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- 1 -
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- 1 -
第六章 常微分方程 一. 求解下列微分方程:
1. 0' =+− − xyx eey .
解. )1( −= − yx eedxdy
, dxee
dy xy =−− 1
xy
ece
=−
−1ln ,
xey cee−
=−1
)1ln(xecey
−
−= .
2.
=
−=
2)0(
tan)1( 2
y
xydxdy
解. xdxy
dy tan1 2
=−
xyyc cosln
11ln
21
−=−+
, y(0) = 2, 02121ln
21
=−+c ,
31
−=c
xy
y2cos
1ln)1(3
1ln =−+
, xxy 2
2
cos3cos3
−+
=
二. 求解下列微分方程:
1. 011 =
−+
+ dy
yxedxe y
xyx
解. yx
yx
e
yxe
dydx
+
−
=
1
1.
令 yuxuyx
== , .(将 y看成自变量)
dyduyu
dydx
+= , 所以 uu
eue
dyduyu
+−
=+1
)1(
u
u
u
uu
eeuu
eeue
dyduy
++
−=−+−
=11
-
- 2 -
ydydu
eue
u
u
−=++1
, y
dyeueudu
u
−=++ )(
, y
yceu u 1lnlnln =−=
+
ceu
y
u+=
1,
yxu
eyx
ceu
cy+
=+
= , cyex yx
=
+ .
2.
−=−+−−
=
1)1(22' 22
22
yxxyyxxyyy
解. 令 xuyuxy
== , .
dxduxu
dxdy
+= , 所以 1212
2
2
−+−−
=+uuuu
dxduxu
121
1212
2
23
2
2
−+−−−−
=−−+−−
=uu
uuuuuuuu
dxdux
xdxdu
uuuuu
−=+++
−+1
1223
2
xdxdu
uu
u−=
++
+−
12
11
2
cxuu ln
11ln 2 =+
+, cx
uu
=++
11
2 . 由 1)1(,1)1( −=−= uy 得
所以 c = 0. 011
2 =++
uu
, 得到 01 =+u , 01 =+xy
, 即 xy −= .
三. 求解下列微分方程:
1. 21222 sin22sin'1 xeyxyyx ++=+
解. 令 yyuyu 2sin'',sin2 == 则 . 得到
2122 2'1 xexuux ++=+ , 2
12
2 112'
2
xeu
xxu
x
+=
+−
+
为一阶线性方程
解得 |)1|ln( 2122
xxceu x +++= + . 即 |)1|ln(sin 21222
xxcey x +++= + .
2. 0)2( 22 =+−− dxydyyxyx
解. 原方程可化为 221
yx
yx
dydx
−+= .
-
- 3 -
即 1212 =
−+ x
yydydx
, 为一阶线性方程(y为自变量, x为因变量).
解得: yecyyx1
22 += .
3. 0)cos1(cossinln' =−+ yxyyxxy
解. 令 uy =cos , 则 yyu sin'' −= . 原方程化为
0)1(ln' =−+− xuuxxu
xu
xxuu
lnln'
2
=+− , 为贝奴利方程.
xuxxuu
ln11
ln1'
2 =⋅+−
.
令u
z 1= , 则 2''
uuz −= . 方程化为
xz
xxz
ln1
ln1' =+ , 为一阶线性方程.
解得 xcxz
ln)( +
= . 即 xcx
y lncos1 +
= , xycx lncos)( =+ .
四. 求解下列微分方程:
1. 0)2( =−+ dyyxedxe yy
解. 02 =−+ ydydyxedxe yy .
于是 0)( 2 =− dyxed y . 所以方程解为 cyxe y =− 2 .
2. 0112222
=
−−+
−+ dy
xyyxdx
xyx
解. 012222
=−
−−
++ dyxyy
xdxxy
dyxdx
设函数 ),( yxu 满足 ),( yxdu = dyxyy
xdxxy 2222
1−
−−
.
