Самоподготовка по Математика за
7 клас,02.06 - вторник
Деца, за да се справите с предизвикателството ,което ви
предстои, трябва да се научите ,да прилагате при решаване на
задачите, следните знания включващи основни понятия
,определения и формули,както следва:
1. Едночлен :
Едночлен е всеки цял рационален израз ,който
е произведение от числа и променливи
Примери за едночлени:
3хy; 19x2; 2xy3; −3xy2⋅(23) ⋅4x3; 5,9 xn y n
(n∈N)
Едночлените могат да са само числа или само
променливи
Примери: 0.12 ; 3 ; −0,5 ; x ; y ; b2 ; z n (n∈N)
Целите изрази 2a+3b; 2x−5d ; (2y+3) 2 НЕ са
едночлени,защото ,те не са само произведение от
числа и променливи
а) нормален вид;
В едночлена 2xy3 е записано едно число и
всяка буква се среща само по веднъж
Всеки едночлен записан по този начин казваме,че е
записан в нормален вид
Нормален (стандартен) вид има всеки
едночлен записан :
само с един числов множител ,който е пред
другите множители
произведението от еднаквите букви и променливи е
записано като степен
Всеки едночлен може да се приведе в нормален
вид ,като :
намерим произведението на всички числови
множители и го запишем на първо място
като умножим всички степени с равни основи
б) коефициент на едночлен ;
ЧИСЛОВИЯТ МНОЖИТЕЛ на всеки едночлен записан в нормален
вид наричаме КОЕФИЦИЕНТ НА ЕДНОЧЛЕНА
Вторият едночлен −5x.y2⋅(32) .y3.4x3 не
е приведен в нормален вид .
Той има коефициент −5.(32) .4=-180
Тогава нормалният вид на едночлена е −5x.y2⋅(32) .y3.4x3 =-180 y2+3х1+3 = -180.y5 .х4
в) степен на едночлен;
СБОРЪТ от степенните показатели на ПРОМЕНЛИВИТЕ в даден
едночлен се нарича степен на едночлена
Примери :
−x4y5 е едночлен от 9-та степен ,защото 4+5 =9 ;
−3xy5z6 е едночлен от 12 -та
степен,защото 1+5+6 =12 ;
10z e едночлен от първа степен ;
0,02 е едночлен от нулева степен
15bxy6 ,където b е параметър е от 7 степен ,защото
1+6=7
Примери :В дадената таблица всички букви са
променливи .
Едночлен Нормален
вид Коефициент
Степен
6x2y(−2)
3xy
4 -48x
3y
5 -48 8
а2b
4bcа ; а
3b
5c 1 9
-2y.(0,5y) -y2 -1 2
5.20 100 100 0
г) действия с едночлени .
ЕДНОЧЛЕНИ ,които имат един и същ нормален вид,или се
различават само по коефициентите си се наричат ПОДОБНИ
ЕДНОЧЛЕНИ
Подобни са едночлените :
12х и 15х
3yх3 и 15yх3
3xcxc и 3x 2c 2 ;
9 и −9;
Не са подобни едночлените : 3a2b и 12ab2
Ако два подобни едночлена имат равни
коефициенти ,то те се наричат равни едночлени
Примери : 2х2 и 2хх
Ако два подобни едночлена имат противоположни
коефициенти ,то те се наричат противоположни
едночлени
Примери : - 2а2 и 2а2; : - 3n и 3n ;- xy и xy
Подобни едночлени събираме или изваждане
като :
Първо - съберем или извадим коефициентите на
едночлените ;
Второ - запишем променливите без промяна
Примери :
2х+3х =(2+3)х = 5х
7х2 +0,5 х2 = (7+0,5) х2 = 7,5 х2
10х-3х =(10-3)х = 7х
23х2 -21 ,5 х2 = (23-21,5) х2 = 2,5 х2
Сборът на два противоположни едночлена е
нула
Примери :
х2 - х2 = 0 ;
2y -2y =0
ВАЖНО! :Правилата за разкриване на скоби са
същите ,както при действия с рационални числа
Примери :
х +(−)5х = х - 5х = -4х
х −(−)2х =х+2х =3х
ДЕЙСТВИЕТО събиране или изваждане на подобни едночлени се
нарича ПРИВИДЕНИЕ
Задача 7.Извършете означените действия
А) 2х +(−)6х +х
Б) 3ах +5ах – 8ах
В)−2х2k−(−0,7х2k)−0,2х2k
Решение
А) Разкриваме скобите и получаваме :
2х +(−)6х +х =
2х −6х +х =
(2-6+1)х
=-3х
Б) 3ах +5ах – 8ах
= (3+5-8)ах
=0.ах
=0
В)−2х2k−(−0,7х2k)−0,2х2k
=−2х2k+0,7х2k−0,2х2k
=(-2 +0,7-0,2) х2k
=-1,5х2k
С привидение на подобни едночлени намираме неизвестно число в
дадено равенство
2. Многочлен :
СБОРЪТ ОТ ЕДНОЧЛЕНИ СЕ НАРИЧА МНОГОЧЛЕН
(ПОЛИНОМ)
Примери за многочлени : -4x ; 5x +1 ; 3x3-
3x2-5xy +x3 ; yx3 – x2 –yx3 +1 ; z2x – z4
1
СЪБИРАМЕ ИЛИ ИЗВАЖДАМЕ ПОДОБНИТЕ
ЕДНОЧЛЕНИ
От нормалният вид на многочлена 7xy2 + xz + 20y,
намираме,че неговите коефициенти са -
7; 1 ; 20 .Даденият многочлен е от 3-та степен
(едночлена с най-висока степен е 7xy2 )
2.задача .Приведете многочленът
b6 +7ab +8b6+2x+ab в нормален вид .Намерете
неговите коефициенти и определете неговата
степен.
