гëï³ïí³Í ¿ ¶Ý³Ñ³ïÙ³Ý ¨ ûëï³íáñÙ³Ý Ï»ÝïñáÝÇ ÏáÕÙÇó
زºزîÆβÚÆ 2016 Â. äºî²Î²Ü ²ì²ðî²Î²Ü ºì ØƲêܲβÜ
øÜÜàôÂÚàôÜܺðÆ ²è²æ²¸ð²ÜøܺðÆ
ÞîºØ²ð²Ü
زê
2
ºðºì²Ü
ð²´àôÜÆ êäÀ
2015
www.atc.a
m
Ø 151
Ðî¸ 373.1 :51
¶Ø¸ 72.2+22.1
Ø151
лÕ. ËáõÙµ` êå³ñï³Ï è³ý³Û»ÉÛ³Ý ì³ñ¹áõÑÇ öÇÉÇåáëÛ³Ý ¶³·ÇÏ ØÇù³Û»ÉÛ³Ý úÝÇÏ ØÇù³Û»ÉÛ³Ý ì³Õ³ñß³Ï àëϳÝÛ³Ý ÎáñÛáõÝ ²é³ù»ÉÛ³Ý ²ñÙ³Ý ê³ñ·ëÛ³Ý ÜÇÏÇï³ äáÕáëÛ³Ý ì³ñ¹³Ý öÇÉÇåáëÛ³Ý
سûٳïÇϳÛÇ 2016Ã.-Ç å»ï³Ï³Ý ³í³ñï³Ï³Ý ¨ ÙdzëݳϳÝ
ùÝÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÇ ßï»Ù³ñ³Ý: Ø.2 лÕ. ËáõÙµ` êå³ñï³Ï
è³ý³Û»ÉÛ³Ý, ì³ñ¹áõÑÇ öÇÉÇåáëÛ³Ý, ¶³·ÇÏ ØÇù³Û»ÉÛ³Ý, úÝÇÏ
ØÇù³Û»ÉÛ³Ý, ì³Õ³ñß³Ï àëϳÝÛ³Ý, ÎáñÛáõÝ ²é³ù»ÉÛ³Ý, ²ñÙ³Ý
ê³ñ·ëÛ³Ý, ÜÇÏÇï³ äáÕáëÛ³Ý, ì³ñ¹³Ý öÇÉÇåáëÛ³Ý
.-ºñ.: ð²´àôÜÆ êäÀ, 2015-296 ¿ç:
êáõÛÝ Ó»éݳñÏÁ 2014Ã. ÉáõÛë ï»ë³Í §Ø³Ã»Ù³ïÇϳÛÇ Ã»ëï³ÛÇÝ
³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÇ ßï»Ù³ñ³Ý¦ ·ñùÇ í»ñ³Ùß³Ïí³Í Ññ³ï³ñ³ÏáõÃÛáõÝÝ ¿:
γï³ñí³Í ÷á÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÑÇÙݳϳÝáõÙ í»ñ³µ»ñáõÙ »Ý íñÇå³ÏÝ»ñÇÝ ¨ áñáß
ËݹÇñÝ»ñÇ í»ñ³Ó¨³Ï»ñåÙ³ÝÁ:
Ò»éݳñÏáõÙ Áݹ·ñÏí³Í »Ý ѳÝñ³ÏñÃ³Ï³Ý ¹åñáóÇ Ù³Ã»Ù³ïÇϳÛÇ
Íñ³·ñ³ÛÇÝ ÝÛáõûñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ, áñáÝù í»ñ³µ»ñáõÙ
»Ý ¹³ëÁÝóóÇ ·ñ»Ã» µáÉáñ µ³ÅÇÝÝ»ñÇÝ: ²ÛÝ Ñ³ëó»³·ñí³Í ¿ ѳÝñ³ÏñóϳÝ
¹åñáóÇ ßñç³Ý³í³ñïÝ»ñÇÝ ¨ áõëáõóÇãÝ»ñÇÝ: Ò»éݳñÏÁ ϳñáÕ ¿ û·ï³Ï³ñ ÉÇÝ»É
ݳ¨ ÙÇçÇÝ ¨ ³í³· ¹åñáóÇ ³ß³Ï»ñïÝ»ñÇÝ:
Ðî¸ 373.1 :51
¶Ø¸ 72.2+22.1
ISBN978-9939-9017-4-9 ¡ ð³µáõÝÇ 2015
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3
´àì²Ü¸²ÎàôÂÚàôÜ
¶ÈàôÊ1 ²é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ ÁÝïñáíÇ å³ï³ë˳ÝÝ»ñáí .............................................. 5
´²ÄÆÜ 1. Âí³µ³Ý³Ï³Ý ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ ................................................................... 6
´²ÄÆÜ 2. ²ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³ßíáõÙ ...........16
´²ÄÆÜ 3. гí³ë³ñáõÙÝ»ñ .............................................................................................33
´²ÄÆÜ 4. ²Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñ ............................................................................................. 50
´²ÄÆÜ 5. î»ùëï³ÛÇÝ ËݹÇñÝ»ñ .....................................................................................63
´²ÄÆÜ 6. äñá·ñ»ëdzݻñ ................................................................................................75
´²ÄÆÜ 7. üáõÝÏódzݻñ ...................................................................................................85
´²ÄÆÜ 8. гñóã³÷áõÃÛáõÝ ...........................................................................................96
´²ÄÆÜ 9. î³ñ³Í³ã³÷áõÃÛáõÝ ...................................................................................... 114
´²ÄÆÜ 10. Îááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ù»Ãá¹, í»ÏïáñÝ»ñ ........................................................... 126
¶ÈàôÊ 2 ²é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ ϳñ× å³ï³ë˳ÝÝ»ñáí ................................................. 140
´²ÄÆÜ 1 ²ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³ßíáõÙ ........... 141
´²ÄÆÜ 2. гí³ë³ñáõÙÝ»ñ ¨ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñ ....................................................... 149
´²ÄÆÜ 3. î»ùëï³ÛÇÝ ËݹÇñÝ»ñ ................................................................................... 163
´²ÄÆÜ 4. üáõÝÏódzݻñ ................................................................................................. 177
´²ÄÆÜ 5. гñóã³÷áõÃÛáõÝ ......................................................................................... 185
´²ÄÆÜ 6. î³ñ³Í³ã³÷áõÃÛáõÝ ...................................................................................... 199
´²ÄÆÜ 7. Îááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ù»Ãá¹, í»ÏïáñÝ»ñ ............................................................. 209
´²ÄÆÜ 8. ØdzóáõÃÛáõÝÝ»ñ ............................................................................................. 216
¶ÈàôÊ 3 äݹáõÙÝ»ñÇ ÷áõÝç .......................................................................................... 224
´²ÄÆÜ 1. Âí³µ³Ý³Ï³Ý ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ ................................................................ 225
´²ÄÆÜ 2. гí³ë³ñáõÙÝ»ñ ¨ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñ ....................................................... 234
´²ÄÆÜ 3. äñá·ñ»ëdzݻñ. ............................................................................................. 245
´²ÄÆÜ 4. üáõÝÏódzݻñ ................................................................................................. 255
´²ÄÆÜ 5. гñóã³÷áõÃÛáõÝ ......................................................................................... 273
´²ÄÆÜ 6. î³ñ³Í³ã³÷áõÃÛáõÝ ...................................................................................... 285
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4
ܳ˳µ³Ý
êáõÛÝ Ó»éݳñÏÁ 2014Ã. ÉáõÛë ï»ë³Í §Ø³Ã»Ù³ïÇϳÛÇ Ã»ëï³ÛÇÝ
³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÇ ßï»Ù³ñ³Ý¦ ·ñùÇ í»ñ³Ùß³Ïí³Í Ññ³ï³ñ³ÏáõÃÛáõÝÝ ¿:
γï³ñí³Í ÷á÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÑÇÙݳϳÝáõÙ í»ñ³µ»ñáõÙ »Ý íñÇå³ÏÝ»ñÇÝ ¨ áñáß
ËݹÇñÝ»ñÇ í»ñ³Ó¨³Ï»ñåÙ³ÝÁ:
Þï»Ù³ñ³ÝáõÙ Áݹ·ñÏí³Í »Ý ѳÝñ³ÏñÃ³Ï³Ý ¹åñáóÇ §Ø³Ã»Ù³ïÇϳ¦
³é³ñϳÛÇ Íñ³·ñ³ÛÇÝ ÝÛáõûñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ, áñáÝù
í»ñ³µ»ñáõÙ »Ý ¹³ëÁÝóóÇ ·ñ»Ã» µáÉáñ µ³ÅÇÝÝ»ñÇÝ: Þï»Ù³ñ³ÝÁ ϳ½Ù»ÉÇë
³é³çÇÝ Ñ»ñÃÇÝ Ñ³ßíÇ »Ý ³éÝí»É ·áñÍáÕ ¹³ë³·ñù»ñÁ, ÇÝãå»ë ݳ¨ û·ï³·áñÍí»É
»Ý áñáß ûųݹ³Ï Ó»éݳñÏÝ»ñ ¨ ³ÛÉ Ëݹñ³·ñù»ñ: ²ÛÝ Ï³½Ùí³Í ¿ å»ï³Ï³Ý
³í³ñï³Ï³Ý ¨ ÙdzëÝ³Ï³Ý ùÝÝáõÃÛ³Ý §àõÕ»óáõÛó¦-Ç Ñ³Ù³å³ï³ë˳Ý:
Ò»éݳñÏÁ ѳëó»³·ñí³Í ¿ ѳÝñ³ÏñÃ³Ï³Ý ¹åñáóÇ ßñç³Ý³í³ñïÝ»ñÇÝ ¨
áõëáõóÇãÝ»ñÇÝ:
Þï»Ù³ñ³ÝÁ ϳ½ÙáÕÝ»ñÝ »Ý`
êå³ñï³Ï è³ý³Û»ÉÛ³Ý (³ß˳ï³ÝùÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·áÕ, ýǽٳÃ
·ÇïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ã»ÏݳÍáõ, ºäÐ ¹áó»Ýï)
ì³ñ¹áõÑÇ öÇÉÇåáëÛ³Ý (¶ÂÎ §Ø³Ã»Ù³ïÇϳ¦ ³é³ñϳÛÇ
³é³ç³ï³ñ Ù³ëݳ·»ï)
ÎáñÛáõÝ ²é³ù»ÉÛ³Ý (Ù³Ýϳí³ñÅ³Ï³Ý ·ÇïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ
ûÏݳÍáõ, ¹áó»Ýï)
²ñÙ³Ý ê³ñ·ëÛ³Ý (ýǽٳà ·ÇïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ã»ÏݳÍáõ, ².
Þ³ÑÇÝÛ³ÝÇ ³Ýí³Ý ýǽٳà ¹åñáóÇ
ٳûٳïÇϳÛÇ ³ÙµÇáÝÇ í³ñÇã)
¶³·ÇÏ ØÇù³Û»ÉÛ³Ý (ýǽٳà ·ÇïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ã»ÏݳÍáõ, ºäÐ
¹áó»Ýï)
ì³ñ¹³Ý öÇÉÇåáëÛ³Ý (ýǽٳà ·ÇïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ã»ÏݳÍáõ, ºäÐ
¹áó»Ýï)
ì³Õ³ñß³Ï àëϳÝÛ³Ý (ýǽٳà ·ÇïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ã»ÏݳÍáõ, ζÜ
ÎñÃáõÃÛ³Ý ³½·³ÛÇÝ ÇÝëïÇïáõïÇ
Ù³Ýϳí³ñÅ³Ï³Ý Ï³¹ñ»ñÇ í»ñ³å³ï-
ñ³ëïÙ³Ý ¨ ³ï»ëï³íáñÙ³Ý µ³ÅÝÇ í³ñÇã)
ÜÇÏÇï³ äáÕáëÛ³Ý (². Þ³ÑÇÝÛ³ÝÇ ³Ýí³Ý ýǽٳà ¹åñáóÇ
áõëáõóÇã)
úÝÇÏ ØÇù³Û»ÉÛ³Ý (ýǽٳà ·ÇïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ã»ÏݳÍáõ, ζÜ
ÎñÃáõÃÛ³Ý ³½·³ÛÇÝ ÇÝëïÇïáõïÇ
·Ý³Ñ³ïÙ³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ Ý»ñ¹ñÙ³Ý
µ³ÅÝÇ í³ñÇã)
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¶ÈàôÊ 1
5
¶ÈàôÊ 1
²è²æ²¸ð²Üøܺð ÀÜîðàìÆ ä²î²êʲÜܺðàì
²é³çÇÝ ·ÉËÇ ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ å³ï³ë-
˳ÝÁ å»ïù ¿ ÁÝïñ»É ³é³ç³ñÏíáÕ ãáñë ï³ñµ»ñ³ÏÝ»ñÇó, áñáÝóÇó
ÙdzÛÝ Ù»ÏÝ ¿ ×Çßï: ä³ï³ë˳ÝÝ»ñÇ Ó¨³ÃÕÃáõÙ å»ïù ¿ Ýᯐ ×Çßï
ï³ñµ»ñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñÁ: ÀÝïñáíÇ å³ï³ë˳ÝÝ»ñáí ³é³ç³¹ñ³ÝùÁ
ѳٳñíáõÙ ¿ ϳï³ñí³Í, »Ã» ÁÝïñí³Í å³ï³ë˳ÝÇ Ñ³Ù³ñÁ
ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ×Çßï å³ï³ë˳ÝÇ Ñ³Ù³ñÇ Ñ»ï:
²Û¹åÇëÇ ³é³ç³¹ñ³ÝùÇ å³ï³ë˳ÝÝ ÁÝïñ»ÉÇë ѳٳå³-
ï³ëË³Ý Ñ³Ù³ñáí ³é³ç³¹ñ³ÝùÇ áõÕճѳ۳ó ëÛáõݳÏÇ å³ï³ë-
˳ÝÝ»ñÇ Ñݳñ³íáñ ãáñë ï³ñµ»ñ³ÏÝ»ñÇ í³Ý¹³ÏÝ»ñÇó Ù»ÏáõÙ
å»ïù ¿ ¹Ý»É §X¦ Ýß³ÝÁ: úñÇݳÏ` »Ã» 7-ñ¹ ³é³ç³¹ñ³ÝùÇ Ñ³Ù³ñ
ÁÝïñí»É ¿ 3-ñ¹ å³ï³ë˳ÝÁ, ³å³ å»ïù ¿ Ýß»É Ñ»ï¨Û³É Ó¨áí`
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 1 ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ
6
´²ÄÆÜ 1. Âì²´²Ü²Î²Ü ²è²æ²¸ð²Üøܺð
1. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 64-Ç ³ÛÝ µ³½Ù³å³ïÇÏÁ, áñÁ ·ïÝíáõÙ ¿ 200-Ç ¨ 300-Ç ÙÇç¨:
1) 256 2) 264 3) 244 4) 292
2. ¶ïÝ»É 96-Ç å³ñ½ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
3. 80-Á 64-Çó ù³ÝDZ ïáÏáëáí ¿ Ù»Í:
1) 20 2) 25 3) 10 4) 30
4. 64-Á 80-Çó ù³ÝDZ ïáÏáëáí ¿ ÷áùñ:
1) 20 2) 25 3) 10 4) 40
2. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ƱÝã ÃíÇ å»ïù ¿ µ³Å³Ý»É 2-Á, áñå»ë½Ç ù³Ýáñ¹Á ëï³óíÇ 4:
1) 6 2) 2 3) 1
2 4) 4
2. à±ñ Ãí³Ýß³Ýáí ¿ í»ñç³ÝáõÙ 5-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ Ï»Ýï ÃÇíÁ:
1) 5 2) 0 3) 10 4) 2
3. гßí»É 4 ѳÛï³ñ³ñáí µáÉáñ ϳÝáݳíáñ Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ
³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1) 4 2) 3
8 3)
7
4 4)
3
32
4. à±ñ Ãí³Ýß³ÝÁ å»ïù ¿ Ó³ËÇó ¨ ³çÇó Ïó³·ñ»É 34 ÃíÇÝ, áñå»ë½Ç
ëï³óí³Í ù³é³ÝÇß ÃÇíÁ Ù»Í ÉÇÝÇ 6000-Çó ¨ µ³Å³ÝíÇ 3-Ç:
1) 9 2) 6 3) 7 4) 8
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7
3. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 3-Ç µ³Å³ÝíáÕ ³Ù»Ý³÷áùñ »é³ÝÇß ÃíÇ ¨ ³Ù»Ý³÷áùñ
å³ñ½ »ñÏÝÇß ÃíÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ:
1) 90 2) 91 3) 988 4) 88
2. îñí³Í ¹ñ³Ï³Ý ÃíÇ ¨ Ýñ³ ѳϳ¹Çñ ÃíÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ù³ÝDZ
ïáÏáëáí ¿ Ù»Í ïñí³Í ÃíÇó:
1) 50 2) 200 3) 75 4) 100
3. ¶ïÝ»É a -Ý, »Ã» 237 48a ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 18-Ç:
1) 3 2) 6 3) 2 4) 9
4. ´³½Ù³å³ïÏ»óÇÝ 1-Çó ÙÇÝ㨠17 µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ:
êï³óí³Í ÃÇíÁ ù³ÝDZ ½ñáÛáí ¿ í»ñç³ÝáõÙ:
1) 6 2) 5 3) 4 4) 3
4. îñí³Í »Ý 4a ¨ 2
3b Ãí»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É b -Ç »é³å³ïÇÏÇ ¨ a -Ç ·áõÙ³ñÁ:
1) 6 2)14 3) 2
123
4) 2
2. ¶ïÝ»É 2a ÃíÇÝ µ³½Ù³å³ïÇÏ ³Ù»Ý³÷áùñ »é³ÝÇß ÃÇíÁ:
1) 96 2)104 3)112 4) 120
3. a b ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝáõÙ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý á±ñ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý
Ýß³Ýáí å»ïù ¿ ÷á˳ñÇÝ»É -Á, áñå»ë½Ç ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ ÉÇÝÇ
µÝ³Ï³Ý ÃÇí:
1) 2) 3) 4) :
4. à±ñ ÃÇíÁ Ïëï³óíÇ, »Ã» b -Ç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³Ïáí ·ñ³éÙ³Ý
Ù»ç ëïáñ³Ï»ïÁ Ù»Ï Ãí³Ýß³Ý ³ç ï»Õ³÷áËíÇ:
1) 2
103
2) 6 3) 2
63
4) 1
15
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8
5. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. 15 ñáå» 46 í³ÛñÏÛ³ÝÁ Ù»Ï Å³ÙÇ á±ñ Ù³ëÝ ¿:
1) 473
1800 2)
773
1800 3)
946
3000 4)
61
3600
2. ¶áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ٻͳóñ»É »Ý 11-áí: ÆÝãå»±ë å»ïù ¿ ÷áË»É
ÙÛáõë ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ, áñå»ë½Ç ·áõÙ³ñÁ ÷áùñ³Ý³ 3-áí:
1) ÷áùñ³óÝ»É 8-áí 2) ÷áùñ³óÝ»É 14-áí
3) ٻͳóÝ»É 8-áí 4) ٻͳóÝ»É 14-áí
3. ¶ïÝ»É 5a å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ a ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
1) 9 2) 8 3) 4 4) 5
4. ø³ÝDZ ѳï 3 ·áõÙ³ñ»ÉÇ å»ïù ¿ í»ñóÝ»É, áñå»ë½Ç ·áõÙ³ñÁ
ëï³óíÇ 35:
1) 5 2) 240 3) 81 4) 27
6. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ƱÝã ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí å»ïù ¿ Ñ³Ý»É 37
35-Çó, áñå»ë½Ç ëï³óíÇ µÝ³Ï³Ý
ÃÇí:
1) 37
35 2)
35
37 3)
2
35 4)
1
35
2. n µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ 17-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë Ùݳóáñ¹áõÙ ëï³óíáõÙ ¿ 11: ƱÝã
Ùݳóáñ¹ Ïëï³óíÇ` 3n -Á 17-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë:
1) 14 2) 7 3) 9 4) 16
3. Üßí³ÍÝ»ñÇó á±ñÁ ϳñáÕ ¿ ÉÇÝ»É »ñÏáõ ѳçáñ¹³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý
Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ í»ñçÇÝ Ãí³Ýß³ÝÁ.
1) 5 2) 9 3) 0 4) 3
4. 60 Ñ³ï µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ѳí³ë³ñ ¿ 61-Ç: ¶ïÝ»É ³Û¹
Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1) 2 2) 61 3) 1 4) 60
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7. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. 3 1 13 5
, , ,4 2 16 8
Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇó á±ñÝ ¿ ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ:
1) 2
1 2)
13
16 3)
4
3 4)
8
5
2. ƱÝã Ãí³Ýß³Ý å»ïù ¿ Ïó³·ñ»É 274-ÇÝ, áñå»ë½Ç ëï³óí³Í
ù³é³ÝÇß ÃÇíÁ µ³Å³ÝíÇ 9-Ç:
1) 9 2) 5 3) 3 4) 4
3. ¶ïÝ»É 6a ÃÇíÁ 7-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáÕ Ùݳóáñ¹Á, »Ã» a -Ý 7-Ç
µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ 3 Ùݳóáñ¹:
1) 9 2) 3 3) 2 4) 0
4. ¶ïÝ»É ³Ù»Ý³Ù»Í »ñÏÝÇß ¨ ³Ù»Ý³÷áùñ ù³é³ÝÇß Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
1) 1098 2) 1100 3) 1099 4)1097
8. ²é³çÇÝ ³ñÏÕáõ٠ϳ 48 ݳñÇÝç, »ñÏñáñ¹áõÙ` 60 ݳñÇÝç:
1. ²é³çÇÝ ³ñÏÕÇ Ý³ñÇÝçÝ»ñÇ ÃÇíÁ »ñÏñáñ¹ ³ñÏÕÇ Ý³ñÇÝçÝ»ñÇ ÃíÇ
á±ñ Ù³ëÝ ¿:
1) 4
5 2)
1
3 3)
2
3 4)
3
5
2. ø³ÝDZ ïáõ÷áõÙ Ïï»Õ³íáñíÇ »ñÏáõ ³ñÏÕ»ñÇ Ý³ñÇÝçÁ, »Ã» Ù»Ï
ïáõ÷áõÙ ï»Õ³íáñíáõÙ ¿ 12 ݳñÇÝç:
1) 9 2) 6 3) 7 4) 8
3. ²é³çÇÝ ³ñÏÕÇ Ý³ñÇÝçÝ»ñÇ ÃÇíÁ »ñÏñáñ¹ ³ñÏÕÇ Ý³ñÇÝçÝ»ñÇ ÃíÇó
ù³ÝDZ ïáÏáëáí ¿ å³Ï³ë:
1) 15 2) 20 3) 25 4) 30
4. ºñÏñáñ¹ ³ñÏÕÇ Ý³ñÇÝçÝ»ñÇ ÃÇíÁ ³é³çÇÝ ³ñÏÕÇ Ý³ñÇÝçÝ»ñÇ ÃíÇó
ù³ÝDZ ïáÏáëáí ¿ ³í»ÉÇ:
1) 30 2) 15 3) 20 4) 25
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9. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. 1-Çó Ù»Í ¨ 100-Çó ÷áùñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó ù³ÝDZëÝ »Ý, áñ á°ã 2-Ç »Ý
µ³Å³ÝíáõÙ, á°ã 3-Ç:
1) 24 2) 32 3) 33 4) 29
2. ¶ïÝ»É 9-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ ³ÛÝ »é³ÝÇß ÃíÇ í»ñçÇÝ Ãí³Ýß³ÝÁ, áñÇ
³é³çÇÝ »ñÏáõ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ѳí³ë³ñ ¿ 5-Ç:
1) 1 2) 4 3) 6 4) 7
3. ø³ÝDZ Ãí³Ýß³Ý áõÝÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÑÝ·³ÝÇß ÃíÇ ù³é³ÏáõëÇÝ:
1) 8 2) 11 3) 10 4) 9
4. ¶ïÝ»É 7 ѳÛï³ñ³ñáí ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ ëáíáñ³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÁ,
áñÁ Ù»Í ¿ 1
3-Çó, µ³Ûó ÷áùñ ¿
2
3-Çó:
1) 1
7 2)
2
7 3)
3
7 4)
4
7
10. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É Ýí³½»ÉÇÝ, »Ã» ѳݻÉÇÝ 8 ¿, ÇëÏ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ` 24:
1) 3 2) 16 3) 32 4) 192
2. ¶ïÝ»É 9
1100 ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÇó 9 ³Ý·³Ù Ù»Í ÃÇíÁ:
1) 9
1900 2) 899 3) 99 4)
9
8108
3. лï¨Û³É Ãí»ñÇóª 24, 36, 44, 52, á±ñÁ å»ïù ¿ Ïó³·ñ»É 74 ÃíÇÝ,
áñå»ë½Ç ëï³óí³Í ÃÇíÁ µ³Å³ÝíÇ 9-Ç:
1) 24 2) 36 3) 44 4) 52
4. ¶ïÝ»É 30-Ç ¨ 45-Ç ÁݹѳÝáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
1) 3 2) 4 3) 5 4) 6
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11
11. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 61,0;4
3;
3
2;6,0 Ãí»ñÇó ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ:
1¤ –0,6 2¤ 4
3 3¤ –0,61 4¤
3
2
2. Âí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ ·ïÝ»É 3
8 ÃíÇÝ ³Ù»Ý³Ùáï ³ÙµáÕç ÃÇíÁ:
1¤ 0 2¤ –2 3¤ –3 4¤ –8
3. ÂÇíÁ 3-Ç ¨ 6-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óí³Í Ùݳóáñ¹Ý»ñÇ ·áõÙ³ñÁ
ѳí³ë³ñ ¿ 7-Ç: ¶ïÝ»É ³Û¹ Ùݳóáñ¹Ý»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1¤ 12 2¤ 10 3¤ 6 4¤ 8
4. ø³ÝDZ ½ñáÛáí ¿ í»ñç³ÝáõÙ ³é³çÇÝ 15 å³ñ½ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1¤ 0 2¤ 1 3¤ 501 4¤ 10
12. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ø³ÝDZ ³Ý·³Ù ¿ 6-Ç µáÉáñ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ Ù»Í 6-Çó:
1) 1 2) 5
6 3) 2 4)
11
6
2. ø³ÝDZ å³ñ½ ÃÇí ϳ 17; 37 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
1) 7 2) 4 3) 6 4) 5
3. ¶ïÝ»É 8-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ ³Ù»Ý³Ù»Í ¨ ³Ù»Ý³÷áùñ »ñÏÝÇß Ãí»ñÇ
ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ:
1) 80 2) 78 3) 90 4) 88
4. ƱÝã ÃíÇ å»ïù ¿ µ³Å³Ý»É 0,4-Á, áñå»ë½Ç ëï³óíÇ 4:
1) 1,6 2) 0,1 3) 0,4 4) 4
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12
13. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ²é³çÇÝ Ñ³ñÛáõñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ù»ç 9-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ ù³ÝDZ ÃÇí
ϳ:
1) 9 2) 10 3) 11 4) 12
2. ¶ïÝ»É 7; 10 ÙÇç³Ï³ÛùÇ µáÉáñ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
1) 27 2) 17 3) 24 4) 19
3. ¶ïÝ»É a ¹ñ³Ï³Ý ÃíÇ 20 %-Á.
1) 0,02a 2) 0,2a 3) 2a 4) 0,5a
4. 1; 2 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ 9 ѳÛï³ñ³ñáí ù³ÝDZ ³ÝÏñ׳ï»ÉÇ Ïáïáñ³Ï
ϳ:
1) 8 2) 7 3) 6 4) ³Ýí»ñç
14. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ø³ÝDZ µÝ³Ï³Ý ½áõÛ· ÃÇí ϳ 34;10 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
1) 34 2) 44 3) 18 4) 17
2. ¶ïÝ»É 210 ¨ 462 Ãí»ñÇ ÁݹѳÝáõñ å³ñ½ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÇ
ù³Ý³ÏÁ:
1) 4 2) 2 3) 3 4) 1
3. ¶ïÝ»É
3
1
27
34:
3
5 ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ:
1) 9
5 2) 1,5 3) 1,8 4)
9
5
4. a ÃÇíÁ 4-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óí³Í Ùݳóáñ¹Á ѳí³ë³ñ ¿ 2-Ç:
¶ïÝ»É a6 ÃÇíÁ 12-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáÕ Ùݳóáñ¹Á:
1) 4 2) 1 3) 2 4) 0
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13
15. îñí³Í »Ý 12 ¨ 32 Ãí»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É ³Û¹ Ãí»ñÇó Ù»ÍÇ ¨ ÷áùñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ï³¹Çñ ÃÇíÁ:
1) –19 2) –44 3) 20 4) –20
2. ¶ïÝ»É ³Û¹ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 5-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óí³Í Ùݳóáñ¹Á:
1) –1 2) 1 3) 4 4) 0
3. ¶ïÝ»É ³Û¹ Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁݹѳÝáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ:
1) 4 2) 96 3) 6 4) 3
4. ¶ïÝ»É ³Û¹ Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁݹѳÝáõñ µ³½Ù³å³ïÇÏÁ:
1) 384 2) 4 3) 96 4) 144
16. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ø³ÝDZ ³Ý·³Ù ¿ ³Ù»Ý³÷áùñ »é³ÝÇß ÃÇíÁ Ù»Í ³Ù»Ý³÷áùñ »ñÏÝÇß
ÃíÇó:
1) 90 2) 100 3) 9 4) 10
2. ¶ïÝ»É 60-Çó Ù»Í ³Ù»Ý³÷áùñ µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÁ 9-Ç
µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ 1 Ùݳóáñ¹:
1) 61 2) 63 3) 64 4) 73
3. ¶ïÝ»É x:1018:12 ѳٻٳïáõÃÛ³Ý ³ÝѳÛï ³Ý¹³ÙÁ:
1) 15 2) 16 3) 3
7
4)
3
20
4. ÆÝãå»±ë Ï÷áËíÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» Ýí³½»ÉÇÝ Ù»Í³óÝ»Ýù 5-áí,
ÇëÏ Ñ³Ý»ÉÇÝ ÷áùñ³óÝ»Ýù 2-áí:
1) Ï÷áùñ³Ý³ 7-áí 2) Ïٻͳݳ 7-áí
3) Ïٻͳݳ 3-áí 4) Ï÷áùñ³Ý³ 3-áí
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17. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. 咂 3
8 Ù³ëÁ Ýñ³ á±ñ ïáÏáëÝ ¿:
1) 36,5 2) 37,5 3) 40 4) 60
2. ¶ïÝ»É 16,4 3,6 10 ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ:
1) 200 2) 210 3) 52,4 4) 20
3. ÎáÝý»ïÇ Ù»Ï ÏÇÉá·ñ³ÙÝ ³ñÅ» 2400 ¹ñ³Ù: ø³ÝDZ ¹ñ³Ù å»ïù ¿
í׳ñ»É 350 · ÏáÝý»ïÇ Ñ³Ù³ñ:
1) 700 2) 720 3) 800 4) 840
4. ¶ïÝ»É Çñ³ñ ѳçáñ¹áÕ »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, »Ã» Ýñ³Ýó
³ñï³¹ñÛ³ÉÁ 110 ¿:
1) 20 2) 21 3) 25 4) 30
18. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ø³ÝDZ ÏÇÉá·ñ³Ù ¿ 3
4 ïáÝݳÝ:
1) 250 2) 600 3) 700 4) 750
2. úñí³ ï¨áÕáõÃÛ³Ý á±ñ Ù³ëÝ ¿ ϳ½ÙáõÙ 6 ųÙÁ:
1) 0,2 2) 0,25 3) 0,3 4) 0,5
3. 6-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ ù³ÝDZ »ñÏÝÇß ÃÇí ϳ:
1) 18 2) 19 3) 15 4) 14
4. ƱÝã ³ÙµáÕç Ãíáí å»ïù ¿ µ³½Ù³å³ïÏ»É 6
7 Ïáïáñ³ÏÁ, áñå»ë½Ç
ëï³óí³Í ÃÇíÁ Ù»Í ÉÇÝÇ 6-Çó, µ³Ûó ÷áùñ` 7-Çó:
1) 6 2) 9 3) 8 4) 7
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 1 ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ
15
ä²î²êʲÜܺð
Ð/Ð 1 2 3 4
1 1 2 2 1
2 3 1 4 3
3 2 4 1 4
4 1 3 4 3
5 1 2 1 3
6 3 4 3 1
7 2 2 3 3
8 1 1 2 4
9 2 2 4 3
10 3 2 4 2
11 1 3 2 2
12 3 2 1 2
13 3 3 2 3
14 4 3 3 4
15 4 3 1 3
16 4 3 1 2
17 2 3 4 2
18 4 2 3 3
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 2 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
16
´²ÄÆÜ 2. ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ
Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì
²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
1. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 3:6
1:
3
2
2
7
:
1) 6
11 2)
20
3 3)
2
5 4)
6
23
2. 35512
:
1) –4 2) 52 3) 2 4) 152
3. 3
8cos
6sin2 2
:
1) 2
3 2)
2
31 3)
4
13 4)
4
5
4. 3123 242og
:
1) 73 2) 70 3) 34 4) 12log32 2
2. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 5
11
7
3:
5
1
7
2
:
1) 4
5 2) –1 3) 1 4)
7
10
2. 727
84
3
2
:
1) 2 2) 13 3) 3 4) 4
3. 0
00
20cos
10sin50sin :
1)2
3 2) 040sin 3) 1 4)
1
2
4. 5 7log 49 log 0,04 :
1) 4 2) 1 3) –4 4) –8
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 2 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
17
3. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. xyyx
yxyx
22
, »Ã» 13x , 3y :
1) 0,625 2) 13
3 3)
3
13 4) 10
2. a
a
b
b 23 3 427 , »Ã» 0a :
1) 4
13 2 ) 1 3)
4
3 4) 0,75
3. 00 22560sin2
1tg :
1) 3 2) 4
3 3)
4
3 4)
4
6
4. balog , »Ã» 3log5
6
b
ab :
1) 4
3 2)
3
4 3) 8 4)
15
6
4. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 8 2
2 4 2
x x x
x x x
, »Ã» 4x :
1) 4 2) 8 3) 12 4) 0,5
2. 242
12
3
7 4 :
1) 2 2) 5 3) 7 4) 22
3. 0
0
360cos
135tg, »Ã» 060 :
1) 2
1 2) –2 3) 2 4)
2
3
4. 6log55
8lg
4lg16 :
1) 64 2) 8 3) 5 4) 2log5
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 2 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
18
5. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. xxx
xx
42
8:
1) 2 2) x2 3) –2 4) x2
2. 1252205 :
1) 25 2)–40 3) 510 4) 54
3. 02
0
151
1532
tg
tg
:
1) 3 2) 3
3 3) 2 4) 1
4. 1 1
3 1 1lg5 lg 2
:
1) 1 2) 5lg
2lg 3) 3 4) 5log 2
6. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. a
aa
a
a
22
2:
2
, »Ã» 25,0a :
1) 4 2) 1 3) 0,25 4) 0,5
2. 7321322
:
1) 834 2) –8 3) 6 4) –6
3.
2
2arccos1arcsin :
1) 2
2)
4
3)
4
4)
4
5
4. 16log236log 23 :
1) 6 2) 18log 6 3) 2 4) 3
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 2 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
19
7. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 1
1
1 23
23
aa
a
a
aa:
1) a
a
1
1 2) 2a 3) –1 4) 1
2. 752123 :
1) 25 2) 9 3) –24 4) 30
3. 00
0202
48cos30sin
24cos24sin
:
1) 2 2) –2 3) 2
1 4)
2
1
4. 5log9log1 33 93
:
1) 3
5 2) 3 3)
3
1 4)
9
5
8. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 3
25,0
6
21
3
5
:
1) 3
2 2)
6
5 3) –1 4)
3
11
2. 2
4
12
12
:
1) 22 2) 6
5 3) 3 4) 2
3. 2cos , »Ã» 2
1tg :
1) 0,25 2) –0,5 3) 0,6 4) 3
21
4. 31
3131
2
63
:
1) 9 2) 2
9 3) 32 4) 1
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 2 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
20
9. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1© bbb
b
22
2, »Ã»
25
1b :
1) 5a 2) 5 3) 5
1a 4)
5
1
2. 33
12275 :
1) 33
872 2)
3
7 3) 3 4)
3
2
3.
0
00
35sin
5cos65cos3 :
1) 1 2) 3 3) –1 4) 32
4. 4log25log34 54
25log16 :
1) 2 2) –4 3) 5 4) 2
5
10. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 2 1 3 2
: 19 5 9 5
:
1) 4
3 2)
1
3 3) –2 4) 1
2. 3 3 2a a
a
, »Ã» 0a :
1) 2 2) 0 3) –2 4) 2a
3. 0 0 0 08 cos140 cos20 sin140 sin 20 :
1) –4 2) 34 3) 24 4) 4
4. 5log49log10 75
5lg :
1) 6 2) 2 3) 9 4) 4
15
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 2 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
21
11. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 1
1
2
2 22
a
a
a
aa:
1) 2a 2) –1 3) 1 4) a
2. 32413 :
1) 2 2) 3 3) 4 4) 35
3. 0
0202
80sin
)5sin5(cos2 :
1) 0,5 2) 1 3) –4 4) 2
4. calog , »Ã» 2
1log ba
, 4log cb :
1) –8 2) –2 3) 8
1 4)
2
1
12. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. yx
xyyx
22
, »Ã» 4 3x , 4 3y :
1) 8 2) 13 3) 32 4) 16
2. 2
0,53 327 0,125 25
:
1) –2 2) 23 3) 2 4) 1
3. 0
00
20cos
35cos35sin8 :
1) 0,25 2) –4 3) 4 4) 1
4. balog , »Ã» 7log 23 baa :
1) 5
7 2) 5 3)
6
1 4) 2
www.atc.a
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 2 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
22
13. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 2n m
m
, »Ã»
2
5
m
n :
1) 1 2) 1
2 3)
9
2 4) 2
2. 6
32
1
5
255 :
1) 1
5 2) 6
1
5 3) 5 4) 5
3. 0
00
30sin2
15sin75sin :
1) 2
3 2)
4
1 3) 2 4) 015cos
4. 5log3log10 35
9lg :
1) 2
18 2) 7 3)
2
1 4) –2
14. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1.
12
1 1 1
2 3 3
:
1) 13
36 2)
36
13 3) 2 4)
83
36
2. 4 22321 :
1) 4 2) 1 3) 2 4) 4 3
3. 000 1803270sin45cos2 tg :
1) 3 2) 1 3) 2 4) –1
4. lg3
2lg32 log 10 10 :
1) 15 2) 2lg 3) 3 4) 5
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 2 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
23
15. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. ,25
25102
2
a
aa
»Ã»
3
25a :
1) 11 2) 10 3) 4 4) 25
2. 2323|432| :
1) –1 2) 7 3) 1 4) 734
3. 00 210sin135 tg :
1) –1 2) 2
1 3)
2
3 4) 1
4. 1,0lg32log3log 35
2 :
1) 3 2) 2 3) –2 4) 1
16. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 05,725,155
4:25,2
:
1) 1 2) 6
54 3) 0 4) 9,5
2. 84372
:
1) 212 2) 10 3) 84 4) 8410
3. 000 180cos60330sin2 tg :
1) –1 2) 2
31 3) 0 4) 3
4. baclog , »Ã» log 2c b , log 3a c :
1) 2
3 2) 6 3)
3
2 4)
6
1
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 2 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
24
17. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 22 xx , »Ã» 61
xx :
1) 34 2) 6 3) 6
1 4) 36
2. 5,13
1
2227 :
1) 6 2) 7 3) 33 4) 23
3. 02020204 15sin15cos15sin15cos :
1) 4
1 2) 1 3)
4
3 4)
4
3
4. 3log7log32log 734 :
1) 8
1 2) 5 3)
2
7 4) 8
18. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 10
10
x
y, »Ã» 0x y ¨ 0y :
1) 1 2) –1 3) 11 4) 0
2. 4
81log
aa , »Ã» 23log a
:
1) 12 2) 6 3) 4 4) 2
3. bbaa , »Ã» 3 ba ¨ 4ab :
1) 27 2) 45 3) 9 4) 16
4.
sinsin
sin , »Ã» 15ctg ¨ 13ctg :
1) –195 2) 28 3) 2 4) 25
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 2 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
25
19. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 16
919 :
1) 4
34
2)
4
33
3)
4
13 4)
16
910
2.
6
7
5
15
:
1) 1 2) 5 3) 13 4) 42
3. 00 6030cos2 tg :
1) 2 2) 22 3) 13 4) 32
4. 1015log10log15log 666 :
1) 0 2) 1 3) 2 4) 6
20. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. ba
ba
3
9 22
, »Ã» 3,8a ¨ 1,2b :
1) 1 2) 2 3) 3,4 4) –19,5
2.
11 3
1
3
2
3
1
aaa , »Ã» 7a :
1) 6 2) 7 3) 8 4) 14
3. 4 47 7 aa , »Ã» 5a :
1) 0 2) 10 3) –10 4) –25
4. 10ctgtg , »Ã» 9
:
1) 1 2) –1 3) 10 4) 0,1
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 2 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
26
21. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 243 :
1¤ –1 2¤ –9 3¤ –5 4¤ 5
2.
5
4
9
27
:
1¤ –1 2¤ 9 3¤ 1
4¤ –9
3. 91321 :
1¤ 6,7 2¤ 53
3¤ 4 4¤ 5
4. 12121212121log 8422 :
1¤ 0 2¤ 8 3¤ 64 4¤ 16
22. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 4 1
2 0,25 2
:
1) 1 2) 2,5 3) 2 4) 1,5
2. 2
3 2 24 5 :
1) 0 2) 24 3) 2 3 4) 10
3. 0 0 010 170 2sin 60tg tg :
1) 0 2) 1 3) 3 4) 2
4. 3 3
3 3
2log 2 log 4
log 8 log 2
:
1) 2 2) 3log 2
3) 4 4)
32log 2
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 2 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
27
23. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1.
1 0,55 9
7 25
:
1) 2 2) 44
35 3) 3 4)
7
16
2. 2 22
1 2
a a b b
a b
, »Ã» 3,7a , 5,3b :
1)–1,6 2) 9 3) 10 4) –9
3. 0 0 0 0sin90 cos20 cos180 sin70 :
1) 0sin 70 2) 0cos20 3) 1 4) 0
4. 3log 27
3 6log 6 log 9 2 :
1) 9 2) 10 3) 11 4) 29
24. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 11
6
3
9:
1) 3 2) 9
1 3) 9 4)
3
1
2. 35
35154
:
1) 1 2 ) 2 3) 4 4) 154
3. 000 3030420cos ctgtg :
1) 12
3 2) 3
2
1 3) 1,5 4) 2
4. 27log2log
8log
23
2
1
:
1) 1 2) –1 3) 8log3 4) 27log
2
1
www.atc.a
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 2 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
28
25. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 11
12 10
27
3 9:
1) 27 2) 3 3) 1 4) 9
2. 44 0,25 3 4 2 :
1) 7 2) 8 3) 0 4) 2
3. 1
15arccos 10arcsin12 :
1) 0 2) 5 3) 4) 3
4. 3log1
3log45log
5
55
:
1) 15 2) 14
5 3) 1 4) 0
26. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É
72
9 ÃíÇ
1
2 ³ëïÇ׳ÝÁ:
1) 4
3 2)
4
5 3)
3
5 4)
3
5
2. ¶ïÝ»É
2
1log
3 ÃíÇ Ñ³Ï³¹Çñ ÃÇíÁ:
1) 2log 3 2)
3log 2 3) 1
2
log 3 4) 3
1log
2
3. ¶ïÝ»É 2 3 ÃíÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ ÃÇíÁ:
1) 3 2 2) 2 3 3) 2 3 4) 1 1
2 3
4. ¶ïÝ»É 010tg ÃíÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ ÃÇíÁ:
1) 010tg 2) 080tg 3) 080ctg 4) 0cos80
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 2 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
29
27. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 2
1 12
2 4
:
1) 2
16
2)
2
14 3) 6 4) 4
2. 5log 9
5 :
1) 1,4 2) 3 3) 25 4) 81
3. 3arcctgtg :
1) 3
3 2) 3 3)
3
3 4) 3
4. 333 2254 :
1) 3 6 2) 22 3) 4 4) 2
28. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ä³ñ½»óÝ»É aa
aa315
7
72
³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ:
1) a15 2) 1532 aa 3) a215 4) a215
2. ¶ïÝ»É 5 6 1 6 6 5 ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ:
1) 266 2) 1 3) 6101 4) 16
3. ¶ïÝ»É x3 ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ, »Ã» 49 x :
1) 16 2) 2log3 3) 2 4) –2
4. ¶ïÝ»É 000 2020590cos13 ctgtg ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ:
1) 5 2) 18 3) 00 20cos20sin5 4) –8
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 2 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
30
29. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 25213 aa , »Ã» 125,0a :
1) 16 2) 15 3) 17 4) 26
2. 101010
1010
:
1) 11 2) 1010 3) 10 4) 9
3. 000 45390sin24303 ctgtg :
1) 2432 2) 0 3) –24 4) 24
4. a32log 2 , »Ã» 1log 2 a :
1) 6 2) 4 3) 15 4) 31
30. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 5 4
22 5
:
1) 0 2) –15 3) –3 4) 1
2.7x y
x y
, »Ã» 2
y
x :
1) 5 2) 3 3) 15
2 4) 1
3. 2 2
5 1 5 1 :
1) 6 2) 12 3) 0 4) 8
4. 15sin , »Ã» 5
cos3
¨ 3
22
:
1) –10 2) 10 3) 14
9 4)
14
9
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 2 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
31
31. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 3
2
1
1
a
a a
, »Ã»
2
3a :
1¤ 5
3 2¤
1
3 3¤
1
3 4¤ 1
2. 33
38
:
1¤ 3
2 2¤
2
3 3¤
3
4 4¤
4
3
3. x y
z
, »Ã» 3 3 9x y z :
1¤1
2 2¤ 3 3¤ 1 4¤ 2
4. 94 log 27 :
1¤ 8 2¤ 7 3¤ 6 4¤ 12
32. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 236
6
aa
a
:
1¤ –6 2¤ 12 3¤ 6 4¤ 6 2a
2. 3
3
136
4 17:
1¤ 2 2¤ 0,5 3¤ 2,5 4¤ 4
3. 2log 8a , »Ã» 2log 0,2a :
1¤ 0,6 2¤ 0,4 3¤ 2,2 4¤ 3,2
4. 2 25sin 3cos , »Ã» cos 0,1 :
1¤ 4,9 2¤ 4,98 3¤ 4,8 4¤ 4,6
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 2 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
32
ä²î²êʲÜܺð
²/Ð
ºÝó³é³ç³¹ñ³ÝùÇ Ñ³Ù³ñÁ
1 2 3 4
1 3 3 4 1
2 2 4 3 4
3 1 2 3 1
4 2 3 2 1
5 3 2 4 3
6 1 3 4 3
7 4 3 2 1
8 2 3 3 1
9 2 3 2 3
10 1 3 4 1
11 3 1 4 2
12 2 3 3 4
13 2 3 2 2
14 2 2 3 1
15 3 3 2 2
16 3 2 4 1
17 1 2 2 3
18 1 3 2 3
19 3 2 4 2
20 2 1 3 1
21 3 2 4 4
22 4 4 3 1
23 1 2 4 2
24 4 1 3 2
25 2 1 1 3
26 4 1 2 2
27 3 2 1 4
28 3 2 3 1
29 3 1 4 2
30 3 1 2 1
31 2 1 4 3
32 1 2 4 2
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 3 вì²ê²ðàôØܺð
33
´²ÄÆÜ 3. вì²ê²ðàôØܺð
1. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ.
1. 5 3 3 2 4 12x x :
1) 2 2) –3 3) 4 4) 5
2. 0,5 7 0,5x :
1) 15 2) 13 3) 13 ¨ 15 4) 3,5
3. 0,1log 5 10 1x :
1) 0 2) 4 3) 2 4) ³ñÙ³ï ãáõÝÇ
4. 3 7,53 3 3x :
1) 2,5 2) 3,5 3) 3 4) 4
2. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. Üßí³Í ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó áñÇ±Ý ¿ å³ïϳÝáõÙ 5 1 5 11
3 2
x x
ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÁ.
1) 2; 5 2) 5; 7 3) 7; 8 4) 8; 10
2. ¶ïÝ»É 5 7x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
1) 10 2) 12 3) 13 4) 14
3. ¶ïÝ»É 0,4 1,2 2x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÁ:
1) –4 2) –3 3) 0 4) 2
4. ¶ïÝ»É 2 7 32 1x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1) 0 2) 7 3) 2 4) 3
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 3 вì²ê²ðàôØܺð
34
3. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. a -Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ 1x -Á ÏÉÇÝÇ 4 3 5a x x
ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÁ:
1) 4 2) 5 3) 5,5 4) 6
2. ¶ïÝ»É 3 7 10 3x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÁ:
1) –1 2) 2 3) 3 4) –2
3. ¶ïÝ»É 9 81 3x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÁ:
1) 2 2) 3 3) 4 4) 0
4. ÈáõÍ»É 0,2log 7 3 2x ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) 1 2) ³ñÙ³ï ãáõÝÇ 3) –1 4) –6
4. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ.
1. 5 3 8 3x x x :
1) 13 2) –3 3) –3 ¨ 13 4) 3
2. 15 2 5x :
1) 5 2) 0 3) 4 4) –5
3. 5 2log 3 20 log 4x :
1) 15 2) 8 3) 9 4) 5
4. 2
cos4 2
x :
1) 8 ,k k Z 2) ,16 2
kk Z
3) 4 ,k k Z 4) 8 ,k k Z
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 3 вì²ê²ðàôØܺð
35
5. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ.
1. 25
xx :
1) –5 ¨ 5 2) –5 3) 5 4) 25
2. 4 4x x :
1) 4 2) 0 ¨ 4 3) ; 4 4) ; 4
3. 33
xtg :
1) ,2
k k Z
2) 3 ,k k Z
3) 6 ,k k Z 4) 2 ,2
k k Z
4. 4
5 3 9x
:
1) 4 2) 8 3) 14 4) 20
6. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ.
1. 2 4
01
x
x
:
1) 2 2) –2 ¨ 2 3) –2 4) ³ñÙ³ï ãáõÝÇ
2. 7 3
0,2 25x :
1) 0 2) 3 3) –1 4) 1
3. 2
7 8 1 0log x x :
1) 0 2) 8 3) 0 ¨ 8 4) ³ñÙ³ï ãáõÝÇ
4. 22sin 12
x :
1) ,k k Z 2) ,2
k k Z
3) 2 ,k k Z 4) 2 ,2
k k Z
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 3 вì²ê²ðàôØܺð
36
7. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ.
1. 1
2xx
:
1) 2 2) 1 3) –1 4) ³ñÙ³ï ãáõÝÇ
2. 2 7 7 1x x :
1) 1 ¨ 6 2) 6 3) ³ñÙ³ï ãáõÝÇ 4) –1
3. 3 17 8 3x x :
1) –1 2) 1,5 3) 2 4) ³ñÙ³ï ãáõÝÇ
4.
8 3 10 35 9
9 5
x x
:
1) ³ñÙ³ï ãáõÝÇ 2) 2 3) 3 4) 0
8. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ.
1. 463 5
x xx :
1) 10 2) 20 3) 24 4) 30
2. 5 9 13x x :
1) –1 2) 15 3) ³ñÙ³ï ãáõÝÇ 4) 17
3. 34 4 16,25x x :
1) 0 2) –1 3) 1 4) 2
4. 2 5 lg 3 0x x x :
1) 2 ¨ 5 2) 0 ¨ 5 3) 0; 2 ¨ 5 4) 0 ¨ 2
www.atc.a
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 3 вì²ê²ðàôØܺð
37
9. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ.
1. 3 1
7 3
x
x
:
1) 4 2) –4 3) –4 ¨ 4 4) 0
2. 12 4 9 3x :
1) 0 2) 4 3) –1 4) 10
3. 3sin cosx x :
1) ,k k Z 2) ,3
k k Z
3) ,6
k k Z
4) 2 ,6
k k Z
4. 13 5 45x x :
1) 0 2) 1 3) 2 4) –1
10. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 8 3 7x x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
1) 8 2) –7 3) 11 4) 12
2. Üßí³ÍÝ»ñÇó á±ñ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ »Ý ·ïÝíáõÙ 7 5 5x
ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ.
1) 1; 0 2) 1
; 12
3) 1; 3 4) 0; 1,5
3. ¶ïÝ»É cos2 1x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ 3 ; 3
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
1) 6 2) 7 3) 3 4) 4
4. ¶ïÝ»É 2 11 7,53 3x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1) 11 2) 7,5 3) –7,5 4) 7
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 3 вì²ê²ðàôØܺð
38
11. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 3 15 3x x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
1) 15 2) –45 3) 45 4) 12
2. Üßí³ÍÝ»ñÇó á±ñ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ »Ý ·ïÝíáõÙ 7 3 4x
ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ.
1) 0; 2 2) 1; 3 3) 1; 2 4) 0; 3
3. ¶ïÝ»É sin 4 0x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ 0; 2
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
1) 4 2) 6 3) 8 4) 9
4. ¶ïÝ»É 2 13 102 64x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1) –10 2) –16 3) 10 4) –13
12. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 2 18 4x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÙÇçÇÝ
Ãí³µ³Ý³Ï³ÝÁ:
1) –18 2) 18 3) 9 4) –2
2. ¶ïÝ»É 5 8 4x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1) 6 2) 4 3) 3 4) 2
3. ¶ïÝ»É sin8 1x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ 0;
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
1) 4 2) 3 3) 2 4) 1
4. ÈáõÍ»É 23log 5 16 log 16x ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) 4 2) 2 3) 1 4) 0
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 3 вì²ê²ðàôØܺð
39
13. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 13 15 7x x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÙÇçÇÝ
Ãí³µ³Ý³Ï³ÝÁ:
1) 14 2) –14 3) 28 4) –28
2. ¶ïÝ»É 5 2 3 10x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1) 6 2) 12 3) –6 4) –10
3. ¶ïÝ»É cos8 1x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ;2 2
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
1) 1 2) 3 3) 4 4) 5
4. ÈáõÍ»É 2lg 2 36 log 2x ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) 5 2) 6 3) 8 4) 0
14. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ø³ÝDZ ³ñÙ³ï áõÝÇ 2 27 9 0x x ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
2. ¶ïÝ»É 2 3 5 12x x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ:
1) 2 ¨ 6 2) 2 3) 6 4) –2 ¨ –6
3. Üßí³ÍÝ»ñÇó á±ñ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¿ ·ïÝíáõÙ 2 100x ѳí³ë³ñÙ³Ý
³ñÙ³ïÁ.
1) 49; 50 2) 10; 11 3) 6; 7 4) 5; 6
4. ¶ïÝ»É c 2 1tg x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ÛÝ ³ñÙ³ïÁ, áñÁ å³ïϳÝáõÙ ¿
0;2
ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ:
1) 8
2)
6
3)
3
8
4)
3
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40
15. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ø³ÝDZ ³ñÙ³ï áõÝÇ 2 25 1 1 0x x x ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) 2 2) 3 3) 4 4) 0
2. ¶ïÝ»É 2 5 3 7x x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ:
1) 1 ¨ 7 2) 1 3) 7 4) 8
3. Üßí³ÍÝ»ñÇó á±ñ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¿ ·ïÝíáõÙ 5 1000x ѳí³ë³ñÙ³Ý
³ñÙ³ïÁ.
1) 100; 300 2) 10; 15 3) 8; 9 4) 4; 5
4. ¶ïÝ»É 2 3tg x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ÛÝ ³ñÙ³ïÁ, áñÁ å³ïϳÝáõÙ ¿
;2
ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ:
1) 5
6
2)
3
4
3)
2
3
4)
16. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 2 25 7 1 0x x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
1) 5 7 2) 5 7 3) 7 4) 5 1
2. ¶ïÝ»É 2 15 15x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÙÇçÇÝ
Ãí³µ³Ý³Ï³ÝÁ:
1) 15 2) –15 3) –7,5 4) 7,5
3. ¶ïÝ»É 1
cos2
x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ÛÝ ³ñÙ³ïÁ, áñÁ ·ïÝíáõÙ ¿
; 2 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
1) 7
6
2)
5
4
3)
4
3
4)
5
3
4. ¶ïÝ»É 2
3 7 1 3log x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
1) 28 2) –28 3) 7 4) –7
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41
17. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 2 23 10 3 0x x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ
·áõÙ³ñÁ:
1) 3 10 2) 3 10 3) 10 4) 3 3
2. ¶ïÝ»É 5 7x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÙÇçÇÝ Ãí³µ³Ý³Ï³ÝÁ:
1) 10 2) –5 3) 4 4) 5
3. ¶ïÝ»É 2
sin2
x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ÛÝ ³ñÙ³ïÁ, áñÁ ·ïÝíáõÙ ¿
3;
2
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
1) 2) 7
6
3)
5
4
4)
4
3
4. ¶ïÝ»É 2
4 2 9 0,75 1log x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ
·áõÙ³ñÁ:
1) 9 2) –9 3) –1,5 4) 4,5
18. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ø³ÝDZ ³ñÙ³ï áõÝÇ 2 29 8 0x x x ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
2. ¶ïÝ»É 8 7 4 2x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÙÇçÇÝ
Ãí³µ³Ý³Ï³ÝÁ:
1) 8 2) 7 3) 7,5 4) 15
3. ÈáõÍ»É 2sin 2sinx x ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) ; 1 ,6
kk k k Z
2) 2 ,k k Z
3) 4) ,k k Z
4. ¶ïÝ»É 31 28 4x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÁ:
1) 1 2) 7
11 3) –1,5 4)
17
13
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 3 вì²ê²ðàôØܺð
42
19. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ø³ÝDZ ³ñÙ³ï áõÝÇ 2 26 9 16 0x x x ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
2. ¶ïÝ»É 2 24 9 3x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÙÇçÇÝ
Ãí³µ³Ý³Ï³ÝÁ:
1) 0 2) 24 3) 12 4) 6
3. ÈáõÍ»É 22cos 3cosx x ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) 2
; arccos 2 ,2 3
k k k Z
2) 2 ,2
k k Z
3) ,2
k k Z
4) ³ñÙ³ï ãáõÝÇ
4. ¶ïÝ»É
3 2
2 11125
5
x
x
ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÁ:
1) 1 2) 1
2 3)
2
3 4)
1
12
20. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ.
1. 1451 x :
1) 9 2) 25
169 3) –9 ¨ 9 4) 3
2. 4 22 3 0x x :
1) –1 ¨ 3 2) –1 ¨ 1 3) 3, 3 4) 1, 1, 3, 3
3. 110 10 0,11x x :
1) 0 2) –1 3) 1 4) 10
4. 2 3sin 2
4x :
1) Zkk ,26
2) Zkk ,23
3) Zkk
,26
4) Zkk ,
3
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43
21. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ÈáõÍ»É 2 1
3 5x
ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) 5,5 2) 7 3) 13 4) 5
23
2. ÈáõÍ»É 13 5 75x x ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) ³ñÙ³ï ãáõÝÇ 2) 2 3) 6 4) 5
3. ÈáõÍ»É 3log ( 4)3 3 2
x xx
ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) ³ñÙ³ï ãáõÝÇ 2) –1 3) 3 4) –1 ¨ 3
4. ¶ïÝ»É xx cos3sin ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ÛÝ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ, áñáÝù
µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý sin 0x å³ÛÙ³ÝÇÝ:
1) Znn ,23
2) Znn ,2
3
2
3) Znn ,23
4
4) Znn ,2
6
5
22. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ.
1. 3 2,5 15x :
1) 2,5 2) 7,5 3) 5 4) –2,5
2. 3
1 54
x :
1) –7 ¨ 7 2) 16
3 3) 8 4)
16
3 ¨ 8
3. 0,25log 3 2x :
1) –5 2) 13 3) 3; 4) 19
4. 2 23 27x x :
1) 1 2) –3 ¨ 1 3) –1 ¨ 3 4) 3
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44
23. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ.
1. xx 1 :
1¤ 1 2¤ ;0 3¤ ;1 4¤ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ
2. 1 115 3 3 54x x :
1¤ 1 2¤ 0 3¤ 3 4¤ –1
3. 2 3 2 4x x :
1¤ 3 2¤ 2 3¤ 18 4¤ 3 ¨ 18
4. lg 4
4 1x
x
:
1¤ 1 2¤ 5 3¤ 14 4¤ 14 ¨ 4,1
24. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ.
1. xx 22 :
1¤ 1 2¤ ;1 3¤ ;0 4¤ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ
2. 1 15 15 5 250x x :
1¤ 1 2¤ 2 3¤ 3 4¤ –1
3. 4 3 4 4x x :
1¤ 5 2¤ 20 3¤ 4
4¤ 5 ¨ 20
4. lg 6
6 1x
x
:
1¤ 5 2¤ 6 3¤ 7 4¤ 16 ¨ 6,1
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45
25. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ.
1. 13 4 0, 25
x x :
1) 0 2) 0,5 3) 5
4 4)
3
5
2. 2
1
2
( 2) 1log x :
1) –2 ¨ 2 2) 3 ¨ 3 3) –1 ¨ 1 4) –1 ¨ 2
3. sin 2 2cos 0x x :
1) 2 ,2
n n Z
¨ ,n n Z 2) ,2
n n Z
3) 2 ,2
n n Z
4) ,n n Z
4. 3 1x :
1) –2 ¨ 2 2) 4 3) ³ñÙ³ï ãáõÝÇ 4) 16
26. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ.
1. 2 13
016
x x
x
:
1) 0 ¨ 13 2) 0 3) 13 4) ³ñÙ³ï ãáõÝÇ
2. 3 107 1x x :
1) 0 ¨ 1 2) 2 3) 0 ¨ 2 4) ³ñÙ³ï ãáõÝÇ
3. 3sin sin 0x x :
1) 2 ,k k Z 2) ,2
k k Z
3) ,k k Z 4) 2 ,k k Z
4. 2
0,2log 21
5
x x
x
:
1) 0 2) 0 ¨ 3 3) 3 4) 2
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46
27. îñí³Í ¿ 2 2cos 3 sin 3 1x x ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ:
1) Zkk , 2) Zkk ,36
3) Zkk ,2
4) Zkk ,
6
2. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³Ù»Ý³÷áùñ ¹ñ³Ï³Ý ¨ ³Ù»Ý³Ù»Í
µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÙÇçÇÝ Ãí³µ³Ý³Ï³ÝÁ:
1) 6
2)
2
3) –1 4) 0
3. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ 3
;4 2
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
1) 3 2) 1 3) 4 4) 2
4. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ÛÝ µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÙ³ïÁ, áñÁ Ãí³ÛÇÝ
³é³ÝóùÇ íñ³ 4
3 Ï»ïÇó áõÝÇ ³Ù»Ý³÷áùñ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ:
1) 6
2)
7
6
3)
5
6
4)
2
28. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ.
1. 33
11 xx :
1) 3
1
2) 1,5 3) 3 4) 0
2. 13 19 10x :
1) ³ñÙ³ï ãáõÝÇ 2) 28 3) 5 4) –1
3. 23log)56(log3 xx :
1) 1 ¨ 4 2) 5 3) 1 ¨ 5 4) 4
4. 02 tgxx :
1) 2
;,
Znn 2) ; 0 3) 2
4) 0
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47
29. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ.
1.
332
37
x
x:
1) 5 2) –5 3) 7 4) –4
2. 782 xx :
1) 1 ¨ 7 2) –1 ¨ 7 3) –7 ¨ 1 4) –7 ¨ –1
3. 55 5,194 x :
1) 4
19 2) –5 3) 5 4) 3,5
4. 1215log 5,0 x :
1) 4,4 2) 4,3 3) 5,4 4) 4,6
30. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ.
1. 45
84
x:
1) 5 2) 4 3) –5 4) 7
2. 5158 x :
1) 2,5 2) 4 3) 5 4) 6
3. 2557 x :
1) 7 2) 6 3) 5 4) 2
4. 12cos x :
1) Zkk ,4
2) Zkk ,2
3) Zkk ,2 4) Zkk ,
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48
31. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 0172 xx ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
1) –1 2) 7 3) –7 4) 3,5
2. ¶ïÝ»É 753 x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÁ:
1) 3
5 2) 18 3) –18 4)
3. ¶ïÝ»É 17 104 x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÁ:
1) 4
11 2) –2,5 3) 3 4) 2,5
4. ¶ïÝ»É 33
xtg ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ:
1) Zkk ,6
2) Zkk ,
3) Zkk ,2 4) Zkk ,6
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 3 вì²ê²ðàôØܺð
49
ä²î²êʲÜܺð
²/Ð
ºÝó³é³ç³¹ñ³ÝùÇ Ñ³Ù³ñÁ
1 2 3 4
1 2 3 2 3
2 3 1 2 4
3 3 4 3 4
4 3 4 1 4
5 1 4 2 3
6 3 2 3 2
7 2 3 2 3
8 4 3 2 4
9 3 1 3 3
10 3 4 2 4
11 4 3 4 2
12 3 4 1 2
13 1 3 4 2
14 2 3 3 3
15 1 3 4 3
16 3 4 3 3
17 3 4 3 4
18 2 3 4 4
19 1 3 3 4
20 1 3 2 3
21 3 2 2 2
22 4 4 2 3
23 4 3 3 2
24 4 3 2 3
25 1 1 2 2
26 4 2 3 3
27 2 4 1 3
28 4 3 2 4
29 2 1 3 4
30 4 3 3 4
31 3 4 4 2
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 4 ²Üвì²ê²ðàôØܺð
50
´²ÄÆÜ 4. ²Üвì²ê²ðàôØܺð
1. ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ.