所以22
1xyx
u−
=∂∂
, )(arcsin)(1),(22
yyxydx
xyyxu ϕϕ +=+
−= ∫
-
- 4 -
所以22
2
2
2
)('1 xyy
xy
yx
yx
yu
−−=+
−
−=
∂∂ ϕ . 于是 cyy == )(,0)(' ϕϕ
所以原方程的解为 cyxyx =++ arcsin
21 2
3. 02)2( 22 =+++ ydydxxyx
解. 由原方程可得 0)()( 2222 =+++ yxddxyx
得到 0)( 2222
=++
+yxyxddx .
于是原方程解为 cyxx =++ )ln( 22 .
五. 求解下列微分方程:
1. )1(2
'2
−−
=xy
xyy
解. xyxyy −=− 2)1('2
令 uy =2 , 得到 xuxu −=− )1('
111'
−−=
−−
xxu
xu 为一阶线性方程. 解得
+−−
−−= cx
xxxu )1ln(
1)1( .
即 )1ln()1()1(2 −−−+−= xxxxcy
2. 63' yxyxy =+
解. 该方程为贝奴利方程.
356 ' yyyxy =+ −− .
令 ,5 uy =− ''5 6 uyy =− − , 3'5
xuux =+−
255' xux
u −=− . 解得 )25( 25 −+= xcxu
于是 35525 xcxy +=−
-
- 5 -
六. 设 )(xψ 在实轴上连续, )0('ψ 存在, 且具有性质 )()()( yxyx ψψψ =+ , 试求出 )(xψ .
解. )0()0()00( ψψψ =+ , )0()0( 2ψψ = , 0)0( =ψ , 1)0( =ψ .
i) 0)0( =ψ . 对于任何 x有 )()()( xxxx ∆=∆+ ψψψ
所以 0)0()()(lim)()(lim)(00
==∆=∆+=Ψ→∆→∆
ψψψψψ xxxxxxxx
.
所以 0)( ≡xψ .
ii) 1)0( =ψ
xxx
xxx
xxxx
xxxx
∆−
=∆
−∆=
∆−∆
=∆
−∆+ ))0()()(()1)()(()()()()()( ψψψψψψψψψψ
上式令 0→∆x , 得到
==1)0(
)0(')()('ψ
ψψψ xx
解得 xex )0(')( ψψ = .
七. 证明:
∫+∫= ∫− x
x
dttpdxxpdsesQyey
s
x
x
x
0
00)(
0
)()( 是一阶线性方程 )()(' xQyxpy =+ 满足
初始条件 00 )( yxy = 的特解.
解. 显然 00 )( yxy = .
)(' xpy −=
∫+∫ ∫− x
x
dttpdxxpdsesQye
s
x
x
x
0
00)(
0
)()( + ∫
−x
xdxxp
e 0)(
∫x
xdttp
exQ 0)(
)(
= )()( xQyxp +− .
于是 )()(' xQyxpy =+ .
八. 求解下列方程:
1.
==−+
1)0(0)(
ydyxyydx
-
- 6 -
解. 可得
=
−=−
0)1(
1
xyx
dydx
. 这是以 y为自变量的一阶线性方程.
解得 )ln( ycyx −= .
0)1( =x , 0=c . 所以得解 yyx ln−= .
2.
=
=+++
0)2
(
0)sin()1'(πy
yxyx
解. 令 uyx =+ . 可得
=
=+
2)
2(
0sin'ππu
uxu
udu
xdx
sin=− , )cotln(cscln uu
xc
−= , uuxc cotcsc −= .
2)
2( ππ =u , 1
2cot
2csc
2
=−=ππ
πc
, 2π
=c .
解为 )cot()csc(2
yxyxx
+−+=π
.
九. 求解下列方程:
1. 01)'('')1( 22 =+++ yyx
解. 令dxdpypy == '',' 则 .
