1
Лекция 1
Дифференциальные уравнения
первого порядка
2
Понятие дифференциального уравнения и его
решения
• Обыкновенным дифференциальным уравнением
1-го порядка называется выражение вида
где заданная функция, независимая
переменная, неизвестная функция, - её
производная, наличие которой обязательно.
• Решением дифференциального уравнения
называется функция определённая на
некотором интервале вместе со своей
производной и обращающее на этом интервале
уравнение в тождество
( , , ) 0,F x y y
F
( )y y x
x
( ),y y x
( , )a b
( , ( ), ( )) 0, ( , ).F x y x y x x a b
y
3
Интегральная кривая
• График решения дифференциального уравнения
называется интегральной кривой.
• Пример 1. Рассмотрим уравнение вида
• Решение уравнения:
• Интегральные кривые –
семейство парабол (рис.1)
2 0.y x
2
2
2
y x
y xdx x C
x
y
Рис.1
4
Задача Коши
• Задачей Коши для дифференциального уравнения
1-го порядка называется задача нахождения
решения этого уравнения ,
удовлетворяющего начальным условиям
где заданные значения.
• Обычно задача Коши записывается в виде
• Геометрически задача Коши является задачей о
нахождении интегральной кривой, проходящей
через заданную точку
( )y y x
0 0( ),y y x
0 0( , )x y
0 0
( , , ) 0,
( ).
F x y y
y y x
0 0 0( , ).M x y
5
Единственность решения задачи Коши
• Будем говорить, что задача Коши с начальными
условиями имеет единственное
решение , определённое на интервале
если не существует решения заданной задачи
Коши, определённого на этом же интервале, не
совпадающего с решением .
0 0( )y y x
( )y y x ( , ),a b
( )y y x
6
Контрпример.
• Пример 2. Рассмотрим дифференциальное
уравнение вида
• Легко видеть, что функции вида
являются решениями уравнения и через каждую
точку плоскости проходит бесконечно
много соответствующих интегральных кривых.
2 / 33 .y y
3
3
( ) , ,
0, ,
( ) ,
x x
y x
x x
0 0 0( , )M x y
7
Теорема существования и единственности
• Пусть функция непрерывна в открытой
области и существует непрерывная
частная производная в этой области.
Тогда для
любой точки , принадлежащей области
задача Коши
имеет единственное решение, определённое на
некотором максимальном интервале .
( , )f x y
D
f
y
0 0 0( , )M x y ,D
0 0
( , ),
( ).
y f x y
y y x
( , )a b
8
Геометрическая иллюстрация
Пусть , и в области выполняются условия
теоремы существования и единственности, тогда
через точку
проходит
единственная
интегральная
кривая.
y
x
0M D
0M D D
0M
9
Частные и общие решения
Пусть - область существования и
единственности дифференциального уравнения.
• Всякое решение задачи Коши с
начальным условием
называется частным решением.
• Семейство решений зависящее от
произвольной постоянной , называется
общим решением, если любое частное решение
содержится в общем решении.
D
0 0 0 0( ), ( , )y y x x y D
( )y y x
( , ),y x C
C
10
Особые решения
• Решение дифференциального уравнения, в каждой
точке которого нарушается единственность задачи
Коши, называется особым решением.
• Для примера 2 функция является особым
решением.
0y
11
Общий интеграл.
• Неявная функция называется
общим интегралом, если она определяет общее
решение дифференциального
уравнения.
• Дифференциальные уравнения вида
называются уравнение в дифференциалах.
( , , ) 0x y C
( , ),y x C
( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy
12
Геометрическое истолкование
дифференциального уравнения
• Пусть функция является решением
дифференциального уравнения . Проведём
касательную к интегральной кривой и
обозначим через угол наклона касательной к
оси . Тогда , поэтому
( )y y x( , ).y f x y
( )y y x
Ox ( )y x tg
( , ( )).tg f x y x
x
y
O D
M
( , )y f x y
13
Поле направлений
• Таким образом, угол наклона к оси
касательной к интегральной кривой определяется
правой частью диф.уравнения.
• Если в каждой точке области
определения функции построить
отрезки, составляющие с осью угол такой,
что
то получим поле направлений, определяемое
дифференциальным уравнением
Ox
( , )f x y( , )M x y
D
Ox
( , ),tg f x y
( , ).y f x y
14
Изоклины
• Кривая в которой наклон
к оси поля направлений один и тот же,
называется изоклиной.
• Пример. Для уравнения изоклинами
являются окружности
( , ) , ,f x y C C const
Ox
2 2y x y 2 2 , 0.x y k k
15
Дифференциальные уравнения, разрешимые в квадратурах
16
Если решение дифференциального уравнения явно или неявно выражается через элементарные функции или интегралы от них, то такие уравнения называются разрешимыми в квадратурах
17
Уравнения с разделяющимися переменными
• Дифференциальные уравнения вида
• называются уравнениями с разделяющимися
переменными.
• Уравнения с разделяющимися переменными в
дифференциалах имеют вид
• Пример 1.
( ) ( )y f x g y
.y
yx
( ) ( ) ( ) ( ) 01 2 1 2
M x M y dx N x N y dy
18
Математическая модель
химической реакции
Пусть масса вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени .
Известно, что скорость химической реакции пропорциональна массе :
Начальное условие
( )m m t
dmmdt
, 0.dm km kdt
(0)0
m m
t
19
Однородные уравнения
Функция называется однородной
функцией степени , если для любого
выполняется равенство
Дифференциальное уравнение вида
называется однородным, если функции
являются однородными функциями одинаковой
степени.
