1
معادالت دیفرانسیل معمولی
:تهیه وتنظیم •
هوشمند عزیزی •
مدرس دانشگاه فنی و حرفه ای •
بنام حضرت دوست که هرچه داریم از اوست
2
سرفصل معادالت دیفرانسیل عنوان
معادله دیفرانسیل مرتبه اول: فصل اول
ماهیت معادالت دیفرانسیل و طبقه بندی آنها: 1
معادله دیفرانسیل جدا شدنی و تبدیل به آن : 2
معادله دیفرانسیل همگن و تبدیل به آن: 3
دسته منحنی ها و دسته منحنی های متعامد : 4
معادله دیفرانسیل كامل: 5
عامل انتگرال ساز:6
معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی و تبدیل به آن: 7
3
معادله دیفرانسیل مرتبه دوم: فصل دوم
یا معادله دیفرانسیل مرتبه دوم حالت خاص فاقد : 1
معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرایب ثابت همگن : 2
اویلر-معادله دیفرانسیل کشی: 3
تغییر ) معادله دیفرانسیل مرتبه دوم خطی غیر همگن : 4
(متغیر
( ضرایب نامعین) روش ضرایب ثابت: 5
y x
4
حل معادله دیفرانسیل به روش سری ها: فصل سوم
سری توانی: 1
نقاط معمولی ومنفرد وجواب های سری معادالت : 2
دیفرانسیل
نقاط منفرد منظم معادالت دیفرانسیل خطی مرتبه دوم: 3
حالتی كه معادله شاخص دارای ریشه های برابر است4:
5
: فصل چهارم
دستگاه معادالت دیفرانسیل: 1
6
تبدیالت الپالس: فصل پنجم
تبدیل الپالس : 1
خواص تبدیل الپالس: 2
معکوس تبدیل الپالس: 3
حل معادله دیفرانسیل به روش الپالس: 4
تبدیل الپالس برخی توابع: 5
7
ماهیت معادله دیفرانسیل وطبقه بندی آن
با مفهوم معادله یعنی رابطه ای که درآن : مقدمه
ساده ترین معادله یک . تساوی باشد، آشنا هستیم
مجهولی می باشد،
مثال. می دهیمنشان که بانماد
معادله یک مجهولی درجه اول و
معادله یک مجهولی درجه دوم و
معادله یک مجهولی درجه سوم والی آخر
0xf0bax
02 cbxax
023 dcxbxax
8
معادله دو مجهولی که بانماد 0, yxfنشان می دهیم
0 cbyax
022 feydxcybxyax
معادله دو مجهولی درجه اول مثال
معادله دو مجهولی درجه دوم والی اخر
:درمورد معادله دونوع سوال قابل طرح می باشد
0x 0xf آیا( الف می باشد؟ جواب معادله
جواب معادله راپیدا کنید؟( ب 00 , yx 0, yxf می باشد؟ جواب معادله آیا جفت
9
ساده می باشد زیرا با ( جواب دادن به سوال الف
ولی جواب دادن .جایگذاری می توان مشخص کرد
ابتدا باید معادالت را . مشکل می باشد( به سوال ب
دسته بندی کرده وبرای هر نوع روش خاصی
راارائه داده بعبارت دیگر برای حل معادله باید دو
:مرحله را مشخص کنیم
مرحله شناخت( 1
(روش حل)مرحله حل( 2
10
0, yxfx
yy
x
رابعنوان متغیر متغیر حال اگر درمعادله
را بعنوان متغیر وابسته درنظر بگیریم آن گاه
می باشد و می توان درمورد مشتق تابع تابعی از
مستقل و
:صحبت کرد یعنی
n
nn
dx
ydyy
dx
ydy
dx
dyy ,...,, 2
2
2
11
xy
0,...,,,, nyyyyxf
و (متغیر مستقل) معادله ای که شامل ترکیباتی از
و مشتقات آن باشد را معادله دیفرانسیل نامیم وبا نماد( متغیر وابسته)
نشان می دهیم
:تعریف
:درمورد معادله دیفرانسیل نیز می توان دو سوال طرح کرد
آیا تابع ( الف 0, yxfجواب معادله دیفرانسیل می باشد؟
جواب های معادله دیفرانسیل را پیدا کنید؟( ب
12
xey 2065 yyy
تابع یاآمثال ( با جایگذاری)ساده است ( جواب دادن به سوال الف
میباشد؟ جواب معادله
مشکل می باشد وبستگی به نوع ( جواب دادن به سوال ب
باتعریف مرتبه ودرجه معادله . معادله وطبقه بندی آن دارد
.می رویم( دیفرانسیل به سراغ سوال ب
بیشترین تکرار مشتق در هر معادله را مرتبه آن :تعریف
.وتوان بیشترین تکرار مشتق را درجه معادله دیفرانسیل نامیم
13
:مثال
معادله 1)
.مرتبه اول ، درجه سوم می باشد
معادله ( 2
.مرتبه سوم ، درجه اول می باشد
معادله( 3
.مرتبه سوم ، درجه اول می باشد
543xyy
xdx
yd
dx
yd
2
2
2
3
3
432 yyy
14
معادله دیفرانسیل جدا شدنی
مشابه معادله معمولی باتوجه به تعریف مرتبه ودرجه معادله
بنابراین ساده ترین . دیفرانسیل می توان آنها راطبقه بندی کرد
معادله دیفرانسیل مرتبه اول بصورت
برابربایک باشد آنگاه معادله مرتبه می باشد که اگر توان
اول درجه اول می باشد
0,, yyxf
y
بصورت کلی
),(,
,yxF
yxg
yxfy
مرتبه اول درجه اول که
می باشد
15
معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول به صورت :تعریف
هر معادله مرتبه (. مرحله شناخت)را معادله جدا شدنی نامیم
جدایی )اول درجه اول جداشدنی را اختصارا معادله جداشدنی
هر معادله جدا شدنی را می توان بصورت کلی . نامیم(پذیر
.تبدیل کرد
yg
xfy
0 dyyNdxxM
16
از معادله جداشدنی گیریبا انتگرال :حل معادله دیفرانسیل جداشدنی
0 dyyNdxxM
.می توان جواب آنرا محاسبه کرد
هدف از حل معادله دیفرانسیل محاسبه جواب عمومی : تذکر
جوابی را جواب عمومی نامیم . معادله دیفرانسیل می باشد
هرگاه تعداد پارامترها به تعداد مرتبه معادله دیفرانسیل باشد که
.بعدا آنرا دقیقا تعریف خواهیم کرد
17
. را حل می کنیم معادله :مثال
داریم: حل
آن گاه
ویا درنتیجه
.معادله است(عمومی)جواب
yy
xxy
2
2
yy
xx
dx
dy
2
2
022 dyyydxxx
022
dyyydxxx
cyyxx 3223
3
1
2
1
2
1
3
1
18
معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول ممکن است به ظاهر
جداشدنی نباشد ولی با تقسیم برعباراتی می توان آن را تبدیل به
.جدا شدنی نمود
معادله : مثال
به ظاهر جدا شدنی نیست، ولی با تقسیم برحاصلضرب عبارات
:داریم اضافی
: داریم گیریکه جدا شدنی است پس با انتگرال
.جواب معادله است
01111 22 dyyxdxxy
11 yx01
1
1
1 22
dy
y
ydx
x
x
cyyyxxx 1ln22
11ln2
2
1 22
19
معادله دیفرانسیل همگن
مالحظه شد معادله مرتبه اول درجه اول بصورت
ویا به صورت
می باشد
yxg
yxfy
,
,
0,, dyyxNdxyxM
20
مثال معادالت
معادالت مرتبه اول درجه اول می باشند که هیچکدام جدا شدنی
نیستند ولی معادله اولی دارای خاصیتی می باشد که معادله
درمعادله دیفرانسیل اول تمام جمالت توابع . دومی نیست
این . از توان یکسان دو می باشد ولی معادله دومی چنین نیست
.مفهوم رابانماد ریاضی تعریف می کنیم
xy
yxy
xy
yxy
22
2
2
,
),(,),( yxfzyxgz
21
تابع دو متغیره :تعریف
:نامیم هرگاه درشرط زیر صدق کند را تابع همگن از درجه
),( yxfz
yxfttytxf n ,,
n
تابع 22, yxyxyxf تابع همگن ازدرجه دو می باشد
تابع
x
yyxeyxf x
y
sin,
.تابع همگن از درجه یک می باشد
22
معادله دیفرانسیل : تعریف
را معادله همگن نامیم هر گاه توابع دو متغیره
بعبارت دیگر معادله . توابع همگن از درجه یکسان باشند
دیفرانسیل
را معادله همگن نامیم هر گاه توابع دو متغیره
.توابع همگن از درجه یکسان باشند
yxg
yxfy
,
,
fg,
0,, dyyxNdxyxM
NM,
23
فرض کنیم معادله : حل معادله دیفرانسیل همگن
پس داریم بافرض تغییر متغیر . همگن باشد
آن گاه با جایگذاری درمعادله نتیجه می شود که
که معادله اخیر جدا شدنی است می توان آنرا به روش جدا
شدنی حل کرد وبا جایگذاری
.جواب معادله دیفرانسیل اولیه بدست می آید
yxg
yxfy
,
,
x
yv vxy
vxy
1, 1,
1, 1,
f v f vdv dv dxv x v x v f v
g v dx g v f v x
x
yv
24
معادله دیفرانسیل همگن :مثال
و را حل می کنیم باجایگذاری
:داریم
با تقسیم برحاصلضرب عبارات اضافی
:داریم
xdvvdxdy vxy
221 vx
021 2
dv
v
v
x
dx
022 xydydxyx
021
021
0
0
2
322
322222
222
xvdvdxv
vdvxdxvx
vdvxdxxvxvx
xdvvdxxvxdxxvx
25
را بعنوان معموال رای ساده کردن به جایب: تذکر
.پارامتر ثابت اختیار می کنیم
.جواب معادله دیفرانسیل می باشد
21ln ln(1 2 ) ln
4x v c
ccln
1
2 4
24
2
42
ln (1 2 ) ln
(1 2 )
2(1 )
x v c
x v c
yx c
x
26
دسته منحنی ها ودسته منحنی های متعامد مالحظه شد که جواب عمومی هر معادله دیفرانسیل مرتبه اول
وقتی . معموال شامل یک ثابت اختیاری موسوم به پارامتر است
مقادیر مختلفی به این پارامتر نسبت داده می شود، یک دسته
منحنی به دست می آید هر یک از این منحنی ها یک جواب
خصوصی معادله دیفرانسیل مفروض است وهمه آنها با هم
بنابراین معادله. جواب عمومی آن را تشکیل می دهند
بنابراین معادله. جواب عمومی آن را تشکیل می دهند
.یک دسته منحنی می باشد
0),,( cyxf
0),,( cyxf
27
حااال ماای خااواهیم دسااته منحناای هااای متعامااد بریااک دسااته منحناای
مفااااروض رابااسااااتفاده از معادلااااه دیفرانساااایل بدساااات آوریاااام کااااه
بعنااوان مثااال تعاادادی . کاااربردی از معادلااه دیفرانساایل ماای باشااد
:دسته منحنی رادر زیر رسم می کنیم
28
29
وبا استفاده از روند زیر می توان باال حال با توجه به مطالب
:دسته منحنی های متعامد بریک دسته منحنی ها را پیدا کرد
0),,(01
,,0,,
1
cyxgy
yxfyyxf yy
0),,( cyxf
معادله دسته منحنی ها
معادله دیفرانسیل
معادله دیفرانسیل دسته دسته منحنی ها
منحنی های متعامد
دسته
منحنی های
متعامد
30
دسته منحنی های متعامد بردسته منحنی های دوایر به :مثال
مرکز مبدا وشعاع دلخواه رابدست می
: آوریم
مشتق
دسته منحنی های متعامد
222 cyx 0022 yyxyyx
01
1
yyxy
y
yyxy
yx
cxyx
dx
y
dyy
dx
dyx lnlnln
cxycxy lnln
31
32
اغلب مناسب است که دسته منحنی های داده شده را برحسب
مختصات قطبی بیان کنیم دراین حالت از این موضوع استفاده
زاویه بین شعاع حامل وخط مماس باشد آن می کنیم که اگر
با استفاده بحث باال برای (. ریاضی عمومی) گاه
له دیفرانسیل دسته منحنی درمعادیافتن دسته منحنی های متعامد
منفی عکس آن یعنی داده شده به جای عبارت
.را جایگذاری می کنیم
dr
rd tan
dr
rd
rd
dr
33
دسته منحنی های متعامد بردسته منحنی های: مثال
معادله دسته منحنی ها . را درمختصات قطبی بدست می آوریم
:در مختصات قطبی عبارت است از
: بنابراین
:داریم که با حذف
ویا
cxyx 222
cos2cr
sin2cd
dr
c
sin
cos
r
d
dr
sin
cos
dr
rd
34
:داریم به که با جایگذاری
. معادله دسته منحنی های متعامد می باشد
dr
rd
rd
dr
sin2
sin2lnln2lnsinlnln
sin
cos
sin
cos
cr
crcr
