Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 1
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Κεφάλαιο 1: Όριο – Συνέχεια Συνάρτησης
1.2 Συναρτήσεις
Α’ Ομάδας
1. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων;
i) 23
2)(
2
xx
xxf , ii) xxxf 21)( 3
iii) x
xxf
21)(
, iv) )1ln()( xexf
Απάντηση:
i) H συνάρτηση 23
2)(
2
xx
xxf ορίζεται για 0232 xx .
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου:
189214)3( 2
Επομένως οι ρίζες του πολυωνύμου θα είναι οι:
22
4
2
13
12
1)3(1
x
12
2
2
13
12
1)3(2
x
Η συνάρτηση ορίζεται επομένως για 120232 xxxx
Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης θα είναι το σύνολο: 2,1 RA .
ii) H συνάρτηση xxxf 21)( 3 ορίζεται για 101 xx και για
202 xx .
Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης θα είναι το σύνολο: ]2,1[A .
iii) H συνάρτηση x
xxf
21)(
ορίζεται για 0x και για
110)1)(1(0101 22 xxxxx .
Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης θα είναι το σύνολο: ]1,0()0,1[ A .
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 2
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
iv) H συνάρτηση )1ln()( xexf ορίζεται για:
0101 0 xeeee xxx
Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης θα είναι το σύνολο: )0,(A .
2. Για ποιές τιμές του x ϵ R η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται
πάνω από τον άξονα xʹx, όταν:
i) 34)( 2 xxxf , ii) x
xxf
1
1)( , iii) 1)( xexf ,
Απάντηση:
i) H γραφική παράσταση της συνάρτησης 34)( 2 xxxf βρίσκεται πάνω από
τον άξονα των x για εκείνα τα Rx για τα οποία ισχύει:
0340)( 2 xxxf (1)
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου:
41216314)4( 2
Επομένως οι ρίζες του πολυωνύμου θα είναι οι:
32
6
2
24
12
4)4(1
x
12
2
2
24
12
4)4(2
x
Επομένως η ανίσωση 1) γράφεται:
310)1)(3(0340)( 2 xήxxxxxxf
Και υπό μορφή συνόλου: ),3()1,( A .
ii) H γραφική παράσταση της συνάρτησης x
xxf
1
1)( βρίσκεται πάνω από τον
άξονα των x για εκείνα τα Rx για τα οποία ισχύει:
110)1)(1(01
10)(
xxx
x
xxf
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 3
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Και υπό μορφή συνόλου: )1,1(A .
iii) H γραφική παράσταση της συνάρτησης 1)( xexf βρίσκεται πάνω από τον
άξονα των x για εκείνα τα Rx για τα οποία ισχύει:
01010)( 0 xeeeexf xxx
Και υπό μορφή συνόλου: ),0( A .
3. Για ποιές τιμές του x ϵ R η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται
πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, όταν:
i) 12)( 3 xxxf και 1)( xxg
ii) 2)( 3 xxxf και 2)( 2 xxxg
Απάντηση:
i) H γραφική παράσταση της συνάρτησης 12)( 3 xxxf βρίσκεται πάνω από τη
γραφική παράσταση της 1)( xxg για εκείνα τα Rx για τα οποία ισχύει:
00)1(0112)()( 233 xxxxxxxxxgxf
Και υπό μορφή συνόλου: ),0( A .
Σημείωση: Ισχύει ότι 012 x .
ii) H γραφική παράσταση της συνάρτησης 2)( 3 xxxf βρίσκεται πάνω από τη
γραφική παράσταση της 2)( 2 xxxg για εκείνα τα Rx για τα οποία ισχύει:
10)1(022)()( 22323 xxxxxxxxxxgxf
Και υπό μορφή συνόλου: ),1( A .
Σημείωση: Ισχύει ότι 02 x .
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 4
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
4. Οι ανθρωπολόγοι εκτιμούν οτι το ύψος του ανθρώπου δίνεται από τις
συναρτήσεις:
A(x) = 2,89x + 70,64 (για τους άνδρες) και
Γ(x) = 2,75x + 71,48 (για τις γυναίκες)
(για τους άνδρες) και (για τις γυναίκες)
όπου x σε εκατοστά, το μήκος του βραχίονα. Σε μία ανασκαφή βρέθηκε ένα οστό
από βραχίονα μήκους 0,45 m.
α) Αν προέρχεται από άνδρα ποιο ήταν το ύψος του;
β) Aν προέρχεται από γυναίκα ποιο ήταν το ύψος της;
Απάντηση:
α) Το μήκος του βραχίονα είναι 0,45m δηλαδή 45 εκατοστά. Επομένως για x=45cm
από τον τύπο A(x) = 2,89x + 70,64 (για τους άνδρες) θα έχουμε:
A(x) = 2,89x + 70,64=2,89ˑ45+70,64=200,69cm
β) Ομοίως για x=45cm από τον τύπο Γ(x) = 2,75x + 71,48 (για τις γυναίκες) θα
έχουμε:
Γ(x) = 2,75x + 71,48=2,75ˑ45+71,48=195,23cm
5. Σύρμα μήκους ℓ = 20cm κόβεται σε δύο κομμάτια με μήκη x cm και (20 − x) cm.
Με το πρώτο κομμάτι σχηματίζουμε τετράγωνο και με το δεύτερο ισόπλευρο
τρίγωνο. Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ως συνάρτηση
του x.
Απάντηση:
Το τετράγωνο έχει περίμετρο x. Έστω ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι y cm. Τότε
από τον τύπο για την περίμετρο Π θα έχουμε:
444
xyyxy
Επομένως η πλευρά του τετραγώνου είναι ίση με 4
x.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 5
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Το εμβαδό του τετραγώνου θα είναι:
164
22x
Ex
E
Το τρίγωνο έχει περίμετρο 20- x. Έστω ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι z cm.
Τότε από τον τύπο για την περίμετρο Π θα έχουμε:
3
203203
xzzxz
Για να υπολογίζουμε το εμβαδό του ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ με πλευρά 3
20 x
θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το ύψος του ΑΔ. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα
στο τρίγωνο ΑΓΔ θα έχουμε:
3
20
2
3
3
20
4
3
3
20
4
3
3
20
4
1
3
20
3
20
2
1
3
20
3
20
2
1
3
20
22
22222
22
2222
xxx
xxxx
xx
Επομένως το εμβαδό του τριγώνου είναι:
2
3
20
4
3
2
3
20
2
3
3
20
2
))((
x
xx
E
Επομένως το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ως συνάρτηση του x θα
είναι:
22
3
20
4
3
16
xxEE
A
B
A
Γ
A
Δ
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 6
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
6. Nα παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση:
i) 1)( x
xxf , ii) xxxf )(
iii) 1,
1,
1
3)(
x
x
x
xxf , iv) xxf ln)(
Και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το σύνολο των τιμών της f σε
καθεμιά περίπτωση.
Απάντηση:
i) Η συνάρτηση 1)( x
xxf ορίζεται για 0x . H συνάρτηση γράφεται:
0,
0,
2
0
0,
0,
1
11)(
x
x
x
x
x
xx
x
x
xxf
Επομένως η γραφική παράσταση αποτελείται από τις ευθείες y=0 και y=0 όπως
φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Το σύνολο τιμών της 1)( x
xxf είναι το σύνολο: 2,0)( Af .
ii) H συνάρτηση γράφεται:
0,
0,)(
2
2
x
x
x
xxxxf
Επομένως η γραφική παράσταση αποτελείται από τις παραβολές y=x2 και y=-x2
όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Το σύνολο τιμών της xxxf )( είναι το σύνολο: RAf )( .
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 7
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
iii) Η γραφική παράσταση της 1,
1,
1
3)(
x
x
x
xxf αποτελείται από τις ευθείες
y=-x+3 και y=x+1 όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Το σύνολο τιμών της 1,
1,
1
3)(
x
x
x
xxf είναι το σύνολο: ),2[)( Af .
iv) Η συνάρτηση xxf ln)( ορίζεται για 0x . H συνάρτηση γράφεται:
1,
10,
ln
lnln)(
x
x
x
xxxf
Η γραφική παράσταση της 1,
10,
ln
lnln)(
x
x
x
xxxf φαίνεται στο
παρακάτω σχήμα:
Το σύνολο τιμών της xxf ln)( είναι το σύνολο: ),0[)( Af .
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 8
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
7. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f = g. Στις
περιπτώσεις που είναι f ≠ g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο
του R στο οποίο ισχύει f(x) = g(x).
i) 2)( xxf και 2)( xxg
ii) xx
xxf
2
2 1)( και
xxg
11)(
iii) 1
1)(
x
xxf και 1)( xxg
Απάντηση:
i) H συνάρτηση 2)( xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA ενώ η συνάρτηση
2)( xxg έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),0[ B . Εφόσον έχουν διαφορετικά
πεδία ορισμού οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες.
Θα έχουμε για 0x :
)()(2
2 xgxxxxf
Επομένως οι συναρτήσεις είναι ίσες στο διάστημα ),0[ .
ii) H συνάρτηση xx
xxf
2
2 1)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA και επίσης η
συνάρτηση x
xg1
1)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RB . Θα έχουμε:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 9
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
)(1
)1(
)1)(1(11)(
2
2
2
2
xgx
x
xx
xx
xx
x
xx
xxf
Επομένως οι συναρτήσεις είναι ίσες .
iii) H συνάρτηση 1
1)(
x
xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),1()1,0[ A
ενώ η συνάρτηση 1)( xxg έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),0[ B . Εφόσον
έχουν διαφορετικά πεδία ορισμού οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες.
Θα έχουμε για ),1()1,0[ x :
)(1
1
)1)(1(
1
)1)(1(
)1)(1(
)1)(1(
1
1)(
2xgx
x
xx
x
xx
xx
xx
x
xxf
Επομένως οι συναρτήσεις είναι ίσες στο διάστημα ),1()1,0[ .
8. Δίνονται οι συναρτήσεις x
xf1
1)( και x
xxg
1)(
Να βρείτε τις συναρτήσεις gf , gf , gf και g
f .
Απάντηση:
H συνάρτηση x
xf1
1)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 0 RA ενώ η
συνάρτηση x
xxg
1)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 1 RB .
Επομένως για 1,0Rx θα έχουμε:
)1(
1
)1(
1
)1(
1)1(
1
11)()())((
222
xxxx
xxxx
xx
xxxx
x
x
xxgxfxgf
)1(
21
)1(
1
)1(
1)1(
1
11)()())((
2222
xx
x
xx
xxxx
xx
xxxx
x
x
xxgxfxgf
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 10
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
x
x
x
x
x
x
x
x
xxgxfxgf
1
1
1
1
1
11)()())((
2
2
2
1)1)(1(
1
1
1
11
)(
)())((
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
xg
xfx
g
f
9. Ομοίως για τις συναρτήσεις x
xxf1
)( και x
xxg1
)( .
Απάντηση:
H συνάρτηση x
xxf1
)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),0( A ενώ
επίσης η συνάρτηση x
xxg1
)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),0( B .
Επομένως για ),0( x θα έχουμε:
xx
xx
xxgxfxgf 211
)()())((
xxx
xx
xx
xxxgxfxgf
211)
1(
1)()())((
x
x
xx
xx
xx
xxxgxfxgf
111)
1)(
1()()())((
222
1
1
1
1
1
1
)(
)())((
2
2
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xg
xfx
g
f
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 11
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
10. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση gof , αν
i) 2)( xxf και xxg )(
ii) xxf )( και 21)( xxg
iii) 4
)(
xf και xxg )(
Απάντηση:
i) H συνάρτηση 2)( xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA ενώ η συνάρτηση
xxg )( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),0[ B .
Το πεδίο ορισμού της gof αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού
της f για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο:
RxxRxxfRx ),0[,0[)( 2
Επομένως η gof ορίζεται για κάθε Rx και έχει τύπο:
xxxgxfgxgof 22 )())(())((
ii) H συνάρτηση xxf )( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA ενώ η συνάρτηση
21)( xxg έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ]1,1[B .
Το πεδίο ορισμού της gof αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού
της f για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο:
RxxRxxfRx ]1,1[]1,1[)(
Επομένως η gof ορίζεται για κάθε Rx και έχει τύπο:
xxxxgxfgxgof 221)())(())((
iii) H συνάρτηση 4
)(
xf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA ενώ η συνάρτηση
xxg )( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο
ZkkRB ,2
.
Το πεδίο ορισμού της gof αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού
της f για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 12
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
RxkRxkxfRx
242
)(
Επομένως η gof ορίζεται για κάθε Rx και έχει τύπο:
14
)4
())(())((
gxfgxgof
11. Δίνονται οι συναρτήσεις 1)( 2 xxf και 2)( xxg . Να προσδιορίσετε
τις συναρτήσεις gof και fog.
Απάντηση:
H συνάρτηση 1)( 2 xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA ενώ η συνάρτηση
2)( xxg έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),2[ B .
Το πεδίο ορισμού της gof αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού
της f για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο:
212)( 2 xRxxfRx
Επομένως πρέπει να ισχύει:
110)1)(1(0121 22 xήxxxxx
Επομένως η gof ορίζεται για κάθε ),1[]1,( x και έχει τύπο:
12)1()1())(())(( 222 xxxgxfgxgof
Το πεδίο ορισμού της fog αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού
της f για τα οποία το g(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της f. Δηλαδή είναι το σύνολο:
222)(),2[ xRxxRxgx
Επομένως η fog ορίζεται για κάθε ),2[ x και έχει τύπο:
1121)2()2())(())(( 2 xxxxfxgfxfog
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 13
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
12. Να εκφράσετε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων
συναρτήσεων, αν
i) )1()( 2 xxf , ii) 132)( 2 xxf
iii) )1ln()( 2 xexf , iv) )3()( 2 xxf
Απάντηση:
i) H συνάρτηση )1()( 2 xxf είναι σύνθεση της συνάρτησης 1)( 2 xxh με
την xxg )( .
ii) H συνάρτηση 132)( 2 xxf είναι σύνθεση της συνάρτησης xxh 3)( με την
xxg )( και την 12)( 2 xxp .
iii) H συνάρτηση )1ln()( 2 xexf είναι σύνθεση της συνάρτησης xxh 2)( με την
1)( xexg και την xxp ln)( .
iv) H συνάρτηση )3()( 2 xxf είναι σύνθεση της συνάρτησης xxh 3)( με την
xxg )( και την 2)( xxp .