1. 5 8 8 9
4 5
x x :
1) ; 2 2) ; 1,75 3) ; 1,75 4) 1,75;
2. 5 12 13x :
1) ; 5 2) [2,4; ) 3) 2,4; 5 4) 2,4; 5
3. 2 9
0,7516
x :
1) 4; 2) 2; 3) ; 4 4) ; 4
4. lg 25 2x :
1) ; 125 2) 25; 125 3) 25; 125 4) 25;
2. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ³Ù»Ý³÷áùñ ³ÙµáÕç ÉáõÍáõÙÁ.
1. 2 6x x :
1) 0 2) 1 3) ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ 4) –5
2. 7 3 14x :
1) 0 2) –2 3) –4 4) 1
3. 0,1log 8 1x :
1) 9 2) ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ 3) 8 4) 19
4. 2 50
04
x
x
:
1) ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ 2) –7 3) –4 4) –3
www.atc.a
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 4 ²Üвì²ê²ðàôØܺð
51
3. ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ.
1. 2 4x x :
1) ; 4 2)[0;4] 3) 4; 0 4) ( ; 4] [0; )
2. 12 5 2 2x x :
1) ; 2 2) ; 2 3) 1; 2 4) 1; 2
3. 9 13x x :
1) 2) 0; 3) 0; 4) ; 0
4. 16 3log 20 2 log 3x :
1) 0; 8 2) 8; 3) ( ;10) 4) ; 8
4. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ÈáõÍ»É 5 2 11 5 3x x x x ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) ; 14 2) 5; 14 3) 5; 14 4) ; 14
2. ¶ïÝ»É 6 7x ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ µáÉáñ ³ÙµáÕç
Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
1) 7 2) 13 3) 9 4) 15
3. ¶ïÝ»É 13 2 4x ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ ³Ù»Ý³Ù»Í
³ÙµáÕç ÃÇíÁ:
1) 4 2) 6 3) 5 4) 8
4. ¶ïÝ»É 287 1x x ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ
å³ïϳÝáÕ µáÉáñ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
1) 28 2) –36 3) 36 4) –28
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 4 ²Üвì²ê²ðàôØܺð
52
5. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ µáÉáñ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ
ù³Ý³ÏÁ.
1. 2 10x x :
1) 10 2) 9 3) 8 4) 11
2. 2 7 3x :
1) 4 2) 3 3) 2 4) 7
3. 2
2 20x :
1) 3 2) 4 3) 5 4) 6
4. 2l g 2 10 6o x :
1) 20 2) 30 3) 31 4) 32
6. ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ.
1. 5
0x
x
:
1) ( ;0) 2) 0; 5 3) 0; 5 4) ( ;5]
2. 2 18 6x :
1) 9; 27 2) ; 27 3) 9;12 4) 9; 27
3. 3,5 3
0,752
x :
1) ; 3 4;
2) ; 4
3) 3; 4 4) 3; 4
4. 0,9log 13 4 0x :
1) 3; 3,25 2)7
;2
3) ; 3 4) 0; 3
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 4 ²Üвì²ê²ðàôØܺð
53
7. ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ.
1. 5 3 4 2 6x x :
1) 22
;3
2) 22
;3
3)
22;
3
4)
3;
22
2. 5 7 8x :
1) ; 0,2 2) 3) 1,4; 4) ( ; )
3. 27 3x :
1) ; 2 2) 2; 7
3) 2; 2 4) 2; 2
4. 6 6log 17 2 log 1x x :
1) 6; 2) 6; 3) 6; 8,5 4) 6; 8,5
8. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ áã
µ³ó³ë³Ï³Ý ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ.
1. 9 5
8 3
x x :
1) 7 2) 6 3) 5 4) 4
2. 5 11 44x :
1) 11 2) 12 3) 15 4) 3
3.
2 131
813
x
:
1) 7 2) 4 3) 3 4) 2
4. lg 5 15 2x :
1) 22 2) 21 3) 20 4) ³Ýí»ñç ß³ï
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 4 ²Üвì²ê²ðàôØܺð
54
9. ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ.
1. 2 9 4 0x x :
1) 3; 4 2) 3; 4 3) ; 4 4) ; 4
2. 2 2
0x
x
:
1) 2) 2; 0 0; 2
3) 2; 0
4) 0; 2
3. 5 1x :
1) ; 0 2) 0 3) 4) 1; 1
4. lg 8 45 lgx x :
1) 5; 2) 5; 3) 4) ; 0
10. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 4 7 0x x ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ µáÉáñ
³ÙµáÕç Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
1) 22 2) 20 3) 16 4) 15
2. ¶ïÝ»É 3 7 9x ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ µáÉáñ ³ÙµáÕç
Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1) 120 2) 24 3) 0 4) 20
3. ¶ïÝ»É 2 152 4x x ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ ³Ù»Ý³Ù»Í
³ÙµáÕç ÃÇíÁ:
1) 5 2) 7 3) 6 4) 4
4. ÈáõÍ»É 5log3 5 8
xx ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) 4;
2) 4; 0 0;
3) 0; 4) 0;
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 4 ²Üвì²ê²ðàôØܺð
55
11. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 07
x
x
³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ µáÉáñ ³ÙµáÕç
Ãí»ñÇ ÙÇçÇÝ Ãí³µ³Ý³Ï³ÝÁ:
1) 3 2) 3,5 3) 4 4) 6
2. ¶ïÝ»É 8 7x ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ ³Ù»Ý³Ù»Í ¨
³Ù»Ý³÷áùñ Ãí»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ:
1) 15 2) 14 3) 7 4) 6
3. ÈáõÍ»É 2 20,125 64x x
³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) 2) ; 3) 2; 4) 0;
4. ÈáõÍ»É 5 3log 0,7 log 5 0x ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) 6; 2) 6; 3) 5; 6 4) 5; 6
12. ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ.
1. 22 5 x :
1) ; 2)
3) 4; 4) 5;
2. 2 12 0x x :
1) ; 3 4;
2) 4; 4
3) ; 4 4; 4) 3;4
3. 06log 7,0 x :
1) ;5 2) 6;5
3) 6; 4) 5;
4. 029 22 xctgx :
1) 3;00;3 2) 3;3
3) ;33; 4) 3;
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 4 ²Üвì²ê²ðàôØܺð
56
13. ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ.
1. )1(5)1(3 xx :
1) 1; 2) ;1 3) 4; 4) ;4
2. 11 x :
1) 2;0 2) 0; 3) 2; 4) 2;1
3. 3
13 x :
1) 1; 2) ;1 3) ; 4) ;1
4. 0)9(
)4( 2
xx
x :
1) 9;44;0 2) 9;0
3) ;90; 4) ;940;
14. îñí³Í »Ý 6 12a ¨ 3 2b ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É a b ·áõÙ³ñÇ µáÉáñ Ñݳñ³íáñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
1) 3; 10 2) 9; 14 3) 8; 15 4) 9; 10
2. ¶ïÝ»É a b ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý µáÉáñ Ñݳñ³íáñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
1) 9; 14 2) 8; 15 3) 9; 10 4) 3; 10
3. ¶ïÝ»É ab ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ µáÉáñ Ñݳñ³íáñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
1) 24; 18 2) 12; 36 3) 36; 12 4) 3; 10
4. ¶ïÝ»É a
b ѳñ³µ»ñáõÃÛ³Ý µáÉáñ Ñݳñ³íáñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
1) 2; 6 2) 3; 4 3) 6; 2 4) 4; 3
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 4 ²Üвì²ê²ðàôØܺð
57
15. ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ.
1. 25x x :
1) 0;5 2) 5; 3) ; 0 4) 0; 5
2. 2 5x :
1) 3; 2 2) ; 2 3) 3; 4) 3; 2
3. 1 1
2 8
x
:
1) ; 3 2) 3; 3) 3; 4) 1; 3
4. 124
1log 25,0
x :
1) ; 7 2) 8; 7 3) 7; 4) 8;
16. ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ.
1. 12 x :
1) ; 2¤ ;1 3¤ 1;1 4¤ ;11;
2. 3 5
x x :
1¤ 2¤ ; 0 3¤ 0; 4¤ 3; 5
3. 2 6
02
x
x
:
1¤ ; 3 2¤ 3; 2
3¤ 2;
4¤
4. 2 13 2x :
1¤ 2¤ 3; log 2 1
3¤ 3log 2 1;
4¤ 3 31 log 2; 1 log 2
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 4 ²Üвì²ê²ðàôØܺð
58
17. ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ.
1. 2
42
2
x x :
1) 2 2) ; 2 3) 4) ;
2. 2
2
2 log 3 1x
:
1) 2;
2) 2;
3) ; 2
4) ; 2
3. 8sin 3 1 0
7x
:
1) ; 3
2) 3) 2;
4) ; 2
4. 3
3 3x
:
1) 2; 4
2) ;
3) 4) ; 2 4;
18. ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ.
1. 4 4 1
3 2
x x :
1) 1
;2
2) 1
;2
3) 1
;2
4)
1;
2
2. 4x x :
1) ; 2 2) ; 2 3) 4; 2 4) 4; 2
3.
10,125
64
x :
1) ; 2 2) 2; 3) 2; 4) 0;
4. 9 4log 7 log 2x :
1) 7; 2) 9; 3) 10; 4) 10;
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 4 ²Üвì²ê²ðàôØܺð
59
19. ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ.
1. xx 235 :
1) 5; 2) 0;5 3) 1;0 4) ;1
2. 122 11 xx :
1) 2) 0; 3) 1;0 4) ;1
3. 21log 2 x :
1) 2) 1; 3) 5;1 4) ;5
4. 2 1x :
1) 1; 3 2) ;31; 3) 1; 1
4) 3;
20. ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ.
1. 155 xx :
1) 0;
2) ;0 3)
4
1; 4) ;4
2. 63323 2 xx :
1) 0;
2) 4; 3) 2; 4) 1;
3. 322 xx :
1) 1;3
2) 3;1 3) ;13; 4) ;31;
4. xx 12 :
1) 1;
2) ;1 3) ;1 4) ;
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 4 ²Üвì²ê²ðàôØܺð
60
21. ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ.
1. 5 4 1
4 2
x x :
1) ; 0,5 2) ; 3,5 3) ; 1,5 4) 1,5;
2. 3 12 3x :
1) 4; 2) 7; 3) 1; 4) 7;
3.
13 9
2 4
x
:
1) 3; 2) 1; 3) 1; 4) 1;
4. lg 2 6 2x :
1) 53; 2) 3; 3) 47; 4) 53;
22. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ÈáõÍ»É 1
02
x ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) 1; 2) ; 1 3) 1; 4) 1;
2. ¶ïÝ»É 262 x ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ
ù³Ý³ÏÁ:
1) 5 2) 6 3) 10 4) 11
3. ÈáõÍ»É 93 5 x ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) ;7 2) ;3 3) ;7 4) 7;
4. ÈáõÍ»É 272log5 x ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) ;16 2) ;5,3 3) ;5,19 4) ;16
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 4 ²Üвì²ê²ðàôØܺð
61
23. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ÈáõÍ»É 92 x ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) 3;0 2) 3;0 3) 3;3 4) 3;3
2. ÈáõÍ»É 75 x ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) ;12 2) ;5 3) ;54 4) ;54
3. ø³ÝDZ µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿ µ³í³ñ³ñáõÙ 1255 7 x ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
1) 10 2) 9 3) 7 4) ³Ýí»ñç
4. ÈáõÍ»É 4log 3x ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) ; 64 2) 0; 64 3) ; 81 4) 0; 64
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 4 ²Üвì²ê²ðàôØܺð
62
ä²î²êʲÜܺð
²/Ð
ºÝó³é³ç³¹ñ³ÝùÇ Ñ³Ù³ñÁ
1 2 3 4
1 3 4 4 3
2 2 2 1 4
3 3 4 4 4
4 3 2 2 1
5 2 1 3 3
6 3 4 4 3
7 4 2 4 3
8 1 2 2 3
9 4 3 2 3
10 4 3 4 4
11 2 2 2 4
12 4 2 2 1
13 4 1 2 4
14 1 2 3 1
15 1 4 2 3
16 4 3 4 1
17 1 2 1 4
18 4 4 2 3
19 1 2 4 1
20 1 2 4 3
21 3 2 4 1
22 1 4 3 4
23 4 4 2 4
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 5 îºøêî²ÚÆÜ ÊܸÆðܺð
63
´²ÄÆÜ 5. îºøêî²ÚÆÜ ÊܸÆðܺð
1. ²íïáÙ»ù»Ý³Ý ׳ݳå³ñÑÇ ³é³çÇÝ Ï»ëÝ ³Ýó³í 100 ÏÙ/Å
³ñ³·áõÃÛ³Ùµ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ Ï»ëÁ` 90 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ:
²ÙµáÕç ׳ݳå³ñÑÁ Ù»ù»Ý³Ý ³ÝóÝáõÙ ¿ 19 ųÙáõÙ:
1. ֳݳå³ñÑÇ ³é³çÇÝ Ï»ëÝ ³ÝóÝ»Éáõ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ù³ÝDZ
ïáÏáëáí ¿ ³í»ÉÇ »ñÏñáñ¹ Ï»ëÝ ³ÝóÝ»Éáõ ³ñ³·áõÃÛáõÝÇó:
1¤ 11 2¤ 1
119
3¤ 10 4¤ 12
2. ֳݳå³ñÑÇ »ñÏñáñ¹ Ï»ëÝ ³ÝóÝ»ÉÇë í³ÛñÏÛ³ÝáõÙ ù³ÝDZ Ù»ïñ
¿ñ ³ÝóÝáõÙ Ù»ù»Ý³Ý:
1¤ 1500 2¤ 190 3¤ 20 4¤ 25
3. àñù³±Ý ¿ ׳ݳå³ñÑÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1¤ 900 ÏÙ 2¤ 1800 Ù 3¤ 1800 ÏÙ 4¤ 900 Ù
4. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ¿ñ Ù»ù»Ý³ÛÇ ÙÇçÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ ³ÙµáÕç
׳ݳå³ñÑÇÝ:
1¤ 95 2¤ 10 3¤ 190 4¤ 1800
19
2. ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï ß³ñÅáõÙÁ ëÏë»Éáõó Ñ»ïá å³ñ½í»ó, áñ ³ÛÝ
ųٳݳϳѳïí³ÍáõÙ, »ñµ ѻͳÝíáñ¹Ý ³ÝóÝáõÙ ¿ 8 ÏÙ,
ÙáïáóÇÏɳí³ñÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ 20 ÏÙ:
1. ø³ÝDZ ïáÏáëáí ¿ ѻͳÝíáñ¹Ç ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ å³Ï³ë ÙáïáóÇÏ-
ɳí³ñÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÇó:
1) 50 2) 60 3) 40 4) 30
2. ø³ÝDZ ÏÇÉáÙ»ïñ ¿ñ ³Ýó»É ѻͳÝíáñ¹Ý ³ÛÝ å³ÑÇÝ, »ñµ Ùáïá-
óÇÏɳí³ñÝ ³Ýó»É ¿ñ 15 ÏÙ:
1) 8 2) 10 3) 6 4) 7
3. ø³ÝDZ ųÙáõÙ ÙáïáóÇÏɳí³ñÁ ϳÝóÝÇ ³ÛÝ ×³Ý³å³ñÑÁ, áñÁ
ѻͳÝíáñ¹Á ³ÝóÝáõÙ ¿ 5 ųÙáõÙ:
1) 2 2) 3 3) 4 4) 1
4. ø³ÝDZ ÏÇÉáÙ»ïñ ¿ñ ³Ýó»É ÙáïáóÇÏɳí³ñÝ ³ÛÝ å³ÑÇÝ, »ñµ ݳ
30 ÏÙ ³í»ÉÇ ¿ñ ³Ýó»É ѻͳÝíáñ¹Çó:
1) 40 2) 60 3) 30 4) 50
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 5 îºøêî²ÚÆÜ ÊܸÆðܺð
64
3. ¶Ý³óùÁ A -Çó B 600 Ï٠׳ݳå³ñÑÝ Áëï ãí³óáõó³ÏÇ å»ïù ¿
³ÝóÝ»ñ 10 ųÙáõÙ: Þ³ñÅáõÙÝ ëÏë»Éáõó 4 ų٠ѻïá ·Ý³óùÁ C
ϳ۳ñ³Ýáõ٠ѳñϳ¹ñ³µ³ñ 1 ų٠ϳݷݻó, áñÇó Ñ»ïá ³í»-
ɳóÝ»Éáí ݳ˳ï»ëí³Í ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ`ųٳݳÏÇÝ Ñ³ë³í B ϳ۳ñ³Ý:
1. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ¿ ·Ý³óùÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ Áëï ãí³óáõó³ÏÇ:
1) 50 2) 60 3) 70 4) 80
2. ø³ÝDZ ÏÙ ¿ AC Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ:
1) 200 2) 240 3) 280 4) 320
3. ¶Ý³óùÁ CB ׳ݳå³ñѳѳïí³ÍÁ ù³ÝDZ ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ
³Ýó³í:
1) 75 2) 64 3) 68 4) 72
4. ÆÝãù³±Ý Å³Ù³Ý³Ï Í³Ëë»ó ·Ý³óùÝ AB ׳ݳå³ñÑÇ ³é³çÇÝ
Ï»ëÝ ³ÝóÝ»Éáõ ѳٳñ:
1) 4Å 50ñ 2) 5Å 45ñ 3) 5Å 50ñ 4) 5Å
4. سñ½ÇÏÁ, áñÁ ·ÝáõÙ ¿ñ ·ÛáõÕÇó ¹»åÇ Ï³Û³ñ³Ý, ³é³çÇÝ Å³ÙáõÙ
³ÝóÝ»Éáí 3 ÏÙ, ѳßí»ó, áñ ÝáõÛÝ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ß³ñÅí»Éáõ ¹»å-
ùáõÙ 40 ñáå» Ïáõ߳ݳ ·Ý³óùÇó: àõëïÇ Ùݳó³Í ׳ݳå³ñÑÁ
ݳ ³Ýó³í 4 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ¨ ϳ۳ñ³Ý ѳë³í ·Ý³óùÇ
Ù»ÏÝ»Éáõó 45 ñáå» ßáõï:
1. سñ½ÇÏÁ ù³ÝDZ ÏÙ/Å-áí ³í»É³óñ»ó ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ:
1) 3 2) 2 3) 1 4) 0,5
2. ²ñ³·áõÃÛáõÝÝ ³í»É³óÝ»Éáõó Ñ»ïá Ù³ñ½ÇÏÁ ù³ÝDZ ñáå»áõÙ
ѳë³í ϳ۳ñ³Ý:
1) 240 2) 285 3) 300 4) 255
3. ø³ÝDZ ÏÙ ¿ ·ÛáõÕÇó ÙÇÝ㨠ϳ۳ñ³Ý Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ:
1) 17 2) 20 3) 25 4) 18
4. ø³ÝDZ ñáå»áõÙ Ù³ñ½ÇÏÝ ³Ýó³í ׳ݳå³ñÑÇ ³é³çÇÝ Ï»ëÁ:
1) 165 2) 200 3) 150 4) 105
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5. ¶Ý³óùÁ å»ïù ¿ ³ÝóÝ»ñ 2640 ÏÙ: ֳݳå³ñÑÇ ³é³çÇÝ Ï»ëÇ
íñ³ ݳ ͳËë»ó 11 ų٠³í»ÉÇ, ù³Ý ݳ˳ï»ëí³Í ¿ñ ãí³óáõ-
ó³Ïáí ¨, áñå»ë½Ç ųٳݳÏÇÝ ï»Õ ѳëÝ»ñ, ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ
¹³ñÓñ»ó 60 ÏÙ/Å:
1. Àëï ãí³óáõó³ÏÇ ·Ý³óùÁ ׳ݳå³ñÑÇ ³é³çÇÝ Ï»ëÁ ù³ÝDZ
ųÙáõÙ å»ïù ¿ ³ÝóÝ»ñ:
1) 30 2) 33 3) 40 4) 35
2. ¶Ý³óùÁ ù³ÝDZ ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ³Ýó³í ׳ݳå³ñÑÇ
³é³çÇÝ Ï»ëÁ:
1) 40 2) 25 3) 30 4) 35
3. ¶Ý³óùÁ ù³ÝDZ ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ å»ïù ¿ ß³ñÅí»ñ Áëï
ãí³óáõó³ÏÇ:
1) 40 2) 30 3) 20 4) 35
4. ø³ÝDZ ų٠ͳËë»ó ·Ý³óùÝ ³ÙµáÕç ׳ݳå³ñÑÇ íñ³:
1) 16 2) 60 3) 6 4) 66
6. ºÃ» ׳ݳå³ñÑÇ 3
1-Á ½µáë³ßñçÇÏÝ ³ÝóÝÇ áïùáí, ÇëÏ Ùݳó³Í
Ù³ëÁª ѻͳÝíáí, ³å³ ³ÙµáÕç ׳ݳå³ñÑÇ íñ³ ݳ ÏͳËëÇ
1,5 ųÙ: ÆëÏ »Ã» ׳ݳå³ñÑÇ 3
1-Á ݳ ³ÝóÝÇ Ñ»Í³Ýíáí, ÇëÏ
Ùݳó³Í Ù³ëÁª áïùáí, ³å³ ³ÙµáÕç ׳ݳå³ñÑÇ íñ³
ÏͳËëÇ 2 ų٠15 ñáå»:
1. ø³ÝDZ ų٠ÏͳËëÇ ½µáë³ßñçÇÏÁ, »Ã» ³ÙµáÕç ׳ݳå³ñÑÝ
³ÝóÝÇ áïùáí:
1) 4 2) 3 3) 3,5 4) 4,5
2. ø³ÝDZ ų٠ÏͳËëÇ ½µáë³ßñçÇÏÁ, »Ã» ³ÙµáÕç ׳ݳå³ñÑÁ ݳ
³ÝóÝÇ Ñ»Í³Ýíáí:
1) 0,75 2) 1 3) 1,2 4) 1,5
3. ø³ÝDZ ų٠ÏͳËëÇ ½µáë³ßñçÇÏÁ, »Ã» ׳ݳå³ñÑÇ Ï»ëÝ
³ÝóÝÇ áïùáí, ÇëÏ ÙÛáõë Ï»ëÁª ѻͳÝíáí:
1) 1,8 2) 2 3) 1,875 4) 2,5
4. лͳÝíáí ÁÝóݳÉáõ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ù³ÝDZ ³Ý·³Ù ¿ Ù»Í áïùáí
·Ý³Éáõ ³ñ³·áõÃÛáõÝÇó:
1) 2,5 2) 3 3) 3,5 4) 4
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7. ܳí³ÏÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ·»ïÇ Ñáë³ÝùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ 15 ÏÙ/Å ¿, ÇëÏ
Ñáë³ÝùÇÝ Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùµ` 10 ÏÙ/Å:
1. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ¿ ·»ïÇ Ñáë³ÝùÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ:
1) 2 2) 3 3) 5 4) 2,5
2. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ¿ ݳí³ÏÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ Ï³Ý·Ý³Í çñáõÙ:
1) 12,5 2) 10 3) 13 4) 12
3. ¶»ïÇ Ñáë³ÝùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ݳí³ÏÇ 2 ųÙáõÙ ³Ýó³Í ׳ݳå³ñ-
ÑÁ ù³ÝDZ ³Ý·³Ù ¿ Ù»Í ÝáõÛÝ Å³Ù³Ý³Ï³Ñ³ïí³ÍáõÙ Ñáë³ÝùÇÝ
ѳϳé³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùµ Ýñ³ ³Ýó³Í ׳ݳå³ñÑÇó:
1) 2 2) 3 3) 1,5 4) 2,5
4. ø³ÝDZ ų٠ѻïá ݳí³ÏÇ ¨ ɳëïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ 30 ÏÙ,
»Ã» Ýñ³Ýù ß³ñÅí»Ý ÙǨÝáõÛÝ Ý³í³Ù³ïáõÛóÇó ÝáõÛÝ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ:
1) 2 2) 2
25
3) 1
22
4) 3
8. ܳí³ÏÁ ·»ïÇ Ñáë³ÝùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ 90 Ï٠׳ݳå³ñÑÝ ³ÝóÝáõÙ ¿
3 ųÙáõÙ, ÇëÏ Ñáë³ÝùÇÝ Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùµ 80 ÏÙ
׳ݳå³ñÑÁª 4 ųÙáõÙ:
1. ȳëïÁ ù³ÝDZ ųÙáõ٠ϳñáÕ ¿ ³ÝóÝ»É 35 Ï٠׳ݳå³ñÑÁ:
1) 8 2) 6 3) 7 4) 11
2. Î³Ý·Ý³Í çñáõ٠ݳí³ÏÁ ù³ÝDZ ųÙáõ٠ϳñáÕ ¿ ³ÝóÝ»É 125 ÏÙ
׳ݳå³ñÑÁ:
1) 5 2) 2,5 3) 3 4) 6
3. ܳí³ÏÁ ·»ïÇ Ñáë³ÝùÇ Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùµ 7 ųÙáõÙ ù³ÝDZ
Ï٠ϳñáÕ ¿ ³ÝóÝ»É:
1) 140 2) 110 3) 150 4) 120
4. ºÃ» ݳí³ÏÁ ¨ ɳëïÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï A í³ÛñÇó ß³ñÅí»Ý ѳϳ-
é³Ï áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí, ³å³ ù³ÝDZ ų٠ѻïá Ýñ³Ýó Ñ»é³íá-
ñáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ 60 ÏÙ:
1) 2 2) 2,4 3) 2,5 4) 3
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9. ܳí³ÏÇ ë»÷³Ï³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 10 ÏÙ/Å ¿, ÇëÏ ·»ïÇ Ñáë³ÝùÇ
³ñ³·áõÃÛáõÝÁ` 2 ÏÙ/Å:
1. ø³ÝDZ ųÙáõ٠ݳí³ÏÁ Ϸݳ ·»ïÇ ³÷ÇÝ ·ïÝíáÕ ÙÇ Ý³í³Ù³-
ïáõÛóÇó ÙÛáõë ݳí³Ù³ïáõÛóÁ ¨ Ïí»ñ³¹³éݳ, »Ã» ݳí³Ù³-
ïáõÛóÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 24 ÏÙ ¿:
1) 5 2) 4,8 3) 8 4)15
2. ܳí³ÏÁ ù³ÝDZ ųÙáõ٠Ϸݳ ¨ Ïí»ñ³¹³éݳ 24 Ï٠׳ݳå³ñ-
ÑÁ Ï³Ý·Ý³Í çñáõÙ:
1) 5 Å 2) 4,8 Å 3) 4 Å 4) 5,2 Å
3. ¼µáë³ßñçÇÏÝ»ñÁ ݳí³Ïáí áõÕ¨áñí»óÇÝ ·»ïÇ Ñáë³ÝùÇÝ Ñ³Ï³-
é³Ï ¨ í»ñ³¹³ñÓ³Ý: Üñ³Ýù ù³ÝDZ Ï٠ϳñáÕ »Ý Ñ»é³Ý³É,
áñå»ë½Ç ·Ý³ÉÁ ¨ í»ñ³¹³éݳÉÁ ï¨Ç 10 Å:
1) 50 2) 24 3) 48 4) 25
4. ܳí³ÏÇ ¨ ɳëïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 16 ÏÙ ¿: ø³ÝDZ ųÙáõ٠ݳ-
í³ÏÁ ÏѳëÝÇ É³ëïÇÝ, »Ã» ß³ñÅíÇ ·»ïÇ Ñáë³ÝùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ:
1) 2 2) 1,6 3) 1 4) 1,5
10. ¶»ï³÷ÝÛ³ A í³ÛñÇó ѳϳ¹Çñ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí ÙdzųٳݳÏ
¹áõñë »Ï³Ý Ý³í³ÏÝ áõ ɳëïÁ: 2 Å Ñ»ïá ݳí³ÏÁ ѳë³í B í³ÛñÁ,
1 Å ¹³¹³ñ ïí»ó, áñÇó Ñ»ïá Ñ»ï ßñçí»ó ¨ ÉáÕ³ó ¹»åÇ É³ëïÁ:
ܳí³ÏÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ Ï³Ý·Ý³Í çñáõÙ 10 ÏÙ/Å ¿, ÇëÏ Ñáë³ÝùÇ
³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 2 ÏÙ/Å ¿:
1. ø³ÝDZ ÏÙ ¿ AB Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ:
1) 16 2) 20 3) 18 4) 24
2. ܳí³ÏÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ Ñáë³ÝùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ù³ÝDZ ïáÏáëáí ¿
Ù»Í Ý³í³ÏÇ Ñáë³ÝùÇÝ Ñ³Ï³é³Ï áõÝ»ó³Í ³ñ³·áõÃÛáõÝÇó:
1) 100 2) 50 3) 40 4) 100
3
3. ø³ÝDZ ÏÙ ¿ñ ݳí³ÏÇ ¨ ɳëïÇ ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ß³ñÅáõÙÁ
ëÏë»Éáõó 3 Å Ñ»ïá:
1) 30 2) 28 3) 20 4) 22
4. A -Çó ¹áõñë ·³Éáõó ÇÝãù³±Ý Å³Ù³Ý³Ï Ñ»ïá ݳí³ÏÁ ÏѳݹÇåÇ
ɳëïÇÝ:
1) 2,2 Å 2) 3,2 Å 3) 5 Å 12 ñ 4) 4 Å 12 ñ
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11. ºñÏáõ Ñ»ïÇáïÝ A ¨ B í³Ûñ»ñÇó ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Ù»ÏÝ»óÇÝ ÙÇÙ-
Û³Ýó Áݹ³é³ç: 2 ų٠ѻïá Ýñ³Ýù ѳݹÇå»óÇÝ A -Çó 8 ÏÙ ¨
B -Çó 6 ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ Ï»ïáõÙ: ²é³Ýó ϳݷ ³éÝ»-
Éáõ Ýñ³Ýù ß³ñáõݳϻóÇÝ Çñ»Ýó ׳ݳå³ñÑÝ»ñÁ: ²é³çÇÝ
Ñ»ïÇáïÝÁ ѳë³í B ¨ ³ÝÙÇç³å»ë í»ñ³¹³ñÓ³í, »ñÏñáñ¹
Ñ»ïÇáïÝÁ ѳë³í A ¨ ³ÝÙÇç³å»ë í»ñ³¹³ñÓ³í:
1. ø³ÝDZ ÏÙ ¿ A ¨ B í³Ûñ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ:
1) 28 2) 2 3) 14 4) 15
2. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ¿ A -Çó ¹áõñë »Ï³Í Ñ»ïÇáïÝÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ:
1) 3 2) 4 3) 1 4) 2
3. ºñÏñáñ¹ ѳݹÇåáõÙÁ B -Çó ù³ÝDZ ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ï»ÕÇ
áõÝ»ó³í:
1) 6 2) 5 3) 4 4) 10
4. Ø»ÏÝ»Éáõó ù³ÝDZ ų٠ѻïá Ñ»ïÇáïÝ»ñÁ »ñÏñáñ¹ ³Ý·³Ù
ѳݹÇå»óÇÝ:
1) 6 2) 4 3) 2 4) 5
12. A ¨ B í³Ûñ»ñÇ ÙÇç¨, áñáÝó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 62 ÏÙ ¿, A -Çó 30
ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ·ïÝíáõÙ ¿ C ϳ۳ñ³ÝÁ: лͳÝíáñ¹Á
A -Çó C Ù»ÏÝ»ó 12 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ: 30 ñ ³Ýó B -Çó C
Ù»ÏÝ»ó ÙáïáóÇÏɳí³ñÁ:
1. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ å»ïù ¿ ß³ñÅíÇ ÙáïáóÇÏɳí³ñÁ,
áñå»ë½Ç 4 ų٠³Ýó ѳëÝÇ C ϳ۳ñ³Ý:
1) 128 2) 8 3) 4 4) 18
2. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ å»ïù ¿ ß³ñÅíÇ ÙáïáóÇÏɳí³ñÁ,
áñå»ë½Ç C ϳ۳ñ³Ý ѳëÝÇ Ñ»Í³Ýíáñ¹Ç Ñ»ï ÙdzųٳݳÏ:
1) 16 2) 5
64 3) 4 4) 10
3. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ å»ïù ¿ ß³ñÅíÇ ÙáïáóÇÏɳí³ñÁ,
áñå»ë½Ç C ϳ۳ñ³Ý ѳëÝÇ Ñ»Í³Ýíáñ¹Çó 1 Å 10 ñ ßáõï:
1) 18 2) 24 3) 5
192 4) 26
4. ƱÝã ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ å»ïù ¿ ß³ñÅíÇ ÙáïáóÇÏɳí³ñÁ, áñå»ë½Ç
C ϳ۳ñ³Ý ѳëÝÇ ³í»ÉÇ ßáõï, ù³Ý ѻͳÝíáñ¹Á:
1) 16 ÏÙ/Å-Çó ³í»ÉÇ 2)16 ÏÙ/Å-Çó å³Ï³ë 3) 15 ÏÙ/Å 4) 16 ÏÙ/Å
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13. A ù³Õ³ùÇó ¹»åÇ B ù³Õ³ùÁ Ù»ÏÝ»ó µ»éݳï³ñ ³íïáÙ»ù»Ý³Ý
40 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ, ÇëÏ 45 ñáå» ³Ýó A -Çó ÝáõÛÝ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ
Ù»ÏÝ»ó Ù³ñ¹³ï³ñ ³íïáÙ»ù»Ý³Ý` 60 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ, áñÁ
ѳë³í B ù³Õ³ùÁ ¨ í»ñ³¹³ñÓ³í A : سñ¹³ï³ñÁ »ñÏñáñ¹
³Ý·³Ù ѳݹÇå»ó µ»éݳï³ñÇÝ í»ñ³¹³ñÓÇ ×³Ý³å³ñÑÇÝ, áñÇÝ
ÙÇÝ㨠B ù³Õ³ù ѳëÝ»ÉÁ ÙÝáõÙ ¿ñ ³ÝóÝ»É 20 ÏÙ:
1. Æñ Ù»ÏÝ»Éáõó ù³ÝDZ ñáå» Ñ»ïá Ù³ñ¹³ï³ñÝ ³é³çÇÝ ³Ý·³Ù
ѳݹÇå»ó µ»éݳï³ñÇÝ:
1) 80 2) 70 3) 90 4) 60
2. ø³ÝDZ ÏÙ ¿ A ¨ B ù³Õ³ùÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ:
1) 130 2) 190 3) 120 4) 150
3. ²é³çÇÝ Ñ³Ý¹ÇåáõÙÇó ù³ÝDZ ų٠³Ýó Ù»ù»Ý³Ý»ñÁ ÝáñÇó
ѳݹÇå»óÇÝ:
1) 2 2) 2,5 3) 1,5 4) 3
24
4. A -Çó ù³ÝDZ ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ¿ñ ·ïÝíáõÙ Ù³ñ¹³ï³ñÁ`
µ»éݳï³ñÇ B ѳëÝ»Éáõ å³ÑÇÝ:
1) 120 2) 95 3) 140 4) 185
14. ê³ÛÉÇ ³éç¨Ç ³ÝÇíÇ ßñç³Ý³·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ 8 ¹Ù ¿, ÇëÏ Ñ»ï¨Ç
³ÝÇíÇÝÁ` 10 ¹Ù:
1. ²éç¨Ç ³ÝÇíÇ ßñç³Ý³·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨Ç ³ÝÇíÇ »ñϳñáõ-
ÃÛ³Ý á±ñ Ù³ëÝ ¿:
1) 4
5 2)
5
4 3)
3
4 4)
1
2
2. лï¨Ç ³ÝÇíÇ ßñç³Ý³·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ ù³ÝDZ ïáÏáëáí ¿ Ù»Í
³éç¨Ç ³ÝÇíÇ ßñç³Ý³·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÇó:
1) 20 2) 25 3) 120 4) 125
3. 40 Ù»ïñÇ íñ³ ³éç¨Ç ³ÝÇíÁ ù³ÝDZ åïáõÛï ³í»ÉÇ Ïϳï³ñÇ
Ñ»ï¨Ç ³ÝÇíÇó:
1) 1 2) 5 3) 10 4) 12
4. ø³ÝDZ Ù»ïñÇ íñ³ ³éç¨Ç ³ÝÇíÁ 30 åïáõÛï ³í»ÉÇ Ïϳï³ñÇ,
ù³Ý Ñ»ï¨Ç ³ÝÇíÁ:
1) 30 2) 1200 3) 150 4) 120
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15. 30 ¿çÁ Ùáõïù³·ñ»Éáõ ѳٳñ ³ß˳ï³ÏÇóÝ»ñÇó ³é³çÇÝÁ
ͳËëáõÙ ¿ 5Å, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á` 6Å:
1. ø³ÝDZ ¿ç ϳñáÕ »Ý Ýñ³Ýù ÙdzëÇÝ Ùáõïù³·ñ»É 1 ųÙáõÙ:
1) 6 2) 11 3) 5 4) 10
2. ø³ÝDZ ¿ç ÏÙáõïù³·ñÇ ³é³çÇÝ ³ß˳ï³ÏÇóÁ ³ÛÝ
ųٳݳϳѳïí³ÍáõÙ, »ñµ »ñÏñáñ¹Á Ùáõïù³·ñáõÙ ¿ 35 ¿ç:
1) 42 2) 40 3) 25 4) 35
3. ø³ÝDZ ¿ç ¿ Ùáõïù³·ñ»É ³é³çÇÝ ³ß˳ï³ÏÇóÁ, »Ã» Ýñ³Ýù
ѳٳï»Õ Ùáõïù³·ñ»É »Ý 88 ¿ç:
1) 44 2) 42 3) 48 4) 46
4. гٳï»Õ ³ß˳ï»Éáí Ýñ³Ýù ù³ÝDZ ųÙáõÙ ÏÙáõïù³·ñ»Ý 165 ¿ç:
1) 10 2) 12 3) 14 4) 15
16. ºñÏáõ ïñ³Ïïáñ ÙdzëÇÝ í³ñ»óÇÝ ¹³ßïÁ: гÛïÝÇ ¿, áñ ³é³çÇÝ
ïñ³ÏïáñÁ ÙdzÛÝ³Ï ³ß˳ï»Éáõ ¹»åùáõÙ ¹³ßïÁ Ïí³ñÇ 10 ûñáõÙ,
ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á` 15 ûñáõÙ: ²ÙµáÕç ¹³ßïÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ 20 ѳ ¿:
1. ø³ÝDZ ûñáõÙ Ýñ³Ýù í³ñ»óÇÝ ¹³ßïÁ:
1) 4 2) 6 3) 5 4) 3
2. ø³ÝDZ Ñ»Ïï³ñ í³ñ»ó »ñÏñáñ¹ ïñ³ÏïáñÁ:
1) 9 2) 7 3) 6 4) 8
3. ºÃ» ëϽµáõÙ 5 ûñ í³ñÇ ÙdzÛÝ ³é³çÇÝ ïñ³ÏïáñÁ, ³ÛÝáõÑ»ï¨ Ýñ³Ý
Ùdzݳ »ñÏñáñ¹Á, ¨ë ù³ÝDZ ûñ ³Ýó Ýñ³Ýù ÙdzëÇÝ Ï³í³ñï»Ý í³ñÁ:
1) 3 2) 2 3) 1 4) 4
4. ¸³ßïÇ Ï»ëÁ í³ñ»Éáõ ѳٳñ ù³ÝDZ ûñ Ïå³Ñ³Ýçí»ñ, »Ã» ëϽµáõÙ
3 ûñ ³ß˳ï»ñ ÙdzÛÝ ³é³çÇÝ ïñ³ÏïáñÁ, ÇëÏ Ñ»ïá` ÙdzÛÝ
»ñÏñáñ¹ ïñ³ÏïáñÁ:
1) 5 2) 3 3) 6 4) 4
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17. Ìáñ³ÏÝ»ñÇó ³é³çÇÝÁ çñ³í³½³ÝÁ ÉóÝáõÙ ¿ 12 ųÙáõÙ, ÇëÏ
»ñÏñáñ¹Á` 15 ųÙáõÙ:
1. ¸³ï³ñÏ ³í³½³ÝÇ ù³ÝDZ ïáÏáëÁ ÏÉóíÇ, »Ã» 1 ų٠ѳٳï»Õ
·áñÍ»Ý »ñÏáõ Íáñ³ÏÝ»ñÁ:
1) 20 2) 25 3)15 4)10
2. ¸³ï³ñÏ ³í³½³ÝÇ á±ñ ïáÏáëÁ ÏÉóíÇ, »Ã» ³é³çÇÝ Íáñ³Ïáí ÉóíÇ
2 ųÙ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹áí` 5 ųÙ:
1) 70 2) 60 3) 55 4) 50
3. ø³ÝDZ ñáå»áõÙ ÏÉóíÇ ³í³½³ÝÁ, »Ã» »ñÏáõ Íáñ³ÏÝ»ñÁ µ³óí»Ý
ÙdzųٳݳÏ:
1) 400 2)300 3) 350 4)250
4. ¸³ï³ñÏ ³í³½³ÝÁ ³é³çÇÝ Íáñ³Ïáí 4 ų٠ÉóÝ»Éáõó Ñ»ïá, í³½³ÝÇ
Ùݳó³Í Ù³ëÁ ù³ÝDZ ųÙáõÙ ÏÉóíÇ ÙdzÛÝ »ñÏñáñ¹ Íáñ³Ïáí:
1) 8 2) 10 3) 12 4) 9
18. ²é³çÇÝ µñÇ·³¹Ý ³ß˳ï³ÝùÁ ϳñáÕ ¿ ϳï³ñ»É 20 ûñáõÙ:
ºñÏñáñ¹ µñÇ·³¹Ý ³ß˳ïáõÙ ¿ 1,5 ³Ý·³Ù ¹³Ý¹³Õ, ù³Ý
³é³çÇÝÁ:
1. ºñÏñáñ¹ µñÇ·³¹Ý ³é³çÇÝ µñÇ·³¹Çó ù³ÝDZ ïáÏáë ß³ï ųٳݳÏ
¿ ͳËëáõÙ ³Û¹ ³ß˳ï³ÝùÁ ϳï³ñ»ÉÇë:
1) 30 2) 25 3) 20 4) 50
2. ²Û¹ ³ß˳ï³ÝùÁ ù³ÝDZ ûñáõ٠ϳñáÕ ¿ ϳï³ñ»É »ñÏñáñ¹ µñÇ·³¹Á:
1) 15 2) 20 3) 25 4) 30
3. ø³ÝDZ ûñáõ٠ϳñáÕ »Ý ϳï³ñ»É ³ß˳ï³ÝùÁ` »ñÏáõ µñÇ·³¹Á
ÙdzëÇÝ:
1) 12 2) 50 3) 10 4) 15
4. ø³ÝDZ ûñáõ٠ϳí³ñïíÇ ³ß˳ï³ÝùÁ, »Ã» 16 ûñ ³ß˳ïÇ
³é³çÇÝ µñÇ·³¹Á, ÇëÏ ³ß˳ï³ÝùÇ Ùݳó³Í Ù³ëÁ ϳï³ñÇ
ÙdzÛÝ »ñÏñáñ¹ µñÇ·³¹Á:
1) 20 2) 22 3) 21 4) 18
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72
19. ²é³çÇÝ µ³ÝíáñÁ ÙÇ áñáß ³ß˳ï³Ýù ϳñáÕ ¿ ϳï³ñ»É 20
ûñáõÙ, »ñÏñáñ¹Á` 24 ûñáõÙ, ÇëÏ »ññáñ¹Á` 30 ûñáõÙ:
1. ²ß˳ï³ÝùÇ á±ñ ïáÏáëÁ Ïϳï³ñ»Ý »ñ»ù µ³ÝíáñÝ»ñÁ` 2 ûñ
ѳٳï»Õ ³ß˳ï»Éáí:
1) 35 2) 20 3) 30 4) 25
2. ø³ÝDZ ûñáõÙ ³ÙµáÕç ³ß˳ï³ÝùÁ Ïϳï³ñ»Ý »ñ»ù µ³ÝíáñÝ»ñÁ`
ѳٳï»Õ ³ß˳ï»Éáí:
1) 7 2) 8 3) 6 4) 5
3. ø³ÝDZ ûñáõÙ ³ÙµáÕç ³ß˳ï³ÝùÁ Ïϳï³ñ»Ý ³é³çÇÝ ¨ »ññáñ¹
µ³ÝíáñÝ»ñÁ` ѳٳï»Õ ³ß˳ï»Éáí:
1) 10 2) 11 3) 12 4) 9
4. ºÃ» ³é³çÇÝ µ³ÝíáñÝ ³ß˳ïÇ ÙdzÛÝ 5 ûñ, ³ÛÝáõÑ»ï¨ »ñÏñáñ¹
¨ »ññáñ¹ µ³ÝíáñÝ»ñÁ` ѳٳï»Õ ³ß˳ï»Éáí ù³ÝDZ ûñáõÙ
Ïϳï³ñ»Ý ³ß˳ï³ÝùÇ Ùݳó³Í Ù³ëÁ:
1) 10 2) 8 3) 6 4) 11
20. ºñÏáõ µ³Ýíáñ ÙÇ áñáß ³ß˳ï³Ýù ѳٳï»Õ ϳñáÕ »Ý ϳï³ñ»É 4
ųÙáõÙ: ºÃ» ³é³çÇÝ µ³ÝíáñÝ ³ß˳ïÇ 6 ųÙ, ³å³ ³ß˳ï³ÝùÇ
Ùݳó³Í Ù³ëÁ ÙdzÛÝ »ñÏñáñ¹ µ³ÝíáñÁ Ïϳï³ñÇ 1,5 ųÙáõÙ:
1. ²é³çÇÝ µ³ÝíáñÇ 2 ųÙáõ٠ϳï³ñ³Í ³ß˳ï³ÝùÁ ù³ÝDZ
ñáå»áõÙ Ïϳï³ñÇ »ñÏñáñ¹ µ³ÝíáñÁ:
1) 160 2) 140 3) 100 4) 150
2. ø³ÝDZ ųÙáõ٠ϳñáÕ ¿ ³ÙµáÕç ³ß˳ï³ÝùÁ ϳï³ñ»É »ñÏñáñ¹
µ³ÝíáñÁ:
1) 10 2) 9 3) 8 4) 7
3. ø³ÝDZ ñáå»áõ٠ϳñáÕ ¿ ³ÙµáÕç ³ß˳ï³ÝùÁ ϳï³ñ»É ³é³çÇÝ
µ³ÝíáñÁ:
1) 430 2) 480 3) 432 4) 460
4. ø³ÝDZ ųÙáõÙ Ýñ³Ýù ѳٳï»Õ Ïϳï³ñ»Ý ³ÙµáÕç ³ß˳ï³ÝùÁ,
»Ã» ³é³çÇÝÝ ³ß˳ïÇ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ³ñ³·, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á` »ñÏáõ
³Ý·³Ù ¹³Ý¹³Õ:
1) 3,5 2) 2 3) 3 4) 2,5
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73
21. гٳï»Õ ³ß˳ï»Éáí »ñÏáõ µ³Ýíáñ ³é³ç³¹ñ³ÝùÁ ϳñáÕ »Ý
ϳï³ñ»É 12 ûñáõÙ: ºñÏñáñ¹ µ³ÝíáñÇ ³ñï³¹ñáճϳÝáõÃÛáõÝÁ
»ñÏáõ ³Ý·³Ù ÷áùñ ¿ ³é³çÇÝÇ ³ñï³¹ñáճϳÝáõÃÛáõÝÇó:
1. ²ß˳ï»Éáí ³é³ÝÓÇÝ` ³é³çÇÝ µ³ÝíáñÁ ù³ÝDZ ûñáõÙ Ïϳï³ñÇ
³é³ç³¹ñ³ÝùÁ:
1) 8 2) 16 3) 18 4) 36
2. ºñÏñáñ¹ µ³ÝíáñÁ 10 ûñáõÙ ³é³ç³¹ñ³ÝùÇ á±ñ Ù³ëÁ Ïϳï³ñÇ:
1) 8
5
2)
16
5
3)
18
5 4)
36
5
3. ø³ÝDZ ûñ ¿ ³ÝÑñ³Å»ßï »ñÏñáñ¹ µ³ÝíáñÇÝ` ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ ³í³ñ-
ï»Éáõ ѳٳñ, »Ã» ³é³çÇÝ µ³ÝíáñÝ ³ñ¹»Ý ³ß˳ï»É ¿ñ 9 ûñ:
1) 9 2) 18 3) 24 4) 36
4. ø³ÝDZ ûñáõÙ ³é³ç³¹ñ³ÝùÇ 15
4 Ù³ëÁ Ïϳï³ñ»Ý µ³ÝíáñÝ»ñÁ
ÙdzëÇÝ, »Ã» »ñÏñáñ¹ µ³ÝíáñÇ ³ñï³¹ñáճϳÝáõÃÛáõÝÁ ٻͳݳ
20 %-áí:
1) 3 2) 6 3) 9 4) 12
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ä²î²êʲÜܺð
Ð/Ð 1 2 3 4
1 2 4 3 4
2 2 3 1 4
3 2 2 4 3
4 3 4 2 1
5 2 3 1 4
6 2 1 3 4
7 4 1 3 2
8 3 1 1 2
9 1 2 3 2
10 1 2 4 3
11 3 2 4 1
12 2 1 3 1
13 3 2 1 3
14 1 2 3 4
15 2 1 3 4
16 2 4 1 3
17 3 4 1 2
18 4 4 1 2
19 4 2 3 1
20 4 2 3 3
21 3 3 2 1
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´²ÄÆÜ 6. äðà¶ðºêƲܺð
1. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É na Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ³ÛÝ ³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñÁ,
áñÁ ѳí³ë³ñ ¿ 100, »Ã» 1 22, 4a a :
1) 17 2) 18 3) 19 4) 20
2. ¶ïÝ»É na Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ 160-Çó ÷áùñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ
ù³Ý³ÏÁ, »Ã» 1 22, 4a a :
1) 29 2) 28 3) 27 4) 30
3. ¶ïÝ»É nb »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ µáÉáñ ³ÛÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ
ù³Ý³ÏÁ, áñáÝù Ù»Í »Ý 1-Çó, »Ã» 2 540, 5b b :
1) 5 2) 6 3) 7 4) 8
4. ¶ïÝ»É nb »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ³ÛÝ ³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñÁ,
áñÁ ѳí³ë³ñ ¿ 0,625-Ç, »Ã» 2 540, 5b b :
1)10 2) 7 3) 8 4) 9
2. ²×áÕ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ϳ½ÙáÕ »ñ»ù Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 30 ¿:
ºÃ» »ñÏñáñ¹ ÃÇíÁ ÷áùñ³óÝ»Ýù 2-áí, ³å³ Ïëï³Ý³Ýù »ñÏñ³ã³-
÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz:
1. ¶ïÝ»É Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ÙÇçÇÝ ³Ý¹³ÙÁ:
1) 15 2) 4 3) 6 4) 10
2. ¶ïÝ»É Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ:
1) 4 2) 6 3) –6 4) –4
3. ¶ïÝ»É ëï³óí³Í »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ:
1) 0,5 2) –0,5 3) 2 4) –2
4. à±ñ ÃÇíÁ å»ïù ¿ ·ñ»É ëï³óí³Í »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ
»ñÏñáñ¹ ¨ »ññáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÇç¨, áñ ëï³óíÇ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz:
1) 15 2) 13 3) 12 4) 14
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 6 äðà¶ðºêƲܺð
76
3. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿: ¶ïÝ»É
5a -Á, »Ã» 1 8a , ÇëÏ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ` 3d :
1) 20 2) 16 3) 22 4) 27
2. , ,a b c ¨ 10 Ãí»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz, áñÇ
ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ 3 ¿: ¶ïÝ»É k µÝ³Ï³Ý ÃÇíÝ ³ÛÝå»ë, áñ
, , , 10, 13,...,10 3a b c k Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÉÇÝÇ 145:
1) 4 2) 5 3) 6 4) 7
3. x -Ç á±ñ ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ 175 ; 5 ; 25x x
Ãí»ñÁ Ïϳ½Ù»Ý »ñÏñ³ã³-
÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz:
1) 17 2) 19 3) 9,5 4) 18
4. ²Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ·áõÙ³ñÁ 4
3 ¿, ÇëÏ
ѳÛï³ñ³ñÁ` 2
1: ¶ïÝ»É ³Û¹ åñá·ñ»ëdzÛÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ:
1) 3
2 2)
1
8 3)
1
4 4)
3
8
4. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 1 2 3 43 3a a a a ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ, »Ã» na -Á
Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
1) 0 2) 1 3) –3 4) 3
2. 1 ¨ 23 Ãí»ñÇ ÙÇç¨ ·ñí³Í ¿ ÑÇÝ· ÃÇí ³ÛÝå»ë, áñ ëï³óí³Í ѳçáñ-
¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿: ¶ïÝ»É ³Û¹ åñá·ñ»-
ëdzÛÇ ·áõÙ³ñÁ:
1) 60 2) 84 3) 63 4) 120
3. Üßí³ÍÝ»ñÇó á±ñÝ ¿ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz:
1) 3; 9; 18 2) 5; 5; 25 3) 2; –4; –8 4) 0,2; 0,6; 1,8
4. ¶ïÝ»É 4 2
3 2
b b
b b
³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ, »Ã» nb -Á 7
ѳÛï³ñ³ñáí »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
1) 3,5 2) 6 3) 7 4) 8
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77
5. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É na Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ, »Ã»
103 135 aa :
1) 5 2) 7 3) 9 4) 10
2. ¶ïÝ»É 7-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ µáÉáñ »ñÏÝÇß Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
1) 672 2) 714 3) 728 4) 735
3. ¶ïÝ»É nb »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ³ÛÝ ³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñÁ,
áñÁ ѳí³ë³ñ ¿ 48-Ç, »Ã» 31 b , 2q :
1) 2 2) 3 3) 4 4) 5
4. ¶ïÝ»É x -Á, »Ã» 12
x, 12 x , 86 x ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ
»ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
1) 2,5 2) 3 3) 3,5 4) 4
6. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 16; 14,6; … Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ³Ù»Ý³Ù»Í
µ³ó³ë³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÁ:
1) –1,4 2) –1,6 3) –0,8 4) –0,4
2. ¶ïÝ»É 4; 6; … Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ³ÛÝ ³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñÁ,
áñÇ ³ñÅ»ùÁ 34 ¿:
1) 15 2) 16 3) 17 4) 18
3. ¶ïÝ»É »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ãáññáñ¹ ³Ý¹³ÙÁ, »Ã»
4,22 b , 2,195 b :
1) –4,8 2) 17,8 3) 9,6 4) –9,6
4. ²Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ·áõÙ³ñÁ 8 ¿, ÇëÏ
»ñÏñáñ¹ ³Ý¹³ÙÁª 1,5: ¶ïÝ»É ³Û¹ åñá·ñ»ëdzÛÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ:
1) 0,25 2) 0,75 3) 0,25 ¨ 0,75 4) –0,25
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7. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. 1 2 3, , , ...a a a Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛáõÙ
3 7 19a a : ¶ïÝ»É
1 4 6 9a a a a ·áõÙ³ñÁ:
1¤19
2¤ 57
3¤ 38 4¤ 76
2. 1 2 3, , , ...b b b »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛáõÙ
1 1b , 10 40b : ¶ïÝ»É
2 9b b ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1¤ 41
2¤ 40
3¤ 1600
4¤ 1681
3. Æñ³ñÇó ï³ñµ»ñ 1 2 3, ,a a a
Ãí»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý Ãí³µ³Ý³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz, ÇëÏ 1 2 2 3 1 3, ,a a a a a a Ãí»ñÁ` »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz: ¶ïÝ»É »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ:
1¤ 1
2¤ 2
3¤ –2
4¤ 3
4. 1 2 3, , , ...a a a ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿ ¨
ó³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý n ÃíÇ ¹»åùáõÙ 2
2nS n , áñï»Õ nS2 -Á ³Û¹
åñá·ñ»ëdzÛÇ ³é³çÇÝ n2 ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ ¿: ¶ïÝ»É 11 12a a -Á:
1¤ 121 2¤ 10 3¤ 100 4¤ 11
8. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 3
2; ; ...2
Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ áã µ³ó³ë³Ï³Ý
³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
1) 3 2) 4 3) 5 4) 6
2. ¶ïÝ»É 3
2; ; ...2
Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ¨
³Ù»Ý³÷áùñ ¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1) 2 2) 1 3) 3
4 4) 0
3. ¶ïÝ»É 3
2; ; ...2
»ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ:
1) 4
3 2)
1
2 3)
1
2 4)
3
4
4. ¶ïÝ»É 3
2; ; ...2
³Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ
·áõÙ³ñÁ:
1) 4
3 2) 8 3) 4 4) 6
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79
9. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 1 1
; ; ...3 2
Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ 101-ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ:
1) 1
203
2) 18 3) 17 4) 2
163
2. ¶ïÝ»É na Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ³é³çÇÝ 20 ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ
·áõÙ³ñÁ, »Ã» 1 3a ,
7 21a :
1) 800 2) 840 3) 750 4) 700
3. ¶ïÝ»É 20 172 ; 2 ; ... »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ µáÉáñ ³ÛÝ
³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝù Ù»Í »Ý 0,125-Çó:
1) 8 2) 7 3) 6 4) 10
4. nb »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛáõÙ 5 11 14 216b b b : ¶ïÝ»É ³Û¹
åñá·ñ»ëdzÛÇ 10-ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ:
1) 8 2) 6 3) 5 4) 4
10. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É –13; –10; … Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ 12-ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ:
1) 17 2) 20 3) 23 4) 14
2. na Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛáõÙ 15154 aa : ¶ïÝ»É ³Û¹
åñá·ñ»ëdzÛÇ 6-ñ¹ ¨ 13-ñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
1) 11 2) 15 3) 10 4) 4
3. ¶ïÝ»É x -Á, »Ã» x ,10,5
1 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz ¿:
1) 500 2) –250 3) 2 4) 1
50
4. ¶ïÝ»É nb »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ, »Ã»
2
8 11 93b b b :
1) 2
1 2) 2 3)
3
1 4) 3
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80
11. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 18; 16,4; … Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ³Ù»Ý³Ù»Í
µ³ó³ë³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÁ:
1) –1,6 2) –1,2 3) –2,4 4) –4
2. ¶ïÝ»É 3; 5; … Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ³ÛÝ ³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñÁ,
áñÇ ³ñÅ»ùÁ 33 ¿:
1) 17 2) 14 3) 15 4) 16
3. ¶ïÝ»É »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ãáññáñ¹ ³Ý¹³ÙÁ, »Ã»
3 8,4b ,
6 67,2b :
1) 16,8 2) 4,2 3) –33,6 4) –8,4
4. ²Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ·áõÙ³ñÁ 4 ¿, ÇëÏ
»ñÏñáñ¹ ³Ý¹³ÙÁª 1: ¶ïÝ»É ³Û¹ åñá·ñ»ëdzÛÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ:
1) –0,25 2) 0,25 3) –0,5 4) 0,5
12. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É na Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ 41-ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ, »Ã»
11 a , 3d :
1) 110 2) 121 3) 124 4) 127
2. ¶ïÝ»É na Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ³é³çÇÝ ÑÇëáõÝ
³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, »Ã» 1 0,5a , 1
7d :
1) 100 2) 120 3) 200 4) 400
3. ¶ïÝ»É 1 1
; ; ...16 8
»ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ³ÛÝ ³Ý¹³ÙÇ
ѳٳñÁ, áñÁ ѳí³ë³ñ ¿ 2:
1) 7 2) 4 3) 5 4) 6
4. ¶ïÝ»É nb »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ 6-ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ, »Ã»
811 b , 3
1q :
1) 1 2) 3
1 3) 3 4) 9
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 6 äðà¶ðºêƲܺð
81
13. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É na Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ µ³ó³ë³Ï³Ý
³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, »Ã» 15 14, 2a d :
1) 8 2) 7 3) 6 4) 5
2. ¶ïÝ»É 1 7 13
; ; ...3 3 3
Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ 10-ñ¹ ¨ 2-ñ¹
³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ:
1) 3
49 2) 16 3) 49 4) 28
3. ¶ïÝ»É ³Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ·áõÙ³ñÁ,
»Ã» 1
3 1,
2 2b q :
1) 1 2) 1
2 3)
2
3 4) 3
4. ¶ïÝ»É 3 3
; ; ...2 4
»ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ Ûáûñáñ¹ ³Ý¹³ÙÁ:
1) 1
3 2)
3
32 3)
3
128 4) 0,125
14. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É na Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ, »Ã»
5 17a , 10 37a :
1) 2 2) 3 3) 4 4) 6
2. ¶ïÝ»É na Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ 11-ñ¹Çó ÙÇÝ㨠20-ñ¹
³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, »Ã» 2 5a , 4d :
1) 570 2) 820 3) 550 4) 590
3. ¶ïÝ»É ¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí nb »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ
³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ, »Ã» 6 8b , 10 128b :
1) 2 2) 1
2 3) 3 4)
1
4
4. ¶ïÝ»É nb ¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ
µáÉáñ ³ÛÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝù ã»Ý ·»ñ³½³ÝóáõÙ 600-Á,
»Ã» 1
1
4b , 3 1b :
1) 15 2) 10 3) 12 4) 9
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 6 äðà¶ðºêƲܺð
82
15. na Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛáõÙ 3d , 5 40S :
1. ¶ïÝ»É ³Û¹ åñá·ñ»ëdzÛÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ:
1) 1
2 2) 4 3) 2 4) 1
2. ¶ïÝ»É ³Û¹ åñá·ñ»ëdzÛÇ 101-ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ:
1) 290 2) 320 3) 306 4) 302
3. ¶ïÝ»É ³Û¹ åñá·ñ»ëdzÛÇ ³é³çÇÝ 16 ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
1) 840 2) 392 3) 360 4) 320
4. ¶ïÝ»É ³ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í »ñÏÝÇß ÃÇíÁ, áñÝ ³Û¹ åñá·ñ»ëdzÛÇ
³Ý¹³Ù ¿:
1) 95 2) 99 3) 98 4) 96
16. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 100; 97; ĒĒĒ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ 25-ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ:
1) 24 2) 30 3) 28 4) 26
2. ¶ïÝ»É 31; 27; ĒĒĒ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ µáÉáñ ¹ñ³Ï³Ý
³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
1) 150 2) 140 3) 132 4) 136
3. ¶ïÝ»É 2561 b ³é³çÇÝ ³Ý¹³Ùáí ¨ 2
1q ѳÛï³ñ³ñáí »ñÏñ³-
ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ µáÉáñ ³ÛÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝù
³ÙµáÕç Ãí»ñ »Ý:
1) 15 2) 10 3) 12 4) 9
4. nb »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛáõÙ 87 b , ¶ïÝ»É 131 bb
³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1) 64 2) 80 3) 72 4) 60
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83
17. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 0; 5
1; ĒĒĒ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ 101-ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ:
1) 100 2) 25 3) 20 4) 18
2. ¶ïÝ»É 49-Á ã·»ñ³½³ÝóáÕ µáÉáñ Ï»Ýï Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
1) 500 2) 625 3) 620 4) 575
3. nb »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛáõÙ 2432 b , 95 b :
¶ïÝ»É 7b -Á:
1) 3 2) 2 3) 1 4) 9
1
4. ¶ïÝ»É 3
1;
27
1; ĒĒĒ ³Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ
·áõÙ³ñÁ:
1) 4
3 2)
9
2 3)
3
5 4)
8
3
18. гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ 41 a , nn aa2
11 ³éÁÝãáõÃÛ³Ùµ:
1. ¶ïÝ»É ³Û¹ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý 3-ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ:
1) 1 2) 2
1 3) 8 4) 6
2. ¶ïÝ»É ³Û¹ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý 4-ñ¹ ¨ 3-ñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³ñ³µ»-
ñáõÃÛáõÝÁ:
1) 2 2) 2
1 3) 3,5 4) 5
3. ¶ïÝ»É ³Û¹ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³ÛÝ µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ,
áñáÝù Ù»Í »Ý 100
1-Çó:
1) 7 2) 11 3) 9 4) 10
4. ¶ïÝ»É ³Û¹ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ 7 ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
1) 16
127 2)
8
63 3) 12 4) 10
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84
ä²î²êʲÜܺð
²/Ð
ºÝó³é³ç³¹ñ³ÝùÇ Ñ³Ù³ñÁ
1 2 3 4
1 2 3 3 3
2 4 2 3 3
3 1 3 2 4
4 1 2 4 4
5 1 3 4 2
6 3 2 4 3
7 3 2 3 4
8 3 2 4 2
9 3 4 1 2
10 2 2 1 4
11 2 4 1 4
12 2 3 4 2
13 2 2 4 3
14 3 4 4 3
15 3 4 2 3
16 3 4 4 1
17 3 2 3 4
18 1 2 3 1
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85
´²ÄÆÜ 7. üàôÜÎòƲܺð
1. îñí³Í ¿ x
xxf162
ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ½ñáÝ»ñÁ:
1) 3 22 2) 4 3) 4 ¨ 3 16 4) –4 ¨ 4
2. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:
1) 2162 xx 2) 2
162
xx 3) 2162 xx 4)
2
162
xx
3. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÁ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ïáõÙ:
1) –15 2) –4 3) 4 4) 12
4. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ Ýí³½Ù³Ý ÙÇç³Ï³ÛùÁ:
1) 0;2 2) ;0 3) 2; 4) 0;
2. îñí³Í ¿ 1
5
logf x x
ýáõÝÏódzݣ
1© ¶ïÝ»É 2y áõÕÕÇ ¨ f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÇ
³µëóÇëÁ:
1) 0 2) 25 3) 1
25 4) 5 2
2© x -Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ¿ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ·ïÝíáõÙ Ox
³é³ÝóùÇó Ý»ñù¨£
1) 1; 2) 0; 3) ; 1 4) 0; 1
3© 1 , 2 , 3f f f Ãí»ñÁ ¹³ë³íáñ»É Ýí³½Ù³Ý Ï³ñ·áí£
1) 1 , 2 , 3f f f 2) 3 , 1 , 2f f f
3) 2 , 1 , 3f f f 4) 3 , 2 , 1f f f
4© ¶ïÝ»É 2F x f x ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ£
1) 0; 2) ;
3) ;0 0; 4) 0; 1 1;
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86
3. îñí³Í »Ý 1
2
xf x
x
¨ 0,2logg x x ýáõÝÏódzÝÝ»ñÁ:
1. Üßí³Í Ãí»ñÇó á±ñÁ f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ù ã¿.
