Pembahasan :
8−359
54
81−1864
15
=8−
359
54
(82)15(92)−
18
=8−
359
54
8259−
14
= 8−35
−259
54
−(−14
)
= 8−559
64
= 8−1(32)32
=33
8
=27
8
Denih Handayani
www.m4th-lab.net
Ingat!
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2
(√3 + √7)(√3 − √7)
2√5 − 4√2=
3 − 7
2√5 − 4√2
=−4
2√5 − 4√2×
2√5 + 4√2
2√5 + 4√2
=−4
20 − 32(2√5 + 4√2)
=−4
−12(2√5 + 4√2)
=1
3(2√5 + 4√2)
=2
3(√5 + 2√2)
log 5√3 . log 3√325 − log 164
log 543 − log 23 =2 ×
12
× log 3323 − 2
log542
3
=
32
− 2
log 273
=
32 − 2
3×
2
2
=3 − 4
6
= −1
6
Denih Handayani | www.m4th-lab.net
5−2𝑥+2 + 74.5−𝑥 − 3 ≥ 0
⇒ 52(5−𝑥)2 + 74(5−𝑥) − 3 ≥ 0
⇒ 25(5−𝑥)2 + 74(5−𝑥) − 3 ≥ 0
⇒ (5−𝑥 + 3)(25.5−𝑥 − 1) ≥ 0
5−𝑥 ≤ −3 atau 5−𝑥 ≥1
25= 5−2
5−𝑥 ≤ −3 Tidak memenuhi
5−𝑥 ≥1
25= 5−2
−𝑥 ≥ −2
𝑥 ≤ 2
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 4𝑥2 − 26𝑥 + 32
𝑓(𝑔(𝑥)) = 4𝑥2 − 26𝑥 + 32
𝑓(−𝑥 + 3) = 4𝑥2 − 26𝑥 + 32
perhatikan
−𝑥 + 3 = 1 ⇒ 𝑥 = 3 − 1 = 2
𝑓(1) = 4(2)2 − 26(2) + 32
= 4(4) − 52 + 32
= 16 − 52 + 32
= −4
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))
= 3 (2𝑥 + 3
𝑥 − 5) + 1
=6𝑥 + 9
𝑥 − 5+
𝑥 − 5
𝑥 − 5
=7𝑥 + 4
𝑥 − 5, 𝑥 ≠ 5
Ingat!
𝑓(𝑥) =𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑⇒ 𝑓−1(𝑥) =
−𝑑𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 − 𝑎
(𝑔 ∘ 𝑓)−1(𝑥) =5𝑥 + 4
𝑥 − 7, 𝑥 ≠ 7
𝛼 + 𝛽 = −𝑘
𝛼. 𝛽 = −(2𝑘 + 4)
𝛼2 + 𝛽2 = (𝛼 + 𝛽)2 − 2𝛼𝛽
53 = (−𝑘)2 − 2(−2𝑘 − 4)
53 = 𝑘2 + 4𝑘 + 8
0 = 𝑘2 + 4𝑥 − 45
0 = (𝑘 + 9)(𝑘 − 5)
𝑘 = −9 atau 𝑘 = 5
𝑥1 + 𝑥2 =1
3
𝑥1. 𝑥2 = −4
3
Misal 3𝑥1 − 1 = 𝛼 dan 3𝑥2 − 1 = 𝛽
𝛼 + 𝛽 = 3(𝑥1 + 𝑥2) − 2 = 3 (1
3) − 2 = 1 − 2 = −1
𝛼. 𝛽 = 9𝑥1𝑥2 − 3(𝑥1 + 𝑥2) + 1 = 9 (−4
3) − 3 (
1
3) + 1 = −12
PK : 𝑥2 − (𝛼 + 𝛽)𝑥 + 𝛼. 𝛽 = 0 ⇒ 𝑥2 + 𝑥 − 12 = 0
Denih Handayani | www.m4th-lab.net
Memiliki akar-akar tidak real ⇒ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0
(𝑝 + 1)2 − 4(1)(2 − 𝑝) < 0
𝑝2 + 2𝑝 + 1 − 8 + 4𝑝 < 0