所以 01)1( 22 =+++ pdxdpx , 22 11 x
dxp
dp+
−=+
cxp +−= arctanarctan
所以 1tan1cc
pxxp
==−+
, pxccxp 11 −=+ , xcxcp −=+ 11 )1(
于是 )1(
111 11
21
11
1
xccc
cxcxc
dxdy
++
+−=+−
=
dxxcc
cc
dy
++
+−=)1(
11
11
21
1
解为 2121
21
1
|1|ln11 cxcc
cxc
y ++++−= .
-
- 7 -
2.
===−+1)2(',2)2(
0')'('' 2
yyyyxxy
解. 令dxdpypy == '',' 则
02 =−+ pxpdxdpx , 2p
xp
dxdp
−=− , 11112 −=− pxdxdp
p
令 1)2(1'1 2 =−== udxdp
puu
p,,则
于是得到 11' −=−− ux
u , 11' =+ ux
u 为 u对于 x的一阶线性方程
解得 xcxu +=
21
, 1)2( =u , 得 c = 0. xu21
=
xp 2
11= , x
dydx
21
= , cxy += ln2 , 2ln22,2)2( −== cy 解得
所以 2)2
ln(2ln22ln2 2 +=−+= xxy
3.
===+
1)0(',2)0()'(''2 2
yyyyy
解. 令dydppypy == ''' ,则
得到 ypdydpp =+ 22
令 up =2 , 得到 yudydu
=+ 为关于 y的一阶线性方程. 且 1)]0('[)0(0|
22 ====
ypx
u
解得 yceyu −+−= 1
所以 2)0( 121)0(0|
1 −− +−=+−==
= ceceyx
u y , 0=c .
于是 1−= yu , 1−±= yp
dxydy
±=−1
, 112 cxy +±=− , 221 1cxy +±=−
2)0( =y , 得到 121 =
c, 得解 1
21 +±=− xy
-
- 8 -
十. 求解下列微分方程:
1. 0'''2'''2)4()5( =+++++ yyyyyy
解. 特征方程 0122 2345 =+++++ λλλλλ
0)1)(1( 22 =++ λλ
ii −==−= 5,43,21 ,,1 λλλ
于是得解 xxccxxccecy x cos)(sin)( 54321 ++++=−
2.
−=====−+−
14)0(''',6)0('',0)0(',1)0(06'10''5)4(
yyyyyyyy
解. 特征方程 06105 24 =−+− λλλ , 0)22)(3)(1( 2 =+−+− λλλλ
11 =λ , 32 −=λ , i±= 14,3λ
得通解为 )sincos( 433
21 xcxceececyxxx +++= −
由 14)0(''',6)0('',0)0(',1)0( −==== yyyy
得到 21
1 −=c , 21
2 =c , 13 =c , 14 =c
得特解 )sin(cos21
21 3 xxeeey xxx +++−= −
十一. 求解下列微分方程:
1. xxxyy cos22sin3'' ++=+
解. 特征方程 012 =+λ , i±=λ
齐次方程通解 xcxcy sincos 21 +=
非齐次方程特解: xxD
y =+
=1
12
*1
xxxD
xD
y 2sin2sin14
32sin1
132sin31
122
*2 −=+−
=+
=+
=
xD
y cos21
12
*3 +=
考察 12
11212
1211)(
1221
1222 DiD
eiDD
eiD
eeD
ixixixix
+=
+=
++=
+
-
- 9 -
= ))(sin(cos121121)
421(12 ixxixxe
iiDeD
iDe ixixix −+===+
= xixxx cossin −
所以 xxxD
y sincos21
12
*3 =+=
所以通解为 xxxxxcxcy sin2sinsincos 21 +−++=
2.