dr
drr
rd
dr
35
36
معادله دیفرانسیل کامل
درریاضیات عمومی با دیفرانسیل توابع دو متغیره
آشنا شدیم ومالحظه کردیم که دیفرانسیل کامل تابع را که با
ز نشان می دهیم عبارت است ا نماد
وهمچنین معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول بصورت
.می باشد کلی
),( yxfz
df
dyy
fdx
x
fdf
0,, dyyxNdxyxM
37
معادله دیفرانسیل:تعریف
را معادله کامل نامیم هر گاه تابع دو متغیره
. و موجود باشد بطوری که
با توجه به تعریف باال تعیین اینکه معادله دیفرانسیل داده شده
کامل می باشد، مشکل است زیرا باید تمام توابع دو متغیره
راجستجو کنیم ومالحظه کنیم که بترتیب کدام تابع دارای
برابر با توابع مشتقات جزیی نسبت به
می باشد و
0,, dyyxNdxyxM
),( yxfz
yxMx
f,
yxN
y
f,
xy,
yxMM , yxNN ,
38
اگر این کار امکان پذیر باشد، مشکل است به همین دلیل
بدست می آوریم که وجود چنین شرایطی روی
با مشتق گیری جزیی از طرفین رابطه . تابعی را تضمین کند
های
: داریم به ترتیب نسبت به
:با توجه به اینکه برای توابع پیوسته داریم
:بنابراین
NM,
yxMx
f,
yxNy
f,
yx,
y
M
x
f
yx
N
y
f
x
,
xy
f
yx
f
22
x
N
y
M
39
بنابراین شرط کامل بودن معادله دیفرانسیل
: عبارت است از
.(مرحله شناخت)
0,, dyyxNdxyxM
x
N
y
M
40
.معادالت دیفرانسیل زیر کامل می باشد:مثال
( الف
زیرا
(ب
زیرا
032 2 dyyxdxyx
11
x
N
y
M
0332 2223 dyxyyxdxyxy
1616 22
xy
x
Nxy
y
M
41
:حل معادله دیفرانسیل کامل
فرض کنیم که معادله دیفرانسیل
کامل باشد بنابر تعریف معادله دیفرانسیل کامل، تابعی مانند
:موجود است که
پس بنابر تساوی های باال نتیجه می شود
.جواب معادله دیفرانسیل می باشد ویا
0,, dyyxNdxyxM
),( yxfz
yxMx
f,
yxNy
f,
0df
cf
42
می باشد که با استفاده از تنها معلومات، مشتقات جزیی
.روند زیر می توان آنرا محاسبه کرد
بدست مقدار آن گاه با استفاده از رابطه دوم
که همان می آید که با انتگرال گیری از آن مجهول
بدست می آید که می باشد محاسبه می شود در نتیجه
.جواب معادله دیفرانسیل است
f
ydxyxmyy
f
ydxyxMfyxMx
f
yxNy
f
yx
,
,,
,
yxNy
f,
y
f y f
cf
43
مالحظه شد که معادله :مثال
: کامل می باشد پس
. جواب معادله دیفرانسیل است
cyyxxyyxxfyy
yyyxyxyxy
f
yxy
fyyxxfyx
x
f
df
yx
320323
222
2
333
2
032 2 dyyxdxyx
44
عامل انتگرال ساز
معادله دیفرانسیل
کامل نمی باشد زیرا
ولی اگر طرفین معادله باال را در
:ضرب کنیم داریم
واین معادله دیفرانسیل جدید کامل می باشد زیرا
.و می توان به روش کامل معادله دیفرانسیل جدید را حل کرد
02 dyxxydx
1,12
y
Mx
x
N
2
1
xu
01
12
dy
xdx
x
y
22
1,
1
xy
M
xx
N
45
بنابراین ممکن است معادله دیفرانسیل کامل نباشد ولی
باضرب کردن درتابع که آنرا عامل انتگرال سازگوییم تبدیل
اکنون شرط وجود عامل انتگرال ساز . به کامل کرد
فرض کنیم که معادله. وچگونگی محاسبه آن را بیان می کنیم
کامل نباشد یعنی
باشد، آنگاه طبق ودارای عامل انتگرال ساز
تعریف عامل انتگرال ساز معادله جدید
کامل می باشد
0,, dyyxNdxyxM
x
N
y
M
),( yxuu
0uNdyuMdx
46
x
uN
x
Nu
y
uM
y
Mu
از این معادله ممکن نیست به همین دلیل که محاسبه
تحت شرایط خاصی عامل انتگرال ساز را بررسی می
.کنیم
u
فرض می کنیم که عامل انتگرال ساز فقط تابعی ( لفا
، آن گاه باشد یعنی از
x)(xuu
, 0u du u
x dx y
47
:که با جایگذاری داریم
.عامل انتگرال ساز می باشد
فرض می کنیم که عامل انتگرال ساز فقط تابعی از( ب
ن گاه ، آ باشد یعنی
y
)(yuu
dxxp
euوx
N
y
M
Nxp
1
, 0u du u
y dy x
48
:که با جایگذاری داریم
. عامل انتگرال ساز می باشد
x
N
y
M
Myq
1 dyyq
eu
49
عامل انتگرال سازی برای معادله:مثال
.را پیدا می کنیم
ابتدا مقدار مشترک :حل
: داریم را محاسبه می کنیم که با تقسیم بر
عامل انتگرال ساز پس
.می باشد
01 2 dyxxydx
xxxx
N
y
M
2
M
1 1 1M N
q y xM y x xy y
yeeu ydy
y
ln
1
50
گاهی معادله دیفرانسیل غیر کامل دارای عامل انتگرال :تذکر
سازی بصورت
.ثابت های مناسبی هستند است، که درآن
, n mu x y x y
mn,
برای یافتن عامل انتگرال سازی به صورت
کاملواز شرط طرفین معادله را درآن ضرب می کنیم
.استفاده می کنیم
, n mu x y x y
51
، گاهی با جستجو کردن می روش دسته بندی یا کوتاه: تذکر
توان معادله دیفرانسیل را به یکی از حاالت زیر دسته بندی
:کرد
(جداشدنی) ( الف
( ب
( ج
( د
که به سادگی می توان با انتگرال گیری از طرفین معادالت
.جواب آنها را بدست آورد
dyyNdxxM
yxvddxxM ,
dyyNyxud ,
yxvdyxud ,,
52
:یادآوری
(الف
(ب
(ج
(د
2
2
1
2 2
( )
( )
( )
(tan )
d xy ydx xdy
x ydx xdyd
y y
y ydx xdyd
x x
y ydx xdyd
x x y
53
(ه
(و
(ز 2
1
2 2
2
2 2
(ln )
(tan ( ))1
(ln( )) 2
x ydx xdyd
y xy
ydx xdyd xy
x y
xdx ydyd x y
x y
54
را باروش معادله دیفرانسیل :مثال
.دسته بندی حل می کنیم
معادله دیفرانسیل را به صورت : حل
)ب(واز فرمول می نویسیم که
:داریم
که با انتگرال گیری نتیجه می شود
. جواب معادله دیفرانسیل می باشد
02 xdydxyy
02 xdyydxdxy
dxyxdyydx 2
dxy
xdyydxdx
y
xd
2
,
cxy
x
xc
xy
,
55
معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی
مالحظه شد که معادله مرتبه اول بصورت
برابر با یک باشد آنرا معادله می باشد که اگر توان های
مالحظه شد که معادله خط)مرتبه اول خطی نامیم
به یا برابر با یک می باشد که اگر توان یکی از توان
بنابراین معادله ( غیر یک باشد آن گاه معادله منحنی می باشد
مرتبه اول خطی به صورت
.می باشد
0,, yyxfyy ,
cbyax
yx,xy
xfyxfyxf 321 )()(
56
معادله مرتبه اول خطی بصورت با تقسیم طرفین بر
کلی
مثال معادالت زیر مرتبه اول خطی ( مرحله شناخت)است
:هستند
( الف
( ب
(ج
1f
xqyxpy
31xy
xy
xeyx
y 1
2
2 xexyy
57
برای حل معادله دیفرانسیل
ابتدا مالحظه می کنیم که آیا کامل است یا نه؟
عامل انتگرال ساز معادله مرتبه اول خطی
و است
xqyxpy
dxxp
eu
cdxxqeey
dxxpdxxp
.[
جواب عمومی معادله مرتبه اول خطی xqyxpy
می باشد
58
.را حل می کنیم معادله مرتبه اول خطی :مثال
:پس و چون
.است جواب معادله دیفرانسیل
31xy
xy
x
xp1
3xxq cdxxeeydx
xdx
x
3
11
.[
].[].[ 3ln3.lnln 1
cdxxxeycdxxeey xxx
x
cxycxxy
451
5
1
5
1
59
حالت خاصی از معادالت مرتبه اول خطی به صورت
با . برابر با یک می باشد می باشد که توان های
توجه به روش حل معادله مرتبه اول خطی با تعویض نقش
وبالعکس نتیجه می شود که با
yqxypdy
dx
dy
dxxx ,
xy
].[ cdyyqeex
dyypdyyp
60
حالت خاصی از معادالت مرتبه اول که تبدیل به خطی می -
شود به صورت
معادله مرتبه اول خطی است وبه می باشد که به ازای
، معادله جدا شدنی است وبه ازای ازای
معادله دیفرانسیل برنولی را می . معادله برنولی نامیده می شود
دارای جواب و حل کرد توان با تغییر متغیر
.است
nyxqyxpy )()(
0n
1n1,0n
nyz 1
cdxxqneeyzdxxpndxxpnn
)()1.([)()1()()1(1
61
.را حل می کنیم معادله: مثال
و و و داریم :حل
: پس
.جواب عمومی معادله است
431yxy
xy
4n31 nx
xp1
)( 3)( xxq
])3.([ 3
1)3(
1)3(
3 cdxxeeydx
xdx
x
343
33
33
3333
3
)3(
]3[
])3.([
cxxy
cxxy
cdxxy
cdxxxxy
62
بعنوان معادله دیفرانسیل مرتبه اول می توان معادله دیفرانسیل
بسادگی . معروف است (Clairaut)کلرو را مطرح کرد به نام
جوابی از معادله مالحظه می شود که
با جایگذاری باالمی باشد زیرا با مشتق گیری داریم
که معادله درجواب نتیجه می شود
بنابراین جواب معادله کلرو با جایگذاری . کلرو است
.بدست می آید
)(yfyxy
)(cfcxy
cy )(yfyxy
yc
yc
63
معادله :مثال
.را حل کنید
معادله دارای جواب با جایگذاری: حل
.است
2)(yyxy
cy
2ccxy
64
ریکاتی بعنوان آخرین معادله دیفرانسیل مرتبه اول -
(Riccati)رابیان می کنیم که به صورت
می باشد برای پیدا کردن جواب عمومی با شرط
.معادله باال باید جوابی خاص از آن معلوم باشد
جایگذاری. یک جواب خاص از معادله باال باشد اگر
معادله را به معادله دیفرانسیل و
.تبدیل می کنداست، مرتبه اول خطی که
2)()()( yxhyxgxfy
0)( xh
)(1 xyy
uyy
11
21u
uyy
)(])(2)([ 1 xhuyxhxgu
65
( با) معادله : مثال
:را حل می کنیم
و و چون : حل
: پس
: پس و بنابراین
23 12y
xy
xxy 2
1 xy
3)( xxf x
xg2
)( 1
( )h xx
xux
xxu
1)]).(
1(2
2[ 2
xux
xu
1)2
2(
xx
xp 22
)( x
xq1
)(
]1
[22 ln2)ln2( cdx
xeeu xxxx
66
]1
[22 ln2)ln2( cdx
xeeu xxxx
]1
.[22 ln2ln2 cdx
xeeeeu xxxx
2 22 2 1[ . ]x xu x e x e dx c
x
][222 cdxexexu xx
2
2
2
2
222
22
2
2
2
1
2
1x
x
x
x
ex
ce
ex
c
xecxxu
ce
exxy
x
x
2
22
22
67
معادله دیفرانسیل مرتبه دوم
را مرتبه دوم دراین فصل معادله
.درحاالت خاص بررسی می کنیم
xیا yمعادله مرتبه دوم حالت خاص فاقد
.برابر صفر باشدیا ممکن است درمعادله ضریب
0),,,( yyyxf
xy
68
مرتبه دوم فاقدرا معادله به صورت -
و مثال . نامیم
.می باشند معادالت مرتبه دوم فاقد
مرتبه دوم فاقدرا معادله به صورت -
و مثال. نامیم
.می باشند معادالت مرتبه دوم فاقد
0),,( yyyfx
2)(yyy 0 yyx
0),,( yyxfy
yyx 23xyyx y
69
حل معادله (الف
می توان معادله را به معادله مرتبه با تغییر متغیر
اول تبدیل کرد که اگر معادله بدست آمده یکی از معادالت
می توان آنرا حل کرد مرتبه اول باشد که قبال بحث شده است
که با جایگذاری داریم زیرا بافرض
درمعادله نتیجه می شود
.که معادله مرتبه اول می باشد
0),,( yyxfpy
py dx
dpy
0),,( dx
dppxf
70
حل معادله( ب
می توان معادله را به معادله مرتبه با تغییر متغیر
اول تبدیل کرد که اگر معادله بدست آمده یکی از معادالت
می توان آنرا حل کرد مرتبه اول باشد که قبال بحث شده است
که داریم زیرا بافرض
با جایگذاری درمعادله نتیجه می شود
متغیر متغیر مستقل و که معادله مرتبه اول با فرض
.وابسته می باشد
py
py
0),,( yyyf
dy
