![Page 1: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/1.jpg)
КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ
СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Виктория И. Прохоренко
Институт космических исследований РАН
Семинар «Механика, Управление, Информатика» 31 октября 2008
![Page 2: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/2.jpg)
Аннотация
Исследуется кинематика астероида Апофис в его движении относительно Земли. Производится сравнение результатов расчетов, основанных на Кеплеровском приближении, и прецизионных расчетов с учетом реальных возмущений.
2
![Page 3: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/3.jpg)
Основные характеристики астероида (99942) Апофис
Входит в группу околоземных объектов
NEA (Near-Earth objects)
Открыт в 2004 гДиаметр около 300 мМасса 4.3 1010 кг
3
![Page 4: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/4.jpg)
NEA (Near-Earth
objects)
К апрелю 2008 г каталогизировано более
960 объектов с поперечным размером более 150 м, орбиты которых проходят на расстояниях менее 7.2
млн. км от орбиты Земли
4
![Page 5: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/5.jpg)
Средние элементы орбиты Апофиса в гелиоцентрической эклиптической системе координат J2000
JPL Small-Body Database (http://ssd.jpl.nasa.gov)
Большая полуось Эксцентриситет e = 0.191178Наклонение i = 3.331406Долгота восходящего узла = 204.447922Аргумент перигелия =126.386343Время прохождения через перигелий
= 2008 Apr-14.80453836
Средняя аномалия M = 32.581392Среднее движение n = 1.1135492/dДраконический период T = 323.691154 d
а.е.922408.0a
5
![Page 6: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/6.jpg)
Орбита Земли (сплошная линия) и проекция на плоскость эклиптики орбиты астероида Апофис (пунктирная линия) в гелиоцентрической эклиптической системе координат
(ось X направлена в точку равноденствия J2000)
6
![Page 7: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/7.jpg)
Положение Земли (тонированные кружки) и проекции астероида Апофис на плоскость эклиптики (светлые кружки) в 0ч 14 числа каждого месяца в
разные годы в гелиоцентрической эклиптической системе координат J2000. Штриховой линией соединены точки, соответствующие одному и тому же
моменту времени (отмеченному номером месяца)
а) в 2011 г б) в 2012 г
7
![Page 8: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/8.jpg)
Движение астероида Апофис относительно Земли в геоцентрической эклиптической системе координат J2000. Тонированным кружком с
центром в начале координат показана гравитационная сфера действия Земли в масштабе (5:1). Положение проекции астероида на плоскость
эклиптики в 0ч UT 14 числа каждого месяца показано светлым кружком и отмечено номером месяца
а) в 2011 г. б) в 2012 г.
8
![Page 9: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/9.jpg)
Проекция на плоскость эклиптики траектории астероида в геоцентрической эклиптической системе координат на интервалах времени
между годами, на которые приходятся соседние тесные сближения.
Светлым кружком отмечена начальная точка, темным – конечная.
а) с 14/IV/2008 по 31/XII/2013 б) c 1/I/2014 по 31/XII/2021
9
![Page 10: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/10.jpg)
Проекция на плоскость эклиптики траектории астероида Апофис в геоцентрической эклиптической системе координат
J2000 в промежутке времени с 1/I/2022 по 31/XII/2029 (а)
И вход астероида в сферу действия Земли 13/IV/2029 (б)
а) б)
10
![Page 11: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/11.jpg)
Сравнение приближенных расчетов геоцентрического расстояния (млн. км)
астероида Апофис в функции времени с прецизионными расчетами
б) Результат прецизионных расчетов, выполненных в работе В.И. Ивашкина и К.А. Стихно [3]. Отсчет времени от 30/I/2005, T размечено годами с шагом пять лет. Метка 5 соответствует 30/I/2010, Метка 10 – 30/I/2015 и т.д.
а) Результат расчетов положения Астероида в Кеплеровском приближении относительно Земли, положение которой рассчитывалось по теории Ньюкома. Отсчет времени от 14/IV/2008. Время на оси абсцисс размечено метками YY, соответствующими датам 30/I/ 20YY.
11
![Page 12: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/12.jpg)
Облет Земли по гиперболической орбите 13/IV/2029 12
Тонированным кружком с центром в начале координат показана гравитационная сфера
действия Земли в масштабе (1:1).
v 5.79 км/с
271.2 тыс. км
13.1 тыс. км
e 20.74
rp 258 тыс. км
271.5 тыс. км
92.7
5.4
В таблице показаны элементы гиперболической орбиты облета, рассчитанные на основании приближенных начальных данных по формулам П.Е. Эльсберга [1965].
К сожалению, этот результат не может конкурировать с прецизионными расчетами, по которым минимальное геоцентрическое расстояние Апофиса при сближении 13/IV/2029 составляет около 44 тыс. км.
![Page 13: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/13.jpg)
Продолжим изучение кинематики Рассмотрим проекции на плоскость эклиптики траектории Апофиса в
инерциальной геоцентрической эклиптической системе координат на интервале времени с 14/IV/2008 по 1/I/2030
а) Маркером * отмечены точки, соответствующие положению астероида в 0ч UT 22/XII каждого года
б) «Окружности», соответствующие положению астероида в 0ч UT 22/XII, 21/III , 23/VI в разные годы
13
![Page 14: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/14.jpg)
Поступательное движение орбиты астероида (как целого) в геоцентрической эклиптической системе координат и область,
«заметаемая» проекциями орбиты астероида на плоскость эклиптики при относительном движении Солнца вокруг Земли. Внешняя и
внутренняя огибающие заметаемой области
а) б) Внутренняя овальная область: XC = -24.46 млн. км, YC = 13.68 млн. км, большая и малая полуоси ~19 млн. км и 12 млн. км
14
![Page 15: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/15.jpg)
Замкнутые кривые, описываемые различными точками орбиты астероида в процессе поступательного движения орбиты в инерциальной
геоцентрической эклиптической системе координат.