==+=+0)0(')0(
sin42''yy
xxeyy x
解. 特征方程 012 =+λ , i±=λ
齐次方程特解 xcxcy sincos 21 +=
非齐次方程通解 xDD
exD
exeD
y xxx22
121)1(
1221
1222
*1 ++
=++
=+
=
= )1(21
212 −=
− xexDe xx
xxxD
y cos2sin41
12
*2 −=+= (计算方法同上题 , 取 ixe
D 11
2 +的虚
部)
所以 xxxexcxcy x cos2)1(sincos 21 −−++=
由 0)0(')0( == yy 可得 2,1 21 == cc
得解 xxxexxy x cos2)1(sin2cos −−++=
3. axeyyy =++ 4'4''
解. 特征方程 0442 =++ λλ , 22,1 −=λ
xexccy 221 )(−+=
i) 2−=a
xxx exD
eeD
y 22222
2*
211
)22(1
)2(1 −−− =
+−=
+=
ii) 2−≠a
22*
)2()2(1
+=
+=
aee
Dy
axax
-
- 10 -
所以
++
+++
=−−
−
xx
axx
exexcc
ea
exccy
22221
22
21
21)(
)2(1)(
22
−=−≠
aa
十二. 求解下列微分方程:
1. )sin(ln2'''2 xyxyyx =++
解. 令 xtex t ln, == 则
得
dtdy
dtydyx
dtdyxy
−=
=
2
22 ''
'
得到方程 tyy sin2'' =+ . 解得 tttctcy cossincos 21 −+=
所以得解 xxxcxcy lncoslnlnsinlncos 21 −+=
2. )1ln()1(6')1('')1( 2 ++=++−+ xxyyxyx
解. 令 )1ln(,1 +==+ xtex t 则
得
dtdy
dtydyx
dtdyyx
−=+
=+
2
22 '')1(
')1(
得到方程 tteyyy 6'2'' =+− . 解得 tt etetccy 321 )( ++=
所以得解 )1(ln)1()1))(1ln(( 321 ++++++= xxxxccy
十三. 求 x0y 平面上一曲线, 使其过每点的切线同该点的向径及 oy 轴一起构成一个等腰三角形.
解. 设所求的曲线为 )(xfy = . 曲线上点 ),( yx 处的切线方程为
))((' xXxfyY −=−
令 X = 0, A点坐标 ))(',0( xxfy − .
i) AB = AC A
所以 222 ))('())('( xxfxxxfy +=− C
-
- 11 -
得到 22 2 xdxdyxyy =− . B
令 2yu = , 得到方程 2xdxduxu =− 为一阶线性方程
得解 cxxu +−= 2 , 即 022 =−+ cxxy
ii) AC = BC
所以 2222 )]('[ yxxxfx +=+
xyxf ±=)(' ,
xdx
ydy
±= , xcy lnln ±=
所以 cxy = (舍), cxy = iii) AB = BC
所以 222))('( yxxxfy +=− , 得到 xxfxxyf =+− 2)]('[)('2
所以 12
442)('
222
+
±=
+±=
xy
xy
xxyy
xf , 即 =dxdy 1
2
+
±
xy
xy
令 uxy= 则
dxduxu
dxdy
+= , 得到以下方程
12 +±= udxdux
若 12 += udxdux , 则
xdx
udu
=+12
, cxuu ln)1ln( 2 =++
cxx
yxxy
=+
+22
, 即 222 cxyxy =++ ;
若 12 +−= udxdux , 则
xdx
udu
−=+12
, xcuu ln)1ln( 2 =++
xc
xyx
xy
=+
+22
, 即 cyxy =++ 22 .
十四. 一质量为m的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假如液体阻力与运动速度成正比, 试求物体运动的规律.
解. 取物体的初始位置为坐标原点, x坐标向下为正向. 并以 )(tx 表示在时刻 t时的物体位置.
