
) dan (
). Nilai | − + |
adalah……
a. √ d.
b. √ e.
c.
7. Diketahui : ( ) dan ( ) . Titik ( ) membagi AB
dengan perbandingan . Koordinat titik adalah……
a. ( ) d. ( )
b. ( ) e. ( )
c. (− )
8. Diketahui : ( ) , ( ) dan ( − ) . Titik terletak
sehingga . Panjang adalah……
a. √ d. √
b. e. √
c. √
9. Diketahui : titik ( ), (− − − ) dan membagi di luar
dengan perbandingan , maka koordinat titik adalah……
a. (− − − ) d. ( )
b. (− − − ) e. ( )
c. (− − − )
10. Ditentukan koordinat ( − ) , ( − ) dan ( ) .
membagi sehingga dan membagi di luar
dengan perbandingan . Panjang vektor adalah……
a. √ d. √
b. √ e. √
15 |SMA SANTA ANGELA
c. √
11. Diketahui segitiga dengan ( − ) ( − ) dan ( ) .
Koordinat titik berat adalah……
a. ( ) d. (− )
b. (− ) e. (− )
c. (− )
12. Diketahui : titik – titik (− ), ( ) dan ( ). Jika
dan segaris maka koordinat adalah……
a. ( ) d. ( )
b. ( ) e. ( )
c. ( )
13. Jika vektor ( ) , (
− ) dan (
) dan ( − ) ∙ ∙ ,
maka nilai sama dengan……
a. − d.
b. − e.
c.
14. Ditentukan vektor – vektor − + dan + − .
Jika vektor + dan vektor − maka nilai ∙ adalah…….
a. − d.
b. − e.
c.
15. Ditentukan : vektor ( − ) ; (
− − ) dan ( ) maka nilai
bulat yang memenuhi adalah……
a. − d.
b. − e.
c.
16 |SMA SANTA ANGELA
16. Sudut antara vektor + + dan vektor + adalah
.
Maka nilai adalah……
a. atau d. − atau
b. atau − e. − atau −
c. − atau
17. Vektor + − tegak lurus terhadap vektor − −
maka nilai adalah……
a. − atau
d. −
atau −
b. − atau e. atau
c. −
atau
18. Diketahui : dengan ( − ) , ( − ) dan ( ) .
Tangen sudut antara dan adalah……
a. d.
b. √
e.
√
c. √
19. Diketahui : dengan ( − − ), ( ) dan ( ). Jika
adalah sudut antara dan maka nilai dari s
a.
√ d. −
√
b.
√ e. −
√
c.
√
20. Diketahui : titik ( ) ( ) dan ( ). Jika ketiga titik itu
segaris ( kolinear ) maka nilai dan berturut-turut adalah……
17 |SMA SANTA ANGELA
a. − dan d. dan −
b. − dan e. dan −
c. dan
21. Diketahui : + + dan + − maka proyeksi vektor
orthogonal vektor pada arah adalah……
a.
[ ] d.
[ − ]
b.
[ − ] e.
[ ]
c.
[ − ]
22. Diketahui : vektor [ ] dan [
− ]. Jika + dan − .
Proyeksi vektor pada vektor adalah……
a.
[ ] d.
[ ]
b.
[ ] e.
[ ]
c.
[ ]
23. Diketahui titik (− ) ( ) dan ( − ). Proyeksi pada
adalah……
a.
( − + ) d.
( − + )
b.
( − + ) e.
( − − )
c.
( + + )
18 |SMA SANTA ANGELA
24. Diketahui dengan ( − ) ( − ) dan ( ). Proyeksi
vektor orthogonal dari pada arah adalah……
a.
[ ] d.
[ ]
b.
[ ] e.
[ − ]
c.
[ − ]
25. Panjang proyeksi [ − ] pada *
− + adalah
√ . Nilai
a. − atau − d.
atau
b. − atau e. atau
c. − atau
26. Diketahui vektor [ ] ; *
− + dan panjang proyeksi vektor
pada adalah √
. Jika sudut antara vektor dan lancip, maka nilai
adalah……
a. − d.
b. − e.
c.
27. Panjang proyeksi skalar orthogonal vektor − + pada vektor
− + adalah √ . Nilai yang memenuhi adalah……
a. d.
b. e.
19 |SMA SANTA ANGELA
c.
28. Diberikan vektor [
−
√
] dengan dan vektor [
√ ]. Jika
dan membentuk sudut , maka kosinus sudut antara vektor dan
+ adalah……
a.
√ d.
√
b.
√ e.
√
c.
√
29. Diketahui : + − + dan | − | √ . Hasil dari ∙
a. d.
b. e.
c.
30. Jika | | , | | dan ( ) maka | + |
a. d.
b. e.
c.
Daftar Pustaka
Suwah Sembiring dkk, 2012, Matematika Berbasis Pendidikan Karakter Bangsa untuk SMA / MA
Kelas XII IPA, YRAMA WIDYA Bandung.
Sukino, 2004. Matematika untuk SMA Kelas XII IPA, Erlangga.
Sartono Wirodikromo,2004. Matematika untuk SMA Kelas XII IPA, Erlangga.
Enung S dkk, 2009. Evaluasi Mandiri Matematika Untuk SMA Kelas XII IPA, Erlangga.
20 |SMA SANTA ANGELA
Rignan Wargiyanto dkk, 2008, Buku Kerja Matematika Untuk SMA Kelas XII IPA Semester 1,
Erlangga.
Willa Adrian, 2008, Matematika Dasar untuk SMA, YRAMA WIDYA Bandung.
Joshua Sabandar,2009, Matematika untuk SMA kelas XI IPA, Bailmu Bumi Aksara.
Suwah Sembiring dkk, 2002, Rahasia Pintar Matematika untuk SMA / MA menembus SNM-PTN,
YRAMA WIDYA Bandung.