1¤ 0 2) –1 3¤ 2 4¤ 1
2. Üßí³Í ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó áñáõ±Ù ¿ g ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ·ïÝíáõÙ
1y áõÕÕÇó í»ñ¨.
1¤ 2; 2¤ 5; 3¤ 0; 5 4¤ ; 5
3. ¶ïÝ»É f g ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ:
1¤ 2;
2¤ 0; 2 2;
3¤ 0;2 4¤ 1;2
4. ¶ïÝ»É a -Ç µáÉáñ ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ y a áõÕÇÕÁ
ѳïáõÙ ¿ g ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ:
1¤ ; 2¤ 0; 3¤ ; 0 0; 4¤ 0;
4. îñí³Í ¿ 4 1
2
xf x
x
ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ:
1) ; 2) ;22; 3) ;2 4) 1;
2. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:
1) 2
7
( 2)x
2)
2
9
( 2)x
3)
2
4 1
2
x
x
4)
4
2x
3. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ:
1) 2 2) 9 3) ãáõÝÇ 4) 4
4. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ Ýí³½Ù³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ:
1) ; 2 2; 2) 0; 3) ãáõÝÇ 4) ; 2 ¨ 2;
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 7 üàôÜÎòƲܺð
87
5. îñí³Í ¿ 22 lnf x x x ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ:
1) 0; 2) ;
3) 0; 4) 1;
2. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ 1
4x Ï»ïáõÙ:
1) 3
4 2)
1ln 4
8 3)
3
4 4) 3
3. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ:
1) 1
2 ;
1
2 2)
1
2 3) 2 4) 4
4. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ Ýí³½Ù³Ý ÙÇç³Ï³ÛùÁ:
1) 1
;2
2)
1 1;
2 2
3) 1
0;2
4) 1
0;2
6. îñí³Í ¿ 2 2x xf x ýáõÝÏódzÝ:
1. ÈáõÍ»É f x f x ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) 2) 0 3) ;
4) –2 ¨ 2
2. ¶ïÝ»É ¿ ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:
1) 11 22 xx xx 2) 2ln22ln2 xx
3) 2ln22ln2 xx 4) xx xx ln2ln2
3. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ Ýí³½Ù³Ý ÙÇç³Ï³ÛùÁ:
1) ãáõÝÇ 2) 0; 3) ;0 4) );(
4. Üßí³ÍÝ»ñÇó á±ñÝ ¿ ×Çßï åݹáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ.
1) ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï ãáõÝÇ 2) áõÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ù
3) á°ã ½áõÛ· ¿, á°ã ¿É` Ï»Ýï 4) ³×áÕ ¿
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88
7. îñí³Í ¿ 2xf x e ýáõÝÏódzݣ
1© ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÁ ln5x Ï»ïáõÙ£
1) 10 2) 10e 3) 25 4) 25e
2© ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ:
1) 0; 2) 0; 3) );( 4) ;e
3© ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ£
1) 2xe 2) 2 ln 2xe 3) 2 xe 4) 22 xe
4© ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ Ýñ³ 0x = 0 ³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ
Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£
1) 2 1y x 2) 1y x 3) 0y 4) 1y
8. îñí³Í ¿ f x tgx x ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:
1¤ 2
1
cosx
x 2¤
2
1
cos x 3¤
2
11
cos x 4¤ 1ctgx
2. ¶ïÝ»É y x ¨ f ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñÇ
³µëóÇëÝ»ñÁ:
1¤ Zkk , 2¤ Zkk ,2
3¤ Zkk ,2 4¤ Zkk ,24
3. ¶ïÝ»É f -Ç áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ:
1¤ R 2¤ Zkkk
,
2;
2
ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ ÙdzíáñáõÙÁ
3¤ 4¤ ; ;2 2
4. f ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ Ýßí³Í åݹáõÙÝ»ñÇó á±ñÝ ¿ ×Çßï.
1¤ å³ñµ»ñ³Ï³Ý ¿ 2¤ ½áõÛ· ¿ 3¤ Ï»Ýï ¿ 4¤ Ýí³½áÕ ¿
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89
9. îñí³Í ¿ sin 1f x x ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:
1¤ xcos 2¤ 1cos x 3¤ xcos 4¤ xsin
2. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ¨ 1,5y áõÕÕÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñÇ
³µëóÇëÝ»ñÁ:
1¤ 6
2¤ ;
6k k Z
3¤ 1 2 ;3
kk k Z
4¤ 1 ;
6
kk k Z
3. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
1¤ 1 2¤ –1 3¤ 0 4¤ ãáõÝÇ
4. лï¨Û³É Ãí»ñÇó á±ñÝ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇ å³ñµ»ñáõÃÛáõÝ.
1¤ 2¤ 3 3¤ 2 4¤ 4
10. îñí³Í ¿ xxxf 22cos ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:
1) 22sin x 2) 22sin x 3) 22sin2 x 4) x2sin2
2. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ:
1) Zkk ,24
2) Zkk ,
4
3) Zkk ,22
4) Zkk ,2
3. îñí³Í Ãí»ñÇó á±ñÁ ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï ã¿:
1) 4
2)
4
3 3)
4
5 4)
4
9
4. f ýáõÝÏóÇ³Ý 2 ; 2 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ù³ÝDZ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï áõÝÇ:
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 7 üàôÜÎòƲܺð
90
11. îñí³Í ¿ 2
ln2
xf x x ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ:
1) 1; 2) ; 3) 0; 4) 0;
2. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ 1
3x Ï»ïáõÙ:
1) 10
3 2)
1ln 3
18 3)
8
3 4) 0
3. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ:
1) –1 ¨ 1 2) 1 3) 1 ¨ 3 4) 1 ¨ 1
3
4. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ Ýí³½Ù³Ý ÙÇç³Ï³ÛùÁ:
1) 0;1 2) 1;1 3) 1; 4) 0;1
12. ÜϳñáõÙ å³ïÏ»ñí³Í ¿ qpxxxf 2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ.
1. ¶ïÝ»É q ·áñͳÏÇóÁ:
1) –2 2) 2 3) –1 4) 1
2. ¶ïÝ»É p ·áñͳÏÇóÁ:
1) –2 2) 2 3) 3 4) –3
3. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
1) 2 2) 3 3) 1 4) –3
4. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ 1x Ï»ïáõÙ:
1) 2 2) 0 3) –1 4) 1
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91
13. îñí³Í ¿ xxf ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É ïñí³Í ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ:
1) ;0 2) 0; 3) ;0 4) 0;
2. 6;36 A , 9;81 B , 16;4C , 7;49D Ï»ï»ñÇó á±ñÝ ¿
å³ïϳÝáõÙ ïñí³Í ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ:
1) A 2) B 3) C 4) D
3. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ÛÝ Ï»ïÇ ³µëóÇëÁ, áñáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ
·ñ³ýÇÏÇÝ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ 3 xy áõÕÕÇÝ:
1) 4
1 2)
3
1
3) 3
4) 4
4. ¶ïÝ»É ³ÛÝ ýáõÝÏódzÛÇ µ³Ý³Ó¨Á, áñÇ ·ñ³ýÇÏÁ ëï³óíáõÙ ¿
ïñí³Í ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ
áõÕÕáõÃÛ³Ùµ 2 Ùdzíáñ í»ñ¨ ï»Õ³ß³ñÅ»ÉÇë:
1) 2 xy 2) 2 xy 3) 2 xy 4) 2 xy
14. îñí³Í ¿ 24
2
9
4
1xxxf ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É 2f - Á:
1)– 26 2) –5 3) –14 4) 10
2. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ:
1) –3 ¨ 0 2) 0 ¨ 3 3) –3 4) –3 ¨ 3
3. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³×Ù³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ:
1) 0;3 ¨ ;3 2) 3;03;
3) 3;3 4) ; 3 ¨ 3;
4. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
1) –40,5 2) 0 3) –20,25 4) 60,75
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 7 üàôÜÎòƲܺð
92
15. îñí³Í »Ý 4 2( ) 3 1p x x x ¨ 1 xxq µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É p x µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
2. ¶ïÝ»É p x µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÙÇçÇÝ
Ãí³µ³Ý³Ï³ÝÁ:
1) 0 2) 1 3) –3 4) 3
3. ¶ïÝ»É 3
p x q x µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ׳ÝÁ:
1) 8 2) 6 3) 12 4) 7
4. ¶ïÝ»É xp -Á xq -Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáÕ Ùݳóáñ¹Á:
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
16. îñí³Í ¿ 2
4
4
xf x
x
ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:
1) 2
x 2) 2 3)
2
22
4 4
4
x
x
4)
2
22
3 4
4
x
x
2. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
3. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³×Ù³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ:
1) 2,2 2) , 2 ¨
2, 3) 2, 4) , 2
4. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
1) –1 2) 1 3) 4 4) 2
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93
17. îñí³Í ¿ 1
22
x
xxf ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ:
1) ;11; 2) ; 0 0; 3) ; 4) ;22;
2. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:
1) x
1
2)
12
2
x 3)
1
122
2
x
x
4)
22
2
1
12
x
x
3. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³×Ù³Ý ÙÇç³Ï³ÛùÁ:
1) 0; 2) 1;1
3) 0;
4) ; 1
4. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùñ:
1) 1 2) 4 3) 0,8 4) 2
18. îñí³Í ¿ 4
f xx
ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ:
1) ; 2) ; 0 3) 0; 4) ; 0 0;
2. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:
1) 2
1
x 2) 4 3)
2
4
x 4) 24x
3. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ:
1) 0
2) –4 ¨ 4 3) –2 ¨ 2 4) ãáõÝÇ
4. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ 1; 4 ÙÇç³Ï³Ûùում:
1) 4 2) 1
4 3) 16 4) 1
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94
19. îñí³Í ¿ 13 xxf ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ:
1) ; 2) 0; 3)
3; 4) 1;
2. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
1) ; 2) ; 0 3) 0; 4) 3;
3. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:
1) xx 31 2) 3 3) 0 4) 13 ln3x
4. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³×Ù³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ:
1) ; 1
2) ; 3) 3; 4) 0;
20. îñí³Í ¿ 3 6f x x ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÁ 1 Ï»ïáõÙ:
1) 0 2) –3 3) 3 4) 9
2. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ:
1) 2 2) 0 3) ; 4) ãáõÝÇ
3. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ½ñáÝ»ñÁ:
1) –6 2) 0 3) 2 4) –2
4. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ 1x ³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ Ï»ïáõÙ
ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ:
1) 6y
2) 3 3y x 3) 3 6y x 4) 3y
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 7 üàôÜÎòƲܺð
95
ä²î²êʲÜܺð
²/Ð ºÝó³é³ç³¹ñ³ÝùÇ Ñ³Ù³ñÁ
1 2 3 4
1 1 4 4 3
2 2 1 1 3
3 4 3 2 1
4 2 1 3 4
5 1 4 2 3
6 3 3 3 2
7 3 3 4 1
8 3 1 2 3
9 3 4 3 4
10 3 2 4 4
11 4 3 2 1
12 1 1 4 2
13 3 4 1 2
14 4 4 1 3
15 2 1 4 3
16 3 2 1 2
17 3 4 2 1
18 4 3 4 1
19 1 3 4 2
20 2 4 3 3
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 8 вð²â²öàôÂÚàôÜ
96
´²ÄÆÜ 8. вð²â²öàôÂÚàôÜ
1. гí³ë³ñ³ëñáõÝ »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÇÕÁ
6 ëÙ ¿ ¨ ѳí³ë³ñ ¿ »é³ÝÏÛ³Ý ëñáõÝùÇÝ:
1. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ ³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 150 2) 60
0 3) 30
0 4) 75
0
2. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý ÑÇÙùÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 12 3 ëÙ 2) 12 ëÙ 3) 6 3 ëÙ 4) 10,39 ëÙ
3. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 9 ëÙ2
2) 15,52 ëÙ2 3) 9 3 ëÙ
2 4) 18 3 ëÙ
2
4. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ µ³ñÓñáõÃÛ³Ý »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 4 ëÙ 2) 3 ëÙ 3) 5,19 ëÙ 4) 3 3 ëÙ
2. гí³ë³ñ³ëñáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý ÑÇÙùÇÝ ³éÁÝûñ ³ÝÏÛ³Ý ëÇÝáõëÁ 1
3 ¿,
ÇëÏ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÇÕÁ 3 ëÙ-áí Ù»Í ¿ ëñáõÝùÇó:
1. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 6 ëÙ 2) 3 ëÙ 3) 9 ëÙ 4) 5 ëÙ
2. ¶ïÝ»É ÑÇÙùÇÝ ï³ñí³Í µ³ñÓñáõÃÛ³Ý »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 3 ëÙ 2) 2 ëÙ 3) 6 ëÙ 4) 4 ëÙ
3. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 9 ëÙ2 2) 11,31 ëÙ
2 3) 8 2 ëÙ
2 4) 8 3 ëÙ
2
4. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÇ
Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ÑÇÙùÇÝ ï³ñí³Í µ³ñÓñáõÃÛ³Ý ÙÇçݳϻïÇó:
1) 9 ëÙ 2) 8 ëÙ 3) 7 ëÙ 4) 6 ëÙ
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3. Þñç³Ý³·ÇÍÁ, áñÇ ß³é³íÇÕÁ 6 ëÙ ¿, ßáß³÷áõÙ ¿ ϳÝáݳíáñ
»é³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇó Ù»ÏÁ ¨ ÙÛáõë »ñÏáõ ÏáÕÙ»ñÇ ß³ñáõݳ-
ÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý µ³ñÓñáõÃÛ³Ý »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 6 ëÙ 2) 6 3 ëÙ 3) 4 ëÙ 4) 3 2 ëÙ
2. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 2 ëÙ 2) 4 ëÙ 3) 6 ëÙ 4) 4 3 ëÙ
3. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 4
3ëÙ 2) 6,92 ëÙ 3) 4 3 ëÙ 4) 2 3 ëÙ
4. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 12 ëÙ2 2) 20,78 ëÙ
2 3) 12 3 ëÙ
2 4) 24 ëÙ
2
4. àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý ³ñï³ùÇÝ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ 120
0 ¿, ÇëÏ
Ý»ñùݳÓÇ·Á 10 ëÙ-áí Ù»Í ¿ ÷áùñ ¿çÇó:
1. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ ³ÝÏÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ:
1) 450 2) 60
0 3) 30
0 4) 15
0
2. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ý»ñùݳÓÇ·Ç »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 8 ëÙ 2) 20 ëÙ 3) 15 ëÙ 4) 10 3 ëÙ
3. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ ÏáÕÙÇ ¨ Ý»ñùݳÓÇ·ÇÝ ï³ñí³Í
µ³ñÓñáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 450 2) 60
0 3) 30
0 4) 15
0
4. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ù»Í ¿çÇ åñáÛ»ÏóÇ³Ý Ý»ñùݳÓÇ·Ç íñ³:
1) 10 3 ëÙ 2) 10 ëÙ 3) 15 ëÙ 4) 7,5 ëÙ
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5. àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý Ý»ñùݳÓÇ·ÇÝ ï³ñí³Í ÙÇçݳ·ÇÍÁ ¨
µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ »Ý 25 ëÙ ¨ 24 ëÙ:
1. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ý»ñùݳÓÇ·Ç »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 50 ëÙ 2) 40 ëÙ 3) 30 ëÙ 4) 32 ëÙ
2. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ ¿çÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 25 ëÙ 2) 40 ëÙ 3) 30 ëÙ 4) 20 ëÙ
3. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Íí³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 5 ëÙ 2) 5 3 ëÙ 3) 10 ëÙ 4) 15 ëÙ
4. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Íí³Í ¨ Ý»ñ·Íí³Í ßñç³Ý³·Í»ñÇ
Ï»ÝïñáÝÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ:
1) 11,18 ëÙ 2) 5 3 ëÙ 3) 4 5 ëÙ 4) 5 5 ëÙ
6. 4 ëÙ ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÁ ·ïÝíáõÙ ¿ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ
»é³ÝÏÛ³Ý ¿ç»ñÇó Ù»ÏÇ íñ³ ¨ ßáß³÷áõÙ ¿ ÙÛáõë ¿çÝ áõ Ý»ñùݳ-
ÓÇ·Á: Ü»ñùݳÓÇ·Á ßáß³÷Ù³Ý Ï»ïáí ÏÇëíáõÙ ¿:
1. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ ³ÝÏÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ:
1) 250 2) 30
0 3) 40
0 4) 45
0
2. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ù»Í ¿çÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 6 ëÙ 2) 8 ëÙ 3) 10 ëÙ 4) 12 ëÙ
3. ¶ïÝ»É ³Û¹ ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ »é³ÝÏÛ³Ý Ù»Í
ëáõñ ³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÇó:
1) 8 ëÙ 2) 3 ëÙ 3) 6 ëÙ 4) 10 ëÙ
4. ƱÝã ѳñ³µ»ñáõÃÛ³Ùµ ¿ µ³Å³ÝáõÙ ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÁ
»é³ÝÏÛ³Ý ¿çÁ` ѳßí³Í áõÕÇÕ ³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÇó:
1) 1:3 2) 1: 2 3) 2 :3 4) 3: 2
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7. 60 ÙÙ ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÇÍÁ, áñÇ Ï»ÝïñáÝÁ ·ïÝíáõÙ ¿ áõÕÕ³Ý-
ÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý Ý»ñùݳÓÇ·Ç íñ³, ßáß³÷áõÙ ¿ »é³ÝÏÛ³Ý ¿ç»ñÁ:
Þñç³Ý³·ÇÍÇ Ï»ÝïñáÝÁ Ý»ñùݳÓÇ·Á ïñáÑáõÙ ¿ 3:4 ѳñ³µ»ñáõ-
ÃÛ³Ùµ Ù³ë»ñÇ:
1. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ ³ÝÏÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ:
1) 300 2)
4arccos
5 3)
4arcsin
5 4) 45
0
2. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ù»Í ¿çÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 60 ÙÙ 2) 80 ÙÙ 3) 140 ÙÙ 4) 120 ÙÙ
3. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ý»ñùݳÓÇ·ÇÝ ï³ñí³Í µ³ñÓñáõÃÛ³Ý
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 840 ÙÙ 2) 63 ÙÙ 3) 84 ÙÙ 4) 100 ÙÙ
4. ¶ïÝ»É ³Û¹ ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ »é³ÝÏÛ³Ý
÷áùñ ³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÇó:
1) 130 ÙÙ 2) 100 ÙÙ 3) 110 ÙÙ 4) 50 ÙÙ
8. ºé³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳñ³µ»ñáõÙ »Ý ÇÝãå»ë
5:12:13, ÇëÏ ÷áùñ ÏáÕÙÁ 10 ¿:
1. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ:
1) 50 2) 60 3) 30 4) 40
2. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÇ Ñ»é³íáñáõ-
ÃÛáõÝÁ ÷áùñ ³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÇó:
1) 4 26 2) 4 30 3) 4 2 3 1
4) 4 2
3. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 10 2) 12 3) 13 4) 15
4. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ù»Í ÙÇçݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 24 2) 601 3) 25 4) 26
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100
9. 16 ëÙ Ù»Í ÏáÕÙáí »é³ÝÏÛ³Ý ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ѳñ³µ»ñáõÙ »Ý ÇÝãå»ë
1:2:3:
1. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ ³ÝÏÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ:
1) 450 2) 60
0 3) 30
0 4) 15
0
2. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÇ Ñ»é³íáñáõ-
ÃÛáõÝÁ Ù»Í ³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÇó:
1) 4 6 ëÙ 2) 4 3 4 ëÙ 3) 4 2 3 1 ëÙ 4) 4 2 ëÙ
3. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 5 ëÙ 2) 6 ëÙ 3) 8 ëÙ 4) 7 ëÙ
4. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ ÙÇçݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 8 ëÙ 2) 4 7 ëÙ 3) 10,5 ëÙ 4) 10 ëÙ
10. 17AB ëÙ, 10BC ëÙ ÏáÕÙ»ñáí ABC ëáõñ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý
BD µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 8 ëÙ ¿:
1. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý AC ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 15 ëÙ 2) 6 ëÙ 3) 21 ëÙ 4) 25 ëÙ
2. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ:
1) 42 ëÙ 2) 33 ëÙ 3) 48 ëÙ 4) 52 ëÙ
3. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 60 ëÙ2 2) 24 ëÙ
2 3) 100 ëÙ
2 4) 84 ëÙ
2
4. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý B ·³·³ÃÇó ï³ñí³Í ÙÇçݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 337
2 ëÙ 2) 2 58 ëÙ 3) 2 85 ëÙ 4) 19 ëÙ
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101
11. ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ù»ç 6AB ëÙ, 16AC ëÙ, 060A :
1. ¶ïÝ»É BC ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 12 3 ëÙ 2) 14 ëÙ 3) 15 ëÙ 4) 16 ëÙ
2. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 24
3ëÙ
2 2) 14,57 ëÙ
2 3) 24 3 ëÙ
2 4) 24 ëÙ
2
3. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Íí³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 14 ëÙ 2) 14 3 ëÙ 3) 8 ëÙ 4) 14 3
3ëÙ
4. ¶ïÝ»É AC ÏáÕÙÇ íñ³ »é³ÝÏÛ³Ý CH µ³ñÓñáõÃÛ³Ý åñáÛ»ÏódzÛÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 4 ëÙ 2) 12 ëÙ 3) 8 ëÙ 4) 10 ëÙ
12. ABC »é³ÝÏÛ³Ý AC ÏáÕÙÇ íñ³ í»ñóí³Í D Ï»ïÇó ï³ñí³Í »Ý
ÙÛáõë »ñÏáõ ÏáÕÙ»ñÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñ, áñáÝù AB ¨ BC ÏáÕÙ»-
ñÁ ѳïáõÙ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ E ¨ F Ï»ï»ñáõÙ: AED
»é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ 9 ëÙ2 ¿, ÇëÏ DFC »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ`
16 ëÙ2:
1. ¶ïÝ»É :AD DC ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
1) 1: 2 2) 2 :3 3) 1:3 4) 3: 4
2. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 30 ëÙ2 2) 32 ëÙ
2 3) 24 ëÙ
2 4) 49 ëÙ
2
3. ¶ïÝ»É DEBF ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 18 ëÙ2 2) 24 ëÙ
2 3) 20 ëÙ
2 4) 25 ëÙ
2
4. ¶ïÝ»É EOD »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ, áñï»Õ O -Ý CDEB ù³é³ÝÏÛ³Ý
³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÝ ¿:
1) 3,6 ëÙ2 2) 2,4 ëÙ
2 3) 3,2 ëÙ
2 4) 4 ëÙ
2
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102
13. ABC »é³ÝÏÛ³Ý AB ÏáÕÙÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÁ BC ÏáÕÙÁ ѳïáõÙ
¿ D Ï»ïáõÙ, ÇëÏ AC ÏáÕÙÁ` E Ï»ïáõÙ: гÛïÝÇ ¿, áñ 6DE ëÙ,
16AC ëÙ, 20BC ëÙ, 5BD ëÙ:
1. ¶ïÝ»É :CD CB ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
1) 3:1 2) 4 :3 3) 3: 4 4) 5:3
2. ¶ïÝ»É AB ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 8 ëÙ 2) 6 ëÙ 3) 7 ëÙ 4) 9 ëÙ
3. ¶ïÝ»É CED »é³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ:
1) 30 ëÙ 2) 32 ëÙ 3) 33 ëÙ 4) 34 ëÙ
4. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³Ý ¨ AEDB ù³é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ
ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
1) 7:15 2) 17:7 3) 15:7 4) 16:7
14. ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ Ù»ç 3B A , 5 2AB ëÙ, 7BC ëÙ:
1. ¶ïÝ»É A ³ÝÏÛ³ÝÁ Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ:
1) 1350 2) 45
0 3) 60
0 4) 120
0
2. ¶ïÝ»É BE Ù»Í µ³ñÓñáõÃÛ³Ý »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 7 2
2 ëÙ 2) 5 ëÙ 3) 12 ëÙ 4) 7 ëÙ
3. ¶ïÝ»É AC ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 11 ëÙ 2) 12 ëÙ 3) 13 ëÙ 4) 15 ëÙ
4. ¶ïÝ»É D ·³·³ÃÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ AC ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇó:
1) 29 ëÙ 2) 2,69 ëÙ 3) 6,49 ëÙ 4) 35
13ëÙ
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103
15. ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ A ³ÝÏÛ³Ý ÏÇëáñ¹Á BC ÏáÕÙÁ ѳïáõÙ ¿ E
Ï»ïáõÙ: гÛïÝÇ ¿, áñ 6AB ëÙ, 4EC ëÙ, ÇëÏ B ·³·³ÃÇ Ñ»é³-
íáñáõÃÛáõÝÝ AE ÏÇëáñ¹Çó 3 ëÙ ¿:
1. ¶ïÝ»É A ³ÝÏÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ:
1) 1200 2) 45
0 3) 60
0 4) 75
0
2. ¶ïÝ»É D ·³·³ÃÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ AE ÏÇëáñ¹Çó:
1) 4 ëÙ 2) 6 ëÙ 3) 5 ëÙ 4) 3 ëÙ
3. ¶ïÝ»É ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ Ù»Í µ³ñÓñáõÃÛ³Ý »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 8 ëÙ 2) 8,66 ëÙ 3) 5 5 ëÙ 4) 5 3 ëÙ
4. ¶ïÝ»É AECD ù³é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 36,37 ëÙ2 2) 21 3 ëÙ
2 3) 27 ëÙ
2 4) 24 ëÙ
2
16. ê»Õ³ÝÇ ÑÇÙù»ñÝ »Ý 7 ëÙ ¨ 14 ëÙ, ÇëÏ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÁ` 9 ëÙ ¨ 15 ëÙ:
1. ƱÝã »ñϳñáõÃÛ³Ùµ ѳïí³ÍÝ»ñÇ ïñáÑíáõÙ ÷áùñ ³ÝÏÛáõݳ·ÇÍÁ`
³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïáí:
1) 3 ëÙ ¨ 5 ëÙ 2) 3 ëÙ ¨ 6 ëÙ 3) 10 ëÙ ¨ 5 ëÙ 4) 4 ëÙ ¨ 5 ëÙ
2. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ Ï³½Ù³Í ëáõñ ³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 300 2) 45
0 3) 60
0 4) 75
0
3. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 58,45 ëÙ2 2)
135 5
4ëÙ
2 3)
135 5
2ëÙ
2 4)
135 3
4ëÙ
2
4. ¶ïÝ»É Ù»Í ÑÇÙùÇ åñáÛ»ÏódzÛÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ ë»Õ³ÝÇ Ù»Í
³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ íñ³:
1) 7 ëÙ 2) 15 ëÙ 3) 7 3 ëÙ 4) 13 ëÙ
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104
17. Þñç³Ý³·ÍÇÝ ³ñï³·Í³Í áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ ë»Õ³ÝÇ Ù»Í ëñáõÝùÁ
ßáß³÷Ù³Ý Ï»ïáí ïñáÑí³Í ¿ 1 ëÙ ¨ 25 ëÙ Ù³ë»ñÇ:
1. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇÝ Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 10 ëÙ 2) 5 ëÙ 3) 5,5 ëÙ 4) 3,5 ëÙ
2. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ ÷áùñ ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 10 ëÙ 2) 5 ëÙ 3) 6 ëÙ 4) 8 ëÙ
3. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ ëáõñ ³ÝÏÛ³Ý ëÇÝáõëÁ:
1) 5
13 2)
12
13 3)
3
5 4)
4
5
4. ¶ïÝ»É ³ÛÝ ù³é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ, áñÇ ·³·³ÃÝ»ñÁ ßáß³÷Ù³Ý
Ï»ï»ñ »Ý:
1) 34,61 ëÙ2 2) 34,5 ëÙ
2 3)
450
13ëÙ
2 4) 69 ëÙ
2
18. àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý áõÕÇÕ ³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÇó ï³ñí³Í µ³ñÓ-
ñáõÃÛ³Ý »ñϳñáõÃÛáõÝÁ 5 3 ¿, ÇëÏ ¿ç»ñÇó Ù»ÏÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ` 10:
1. ¶ïÝ»É Ýßí³Í ¿çÇ åñáÛ»ÏódzÛÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ Ý»ñùݳÓÇ·Ç íñ³:
1) 5 2) 5 5 3) 10 4) 3 5
2. ¶ïÝ»É áõÕÇÕ ³ÝÏÛ³Ý ÏÇëáñ¹Ç ¨ ï³ñí³Í µ³ñÓñáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í
³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 300 2) 15
0 3) 60
0 4) 75
0
3. ¶ïÝ»É áõÕÇÕ ³ÝÏÛ³Ý ÏÇëáñ¹Ç ¨ Ý»ñùݳÓÇ·Ç Ï³½Ù³Í ëáõñ
³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 450 2) 15
0 3) 60
0 4) 75
0
4. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý áõÕÇÕ ³ÝÏÛ³Ý ÏÇëáñ¹Ç »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 5 6 2) 5 6 3 1 3) 5 6 3 1 4) 15 6
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19. ABC »é³ÝÏÛ³Ý BC ÏáÕÙÇ ÙÇçÝáõÕճѳ۳óÁ AB ÏáÕÙÁ ѳïáõÙ
¿ D Ï»ïáõÙ ¨ ³Û¹ Ï»ïáí AB -Ý ïñáÑáõÙ ¿ 3:5 ѳñ³µ»ñáõÃÛ³Ùµ
Ù³ë»ñÇ` ѳßí³Í A ·³·³ÃÇó: гÛïÝÇ ¿, áñ : 7 :3AC AD ,
14AC :
1. ¶ïÝ»É ADC »é³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ:
1) 20 2) 30 3) 25 4) 40
2. ¶ïÝ»É ADC »é³ÝÏÛ³Ý Ù»Í ³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 1300 2) 120
0 3) 150
0 4) 90
0
3. ¶ïÝ»É ABC ³ÝÏÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ:
1) 300 2) 15
0 3) 60
0 4) 75
0
4. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ µ³ñÓñáõÃÛ³Ý »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 5 2) 5 2 3) 5 5 4) 5 3
20. àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ ë»Õ³ÝÇ ÷áùñ ÑÇÙùÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ 10 ¿, Ù»Í ëñáõÝùÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ` 6, ÇëÏ ëáõñ ³ÝÏÛáõÝÁ` 600:
1. ¶ïÝ»É Ù»Í ÑÇÙùÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 14 2) 14,5 3) 13 4) 15
2. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ ÙÇçÇÝ ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 12 2) 12,5 3) 13 4) 11,5
3. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ Ù»Í ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 15 2 2) 14 3) 14 2 4) 15
4. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ Ù»Í ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ ¨ µ³ñÓñáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ëáõñ
³ÝÏÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ:
1) 1300 2) 45
0 3) 60
0 4)
13 3
9arctg
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21. ABCD ë»Õ³ÝÇÝ Ý»ñ·Í³Í ¿ O Ï»ÝïñáÝáí ¨ 12 ëÙ ß³é³íÕáí
ßñç³Ý³·ÇÍ, áñÁ CD ëñáõÝùÁ ßáß³÷áõÙ ¿ E Ï»ïáõÙ: ê»Õ³ÝÇ
µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 1 ëÙ-áí ÷áùñ ¿ Ù»Í ëñáõÝùÇó, 090A B ,
AD BC :
1. ¶ïÝ»É COD ³ÝÏÛ³ÝÁ Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ:
1) 600 2) 90
0 3) 120
0 4) 150
0
2. ¶ïÝ»É DE ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 16 ëÙ 2) 9 ëÙ 3) 12 ëÙ 4) 10 ëÙ
3. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 468 ëÙ2 2) 1176 ëÙ
2 3) 365 ëÙ
2 4) 588 ëÙ
2
4. ¶ïÝ»É E Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ AB ëñáõÝùÇó:
1) 588
25ëÙ 2)
578
15ëÙ 3)
399
16ëÙ 4)
399
14ëÙ
22. Þñç³Ý³·ÍÇÝ Ý»ñ·Í³Í ABCD ù³é³ÝÏÛ³Ý A ³ÝÏÛáõÝÁ 120
0 ¿,
3AB , 8BC , 5AD ¨ AB DC :
1. ¶ïÝ»É ù³é³ÝÏÛ³Ý BD ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 7 2) 8 3) 12 4) 10
2. ¶ïÝ»É ù³é³ÝÏÛ³Ý CD ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 7 2) 12 3) 8 4) 5
3. ¶ïÝ»É ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 13 3
3 2)
7 3
3 3) 6,5 4) 13 5
4. ¶ïÝ»É ù³é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 35 3
3 2)
35 3
4 3)
55 3
4 4)
25 3
4
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23. Þñç³Ý³·ÇÍÁ, áñÇ Ï»ÝïñáÝÁ ·ïÝíáõÙ ¿ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý
Ù»Í ¿çÇ íñ³, ßáß³÷áõÙ ¿ »é³ÝÏÛ³Ý ÙÛáõë ¿çÝ áõ Ý»ñùݳÓÇ·Á:
ºé³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ ¿çÁ 12 ¿, ÇëÏ Ý»ñùݳÓÇ·Ç íñ³ ßáß³÷Ù³Ý Ï»ïáí
³é³ç³ó³Í ѳïí³ÍÝ»ñÇó Ù»ÏÁ` 8:
1. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ù»Í ¿çÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 20 2) 18 3) 13 4) 16
2. ¶ïÝ»É ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 6 2) 8 3) 10 4) 12
3. ¶ïÝ»É ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ »é³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ
³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÇó:
1) 8 2) 6 3) 12 4) 10
4. ƱÝã ѳñ³µ»ñáõÃÛ³Ùµ ¿ µ³Å³ÝáõÙ ßáß³÷Ù³Ý Ï»ïÁ »é³ÝÏÛ³Ý
Ý»ñùݳÓÇ·Á` ѳßí³Í ÷áùñ ³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÇó:
1) 1:3 2) 1: 2 3) 2 :3 4) 3: 2
24. Þñç³Ý³·ÇÍÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ 12 ëÙ ¨ 16 ëÙ ¿ç»ñáí áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ
»é³ÝÏÛ³Ý µáÉáñ ÏáÕÙ»ñÇ ÙÇçݳϻï»ñáí:
1. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ù»Í ÙÇçÇÝ ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 8 ëÙ 2) 6 ëÙ 3) 5 2 ëÙ 4) 10 ëÙ
2. ¶ïÝ»É ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛáÝÁ:
1) 12 ëÙ 2) 10 ëÙ 3) 5 ëÙ 4) 8 ëÙ
3. ¶ïÝ»É ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ Ý»ñùݳÓÇ·Çó:
1) 9,6 ëÙ 2) 4,8 ëÙ 3) 4,5 ëÙ 4) 9,5 ëÙ
4. ¶ïÝ»É Ý»ñùݳÓÇ·Ç íñ³ ßñç³Ý³·Íáí ³é³ç³ó³Í ѳïí³ÍÝ»ñÇó
³Ù»Ý³÷áùñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 7,2 ëÙ 2) 2,8 ëÙ 3) 1,8 ëÙ 4) 2 ëÙ
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25. ºé³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳñ³µ»ñáõÙ »Ý ÇÝãå»ë
3:5:7, ÇëÏ å³ñ³·ÇÍÁ 30 ëÙ ¿:
1. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ù»Í ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 14 ëÙ 2) 18 ëÙ 3) 6 ëÙ 4) 10 ëÙ
2. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ù»Í ³ÝÏÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ:
1) 1300 2) 45
0 3) 60
0 4) 120
0
3. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 28 3
3ëÙ 2) 14 ëÙ 3)
14 3
3ëÙ 4) 7 3 ëÙ
4. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÇ
Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ Ù»Í ÏáÕÙÇó:
1) 7 ëÙ 2) 7,2 ëÙ 3) 7 2
3ëÙ 4)
7 3
3ëÙ
26. Þ»Õ³ÝÏÛ³Ý µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇó Ù»ÏÇ
Ï»ëÇÝ, ÇëÏ ÷áùñ ³ÝÏÛáõݳ·ÇÍÁ 4 3 ëÙ ¿:
1. ¶ïÝ»É ß»Õ³ÝÏÛ³Ý ëáõñ ³ÝÏÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ:
1) 400 2) 45
0 3) 60
0 4) 30
0
2. ¶ïÝ»É ß»Õ³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 4 3 ëÙ 2) 2 3 ëÙ 3) 8 ëÙ 4) 6 ëÙ
3. ¶ïÝ»É ß»Õ³ÝÏÛ³Ý Ù»Í ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 14ëÙ 2) 12ëÙ 3) 8ëÙ 4) 6 ëÙ
4. ¶ïÝ»É ß»Õ³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 5 ëÙ 2) 7 ëÙ 3) 8 ëÙ 4) 6 ëÙ
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27. ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ Ù»ç 2B A , 6AB : B ³ÝÏÛ³Ý ÏÇëáñ¹Á
AD ÏáÕÙÁ ѳïáõÙ ¿ E Ï»ïáõÙ, Áݹ áñáõÙ` : 3: 2AE ED
1. ¶ïÝ»É B ³ÝÏÛ³ÝÁ Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ:
1) 1350 2) 45
0 3) 60
0 4) 120
0
2. ¶ïÝ»É ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ Ù»Í ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 15 2) 5 3) 12 4) 10
3. ¶ïÝ»É AC ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 11 2) 14 3) 13 4) 15
4. ¶ïÝ»É E Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ AC ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇó:
1) 10 3
7 2)
12 3
7 3)
18 3
7 4)
9 3
7
28. ABCD ߻ճÝÏÛ³Ý Ù»ç 0120B , 20BD :
1. ¶ïÝ»É ß»Õ³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 10 2) 20 3) 10 3 4) 3
20
2. ¶ïÝ»É ß»Õ³ÝÏÛ³Ý µ³ñÓñáõÃÛ³Ý »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 5 3 2) 3
20 3) 10 3 4) 16
3. ¶ïÝ»É ß»Õ³ÝÏÛ³Ý AC ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 320 2) 30 3) 32 4) 40
4. ¶ïÝ»É ß»Õ³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 4 2) 5 3) 5 3 4) 34
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29. ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ AC ³ÝÏÛáõݳ·ÇÍÁ ÏÇëáõÙ ¿ A ³ÝÏÛáõÝÁ: B
·³·³ÃÇó AD ÏáÕÙÇÝ ï³ñí³Í µ³ñÓñáõÃÛ³Ý »ñϳñáõÃÛáõÝÁ 3 ¿, 030BAC :
1. ¶ïÝ»É ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ D ³ÝÏÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ:
1) 600 2) 150
0 3) 120
0 4) 90
0
2. ¶ïÝ»É ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ AC ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 6 2) 32 3) 3 4) 33
3. ¶ïÝ»É ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 9 2) 3 3) 33 4) 36
4. ¶ïÝ»É ABD »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÇÕÁ:
1) 3 2) 2 3) 1 4) 32
3
30. ABC »é³ÝÏÛ³Ý C ³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÇó ï³ñí³Í »Ý CH
µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ( H -Á ·ïÝíáõÙ ¿ AB ÏáÕÙÇ íñ³ ) ¨ CM
ÙÇçݳ·ÇÍÁ, Áݹ áñáõÙ` 132,133 CMBHAH , :
1. ¶ïÝ»É CH µ³ñÓñáõÃÛ³Ý »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 5 2) 33 3) 24 4) 8
2. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³Ý A ³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 300 2) 45
0 3) 60
0 4) 90
0
3. ¶ïÝ»É ACM »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 26 2) 132 3) 3
134 4)
3
392
4. ¶ïÝ»É ACH »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ »ñϳ-
ñáõÃÛáõÝÁ:
1) 133 2) 3 3)
2
133 4) 33
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 8 вð²â²öàôÂÚàôÜ
111
31. гí³ë³ñ³ëñáõÝ ë»Õ³ÝÇ ÷áùñ ÑÇÙùÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ 4 ¿, ëñáõÝùÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ` 8, ÇëÏ ëáõñ ³ÝÏÛáõÝÁ` 600:
1. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ Ù»Í ³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 300 2) 90
0 3) 120
0 4) 180
0
2. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ:
1) 4 2) 4 3 3) 4 2 4) 2
3. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ Ù»Í ÑÇÙùÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 8 2 4 2) 8 3 4 3) 10 4) 12
4. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 324 2) 4 15 8 3) 16 3 16 4) 32 3
32. ABCD áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù»ç 12AB , 24AC :
1. ¶ïÝ»É BD ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 12 2) 16 3) 20 4) 24
2. ¶ïÝ»É CAD ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
1) 600 2) 45
0 3) 30
0 4) 50
0
3. ¶ïÝ»É BC ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 12 2) 16 3) 12 3 4) 12 5
4. ¶ïÝ»É ABCD áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 144 2)144 3 3) 144 5 4) 160
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33. ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ Ù»ç 6AB , 10AD , 0150ABC :
1. ¶ïÝ»É ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ å³ñ³·ÇÍÁ:
1) 16 2) 24 3) 32 4) 8
2. ¶ïÝ»É BAD -Ý:
1) 600 2) 90
0 3) 50
0 4) 30
0
3. ¶ïÝ»É B ·³·³ÃÇó ï³ñí³Í ÷áùñ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ:
1) 5 2) 4 3) 3 4) 3 3
4. ¶ïÝ»É ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 18 2) 15 3) 30 4) 30 3
34. îñí³Í ¿ ABC »é³ÝÏÛáõÝÁ: гÛïÝÇ ¿, áñ 6AB BC , 045A :
1. ¶ïÝ»É BCA -Ý:
1) 900 2) 60
0 3) 50
0 4) 45
0
2. ¶ïÝ»É A ·³·³ÃÇó ï³ñí³Í µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ:
1) 4 2) 6 3) 5 4) 3
3. ¶ïÝ»É ABC -Ý:
1) 1200 2) 90
0 3) 60
0 4) 50
0
4. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 12 2) 36 3) 18 4) 16
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113
ä²î²êʲÜܺð
²/Ð
ºÝó³é³ç³¹ñ³ÝùÇ Ñ³Ù³ñÁ
1 2 3 4
1 3 3 3 2
2 3 2 3 2
3 1 2 3 3
4 3 2 3 3
5 1 3 3 4
6 2 4 1 2
7 2 3 3 2
8 2 1 3 2
9 3 3 3 1
10 3 3 4 1
11 2 3 4 2
12 4 4 2 1
13 3 1 3 4
14 2 2 3 4
15 3 3 4 2
16 2 3 4 4
17 2 3 1 3
18 1 2 4 2
19 2 2 3 4
20 3 4 2 4
21 2 1 4 1
22 1 4 2 3
23 4 1 4 3
24 4 3 2 2
25 1 4 3 4
26 3 1 2 4
27 4 4 2 4
28 2 3 1 3
29 3 1 4 2
30 2 3 4 3
31 3 2 4 4
32 4 3 3 2
33 3 4 3 3
34 4 2 2 3
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´²ÄÆÜ 9. î²ð²Ì²â²öàôÂÚàôÜ
1. γÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ µáõñ·Ç ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÁ 6 ëÙ ¿, ÑÇÙùÇ
ÏáÕÙÁ` 8 ëÙ:
1. лï¨Û³É å³ïÏ»ñÝ»ñÇó á±ñÝ ¿ ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÙ ËݹñáõÙ
Ýßí³Í å³ÛÙ³ÝÇÝ:
2. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 24 ëÙ2 2) 8 5 ëÙ
2 3) 24 5 ëÙ
2 4) 12 5 Ù
2
3. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ͳí³ÉÁ:
1) 18 33 ëÙ3 2)
32 11
3ëÙ
3 3) 12 33 ëÙ
3 4) 96 11 ëÙ
3
4. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ÏáÕÙݳÛÇÝ ÝÇëïÇ ·³·³ÃÇ Ñ³ñà ³ÝÏÛ³Ý ÏáëÇÝáõëÁ:
1) –0,5 2) 1
3 3) 0,5 4)
1
9
2. 1 1 1 1ABCDA B C D
Ëáñ³Ý³ñ¹Ç ÏáÕÁ 6 ëÙ ¿:
1. ¶ïÝ»É 1AC ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 4ëÙ 2) 6 2 ëÙ 3) 6 3 ëÙ 4) 8 ëÙ
2. ¶ïÝ»É A , 1B , C Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 15,85 ëÙ2 2) 18 2 ëÙ
2 3) 8ëÙ
2 4) 18 3 ëÙ
2
3. ¶ïÝ»É A , 1B , C Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 36 2 ëÙ2 2) 9 5 ëÙ
2 3) 24,5 ëÙ
2 4) 18 3 ëÙ
2
4. ¶ïÝ»É 1 1A B ¨ BD áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 300 2) 45
0 3) 90
0 4) 150
0
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3. 1 1 1 1ABCDA BC D áõÕÕ³ÝÏÛáõݳÝÇëïÇ ÑÇÙùÁ 32 ëÙ å³ñ³·Íáí
ù³é³ÏáõëÇ ¿, ÇëÏ ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ÏñÏݳÏÇ Ù»Í ¿
ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÇó£
1© ¶ïÝ»É áõÕÕ³ÝÏÛáõݳÝÇëïÇ ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ£
1) 3 ëÙ 2) 8 ëÙ 3) 1,5 ëÙ 4) 2 5 ëÙ
2© ¶ïÝ»É áõÕÕ³ÝÏÛáõݳÝÇëïÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ£
1) 3,5 ëÙ 2) 25 ëÙ 3) 12 ëÙ 4) 62 ëÙ
3© ¶ïÝ»É 1DD áõÕÕÇ ¨ 1ACC
ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ£
1) 4 2 ëÙ 2) 4 ëÙ 3) 5 2 ëÙ 4) 6,25 ëÙ
4© ¶ïÝ»É áõÕÕ³ÝÏÛáõݳÝÇëïÇ ÙǨÝáõÛÝ ·³·³ÃÇó ï³ñí³Í
³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ ¨ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÝÇëïÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý
ëÇÝáõëÁ£
1) 3
2 2)
3
2 3)
2 5
3 4)
2
3
4. γÝáݳíáñ ù³é³ÝÏÛáõÝ åñǽٳÛÇ ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁ 3 2 ¿, ÇëÏ
åñǽٳÛÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÇÍÁ` 12:
1. ¶ïÝ»É åñǽٳÛÇ µ³ñÓñáõÃÛ³Ý »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 3 2 2) 6 3) 3 5 4) 6 3
2. ¶ïÝ»É åñǽٳÛÇ Í³í³ÉÁ:
1) 5 2 2) 2 5 3) 108 3 4) 27 3
3. ¶ïÝ»É åñǽٳÛÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ ¨ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í
³ÝÏÛ³Ý ï³Ý·»ÝëÁ:
1) 1 2) 3 3) 0,5 4) 2 3
4. ¶ïÝ»É åñǽٳÛÇ ÑÇÙùÇ ³ÝÏÛáõݳ·Íáí ³ÝóÝáÕ ³ÛÝ Ñ³ïáõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÁ, áñÁ åñǽٳÛÇ ÑÇÙùÇ Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 600 ³ÝÏÛáõÝ:
1) 18 2) 38 3) 2 5 4) 2
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5. äñǽٳÛÇ ÑÇÙùÁ »é³ÝÏÛáõÝ ¿, áñÇ »ñÏáõ ÏáÕÙ»ñÝ »Ý 4 ¨ 5, ÇëÏ
¹ñ³Ýó ϳ½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ` 600: äñǽٳÛÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÁ 6 ¿ ¨
ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 450 ³ÝÏÛáõÝ:
1. ¶ïÝ»É åñǽٳÛÇ ÑÇÙùÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 15 2)5 3 3) 10 4) 10 3
2. ¶ïÝ»É åñǽٳÛÇ µ³ñÓñáõÃÛ³Ý »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 6 2) 2 3 3) 3 4) 3
3. ¶ïÝ»É åñǽٳÛÇ Í³í³ÉÁ:
1) 30 2) 15 2 3)15 4)5
4. ¶ïÝ»É åñǽٳÛÇÝ Ñ³í³ë³ñ³Ù»Í Ëáñ³Ý³ñ¹Ç ÏáÕÇ »ñϳñáõ-
ÃÛáõÝÁ:
1) 3 15 2) 15 3) 5 4) 3
6. γÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ µáõñ·Ç ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁ 4 3 ¿, ÇëÏ ÏáÕÙݳÛÇÝ
ÏáÕÁ` 2 5 :
1. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ͳí³ÉÁ:
1)8 3 2) 24 3) 24 3 4) 4 3
2. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ÑÇÙùÇÝ ³éÁÝûñ »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 600 2) 45
0 3) 30
0 4) 15
0
3. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÇ ¨ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í
³ÝÏÛ³Ý ï³Ý·»ÝëÁ:
1)3
3 2) 3 3) 0,5 4) 1
4. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ˳ãíáÕ ÏáÕ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 300 2) 60
0 3)1
arccos3
4) 900
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7. γÝáݳíáñ ù³é³ÝÏÛáõÝ µáõñ·Ç µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 8 ¿, ÇëÏ ÏáÕÙ-
ݳÛÇÝ ÝÇëïÇ ¨ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ 300:
1. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç µ³ñÓñáõÃÛ³Ý ¨ ѳñó·ÍÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 600
2) 450 3) 90
0 4) 30
0
2. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ѳñó·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 24 2) 78 3) 16 4) 38
3. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 34 2) 12 3) 38 4) 316
4. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ͳí³ÉÁ:
1) 2048 2) 1024 3) 6144 4) 512
8. ¶É³ÝÇ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁ 4 ëÙ ¿, ÇëÏ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ` 38 ëÙ:
1. ¶ïÝ»É ·É³ÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 32 3 ëÙ2 2) 192 ëÙ
2 3) 64 3 ëÙ
2 4) 96 ëÙ
2
2. ¶ïÝ»É ·É³ÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ ¨ ÑÇÙùÇ
ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 300 2) 60
0 3) 75
0 4) 45
0
3. ¶ïÝ»É ·É³ÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 32 3 ëÙ2 2) 64 3 ëÙ
2 3) 32 3 ëÙ
2 4) 64 3 ëÙ
2
4. ¶ïÝ»É ·É³ÝÇ Í³í³ÉÁ:
1) 128 3 ëÙ3 2) 384 ëÙ
3 3) 128 ëÙ
3 4)
128 3
3 ëÙ
3
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9. ¶É³ÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÇÍÁ 24 ëÙ ¿ ¨ Ýñ³ ÍÝáñ¹Ç
Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 450 ³ÝÏÛáõÝ:
1. ¶ïÝ»É ·É³ÝÇ ÑÇÙùÇ ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 26 ëÙ 2) 212 ëÙ 3) 12 ëÙ 4) 24ëÙ
2. ¶ïÝ»É ·É³ÝÇ µ³ñÓñáõÃÛ³Ý »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 26 ëÙ 2) 146 ëÙ 3) 212 ëÙ 4) 1412 ëÙ
3. ¶ïÝ»É ·É³ÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 144 ëÙ 2 2) 576 ëÙ 2 3) 2144 ëÙ 2 4) 288 ëÙ 2
4. ¶ïÝ»É ·É³ÝÇ Í³í³ÉÁ:
1) 2288 ¹Ù 3 2) 0,864 2 ¹Ù 3 3) 1,728 2 ¹Ù 3
4) 432 ¹Ù 3
10. ÎáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ÷éí³ÍùÁ 1200 ³Õ»Õáí ¨ 3 »ñϳ-
ñáõÃÛ³Ùµ ß³é³íÕáí ë»Ïïáñ ¿:
1. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ÍÝáñ¹Ç »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 6 3 2) 12 3) 6 4) 3
2. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ ßñç³Ý³·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 4 2) 2 3) 4) 2
3
3. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 3 2) 6 3) 12 4) 2
4. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 4 2) 3 3) 1 4) 2
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11. гï³Í ÏáÝÇ ÑÇÙù»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÁ 6 ¨ 14 »Ý, ÇëÏ ÍÝáñ¹Áª 17:
1. ¶ïÝ»É Ñ³ï³Í ÏáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ å³ñ³·ÇÍÁ:
1) 37 2) 74 3) 54 4) 57
2. ¶ïÝ»É Ñ³ï³Í ÏáÝÇ µ³ñÓñáõÃÛ³Ý »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 9 2) 11 3) 13 4) 15
3. ¶ïÝ»É Ñ³ï³Í ÏáÝÇ Í³í³ÉÁ:
1) 340 2) 948 3) 1580 4) 740
4. ¶ïÝ»É Ñ³ï³Í ÏáÝÇ ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 302 2) 532 3) 572 4) 428
12. ABC ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ »é³ÝÏÛáõÝÁ åïïíáõÙ ¿ ÙÇ ³é³ÝóùÇ
ßáõñç, áñÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ Ýñ³ A ·³·³Ãáí ¨ ½áõ·³Ñ»é ¿ BC ÑÇÙùÇÝ:
гÛïÝÇ ¿, áñ 5AB AC ¨ 6BC :
1. ¶ïÝ»É BC ÏáÕÙÇ åïïáõÙÇó ³é³ç³ó³Í ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1¤ 60 2¤ 48 3¤ 96 4¤ 150
2. ¶ïÝ»É AB ëñáõÝùÇ åïïáõÙÇó ³é³ç³ó³Í ٳϻñ¨áõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÁ:
1¤ 48 2¤ 15 3¤ 20 4¤ 12
3. ¶ïÝ»É åïïÙ³Ý Ù³ñÙÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1¤ 88 2¤ 100 3¤ 78 4¤ 8
4. ¶ïÝ»É åïïÙ³Ý Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ:
1¤ 64 2¤ 128 3¤ 144 4¤ 32
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13. ¶É³ÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÇÍÁ 8 ¿, ÇëÏ ÍÝáñ¹Á` 4:
1. ¶ïÝ»É ·É³ÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ ¨ ÑÇÙùÇ
ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 600 2) 45
0 3) 30
0 4) 90
0
2. ¶ïÝ»É ·É³ÝÇ ÑÇÙùÇ ïñ³Ù³·ÇÍÁ:
1) 4 3
3 2) 4 3) 34 4) 4 2
3. ¶ïÝ»É ·É³ÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 16 3 2) 216 3) 16 4) 16 3
3
4. ¶ïÝ»É ·É³ÝÇ ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é ¨ ³é³ÝóùÇó 2 Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý
íñ³ ·ïÝíáÕ Ñ³ïáõÛÃÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 4 3 2) 24 3) 33 4) 8
14. ÎáÝÇ ÍÝáñ¹Ç »ñϳñáõÃÛáõÝÁ 10 ¿ ¨ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï
ϳ½ÙáõÙ ¿ 300 ³ÝÏÛáõÝ:
1. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ:
1) 35 2) 25 3) 5 4) 6
2. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁ:
1) 35 2) 5 3) 25 4) 7,5
3. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ Í³í³ÉÁ:
1) 3
3125 2) 125 3)
3
2125 4)
3
500
4. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ·³·³Ãáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ùµ ³ÛÝ Ñ³ïáõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÁ, áñÝ ³Ù»Ý³Ù»ÍÝ ¿:
1) 25 3 2) 50 3) 50 3 4) 100
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15. ÎáÝÇ µ³ñÓñáõÃÛ³Ý »ñϳñáõÃÛáõÝÁ 10 ¿, ÇëÏ ÍÝáñ¹Á ÑÇÙùÇ
ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 300 ³ÝÏÛáõÝ:
1. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ÍÝáñ¹Ç »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 10 2) 20 3) 3
20 4) 310
2. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁ:
1) 10 2) 3
10 3) 320 4) 310
3. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 3200 2) 3100 3) 3200 4) 3
200
4. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ·³·³Ãáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ùµ ³ÛÝ Ñ³ïáõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÁ, áñÝ ³Ù»Ý³Ù»ÍÝ ¿:
1) 3200 2) 3100 3) 400 4) 200
16. ÎáÝÁ Ý»ñ·Íí³Í ¿ ÑÇÙùÇ 6 ß³é³íÇÕ áõÝ»óáÕ ·É³ÝáõÙ ³ÛÝå»ë, áñ
ÏáÝÇ ·³·³ÃÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ·É³ÝÇ í»ñÇÝ ÑÇÙùÇ Ï»ÝïñáÝÇ Ñ»ï,
ÇëÏ ÑÇÙùÁ` ·É³ÝÇ ëïáñÇÝ ÑÇÙùÇ Ñ»ï: ÎáÝÇ ÍÝáñ¹Á 10 ¿:
1. ¶ïÝ»É ·É³ÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 96 2) 48 3) 54 4) 45
2. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 96 2) 16 3) 36 4) 108
3. ¶ïÝ»É ·É³ÝÇ ³ÛÝ Ù³ëÇ Í³í³ÉÁ, áñÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ÏáÝÇó ¹áõñë:
1) 92 2) 108 3) 192 4) 96
4. ¶ïÝ»É ·É³ÝÇ ³é³ÝóùÇ ÙÇçݳϻïáí Ýñ³ ÑÇÙùÇÝ ï³ñí³Í
½áõ·³Ñ»é ѳñÃáõÃÛ³Ùµ ëï³óí³Í ѳïáõÛÃÇ ³ÛÝ Ù³ëÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ,
áñÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ÏáÝÇó ¹áõñë:
1) 36 2) 4 3) 9 4) 27
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 9 î²ð²Ì²â²öàôÂÚàôÜ
122
17. ABC áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý AB Ý»ñùݳÓÇ·Á , áñÁ ÁÝÏ³Í ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç, ѳí³ë³ñ ¿ 26 : AC ¿çÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï
ϳ½ÙáõÙ ¿ 450
³ÝÏÛáõÝ, ÇëÏ C áõÕÇÕ ³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÇó ³Û¹
ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ ï³ñí³Í 1CC áõÕճѳ۳óÁ ѳí³ë³ñ ¿ 32 :
1. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³Ý ÙÇçÇÝ ·Í»ñÇó Ù»ÍÝ Áݹ·ñÏáÕ áõÕÕÇ ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ:
1) 2 2) 3 3) 2
23 4) 2
2. ¶ïÝ»É BC ¿çÇ ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 300 2) 450
3) 600
4) 3
6arcsin
3. ¶ïÝ»É 1CABC »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 300 2) 45
0 3) 60
0 4)
3
3arcsin
4. ¶ïÝ»É 1ABCC µáõñ·Ç ͳí³ÉÁ:
1) 612 2) 64 3) 68 4) 28
18. γÝáݳíáñ ù³é³ÝÏÛáõÝ åñǽٳÛÇ ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁ 6 ¿, ÇëÏ
ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÁ` 3:
1. ¶ïÝ»É åñǽٳÛÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 54 2) 72 3) 108 4) 144
2. ¶ïÝ»É åñǽٳÛÇ Í³í³ÉÁ:
1) 216 2) 72 3) 54 4) 108
3. ¶ïÝ»É åñǽٳÛÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 8 2) 12 3) 9 4) 15
4. ¶ïÝ»É åñǽٳÛÇ ³ÝÏÛáõݳ·Í³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 18 2
2) 53
3) 9 3 4) 18
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 9 î²ð²Ì²â²öàôÂÚàôÜ
123
19. àõÕÇÕ »é³ÝÏÛáõÝ åñǽٳÛÇ ÑÇÙùÁ 3 ¨ 4 ¿ç»ñáí áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ
»é³ÝÏÛáõÝ ¿, ÇëÏ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ 6:
1. ¶ïÝ»É åñǽٳÛÇ ÑÇÙùÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 6 2) 7 3) 5 4) 12
2. ¶ïÝ»É åñǽٳÛÇ Í³í³ÉÁ:
1) 15 2) 18 3) 36 4) 72
3. ¶ïÝ»É åñǽٳÛÇ ÑÇÙùÇ Ù»Í ÏáÕÙÁ:
1) 4 2) 5 3) 6 4) 7
4. ¶ïÝ»É åñǽٳÛÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 36
2) 84
3) 42
4) 72
20. γÝáݳíáñ ù³é³ÝÏÛáõÝ µáõñ·Ç µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 4 ¿, ÇëÏ ÑÇÙùÇ
ÏáÕÙÁ` 6:
1. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ͳí³ÉÁ:
1) 32 2) 48 3) 72 4) 144
2. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 5 2) 34 3) 42 4) 132
3. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ѳñó·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 5 2) 34 3) 42 4) 7
4. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 60
2) 48
3) 96 4) 120
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 9 î²ð²Ì²â²öàôÂÚàôÜ
124
21. γÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ µáõñ·Ç ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁ 12 ¿, ÇëÏ Ñ³ñó·ÇÍÁ`
4:
1. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 48 2) 64 3) 72 4) 144
2. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 10 2) 2 5
3) 4 10
4) 132
3. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ:
1) 1 2) 2 3) 1,5 4) 3
4. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ͳí³ÉÁ:
1) 72 3
2) 48 3
3) 36 3 4) 24 3
22. ÎáÝÇ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 12 ¿, ÇëÏ ÑÇÙùÇ ïñ³Ù³·ÇÍÁ` 10:
1. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ÍÝáñ¹Á:
1) 13 2) 342 3) 15 4) 17
2. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ Í³í³ÉÁ:
1) 65 2) 120
3) 100 4) 300
3. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 120 2) 40
3) 65
4) 60
4. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
1) 60
2) 65
3) 156 4) 90
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 9 î²ð²Ì²â²öàôÂÚàôÜ
125
ä²î²êʲÜܺð
²/Ð
ºÝó³é³ç³¹ñ³ÝùÇ Ñ³Ù³ñÁ
1 2 3 4
1 2 3 2 4
2 3 4 1 2
3 2 3 1 4
4 4 3 2 1
5 2 4 3 1
6 1 2 3 4
7 1 3 4 1
8 3 2 4 1
9 1 3 4 2
10 4 2 1 3
11 2 4 3 3 12 2 3 1 1 13 3 3 1 1 14 3 1 2 2 15 2 4 3 4 16 1 1 3 4 17 2 1 3 2 18 2 4 3 1 19 1 3 2 4 20 2 2 1 3 21 3 4 2 4 22 1 3 4 2
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 10 Îààð¸ÆܲîܺðÆ ØºÂà¸, ìºÎîàðܺð
126
´²ÄÆÜ 10. Îààð¸ÆܲîܺðÆ ØºÂà¸, ìºÎîàðܺð
1. îñí³Í »Ý 1; 2 , 1; 3A B ¨ 0; 0O
Ï»ï»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É BA
í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1¤ 2;1 2¤ 2; 1 3¤ 2; 1 4¤ 2; 3
2. ¶ïÝ»É OB ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1¤ 4 2¤ 2 3¤ 2 2 4¤ 10
3. ¶ïÝ»É OA
¨ OB
í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1¤ –6 2¤ 5 3¤ 1 4¤ –9
4. ¶ïÝ»É BA
¨ OA
í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ:
1¤ 1800 2¤ –90
0 3¤ 0
0 4¤ 90
0
2. îñí³Í »Ý 2; 3a
¨ 3; 2b
í»ÏïáñÝ»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É a í»ÏïáñÇÝ Ñ³ÏáõÕÕí³Í ¨ Ýñ³ »ñϳñáõÃÛáõÝÇó 3 ³Ý·³Ù
Ù»Í »ñϳñáõÃÛ³Ùµ í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 6;9 2) 6; 9 3) 6;9 4) 6; 9
2. ¶ïÝ»É a
¨ b
í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 300 2) 45
0 3) 60
0 4) 90
0
3. ¶ïÝ»É 3 2a b
í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 12; 5 2) 0; 13 3) 12; 13 4) 0; 5
4. ¶ïÝ»É 5 a
í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 5 13 2) 5 3) 5 5 4) 25
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 10 Îààð¸ÆܲîܺðÆ ØºÂà¸, ìºÎîàðܺð
127
3. îñí³Í »Ý 3 4a i j
¨ 4 3b i j
í»ÏïáñÝ»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É a
í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 3; 4 2) 3; 4 3) 1; 0 4) 7; 1
2. ¶ïÝ»É b
í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 2 2) 7 3) 5 4) –5
3. ¶ïÝ»É 2a b
í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 2; 11 2) 1; 4 3) 3; 8 4) 3; 0
4. ¶ïÝ»É a
¨ b
í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 600 2) 90
0 3) 120
0 4) 45
0
4. îñí³Í ¿ 4; 6AB
í»ÏïáñÁ:
1. ¶ïÝ»É A Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, »Ã» B Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÝ »Ý` 3;1 :
1) 1;7 2) 7;5 3) 7; 5 4) 1; 7
2. Üßí³ÍÝ»ñÇó á±ñ í»ÏïáñÝ ¿ ѳÙáõÕÕí³Í AB
í»ÏïáñÇÝ.