𝑝2 + 6𝑝 − 7 < 0 (𝑝 + 7)(𝑝 − 1) < 0
−7 < 𝑝 < 1
Menyinggung sumbu 𝑥 ⇒ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0
(𝑚 − 2)2 − 4(3)(3) = 0 (𝑚 − 2)2 = 36
𝑚 − 2 = ±6
𝑚 = 2 ± 6
𝑚 = −4 atau 𝑚 = 8
(−2 3𝑥 + 2𝑦 − 1
−2𝑥 + 𝑦 − 1 −4) = (−2 20
−8 −4)
3𝑥 + 2𝑦 − 1 = 20 ⇒ 3𝑥 + 2𝑦 = 21
−2𝑥 + 𝑦 − 1 = −8 ⇒ −2𝑥 + 𝑦 = −7
3𝑥 + 2𝑦 = 21 × 1 3𝑥 + 2𝑦 = 21
−2𝑥 + 𝑦 = −7 × 2 −4𝑥 + 2𝑦 = 14
7𝑥 = 7
𝑥 = 1 ⇒ 𝑦 = 2𝑥 − 7 = −5
2𝑥 − 𝑦 = 2(1) − (−5) = 7
𝑌 + 2𝑇 = 𝐻 + 150 …….. (1)
𝐻 + 𝑇 = 1.450 …………. (2)
𝐻 + 𝑌 + 𝑇 = 2.000 ……. (3)
Sub (2) ke (3)
1.450 + 𝑌 = 2.000
𝑌 = 2.000 − 1.450 = 550 …. (4)
Sub (4) ke (1)
550 + 2𝑇 = 𝐻 + 150
𝐻 − 2𝑇 = 400 ……… (5)
Eliminasi (2) dan (5)
𝐻 + 𝑇 = 1.450
𝐻 − 2𝑇 = 400
3𝑇 = 1.050 ⇒ 𝑇 = 350
Maka:
𝑌 + 𝑇 = 550 + 350
= 900
(Dalam ribu)
Denih Handayani | www.m4th-lab.net
Model Matematika:
Banyak jenis 𝐴 = 𝑥
Banyak jenis 𝐵 = 𝑦
𝑥 + 2,5𝑦 ≤ 70 ⇒ 2𝑥 + 5𝑦 ≤ 140
2𝑥 + 1,5𝑦 ≤ 84 ⇒ 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 168
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
𝑓(𝑥, 𝑦) = 50.000𝑥 + 60.000𝑦
(30,16) merupakan titik potong kedua garis, diperoleh dengan
cara mengeliminasi persamaan kedua garis
Perhatikan grafik:
Diperoleh titik pojok daerah himpunan
penyelesaian (42,0), (0, 28), dan (30,16)
Tanpa menguji fungsi objektif, jelas
jawaban yang sesuai hanya E
Substiusi 𝑛 = 1, cari yang hasilnya 16 karena 𝑆1 = 𝑈1 = 16
Yang memenuhi hanya opsi C
32 − 25−1 = 32 − 24 = 32 − 16 = 16
𝑎 = 80
𝑏 = 5
𝑆12 = 6(2(80) + 11(5))
= 6(160 + 55)
= 6(215)
= 1290 (dalam ribu)
06.00 08.00 10.00 12.00 14.00
𝑈1 𝑈2 𝑈3 𝑈4 𝑈5
1.600 ??
𝑈5 = 𝑈1. 𝑟4 = 1600 (1
2)
4
= 1600 (1
16) = 100
𝐾𝐴 = 𝐵
(𝑘 𝑙𝑚 𝑛
) (20
) = (8
−2)
( 2𝑘2𝑚
) = ( 8−2
)
𝑘 = 4
𝑚 = −1
𝐾𝐶 = 𝐷
( 4 𝑙−1 𝑛
) (11
) = (62
)
( 4 + 𝑙−1 + 𝑛
) = (62
)
4 + 𝑙 = 6 ⇒ 𝑙 = 2
−1 + 𝑛 = 2 ⇒ 𝑛 = 3
𝐾 (−21
) = ( 4 2−1 3
) (−21
)
= (−8 + 22 + 3
)
= (−65
)
Denih Handayani | www.m4th-lab.net
Ingat!