物体所受的重力为 mg, 阻力为dtdxk (k为比例系数). 由牛顿定律得到:
-
- 12 -
==
=−
0)0(')0(
2
2
xxdt
xdmdtdxkmg
. 即
==
=+
0)0(')0(
'''
xx
gxmkx
解得 tk
mgeccxt
mk
++=−
21
于是 k
mgecmkx
tmk
+−=−
2'
0)0( =x , 得到 21 cc −=
kmgc
mkx +−== 2)0('0
所以 22
2 kgmc = , 2
2
21 kgmcc −=−=
所求解为 tk
mgek
gmk
gmxt
mk
++−=−
2
2
2
2
.
十五. 有一盛满水的圆锥形漏斗, 高 10cm, 顶角 060=α , 漏斗尖处有面积 0.5m2 的小孔,
求水流出时漏斗内水深的变化规律, 并求出水全部流出所需的时间(提示: 水从深处为 h 的
孔流出的速度 scmghv /26.0= ) 10
解. 假设在 dt时间内圆锥中水的体积变化为 dv. h+d
高为 h的圆锥的底圆半径为 h3
1, 于是可得以下方程: h
dtghdhh 26.05.03
1 2⋅=
−π , dtghdhh 23.03
2 =−π
, 10)0( =h
dtdhhg
=− 2329.π
, 于是得通解: cthg
+=− 2529
4π.
由 10)0( =h 得到 251029
4g
c π−= .
所以满足初始条件的解为: 2525 1029
429
4g
thg
ππ−=− .
当 h = 0时, 得 ≈= 251029
4g
t π 10 (秒)
-
- 13 -
十六. 设经过原点的曲线族上任一点 P处的切线交 x轴于点 T, 从 P点向 x轴作垂线, 其垂足为Q, 已知 PT, PQ与 x轴所围成的三角形的面积与曲边三角形OPQ的面积之比等于常数
k, 21
>k , 试求该曲线族.
解. 在 P处的切线方程为 )(' xXyyY −=− .
令 0=Y , 得 T点的横坐标为 'y
yxX −= . YPQ = , 'y
yXxQT =−=
PQT∆ 的面积为'2
1yyyS ⋅= .
曲边三角形 OPQ的面积为 ∫x
dxxy0
)( . 于是得方程
∫=⋅x
dxxykyyy
0)(
'21
二边对 x求导得到
=−=
0)0(')1(2'' 2
yykyy
令 dydppypy == '',' 则 , 于是 2)1(2 pk
dydpyp −=
i) p = 0
y = c. 因为 0)0( =y , 所以 0≡y (舍)
ii) 0≠p
pkdydpy )1(2 −= , 1lnln)1(2ln cykp +−= ,
)1(21
kycp −=
)1(21
kycdxdy −= , ))(12( 21
12 cxcky k +−=− .
由 0)0( =y , 得 02 =c .
所以解为: cxy k =−12 . ( 1)12( ckc −= 为任意常数)
十七. 有一房间容积为 100m3, 开始时房间空气中含有二氧化碳 0.12%, 为了改善空气质量, 用一台风量为 10m3/分的排风扇通人含 0.04%的二氧化碳的新鲜空气, 同时以相同的风量将混合均匀的空气排出, 求排出 10分钟后, 房间中二氧化碳的含量百分比? 解. 假设在 t时刻二氧化碳的含量百分比为 x%, 即房中二氧化碳含量为 x. 一分钟后二氧化
-
- 14 -
碳为10
004.0 xx −+ . 又设 dt时刻后二氧化碳含量改变量为 dx. 则
dtxdtxxxdx )04.0(101)
10004.0( −−=
−+−−=
即
=
−−=
12.0)0(
)04.0(101
x
xdtdx
得通解: 1004.0t
cex−
+= . 由 12.0)0( =x 得到 c = 0.08.
所以方程的解为: 1008.004.0t
ex−
+=
当 t = 10时, 得到 07.008.004.0 1 =⋅+= −ex .
-
- 1 -
-
- 1 -
-
- 2 -