1) 4; 6 2) 2; 3 3) 1; 9 4) 6; 4
3. Üßí³ÍÝ»ñÇó á±ñ í»ÏïáñÝ ¿ áõÕճѳ۳ó AB
í»ÏïáñÇÝ.
1) i
2) j
3) 2 3i j
4) 3 2i j
4. Üßí³ÍÝ»ñÇó á±ñÁ ½ñáÛ³Ï³Ý í»Ïïáñ ã¿.
1) AB BA
2) 0 AB
3) 5 AA
4) BA AB
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 10 Îààð¸ÆܲîܺðÆ ØºÂà¸, ìºÎîàðܺð
128
5. îñí³Í »Ý 4; 1A , 2; 3B ¨ 4; 2C Ï»ï»ñÁ:
1. à±ñ ù³éáñ¹ÇÝ ¿ å³ïϳÝáõÙ A Ï»ïÁ:
1) I 2) II 3) III 4) IV
2. ¶ïÝ»É D Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, »Ã» AB DC
:
1) 6; 6 2) 2; 4 3) 2; 4 4) 6; 6
3. ¶ïÝ»É BC j
í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 6; 0 2) 1; 5 3) 2; 6 4) 2; 4
4. îñí³Í Ï»ï»ñÇó á±ñÝ ¿ ·ïÝíáõÙ 22 1 17x y ßñç³Ý³·ÍÇ íñ³:
1) A 2) B 3) C 4) áã Ù»ÏÁ
6. îñí³Í »Ý 3; 2; 4A ¨ 3; 2; 4B Ï»ï»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É AB
í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 0; 4; 0 2) 6; 0; 8 3) 6; 0; 8 4) 3; 0; 4
2. AB ѳïí³ÍÇ ÙÇçݳϻïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿.
1) Ox ³é³ÝóùÇÝ 2) Oy ³é³ÝóùÇÝ
3) Oz ³é³ÝóùÇÝ 4) Oxz ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ
3. A ¨ B Ï»ï»ñÁ ѳٳã³÷ »Ý.
1) Ox ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ 2) Oy ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ
3) Oz ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ 4) Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï»ïÇ
Ýϳïٳٵ
4. AB
, i
¨ k
í»ÏïáñÝ»ñÁ.
1) ѳٳѳñà »Ý 2) ï³ñ³Ñ³ñà »Ý
3) ѳٳ·ÇÍ »Ý 4) ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áËáõÕÕ³–
ѳ۳ó »Ý
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129
7. OABC áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý »ñ»ù ·³·³ÃÝ»ñÝ »Ý ՝ 0; 0 , 4; 0O A
¨ 4; 6B :
1. ¶ïÝ»É O Ï»ïÇ Ýϳïٳٵ B -Ç Ñ³Ù³ã³÷ Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 3; 2 2) 4; 6 3) 4; 6 4) 8; 12
2. ¶ïÝ»É áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý C ·³·³ÃÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 4; 0 2) 0; 4 3) 0; 6 4) 6; 0
3. ÆÝã± ³ÝÏÛáõÝ »Ý ϳ½ÙáõÙ AC
¨ BO
í»ÏïáñÝ»ñÁ:
1) µáõà 2) ëáõñ 3) ÷éí³Í 4) áõÕÇÕ
4. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ:
1) 2 2
2 3 13x y 2) 2 2( 3) ( 2) 13x y
3) 2 2
2 3 13x y 4) 2 2
2 3 52x y
8. îñí³Í »Ý 2; 2 , 2; 2A B ¨ 5 2; 5 2C Ï»ï»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É AB
í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 0;0 2) 4; 4
3) 4; 4 4) 0; 4
2. ¶ïÝ»É ABK »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ, áñï»Õ K -Ý A Ï»ïÇ Ñ³Ù³-
ã³÷Ý ¿ Oy ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ:
1) 8 2) 16 3) 4 4) 12
3. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³Ý CD ÙÇçݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 10 2) 5 2 3) 4 4) 10 2
4. ¶ïÝ»É A ¨ B Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ:
1) 0x y 2) 0x y 3) 1x y 4) 1x y
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130
9. îñí³Í »Ý 1;a m
, 2 ;3b m
¨ 2;2c
í»ÏïáñÝ»ñÁ:
1. m -Ç á՞ñ ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ¿ a b
í»ÏïáñÝ áõÕճѳ۳ó c
í»Ïïá-
ñÇÝ:
1) 2
3 2)
4
3 3)
4
3 4) 2
2. m -Ç á՞ñ ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ¿ a b
í»ÏïáñÁ ѳٳ·ÇÍ c
í»ÏïáñÇÝ:
1) 4
3 2) 2 3)
5
3 4) 1
3. m -Ç á՞ñ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ¿ a
í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ
»ñÏáõ ³Ý·³Ù Ù»Í c
í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÇó:
1) 1 2) 7 3) 15 4) 31
4. 1m ¹»åùáõÙ ·ïÝ»É a
¨ b
í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý
ÏáëÇÝáõëÁ:
1) 5
26 2)
3
13 3)
4
9 4)
7
22
10. îñí³Í »Ý 3; 4 , 4; 3a b
í»ÏïáñÝ»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É b a
í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 1; 7 2) 1; 7 3) 1; 7 4) 1; 7
2. ¶ïÝ»É a
í»ÏïáñÇÝ Ñ³Ï³¹Çñ í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 3; 4 2) 3; 4 3) 3; 4 4) 3; 4
3. ¶ïÝ»É a
¨ b
í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 300 2) 45
0 3) 60
0 4) 90
0
4. ¶ïÝ»É 2a b
í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 11,18 2) 5 3 3)5 5 4) 3 5
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 10 Îààð¸ÆܲîܺðÆ ØºÂà¸, ìºÎîàðܺð
131
11. îñí³Í »Ý 3;1 B Ï»ïÁ ¨ 6;4 b
í»ÏïáñÁ:
1. Üßí³ÍÝ»ñÇó á±ñÝ ¿ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï»ïáí ¨ B Ï»ïáí
³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ.
1) xy3
1 2) xy 3 3) xy 3 4) xy
3
1
2. êïáñ¨ Ýßí³Í í»ÏïáñÝ»ñÇó á±ñÝ ¿ ѳÏáõÕÕí³Í
b í»ÏïáñÇÝ.
1) 4;6 2) 3;2 3) 4;6 4) 9;6
3. ¶ïÝ»É A Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, »Ã» 1
2AB b
:
1) 3;2 2) 9;3 3) 0;3 4) 3;2
4. ¶ïÝ»É b i
ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1) 4 2) –2 3) –6 4) 10
12. îñí³Í »Ý 1; 5A Ï»ïÁ ¨ 3; 1a
í»ÏïáñÁ£
1© ¶ïÝ»É A Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ Oy ³é³ÝóùÇó£
1) 1 2) 5 3) –1 4) 26
2© ¶ïÝ»É ³ÛÝ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ A Ï»ïáí ¨
½áõ·³Ñ»é ¿ Ox ³é³ÝóùÇÝ£
1) 1x 2) 1x 3) 5y 4) 5y
3© ¶ïÝ»É B Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, »Ã» AB a
:
1) 2; 6 2) 3; 1 3) 4; 6 4) 2; 6
4© Üßí³ÍÝ»ñÇó á±ñ í»ÏïáñÝ ¿ ѳÏáõÕÕí³Í a
-ÇÝ.
1) 1
; 13
2) 6; 2 3) 6; 2 4) 1; 3
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 10 Îààð¸ÆܲîܺðÆ ØºÂà¸, ìºÎîàðܺð
132
13. îñí³Í »Ý 1; 2A , 3; 1B , 5; 9C Ï»ï»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É AB BC
í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 4; 1 2) 6; 7 3) 4; 7 4) 4; 11
2. ¶ïÝ»É AC
í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 85 2) 13 3) 65 4) 17
3. ¶ïÝ»É AB
¨ BC
í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 300 2) 45
0 3) 60
0 4) 90
0
4. ¶ïÝ»É b -Ý, »Ã» ѳÛïÝÇ ¿, áñ C Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ 2y x b áõÕÕÇ íñ³:
1) 1 2) 14 3) 19 4) 90
14. îñí³Í »Ý 4;2 a , 2;1 b í»ÏïáñÝ»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1) 10 2) –10 3) 6 4) –6
2. ¶ïÝ»É a ¨ b í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ÏáëÇÝáõëÁ:
1) 5
3 2)
5
3 3) 1 4) –1
3. 8;2c , 8;4 d , 8;4e , 22;2f í»ÏïáñÝ»ñÇó áñÇ±Ý ¿
ѳٳ·ÇÍ a í»ÏïáñÁ:
1) c 2) d 3) e 4) f
4. ¶ïÝ»É ba 2 í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 4 2) 54 3) 520 4) 2
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 10 Îààð¸ÆܲîܺðÆ ØºÂà¸, ìºÎîàðܺð
133
15. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É Oy ³é³ÝóùÇ íñ³ 1; 2; 1A Ï»ïÇ åñáÛ»ÏódzÝ:
1¤ 0; 0; 1
2¤ 0; 2; 0
3¤ 1; 0; 1
4¤ 2; 0; 1
2. ¶ïÝ»É i
¨ 2 3k j
í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ:
1¤ 00
2¤ 1800
3¤ 900
4¤ –900
3. ¶ïÝ»É 2; 2; 1a
í»ÏïáñÇÝ Ñ³ÙáõÕÕí³Í e
Ùdzíáñ í»ÏïáñÁ:
1¤ 1; 0; 0e
2¤
2 2 1; ;
3 3 3e
3¤ 1; 1; 1e
4¤
2 2 1; ;
3 3 3e
4. îñí³Í »Ý 2; 4A ¨ 2; 4B Ï»ï»ñÁ: ¶ïÝ»É AB ïñ³Ù³·Íáí
ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ:
1¤ 2 2 16x y 2¤ 22 4 4x y
3¤
22 4 16x y 4¤
2 22 4x y
16. îñí³Í »Ý ( 3; 4)A , ( 1; 3)B ¨ (0; 0)O Ï»ï»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É A Ï»ïÇ Ñ³Ù³ã³÷ Ï»ïÁ B Ï»ïÇ Ýϳïٳٵ:
1) (2; 1) 2) (1; 2) 3) ( 1; 2) 4) (1; 2)
2. ¶ïÝ»É AOB ³ÝÏÛ³Ý ÏáëÇÝáõëÁ:
1) 3
10 2)
3
10 3)
9
5 10 4)
9
5 10
3. îñí³Í Ï»ï»ñÇó áñá±Ýù »Ý ·ïÝíáõÙ 2 5 0x y áõÕÕÇ íñ³:
1) A -Ý ¨ O -Ý 2) B -Ý ¨ O -Ý 3) A -Ý ¨ B -Ý 4) A -Ý, B -Ý ¨ O -Ý
4. ¶ïÝ»É C Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, »Ã» 2BC AC
:
1) 5; 5 2) 5; 5 3) 7; 5 4) 5; 5
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134
17. îñí³Í »Ý 0; 7A , 3;4 B , 5; 3C Ï»ï»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É BC ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 10 2) 9 3) 8 4) 1
2. ¶ïÝ»É BA
í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 4;4 2) 4;4 3) 10;4 4) 4;4
3. ¶ïÝ»É BA ¨ BC í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1) –36 2) 30 3) 36 4) 13; 4
4. ¶ïÝ»É ABC ³ÝÏÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ:
1) 600 2) 45
0 3) 30
0 4)
1arccos
3
18. îñí³Í »Ý ABCD ù³é³Ïáõëáõ 1;3A , 4;0B , 2;0 D
·³·³ÃÝ»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É ABCD ù³é³Ïáõëáõ C ·³·³ÃÁ:
1) 3;1 2) 3;1 3) 1;3 4) 1;3
2. ¶ïÝ»É AE ¨ AD í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, áñï»Õ E -Ý
ù³é³Ïáõëáõ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÝ ¿:
1) 0 2) 9 3) 6 4) –9
3. ¶ïÝ»É ù³é³Ïáõëáõ CB ¨ CD ÏáÕÙ»ñÇ ÙÇçݳϻï»ñÇ
Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ:
1) 6 2) 1 3) 3 4) 23
4. ¶ïÝ»É ABCD ù³é³ÏáõëáõÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ
ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1) 3122 yx 2) 31
22 yx
3) 9122 yx 4) 91 22
yx
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135
19. ABC »é³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÝ»ñÝ »Ý` 0; 1A , 4;1 B ¨ 2;5C :
1. à±ñ ù³éáñ¹ÇÝ ¿ å³ïϳÝáõÙ B Ï»ïÁ:
1) I 2) II 3) III 4) IV
2. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý A ·³·³ÃÇó ï³ñí³Í AM ÙÇçݳ·ÍÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 22 2) 10 3) 13 4) 2
3. ¶ïÝ»É AC
¨ AB
í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1) 0 2) –10 3) –5 4) 10
4. à±ñÝ ¿ B ¨ C Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ.
1) 03 yx 2) 03 yx
3) 03 yx 4) 03 yx
20. îñí³Í »Ý 0;0;0O ¨ 5;3;2 A Ï»ï»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É Oy ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ A Ï»ïÇ Ñ³Ù³ã³÷ Ï»ïÇ
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 5;3;2 2) 5;3;2 3) 2;3;5 4) 5;3;2
2. ¶ïÝ»É AO í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 2; 3;5 2) 0;0;0 3) 2;3; 5 4) 2; 3; 5
3. ¶ïÝ»É OA í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 6 2) 2 2 3) 12 4) 215
4. ¶ïÝ»É OA í»ÏïáñÇ åñáÛ»ÏódzÛÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ Oyz ѳñÃáõ-
ÃÛ³Ý íñ³:
1) 5;3;0 2) 5;3;2 3) 5;3;0 4) 5;3;2
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136
21. îñí³Í »Ý 2;1;2 A , 0;2;3B ¨ 1;1;3 C Ï»ï»ñÁ:
1. îñí³Í Ï»ï»ñÇó á±ñÝ ¿ å³ïϳÝáõÙ Oxy ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ.
1) A 2) B 3) C 4) áã Ù»ÏÁ
2. ¶ïÝ»É AB í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 2;1;1 2) 2;1;1 3) 2;2;5 4) 0;2;6
3. ¶ïÝ»É AB ¨ AC í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1) 0 2) 2 3) 3 4) 6
4. ¶ïÝ»É AB ¨ AC í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á:
1) 300 2) 45
0 3) 60
0 4) 90
0
22. 1;1;2A , 1;1;3 B Ï»ï»ñÁ ABC »é³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÝ»ñ »Ý, ÇëÏ
1;2;1 M Ï»ïÁ AC ÏáÕÙÇ ÙÇçݳϻïÝ ¿:
1. ¶ïÝ»É M Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï»ïÇó:
1) –1 2) 1 3) 6 4) 3
2. ¶ïÝ»É C Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 0; 3; 1 2) 2; 1; 3
3) 4; 3; 3 4) 4; 0; 3
3. ¶ïÝ»É BC ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 3 2) 6 3) 5 4) 21
4. ¶ïÝ»É BC í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 1; 1; 1 2) 1; 2; 2 3) 1; 2; 2 4) 1; 2; 2
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 10 Îààð¸ÆܲîܺðÆ ØºÂà¸, ìºÎîàðܺð
137
23. îñí³Í »Ý 1;3;2 A ¨ kB ;7;5 Ï»ï»ñÁ:
1. k -Ç á±ñ ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ AB ѳïí³ÍÇ ÙÇçݳϻïÁ Ï·ïÝíÇ Oxy
ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç:
1) 1 2) 0 3) 2 4) –1
2. k -Ç á±ñ ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ AB ¨ 1; 1; 1a
í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ
³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÏÉÇÝÇ 0:
1) 8 2) –10 3) –8 4) 0
3. k -Ç á±ñ ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ A ¨ B Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ 5:
1) –1 2) 1 3) 0 4) 5
4. k -Ç á±ñ ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ AB ¨ 3; 4; 5a
í»ÏïáñÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý
ѳí³ë³ñ:
1) 4 2) 5 3) 11 4) 0
24. 1;2;2A
¨ 2; 2; 6B Ï»ï»ñÁ ABC »é³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÝ»ñÝ »Ý,
ÇëÏ 1;1; 1M Ï»ïÁ AC -Ç ÙÇçݳϻïÝ ¿:
1. ԳïÝ»É M Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï»ïÇó:
1) –1 2)1 3) 2 4) 3
2. ԳïÝ»É C ·³·³ÃÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 1; 1; 3 2) 3; 0; 4 3) 4; 3; 0 4) 1; 0; 3
3. ԳïÝ»É BC
í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 1; 1; 1 2) 1; 2; 2 3) 1; 2; 2
4) 5; 2; 1
4. ԳïÝ»É BC ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 3 2) 1 3) 6 4) 3
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 10 Îààð¸ÆܲîܺðÆ ØºÂà¸, ìºÎîàðܺð
138
25. îñí³Í »Ý kjia
22 ¨ kjib
326 í»ÏïáñÝ»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É b
í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
1) 7 2) 6 3) 7 4) 8
2. ¶ïÝ»É ba
2 í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 2; 0; 1 2) 2; 4; 1
3) 10; 0; 1 4) 2; 4; 7
3. ¶ïÝ»É a
¨ b
í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
1) 16 2) 20 3) 4 4) 0
4. ¶ïÝ»É a
¨ b
í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ:
1) 21
20arccos 2)
21
4arcsin
3) 3
1arcsin 4)
21
4arccos
26. 0;0;0A , 0;0;4B , C 4;4;41 Ï»ï»ñÁ 1 1 1 1ABCDA BC D
Ëáñ³Ý³ñ¹Ç ·³·³ÃÝ»ñÝ »Ý:
1. ¶ïÝ»É 1D ·³·³ÃÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 0; 4; 0 2) 4; 0; 4 3) 0; 4; 4 4) 4; 4; 0
2. ¶ïÝ»É 1 1AA D D ÝÇëïÇ Ï»ÝïñáÝÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ:
1) 0; 2; 2 2) 2; 0; 2 3) 2; 0; 0 4) 2; 2; 0
3. Üßí³ÍÝ»ñÇó á±ñÝ ¿ ëË³É åݹáõÙ.
1) 1AC BD
2) 1 1A B CD
3) 1 0DC BC
4) 1 1AD B C
4. Üßí³ÍÝ»ñÇó á±ñÝ ¿ ï³ñ³Ñ³ñà í»ÏïáñÝ»ñÇ »éÛ³Ï.
1) 1 1 1 1, ,C A C D B C
2) 1 1, ,AC D C AD
3) 1 1, ,AB CC B D
4) 1 1 1 1, ,A B BD B C
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¶ÈàôÊ 1 ´²ÄÆÜ 10 Îààð¸ÆܲîܺðÆ ØºÂà¸, ìºÎîàðܺð
139
ä²î²êʲÜܺð
²/Ð
ºÝó³é³ç³¹ñ³ÝùÇ Ñ³Ù³ñÁ
1 2 3 4
1 2 4 2 4
2 1 4 2 1
3 2 3 1 2
4 3 2 4 4
5 4 2 3 3
6 3 2 2 1
7 2 3 1 3
8 3 1 1 2
9 2 1 4 1
10 4 1 4 3
11 3 2 3 1
12 1 3 4 3
13 2 1 4 3
14 1 3 4 2
15 2 3 4 2
16 4 2 3 4
17 2 4 3 2
18 3 2 3 3
19 3 1 2 3
20 2 3 1 1
21 2 1 3 1
22 3 3 1 4
23 1 3 1 1
24 4 2 2 1
25 3 4 3 4
26 3 1 4 3
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¶ÈàôÊ 2
140
¶ÈàôÊ 2
²è²æ²¸ð²Üøܺð βðÖ ä²î²êʲÜܺðàì
ºñÏñáñ¹ ·ÉËÇ ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÇ å³ï³ë˳ÝÝ»ñÁ áã µ³ó³-
ë³Ï³Ý ³ÙµáÕç Ãí»ñ »Ý: ä³ï³ë˳ÝÝ»ñÁ å»ïù ¿ Éñ³óÝ»É
å³ï³ë˳ÝÝ»ñÇ Ó¨³ÃÕÃáõÙ ³Û¹ Ýå³ï³ÏÇ Ñ³Ù³ñ ѳïϳóí³Í
ï»ÕáõÙ: ä³ï³ë˳ÝáõÙ å»ïù ã¿ Ýᯐ ã³÷Ù³Ý ÙdzíáñÁ:
²Ûë ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÇÝ å³ï³ë˳ݻÉÇë ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ·ñ»É
ϳñ× å³ï³ë˳ÝÁ` ݳ˳ï»ëí³Í ÑáñǽáÝ³Ï³Ý »ñ»ù
í³Ý¹³ÏÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ ·ñ»Éáí Ù»Ï Ãí³Ýß³Ý: ²é³ç³¹ñ³ÝùÇ
å³ï³ëË³Ý Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É 0-Çó 999-Á ³ÙµáÕç Ãí»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ
¥ã³÷Ù³Ý ÙdzíáñÁ ãÇ ÝßíáõÙ¤: ºÃ» å³ï³ë˳ÝÁ ÙdzÝÇß ÃÇí ¿, ³å³
³ÛÝ å»ïù ¿ Éñ³óÝ»É Ýßí³Í »ñ»ù í³Ý¹³ÏÝ»ñÇó í»ñçÇÝáõÙª µ³ó
ÃáÕÝ»Éáí ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ í³Ý¹³ÏÝ»ñÁ, »ñÏÝÇß å³ï³ë˳ÝÁ
å»ïù ¿ Éñ³óÝ»É »ñÏñáñ¹ ¨ »ññáñ¹ í³Ý¹³ÏÝ»ñáõÙª µ³ó ÃáÕÝ»Éáí
³é³çÇÝ í³Ý¹³ÏÁ: úñÇݳÏ` »Ã» 42-ñ¹ ³é³ç³¹ñ³ÝùÇ å³ï³ë˳ÝÁ
55 »ñÏÝÇß ÃÇíÝ ¿, ³å³ ³ÛÝ å»ïù ¿ Éñ³óÝ»É Ñ»ï¨Û³É Ó¨áí`
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 1 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
141
´²ÄÆÜ 1. ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ
Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì
²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
1. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1.
23
23625
:
2. 1
2
2
1
x
x
x
x , »Ã» 1x -Á ¨ x 2 -Á 0262 xx ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÝ
»Ý:
3. 00 1952553 tgtg :
4. 5log5log2 63 93
:
2. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 4 22312 :
2. 8
1
84 3:327
:
3.
4cos2cos
4sin2sin
, »Ã»
5
13 ctg :
4. 33log87 9
163log7
:
3. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 3 72512 :
2. 12
1
34 2:28 :
3.
2sin2cos
2sin2cos
, »Ã» 3tg :
4. 55log410 25
180lg :
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 1 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
142
4. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. xxx 3152 , »Ã» 1x :
2. 1832
50
:
3. 00 50cos
3
50sin
1 :
4. 25log2
16log6log15log
3
623
:
5. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. b
a
4
3 -Ý, »Ã» 2 28 16 0, 0a ab b b :
2.
2sinsin2
2sinsin2
, »Ã» 2
2
tg :
3. 16loglog3 24
8log1 27 :
4. 2315 gf , »Ã» f -Á ¨ g-Ý ; -áõÙ áñáßí³Í
ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ½áõÛ· ¨ Ï»Ýï ýáõÝÏódzݻñ »Ý, Áݹ áñáõÙ`
10213
3221
gf
gf:
6. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 27log5log4loglog 5433 :
2. (20 )(10 )x x , »Ã» 20 10 4x x :
3. 0202 195sin75sin :
4. 2f -Á, »Ã» f -Á , -áõÙ áñáßí³Í, 6 ÑÇÙݳϳÝ
å³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ ýáõÝÏódz ¿, Áݹ áñáõÙ` 02541042 ff :
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 1 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
143
7. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 25a -Á, »Ã» 0122 axx ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ
ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ 3 ¿:
2. 36123132 :
3. 9
4cos
9
2cos
9cos16
:
4. 2 41 log 5 log 93 5
:
8. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 22 yx , »Ã» 10 , 8x y x y :
2. 2sin25 , »Ã» 3
cos 0,6;2
:
3. 5log45log3log16log 33
2
4
2
3 :
4. 703 p -Á, »Ã» 022 pxx ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ
ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 20 ¿ ¨ 0p :
9. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1.
aaa
aa
41
432
24
:
2.
12
sin2
coscos2
2
2
, »Ã»
2:
3. baclog -Ý, »Ã» log 6, log 2a cb a :
4. 4a b , »Ã» 3 2( ) 4 12P x ax x bx µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ 2x -Ç
µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ 8 Ùݳóáñ¹:
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 1 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
144
10. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 4 4
1 1 2
3 1 3 1 3 1
:
2. 3442 xxx ,»Ã» 3x :
3.
3
124 arctgtg :
4. a
bclog - Ý, »Ã»
1log , log 4
5a ac b :
11. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. xx 232 , »Ã» 30494 xx :
2. xx
x
x
x 1:
31
3
9
312
, »Ã» 6x :
3. 1212
ctgtg :
4. 2
3
7
3
6
log
loglog
a
bab :
12. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. xx 545 , »Ã» 73251625 xx :
2. xyyxyx
xyxy
1: , »Ã»
2, 21
7x y :
3. 88
tgctg :
4. 2
3
5
3
4
log
loglog
b
aba :
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 1 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
145
13. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. nm 23 -Á, »Ã» 1 ¨ 2 Ãí»ñÁ 052 nxmx ѳí³ë³ñÙ³Ý
³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ý:
2.
112111 xxx , »Ã» 3x :
3.
22
22
cos
sin
ctg
tg
, »Ã» 2tg :
4. 4log3log
2232210log6,1log
:
14. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. nm 25 -Á, »Ã» 2 ¨ 3 Ãí»ñÁ 072 nxmx ѳí³ë³ñÙ³Ý
³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ý:
2.
1123333 aaa , »Ã» 5a :
3. 22 sincoscossin8 , »Ã» 8
:
4. 8log7log102ln
32ln72
5lg1 :
15. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 2
2 1x x , »Ã» 1x -Á ¨ 2x -Á 2 6 3 0x x ѳí³ë³ñÙ³Ý
³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ý:
2. 10279857
9857
:
3. 0202 15cos75cos :
4. 25log6log27 65
2log3 :
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 1 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
146
16. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. aba
baab
33
, »Ã» 3
1a ,
3
2b :
2. 2 3 2 348 64 12xy y x y x , »Ã» 4x ¨ 0,25y :
3. 22 216 8 2 3 2a bc c b c , »Ã» a , b , c ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ
Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
4. 2 1 26sin arccos
2 3
:
17. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 2323 23 64
6464 64 23
:
2. 12 6 32 2 7 2 3
: :3 2 2
3. 7log9log837
4log
21
3
:
4. 45sin4
20cos10cos4304
00
:
18. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 0 0 016sin9 sin81 sin54 :
2. 2 3 12log 2 log 288
2 3 :
3.
3
1arccos
3
1arcsin
1arccos
:
4. 4 4
4
4 4
2 3 5 3 3 52 3 5
4 3 20 3 25 2 3 5
:
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 1 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
147
19. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 7 4 3 7 4 3 :
2. 2 32 2 3
2logloglog 3
3 2 2 3
:
3. 2
4 cos cos5 5
:
4. 3 arcsin(sin9) :
20. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 2 2p q , »Ã» 10p q , 20pq :
2. 0,5
0,2
0,3
1 1 22
22 1
:
3. 3cos 16sin , »Ã» 3sin 2cos 5 :
4. 71 0,25log 2510 49
:
21. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 223 arctgtg :
2. 3
2
3
1 xx , »Ã» 1x -Á ¨
2x -Á 0252 xx ѳí³ë³ñÙ³Ý
³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ý:
3.
2729142
2715
:
4. 36log 16
80 3 3log 81 log 20 log 4 6 :
22. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ.
1. 32
1
2
1
422 xxxx
:
2. 2sin x , »Ã» 10 12sin cos 1x x :
3. 4392
1
log2log81 27 :
4. xx 33 , »Ã» 3 32 3 2 3x :
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 1 ²ðî²Ð²ÚîàôÂÚàôÜܺðÆ Òºì²öàÊàôÂÚàôÜܺð ºì ²ðĺøܺðÆ Ð²ÞìàôØ
148
ä²î²êʲÜܺð
²/Ð ºÝó³é³ç³¹ñ³ÝùÇ Ñ³Ù³ñÁ
1 2 3 4
1 1 16 6 25
2 1 3 5 15
3 1 2 7 5
4 4 5 4 2
5 3 4 7 4
6 1 7 1 5
7 2 12 2 3
8 9 24 6 6
9 1 1 4 2
10 2 5 3 15
11 6 2 4 21
12 9 6 2 10
13 10 2 8 2
14 22 6 2 23
15 24 3 1 12
16 3 125 2 1
17 0 8 432 6
18 2 18 2 5
19 4 3 2 9
20 140 3 13 98
21 4 95 3 0
22 8 1 12 4
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
149
´²ÄÆÜ 2. вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
1. îñí³Í ¿ 4 218 0x x b ѳí³ë³ñáõÙÁ (b -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. b -Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ 3x ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï:
2. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 15b ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ:
3. b -Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ×Çßï »ñ»ù ³ñÙ³ï:
4. ¶ïÝ»É b -Ç ³Ù»Ý³Ù»Í µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³-
ñáõÙÝ áõÝÇ ãáñë ³ñÙ³ï:
2. îñí³Í ¿ 2100 x x a ѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿ å³ñáõݳÏáõ٠ѳí³ë³ñÙ³Ý Â²´-Á:
2. a -Ç ù³ÝDZ µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ³ñÙ³ï:
3. a -Ç ù³ÝDZ ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ³ñÙ³ï:
4. a -Ç ù³ÝDZ ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ×Çßï »ñÏáõ
³ñÙ³ï:
3. îñí³Í ¿ 230 cos sin 0x x x x ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿ å³ñáõݳÏáõ٠ѳí³ë³ñÙ³Ý Â²´-Á:
2. à±ñÝ ¿ ѳí³ë³ñÙ³Ý ³Ù»Ý³Ù»Í ³ñÙ³ïÁ:
3. à±ñÝ ¿ ѳí³ë³ñÙ³Ý ³Ù»Ý³÷áùñ ³ñÙ³ïÁ:
4. ø³ÝDZ ³ñÙ³ï áõÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ:
4. îñí³Í ¿ 270 sin 2cos 0
2
xx x
ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿ å³ñáõݳÏáõ٠ѳí³ë³ñÙ³Ý Â²´-Á:
2. à±ñÝ ¿ ѳí³ë³ñÙ³Ý ³Ù»Ý³Ù»Í ³ÙµáÕç ³ñÙ³ïÁ:
3. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ³ñÙ³ï áõÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ:
4. ø³ÝDZ ³ñÙ³ï áõÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ:
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
150
5. îñí³Í ¿ 2
3log 12 63x x b ѳí³ë³ñáõÙÁ (b -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. b -Ç á±ñ ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÁ Ïáõݻݳ ×Çßï Ù»Ï
³ñÙ³ï:
2. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 3,7b ³ñÅ»ùÇ
¹»åùáõÙ:
3. ¶ïÝ»É b -Ç ³Ù»Ý³÷áùñ ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³-
ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ï:
4. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ 3log 56b
³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ:
6. îñí³Í ¿ 26 30 sin cos 04 4
x xx x
ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿ å³ñáõݳÏáõ٠ѳí³ë³ñÙ³Ý Â²´-Á:
2. à±ñÝ ¿ ѳí³ë³ñÙ³Ý ³Ù»Ý³Ù»Í ³ñÙ³ïÁ:
3. à±ñÝ ¿ ѳí³ë³ñÙ³Ý ³Ù»Ý³÷áùñ ³ÙµáÕç ³ñÙ³ïÁ:
4. ø³ÝDZ ³ñÙ³ï áõÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ:
7. îñí³Í ¿ 2 lg cos3ax x x ѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. ø³ÝDZ ï³ññ áõÝÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Â²´-Á 3a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ:
2. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÁ 2a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ:
3. ø³ÝDZ ³ñÙ³ï áõÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ 13a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ:
4. ø³ÝDZ ³ñÙ³ï áõÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ 10
3a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ:
8. îñí³Í ¿ 2
lg 1x x a ѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÁ 0a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ:
2. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ÙµáÕç ³ñÙ³ïÁ 82a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ:
3. ø³ÝDZ ³ñÙ³ï áõÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ 0,5a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ:
4. ²Ù»Ý³ß³ïÁ ù³ÝDZ ³ñÙ³ï ϳñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É ïñí³Í
ѳí³ë³ñáõÙÁ:
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
151
9. îñí³Í ¿ 22x
x a ѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ 1a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ:
2. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÁ 32a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ:
3. ø³ÝDZ ³ñÙ³ï áõÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ 9a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ:
4. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÙÇçÇÝ Ãí³µ³Ý³Ï³ÝÁ 10a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ:
10. îñí³Í ¿ 2 2
7 2
1log 14 cos
cosx x x
x
ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿ å³ñáõݳÏáõ٠ѳí³ë³ñÙ³Ý Â²´-Á:
2. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ç Ù³ëÇ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ÷áùñ³·áõÛÝ
³ñÅ»ùÁ:
3. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÇ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Ù»Í³·áõÛÝ
³ñÅ»ùÁ:
4. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÁ:
11. îñí³Í ¿
218 13
5 1 15
ax y a a
x a y
ѳٳϳñ·Á ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. ¶ïÝ»É 0 0x y Ù»ÍáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ, áñï»Õ 0 0;x y -Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç
ÉáõÍáõÙÝ ¿ 0a ¹»åùáõÙ:
2. a -Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳٳϳñ·Ý áõÝÇ ³ÝÃÇí µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ
ÉáõÍáõÙÝ»ñ:
3. ¶ïÝ»É a -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÇ Ùá¹áõÉÁ, áñÇ ¹»åùáõ٠ѳٳϳñ·Á ÉáõÍáõÙ
ãáõÝÇ:
4. 10a å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ù³ÝDZ ³ÙµáÕç a -»ñÇ ¹»åùáõÙ
ѳٳϳñ·Ý áõÝÇ ÙÇ³Ï ÉáõÍáõÙ:
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m
¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
152
12. îñí³Í ¿
2 2
2 2
10
sin sin 0
x y
x y
ѳٳϳñ·Á:
1. гٳϳñ·Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ x ¨ y µÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí
ù³ÝDZ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ:
2. гٳϳñ·Ç »ñÏñáñ¹ ѳí³ë³ñáõÙÁ 1x ¨ 1y å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ
µ³í³ñ³ñáÕ ù³ÝDZ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ:
3. ²ÙµáÕç Ãí»ñáí ù³ÝDZ ( ; )x y Ãí³½áõÛ· ¿ µ³í³ñ³ñáõÙ
ѳٳϳñ·Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:
4. ø³ÝDZ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á:
13. îñí³Í ¿ 2 2
2
cos cos 2
x y
x y
ѳٳϳñ·Á:
1. àã µ³ó³ë³Ï³Ý x ¨ y ³ÙµáÕç Ãí»ñáí ù³ÝDZ ;x y Ãí³½áõÛ· ¿
µ³í³ñ³ñáõ٠ѳٳϳñ·Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:
2. ²ÙµáÕç Ãí»ñáí ù³ÝDZ ;x y Ãí³½áõÛ· ¿ µ³í³ñ³ñáõÙ
ѳٳϳñ·Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:
3. 1x ¨ 1y å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ù³ÝDZ ;x y Ãí³½áõÛ·
¿ µ³í³ñ³ñáõ٠ѳٳϳñ·Ç »ñÏñáñ¹ ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
4. ø³ÝDZ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á:
14. îñí³Í ¿ 2 25 6x a
³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿ µ³í³ñ³ñáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ 2a
³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ:
2. ¶ïÝ»É a -Ç ³Ù»Ý³Ù»Í ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ
ÉáõÍáõÙ áõÝÇ:
3. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç a -»ñÇ ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ:
4. ²Ù»Ý³ß³ïÁ ù³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ϳñáÕ ¿ å³ñáõÝ³Ï»É ³Ýѳí³-
ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
153
15. îñí³Í ¿ 2 212 36 50x x a ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³-
Ù»ïñ ¿):
1. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿ µ³í³ñ³ñáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ 6a
³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ:
2. ¶ïÝ»É a -Ç ³Ù»Ý³Ù»Í ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³-
ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ:
3. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç a -»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ:
4. a -Ç Ç±Ýã ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ïå³ñáõݳÏÇ ³Ù»Ý³ß³ï ù³Ý³Ïáí ³ÙµáÕç Ãí»ñ:
16. îñí³Í ¿ 3 7 13 2 1x x x ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý Â²´-ÇÝ å³ïϳÝáÕ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ
ù³Ý³ÏÁ:
2. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ
³Ù»Ý³÷áùñ ³ÙµáÕç ÃÇíÁ:
3. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ
³Ù»Ý³Ù»Í ³ÙµáÕç ÃÇíÁ:
4. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿ å³ñáõݳÏáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
17. îñí³Í ¿ 2 24 40 7 3x x x x ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿ å³ñáõݳÏáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý Â²´-Á:
2. à±ñÝ ¿ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ
³Ù»Ý³Ù»Í ³ÙµáÕç ÃÇíÁ:
3. ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ
å³ïϳÝáÕ ³Ù»Ý³÷áùñ ³ÙµáÕç ÃíÇ Ùá¹áõÉÁ:
4. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿ å³ñáõݳÏáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
18. îñí³Í ¿ 2 34 3 6 3x x x ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿ å³ñáõݳÏáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý Â²´-Á:
2. à±ñÝ ¿ ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ ³Ù»Ý³Ù»Í ³ÙµáÕç ÃÇíÁ:
3. à±ñÝ ¿ ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ ³Ù»Ý³÷áùñ ³ÙµáÕç ÃÇíÁ:
4. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿ å³ñáõݳÏáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
154
19. îñí³Í ¿ 3
5 21log 2
8
x ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. à±ñÝ ¿ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý Â²´-ÇÝ å³ïϳÝáÕ ³Ù»Ý³÷áùñ
³ÙµáÕç ÃÇíÁ:
2. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ
³Ù»Ý³Ù»Í ³ÙµáÕç ÃÇíÁ:
3. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ
³ÙµáÕç Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
4. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ å³ñ½ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
20. îñí³Í ¿ 22 5 65x x ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý Â²´-ÇÝ å³ïϳÝáÕ ³Ù»Ý³÷áùñ
³ÙµáÕç ÃÇíÁ:
2. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ ³Ù»Ý³÷áùñ ³ÙµáÕç ÃÇíÁ:
3. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ ³Ù»Ý³Ù»Í ³ÙµáÕç ÃÇíÁ:
4. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ
µáÉáñ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
21. îñí³Í ¿ 2
7,5 7,5log 67 log 5a ax x ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý
å³ñ³Ù»ïñ ¿): гÛïÝÇ ¿, áñ 6,5x ÃÇíÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ³Û¹
³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
1. ¶ïÝ»É a -Ç ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÁ:
2. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý Â²´-ÇÝ å³ïϳÝáÕ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ
ù³Ý³ÏÁ:
3. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ
³Ù»Ý³÷áùñ ³ÙµáÕç ÃÇíÁ:
4. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ
³ÙµáÕç Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
155
22. îñí³Í ¿ 8 3 0
2 3
x x
x a
ѳٳϳñ·Á (a-Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. ²ÙµáÕç Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝáõÙ ù³ÝDZ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç
³é³çÇÝ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
2. ²ÙµáÕç Ãí»ñáí ù³ÝDZ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á 2a ³ñÅ»ùÇ
¹»åùáõÙ:
3. àã µ³ó³ë³Ï³Ý ³ÙµáÕç Ãí»ñáí ù³ÝDZ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á,
»ñµ 12a :
4. ²ÙµáÕç Ãí»ñáí ù³ÝDZ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, »ñµ 5; 7a :
23. îñí³Í ¿
3 4
sin 5 cos2
x
xx
ѳٳϳñ·Á:
1. ¶ïÝ»É Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ µáÉáñ ³ÙµáÕç
Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
2. ø³ÝDZ ³ñÙ³ï áõÝÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ѳí³ë³ñáõÙÁ 0; 10 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
3. ø³ÝDZ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á 0; 20 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
4. ø³ÝDZ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á:
24. îñí³Í ¿ 2 212 20 0
10
x xy y
x y
ѳٳϳñ·Á:
1. àã µ³ó³ë³Ï³Ý ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ ù³ÝDZ Ãí³½áõÛ· ¿ µ³í³ñ³ñáõÙ
ѳٳϳñ·Ç ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
2. ¶ïÝ»É x
y ѳñ³µ»ñáõÃÛ³Ý ³Ù»Ý³Ù»Í ³ñÅ»ùÁ, áñï»Õ ;x y
Ãí³½áõÛ·Á ѳٳϳñ·Ç ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿:
3. ¶ïÝ»É x
y ѳñ³µ»ñáõÃÛ³Ý ³Ù»Ý³÷áùñ ³ñÅ»ùÁ, áñï»Õ ;x y
Ãí³½áõÛ·Á ѳٳϳñ·Ç ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿:
4. ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñáí ù³ÝDZ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á:
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
156
25. îñí³Í ¿ axx 27 ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. ¶ïÝ»É a -Ç ³ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ
³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ:
2. ¶ïÝ»É a -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ
ÙÇ³Ï ÉáõÍáõÙ:
3. ø³ÝDZ µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿ å³ñáõݳÏáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ 25a ¹»åùáõÙ:
4. ¶ïÝ»É a -Ç ³ÛÝ µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ 15-Á
³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿:
26. îñí³Í ¿ 228 2 xxx ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý Â²´-ÇÝ å³ïϳÝáÕ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ
ù³Ý³ÏÁ:
2. x -Ç Ç±Ýã µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ïñí³Í ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»ç
ï»ÕÇ Ïáõݻݳ ѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý ¹»åùÁ:
3. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿ å³ñáõݳÏáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ ãµ³í³ñ³ñáÕ ³Ù»Ý³÷áùñ µÝ³Ï³Ý
ÃÇíÁ:
27. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 30
tg x
tgx ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ 0; 2
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
2. ¶ïÝ»É 2
2 2 0x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
3. ¶ïÝ»É 2 22 12 144x x x x ѳí³ë³ñÙ³Ý µÝ³Ï³Ý
³ñÙ³ïÁ:
4. ¶ïÝ»É 5 6 0x x x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÛÁ:
www.atc.a
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
157
28. îñí³Í ¿ 2 2 1 0ax x a ѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. ¶ïÝ»É a -Ç ³Ù»Ý³Ù»Í ÙdzÝÇß ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ
³ñÙ³ï áõÝÇ:
2. ¶ïÝ»É a -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝó ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ
áõÝÇ ÙÇ³Ï ³ñÙ³ï:
3. ¶ïÝ»É a -Ç ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝó ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ
áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ï, Ù»ÏÁ Ù»Í 2-Çó, ÇëÏ ÙÛáõëÁ ÷áùñ ¿ 2-Çó:
4. ¶ïÝ»É 1, 2, ..., 20a a a ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ëï³óí³Í ùë³Ý
ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
29. îñí³Í ¿ 4 5 3x x ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿ å³ñáõݳÏáõ٠ѳí³ë³ñÙ³Ý Â²´-Á:
2. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³Ù»Ý³Ù»Í ³ñÙ³ïÁ:
3. ø³ÝDZ ³ñÙ³ï áõÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ:
4. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÇ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ ³Ù»Ý³Ù»Í ³ÙµáÕç ÃÇíÁ:
30. îñí³Í ¿ 25
x ax
ѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. a - Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ 116 ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï:
2. ¶ïÝ»É a å³ñ³Ù»ïñÇ ³ÛÝ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ
ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ×Çßï Ù»Ï ³ñÙ³ï:
3. ¶ïÝ»É a å³ñ³Ù»ïñÇ ³ÛÝ ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝóÇó
Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
4. ¶ïÝ»É a -Ç ³Ù»Ý³÷áùñ µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñ-
Ù³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ÷áùñ ¿ 5-Çó, ÇëÏ ÙÛáõëÁª Ù»Í 7-Çó:
31. îñí³Í ¿ a å³ñ³Ù»ïñáí axx 2coscos8 ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. a -Ç Ç± Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ Zkkx 2 ï»ëùÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ
ÃÇí ÏÉÇÝÇ ³Û¹ ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï:
2. ¶ïÝ»É a å³ñ³Ù»ïñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ
ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï áõÝÇ:
3. ¶ïÝ»É a å³ñ³Ù»ïñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í µ³ó³ë³Ï³Ý ³ÙµáÕç ÃíÇ
Ùá¹áõÉÁ, áñÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
4. ¶ïÝ»É a å³ñ³Ù»ïñÇ ³ÛÝ ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝóÇó
Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï áõÝÇ:
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
158
32. îñí³Í ¿ 2 22 4 0x px p ѳí³ë³ñáõÙÁ, áñï»Õ p -Ý
å³ñ³Ù»ïñ ¿:
1. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ï³ñµ»ñÇãÁ (¹ÇëÏñÇÙÇݳÝïÁ):
2. ¶ïÝ»É p -Ç ³ÛÝ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ 1-Á ѳí³ë³ñÙ³Ý
³ñÙ³ï ¿:
3. ¶ïÝ»É p -Ç ³ÛÝ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñÙ³Ý
³ñÙ³ïÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ 12-Ç:
4. ¶ïÝ»É p -Ç ³ÛÝ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñÙ³Ý
³ñÙ³ïÝ»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý Ùá¹áõÉÁ ѳí³ë³ñ ¿
80-Ç:
33. îñí³Í ¿ axx 2
14 ѳí³ë³ñáõÙÁ, áñï»Õ a -Ý
å³ñ³Ù»ïñ ¿:
1. ¶ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Â²´ -ÇÝ å³ïϳÝáÕ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ
ù³Ý³ÏÁ:
2. ø³ÝDZ ³ñÙ³ï áõÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ 2a ¹»åùáõÙ:
3. ¶ïÝ»É a -Ç ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ
ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
4. ¶ïÝ»É a -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ
ѳϳ¹Çñ Ãí»ñ »Ý:
34. îñí³Í ¿ axx 5log4 1 ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý Â²´-ÇÝ å³ïϳÝáÕ ³Ù»Ý³÷áùñ
³ÙµáÕç ÃÇíÁ:
2. ¶ïÝ»É a -Ç ³Ù»Ý³÷áùñ µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ 5-Á
³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿:
3. ¶ïÝ»É ³ÛÝ ÙÇç³Ï³ÛùÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñÝ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý
ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿ 0a ¹»åùáõÙ:
4. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ
ÙdzÝÇß Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ 8a ¹»åùáõÙ:
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
159
35. îñí³Í ¿
1
056
2
24
x
xx ѳٳËáõÙµÁ:
1. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿ å³ñáõݳÏáõ٠ѳٳËÙµÇ »ñÏñáñ¹
³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É Ñ³Ù³ËÙµÇ ³é³çÇÝ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ ³Ù»Ý³Ù»Í µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ:
3. ¶ïÝ»É Ñ³Ù³ËÙµÇ ³é³çÇÝ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
4. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿ å³ñáõݳÏáõ٠ѳٳËÙµÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
36. îñí³Í ¿
22
01582
x
xx ѳٳËáõÙµÁ:
1. ø³ÝDZ µ³ó³ë³Ï³Ý ³ÙµáÕç ÃÇí ¿ å³ñáõݳÏáõ٠ѳٳËÙµÇ
»ñÏñáñ¹ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É Ñ³Ù³ËÙµÇ ³é³çÇÝ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ:
3. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿ å³ñáõݳÏáõ٠ѳٳËÙµÇ ³é³çÇÝ
³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
4. ø³ÝDZ µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿ å³ñáõݳÏáõ٠ѳٳËÙµÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
37. îñí³Í ¿
054
082
2 xx
xx ѳٳËáõÙµÁ:
1. ø³ÝDZ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ Ñ³Ù³ËÙµÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ:
2. ¶ïÝ»É Ñ³Ù³ËÙµÇ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍÙ³Ý ÙÇç³Ï³ÛùÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ø³ÝDZ µÝ³Ï³Ý ÃÇí ϳ ѳٳËÙµÇ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç:
4. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ϳ ѳٳËÙµÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç:
www.atc.a
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
160
38. îñí³Í ¿
21
0111
x
xx ѳٳËáõÙµÁ:
1. ¶ïÝ»É Ñ³Ù³ËÙµÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³Ù»Ý³Ù»Í ³ñÙ³ïÁ:
2. ¶ïÝ»É Ñ³Ù³ËÙµÇ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇó ٻͳ·áõÛÝÁ:
3. ø³ÝDZ µÝ³Ï³Ý ÃÇí ϳ ѳٳËÙµÇ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç:
4. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÉáõÍáõÙ áõÝÇ Ñ³Ù³ËáõÙµÁ:
39. îñí³Í ¿ a å³ñ³Ù»ïñáí 5 2
1 5
x a
x a
ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ
ѳٳϳñ·Á:
1. a -Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳٳϳñ·Ý áõÝÇ ÙÇ³Ï ÉáõÍáõÙ:
2. a -Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳٳϳñ·Ç ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ
12 »ñϳñáõÃÛ³Ùµ ÙÇç³Ï³Ûù ¿:
3. ¶ïÝ»É a -Ç ³ÛÝ µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ 19-Á
ѳٳϳñ·Ç ÉáõÍáõÙ ¿:
4. ¶ïÝ»É a -Ç ³ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ 19-Á
ѳٳϳñ·Ç ÉáõÍáõÙ ¿, ÇëÏ 25-Á` áã:
40. îñí³Í ¿ a å³ñ³Ù»ïñáí axx 82 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÁ:
1. ¶ïÝ»É a -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ ïñí³Í »é³Ý¹³ÙÇ
÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ ѳí³ë³ñ ¿ 11-Ç:
2. ¶ïÝ»É a -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ ïñí³Í »é³Ý¹³ÙÝ ³é³Ýó
Ùݳóáñ¹Ç µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2x -Ç:
3. ¶ïÝ»É a -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ 082 axx
³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ 6 »ñϳñáõÃÛ³Ùµ
ÙÇç³Ï³Ûù ¿:
4. ¶ïÝ»É 221 8xx ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ, áñï»Õ 1x -Á ¨ 2x -Á
ïñí³Í »é³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ý 5a ¹»åùáõÙ:
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
161
41. îñí³Í ¿ 112 aax ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. ¶ïÝ»É a -Ç ³Ù»Ý³÷áùñ ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ
³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ:
2. ¶ïÝ»É a -Ç ³ÛÝ µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý
ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ 6 »ñϳñáõÃÛ³Ùµ ÙÇç³Ï³Ûù ¿:
3. ¶ïÝ»É a -Ç ³Ù»Ý³÷áùñ µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ 7 -Á
µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ïñí³Í ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
4. a -Ç Ç±Ýã µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ×Çßï ÑÇÝ· ³ÙµáÕç ÃÇí:
42. îñí³Í ¿ 0)82lg(25 2 xx ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. ¶ïÝ»É ïñí³Í ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý Â²´-ÇÝ å³ïϳÝáÕ ³ÙµáÕç
Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
2. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ
³Ù»Ý³÷áùñ ³ÙµáÕç ÃíÇ Ùá¹áõÉÁ:
3. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ
³Ù»Ý³Ù»Í ³ÙµáÕç ÃÇíÁ:
4. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ
³ÙµáÕç Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
43. îñí³Í ¿ 16log 22
3 x ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ µáÉáñ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ
·áõÙ³ñÁ:
2. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý Â²´-ÇÝ ãå³ïϳÝáÕ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
3. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ ³Ù»Ý³Ù»Í ³ÙµáÕç ÃÇíÁ:
4. ¶ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ
µáÉáñ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
162
ä²î²êʲÜܺð
²/Ð
ºÝó³é³ç³¹ñ³ÝùÇ Ñ³Ù³ñÁ
1 2 3 4 1 45 0 0 80
2 21 10 25 5
3 31 30 0 12
4 17 7 8 10
5 3 12 4 7
6 25 30 9 8
7 5 2 1 2
8 1 10 2 2
9 0 4 2 0
10 13 2 2 7
11 3 10 9 19
12 2 9 8 8
13 3 8 9 8
14 4 6 13 6
15 27 7 15 0
16 4 4 6 3
17 10 0 6 4
18 6 3 0 4
19 5 18 14 5
20 3 3 7 5
21 8 3 6 3
22 10 5 8 7
23 17 5 7 9
24 11 10 2 3
25 13 14 6 9
26 7 2 4 3
27 4 1 4 36
28 9 1 1 21
29 10 5 2 4
30 12 10 19 11
31 7 7 10 17
32 16 1 4 10
33 5 1 2 1
34 3 7 1 6
35 3 2 0 5
36 2 4 2 3
37 1 6 4 5
38 1 15 15 18
39 2 6 4 5
40 27 12 7 59
41 12 17 13 16
42 9 3 4 8
43 0 1 9 18
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 3 îºøêî²ÚÆÜ ÊܸÆðܺð
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´²ÄÆÜ 3. îºøêî²ÚÆÜ ÊܸÆðܺð
1. ²íïáµáõëÁ ųÙÁ 309 -ÇÝ ¹áõñë ¿ñ »Ï»É A í³ÛñÇó ¨ Ý³Ë³ï»ë»É ¿ñ
ųÙÁ 3014 -ÇÝ Ñ³ëÝ»ñ A -Çó 250 ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ·ïÝíáÕ B
í³Ûñ:
1. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ å»ïù ¿ ÁÝóݳ ³íïáµáõëÁ`
ųٳݳÏÇÝ B í³ÛñÁ ѳëÝ»Éáõ ѳٳñ:
2. A í³ÛñÇó ù³ÝDZ ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ Ï·ïÝíÇ ³íïáµáõëÁ
ųÙÁ 0011 -ÇÝ:
3. Þ³ñÅáõÙÁ ëÏë»Éáõó ù³ÝDZ ñáå» Ñ»ïá ³íïáµáõëÁ Ï·ïÝíÇ A -Çó
80 ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³:
4. ºÃ» ųÙÁ 3011 -ÇݳíïáµáõëÁ Ï»ë ų٠ϳݷ ³éÝ»ñ, ³ÛÝáõÑ»ï¨
ù³ÝDZ ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ å»ïù ¿ ß³ñáõݳϻñ ׳ݳå³ñÑÁ,
áñå»ë½Ç ųٳݳÏÇÝ Ñ³ëÝ»ñ B í³ÛñÁ:
2. A ¨ B ù³Õ³ùÝ»ñÇó, áñáÝó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 600 ÏÙ ¿, Ùdzų-
Ù³Ý³Ï Çñ³ñ Áݹ³é³ç ¹áõñë »Ï³Ý Ù³ñ¹³ï³ñ ¨ ³åñ³Ýù³ï³ñ
·Ý³óùÝ»ñÁ` ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ 90 ÏÙ/Å ¨ 60 ÏÙ/Å
³ñ³·áõÃÛáõÝÝ»ñáí:
1. ø³ÝDZ ÏÇÉáÙ»ïñ ÏÉÇÝÇ ·Ý³óùÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ß³ñÅáõÙÁ
ëÏë»Éáõó Ï»ë ų٠³Ýó:
2. ØÇÝ㨠ѳݹÇå»ÉÁ ù³ÝDZ ų٠ѻïá ·Ý³óùÝ»ñÇ ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõ-
ÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ 150 ÏÙ:
3. ø³ÝDZ ų٠ѻïá ·Ý³óùÝ»ñÁ ÏѳݹÇå»Ý:
4. A ù³Õ³ùÇó ù³ÝDZ ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ Ï·ïÝíÇ ³åñ³Ýù³-
ï³ñ ·Ý³óùÁ` Ù³ñ¹³ï³ñÇ B ù³Õ³ù ѳëÝ»Éáõ å³ÑÇÝ:
3. A í³ÛñÇó B í³ÛñÁ, áñáÝó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 360 ÏÙ ¿, ÙdzųٳݳÏ
áõÕ¨áñí»óÇÝ »ñÏáõ Ù»ù»Ý³ 90 ÏÙ/Å ¨ 80 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ»ñáí:
1. ø³ÝDZ ųÙáõÙ ³é³çÇÝ Ù»ù»Ý³Ý ÏѳëÝÇ B í³ÛñÁ:
2. ºñÏñáñ¹ Ù»ù»Ý³Ý ³é³çÇÝÇó ù³ÝDZ ñáå» áõß ÏѳëÝÇ B í³ÛñÁ:
3. B -Çó DZÝã Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ Ï·ïÝíÇ »ñÏñáñ¹ Ù»ù»Ý³Ý`
³é³çÇÝ Ù»ù»Ý³ÛÇ B ѳëÝ»Éáõ å³ÑÇÝ:
4. ֳݳå³ñÑÇ á±ñ ïáÏáëÁ ÏÙݳ ³ÝóÝ»Éáõ ³é³çÇÝ Ù»ù»Ý³ÛÇÝ ³ÛÝ
å³ÑÇÝ, »ñµ »ñÏñáñ¹Ý ³Ýó»É ¿ñ ׳ݳå³ñÑÇ 3
2 -Á:
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4. M í³ÛñÇó ¹»åÇ N í³ÛñÁ ß³ñÅí»ó ѻͳÝíáñ¹Á, ÙdzųٳݳÏ