lim𝑥→∞
(√𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 − √𝑎𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞) =𝑏 − 𝑝
2√𝑎 lim
𝑥→∞(2𝑥 − √4𝑥2 + 𝑥 + 3)
lim𝑥→∞
(√(2𝑥)2 − √4𝑥2 + 𝑥 + 3)
lim𝑥→∞
(√4𝑥2 − √4𝑥2 + 𝑥 + 3) =0 − 1
2√4= −
1
4
Titik potong:
2𝑥2 − 3𝑥 + 7 = 4𝑥 + 1
2𝑥2 − 7𝑥 + 6 = 0
(𝑥 − 2)(2𝑥 − 3) = 0
𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 4(2) + 1 = 9 titik potong (2, 9)
𝑥 =3
2⇒ 𝑦 = 4 (
3
2) + 1 = 7 titik potong (
3
2, 7)
𝑚 = 𝑦′ = 4𝑥 − 3
Persamaan garis singgung pada titik (2, 9)
𝑚 = 4(2) − 3 = 5
Persamaan garis singgung:
𝑦 − 9 = 5(𝑥 − 2)
𝑦 = 5𝑥 − 1
Persamaan garis singgung pada titik (3
2, 7)
𝑚 = 4 (3
2) − 3 = 3
Persamaan garis singgung:
𝑦 − 7 = 3 (𝑥 −3
2)
𝑦 − 7 = 3𝑥 −9
2
2𝑦 − 14 = 6𝑥 − 9
2𝑦 = 6𝑥 + 5
𝑦 = 3𝑥 +5
2
Jika di substitusi diperoleh 0
0, lanjut Dalil L’Hopital
lim𝑥→4
2𝑥
−1
2√𝑥 − 3
= lim𝑥→4
−4𝑥√𝑥 − 3 = −16
Ingat!
𝑓(𝑥) = √𝑢 ⇒ 𝑓′(𝑥) =𝑢′
2√𝑢
Model matematika:
2𝑥 + 3𝑦 ≤ 100
𝑥 + 𝑦 ≤ 40
40
40
50
100
3
Titik potong:
Dengan mengeliminasi
kedua persamaan garis
diperoleh (20,20)
Fungsi Keuntungan
𝑓(𝑥, 𝑦) = 40% × 20.000𝑥 + 30% × 30.000𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) = 8000𝑥 + 9000𝑦
Besar keuntungan:
(40,0) ⇒ 8000(40) + 9000(0) = 320.000
(20,20) ⇒ 8000(20) + 9000(20) = 340.000
(maks)
(0,100
3) tidak mungkin banyak produksi
100
3
Persentase
keuntungan: 340.000
1.000.000× 100%
= 34%
Denih Handayani | www.m4th-lab.net
sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽
sin5𝜋
6=
1
3+ cos 𝛼 sin 𝛽
1
2=
1
3+ cos 𝛼 sin 𝛽
cos 𝛼 sin 𝛽 =1
2−
1
3=
3 − 2
6=
1
6
sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽
=1
3−
1
6
=2
6−
1
6
=1
6
Misal
𝑥2 + 4𝑥 − 3 = 𝑝
(2𝑥 + 4) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑝
(𝑥 + 2)𝑑𝑥 =1
2𝑑𝑝
∫𝑥 + 2
√𝑥2 + 4𝑥 − 3𝑑𝑥
= ∫(𝑥 + 2)(𝑥2 + 4𝑥 − 3)−12 𝑑𝑥
=1
2∫ 𝑝−
12 𝑑𝑝
=1
2× 2 𝑝
1
2 + 𝐶
= √𝑝 + 𝐶
= √𝑥2 + 4𝑥 − 3 + 𝐶
∫ (6𝑥2 − 6𝑥 − 1)𝑑𝑥4
2
= 2𝑥3 − 3𝑥2 − 𝑥 ] 42
= (2(4)3 − 3(42) − 4) − (2(2)3 − 3(2)2 − 2)
= (128 − 48 − 4) − (16 − 12 − 2)
= 76 − 2
= 74
𝑥 𝑥
𝑦
𝑥
𝑦 𝑦 𝑦
Perhatikan gambar!