B’ Ομάδας
1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση είναι :
Απάντηση:
i) Η συνάρτηση f αποτελείται από δύο ευθείες.
Έστω ότι η πρώτη ευθεία η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(1,0) και Β(0,1) είναι η
11 xy . Τα σημεία αυτά θα επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Θα έχουμε
επομένως το σύστημα:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 14
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
1
1
101
10
1
1
1
11
11
11
Επομένως η ευθεία είναι η 1 xy .
Έστω ότι η δεύτερη ευθεία η οποία διέρχεται από τα σημεία Γ(2,0) και Δ(1,1) είναι η
22 xy . Τα σημεία αυτά θα επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Θα
έχουμε επομένως το σύστημα:
1
2
1
)1(2
1
2
1
2
21
2
1
2
11
20
2
2
2
2
2
22
2
22
22
22
22
22
22
22
Επομένως η ευθεία είναι η 2 xy .
Επομένως η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τις ευθείες:
21,
10,
2
1)(
x
x
xy
xyxf
ii) Η συνάρτηση f αποτελείται από δύο ευθείες.
Έστω ότι η πρώτη ευθεία η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(0,0) και Β(1,2) είναι η
11 xy . Τα σημεία αυτά θα επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Θα έχουμε
επομένως το σύστημα:
2
0
2
0
12
00
1
1
11
1
11
11
Επομένως η ευθεία είναι η xy 2 .
Έστω ότι η δεύτερη ευθεία η οποία διέρχεται από τα σημεία Γ(1,2) και Δ(2,0) είναι η
22 xy . Τα σημεία αυτά θα επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Θα
έχουμε επομένως το σύστημα:
4
2
)2(2
2
2
2
2
22
2
2
20
12
2
2
2
2
22
2
22
22
22
22
22
22
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 15
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Επομένως η ευθεία είναι η 42 xy .
Επομένως η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τις ευθείες:
21,
10,
42
2)(
x
x
xy
xyxf
iii) Η συνάρτηση f αποτελείται από τέσσερις ευθείες.
Η πρώτη ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα x’x και είναι y=1.
H δεύτερη ευθεία είναι πάνω στον άξονα x’x και είναι η y=0.
Η τρίτη ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα x’x και είναι y=1 δηλαδή είναι ίδια με
την πρώτη.
H τέταρτη ευθεία είναι πάνω στον άξονα x’x και είναι η y=0 δηλαδή είναι ίδια με τη
δεύτερη.
Επομένως η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τις ευθείες:
)4,3[)2,1[,
)3,2[)1,0[,
0
1)(
x
x
y
yxf
2. Ένα κουτί κυλινδρικού σχήματος έχει ακτίνα βάσης x cm και όγκο 628 cm3. Το
υλικό των βάσεων κοστίζει 4 δρχ. ανά cm2, ενώ το υλικό της κυλινδρικής
επιφάνειας 1,25 δρχ. ανά cm2. Να εκφράσετε το συνολικό κόστος ως συνάρτηση
του x. Πόσο κοστίζει ένα κουτί με ακτίνα βάσης 5 cm, και ύψος 8 cm;
Απάντηση:
Το εμβαδό της βάσης ενός κυλίνδρου είναι ίσο με 2x . Επομένως το εμβαδό των
δύο βάσεων θα είναι ίσο με 22 xE .
Το εμβαδό της παράπλευρης επιφάνειας είναι ίσο με xhE 2 (1), όπου h είναι
το ύψος του κυλίνδρου.
Ο όγκος του κυλίνδρου δίνεται στην εκφώνηση ότι είναι ίσος με 628 cm3. Επομένως
θα έχουμε:
)2(200
14,3
628628628628
222
2
xh
xh
xhhxV
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 16
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Αντικαθιστούμε στη συνέχεια το ύψος από τη σχέση (2) στη σχέση (1) και έχουμε:
xE
xxxhE
40020022
2
)2(
Από την εκφώνηση γνωρίζουμε επίσης ότι το υλικό των βάσεων κοστίζει 4 δρχ. ανά
cm2, ενώ το υλικό της κυλινδρικής επιφάνειας 1,25 δρχ. ανά cm2. Επομένως η
συνάρτηση για το συνολικό κόστος ως συνάρτηση του x θα είναι:
xx
xxEExK
500825,1
4004225,14)( 22
Για ακτίνα βάσης x=5 cm το συνολικό κόστος θα είναι:
94214,33003001002005
50058)5( 2
K δρχ
3. Στο διπλανό σχήμα είναι AB = 1, AΓ = 3 και ΓΔ =2. Να εκφράσετε το εμβαδόν του
γραμμοσκιασμένου χωρίου ως συνάρτηση του x = ΑΜ, όταν το Μ διαγράφει το
ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ.
Απάντηση:
Ανάλογα με το πόσο έχει μετακινηθεί το x πάνω στο ΑΓ θα πρέπει να υπολογίσουμε
το εμβαδό ενός τριγώνου αν ισχύει 10 x ή ενός τραπεζίου αν 31 x .
Επομένως διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
Αν 10 x τότε πρέπει να υπολογίσουμε το εμβαδό του τριγώνου ΑΜΝ
όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα.
Το εμβαδό του τριγώνου θα δίνεται από τη σχέση:
2
))(( MNAME
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 17
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Γνωρίζουμε ότι το (ΑΜ) είναι ίσο με x. Πρέπει να στη συνέχεια να
υπολογίσουμε πόσο είναι το ύψος (ΜΝ) ως προς το x.
Τα τρίγωνα ΑΜΝ και ΑΒΕ είναι όμοια. Επομένως ισχύουν οι αναλογίες:
xMNMNx
BE
MN
AB
AM2)(
2
)(
1)(
)(
)(
)(
Επομένως το εμβαδό του τριγώνου είναι:
2
2
2
2
))((x
xxMNAME
Αν 31 x τότε πρέπει να υπολογίσουμε το εμβαδό του τραπεζίου ΑΜΝΕ
όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα.
Το εμβαδό του τραπεζίου θα δίνεται από τη σχέση:
1222
1
2
)()()(
2
)()(
xxx
BEABAMAM
BEENAM
E
Επομένως το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου ως συνάρτηση του x = ΑΜ,
όταν το Μ διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ, περιγράφεται από τη συνάρτηση:
31,
10,
12)(
2
x
x
x
xxE
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 18
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
4. Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύψους x cm είναι εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ
βάσης ΒΓ = 10cm και ύψους ΑΔ = 5cm. Να εκφράσετε το εμβαδό Ε και την
περίμετρο Ρ του ορθογωνίου ως συνάρτηση του x.
Απάντηση:
Το εμβαδό Ε δίνεται από τον τύπο:
))(( KNMNE
Η περίμετρός Ρ δίνεται από τον τύπο:
)(2)(2 KNMNP
Η πλευρά (ΚΝ) είναι ίση με x. Στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσουμε την πλευρά
(ΜΝ). Τα τρίγωνα ΑΝΜ και ΑΒΓ είναι όμοια. Επομένως ισχύουν οι αναλογίες:
)5(2)(
105
)5()(
5
5
10
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
xMN
xMN
x
A
A
B
MN
A
AE
B
MN
Επομένως το εμβαδό και η περίμετρος θα είναι:
2210)5(2))(( xxxxKNMNE για 50 x
xxxxxKNMNP 22024202)5(22)(2)(2 για 50 x
5. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση:
i) 2
11)(
xxxf , ii)
2)(
xxxf
, ]2,0[ x
Aπό τη γραφική παράσταση της f να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της σε
καθεμιά περίπτωση.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 19
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Απάντηση:
i) Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις ανάλογα με τις τιμές του x που επηρεάζουν το
πρόσημο των απόλυτων τιμών:
Αν 1x τότε η συνάρτηση γράφεται:
xxxxxxxx
xf
2
2
2
11
2
)1()1(
2
11)(
Αν 11 x τότε η συνάρτηση γράφεται:
12
2
2
11
2
)1()1(
2
11)(
xxxxxxxf
Αν 1x τότε η συνάρτηση γράφεται:
xxxxxxxx
xf
2
2
2
11
2
)1()1(
2
11)(
Επομένως η συνάρτηση f γράφεται συνολικά:
1
11
1
,1)(
x
x
x
x
x
xf
Συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση f αποτελείται από τρεις ευθείες: την y=-x που είναι
η διχοτόμος της γωνίας του δεύτερου και τέταρτου τεταρτημορίου, την y=1 που
είναι παράλληλη στον άξονα x’x και την y=x που είναι η διχοτόμος της γωνίας του
πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου. Η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω
σχήμα:
Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το σύνολο ),1[ όπως φαίνεται και από το
σχήμα.
ii) H συνάρτηση f γράφεται ως εξής:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 20
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
]2,(
],0[,
00
0,
2
22
)(
x
xx
x
x
xx
xxxx
xf
Σημείωση: Το x (για ]2,0[ x που μας δίνεται από την εκφώνηση) είναι θετικό
για ],0[ x ενώ είναι αρνητικό για ]2,( x .
Η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το σύνολο ]1,0[ όπως φαίνεται και από το
σχήμα.
6. Να βρείτε συνάρτηση f τέτοια, ώστε να ισχύει :
i) 22))(( 2 xxxfog , αν 1)( xxg
ii) 21))(( xxfog , αν 2)( xxg
iii) xxgof ))(( , αν 21)( xxg
Απάντηση:
i) Ισχύει ότι 22))(( 2 xxxgf , όμως 1)( xxg οπότε:
22)1( 2 xxxf
Θέτουμε 11 vxxv οπότε θα έχουμε:
1222122)1(2)1()( 222 vvvvvvvf
Επομένως 1)( 2 xxf .
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 21
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ii) Ισχύει ότι 21))(( xxgf , όμως 2)( xxg οπότε:
22 1)( xxf
Θέτουμε vxxv 22 οπότε θα έχουμε:
vvvf 1)(1)(
Επομένως xxf 1)( με πεδίο ορισμού : 001 xx .
iii) Ισχύει ότι xxfg ))(( , όμως 21)( xxg οπότε:
xxfxxf
xxfxxfxxf
)()(
1)()(1)(1
22
22222
Για παράδειγμα μπορεί η )(xf να είναι η:
xxfήxxfήxxf )()()( κ.τ.λ.
7. Δίνονται οι συναρτήσεις 1)( xxf και 2)( axxg . Για ποια τιμή του
α ϵ R ισχύει goffog .
Απάντηση:
H συνάρτηση 1)( xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA ενώ η συνάρτηση
2)( axxg έχει επίσης πεδίο ορισμού το σύνολο RB .
Το πεδίο ορισμού της gof αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού
της f για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο:
RxRxfRx )(
Επομένως η gof ορίζεται για κάθε Rx και έχει τύπο:
)2(2)1()1())(())(( aaxxaxgxfgxgof
Το πεδίο ορισμού της fog αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού
της f για τα οποία το g(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της f. Δηλαδή είναι το σύνολο:
RxRxgRx )(
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 22
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Επομένως η fog ορίζεται για κάθε Rx και έχει τύπο:
312)2())(())(( axaxaxfxgfxfog
Επομένως για να ισχύει: goffog θα πρέπει:
13223 aaaaxaxgoffog
8. Δίνονται οι συναρτήσεις:
ax
axxf
)( , με 2a και 12)( xxxg
α) xxff ))(( , για κάθε aRx και
β) xxgg ))(( , για κάθε ]1,0[x .
Απάντηση:
α) H συνάρτηση ax
axxf
)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο aRA ενώ η
συνάρτηση 12)( xxxg έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),0[ B .
Το πεδίο ορισμού της fof αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού
της f για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της f. Δηλαδή είναι το σύνολο:
aRxaRxfRx )(
Επομένως η fof ορίζεται για κάθε aRx και έχει τύπο:
xa
ax
aaxax
axaxa
ax
aaxax
ax
axaxa
aax
ax
ax
axa
ax
axfxffxfof
2
2
2
2
2
2
)(
)())(())((
β) Το πεδίο ορισμού της gog αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου
ορισμού της g για τα οποία το g(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το
σύνολο:
),0[),0[)(),0[ xxgx
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 23
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Επομένως η gog ορίζεται για κάθε ),0[ x και έχει τύπο:
)1(1111112
112112212
112212)12())(())((
22
22
2
22
2
xxxx
xxxxxx
xxxxxxgxggxgog
Εφόσον από την εκφώνηση μας δίνεται ότι ]1,0[x συμπεραίνουμε ότι :
0111 xxx (2)
Επομένως η σχέση (1) λόγω της σχέσης (2) γράφεται:
xxxxx 2222
111)1(11
9. Οι πολεοδόμοι μιας πόλης εκτιμούν ότι, όταν ο πληθυσμός Ρ της πόλης είναι x
εκατοντάδες χιλιάδες άτομα, θα υπάρχουν στην πόλη )(210 2 xxN χιλιάδες
αυτοκίνητα. Έρευνες δείχνουν ότι σε t έτη από σήμερα ο πληθυσμός της πόλης θα
είναι 4t εκατοντάδες χιλιάδες άτομα.
i) Να εκφράσετε τον αριθμό Ν των αυτοκινήτων της πόλης ως συνάρτηση του t.
ii) Πότε θα υπάρχουν στην πόλη 120 χιλιάδες αυτοκίνητα;
Απάντηση:
i) Θα έχουμε:
2092104168210442102
tttttttN
ii) Για να βρούμε πότε στην πόλη θα υπάρχουν 120 χιλιάδες αυτοκίνητα πρέπει να
λύσουμε την εξίσωση:
0529722091442092
122092120209210120)(
tttttt
tttttN
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 24
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου: 5292
tt
28920881)52(14)9( 2
Επομένως οι ρίζες του πολυωνύμου θα είναι οι:
16442
8
2
179
12
2899111
ttt
13132
26
2
179
12
289922
tt (απορρίπτεται)
Επομένως μετά από 16 χρόνια τα αυτοκίνητα θα είναι 120000.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 25
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
1.3 Μονότονες Συναρτήσεις – Αντίστροφη Συνάρτηση
Α’ Ομάδας
1. Nα βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και
ποιες γνησίως φθίνουσες
i) xxf 1)( , ii) 1)2ln(2)( xxf
iii) 13)( 1 xexf , iv) 1)1()( 2 xxf , 1x
Απάντηση:
i) H συνάρτηση xxf 1)( ορίζεται για 101 xx . Επομένως έχει πεδίο
ορισμού το διάστημα ]1,(A .