N -Çó ¹»åÇ M ß³ñÅí»ó Ñ»ïÇáïÝÁ: Þ³ñÅáõÙÁ ëÏë»Éáõó 1 ų٠ѻïá
Ñ»ïÇáïÝÁ ѳݹÇå»ó ѻͳÝíáñ¹ÇÝ ¨ ß³ñáõݳϻÉáí ׳ݳå³ñÑÁ,
2,5 ų٠³Ýó ѳë³í M í³ÛñÁ:
1. Þ³ñÅáõÙÁ ëÏë»Éáõó ù³ÝDZ ñáå» Ñ»ïá ѻͳÝíáñ¹Á ѳݹÇå»ó
Ñ»ïÇáïÝÇÝ:
2. лïÇáïÝÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ѻͳÝíáñ¹Ç ³ñ³·áõÃÛ³Ý á±ñ ïáÏáëÝ ¿
ϳ½ÙáõÙ:
3. ø³ÝDZ ñáå»áõ٠ѻͳÝíáñ¹Ý ³Ýó³í MN ׳ݳå³ñÑÁ:
4. ֳݳå³ñÑÇ á±ñ ïáÏáëÝ ¿ñ ÙÝáõÙ ³ÝóÝ»Éáõ Ñ»ïÇáïÝÇÝ` ѻͳÝ-
íáñ¹Ç N ѳëÝ»Éáõ å³ÑÇÝ:
5. A ¨ B Ï»ï»ñÇó, áñáÝó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 18 ÏÙ ¿, ÙdzųٳݳÏ
ß³ñÅí»óÇÝ »ñÏáõ ѻͳÝíáñ¹: ºÃ» Ýñ³Ýù ß³ñÅí»Ý ÙÇÙÛ³Ýó Áݹ–
³é³ç, ³å³ ÏѳݹÇå»Ý Ù»ÏÝ»Éáõó 40 ñ Ñ»ïá, ÇëÏ »Ã» ß³ñÅí»Ý
ÙǨÝáõÛÝ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ, ³å³ A -Çó ¹áõñë »Ï³Í Ñ»Í³Ýíáñ¹Á
B -Çó ¹áõñë »Ï³Í Ñ»Í³Ýíáñ¹ÇÝ ÏѳëÝÇ 6 Å Ñ»ïá:
1. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ¿ B -Çó ¹áõñë »Ï³Í Ñ»Í³Ýíáñ¹Ç ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ:
2. B Ï»ïÇó ù³ÝDZ ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ÏѳݹÇå»Ý ѻͳÝíáñ¹-
Ý»ñÁ, »Ã» ß³ñÅí»Ý ÙÇÙÛ³Ýó Áݹ³é³ç:
3. ØÇÙÛ³Ýó Áݹ³é³ç ß³ñÅí»Éáõ ¹»åùáõ٠ѳݹÇåÙ³Ý å³ÑÇÝ A -Çó
¹áõñë »Ï³Í Ñ»Í³Ýíáñ¹Á B -Çó ¹áõñë »Ï³Í Ñ»Í³Ýíáñ¹Çó ù³ÝDZ
ÏÙ ³í»ÉÇ ×³Ý³å³ñÑ Ï³ÝóÝÇ:
4. ØǨÝáõÛÝ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ß³ñÅí»Éáõ ¹»åùáõ٠ѻͳÝíáñ¹Ý»ñÁ B -Çó
ù³ÝDZ ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ÏѳݹÇå»Ý:
6. ØáïáóÇÏɳí³ñÁ 1 ÏÇÉáÙ»ïñÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ 4 ñáå»áí ³í»ÉÇ ßáõï,
ù³Ý ѻͳÝíáñ¹Á, ÇëÏ 5 Å-áõÙ ³ÝóÝáõÙ ¿ 100 ÏÙ ³í»ÉÇ, ù³Ý
ѻͳÝíáñ¹Á:
1. Ø»Ï Å³ÙáõÙ ÙáïáóÇÏɳí³ñÁ ѻͳÝíáñ¹Çó ù³ÝDZ ÏÙ ¿ ³í»ÉÇ
³ÝóÝáõÙ:
2. ø³ÝDZ ų٠ѻïá ÙáïáóÇÏɳí³ñÁ ϳÝóÝÇ 40 ÏÙ ³í»ÉÇ, ù³Ý Ñ»-
ͳÝíáñ¹Á:
3. 90 Ï٠׳ݳå³ñÑÇ íñ³ ѻͳÝíáñ¹Á ù³ÝDZ ų٠³í»ÉÇ ÏͳËëÇ,
ù³Ý ÙáïáóÇÏɳí³ñÁ:
4. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ¿ ѻͳÝíáñ¹Ç ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ:
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7. ºñÏáõ ½µáë³ßñçÇÏ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Çñ³ñ Áݹ³é³ç ¹áõñë »Ý
»Ï»É »ñÏáõ ù³Õ³ùÝ»ñÇó, áñáÝó ÙÇç³Ï³ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 36 ÏÙ
¿, ¨ ѳݹÇå»óÇÝ 4Å Ñ»ïá: гÛïÝÇ ¿, áñ ³é³çÇÝÁ ѳݹÇåÙ³Ý
å³ÑÇÝ 4 ÏÙ ³í»ÉÇ ¿ñ ³Ýó»É, ù³Ý »ñÏñáñ¹Á:
1. ø³ÝDZ ÏÇÉáÙ»ïñ ¿ñ ³Ýó»É »ñÏñáñ¹Á` ѳݹÇåÙ³Ý å³ÑÇÝ:
2. ²é³çÇÝÁ »ñÏñáñ¹Çó ù³ÝDZ ïáÏáëáí ³í»ÉÇ ×³Ý³å³ñÑ ¿ñ ³Ýó»É:
3. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ¿ñ ·ÝáõÙ »ñÏñáñ¹ ½µáë³ßñçÇÏÁ:
4. Þ³ñÅáõÙÁ ëÏë»Éáõ å³ÑÇó 3 Å ³Ýó ù³ÝDZ ÏÇÉáÙ»ïñ ÏÉÇÝÇ Ýñ³Ýó
ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ:
8. ºñÏáõ Ù»ù»Ý³ A ù³Õ³ùÇó å»ïù ¿ ·Ý³Ý B ù³Õ³ùÁ, áñáÝó
Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 840 ÏÙ ¿, Áݹ áñáõÙ` ³Û¹ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ
Ù»ù»Ý³Ý»ñÇó Ù»ÏÁ ÙÛáõëÇó 2 Å-áí å³Ï³ë ųٳݳÏáõÙ ¿
³ÝóÝáõÙ: ²ÛÝ Å³Ù³Ý³Ï³Ñ³ïí³ÍáõÙ, »ñµ ³é³çÇÝ Ù»ù»Ý³Ý
³ÝóÝáõÙ ¿ 63 ÏÙ, »ñÏñáñ¹Ý ³ÝóÝáõÙ ¿ 54 ÏÙ:
1. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ¿ ³é³çÇÝ Ù»ù»Ý³ÛÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ:
2. ø³ÝDZ ųÙáõÙ ³é³çÇÝ Ù»ù»Ý³Ý ϳÝóÝÇ ³ÙµáÕç ׳ݳå³ñÑÁ:
3. ºÃ» Ù»ù»Ý³Ý»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ß³ñÅí»Ý A -Çó, ³å³ ù³ÝDZ ųÙ
Ñ»ïá Ýñ³Ýó ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ³é³í»É³·áõÛÝÁ:
4. ֳݳå³ñÑÇ Ï»ëÇÝ Ñ³ëÝ»Éáõó Ñ»ïá ù³ÝDZ ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ
å»ïù ¿ ·Ý³ »ñÏñáñ¹ Ù»ù»Ý³Ý, áñå»ë½Ç B ѳëÝÇ ³é³çÇÝ
Ù»ù»Ý³ÛÇ Ñ»ï ÙdzųٳݳÏ, »Ã» Ýñ³Ýù A -Çó Ù»ÏݳñÏ»É »Ý
ÙdzųٳݳÏ:
9. Þ᷻ݳíÁ Ñáë³ÝùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ 2 ųÙáõÙ ³ÝóÝáõÙ ¿ 110 ÏÙ, ÇëÏ
Ñáë³ÝùÇÝ Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùµ 3 ųÙáõÙ ` 25 ÏÙ ³í»ÉÇ:
1. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ¿ ß᷻ݳíÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ Ñáë³ÝùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ:
2. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ¿ ß᷻ݳíÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ Ñáë³ÝùÇ Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõ-
ÃÛ³Ùµ:
3. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ¿ ·»ïÇ Ñáë³ÝùÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ:
4. Î³Ý·Ý³Í çñáõÙ ù³ÝDZ ÏÇÉáÙ»ïñ ϳÝóÝÇ ß᷻ݳíÁ 2,5 ųÙáõÙ:
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166
10. ¶»ïÇ Ñáë³ÝùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ 70 Ï٠׳ݳå³ñÑÁ ݳíÝ ³ÝóÝáõÙ ¿
5 ųÙáõÙ ¨ í»ñ³¹³éÝáõÙ` 7 ųÙáõÙ:
1. ܳí³ÏÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ·»ïÇ Ñáë³ÝùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ù³ÝDZ ÏÙ/Å-
áí ¿ ³í»ÉÇ Ýñ³` Ñáë³ÝùÇÝ Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ß³ñÅí»Éáõ
³ñ³-·áõÃÛáõÝÇó:
2. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ¿ ݳí³ÏÇ ë»÷³Ï³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ:
3. ¶»ïÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ù³ÝDZ ³Ý·³Ù ¿ ÷áùñ ݳí³ÏÇ ë»÷³Ï³Ý
³ñ³·áõÃÛáõÝÇó:
4. ø³ÝDZ ųÙáõ٠ɳëïÁ ϳÝóÝÇ ³Û¹ ÝáõÛÝ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ:
11. ¶»ï³÷ÝÛ³ A í³ÛñÇó ³é³çÇÝ Ý³í³ÏÇ ·»ïÝ Ç í³ñ ß³ñÅí»Éáõ
å³ÑÇó 1 ų٠ѻïá B -Çó Ýñ³Ý Áݹ³é³ç ¹áõñë »Ï³í »ñÏñáñ¹
ݳí³ÏÁ: гݹÇåÙ³Ý å³ÑÇÝ å³ñ½í»ó, áñ Ýñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³Ý-
ãÛáõñÝ ³Ýó»É ¿ 36 ÏÙ: ²é³çÇÝ Ý³í³ÏÇ ë»÷³Ï³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ
10 ÏÙ/Å ¿, ÇëÏ Ñáë³ÝùÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ` 2 ÏÙ/Å:
1. ø³ÝDZ Ï٠׳ݳå³ñÑ ³Ýó³í ³é³çÇÝ Ý³í³ÏÁ ß³ñÅáõÙÁ
ëÏë»Éáõó 1 Å Ñ»ïá:
2. ø³ÝDZ ų٠層ó »ñÏñáñ¹Ç áõÕ¨áñáõÃÛáõÝÁ ÙÇÝ㨠ѳݹÇåáõÙÁ:
3. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ¿ »ñÏñáñ¹Ç ë»÷³Ï³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ:
4. ºñÏñáñ¹Ç ë»÷³Ï³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ù³ÝDZ ïáÏáëáí ¿ ³í»ÉÇ
³é³çÇÝÇ ë»÷³Ï³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÇó:
12. A ¨ B ù³Õ³ùÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 160 ÏÙ ¿: ºñÏáõ ѻͳÝíáñ¹
³Û¹ ù³Õ³ùÝ»ñÇó Ù»ÏÝ»Éáí ÙÇÙÛ³Ýó Áݹ³é³ç ѳݹÇå»óÇÝ Ï»ë
׳ݳå³ñÑÇÝ ¨ ß³ñáõݳϻóÇÝ ß³ñÅí»É ÝáõÛÝ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí:
B -Çó ¹áõñë »Ï³Í Ñ»Í³Ýíáñ¹Á Ù»ÏÝ»É ¿ ÙÛáõëÇó 2 ų٠ßáõï, ÇëÏ A -
Çó ¹áõñë »Ï³Í Ñ»Í³Ýíáñ¹Ç ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 2 ³Ý·³Ù ³í»ÉÇ ¿
B -Çó ¹áõñë »Ï³Í Ñ»Í³Ýíáñ¹Ç ³ñ³·áõÃÛáõÝÇó:
1. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ¿ A -Çó ¹áõñë »Ï³Í Ñ»Í³Ýíáñ¹Ç ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ:
2. B -Çó ¹áõñë »Ï³Í Ñ»Í³Ýíáñ¹Á ù³ÝDZ ųÙáõÙ ³Ýó³í AB ׳ݳå³ñÑÁ:
3. ø³ÝDZ ų٠ѻïá A -Çó ¹áõñë »Ï³Í Ñ»Í³Ýíáñ¹Á ѳݹÇå»ó ÙÛáõë
ѻͳÝíáñ¹ÇÝ:
4. A -Çó ¹áõñë »Ï³Í Ñ»Í³Ýíáñ¹Ç B ѳëÝ»Éáõ å³ÑÇÝ ÙÛáõë ѻͳ-
Ýíáñ¹Á A -Çó ù³ÝDZ ÏÇÉáÙ»ïñ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ¿ñ ·ïÝíáõÙ:
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13. ºñÏáõ ·Ý³óù ß³ñÅíáõÙ »Ý ÙÇÙÛ³Ýó Áݹ³é³ç, ³é³çÇÝÁ` 36 ÏÙ/Å,
ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á` 48 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ: ²é³çÇÝ ·Ý³óùÁ ëÛ³Ý
Ùáïáí ³Ýó³í 20 í³ÛñÏÛ³ÝáõÙ: ²é³çÇÝ ·Ý³óùáõÙ Ýëï³Í áõÕ¨áñÇ
Ùáïáí »ñÏñáñ¹ ·Ý³óùÝ ³Ýó³í 6 í³ÛñÏÛ³ÝáõÙ:
1. ø³ÝDZ Ù»ïñ ¿ ³é³çÇÝ ·Ý³óùÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ø³ÝDZ Ù»ïñ ¿ ϳÙñçÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» ³é³çÇÝ ·Ý³óùÁ Ýñ³
íñ³Ûáí ³ÝóÝáõÙ ¿ 25 í³ÛñÏÛ³ÝáõÙ:
3. ø³ÝDZ Ù»ïñ ¿ »ñÏñáñ¹ ·Ý³óùÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
4. ø³ÝDZ í³ÛñÏÛ³ÝáõÙ »ñÏñáñ¹ ·Ý³óùÁ ϳÝóÝÇ Çñ »ñϳñáõÃÛáõÝÇó
15 ³Ý·³Ù Ù»Í »ñϳñáõÃÛ³Ùµ ϳÙñçÇ íñ³Ûáí:
14. ¶Ý³óùÁ 450 Ù »ñϳñáõÃÛ³Ùµ ϳÙáõñçÝ ³Ýó³í 45 í³ÛñÏÛ³ÝáõÙ,
ÇëÏ ëÛ³Ý Ùáïáí` 15 í³ÛñÏÛ³ÝáõÙ:
1. ø³ÝDZ Ù»ïñ ¿ ·Ý³óùÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ø³ÝDZ Ù/í ¿ ·Ý³óùÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ:
3. ø³ÝDZ Ù/í ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ å»ïù ¿ ß³ñÅíÇ ·Ý³óùÁ, áñå»ë½Ç 450 Ù
»ñϳñáõÃÛ³Ùµ ϳÙáõñçÝ ³ÝóÝÇ 15 í³ÛñÏÛ³ÝáõÙ:
4. ø³ÝDZ í³ÛñÏÛ³ÝáõÙ ·Ý³óùÁ ϳÝóÝÇ Çñ »ñϳñáõÃÛ³ÝÁ ѳí³ë³ñ
ϳÙñçÇ íñ³Ûáí:
15. ºñÏáõ ù³Õ³ùÝ»ñÇó ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ÙÇÙÛ³Ýó Áݹ³é³ç ¹áõñë »Ï³Ý
»ñÏáõ ³íïáÙ»ù»Ý³: ²é³çÇÝÁ 3 ųÙáõÙ ³Ýó³í ù³Õ³ùÝ»ñÇ ÙÇç¨
Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý 3
25 Ù³ëÁ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á 2,5 ųÙáõÙ` ù³Õ³ùÝ»ñÇ
ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý 0,2 Ù³ëÁ: ØÇÝ㨠ѳݹÇåÙ³Ý í³ÛñÁ ³é³çÇÝ
Ù»ù»Ý³Ý ³Ýó³í 600 ÏÙ:
1. ø³ÝDZ ųÙáõÙ ³é³çÇÝ Ù»ù»Ý³Ý ÙÇ ù³Õ³ùÇó ÏѳëÝÇ ÙÛáõëÁ:
2. ø³ÝDZ ³Ý·³Ù ¿ »ñÏñáñ¹ Ù»ù»Ý³ÛÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ Ù»Í ³é³çÇÝ
Ù»ù»Ý³ÛÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÇó:
3. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ¿ ³é³çÇÝ Ù»ù»Ý³ÛÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ:
4. ø³ÝDZ ÏÙ ¿ ù³Õ³ùÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý 5
1 Ù³ëÁ:
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16. A í³ÛñÇó 36 ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ·ïÝíáÕ B í³Ûñ ï³ÝáÕ
׳ݳå³ñÑÁ µ³Õϳó³Í ¿ AC í»ñ»ÉùÇó ¨ CB í³Ûñ¿çùÇó:
лͳÝíáñ¹Á A -Çó B ׳ݳå³ñÑÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ 2Å 40 ñáå»áõÙ:
ì»ñ»ÉùÝ»ñáõÙ Ýñ³ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 12 ÏÙ/Å ¿, ÇëÏ í³Ûñ¿çùÝ»ñáõÙ`
18 ÏÙ/Å:
1. ø³ÝDZ ÏÙ ¿ AC ׳ݳå³ñÑÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ø³ÝDZ ÏÙ ¿ CB ׳ݳå³ñÑÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. C -Çó A áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ѻͳÝíáñ¹Á ù³ÝDZ ñáå»áõ٠ϳÝóÝÇ CA
׳ݳå³ñÑÁ:
4. B -Çó A í»ñ³¹³éݳÉÇë ѻͳÝíáñ¹Á ù³ÝDZ ñáå» å³Ï³ë
Å³Ù³Ý³Ï ¿ ͳËëáõÙ ù³Ý A -Çó B ·Ý³ÉÇë:
17. ØÇÙÛ³ÝóÇó 30 ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ·ïÝíáÕ A ¨ B í³Ûñ»ñÇó
ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ÙÇÙÛ³Ýó Áݹ³é³ç Ù»ÏÝ»óÇÝ »ñÏáõ ѻͳÝíáñ¹: A -
Çó Ù»ÏÝ³Í Ñ»Í³Ýíáñ¹Á B ѳë³í Ýñ³Ýó ѳݹÇåáõÙÇó 4, 5 ųÙ
³Ýó, ÇëÏ B -Çó Ù»ÏݳÍÁ A ѳë³í ѳݹÇåáõÙÇó 2 ų٠³Ýó:
1. ø³ÝDZ ų٠ѻïá ѳݹÇå»óÇÝ Ñ»Í³Ýíáñ¹Ý»ñÁ:
2. ø³ÝDZ ų٠層ó B -Çó Ù»ÏÝ³Í Ñ»Í³Ýíáñ¹Ç áõÕ¨áñáõÃÛáõÝÁ:
3. ²é³çÇÝ Ñ»Í³Ýíáñ¹Ç 3 ųÙáõÙ ³Ýó³Í ׳ݳå³ñÑÁ ù³ÝDZ
ųÙáõ٠ϳÝóÝÇ »ñÏñáñ¹ ѻͳÝíáñ¹Á:
4. ø³ÝDZ ÏÙ/Å ¿ B -Çó Ù»ÏÝ³Í Ñ»Í³Ýíáñ¹Ç ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ:
18. ê³ÛÉÇ ³éç¨Ç ³ÝÇíÇ ßñç³Ý³·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ 2,5 Ù ¿, ÇëÏ
Ñ»ï¨Ç ³ÝÇíÇÝÁ` 3,5 Ù:
1. ø³ÝDZ åïáõÛï Ïϳï³ñÇ ³éç¨Ç ³ÝÇíÁ, »Ã» ë³ÛÉÝ ³ÝóÝÇ 120 Ù
׳ݳå³ñÑ:
2. ø³ÝDZ Ù»ïñ ׳ݳå³ñÑ Ï³ÝóÝÇ ë³ÛÉÁ, »Ã» Ñ»ï¨Ç ³ÝÇíÁ
ϳï³ñÇ 70 åïáõÛï:
3. ø³ÝDZ åïáõÛï Ïϳï³ñÇ Ñ»ï¨Ç ³ÝÇíÝ ³ÛÝ Å³Ù³Ý³Ï³Ñ³ï-
í³ÍáõÙ, »ñµ ³éç¨Ç ³ÝÇíÁ ϳï³ñÇ 28 åïáõÛï:
4. ø³ÝDZ Ù»ïñ ׳ݳå³ñÑ Ï³ÝóÝÇ ë³ÛÉÁ, »Ã» ³éç¨Ç ³ÝÇíÁ 20
åïáõÛï ³í»ÉÇ Ï³ï³ñÇ, ù³Ý Ñ»ï¨Ç ³ÝÇíÁ:
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19. 54 Ù »ñϳñáõÃÛ³Ùµ ׳ݳå³ñÑáí ·Éáñí»ÉÇë ³ÝÇíÝ»ñÇó Ù»ÏÁ
ÙÛáõëÇó 6 åïáõÛï ³í»ÉÇ ¿ ϳï³ñáõÙ: ²ÝÇíÝ»ñÇ ïñ³Ù³·Í»ñÁ
ѳñ³µ»ñáõÙ »Ý, ÇÝãå»ë 3:1:
1. ø³ÝDZ ³Ý·³Ù ¿ Ù»Í ³ÝÇíÇ ßñç³Ý³·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ ³í»ÉÇ
÷áùñ ³ÝÇíÇ ßñç³Ý³·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÇó:
2. ø³ÝDZ Ù»ïñ ¿ Ù»Í ³ÝÇíÇ ßñç³Ý³·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ø³ÝDZ åïáõÛï Ïϳï³ñÇ ÷áùñ ³ÝÇíÁ` ׳ݳå³ñÑáí 72 Ù
·Éáñí»ÉÇë:
4. ø³ÝDZ åïáõÛï Ïϳï³ñÇ Ù»Í ³ÝÇíÁ ³ÛÝ ×³Ý³å³ñѳѳï-
í³ÍáõÙ, áñï»Õ ÷áùñ ³ÝÇíÁ ·Éáñí»ÉÇë ϳï³ñáõÙ ¿ 15 åïáõÛï:
20. A Ï»ïÇó ÝáõÛÝ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ß³ñÅíáõÙ »Ý »ñÏáõ
Ù³ñÙÇÝ, áñáÝóÇó ³é³çÇÝÁ 15 Ù/í ѳëï³ïáõÝ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ:
ºñÏñáñ¹Ý ³é³çÇÝ í³ÛñÏÛ³ÝáõÙ ³ÝóÝáõÙ ¿ 5 Ù, ÇëÏ
Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ѳçáñ¹ í³ÛñÏÛ³ÝáõÙ 2 Ù ³í»ÉÇ, ù³Ý ݳËáñ¹áõÙ:
1. 3 í³ÛñÏÛ³Ý Ñ»ïá ³é³çÇÝÁ A Ï»ïÇó ù³ÝDZ Ù»ïñ Ñ»é³íáñáõ-
ÃÛ³Ý íñ³ Ï·ïÝíÇ:
2. 10 ñáå» Ñ»ïá ³é³çÇÝÁ A Ï»ïÇó ù³ÝDZ ÏÇÉáÙ»ïñ Ñ»é³íáñáõ-
ÃÛ³Ý íñ³ Ï·ïÝíÇ:
3. ø³ÝDZ Ù»ïñ ׳ݳå³ñÑ ¿ ³ÝóÝáõÙ »ñÏñáñ¹ Ù³ñÙÇÝÝ áõû-
ñáñ¹ í³ÛñÏÛ³ÝáõÙ:
4. ø³ÝDZ í³ÛñÏÛ³Ý Ñ»ïá Ù³ñÙÇÝÝ»ñÁ ÏѳݹÇå»Ý, »Ã» ѳÛïÝÇ ¿, áñ
³Û¹ ųٳݳÏÁ í³ÛñÏÛ³ÝÝ»ñáí ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ µÝ³Ï³Ý Ãíáí:
21. 315 Ù »ñϳñáõÃÛ³Ùµ ßñç³Ý³·ÍÇ A ¨ B Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ ·ïÝíáÕ
÷áùñ ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ 105 Ù»ïñ ¿: A Ï»ïÇó ß³ñÅíáÕ
Ù³ñÙÝÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 20 Ù/ñ ¿, ÇëÏ B Ï»ïÇó ß³ñÅíáÕ Ù³ñÙÝÇ
³ñ³·áõÃÛáõÝÁ` 15 Ù/ñ:
1. ø³ÝDZ ñáå» ³Ýó Ù³ñÙÇÝÝ»ñÁ ÏѳݹÇå»Ý, »Ã» Ýñ³Ýù ÙÇÙÛ³Ýó
Áݹ³é³ç ß³ñÅí»Ý ÷áùñ ³Õ»Õáí:
2. ø³ÝDZ ñáå» ³Ýó Ù³ñÙÇÝÝ»ñÁ ÏѳݹÇå»Ý, »Ã» Ýñ³Ýù ß³ñÅí»Ý
ÝáõÛÝ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ¨ A -Çó ß³ñÅíáÕ Ù³ñÙÇÝÁ Ñ»ï³åÝ¹Ç B -Çó
ß³ñÅíáÕ Ù³ñÙÝÇÝ` Ù»Í ³Õ»Õáí:
3. ø³ÝDZ ñáå» ³Ýó Ù³ñÙÇÝÝ»ñÁ ÏѳݹÇå»Ý, »Ã» Ýñ³Ýù ß³ñÅí»Ý
ï³ñµ»ñ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí ¨ Ù»Í ³Õ»Õáí:
4. ²é³çÇÝ Ñ³Ý¹ÇåáõÙÇó ù³ÝDZ ñáå» ³Ýó Ù³ñÙÇÝÝ»ñÁ ÝáñÇó
ÏѳݹÇå»Ý, »Ã» Ýñ³Ýù ß³ñÅí»Ý ÝáõÛÝ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ:
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22. ¸áõñë ·³Éáí ÙǨÝáõÛÝ Ï»ïÇó` »ñÏáõ Ù³ñÙÇÝ ëÏë»óÇÝ Ñ³í³ë³-
ñ³ã³÷ ß³ñÅí»É 150 Ù »ñϳñáõÃÛ³Ùµ ßñç³Ý³·Íáí: ²é³çÇÝÇ
³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 10 Ù/íñÏ ¿, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ÇÝÁ` 15 Ù/íñÏ:
1. ø³ÝDZ í³ÛñÏÛ³ÝÁ Ù»Ï ÏѳݹÇå»Ý Ù³ñÙÇÝÝ»ñÁ, »Ã» ß³ñÅí»Ý
ѳϳé³Ï áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí:
2. ø³ÝDZ í³ÛñÏÛ³ÝÁ Ù»Ï ÏѳݹÇå»Ý Ù³ñÙÇÝÝ»ñÁ, »Ã» ß³ñÅí»Ý
ÙǨÝáõÛÝ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ:
3. Þ³ñÅí»Éáí ѳϳé³Ï áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí`Ù³ñÙÇÝÝ»ñÁ
Ýí³½³·áõÛÝÁ ù³ÝDZ í³ÛñÏÛ³Ý Ñ»ïá Ï·ïÝí»Ý ïñ³Ù³·Íáñ»Ý
ѳϳ¹Çñ Ï»ï»ñáõÙ:
4. ø³ÝDZ Ù»ïñ ÏÉÇÝÇ Ù³ñÙÇÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ß³ñÅáõÙÁ
ëÏë»Éáõó 30 íñÏ Ñ»ïá:
23. A í³ÛñÇó ¹»åÇ B í³ÛñÝ áõÕ¨áñí»ó 20 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ß³ñÅ-
íáÕ Ñ»Í³Ýíáñ¹Á: 30 ñáå» ³Ýó A -Çó ¹áõñë »Ï³í 30 ÏÙ/Å ³ñ³·áõ-
ÃÛ³Ùµ ß³ñÅíáÕ ÙáïáóÇÏɳí³ñÁ, áñÁ ѳëÝ»Éáí ѻͳÝíáñ¹ÇÝ,
³ÝÙÇç³å»ë Ñ»ï ßñçí»ó ¨ A í»ñ³¹³ñÓ³í ³ÛÝ å³ÑÇÝ, »ñµ
ѻͳÝíáñ¹Á ѳë³í B :
1. ø³ÝDZ ñáå»áõÙ ÙáïáóÇÏɳí³ñÁ ϳñáÕ ¿ ³ÝóÝ»É Ñ»Í³Ýíáñ¹Ç 60
ñáå»áõÙ ³Ýó³Í ׳ݳå³ñÑÁ:
2. лͳÝíáñ¹Á ù³ÝDZ ñáå»áõÙ A í³ÛñÇó ѳë³í B í³ÛñÁ:
3. ø³ÝDZ ÏÙ ¿ A ¨ B í³Ûñ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ:
4. Þ³ñÅáõÙÁ ëÏë»Éáõó ù³ÝDZ ų٠ѻïá ÙáïáóÇÏɳí³ñÁ ѳë³í
ѻͳÝíáñ¹ÇÝ:
24. ºñÏáõ ù³Õ³ùÝ»ñÇó ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Çñ³ñ Áݹ³é³ç ß³ñÅí»óÇÝ
»ñÏáõ Ù»ù»Ý³: ²é³çÇÝ Ù»ù»Ý³Ý ³Û¹ ù³Õ³ùÝ»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í
׳ݳå³ñÑÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ 1 ų٠30 ñáå»áõÙ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á` 1
ųÙáõÙ:
1. ø³ÝDZ ñáå»áõÙ ³é³çÇÝ Ù»ù»Ý³Ý ϳÝóÝÇ ³Û¹ ׳ݳå³ñÑÇ
Ï»ëÁ:
2. ²Û¹ ׳ݳå³ñÑÇ ù³ÝDZ ïáÏáëÁ ϳÝóÝÇ »ñÏñáñ¹ Ù»ù»Ý³Ý 15
ñáå»áõÙ:
3. ø³ÝDZ ñáå»áõÙ »ñÏñáñ¹ Ù»ù»Ý³Ý ϳÝóÝÇ ³é³çÇÝ Ù»ù»Ý³ÛÇ
Ù»Ï Å³ÙáõÙ ³Ýó³Í ׳ݳå³ñÑÁ:
4. Þ³ñÅáõÙÁ ëÏë»Éáõó ù³ÝDZ ñáå» Ñ»ïá ³Û¹ Ù»ù»Ý³Ý»ñÁ
ÏѳݹÇå»Ý:
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25. A ù³Õ³ùÇó ¹»åÇ B ù³Õ³ù ß³ñÅí»ó Ù³ñ¹³ï³ñ ³íïáÙ»ù»-
ݳÝ` 60 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ: ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï B ù³Õ³ùÇó ¹»åÇ A
ù³Õ³ù ß³ñÅí»ó ³íïáµáõëÁ` 40 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ: A ¨ B
ù³Õ³ùÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 600 ÏÙ ¿:
1. ø³ÝDZ ų٠ѻïá Ù³ñ¹³ï³ñ ³íïáÙ»ù»Ý³Ý ¨ ³íïáµáõëÁ
ÏѳݹÇå»Ý:
2. ø³ÝDZ ų٠Ïå³Ñ³ÝçíÇ ³íïáµáõëÇÝ Ñ³Ý¹ÇåÙ³Ý í³ÛñÇó A
ѳëÝ»Éáõ ѳٳñ:
3. ø³ÝDZ ÏÇÉáÙ»ïñ ÏÙݳ Ù³ñ¹³ï³ñÇÝ B ѳëÝ»Éáõ ѳٳñ`
ѳݹÇåáõÙÇó 2 ų٠ѻïá:
4. ø³ÝDZ ÏÇÉáÙ»ïñ ÏÉÇÝÇ Ù»ù»Ý³Ý»ñÇ ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ³ÛÝ
å³ÑÇÝ, »ñµ Ù³ñ¹³ï³ñ ³íïáÙ»ù»Ý³Ý ³ÝóÝÇ ×³Ý³å³ñÑÇ 5
4
Ù³ëÁ:
26. ºñÏáõ í³Ûñ»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í ׳ݳå³ñÑÁ Ù³ñ¹Á` ù³ÛÉ»Éáí ³Ýó-
ÝáõÙ 4 ųÙáõÙ, ÇëÏ Ñ»Í³Ýíáíª 2,4 ³Ý·³Ù ùÇã ųٳݳÏáõÙ:
лͳÝíáí ÁÝóݳÉÇë Ýñ³ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 7ÏÙ/Å-áí ³í»ÉÇ ¿, ù³Ý
ù³Û»ÉÇë:
1. ø³ÝDZ ñáå»áõÙ ¿ ݳ ѻͳÝíáí ³ÝóÝáõÙ ³Û¹ ׳ݳå³ñÑÁ:
2. ¶ïÝ»É Ýñ³ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ѻͳÝíáí ÁÝóݳÉÇëª ³ñï³Ñ³Ûï³Í
ÏÙ/Å-áí:
3. ø³ÝDZ ÏÙ ¿ ³Û¹ ׳ݳå³ñÑÁ:
4. ø³ÝDZ ñáå»áõ٠ݳ ϳÝóÝÇ ³Û¹ ׳ݳå³ñÑÁ, »Ã» ׳ݳå³ñÑÇ 8
ÏÇÉáÙ»ïñÝ ³ÝóÝÇ Ñ»Í³Ýíáí, ÇëÏ Ùݳó³Í Ù³ëÁ` ù³ÛÉ»Éáí:
27. ²é³çÇÝ µñÇ·³¹Ý ³ÙµáÕç ¹³ßïÁ ϳñáÕ ¿ ÑÝÓ»É 10 ûñáõÙ, ÇëÏ
»ñÏñáñ¹ µñÇ·³¹ÇÝ ÝáõÛÝ ³ß˳ï³ÝùÁ ϳï³ñ»Éáõ ѳٳñ
ѳñϳíáñ ¿ ³Û¹ ųٳݳÏÇ 150 %-Á:
1. ø³ÝDZ ûñáõÙ ¹³ßïÁ ÏÑÝÓÇ »ñÏñáñ¹ µñÇ·³¹Á:
2. ø³ÝDZ ûñáõÙ ¹³ßïÁ ÏÑÝÓ»Ý »ñÏáõ µñÇ·³¹Ý»ñÁ ÙdzëÇÝ:
3. ºñÏñáñ¹ µñÇ·³¹Ç 6 ûñáõ٠ϳï³ñ³Í ³ß˳ï³ÝùÁ ù³ÝDZ
ïáÏáëáí ¿ ³í»ÉÇ ³é³çÇÝ µñÇ·³¹Ç 2 ûñáõ٠ϳï³ñ³Í ³ß˳-
ï³ÝùÇó:
4. ø³ÝDZ ûñ Ïï¨Ç ÑáõÝÓÁ, »Ã» ëϽµáõÙ 5 ûñ ³ß˳ïÇ ÙdzÛÝ »ñÏñáñ¹
µñÇ·³¹Á, ÇëÏ Ùݳó³ÍÁ ÑÝÓ»Ý ÙdzëÇÝ:
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28. ²é³çÇÝ µ³ÝíáñÁ ³ß˳ï³ÝùÁ ϳñáÕ ¿ ϳï³ñ»É 40 ûñáõÙ, ÇëÏ
»ñÏñáñ¹Á` 60 ûñáõÙ:
1. гٳï»Õ ³ß˳ï»Éáí Ýñ³Ýù ù³ÝDZ ûñáõ٠ϳí³ñï»Ý ³Û¹
³ß˳ï³ÝùÁ:
2. ²ß˳ï³ÝùÁ ù³ÝDZ ûñáõÙ Ïϳï³ñ»Ý »ñÏáõ µ³ÝíáñÁ ÙdzëÇÝ,
»Ã» ³é³çÇÝ µ³ÝíáñÝ ³ß˳ïÇ 1,5 ³Ý·³Ù ¹³Ý¹³Õ:
3. ²ß˳ï³ÝùÁ ù³ÝDZ ûñáõÙ Ïϳï³ñ»Ý »ñÏáõ µ³ÝíáñÁ ÙdzëÇÝ,
»Ã» Ýñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ ³ß˳ïÇ 20 ïáÏáë ³í»ÉÇ ³ñï³-
¹ñáճϳÝáõÃÛ³Ùµ:
4. ø³ÝDZ ûñáõ٠ϳí³ñïíÇ ³ß˳ï³ÝùÁ, »Ã» ëϽµáõÙ ³ß˳ï³ÝùÇ
Ï»ëÁ ϳï³ñÇ ÙdzÛÝ ³é³çÇÝ µ³ÝíáñÁ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ Ï»ëÁª ÙdzÛÝ
»ñÏñáñ¹ µ³ÝíáñÁ:
29. ì³ñå»ïÁ ¨ ³ß³Ï»ñïÁ, ÙdzëÇÝ ³ß˳ï»Éáí, å³ïÁ ϳñáÕ »Ý
ß³ñ»É 8 ûñáõÙ: гÛïÝÇ ¿, áñ í³ñå»ïÝ ³ß³Ï»ñïÇó 2 ³Ý·³Ù
³í»ÉÇ ³ñ³· ¿ ³ß˳ïáõÙ:
1. ²ß˳ï»Éáí ³é³ÝÓÇÝ, ³ß³Ï»ñïÁ ù³ÝDZ ûñáõ٠ϳñáÕ ¿ å³ïÁ
ß³ñ»É:
2. Ø»Ï Å³ÙáõÙ í³ñå»ïÝ ³ß³Ï»ñïÇó ù³ÝDZ ïáÏáëáí ³í»ÉÇ
³ß˳ï³Ýù Ïϳï³ñÇ:
3. Àݹ³Ù»ÝÁ ù³ÝDZ ûñáõÙ Ýñ³Ýù Ïß³ñ»Ý å³ïÁ, »Ã» ëϽµáõÙ 3 ûñ
³ß˳ïÇ ÙdzÛÝ ³ß³Ï»ñïÁ, ÇëÏ Ùݳó³Í Ù³ëÝ ³í³ñï»Ý Ùdz-
ëÇÝ:
4. ø³ÝDZ ûñáõÙ Ýñ³Ýù Ïß³ñ»Ý å³ïÁ, »Ã» í³ñå»ïÁ ëÏëÇ ³ß˳ï»É
2 ³Ý·³Ù ³í»ÉÇ ¹³Ý¹³Õ, ÇëÏ ³ß³Ï»ñïÁ 3 ³Ý·³Ù ³í»ÉÇ ³ñ³·:
30. ºñÏáõ Íáñ³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³ï»Õ ·áñÍ»Éáõ ¹»åùáõÙ çñ³í³½³ÝÁ ÉóíáõÙ
¿ 8 ųÙáõÙ: Ø»Ï Å³ÙáõÙ ³é³çÇÝ Íáñ³ÏÇó ÑáëáõÙ ¿ 1,25 ³Ý·³Ù
³í»ÉÇ çáõñ, ù³Ý »ñÏñáñ¹Çó:
1. Ø»Ï Å³ÙáõÙ »ñÏñáñ¹ Íáñ³ÏÇó ù³ÝDZ ïáÏáëáí ¿ å³Ï³ë çáõñ
ÑáëáõÙ, ù³Ý ³é³çÇÝÇó:
2. ØdzÛÝ »ñÏñáñ¹ Íáñ³Ïáí ù³ÝDZ ųÙáõ٠ϳñáÕ ¿ Éóí»É
çñ³í³½³ÝÁ:
3. ²é³çÇÝ Íáñ³Ïáí ù³ÝDZ ųÙáõ٠ϳñáÕ ¿ Éóí»É ³Û¹åÇëÇ ÑÇÝ·
çñ³í³½³Ý:
4. ø³ÝDZ ųÙáõ٠ϳñáÕ ¿ Éóí»É çñ³í³½³ÝÁ, »Ã» 4 ų٠·áñÍÇ ÙdzÛÝ
³é³çÇÝ Íáñ³ÏÁ, ÇëÏ Ùݳó³Í Ù³ëÁ ÉóíÇ ÙdzÛÝ »ñÏñáñ¹ Íáñ³Ïáí:
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31. ²í³½³ÝÇÝ Ùdzóí³Í »Ý »ñÏáõ ËáÕáí³Ï` ³é³çÇÝÁ ÉóÝáÕ, »ñÏ-
ñáñ¹Á ¹³ï³ñÏáÕ: ºñÏñáñ¹ ËáÕáí³ÏÁ 1,5 ³Ý·³Ù ³ñ³·³·áñÍ ¿
³é³çÇÝÇó: ²é³çÇÝÁ ¹³ï³ñÏ ³í³½³ÝÁ ϳñáÕ ¿ ÉóÝ»É 12 Å-áõÙ:
1. ºñÏñáñ¹ ËáÕáí³ÏÁ ù³ÝDZ ųÙáõ٠Ϲ³ï³ñÏÇ ÉÇùÁ ³í³½³ÝÁ:
2. ºÃ» ¹³ï³ñÏ ³í³½³ÝÇ ¹»åùáõÙ ³é³çÇÝ ËáÕáí³ÏÝ ³ß˳ïÇ
6Å, ³ÛÝ ÷³Ï»Éáõó Ñ»ïá ù³ÝDZ ųÙáõÙ »ñÏñáñ¹Á Ϲ³ï³ñÏÇ ³í³-
½³ÝÁ:
3. ÈÇùÁ ³í³½³ÝÁ »ñÏáõ ËáÕáí³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³ï»Õ ³ß˳ï»Éáõ ¹»å-
ùáõÙ ù³ÝDZ ųÙáõ٠Ϲ³ï³ñÏíÇ:
4. ºÃ» ËáÕáí³ÏÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï³Ý ѽáñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏñÏݳå³ïÏí»Ý,
ù³ÝDZ ųÙáõ٠Ϲ³ï³ñÏíÇ ÉÇùÁ ³í³½³ÝÁ` »ñÏáõ ËáÕáí³ÏÝ»ñÇ
ѳٳï»Õ ³ß˳ï»Éáõ ¹»åùáõÙ:
32. ²é³çÇÝ Íáñ³ÏÁ ³í³½³ÝÁ ÉóÝáõÙ ¿ 5 ųÙáõÙ: êϽµáõÙ 2 Å µ³ó»-
óÇÝ ³é³çÇÝ Íáñ³ÏÁ, ³ÛÝáõÑ»ï¨ ³í³½³ÝÇ Ùݳó³Í Ù³ëÁ ÉóñÇÝ
ÙdzÛÝ »ñÏñáñ¹ Íáñ³Ïáí: ä³ñ½í»ó, áñ ³í³½³ÝÇ ³é³çÇÝ Ï»ëÁ
»ñÏñáñ¹ Ï»ëÇó 1 ųÙáí å³Ï³ë ųٳݳÏáõÙ ¿ Éóí»É:
1. ²í³½³ÝÇ á±ñ ïáÏáëÁ Éóñ»ó ³é³çÇÝ Íáñ³ÏÁ:
2. ø³ÝDZ ųÙáõÙ ÏÉóÝÇ ³í³½³ÝÁ »ñÏñáñ¹ Íáñ³ÏÇó »ñÏáõ ³Ý·³Ù
å³Ï³ë ѽáñáõÃÛ³Ùµ Íáñ³ÏÁ:
3. ²é³çÇÝ Íáñ³ÏÇ ³ñï³¹ñáճϳÝáõÃÛáõÝÁ ù³ÝDZ ïáÏáëáí ¿ ³í»ÉÇ
»ñÏñáñ¹ Íáñ³ÏÇ ³ñï³¹ñáճϳÝáõÃÛáõÝÇó:
4. ø³ÝDZ ųÙáõÙ ¿ ÉóíáõÙ ³í³½³ÝÁ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ Íáñ³ÏÝ»ñÇ
ѳٳï»Õ ·áñÍ»Éáõ ¹»åùáõÙ:
33. ´³ÝíáñÝ 8 ųÙáõÙ ß³ñ»É ¿ñ 13 Ù
2 å³ï, Áݹ áñáõÙ, ³é³çÇÝ 4 Ù
2
ß³ñ»Éáõó Ñ»ïá Ýñ³ ³ñï³¹ñáճϳÝáõÃÛáõÝÝ ÁÝÏ»É ¿ñ 25 %-áí:
1. ØÇÝ㨠³ñï³¹ñáճϳÝáõÃÛáõÝÝ ÁÝÏÝ»ÉÁ µ³ÝíáñÁ 1 ųÙáõÙ ù³ÝDZ
Ù2
å³ï ¿ñ ß³ñáõÙ:
2. ø³ÝDZ ų٠³ß˳ï»ó µ³ÝíáñÝ ³ñï³¹ñáճϳÝáõÃÛáõÝÝ ÁÝÏÝ»Éáõó
Ñ»ïá:
3. ø³ÝDZ ųÙáõÙ µ³ÝíáñÁ ß³ñ»ó å³ïÇ ³é³çÇÝ 7 Ù2
-Ý:
4. ø³ÝDZ Ù2 ß³ñ»ó µ³ÝíáñÝ ³é³çÇÝ 6 ųÙáõÙ:
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 3 îºøêî²ÚÆÜ ÊܸÆðܺð
174
34. ÐÇÝ· Ùdzï»ë³Ï ïñ³ÏïáñÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ËáõÙµÝ ³é³çÇÝ
¹³ßïÁ ϳñáÕ ¿ Ñ»ñÏ»É 14 ûñáõÙ: ÜáõÛݳïÇå »ñÏñáñ¹ ¹³ßïÇ
ٳϻñ»ëÁ ³é³çÇÝÇó Ù»Í ¿ 80 %-áí:
1. ²Û¹åÇëÇ 7 ïñ³ÏïáñÝ»ñÇó µ³Õϳó³Í ËáõÙµÝ ³é³çÇÝ ¹³ßïÁ
ù³ÝDZ ûñáõÙ ÏÑ»ñÏÇ:
2. ²Û¹åÇëÇ ù³ÝDZ ïñ³Ïïáñ ¿ ³ÝÑñ³Å»ßï »ñÏñáñ¹ ¹³ßïÁ 18 ûñáõÙ
Ñ»ñÏ»Éáõ ѳٳñ:
3. ø³ÝDZ ïáÏáëáí ³í»ÉÇ ³ñï³¹ñáճϳÝáõÃÛ³Ùµ å»ïù ¿ ³ß˳-
ïÇ 5 ïñ³ÏïáñÝ»ñÇó µ³Õϳó³Í ËáõÙµÁ, áñå»ë½Ç »ñÏñáñ¹
¹³ßïÁ Ñ»ñÏÇ 15 ûñáõÙ:
4. ²Û¹åÇëÇ ù³ÝDZ ïñ³Ïïáñ ¿ ³ÝÑñ³Å»ßï ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹
¹³ßï»ñÁ 7 ûñáõÙ Ñ»ñÏ»Éáõ ѳٳñ, »Ã» ïñ³ÏïáñÝ»ñÝ ³ß˳ï»Ý
20 % å³Ï³ë ³ñï³¹ñáճϳÝáõÃÛ³Ùµ:
35. 100 ѳ ٳϻñ»ëáí ¹³ßïÁ í³ñ»Éáõ ѳٳñ 5 ûñ ³ß˳ï»ó ÙǨ-
ÝáõÛÝ Ñ½áñáõÃÛ³Ùµ ïñ³ÏïáñÝ»ñÇ ÙÇ ËáõÙµ: ²ÛÝáõÑ»ï¨ Ýñ³Ýó
Ùdzó³í ÝáõÛÝ Ñ½áñáõÃÛ³Ùµ ÙÇ ïñ³Ïïáñ, áñÇ ßÝáñÑÇí ËÙµÇ
³ñï³¹ñáճϳÝáõÃÛáõÝÁ ٻͳó³í 25 %-áí, ¨ ³ß˳ï»Éáí ¨ë
6 ûñ Ýñ³Ýù ³í³ñï»óÇÝ ³ß˳ï³ÝùÁ:
1. ²ß˳ï³ÝùÇ ëϽµáõÙ ù³ÝDZ ïñ³Ïïáñ ¿ñ ³ß˳ïáõÙ:
2. ØÇ ïñ³ÏïáñÝ ûñ³Ï³Ý ù³ÝDZ Ñ»Ïï³ñ ¿ñ í³ñáõÙ:
3. ²é³çÇÝ ãáñë ûñí³ ÁÝóóùáõÙ ¹³ßïÇ á±ñ ïáÏáëÁ í³ñ»ó
µñÇ·³¹Á:
4. ²é³çÇÝ í»ó ûñí³ ÁÝóóùáõÙ ù³ÝDZ Ñ»Ïï³ñ í³ñ»ó µñÇ·³¹Á:
36. 10 µ³ÝíáñÇó µ³Õϳó³Í µñÇ·³¹Á ݳ˳ï»ë»É ¿ñ ÙÇ áñáß ³é³-
ç³¹ñ³Ýù ³í³ñï»É 12 ûñáõÙ:
1. ø³ÝDZ ûñ Ï層ñ ³é³ç³¹ñ³ÝùÇ Ï³ï³ñáõÙÁ, »Ã» ³ß˳ï»ÇÝ
ÙdzÛÝ µ³ÝíáñÝ»ñÇó 8-Á:
2. ø³ÝDZ ûñáõÙ µñÇ·³¹Á Ïϳï³ñ»ñ ³é³ç³¹ñ³ÝùÁ, »Ã» µñÇ·³¹Ç
³ñï³¹ñáճϳÝáõÃÛáõÝÝ ³í»É³Ý³ñ 1
3 Ù³ëáí:
3. ø³ÝDZ ûñ Ï層ñ ݳ˳ï»ëí³Í ³é³ç³¹ñ³ÝùÇ Ï³ï³ñáõÙÁ, »Ã»
µñÇ·³¹Ç ³ñï³¹ñáճϳÝáõÃÛáõÝÝ ÁÝÏÝ»ñ 20 % -áí:
4. ºÃ» µñÇ·³¹Ý ûñí³ Ï»ëÝ ³ß˳ï»ñ ݳ˳ï»ëí³ÍÇó »ñÏáõ
³Ý·³Ù ³í»ÉÇ ¹³Ý¹³Õ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ Ï»ëÁ` ݳ˳ï»ëí³ÍÇó »ñÏáõ
³Ý·³Ù ³í»ÉÇ ³ñ³·, ³å³ ïñí³Í ųÙÏ»ïáõÙ ù³ÝDZ ïáÏáëáí
Ï·»ñ³Ï³ï³ñ»ñ ³é³ç³¹ñ³ÝùÁ:
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175
37. Úáà Ùdzï»ë³Ï ÏáÙµ³ÛÝÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í µñÇ·³¹Á ϳñáÕ ¿ ¹³ßïÁ
ÑÝÓ»É 10 ûñáõÙ:
1. ø³ÝDZ ûñáõÙ ÏÑÝÓ»Ý ¹³ßïÁ, »Ã» ³ß˳ïÇ ÙdzÛÝ ÑÇÝ· ÏáÙµ³ÛÝ:
2. ø³ÝDZ ûñ ¿ ³ÝÑñ³Å»ßï ¹³ßïÁ ÑÝÓ»Éáõ ѳٳñ, »Ã» ÏáÙµ³ÛÝÝ»ñÝ
³ß˳ï»Ý 60 % -áí å³Ï³ë ³ñï³¹ñáճϳÝáõÃÛ³Ùµ:
3. ø³ÝDZ ûñáõ٠ϳí³ñïíÇ ÑáõÝÓÁ, »Ã» ÏáÙµ³ÛÝÝ»ñÝ ³ß˳ï»Ý
25% -áí ³í»É ³ñï³¹ñáճϳÝáõÃÛ³Ùµ:
4. ø³ÝDZ ûñáõ٠ϳí³ñïíÇ ÑáõÝÓÁ, »Ã» ³ß˳ï³Ýù³ÛÇÝ ûñí³ Ï»ëÁ
ÏáÙµ³ÛÝÝ»ñÝ ³ß˳ï»Ý »ñÏáõ ³Ý·³Ù ³ñ³·, ÇëÏ Ï»ëûñÇó Ñ»ïá`
»ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹³Ý¹³Õ:
38. ²ß˳ï³ÝùÁ ϳï³ñ»Éáõ ѳٳñ µ³ÝíáñÝ»ñÇó ³é³çÇÝÇÝ
³ÝÑñ³Å»ßï ¿ 4 ûñÇó áã å³Ï³ë ųٳݳÏ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á ³Û¹
³ß˳ï³ÝùÁ ϳñáÕ ¿ ϳï³ñ»É 2 ³Ý·³Ù ³í»ÉÇ ß³ï ųٳݳ-
ÏáõÙ, ù³Ý ³é³çÇÝÁ: ºñÏáõëáí ÙdzëÇÝ ³ß˳ï³ÝùÁ ϳï³ñ»Éáõ
ѳٳñ µ³ÝíáñÝ»ñÇÝ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ 3 ûñÇó å³Ï³ë ųٳݳÏ:
гÛïÝÇ ¿, áñ µ³ÝíáñÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ ³Û¹ ³ß˳ï³ÝùÁ
ϳñáÕ ¿ ϳï³ñ»É ³ÙµáÕç Ãíáí ûñ»ñáõÙ:
1. ø³ÝDZ ûñáõ٠ϳñáÕ ¿ ϳï³ñ»É ³Û¹ ³ß˳ï³ÝùÝ ³é³çÇÝ µ³ÝíáñÁ:
2. ²é³çÇÝ µ³ÝíáñÇ 3 ûñáõ٠ϳï³ñ³Í ³ß˳ï³ÝùÁ ù³ÝDZ ûñáõÙ
ϳñáÕ ¿ ϳï³ñ»É »ñÏñáñ¹ µ³ÝíáñÁ:
3. ²ß˳ï³ÝùÇ á±ñ ïáÏáëÁ Ïϳï³ñ»Ý µ³ÝíáñÝ»ñÁ, »Ã» ³é³çÇÝÝ
³ß˳ïÇ 2 ûñ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á` 4 ûñ:
4. ø³ÝDZ ûñáõÙ µ³ÝíáñÝ»ñÁ ÙdzëÇÝ Ï³ñáÕ »Ý ϳï³ñ»É ³Û¹
³ß˳ï³ÝùÁ, »Ã» Ýñ³Ýù ³ß˳ï»Ý 3 ³Ý·³Ù ó³Íñ
³ñï³¹ñáճϳÝáõÃÛ³Ùµ:
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 3 îºøêî²ÚÆÜ ÊܸÆðܺð
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ä²î²êʲÜܺð
Ð/Ð 1 2 3 4
1 50 75 96 60
2 525 3 4 200
3 4 30 40 25
4 60 40 84 60
5 12 8 2 72
6 20 2 6 10
7 16 25 4 9
8 70 12 12 84
9 55 45 5 125
10 4 12 6 35
11 12 2 20 100
12 40 8 2 40
13 200 50 140 168
14 225 15 45 30
15 25 2 72 360
16 24 12 80 20
17 3 5 2 6
18 48 245 20 175
19 3 18 12 5
20 45 9 19 11
21 3 42 6 63
22 6 30 3 0
23 40 150 50 1
24 45 25 40 36
25 6 9 120 200
26 100 12 20 184
27 15 6 100 9
28 24 30 20 50
29 24 100 10 6
30 20 18 72 17
31 8 4 24 12
32 40 15 50 3
33 2 6 4 10
34 10 7 68 35
35 4 2 32 50
36 15 9 15 25
37 14 25 8 8
38 4 6 100 8
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´²ÄÆÜ 4. üàôÜÎòƲܺð
1. îñí³Í »Ý 3 2 ln 2f x x x x ¨ 23 1g x x ýáõÝÏódzݻñÁ:
1. ¶ïÝ»É gy f x x ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ
å³ïϳÝáÕ ³Ù»Ý³÷áùñ µÝ³Ï³Ý ½áõÛ· ÃÇíÁ:
2. гßí»É 3f -Á:
3. ¶ïÝ»É g ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ Ýñ³ 0 0x
³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ
Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ ¨ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ï³½Ù³Í
³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ 3; 10 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
2. îñí³Í ¿ 23 5f x x x ýáõÝÏódzÝ:
1. f ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ù³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿
å³ñáõݳÏáõÙ:
2. ¶ïÝ»É 2f x ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
3. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
4. f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÁ ù³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿
å³ñáõݳÏáõÙ:
3. îñí³Í ¿ 2
4f x x
x ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÁ 2
32x Ï»ïáõÙ:
2. ¶ïÝ»É 1f x -Á, áñï»Õ 1x - Á f ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿:
3. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ 0 2x ³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ Ï»ïáõÙ
ï³ñí³Í ßáßá÷áÕÇ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏÇóÁ:
4. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ Ýí³½Ù³Ý ÙÇç³Ï³ÛùÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
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4. îñí³Í ¿ 226 30 5f x x ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ïÁ£
2. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ 0 1,5x ³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ Ï»ïáõÙ
ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ ¨ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý
³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á£
3. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ 0 1x ³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ Ï»ïáí
ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ ¨ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñáí ë³Ñٳݳ-
÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
4. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ÛÝ Ï»ïÇ ³µëóÇëÁ, áñáõÙ ï³ñ-
í³Í ßáß³÷áÕÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ ln5y x áõÕÕÇÝ£
5. îñí³Í »Ý 2lg 1000f x x
¨ 2 4 20g x x x ýáõÝÏódzݻñÁ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
2. ¶ïÝ»É g ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
3. f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÁ ù³ÝDZ ÙdzÝÇß ÃÇí ¿
å³ñáõݳÏáõÙ:
4. f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÝ»ñÁ ù³ÝDZ ÁݹѳÝáõñ
³ÙµáÕç ÃÇí áõÝ»Ý:
6. îñí³Í ¿ 6f x x x ýáõÝÏódzÝ:
1. гßí»É ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÁ 3 10x Ï»ïáõÙ:
2. ø³ÝDZ ѳïÙ³Ý Ï»ï áõÝ»Ý 9y áõÕÇÕÁ ¨ f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ:
3. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ 2; 4,5 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
4. ¶ïÝ»É a å³ñ³Ù»ïñÇ µáÉáñ ³ÛÝ ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ,
áñáÝó ¹»åùáõÙ y a áõÕÇÕÁ f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳïáõÙ ¿
×Çßï »ñ»ù Ï»ïáõÙ:
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7. îñí³Í ¿ 4
1
xf x
x
ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É x -Ç µáÉáñ ³ÛÝ ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ
ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ µ³ó³ë³Ï³Ý ã»Ý:
2. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
3. ¶ïÝ»É µáÉáñ ³ÛÝ Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝù ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ù ã»Ý:
4. ¶ïÝ»É y f x ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
8. îñí³Í ¿ 12sin 5cos3 3
x xf x
ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý å³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
3. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿ å³ñáõݳÏáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É F x f x ýáõÝÏódzÛÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
9. îñí³Í »Ý 2
2
3 2
1
xf x
x
¨ 3lg 10g x x ýáõÝÏódzݻñÁ:
4. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
5. ¶ïÝ»É g ýáõÝÏódzÛÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
6. ¶ïÝ»É f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÇ
³µëóÇëÁ:
7. ¶ïÝ»É µáÉáñ ³ÛÝ ÙdzÝÇß Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ g ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³å³-
ï³ëË³Ý ³ñÅ»ùÇó:
10. îñí³Í ¿ 218ln 3lnf x x x
ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ½ñáÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
2. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ 1x Ï»ïáõÙ:
3. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
4. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ 4;e e ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
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180
11. îñí³Í ¿ 4 1 1f x x x ýáõÝÏódzÝ:
1. ø³ÝDZ Ï»ïáõÙ ¿ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳïáõÙ ³µëóÇëÝ»ñÇ
³é³ÝóùÁ:
2. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
3. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ 3
0;4
ѳïí³ÍáõÙ:
4. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
12. îñí³Í ¿ 1 3f x x x ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÁ 1 2 Ï»ïáõÙ:
2. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ Ýí³½Ù³Ý ÙÇç³Ï³ÛùÇ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
3. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ 2; 7 2
ѳïí³ÍáõÙ:
4. ¶ïÝ»É a å³ñ³Ù»ïñÇ ³ÛÝ ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝó
¹»åùáõÙ y a áõÕÇÕÁ f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳïáõÙ ¿ ×Çßï
»ñ»ù Ï»ïáõÙ:
13. îñí³Í ¿ 4 2
( )4 2
4x x
f x ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ 0x Ï»ïáõÙ:
2. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ Ýí³½Ù³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇÝ å³ïϳÝáÕ áã
µ³ó³ë³Ï³Ý ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
3. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõ-
ÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÝ»ñÇó ٻͳ·áõÛÝÁ:
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 4 üàôÜÎòƲܺð
181
14. îñí³Í ¿ 5
2 1( ) log 25
1f x x
x
ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ ãå³ïϳÝáÕ
³Ù»Ý³÷áùñ µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ:
2. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ Ýí³½Ù³Ý ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ å³ïϳÝáÕ ³ÙµáÕç
Ãí»ñÇ ÙÇçÇÝ Ãí³µ³Ý³Ï³ÝÁ:
3. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
4. ¶ïÝ»É ³ÛÝ k ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ 3fkf :
15. îñí³Í ¿ 23 6 16f x x x x ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÃÇíÁ:
2. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ³ñÅ»ùÁ:
3. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ³ñÅ»ùÁ 2;1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
4. ø³ÝDZ ³ÙµáÕç ³ñÅ»ù ¿ ÁݹáõÝáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý 3;1
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
16. îñí³Í ¿ 24
24
xx
xf ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ 4x Ï»ïáõÙ:
2. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
3. ¶ïÝ»É 3;0 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÇ
ù³é³å³ïÇÏÁ:
4. ¶ïÝ»É 2x ³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ Ï»ïáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ
ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏÇóÁ:
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182
17. 2T ÑÇÙÝ³Ï³Ý å³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ f ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿
; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ 1 5f :
1. ¶ïÝ»É 2 3 1f f ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ:
2. ¶ïÝ»É 9 1
44 4
f f
³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ:
3. ¶ïÝ»É xfxF 22 ýáõÝÏódzÛÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý å³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É xgfxH ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÁ 3x Ï»ïáõÙ, áñï»Õ
2g x x :
18. îñí³Í ¿ 2 6 10f x x x ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
2. ¶ïÝ»É xffxF ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÇÝ
å³ïϳÝáÕ ÷áùñ³·áõÛÝ ½áõÛ· ÃÇíÁ:
3. ¶ïÝ»É xfxG sin ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
4. ¶ïÝ»É xfxH sin ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÇÝ
å³ïϳÝáÕ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
19. îñí³Í ¿ 2 4f x x x ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÁ 2 Ï»ïáõÙ:
2. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ 1 Ï»ïáõÙ:
3. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ 1; 1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
4. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
20. îñí³Í ¿ 2 4f x x x ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÁ –2 Ï»ïáõÙ:
2. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ –3 Ï»ïáõÙ:
3. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ 5; 3 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
4. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 4 üàôÜÎòƲܺð
183
21. îñí³Í ¿ 3; 7 áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáí f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ:
1. ¶ïÝ»É 2 6f f f f ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ:
2. ¶ïÝ»É 5 2f f x f ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ³ÙµáÕç ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ
·áõÙ³ñÁ:
3. ¶ïÝ»É f f ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ å³ïϳÝáÕ
³Ù»Ý³÷áùñ µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ:
4. ¶ïÝ»É f f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÇÝ å³ïϳÝáÕ
³ÙµáÕç Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
22. îñí³Í ¿ 212 5 1f x x x ýáõÝÏódzÝ:
1. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ å³ïϳÝáÕ ³ÙµáÕç
Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
2. ¶ïÝ»É 2 sin
12sin 5cos
f
³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ, »Ã»
;2 2
:
3. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
4. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÇÝ å³ïϳÝáÕ ³ÙµáÕç
Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
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ä²î²êʲÜܺð
²/Ð ºÝó³é³ç³¹ñ³ÝùÇ Ñ³Ù³ñÁ
1 2 3 4
1 4 36 90 36
2 19 18 6 2
3 0 3 2 2
4 0 60 200 1
5 3 24 7 22
6 1 2 9 8
7 5 0 1 4
8 6 13 27 0
9 3 3 0 10
10 2 18 27 15
11 2 1 0 1
12 2 3 4 3
13 0 1 2 4
14 5 2 2 2
15 3 7 25 19
16 48 3 9 0
17 15 4 1 5
18 1 18 17 3
19 4 2 5 3
20 4 2 3 3
21 2 16 4 6
22 0 2 13 26
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´²ÄÆÜ 5. вð²â²öàôÂÚàôÜ
1. àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý ëáõñ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ 600
¿, ÇëÏ ³Û¹
³ÝÏÛ³Ý ¹ÇÙ³óÇ ¿çÁ` 8 3 :
1. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ ¿çÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ý»ñùݳÓÇ·Ç »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Íí³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ù»Í ¿çÇ åñáÛ»ÏóÇ³Ý Ý»ñùݳÓÇ·Ç íñ³:
2. ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ù»ç 13AB , 30BC , 37CA : ²Û¹ »é³ÝÏÛ³ÝÁ
Ý»ñ·Íí³Í ßñç³Ý³·ÇÍÁ ,AB BC ¨ CA ÏáÕÙ»ñÁ ßáß³÷áõÙ ¿
ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ,K L ¨ M Ï»ï»ñáõÙ:
1. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
2. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ïñ³Ù³·ÍÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É MC ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É 13 S Ù»ÍáõÃÛ³Ý Ãí³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÁ, áñï»Õ S -Á BKL »é³Ý-
ÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÝ ¿:
3. ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ 36 ¿: AB ¨ BC ÏáÕÙ»ñÇ íñ³ í»ñóí³Í
»Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ M ¨ N Ï»ï»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ
: 1:3,AM MB : 1: 2BN NC : O -Ý AN ¨ CM ѳïí³ÍÝ»ñÇ
ѳïÙ³Ý Ï»ïÝ ¿:
1. ¶ïÝ»É ON
OA ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É ANB »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
3. ¶ïÝ»É AMO »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
4. ¶ïÝ»É MBNO ù³é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ AMO
»é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÇÝ:
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186
4. ABC »é³ÝÏÛ³Ý AB ¨ BC ÏáÕÙ»ñÇ íñ³ í»ñóí³Í »Ý ѳٳå³-
ï³ë˳ݳµ³ñ M ¨ N Ï»ï»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ : 1: 2AM MB : AN ¨
CM ѳïí³ÍÝ»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý O Ï»ïáõÙ, Áݹ áñáõÙ
6AOM MONS S :
1. ¶ïÝ»É BC
NC ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É MNB »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
3. ¶ïÝ»É ANC »é³ÝÏÛ³ÝÁ ѳí³ë³ñ³Ù»Í ù³é³Ïáõëáõ ÏáÕÙÁ:
4. ¶ïÝ»É :CO OM ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
5. ABC ¨ 1 1 1A B C »é³ÝÏÛáõÝÝÝ»ñÁ ÝÙ³Ý »Ý: Àݹ áñáõÙ 17AB ,
10BC , 21CA , ÇëÏ 1 1 1A B C »é³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ ÏáÕÙÁ 5 ¿:
1. ¶ïÝ»É 1 1 1A B C »é³ÝÏÛ³Ý Ù»Í ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛ³Ý
ÏñÏݳå³ïÇÏÁ:
2. ¶ïÝ»É 1 1 1A B C »é³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ:
3. ¶ïÝ»É 1 1 1A B C »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
4. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ïñ³Ù³·ÍÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
6. 65 å³ñ³·Íáí ABC »é³ÝÏÛ³Ý AD ÏÇëáñ¹Á BC ÏáÕÙÁ µ³Å³ÝáõÙ
¿ 6BD ¨ 9DC »ñϳñáõÃÛ³Ùµ Ù³ë»ñÇ: D Ï»ïÇó AC ÏáÕÙÇÝ
ï³ñ³Í ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÁ AB ÏáÕÙÁ ѳïáõÙ ¿ E Ï»ïáõÙ
6. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ù»Í ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
7. ¶ïÝ»É DE ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
8. ¶ïÝ»É AED ³ÝÏÛ³Ý ÏÇëáñ¹Ç ¨ AD -Ç Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳-
ݳÛÇÝ ã³÷Á:
9. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ïñ³Ù³·ÍÇ ¨ BED
»é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
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187
7. ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ù»ç 18AB , 15BC : ²Û¹ »é³ÝÏÛ³Ý AC ÏáÕÙÇ
íñ³ í»ñóí³Í ¿ D Ï»ïÝ ³ÛÝå»ë, áñ 12AD , ÇëÏ ABD ACB :
1. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³Ý AC ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É ADB »é³ÝÏÛ³Ý BD ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É ADB »é³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÍÇ »é³å³ïÇÏÇ ¨ ABC »é³ÝÏÛ³Ý
å³ñ³·ÍÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÇ ù³é³å³ïÇÏÇ ¨ ADB »é³Ý-
ÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
8. ABC »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Íí³Í ¿ 6 ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÇÍ, áñÝ AB ,
BC ¨ AC ÏáÕÙ»ñÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ M , N ¨
K Ï»ï»ñáõÙ: ºé³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñëÁ 204 ¿, ÇëÏ AB ÷áùñ ÏáÕÙÁ
ѳí³ë³ñ ¿ CK -ÇÝ:
1. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý ÏÇë³å³ñ³·ÇÍÁ:
2. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É AM ¨ MB ѳïí³ÍÝ»ñÇó Ù»ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ù»Í ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
9. ABC »é³ÝÏÛ³Ý AB ¨ AC ÏáÕÙ»ñÇ íñ³ í»ñóí³Í »Ý ѳٳå³-
ï³ë˳ݳµ³ñ M ¨ N Ï»ï»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ AMN ACB :
îñí³Í »Ý ݳ¨` 28AB , 15AM , 13MN ¨ 26BC :
1. ¶ïÝ»É AMN »é³ÝÏÛ³Ý AN ÏáÕÙÁ:
2. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ:
3. ¶ïÝ»É ABC ¨ AMN »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ
ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É AMN »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÇÕÁ:
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10. ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ A ¨ D ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ÏÇëáñ¹Ý»ñÁ BC
ÏáÕÙÁ ѳïáõÙ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ E ¨ F Ï»ï»ñáõÙ:
O -Ý AE ¨ DF ÏÇëáñ¹Ý»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÝ ¿: Àݹ áñáõÙ BE -Ý 3
³Ý·³Ù Ù»Í ¿ EC -Çó:
1. ¶ïÝ»É AOD ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
2. ¶ïÝ»É AO
OE ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É AOD ¨ EOF »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ
ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É DOEC ¨ ABFO ù³é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ
ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
11. ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ B ·³·³ÃÇó AC ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇÝ ï³ñí³Í
áõÕճѳ۳óÇ E ÑÇÙùÁ ³ÝÏÛáõݳ·ÇÍÁ ïñáÑáõÙ ¿ 1:2 ѳñ³µ»ñáõ-
ÃÛ³Ùµ Ù³ë»ñÇ` ѳßí³Í A ·³·³ÃÇó: 24AC , ÇëÏ 22BD :
1. ¶ïÝ»É AE ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ E
Ï»ïÇó:
3. ¶ïÝ»É ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ ÷áùñ ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ å³ñ³·ÇÍÁ:
12. ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ 420 ¿: Àݹ áñáõÙ 39AC ¨
25BD »ñϳñáõÃÛáõÃÛ³Ùµ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý O Ï»ïáõÙ:
1. ¶ïÝ»É AOB »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
2. ¶ïÝ»É AOBsin65 ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ:
3. ¶ïÝ»É Ù»Í ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ ÏÇë³å³ñ³·ÇÍÁ:
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13. ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ 36 3 ¿, 2B A : A ¨ D
³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ÏÇëáñ¹Ý»ñÁ BC ÏáÕÙÁ ѳïáõÙ »Ý ÙǨÝáõÛÝ E
Ï»ïáõÙ:
1. ¶ïÝ»É EAD ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
2. ¶ïÝ»É ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ B ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
3. ¶ïÝ»É ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ Ù»Í ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É E Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ BD
³ÝÏÛáõݳ·ÍÇó:
14. ABCD ù³é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Íí³Í ¿ ßñç³Ý³·ÇÍ: гÛïÝÇ ¿, áñ
5ACD BAC , 2DBC ACB , 2ACB BAC :
1. ¶ïÝ»É BAC ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
2. ¶ïÝ»É AB ¨ DC áõÕÇÕÝ»ñáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á:
3. ¶ïÝ»É ù³é³ÝÏÛ³Ý ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛ³Ý
³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» 12 2AC ëÙ:
15. O Ï»ÝïñáÝáí ßñç³Ý³·ÍÇÝ Ý»ñ·Íí³Í ABCD ù³é³ÝÏÛ³Ý A , B ,
C ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳñ³µ»ñáõÙ »Ý ÇÝãå»ë 5:9:7, ÇëÏ 060BOC :
1. ¶ïÝ»É ù³é³ÝÏÛ³Ý Ù»Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
2. ¶ïÝ»É ù³é³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
3. ¶ïÝ»É AD ¨ BC áõÕÇÕÝ»ñáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É AC
CD ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
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16. Þñç³Ý³·ÇÍÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ ABC »é³ÝÏÛ³Ý C ·³·³Ãáí, ѳïáõÙ ¿
AC ÏáÕÙÁ D Ï»ïáõÙ, AB ÏáÕÙÁ ßáß³÷áõÙ B ·³·³ÃáõÙ: гÛïÝÇ
¿, áñ 18AC , 030CBD , BD DC :
1. ¶ïÝ»É A ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
2. ¶ïÝ»É DBA ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
3. ¶ïÝ»É AD ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
17. Þñç³Ý³·ÇÍÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ ABC »é³ÝÏÛ³Ý B ·³·³Ãáí, CD µ³ñ-
ÓñáõÃÛ³Ý D ÑÇÙùáí ¨ ßáß³÷áõÙ ¿ AC ÏáÕÙÁ C ·³·³ÃáõÙ:
12 3AC , 030ACD :
1. ¶ïÝ»É A ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
2. ¶ïÝ»É DBC ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
3. ¶ïÝ»É CB ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ »é³ÝÏÛ³Ý AB
ÏáÕÙÇó:
18. ABC ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·íÍ³Í ßñç³Ý³·ÍÇ DE
ɳñÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ AC ÑÇÙùÇÝ ¨ AB ëñáõÝùÁ K Ï»ïáí
µ³Å³ÝáõÙ ¿ 5:4 ѳñ³µ»ñáõÃÛ³Ùµ Ù³ë»ñÇ` ѳßí³Í B ·³·³ÃÇó:
гÛïÝÇ ¿, áñ 72AC , 45AB :
1. ¶ïÝ»É DE ɳñÇ ³ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ
·ïÝíáõÙ ¿ »é³ÝÏÛ³Ý Ý»ñëáõÙ:
2. ¶ïÝ»É DK DK EK ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É B ·³·³ÃÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ DE ɳñÇó:
4. ¶ïÝ»É AC ¨ DE ɳñ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ:
19. ABCD ù³é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·íÍ³Í ¿ ßñç³Ý³·ÇÍ, Áݹ áñáõÙ
15AC CD , 18AD , ÇëÏ 090B :
1. ¶ïÝ»É ù³é³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É C ·³·³ÃÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ AD ÏáÕÙÇó:
3. ¶ïÝ»É BAD ³ÝÏÛ³Ý ³ëï׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É ABCD ù³é³ÝÏÛ³Ý ¨ ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ
ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
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20. Þñç³Ý³·ÍÇÝ ³ñï³·Í³Í ABCD ù³é³ÝÏÛ³Ý BD ³ÝÏÛáõݳ·ÇÍÁ
25 ¿, 21BC , 26CD , ÇëÏ 090A :
1. ¶ïÝ»É AD ¨ AB ÏáÕÙ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É ù³é³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É ù³é³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ:
4. ¶ïÝ»É A ·³·³ÃÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ BD ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇó:
21. ABCD ߻ճÝÏÛ³Ý ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ 25 ¿, ÇëÏ AC ³ÝÏÛáõݳ-
·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ` 40: Üñ³Ý Ý»ñ·Í³Í O Ï»ÝïñáÝáí ßñç³Ý³-
·ÍÇÝ ï³ñí³Í ¿ ßáß³÷áÕ, áñÁ BC ¨ CD ÏáÕÙ»ñÁ ѳïáõÙ ¿ ѳٳ-
å³ï³ë˳ݳµ³ñ M ¨ N Ï»ï»ñáõÙ ¨ ½áõ·³Ñ»é ¿ BD -ÇÝ :
1. ¶ïÝ»É ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ£
2. ¶ïÝ»É MN ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ£
3. ¶ïÝ»É BMN »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
4. ¶ïÝ»É MONcos5 ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ£
22. ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ AC ³ÝÏÛáõݳ·ÇÍÁ 12 3 ¿: E -Ý ¨ F -Á
ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ AD ¨ DC ÏáÕÙ»ñÇ ÙÇçݳϻï»ñÝ »Ý,
K -Ý BE -Ç ¨ AC -Ç Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÝ ¿, ÇëÏ L -Á` BF -Ç ¨ AC -Ç:
6BE , 12BF :
1. ¶ïÝ»É BEF ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
2. ¶ïÝ»É :KC AK ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É B ·³·³ÃÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ AC ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇó:
4. ¶ïÝ»É ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ ¨ ABK »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ
ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
23. Þñç³Ý³·ÍÇó ¹áõñë ·ïÝíáÕ A Ï»ïÇó ßñç³Ý³·ÍÇÝ ï³ñí³Í »Ý
AB ßáß³÷áÕÝ áõ AM ѳïáÕÁ, áñÇ ³ñï³ùÇÝ Ù³ëÁ AC -Ý ¿:
гÛïÝÇ ¿, áñ 3 6 3AM AC , ÇëÏ 030BAM :
1. ¶ïÝ»É ßñç³Ý³·ÍÇ ßáß³÷áÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É BM ɳñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É BM ÷áùñ ³Õ»ÕÇ ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É B Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ß³é³íÕÇ åñáÛ»ÏóÇ³Ý BM ɳñÇ íñ³:
