Ανάλυση λαθώνΠρόσθεση και

Αφαίρεση

Μπότσας Γεώργιος

Ανάλυση λαθών – Τι είναι• Διαχείριση του λάθους στα πλαίσια της γενικότερης διδακτικής πράξης.

• Τα αποτελέσματα της διδακτικής πράξης εξαρτώνται άμεσα από τα χαρακτηριστικά της επικοινωνίας μεταξύ των μελών της σχολικής

τάξης.

Διαφορά λάθους - αστοχίας• Mistake = Λάθος που προκύπτει από προβλήματα γνωστικής κατάστασης

• Miscue = Λανθασμένα στοιχεία που προκύπτουν από λανθασμένη

επεξεργασία

Διδακτικό συμβόλαιο και λάθη

• Η διδακτική πράξη εξαρτάται από το πλέγμα των σχέσεων που αναπτύσσονται

μεταξύ μαθητών και εκπαιδευτικού.

• Διδακτικό Συμβόλαιο

• Οι μαθητές είναι «υποχρεωμένοι» να δίνουν απάντηση στα προβλήματα που

τους δίνονται.

Ανάλυση λάθους - Διαδικασία

• Συμπεράσματα από την εύρεση των λαθών.

• Εύρεση μοτίβων λαθών • Αποτύπωση της χρήσης στρατηγικών

που χρησιμοποίησε ο μαθητής όταν έκανε το λάθος (Ερμηνεία)

• Ανάπτυξη διδακτικών παρεμβάσεων και διαφοροποίηση αντιστάθμισης.

Ανάλυση λαθών - Διαδικασία

Αιτιολογία λαθών• Προβλήματα οντογενετικής

προέλευσης διαδικασία εξέλιξης νοητικών ικανοτήτων

• Προβλήματα επιστημολογικής προέλευσης διαδικασία ανάπτυξης

– επέκτασης γνώσης

• Διδακτικά εμπόδια

Συστηματικά λάθη• Λάθη που γίνονται συνεχώς ή τουλάχιστον έχουν μεγαλύτερη

συχνότητα από άλλα.

• Έχουν διδαχθεί και θα έπρεπε να έχουν εμπεδωθεί.

• Δεν είναι αποτέλεσμα παρορμητικότητας και έλλειψης προσοχής

Παράδειγμα3 – 5 = 2

• Υπάρχει γνώση αλλά είναι ανεπαρκής•Οφείλεται σε διδακτικό εμπόδιο (π.χ. ο

εκπαιδευτικός δίδαξε αποκλειστικά αποκλειστικά με απτά υλικά)

• Ανάγκη εξοικείωσης με αρνητικούς αριθμούς

•Επόμενο στάδιο: Διδασκαλία «Χρωστάω»

Τυπολογία λαθών• Λάθη στις βασικές έννοιες και δεξιότητες

• Δυσκολίες στη θεσιακή αξία• Λάθη κατά την εύρεση Βασικών

Αριθμητικών Δεδομένων (ΒΑΔ)• Λάθη κατά την εφαρμογή των

αλγορίθμων των πράξεων

Λάθη στις βασικές έννοιες και δεξιότητες

• Η έννοια του αριθμού• Θεσιακή αξία

• Διάκριση – ανάγνωση – γραφή αριθμού

• Μέτρηση - απαρίθμηση

Θεσιακή αξία (τι κάνω)• Οι αριθμοί παρουσιάζονται όχι μόνο

ως αυθαίρετα σύμβολα αλλά ως γραπτή απόδοση και συμβολική

αναπαράσταση.

Θεσιακή αξία• Η σχέση συμβόλων και υλικού να

είναι αμφίδρομη.