Έστω Axx 21, με 21 xx . Τότε θα έχουμε διαδοχικά:
)()(1111 2121212121 xfxfxxxxxxxx
Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ]1,(A .
ii) H συνάρτηση 1)2ln(2)( xxf ορίζεται για 202 xx . Επομένως έχει
πεδίο ορισμού το διάστημα ),2( A .
Έστω Axx 21, με 21 xx . Τότε θα έχουμε διαδοχικά:
)()(
1)2ln(1)2ln()2ln()2ln(22
21
21212121
xfxf
xxxxxxxx
Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ),2( A .
iii) H συνάρτηση 13)( 1 xexf έχει πεδίο ορισμού το διάστημα RA .
Έστω Axx 21, με 21 xx . Τότε θα έχουμε διαδοχικά:
)()(1313
3311
21
11
1111
212121
21
2121
xfxfee
eeeexxxxxx
xx
xxxx
Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα RA .
iv) H συνάρτηση 1)1()( 2 xxf έχει πεδίο ορισμού το διάστημα ]1,(A .
Έστω Axx 21, με 21 xx . Τότε θα έχουμε διαδοχικά:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 26
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
)()(11111111 21
2
2
2
1
2
2
2
1
01
2121 xfxfxxxxxxxxx
Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ]1,(A .
2. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "1-1" και για καθεμία απ'
αυτές να βρείτε την αντίστροφή της
i) 23)( xxf
ii) 1)( 2 xxf
iii) 1)2)(1()( xxxf
iv) 3 1)( xxf
v) )1ln()( xxf
vi) 1)( xexf
vii) 1
1)(
x
x
e
exf
viii) 1)( xxf
Απάντηση:
i) Η 23)( xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA .
Έστω Axx 21, με )()( 21 xfxf . Τότε θα έχουμε διαδοχικά:
21212121 332323)()( xxxxxxxfxf
Επομένως η συνάρτηση f είναι 1-1 στο RA .
Για να βρούμε την αντίστροφή της f , θέτουμε )(xfy και λύνουμε στη συνέχεια
ως προς x:
3
22323)(
yxyxxyxfy
Επομένως 3
2)(1 x
xf
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 27
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ii) Η 1)( 2 xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA .
Έστω Axx 21, με )()( 21 xfxf . Τότε θα έχουμε διαδοχικά:
2121
2
2
2
1
2
2
2
121 11)()( xxήxxxxxxxfxf
Επομένως η συνάρτηση f δεν είναι 1-1 στο RA . Επομένως δεν έχει και
αντίστροφη συνάρτηση.
iii) Η 1)2)(1()( xxxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA .
Έχουμε 11)21)(11()1( f και
11)22)(12()2( f
Επομένως εφόσον ισχύει 1)2()1( ff η συνάρτηση f δεν είναι 1-1 στο RA .
Επομένως δεν έχει και αντίστροφη συνάρτηση.
iv) Η 3 1)( xxf ορίζεται για 101 xx . Επομένως έχει πεδίο ορισμού το
διάστημα ]1,(A .
Έστω Axx 21, με )()( 21 xfxf . Τότε θα έχουμε διαδοχικά:
2121213
23
121 1111)()( xxxxxxxxxfxf
Επομένως η συνάρτηση f είναι 1-1 στο ]1,(A .
Για να βρούμε την αντίστροφή της f , θέτουμε )(xfy και λύνουμε στη συνέχεια
ως προς x:
333 111)( yxyxxyxfy με 0y
Επομένως 31 1)( xxf με 0x .
v) Η )1ln()( xxf ορίζεται για 101 xx . Επομένως έχει πεδίο ορισμού
το διάστημα )1,(A .
Έστω Axx 21, με )()( 21 xfxf . Τότε θα έχουμε διαδοχικά:
2121212121 11)1ln()1ln()()( xxxxxxxxxfxf
Επομένως η συνάρτηση f είναι 1-1 στο )1,(A .
Για να βρούμε την αντίστροφή της f , θέτουμε )(xfy και λύνουμε στη συνέχεια
ως προς x:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 28
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
yy exexxyxfy 11)1ln()(
Επομένως yexf 1)(1 .
vi) Η 1)( xexf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA .
Έστω Axx 21, με )()( 21 xfxf . Τότε θα έχουμε διαδοχικά:
2121212121 11)()( xxxxeeeexfxf xxxx
Επομένως η συνάρτηση f είναι 1-1 στο RA .
Για να βρούμε την αντίστροφή της f , θέτουμε )(xfy και λύνουμε στη συνέχεια
ως προς x:
)1ln()1ln(11)( yxyxyeeyxfy xx με 1y
Επομένως )1ln()(1 xxf με 1x .
vii) Η 1
1)(
x
x
e
exf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA .
Έστω Axx 21, με )()( 21 xfxf . Τότε θα έχουμε διαδοχικά:
21
21
212121212121
2121
2
2
1
1
2211
)1)(1()1)(1(1
1
1
1)()(
xxeeeeeeeeeeee
eeeee
e
e
exfxf
xxxxxxxxxxxx
xxxx
x
x
x
x
Επομένως η συνάρτηση f είναι 1-1 στο RA .
Για να βρούμε την αντίστροφή της f , θέτουμε )(xfy και λύνουμε στη συνέχεια
ως προς x:
y
yx
y
ye
y
ye
yyeyeyeeyyee
eyxfy
xx
xxxxx
x
x
1
1ln
1
1
1
)1(
)1()1()1(11
1)(
με 110)1)(1(01
1
yyy
y
y
Επομένως
x
xxf
1
1ln)(1 με 11 x .
viii) Η 1)( xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA .
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 29
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Έχουμε 110)0( f και
112)2( f
Επομένως εφόσον ισχύει 1)2()0( ff η συνάρτηση f δεν είναι 1-1 στο RA .
Επομένως δεν έχει και αντίστροφη συνάρτηση.
3. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g, φ και ψ.
Να βρείτε ποιες από τις συναρτήσεις f, g, φ, ψ έχουν αντίστροφη και για καθεμία
απ' αυτές να χαράξετε τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της.
Απάντηση:
Mε βάση τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων παρατηρούμε ότι οι
συναρτήσεις f,φ και ψ είναι δυνατό να αντιστραφούν καθώς αν φέρουμε γραμμές
παράλληλες στον άξονα y’y οι γραμμές αυτές τέμνουν τις συναρτήσεις το πολύ σε
ένα σημείο.
Αυτό δεν συμβαίνει στη συνάρτηση g και ως εκ τούτου η συνάρτηση αυτή δεν
αντιστρέφεται.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 30
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Οι αντίστροφες των συναρτήσεων f,φ και ψ θα είναι συμμετρικές ως προς τη
διχοτόμο y=x. Οι αντίστροφες συναρτήσεις φαίνονται στα παρακάτω σχήματα:
4. Να δείξετε ότι:
i) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε η
συνάρτηση − f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.
ii) Αν δύο συναρτήσεις f, g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ, τότε η
συνάρτηση f + g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.
iii) Αν δύο συναρτήσεις f, g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ και ισχύει
f(x) ≥ 0 και g(x) ≥ 0 για κάθε x ϵ Δ, τότε η συνάρτηση fg είναι γνησίως αύξουσα στο
Δ.
Ανάλογα συμπεράσματα διατυπώνονται, αν οι f, g είναι γνησίως φθίνουσες σε
ένα διάστημα Δ.
Απάντηση:
i) H συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, οπότε για κάθε
21, xx με 21 xx θα έχουμε διαδοχικά:
))(())(()()()()( 21212121 xfxfxfxfxfxfxx
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 31
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Επομένως η -f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ.
ii) H συνάρτηση f και η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ,
οπότε για κάθε 21, xx με 21 xx θα έχουμε:
)()( 21 xfxf και )()( 21 xgxg
Επομένως:
))(())(()()()()( 212211 xgfxgfxgxfxgxf
Επομένως η f+g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ.
iii) H συνάρτηση f και η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ,
οπότε για κάθε 21, xx με 21 xx θα έχουμε:
)()( 21 xfxf και )()( 21 xgxg
Επειδή ισχύει f(x) ≥ 0 και g(x) ≥ 0 για κάθε x ϵ Δ θα έχουμε:
))(())(()()()()( 212211 xgfxgfxgxfxgxf
Επομένως η fˑg είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 32
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
1.4 Όριο Συνάρτησης στο Rx 0
Α’ Ομάδας
1. Nα βρείτε το )(lim0
xfxx
και το f(x0), εφόσον υπάρχουν, όταν η γραφική
παράσταση της συνάρτησης f είναι
Απάντηση:
Για την πρώτη γραφική παράσταση έχουμε ότι:
0)(lim3
xfx
και 2)3( f
Για τη δεύτερη γραφική παράσταση έχουμε ότι:
2)(lim2
xfx
και 4)2( f
Για την τρίτη γραφική παράσταση έχουμε ότι:
1. 2)(lim1
xfx
και 1)(lim1
xfx
. Επειδή ισχύει ότι
)(lim)(lim11
xfxfxx
η f δεν έχει όριο στο 1 ενώ ισχύει ότι 1)1( f .
2. 0)(lim2
xfx
και 1)(lim2
xfx
. Επειδή ισχύει ότι
)(lim)(lim22
xfxfxx
η f δεν έχει όριο στο 2 ενώ η f δεν ορίζεται για
x0=2.
Για την τέταρτη γραφική παράσταση έχουμε ότι:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 33
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
1. 0)(lim1
xfx
και 1)(lim1
xfx
. Επειδή ισχύει ότι
)(lim)(lim11
xfxfxx
η f δεν έχει όριο στο 1 ενώ ισχύει ότι 1)1( f .
2. 1)(lim2
xfx
και 2)(lim2
xfx
. Επειδή ισχύει ότι
)(lim)(lim22
xfxfxx
η f δεν έχει όριο στο 2 ενώ ισχύει ότι 2)2( f .
3. 2)(lim3
xfx
και 2)(lim3
xfx
. Επειδή ισχύει ότι
)(lim)(lim33
xfxfxx
το όριο της f για x0=3 θα είναι 2)(lim3
xfx
ενώ
η f δεν ορίζεται για x0=3.
2. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και με τη βοήθεια αυτής
να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το )(lim0
xfxx
, όταν:
i) 2
65)(
2
x
xxxf , 20 x ii)
1,
1,1)(
x
x
x
xxf , 10 x
iii) 1,
1,
1)(
2
x
x
x
xxf , 10 x iv)
x
xxxf
2
)( , 00 x
Απάντηση:
i) H συνάρτηση 2
65)(
2
x
xxxf (1) έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 2 RA .
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 652 xx :
12425614)5( 2
Επομένως οι ρίζες του πολυωνύμου θα είναι οι:
32
6
2
15
12
1)5(1
x
22
4
2
15
12
1)5(2
x
Επομένως η εξίσωση 1) γράφεται:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 34
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
32
)3)(2(
2
65)(
2
x
x
xx
x
xxxf
Σχεδιάζουμε την ευθεία 3 xy και βρίσκουμε ότι 1)3(lim)(lim22
xxfxx
.
ii) Η συνάρτηση 1,
1,1)(
x
x
x
xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA .
Σχεδιάζουμε την ευθεία xy για 1x και τη ρητή συνάρτηση x
y1
για 1x .
Βρίσκουμε ότι 1lim)(lim11
xxf
xx και 1
1lim)(lim
11
xxf
xx. Επομένως:
1)(lim1
xfx
iii) Η συνάρτηση 1,
1,
1)(
2
x
x
x
xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA .
Σχεδιάζουμε την παραβολή 2xy για 1x και την ευθεία 1 xy για 1x .
Βρίσκουμε ότι 1lim)(lim 2
11
xxf
xx και 01lim)(lim
11
xxf
xx. Επειδή ισχύει
ότι )(lim)(lim11
xfxfxx
η f δεν έχει όριο στο 1.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 35
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
iv) H συνάρτηση x
xxxf
2
)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 0 RA . H
συνάρτηση αυτή είναι δυνατό να γραφεί και ως:
0,
0,
1
1)(
2
x
x
x
x
x
xx
x
xxxf
Η γραφική παράσταση αποτελείται από τις ευθείες 1 xy και 1 xy .
Βρίσκουμε ότι 1)1(lim)(lim00
xxfxx
και 11lim)(lim00
xxfxx
. Επειδή
ισχύει ότι )(lim)(lim00
xfxfxx
η f δεν έχει όριο στο 0.
3. Ομοίως όταν :
i) 1
33)(
2
23
x
xxxxf , 10 x ή 10 x
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 36
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ii) 13
169)1()(
2
x
xxxxf ,
3
10 x
Απάντηση:
i) H συνάρτηση 1
33)(
2
23
x
xxxxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο
1,1 RA . H συνάρτηση αυτή είναι δυνατό να γραφεί και ως:
31
)1)(3(
1
)3()3(
1
33)(
2
2
2
2
2
23
x
x
xx
x
xxx
x
xxxxf
Η γραφική παράσταση αποτελείται από την ευθεία 3 xy .
Βρίσκουμε ότι 4)3(lim)(lim11
xxfxx
και 23lim)(lim11
xxfxx
.
ii) H συνάρτηση 13
169)1()(
2
x
xxxxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο
3
1RA . H συνάρτηση αυτή είναι δυνατό να γραφεί και ως:
3
1,
3
1,
1
)1(
13
13)1(
13
)13()1(
13
169)1()(
22
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
xxxxf
Η γραφική παράσταση αποτελείται από τις ευθείες )1( xy και 1 xy .
Βρίσκουμε ότι 3
4)1(lim)(lim
3
1
3
1
xxfxx
και 3
4)1(lim)(lim
3
1
3
1
xxfxx
. Επειδή
ισχύει ότι )(lim)(lim
3
1
3
1xfxf
xx
η f δεν έχει όριο στο 1/3.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 37
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
4. Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο [−2, +∞) και έχει γραφική
παράσταση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να εξετάσετε ποιοι από τους
επόμενους ισχυρισμούς είναι αληθείς.