dpp
dx
dy
dy
dp
dx
dpy
0),,( dy
dpppyf
yp
71
را باتغییر متغیر ، معادله فاقد : مثال
.حل می کنیم
:داریم که با جایگذاری
.جواب عمومی معادله دیفرانسیل است
yyyx py
dx
dpy
x
dx
p
dpp
dx
dpx
2
2
11
111
2
1
lnlnlnlnln
cxcyxdxcdyxcdx
dy
xcpxcpcxp
72
را ، معادله مرتبه دوم فاقد : مثال
حل می کنیم که با جایگذاری باتغییر متغیر
:داریم
.جواب عمومی معادله دیفرانسیل است
x2)(yyy py
dy
dppy pdyydpp
dy
dpyp 2
1 1 1
1 1
1 1 1
2
ln ln ln
ln
.c x c c x c xc
dp dyp y c p c y
p y
dy dyc y c dx y c x c
dx y
y e e e y c e
73
درحل این نوع معادالت دیفرانسیل :تذکر
مرتبه دوم، درواقع هر معادله مرتبه دوم را
به دو معادله مرتبه اول تبدیل کرده وآنها را
.حل می کنیم
74
معادله مرتبه دوم با ضرایب ثابت همگن
. دراین بخش حالت خاصی از مرتبه دوم رابررسی می کنیم
مالحظه شد که معادله مرتبه دوم خطی بصورت کلی
آنرا مرتبه دوم خطی همگن می باشد که اگر
نامیم
)()()()( 4321 xfyxfyxfyxf
0)(4 xf
75
توابع ثابت باشند بعبارت اگر
دیگر مقادیر آنها اعداد ثابت باشند آن گاه معادله بصورت
می باشد که می توان آنرا بصورت ساده
مالحظه کرد که آنرا مرتبه دوم خطی همگن با ضرایب
(مرحله شناخت. )ثابت ، یا اختصارا با ضرایب ثابت نامیم
321 ,, fff
0321 yayaya
0 byyay
76
:حل معادله
و داریم با تعریف نماد
که با جایگذاری درمعادله
: نتیجه می شود که
0 byyay
dx
dD Dy
dx
dyy
yDdx
dy
dx
dy 2)(
2( ) 0D aD b y
0 byyay
77
نامیم (یا مفسر)را معادله کمکی معادله
معادله کمکی، یک معادله درجه دو می باشد که ممکن است
:سه حالت زیر رخ دهد
دارای دو ریشه متمایز باشد یعنی ( الف
باشد یعنی(تکراری)دارای ریشه مضاعف ( ب
دارای ریشه مختلط باشد یعنی (ج
02 baDD
0))(( 21
2 mDmDbaDD
0))((2 mDmDbaDD
0)()(((2 iDiDbaDD
78
را با توجه بنابراین معادله دیفرانسیل
به معادله کمکی به دو معادله مرتبه اول تبدیل کرده وآنرا حل
:بنابراین . می کنیم
داریم که بافرض ( الف
وبا حل معادله مرتبه اول
.شود نتیجه می
که با جایگذاری درمعادله
حل معادله خطی باال داریمو
0)( 2 ybaDD
0))(( 21 ymDmDuymD )( 2
0)( 1 umD0)( 1 umD
xmecu 1
1
uymD )( 2
xmxmececy 21
21
79
( آن گاه مشابه قسمت الف اگر ( ب
نتیجه می شود که
. جواب معادله دیفرانسیل می باشد
( اگر معادله کمکی دارای دو ریشه مختلط باشد بنابر الف( ج
:داریم
ویا
دیفرانسیل می باشد جواب معادله
0))(( ymDmD
mxmx xececy 21
)sincos( 21 xcxcey x
xixi ececy )(
2
)(
1
80
معادالت:مثال
(الف
(ب
( ج
.معادالت مرتبه دوم با ضرایب ثابت می باشند
065 yyy
044 yyy
0 yyy
81
معادله کمکی عبارت است از ( الف: حل
جواب عمومی :بنابراین که
.معادله دیفرانسیل است
که معادله کمکی عبارت است از ( ب
جواب عمومی : بنابراین
.معادله دیفرانسیل است
که معادله کمکی عبارت است از( ج
پس و :بنابراین
.جواب عمومی معادله دیفرانسیل است
0652 DD3,2Dxx ececy 3
2
2
1
0442 DD2,2D
xx xececy 2
2
2
1
012 DDiD
2
3
2
1
2
1
2
3
)2
3sin
2
3cos( 21
2
1
xcxceyx
82
معادله مرتبه دوم را به روش دیگرنیز می توان حل :تذکر
توابعی باشند که و کرد که اگر
جوابی از معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن، آن گاه
توابعی جوابی از معادله دیفرانسیل می باشد واگر
مستقل خطی باشند آنگاه این جواب ، جواب عمومی معادله
دیفرانسیل است ومی توان معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را از
.این دیدگاه بررسی کرد
)(11 xyy )(22 xyy
)()( 2211 xycxycy
12 , yy
83
معموال شرایط وجود جواب معادله
دیفرانسیل مرتبه دوم همگن دردرس نظریه
معادالت دیفرانسیل بحث می شود
وشرایطی را روی توابع بیان می کنند که
وجود جواب معادله دیفرانسیل را تضمین
.کند که ما اینجا وارد این بحث نمی شویم
84
دترمینان و برای هر دو تابع :تعریف
می نامیم توابع (Wronskian) نییرا رونسک
وبا نماد
.نشان می دهیم
)(xf)(xg
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x g xf x g x g x f x
f x g x
fg,
)()()()(),( xgxfxgxfgfw
85
نی متحد با صفر یثابت می شود که رونسک -
. است اگر وفقط اگر دوتابع وابسته خطی اند
بعبارت ساده تر دو تابع، وابسته خطی اند هر
گاه یکی مضرب دیگری باشد، درغیر این
.صورت آنها را مستقل خطی می نامیم
86
بسادگی مال حظه میشود که توابع : توجه
مستقل خطی اند مشا بها با شرط
مستقل خطی اند و همچنین
و
.مستقل خطی اند با شرط
xmxmeyey 12
12 ,
21 mm
mxmx eyxey 12 ,
xey x cos1 xey x sin2
0
87
نتایج باال را برای معادالت دیفرانسیل :تذکر
با ضرایب ثابت مرتبه باالنیزمی توان تعمیم
یعنی اگر معادله کمکی معادله . کرد
دیفرانسیل دارای ریشه های حقیقی متمایز
آن گاه جواب . ومضاعف ومختلط داشته باشد
معادله دیفرانسیل ترکیبی از جواب های بیان
. شده است
88
مثال معادله دیفرانسیل
ه های آن عبارت استیشدارای معادله کمکی می باشد که ر
:از
بنابراین
. جواب معادله دیفرانسیل است
0212
yDDD
2,2,1,0D
xxxx xececececy 2
4
2
32
0
1
89
اویلر-معادله کشی معادله مرتبه دوم خطی همگن
-ثا بت اند معادله کشی اعداد راکه درآن
.می نامیم(Cauchy-Euler)اویلر
اویلر می –مثال معادالت دیفرانسیل زیر معادله های کشی
.باشند
( الف
( ب
02 byyaxyx
ab,
0642 yyxyx
02 yyxyx
90
اویلر –حل معادله کشی
می توان به معادله این معادله را با تغییر متغیر
:مرتبه دوم با ضریب ثابت تبدیل کرد زیرا
و
نشان دهیم، را با نسبت به اگر مشتق های
معادله تبدیل به
.می شود که معادله با ضرایب ثابت است
02 byyaxyx
tex
dt
dyyx
dt
dy
dt
ydyx
2
22
ytYY ,
0)( bYYaYY
91
:اویلر زیر را حل می کنیم –معادله کشی :مثال
: داریم با فرض : حل
: است بنابراین پس معادله کمکی دارای ریشه های
:نتیجه می شود( یا ) با جایگذاری
.اویلر است –جواب معادله کشی
0642 yyxyxtex
064)1( YDYYDD
3,2Dtt ececY 3
2
2
1 tex xt ln
3
2
2
1 xcxcy
92
اویلر –نتایج باال را برای معادالت دیفرانسیل کشی :تذکر
. مرتبه باال نیز می توان تعمیم داد
اویلر مرتبه سوم –مثال معادله کشی
:تبدیل به معادله را می توان با تغییر متغیر
.نمود وآنرا با روش ضرایب ثابت حل کرد
023 cyybxyaxyxtex
0))1()2)(1(( YcbDDaDDDD
93
:اویلر زیر را حل می کنیم –معادله دیفرانسیل کشی :مثال
:داریم با فرض : حل
: بنابراین
0884 23 yyxyxyxtex
088)1(4)2)(1( YDYyDDYDDD
0)88)1(4)2)(1(( YDDDDDD
4,2,10)4)(2)(1( DDDD
ttt ecececY 4
3
2
21
4
3
2
21
xcxcxcy
94
معادله دیفرانسیل مرتبه دوم خطی غیر همگن
مالحظه شد که معادله مرتبه دوم خطی با ضرایب ثابت غیر
می باشد که همگن بصورت
آنرا معادله مرتبه دوم خطی با ضرایب ثابت اگر
:همگن نامیم یعنی
می ودارای جوابی بصورت
.باشد
)(xfbyyay
0)( xf
0 byyay
2211 uucy
95
جواب عمومی معادله همگن حال اگر
جوابی خاص از معادله غیر همگن و
باشد آن گاه
.جواب عمومی معادله غیر همگن می باشد
0 byyaycy
py
)(xfbyyay
pc yyy
96
را معادله دیفرانسیل :تعریف
معادله دیفرانسیل با ضرایب ثابت وابسته معادله دیفرانسیل
.نامیم
هدف از این قسمت درس پیدا کردن جواب خاص معادله غیر
همگن
.ارائه می دهیم می باشد که دو روش برای پیدا کردن
0 byyay
)(xfbyyay
)(xfbyyay
py
97
:روش تغییر پارامتر (الف
بصورت دراین روش فرض می کنیم که جواب خاص
جواب همگن می با شد که چون
به توابع باشد وبا تغییر پارامترهای
بدست آمده است، به همین دلیل این روش و
.را تغییر پارامتر نامیم
py
2211 uvuvyp
2211 ucucyc
21,cc)(11 xvv )(22 xvv
98
حال با توجه به معلوم بودن ظاهر جواب خاص کافی است
. درآن صدق می کنند را پیدا کنیم روابطی که توابع
: بنابراین داریم
صدق کند، چون باید درمعادله همگن
بنابراین
12 ,vv
22221111 uvuvuvuvyp
2222222211111111 uvuvuvuvuvuvuvuvyp
)(xfbyyay ppp
1 1 2 2
1 1 2 2
0
( )
v u v u
v u v u f x
99
که دستگاه دو معادله دو مجهولی می باشد ومی توان از
را محاسبه کرده و با انتگرال گیری آن مقادیر
محاسبه می شود واز آن جا
.بدست می آید
با یک مثال توضیح می دهیم
12 ,vv
12 ,vv
1 1 2 2py v u v u
100
را معادله غیر همگن :مثال
: حل می کنیم
دارای جواب معادله وابسته : حل
و است بنابراین
: پس
و جمع طرفین دومعادله باال با ضرب معادله اول در
:داریم
: درمعادله اول داریم با جایگذاری
xeyyy 365
065 yyyxx
c ececy 3
2
2
1 xeu 2
1 xeu 3
2
xxx
xx
eevev
evev
3)3()2(
0
3
2
2
1
3
2
2
1
2xx eev 33
2
xx evev 2
2
2
22
33
xev 2
2 3
101
:درنتیجه
پس
. جواب عمومی معادله غیر همگن است
0)3( 322
1 xxx eeevxxxx eveveev 333 11
2
1
xxx
xxxx
p
eee
eeeeuvuvy
2
3
2
33
.2
3.3 322
2211
xxx eececy2
33
2
2
1
102
را معادله غیر همگن :مثال
.حل می کنیم
دارای جواب معادله وابسته : حل
و است بنابراین
: پس
و جمع طرفین دو معادله باال -2با ضرب معادله اول در
: داریم
: در معادله اول داریم با جایگذاری
xyyy 165
065 yyyxx
c ececy 3
2
2
1 xeu 2
1 xeu 3
2
xevev
evev
xx
xx
1)3()2(
0
3
2
2
1
3
2
2
1
xev x 13
2
xxx eexvexv 33
2
3
28
1)1(
3
1)1(
xexv 3
2 )1(
103
:درنتیجه
پس
.جواب عمومی معادله غیر همگن است
xxxx exveexev 2
1
332
1 )1(0)1(
xxxx eexveexv 22
1
22
14
1)1(
2
1)
4
1)1(
2
1(
36
11
6
1
9
1
3
1
3
1
4
1
2
1
2
1
9
1)1(
3
1
4
1)1(
2
12211
xxx
xxuvuvy p
xececy xx
6
1
36
113
2
2
1
104
روش تغییرپارامتررا می توان برای معادالت مرتبه: تذكر
: ، خطی غیر همگن تعمیم داد، یعنی اگر
جواب عمومی معادله همگن وابسته باشد آن گاه با فرض
مجهولی زیر می توان جواب معادله و وحل دستگاه
:خاص معادله غیر همگن را بدست آورد
n
n n
1 1 2 2 ...c n ny c u c u c u
1 1 2 2 ...p n ny v u v u v u
105
)(...