( , )f x y
m 0t
( , ) ( , ).mf t x t y t f x y
( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy
( , ), ( , )M x y N x y
20
Ещё об однородных уравнениях
Уравнение , разрешённое
относительно производной, называется однородным,
если функция является однородной
функцией нулевой степени.
• Для решения однородного уравнения вводится новая
неизвестная функция ( замена)
• Пример 1.
( , )y f x y
( , )f x y
yz
x
1 .y y
yx x
21
Пример 2.
• Найти общее решение
2 2(2 ) 0x y dx xydy
22
Линейные дифференциальные уравнения 1-го
порядка
Линейным дифференциальным уравнением 1-го
порядка называется дифференциальное
уравнение 1-го порядка вида
где функции p(x) и q(x) непрерывны на
некотором интервале (a,b).
• Областью существования и единственности
уравнения является полоса
( ) ( ),y p x y q x
.a x b
23
Линейные однородные дифференциальные
уравнения 1-го порядка
Линейное дифференциальное уравнением 1-
го порядка вида
называется однородным.
Если правая часть уравнения отлична от нуля,
то - неоднородным.
( ) 0y p x y
24
Метод вариации решения линейного
неоднородного дифференциального
уравнения.
• Найдём вначале решение однородного уравнения.
• Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения 1-го порядка имеет вид
( ) 0y p x y
( )dy p x ydx
25
• Pазделив переменные, получаем
( )
ln ( ) ln , 0,
( ) ( ).
ln ( ),
( ),
.
dy p x dxy
y x C C
где x первообразная p xy
xC
xy C R общее решениеCeоднородного уравнения
P
P
P
P
26
Решение неоднородного уравнения
• Будем разыскивать решение неоднородного
уравнения, заменив константу С на функцию C(x),
т.е.
( ).
( ) ( ),0
( )0
x
y C x y x
где y x e
P
27
• Имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( )) ( )0 0 0
( ) ( ) ( ) 0, . . ( )0 0 0
.
( ) ( )( ) ( ) ( ), ( ) , ( )0 ( ) (
(
)0 0
). ( ). ,
c x y x c x y x p x c x y x q x
c x y x c x y x p x y x q x
y x p x y x тк y x решение
однородного уравнения
q x q xc x y x q x c x c x dxy x y x
G Cе xт c x
.( )( )
( ) ( ( ) ) ( )0
( )0
Отсюда
где
q xпервообразная функцииy
G x
y x G x C
x
y x
28
Решение линейного уравнения методом
Бернулли
Линейное уравнение первого порядка можно решить,
сделав подстановку Бернулли
где неизвестные функции.
,y u v
,u v
29
Пример
• Решить уравнение
42 2xy y x
30
Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется уравнение вида
• Ненулевое решение уравнения Бернулли можно получить заменой
( ) ( ) ,
, 0, 1.
ny p x y q x
n R n
y
n
1 , (1 )n nz y z n y y
31
• При которой уравнение Бернулли сводится к
линейному
Второй способ решения состоит в замене
y=u v- "подстановка Бернулли".
1( ) ( ),
(1 ) ( ) ( )
y np x y q xny
n z p x z q x
32
Пример
• Решить уравнение
22 xy y y e
33
Дифференциальные уравнения в полных
дифференциалах
Если левая часть уравнения в дифференциалах
является дифференциалом некоторой функции
т.е.
то дифференциальное уравнение называется
уравнение в полных дифференциалах.
( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy
( , )x yA
( , ) ( , ) ( , ) ,d x y M x y dx N x y dy A
34
Односвязная область
• Область называется односвязной, если
множество точек, ограниченных непрерывной
замкнутой кривой , лежащей в , также
принадлежит . Т.е. в односвязной области нет
"дырок".
D
L DD
D L
35
Критерий уравнения в полных
дифференциалах
• Теорема. Пусть функции
непрерывны вместе со своими частными
производными
• в односвязной области . Тогда, уравнение в
дифференциалах
• является уравнением в полных дифференциалах,
если в области выполняется равенство
( , ), ( , )M x y N x y
,M N
y x
D
( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy
D
.M N
y x
36
Пример
• Найти общий интеграл уравнения
2 2 2 2( ) ( ) 0x xy dx x y y dy
37
Замечание
• В уравнение в дифференциалах
• переменные входят равноправно. Таким
образом, в качестве решения можно рассматривать
функции наряду с функциями .
• Пример 1
( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy
,x y
( )x x y ( )y y x
0ydx xdy
38
«Перевёрнутое уравнение»
• Поэтому к интегральным кривым уравнения
• будем относить и решения перевёрнутого уравнения
• Пример 2.
( , )y f x y
1 1( , )
( , )f x y x
x f x y
2(2 )x y y y
Blow up – Взрыв решения
• Свойством blow-up называют стремление
решения дифференциального уравнения к
бесконечности на конечном промежутке
времени.
• Теория blow-up является теорией катастроф
нелинейных явлений.
39
40
Blow up – Взрыв решения
Замечание. Непрерывность правой части
уравнения
при любых может не обеспечивать
существование решения задачи Коши в
произвольной окрестности заданной точки
• Пример
( , )y f x y
x
0.x
2
(0) 1
y y
y
Решение
• Имеем , разделяя переменные|
• Поставляя начальные условия ,
получаем
• Таким образом, решение при хотя
правая часть уравнения непрерывна
вместе со своей производной во всех
точках координатной плоскости.
1 1 .2
dy dx x C yy x Cy
0, 1x y
.11,1
C yx
y 1,x2( , )f x y y
( , ) 2f x y y
В точке происходит взрыв «Blow up»
решения.
• График частного решения.
42
1x
y
x1