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24. 1O ¨
2O Ï»ÝïñáÝÝ»ñáí ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ 10 ¨ 20 ß³é³-
íÕÝ»ñáí ßñç³Ý³·Í»ñÁ, áñáÝó Ï»ÝïñáÝÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ
26 ¿, ßáß³÷áõÙ »Ý AB áõÕÇÕÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ A ¨ B
Ï»ï»ñáõÙ:
1. ¶ïÝ»É 1O Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ
2O B ß³é³íÕÇó:
2. ¶ïÝ»É AB ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É ³ÛÝ Ñ³ïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñÇ Í³Ûñ³Ï»ï»ñÝ 1 2O O
ѳïí³ÍÇ ¨ ßñç³Ý³·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñÝ »Ý:
4. ¶ïÝ»É 1 2AOO B
ù³é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
25. 1O ¨ 2O Ï»ÝïñáÝÝ»ñáí ¨ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ 1 ¨ 7 ß³é³-
íÇÕÝ»ñáí »ñÏáõ ßñç³Ý³·Í»ñ, áñáÝù ·ïÝíáõÙ »Ý AB áõÕÕÇ
ï³ñµ»ñ ÏáÕÙ»ñáõÙ, ßáß³÷áõÙ »Ý ³Û¹ áõÕÇÕÁ ѳٳå³ï³ë-
˳ݳµ³ñ A ¨ B Ï»ï»ñáõÙ: гÛïÝÇ ¿, áñ 15AB :
1. ¶ïÝ»É 1O Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 2O B ß³é³íÇÕÝ Áݹ·ñÏáÕ
áõÕÕÇó:
2. ¶ïÝ»É 1O ¨ 2O
Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É 1 2O O ѳïí³ÍÇ ³ÛÝ Ù³ëÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ·ïÝíáõÙ ¿
ßñç³ÝÝ»ñÇó ¹áõñë:
4. ¶ïÝ»É 1 2AO BO ë»Õ³ÝÇ Ù³Ï»ñ»ëÇ ¨
1AO B »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÇ
ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
26. 14 3 ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÍÇÝ Ý»ñ·Íí³Í ë»Õ³ÝÇ ëñáõÝùÁ 18 ¿,
ÑÇÙùÇÝ ³éÁÝûñ ³ÝÏÛáõÝÁ` 600:
1. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ ëñáõÝùÇ åñáÛ»ÏóÇ³Ý ÑÇÙùÇ íñ³:
3. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ Ù»Í ¨ ÷áùñ ÑÇÙù»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ ÙÇçÇÝ ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
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27. ABCD ë»Õ³ÝÁ AC ³ÝÏÛáõݳ·Íáí µ³Å³ÝíáõÙ ¿ »ñÏáõ ÝÙ³Ý
»é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ: гÛïÝÇ ¿, áñ AB ¨ CD ëñáõÝùÝ»ñÝ Áݹ·ñÏáÕ
áõÕÇÕÝ»ñÝ áõÕճѳ۳ó »Ý, AD Ù»Í ÑÇÙùÁ 15 ¿, AB BC :
1. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ ÷áùñ ÑÇÙùÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É AC ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ ¨ ë»Õ³ÝÇ µ³ñÓñáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³µ»ñáõ-
ÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ Ù»Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É ABCD ë»Õ³ÝÇ ¨ ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ
ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
28. ABC áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý AB Ý»ñùݳÓÇ·Á 39 ¿, ÇëÏ AC ¿çÁ`
15: ºé³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ M Ï»ïáí »é³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ
¿çÇÝ ½áõ·³Ñ»é ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÁ Ý»ñùݳÓÇ·Á ѳïáõÙ ¿ K
Ï»ïáõÙ, ÇëÏ BC ¿çÁ` E Ï»ïáõÙ:
1. ¶ïÝ»É ßñç³Ý³·ÍÇ ïñ³Ù³·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É BK
KA ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É KM ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É ACEK ë»Õ³ÝÇ å³ñ³·ÇÍÁ:
29. O Ï»ÝïñáÝáí ßñç³Ý³·ÍÇ A Ï»ïÇó ï³ñí³Í »Ý 15AC ¨
9AB »ñϳñáõÃÛ³Ùµ »ñÏáõ ɳñ»ñ: BAC ³Õ»ÕÇ ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á 1200 ¿:
1. ¶ïÝ»É BAC ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
2. ¶ïÝ»É BC ɳñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É ßñç³ÝÇ ¨ BOC ßñç³Ý³ÛÇÝ ÷áùñ ë»ÏïáñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ
ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛ³Ý ¨ BC ɳñÇó
Ï»ÝïñáÝÇ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
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30. 2r ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÍÇÝ ³ñï³·Í³Í ¿ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ ë»Õ³Ý,
áñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ 3 ¿:
1. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ Ù»Í ëñáõÝùÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ Ù»Í ÑÇÙùÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ ÷áùñ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
31. O Ï»ÝïñáÝáí ßñç³Ý³·ÍÇ C Ï»ïÇó Ýñ³ AB ïñ³Ù³·ÍÇÝ ï³ñ-
í³Í ¿ CH áõÕճѳ۳óÁ, Áݹ áñáõÙ` 8AH , ÇëÏ 18HB :
1. ¶ïÝ»É OH ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É CH ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É A ¨ B Ï»ï»ñÇó C Ï»ïáõÙ ßñç³Ý³·ÍÇ ßáß³÷áÕÇÝ
ï³ñí³Í áõÕճѳ۳óÝ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
4. ¶ïÝ»É 1 1A HB ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á, áñï»Õ 1A -Á ¨ 1B -Á
C Ï»ïáõÙ ßñç³Ý³·ÍÇ ßáß³÷áÕÇÝ A ¨ B Ï»ï»ñÇó ï³ñí³Í
áõÕճѳ۳óÝ»ñÇ ÑÇÙù»ñÝ »Ý:
32. Þñç³Ý³·ÍÇ AB ¨ CD ɳñ»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý M Ï»ïáõÙ ¨ ³Û¹
Ï»ïáí ÏÇëíáõÙ: гÛïÝÇ ¿, áñ 10AB , 5AD :
1. ¶ïÝ»É ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É BMC »é³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ:
3. ¶ïÝ»É AC -Ç »ñϳñáõÃÛ³Ý ù³é³ÏáõëÇÝ:
4. ¶ïÝ»É CAD ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
33. O Ï»ÝïñáÝáí ßñç³Ý³·ÍÇó ¹áõñë ·ïÝíáÕ A Ï»ïÇó ßñç³Ý³·ÍÇÝ
ï³ñí³Í AM ßáß³÷áÕÁ ¨ AB ѳïáÕÁ ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý:
Þáß³÷áÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ 38 ¿, ÇëÏ Ñ³ïáÕÇ Ý»ñùÇÝ Ù³ëÁ »ñÏáõ
³Ý·³Ù Ù»Í ¿ ³ñï³ùÇÝ Ù³ëÇó:
1. ¶ïÝ»É Ñ³ïáÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É ABM ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
3. ¶ïÝ»É ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É MOB ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
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34. 1O ¨ 2O Ï»ÝïñáÝÝ»ñáí ¨ M Ï»ïáõÙ Çñ³ñ ßáß³÷áÕ, ѳٳ峖
ï³ë˳ݳµ³ñ 2 ¨ 8 ß³é³íÇÕÝ»ñáí »ñÏáõ ßñç³Ý³·Í»ñ ßáß³÷áõÙ
»Ý ÙÇÙÛ³Ýó ¨ a áõÕÇÕÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ 1M ¨ 2M
Ï»ï»ñáõÙ:
1. ¶ïÝ»É 2O ¨ 1O Ï»ÝïñáÝÝ»ñáí ßñç³ÝÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ
ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É 21MM ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É 2211 OMMO ù³é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
4. ¶ïÝ»É 21MMM ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
35. K Ï»ïÁ O Ï»ÝïñáÝáí ßñç³Ý³·ÍÇ AB ɳñÁ µ³Å³ÝáõÙ ¿
10AK ¨ 16KB »ñϳñáõÃÛ³Ùµ ѳïí³ÍÝ»ñÇ: K Ï»ïáí
³ÝóÝáÕ ïñ³Ù³·ÇÍÁ ßñç³Ý³·ÇÍÁ ѳïáõÙ ¿ C ¨ D Ï»ï»ñáõÙ
(CK KD ), Áݹ áñáõÙ` 6OK :
1. ¶ïÝ»É ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É CK ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É 3d ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ, áñï»Õ d -Ý O Ï»ïÇ
Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ ¿ AB ѳïí³ÍÇó:
4. ¶ïÝ»É 4AD
BC ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
36. гí³ë³ñ³ëñáõÝ ë»Õ³ÝÇ ÑÇÙù»ñÁ ѳñ³µ»ñáõÙ »Ý ÇÝãå»ë 3:4,
ÇëÏ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 14 ¿: ê»Õ³ÝÇ ÙÇçÇÝ ·ÇÍÁ ѳí³ë³ñ ¿ Ýñ³
µ³ñÓñáõÃÛ³ÝÁ:
1. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á:
2. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ ÷áùñ ÑÇÙùÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
4. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
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37. ¼áõ·³Ñ»é³·ÍÇ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÇó Ù»Í ÏáÕÙÇÝ
ï³ñí³Í áõÕճѳ۳óÁ, áñÁ ³Û¹ ÏáÕÙÁ ïñáÑáõÙ ¿ 17 ¨ 8 »ñϳ-
ñáõÃÛ³Ùµ ѳïí³ÍÝ»ñÇ, ѳí³ë³ñ ¿ 6-Ç:
1. ¶ïÝ»É ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ Ù»Í ÏáÕÙÇÝ ï³ñí³Í µ³ñÓñáõÃÛ³Ý
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
3. ¶ïÝ»É ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ ÷áùñ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ å³ñ³·ÇÍÁ:
38. àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý ëáõñ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ 75
0 ¿, ÇëÏ ¿ç»ñÇ
·áõÙ³ñÁª 612 :
1. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý áõÕÇÕ ³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÇó ï³ñí³Í ÙÇçݳ·ÍÇ ¨
ÏÇëáñ¹Ç ϳ½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
2. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ý»ñùݳÓÇ·Ç »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
4. ¶ïÝ»É ³ÛÝ ù³é³Ïáõëáõ ٳϻñ»ëÁ, áñÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÇÍÁ ïñí³Í
»é³ÝÏÛ³Ý áõÕÇÕ³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÇó ï³ñí³Í ÏÇëáñ¹Ý ¿:
39. 1O ¨ 2O Ï»ÝïñáÝÝ»ñáí, ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ 1 ¨ 2
ß³é³íÇÕÝ»ñáí »ñÏáõ ßñç³Ý³·Í»ñ, áñáÝó Ï»ÝïñáÝÝ»ñÇ
Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 1 ¿ , ѳïíáõÙ »Ý A ¨ B Ï»ï»ñáõÙ:
1. ¶ïÝ»É 1 2O AO ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
2. ¶ïÝ»É 2
2
AO
AB ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
3. 2ABO »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ ù³ÝDZ ³Ý·³Ù ¿ Ù»Í 1 2AO O »é³ÝÏÛ³Ý
ٳϻñ»ëÇó:
4. ¶ïÝ»É 2ABO »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ïñ³Ù³·ÇÍÁ:
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40. ØÇÙÛ³Ýó M Ï»ïáõÙ ³ñï³ùݳå»ë ßáß³÷áÕ 1O ¨
2O Ï»ÝïñáÝ-
Ý»ñáí ßñç³Ý³·Í»ñÇÝ ï³ñí³Í ³ñï³ùÇÝ ßáß³÷áÕÁ 1O Ï»Ýï-
ñáÝáí ßñç³Ý³·ÇÍÁ ßáß³÷áõÙ ¿ A Ï»ïáõÙ, ÇëÏ 2O Ï»ÝïñáÝáí
ßñç³Ý³·ÇÍÁª B Ï»ïáõÙ: гÛïÝÇ ¿, áñ 1O Ï»ÝïñáÝáí ßñç³Ý³·ÍÇ
ß³é³íÇÕÁ 9 ¿, áñÁ Ù»Í ¿ 2O Ï»ÝïñáÝáí ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇó,
ÇëÏ 12AB :
1. ¶ïÝ»É 2O Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ
1O A áõÕÕÇó:
2. ¶ïÝ»É 2O Ï»ÝïñáÝáí ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÇÕÁ:
3. ¶ïÝ»É AMB ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É d13 Ù»ÍáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ, áñï»Õ d -Ý M Ï»ïÇ
Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ ¿ AB áõÕÕÇó:
41. Þñç³Ý³·ÍÇÝ Ý»ñ·Íí³Í ¿ ABCD ù³é³ÝÏÛáõÝÝ ³ÛÝå»ë, áñ AB ¨
CD ³Õ»ÕÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý: гÛïÝÇ ¿, áñ 060ABD , 030BDC , ÇëÏ AB ɳñÁ 24 ¿:
1. ¶ïÝ»É B ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
2. ¶ïÝ»É ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÇÕÁ:
3. ¶ïÝ»É ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ AD ɳñÇó:
4. ¶ïÝ»É AMD »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ, áñï»Õ M -Á ABCD
ù³é³ÝÏÛ³Ý ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÝ ¿:
42. ABC »é³ÝÏÛ³Ý AC ¨ BC ÏáÕÙ»ñÁ ßñç³Ý³·Í»ñÇ ïñ³Ù³·Í»ñ
»Ý, áñáÝó Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ N ¨ M Ï»ï»ñÝ
»Ý: CK -Ý ³Û¹ ßñç³Ý³·Í»ñÇ ÁݹѳÝáõñ ɳñÝ ¿: гÛïÝÇ ¿, áñ
13AC , 20BC , 21AB :
1. ¶ïÝ»É KNM »é³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ:
2. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
3. ¶ïÝ»É AKB ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É CK ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
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ä²î²êʲÜܺð
²/Ð
ºÝó³é³ç³¹ñ³ÝùÇ Ñ³Ù³ñÁ
1 2 3 4
1 8 16 8 12
2 180 9 27 54
3 2 12 1 11
4 2 24 6 3
5 21 24 21 7
6 30 12 90 5
7 27 10 2 9
8 34 17 9 26
9 14 84 4 4
10 90 2 4 1
11 8 4 13 64
12 105 56 28 45
13 30 120 12 3
14 15 60 90 12
15 135 45 30 1
16 90 30 6 12
17 60 30 36 9
18 40 10 15 12
19 9 12 90 3
20 5 15 82 12
21 12 12 72 3
22 90 2 4 6
23 6 6 120 3
24 24 24 4 360
25 15 17 9 8
26 42 9 18 39
27 5 2 150 4
28 12 2 4 50
29 120 21 3 2
30 5 6 5 18
31 5 12 144 90
32 5 15 75 90
33 24 30 16 120
34 16 8 40 90
35 14 8 9 5
36 90 12 196 10
37 12 300 20 80
38 30 24 72 24
39 45 2 2 2
40 12 4 90 72
41 105 4 2 12
42 27 126 180 12
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´²ÄÆÜ 6. î²ð²Ì²â²öàôÂÚàôÜ
1. 1111 DCBABCDA áõÕÕ³ÝÏÛáõݳÝÇëïÁ ѳï»É »Ý AB , CD ¨ 1CC
ÏáÕ»ñÇ ÙÇçݳϻï»ñáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ùµ: гÛïÝÇ ¿, áñ
1 8CC CD ¨ 4 2AD :
1. ¶ïÝ»É Ñ³ïáõÛÃÇ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ
áõÕ³ÝÏÛáõݳÝÇëïÇ ABCD ÝÇëïÇó:
2. ¶ïÝ»É ABCD ÝÇëïÇ ¨ ѳïáõÛÃÇ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í
»ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
3. ¶ïÝ»É Ñ³ïáõÛÃÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É áõÕÕ³ÝÏÛáõݳÝÇëïÇ Í³í³ÉÇ ¨ ѳïáõÛÃáí áõÕÕ³ÝÏÛáõݳ-
ÝÇëïÇó ³Ýç³ïí³Í »é³ÝÏÛáõÝ åñǽٳÛÇ Í³í³ÉÇ Ñ³ñ³µ»ñáõ-
ÃÛáõÝÁ:
2. 1111 DCBABCDA áõÕÇÕ åñǽٳÛÇ ÑÇÙùÁ 7BC ¨ 23AD ÑÇÙù»ñáí
¨ 8 µ³ñÓñáõÃÛ³Ùµ ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ ë»Õ³Ý ¿: äñǽٳÛÇ µ³ñÓñáõ-
ÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ 17 3 :
1. ¶ïÝ»É åñǽٳÛÇ ÑÇÙùÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É åñǽٳÛÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ ¨ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í
³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
3. ¶ïÝ»É 1CC ÏáÕÇÝ ³éÁÝûñ »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É 1ACDE µáõñ·Ç ͳí³ÉÁ, »Ã» E -Ý AD ѳïí³ÍÇ Ï»ï ¿ ¨
8 3DE :
3. γÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ µáõñ·Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ 6 2 ¿, ÇëÏ ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁ` 6 3 :
1. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç µ³ñÓñáõÃÛ³Ý »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï ÏáÕÙݳÛÇÝ ÝÇëïÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý
ï³Ý·»ÝëÁ:
3. ¶ïÝ»É V3 -Ý, áñï»Õ V -Ý µáõñ·Ç ͳí³ÉÝ ¿:
4. ¶ïÝ»É µáõñ·ÇÝ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
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4. DABC »é³ÝÏÛ³Ý µáõñ·Ç ÑÇÙùÝ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛáõÝ ¿
090ACB , DA ÏáÕÁ µáõñ·Ç µ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ ¿, BAC DBC ,
6BC , 8DC :
1. ¶ïÝ»É DCB ³ÝÏÛ³Ý ëÇÝáõëÁ:
2. ¶ïÝ»É ADCB »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
3. ¶ïÝ»É BDAC »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý ÏáëÇÝáõëÇ ÑÝ·³å³ïÇÏÁ: 4. ¶ïÝ»É µáõñ·ÇÝ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ß³é³íÕÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
5. ABCD ù³é³ÝÇëïÇ AB ¨ CD ÏáÕ»ñÇÝ ½áõ·³Ñ»é ѳïáõÛÃÁ a
ÏáÕÙáí ù³é³ÏáõëÇ ¿: гÛïÝÇ ¿, áñ 10AB , 15CD :
1. ¶ïÝ»É AB ¨ CD áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á:
2. ¶ïÝ»É Ñ³ïáõÛÃÇ ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
4. ¶ïÝ»É DA
DB ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» AC BC :
6. SABCD ϳÝáݳíáñ ù³é³ÝÏÛáõÝ µáõñ·Ç B ·³·³ÃÁ SC ÏáÕÇ E
ÙÇçݳϻïÇÝ ÙdzóÝáÕ Ñ³ïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ 13 ¿, ÇëÏ ÑÇÙùÇ
ÏáÕÙÁ 10 2 :
1. ¶ïÝ»É DE ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É 13 cos EBD -Ý:
3. ¶ïÝ»É E Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ ÑÇÙùÇÝ ½áõ·³Ñ»é ѳïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
4. ¶ïÝ»É 13 d Ù»ÍáõÃÛ³Ý Ãí³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÁ, áñï»Õ d -Ý SA ÏáÕÇ
ÙÇçݳϻïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ ¿ BE áõÕÕÇó:
7. ´áõñ·Ç ÑÇÙùÁ 12 »ñϳñáõÃÛ³Ùµ ÏáÕÙáí ¨ 6 µ³ñÓñáõÃÛ³Ùµ
߻ճÝÏÛáõÝ ¿: ´áõñ·Ç µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 3 ¿: ´áõñ·Ç ÑÇÙùÇÝ
³éÁÝûñ µáÉáñ »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý:
1. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ͳí³ÉÁ:
2. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ÑÇÙùÇÝ ³éÁÝûñ »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á:
3. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ѳݹÇå³Ï³ó ÏáÕÙݳÛÇÝ ÝÇëï»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý
³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç µ³ñÓñáõÃÛáõÝáí ³ÝóÝáÕ ¨ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÝÇëïÇÝ áõÕÕ³-
ѳ۳ó ѳïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
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8. ÎáÝÇ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁ 6 ¿, ÇëÏ Í³í³ÉÁ` 72 :
1. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ µ³ñÓñáõÃÛ³Ý »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ÍÝáñ¹Ç ¨ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý
³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
3. ¶ïÝ»É ÏáÝÇÝ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É
S Ù»ÍáõÃÛ³Ý Ãí³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÁ, áñï»Õ S -Á ÏáÝÇÝ ³ñﳷͳÍ
·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ ¿:
9. ÎáÝÇÝ Ý»ñ·Í³Í ¿ ·áõݹ: ÎáÝÇ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 3 ³Ý·³Ù Ù»Í ¿
ÏáÝÇ ÍÝáñ¹Ç ³ÛÝ Ñ³ïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÇó, áñÇ Í³Ûñ³Ï»ï»ñÝ
»Ý ÏáÝÇ ·³·³ÃÁ ¨ ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ áõ ÏáÝÇ ÍÝáñ¹Ç
ßáß³÷Ù³Ý Ï»ïÁ:
1. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÇ ¨ ·Ý¹Ç Ù»Í ßñç³ÝÇ
ٳϻñ»ëÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ÍÝáñ¹Ç ¨ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý
³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
3. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ÷éí³ÍùÇ ³Õ»ÕÇ
³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
4. ø³ÝDZ ³Ý·³Ù ¿ ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ ßñç³ÝÇ Ù³Ï»ñëÁ Ù»Í ³ÛÝ ßñç³ÝÇ
ٳϻñ»ëÇó, áñÇ »½ñ³·ÇÍÁ ·Ý¹Ç ٳϻñ¨áõÛÃÇ ¨ ÏáÝÇ ÏáÕÙ³ÛÇÝ
ٳϻñ¨áõÛÃÇ ßáß³÷Ù³Ý Ï»ï»ñÝ »Ý:
10. ABC »é³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÝ»ñÝ ÁÝÏ³Í »Ý O Ï»ÝïñáÝáí ·Ý¹³ÛÇÝ
ٳϻñ¨áõÛÃÇ íñ³: O Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ »é³ÝÏÛ³Ý
ѳñÃáõÃÛáõÝÇó 12,5 3 ¿, 20AB BC , 24AC :
1. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ïñ³Ù³·ÍÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É 3
3V -Ý, áñï»Õ V -Ý OABC µáõñ·Ç ͳí³ÉÁ:
4. àñáᯐ 03V
S ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ 0V -Ý ·Ý¹Ç ͳí³ÉÝ ¿, ÇëÏ
S -Á` OABC µáõñ·ÇÝ ³ñï³·Í³Í ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÁ:
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11. гï³Í ÏáÝÇ ÑÇÙù»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÝ áõ ÍÝáñ¹Á ѳñ³µ»ñáõÙ »Ý,
ÇÝãå»ë 4:11:25, ÇëÏ Í³í³ÉÁ 1448 ¿:
1. ¶ïÝ»É Ñ³ï³Í ÏáÝÇ ÷áùñ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁ:
2. ¶ïÝ»É Ñ³ï³Í ÏáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
3. ¶ïÝ»É Ñ³ï³Í ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÇ 1
Ù³ëÁ:
4. ¶ïÝ»É Ñ³ï³Í ÏáÝÇ ÑÇÙù»ñÁ ßáß³÷áÕ ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÃÇ
ٳϻñ»ëÇ 1
Ù³ëÁ:
12. O Ï»ÝïñáÝáí ¨ 37 ß³é³íÕáí ·áõݹÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ABCD ѳí³-
ë³ñ³ëñáõÝ ë»Õ³ÝÇ µáÉáñ ÏáÕÙ»ñÁ: O Ï»ïÇ åñáÛ»ÏóÇ³Ý ABCD
ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ H Ï»ïÝ ¿: ê»Õ³ÝÇ ÑÇÙù»ñÝ »Ý`
18, 32BC AD :
1. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ CD ëñáõÝùÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É BOHA »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý ÏáëÇÝáõëÁ:
3. ¶ïÝ»É OH ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É ABCD ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ OA ѳïí³ÍÇ åñáÛ»ÏódzÛÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
13. O Ï»ÝïñáÝáí ¨ 7 ß³é³íÕáí ·áõݹÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ABCD ߻ճÝ-
ÏÛ³Ý µáÉáñ ÏáÕÙ»ñÁ: ¶Ý¹Ç Ï»ÝïñáÝÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ A ·³·³-
ÃÇó 9 ¿, ÇëÏ B -Çó` 11:
1. ¶ïÝ»É ß»Õ³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛ³Ý ù³é³ÏáõëÇÝ:
2. ¶ïÝ»É AOHD »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý ëÇÝáõëÁ, áñï»Õ OH -Á
áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ ABCD ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ:
3. ¶ïÝ»É O Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ABCD ѳñÃáõÃÛáõÝÇó:
4. ¶ïÝ»É ABCD ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ OB ѳïí³ÍÇ åñáÛ»ÏódzÛÇ
»ñϳñáõÃÛ³Ý ù³é³ÏáõëÇÝ:
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14. ÎáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÁ ϳÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ ¿, ÑÇÙùÇ
ß³é³íÇÕÁ` 36 :
1. ¶ïÝ»É
S ѳñ³µ»ñáõÃÛ³Ý Ãí³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÁ, áñï»Õ S -Á ÏáÝÇ
ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ ¿:
2. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ÷éí³ÍùÇ ³Õ»ÕÇ ³ëïÇ׳-
ݳÛÇÝ ã³÷Á:
3. ¶³·³ÃÇó DZÝã Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ å»ïù ¿ ï³Ý»É ÏáÝÇ ÑÇÙùÇÝ
½áõ·³Ñ»é ѳñÃáõÃÛáõÝ, áñå»ë½Ç ëï³óí³Í ѳïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ
ѳí³ë³ñ ÉÇÝÇ ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ Ù³Ï»ñ»ëÇ 4
1 -ÇÝ:
4. ¶ïÝ»É
V Ù»ÍáõÃÛ³Ý Ãí³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÁ, áñï»Õ V -Ý ÏáÝÇÝ Ý»ñ·Í³Í
·Ý¹Ç ͳí³ÉÝ ¿:
15. ÎáÝÇ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 3 ¿: гïáõÛÃÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ ÏáÝÇ A ·³·³Ãáí
¨ ÑÇÙùÇ BC ɳñáí, áñÁ Ó·áõÙ ¿ 600-Ç ³Õ»Õ: гïáõÛÃÇ Ñ³ñÃáõ-
ÃÛáõÝÁ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 300-Ç ³ÝÏÛáõÝ:
1. ¶ïÝ»É AB áõÕÕÇ ¨ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý
Ïáï³Ý·»ÝëÁ:
2. ¶ïÝ»É Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
3. ¶ïÝ»É Ñ³ïáõÛÃÇ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÇó ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ Ï»ÝïñáÝÇ
Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý ÏñÏݳå³ïÇÏÁ:
4. ¶ïÝ»É ABCO µáõñ·Ç ͳí³ÉÁ, áñï»Õ O -Ý ÑÇÙùÇ Ï»ÝïñáÝÝ ¿:
16. 15AD , 9BC ÑÇÙù»ñáí ¨ 10AB Ù»Í ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕáí
ABCD áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ ë»Õ³ÝÁ åïïíáõÙ ¿ ÷áùñ ÑÇÙùÇ ßáõñç:
1. ¶ïÝ»É åïïÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ AD -Ç ³é³ç³óñ³Í ·É³Ý³ÛÇÝ
ٳϻñ¨áõÛÃÇ ÑÇÙùÇ ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É åïïÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ AB -Ç ³é³ç³óñ³Í ÏáݳϳÝ
ٳϻñ¨áõÛÃÇ ÷éí³ÍùÇ ë»ÏïáñÇ ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
3. ¶ïÝ»É åïïáõÙÇó ³é³ç³ó³Í Ù³ñÙÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÇ ¨
-Ç Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É ³é³ç³ó³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÇ ¨ -Ç Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ:
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17. ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ CBA ,, ·³·³ÃÝ»ñÝ ³Û¹ ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ
ÏáÕÙ»ñÁ ãѳïáÕ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÇó ·ïÝíáõÙ »Ý ѳٳå³ï³ë-
˳ݳµ³ñ 7, 11, 21 Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ íñ³: O -Ý ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ
³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÝ ¿, M -Á` BC -Ç ÙÇçݳϻïÁ:
1. ¶ïÝ»É O Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ѳñÃáõÃÛáõÝÇó:
2. ¶ïÝ»É D Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ѳñÃáõÃÛáõÝÇó:
3. ¶ïÝ»É OK
BD ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ K -Ý BD ¨ AM áõÕÇÕÝ»ñÇ
ѳïÙ³Ý Ï»ïÝ ¿:
4. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³Ý ÙÇçݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõ-
ÃÛáõÝÁ ѳñÃáõÃÛáõÝÇó:
18. ABC »é³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÁ ßáß³÷áõÙ »Ý O Ï»ÝïñáÝáí ¨ 5
ß³é³íÕáí ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ: 10 BCAB , 12AC :
1. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É O Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ABC ѳñÃáõÃÛáõÝÇó:
3. ¶ïÝ»É OABC µáõñ·Ç ͳí³ÉÁ:
4. àñáᯐ 1
9V
V ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ V -Ý ·Ý¹Ç, ÇëÏ
1V -Á` OABC
µáõñ·ÇÝ Ý»ñ·Í³Í ÏáÝÇ Í³í³ÉÝ ¿:
19. A Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý B ¨ C Ï»ï»ñÇó,
ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ѳí³ë³ñ »Ý 2 ¨ 5 , AO -Ý
ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ ï³ñí³Í áõÕճѳ۳óÝ ¿ ¨ 1AO BC :
1. ¶ïÝ»É Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ AC ѳïí³ÍÇ åñáÛ»ÏódzÛÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É ¨ ABC ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý
³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
3. ¶ïÝ»É Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý ¨ AB áõÕÕÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý
³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É ABCO µáõñ·ÇÝ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ
ïñ³Ù³·ÍÇ ù³é³ÏáõëÇÝ:
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20. O Ï»ïÇó ï³ñí³Í »Ý , ,OA OM ON ׳鳷³ÛÃÝ»ñÝ, ³ÛÝå»ë áñ 090 ,MON 060AON AOM : A Ï»ïÇó ï³ñí³Í ¿ MON
³ÝÏÛ³Ý ÏÇëáñ¹ÇÝ áõÕճѳ۳ó ѳñÃáõÃÛáõÝ, áñÁ OM ¨ ON
׳鳷³ÛÃÝ»ñÁ ѳïáõÙ ¿ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ C ¨ B Ï»ï»-
ñáõÙ: гÛïÝÇ ¿, áñ 6 2OA :
1. ¶ïÝ»É OAB ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
2. ¶ïÝ»É AO áõÕÕÇ ¨ MON ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý
³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
3. ¶ïÝ»É BAC ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É OABC µáõñ·ÇÝ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ
ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
21. OA , OB ¨ OC ׳鳷³ÛÃÝ»ñÁ ¹³ë³íáñí³Í »Ý ³ÛÝå»ë, áñ
045AOC AOB , 060BOC , ÇëÏ OH áõÕÇÕÝ áõÕճѳ-
Û³ó ¿ AOB ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ:
1. ¶ïÝ»É COAB »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
2. ¶ïÝ»É COBA »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý ï³Ý·»ÝëÇ ù³é³ÏáõëÇÝ:
3. ¶ïÝ»É OH ¨ OC áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É OB áõÕÕÇ ¨ AOC ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý
³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
22. O ·³·³Ãáí AOB áõÕÇÕ ³ÝÏÛ³Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ ãå³ïϳÝáÕ M
Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ O Ï»ïÇó 4 3 ¿, ÇëÏ OM -Ç Ï³½Ù³Í
³ÝÏÛáõÝÁ OA ¨ OB áõÕÇÕÝ»ñÇ Ñ»ï` 600
:
1. ¶ïÝ»É AOB ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ OM áõÕÕÇ åñáÛ»ÏódzÛÇ ¨ OB -Ç
ϳ½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
2. ¶ïÝ»É M Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ AOB ³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇó:
3. ¶ïÝ»É OM áõÕÕÇ ¨ AOB ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý
³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É MOBA »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý ï³Ý·»ÝëÇ ù³é³ÏáõëÇÝ:
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23. ÎáÝÇ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 2 ¿, ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁ` 2 3 :
1. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ÍÝáñ¹Ç »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ÍÝáñ¹Ç ¨ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý
³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
3. ¶ïÝ»É ÏáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ³ÝÏÛ³Ý
³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
4. ÎáÝÇ ÑÇÙùÇ ïñ³Ù³·ÇÍÁ ù³ÝDZ ³Ý·³Ù ¿ Ù»Í ÑÇÙùÇ Ï»ÝïñáÝÇ ¨
ÍÝáñ¹Ç Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÇó:
24. S ·³·³Ãáí SABCDEF ϳÝáݳíáñ í»ó³ÝÏÛáõÝ µáõñ·Ç ÑÇÙùÇ
ÏáÕÙÁ 2 ¿, ÇëÏ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÁª 13 :
1. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É V3 -Ý, áñï»Õ V -Ý µáõñ·Ç ͳí³ÉÝ ¿:
3. ¶ïÝ»É SA ¨ EF áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ï³Ý·»ÝëÇ
ÏñÏݳÏÇÝ:
4. ¶ïÝ»É AE áõÕÕÇ ¨ BSA ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý
³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
25. 1 1 1 1ABCDA BC D áõÕÕ³ÝÏÛáõݳÝÇëïÇ` »ñÏáõ ÏÇó ÏáÕÙݳÛÇÝ
ÝÇëï»ñÇó Ù»ÏÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÇÍÁ 5 ¿, ÙÛáõëÇÝÁ` 20 2 : ÐÇÙùÇ
ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï ³Û¹ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ
ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ 450 ¿:
1. ¶ïÝ»É 1ABB C »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
2. ¶ïÝ»É ÑÇÙùÇ ÏÇó ÏáÕÙ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇÝ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ
Ï»ÝïñáÝÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÇó:
4. ¶ïÝ»É ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 6 î²ð²Ì²â²öàôÂÚàôÜ
207
26. DABC µáõñ·Ç D ·³·³ÃÇÝ Ñ³ñ³ÏÇó µáÉáñ ѳñà ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÝ
áõÕÇÕ »Ý: гÛïÝÇ ¿, áñ 6DA , 8DB , 24DC :
1. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ` ÁݹáõÝ»Éáí
ABC -Ý áñå»ë ÑÇÙù:
2. ¶ïÝ»É ADB ÝÇëïÇ D ·³·³ÃÇó ï³ñí³Í ÙÇçݳ·ÍÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É DABC µáõñ·Ç ͳí³ÉÁ:
4. ¶ïÝ»É µáõñ·ÇÝ ³ñï³·Íí³Í ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ß³é³íÇÕÁ:
27. DABC µáõñ·Ç D ·³·³ÃÇÝ Ñ³ñ³ÏÇó µáÉáñ ѳñà ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÝ
áõÕÇÕ »Ý: гÛïÝÇ ¿, áñ 3DA , 4DB , ÇëÏ µáõñ·Ç ͳí³ÉÁ` 24:
1. ¶ïÝ»É ADB ÝÇëïÇ D ·³·³ÃÇó ï³ñí³Í ÙÇçݳ·ÍÇ »ñϳñáõ-
ÃÛ³Ý ÏñÏݳå³ïÇÏÁ:
2. ¶ïÝ»É DC ÏáÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É DABC µáõñ·Ç ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ`
ÁݹáõÝ»Éáí ABC -Ý áñå»ë ÑÇÙù:
4. ¶ïÝ»É µáõñ·ÇÝ ³ñï³·Íí³Í ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ïñ³Ù³·ÇÍÁ:
28. S ·³·³Ãáí SABCDEF ϳÝáݳíáñ í»ó³ÝÏÛáõÝ µáõñ·Ç
µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 4 ¿, ÇëÏ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÁª 54 :
1. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É V3 -Ý, áñï»Õ V -Ý µáõñ·Ç ͳí³ÉÝ ¿:
3. ¶ïÝ»É µáõñ·Ç ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÇ ¨ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í
³ÝÏÛ³Ý Ïáï³Ý·»ÝëÁ:
4. ¶ïÝ»É AE áõÕÕÇ ¨ BSA ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳-
ݳÛÇÝ ã³÷Á:
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m
¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 6 î²ð²Ì²â²öàôÂÚàôÜ
208
ä²î²êʲÜܺð
²/Ð
ºÝó³é³ç³¹ñ³ÝùÇ Ñ³Ù³ñÁ
1 2 3 4
1 2 45 8 8
2 17 60 135 544
3 6 2 162 6
4 1 90 3 5
5 90 6 36 1
6 13 10 50 120
7 72 45 90 9
8 6 45 6 144
9 6 60 180 4
10 25 25 800 200
11 4 360 375 576
12 25 0 35 20
13 200 1 1 120
14 216 180 9 288
15 2 6 3 3
16 8 288 384 832
17 14 17 6 13
18 3 4 64 125
19 2 30 30 5
20 60 45 90 6
21 90 2 45 45
22 45 6 45 2
23 4 30 120 4
24 3 18 3 60
25 90 25 2 248
26 192 5 192 13
27 5 12 48 13
28 8 384 2 30
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 7 Îààð¸ÆܲîܺðÆ ØºÂà¸, ìºÎîàðܺð
209
´²ÄÆÜ 7. Îààð¸ÆܲîܺðÆ ØºÂà¸, ìºÎîàðܺð
1. îñí³Í »Ý 1; 0A , 4; 4B , 3; 3C
Ï»ï»ñÁ£
1. ¶ïÝ»É AB
í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ£
2. ¶ïÝ»É Ox ³é³ÝóùÇ íñ³ AB ѳïí³ÍÇ åñáÛ»ÏódzÛÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ£
3. ¶ïÝ»É AC
¨ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ j
í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ£
4. ¶ïÝ»É AC
¨ AB
í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á:
2. 2; 1 , 1; 5 , 4; 1 , 1; 3A B C D Ï»ï»ñÁ ABCD ߻ճÝÏÛ³Ý
·³·³ÃÝ»ñÝ »Ý:
1. ¶ïÝ»É ß»Õ³ÝÏÛ³Ý ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÇ ³µëóÇëÁ:
2. ¶ïÝ»É ß»Õ³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É AD
¨ CB
í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É BD
¨ AC
í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ£
3. îñí³Í »Ý 3; 6A , 8; 6B ¨ 4; 10C Ï»ï»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É B Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï»ïÇó:
2. ¶ïÝ»É Oy ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ B -ÇÝ Ñ³Ù³ã³÷ Ï»ïÇ ûñ¹ÇݳïÁ:
3. ¶ïÝ»É Ox ³é³ÝóùÇ íñ³ AC ѳïí³ÍÇ åñáÛ»ÏódzÛÇ »ñϳñáõ-
ÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É BA
¨ BC
í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ£
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 7 Îààð¸ÆܲîܺðÆ ØºÂà¸, ìºÎîàðܺð
210
4. îñí³Í »Ý 2; 1M , 2; 6N ¨ 0; 0O Ï»ï»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É MNO »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ:
2. ¶ïÝ»É k -Ý, »Ã» ѳÛïÝÇ ¿, áñ y kx áõÕÇÕÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ N Ï»ïáí:
3. ¶ïÝ»É OM ON OM
ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
4. ¶ïÝ»É ON OM
í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
5. îñí³Í »Ý 11; 3 , 1; 3 , ; 3
2A B C
Ï»ï»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É AB ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É CAB ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
3. ¶ïÝ»É ³ÛÝ Ï»ïÇ ³µëóÇëÁ, áñÁ ѳٳã³÷ ¿ A -ÇÝ` B Ï»ïÇ
Ýϳïٳٵ:
4. n -Ç á՞ñ ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ »Ý 3;a n
¨ AB
í»ÏïáñÝ»ñÁ
ѳÏáõÕÕí³Í:
6. îñí³Í »Ý ABCD ù³é³Ïáõëáõ 2; 1 , 4; 0 , 3; 2A B C
·³·³ÃÝ»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É D ·³·³ÃÇ ³µëóÇëÁ:
2. ¶ïÝ»É ù³é³Ïáõëáõ ٳϻñ»ëÁ:
3. ¶ïÝ»É AD
¨ DB
í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É AC DB
ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
7. îñí³Í »Ý 0x y k ¨ 2 4 0x y áõÕÇÕÝ»ñÁ:
1. k -Ç á՞ñ ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ¿ 0x y k áõÕÇÕÝ ³ÝóÝáõÙ 1; 2
Ï»ïáí:
2. k -Ç á՞ñ ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ïñí³Í áõÕÇÕÝ»ñÁ Ïѳïí»Ý 3x
³µëóÇëáí Ï»ïáõÙ:
3. k -Ç á՞ñ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ¿ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï»ïÇ
Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 0x y k áõÕÕÇó ѳí³ë³ñ 2 -Ç:
4. ¶ïÝ»É 0; 0; 2 4 0y x y k x y áõÕÇÕÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ï-
í³Í »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ 4k ¹»åùáõÙ:
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 7 Îààð¸ÆܲîܺðÆ ØºÂà¸, ìºÎîàðܺð
211
8. îñí³Í ¿ 1O Ï»ÝïñáÝáí
2 23 5 25x y
ßñç³Ý³·ÇÍÁ:
1. ¶ïÝ»É ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
2. ¶ïÝ»É ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ Oy ³é³ÝóùÇó:
3. ¶ïÝ»É a -Ç ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ y a
áõÕÇÕÝ áõ ïñí³Í ßñç³Ý³·ÇÍÁ ãáõÝ»Ý ÁݹѳÝáõñ Ï»ï:
4. ¶ïÝ»É Oy ³é³ÝóùÇ ³ÛÝ Ñ³ïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ïñí³Í
ßñç³Ý³·ÍÇ É³ñ ¿:
9. , ,a b c
í»ÏïáñÝ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý ¨
Ýñ³Ýó »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ѳí³ë³ñ »Ý
3; 6 ¨ 4:
1. ¶ïÝ»É c
¨ a
í»ÏïáñÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É c a
¨ c a
í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
3. ¶ïÝ»É a
¨ c b
í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É 2a b c
í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
10. îñí³Í »Ý 2; 3;A k ¨ 1; 3; 2B Ï»ï»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É k -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ AB ѳïí³ÍÇ ÙÇçݳϻïÁ
Ïå³ïϳÝÇ Oxy ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ:
2. ¶ïÝ»É k -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ AB ¨ 3; 3; 1a
í»Ïïáñ-
Ý»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ 0 ¿:
3. ¶ïÝ»É k -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ A ¨ 1B Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõ-
ÃÛáõÝÁ 1 ¿, áñï»Õ 1B -Á B Ï»ïÇ Ñ³Ù³ã³÷Ý ¿ Oxy ѳñÃáõÃÛ³Ý
Ýϳïٳٵ:
4. ¶ïÝ»É k -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ AB ¨ 7; 0; 28a
í»Ïïáñ-
Ý»ñÁ ѳÏáõÕÕí³Í »Ý:
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 7 Îààð¸ÆܲîܺðÆ ØºÂà¸, ìºÎîàðܺð
212
11. îñí³Í »Ý 2; 3; 1a
¨ 4 6 2b i j k
í»ÏïáñÝ»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É OA a
ß³é³íÇÕ í»ÏïáñÇ A ͳÛñ³Ï»ïÇ ûñ¹ÇݳïÁ:
2. ¶ïÝ»É ba
2 í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É a
¨ b
í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É ( )a b b
ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
12. îñí³Í »Ý 0; 2; 4 2 , 2 3; 0; 0 , 0; 0; 0M B O Ï»ï»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É MO ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É M Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ Oxz ѳñÃáõÃÛáõÝÇó:
3. ¶ïÝ»É MBO ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É 0; ; 0C y Ï»ïÇ ûñ¹ÇݳïÁ, »Ã» MBC »é³ÝÏÛáõÝÁ
ѳí³ë³ñ³ÏáÕÙ ¿:
13. îñí³Í »Ý 0; 6; 0 , 2 3; 0; 0 , 0; 0; 0C A O Ï»ï»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É CO ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É C Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ Oz ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ Çñ»Ý
ѳٳã³÷ Ï»ïÇó:
3. ¶ïÝ»É CA
¨ AO
í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É ; 2; 4 2B x Ï»ïÇ ³µëóÇëÁ, »Ã» ABC »é³ÝÏÛáõÝÁ
ѳí³ë³ñ³ÏáÕÙ ¿:
14. 0; 0; 6 , 3; 0; 0 , 0; 3; 0M A B Ï»ï»ñÁ MABCD ϳÝáݳíáñ
ù³é³ÝÏÛáõÝ µáõñ·Ç ·³·³ÃÝ»ñÝ »Ý, 0; 0; 0O Ï»ïÁ µáõñ·Ç ÑÇÙùÇ
Ï»ÝïñáÝÁ:
1. ¶ïÝ»É D Ï»ïÇ ûñ¹ÇݳïÁ:
2. ¶ïÝ»É MA MC
í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É AK ¨ OA áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á, áñï»Õ K -Ý µáõñ·Ç µ³ñÓñáõÃÛ³Ý ÙÇçݳϻïÝ ¿:
4. ¶ïÝ»É AK
¨ OA
í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á, áñï»Õ K -Ý µáõñ·Ç µ³ñÓñáõÃÛ³Ý ÙÇçݳϻïÝ ¿:
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 7 Îààð¸ÆܲîܺðÆ ØºÂà¸, ìºÎîàðܺð
213
15. 1 1 10; 0; 2 , 3; 0; 2 , 0; 3; 2A D B Ï»ï»ñÁ 1 1 1 1ABCDA BC D
Ëáñ³Ý³ñ¹Ç ·³·³ÃÝ»ñÝ »Ý, Áݹ áñáõÙ A ·³·³ÃÇ ³åÉÇϳïÁ
µ³ó³ë³Ï³Ý ¿:
1. ¶ïÝ»É Ëáñ³Ý³ñ¹Ç B ·³·³ÃÇ ûñ¹ÇݳïÁ:
2. ¶ïÝ»É 1BA
¨ 1BC
í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
3. ¶ïÝ»É 1A D
¨ AC
í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É 1 1AB AC
í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
16. îñí³Í ¿ 1; 0; 0 , 0; 1; 0A C ·³·³ÃÝ»ñáí 1 1 1 1ABCDA BC D
Ëáñ³Ý³ñ¹Á:
1. ¶ïÝ»É Ëáñ³Ý³ñ¹Ç ÏáÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É 1AC
¨ BD
í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
3. ¶ïÝ»É 1A D
¨ 1DC
í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á:
4. ¶ïÝ»É 1C D áõÕÕÇ ¨ 1ACC ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳-
ݳÛÇÝ ã³÷Á:
17. 15; 0; 0 , 0; 0; 3 , 0; 5; 0A B C ¨ 0; 0; 0B
Ï»ï»ñÁ 1 1 1 1ABCDA BC D
ϳÝáݳíáñ ù³é³ÝÏÛáõÝ åñǽٳÛÇ ·³·³ÃÝ»ñÝ »Ý:
1. ¶ïÝ»É 1AB
¨ AC
í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
2. ¶ïÝ»É D ·³·³ÃÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
3. ¶ïÝ»É Oyz ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ 1AB
í»ÏïáñÇ åñáÛ»ÏódzÛÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É 1 1AC AA AC
í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 7 Îààð¸ÆܲîܺðÆ ØºÂà¸, ìºÎîàðܺð
214
18. îñí³Í »Ý ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ 2;2A , 2;9B ¨ 2;1 D
·³·³ÃÝ»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ C ·³·³ÃÇ ³µëóÇëÁ:
2. ¶ïÝ»É ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ AD ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
4. ¶ïÝ»É AM ¨ AC í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á, áñï»Õ M -Á ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ A ·³·³ÃÇó DC ÏáÕÙÇÝ
ï³ñí³Í µ³ñÓñáõÃÛ³Ý ÑÇÙùÝ ¿:
19. îñí³Í »Ý ABCD ë»Õ³ÝÇ 3;3A , 1;7 B , 7;3 C , 1;3 D
·³·³ÃÝ»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ AC ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É AB ¨ AC í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ
ã³÷Á:
3. ¶ïÝ»É AC ¨ DB í»Ïïáñ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ:
4. ¶ïÝ»É ë»Õ³ÝÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
20. îñí³Í »Ý ABCD ù³é³Ïáõëáõ 3;8,8;3,3;2 CBA ·³·³ÃÝ»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É ù³é³Ïáõëáõ BD ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
2. ¶ïÝ»É ù³é³Ïáõëáõ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÇ ³µëóÇëÁ:
3. ¶ïÝ»É ù³é³Ïáõëáõ ٳϻñ»ëÁ:
4. ¶ïÝ»É ù³é³Ïáõëáõ A ¨ B ·³·³ÃÝ»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ ³ÝÏÛáõ-
ݳÛÇÝ ·áñͳÏÇóÁ:
21. îñí³Í »Ý 3; 2A , 5; 8B , 7; 2C Ï»ï»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É B Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇó:
2. ¶ïÝ»É AB ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3. ¶ïÝ»É ABC »é³ÝÏÛ³Ý B ·³·³ÃÇó ï³ñí³Í µ³ñÓñáõÃÛ³Ý
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
4. ¶ïÝ»É Oy ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ AB ѳïí³ÍÇ ÙÇçݳϻïÇ
ѳٳã³÷ Ï»ïÇ ûñ¹ÇݳïÁ:
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 7 Îààð¸ÆܲîܺðÆ ØºÂà¸, ìºÎîàðܺð
215
ä²î²êʲÜܺð
²/Ð
ºÝó³é³ç³¹ñ³ÝùÇ Ñ³Ù³ñÁ
1 2 3 4
1 5 3 3 90
2 1 5 180 0
3 10 6 7 252
4 7 3 3 7
5 4 60 3 3
6 1 5 135 0
7 3 13 2 12
8 8 3 11 8
9 5 7 90 13
10 2 1 2 2
11 3 0 180 28
12 6 2 60 6
13 6 12 120 0
14 3 12 45 135
15 3 9 60 9
16 1 0 120 30
17 25 10 3 6
18 6 5 28 45
19 10 45 0 50
20 10 3 50 1
21 5 10 6 5
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´²ÄÆÜ 8. ØƲòàôÂÚàôÜܺð
1. îñí³Í »Ý ; ; ; ; 2; 5; 8A a b c d ¨ ; ; ; 3; 5; 8B a b e µ³½Ùáõ-
ÃÛáõÝÝ»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É A B µ³½ÙáõÃÛ³Ý »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
2. ø³ÝDZ »Õ³Ý³Ïáí ϳñ»ÉÇ ¿ A B µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇó ϳ½Ù»É
ãáñë ÝÇß³Ýáó ͳÍϳ·Çñ, áñÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ÝÇß»ñÁ ÉÇÝ»Ý
ï³é»ñ, ÇëÏ »ññáñ¹ ¨ ãáññáñ¹ ÝÇß»ñÁ` Ãí»ñ:
2. îñí³Í »Ý ; ; ; ; 2; 5; 8A a b c d ¨ ; ; ; 3; 5; 8B a b e µ³½ÙáõÃÛáõÝ-
Ý»ñÁ:
1. ¶ïÝ»É A B µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ 2-³Ï³Ý ½áõ·áñ¹áõÃÛáõÝÝ»ñÇ
ù³Ý³ÏÁ:
2. ¶ïÝ»É \A B µ³½ÙáõÃÛ³Ý 3-³Ï³Ý ϳñ·³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
3. îñí³Í ¿ 1; 2; 5; 8A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
1. ø³ÝDZ ù³é³ÝÇß ÃÇí ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É A µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí,
áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ ÉÇÝÇ ·áÝ» Ù»Ï ÏñÏÝíáÕ Ãí³Ýß³Ý:
2. 5-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ ù³ÝDZ ù³é³ÝÇß ÃÇí ϳñ»ÉÇ ¿ ϳ½Ù»É A µ³½-
ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñáí:
4. îñí³Í ¿ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
1. ¶ïÝ»É µáÉáñ ³ÛÝ »é³ÝÇß Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝó ³é³çÇÝ ¨ í»ñçÇÝ
Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ A -Çó »Ý:
2. âÏñÏÝíáÕ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ¨ 10-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ ù³ÝDZ ÑÝ·³ÝÇß
ÃÇí ϳñ»ÉÇ ¿ ϳ½Ù»É A µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí:
5. îñí³Í ¿ 1; 2; 4; 5; 6C µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
1. ¶ïÝ»É 4000-Çó Ù»Í ¨ C µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñáí ·ñíáÕ ù³é³ÝÇß
Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ (Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ ϳñáÕ »Ý ÏñÏÝí»É):
2. ¶ïÝ»É 50000-Çó Ù»Í ¨ ï³ñµ»ñ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í µáÉáñ
³ÛÝ ÑÝ·³ÝÇß Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝù ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É C µ³½ÙáõÃÛ³Ý
ï³ññ»ñáí:
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6. A -Ý ÙdzÝÇß µ³Õ³¹ñÛ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿:
1. âÏñÏÝíáÕ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ù³ÝDZ Ï»Ýï ù³é³ÝÇß ÃÇí ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É
A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñáí:
2. ¶ïÝ»É A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñáí ϳ½Ùí³Í µáÉáñ ½áõÛ· »é³ÝÇß
Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:
7. îñí³Í ¿ B {³; µ; ·; ¹; »; ½ } ï³é»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
1. ø³ÝDZ 3 ï³é³Ýáó ”µ³é” ϳñ»ÉÇ ¿ ϳ½Ù»É B µ³½ÙáõÃÛ³Ý
ï³ññ»ñáí (µ³éÁ ϳñáÕ ¿ ÇÙ³ëï ãáõݻݳÉ):
2. ø³ÝDZ 6 ï³é³Ýáó ”µ³é” ϳñ»ÉÇ ¿ ϳ½Ù»É B µ³½ÙáõÃÛ³Ý
ï³é»ñáíª ³é³Ýó ÏñÏÝ»Éáõ ”µ³é”-Ç ï³é»ñÁ, áñáÝó Ù»ç µ ¨ ½
ï³é»ñÁ ÏáÕù-ÏáÕùÇ ãÉÇÝ»Ý (µ³éÁ ϳñáÕ ¿ ÇÙ³ëï ãáõݻݳÉ):
8. سûٳïÇϳÛÇ ËÙµ³ÏÇÝ Ù³ëݳÏóáõÙ ¿ 5 ³ß³Ï»ñï:
1. ø³ÝDZ »Õ³Ý³Ïáí ϳñ»ÉÇ ¿ Ýñ³Ýó óáõó³Ï³·ñ»É (¹³ë³íáñ»É
óáõó³ÏáõÙ):
2. ø³ÝDZ »Õ³Ý³Ïáí ϳñáÕ ¿ áõëáõóÇãÁ Ýñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇÝ
³é³ç³¹ñ»É »ñÏáõ ËݹÇñÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ¥³é³ç³¹ñÙ³Ý »Õ³Ý³Ï ¿ ݳ¨
³ÛÝ ¹»åùÁ, »ñµ µáÉáñÇÝ Ñ³ÝÓݳñ³ñíÇ ÝáõÛÝ ËݹÇñÁ¤:
9. Þ³ËÙ³ïÇ Ùñó³ß³ñáõÙ, áñáõÙ ³Ù»Ý Ù³ëݳÏÇó ÙÛáõëÝ»ñÇó
Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ»ï å»ïù ¿ ³ÝóϳóÝÇ Ù»Ï Ë³Õ, Ù³ëݳÏóáõÙ »Ý
5 ·ñáëÙ³Ûëï»ñ ¨ 3 í³ñå»ï:
1. ø³ÝDZ Ë³Õ Ïϳ۳ݳ ·ñáëÙ³Ûëï»ñÝ»ñÇ ÙÇç¨:
2. ø³ÝDZ »Õ³Ý³Ïáí ¿ Ñݳñ³íáñ Ù³ëݳÏÇóÝ»ñÇó ϳ½Ù»É ãáñë
Ñá·³Ýáó ÃÇÙ, áñáõÙ ÉÇÝ»Ý ¨° ·ñáëÙ³Ûëï»ñ, ¨° í³ñå»ï:
10. ÀÝûñó³ëñ³ÑáõÙ ¹ñí³Í ¿ ѳÝñ³·Çï³ñ³ÝÇ 6 ѳïáñ:
1. ÀÝûñóáÕÁ ù³ÝDZ »Õ³Ý³Ïáí ϳñáÕ ¿ ÁÝïñ»É ³Û¹ ѳïáñÝ»ñÇó
»ñÏáõëÁ:
2. ø³ÝDZ »Õ³Ý³Ïáí ¿ Ñݳñ³íáñ ³Û¹ ·ñù»ñÁ ¹³ë³íáñ»É ·ñ³¹³-
ñ³ÏáõÙ ³ÛÝå»ë, áñ 1-ÇÝ ¨ 6-ñ¹ ѳïáñÝ»ñÁ ÏáÕù-ÏáÕùÇ ãÉÇÝ»Ý:
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11. ê»Õ³ÝÇÝ ¹ñí³Í ¿ 7 ï»ë³ÏÇ ÙÇñ·` Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇó Ù»Ï Ñ³ï:
1. ø³ÝDZ »Õ³Ý³Ïáí ϳñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É 3 ÙÇñ·:
2. ø³ÝDZ »Õ³Ý³Ïáí ¿ Ñݳñ³íáñ, áñ »ñ»ù »ñ»Ë³Ý»ñÇó Ûáõñ³-
ù³ÝãÛáõñÁ ë»Õ³ÝÇó í»ñóÝÇ Ù»Ï ÙÇñ·:
12. ¸³ë³ñ³ÝáõÙ ëáíáñáõÙ »Ý 11 ïÕ³ ¨ 9 ³ÕçÇÏ:
1. ø³ÝDZ »Õ³Ý³Ïáí ϳñ»ÉÇ ¿ ¹³ë³ñ³ÝÇ ³ß³Ï»ñïÝ»ñÇó ÁÝïñ»É
»ñÏáõëÇÝ` Ù»ÏÁ` ³í³·, ÙÛáõëÁ` ³ß³Ï»ñï³Ï³Ý ËáñÑñ¹Ç ³Ý¹³Ù:
2. ø³ÝDZ »Õ³Ý³Ïáí ϳñ»ÉÇ ¿ ¹³ë³ñ³ÝÇ ³ß³Ï»ñïÝ»ñÇó ÁÝïñ»É
»ñ»ù Ñá·³Ýáó ËáõÙµ, áñáõÙ ÉÇÝ»Ý ¨°ïÕ³, ¨° ³ÕçÇÏ:
13. ¼µáë³ßñçÇÏÁ ݳ˳ï»ë»É ¿ ׳Ù÷áñ¹»É ØáëÏí³,ÎǨ, èÇ·³ ¨
äñ³·³ ù³Õ³ùÝ»ñáí:
1. лñóϳÝáõÃÛáõÝÝ ÁÝïñ»Éáõ ù³ÝDZ Ñݳñ³íáñáõÃÛáõÝ áõÝÇ
½µáë³ßñçÇÏÁ, »Ã» ݳ áñáᯐ ¿ ׳Ù÷áñ¹áõÃÛáõÝÝ ³í³ñï»É ÎǨáõÙ:
2. лñóϳÝáõÃÛáõÝÝ ÁÝïñ»Éáõ ù³ÝDZ Ñݳñ³íáñáõÃÛáõÝ áõÝÇ
½µáë³ßñçÇÏÁ, »Ã» ݳ áñáᯐ ¿ ׳Ù÷áñ¹áõÃÛ³Ý ÁÝóóùáõÙ èÇ·³
Ù»ÏÝÇ ØáëÏí³ ¨ äñ³·³ ³Ûó»É»Éáõó Ñ»ïá:
14. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ø³ÝDZ ÑÝ·³ÝÇß ½áõÛ· ÃÇí ϳñ»ÉÇ ¿ ϳ½Ù»É 0, 1, 2, 3, 4, 5
Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ¥³é³Ýó Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ÏñÏÝáõÃ۳ݤ:
2. ¶ïÝ»É µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, »Ã» Ýñ³ 2-³Ï³Ý ϳñ·³-
íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÃÇíÁ 100-Çó Ù»Í ¨ 130-Çó ÷áùñ ÃÇí ¿:
15. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 3
8
2
72 CA ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ:
2. ø³ÝDZ í»ó³ÝÇß Ï»Ýï ÃÇí ϳñ»ÉÇ ¿ ϳ½Ù»É 0, 2, 3, 5, 7, 8
Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ¥³é³Ýó Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ÏñÏÝáõÃ۳ݤ:
16. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É n -Á, »Ã» 11 100 nnn PPP :
2. ¶ïÝ»É 4-Ç µ³Å³ÝíáÕ µáÉáñ ³ÛÝ ù³é³ÝÇß Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝóÇó
Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ·ñ³éáõÙÁ ãÇ å³ñáõݳÏáõÙ 0, 2, 4, 6 Ãí³Ýß³Ý-
Ý»ñÇó ¨ á՛ã Ù»ÏÁ:
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17. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. 11 »ñ»Ë³Ý»ñÇó å³ï³Ñ³Ï³Ýáñ»Ý ÁÝïñíáõÙ »Ý 3-Á ¨ ß³ñù
ϳݷݻóíáõÙ: ø³ÝDZ »Õ³Ý³Ïáí ϳñ»ÉÇ ¿ ß³ñù ϳ½Ù»É:
2. ¶ïÝ»É n -Á, »Ã» 324 nn CA :
18. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ø³ÝDZ »Õ³Ý³Ïáí ϳñ»ÉÇ ¿ ß³ËÙ³ïÇ ¹³ßïÇ ÑáñǽáݳϳÝ
ß»ñïÇ 8 í³Ý¹³ÏÝ»ñáõÙ ¹³ë³íáñ»É ³ñù³ ¨ ó·áõÑÇ
˳ճù³ñ»ñÁ ³ÛÝå»ë, áñ ó·áõÑÇÝ ÉÇÝÇ ß»ñïÇ ³é³çÇÝ Ï³Ù
í»ñçÇÝ í³Ý¹³ÏáõÙ:
2. ø³ÝDZ »Õ³Ý³Ïáí ϳñ»ÉÇ ¿ ß³ËÙ³ïÇ ¹³ßïÇ ÑáñǽáݳϳÝ
ß»ñïÇ 8 í³Ý¹³ÏÝ»ñáõÙ ¹³ë³íáñ»É ³ñù³ ¨ ó·áõÑÇ
˳ճù³ñ»ñÁ ³ÛÝå»ë, áñ ¹ñ³Ýù ÏáÕù-ÏáÕùÇ ã·ïÝí»Ý:
19. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ø³ÝDZ »Õ³Ý³Ïáí ϳñáÕ »Ý µ³ßËí»É ³é³çÇÝ, »ñÏñáñ¹ ¨ »ññáñ¹
Ùñó³Ý³Ï³ÛÇÝ ï»Õ»ñÁ ýáõïµáɳÛÇÝ Ùñó³ß³ñáõÙ, áñáõÙ
Ù³ëݳÏóáõÙ ¿ 9 ÃÇÙ:
2. ø³ÝDZ ï³ññ áõÝÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, »Ã» Ýñ³ 3-³Ï³Ý ½áõ·áñ¹áõ-
ÃÛáõÝÝ»ñÇ ÃÇíÁ 5 ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ 2-³Ï³Ý ½áõ·áñ¹áõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÃíÇó:
20. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 22
24!
P ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ:
2. âÏñÏÝíáÕ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ù³ÝDZ ù³é³ÝÇß ½áõÛ· ÃÇí ϳñ»ÉÇ ¿
ϳ½Ù»É 5, 6, 7, 8, 9 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí:
21. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ø³ÝDZ »Õ³Ý³Ïáí ¿ Ñݳñ³íáñ 6 ï³ñµ»ñ áõëáõÙÝ³Ï³Ý ³é³ñ-
ϳݻñÇó (³Û¹ Ãíáõ٠ѳÝñ³Ñ³ßÇí ¨ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝ) ϳ½Ù»É
ûñí³ 6 ųٳÝáó ¹³ë³óáõó³Ï ³ÛÝå»ë, áñ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝ ¨
ѳÝñ³Ñ³ßÇí ³é³ñϳݻñÁ ÉÇÝ»Ý ÏáÕù-ÏáÕùÇ:
2. гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ѳïíáÕ áõÕÕÇÕÝ»ñÇó áã ÙÇ »ñ»ùÁ
ã»Ý ³ÝóÝáõÙ ÙǨÝáõÛÝ Ï»ïáí: ¶ïÝ»É áõÕÇÕÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, »Ã»
Ýñ³Ýù áõÝ»Ý 55 ѳïÙ³Ý Ï»ï:
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22. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. âÏñÏÝíáÕ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ¨ 5-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ ù³ÝDZ µÝ³Ï³Ý ÃÇí
ϳñ»ÉÇ ¿ ϳ½Ù»É 2, 3, 4, 5 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí:
2. ¶ïÝ»É áõéáõóÇÏ µ³½Ù³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇ ÃÇíÁ, »Ã» ³ÛÝ áõÝÇ 20
³ÝÏÛáõݳ·ÇÍ:
23. 7 ï³ñµ»ñ áõëáõÙÝ³Ï³Ý ³é³ñϳݻñÇó` ³Û¹ Ãíáõ٠ٳûٳïÇϳÝ
¨ ýǽÇϳÝ, å»ïù ¿ ϳ½Ù»É ûñí³ 7 ųٳÝáó ¹³ë³óáõó³Ï:
1. ø³ÝDZ »Õ³Ý³Ïáí ϳñ»ÉÇ ¿ ³ÛÝ Ï³½Ù»É ³ÛÝå»ë, áñ
ٳûٳïÇÏ³Ý ÉÇÝÇ ³é³çÇÝ Å³ÙÇÝ, ÇëÏ ýǽÇϳÝ` »ñÏñáñ¹:
2. ø³ÝDZ »Õ³Ý³Ïáí ϳñ»ÉÇ ¿ ³ÛÝ Ï³½Ù»É ³ÛÝå»ë, áñ ٳûٳïÇϳ
¨ ýǽÇϳ ³é³ñϳݻñÁ »ññáñ¹ ųÙÇó ßáõï ÉÇÝ»Ý:
24. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ̳ÕϳÃÙµáõ٠ϳ 7 ëåÇï³Ï ¨ 5 ϳñÙÇñ ͳÕÇÏ: ø³ÝDZ
»Õ³Ý³Ïáí ¿ Ñݳñ³íáñ åáÏ»É 3 ͳÕÇÏ ³ÛÝå»ë, áñ µáÉáñÁ ÝáõÛÝ
·áõÛÝÇ ãÉÇÝ»Ý:
2. 2-Çó Ù»Í Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ϳ½Ùí³Í ù³ÝDZ ù³é³ÝÇß ÃÇí ϳ, áñáÝó
·ñáõÃÛ³Ý Ù»ç Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ ã»Ý ÏñÏÝíáõÙ, ¨ 4 áõ 5 Ãí³Ýß³Ý-
Ý»ñÁ ÏáÕù-ÏáÕùÇ ã»Ý ·ïÝíáõÙ:
25. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É n -Á, »Ã» 99011 nA :
2. ø³ÝDZ ÇÝݳÝÇß ÃÇí ϳñ»ÉÇ ¿ ϳ½Ù»É ãáñë ѳï 4 ¨ ÑÇÝ· ѳï 5
Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí:
26. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. 3-Çó ³í»ÉÇ ï³ññ å³ñáõݳÏáÕ áñ¨¿ µ³½ÙáõÃÛ³Ý 4-³Ï³Ý
ϳñ·³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ù³ÝDZ ³Ý·³Ù ¿ Ù»Í Ýñ³ 4-³Ï³Ý
½áõ·áñ¹áõÃÛáõÝÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÇó:
2© ¶ïÝ»É ³ÛÝ »é³ÝÇß Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ
·ñ³éÙ³Ý Ù»ç ϳ ×Çßï Ù»Ï 6 Ãí³Ý߳ݣ
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27. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. âÏñÏÝíáÕ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí µáÉáñ ³ÛÝ ÑÝ·³ÝÇß Ãí»ñÁ, áñáÝù ϳñ»ÉÇ
¿ ϳ½Ù»É 1, 2, 3, 4, 5 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí, ѳٳñ³Ï³Éí³Í »Ý ³×Ù³Ý
ϳñ·áí: à±ñ ѳٳñÝ ¿ ÏñáõÙ 54312 ÃÇíÁ:
2. ø³ÝDZ »Õ³Ý³Ïáí ¿ Ñݳñ³íáñ 8 Ù³ñ¹áõó ÁÝïñ»É 3 ½áõÛ·:
28. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É ³ÛÝ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñÇ »ñÏáõ³Ï³Ý ï³ññ
å³ñáõݳÏáÕ »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ѳí³ë³ñ ¿ 21-Ç:
2. ¶ïÝ»É 6-Çó ÷áùñ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ϳ½Ùí³Í ³ÛÝ »é³ÝÇß Ãí»ñÇ
ù³Ý³ÏÁ, áñáÝù ÷áùñ »Ý 400-Çó:
29. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ø³ÝDZ áõÕÕ³ÝÏÛáõݳÝÇëï ϳ, áñáÝó ã³÷áõÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ
1-Çó ÙÇÝ㨠5 µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó »Ý (áõÕÕ³ÝÏÛáõݳÝÇëïÇ ã³÷áõÙ
Ý»ñÁ ï»Õ³÷áË»ÉÇë áõÕÕ³ÝÏÛáõݳÝÇëïÁ ѳٳñ»É ÝáõÛÝÁ):
2. ¶ïÝ»É áõéáõóÇÏ ï³ëݳÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇ ¨ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ
ù³Ý³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ:
30. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ø³ÝDZ Ó¨áí ¿ Ñݳñ³íáñ 3 ï³ñ³ï»ë³Ï ·áñÍÇùÝ»ñÁ ¹³ë³íáñ»É 4
ï³ñ³ï»ë³Ï ³ñÏÕ»ñáõÙ:
2. àõéáõóÇÏ ï³ëÝ»ñÏáõ³ÝÏÛ³Ý ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇó áã ÙÇ »ñ»ùÁ ã»Ý
³ÝóÝáõÙ µ³½Ù³ÝÏÛ³Ý Ý»ñëáõÙ ·ïÝíáÕ Ï»ïáí: ¶ïÝ»É ³Û¹
µ³½Ù³ÝÏÛ³Ý ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñÇ ù³Ý³ÏÁ
(µ³½Ù³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÝ»ñÁ ã»Ý ѳßííáõÙ):
31. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 25
35 6 CA ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ:
2. àõéáõóÇÏ µ³½Ù³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ÷áùñ ¿ Ýñ³
³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ ù³Ý³ÏÇó: ø³ÝDZ ·³·³Ã áõÝÇ ³Û¹åÇëÇ
µ³½Ù³ÝÏÛáõÝÁ:
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32. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¸³ë³ñ³Ýáõ٠ϳ 20 ³ß³Ï»ñï: Üñ³Ýù µáÉáñÁ ÷á˳ݳϻóÇÝ
Çñ»Ýó Éáõë³ÝϳñÝ»ñÁ: Àݹ³Ù»ÝÁ ù³ÝDZ Éáõë³Ýϳñ
÷á˳ݳÏí»ó:
2. ø³ÝDZ »Õ³Ý³Ïáí ¿ Ñݳñ³íáñ 3 ïÕ³ÛÇ ¨ 3 ³Õçϳ ß³ñù
ϳݷݻóÝ»É ³ÛÝå»ë, áñ ÙǨÝáõÛÝ ë»éÇ ³ÝÓÇù ãÉÇÝ»Ý Çñ³ñ ÏáÕùÇ:
33. ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í »Ý 5 Ï»ï»ñ ³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³ÝóÇó áã ÙÇ
»ñ»ùÁ ã»Ý ·ïÝíáõÙ Ù»Ï áõÕÕÇ íñ³, ÇëÏ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÇó ¹áõñë
ïñí³Í ¿ B Ï»ïÁ:
1. ¶ïÝ»É ³ÛÝ »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝó ·³·³ÃÝ»ñÝ ÁÝïñí³Í
»Ý ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í Ï»ï»ñÇó:
2. ¶ïÝ»É ³ÛÝ ù³é³ÝÇëï»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝó ·³·³ÃÝ»ñÝ ÁÝïñí³Í
»Ý ïñí³Í Ï»ï»ñÇó:
34. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É 2
nA -Á, »Ã» 782 nC :
2. âÏñÏÝíáÕ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ù³ÝDZ µÝ³Ï³Ý ÃÇí ϳñ»ÉÇ ¿ ϳ½Ù»É
0, 2, 4, 6 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí:
35. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ¶ïÝ»É ·áÝ» Ù»Ï ÏñÏÝíáÕ Ãí³Ýß³Ý å³ñáõݳÏáÕ µáÉáñ ³ÛÝ
ù³é³ÝÇß Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝù ·ñíáõÙ »Ý 0, 2, 4, 6, 8
Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí£
2. ¶ïÝ»É µáÉáñ ³ÛÝ »é³ÝÇß Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ
Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ Ï»Ýï ¿:
36. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÁ.
1. ø³ÝDZ µ³Å³Ý³ñ³ñ áõÝÇ 25Ē 49 ÃÇíÁ:
2. 5-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ ù³ÝDZ »é³ÝÇß ÃÇí ϳñ»ÉÇ ¿ ϳ½Ù»É
0, 1, 3, 5, 7, 9 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí:
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¶ÈàôÊ 2 ´²ÄÆÜ 8 ՄԻԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ
223
ä²î²êʲÜܺð
²/Ð
ºÝó³é³ç³¹ñ³ÝùÇ
ѳٳñÁ
1 2
1 16 400
2 36 6
3 232 64
4 420 360
5 375 48
6 6 48
7 216 480
8 120 32
9 10 65
10 15 480
11 35 210
12 380 891
13 6 8
14 312 11
15 28 288
16 10 36
17 990 26
18 14 42
19 504 17
20 552 48
21 240 11
22 16 8
23 120 240
24 175 720
25 3 126
26 24 225
27 119 420
28 7 108
29 35 45
30 64 495
31 0 7
32 380 72
33 10 10
34 156 48
35 404 800
36 9 60
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¶ÈàôÊ 3
224
¶ÈàôÊ 3
ՊՆԴՈՒՄՆԵՐԻ ՓՈՒՆՋ
ºññáñ¹ ·ÉËÇ ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñÝ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É µáí³Ý¹³Ïáõ-
ÃÛáõÝÁ. ïñí³Í ¿ áñ¨¿ ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ûµÛ»Ïï (ûñÇݳÏ` ýáõÝÏódz,
ѳí³ë³ñáõÙ, »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñ ¨ ³ÛÉÝ), áñÇ í»ñ³µ»ñÛ³É
µ»ñí³Í ¿ 6 åݹáõÙ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ å»ïù ¿ å³ñ½»É` ³ÛÝ
×DZßï ¿, û± ë˳É: гñóÇÝ ×Çßï å³ï³ë˳ݻÉáõ ¹»åùáõÙ ¹ÇÙáñ¹Á
ëï³ÝáõÙ ¿ Ù»Ï Ùdzíáñ, ÇëÏ ëË³É å³ï³ë˳ݻÉáõ ¹»åùáõ٠ѳÝíáõÙ
¿ Ù»Ï Ùdzíáñ: §â·Çï»Ù¦ å³ï³ë˳ݻÉáõ ¹»åùáõÙ ³Û¹ åݹٳÝ
ѳٳñ Ùdzíáñ ãÇ ïñíáõÙ: ºÃ» ³é³ç³¹ñ³ÝùÇ 6 åݹáõÙÝ»ñÇó
ëï³óí³Í ÙdzíáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿, ³ÛÝ Ñ³Ù³ñíáõÙ ¿ ³Û¹
³é³ç³¹ñ³ÝùÇ ·Ý³Ñ³ï³Ï³ÝÁ: гϳé³Ï ¹»åùáõÙ, ³ÛëÇÝùÝ` »ñµ
ÙdzíáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 0 ¿ ϳ٠µ³ó³ë³Ï³Ý, ³é³ç³¹ñ³ÝùÇ
·Ý³Ñ³ï³Ï³ÝÁ 0 ¿: ²ÛëåÇëáí` ·Ý³Ñ³ïíáõÙ ¿ áã û ³Ù»Ý ÙÇ åݹáõÙ
³é³ÝÓÇÝ, ³Ûɪ ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ ³ÙµáÕçáõÃÛ³Ùµ:
²Ûë ïÇåÇ ³é³ç³¹ñ³ÝùÇ å³ï³ë˳ÝÁ ·ïÝ»ÉÇë §X¦ Ýß³ÝÁ
³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¹Ý»É åÝ¹Ù³Ý áõÕճѳ۳ó ëÛáõݳÏÇ å³ï³ë˳ÝÝ»ñÇ
Ñݳñ³íáñ »ñ»ù` §ÖÇßï ¿¦, §êË³É ¿¦, §â·Çï»Ù¦ åݹáõÙÝ»ñÇ
í³Ý¹³ÏÝ»ñÇó Ù»ÏáõÙ: úñÇݳÏ` »Ã» ¹ÇÙáñ¹Á 4-ñ¹ åÝ¹Ù³Ý Ñ³Ù³ñ
áñå»ë å³ï³ëË³Ý ÁÝïñ»É ¿ §êË³É ¿¦ å³ï³ë˳ÝÁ, ³å³ ³ÛÝ
Éñ³óíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ó¨áí`
äÝ¹Ù³Ý å³ï³ë˳ÝÁ ѳٳñíáõÙ ¿ ×Çßï, »Ã» åݹáõÙÁ
×ßÙ³ñÇï ¿ ¨ ¹ÇÙáñ¹Á Ýᯐ ¿ §ÖÇßï ¿¦ å³ï³ë˳ÝÁ, ϳ٠»Ã»
åݹáõÙÁ ×ßÙ³ñÇï ã¿ ¨ ¹ÇÙáñ¹Á Ýᯐ ¿ §êË³É ¿¦ å³ï³ë˳ÝÁ:
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¶ÈàôÊ 3 ԲԱԺԻՆ 1 ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ
225
´²ÄÆÜ 1. Âì²´²Ü²Î²Ü ²è²æ²¸ð²Üøܺð
1. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ.
1. 0-Çó ï³ñµ»ñ »ñÏáõ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÁ ѳí³ë³ñ ¿
³Û¹ Ãí»ñÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ:
2. γÝáݳíáñ Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÁ ³ÝϳÝáÝ Ïáïáñ³Ï ¿:
3. ò³Ýϳó³Í »ñÏáõ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ³Ï³¹Çñ ÃÇíÁ ѳí³ë³ñ ¿
³Û¹ Ãí»ñÇ Ñ³Ï³¹Çñ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ:
4. ò³Ýϳó³Í »ñÏáõ µ³Õ³¹ñÛ³É Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ µ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇí ¿:
5. ºÃ» µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ¨° 4-Ç, ¨° 6-Ç, ³å³ ³ÛÝ µ³Å³ÝíáõÙ
¿ 24-Ç:
6. ºÃ» ó³Ýϳó³Í ëáíáñ³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñÇãÇÝ ¨ ѳÛï³ñ³-
ñÇÝ ·áõÙ³ñ»Ýù 1, ³å³ Ïáïáñ³ÏÁ Ïٻͳݳ:
2. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ.
1. ò³Ýϳó³Í »ñÏáõ ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÁ ѳí³ë³ñ
¿ ³Û¹ Ãí»ñÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝ:
2. ò³Ýϳó³Í ³ÝϳÝáÝ Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÁ ϳÝáݳíáñ
Ïáïáñ³Ï ¿:
3. ò³Ýϳó³Í »ñÏáõ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ Ñ³Ï³¹Çñ ÃÇíÁ ѳí³ë³ñ ¿
·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ Ñ³Ï³¹Çñ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝ:
4. ò³Ýϳó³Í »ñÏáõ å³ñ½ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ µ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇí ¿:
5. ºÃ» µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ¨° 3-Ç, ¨° 8-Ç, ³å³ ³ÛÝ µ³Å³ÝíáõÙ
¿ 24-Ç:
6. ºÃ» ϳÝáݳíáñ Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñÇãÁ ¨ ѳÛï³ñ³ñÁ ٻͳóÝ»Ýù
1-áí, ³å³ Ïáïáñ³ÏÁ Ïٻͳݳ:
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226
3. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ.
1. öá˳¹³ñÓ³µ³ñ å³ñ½ Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³÷áùñ ÁݹѳÝáõñ
µ³½Ù³å³ïÇÏÁ ³Û¹ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ ¿:
2. ºÃ» »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 6-Ç, ³å³
Ýñ³ÝóÇó Ù»ÏÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 6-Ç:
3. ºñÏáõ ѳçáñ¹³Ï³Ý Ï»Ýï Ãí»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ
µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 8-Ç:
4. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ ãáñë å³ñ½ Ãí»ñ, áñáÝóÇó
»ñÏáõëÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ ÙÛáõë »ñÏáõëÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ:
5. ò³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ 2 3 1n n ÃÇíÁ Ï»Ýï ¿:
6. 193 ÃÇíÝ áõÝÇ ×Çßï 19 µ³Å³Ý³ñ³ñ:
4. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ.
1. ºñ»ù ѳçáñ¹³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 6-Ç:
2. ò³Ýϳó³Í P å³ñ½ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ 3P -Á µ³Õ³¹ñÛ³É ÃÇí ¿:
3. ò³Ýϳó³Í »ñ»ù µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó ÙÇßï ϳñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É »ñÏáõëÁ,
áñáÝó ·áõÙ³ñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2-Ç:
4. ºÃ» p -Ý ¨ q -Ý Ï»Ýï Ãí»ñ »Ý, ³å³ 2 2p q ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 8-Ç:
5. ò³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ 2 17n n ÃÇíÁ å³ñ½ ¿:
6. 109 ÃÇíÝ áõÝÇ ×Çßï 11 µ³Å³Ý³ñ³ñ:
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227
5. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ.
1. 5-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ ó³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý ÃÇí µ³Õ³¹ñÛ³É ¿:
2. 207 ¨ 351 Ãí»ñÁ ÷á˳¹³ñÓ³µ³ñ å³ñ½ »Ý:
3. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ µÝ³Ï³Ý n ÃÇí, áñÇ ¹»åùáõÙ 19 6n ÃÇíÝ
³ÙµáÕç ÃíÇ ù³é³ÏáõëÇ ¿:
4. ò³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ 2 1
7
n
n
Ïáïáñ³ÏÝ ³ÝÏñ׳ï»ÉÇ ¿:
5. ºÃ» ab -Ý »ñÏÝÇß ÃÇí ¿, ³å³ ab ba ÃÇíÁ 9-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ ¿
a b :
6. ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ ß³ñùÇ ³é³çÇÝ 100 Ãí»ñÁ ·ñ³é»ÉÇë 7 Ãí³Ýß³ÝÝ
û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ 20 ³Ý·³Ù:
6. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ.
1. ºÃ» µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç, ³å³ ³ÛÝ µ³Õ³¹ñÛ³É ¿:
2. 47 ¨ 517 Ãí»ñÁ ÷á˳¹³ñÓ³µ³ñ å³ñ½ »Ý:
3. ò³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ
2
2 2
n n
n
Ïáïáñ³ÏÁ Ïñ׳ï»ÉÇ ¿:
4. γñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É ³ÛÝåÇëÇ µÝ³Ï³Ý n ÃÇí, áñÇ ¹»åùáõÙ 10 8n
ÃÇíÝ ³ÙµáÕç ÃíÇ ù³é³ÏáõëÇ ¿:
5. ºÃ» ab -Ý »ñÏÝÇß ÃÇí ¿, ³å³ ab ba ÃÇíÁ 11-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ ¿:
6. ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ ß³ñùÇ ³é³çÇÝ 100 Ãí»ñÁ ·ñ³é»ÉÇë 1 Ãí³Ýß³ÝÝ
û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ 20 ³Ý·³Ù:
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7. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ.
1. ºÃ» »ñÏáõ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ 100-Ç, ³å³
³ñï³¹ñÇãÝ»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï 10-Çó ÷áùñ ÉÇÝ»É ã»Ý ϳñáÕ:
2. 1-Çó ÙÇÝ㨠20 µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ß³ñùáõ٠ϳ Áݹ³Ù»ÝÁ 4 ÃÇí, áñáÝóÇó
Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ 4-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ 1 Ùݳóáñ¹:
3. ºÃ» a ¨ b µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ã»Ý µ³Å³ÝíáõÙ 3-Ç, ³å³ a b -Ý ¨ë ãÇ
µ³Å³ÝíáõÙ 3-Ç:
4. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ ÑÇÝ· µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñáÝó
³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÷áùñ ¿ 120-Çó:
5. ò³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ 2 2; 2n n n ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ãϳ
³ÛÝåÇëÇ ÃÇí, áñÝ ³ÙµáÕç ÃíÇ ù³é³ÏáõëÇ ¿:
6. 1-Çó ÙÇÝ㨠31 µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ í»ñçÇÝ 7 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ
½ñá »Ý:
8. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ.
1. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý 10-Çó ÷áùñ »ñÏáõ ³ÛÝåÇëÇ ³ÙµáÕç Ãí»ñ, áñáÝó
³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ 120-Ç:
2. 1-Çó ÙÇÝ㨠100 µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ß³ñùáõ٠ϳ 6-Ç µ³Å³ÝíáÕ 16 ÃÇí:
3. a , b , a b , a b µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç:
4. ºÃ» Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ »ñ»ù µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ù»Í ¿
300-Çó, ³å³ Ýñ³ÝóÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ Ù»Í ¿ 7-Çó:
5. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ µÝ³Ï³Ý n ÃÇí, áñÇ ¹»åùáõÙ 2 2n n
ÃÇíÁ µÝ³Ï³Ý ÃíÇ ù³é³ÏáõëÇ ¿:
6. 1-Çó ÙÇÝ㨠19 µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ í»ñçÇÝ ãáñë
Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ ½ñá »Ý:
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229
9. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ.
1. âáñë ѳçáñ¹³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 4-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ ¿:
2. 20 159 5 ÃÇíÁ í»ñç³ÝáõÙ ¿ 6 Ãí³Ýß³Ýáí:
3. 415-Á ϳñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É ÙÇÙÛ³Ýó ѳçáñ¹áÕ ÑÇÝ· µÝ³Ï³Ý
Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí:
4. ºñ»ù ѳçáñ¹³Ï³Ý Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ·ñí³Í ó³Ýϳó³Í »é³ÝÇß ÃÇí
µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç:
5. ab ba ·áõÙ³ñÁ a b -Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ ¿:
6. γñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É ³ÛÝåÇëÇ µÝ³Ï³Ý n ÃÇí, áñÇ ¹»åùáõÙ ×Çßï ÏÉÇÝÇ
2 503n n ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
10. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ.
1. ºñ»ù ѳçáñ¹³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 3-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ ¿:
2. 8 68 6 ÃÇíÁ í»ñç³ÝáõÙ ¿ 2 Ãí³Ýß³Ýáí:
3. 240 -Á ϳñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É ÙÇÙÛ³Ýó ѳçáñ¹áÕ ãáñë µÝ³Ï³Ý
Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ï»ëùáí:
4. ØǨÝáõÛÝ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ·ñí³Í ó³Ýϳó³Í »é³ÝÇß ÃÇí
µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 37-Ç:
5. ºÃ» µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ 11-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë Ùݳóáñ¹áõÙ ëï³óíáõÙ ¿ 4,
³å³ Ýñ³ ù³é³ÏáõëÇÝ 11-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ 6 Ùݳóáñ¹:
6. Ðݳñ³íáñ ã¿ ÁÝïñ»É ³ÛÝåÇëÇ µÝ³Ï³Ý , ,n k m Ãí»ñ, áñ ï»ÕÇ
áõݻݳ 4 5 6n k m ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
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230
11. îñí³Í ¿ 2 1na n ÁݹѳÝáõñ ³Ý¹³Ùáí ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ:
1. гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý:
2. ºÃ» n -Á Ï»Ýï ¿, ³å³ na -Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 8-Ç:
3. гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñáÝù µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ
ù³é³ÏáõëÇÝ»ñ »Ý:
4. ºÃ» n -Á 3-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ ã¿, ³å³ na -Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç:
5. 2n ¹»åùáõÙ n -Á ¨ na -Á ÷á˳¹³ñÓ³µ³ñ å³ñ½ »Ý:
6. гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ Ù»ÏÇó ³í»ÉÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñáÝù å³ñ½
Ãí»ñ »Ý:
12. îñí³Í ¿ 2
na n n ÁݹѳÝáõñ ³Ý¹³Ùáí ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ:
1. гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ³Ý¹³Ù, áñÁ Ï»Ýï ÃÇí ¿:
2. гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ µ³Õ³¹ñÛ³É Ãí»ñ »Ý:
3. ò³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ 2
1na n :
4. гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý áã ÙÇ ³Ý¹³Ù ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ 23-Ç:
5. гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ýí»ñç ß³ï ³Ý¹³ÙÝ»ñ ϳÝ, áñáÝù 7-Ç
µ³½Ù³å³ïÇÏ »Ý:
6. гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý áã ÙÇ ³Ý¹³Ù ³ÙµáÕç ÃíÇ ù³é³ÏáõëÇ ÉÇÝ»É ãÇ
ϳñáÕ:
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231
13. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ.
1. 5 ¨ 5,1 Ãí»ñÇ ÙÇç¨ é³óÇáÝ³É ÃÇí ãϳ:
2. Ðݳñ³íáñ ¿ ÁÝïñ»É Çñ³ñ ѳçáñ¹áÕ ÑÇÝ· ³ÛÝåÇëÇ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ,
áñáÝó ·áõÙ³ñÁ ѳí³ë³ñ ÉÇÝÇ 2012-Ç:
3. ºÃ» »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó Ù»ÏÁ å³ñ½ ÃÇí ¿, ³å³ ³Û¹ Ãí»ñÁ
÷á˳¹³ñÓ³µ³ñ å³ñ½ »Ý:
4. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý »ñÏáõ ³ÛÝåÇëÇ Ï»Ýï Ãí»ñ, áñáÝó ù³é³ÏáõëÇ-
Ý»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ѳí³ë³ñ ¿ 1680:
5. 100 203 11 ÃÇíÁ 10-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ ¿:
6. ò³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ 8 1
7
n Ïáïáñ³ÏÇ ³ñÅ»ùÁ
µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿:
14. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ.
1. 3 ¨ 3,3 Ãí»ñÇ ÙÇç¨ Ï³ Áݹ³Ù»ÝÁ »ñÏáõ é³óÇáÝ³É ÃÇí:
2. γñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É ³ÛÝåÇëÇ ÑÇÝ· Ï»Ýï Ãí»ñ, áñáÝó ·áõÙ³ñÁ
ѳí³ë³ñ ÉÇÝÇ 100-Ç:
3. ºÃ» »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ ÷á˳¹³ñÓ³µ³ñ å³ñ½ »Ý, ³å³
Ýñ³ÝóÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ å³ñ½ ÃÇí ¿:
4. ´Ý³Ï³Ý ÃíÇ ù³é³ÏáõëÇÝ 4-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ϳñáÕ ¿ ëï³óí»É 2
Ùݳóáñ¹:
5. ò³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý k -Ç ¹»åùáõÙ 16 11k k ÃÇíÁ 5-Ç
µ³½Ù³å³ïÇÏ ¿:
6. ò³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ 10 1
9
n Ïáïáñ³ÏÇ ³ñÅ»ùÁ
µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿:
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232
15. îñí³Í ¿ 3 10
2
n
n
Ïáïáñ³ÏÁ, áñï»Õ n -Á µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿:
1. ò³Ýϳó³Í n -Ç ¹»åùáõÙ ³Û¹ Ïáïáñ³ÏÝ ³ÝÏñ׳ï»ÉÇ ¿:
2. ò³Ýϳó³Í n -Ç ¹»åùáõÙ ³Û¹ Ïáïáñ³ÏÁ Ù»Í ã¿ 5-Çó:
3. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ n -Ç ³ÛÝåÇëÇ ³ñÅ»ù, áñÇ ¹»åùáõÙ ³Û¹ Ïáïáñ³ÏÁ
ϳÝáݳíáñ ¿:
4. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³Ýí»ñç ß³ï n -»ñ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ
¹»åùáõÙ Ïáïáñ³ÏÁ Ïñ׳ïíáÕ ¿:
5. àã ÙÇ n -Ç ¹»åùáõÙ ³Û¹ Ïáïáñ³ÏÁ ãÇ Ï³ñáÕ Ïñ׳ïí»É 5-áí:
6. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ n , áñÇ ¹»åùáõÙ Ïáïáñ³ÏÇ ³ñÅ»ùÝ
³ÙµáÕç ÃÇí ¿:
16. îñí³Í ¿ 5 9
3
n
n
Ïáïáñ³ÏÁ, áñï»Õ n -Á µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿:
1. ò³Ýϳó³Í n -Ç ¹»åùáõÙ ³Û¹ Ïáïáñ³ÏÇ ³ñÅ»ùÁ Ù»Í ¿ 4-Çó:
2. ò³Ýϳó³Í n -Ç ¹»åùáõÙ ³Û¹ Ïáïáñ³ÏÝ ³ÝϳÝáÝ ¿:
3. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³Ýí»ñç ß³ï n -»ñ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ
¹»åùáõÙ Ïáïáñ³ÏÁ Ïñ׳ïíáÕ ¿:
4. γñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É ³ÛÝåÇëÇ n µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñÇ ¹»åùáõÙ ³Û¹
Ïáïáñ³ÏÁ Ïñ׳ïíáõÙ ¿ 9-áí:
5. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ n -Ç ·áÝ» Ù»Ï ³ñÅ»ù, áñÇ ¹»åùáõÙ ïñí³Í
Ïáïáñ³ÏÇ ³ñÅ»ùÝ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿:
6. γñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É n -Ç »ñÏáõ ³ñÅ»ù, áñáÝó ¹»åùáõÙ Ïáïáñ³ÏÇ
³ñÅ»ùÝ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿:
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233
ä²î²êʲÜܺð
Ð/Ð 1 2 3 4 5 6
1 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
2 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
3 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
4 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
5 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
6 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
7 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
8 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
9 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
10 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
11 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
12 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
13 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
14 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
15 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
16 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
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234
´²ÄÆÜ 2. вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
1. îñí³Í ¿ 4 4x x b ѳí³ë³ñáõÙÁ (b -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. ºÃ» a ÃÇíÁ ïñí³Í ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï ¿, ³å³ a ÃÇíÁ ¨ë
³Û¹ ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï ¿:
2. b -Ç ó³Ýϳó³Í ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ
³ñÙ³ï:
3. 8b ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ 4; 4
ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
4. 8b ¹»åùáõÙ ; 4 ÙÇç³Ï³Ûùáõ٠ѳí³ë³ñÙաÝ ³ñÙ³ïÁ
2
b -Ý է:
5. 8b ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
6. 8b å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ó³Ýϳó³Í b -Ç ¹»åùáõÙ
ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ×Çßï »ñÏáõ ³ñÙ³ï:
2. îñí³Í ¿24 x x a
ѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. ºÃ» 0x -Ý ³Û¹ ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï ¿, ³å³ 0x -Ý ¨ë Ýñ³
³ñÙ³ï ¿:
2. гí³ë³ñÙաÝ Â²´-Á x a ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿:
3. 2a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñ»ù ³ñÙ³ï:
4. 2; 2 ÙÇç³Ï³ÛùÇ ó³Ýϳó³Í a -Ç Ñ³Ù³ñ ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ
»ñÏáõ ³ñÙ³ï:
5. 2 2a å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ó³Ýϳó³Í a -Ç ¹»åùáõÙ
ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï áõÝÇ:
6. ¶áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ a -Ç ³ÛÝåÇëÇ ³ñÅ»ù, áñÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ
áõݻݳ ×Çßï Ù»Ï ³ñÙ³ï:
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235
3. îñí³Í ¿ 5 3ax x ѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. 0a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ×Çßï »ñÏáõ ³ñÙ³ï:
2. 1a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ×Çßï Ù»Ï ³ñÙ³ï:
3. ò³Ýϳó³Í a -Ç ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï áõÝÇ:
4. ò³Ýϳó³Í a -Ç ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÁ ѳٳñÅ»ù ¿
2
5 3ax x ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
5. ò³Ýϳó³Í 0a ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ×Çßï »ñÏáõ
³ñÙ³ï:
6. 2 10a å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ó³Ýϳó³Í a -Ç ¹»åùáõÙ
ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
4. îñí³Í ¿ 9 1 3 0x xa a ѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. гí³ë³ñáõÙÁ ϳñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÙ³ï:
2. ò³Ýϳó³Í a -Ç ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï áõÝÇ:
3. 0a ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
4. 0a å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ó³Ýϳó³Í a -Ç ¹»åùáõÙ
ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï áõÝÇ:
5. 0a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ³ñÙ³ï:
6. ¶áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ a -Ç ³ÛÝåÇëÇ ³ñÅ»ù, áñÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ
áõݻݳ »ñÏáõ ³ñÙ³ï:
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¶ÈàôÊ 3 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
236
5. îñí³Í ¿ 2sin sinx x a ѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. 0a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ,2
k k Z
Ãí»ñÝ »Ý:
2. 2a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ϳñ»ÉÇ ¿
Ý»ñϳ۳óÝ»É 3
2 ,2
k k Z
ï»ëùáí:
3. 1
2a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
4. ò³Ýϳó³Í 2a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
5. 0a å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ó³Ýϳó³Í a -Ç ¹»åùáõÙ
ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
6. гí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï áõÝÇ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
1; 2
4a
:
6. îñí³Í ¿
3
222
5
x
a a
ѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. 2a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
2. 1a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ï:
3. ºÃ» 0x -Ý Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï ¿, ³å³ 0x -Ý ¨ë ³ñÙ³ï ¿:
4. 2 4a å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ó³Ýϳó³Í a -Ç ¹»åùáõÙ
ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ï:
5. 5a ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
6. ¶áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ a -Ç ³ÛÝåÇëÇ ³ñÅ»ù, áñÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ
áõݻݳ ×Çßï Ù»Ï ³ñÙ³ï:
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237
7. îñí³Í ¿ 210
10
x
a
ѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. 10a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
2. ; 10 ÙÇç³Ï³ÛùÇó ³Ýϳó³Í a -Ç ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ
³ñÙ³ï áõÝÇ:
3. 5a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÁ 1-Çó Ù»Í ÃÇí ¿:
4. 3; 10 ÙÇç³Ï³ÛùÇ ó³Ýϳó³Í a -Ç ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ
³ñÙ³ï áõÝÇ:
5. 10; 3
ÙÇç³Ï³ÛùÇ ó³Ýϳó³Í a -Ç ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ
³ñÙ³ï áõÝÇ:
6. 0; 3 ÙÇç³Ï³ÛùÇ ó³Ýϳó³Í a -Ç ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ
µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÙ³ï:
8. îñí³Í ¿ 2cos 1x x a ѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. 0a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï áõÝÇ:
2. 1a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï áõÝÇ:
3. 2a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
4. 2a å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ó³Ýϳó³Í a -Ç ¹»åùáõÙ
ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
5. 3
2a
³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñուÙÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï ³ñÙ³ï:
6. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a -Ç ³ÛÝåÇëÇ ³ñÅ»ù, áñÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ
áõÝÇ ÙÇ³Ï ³ñÙ³ï:
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238
9. îñí³Í ¿ 2 2
3 222 sin
2
x x x
ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. гí³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÇ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ãÇ Ï³ñáÕ ÁݹáõÝ»É
ó³Ýϳó³Í ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ù:
2. гí³ë³ñÙ³Ý ³ç Ù³ëÇ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ϳñáÕ ¿ ÁݹáõÝ»É
µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÅ»ù:
3. ºÃ» 0x ÃÇíÁ ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï ¿, ³å³
0x -Ý ¨ë ³ñÙ³ï ¿:
4. гí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ é³óÇáÝ³É ³ñÙ³ï:
5. гí³ë³ñáõÙÁ ѳٳñÅ»ù ¿ 2 22
sin 12
x
ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
6. гí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñ»ù ³ñÙ³ï:
10. îñí³Í ¿ 2 2cos lg 1 5a x x ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. 0a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
2. 1a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï ³ñÙ³ï:
3. 5a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ×Çßï երկու ³ñÙ³ï:
4. 5a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
5. 5a ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
6. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a -Ç ÙdzÛÝ Ù»Ï ³ñÅ»ù, áñÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÁ
áõÝÇ ×Çßï Ù»Ï ³ñÙ³ï:
11. îñí³Í ¿ 2 2 8x y
x y a
ѳٳϳñ·Á ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. 1a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳٳϳñ·Á ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ:
2. 4a ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳٳϳñ·Ý áõÝÇ ×Çßï ãáñë ÉáõÍáõÙ:
3. ºÃ» 0 0;x y Ãí³½áõÛ·Á ѳٳϳñ·Ç ÉáõÍáõÙ ¿, ³å³ 0 0;y x
Ãí³½áõÛ·Á ¨ë ѳٳϳñ·Ç ÉáõÍáõÙ ¿:
4. ¶áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ a -Ç ³ÛÝåÇëÇ ³ñÅ»ù, áñÇ ¹»åùáõ٠ѳٳϳñ·Ý
áõݻݳ ãáñëÇó ³í»ÉÇ ÉáõÍáõÙ:
5. 3a ¹»åùáõ٠ѳٳϳñ·Ý áõÝÇ áõà ÉáõÍáõÙ:
6. гٳϳñ·Á ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ 2 2a :
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239
12. îñí³Í ¿ 4 0x a x a ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. 2a ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñուÙÝ áõÝÇ ÉáõÍáõÙ:
2. a -Ç ó³Ýϳó³Í ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ; 4 a ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
3. Ց³Ýϳó³Í 4a ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ãáõÝÇ ¹ñ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙ:
4. Ց³Ýϳó³Í 2a ¹»åùáõÙ 1-ը ³Ýѳí³ë³ñմ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿:
5. 4 3a ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñմաÝ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ
å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ×Çßï Ûáà µÝ³Ï³Ý ÃÇí:
6. 2;3 ÙÇç³Ï³Ûùի ó³Ýϳó³Í a -Ç Ñ³Ù³ñ ïñí³Í ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý
ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ×Çßï »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý ÃÇí:
13. îñí³Í ¿ 1x bx ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ (b -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. 0b ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½Ùáõ-
ÃÛáõÝÁ 1; ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
2. 1b ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½Ùáõ-
ÃÛáõÝÁ ; 0,5 ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
3. 1b ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½Ùáõ-
ÃÛáõÝÁ 0; ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
4. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ b -Ç ÙdzÛÝ »րÏու ³ñÅ»ù, áñÇ ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³-
ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ áõÕÇÕÝ ¿:
5. 0;1 ÙÇç³Ï³ÛùÇ ó³Ýϳó³Í b աñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³-
ë³ñáõÙÁ 1-Çó Ù»Í ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ:
6. Ց³Ýϳó³Í 9b ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ¹ñ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙ:
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¶ÈàôÊ 3 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
240
14. îñí³Í ¿ a å³ñ³Ù»ïñáí lg 2lg 1ax x ѳí³ë³ñáõÙÁ 0a :
1. 4a ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï ³ñÙ³ï:
2. гí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ï ÙdzÛÝ 4a ¹»åùáõÙ:
3. гí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ³ÙµáÕç ³ñÙ³ï ÙdzÛÝ 4a ¹»åùáõÙ:
4. Ց³Ýϳó³Í 0a ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ×Çßï »ñÏáõ ³ñÙ³ï:
5. ºÃ» 5a , ³å³ ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ 1-Çó Ù»Í Ãí»ñ »Ý:
6. ºÃ» 1; 3a , ³å³ ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
15. îñí³Í ¿ 2 2 1 0ax ax ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. 0a ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ѳٳñÅ»ù ¿ 2 1
1 1xa
³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
2. 1a ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ:
3. ºÃ»
2
1;0a , ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ:
4. Ց³Ýϳó³Í 1a ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ 2 2
;a a a a a a
a a
ѳïí³ÍÝ ¿:
5. 1
3a ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ
1; 3 ѳïí³ÍÝ ¿:
6. ºÃ» 0a , ³å³ 2
;a a a
a
ÙÇç³Ï³ÛùÁ å³ïϳÝáõÙ ¿
³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ:
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¶ÈàôÊ 3 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
241
16. îñí³Í ¿ a å³ñ³Ù»ïñáí 1x ax ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. 0a ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
2. 1
2a
¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï ³ñÙ³ï:
3. ºÃ» ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ï, ³å³ »ñÏáõëÝ ¿É Ù»Í »Ý 1-Çó:
4. ºÃ» ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ï, ³å³ »ñÏáõëÝ ¿É µÝ³Ï³Ý
Ãí»ñ »Ý:
5. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a -Ç ³ÛÝåÇëÇ ³ÙµáÕç ³ñÅ»ù, áñÇ ¹»åùáõ٠ѳí³-
ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ï:
6. a -Ç ó³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï
ãáõÝÇ:
17. îñí³Í ¿ b å³ñ³Ù»ïñáí 232 x x b ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. 0b ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ
;4 ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
2. 6b ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ:
3. 8b ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ 4 2; 4 2
ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
4. 4 2b ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ïñí³Í ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ
í»ó ³ÙµáÕç ÃÇí ϳ:
5. 24b ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ:
6. ²Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
8 4 2b :
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 3 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
242
18. îñí³Í ¿ 11
x
a ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿ ):
1. 0a ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ 1;0
ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
2. ò³Ýϳó³Í ¹ñ³Ï³Ý a -Ç ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ (–1)-Çó ÷áùñ
ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ:
3. 4a ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ
ѳٳã³÷ ¿ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï»ïÇ Ýϳïٳٵ:
4. ºÃ» 0a , ³å³ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ a
»ñϳñáõÃÛ³Ùµ ÙÇç³Ï³Ûù ¿:
5. 10a ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ×Çßï ãáñë ³ÙµáÕç ÉáõÍáõÙ:
6. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a -Ç ×Çßï Ù»Ï ³ÙµáÕç ³ñÅ»ù, áñÇ ¹»åùáõÙ 0,5-Á
³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿, ÇëÏ 1-Á` áã:
19. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ:
1. a b å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ Ï³Ù³Û³Ï³Ý a ¨ b Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ 2 2
a b :
2. a b å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ Ï³Ù³Û³Ï³Ý a ¨ b ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ
¹»åùáõÙ 1 1
a b :
3. a b å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ Ï³Ù³Û³Ï³Ý a ¨ b Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ
2
a ba
:
4. Î³Ù³Û³Ï³Ý a ÃíÇ ¹»åùáõÙ, áñÁ ï³ñµ»ñ ¿ 0-Çó ¨ 1-Çó, 2a a :
5. Î³Ù³Û³Ï³Ý a ¨ b Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ a b a b | | | | | | :
6. Î³Ù³Û³Ï³Ý a ¨ b µ³ó³ë³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ 2a b
b a :
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¶ÈàôÊ 3 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
243
20. îñí³Í ¿ 4 22 1 0x x a ѳí³ë³ñáõÙÁ:
1. 2a ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ×Çßï Ù»Ï ³ñÙ³ï:
2. гí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ×Çßï »ñÏáõ ³ñÙ³ï ÙdzÛÝ 1a ¹»åùáõÙ:
3. 2a ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
4. ¶áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ a -Ç ³ÛÝåÇëÇ ³ñÅ»ù, áñÇ ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ
áõݻݳ »ñ»ù ³ñÙ³ï:
5. 21 a å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ó³Ýϳó³Í a -Ç ¹»åùáõÙ
ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ãáñë ³ñÙ³ï:
6. ºÃ» ѳí³ë³ñáõÙÝ áõݻݳ ³ñÙ³ïÝ»ñ, ³å³ Ýñ³Ýó ·áõÙ³ñÁ
ѳí³ë³ñ ÏÉÇÝÇ 0-Ç:
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¶ÈàôÊ 3 ´²ÄÆÜ 2 вì²ê²ðàôØܺð ºì ²Üвì²ê²ðàôØܺð
244
ä²î²êʲÜܺð
Ð/Ð 1 2 3 4 5 6
1 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
2 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
3 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
4 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
5 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
6 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
7 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
8 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
9 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
10 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
11 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
12 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
13 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
14 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
15 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
16 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
17 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
18 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
19 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ÖÇßï ¿
20 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
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¶ÈàôÊ 3 ´²ÄÆÜ 3 äðà¶ðºêƲܺð
245
´²ÄÆÜ 3. äðà¶ðºêƲܺð
1. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ:
1. 8, 4, … »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý ãáõÝÇ µ³ó³ë³Ï³Ý ³Ý¹³Ù:
2. 227 ÃÇíÁ 11, 15, … Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ³Ý¹³Ù ¿:
3. 0, 3, 6, 9 Ãí»ñÇó áñ¨¿ »ñ»ùÁ ϳñáÕ »Ý ÉÇÝ»É ÙǨÝáõÛÝ »ñÏñ³ã³÷³-
Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñ:
4. 4, x , 16 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿
ÙdzÛÝ 8x ¹»åùáõÙ:
5. –2, –8, –32, … ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ³Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³-
Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
6. sin1, sin 2, sin3 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
2. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ:
1. 16, 12, … Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý ãáõÝÇ µ³ó³ë³Ï³Ý ³Ý¹³Ù:
2. 486 ÃÇíÁ 6, 18, … »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ³Ý¹³Ù ¿:
3. 0, 5, 10, 15 Ãí»ñÇó áã ÙÇ »ñ»ùÁ ã»Ý ϳñáÕ ÉÇÝ»É ÙǨÝáõÛÝ »ñÏñ³ã³-
÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñ:
4. 3, x , 27 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿
ÙdzÛÝ 9x ¹»åùáõÙ:
5. –2, –6, –18, … ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ³Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³-
Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
6. cos2, cos4, cos6 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ã¿:
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¶ÈàôÊ 3 ´²ÄÆÜ 3 äðà¶ðºêƲܺð
246
3. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ:
1. ºÃ» na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿, ³å³
Ï³Ù³Û³Ï³Ý c Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ na c ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ
ÝáõÛÝå»ë Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
2. ºÃ» na ¨ nb ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ó³Ýϳó³Í »ñÏñ³ã³÷³-
Ï³Ý åñá·ñ»ëdzݻñ »Ý, ³å³ n na b ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ¨ë
»ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
3. ºÃ» na ¨ nb ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ó³Ýϳó³Í »ñÏñ³ã³÷³-
Ï³Ý åñá·ñ»ëdzݻñ »Ý, ³å³ n na b ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ¨ë
»ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
4. ºÃ» ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz ¿, ³å³ na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë
Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
5. ºÃ» na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿,
³å³ 2
na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz ¿:
6. ºÃ» ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz ¿, ³å³ na2log ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³-
Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
www.atc.a
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¶ÈàôÊ 3 ´²ÄÆÜ 3 äðà¶ðºêƲܺð
247
4. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ:
1. ºÃ» na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿,
³å³ ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý c Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ nc a
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
2. ºÃ» na ¨ nb ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ó³Ýϳó³Í Ãí³µ³Ý³-
Ï³Ý åñá·ñ»ëdzݻñ »Ý, ³å³ n na b ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ
»ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
3. ºÃ» na ¨ nb ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ó³Ýϳó³Í Ãí³µ³Ý³-
Ï³Ý åñá·ñ»ëdzݻñ »Ý, ³å³ n na b ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ¨ë
Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
4. ºÃ» ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz ¿, ³å³ na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë »ñÏñ³-
ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
5. ºÃ» na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿,
³å³ 1
na
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz ¿:
6. ºÃ» na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿, ³å³
2 na
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿: www.at
c.am
¶ÈàôÊ 3 ´²ÄÆÜ 3 äðà¶ðºêƲܺð
248
5. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ:
1. ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É ½ñáÛÇ Ñ³í³ë³ñ
³Ý¹³Ù:
2. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ¨°
Ãí³µ³Ý³Ï³Ý, ¨° »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
3. 3, 7 ¨ 9 ϳñáÕ »Ý ÉÇÝ»É ÙǨÝáõÛÝ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ
³Ý¹³ÙÝ»ñ:
4. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ na Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz, áñ
1 5 63, 8, 10a a a :
5. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ãáñë ³Ý¹³Ù áõÝ»óáÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÇ
³é³çÇÝ »ñ»ù ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz,
ÇëÏ í»ñçÇÝ »ñ»ù ³Ý¹³ÙÝ»ñÁª »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz:
6. ºÃ» »é³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz,
³å³ Ýñ³ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ë ϳ½ÙáõÙ »Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz:
6. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ:
1. ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ ϳñáÕ ¿ ѳí³ë³ñ
ÉÇÝ»É ½ñáÛÇ:
2. ºÃ» Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ áñ¨¿ »ñÏáõ
³Ý¹³ÙÝ»ñ ѳí³ë³ñ »Ý, ³å³ ѳí³ë³ñ »Ý ݳ¨ ³Û¹
åñá·ñ»ëdzÛÇ µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ:
3. 4, 11 ¨ 10 ϳñáÕ »Ý ÉÇÝ»É ÙǨÝáõÛÝ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ
³Ý¹³ÙÝ»ñ:
4. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ na Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz, áñ
1 5 65, 17, 20a a a :
5. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ãáñë ³Ý¹³Ù áõÝ»óáÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÇ
³é³çÇÝ »ñ»ù ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz, ÇëÏ í»ñçÇÝ »ñ»ù ³Ý¹³ÙÝ»ñÁª Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·-
ñ»ëdz:
6. ºÃ» »é³ÝÏÛ³Ý µ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz, ³å³ ÏáÕÙ»ñÁ ¨ë ϳ½ÙáõÙ »Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz:
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 3 ´²ÄÆÜ 3 äðà¶ðºêƲܺð
249
7. гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ ÁݹѳÝáõñ ³Ý¹³ÙǪ 1
12n
na
µ³Ý³Ó¨áí: ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ:
1. 2
3 -Á na
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³Ù ¿:
2. na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
3. na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ 1-Çó ÷áùñ ×Çßï 11
³Ý¹³Ù:
4. na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ ùë³ÝÙ»Ï ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ
³ÙµáÕç ÃÇí ¿:
5. na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ:
6. 12 na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ:
8. гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ ÁݹѳÝáõñ ³Ý¹³ÙǪ 2
12n
na
µ³Ý³Ó¨áí: ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ:
1. 1
6 -Á na
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³Ù ¿:
2. na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
3. na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ 1-Çó ÷áùñ ×Çßï 10
³Ý¹³Ù:
4. na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ ùë³Ýãáñë ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ
³ÙµáÕç ÃÇí ¿:
5. na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ:
6. 12 na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ µáÉáñ Ï»Ýï Ãí»ñÁ:
www.atc.a
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¶ÈàôÊ 3 ´²ÄÆÜ 3 äðà¶ðºêƲܺð
250
9. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ:
1. 2 ¨ 3 Ãí»ñÇ ÙÇç¨ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»É »ñ»ù ³ÛÝåÇëÇ Ãí»ñ, áñáÝù ³Û¹
Ãí»ñÇ Ñ»ï ÙdzëÇÝ Ï³½Ù»Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz:
2. ÀݹѳÝáõñ ³Ý¹³ÙÇ 3n
na µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í ѳçáñ¹³Ï³Ýáõ-
ÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
3. ÀݹѳÝáõñ ³Ý¹³ÙÇ 1
nan
µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í ѳçáñ¹³Ï³Ýáõ-
ÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
4. ºÃ» 1 2, ,..., na a a ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿,
³å³ 1 1, ,...,n na a a ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë Ãí³µ³Ý³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz ¿:
5. ò³Ýϳó³Í na »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ Ñ³Ù³ñ ×Çßï ¿
1 2n n na a a ( 1,2,3,...n ) µ³Ý³Ó¨Á:
6. ºÃ» Ï³Ù³Û³Ï³Ý n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý
³Ý¹³ÙÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý 21
2
n nn
a aa
å³ÛÙ³ÝÇÝ, ³å³ ³Û¹
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 3 ´²ÄÆÜ 3 äðà¶ðºêƲܺð
251
10. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ:
1. 2 ¨ 3 Ãí»ñÇ ÙÇç¨ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»É »ñ»ù ³ÛÝåÇëÇ Ãí»ñ, áñáÝù ³Û¹
Ãí»ñÇ Ñ»ï ÙdzëÇÝ Ï³½Ù»Ý Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz:
2. ÀݹѳÝáõñ ³Ý¹³ÙÇ 5n
na µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í ѳçáñ¹³Ï³Ýáõ-
ÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
3. ÀݹѳÝáõñ ³Ý¹³ÙÇ 2
1na
n
µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í ѳçáñ¹³Ï³Ýáõ-
ÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
4. ºÃ» 1 2, ,..., na a a ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz
¿, ³å³ 1 1, ,...,n na a a ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë »ñÏñ³ã³÷³-
Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
5. ò³Ýϳó³Í na Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ Ñ³Ù³ñ ×Çßï ¿
21
2
n nn
a aa
1,2,...n µ³Ý³Ó¨Á:
6. ºÃ» Ï³Ù³Û³Ï³Ý n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý
³Ý¹³ÙÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý 1 2
1
n n
n n
a a
a a
å³ÛÙ³ÝÇÝ, ³å³ ³Û¹
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 3 ´²ÄÆÜ 3 äðà¶ðºêƲܺð
252
11. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ:
1. ²Ýí»ñç Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý Ï³ñáÕ ¿ å³ñáõÝ³Ï»É ÙdzÛÝ
Ù»Ï ³ÙµáÕç ÃÇí:
2. ºÃ» na -Á »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿ ¨ 1 0, 1a q , ³å³
na -Á ³×áÕ ¿:
3. ºÃ» ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ
ó³Ýϳó³Í n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ 22nS n
µ³Ý³Ó¨áí, ³å³ ³Û¹ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz ¿:
4. ºÃ» na -Á »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿ ¨ n m k l , ³å³
n m k la a a a :
5. ºÃ» »é³ÝÏÛ³Ý ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý Ãí³µ³Ý³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz, ³å³ ³Û¹ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ 600 ¿:
6. ºÃ» ABCD ù³é³ÝÏÛ³Ý , , ,A B D C ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³Ýáõ-
ÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿, ³å³ ³Û¹ ù³é³ÝÏÛ³ÝÁ
ϳñ»ÉÇ ¿ ³ñï³·Í»É ßñç³Ý³·ÇÍ:
12. ÖDZßï »Ý, û± ëË³É Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁ:
1. ²Ýí»ñç »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý ãÇ Ï³ñáÕ å³ñáõݳϻÉ
ÙdzÛÝ Ù»Ï ³ÙµáÕç ÃÇí:
2. ºÃ» na -Á »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿ ¨ 1 0, 0 1a q , ³å³
na -Á ³×áÕ ¿:
3. ºÃ» ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ
ó³Ýϳó³Í n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ 24nS n
µ³Ý³Ó¨áí, ³å³ ³Û¹ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz ¿:
4. ºÃ» na -Á Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿ ¨ n m k l , ³å³
n m k la a a a :
5. ºÃ» »é³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ 24 ¿ ¨ ÏáÕÙ»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý Ãí³µ³Ý³-
Ï³Ý åñá·ñ»ëdz, ³å³ ³Û¹ ÏáÕÙ»ñÇó Ù»ÏÁ 8 ¿:
6. ºÃ» ABCD ù³é³ÝÏÛ³Ý , , ,A B C D ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³Ýáõ-
ÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿, ³å³ ³Û¹ ù³é³ÝÏÛ³Ý AB ¨
CD ÏáÕÙ»ñÁ ½áõ·³Ñ»é »Ý:
www.atc.a
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253
13. na -Á 5 ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝáí Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿, ÇëÏ
nx -Á` ¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ¨ 2 ѳÛï³ñ³ñáí »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz:
1. nn ab 2 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 10 ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝáí Ãí³µ³Ý³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz ¿:
2. 2
1 n
n
ac
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 3 ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝáí Ãí³µ³Ý³-
Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
3. nn xy 5 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 10 ѳÛï³ñ³ñáí »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz ¿:
4. 3nn xz ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 8 ѳÛï³ñ³ñáí »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz ¿:
5. nany 2 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 25 ѳÛï³ñ³ñáí »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz ¿:
6. nn xb 4log ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 2
1 ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝáí Ãí³µ³Ý³-
Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
14. na -Á 4 ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝáí Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿, ÇëÏ nx -
Á` ¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ¨ 3 ѳÛï³ñ³ñáí »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz:
1. nn ab 3 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 7 ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝáí Ãí³µ³Ý³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz ¿:
2. 2
3 n
n
ac
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 2 ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝáí Ãí³µ³Ý³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz ¿:
3. nn xy 2 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 9 ѳÛï³ñ³ñáí »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz ¿:
4. 2nn xz ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 6 ѳÛï³ñ³ñáí »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz ¿:
5. nany 3 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 81 ѳÛï³ñ³ñáí »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdz ¿:
6. nn xb 6log ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 2
1 ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝáí Ãí³µ³Ý³-
Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
www.atc.a
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254
ä²î²êʲÜܺð
Ð/Ð 1 2 3 4 5 6
1. ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
2. ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
3. ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
4. ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
5. ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
6. ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
7. ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
8. ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
9. ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
10. ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
11. ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
12. ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
13. ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
14. ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
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255
´²ÄÆÜ 4. üàôÜÎòƲܺð
1. îñí³Í ¿ 3 8f x x ýáõÝÏódzÝ:
1. üáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ѳٳã³÷ ¿ 2 Ï»ïÇ Ýϳïٳٵ:
2. üáõÝÏóÇ³Ý ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ 2x Ï»ïáõÙ:
3. üáõÝÏóÇ³Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿:
4. ; 2 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿:
5. 2 0f :
6. üáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ 0
3
3x
³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í
ßáß³÷áÕÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ y x áõÕÕÇÝ:
2. îñí³Í ¿ 2f x x ýáõÝÏódzÝ:
1. üáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ; 2 ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
2. 2x Ï»ïáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿:
3. f ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿:
4. f ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ù:
5. f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ¨ 3y x áõÕÇÕÁ ã»Ý ѳïíáõÙ:
6. f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ 2 2g x x ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ
ѳٳã³÷Ý ¿ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï»ïÇ Ýϳïٳٵ:
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¶ÈàôÊ 3 ´²ÄÆÜ 4 üàôÜÎòƲܺð
256
3. îñí³Í ¿ 3 2f x x ýáõÝÏódzÝ:
1. f ýáõÝÏóÇ³Ý Ï»Ýï ¿:
2. f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳٳã³÷ ¿ 3x áõÕÕÇ Ýϳïٳٵ:
3. 1,5x -Á ýáõÝÏódzÛÇ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿:
4. 2;2 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ 7-Ý ¿:
5. 20 a å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ó³Ýϳó³Í a -Ç ¹»åùáõÙ y ax
áõÕÇÕÁ ¨ f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ áõÝ»Ý ×Çßï »ñÏáõ ÁݹѳÝáõñ
Ï»ï:
6. f ýáõÝÏóÇ³Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ã¿:
4. îñí³Í ¿ y kx b ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏódzÝ, áñÇ ·ñ³ýÇÏÝ ³ÝóÝáõÙ ¿
1; 0 Ï»ïáí:
1. f ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³:
2. y k :
3. 0k b :
4. 0b ¹»åáõÙ y kx b ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳٳã³÷ ¿
ïñí³Í ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ` ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ
Ýϳïٳٵ:
5. 0b ¹»åùáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿:
6. ºñµ 0b , ³å³ f ýáõÝÏóÇ³Ý å³ñµ»ñ³Ï³Ý ¿:
www.atc.a
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257
5. îñí³Í »Ý 2cosf x x ¨ 12 xxg ýáõÝÏódzݻñÁ:
1. g ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿:
2. f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳٳã³÷ ¿ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ
Ýϳïٳٵ:
3. f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÝ áõÝ»Ý ×Çßï Ù»Ï ÁݹѳÝáõñ
Ï»ï:
4. f ýáõÝÏódzÛÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý å³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ 2 ¿:
5. f ýáõÝÏódzÝ
;
2 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ Ýí³½áÕ ¿:
6. ( ( ))y g f x ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÁ [1;2] ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
6. îñí³Í ¿ 3 3x xf x ýáõÝÏódzÝ:
1. f ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ áã µ³ó³ë³Ï³Ý Ãí»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿:
2. f -Á ½áõÛ· ýáõÝÏódz ¿:
3. f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳïáõÙ ¿ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ:
4. f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ ѳïáõÙ ¿ 0; 6
Ï»ïáõÙ:
5. f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ 2; ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
6. f ýáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝ ã¿:
7. îñí³Í »Ý 0,4xf x ¨ 2 1
3
xg x
ýáõÝÏódzݻñÁ:
1. f ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿:
2. g ýáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿:
3. f x g x ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï ³ñÙ³ï:
4. y f g x ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿:
5. f x g x ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï:
6. f x g x ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ 0;
ÙÇç³Ï³ÛùÁ ã¿:
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258
8. îñí³Í ¿ 1 3xf x ýáõÝÏódzÝ:
1. f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ãÇ ³ÝóÝáõÙ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ
ëϽµÝ³Ï»ïáí:
2. ; 0 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿:
3. f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÁ ; 1 ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
4. 3 1xg x ¨ f ýáõÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ ѳٳã³÷ »Ý
³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ:
5. xfy ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ýáõÝÏódz ¿:
6. fy ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿:
9. îñí³Í ¿ 2 4 5f x x x ýáõÝÏódzÝ:
1. f ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿:
2. 2x -Á f ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï ¿:
3. 2; 9 Ï»ïáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÁ
½áõ·³Ñ»é ¿ Oy ³é³ÝóùÇÝ:
4. ºÃ» ; 5 5;x , ³å³ 0f x :
5. 2y f x ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳٳã³÷ ¿ Oy ³é³ÝóùÇ
Ýϳïٳٵ:
6. 1; 0 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ g x f x ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿:
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259
10. îñí³Í ¿ 2 2 ln 4f x ax x ýáõÝÏódzÝ:
1. ò³Ýϳó³Í a -Ç ¹»åùáõÙ E f R :
2. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a -Ç ³ñÅ»ù, áñÇ ¹»åùáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ
áõÕÇÕ ¿:
3. 7
24
f x ax :
4. ºÃ» 0a , ³å³ f ýáõÝÏóÇ³Ý ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï ãáõÝÇ:
5. ºÃ» 0a , ³å³ f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ox ³é³ÝóùÁ ѳïáõÙ ¿
»ñÏáõ Ï»ïáõÙ:
6. ºÃ» 2 ln 4 0a a , ³å³ f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ox
³é³ÝóùÁ ѳïáõÙ ¿ ×Çßï »ñÏáõ Ï»ïáõÙ:
11. îñí³Í ¿ 2 24f x x ax a ýáõÝÏóÇ³Ý ( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. a -Ç ó³Ýϳó³Í ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ
³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ ѳïáõÙ ¿ »ñÏáõ Ï»ïáõÙ:
2. 1
2a
¹»åùáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ
3
2x
Ï»ïáõÙ 5 ¿:
3. a -Ç ó³Ýϳó³Í ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ÙÇÝÇÙáõÙÇ
Ï»ï:
4. a -Ç ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý ; 5a
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ Ýí³½áÕ ¿:
5. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a -Ç ³ñÅ»ù, áñÇ ¹»åùáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿
ÙdzÛÝ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ:
6. ºÃ» f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ 0; 4 Ï»ïáí ¨ ³ÛÝ 0; 1
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³×áÕ ¿, ³å³ 2a :
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260
12. îñí³Í »Ý 21 3 2f x x g x x x ¨ ýáõÝÏódzݻñÁ:
1. f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý »ñ»ù Ï»ïáõÙ:
2. g ýáõÝÏóÇ³Ý 0; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³×áÕ ¿:
3. f ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï:
4. 5,1x áõÕÇÕÁ g ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÝ ¿:
5. y g x ýáõÝÏódzÛÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿:
6. g ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ 2;0 Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÁ
½áõ·³Ñ»é ¿ f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ:
13. îñí³Í ¿ 1 2 xf x ýáõÝÏódzÝ:
1. 2
2log 0,2 4f :
2. f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ 2 1xy ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ
ѳٳã³÷Ý ¿ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï»ïÇ Ýϳïٳٵ:
3. f ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ ÙdzÛÝ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ:
4. f -Á Ýí³½áÕ ýáõÝÏódz ¿:
5. f ýáõÝÏóÇ³Ý Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ù ãáõÝÇ:
6. f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ãáññáñ¹ ù³éáñ¹ÇÝ å³ïϳÝáÕ Ï»ï»ñ
ãáõÝÇ:
14. îñí³Í ¿ 2logf x x ýáõÝÏódzÝ:
1. f ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÝ ¿` ; 0 0; :
2. f ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿:
3. f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳïáõÙ ¿ ûñ¹Çݳï»ñÇ ³é³ÝóùÁ:
4. f ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿:
5. 1
ln 2f x
x :
6. f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳٳã³÷ ¿ 0x áõÕÕÇ Ýϳïٳٵ:
www.atc.a
m
¶ÈàôÊ 3 ´²ÄÆÜ 4 üàôÜÎòƲܺð
261
15. îñí³Í ¿ 2 2
2logf x x ýáõÝÏódzÝ:
1. f ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ;0 ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
2. f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ ѳïáõÙ ¿ »ñÏáõ
Ï»ïáõÙ:
3. f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÝ ¿` ; 0 0; :
4. f ýáõÝÏóÇ³Ý 0; 1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³×áÕ ¿:
5. f ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³ñ»ÉÇ Ý»ñϳ۳óÝ»É 2
24logf x x ï»ëùáí:
6. Ox ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é ó³Ýϳó³Í áõÕÇÕ f ýáõÝÏódzÛÇ
·ñ³ýÇÏÁ ѳïáõÙ ¿ áã ³í»ÉÇ ù³Ý »ñÏáõ Ï»ïáõÙ:
16. îñí³Í ¿ 24 x
f xx
ýáõÝÏódzÝ:
1. f ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ 2; 2 ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
2. f -Á ½áõÛ· ýáõÝÏódz ¿:
3. f ýáõÝÏóÇ³Ý 0 ³ñÅ»ù ãÇ ÁݹáõÝáõÙ:
4. 0; 2 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿:
5. f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÁ R -Ý ¿:
6. y f x ¨ 2
2
4 xg x
x
ýáõÝÏódzݻñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÝ»ñÁ
ã»Ý ѳÙÁÝÏÝáõÙ:
17. îñí³Í ¿ 1
3
xf x
x
ýáõÝÏódzݣ
1© f ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿£
2© –3-Á å³ïϳÝáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÇÝ£
3© 3x -Á f ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï ¿£
4© f ýáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿£
5© 1; -Á f ýáõÝÏódzÛÇ Ý߳ݳå³Ñå³ÝÙ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù ¿£
6© 1
3-Á g x f x ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙ ¿£
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¶ÈàôÊ 3 ´²ÄÆÜ 4 üàôÜÎòƲܺð
262
18. îñí³Í ¿ 2f x x a ýáõÝÏódzÝ, áñï»Õ 0a :
1. 2 0f a :
2. f ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ ÙdzÛÝ 2 ;a ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
3. 2 2f x f x , x -Ç Ï³Ù³Û³Ï³Ý ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ:
4. f ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ѳí³ë³ñ ¿ Ýñ³
ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÇ ù³Ý³ÏÇÝ:
5. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý x -Ç »ñ»ù ³ñÅ»ù, áñáÝó ¹»åùáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ
³ñÅ»ùÁ ѳí³ë³ñ ¿ a -Ç:
6. f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ 2x a Ï»ïáõ٠ѳí³ë³ñ ¿ 0-Ç:
19. îñí³Í ¿ 2cos cosf x x x ýáõÝÏódzÝ:
1. f ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿:
2. f ýáõÝÏóÇ³Ý 2 -å³ñµ»ñ³Ï³Ý ¿:
3. f ýáõÝÏóÇ³Ý ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ù ãáõÝÇ:
4. f ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ ÙdzÛÝ áã ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ:
5. f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ [0;2 ] ѳïí³ÍÁ
ѳïáõÙ ¿ ×Çßï ÑÇÝ· Ï»ïáõÙ:
6. f ýáõÝÏóÇ³Ý 3 5;
4 3
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ ×Çßï »ñ»ù ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ
Ï»ï:
20. îñí³Í ¿ sin cosf x x ýáõÝÏódzÝ:
1. f ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ 1; 1 ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
2. f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÁ 1; 1 ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
3. f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ ѳïáõÙ ¿ ÙdzÛÝ
,2
k k Z
Ï»ï»ñáõÙ:
4. f ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿:
5. f ýáõÝÏóÇ³Ý å³ñµ»ñ³Ï³Ý ¿:
6. ;2
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿:
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263
21. îñí³Í »Ý 2 14
xf x
¨ cos 3g x x ýáõÝÏódzÝÝ»ñÁ:
1. f ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿:
2. g ýáõÝÏóÇ³Ý Ï»Ýï ¿:
3. 5-Á g ýáõÝÏódzÛÇ å³ñµ»ñáõÃÛáõÝ ¿:
4. 4;E f :
5. f x g x ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ:
6. f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ ÁݹѳÝáõñ Ï»ï ãáõÝ»Ý:
22. îñí³Í »Ý 29f x x ¨ 2sin 3g x x ýáõÝÏódzݻñÁ:
1. f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ 0; 3 ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
2. g -Ý Ï»Ýï ýáõÝÏódz ¿:
3. D g f R :
4. 3 -Ý g -Ç å³ñµ»ñáõÃÛáõÝ ¿:
5. f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÝ áõÝ»Ý Ù»ÏÇó ³í»ÉÇ ÁݹѳÝáõñ
Ï»ï»ñ:
6. f x g x ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ 3; 3 ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
23. îñí³Í »Ý sinf x x ¨ sing x x ýáõÝÏódzݻñÁ:
1. g -Ý Ï»Ýï ýáõÝÏódz ¿:
2. f -Á å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏódz ¿ ÑÇÙÝ³Ï³Ý å³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ:
3. g -Ý å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏódz ¿:
4. f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÁ [ 1;1] ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
5. F x f x g x ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ 0; 2
ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
6. 4; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÝ áõÝ»Ý
×Çßï ãáñë ѳïÙ³Ý Ï»ï:
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264
24. îñí³Í ¿ 5; 5D f áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáí f ýáõÝÏódzÛÇ
·ñ³ýÇÏÁ:
1. 3; 5E f :
2. 5; 4 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³Ý
³ñÅ»ùÝ»ñ:
3. 5x -Á ýáõÝÏódzÛÇ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿:
4. f ýáõÝÏóÇ³Ý 1 ³ñÅ»ùÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ »ñ»ù Ï»ïáõÙ:
5. 2,5 0f f :
6. h x f x ýáõÝÏóÇ³Ý ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ñ»ï áõÝÇ »ñÏáõ
ÁݹѳÝáõñ Ï»ï:
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265
25. îñí³Í ¿ f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ` y f x -Ç ·ñ³ýÇÏÁ 5; 4
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
1. 3 0f :
2. f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ 4x ³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í
ßáß³÷áÕÁ ϳñáÕ ¿ ѳÙÁÝÏÝ»É ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ñ»ï:
3. 3; 4 ѳïí³ÍáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿:
4. 2x -Á f ýáõÝÏódzÛÇ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿:
5. [ 3;4] ѳïí³ÍáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý Çñ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ
ÁݹáõÝáõÙ ¿ 1x Ï»ïáõÙ:
6. 4x -Á f ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿:
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266
26. îñí³Í ¿
11; 2; 0
2
1 ; 0; 2
x xf x
a x x
ýáõÝÏódzÝ
( a -Ý å³ñ³Ù»ïñ ¿):
1. 1 0f :
2. f ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ãáñë ³ÙµáÕç ÃÇí:
3. ºÃ» 5a , ³å³ f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ 5; 5
ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
4. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ a -Ç ³ÛÝåÇëÇ ³ñÅ»ù, áñÇ ¹»åùáõÙ f ýáõÝÏódzÝ
Ï»Ýï ¿:
5. ¶áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ a -Ç ³ÛÝåÇëÇ ³ñÅ»ù, áñÇ ¹»åùáõÙ f ýáõÝÏódzÝ
Ýí³½áÕ ¿:
6. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý a ¨ b Ãí»ñ, áñáÝó ¹»åùáõÙ f x b ѳí³ë³-
ñáõÙÝ áõÝÇ ³ÝÃÇí µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ³ñÙ³ïÝ»ñ:
27. γï³ñ»É ³é³ç³¹ñ³ÝùÁ.