0...
0...
0...
)1()1(
22
)1(
11
)2()2(
22
)2(
11
2211
2211
xfuvuvuv
uvuvuv
uvuvuv
uvuvuv
n
nn
nn
n
nn
nn
nn
nn
106
اویلر غیر همگن را نیز می توان با –معادله كشی : تذكر
تغییر متغیر مناسب تبدیل به معادله با ضرایب غیر همگن
.نمود وآنرا به روش تغییرپارامتر حل كرد
مثال
تبدیل به معادلهبا تغییر متغیر
.می شود
xexyyxyx 22 2tx e
teteeYDYYDD 22)1(
107
(ضرایب نامعین)روش ضرایب ثابت مالحظه شد درمعادله غیر همگن
نیز تابعی نمایی باشد آن گاه كه اگر
آن گاه دیدیم كه اگر قبال. نمایی می باشد
از این مطلب استفاده كرده وروشی را . است
بیان به نام روش ضرایب ثابت درحاالت خاص
.می كنیم
)(xfbyyay
)(xfpyxexf 3)(
x
p ey2
3
)(xf
108
تابع نمایی باشد درصورتی كه اگر ( الف
نیز بصورت تابع نمایی ریشه معادله كمكی نباشد آنگاه
است كه با مشتق گیری وجایگذاری درمعادله
.آیدمی بدست مقدار
مثال
xAexf )(
pyx
p Bey
B
xeyyy 365
109
یكبار ریشه معادله كمكی باشد و حال اگر
جواب معادله همگن است بنابراین آن گاه چون
درنظر جواب خاص را بصورت
می گیریم
.با یك مثال توضیح می دهیم
xAexf )(xec
1
x
p Bxey
xeyyy 265
110
دو بار ریشه معادله كمكی و حال اگر
جواب هایی از معادله همگن باشد آن گاه
می باشد پس جواب خاص را بصورت
. درنظر می گیریم
ریشه معادله كمكی از و اگر بنابر این
: باشد آن گاه مرتبه تكرار
.جواب خاص معادله غیر همگن است
xAexf )(xx ecxec
12 ,
x
p eBxy 2
xAexf )(jxj
p Bexy
111
.را حل می كنیم معادله :مثال
دو بار ریشه معادله كمكی است پس چون : حل
در نتیجه بنابراین
: درنتیجه با جایگذاری درمعادله غیر همگن داریم
و پس
. است جواب
xeyyy 2344
22jx
p eBxy 222 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 4 4 4
x x
x x x x
p
y Bxe Bx e
y Be Bxe Bxe Bx e
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 8 4 4(2 2 ) 4 3
32 3
2
x x x x x x x
x x
Be Bxe Bx e Bxe Bx e Bx e e
Be e B
x
p exy 22
2
3
xxx exececy 223
2
2
12
3
عمومی معادله
112
تابع چند جمله ای اگر ( ب
. باشد آن گاه جواب خاص نیز تابعی چند جمله ای می باشد
ولی اگر جواب خاص، جواب معادله همگن باشد آن گاه باید
درصورتی جواب . ضرب كنیم جواب خاص را در
همگن به صورت چند جمله ای است كه صفر ریشه معادله
كه مالحظه شد قبال.كمكی باشد
چند جمله ای درجه یك می باشد آن گاه
.نیز تابعی چند جمله ای است
n
nxAxAAxf ...)( 10
jx
xxf 1)(
xy p6
1
36
11
113
ریشه و اگر :تذكر
باشد آن گاه معادله كمكی از مرتبه تكرار
. جواب خاص معادله غیر همگن است
n
nxAxAAxf ...)( 100
j
)...( 10
n
n
j
p xBxBBxy
114
.را حل می كنیم معادله :مثال
یكبار ریشه معادله كمكی است چون: حل
درنتیجه بنابراین پس
:با جایگذاری درمعادله غیر همگن داریم
جواب خاص غیر همگن است پس
و
.جواب عمومی معادله غیر همگن است
21 xyy 0)1,0( D
1j)( 2
210 xBxBBxyp
5
3,1,
3
1
13
026
152
012
2
12
01
BBB
B
BB
BB
32
3
1
5
3xxxy p
32
213
1
5
3xxxeccy x
115
باشد نیز اگر ( ج
جواب خاص بصورت مثلثاتی سینوس وكسینوس می باشد
ریشه مختلط محض معادله كمكی باشد ودرصورتی كه
آنگاه جواب معادله همگن بصورت یعنی اگر
مثلثاتی است كه دراین حالت باید به
.ضرب شود
xAxAxf cossin)( 21
iD
jx
116
اگر:تذكر
ریشه مختلط محض معادله كمكی ازمرتبه تكرار و
باشد آنگاه
. جواب خاص معادله غیر همگن است
xAxAxf cossin)( 21
j
1 2( sin cos )j
py x B x B x
117
.را حل می كنیم معادله :مثال
ریشه مختلط محض معادله كمكی نیست چون : حل
بنابراین پس
:و با جایگذاری درمعادله غیر همگن داریم
جواب خاص معادله غیر همگن و پس
.جواب عمومی معادله غیر همگن است
xyy sin3
11D0jxBxByp cossin 10
002,2
332
sin3cossincossin
1100
1010
BBBB
xxBxBxBxB
xy p sin2
3
xecxcy xx sin2
321
118
هر گاه درمعادله غیر همگن اگر: تذكر
یك جواب معادله ، به ازای هر
غیر همگن
باشد، آنگاه معادله غیر همگن، جوابی بصورت
.دارد
)(...)()()( 21 xfxfxfxf n
ni ,...,2,1)(xyi
)(xfbyyay i
)(...)()( 21 xyxyxyy np
119
روش ضرایب ثابت را می توان برای معادالت :تذكر
، خطی غیر همگن استفاده كرد كه دراین مرتبه
است برابربا در حالت
مرتبه تكرار ریشه معادله كمكی بودن ، كه
. است
n
jxnj ,...,2,1 py
j
120
معادله مثال
ریشه معادله كمكی نیستند و چون
:پس
: با جایگذاری درمعادله غیر همگن داریم
xexyyy 32 4223 30
)2,1( D
2
321
3
0 xBxBBeBy x
p
xBBeBy x
p 32
3
0 23
3
3
0 29 BeBy x
p
23 32
72 xxey x
p
121
حل معادله دیفرانسیل به روش های سریها
درفصل قبل با حل معادالت دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با
ضرایب ثابت، درچند حالت خاص با ضرایب متغیر آشنا
دراین فصل با یكی از موثرترین روش حل برای . شدیم
، یعنی، از (وباالتر)معادالت دیفرانسیل خطی مرتبه دوم
دردرس ریاضیات . سریهای توانی استفاده می كنیم
برای اینكه مطالب . عمومی با مفهوم سری آشنا شده ایم
این فصل رابهتر درك كنیم، بحث را با مرور مختصری
.برسریهای توانی شروع می كنیم
122
سری توانی سری به صورت
كه درآن یا
متغیر است را سری توانی به اعداد ثابتی بوده و
.نامیم مركز
...)(...)()( 0
2
02010 n
n xxaxxaxxaa
0
0 )(n
n
n xxa,...,...,,,, 2100 naaaax
x
0x
123
سری توانی ممكن است كه دریكی از سه حالت زیر صدق
:كند
.همگرا باشد تنها به ازای -1
مطلقا همگرا باشد، دریك همسایگی به ازای هر -2
واگر همگرا وبرای یعنی برای
.را شعاع همگرایی سری نامیم باشد عدد
.مطلقا همگرا باشد به ازای هر -3
را كه سری توانی همگرا است، بازه مجموعه مقادیر
.همگرایی سری می نامیم(فاصله)
0xx x
0xRxx 0
Rxx 0
Rxx
124
همگرا باشد آنگاه اگر سری به ازای :تذكر
برابر است با بازه همگرایی
دردرس ریاضی عمومی با پیدا كردن بازه همگرایی سری
توانی آشنا شده ایم كه شعاع همگرایی عبارت است از
. حد باال نامتناهی باشد آنگاه ممكن است
Rxx 0
R
RxxRx 00
1
lim n
nn
aR
a
125
بازه همگرایی سری توانی :مثال
. را پیدا كنید
چون
.همگرا است بنابراین ، سری تنها به ازای
0
!n
nxn
01
1lim
)!1(
!lim
nn
nR
nn
0x
126
بازه همگرایی سری توانی:مثال
.را پیدا كنید
چون
جا مهپس سری روی مجموعه اعداد حقیقی، یعنی در ه
.همگرا است
0 !
)1(2
n
nn
n
x
2
1
)!1(
2
!
2
lim lim1
n
n
nRn
n
n
n
127
بازه همگرایی سری توانی :مثال
. را پیدا كنید
چون
هایی كه پس، سری روی مجموعه
. همگرا است
1
)2(1n
nxn
n
1)1)(1(
)2(
2
11lim lim
nn
nn
n
nn
n
Rn
n
x12 x
128
كه درآن اگر سری توانی بربازه :قضیه
یك عدد ثابت مثبت است همگرا باشد، آنگاه سری توانی
را تعریف می كند كه به ازای هر تابعی مانند
.دربازه پیوسته است
به طور طبیعی این سوال مطرح می شود كه به كدام :تذكر
.تابع پیوسته همگرا است
.پاسخ دادن به این سوال درحالت كلی آسان نیست
Rxx 0R
)(xf
x
129
به صورت زیر توسط یك سری توانی تعریف اگر :قضیه
شده باشد،
آنگاه می توان از سری باال جمله به جمله مشتق گیری كرد
: وهمین طور انتگرال گرفت یعنی
كه
)(xf
0
0 )()(n
n
n xxaxf Rxx 0
1
1
0 )()(n
n
n xxnaxf
0
1
0 )(1
)(n
nn
b
a
xxn
adxxf ),(, 00 RxRxba
130
: فرض كنیم :قضیه
آن گاه
:داریم به ازای هر عدد حقیقی ( الف
(ب
( ج
:كه درآن
0
0 )()(n
n
n xxaxf
0
0 )()(n
n
n xxbxg
0
0 )()(n
n
n xxcaxcf
c
0
0 ))(()()(n
n
nn xxbaxgxf
0
0 )()().(n
n
n xxcxgxf
n
k
n
k
kknKnKnnnn bababababac0 0
0110 ...