Решение
Той има коефициенти - 9; 2 ; 8 и е от степен 6-
та
3.Задача Приведете многочлените в нормален вид .
а) 2,5 .4х + 9х +1 ;
б) 5х5 +3х2 – х5 + 2х2 – 6х +х - 2
в) 0,9х5 +3х2 – х5 + 2х2 + 4х – х
4.задача Приведете многочлените в нормален вид и
намерете числената им стойност за x= 3 , y = -2
а) х5 +4y2 – х5– 3y2 – 2х +х – 2y
б) 0,2 х3- 9y2 – х3 + 10y2 + 0,8х3 – х
5.задача Приведете многочлените в нормален вид и
намерете числената им стойност за а= 2 , b= -0,5
а) 2а5b5 - аb(-5а4b4) + 4а3 + а3;
б)-2a2b.(-3ab2) - 6a3b3+ 30b2 -70b2;
1
1
а) нормален вид;
НОРМАЛЕН ВИД НА многочлен е такова представяне на
многочлена , при което :
ВСЕКИ ОТ ЕДНОЧЛЕНИТЕ е приведен в
нормален вид
МЕЖДУ ЕДНОЧЛЕНИТЕ няма подобни
едночлени
Примери за многочлени приведени в нормален вид
:
5x + 4y -6
3x3-3y2-5y - x
4z2 -3z4 +x3 -2
x4 + x3 – x2 – x +1
Примери за многочлени , които не са приведени
в нормален вид :
x - 4x –1
3y2-5yy - x2
z2 -3z4 +z4 -2
x4 + x3 – 2x3 – х2x2 +1
1
б) коефициенти на многочлен ;
КОЕФИЦИЕНТИТЕ НА ЕДНОЧЛЕНИТЕ В НОРМАЛНИЯТ ВИД
СЕ НАРИЧАТ КОЕФИЦИЕНТИ НА МНОГОЧЛЕНА
В зависимост от броя на едночлените в нормалният
вид на многочлена ,то многочлените се делят
на едночлени,двучлени,тричлени и т.н.
Примери :
Многочле
н
Нормале
н вид Вид
Коефициенти
Степен на
многочлен
а
-x2х -x
3 Едночлен -1 3
а2b
4 – 2b
2
+ 4a
2b
4 ;
5а2b
4 –
2b2
Двучлен 5 ; -2 6
-2y7 +3y
4 +
y4 +y +1
-
2y7 +4y
4 +
y +1
Четиричле
н -2;4;1;1 7
Коефициента ,на които променливата е от нулева
степен се нарича свободен член .
в) степен на многочлен;
НАЙ-ВИСОКАТА от степените на едночлените на eдин
многочлен се нарича СТЕПЕН на многочлена .
1.задача .Приведете многочленът xy2 +xz
+10y+y+6xy2+9y в нормален вид .Намерете
неговите коефициенти и определете неговата
степен.
Решение
ПОДЧЕРТАВАМЕ ПОДОБНИТЕ ЕДНОЧЛЕНИ С
РАЗЛИЧНИ ЧЕРТИ
г) действия с едночлени и многочлени.
МНОГОЧЛЕНИ СЕ СЪБИРАТ ИЛИ ИЗВАЖДАТ по правилата
за събиране и изваждане на едночлени .Ако има скоби ,разкриваме
скобите и извършваме приведение на подобните едночлени
3. Формули за съкратено умножение.
Ако имаме сбор(разлика) от две числа на степен
втора и трябва да премахнем скобите
използаме формулите за съкратено умножение:
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x - y)2 = x2 - 2xy + y2
Примери: ако x = 10, y = 5a
(10 + 5a)2 = 102 + 2.10.5a + (5a)2 = 100 + 100a +
25a2
(10 - 4)2 = 102 - 2.10.4 + 42 = 100 - 80 + 16 = 36
Разбира се обратното също е вярно: 25 + 20a + 4a2 = 52 + 2.2.5 + (2a)2 = (5 + 2a)2
Следствие от по-горните формули:
(-x + y)2 = (y - x)2 = y2 - 2xy + x2
(-x - y)2 = (-(x + y))2 = (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Формули от 3-та степен:
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
Пример: (1 + a2)3 = 13 + 3.12.a2 + 3.1.(a2)2 + (a2)3 = 1 + 3a2 + 3a4 + a6
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
(x - y - z)2 = x2 + y2 + z2 - 2xy - 2xz + 2yz
x2 - y2 = (x - y)(x + y)
x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy
или
x2 + y2 = (x - y)2 + 2xy.