Απάντηση:
i) Ισχύει ότι 2)(lim2
xfx
και 2)(lim2
xfx
. Επομένως η σχέση 2)(lim2
xfx
είναι ΑΛΗΘΗΣ.
ii) Ισχύει ότι 2)(lim1
xfx
. Επομένως η σχέση 1)(lim1
xfx
είναι ΨΕΥΔΗΣ.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 38
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
iii) Ισχύει ότι 1)(lim1
xfx
και 2)(lim1
xfx
. Επομένως η σχέση 2)(lim1
xfx
είναι
ΨΕΥΔΗΣ γιατί δεν ορίζεται το όριο της f για x0=1.
iv) Ισχύει ότι 3)(lim2
xfx
και 3)(lim2
xfx
. Επομένως η σχέση 3)(lim2
xfx
είναι
ΑΛΗΘΗΣ.
v) Ισχύει ότι 3)(lim3
xfx
. Επομένως η σχέση 4)(lim3
xfx
είναι ΨΕΥΔΗΣ.
vi) Ισχύει ότι 3)(lim4
xfx
και 3)(lim4
xfx
. Επομένως η σχέση 3)(lim4
xfx
είναι
ΑΛΗΘΗΣ.
5. Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο ),(),( 00 xxa ,
με 6)(lim 2
0
xfxx
και
)(lim0
xfxx
. Να βρείτε τις τιμές του λ ϵ R, για τις οποίες
υπάρχει το )(lim0
xfxx
.
Απάντηση:
Για να υπάρχει το )(lim0
xfxx
θα πρέπει να ισχύει :
066)(lim)(lim 22
00
xfxfxxxx
(1)
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 62 :
25241)6(14)1( 2
Επομένως οι ρίζες του πολυωνύμου θα είναι οι:
32
6
2
51
12
25)1(1
22
4
2
51
12
25)1(2
Επομένως η εξίσωση (1) γράφεται:
23062 ή
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 39
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
1.5 Ιδιότητες των Ορίων
Α’ Ομάδας
1. Nα βρείτε τα όρια :
i) )524(lim 35
0
xxx
x
ii) )12(lim 310
1
xxx
x
iii) 208
1)32(lim
xx
x
iv) ]32)5[(lim 23
3
xxx
x
v) 3
52lim
4
1
x
xx
x
vi) 1
23lim
2
2
0
xx
xxx
x
vii) 3 2
1)2(lim
x
x
viii) 34
22lim
2
2
1
xx
xx
x
Απάντηση:
Θα έχουμε:
i) 5502040)524(lim 3535
0
xxx
x
ii) 1112111121)12(lim 310310
1
xxx
x
iii) 2020208208
12)321(]3)1(2)1[()32(lim
xx
x
iv) 00)2(
3323)53(32lim)5(lim]32)5[(lim
3
232
3
3
3
23
3
xxxxxxxxx
v) 2
1
4
2
31
5121
)3(lim
)52(lim
3
52lim
4
1
4
1
4
1
x
xx
x
xx
x
x
x
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 40
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
vi) 21
20
100
20030
)1(lim
23lim
1
23lim
2
2
2
0
2
0
2
2
0
xx
xxx
xx
xxx
x
x
x
vii) 33 23 23
2
1
3 2
19)3()21()2(lim)2(lim
xx
xx
viii) 08
0
8
24
3141
2211
)34(lim
)22(lim
34
22lim
2
2
2
1
2
1
2
2
1
xx
xx
xx
xx
x
x
x
2. Έστω μια συνάρτηση f με 4)(lim2
xfx
. Να βρείτε το )(lim2
xgx
αν:
i) 5))((3)( 2 xfxg
ii) 1))((
11)(2)(
2
xf
xfxg
iii) )3)()(2)(()( xfxfxg
Απάντηση:
Θα έχουμε:
i) 43548543]5))((3[lim)(lim 22
22
xfxg
xx
ii) 17
3
17
3
14
1142
1))((lim
11)(2lim)(lim
22
2
2
2
xf
xfxg
x
x
x
iii) 616)34)(24()3)((lim)2)((lim)(lim222
xfxfxgxxx
3. Nα βρείτε τα όρια :
i) 8
16lim
3
4
2
x
x
x
ii) 1
132lim
2
2
1
x
xx
x
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 41
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
iii)
2
1 11
11
lim
x
xx
iv) x
x
x
27)3(lim
3
0
Απάντηση:
i) Παρατηρούμε ότι για 2x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος.
Επομένως για 2x θα έχουμε:
)42(
)4)(2(
)42)(2(
)4)(2)(2(
)42)(2(
)4)(4(
2
4
8
162
2
2
2
2
22
33
222
3
4
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xx
x
x
x
x
Στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο:
3
8
12
84
)4222(
)42)(22(
)42(
)4)(2(lim
2
2
2
2
2
xx
xx
x
ii) Παρατηρούμε ότι για 1x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος.
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 132 2 xx :
189124)3( 2
Επομένως οι ρίζες του πολυωνύμου θα είναι οι:
14
4
4
13
22
1)3(1
x
2
1
4
2
4
13
22
1)3(2
x
Επομένως για 1x θα έχουμε:
)1(
)12(
)1)(1(
)12)(1(
1
1322
2
x
x
xx
xx
x
xx
Στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο:
2
1
)11(
)112(
)1(
)12(lim
1
x
x
x
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 42
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
iii) Παρατηρούμε ότι για 1x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος.
Επομένως για 1x θα έχουμε:
xxx
x
x
x
11
1
11
11
11
11
11
2
Στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο:
2
1
1
11
1
11
1lim
1
x
x
iv) Παρατηρούμε ότι για 0x μηδενίζεται ο παρανομαστής. Επομένως για 0x θα
έχουμε:
9)3(3)3(
]9)3(3)3[(]93)3()3)[(33(3)3(27)3(
2
22333
xx
x
xxx
x
xxx
x
x
x
x
Στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο:
279999)30(3)30(]9)3(3)3(lim[ 22
0
xxx
4. Nα βρείτε τα όρια :
i) x
x
x
9
3lim
9
ii) 2
2
0
11lim
x
x
x
iii) 35
22lim
22
x
x
x
iv) 45
2lim
24
xx
x
x
Απάντηση:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 43
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
i) Παρατηρούμε ότι για 9x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος.
Επομένως για 9x θα έχουμε:
)3(
1
)3)(3(
)3(
3
3
9
32
2 xxx
x
x
x
x
x
Στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο:
6
1
)93(
1
)3(
1lim
9
xx
ii) Παρατηρούμε ότι για 0x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος.
Επομένως για 0x θα έχουμε πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρανομαστή με
τον όρο 211 x :
)11(
1
)11(
)11(
11
)11(
11
)11(
)11)(11(11
222
2
22
2
22
22
22
22
2
2
xxx
x
xx
x
xx
x
xx
xx
x
x
Στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο:
2
1
)011(
1
)11(
1lim
220
xx
iii) Παρατηρούμε ότι για 2x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος.
Επομένως για 2x θα έχουμε πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρανομαστή με
τον όρο )35)(22( 2 xx :
)22)(2(
)35(
)22)(2)(2(
)35)(2(
)22)(4(
)35)(2(
)22)(95(
)35)(42(
)22)](9)5[(
)35](4)2[(
)35)(22)(35(
)35)(22)(22(
)35(
)22(
2
2
2
2
2
2
22
22
22
2
2
xx
x
xxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
xxx
x
x
Στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο:
8
3
16
6
)22(4
)33(
)24(4
)39(
)222)(22(
)352(
)22)(2(
)35(lim
22
2
xx
x
x
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 44
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
iv) Παρατηρούμε ότι για 4x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος.
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 452 xx :
91625414)5( 2
Επομένως οι ρίζες του πολυωνύμου θα είναι οι:
42
8
2
35
12
9)5(1
x
12
2
2
35
12
9)5(2
x
Επομένως για 4x θα έχουμε:
)1)(2(
1
)1)(2)(2(
2
)1](2[
2
)1)(4(
2
45
2
222
xx
xxx
x
xx
x
xx
x
xx
x
Στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο:
12
1
34
1
)14)(24(
1
)1)(2(
1lim
4
xxx
5. Να βρείτε (αν υπάρχει), το όριο της f στο x0 αν :
i) 1,
1,
5)(
2
x
x
x
xxf και 10 x
ii) 1,
1,
1
2)(
2
x
x
x
xxf και 10 x
Απάντηση:
i) Θα έχουμε:
11lim)(lim 22
11
xxf
xx
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 45
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
5155lim)(lim11
xxfxx
Επειδή ισχύει ότι )(lim)(lim11
xfxfxx
η f δεν έχει όριο στο 1.
ii) Θα έχουμε:
2)1(2)2(lim)(lim11
xxfxx
2111)1()1(lim)(lim 22
11
xxf
xx
Επειδή ισχύει ότι )(lim)(lim11
xfxfxx
το όριο της f στο -1 θα είναι:
2)(lim1
xfx
6. Nα βρείτε τα όρια :
i) x
x
x
3lim
0
ii) x
x
x
0lim
iii) x
x
x 2
4lim
0
iv)
x
xx
x
0lim
v)
xx
x
x 30lim
vi) 245
5lim
0 x
x
x
Απάντηση:
Γνωρίζουμε από τη θεωρία ότι 1lim0
x
x
x
. Επομένως θα έχουμε:
i) 3133
3lim3
3lim
00
x
x
x
x
xx
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 46
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ii) 10
11
1limlim
1limlim
0000
xx
x
xx
x
x
x
xxxx
iii)
21
1
1
12
)04(
1
2
2lim
4
4lim
24
1lim
2
24
4
lim2
4
1
2
24
4
lim24
1
4
24
4
lim4
1
2
4lim
2
4lim
0
0
00
0000
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
xx
xxxx
iv) 011lim11limlim000
x
x
x
x
x
xx
xxx
v)
1)10(
11
)1(
1limlim
)1(
1lim
)1(limlim
2
200202030
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xxxxx
vi) Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή με τον όρο 245 x :
42424051
)245(lim5
)5(lim
5
)245)(5(lim
445
)245)(5(lim
4)45(
)245)(5(lim
)245)(245(
)245)(5(lim
245
5lim
0000
2000
xx
x
x
xx
x
xx
x
xx
xx
xx
x
x
xxxx
xxx
7. Να βρείτε τα όρια:
i) x
x
x
1lim
2
ii) x
x
x 2
1lim
2
0
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 47
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
iii) x
x
x 2lim
0
Απάντηση:
i) Παρατηρούμε ότι για x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος.
Επομένως για x θα έχουμε:
2)1(1
1)1(lim1
)1)(1(lim
1
1lim
1lim
22
x
x
xx
x
x
x
x
xxxx
ii) Παρατηρούμε ότι για 0x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος.
Επομένως για 0x θα έχουμε:
002
0
2lim
2lim
2
1lim
0
2
0
2
0
x
x
xx
x
x
x
xxx
iii) Παρατηρούμε ότι για 0x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος.
Επομένως για 0x θα έχουμε:
2
1
12
1
02
1
2
1lim
2lim
2lim
000
xxx
x
x
x
xxx
8. Nα βρείτε το )(lim0
xfx
, αν:
i) 22 1)(1 xxfx για κάθε Rx
ii) x
xfx2
4 1)(1
για κάθε
2,
2
x
Απάντηση:
i) Ισχύει ότι:
101)1(lim 22
0
x
x και
101)1(lim 22
0
x
x
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 48
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα της παρεμβολής θα ισχύει:
1)(lim0
xfx
ii) Ισχύει ότι:
101)1(lim 44
0
x
x και
10
1)
1(lim
220
xx
Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα της παρεμβολής θα ισχύει:
1)(lim0
xfx
9. Δίνεται η συνάρτηση 3,
3,
3
2)(
x
x
ax
axxf
. Να βρείτε τις τιμές των α,β ϵ R,
για τις οποίες ισχύει 10)(lim3
xfx
.
Απάντηση:
Θα έχουμε:
)2(
)1(
2066
106
1033
1061033610)33()32(
10)3(lim)2(lim10)(lim)(lim10)(lim33333
a
a
a
aaaaa
axaxxfxfxfxxxxx
Αφαιρούμε τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη και έχουμε:
21052010666 aa (3)
Αντικαθιστούμε τη σχέση (3) στη σχέση (1) και έχουμε:
3
4
6
8861026106
2
aaa
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 49
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Β’ Ομάδας
1. Nα βρείτε τα όρια :
i) 8
2lim
3
23
2
x
xxx
x
ii) 1
)1(lim
1
1
x
vxvx v
x
iii) 2
1lim
1
xxx
x
x
Απάντηση:
i) Παρατηρούμε ότι για 2x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος. Με τη
βοήθεια του σχήματος Horner προκύπτει ότι:
)1)(2(2 223 xxxxxx
Επομένως για 2x θα έχουμε:
12
7
)4222(
)122(
)42(
)1(lim
)42)(2(
)1)(2(lim
8
2lim
2
2
2
2
22
2
23
23
2
xx
xx
xxx
xxx
x
xxx
xxx
ii) Παρατηρούμε ότι για 1x μηδενίζεται ο παρανομαστής του κλάσματος.
Επομένως για 1x θα έχουμε:
0)11...11(1])1...([lim
1
])1...()[1(lim
1
)1()1...)(1(lim
1
)1()1(lim
1lim
1
)1(lim
2121
1
21
1
21
1
1
1
1
1
1
vvvvxxxx
x
vxxxxx
x
xvxxxxx
x
xvxx
x
vxvxx
x
vxvx
vvvv
x
vv
x
vv
x
v
x
v
x
v
x
iii) ) Παρατηρούμε ότι για 1x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος.
Θέτουμε 2txtx
Επομένως για 1t θα έχουμε:
2
1lim
2
1lim
3
2
11
tt
t
xxx
x
tx
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 50
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Με τη βοήθεια του σχήματος Horner προκύπτει ότι:
)2)(1(2 23 ttttt
Επομένως θα έχουμε:
2
1
4
2
)211(
)11(
)2(
)1(lim
)2)(1(
)1)(1(lim
2
1lim
221213
2
1
tt
t
ttt
tt
tt
t
ttt
2. Nα βρείτε όσα από τα παρακάτω όρια υπάρχουν
i) 5
2510lim
2
5
x
xx
x
ii) 5
545lim
2
5
x
xxx
x
iii) 5
545lim
2
5
x
xxx
x
iv) 1
lim2
1
x
xx
x
Απάντηση:
i) Η συνάρτηση 5
2510)(
2
x
xxxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 5 RA .