131
:با انتقال اندیس می توان نشان داد كه :تذكر
واحد از اندیس جمع سری بعبارت دیگر، با كم كردن
های داخل عالمت واحد به همه واضافه كردن
.سری، دو سری مساوی به دست می آید
دركار كردن با سریهای توانی با مركزبسط -12.1.3: تذكر
مخالف با صفر، غالبا به كار بردن تغییر متغیر
:یعنی . مفید است
kn n
n
kn
kn
n xxaxxa0
00 )()(
kkn
0x
0xxz
0 0
0 )(n n
n
n
n
n zaxxa
132
فرض كنیم سری : قضیه
باشد، همگرا به تابع با برای
بسادگی نشان داده می شود كه
آنگاه ودرحالت خاص اگر
0
0 )(n
n
n xxa
Rxx 00R)(xf
,...2,1,0,!
)( 0
)(
nn
xfa
n
n
00 x
,...2,1,0,!
)0()(
nn
fa
n
n
133
سری را : تعریف
وسری را ، حول نقطه ر لبسط سری تی
.حول نقطه صفر می نامیم بسط ماك لورن
0
00
)(
)(!
)()(
n
nn
xxn
xfxf
)(xf0x
0
)(
)(!
)0()(
n
nn
xn
fxf
)(xf
134
اگر سری : تعریف
به دربازه به ازای هر
درنقطه همگرا باشد می گوییم
.تحلیلی است
0
00
)(
)(!
)(
n
nn
xxn
xf
x),( 00 RxRx )(xf
f0x
135
: بسط سری ماك لورن برخی توابع عبارت است از :مثال
كه ( الف
كه ( ب
كه ( ج
n
nx
n
xe
!x
x
x
0
2
)!2(
)1(cos
n
nn
n
xx
0
12
)!12(
)1(sin
n
nn
n
xx
136
كه ( د
كه ( ه
كه (و
1x
x
x
0
1
1
n
n
xx
0
12
)!12(sinh
n
n
n
xx
0
2
)!2(cosh
n
n
n
xx
137
نقاط معمولی ومنفرد
برای معادله ( عادی)را یك نقطه معمولی نقطه : تعریف
ام دیفرانسیل خطی مرتبه
. تحلیلی باشند در و می گویم هرگاه ضرایب
معادله (غیر عادی)نقطه ای را كه معمولی نباشد نقطه منفرد
.می نامیم
0xn
)()()(...)( 01
)1(
1
)( xgyxfyxfyxfy n
n
n
( )if x)(xg0x
138
نقاط منفرد معادله دیفرانسیل :مثال
.را پیدا كنید
بصورت ضریب معادله را با تقسیم بر : حل
:مشتق باال ترین برابر یك می كنیم یعنی
بدیهی است كه همه ضرایب این معادله درهمه نقاط به جز
پس . تحلیلی می باشند و و نقاط
.نقاط منفرد وهمه نقاط دیگر نقاط معمولی معادله هستند آنها
0)1()1()1( 23 yxyxxyxx
)1( 23 xx
0)1(
1
)1(
132
yxx
yxx
y
0x1x1x
139
اگر هریك از توابع : قضیه
تحلیلی باشند، آن گاه یك جواب منحصر به فرد درنقطه
شرط تحلیلی است ودر وجود دارد كه در مانند
اولیه
توسط سری دیفرانسیل یعنی هر جواب معادله. صدق می كند
.بیان می شود هزدربا تیلر خود درنقطه
011 ,,...,, fffg n
0x)(xy0xn
10
)1(
1000 )(,...,)(,)(
n
n axyaxyaxy
0xI
140
دریك (جواب های سری معادالت دیفرانسیل
)نقطه معمولی
را با پیدا كردن معادله دیفرانسیل مرتبه اول :مثال
.جواب بصورت سری مك لورن حل می كنیم
فرض : حل
كه
:پس باید چون
yy
0
10 .......n
n
n
n
n xaxaaxay
RxR ,0
1 1
1 2
1
2 ... ...n n
n n
n
y na x a a x na x
yy
1 0
1
n n
n
n
n
n xaxna
141
وبا حل كردن دستگاه از باال به پایین
:كه نتیجه می شود
ویارابطه بازگشتی
كه به دست می آوریم،
nn aan
aa
aa
aa
aa
1
34
23
12
01
)1(
4
3
2
0 0 01 0 2 3, , ,..., ,...
2! 3! !n
a a aa a a a a
n
11
n
aa n
n
!
0
n
aan
142
حال با جایگذاری ضرایب باال در
:داریم
پارامتر می باشد دقت كنیم كه جواب باال همان كه
جوابی است كه از روش های قبلی بدست می آید یعنی
.جواب معادله جداشدنی باال است
0n
n
n xay
0 0
00
!!n n
nn
n
xax
n
ay
0a
xeay 0
143
بسط تیلر جواب های معادله :مثال
.پیدا كنید را درنقطه معمولی
استفاده می كنیم برای سادگی از تغییر متغیر : حل
:می باشد وداریم با دراین صورت متناظر
بنابراین با جایگذاری ، معادله دیفرانسیل تبدیل به معادله
می شود چون همه ضرایب چند جمله ای هستند
0)1(4)1( 2 yxyxy
1x1 xt
1x0t
2
2
2
2
)()(dt
yd
dx
dt
dt
dy
dt
d
dt
dy
dx
d
dx
yd
dt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy
042
2
2
tydt
dyt
dt
yd
144
، پس بازه همگرایی سریهای جواب معادله برابر با
است، بازه همگرایی سریهای جواب
سری . است معادله اصلی نیز برابر با
توانی جواب را بصورت سری ماك لورن
: پس. درنظر می گیریم
: با قرار دادن سریهای باال درمعادله دیفرانسیل ثانویه داریم
t
x
n
n
n
n
n tatatataay
0
2
210 ......
1
1
1
21 ......2
n
n
n
n
n tnatnataadt
dy
2
2
2
22
2
)1(...)1(...2
n
n
n
n
n tanntannadt
yd
145
1 0
112
2
04)1(n n
n
n
n
n
n
n
n tatnatann
04)3()1(
04467
04356
04245
0434
0423
02
33
447
336
225
114
03
2
nnn aanann
aaa
aaa
aaa
aaa
aa
a
146
: درنتیجه
چنانکه مالحظه می شود همه ستون های سوم وستون دوم
بغیر اولین جمله بقیه صفراند تنها ستون اول ناصفرمی
:است بنابراین باشدوبرحسب
23
4,
34
3,0 0
31
42
a
aa
aa
2356
4,0,0 0
675
a
aaa
235689
42,0,0 0
9108
aaaa
2356891112
245,0,0 0
121311
aaaa
0a
147
33333)13(3
)73(
)13(3
)433(
nn a
nn
na
nn
na
032)...43)(13()3)...(33(3
4)1(258)...103)(73(a
nnnn
nna
n
n
3
3
2 5 8 ... (3 10)(3 7) ( 1) 4
3 ( ( 1)( 2).... (2 1)2 5 ... (3 4) (3 1)
( 1) 4
3 . ! (3 4)(3 1)
n
n n
n
n n
n na
n n n n n
an n n
148
2 3 4 5 6
0 1 0 1 0
7 8 9 10 11
0
11
0
4 3 40 0
3 2 4 3 6 5 3 2
2 40 0 0 0
9 8 6 5 3 2
2 5 4...
12 11 9 8 6 5 3 2
y a a t t a t a t t a t
t t a t t t
a t
4 3 6
1 0
9 12
3
1 2 4( ) (1
4 3 6 5 3 2
2 4 2 5 4...
9 8 6 5 3 2 12 11 9 8 6 5 3 2
( 1) .4...
3 . !(3 4)(3 1)
nn
n
y a t t a t t
t t
tn n n
149
ویا
:داریم با قرار دادن
جواب عمومی معادله دیفرانسیل داده شده به ازای هر
.می باشد
))13)(43(!.3
4)1(1()
4
1(
1
3
0
4
1
n
n
n
n
tnnn
attay
1 xt
1
3
0
4
1 ))1()13)(43(!.3
4)1(1())1(
4
1)1(()(
n
n
n
n
xnnn
axxaxy
x
150
ممکن است رابطه بازگشتی بر حسب جمله عمومی :تذکر
یا بسادگی نتوان پیدا کرد در چنین حالتی امکان پذیر نباشد
.پیدا نمی کنیم"جمله عمومی را معموال
معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم
لژاندر عدد ثابتی است به معادله دیفرانسیل که در آن
یک نقطه مالحظه می شود که نقطه.موسوم است
: معمولی معادله است بنابراین دارای جوابی بصورت
.همگراست است که حداقل برای
2(1 ) 2 ( 1) 0x y xy p p y p
00 x
1
1
n
n
n xay
1|| x
151
:که با جایگذاری در معادله داریم
:با تغییر اندیس داریم
2 1 0
122 0)1(2)1()1(n n n
n
n
n
n
n
n xappxnaxxannx
2 1 0
122 0)1(2)1()1(n n n
n
n
n
n
n
n xappxnaxxannx
00 00
2 0)1(2)1()2)(1(n
n
n
n n
n
nnn
n
n
n xappxxaxannxann
0
2 0)1(2)1()1)(2(n
n
nnnn xappnaannann
152
2
2 2
2 2
( 1) 2 ( 1)
( 2)( 1)
2
( 2)( 1)
( 2)( 1)
( )( 1), 0
( 2)( 1)
n n
n
n
n
n n n p pa a
n n
n n n p pa
n n
n p n pa
n n
p n n pa n
n n
:ورابطه بازگشتی
:نتیجه می شود که
153
157
046
135
024
13
02
!7
)6)(4)(2)(5)(3)(1(
76
)6)(5(
!6
)5)(3)(1)(4)(2(
65
)5)(4(
!5
)4)(2)(3)(1(
54
)4)(3(
!4
)3)(1)(1(
43
)3)(2(
!3
)2)(1(
!2
)1(
apppppp
app
a
apppppp
app
a
apppp
app
a
apppp
app
a
app
a
app
a
:که با جایگذاری در معادله داریم
154
:با قرار دادن این ضرایب در سری داریم
عدد صحیح نباشد همگراست واگر كه برای
شعاع همگرایی هر دو سری داخل پرانتز برابر با یک
توابع تعریف شده در جواب سری مشهور به توابع .است
در حالت خاص.لژاندر می باشد که توابع متعالی هستند
.جواب سری ها ممکن است متناهی باشد
753
1
642
0
4
0
3
1
2
010
!7
)6)(4)(2)(5)(3)(1(
!5
)4)(2)(3)(1(
!2
)2)(1(
!6
)5)(3)(1)(4)(2(
!4
)3)(1)(2(
!2
)1(1
!4
)3)(1)(2(
!3
)2)(1(
!2
)1(
xpppppp
xpppp
xpp
xa
xpppppp
xpppp
xpp
ay
xapppp
xapp
xapp
xaay
1|| x
p
p
155
نقاط منفردمنظم معادالت دیفرانسیل خطی مرتبه دومیك نقطه منفرد معادله كه نقطه فرض کنیم
دیفرانسیل خطی همگن
درصورتی كه اگر معادله را بصورت باشد
را نقطه ،تحلیلی باشند در و بنویسیم
د را نتحلیلی نباش نامیم واگر منفرد منظمنقطه
.منفرد غیر منظم می گوییمنقطه
0x
0)()( 01 yxfyxfy
0)()()()( 0
2
0 yxqyxpxxyxx
)(),( xpxq0x
)(),( xpxq
156
نوع نقاط منفرد معادله دیفرانسیل :مثال
.را پیدا كنید
، معادله باال به با تقسیم دو طرف معادله در : حل
صورت
: در می آید مشاهده می كنیم كه نقاط منفرد عبارت است از
:داریم با ضرب معادله باال در
پس
021
)1( yyx
yx
1x
01
2
)1(
1
y
xy
xxy
0,1 xx2x
01
2
1
1 22
y
x
xy
xxyx
1
1)(,
1
2)(
2
xxp
x
xxq
157
یك نقطه منفرد پس . تحلیلی اند كه هر دو در
ضرب در را حال اگر طرفین معادله. منظم است
:كنیم داریم
در كه ، هردو
تحلیلی اند
.یك نقطه منفرد منظم است پس
0x0x2)1( x
01
)1(21)1( 2
y
xy
x
xyx
xxpxxq
1)(),1(2)( 1x
