Download - Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони
![Page 2: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/2.jpg)
Основные комбинаторные числа
![Page 3: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/3.jpg)
![Page 4: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/5.jpg)
Упражнение
![Page 6: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/6.jpg)
![Page 7: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/8.jpg)
![Page 9: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/9.jpg)
![Page 10: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/10.jpg)
![Page 11: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/11.jpg)
На заметку
• Необходимость «жонглировать» биномиальными коэффициентами возникает часто, полезно помнить их свойства
• Если нужно сравнить два комбинаторных числа, может быть полезным рассмотреть их отношение.
• Часто, если есть рекуррентное соотношение, то можно эффективно вычислять.
• Отождествление частей сложного объекта с простыми объектами того же вида позволяет получать рекуррентные соотношения.
• Метод выделенного элемента.
![Page 12: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/12.jpg)
Вычисление мощностей множеств
A B
![Page 13: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/13.jpg)
Формула включений-исключений
A B
C
![Page 14: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/14.jpg)
Формула включений-исключений
…
![Page 15: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/15.jpg)
Характеристическая функция множества
![Page 16: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/16.jpg)
Вывод формулы включений-исключений
![Page 17: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/17.jpg)
Вывод формулы включений-исключений
![Page 18: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/18.jpg)
Неравенства Бонферрони: три множества
A B
C
![Page 19: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/19.jpg)
Неравенства Бонферрони
![Page 20: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/20.jpg)
Лемма
![Page 21: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/21.jpg)
Доказательство леммы
![Page 22: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/22.jpg)
Доказательство неравенств Бонферрони
![Page 23: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/23.jpg)
Доказательство неравенств Бонферрони
![Page 24: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/24.jpg)
Доказательство неравенств Бонферрони
![Page 25: Свойства биномиальных коэффициентов, формула включений-исключений, неравенства Бонферрони](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020123/55a8687d1a28ab4a028b4599/html5/thumbnails/25.jpg)
На заметку
• Концепция характеристической (индикаторной) функции
• Алгебра может быть «неожиданно полезна» в комбинаторике
• Иногда полезно «менять масштаб»
• Полезное равенство может дать целую серию полезных неравенств