Γράφεται ως:
5,
5,
1
1
5
5
5
)5(
5
251022
x
x
x
x
x
x
x
xx
Θα έχουμε:
1)(lim5
xfx
1)(lim5
xfx
Επειδή ισχύει ότι )(lim)(lim55
xfxfxx
η f δεν έχει όριο στο -5.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 51
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ii) Η συνάρτηση 5
545)(
2
x
xxxxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο
5 RA .
Για 5x η συνάρτηση γράφεται:
xx
xx
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
xxx
5
)5(
5
5
5
545
5
54)5(
5
545 2222
Επομένως το όριο θα είναι:
5lim)(lim55
xxf
xx
iii) Η συνάρτηση 5
545)(
2
x
xxxxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο
5 RA .
Για 5x η συνάρτηση γράφεται:
5
103
5
545
5
545 222
x
xx
x
xxx
x
xxx
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 1032 xx :
49409)10(14)3( 2
Επομένως οι ρίζες του πολυωνύμου θα είναι οι:
52
10
2
73
12
49)3(1
x
22
4
2
73
12
49)3(2
x
H συνάρτηση γράφεται:
25
)2)(5(
5
1032
x
x
xx
x
xx
Επομένως το όριο θα είναι:
725)2(lim)(lim55
xxfxx
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 52
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
iv) Η συνάρτηση 1
lim2
1
x
xx
x έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 1 RA . Θέτουμε
2txtx και η συνάρτηση γράφεται ως:
)1(1
)1)(1(
1
)1(
11
22342
ttt
t
tttt
t
tt
t
tt
x
xx
Επομένως το όριο θα είναι:
3)111(1)1(lim1
lim 2
1
2
1
ttt
x
xx
tx
3. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με γ =1. Να υπολογίσετε τα
όρια:
i) )(lim
2
ii) )(lim 22
2
iii)
2
lim
Απάντηση:
i) Από τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών θα έχουμε:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 53
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
11
Επομένως:
0
21
2
1lim
)1(
)1(lim
)1(
)1)(1(lim)
1(lim)
1(lim)(lim
2
2
2
2222
ii)
11limlim1
lim1
lim)(lim
2
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
iii) 12
lim1
limlim
222
4. Να βρείτε το )(lim1
xfx
, αν :
i) 10)42)(4(lim1
xxfx
ii) 11
)(lim
1
x
xf
x
Απάντηση:
i) Θέτουμε xxfxg 42)(4)( οπότε θα έχουμε:
4
42)()(42)()(442)(4)(
xxgxfxxgxfxxfxg
Επίσης ισχύει ότι:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 54
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
10)(lim1
xgx
Υπολογίζουμε στη συνέχεια το )(lim1
xfx
:
24
8
4
14210
4
42)(lim)(lim
11
xxgxf
xx
ii) Θέτουμε 1
)()(
x
xfxg οπότε θα έχουμε:
)()1()(1
)()( xgxxf
x
xfxg
Επίσης ισχύει ότι:
1)(lim1
xgx
Υπολογίζουμε στη συνέχεια το )(lim1
xfx
:
01)11()]()1[(lim)(lim11
xgxxgxx
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 55
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
1.6 Μη πεπερασμένο όριο στο Rx 0
Α’ Ομάδας
1. Nα βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της f στο x0 όταν :
i) 24 3
5)(
xx
xxf
, 00 x
ii) 4)1(4
32)(
x
xxf , 10 x
iii) xx
xf11
)( , 00 x
Απάντηση:
i) Έχουμε ότι:
0)3(lim 24
0
xx
x
Επιπλέον επειδή 03 24 xx για 0x θα είναι:
)3
1(lim
240 xxx
Επίσης:
05)5(lim0
xx
Επομένως:
2402400 3
1)5(lim
3
5lim)(lim
xxx
xx
xxf
xxx
ii) Έχουμε ότι:
0)1(4lim 4
1
x
x
Επιπλέον επειδή 0)1(4 4 x για x κοντά στην τιμή 1 θα είναι:
))1(4
1(lim
41 xx
Επίσης:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 56
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
01)32(lim1
xx
Επομένως:
41411 )1(4
1)32(lim
)1(4
32lim)(lim
xx
x
xxf
xxx
iii) Η συνάρτηση xx
xf11
)( με πεδίο ορισμού το σύνολο 0 RA γράφεται
ως:
0,
0,
0
2
0,
0,
11
11
11)(
x
xx
x
x
xx
xx
xxxf
Θα έχουμε:
x
xfxx
2lim)(lim
00
00lim)(lim00
xx
xf
Επειδή ισχύει ότι )(lim)(lim00
xfxfxx
η f δεν έχει όριο στο 0.
2. Nα βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της f στο x0 όταν :
i) 21
4
1
3)(
xxxf
, 10 x
ii) xx
xxxf
23)(
2 , 00 x
iii)
3
2 11)(
xxxf , 00 x
Απάντηση:
i) Η συνάρτηση 21
4
1
3)(
xxxf
με πεδίο ορισμού το σύνολο 1,1 RA
γράφεται ως:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 57
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
2222 1
13
1
433
1
4)1(3
1
4
1
3)(
x
x
x
x
x
x
xxxf
Η τιμή του )(lim1
xfx
εξαρτάται από την τιμή του x. Διακρίνουμε τις εξής
περιπτώσεις:
Αν 10 x τότε 0111 22 xxx και 01lim 2
1
x
x οπότε:
21 1
1lim
xx
Επίσης:
02113)13(lim1
xx
Επομένως
2
12
11 1
1)13(lim
1
13lim)(lim
xx
x
xxf
xxx
Αν 1x τότε 0111 22 xxx και 01lim 2
1
x
x οπότε:
21 1
1lim
xx
Επίσης:
02113)13(lim1
xx
Επομένως
2
12
11 1
1)13(lim
1
13lim)(lim
xx
x
xxf
xxx
Επειδή ισχύει ότι )(lim)(lim11
xfxfxx
η f δεν έχει όριο στο 10 x .
ii) Η συνάρτηση xx
xxxf
23)(
2 με πεδίο ορισμού το σύνολο 0 RA
γράφεται ως:
0,
0,
23
2323
)(
2
2
2
2
2
x
x
x
xxx
xx
xx
xxxf
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
Αν 0x τότε 0lim 2
0
x
x και επομένως:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 58
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
20
1lim
xx
Επίσης:
022030)23(lim 22
0
xx
x
Επομένως
2
2
02
2
00 1
1)23(lim
1
23lim)(lim
xxx
x
xxxf
xxx
Αν 0x τότε 0lim 2
0
x
x και επομένως:
20
1lim
xx
Επίσης:
022030)23(lim 22
0
xx
x
Επομένως
2
2
02
2
00 1
1)23(lim
1
23lim)(lim
xxx
x
xxxf
xxx
Επειδή ισχύει ότι )(lim)(lim00
xfxfxx
η f δεν έχει όριο στο 00 x .
iii) Η συνάρτηση
3
2 11)(
xxxf με πεδίο ορισμού το σύνολο 0 RA
γράφεται ως:
x
x
x
xx
xxxf
1111)(
3
3
32
3
2
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
Αν 0x τότε 0lim0
xx
και επομένως:
xx
1lim
0
Επίσης:
0110)1(lim 33
0
x
x
Επομένως
xx
x
xxf
xxx
1)1(lim
1lim)(lim 3
0
3
00
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 59
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Αν 0x τότε 0lim0
xx
και επομένως:
xx
1lim
0
Επίσης:
0110)1(lim 33
0
x
x
Επομένως
xx
x
xxf
xxx
1)1(lim
1lim)(lim 3
0
3
00
Επειδή ισχύει ότι )(lim)(lim00
xfxfxx
η f δεν έχει όριο στο 00 x .
Β’ Ομάδας
1. Να βρείτε (εφόσον υπάρχει) το 842
9lim
4
xxxxx.
Απάντηση:
Θα έχουμε:
)2()2(
9
)2)(2)(2(
9
)2(2
9
)2)(4(
9
)4(2)4(
9
842
9)(
2
22
xxxxx
xxxxxxxxxxxxf
Η συνάρτηση )(xf ορίζεται για 0x και για 4x . Επομένως έχει πεδίο ορισμού
το σύνολο ),4()4,0[ A .
Για Ax ισχύει ότι 0)2( 2 x και 0)2(lim 2
4
x
x οπότε:
24 )2(
1lim
xx
Επιπλέον:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 60
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
04
9
)24(
9
)2(
9lim
4
xx
Επομένως:
)2(
9
)2(
1lim
)2()2(
9lim
2424 xxxx xx
2. Να αποδείξετε ότι:
i) Η συνάρτηση xxf )( δεν έχει όριο στο π/2.
ii) Η συνάρτηση xxf )( δεν έχει όριο στο 0.
Απάντηση:
i) Η συνάρτηση xxf )( γράφεται ως:
x
xxxf
)(
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
Αν )2
,0(
x τότε ισχύει 0x και 0lim
2
xx
οπότε:
xx
1lim
2
Επίσης:
012
lim
2
x
x
Επομένως
xxx
xxf
xxx
1limlim)(lim
222
Αν ),2
(
x τότε ισχύει 0x και 0lim
2
xx
οπότε:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 61
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
xx
1lim
2
Επίσης:
012
lim
2
x
x
Επομένως
xxx
xxf
xxx
1limlim)(lim
222
Επειδή ισχύει ότι )(lim)(lim
22
xfxfxx
η f δεν έχει όριο στο 2
0
x .
ii) Η συνάρτηση xxf )( γράφεται ως:
x
xxxf
)(
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
Αν )0,2
(
x τότε ισχύει 0x και 0lim0
xx
οπότε:
xx
1lim
0
Επίσης:
010lim0
xx
Επομένως
x
xx
xxf
xxx
1limlim)(lim
000
Αν )2
,0(
x τότε ισχύει 0x και 0lim0
xx
οπότε:
xx
1lim
0
Επίσης:
010lim0
xx
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 62
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Επομένως
x
xx
xxf
xxx
1limlim)(lim
000
Επειδή ισχύει ότι )(lim)(lim00
xfxfxx
η f δεν έχει όριο στο 00 x .
3. Δίνονται οι συναρτήσεις 1
2)1()(
2
2
x
xxxf
και
x
xxxg
2)(
2
Nα βρείτε τις τιμές των λ, μ ϵ R για τις οποίες υπάρχουν στο R τα όρια
)(lim1
xfx
και )(lim0
xgx
Απάντηση:
Η συνάρτηση 1
2)1()(
2
2
x
xxxf
έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 1,1 RA .
Ισχύει ότι 0)1(lim 2
1
x
x και
211211)1(2)1(lim 22
1
xx
x
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
1. 202
Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε:
0211211)1(2)1(lim 22
1
xx
x
και
1
1lim
21 xx
Επομένως
2)1(
1
1lim
1
2)1(lim)(lim 2
21
2
2
11xx
xx
xxxf
xxx
0211211)1(2)1(lim 22
1
xx
x
και
1
1lim
21 xx
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 63
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Επομένως
2)1(
1
1lim
1
2)1(lim)(lim 2
21
2
2
11xx
xx
xxxf
xxx
Επειδή ισχύει ότι )(lim)(lim11
xfxfxx
η f δεν έχει όριο στο 10 x .
2. 202
Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε:
0211211)1(2)1(lim 22
1
xx
x
και
1
1lim
21 xx
Επομένως
2)1(
1
1lim
1
2)1(lim)(lim 2
21
2
2
11xx
xx
xxxf
xxx
0211211)1(2)1(lim 22
1
xx
x
και
1
1lim
21 xx
Επομένως
2)1(
1
1lim
1
2)1(lim)(lim 2
21
2
2
11xx
xx
xxxf
xxx
Επειδή ισχύει ότι )(lim)(lim11
xfxfxx
η f δεν έχει όριο στο 10 x .
3. 202
Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε:
1
2
1
2)12(
1
2)1()(
2
2
2
22
2
2
x
xx
x
xx
x
xxxf
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 22 xx :
981)2(14)1( 2
Επομένως οι ρίζες του πολυωνύμου θα είναι οι:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 64
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
12
2
2
31
12
911
x
22
4
2
31
12
912
x
Επομένως η συνάρτηση γράφεται:
)1(
)2(
)1)(1(
)2)(1(
1
2)(
2
2
x
x
xx
xx
x
xxxf
Το όριο θα είναι:
2
3
11
21
)1(
)2(lim)(lim
11
x
xxf
xx
Επομένως η συνάρτηση 1
2)1()(
2
2
x
xxxf
έχει όριο στο 1 μόνο όταν λ=2.
Η συνάρτηση x
xxxg
2)(
2
έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 0 RA .
Ισχύει ότι 0lim0
xx
και
0202lim 22
0xx
x
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
1. 0
Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε:
02lim 2
0
xx
x και
xx
1lim
0
Επομένως
)2(
1lim
2lim)(lim 2
0
2
00
xx
xx
xxxg
xxx
02lim 2
0
xx
x και
xx
1lim
0
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 65
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Επομένως
)2(
1lim
2lim)(lim 2
0
2
00
xx
xx
xxxg
xxx
Επειδή ισχύει ότι )(lim)(lim00
xgxgxx
η g δεν έχει όριο στο 00 x .
2. 0
Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε:
02lim 2
0
xx
x και
xx
1lim
0
Επομένως
)2(
1lim
2lim)(lim 2
0
2
00
xx
xx
xxxg
xxx
02lim 2
0
xx
x και
xx
1lim
0
Επομένως
)2(
1lim
2lim)(lim 2
0
2
00
xx
xx
xxxg
xxx
Επειδή ισχύει ότι )(lim)(lim00
xgxgxx
η g δεν έχει όριο στο 00 x .
3. 0
Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε:
2)2(2022
)(2202
xx
xx
x
xx
x
xx
x
xxxg
Το όριο θα είναι:
2)2(lim)(lim00
xxgxx
Επομένως η συνάρτηση x
xxxg
2)(
2
έχει όριο στο 0 μόνο όταν μ=0.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 66
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
4. Να βρείτε το )(lim1
xfx
, όταν :
i)
)(
4lim
1 xf
x
x
ii) 2
)(lim
1 x
xf
x
iii)
)23)((lim 2
1xxf
x
Απάντηση:
i) Θέτουμε )(
4)(
xf
xxg
. Θα είναι:
)(lim
1xg
x.