Θεσιακή αξία• Χρήση άβακα

Θεσιακή αξία• Χρήση τετραγωνισμένου χαρτιού

Θεσιακή αξία• Υπέρβαση δεκάδας

• Παραμύθι

Εφαρμογή αλγορίθμων πράξεων

6 + 6 = 9•Λάθη στα βασικά αριθμητικά δεδομένα

48+ 345

• Λάθη σε σχέση με τα Βασικά Αριθμητικά Δεδομένα (ΒΑΔ)

Εφαρμογή αλγορίθμων πράξεων

Εφαρμογή αλγορίθμων πράξεων

46+ 313

• Λάθη ελαττωματικού αλγόριθμου χωρίς κρατούμενο

• 3 + 4 + 6 = 13

• Σωστά ΒΑΔ

Εφαρμογή αλγορίθμων πράξεων48

+ 315

• Λάθη ελαττωματικού αλγόριθμού με κρατούμενο

• 3 + 8 + 4 = 15

• Σωστά ΒΑΔ και χρήση κρατουμένου

Εφαρμογή αλγορίθμων πράξεων46

+ 379

• Λάθη ελαττωματικού αλγόριθμου και θεσιακής αξίας

• 6 + 3 = 9 και 4 + 3 = 7

• Σωστά ΒΑΔ

37- 4

3

• Λάθη ελαττωματικού αλγόριθμου και θεσιακής αξίας

• Σταματά στο 7 - 4

Εφαρμογή αλγορίθμων πράξεων

46+ 359

• Λάθη με κρατούμενο ή δανεικό

• Πρόσθεση κρατούμενου

• Σωστά ΒΑΔ

Εφαρμογή αλγορίθμων πράξεων

48+ 3411

• Λάθη με κρατούμενο ή δανεικό

• Δεν ανταλλάσσει τη δεκάδα όταν την υπερβαίνει

• Σωστά ΒΑΔ

• Θεσιακή αξία

Εφαρμογή αλγορίθμων πράξεων

24+67811

• Λάθη με κρατούμενο ή δανεικό

• Σωστά ΒΑΔ

• Πρόβλημα ανταλλαγής δεκάδας

• Θεσιακή αξία

Εφαρμογή αλγορίθμων πράξεων

48+ 381

• Λάθη ελαττωματικού αλγόριθμου

• 8 + 3 = 11• 4 + 3 + 1κρατ. = 8• Λάθη με κρατούμενο

ή δανεικό• Σωστά ΒΑΔ• Θεσιακή αξία

Εφαρμογή αλγορίθμων πράξεων

32- 634

• Ακατάλληλες αντιστροφές

• Λάθος ΒΑΔ

• Έλλειψη γνώσης αρνητικών αριθμών

Εφαρμογή αλγορίθμων πράξεων

43-1936

• Ακατάλληλες αντιστροφές

• Πρόβλημα στα ΒΑΔ

• Ελλειμματική γνώση αρνητικών

Εφαρμογή αλγορίθμων πράξεων

37- 413

• Λάθη στον αλγόριθμο

• Ακατάλληλες αντιστροφές

Εφαρμογή αλγορίθμων πράξεων

37- 441

• Λάθος πράξη

• Σωστά ΒΑΔ

Εφαρμογή αλγορίθμων πράξεων

48+ 341

• Ατελής αλγόριθμος

• Σωστά ΒΑΔ

Εφαρμογή αλγορίθμων πράξεων

24+ 67

81

• Ατελής αλγόριθμος

Εφαρμογή αλγορίθμων πράξεων

28+ 15

38

• Λάθη από μαντέματα

Εφαρμογή αλγορίθμων πράξεων

27+ 8

1015

• Συνδυασμός λαθών

Εφαρμογή αλγορίθμων πράξεων

Δυσκολίες στην ανάκληση ΒΑΔ Προαπαιτούμενα

1. «Ανεβαίνει - κατεβαίνει» από έναν δεδομένο αριθμό

2. Μετρά μέχρι το 20 ανά 2,3, κλπ. ευθεία κι αντίστροφα

3. Δηλώνει τον αριθμό που είναι 1,2,3 μικρότερος ή μεγαλύτερος από δεδομένο

αριθμό4. Έχει αναπτύξει αίσθηση των σχέσεων των

αριθμών μέχρι το 205. Χρήση παραδειγμάτων και μνημονικών

βοηθημάτων π.χ. 2+2 τα πόδια ενός σκύλου

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1. Προσθέσεις με το 0

2. Προσθέσεις με το 13. Προσθέσεις με το 2

4. Προσθέσεις διδύμων

5. Προσθέσεις με το 9

6. Προσθέσεις με άθροισμα το 10

7. Προσθέσεις γνωστών με το 18. Ξεχωριστές Προσθέσεις

• Αφαιρέσεις με 0• Αφαιρέσεις αριθμών

με τον εαυτό τους• Αφαιρέσεις με το 1• Αφαιρέσεις με το 2• Αφαιρέσεις με το 3• Αφαιρέσεις διδύμων• Αφαιρέσεις από το 10• Αφαιρέσεις του 9