Разложете на множители: 9a2 - 25b2 = (3a)2 - (5b)2 = (3a - 5b)(3a + 5b)
x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2)
x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)
Ако n е естествено число
xn - yn = (x - y)(xn-1 + xn-2y +...+ yn-2x + yn-1)
Ако n е четно (n = 2k)
xn + yn = (x + y)(xn-1 - xn-2y +...+ yn-2x - yn-1)
Ако n е нечетно (n = 2k + 1)
xn + yn = (x + y)(xn-1 - xn-2y +...- yn-2x + yn-1)
4.Разлагане на изрази на множители
Разлагане чрез изнасяне на общ множител – Трябва да получим произведение от множители. За целта изнасяме пред скоба общ множител. Пред скоба може да се изнася:
Знак;
Число (коефициенти) – изнасяме най-големият общ делител на коефициентите на едночлените;
Буква – от едночлените изнасяме буквата с най-ниска степен;
Изрази – от едночлените изнасяме израз с най-ниската степен
Разлагане чрез формулите за съкратено умножение – За да получим произведение от множители прилагаме формулите за съкратено умножение
Разлагане чрез групиране – За да получим произведение от множители групираме едночлените в многочлена така, че да изнесем подходящ общ множите
Разлагане чрез комбинирано използване на различни методи – При разлагане на многочлени на множители понякога се налага да се използват повече от един от описаните по-горе методи. Добре е тези методи да се прилагат в следния ред (ако е възможно):
1. Изнасяне на общ множител пред скоби. 2. Формули за съкратено умножение. 3. Групиране.
Основни формули:
(1): (a + b)2 = a
2 + 2ab + b
2
(2): (a – b)2 = a
2 – 2ab + b
2
(3): (a + b)3 = a
3 + 3a
2b + 3ab
2 + b
3
(4): (a – b)3 = a
3 – 3a
2b + 3ab
2 – b
3
(5): (a – b)(a + b) = a2 – b
2
(6): (a + b)(a2 – ab + b
2) = a
3 + b
3
(7): (a – b)(a2 + ab + b
2) = a
3 – b
3
Допълнителни формули:
(8): (–a + b)2 = (b – a)
2 = (a – b)
2 = b
2 – 2ab + a
2
(9): (–a – b)2 = (a + b)
2 = a
2 + 2ab + b
2
Извеждане на формулата
(10): (–a + b)3 = (b – a)
3 = b
3 – 3b
2a + 3ba
2 – a
3
(11): (–a – b)3 = –(a + b)
3 = –a
3 – 3a
2b – 3ab
2 – b
3
Извеждане на формулата
(12): (a + b + c)2 = a
2 + b
2 + c
2 + 2ab + 2ac + 2bc
След като си прегледате и научите тези неща
спокойно можете да решите теста!
При възникване на трудности при овладяване
на учебния материал и прилагането му в
дадения тест пишете ми на адрес:
Приятно учене!
Решете следния тест: Зад.1 Изразът (3x-1)2 е тъждествено равен на: а ) x 2 - 6x + 1 б ) 3x2 - 6x - 1
в ) 9x2 - 6x – 1 г ) 9x2 - 6x + 1 . Зад.2 Нормалният вид на израза (3x+2)2 - (2x-3)2 е: а ) 5x2 + 24x – 5
б ) 5x2 - 5 в ) -x 2 + 24x – 5 г ) x 2 + 24x – 5 Зад.3 Степента на едночлена 7а2 х 2 у 3 ах е: а ) 7 б ) 6 в
) 9 г ) 5 . Зад.4 Коефициентът пред третата степен та х в нормалния вид на многочлена х 4+2х3 -
5ах2 -4х3 -а 3 е: а ) -2-а б ) 2 в ) -4 г ) -2 . Зад.5 Дадени са многочлените А= х2 -5 и В= 3х-7.
Намерете 2А+В а ) х 2 +3х-12 б ) 2х2 +3х-12 в ) 2х2 +3х-17 г ) х 2 +3х+2 Зад.6 Коефициента на
едночлена -4ах(-a)y е: а ) -4 б ) 4 в ) -4а г ) 4а2 . Зад.7 Направете приведение 2х-7х+3х-х+5х-х а ) х
6 б ) -2х в ) х г ) 6х . Зад.8 Нормалният вид на многочлена (x-1)(x2+x+1) е: а ) х 3 +1 б ) х 3 -1 в ) х 3
-2х-1 г ) х 3 -х 2 -1 Зад.9 Сборът от коефициента и степента на едночлена -2а(a2 x)3 x 3 y 4 а ) -
2a+10 б ) -2a7 +10 в ) -2a+12 г ) -2a+16 . Зад.10 -3х2+(-2x2 )-3x2 -(-x 2 ) = а ) -7x2 б ) -5x2 в ) -3x2 г ) -
7x8