Ισχύει ότι 0)( xg κοντά στην τιμή 1 λόγω του ορίου που μας δίνεται.
Επομένως θα έχουμε:
)(
4)(
)(
4)(
xg
xxf
xf
xxg
Ισχύει ότι:
0341)4(lim1
xx
και
)(lim1
xgx
. Επομένως:
0)4()(
1lim
)(
4lim)(lim
111
x
xgxg
xxf
xxx
ii) Θέτουμε 2
)()(
x
xfxg . Θα είναι:
)(lim
1xg
x.
Ισχύει ότι 0)( xg κοντά στην τιμή 1 λόγω του ορίου που μας δίνεται.
Επομένως θα έχουμε:
)2)(()(2
)()(
xxgxf
x
xfxg
Ισχύει ότι:
0321)2(lim1
xx
και
)(lim1
xgx
. Επομένως:
)2)((lim)(lim11
xxgxfxx
iii) Θέτουμε )23)(()( 2 xxfxg . Θα είναι:
)(lim1
xgx
.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 67
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Ισχύει ότι 0)( xg κοντά στην τιμή 1 λόγω του ορίου που μας δίνεται.
Επομένως θα έχουμε:
23
)()()23)(()(
2
2
x
xgxfxxfxg
Ισχύει ότι:
01213)23(lim 22
1
x
x και
)(lim
1xg
x. Επομένως:
)(
23
1lim
23
)(lim)(lim
21211xg
xx
xgxf
xxx
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 68
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
1.7 Όρια Συνάρτησης στο Άπειρο
Α’ Ομάδας
1. Nα βρείτε τα όρια :
i) )5210(lim 3
xxx
ii) )125(lim 3
xxx
iii) 8
5lim
3 xx
iv) 23
125lim
3
34
xx
xxx
x
v) 24
12lim
23
3
xx
xx
x
vi) 3
2lim
10
xx
x
x
vii)
2
5
1lim
2 xx
x
x
viii)
2
35lim
22
x
x
x
x
x
Απάντηση:
i)
)(lim10)10(lim)5210(lim 333 xxxxxxx
ii)
)(lim5)5(lim)125(lim 333 xxxxxxx
iii) 05
lim8
5lim
33
xx xx
iv)
x
x
x
xx
xxx
xxxlimlim
23
125lim
3
4
3
34
v) 2
1
4
2
4
2lim
24
12lim
3
3
23
3
x
x
xx
xx
xx
vi) 01
limlim3
2lim
91010
xx
x
xx
x
xxx
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 69
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
vii)
01
lim44
lim22
524lim
22
552lim
)2)(1(
)1(5)2(lim
2
5
1lim
3
2
23
2
23
22
2
2
2
xx
x
xxx
xx
xxx
xxx
xx
xxx
xx
x
xxx
xxx
viii)
22
lim2
1022lim
2
31052lim
)2(
)3()2)(5(lim
2
35lim
2
2
2
2
2
323
2222
x
x
xx
xx
xx
xxxxx
xx
xxxx
x
x
x
x
xxx
xx
2. Nα βρείτε τα όρια :
i) 324lim 2
xxx
ii) 910lim 2
xxx
iii) )231(lim 22
xxxx
iv) xxaxx
))((lim , a
v) )34412(lim 2
xxxx
Απάντηση:
i) Η συνάρτηση 324 2 xx ορίζεται για 0324 2 xx
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 324 2 xx :
044484344)2( 2
Επειδή Δ<0 και α=4>0 θα ισχύει ότι 0324 2 xx . Επομένως το πεδίο ορισμού
της συνάρτησης είναι το σύνολο RA .
Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα ),0( :
2
0
2
22 324lim
324lim324lim
xxx
xxxxx
x
x
xx
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 70
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ii) Η συνάρτηση 9102 xx ορίζεται για 09102 xx
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 9102 xx :
6436100914102
Επομένως οι ρίζες του πολυωνύμου θα είναι οι:
12
2
2
810
12
64101
x
92
18
2
810
12
64102
x
Θα έχουμε: 190)9)(1(09102 xήxxxxx
Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο
),1[]9,( A .
Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα ]9,( :
2
0
2
22 9101lim
9101lim910lim
xxx
xxxxx
x
x
xx
iii) Η συνάρτηση )231( 22 xxx ορίζεται για 012 x που ισχύει χωρίς
την ισότητα και 0232 xx
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 232 xx :
189214)3( 2
Επομένως οι ρίζες του πολυωνύμου θα είναι οι:
22
4
2
13
12
1)3(1
x
12
2
2
13
12
1)3(2
x
Θα έχουμε: 210)2)(1(0232 xήxxxxx
Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο ),2[]1,( A .
Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα ),2[ :
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 71
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
2222
0
2
2
2
222
231
11lim
231
11lim
231
11lim)231(lim
xxxx
xxx
xx
xxx
xxxxx
xx
x
xx
iv) Η συνάρτηση xxax ))(( ορίζεται για 0))(( xax .
Θα έχουμε: xήaxxax 0))(( αν a ή
axήxxax 0))(( αν a
Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε σε ένα διάστημα
),( όπου 0 :
1)(
1)(lim
)(1lim
)(1lim
))((lim)(lim))((lim
2
2
0
2
2
22
x
a
x
ax
xx
a
x
axx
x
a
x
ax
xaxaxxaxaxxxxax
x
x
x
x
xxx
v) Η συνάρτηση )34412( 2 xxx ορίζεται για 0344 2 xx
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 344 2 xx :
0324816344)4( 2
Επειδή Δ<0 και α=4>0 θα ισχύει ότι 0344 2 xx . Επομένως το πεδίο ορισμού
της συνάρτησης είναι το σύνολο RA .
Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα ),0( :
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 72
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
034
41
2
21lim
344
12
2lim
34412(
344144lim
34412(
344)12(lim
)34412(
)34412)(34412(lim)34412(lim
22
2
220
2
2
222
2
222
xxx
x
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxx
xxx
xxxxxxxxx
xx
x
x
x
xx
3. Nα βρείτε τα όρια :
i) x
x
x
1lim
2
ii) xxx
1lim 2
iii) x
x
x
1lim
2
iv) xxx
1lim 2
v) 1
1lim
2
2
xx
xx
x
vi) 22 22lim xxxxx
Απάντηση:
i) Η συνάρτηση x
x 12 ορίζεται για 0x
Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα ),0( :
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 73
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
11
1lim
11
lim
11
lim1
lim2
202
2
2
xx
xx
x
xx
x
x
xx
x
xx
ii) Η συνάρτηση xx 12 ορίζεται σε όλο το R.
Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα ),0( :
0
1)1
1(
1lim
)1
1(
1lim
)1
1(
1lim
1
11lim1lim
22
220
2
2
22
2
2
222
xxx
xx
xx
xx
x
xx
xx
xxxxxx
xx
x
xxx
iii) Η συνάρτηση x
x 12 ορίζεται για 0x
Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα )0,( :
11
1lim
11
lim
11
lim1
lim2
202
2
2
xx
xx
x
xx
x
x
xx
x
xx
iv) Η συνάρτηση xx 12 ορίζεται σε όλο το R.
Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα )0,( :
0
1)1
1(
1lim
)1
1(
1lim
)1
1(
1lim
1
11lim1lim
22
220
2
2
22
2
2
222
xxx
xx
xx
xx
x
xx
xx
xxxxxx
xx
x
xxx
v) Η συνάρτηση 1
1
2
2
xx
xx ορίζεται για 11 xήx .
Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα ),1( :
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 74
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
111
11
)1
1(1(
)1
1(1(
lim
)1
1(1(
)1
1(1(
lim
)1
1((
)1
1((1
lim
)1
1((1
)1
1((1
lim
)1(1
)1(1
lim
)1)(1)(1(
)1)(1)(1(lim
1
1lim
2
2
2
2
2
20
2
222
2
222
22
22
22
22
222
222
2
2
x
x
xx
xx
xxx
xxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxxx
xxxxxx
xxxxxx
xx
xx
xxx
x
xx
xx
vi) Η συνάρτηση 22 22 xxxx ορίζεται για 0222 xx
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 222 xx :
048421422
Επειδή Δ<0 και α=1>0 θα ισχύει ότι 0222 xx . Επομένως το πεδίο ορισμού της
συνάρτησης είναι το σύνολο RA .
Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα ),0( :
122
1
)1
1(2
lim
122
1
)1
1(2
lim
122
1
22lim
221
22lim
221
22lim
22
2222lim22lim
2
22
2
220
2
2
22
2
2
2222
xx
xx
xx
xx
xxx
xx
xxx
x
xxxx
xxx
x
xxxx
xxx
xxxxxxxxxxx
x
xx
x
x
x
xx
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 75
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Β’ Ομάδας
1. Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ, να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια :
i) )1(lim 2 xxx
ii) 65
32)1(lim
2
23
xx
xx
x
Απάντηση:
i) Η συνάρτηση xx 12 ορίζεται σε όλο το R.
Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα )0,( :
)(lim)1()1
1(lim)(lim)1
1()(lim
))1
1((lim))1
1((lim)1(lim
22
2
0
2
22
xx
xx
x
xx
xxx
xxx
xxxx
x
x
xx
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
Αν 10)1( τότε:
)(lim)1( xx
Αν 10)1( τότε:
)(lim)1( xx
Αν 1 τότε το όριο γράφεται:
02
10
)1)1
1((
11lim
)1)1
1((
1lim
))1
1((
1lim
))1
1((
))1(lim
)1(
)1)(1(lim)1(lim)1(lim
2
22
220
2
2
222
2
222
12
x
x
xxx
xx
xx
xx
x
xx
xx
xxxxxxxx
x
xx
x
x
xxx
ii) Για το όριο 65
32)1(lim
2
23
xx
xx
x
διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
Αν μ=1 τότε το όριο γράφεται:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 76
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
22
lim65
32lim
651
32)11(lim
65
32)1(lim
2
2
2
2
2
231
2
23
x
x
xx
x
xx
xx
xx
xx
xxxx
Αν μ=0 τότε το όριο γράφεται:
5lim
5lim
65
32lim
650
32)10(lim
65
32)1(lim
2
323
2
230
2
23
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
x
xxxx
Αν μ≠0 και μ≠1 τότε το όριο γράφεται:
x
x
x
xx
xx
xxx
)1(lim
)1(lim
65
32)1(lim
2
3
2
23
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
1. Αν 100)1(0)1(
ή τότε:
x
x
)1(lim
2. Αν 100)1(0)1(
τότε:
x
x
)1(lim
2. Nα προσδιορίσετε το λ ϵ R, ώστε το )105(lim 2 xxxx
να υπάρχει στο R.
Απάντηση:
i) Η συνάρτηση )105( 2 xxx ορίζεται για 01052 xx
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 1052 xx :
0154025101452
Επειδή Δ<0 και α=1>0 θα ισχύει ότι 01052 xx . Επομένως το πεδίο ορισμού
της συνάρτησης είναι το σύνολο RA .
Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα ),0( :
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 77
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
x
xxx
xxxx
xxx
xxx
xxxx
xxxx
x
xxxx
x
x
xx
lim)1(
))105
1((limlim))105
1((lim))105
1((lim
))105
1((lim))105
1((lim)105(lim
222
2
0
2
22
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
Αν 10)1( τότε:
)(lim)1( xx
Αν 10)1( τότε:
)(lim)1( xx
Αν 1 τότε το όριο γράφεται:
2
5
11
05
)1)105
1((
)10
5(
lim
)1)105
1((
)10
5(
lim
)1)105
1((
105lim
))105
1((
105lim
))105
1((
))105(lim
)105(
)105)(105(lim
)105(lim)105(lim
2
222
220
2
2
222
2
22
21
2
xx
x
xxx
xx
xxx
x
xxx
x
xxx
xxx
x
xxx
xxx
xxxxxx
xxxxxx
x
xxx
x
xx
xx
Επομένως το το )105(lim 2 xxxx
υπάρχει στο R μόνο για λ=1.
3. Αν
ax
x
xxf
1
1)(
2
, να βρείτε τις τιμές των α, β ϵ R για τις οποίες
ισχύει 0)(lim
xfx
.
Απάντηση:
Η συνάρτηση
ax
x
xxf
1
1)(
2
ορίζεται για 1x . Θα έχουμε:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 78
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
1
1)()1(
1
1
1
)1()1(1
1
1)(
2
2222
x
xxa
x
xaxaxx
x
xxaxxax
x
xxf
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
Αν 1a τότε το όριο θα είναι:
1,
1,)1(lim
)1(lim
1
1)()1(lim)(lim
22
a
axa
x
xa
x
xxaxf
x
xxx
Αν 1a και a τότε το όριο θα είναι:
0)(
lim
1
1)(lim
1
1)()11(lim)(lim
21
x
x
x
x
x
xxxf
x
xx
a
x
Αν 1 a τότε το όριο θα είναι:
1,
1,)1(lim
01
2lim
1
11lim
1
11)11()11(lim)(lim
21
a
axa
xxx
xxxf
x
xxx
a
x
Επομένως μόνο για 1 a ισχύει 0)(lim
xfx
.
4. Nα βρείτε τα όρια :
i) 23
5lim
2
2
xx
xxx
x
ii) 2
2
34
51lim
xx
xx
x
iii) 1
lim
2
x
xx
x
Απάντηση:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 79
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
i) Η συνάρτηση 23
5
2
2
xx
xxx ορίζεται για 0232 xx
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 232 xx :
189214)3( 2
Επομένως οι ρίζες του πολυωνύμου θα είναι οι:
22
4
2
13
12
1)3(1
x
12
2
2
13
12
1)3(2
x
Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο 2,1 RA .
Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα )0,( :
1lim23
5lim
23
5lim
2
2
2
20
2
2
x
x
xx
xxx
xx
xxx
xx
x
x
Σημείωση: Ισχύει 0x και 05x επομένως xxxx 55 22 .
ii) Η συνάρτηση 2
2
34
51
xx
xx
έχει πεδίο ορισμού όλο το R.
Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα )0,( :
13
2
)13(2
13
)13(2
13
)13(2
)13)(13(
)13(2
13
2
13
11
1)34
(
15
)1
1(
lim
1)34
(
15
)1
1(
lim
)34
(
5)1
1(
lim
)34
(
5)1
1(
lim34
51lim
22
2
2
2
2
2
20
2
2
2
2
2
2
x
xx
xx
xxx
xxx
xx
x
xxx
xx
x
xx
xx
xx
x
x
xx
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 80
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
iii) Η συνάρτηση 1
2
x
xx ορίζεται για 1x .
Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα ),1( :
x
x
xx
x
xx
x
xx
xxx
x
xlim
1
)1(lim
1lim
1lim
212
Σημείωση: Ισχύει 0x και 01x επομένως xxxx 22 .
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 81
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
1.8 Συνέχεια Συνάρτησης
Α’ Ομάδας
1. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δυο συναρτήσεων.
Να βρείτε τα σημεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς.
Απάντηση:
Για την αριστερή γραφική παράσταση (την ονομάζουμε )(xf ) ισχύει για 1ox :
2)(lim1
xfx
1)(lim1
xfx
Εφόσον ισχύει )(lim)(lim11
xfxfxx
, η )(xf δεν είναι συνεχής στο 1ox . Στα
υπόλοιπα σημεία του πεδίου ορισμού της, όπως φαίνεται και από το σχήμα είναι
συνεχής.
Για τη δεξιά γραφική παράσταση (την ονομάζουμε )(xg ) ισχύει για 1ox :
2)(lim1
xgx
2)(lim1
xgx
Επομένως 2)(lim1
xgx
Επίσης 3)1( g
Εφόσον ισχύει )1()(lim1
gxgx
η )(xg δεν είναι συνεχής στο 1ox . Στα υπόλοιπα
σημεία του πεδίου ορισμού της, όπως φαίνεται και από το σχήμα, είναι συνεχής.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 82
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
2. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο x0 τις παρακάτω συναρτήσεις :
i) 2,
2,4)(
3
2
x
x
x
xxf αν 2ox
ii) 1,
1,
3
1)(
2
x
x
x
xxf αν 1ox
iii) 2,
2,
32
2)(
2
x
xx
xxxf αν 2ox
Απάντηση:
i) Ισχύει:
842)4(lim)(lim 22
22
xxf
xx
82lim)(lim 33
22
xxf
xx
Επομένως 8)(lim2
xfx
εφόσον )(lim)(lim22
xfxfxx
Επίσης 82)2( 3 f
Εφόσον ισχύει )2()(lim2
fxfx
η )(xf είναι συνεχής στο 2ox .
ii) Ισχύει:
211)1(lim)(lim 22
11
xxf
xx
24133lim)(lim11
xxfxx
Επομένως 2)(lim1
xfx
εφόσον )(lim)(lim11
xfxfxx
Επίσης 2413)1( f
Εφόσον ισχύει )1()(lim1
fxfx
η )(xf είναι συνεχής στο 1ox .
iii) Ισχύει:
)2
2(lim)(lim
2
22
x
xxxf
xx
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 83
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 22 xx :
981)2(14)1( 2
Επομένως οι ρίζες του πολυωνύμου θα είναι οι:
12
2
2
31
12
911
x
22
4
2
31
12
912
x
Επομένως το όριο γράφεται:
312)1(lim)2
)2)(1((lim)
2
2(lim)(lim
22
2
22
x
x
xx
x
xxxf
xxxx
Επίσης 3)2( f
Εφόσον ισχύει )2()(lim2
fxfx
η )(xf είναι συνεχής στο 2ox .
3. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συνρτήσεις και μετά να
χαράξετε τη γραφική τους παράσταση, αν
i) 1,
1,2
2)(
2
x
x
x
xxf
ii) 2,
2,
52
65)(
2
x
xx
xxxf
iii) 1,
1,
ln)(
x
x
x
xxf
iv) 0,
0,
1)(
2
x
x
x
exf
x
Απάντηση:
i) Θα έχουμε:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 84
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
1
11
1
,
,
,
22
2
11
11
,
,2
2)(
1,
1,2
2)( 2
22
x
x
x
x
xx
xήx
x
x
xxf
x
x
x
xxf
Στα διαστήματα )1,( και ),1( η συνάρτηση f είναι συνεχής ως ρητή
συνάρτηση, ενώ στο διάστημα )1,1( η συνάρτηση f είναι συνεχής ως πολυωνυμική
συνάρτηση. Στη συνέχεια εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στα σημεία 1ox και
1ox .
Ισχύει για 1ox :
21
22lim)(lim
11
xxf
xx
2)1(22lim)(lim 22
11
xxf
xx
2)1(2)1( 2 f
Εφόσον )(lim)(lim11
xfxfxx
η )(xf δεν είναι συνεχής στο 1ox .
Ισχύει για 1ox :
212)2(lim)(lim 22
11
xxf
xx
21
22lim)(lim
11
xxf
xx
Επομένως 2)(lim1
xfx
εφόσον )(lim)(lim11
xfxfxx
Επίσης 212)1( 2 f
Εφόσον ισχύει )1()(lim1
fxfx
η )(xf είναι συνεχής στο 1ox .
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 85
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ii) 2,
2,
52
65)(
2
x
xx
xxxf
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 652 xx :
12425614)5( 2
Επομένως οι ρίζες του πολυωνύμου θα είναι οι:
32
6
2
15
12
1)5(1
x
22
4
2
15
12
1)5(2
x
Επομένως η συνάρτηση f για 2x γράφεται:
32
)2)(3(
2
65)(
2
x
x
xx
x
xxxf
Στα διαστήματα )2,( και ),2( η συνάρτηση f είναι συνεχής ως πολυωνυμική
συνάρτηση. Στη συνέχεια εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο σημείο 2ox .
132)3(lim)(lim22
xxfxx
Επίσης 5)2( f
Εφόσον ισχύει )2()(lim2
fxfx
η )(xf δεν είναι συνεχής στο 2ox .
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 86
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
iii) Η συνάρτηση 1,
1,
ln)(
x
x
x
xxf στο διάστημα )1,( είναι συνεχής ως ρητή
συνάρτηση, ενώ στο διάστημα ),1( η συνάρτηση f είναι συνεχής ως λογαριθμική
συνάρτηση. Στη συνέχεια εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο σημείο 1ox .
Ισχύει για 1ox :
1lim)(lim11
xxf
xx
01lnlnlim)(lim11
xxfxx
Επομένως )(lim)(lim11
xfxfxx
Επίσης 01ln)1( f
Εφόσον ισχύει )(lim)(lim11
xfxfxx
, η )(xf δεν είναι συνεχής στο 1ox .
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
iv) Η συνάρτηση 0,
0,
1)(
2
x
x
x
exf
x
στο διάστημα )0,( είναι συνεχής ως
εκθετική συνάρτηση, ενώ στο διάστημα ),0( η συνάρτηση f είναι συνεχής ως
πολυωνυμική συνάρτηση. Στη συνέχεια εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο σημείο
0ox .
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 87
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Ισχύει για 0ox :
Ισχύει:
1lim)(lim 0
00
eexf x
xx
1)1(lim)(lim 2
00
xxf
xx
Επομένως 1)(lim0
xfx
εφόσον )(lim)(lim00
xfxfxx
Επίσης 1)0( 0 ef
Εφόσον ισχύει )0()(lim0
fxfx
η )(xf είναι συνεχής στο 0ox .
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
4. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις
i) 1,
1,
1
132
)(
2
x
x
x
xx
xf
ii) 0,
0,)(
x
x
xx
x
xf
Απάντηση:
i) Η συνάρτηση 1,
1,
1
132
)(
2
x
x
x
xx
xf στο διάστημα )1,( είναι συνεχής ως
πολυωνυμική συνάρτηση, ενώ στο διάστημα ),1( η συνάρτηση f είναι συνεχής
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 88
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Στη συνέχεια εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο
σημείο 1ox .
Ισχύει για 1ox :
1312)32(lim)(lim 22
11
xxf
xx
2)11()1(lim1
)1)(1(lim
1)(
)1)(1(lim
)1)(1(
)1)(1(lim
1
1lim)(lim
11
221111
xx
xx
x
xx
xx
xx
x
xxf
xx
xxxx
Επομένως )(lim)(lim11
xfxfxx
Επίσης 1312)1( 2 f
Εφόσον ισχύει )(lim)(lim11
xfxfxx
, η )(xf δεν είναι συνεχής στο 1ox .
ii) Η συνάρτηση 0,
0,)(
x
x
xx
x
xf
στο διάστημα )0,( είναι συνεχής ως
πηλίκο συνεχών συναρτήσεων, ενώ στο διάστημα ),0( η συνάρτηση f είναι
συνεχής ως τριγωνομετρική συνάρτηση. Στη συνέχεια εξετάζουμε αν η f είναι
συνεχής στο σημείο 0ox .
Ισχύει για 0ox :
Ισχύει:
1lim)(lim00
x
xxf
xx
10lim)(lim00
xxfxx
Επομένως 1)(lim0
xfx
εφόσον )(lim)(lim00
xfxfxx
Επίσης 10)0( f
Εφόσον ισχύει )0()(lim0
fxfx
η )(xf είναι συνεχής στο 0ox .
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 89
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
5. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς :
i) )()( xxf
ii) )1ln()( 2 xxxf
iii)
1
1)(
2xxf
iv) xexf )(
v) )ln(ln)( xxf
Απάντηση:
i) H συνάρτηση f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων hhg )(
και xxh )( .
ii) H συνάρτηση f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων hhg ln)(
και 1)( 2 xxxh .
iii) H συνάρτηση f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων
hhg )( και 1
1)(
2
xxh .
iv) H συνάρτηση f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων hehg )(
και xxh )( .
v) H συνάρτηση f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων hhg ln)(
και xxh ln)( .
6. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1 xx έχει μία τουλάχιστον λύση στο
διάστημα ),0( .
Απάντηση:
Η συνάρτηση 1)( xxxf είναι συνεχής στο διάστημα ],0[ ως άθροισμα
συνεχών συναρτήσεων. Επίσης ισχύουν τα εξής:
1100)0( f
11)(f
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 90
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Άρα 0)1(1)()0( ff
Επομένως επειδή 0)()0( ff θα ισχύει το θεώρημα Bolzano.
Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης
010)( xxxf στο διάστημα ),0( .
7. Για κάθε μία από τις παρακάτω πολυωνυμικές συναρτήσεις f, να βρείτε έναν
ακέραιο α τέτοιον, ώστε στο διάστημα )1,( aa η εξίσωση 0)( xf να έχει μία
τουλάχιστον ρίζα
i) 1)( 3 xxxf
ii) 12)( 5 xxxf
iii) 42)( 4 xxxf
iv) 2)( 3 xxxf
Απάντηση:
i) Η συνάρτηση 1)( 3 xxxf είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Επίσης ισχύει:
1100)0( 3 f
1111)1( 3 f
Άρα 01)1(1)1()0( ff
Επομένως επειδή 0)1()0( ff θα ισχύει το θεώρημα Bolzano.
Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης
010)( 3 xxxf στο διάστημα )1,0( .
Επομένως α=0.
ii) Η συνάρτηση 12)( 5 xxxf είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Επίσης ισχύει:
31311)1(2)1()1( 5 f
1102)0()0( 5 f
Άρα 031)3()0()1( ff
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 91
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Επομένως επειδή 0)0()1( ff θα ισχύει το θεώρημα Bolzano.
Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης
0120)( 5 xxxf στο διάστημα )0,1( .
Επομένως α=-1.
iii) Η συνάρτηση 42)( 4 xxxf είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Επίσης ισχύει:
54214)1(2)1()1( 4 f
1644324)2(2)2()2( 4 f
Άρα 08016)5()2()1( ff
Επομένως επειδή 0)2()1( ff θα ισχύει το θεώρημα Bolzano.
Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης
0420)( 4 xxxf στο διάστημα )1,2( .
Επομένως α=-2.
iv) Η συνάρτηση 2)( 3 xxxf είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Επίσης ισχύει:
2211)1( 3 f
448222)2( 3 f
Άρα 08)4(2)2()1( ff
Επομένως επειδή 0)2()1( ff θα ισχύει το θεώρημα Bolzano.
Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης
020)( 3 xxxf στο διάστημα )2,1( .
Επομένως α=1.
8. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
0))(())(())(( xxxxxxa
όπου α, β, γ > 0 και λ < μ < ν, έχει δυο ρίζες άνισες, μια στο διάστημα (λ,μ) και
μια στο (μ,ν).
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 92
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Απάντηση:
Η συνάρτηση ))(())(())(()( xxxxxxaxf είναι
συνεχής στο διάστημα (λ,μ). Επίσης ισχύει:
0))(())(())(())(()( aaf
Γιατί 0 και 0 και α>0 σύμφωνα με την εκφώνηση.
0))(())(())(())(()( af
Γιατί 0 και 0 και β>0 σύμφωνα με την εκφώνηση.
Επομένως επειδή 0)()( ff θα ισχύει το θεώρημα Bolzano.
Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης
0))(())(())(( xxxxxxa στο διάστημα ),( .
Η συνάρτηση ))(())(())(()( xxxxxxaxf είναι
συνεχής στο διάστημα (μ,ν). Επίσης ισχύει:
0))(())(())(())(()( af
Γιατί 0 και 0 και β>0 σύμφωνα με την εκφώνηση.
0))(())(())(())(()( af
Γιατί 0 και 0 και γ>0 σύμφωνα με την εκφώνηση.
Επομένως επειδή 0)()( ff θα ισχύει το θεώρημα Bolzano.
Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης
0))(())(())(( xxxxxxa στο διάστημα ),( .
Επομένως η εξίσωση 0))(())(())(( xxxxxxa έχει δύο
ρίζες άνισες, μια στο διάστημα (λ,μ) και μια στο (μ,ν).