15
1. Замкнутая кривая, описываемая точкой афелия орбиты Апофиса представляет собой эллипс, фокус которого совпадает с точкой, через которую Солнце, проходит в 0ч UT 23/VIII. Линия апсид лежит на линии, проходящей через центр Земли и центр Солнца, большая полуось представляет собой полу-сумму (RE1+RE2)/2 расстояний от центра Земли до Солнца в даты 23/VIII и 19/II, а радиус перицентра совпадает с радиусом афелия RAА астероида.
2. Для перигелия аналогичный эллипс имеет то же значение большой полуоси, радиус перицентра совпадает с радиусом перигелия RPA астероида, а фокус совпадает с точкой, через которую Солнце, проходит в 0ч UT 19/II.
3. Каждой точке орбиты астероида соответствует своя замкнутая кривая, описываемая этой точкой в процессе годового относительного движения Солнца вокруг Земли (см. следующий слайд).
![Page 16: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/16.jpg)
Еще один способ представления области, заметаемой орбитой астероида, с использованием замкнутых кривых, соответствующих различным точкам
орбиты Апофиса. Внешняя и внутренняя огибающие замкнутых кривых
16
![Page 17: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/17.jpg)
Внутренняя огибающая замкнутых кривых, описываемых различными точками орбиты астероида (показана синим
цветом)
17
Самопересекающаяся кривая, показанная синим цветом, представляет собой проекцию на плоскость эклиптики геометрического места точек возможного положения астероида в геоцентрической эклиптической системе координат при гипотетических сближениях с Землей по долготе в разных точках орбиты (проекция на плоскость эклиптики)
![Page 18: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/18.jpg)
К построению пространственной кривой, соответствующей геометрическому месту точек возможного положения астероида при
гипотетических тесных сближениях с Землей по долготе в разных точках орбиты астероида в геоцентрической эклиптической системе координат
18
а) Диаметральная плоскость, содержащая линию апсид орбиты астероида в гелиоцентрической эклиптической системе координат Положение апоцентра и перицентра относительно точек пересечения орбиты Земли с этой плоскостью.*)
б) Сечение цилиндрической поверхности диаметральной плоскостью, проходящей через ось Z геоцентрической системы координат и линию апсид астероида.
Искомая пространственная кривая лежит на цилиндрической поверхности, направляющая которой параллельна оси Z, а образующая совпадает с упомянутой выше внутренней огибающей замкнутых кривых.
а)
б)
-----------------------*) Примечание. На всех рисунках значения Z показаны в масштабе 5:1
![Page 19: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Начнем с точки, лежащей а начале координат и соответствующей восходящему узлу орбиты астероида на плоскости эклиптики, в которой расстояние Апофиса до центра Земли равно нулю. Эта точка соответствует точке самопересечения огибающей (см. рис. а). Переход от этой точки к перигелию (P) происходит по внешней поверхности цилиндра в направлении, указанном стрелкой на рис. б. Затем движение по внешней поверхности цилиндра продолжается от точки P до точки D2 , соответствующей самопересечению проекции огибающей (на рис. а). Дальнейший переход в точку афелия A происходит по поверхности внутреннего цилиндра, а после прохождения афелия (см. рис. б) происходит возврат в начало координат по стрелке вверх.
Описание пространственного геометрического места точек, принадлежащего поверхности цилиндра, и соответствующего положению астероида при
гипотетических тесных сближениях с Землей по долготе
а) б)
PA
0, D2
D2
![Page 20: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/20.jpg)
Положение дат трёх сближений (по долготе и по геоцентрическому расстоянию) астероида Апофис с Землей
в гелиоцентрической инерциальной системе координат
20
года8.7~)/(360 EAA nnS nA- nE – разность средних движений астероида и Земли.
).
Синодический период
Напомним значения средних движений Земли и Апофиса nE ~ 0.9863/d, nA = 1.1135492/d
Штрихпунктирная линия показывает даты сближения Апофиса с Землей по долготе, а штриховая линия – даты их сближения по геоцентрическому расстоянию.
![Page 21: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/21.jpg)
Заключение
В этой работе ставилась задача качественного исследования кинематики астероида Апофис в его движении относительно Земли на основе упрощенной модели и представления общей картины относительного движения астероида при слабых возмущениях его орбиты. Предложенный способ визуализации относительного движения может быть использован и для представления результатов прецизионных расчетов.
В заключение автор считает своим приятным долгом выразить благодарность Равилю Равильевичу Назирову, который привлек внимание автора к этой работе.
21
![Page 22: КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081513/56813d60550346895da731b2/html5/thumbnails/22.jpg)
Литература
1. Эльясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. М.: «Наука». 1965.
2. Ивашкин В.В., Стихно К.А. О проблеме коррекции орбиты сближающегося с Землей астероида (99942) APOPHIS // ДАН, 2008. Т. 419. № 5. с 621-627.
3. Viacheslav V. Ivashkin, Cyril A. Stikhno. An Analysis of the Correction Problem for Near-Earth Asteroid (99942) Apophis=2004 MN4 // Proceedings. Planetary Defense Conference. G. Washington University March 5-8 2007. p. 1-7.
4. Клавдий Птолемей. Альмагест или математическое сочинение в тринадцати книгах. Перевод с древнегреческого И.Н. Веселовского. М.: Наука-Физматлит, 1998.
5. Идельсон Н.И. Этюды по истории небесной механики. М.: Наука, 1975.6. Бакулин П.И., Кононович Э.В., Мороз В.И. Курс общей астрономии. М.:
Наука 1977.
22