1x
158
معادله لژاندر :مثال
.را به صورت زیر می نویسیم
نقاط منفرد معادله اند كه و روشن است كه
:ضرب می كنیم داریم را در اگر طرفین معادله
0)1(2)1( 2 yppyxyx
01
)1(
1
222
y
x
ppy
x
xy
1x1x2)1( x
01
)1)(1(
)1(
)1(2)1( 2
y
x
xppy
x
xxyx
159
: آنگاه
هردو در و
. یك نقطه منفرد منظم معادله است تحلیلی اند پس
: ضرب كنیم داریم حال اگر طرفین معادله را در
هردو در و كه
یك نقطه منفرد منظم معادله تحلیلی اند پس
.است
)1(
)1(2)(
x
xxxp
1
)1)(1()(
x
xppxq1x
1x2)1( x
01
)1)(1(
)1(
)1(2)1( 2
y
x
xppy
x
xxyx
)1(
)1(2)(
x
xxxp
1
)1)(1()(
x
xppxq
1x 1x
160
معادله دیفرانسیل خطی :مثال
معروف است از مرتبه ( Bessel)را که به معادله بسل
عدد ثابت نا صفر در نظر می گیریم در این معادله که
می باشد با نوشتن معادله بصورت
نقطه منفرد معادله می باشد وبا مالحظه می شود که
درنقطه که توجه به توابع
نقطه منفرد تحلیلی اند پس
.ومنظم معادله است
0)( 222 ypxyxyx
pp
01
2
22
yx
pxy
xy
0x
0x
22)(,1)( pxxqxp
0x
161
سری بصورت :تعریف
عددی حقیقی ویا مختلط است به سری که در آن
.مشهور است( frobenius)فروبنیوس
0 0
0
0
0
( ) ( )
( )
s n
n
n
n s
n
n
y x x a x x
a x x
s
162
یک نقطه منفرد منظم معادله مرتبه دوم اگر :تذکر
خطی باشد ثابت می شود که معادله دارای یک وگاهی دو
. است جواب بصورت سری فروبنیوس با
عددی حقیقی است در اینجا
.این روش را با ارائه چند مثال توضیح می دهیم
0xx
00 a
s
163
معادله دیفرانسیل :مثال
نقطه منفرد منظم را در نظر می گیریم واضح است که
معادله است جواب سری فروبنیوس
:را در نظر می گیریم بنابراین
: با جایگذاری در معادله دیفرانسیل نتیجه می شود
0)12(2 2 yyxxyx
00 x
00 n
sn
n
n
n
n
s xaxaxy
0
2
0
1 )1)(()(n
sn
n
n
sn
n xasnsnyxasny
0 0 0
122 0)()12()1)()2n n n
sn
n
sn
n
sn
n xaxasnxxxasnsnx
164
:و یا
:با تغییر اندیس داریم
0 0 0 0
1 0)()(2)1)((2n n n n
sn
n
sn
n
sn
n
sn
n xaxasnxasnxasnsn
0 0 0 0
1
1 0)()1(2)1)((2n n n n
sn
n
sn
n
sn
n
sn
n xaxasnxasnxasnsn
s
n n
sn
n
sn
n
s xsaxasnxasnsnxass 0
1 1
110 )1(2)1)((2)1)((2
1 1
0 0)(n
sn
nn
ssn
n xaxaxasn
165
:و یا
: پس چون فرض بر آن است که
این معادله را معادله شاخص و ریشه های آن را توان شاخص
توان های پس. معادله دیفرانسیل در نقطه منفرد منظم نامیم
شاخص معادله دیفرانسیل در نقطه منفرد منظم هستند
0)1(21)()1)((21)1(2 10
sn
nn
s xasnasnsnsnxasss
00 a
012
0122
01)1(2
2
2
ss
sss
sss
1,2
1 ss
166
ها در ضرایب حال به ازای هر کدام از مقادیر
: رابطه بازگشتی
:و یا
. صدق می کند
sna
1)1(21)1)((2 nn asnasnsnsn
1,1)1)((2
)1(21
na
snsnsn
sna nn
1,122
2
)122)(1(
)1(211
na
sna
snsn
snnn
167
:رابطه باال نتیجه می دهد که اگر ( الف
1s
0
023
012
01
1
)32(975
)2(
975
)2)(2)(2(
9
2
75
)2)(2(
7
2
5
2
1,32
2
an
a
aaa
aaa
aa
nan
a
n
n
nn
168
: آنگاه اگر ( ب
با
:پس
2
1s
111
1
2
2
1)2
1(22
2
nnnn a
na
na
n
a 1n
01
023
012
001
!
)1(1
32
)1)(1)(1(
3
1
2
)1)(1(
2
1
1
1
an
an
a
aaa
aaa
aaa
n
nn
169
:در نتیجه دو جواب سری فروبینوس عبارت است از
در بازه بدلیل و دو تابع
: مستقل خطی وهمگرا هستند پس
. جواب عمومی معادله دیفرانسیل است
n
n
xn
xxxxy)32(75
)2(
975
)2(
75
)2(
5
21 3
32
2
1
nn
xn
xxxxy!
)1(
!3
)1(
!2
)1(1 3
32
2
2
1
2
12 , yy2
1
x ,0
0
2
1
2
0
1!
)1(
)32(75
)2(
n
nn
n
nn
xn
xcxn
xcy
170
.حالتی كه معادله شاخص دارای ریشه های برابر استدرادامه بحث خود معادالتی را مورد بررسی قرار می : تذکر
در این حالت .است دهیم که دارای یک نقطه منفرد در
معادله به صورت
تحلیلی در در می آید،که در آن
همچنانکه قبال مشاهده کردیم،این محدودیت از کلیت .هستند
نقطه زیرابا تغییر متغیر بحث نمی کاهد،
.را به صفر تبدیل می کند منفردمنظم
0x0)()(2 yxqyxxpyx
)(),( xpxq0x
0xxt
0x
171
حالت کلیبررسی -
دیفرانسیل مرتبه دوممعادله
در نقطه منفردمنظم باشد فرض . را در نظرمی گیریم
تحلیلی هستند،در نتیجه به این صورت در
:، داریم ازای
:تابعی بصورت و
0)()(2 yxqyxxpyx
0x)(),( xpxq
Rx
n
n
n xqxq
0
)(n
n
n xpxp
0
)(
y
172
:باشد، آنگاه
:دیفرانسیل داریمبا قرار دادن مقادیر باال در معادله
sn
n
n
n
n
n
s xaxaxxy
00
)(
1
0
)()(
sn
n
n xsnaxy
2
0
)1)(()(
sn
n
n xsnsnaxy
sn
kn
n
k
k
nn
n
n
n
n
n
s xpaskxpxasnxxyxxp
))(())()(()()(0000
sn
kn
n
k
k
nn
n
n
n
n
n
s xqaxqxaxxyxq
)())(()()(0000
173
در نتیجه
:داریم که با فرض ضریب کوچکترین توان
پس چون
ویا
توان های شاخصمی باشد و ریشه های آن را معادله شاخص
.معادله دیفرانسیل در نقطه منفرد منظم نامیده می شود
0)())(()1)((0 0000
sn
kn
n
n
k
k
sn
kn
n
k
k
n
sn
n
n
xqaxpaskxasnsn
0}])[()1)({(00
sn
kknkn
n
k
n
n
xaqpskasnsn
xn ),0(
0)()1( 0000 aqspass00 a
00)1()( qspsssf
00
2 )1()( qspssf
174
مالحظه می شودکه سه حالت زیر می تواند در مورد معادله
:شاخص رخ دهد
.عدد غیر صحیح وغیرصفر باشد اگر ( الف
.عدد صحیح ومثبت باشد اگر ( ب
.صفر باشد اگر ( ج
دیفرانسیل دارای دو جواب مستقل به معادله ( در حالت الف
صورت
و
.قبال مثالهایی در این مورد مالحظه شد. دارد
21 ss
21 ss 21 ss
n
n
n
sxaxxy
0
11)(n
n
n
sxbxxy
0
22)(
175
فقط یک جواب به صورت( و ج( در حالت ب
جواب مستقل دیگر نشان داده می شود برای پیدا کردن . دارد
که جواب به صورت
معادله در است که می توان با مشتق گیری وجایگذاری
پیدا کردکه ممکن را ها و دیفرانسیل ضرایب
به برابرصفر باشد که در این صورت است مقدار
.شکل یک سری فروبینوس می با شد
n
n
n
sxaxxy
0
11)(
n
n
n
sxcxxxAyy
0
122log)(
ncAA)(2 xy
176
در فیزیک و ریاضیات محض،اغلب بررسی جواب :تذکر
دیفرانسیلمعادله
با به . بینهایت باشد،مورد نظر است وقتی متغیر مستقل
با مقادیر بزرگ کار بردن تغییر متغیر
. متناظر خواهند بود مقادیرکوچک
0)()(2 yxqyxxpyx
x
tx
1x
t
177
دیفرانسیل جدید جوابهایی از معادله به جای با جایگذاری
را بدست
می آوریم که اگر معادله جدید دارای یک نقطه معمولی در
دیفرانسیل دارای یک نقطه معادله باشد، گوییم
اگر معادله جدید به همین نحو، . بینهایت استمعمولی در
معادله باشد، گوییم دارای یک نقطه منفرد منظم در
.بینهایت استدیفرانسیل دارای یک نقطه منفرد منظم در
x t
0t
0t
178
دستگاه معادالت دیفرانسیل
در این فصل با توجه به كاربردهای دستگاه معادالت
دیفرانسیل در فیزیك و مكانیك و دیگر كاربردهای آن به
.بررسی و مطالعه این دستگاه ها می پردازیم
179
مجموعه ای بیش از یك معادله دیفرانسیل همزمان :تعریف
.را دستگاه معادالت دیفرانسیل نامیم
ساده ترین دستگاه معادالت دیفرانسیل دستگاه دو معادله
:دیفرانسیل می باشد كه عبارت است از
0),,,,,(
0),,,,,(
2
2
2
2
m
m
n
n
dt
yd
dt
yd
dt
dyytg
dt
xd
dt
xd
dt
dxxtf
180
برای اینكه ساده ترین دستگاه معادالت دیفرانسیل را بررسی
كنیم این نوع دستگاهها را با بیان شرایطی به ساده ترین
ساده ترین دستگاه معادالت . صورت در نظر می گیریم
دیفرانسیل، دستگاه دو معادله دیفرانسیل مرتبه اول می باشد
:كه عبارت است از
0),,(
0),,(
dt
dyytg
dt
dxxtf
181
كه ممكن است مضربی از اولی در دومی ظاهر شود و
بالعكس، بنابراین صورت دیگری از دستگاه دو معادله
:دیفرانسیل مرتبه اول بصورت زیر است
0),,,,(
0),,,,(
dt
dy
dt
dxyxtg
dt
dy
dt
dxyxtf
182
حال اگر توانهای
برابر با یك باشد آنرا دستگاه دو معادله مرتبه اول خطی
:نامیم یعنی
xydt
dx
dt
dy,,,
)()()(
)()()(
654
321
tfytfxtfdt
dy
tfytfxtfdt
dx
183
آنرا دستگاه دو معادله مرتبه اول كه اگر
خطی همگن نامیم و در صورتی كه
، اعداد ثابت باشند آنرا دستگاه دو معادله مرتبه اول خطی
اكنون با تعدادی از دستگاه . همگن با ضرایب ثابت نامیم
روشهایی را برای حل برخی . معادالت دیفرانسیل آشنا شدیم
الزم به تذكر می باشد كه جواب دستگاه . از آنها بیان می كنیم
. می باشد دو معادله دیفرانسیل بصورت
قضیه ای، وجود دارد كه شرط وجود جواب و منحصر بفرد
بودن را بررسی می كند كه از ذكر آن صرفنظر می كنیم و
.فرض می كنیم كه وجود دارد و منحصر بفرد است
0)()( 63 tftf
)(,)(,)(,)( 1245 tftftftf
( ) , ( )y y t x x t
184
برای حل برخی از دستگاه دو معادالت دیفرانسیل
.روشهایی را بیان می كنیم
یكی از معادالت دستگاه مستقاًل قابل حل می :روش اول
.با یك مثال توضیح می دهیم. باشد