• Μειωτέος+1 / Αποτέλεσμα + 1

• Αφαιρέσεις με ενδιάμεσο σταθμό 10

• Αφαιρέσεις με υπόλοιπο το 10

• Διψήφιος πλην μονοψήφιος

Αφαιρέσεις

Γνωστικές προϋποθέσεις πράξεων

1. Εκτίμηση και τελικό έλεγχος (Νοεροί υπολογισμοί –

αναπαραστάσεις)2. Εξοικείωση με τα σύμβολα και τη

σημασία τουςΣύμβολο Όνομα Πράξη Ενέργειες Αποτέλεσμα

+ και, συν

56 + 8 Προσθέτω, βάζω,

μεγαλώνω

Άθροισμα

Γνωστικές προϋποθέσεις πράξεων

3. Κατάκτηση και εξοικείωση με το μαθηματικό λεξιλόγιο, π.χ. ρήματα

πράξεων (αφαιρώ), ειδικές ονομασίες αποτελεσμάτων

(άθροισμα, διαφορά, υπόλοιπο) και αριθμών (προσθετέοι, μειωτέος).4. Κατανόηση της σημασίας των

πράξεων στην καθημερινή ζωή

Βασικές υπολογιστικές στρατηγικές

1. Εύρεση αθροίσματος με συνέχιση της απαρίθμησης από το μεγαλύτερο

π.χ. 25 + 7 =2. Ανάλυση ενός αριθμού σε γνωστό

άθροισμα που έχει αυτοματοποιηθεί π.χ. 5+8 = 5 + (5 + 3)= 10 + 3 = 13

5 + 3

Βασικές υπολογιστικές στρατηγικές

3. Ανάλυση αριθμού σε ν+1 μορφή για αξιοποίηση ήδη αυτοματοποιημένων

ΒΑΔ π.χ. 6 + 7 = 6 + (6 + 1) = (6+6) +1 = 12+1 =13

4. Χρήση αντιμεταθετικότητας και αντιστροφή πράξεων

Πράξεις – τι κάνουμε• Παιχνίδια με υλικά

• Κύβοι• Φθίνουσα καθοδήγηση

• Αναπαραστάσεις• Κάρτες διπλής όψης (flashcards –

υλικό)• Επιτραπέζια παιχνίδια (φιδάκι –

υλικό)

ΩΡΑ ΓΙΑ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΚΕΨΗ

54+ 15

69

54=50+4+ 15 =10+5

60+9=69

Αλγόριθμοι vs Υπολογισμοί σε κολώνες

Πρόσθεση και αφαίρεση.Πρόσθεση και αφαίρεση.

Η πρόσθεση χωρίς κρατούμενο. Η πρόσθεση με κρατούμενο.

Η αφαίρεση χωρίς κρατούμενο. Η αφαίρεση με κρατούμενο.

• Προσθέτουμε πρώτα τις μονάδες ( Μ ).7 + 1 = 87 + 1 = 8

• Γράφουμε το 8 κάτω από τις μονάδες ( Μ ).• Προσθέτουμε ύστερα και τις δεκάδες ( Δ ).

3 + 2 = 53 + 2 = 5• Γράφουμε το 5 κάτω από τις δεκάδες. ( Δ ).

• Προσθέτουμε πρώτα τις μονάδες ( Μ ).

• Γράφουμε το 4 κάτω από τις μονάδες ( Μ ).• Η δεκάδα από το 14 πηγαίνει στις δεκάδες σαν κρατούμενο.• Προσθέτουμε ύστερα και τις δεκάδες ( Δ ).• Γράφουμε το 8 κάτω από τις δεκάδες. ( Δ ).κρατούμενοκρατούμενο

• Αφαιρούμε πρώτα τις μονάδες ( Μ ).6 - 4 = 26 - 4 = 2

• Γράφουμε το 2 κάτω από τις μονάδες ( Μ ).• Αφαιρούμε ύστερα και τις δεκάδες ( Δ ).