3𝑥 + 4𝑦 = 80
⇒ 3𝑥 = 80 − 4𝑦
Luas:
𝐿 = 3𝑥 × 𝑦
𝐿 = (80 − 4𝑦) × 𝑦
𝐿 = 80𝑦 − 4𝑦2
Luas maksimum
𝐿′ = 0
80 − 8𝑦 = 0
𝑦 = 10
3𝑥 = 80 − 4(10)
3𝑥 = 40
Luas maksimum
Dicapai ketika 3𝑥 = 40, dan
𝑦 = 10
𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑀𝑎𝑥 = 3𝑥 × 𝑦
= 40 × 10
= 400
Denih Handayani | www.m4th-lab.net
sin 40° − sin 20°
cos 40° − cos 20°=
2 cos (40 + 20
2) ° sin (
40 − 202
) °
−2 sin (40 + 20
2) ° 2 sin (
40 − 202
) °
= −cos 30° sin 10°
sin 30° sin 10°
= −
12 √3
12
= −√3
4 sin2 𝑥 − 5 sin 𝑥 − 2 = 2 cos2 𝑥
4 sin2 𝑥 − 5 sin 𝑥 − 2 = 2(1 − sin2 𝑥)
4 sin2 𝑥 − 5 sin 𝑥 − 2 = 2 − 2 sin2 𝑥
6 sin2 𝑥 − 5 sin 𝑥 − 4 = 0
(3 sin 𝑥 − 4)(2 sin 𝑥 + 1) = 0
sin 𝑥 =4
3 (tidak memenuhi) atau sin 𝑥 = −
1
2
sin 𝑥 < 0, artinya 𝑥 ada di kuadran 3 atau 4
{7
6𝜋,
11
6𝜋}
Dengan aturan cosinus:
𝐴𝐶2 = 402 + 802 − 2 × 40 × 80 × cos 60
𝐴𝐶2 = 4800 ⇒ 𝐴𝐶 = 40√3
Perhatikan segitiga 𝐴𝐵𝑇
Jarak 𝐴 ke 𝑇𝐵 = 𝐴𝐴′
𝐴𝐴′ = √42 − 22
= √16 − 4
= √12
= 2√3
Denih Handayani | www.m4th-lab.net
Misal pusat 𝑃(𝑎, 𝑏) = (2, −3)
Jari-jari (𝑟) = 5 − 2 = 3
Persamaan lingkaran:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝐴 = −2𝑎 = −2(2) = −4
𝐵 = −2𝑏 = −2(−3) = 6
𝐶 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 = 4 + 9 − 9 = 4
Jadi persamaan lingkaran
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 + 4 = 0
Diagonal bidang = rusuk √2
Maka:
𝐴𝐶 = 12√2
𝑂𝐶 =1
2𝐴𝐶 =
1
2. 12√2 = 6√2
Perhatikan segitiga 𝑂𝐶𝐺:
𝑂𝐺 = √𝑂𝐶2 + 𝐶𝐺2
= √(6√2)2
+ 122
= √72 + 144
= √216
= 6√6
𝛼 = ∠𝐶𝑂𝐺
sin 𝛼 =𝐶𝐺
𝑂𝐺
=12
6√6
=2
√6×
√6
√6
=2
6√6
=1
3√6
Diagonal bidang = rusuk √2
Maka:
𝐾𝑀 = 6√2
𝑂𝑀 =1
2𝐾𝑀 =
1
2. 6√2 = 3√2
𝑂𝑄 = √(3√2)2
+ 62
= √54 = 3√6
Misal jarak 𝑀 ke 𝑂𝑄 adalah 𝑥
Perhatikan segitiga 𝑂𝑀𝑄 1
2𝑂𝑀. 𝑀𝑄 =
1
2. 𝑂𝑄. 𝑥
3√2. 6 = 3√6𝑥
6√2 = 𝑥√6
𝑥 = √12
𝑥 = 2√3
Alas merupakan segi
enam beraturan. Segienam beraturan
terdiri dari 6 buah
segitiga sama sisi,
dengan demikian kita
tahu bahwa panjang sisi
𝑂𝐵 = 6
𝑇𝐵 = √𝑂𝐵2 + 𝑇𝑂2
= √62 + (6√3)2
= √36 + 108
= √144
= 12
sin ∠𝑇𝐵𝑂 =𝑂𝑇
𝑇𝐵=
6√3
12=
1
2√3
Denih Handayani | www.m4th-lab.net
Pusat 𝑝(𝑎, 𝑏)
𝑎 = −1
2(−6) = 3
𝑏 = −1
2(−4) = 2
𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 − 𝐶
= √9 + 4 − 3 = √10
𝑚 = 3
Persamaan garis singgung:
𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟√𝑚2 + 1
⇒ 𝑦 − 2 = 3(𝑥 − 3) ± √10 × √32 + 1
⇒ 𝑦 − 2 = 3𝑥 − 9 ± 10
⇒ 3𝑥 − 𝑦 − 7 ± 10 = 0
PGS 1: 3𝑥 − 𝑦 + 3 = 0, PGS2: 3𝑥 − 𝑦 − 17 = 0
𝑇1 ∘ 𝑇2 = (0 −11 0
) (1 20 1
) = (0 −11 2
)
(𝑥′𝑦′
) = (0 −11 2
) (𝑥𝑦)
(𝑥′𝑦′
) = (−𝑦
𝑥 + 2𝑦)
𝑥′ = −𝑦 ⇒ 𝑦 = −𝑥′
𝑦′ = 𝑥 + 2𝑦 ⇒ 𝑥 = 𝑦′ − 2𝑦 ⇒ 𝑥 = 𝑦′ + 2𝑥′ Bayangan garis:
−𝑥 = 3(𝑦 + 2𝑥) + 2
−𝑥 = 3𝑦 + 6𝑥 + 2
3𝑦 = −7𝑥 − 2
𝑦 = −7
3𝑥 −
2
3
Tepi bawah kelas modus
𝑇𝑏 =38 + 43
2=
81
2= 40,5
𝑑1 = 2
𝑑2 = 4
𝑀𝑜 = 𝑇𝑏 + (𝑑1
𝑑1 + 𝑑2
) 𝑝
= 40,5 + (2
2 + 4) 5
= 40,5 + (5
3)
= 40,5 + 1,67
= 42,17
Panjang kelas (𝑝) = 5
Denih Handayani | www.m4th-lab.net
Dari 10 soal, 4 soal wajib dikerjakan, artinya
hanya 6 soal yang bisa dipilih.
Dari 8 soal yg akan dikerjakan, 4 diantaranya
sudah ditentukan. Artinya, hanya 4 soal yang boleh
kita pilih dari yang tersedia.
Maka banyak cara adalah sama dengan memilih 4
dari 6 pilihan.
𝐶46 =
6!
(6 − 4)! 4!
=6.5.4!
2!. 4!
= 3.5
= 15
∑𝑓 = 20
1
4× 20 = 5
Kelas 𝑄1 pada kelas ke-2
Tepi bawah kelas ke 2 = 49,5
Panjang kelas = 5
Jml frequensi sebelum kelas 𝑄1 = 2
Frequensi kelas 𝑄1 = 3
𝑄1 = 49,5 + (5 − 2
3) 5
= 49,5 + 5
= 54,5
Kelipatan lima, satuan yang mungkin 0 dan 5
Satuan 0
6 × 5 × 1 = 30
Satuan 5 tanpa memuat 0
5 × 4 × 1 = 20 Puluhan 0 dan satuan 5
5 × 1 × 1 = 5
Banyak bilangan
kelipatan 5:
30 + 20 + 5 = 55
𝐶45 × 𝐶6
7 = 5 × 7 = 35
Denih Handayani | www.m4th-lab.net
Jika terdapat kekeliruan pada pembahasaan ini, mohon tidak berkeberatan untuk menyampaikan
koreksi dan menghubungi saya via email [email protected] insya Alloh nanti saya
perbaiki.
Silakan kunjungi web saya, www.m4th-lab.net , tersedia ribuan soal matematika meliputi soal-
soal seleksi perguruan tinggi, soal-soal Ujian Nasional, dan soal-soal lainnya.
Alamat website : www.m4th-lab.net
Fans Page Facebook : https://web.facebook.com/mathlabsite/
Channel Telegram : @banksoalmatematika
http://t.me/banksoalmatematika
Semoga Bermanfaat