:دستگاه زیر را حل می كنیم:مثال
xytdt
dy
xxtdt
dx
2
2
185
چنانكه مالحظه می شود معادله اول معادله جداشدنی است
پس
:داریم برابر با كه با انتخاب
:كه با جایگذاری در معادله دوم دستگاه نتیجه می شود
dttx
dxtx
dt
dx)12()12(
cttctt eeexcttx 222lnce1cttecx
2
1
tttt ectydt
dyecyt
dt
dy 22
11 22
186
:و این معادله نیز معادله مرتبه اول خطی است پس
پس
.جواب دستگاه می باشد
21
22 2
cdteceey tttdttdt
21
222
cdteecey tttt
2121
22
ceceycdtecey tttt
22
2
21
1
ttt
tt
ececy
ecx
187
روش باال را می توان برای دستگاه سه معادله نیز بكار
.برد
.مثال دستگاه سه معادله زیر را می توان حل كرد
tyxdt
dz
txdt
dy
xdt
dx
4
23
2
188
حل دستگاه دو معادله مرتبه اول خطی با :روش دوم
:ضرایب ثابت
با مشتق گیری از معادالت دستگاه و استفاده از معادله دوم
دستگاه آنرا به معادله مرتبه دوم خطی با ضرایب ثابت تبدیل
.می كنیم كه با حل آن قباًل آشنا شده ایم
.با یك مثال توضیح می دهیم
)(
)(
22
11
tgybxadt
dy
tfybxadt
dx
189
: دستگاه زیر را حل می كنیم: مثال
: با مشتق گیری از معادله اول داریم
:و با جایگذاری از معادله دومی نتیجه می شود
xydt
dy
yxdt
dx
3
3
dt
dy
dt
dx
dt
xd 3
2
2
dt
dy
xydt
dx
dt
xd 33
2
2
190
:با جایگذاری از معادله اول داریم
y
xxdt
dx
dt
dx
dt
xd )3(33
2
2
0862
2
xdt
dx
dt
xd
086 xxx
191
كه دارای معادله كمكی است كه و
: پس. ریشه های متمایز هستند
:حال با جایگذاری در معادله اول داریم
بنابراین
.جواب دستگاه است
0862 DD4D
2Dtt ececx 4
2
2
1
tttt ececececxdt
dxy 4
2
2
1
4
2
2
1 33423
tt ececy 4
2
2
1
tt
tt
ececy
ececx
4
2
2
1
4
2
2
1
192
این روش مشهور به روش :روش سوم
. می باشد اپراتوریا عملگر
، در این روش فرض می كنیم كه
آنگاه با جایگذاری عملگر دستگاه را به روش
با یك مثال این . حذفی گوس حل می كنیم
.روش را توضیح می دهیم
Ddt
d
193
:دستگاه زیر را به روش حل می كنیم: مثال
:با استفاده از نماد داریم
D
2 4 1
1
dx dyx y
dt dt
dx dyt
dt dt
Ddt
d
1
142
tDyDx
yDyxDx
194
با ضرب معادله اول در ومعادله دوم در
:و جمع طرفین دستگاه داریم
این معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت
:غیرهمگن می باشد پس
1
1)4()12(
tDyDx
yDxD
D4D
)1)(4()1()4()12( tDDDxDxDD
4)1(4)(0)42( 22 DttDxDDDD
34)33( 2 txDD
195
بنابراین و برای پیدا كردن جواب
.خاص غیرهمگن آنرا به روش ضرایب ثابت حل می كنیم
:چون صفر ریشه معادله كمكی است پس
23 3 0 3 ( 1) 0 0 , 1D D D D D D
t
c eccx 21px
AxAtAxtAtAx
AtAtx
ppp
p
22
)(
11
2
1
196
: با جایگذاری در معادله نتیجه می شود
پس ، بنابراین
:بنابراین با جایگذاری معادله داریم
3433 txx pp
3
7,
3
234366 11 AAtAtAA
ttx p3
7
3
2 2 tteccx t
3
7
3
2 2
21
11 tdt
dx
dt
dyt
dt
dy
dt
dx
197
.پس جواب دستگاه می باشد
13
7
3
42 ttec
dt
dy t
3
4
3
12 tec
dt
dy t
dttecdy t )3
4
3
1( 2
3
2
23
4
6
1cttecy t
3
2
2
2
21
3
4
6
1
3
7
3
2
cttecy
tteccx
t
t
198
روشهای اول و سوم چنانكه مالحظه می شود از حل : تذكر
دستگاه معمولی
مثاًل دستگاه معمولی را می توان . نتیجه گیری شده است
بسادگی حل كرد كه یكی از معادالت دستگاه مستقاًل قابل حل
می باشد و روش سوم نیز همان روش حذفی گاوس می باشد
كه درحل دستگاه
.استفاده می شود
3
732
yx
x
2
732
yx
x
199
روشهای باال را برای حل دستگاه دو : تذكر
معادالت خطی استفاده كردیم می توان آنرا
برای حل دستگاه سه معادالت خطی نیز استفاده
كرد و همچنین می توان آن را تعمیم داد و
برای دستگاههایی با معادالت دیفرانسیل خطی
.بیشتر نیز استفاده كرد
200
همانطوری كه در دستگاه معمولی ممكن است : تذكر
دستگاه دارای جواب منحصر بفرد و یا بی نهایت
جواب و یا جواب نداشته باشند در دستگاه معادالت
مثاًل دستگاه. دیفرانسیل نیز چنین می باشد
.دارای بی نهایت جواب می باشد
tDxDx
tDxDx
444 21
21
201
مثاًل و جوابهایی
.از دستگاه است
در هر كدام از جوابها را به دلخواه انتخاب
ولی . كرده و دستگاه را بر حسب حل می كنیم
دستگاه
.دارای جواب نیست
cx
ct
x
5
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
22
2
ctt
x
ct
x
)(11 txx
)(22 txx
2
21
21
tDxDx
tDxDx
202
مالحظه شد كه دستگاه معادال ت دیفرانسیل در : تذكر
:روش سوم بصورت كلی
:می باشد كه دترمینال ضرایب یعنی
.را دترمینان دستگاه معادالت دیفرانسیل نامیم
)()()(
)()()(
43
21
thyDfxDf
tgyDfxDf
)()(
)()(
)(43
21
DfDf
DfDf
DW
203
.قضیه زیر را بدون اثبات می پذیریم
تعداد پارامتر در جواب عمومی :قضیه
و دستگاه باال برابر با توان
.است مشروط بر اینكه باشد
بنابراین در جوابهایی از دستگاههایی كه تعداد
پارامتر بیشتر از توان است ، می
توان پارامترهای اضافی را با جایگذاری در
.دستگاه معادالت حذف كرد
)(txx
)(tyy
)(DW0)( DW
)(DW
204
در این فصل مالحظه خواهیم كرد چگونه با به كار
بردن تبدیل الپالس در مورد یك معادله دیفرانسیل با
شرایط اولیه ، می توان آن را به مسئله ساده تری
تبدیل كرده بطوری كه با وارون تبدیل الپالس جواب
مسئله ابتدائی بدست می آید و همچنین مالحظه خواهد
شد كه روش های تغییر پارامتر و ضرایب ثابت را
در مورد حل معادالت دیفرانسیل غیر همگن كه تابع
طرف دوم ناپیوسته باشد نمی توان بكار برد كه در
.این حالت می توان از تبدیل الپالس استفاده كرد
205
تبدیل الپالستبدیل مفهوم تعمیم یافته تابع می باشد ، یعنی رابطه ای كه به
از جمله . هر تابع ، تابع دیگری را نسبت دهد، یك تبدیل نامیم
تبدیالت مشهور تبدیل مشتق و انتگرال و مضرب در عبارتی
.می باشد كه معمواًل با نماد زیر بترتیب نشان می دهیم
1 )
2)
ضرب در( 3
)())(( xFxfD
cxFdxxf )()(
)())(( xfexfM x xe
206
تعریف شده باشد بربازه فرض كنیم تابع : تعریف
، انتگرال ناسره
را كه عدد حقیقی است به ازای مقادیر ا ز
همگرا باشد آنرا تبدیل الپالس تابع نامیم و با نماد
:نشان می دهیم یعنی
برای بیان رابطه بین تابع و تبدیل الپالس تابع
:می نویسیم
f 0,
( )sxe f x dx
s sRA
f)(sF
( ) ( )sxs A F s e f x dx
Ff
( ) ( )( )F s L f x
207
. شرایط وجود تبدیل الپالس را بعدًا مطالعه خواهیم كرد
.اینك تبدیل الپالس چند تابع خاص را پیدا می كنیم
:یعنی. تبدیل الپالس تابع را پیدا می كنیم
:به ازای انتگرال همگراست پس
1)( xf
b
sx
b
b
sx
b
sx es
imdxeimdxesFL
1
)()1(
)11
( es
es
im sb
b
0s
sL
1)1(
208
:تبدیل الپالس تابع را پیدا می كنیم
به ازای انتگرال همگراست پس
xxf )(
b
sx
b
sx dxxeimxdxesFxL
)()(
b
sxsx
b
sxbsx
be
sxe
simdxe
sxe
sim
2
1111
es
xes
es
bes
im sbsb
b 22
1111
0s2
1)(
sxL
209
تبدیل الپالس تابع را پیدا می كنیم
: انتگرال همگراست پس به ازای
nxxf )(
dxxes
n
s
exdxxexL nsx
sxnnsxn 1)(
1 21 1 1( ) ( ) ( ) (1)n nn n n n n
L x L x Ls s s s s s
0s
1
!)(
n
n
s
nxL
210
:درتمرینات نشان داده می شود
آنگاه ، اگر
s
seL x 1
)(
211
خواص تبدیل الپالس
با توجه به اینكه تبدیل الپالس توسط انتگرال تعریف شده
.است الاقل دارای خواص خطی انتگرال را می باشد
212
:نشان دهید كه : قضیه
عدد ثابت می باشد پس چون : اثبات
گرچه این خاصیت اثبات كوتاهی دارد ولی خواص خیلی
قوی می باشد و می توان بسیاری از تبدیل الپالس توابع را
.پیدا كرد
( ( ) ( )) ( ( ) ( ( ))L f x g x L f x L g x
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))sxL f x g x e f x g x dx
))(())(()()( xgLxfLdxxgedxxfe sxsx
213
)1(12)(5)125())(( 22 LxLxLxfL
ssss
1210112
!25
33
)(3)(3)33())(( 22 xLeLxeLxgL xx
22
3
2
313
2
13
ssss
:مثال
214
حال تبدیل الپالس تابع عبارت است از
و از طرفی
: بنابر تساوی دو طرف اول تساویها داریم
xiexf )(
222222
11)(
si
s
s
s
is
is
is
isiseL xi
)(sin)(cos)sin(cos)( xiLxLxixLeL xi
22)(cos
s
sxL
22)(sin
sxL
215
: مثال
با شرط
( ( )) (sinh ) ( )2
x xe eL f x L x L
2222
)(2
1)
11(
2
1)()(
2
1
ss
ss
sseLeL xx
( ( )) (cosh ) ( ) ( ( ) ( ))2
x xxe e
L g x L x L L e L e
2222)(
2
1)
11(
2
1
s
s
s
ss
ss
s
216
انتقال به عنوان دومین خاصیت ا ز تبدیل الپالس خاصیت
.می باشد
آنگاه فرض كنید :قضیه
: اثبات
چون
))(()( xfLsF
)())(( sFxfeL x
dxxfeexfeL xsxx )())((
)()()(
sFdxxfe xs
dxxfesF sx )()(
217
: مثال
(الف
(ب
(ج
25)7(
5)5sin(
2
7
sxeL x
16)3(
3)4cos(
2
3
s