1. 0x Ï»ïáõÙ áñáßí³Í ó³Ýϳó³Í Ï»Ýï ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ
³ÝóÝáõÙ ¿ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï»ïáí:
2. 5; áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáí å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏódz ·áÛáõÃÛáõÝ
ãáõÝÇ:
3. ºÃ» f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳٳã³÷ ¿ ¨° Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽµ-
ݳϻïÇ, ¨° ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ, ³å³ 0f x :
4. ºÃ» y f x ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ 2;6 ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿,
³å³ 2
xy f
ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ 4; 12
ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
5. ò³Ýϳó³Í ýáõÝÏódzÛÇ µáÉáñ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ ݳ¨
¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñ »Ý:
6. f -Á 1 å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏódz ¿ ¨ f x x , »ñµ 1 1
;2 2
x
: ²Û¹
¹»åùáõÙ 4f :
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267
28. îñí³Í ¿ 2
14f x
x ýáõÝÏódzÝ:
1. 1
2 Ãí»ñÁ ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ Ï»ï»ñ »Ý:
2. üáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ 2-Ý ¿:
3. üáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿:
4. 1; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ :
5. üáõÝÏóÇ³Ý ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ãáõÝÇ:
6.
xfy
1
ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÁ 2;0 ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
29. îñí³Í »Ý 1cos xxf ¨ 216 xxg ýáõÝÏódzݻñÁ:
1. f ýáõÝÏódzÛÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý å³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ 2 :
2. g ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ µáÉáñ Ï»ï»ñÁ 0;0 Ï»ïÇó áõÝ»Ý ÙǨÝáõÛÝ
Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ:
3. f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý ×Çßï »ñÏáõ
Ï»ïáõÙ:
4. fg ýáõÝÏóÇ³Ý 1;0 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ Ýí³½áÕ ¿:
5. fg ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ 4;4 ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
6. gf ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ ѳïáõÙ ¿ ×Çßï
ãáñë Ï»ïáõÙ:
30. f -Á ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ áñáßí³Í ýáõÝÏódz ¿, Áݹ
áñáõÙ` x -Ç ó³Ýϳó³Í ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ xxf :
1. f ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿:
2. Î³Ù³Û³Ï³Ý x -Ç ¹»åùáõÙª xxff :
3. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ f ýáõÝÏódz,
áñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ Ý»ñù¨Çó:
4. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ýáõÝÏódz, áñÁ
ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ í»ñ¨Çó:
5. îñí³Í å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ Ï»Ýï ýáõÝÏódz ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ:
6. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ å³ñµ»ñ³Ï³Ý ýáõÝÏódz:
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268
31. îñí³Í ¿ xxxf 218 ýáõÝÏódzÝ:
1. f -Á ½áõÛ· ýáõÝÏódz ¿:
2. f ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ ÷áùñ ¿ 4-Çó:
3. f ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ¨ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÝ»ñÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ »Ý:
4. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 6 »ñϳñáõÃÛ³Ùµ ÙÇç³Ï³Ûù, áñï»Õ f ýáõÝÏódzÝ
ÁݹáõÝáõÙ ¿ ÙdzÛÝ áã µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ:
5. f ýáõÝÏóÇ³Ý 1;2 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³×áÕ ¿:
6. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ÛÝåÇëÇ ßáß³÷áÕ, áñÝ
³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 400
³ÝÏÛáõÝ:
32. îñí³Í ¿ xxxf 212 ýáõÝÏódzÝ:
1. f -Á Ï»Ýï ýáõÝÏódz ¿:
2. f ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ Ù»Í ¿ 3-Çó:
3. f ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ¨ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÝ»ñÁ ã»Ý
ѳÙÁÝÏÝáõÙ:
4. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 5 »ñϳñáõÃÛ³Ùµ ÙÇç³Ï³Ûù, áñï»Õ f ýáõÝÏódzÝ
ÁݹáõÝáõÙ ¿ ÙdzÛÝ áã µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ:
5. f ýáõÝÏóÇ³Ý 2;1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ Ýí³½áÕ ¿:
6. ¶áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ÛÝåÇëÇ ßáß³÷áÕ, áñÝ
³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ñ»ï ϳ½ÙÇ 1400
³ÝÏÛáõÝ:
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269
33. êïáñ¨ å³ïÏ»ñí³Í ѳïí³ÍÁ 6;0 áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáí ¨ 2;1
³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃáí f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ¿.
1. f ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ 6;4 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
2. f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 1500
³ÝÏÛáõÝ:
3. f ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É 22
1 xxf , 6;0x
µ³Ý³Ó¨áí:
4. ff ýáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿:
5. ff ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ 4;0 ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
6. ff ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÁ 2;0 ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
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270
34. êïáñ¨ å³ïÏ»ñí³Í ѳïí³ÍÁ 0;5 áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáí ¨
3;2 ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃáí f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ¿.
1. f ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ ÙdzÛÝ 3:5 ÙÇç³Ï³ÛùÇ Ï»ï»ñáõÙ:
2. f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 450
³ÝÏÛáõÝ:
3. f ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É 3 xxf , 0;5x
µ³Ý³Ó¨áí:
4. ff ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿:
5. ff ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ 0;3 ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
6. ff ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÁ 3;1 ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿:
35. îñí³Í ¿ 3 2f x x ýáõÝÏódzÝ:
1. D f R
2. 1
32
3f x x
3. 0f x ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
4. f ýáõÝÏóÇ³Ý ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï ãáõÝÇ:
5. f ýáõÝÏóÇ³Ý áã ½áõÛ· ¿, á㠿ɪ Ï»Ýï:
6. siny f x ýáõÝÏóÇ³Ý -å³ñµ»ñ³Ï³Ý ¿:
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271
36. îñí³Í ¿ 3f x x ýáõÝÏódzÝ:
1. 0;D f
2. 2
31
3f x x
3. 0f x ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ:
4. f ýáõÝÏóÇ³Ý ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï ãáõÝÇ:
5. f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳٳã³÷ ¿ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï»ïÇ
Ýϳïٳٵ:
6. xfy 2cos ýáõÝÏóÇ³Ý 2 -å³ñµ»ñ³Ï³Ý ¿:
37. îñí³Í ¿ 3 3f x x x ýáõÝÏódzÝ:
1. D f R :
2. f -Á ½áõÛ· ýáõÝÏódz ¿:
3. 0-Ý f ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ¿:
4. f ¨ y x ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ ÁݹѳÝáõñ Ï»ï»ñ ãáõÝ»Ý:
5. f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ –6 Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ:
6. 2
-Á siny f x ýáõÝÏódzÛÇ å³ñµ»ñáõÃÛáõÝ ¿:
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272
ä²î²êʲÜܺð
²/Ð 1 2 3 4 5 6
1 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
2 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
3 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
4 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
5 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
6 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
7 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
8 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
9 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
10 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
11 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
12 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
13 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
14 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
15 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
16 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
17 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
18 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
19 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
20 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
21 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
22 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
23 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
24 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
25 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
26 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
27 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
28 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
29 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
30 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
31 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
32 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
33 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
34 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
35 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
36 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
37 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
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´²ÄÆÜ 5. вð²â²öàôÂÚàôÜ
1. ABC ëáõñ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý AC ÏáÕÙÇ íñ³ í»ñóí³Í D Ï»ïÇó
ï³ñí³Í »Ý »é³ÝÏÛ³Ý ÙÛáõë »ñÏáõ ÏáÕÙ»ñÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñ,
áñáÝù AB ¨ BC ÏáÕÙ»ñÁ ѳïáõÙ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ E
¨ F Ï»ï»ñáõÙ: гÛïÝÇ ¿, áñ 1AEDS S ,
2DFCS S ¨ 1 2S S :
1. AED »é³ÝÏÛáõÝÁ ÝÙ³Ý ¿ BED »é³ÝÏÛ³ÝÁ:
2. AED »é³ÝÏÛáõÝÁ ÝÙ³Ý ¿ DFC »é³ÝÏÛ³ÝÁ:
3. 1 2: :AD DC S S :
4. DEBF ù³é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳí³ë³ñ ¿ 1 2S S :
5. BDF »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳí³ë³ñ ¿ 1 2S S :
6. ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳí³ë³ñ ¿ 2
2
1S S :
2. ABC ϳÝáݳíáñ »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇó
³Ù»Ý³Ù»Í ٳϻñ»ëÝ áõÝÇ KLMN -Á, áñï»Õ ,K N AC , L AB ,
M BC :
1. : 1: 4AK AC :
2. AL LB :
3. 030MKN :
4. ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ »ñÏáõ ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ BML »é³ÝÏÛ³Ý
ٳϻñ»ëÇó:
5. ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ »ñÏáõ ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ KLMN ù³é³ÝÏÛ³Ý
ٳϻñ»ëÇó:
6. K LM NS AK AM :
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3. ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ù»ç 13AB ëÙ, 14BC ëÙ, 15CA ëÙ: ²Û¹
»é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í O Ï»ÝïñáÝáí ßñç³Ý³·ÇÍÁ ,AB BC ¨ CA
ÏáÕÙ»ñÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ,K L ¨ M
Ï»ï»ñáõÙ:
1. ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ 84 ëÙ2 ¿:
2. 7AM AK ëÙ:
3. BKOL ù³é³ÝÏÛ³ÝÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ³ñï³·Í»É ßñç³Ý³·ÇÍ:
4. 9CO ëÙ:
5. 12
arcsin13
KOL :
6. CML »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ 8 ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ LOM »é³ÝÏÛ³Ý
ٳϻñ»ëÇó:
4. ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ Ù»ç í»ñóí³Í O Ï»ïÇó ï³ñí³Í »Ý
½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ ÏáÕÙ»ñÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñ, áñáÝù , ,AB BC CD ¨
DA ÏáÕÙ»ñÁ ѳïáõÙ »Ý ѳݳå³ï³ë˳ݳµ³ñ , ,E N F ¨ M
Ï»ï»ñáõÙ: гÛïÝÇ ¿, áñ 4AEOMS ëÙ2, 9F OM DS ëÙ
2,
12EO N BS ëÙ2:
1. : 2 :3AM MD :
2. : 1:3OM ON : 3. AO -Ý ½áõ·³Ñ»é ¿ EN -ÇÝ:
4. FONC ù³é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ 27 ëÙ2 ¿:
5. : 3: 4A OF COES S :
6. A EOM ON C F EON B F OM DS S S S :
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5. ABCD ë»Õ³ÝÇ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý O Ï»ïáí ï³ñí³Í ¿
ÑÇÙù»ñÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕ, áñÁ AB ëñáõÝùÁ ѳïáõÙ ¿ K Ï»ïáõÙ,
ÇëÏ CD ëñáõÝùÁ` L Ï»ïáõÙ:
1. 2
AD BCKL
:
2. AOK ¨ ACB »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ÝÙ³Ý »Ý:
3. KO OL :
4. 2
ABC D
AC BDS
:
5. 2
2
AO D
BOC
S AD
S BC :
6. AOB ¨ COD »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý:
6. ²Ýѳí³ë³ñ ÏáÕÙ»ñáí ABC »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·íÍ³Í ¿ O Ï»Ýïñá
Ýáí ßñç³Ý³·ÇÍ, áñÁ AB , BC ¨ AC ÏáÕÙ»ñÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ѳٳå³-
ï³ë˳ݳµ³ñ K , L ¨ M Ï»ï»ñáõÙ:
1. KL -Á ½áõ·³Ñ»é ¿ AC -ÇÝ:
2. BK BL BC AB AC :
3. 0902
ABCKML
:
4. BM ¨ KL áõÕÇÕÝ»ñÁ ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý:
5. BKOL ù³é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳí³ë³ñ ¿ 1
2BO KL :
6. BKML ù³é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳí³ë³ñ ¿ 1
2BM KL :
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7. ABC ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ AB BC áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý BC ¿çÇ
íñ³ í»ñóí³Í ¿ M Ï»ïÝ ³ÛÝå»ë, áñ : 1: 2BM MC : ²Û¹ Ï»ïÇó
Ý»ñùݳÓÇ·ÇÝ ï³ñí³Í áõÕճѳ۳óÇ ÑÇÙùÁ K Ï»ïÝ ¿:
1. 0120BMK :
2. BM KC :
3. ABC ¨ MKC »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ÝÙ³Ý »Ý:
4. ABMK ù³é³ÝÏÛ³ÝÁ ϳñ»ÉÇ ¿ Ý»ñ·Í»É ßñç³Ý³·ÇÍ:
5. 2MK AK KC :
6. BKM BAM :
8. ABC ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ
ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ »é³ÝÏÛ³Ý ëñáõÝùÇÝ: BC áõÕÕÇ íñ³ AC
ÑÇÙùÇ åñáÛ»ÏóÇ³Ý CD -Ý ¿, ÇëÏ AK -Ý AD -Ç åñáÛ»ÏóÇ³Ý ¿ AC
ÑÇÙùÇ íñ³:
1. 060ABC :
2. 2AC AD :
3. 2DK AK KC :
4. 3KC AK :
5. ADBK ù³é³ÝÏÛ³ÝÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ³ñï³·Í»É ßñç³Ý³·ÇÍ:
6. ABK ¨ ABC »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ÝÙ³Ý »Ý:
9. ABC ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í O Ï»ÝïñáÝáí
ßñç³Ý³·ÍÇÝ ï³ñí³Í ¿ AC ÑÇÙùÇÝ ½áõ·³Ñ»é ßáß³÷áÕ, áñÁ AB
¨ BC ëñáõÝùÝ»ñÁ ѳïáõÙ ¿ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ M ¨ N
Ï»ï»ñáõÙ ¨ ÏÇëáõÙ ¿ »é³ÝÏÛ³Ý BD µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ:
1. 2AC MN :
2. 090AOM :
3. AN MC :
4. OD BC OB DC :
5. AO áõÕÇÕÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ BC áõÕÕÇÝ:
6. BOM »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ ÷áùñ ¿ AOM »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÇó:
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10. ²Ýѳí³ë³ñ ¿ç»ñáí ABC áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý 090C A
³ÝÏÛ³Ý ÏÇëáñ¹Á BC ¿çÁ ѳïáõÙ ¿ K Ï»ïáõÙ: B ·³·³ÃÇó AK
áõÕÕÇÝ ï³ñí³Í áõÕճѳ۳óÇ ÑÇÙùÁ E Ï»ïÝ ¿:
1. CK KB :
2. CK AB KB AC :
3. BEA ¨ KCA »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ÝÙ³Ý »Ý:
4. BEK ¨ ACK »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý:
5. CK KB AK KE :
6. sin2
BACCE AB
:
11. ²Ýѳí³ë³ñ ¿ç»ñáí ABC áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý AB Ý»ñùݳ-
ÓÇ·Ç M ÙÇçݳϻïáí Ýñ³Ý ï³ñí³Í áõÕճѳ۳ó áõÕÇÕÁ
»é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÇÍÁ ѳïáõÙ ¿ K Ï»ïáõÙ, ÇëÏ
CK áõÕÇÕÁ AB Ý»ñùݳÓÇ·Á ѳïáõÙ ¿ E Ï»ïáõÙ:
1. AE EB :
2. 045ABK :
3. AK KB :
4. CE EK AE EB :
5. AC BE AE CB :
6. OK KB , áñï»Õ O -Ý ABC »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ
Ï»ÝïñáÝÝ ¿:
12. ABC ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ ,AB BC AB AC »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í
½áõ·³Ñ»é³·Í»ñÇó ³Ù»Ý³Ù»Í ٳϻñ»ëÝ áõÝÇ ALMN -Á, áñï»Õ
L AB , M BC , N AC :
1. AL LB :
2. AN NC :
3. 090AMC :
4. ALMC ù³é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ »ñ»ù ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ BML »é³ÝÏÛ³Ý
ٳϻñ»ëÇó:
5. AM ¨ LN áõÕÇÕÝ»ñÝ áõÕճѳ۳ó »Ý:
6. ALMC ù³é³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ ѳí³ë³ñ ¿ NLBC ù³é³ÝÏÛ³Ý
å³ñ³·ÍÇÝ:
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13. O Ï»ÝïñáÝáí ßñç³Ý³·ÇÍÁ, áñÇ ïñ³Ù³·ÇÍÁ ABC ѳí³ë³ñ³-
ëñáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý ÑÇÙùÇÝ ï³ñí³Í BD µ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ ¿, AB ¨ BC
ëñáõÝùÝ»ñÁ ѳïáõÙ ¿ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ E ¨ F Ï»ï»ñáõÙ:
1. ACEF // :
2. AFB CEB :
3. AEFC ù³é³ÝÏÛ³ÝÁ ϳñ»ÉÇ ¿ Ý»ñ·Í»É ßñç³Ý³·ÇÍ:
4. 090DEB :
5. BEDF ù³é³ÝÏÛ³ÝÁ Ñݳñ³íáñ ¿ Ý»ñ·Í»É ßñç³Ý³·ÇÍ:
6. 2AE BE DE :
14. O Ï»ÝïñáÝáí ßñç³Ý³·ÇÍÁ, áñÇ ïñ³Ù³·ÇÍÁ ABC ϳÝáݳíáñ
»é³ÝÏÛ³Ý BD µ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ ¿, ѳïáõÙ ¿ AB ¨ BC ÏáÕÙ»ñÁ
ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ E ¨ F Ï»ï»ñáõÙ, ÇëÏ EF -Á BD -Ý
ѳïáõÙ ¿ K Ï»ïáõÙ:
1. BAO CAO :
2. 0120EOB :
3. 2AE EB ED :
4. AD DE :
5. 4ABC AE F CS S :
6. 4BD KD :
15. ABCD ߻ճÝÏÛ³Ý AC ¨ BD ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÁ ѳñ³µ»ñáõÙ »Ý
ÇÝãå»ë 4 :3: Þ»Õ³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í O Ï»ÝïñáÝáí ßñç³Ý³·ÍÇÝ
Ýñ³ K Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÁ BC ¨ CD ÏáÕÙ»ñÁ ѳïáõÙ ¿
ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ M ¨ N Ï»ï»ñáõÙ ¨ ½áõ·³Ñ»é ¿ BD
³ÝÏÛáõݳ·ÍÇÝ£
1. ABD CBD :
2. MN -Ý áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ AC -ÇÝ:
3. BN MD :
4. ON CN :
5. BCD »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ ãáñë ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ MCN »é³ÝÏÛ³Ý
ٳϻñ»ëÇó:
6. MN OK :
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16. ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ 24 ¿, : 3: 4AB BC , ÇëÏ B
·³·³ÃÇó AD ÏáÕÙÇÝ ï³ñí³Í BH µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ` 3: BC ÏáÕÙÇ
íñ³ í»ñóí³Í ¿ E Ï»ïÝ ³ÛÝå»ë, áñ 3BE EC : BH -Á ¨ AE -Ý
ѳïíáõÙ »Ý K Ï»ïáõÙ:
1. AE -Ý ½áõ·³Ñ»é ¿ DC -ÇÝ:
2. AE -Ý BAD ³ÝÏÛ³Ý ÏÇëáñ¹Ý ¿:
3. AB ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ 6 ¿:
4. AECD ù³é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ 15 ¿:
5. DE -Ý áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ BC -ÇÝ:
6. 2 4AK AH KH :
17. O Ï»ÝïñáÝáí ßñç³Ý³·ÍÇÝ Ý»ñ·Í³Í ABCD ë»Õ³ÝÇ B ³ÝÏÛáõÝÁ
ãáñë ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ A ³ÝÏÛáõÝÇó, Áݹ áñáõÙ BC CD , ÇëÏ OB -Ý
AD ÑÇÙùÁ ѳïáõÙ ¿ E Ï»ïáõÙ:
1. 0144ABC :
2. B ¨ D Ï»ï»ñÁ ѳí³ë³ñ³Ñ»é »Ý AC -Çó:
3. AD -Ý ïñ³Ù³·ÇÍ ¿:
4. OB -Ý áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ AC -ÇÝ:
5. AOC -Ý Ñ³í³ë³ñ³ÏáÕÙ ¿:
6. AE AB :
18. ABCD áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ ë»Õ³ÝÇÝ Ý»ñ·Í³Í O Ï»ÝïñáÝáí ßñç³Ý³·ÇÍÁ
Ýñ³ CD Ù»Í ëñáõÝùÁ ßáß³÷Ù³Ý E Ï»ïáí µ³Å³ÝáõÙ ¿ 9 ¨ 16
»ñϳñáõÃÛ³Ùµ Ù³ë»ñÇ` ѳßí³Í C ·³·³ÃÇó:
1. 090OCD ODC :
2. ê»Õ³ÝÇ µ³ñÓñáõÃÛ³Ý »ñϳñáõÃÛáõÝÁ24 ¿:
3. O -Ý Ñ³í³ë³ñ³Ñ»é ¿ B ¨ D ·³·³ÃÝ»ñÇó:
4. ABCD ë»Õ³ÝÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ݳ¨ ³ñï³·Í»É ßñç³Ý³·ÇÍ:
5. ê»Õ³ÝÇ Ù»Í ÑÇÙùÁ 7-áí Ù»Í ¿ ÷áùñ ÑÇÙùÇó:
6. ABCD ë»Õ³ÝÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ »ñ»ù ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ ABC »é³ÝÏÛ³Ý
ٳϻñ»ëÇó:
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19. ABCD ߻ճÝÏÛ³Ý ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ a ¿, ÇëÏ 060A :
1. 3AB AD BD
:
2. 2AB AD a | | :
3. AB BC CD a | | :
4. AB BD DA DC
:
5. 22 AB BC a
:
6. AC BD AB CD
:
20. îñí³Í »Ý 1; 1 , 1; 3 , 3; 1 , 1;1A B C D Ï»ï»ñÁ:
1. D Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ 2 3y x áõÕÕÇ íñ³:
2. 0; 2 Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ BD áõÕÕÇ íñ³:
3. B Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ A Ï»ÝïñáÝáí ¨ 4 ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÍÇ íñ³:
4. D Ï»ïÝ ÁÝÏ³Í ¿ AB ïñ³Ù³·Íáí ßñç³ÝÇó ¹áõñë:
5. ,A B ¨ C Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÁ ·ïÝíáõÙ ¿
1y áõÕÕÇ íñ³:
6. B Ï»ïÁ A Ï»ïÇ Ñ³Ù³ã³÷ Ï»ïÝ ¿ y x áõÕÕÇ Ýϳïٳٵ:
21. îñí³Í »Ý a 1,7 ¨ b
5;5 í»ÏïáñÝ»ñÁ:
1. a
¨ b
í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳ·ÇÍ »Ý:
2. a
¨ b
í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ ëáõñ ¿:
3. a b
:
4. a b
¨ a b
í»ÏïáñÝ»ñÁ áõÕճѳ۳ó »Ý:
5. 222
2 ababa :
6. a b
í»ÏïáñÁ a
¨ b
í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ»ï ѳí³ë³ñ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñ ¿
ϳ½ÙáõÙ:
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22. ABCDEF ϳÝáݳíáñ í»ó³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ a ¿:
1. AB BC FD
:
2. FDAFAB :
3. 2( )AD AB AE
:
4. 2AC AB AF
:
5. 22 9( )AC CE CE EA EA AC a
:
6. 22AB BC BC CD CD FA a
:
23. àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý CA ¨ CB ¿ç»ñÁ ѳñ³µ»ñáõÙ »Ý ÇÝãå»ë
4:3: î³ñí³Í ¿ AB -ÇÝ áõÕճѳ۳ó MN ѳïí³Í ³ÛÝå»ë, áñ
ABM , CBN , 4MN : гÛïÝÇ ¿, áñ AMNC ù³é³ÝÏÛ³ÝÁ
ϳñ»ÉÇ ¿ Ý»ñ·Í»É ßñç³Ý³·ÇÍ:
1. BMN »é³ÝÏÛáõÝÁ ÝÙ³Ý ¿ ACB »é³ÝÏÛ³ÝÁ:
2. AMNC ù³é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿
ABC »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇÝ:
3. NMCN :
4. ACAM :
5. ABC »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ 3-
Ç:
6. AMNC ù³é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÁ ·ïÝíáõÙ ¿
AN ѳïí³ÍÇ íñ³:
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282
24. D Ï»ïÁ C áõÕÇÕ ³ÝÏÛáõÝáí ABC »é³ÝÏÛ³Ý CB ÏáÕÙÇ
ÙÇçÝáõÕճѳ۳óÇ ¨ A ³ÝÏÛ³Ý ÏÇëáñ¹Ç ѳïÙ³Ý Ï»ïÝ ¿, O -Ý`
ABC »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÁ, ÇëÏ E ¨ F
Ï»ï»ñÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ CB ¨ AC ¿ç»ñÇ ÙÇçݳϻï»ñÝ »Ý:
1. O Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ BC ѳïí³ÍÇ ÙÇçÝáõÕճѳ۳óÇ íñ³:
2. D Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ »é³ÝÏÛáõÝÇó ¹áõñë:
3. DO ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ ÷áùñ ¿ »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñﳷͳÍ
ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇó:
4. D Ï»ïÇó AB áõÕÕÇÝ ï³ñí³Í áõÕճѳ۳óÇ ÑÇÙùÁ ·ïÝíáõÙ ¿
AB ѳïí³ÍÇ ß³ñáõݳÏáõÃÛ³Ý íñ³:
5. O Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ E ¨ F Ï»ï»ñÇó ÷áùñ ¿
ABC »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ¨ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·Í»ñÇ
ß³é³íÇÕÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇó:
6. ADB ³ÝÏÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ ABC ¨ BAC ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝ:
25. Þñç³Ý³·ÍÇÝ Ý»ñ·Í³Í ABCD ù³é³ÝÏÛ³Ý Ù»ç
4:3:: DABCCDAB , 090DAB :
1. AC -Ý ³Û¹ ßñç³Ý³·ÍÇ ïñ³Ù³·ÇÍ ¿:
2. BCAB :
3. A ¨ C Ï»ï»ñÁ ѳٳã³÷ »Ý BD áõÕÕÇ Ýϳïٳٵ:
4. DB sinsin :
5. ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ ϳ½ÙáõÙ ¿ ADC »é³ÝÏÛ³Ý
ٳϻñ»ëÇ 4
3-Á:
6. ABCD ù³é³ÝÏÛ³ÝÁ Ñݳñ³íáñ ¿ Ý»ñ·Í»É ßñç³Ý³·ÇÍ:
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¶ÈàôÊ 3 ´²ÄÆÜ 5 вð²â²öàôÂÚàôÜ
283
26. ABC »é³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÁ å³ñáõݳÏáÕ áõÕÇÕÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ-
Ý»ñÝ »Ý. 5y x AB , 7y x BC , ACy 5 :
1. B Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÝ »Ý` 1; 5 :
2. AC ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝ 22 ¿:
3. BA ¨ BC í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿:
4. 5;1 Ï»ïÁ ABC »é³ÝÏÛ³ÝÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÝ
¿:
5. ABC -Ý Ñ³í³ë³ñ³ëñáõÝ »é³ÝÏÛáõÝ ¿:
6. ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳí³ë³ñ ¿ 120-Ç:
27. îñí³Í »Ý 6 yx ¨ 4 yx áõÕÇÕÝ»ñÁ:
1. ²Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÁ ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý:
2. 4 yx ѳí³ë³ñáõÙáí áñáßíáÕ áõÕÇÕÁ Ox ³é³ÝóùÇ ¹ñ³Ï³Ý
áõÕÕáõÃÛ³Ý Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ µáõà ³ÝÏÛáõÝ:
3. ²Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý 5;1 Ï»ïáõÙ:
4. Oy ³é³ÝóùÇ Ñ»ï ïñí³Í áõÕÇÕÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñÇ
Ñ»é³íáñáõ-
ÃÛáõÝÁ 10 ¿:
5. ²Û¹ áõÕÇÕÝ»ñáí ¨ Ox ³é³Ýóùáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÁ
ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ »é³ÝÏÛáõÝ ã¿:
6. ²Û¹ áõÕÇÕÝ»ñáí ¨ Oy ³é³Ýóùáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ
ٳϻñ»ëÁ 25 ¿:
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ä²î²êʲÜܺð
Ð/Ð 1 2 3 4 5 6
1 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
2 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
3 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
4 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
5 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
6 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
7 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
8 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
9 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
10 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
11 ë˳ɿ ë˳ɿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
12 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
13 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
14 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
15 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
16 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
17 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
18 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
19 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
20 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
21 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
22 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
23 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
24 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
25 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
26 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
27 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
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´²ÄÆÜ 6. î²ð²Ì²â²öàôÂÚàôÜ
1. ABCD ߻ճÝÏÛ³Ý AB ÏáÕÙÇ ß³ñáõݳÏáõÃÛáõÝÁ ѳïáõÙ ¿ C
·³·³Ãáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ E Ï»ïáõÙ: BD áõÕÇÕÁ ½áõ·³Ñ»é ¿
ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ: 1AA -Á ¨ 1DD -Á ѳñÃáõÃÛ³Ý áõÕճѳ۳óÝ»ñÝ »Ý
( ABCD ѳñÃáõÃÛáõÝÝ áõÕճѳ۳ó 㿠ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ):
1. CEBD // :
2. CB BE :
3. 1 1
1
3DD AA :
4. 1A BE ѳñÃáõÃÛáõÝÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ:
5. 0
1 90ACE :
6. 1BD AC :
2. îñí³Í ¿ 1 1 1 1ABCDA BC D Ëáñ³Ý³ñ¹Á, áñÇ ÏáÕÁ 2 ëÙ ¿£
1. Êáñ³Ý³ñ¹Ç ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ 16 ëÙ2 ¿£
2. 1 1ABC D ѳïáõÛÃÝ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ ¿:
3. 1 1A B CD ѳïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ 8 ëÙ
2 ¿£
4. 1B C AB :
5. 1 1DA B ¨ 1 1AD C
ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý ·ÇÍÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ AB
ÏáÕÇÝ£
6. 1ADCB »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý ·Í³ÛÇÝ ³ÝÏÛáõÝÁ 60
0 ¿£
3. 1 1 1 1ABCDA BC D åñǽٳÛÇ ÑÇÙùÁ ߻ճÝÏÛáõÝ ¿ ¨ 1 1A AD A AB :
1. ºÃ» 090 , ³å³ åñÇ½Ù³Ý Ã»ù ¿:
2. ºÃ» 0120DAB , ³å³ 0120 :
3. 1A ·³·³ÃÇ åñáÛ»ÏóÇ³Ý ABC ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ·ïÝíáõÙ ¿ AC
áõÕÕÇ íñ³:
4. -Ç ó³Ýϳó³Í ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ 1AB C »é³ÝÏÛáõÝÁ
ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ ¿:
5. ºÃ» 060 , ³å³ 1AA ÏáÕÇÝ ³éÁÝûñ »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÁ ÷áùñ ¿
BAD -Çó:
6. 1CC ¨ BD áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ Ù»Í ¿ 120
0-Çó:
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4. 1 1 1ABCA BC ûù »é³ÝÏÛáõÝ åñǽٳÛÇ ÑÇÙùÁ ABC ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ
»é³ÝÏÛáõÝÝ ¿` AB AC ¨ AB BC : 1A ·³·³ÃÇ åñáÛ»ÏóÇ³Ý ÑÇÙùÇ
ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ABC »é³ÝÏÛ³Ý ÙÇçݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý O Ï»ïÝ ¿,
D -Ý` AC ÏáÕÙÇ ÙÇçݳϻïÁ:
1. 1A D -Ý áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ AC -ÇÝ:
2. 1AO BB :
3. 1 1AC B -Á ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ »é³ÝÏÛáõÝ ¿:
4. 1 1B A AC »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý ·Í³ÛÇÝ ³ÝÏÛáõÝÁ Ù»Í ¿ BAC -Çó:
5. 1A Ï»ïÁ ѳí³ë³ñ³Ñ»é ¿ ABC »é³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÝ»ñÇó:
6. 1A ABD ù³é³ÝÇëïÇ Í³í³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ åñǽٳÛÇ Í³í³ÉÇ Ï»ëÇÝ:
5. îñí³Í ¿ SABC µáõñ·Á: 4AB , 5BC , 3AC SA , 090SAC SAB , E -Ý AC ÏáÕÇ ÙÇç³Ï»ïÝ ¿:
1. SA -Ý ¨ BC -Ý Ë³ãíáÕ áõÕÇÕÝ»ñ »Ý:
2. BA -Ý áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ ASC ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ:
3. CSAB »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÁ 900 ¿:
4. SBC ¨ ABC ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ 450 ¿:
5. SABE ù³é³ÝÇëïÇ Í³í³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ SEBC ù³é³ÝÇëïÇ
ͳí³ÉÇÝ:
6. ´áõñ·ÇÝ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ß³é³íÕÇ »ñϳñáõÃ-
ÛáõÝÁ Ù»Í ¿ 3-Çó:
6. DABC µáõñ·Ç ÑÇÙùÁ BC Ý»ñùݳÓÇ·áí ABC áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛáõÝÝ
¿: ÎáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕ»ñÁ ÙÇÙÛ³Ýó ѳí³ë³ñ »Ý:
1. ´áõñ·Ç µ³ñÓñáõÃÛ³Ý ÑÇÙùÁ ABC »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³-
·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÝ ¿:
2. AD -Ý ¨ BC -Ý Ë³ãíáÕ áõÕÇÕÝ»ñ »Ý:
3. ´áõñ·Ç ·³·³ÃÇó ï³ñí³Í ÝÇëï»ñÇ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ
»Ý:
4. ´áõñ·ÇÝ Ñݳñ³íáñ ¿ Ý»ñ·Í»É ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃ:
5. DABC »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÁ ÷áùñ ¿ DBCA »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÇó:
6. ´áõñ·ÇÝ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ
¿ DBC »é³ÝÏÛ³ÝÁ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇÝ:
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7. DABC µáõñ·Ç ÑÇÙùÁ 3 3 ÏáÕÙáí ϳÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ ¿, 33DA :
DAB ¨ DAC ÝÇëï»ñÝ áõÕճѳ۳ó »Ý ABC ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ:
ABC ÑÇÙùÇ O Ï»ÝïñáÝáí ï³ñí³Í ¿ AC ¨ DA ÏáÕ»ñÇÝ ½áõ·³Ñ»é
ѳïáõÛÃ:
1. DACB »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÁ 900 ¿:
2. гïáõÛÃÝ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛáõÝ ¿:
3. DBCA »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÁ ÷áùñ ¿ 450-Çó:
4. гïáõÛÃÁ ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ »é³ÝÏÛáõÝ ¿:
5. BDAC »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÁ 900 ¿:
6. DABC µáõñ·ÇÝ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ï»ÝïñáÝÁ
ѳïáõÛÃÇÝ å³ïϳÝáÕ Ï»ï ¿:
8. SABC »é³ÝÏÛáõÝ µáõñ·Ç ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áË–
áõÕճѳ۳ó »Ý ¨ áõÝ»Ý SA a , SB b , SC c »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñ:
1. SABC µáõñ·Ç ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳí³ë³ñ ¿
1
2ab bc ca :
2. CB -Ý áõÕճѳ۳ó ã¿ ASB ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ:
3. SC AB :
4. ASCB »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÁ ëáõñ ¿:
5. ´áõñ·Ç ͳí³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ 2
abc:
6. ´áõñ·Ç S ·³·³ÃÇó ï³ñí³Í µ³ñÓñáõÃÛ³Ý ÑÇÙùÁ ABC »é³ÝÏÛ³Ý
µ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÝ ¿:
9. îñí³Í ¿ SB µ³ñÓñáõÃÛ³Ùµ µáõñ·, áñÇ ÑÇÙùÁ ABCD ߻ճÝÏÛáõÝÝ ¿, 090A :
1. SBD -Ý µáõóÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛáõÝ ¿:
2. AC ¨ SD áõÕÇÕÝ»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý:
3. ´áõñ·Ç µáÉáñ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÝÇëï»ñÁ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñ »Ý:
4. ASC ѳñÃáõÃÛáõÝÁ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ SBD ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ:
5. SACD »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý ·Í³ÛÇÝ ³ÝÏÛáõÝÁ Ù»Í ¿ 900 -Çó:
6. SBC ¨ SAD ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý ·ÍÇ ¨ AD áõÕÕÇ
Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ SD ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛ³ÝÁ:
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10. SABCD -Ý Ï³Ýáݳíáñ ù³é³ÝÏÛáõÝ µáõñ· ¿, áñÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÁ
ѳí³ë³ñ ¿ ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÇÝ: SO -Ý µáõñ·Ç µ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ ¿:
1. CD -Ý ½áõ·³Ñ»é ¿ SAB ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ:
2. O -Ý ÑÇÙùÇ Ï»ÝïñáÝÝ ¿:
3. ´áõñ·Ç ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÁ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 450
³ÝÏÛáõÝ:
4. ´áõñ·Ç ÏÇó ÏáÕÙݳÛÇÝ ÝÇëï»ñÇ Ï³½Ù³Í »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÁ ÷áùñ
¿ ѳݹÇå³Ï³ó ÏáÕÙݳÛÇÝ ÝÇëï»ñÇ Ï³½Ù³Í »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÇó:
5. ´áõñ·Ç ÑÇÙùÇ ÏÇó ÏáÕÙ»ñÇ ÙÇçݳϻï»ñáí ¨ ¹ñ³Ýó Ñ»ï ãѳïíáÕ
ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÇ ÙÇçݳϻïáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ùµ ѳïáõÛÃÁ
»é³ÝÏÛáõÝ ¿:
6. O Ï»ïÁ ѳí³ë³ñ³Ñ»é ¿ µáõñ·Ç ·³·³ÃÝ»ñÇó:
11. SABCD µáõñ·Ç ÑÇÙùÁ ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÇÍÝ ¿: M Ï»ïÁ SA ÏáÕÇ
³ÛÝåÇëÇ Ï»ï ¿, áñ : 1:3SM MA :
1. AM ¨ SC áõÕÇÕÝ»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý:
2. M Ï»ïáí µáõñ·Ç ÑÇÙùÇÝ ½áõ·³Ñ»é ѳñÃáõÃÛ³Ùµ ѳïáõÛÃÁ
½áõ·³Ñ»é³·ÇÍ ¿:
3. M Ï»ïáí SDC ÝÇëïÇÝ ï³ñí³Í ½áõ·³Ñ»é ѳñÃáõÃÛ³Ùµ µáõñ·Ç
ѳïáõÛÃÝ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ ¿:
4. SAB ¨ SCD ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý ·ÇÍÝ áõÕճѳ۳ó ¿
ù³é³ÝÏÛáõÝ µáõñ·Ç µ³ñÓñáõÃÛ³ÝÁ:
5. ºÃ» Q -Ý AB ÏáÕÇ ÙÇçݳϻïÝ ¿, ÇëÏ E -Ý` AD ÏáÕÇ ÙÇçݳϻïÁ,
³å³ MAEQ µáõñ·Ç ͳí³ÉÁ SABCD µáõñ·Ç ͳí³ÉÇ 1
16 Ù³ëÝ ¿:
6. ºÃ» SA SB , SC SD ¨ SA SD , ³å³ µáõñ·Ç µ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ
³ÝóÝáõÙ ¿ ÑÇÙùÇ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïáí:
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12. SABCD µáõñ·Ç ÑÇÙùÁ ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ ë»Õ³Ý ¿, Áݹ áñáõÙ
CDAB : SO -Ý µáõñ·Ç µ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ ¿:
1. ´áõñ·Ç ÑÇÙùÇÝ ½áõ·³Ñ»é ѳïáõÛÃÁ ½áõ·³Ñ»é³·ÇÍ ¿:
2. A ¨ D Ï»ï»ñÁ SBC ѳñÃáõÃÛáõÝÇó áõÝ»Ý ÙǨÝáõÛÝ Ñ»é³íáñáõ-
ÃÛáõÝÁ:
3. SO ¨ CD áõÕÇÕÝ»ñÁ ÙÇßï ˳ãíáÕ »Ý:
4. SAB ¨ SCD ÝÇëï»ñÁ ã»Ý ϳñáÕ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï áõÕճѳ۳ó
ÉÇÝ»É ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ:
5. ºÃ» µáõñ·Ç S ·³·³ÃÁ ѳí³ë³ñ³Ñ»é ¿ ÑÇÙùÇ ·³·³ÃÝ»ñÇó,
³å³ O Ï»ïÁ Ï·ïÝíÇ ë»Õ³ÝÇ ÙÇçÇÝ ·ÍÇ íñ³:
6. ºÃ» 1
2BC AD , ³å³ SABC µáõñ·Ç ͳí³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ SACD
µáõñ·Ç ͳí³ÉÇ Ï»ëÇÝ:
13. O Ï»ïÇó ï³ñí³Í »Ý , ,OA OM ON ׳鳷³ÛÃÝ»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ 090MON , 060AON AOM : A Ï»ïÇó MON ³ÝÏÛ³Ý
ÏÇëáñ¹ÇÝ ï³ñí³Í ¿ áõÕճѳ۳ó ѳñÃáõÃÛáõÝ, áñÁ OM ¨ ON
׳鳷³ÛÃÝ»ñÁ ѳïáõÙ ¿ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ C ¨ B
Ï»ï»ñáõÙ: H -Á BC -Ç ÙÇçݳϻïÝ ¿:
1. OHB »é³ÝÏÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ ¿:
2. OAB »é³ÝÏÛáõÝÁ ϳÝáݳíáñ ¿:
3. AH OH : 4. ABC -Ý Ï³Ýáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ ¿:
5. AOBC »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÁ 450 ¿:
6. H -Á OABC µáõñ·ÇÝ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ï»ÝïñáÝÝ ¿:
14. SABCD µáõñ·Ç ÑÇÙùÁ ABCD ù³é³ÏáõëÇÝ ¿£ SB ÏáÕÝ áõÕճѳ-
Û³ó ¿ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ£ ÎáÕÙݳÛÇÝ ÝÇëï»ñÇó »ñÏáõëÁ ÑÇÙùÇ
ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ »Ý 450-Ç ³ÝÏÛáõÝ£
1. SDC ѳñÃáõÃÛáõÝÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ SBC ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ£
2. SD ÏáÕÁ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 600-Ç ³ÝÏÛáõÝ£
3. AC áõÕÇÕÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ SD áõÕÕÇÝ: 4. D Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ SBC ÝÇëïÇ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÇó ÷áùñ ¿ DC
ÏáÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÇó: 5. A Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ SCD ѳñÃáõÃÛáõÝÇó ÷áùñ ¿ SD ÏáÕÇ
»ñϳñáõÃÛ³Ý Ï»ëÇó:
6. AD ÏáÕáí ³ÝóÝáÕ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³Ùµ ѳïáõÛÃÝ
áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ ¿:
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15. SABCD µáõñ·Ç ÑÇÙùÝ ³Ýѳí³ë³ñ ÏÇó ÏáÕÙ»ñáí áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ ¿,
SB ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ:
1. SCD ³ÝÏÛáõÝÁ ÷áùñ ¿ 900-Çó:
2. AC ¨ SD áõÕÇÕÝ»ñÁ ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý:
3. AC ¨ SD áõÕÇÕÝ»ñÁ ˳ãíáÕ »Ý:
4. SAB ѳñÃáõÃÛáõÝÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ SAD ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ:
5. ´áõñ·ÇÝ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ï»ÝïñáÝÁ SD -Ç ÙÇç-
ݳϻïÝ ¿:
6. SABCD µáõñ·ÇÝ Ñݳñ³íáñ ¿ Ý»ñ·Í»É ·áõݹ:
16. 1111 DCBABCDA ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÝÇëïÁ a ¨ b
³ÝÏÛáõݳ·Í»ñáí ߻ճÝÏÛáõÝ ¿, ÇëÏ A ·³·³ÃÇ µáÉáñ ѳñÃ
³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ëáõñ »Ý:
1. ¼áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳí³-
ë³ñ ¿ 3ab :
2. 1C ·³·³ÃÇó ABCD ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ ï³ñí³Í áõÕճѳ۳óÇ ÑÇÙùÁ
·ïÝíáõÙ ¿ AC ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ íñ³:
3. ¼áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇÝ Ñݳñ³íáñ ã¿ ³ñï³·Í»É ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃ:
4. BD -Ý áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ 1 1AAC ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ:
5. ÎáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕ»ñÇÝ áõÕճѳ۳ó ѳïáõÛÃÁ ϳñáÕ ¿ ÉÇÝ»É
ù³é³ÏáõëÇ:
6. 1 1B D BD :
17. 111 CBABCA áõÕÇÕ »é³ÝÏÛáõÝ åñǽٳÛÇ ÑÇÙùÁ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ
»é³ÝÏÛáõÝ ¿, áñÇ Ý»ñùݳÓÇ·Áª 2AB , ¨ 015B : äñǽٳÛÇ
³Ù»Ý³Ù»Í ٳϻñ»ë áõÝ»óáÕ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÝÇëïÁ ù³é³ÏáõëÇ ¿:
1. äñǽٳÛÇ Í³í³ÉÁ 1 ¿:
2. 1B ACB »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ ÷áùñ ¿ 450-Çó:
3. äñǽٳÛÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ÷áùñ ¿ 8-Çó:
4. äñǽٳÛÇÝ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ï»ÝïñáÝÁ ·ïÝíáõÙ
¿ 1 1AA B B ÝÇëïÇ íñ³:
5. äñǽٳÛÇÝ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ß³é³íÇÕÁ 22 ¿:
6. äñǽٳÛÇÝ Ñݳñ³íáñ ã¿ Ý»ñ·Í»É ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃ:
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18. 1111 DCBABCDA ϳÝáݳíáñ ù³é³ÝÏÛáõÝ åñǽٳÛÇ
1AC ³ÝÏÛáõ-
ݳ·ÇÍÁ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 450 ³ÝÏÛáõÝ: äñǽ-
Ù³ÛÇ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý O Ï»ïáõÙ:
1. äñǽٳÛÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÇÍÁ 2 ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÇó:
2. 1B D ¨ CA1 ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÁ ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý:
3. äñǽٳÛÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ ¨ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÝÇëïÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í
³ÝÏÛáõÝÁ 600
¿:
4. AOB -Ý Ñ³í³ë³ñ³ÏáÕÙ »é³ÝÏÛáõÝ ¿:
5. 1AA , AD ¨ DC ÏáÕ»ñÇ ÙÇçݳϻï»ñáí ï³ñí³ÍѳñÃáõÃ۳ݨ
åñǽٳÛÇ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ 2arctg :
6. äñǽٳÛÇÝ ³ñï³·Íí³Í ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ß³é³íÇÕÁ
ѳí³ë³ñ ¿ ÑÇÙùÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇÝ:
19. 1111 DCBABCDA ûù ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ ÑÇÙùÁ ߻ճÝÏÛáõÝ ¿: 1AA ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÁ ÑÇÙùÇ AB ¨ AD ÏáÕÙ»ñÇ Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿
ѳí³ë³ñ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñ:
1. ¼áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý:
2. hACBDV 2
1, áñï»Õ h -Á ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ ¿,
V -ݪ ͳí³ÉÁ:
3. 1CC BD :
4. ¼áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ñï³·Í»É ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃ:
5. 1 1BB D D ѳñÃáõÃÛáõÝÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ ABC ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ:
6. ¼áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ÷áùñ ¿
ÑÇÙùÇ å³ñ³·ÍÇ ¨ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇó:
20. DABC µáõñ·Ç ÑÇÙùÁ C áõÕÇÕ ³ÝÏÛáõÝáí ABC »é³ÝÏÛáõÝÝ ¿: DA
ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ, ÇëÏ DC
ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÇ íñ³ í»ñóí³Í ¿ E Ï»ïÝ ³ÛÝå»ë, áñ AE DC :
1. DC -Ý áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ AB -ÇÝ:
2. ADCB »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³ÝÝ 900 ¿:
3. AE -Ý áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ DBC ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ:
4. EABD µáõñ·ÇÝ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ï»ÝïñáÝÝ
ÁÝÏ³Í ¿ EDB ÝÇëïÝ Áݹ·ñÏáÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç:
5. DC -Ý DABC µáõñ·ÇÝ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ïñ³Ù³·ÇÍ ¿:
6. DABC ¨ EABD µáõñ·»ñÇ Í³í³ÉÝ»ñÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ëñ ¿
DE
DC:
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21. SABC µáõñ·Ç ÑÇÙùÁ C áõÕÇÕ ³ÝÏÛáõÝáí ABC ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ
áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛáõÝÝ ¿: ´áõñ·Ç SAB ¨ CAB ÝÇëï»ñÁ ÷áËáõÕ-
ճѳ۳ó »Ý: S ¨ C ·³·³ÃÝ»ñÇó ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ABC ¨
SAB ÝÇëï»ñÇÝ ï³ñí³Í áõÕճѳ۳óÝ»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý ¨ ѳí³ë³ñ »Ý:
1. S ·³·³ÃÇó ï³ñí³Í SAB »é³ÝÏÛ³Ý µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ¨ µáõñ·Ç
µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ »Ý:
2. ´áõñ·ÇÝ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ï»ÝïñáÝÁ ·ïÝíáõÙ ¿
µáõñ·Ç ٳϻñ¨áõÛÃÇó ¹áõñë:
3. SB ¨ AC áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ 600 ¿:
4. ´áõñ·Ç ÑÇÙùÇ ¿ç»ñÇ ÙÇçݳϻï»ñáí ¨ S ·³·³Ãáí ï³ñí³Í
ѳñÃáõÃÛ³Ùµ ³é³ç³ó³Í ѳïáõÛÃÇ ·³·³ÃÇ S ³ÝÏÛáõÝÁ 600-Çó
Ù»Í ¿:
5. ´áõñ·Ç µáÉáñ ÝÇëï»ñÁ ѳí³ë³ñ³Ù»Í »Ý:
6. ACSB »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÁ ëáõñ ¿:
22. 1111 DCBABCDA ûù åñǽٳÛÇ ÑÇÙùÁ áõéáõóÇÏ ù³é³ÝÏÛáõÝ ¿, Áݹ
áñáõÙ ADAB , CBCD : 1AA ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÁ ÑÇÙùÇ AB ¨ AD
ÏáÕÙ»ñÇ Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ ѳí³ë³ñ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñ:
1. äñǽٳÛÇ ÑÇÙùÇ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÁ ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý:
2. V BD AC h , áñï»Õ h -Á åñǽٳÛÇ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ ¿, V -ݪ ͳí³ÉÁ:
3. 1CC BD :
4. 1ACC ѳñÃáõÃÛáõÝÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ ABC ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ:
5. äñǽٳÛÇ Ñݳñ³íáñ ã¿ ³ñï³·Í»É ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃ:
6. äñǽٳÛÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ Ù»Í ¿ ÑÇÙùÇ å³ñ³-
·ÍÇ ¨ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇó:
23. EABC µáõñ·Ç EA ¨ EB ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý ¨
ϳ½ÙáõÙ »Ý 600 ³ÝÏÛáõÝ: EC ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÁ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ EA ¨
EB ÏáÕ»ñÇÝ ¨ ѳí³ë³ñ ¿ EA ÏáÕÇ Ï»ëÇÝ:
1. ACEB »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÁ 600
¿:
2. AE ¨ BC ÏáÕ»ñÁ ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý:
3. EB ÏáÕÇ ¨ µáõñ·Ç ABC ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ 300 ¿:
4. AE , AC ÏáÕ»ñÇ ÙÇçݳϻï»ñáí ¨ B ·³·³Ãáí ï³ñí³Í
ѳñÃáõÃÛ³Ùµ µáõñ·Ç ѳïáõÛÃÝ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛáõÝ ¿:
5. AB ¨ CE áõÕÇÕÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ BE ѳïí³ÍÇ
»ñϳñáõÃÛ³ÝÁ:
6. ´áõñ·ÇÝ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ï»ÝïñáÝÁ ·ïÝíáõÙ ¿
µáõñ·Çó ¹áõñë:
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24. γÝáݳíáñ ù³é³ÝÏÛáõÝ µáõñ·Ç ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁ 3 ¿, ÇëÏ ÑÇÙùÇÝ
³éÁÝûñ »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÁ` 600:
1. ´áõñ·Ç ѳñó·ÇÍÁ Ù»Í ¿ 3 -Çó:
2. ´áõñ·Ç ͳí³ÉÁ 3 ¿:
3. ´áõñ·Ç ÑÇÙùÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ 2 ³Ý·³Ù ÷áùñ ¿ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÇó:
4. ´áõñ·Ç ѳݹÇå³Ï³ó ÏáÕÙݳÛÇÝ ÝÇëï»ñáí ϳ½Ùí³Í »ñÏÝÇëï
³ÝÏÛáõÝÁ 600 ¿:
5. ´áõñ·Ç ÏáÕÙݳÛÇÝ ÝÇëï»ñÁ ϳÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñ »Ý:
6. ´áõñ·Ç ÑÇÙùÇ Ï»ÝïñáÝÇ ¨ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÝÇëïÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý
Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 3
4 ¿:
25. AM -Á ¨ DK -Ý ABCD µáõñ·Ç ADB ÝÇëïÇ ÙÇçݳ·Í»ñÝ »Ý, áñáÝù
ѳïíáõÙ »Ý E Ï»ïáõÙ, ÇëÏ DN -Á ¨ AP -Ý` ACD ÝÇëïÇ
ÙÇçݳ·Í»ñÁ, áñáÝù ѳïíáõÙ »Ý F Ï»ïáõÙ:
1. MN ¨ KP áõÕÇÕÝ»ñÁ ˳ãíáÕ »Ý:
2. EF ¨ BC áõÕÇÕÝ»ñÁ ½áõ·³Ñ»é »Ý:
3. : 1:3EF BC :
4. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ BC áõÕÕÇÝ ½áõ·³Ñ»é ¨ AM , DN ѳïí³ÍÝ»ñÁ
ѳïáÕ ÙdzÛÝ Ù»Ï áõÕÇÕ:
5. E Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ ABC ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ ½áõ·³Ñ»é ѳñÃáõÃÛ³Ùµ
µáõñ·Ç ѳïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳí³ë³ñ ¿ ABC ÝÇëïÇ Ù³Ï»ñ»ëÇ
2
3-ÇÝ:
6. KANF µáõñ·Ç ͳí³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ FAED µáõñ·Ç ͳí³ÉÇÝ:
26. ÎáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÁ AC ÑÇÙùáí ABC ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ
»é³ÝÏÛáõÝ ¿: ÎáÝÇ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 4 ëÙ ¿, ÇëÏ ÍÝáñ¹Á` 8 ëÙ:
1. ÎáÝÇ ÍÝáñ¹Á ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 300 ³ÝÏÛáõÝ:
2. ÎáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ÷éí³ÍùÁ 8 ëÙ ß³é³íÕáí ë»Ïïáñ ¿:
3. ÎáÝÇ Í³í³ÉÁ 64 ëÙ3 ¿:
4. ÎáÝÇÝ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ß³é³íÇÕÁ ÷áùñ ¿ ÏáÝÇ
µ³ñÓñáõÃÛáõÝÇó:
5. ÎáÝÇ B ·³·³Ãáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ïáõÛÃÝ»ñÇó B ·³·³ÃáõÙ
ٻͳ·áõÛÝ ³ÝÏÛáõÝÝ áõÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÁ:
6. ÎáÝÇ ·³·³Ãáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ïáõÛÃÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇó ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ
32 ëÙ2 ¿:
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Ð/Ð 1 2 3 4 5 6
1 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
2 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
3 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
4 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
5 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
6 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
7 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
8 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
9 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
10 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
11 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
12 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
13 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
14 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
15 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
16 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
17 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
18 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
19 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
20 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
21 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
22 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿
23 ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
24 ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿
25 ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿
26 ×Çßï ¿ ×Çßï ¿ ëË³É ¿ ëË³É ¿ ×Çßï ¿ ×Çßï ¿
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