8 - 7 = 18 - 7 = 1• Γράφουμε το 1 κάτω από τις δεκάδες. ( Δ ).

• Αφαιρούμε πρώτα τις μονάδες ( Μ ).44 – – 88 δεν αφαιρείται δεν αφαιρείται

• Δανειζόμαστε μια δεκάδα και λέμε : • Γράφουμε το 66 κάτω από τις μονάδες ( ΜΜ ).• Το κρατούμενο κατεβαίνει στις 66 δεκάδες και λέμε :• Αφαιρούμε ύστερα και τις δεκάδες ( ΔΔ ).

99 - 7 = - 7 = 22• Γράφουμε το 22 κάτω από τις δεκάδες. ( ΔΔ ).

• Αφαιρούμε πρώτα τις μονάδες ( Μ ).44 – – 88 δεν αφαιρείται δεν αφαιρείται

• Δανειζόμαστε μια δεκάδα και λέμε : • Γράφουμε το 66 κάτω από τις μονάδες ( ΜΜ ).• Αφαιρούμε ύστερα και τις δεκάδες ( ΔΔ ).

8 – 6 8 – 6 = = 22• Γράφουμε το 22 κάτω από τις δεκάδες. ( ΔΔ ).

Ιδιότητες της αφαίρεσης• α – β = (α+γ) – (β+γ) όπου β≤α

α – β = (α-γ) – (β-γ) όπου β≤α(Αν από έναν φυσικό αριθμό αφαιρέσουμε το

γ και στη διαφορά προσθέσουμε το γ, βρίσκουμε πάλι τον ίδιο αριθμό)

• Ιδιότητα της διαγραφήςμε γ ≤α α=βα-γ=β-γ

(α-γ)+γ=(β-γ)+γ α=β

43-2815

• 8 από 3 δε βγαίνει• Προσθέτω μια δεκάδα

= 10 μονάδες στο μειωτεό και γίνεται 13.

• Προσθέτω μια δεκάδα στις δεκάδες του αφαιρετέου.

• Αλλαγές στο μειωτέο και αφαιρετέο

Αλγόριθμος «Πρόσθεση ίσων ποσών»

1

1

43-2815

• Βασίζεται στη μετατροπή στο δεκαδικό σύστημα μιας μονάδας μιας τάξης σε δέκα μονάδες μικρότερης τάξης

• Αλλαγές μόνο στο μειωτέο

Αλγόριθμος «Μετατροπή του μειωτέου»313

67 – 29= (67+1)-

(29+1)= 68-30=

38

• Αρχίζουμε από τον αριθμό μονάδων που βρίσκεται πιο κοντά στο δέκα.

• Προσθέτουμε και στους δύο όρους τον ίδιο αριθμό (το 1 στο παράδειγμα)

Νοεροί υπολογισμοί

Διάφορες μορφές παρουσίασης αφαίρεσης

• Ως συμπλήρωμα

• Ως υπόλοιπο

• Ως διαφορά

Ως συμπλήρωμα• Υπάρχει μια μεγάλη ποσότητα (πληθικός

αριθμός Α), ένα μικρότερο μέρος αυτής (πληθικός αριθμός Β, ΒΑ) και ζητείται

το συμπλήρωμα Βc

• Π.χ. ο Γιώργος έχει 23 γραμματόσημα. Πόσα πρέπει να μαζέψει για να τα κάνει

50;• 23+=50 και +23=50

Ως υπόλοιπο• Υπάρχει μια αρχική ποσότητα από την οποία βγάζουμε ένα μέρος και ζητείται

να βρεθεί αυτό που έμεινε, το υπόλοιπο.

• Π.χ. ο Γιώργος είχε 50 γραμματόσημα και χάρισε τα 23. Πόσα γραμματόσημα

θα του μείνουν;• 50 – 23 =

Ως διαφορά• Υπάρχουν δύο ποσότητες που τις

συγκρίνουμε μεταξύ τους και βρίσκουμε τη διαφορά τους.

• Π.χ. ο Γιώργος έχει 50 γραμματόσημα και η Άννα 23. Πόσα περισσότερα έχει

ο Γιώργος• 50 – 23 =

Ευχαριστώ πολύ