sxeL x
6
52
)2(
!5)(
sxeL x
218
مضرببه عنوان سومین خاصیت از تبدیل الپالس خاصیت
.می باشد
فرض كنید آنگاه :قضیه
:اثبات
))(()( xfLsF
)())(( sFds
dxxfL
dxxfes
dxxfeds
dsF
ds
d sxsx )()()(
( ) ( ) ( ( )) ( ( ))sx sxx e f x dx e xf x dx L xf x
219
:نتیجه
:اثبات
به استقراء نتیجه می شود كه
)()1())((2
22 sFds
dxfxL
))(()1())(())(( 2 xxfLds
dxxfxLxfxL
)()1())(()1(2
2
sFds
dxfL
ds
d
ds
d n
))(()1())(( xfLds
dxfxL
n
nnn
220
:مثال
الف)
ب)
ج)
22222 )1(
2
)1(
2)
1
1()sin(
s
s
s
s
sds
dxxL
22
2
22
22
2 )1(
1
)1(
21)
1()cos(
s
s
s
ss
s
s
ds
dxxL
42
24
42
2222
22
2
)1(
246
)1(
)1(8)1(2)
)1(
2()sin(
s
ss
s
sss
s
s
ds
dxxL
221
از آنجائیكه معادله دیفرانسیل ازتركیباتی
از یعنی ومشتق یعنی
و مشتقات مراتب باال تشكیل شده است
بنابراین در این قسمت تبدیل الپالس
.مشتق را بررسی می كنیم
x)(xfy
222
نشان دهید :قضیه
چون : اثبات
: با استفاده از روشی جز به جز داریم
و
و
پس
: اگر آنگاه
)0()()( yysLyL
dxyeimdxyeyL
b
sx
b
sx
)(
ue sx dvdxy
dudxse sx vy
)()( ydxSeyeimyL
b
sxbsx
b
))0()(( ydxeseyebyim
b
sxsb
b
0s)0()()()0()( yysLysLyyL
223
. نشان دهید :نتیجه
: اثبات
:به استقراء نتیجه می شود كه
)0()0()()( 2 ysyyLsyL
)0())0()(()0()())(()( yyysLsyysLyLyL
)0()0()(2 ysyyLs
)0()0()0()0()()( )1()2(21)( nnnnnn ysyysysyLsyL
224
معكوس تبدیل الپالس در . فرض كنیم تبدیل الپالس تابع وجود داشته باشد
این صورت واضح است كه تابع منحصر بفردی مانند
وجود دارد كه
فرض كنید . اینك عكس این حالت را در نظر می گیریم
آیا تابع منحصر بفردی . تابعی مانند داده شده باشد
:مانند وجود دارد به گونه ای كه داشته باشیم
: اگر پاسخ سؤال مثبت باشد می نویسیم
.را وارون یا معكوس تبدیل الپالس تابع نامیم
)(xf
)(sF))(()( xfLsF
)(sF
)(xf))(()( xfLsF
))(()( 1 sFLxf
)(xf)(sF
225
اینك برخی خواص معكوس تبدیل
.الپالس را بررسی می كنیم
:نشان دهید: قضیه
.قضیه قبلی مالحظه شود: اثبات
1 1 1( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ))L F s G s L F s L G s
226
:مثال
( الف
( ب
(ج
515)1
(5)5
( 11
sL
sL
xxs
Ls
Lss
L 2sin32)4
2(3)
!2(2)
4
64( 2
2
1
3
1
23
1
xes
Ls
L 311 2))3(
1(2)
3
2(
227
( د
( هـ
)1
11()
)1(
1()
1( 11
2
1
ssL
ssL
ssL
xes
Ls
L
1))1(
1()
1( 11
)1
11()
)1(
1()
1(
22
1
22
1
24
1
ssL
ssL
ssL
xxs
Ls
L sin))1
1()
1(
2
1
2
1
228
خواص معكوس تبدیل الپالس
:نشان دهید: قضیه
.اثبات قضیه قبلی مالحظه شود
)())((1 xfesFL x
229
:مثال
( الف
(ب
xes
Lss
L x sin)1)2(
1()
54
1( 2
22
1
2
1
xes
Ls
L x 3sin2)3)2(
3(2)
9)2(
6( 2
22
11
230
:بقیه مثال
( ج
( د
33
4
1
4
1 2))3(
!3(2)
)3(
12( xe
sL
sL x
)2)1(
2()
2)1(
1()
2)1(
21()
52
3(
22
1
22
1
22
1
2
1
sL
s
sL
s
sL
ss
sL
xexe xx 2sin2cos
231
حل معادله دیفرانسیل بروش الپالساینك آماده هستیم نشان دهیم كه چگونه می توان
جواب یك مسئله با مقدار اولیه دشوار را به كمك
تبدیالت الپالس ، به مسئله دیگری با شرایط ساده تر
تبدیل كرده و سپس با استفاده از وارون تبدیل الپالس
با یك مثال . جواب معادله دیفرانسیل را بدست آورد
ساده در مورد معادله دیفرانسیل مرتبه اول توضیح
.می دهیم
232
معادله را با شرط : مثال
:حل می كنیم
: ابتدا تبدیل الپالس را روی معادله اثر می دهیم : حل
xeyy 1)0( y
)()()()()( xx eLyLyLeLyyL
)()()0()( xeLyLyySL
1
1)(1)(
syLySL
11
111
1
1)()1(
s
s
s
s
syLs
233
:حال وارون تبدیل الپالس را محاسبه می كنیم
)1)(1()(
ss
syL
)1
2
1
1
2
1
())1)(1(
( 11
ssL
ss
sLy
)1
1(
2
1)
1
1(
2
1 11
sL
sLy
1 1cosh
2 2
x xy e e x
234
معادله را با شرط : مثال
.حل می كنیم
:ابتدا تبدیل الپالس را روی معادله اثر می دهیم: حل
xeyy 22)0( y
)()(2)()()2( xx eLyLyLeLyyL
)()(2)0()( xeLyLyySL
)2)(1(
32)(
1
322
1
1)()2(
ss
syL
s
s
syLs
235
: حال وارون تبدیل الپالس را محاسبه می كنیم
))2)(1(
32(1
ss
sLy
)2
1
1
1(1
ssLy
xx eeys
Ls
Ly 211 )2
1()
1
1(
236
مطلوب است جواب معادله : مثال
با شرایط و
:حل
xyy 44 1)0( y(0) 5y
)(4)(4)()4()4( xLyLyLxLyyL
)(4)(4)0()0()(2 xLyLysyyLs
3 22
2 2
4 4 5( 4) ( ) 5
s ss L y s
s s
237
))4(
45(
)4(
45)(
22
231
22
23
ss
ssLy
ss
ssyL
)4
4
4
1()
4
41(
222
1
22
1
ss
s
sL
s
s
sLy
)4
2(2)
4()
1(
2
1
2
1
2
1
sL
s
sL
sLy
238
تبدیل الپالس برخی توابعقبل از آنکه به تبدیل الپالس برخی توابع دیگر بپردازیم
خوب است شرایطی را که تابع باید دارا باشد تا تبدیل
برای . الپالس داشته باشد، دقیفتر مورد توجه قرار دهیم
تضمین وجود تبدیل الپالس، کافی است فرض کنیم که
مقصود . پیوسته و یا الاقل قطعه به قطعه پیوسته است
از عبارت اخیر آن است که تابع
پیوسته در هر فاصله متناهی
است، مگر احتماآل در تعدادی متناهی نقطه که دارای نا
،پیوستگی جهشی است
)(xfbx 0
239
. یعنی تابع در آن نقاط حد های چپ و راست متفاوتی دارد
این شرط الزم نیست مثآل تابع در
دارای یک نا پیوستگی از نوع بینهایت است وبنابر این
قطعه به قطعه پیوسته نیست، با این وجود انتگرالش از
تا
وجود دارد و از آنجا که برای های بزرگ کراندار
در واقع، برای، . نیز هست، تبدیل الپالس آن وجود دارد
:داریم
2
1
)(
xxf0x
0b
0s
dxxexL sx 2
1
0
2
1
)(
240
و تغییر متغیر نتیجه می دهد
یک تغییر متغیر بدست می دهد
در درس حساب دیفرانسیل و انتگرال نشان داده می شود که
:انتگرال اخیر برابر با است، لذا داریم
tsx dttesxL t 2
1
0
2
1
2
1
)(
2st dsesxL s
0
2
1
2
12
2)(
2
sxL
)( 2
1
241
تابع :تعریف
که می باشد را تابع پله ای واحد نامیم و تبدیل
:الپالس آن را پیدا می کنیم
با شرط
cx
cxxuc
1
00)(
0c
dxedxedxedxxuexuLb
c
sx
bc
sxc
sx
c
sx
c
lim1.0.)(.))((
00
0s
s
ee
se
se
s
cscssb
b
b
c
sx
b
)
11(lim)
1(lim
242
تابع زیر را برحسب توابع پله ای واحد می نویسیم؟: مثال
:حل
34
323
212
101
00
)(
)(
)(
)(
0)(
)(
xxxf
xxxxf
xxxxf
xxxxf
xxxf
xf
)()]()([)()]()([
)()]()([)()]()([)()(
32
10
3423
12010
xuxfxfxuxfxf
xuxfxfxuxfxfxfxf
xx
xx
243
تابع :مثال
را بصورت تابع پله ای واحد می نویسیم؟
5
545
40
)(
2 xx
x
xx
xf
)()5()()5()( 5
2
4 xuxxuxxxf
244
از تابع پله ای واحد می توان برای انتقال تابع داده :تذکر
شده ، که دامنه تعریف آن به اندازه
برای مثال تابع تعریف . واحد در جهت راست استفاده کرد
شده توسط
واحد در جهت نمایش انتقالی از تابع به اندازه
. می باشد مثبت
f0xc
cxcxf
cxcxfxuy c
)(
00)()(
xc
245
: نشان دهید :قضیه
:اثبات
: با تغییر متغیر داریم
0)())()(( ssFecxfxuL xc
c
dxcxfedxcxfxuecxfxuLc
sx
c
sx
c )()()())()((0
cxu
0)()(
)())()((
0
0
)(
ssFeduufee
duufecxfxuL
cssucs
cus
c
246
تبدیل الپالس تابع:مثال
.را پیدا می کنیم
با استفاده از مثال قبل تابع را می توان بر : حل
حسب تابع پله ای به صورت
. نوشت
چون پس
بنابر خواص و فرمول های تبدیل الپالس
2cossin
20sin)(
xxx
xxxf
f)(2 xu
xxuxxf cos)(sin)( 2
)2cos(cos xt
)2cos()(sin)( 2 xxuxxf
01
1
11
1)(
2
2
2
2
2
s
s
se
s
se
ssF
ss
247
و اگر:قضیه
موجود باشد آنگاه هر دو به ازای
که در آن
معروف است وآن را با و کنولوسیون به تابع
.نشان می دهیم
))(()( xfLsF ))(()( xgLsG
0s
))(()()()( xhLsGsFxH
x
duuguxfxh0
)()()(
hfg
gfh
248
نشان می دهیم که
زیرا
با بکار بردن تغییر متغیر انتگرال باال
:را می توان به صورت زیر نوشت
)()( xfgxgf
x
duuguxfxgf0
)()()(
vux
)(
)()(
))(()()(
0
0
xfg
dvvfvxg
dvvxgvfxgf
x
x
249
کنولوسیون تبدیل معکوس تابع با بکار بردن:مثال
را پیدا می کنیم؟
با فرض و تبدیل الپالس :حل
:و داریم
: با بکار بردن روش جزبه جز داریم
)()(
222 ass
asH
2
1)(
ssF 22
)(as
asG
2
1)(
sxL
22)(sin
as
aaxL
x
auduuxxgfxh0
sin)()()(
2
sin)(
a
axaxxh
250
مثال باال را می توان با بکار بردن کسرهای جزیی :تذکر
:بصورت زیر محاسبه کرد
بنابر این
)(1
)(2222 as
a
s
a
asH
)sin(1
)(2
axaxa
xh
251
نشان دهید که اگر یک عدد مثبت باشد آنگاه :قضیه
:اثبات
با به کار بردن تغییر متغیر انتگرال باال به صورت
c)(
1))((
c
sF
ccxfL
0
)())(( dxcxfecxfL sx
ucx
casac
s
c
sF
cduufe
c
duc
ufecxfL
uc
s
uc
s
,)(1
)(1
1)())((
0
0
252
! اگر در حین یادگیری گریستید
پایان
موفق باشید