9. Να βρείτε το πρόσημα της συνάρτησης f για όλες τις πραγματικές τιμές του x,
όταν :
i) 22)( 23 xxxxf
ii) 24 9)( xxxf
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 93
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
iii) 3)( xxf , ),( x
iv) xxxf )( , ]2,0[ x
Απάντηση:
i) Θα έχουμε:
)1)(1)(2()1)(2()2()2(22)( 2223 xxxxxxxxxxxxf
Η συνάρτηση f μηδενίζεται για:
1120)1)(1)(2(0)( xήxήxxxxxf
Το πρόσημο της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα για κάθε πιθανό διάστημα:
x -∞ -2 -1 1 +∞
x+2 - + + +
x+1 - - + +
x-1 - - - +
f(x) - + - +
ii) Θα έχουμε:
)3)(3()9(9)( 22224 xxxxxxxxf
Η συνάρτηση f μηδενίζεται για:
3300)3)(3(0)( 2 xήxήxxxxxf
Το πρόσημο της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα για κάθε πιθανό διάστημα:
x -∞ -3 0 3 +∞
x+3 - + + +
x2 + + + +
x-3 - - - +
f(x) + - - +
iii) Η συνάρτηση 3)( xxf μηδενίζεται για:
333030)(
kxxxxxf
Όμως ),( x επομένως για k=-1 και k=0 οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 94
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
33
2 xήx
Το πρόσημο της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα για κάθε πιθανό διάστημα:
x -π -2π/3 -π/2 π/3 π/2 -π
3x - + - + -
iv) Η συνάρτηση xxxf )( μηδενίζεται για:
4
3
4
3100)(
kx
xxxxxxxf
Όμως ]2,0[ x επομένως για k=0 και k=1 οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι:
4
7
4
3 xήx
Το πρόσημο της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα για κάθε πιθανό διάστημα:
x 0 3π/4 7π/4 2π
xx + - +
10. Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων
i) 1ln)( xxf , ],1[ ex
ii) 2)( xxf , )2,0(x
iii) 12)( xxf , )6
,0[
x
iv) 1)( xexf , ]0,(x
Απάντηση:
i) Η συνάρτηση 1ln)( xxf είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο διάστημα
],1[ e .
Θα έχουμε:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 95
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
111ln)1( f
0111ln)( eef
Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης 1ln)( xxf θα είναι το διάστημα
]0,1[ .
ii) Η συνάρτηση 2)( xxf είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο διάστημα
)2,0( .
Θα έχουμε:
022)(lim2
xfx
220)(lim0
xfx
Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης 2)( xxf θα είναι το διάστημα
)2,0( .
iii) Η συνάρτηση 12)( xxf είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο διάστημα
)6
,0[
.
Θα έχουμε:
1102)0( f
212
121
62)(lim
6
xf
x
Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης 12)( xxf θα είναι το διάστημα
)2,1[ .
iv) Η συνάρτηση 1)( xexf είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο διάστημα
]0,( .
Θα έχουμε:
11)(lim
exf
x
2111)0( 0 ef
Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης 1)( xexf θα είναι το διάστημα
]2,1( .
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 96
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
B’ Ομάδας
1. Αν 2,
2,
5
))(()(
x
x
kx
kxkxxf , να προσδιορίσετε το k, ώστε η f να είναι
συνεχής στο 2ox .
Απάντηση:
Έχουμε ότι:
2
224)2)(2()])([(lim)(lim kkkkxkxxf
xx
52)5(lim)(lim22
kkxxfxx
24)2)(2()2( kkkf
Για να είναι η f συνεχής στο 2ox θα πρέπει να ισχύει:
10)1(012524)2()(lim)(lim 222
22
kkkkkkfxfxf
xx
2. Αν
1,
1,
1,
5
12
)(
22
x
x
x
ax
xxa
xf
, να βρείτε τις τιμές των α, β ϵ R για τις
οποίες η f να είναι συνεχής στο 1ox .
Απάντηση:
Έχουμε ότι:
121211)12(lim)(lim 22222
11
aaxxaxf
xx
aaxxfxx
)(lim)(lim11
5)1( f
Για να είναι η f συνεχής στο 1ox θα πρέπει να ισχύει:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 97
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
5
012
5
5125
5
512
5
512)1()(lim)(lim
22
22
11
aa
a
a
afxfxf
xx
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 122 aa :
49481)12(14)1( 2
Επομένως οι ρίζες του πολυωνύμου θα είναι οι:
42
8
2
71
12
49)1(1
a
32
6
2
71
12
49)1(2
a
Επομένως θα έχουμε:
Για 41 a : 1455
Για 31 a : 8)3(55
Οι τιμές των α, β ϵ R για τις οποίες η f είναι συνεχής στο 1ox είναι οι: (α=4,β=1) ή
(α=-3,β=8).
3. i) Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο 0ox . Να βρείτε το f(0),
αν για κάθε x ϵ R* ισχύει 1)( xxxf .
ii) Ομοίως, να βρείτε το g(0) για τη συνάρτηση g που είναι συνεχής στο 0ox και
για κάθε x ϵ R ισχύει 2)( xxxxg .
Απάντηση:
i) Έχουμε για 0x ότι: x
xxfxxxf
1)(1)(
Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0ox θα ισχύει:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 98
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
02
110)
1
1)()((lim
)1(lim
)1(
)1(lim
)1(
)1)(1(lim
1lim)(lim)0(
0
2
0
2
0000
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
xx
x
xxff
xx
xxxx
ii) Επειδή η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 0ox θα ισχύει:
)0()(lim)(lim00
gxgxgxx
(1)
Επομένως αρκεί να υπολογίσουμε το όριο )(lim0
xgx
. Για x>0 θα έχουμε:
x
xxxg
x
xx
xxxxgxxxxxxgxxxxxg
)(
)()()( 22222
Ισχύει ότι:
1lim0
x
xx
x
1lim0
x
xx
x
Επομένως από το θεώρημα της παρεμβολής θα ισχύει ότι 1)(lim0
xgx
Επομένως από τη σχέση (1) προκύπτει ότι 1)0( g .
4. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και συνεχείς στο [0,1] και πληρούν τις
σχέσεις )0()0( gf και )1()1( gf , να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
)1,0( τέτοιο ώστε )()( gf .
Απάντηση:
Σύμφωνα με την εκφώνηση ισχύουν οι σχέσεις:
0)0()0()0()0( gfgf
0)1()1()1()1( gfgf
Θεωρούμε τη συνάρτηση )()()( xgxfxh .
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 99
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Η συνάρτηση h είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.
Ισχύει ότι:
0)0()0()0( gfh
0)1()1()1( gfh
Επομένως: 0)1()0( hh και άρα ισχύει το θεώρημα Bolzano. Θα υπάρχει επομένως
ένα τουλάχιστον )1,0( τέτοιο ώστε )()(0)()(0)( gfgfh .
5. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις :
α) 02
1
1
1 64
x
x
x
x
β) 02
ln
1
x
x
x
e x
έχουν μία ,τουλάχιστον, ρίζα στο (1,2).
Απάντηση:
α) Θα έχουμε:
0)1)(1()2)(1(02
1
1
1 6464
xxxx
x
x
x
x
Θεωρούμε τη συνάρτηση )1)(1()2)(1()( 64 xxxxxf .
Αρκεί να αποδείξουμε ότι η f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (1,2).
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,2].
Επίσης ισχύει:
02)11)(11()21)(11()1( 64 f
065)12)(12()22)(12()2( 64 f
Επειδή η f είναι συνεχής στο [1,2] και ισχύει 0)2()1( ff σύμφωνα με το θεώρημα
Bolzano, η f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (1,2).
β) Θα έχουμε:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 100
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
0)1(ln)2(02
ln
1
xxxe
x
x
x
e xx
Θεωρούμε τη συνάρτηση )1(ln)2()( xxxexf x .
Αρκεί να αποδείξουμε ότι η f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (1,2).
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,2].
Επίσης ισχύει:
0)11(1ln)21()1( 1 eef
02ln)12(2ln)22()2( 2 ef
Επειδή η f είναι συνεχής στο [1,2] και ισχύει 0)2()1( ff σύμφωνα με το θεώρημα
Bolzano, η f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (1,2).
6. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να αποδείξετε ότι οι γραφικές
παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο
i) xexf )( και x
xg1
)(
ii) xxf ln)( και x
xg1
)(
Απάντηση:
i) Για να έχουν οι γραφικές παραστάσεις ακριβώς ένα κοινό σημείο, θα πρέπει η
εξίσωση )()( xgxf να έχει μόνο μία λύση.
Η συνάρτηση xexf )( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA και ισχύει ότι
0)( xexf για *Rx . Άρα η xexf )( είναι γνησίως αύξουσα. Δηλαδή αν
),0(, 21 xx με 21 xx θα ισχύει :
21)()( 21
xx eexfxf (1)
Η συνάρτηση x
xg1
)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο *RA και ισχύει ότι
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 101
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
01
)( x
xg για ),0( x και 01
)( x
xg για )0,(x . Άρα η x
xg1
)( είναι
γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ),0( B . Δηλαδή αν ),0(, 21 xx με 21 xx
θα ισχύει :
21
21
11)()(
xxxgxg (2)
Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι για να βρούμε την κοινή λύση της εξίσωσης
)()( xgxf πρέπει να περιοριστούμε στο διάστημα ),0( B .
Θεωρούμε στη συνέχεια τη συνάρτηση στο διάστημα ),0( B :
xexgxfxh x 1
)()()(
Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο διάστημα ),0( B ως άθροισμα συνεχών
συναρτήσεων. Επιπλέον αν ),0(, 21 xx με 21 xx θα ισχύει σύμφωνα με τις
σχέσεις (1) και (2):
2121
1111
2121
xx
ee
xx
eexxxx
Προσθέτουμε τις σχέσεις κατά μέλη και έχουμε:
)()(11
1121
2121
21
21
xhxhx
ex
e
xx
eexx
xx
Επομένως η συνάρτηση x
exgxfxh x 1)()()( είναι γνησίως αύξουσα στο
διάστημα ),0( B . Στη συνέχεια θα βρούμε το σύνολο τιμών της )(xh . Θα
έχουμε:
)1
(lim)(lim00 x
exh x
xx
)1
(lim)(limx
exh x
xx
Επομένως το σύνολο τιμών της )(xh είναι το διάστημα RA ),( . Όμως η
συνάρτηση )(xh είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ),0( B και ως εκ τούτου
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 102
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
η συνάρτηση x
exgxfxh x 1)()()( έχει μόνο μία ρίζα στο διάστημα
),0( B .
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η εξίσωση )()( xgxf έχει μόνο μία ρίζα στο
διάστημα ),0( B .
ii) Για να έχουν οι γραφικές παραστάσεις ακριβώς ένα κοινό σημείο, θα πρέπει η
εξίσωση )()( xgxf να έχει μόνο μία λύση.
Η συνάρτηση xxf ln)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),0( B και ισχύει ότι
η xxf ln)( είναι γνησίως αύξουσα. Δηλαδή αν ),0(, 21 xx με 21 xx θα
ισχύει :
2121 lnln)()( xxxfxf (1)
Η συνάρτηση x
xg1
)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο *RA και ισχύει ότι
01
)( x
xg για ),0( x και 01
)( x
xg για )0,(x . Άρα η x
xg1
)( είναι
γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ),0( B . Δηλαδή αν ),0(, 21 xx με 21 xx
θα ισχύει :
21
21
11)()(
xxxgxg (2)
Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι για να βρούμε την κοινή λύση της εξίσωσης
)()( xgxf πρέπει να περιοριστούμε στο διάστημα ),0( B .
Θεωρούμε στη συνέχεια τη συνάρτηση στο διάστημα ),0( B :
xxxgxfxh
1ln)()()(
Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο διάστημα ),0( B ως άθροισμα συνεχών
συναρτήσεων. Επιπλέον αν ),0(, 21 xx με 21 xx θα ισχύει σύμφωνα με τις
σχέσεις (1) και (2):
21
21
21
21
11
lnln
11
lnln
xx
xx
xx
xx
Προσθέτουμε τις σχέσεις κατά μέλη και έχουμε:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 103
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
)()(1
ln1
ln11
lnln
21
2
2
1
1
21
21
xhxhx
xx
x
xx
xx
Επομένως η συνάρτηση x
xxgxfxh1
ln)()()( είναι γνησίως αύξουσα στο
διάστημα ),0( B . Στη συνέχεια θα βρούμε το σύνολο τιμών της )(xh . Θα
έχουμε:
)1
(lnlim)(lim00 x
xxhxx
)1
(lnlim)(limx
xxhxx
Επομένως το σύνολο τιμών της )(xh είναι το διάστημα RA ),( . Όμως η
συνάρτηση )(xh είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ),0( B και ως εκ τούτου
η συνάρτηση x
xxgxfxh1
ln)()()( έχει μόνο μία ρίζα στο διάστημα
),0( B .
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η εξίσωση )()( xgxf έχει μόνο μία ρίζα στο
διάστημα ),0( B .
7. i) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [−1,1] , για την οποία ισχύει
1)(22 xfx για κάθε x ϵ [−1,1].
α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0.
β) Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί το πρόσημό της στο διάστημα (−1,1).
γ) Ποιος μπορεί να είναι ο τύπος της f και ποια η γραφική της παράσταση;
ii)Με ανάλογο τρόπο να βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης f στο σύνολο
R, για την οποία ισχύει 22 )( xxf για κάθε x ϵ R.
Απάντηση:
i) Έχουμε για κάθε x ϵ [−1,1]:
2222 1)(1)( xxfxfx
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 104
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
α) Στη συνέχεια θα βρούμε τις ρίζες τις εξίσωσης 0)( xf . Θα έχουμε:
110)1)(1(010)(0)( 22 xήxxxxxfxf
Επομένως οι λύσεις της 0)( xf στο διάστημα [−1,1] είναι οι 11 xήx .
β) Η συνάρτηση )(xf είναι συνεχής στο διάστημα (−1,1) και δεν έχει ρίζα στο
διάστημα αυτό σύμφωνα με το ερώτημα α. Επομένως η συνάρτηση )(xf διατηρεί
το πρόσημό της στο διάστημα (−1,1).
γ) Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
Αν 0)( xf στο διάστημα (−1,1) τότε θα έχουμε:
222 1)(1)( xxfxxf
Επίσης επειδή οι 11 xήx είναι ρίζες της 0)( xf ο τύπος της
)(xf είναι ο 21)( xxf στο διάστημα [−1,1].
Αν 0)( xf στο διάστημα (−1,1) τότε θα έχουμε:
222 1)(1)( xxfxxf
Επίσης επειδή οι 11 xήx είναι ρίζες της 0)( xf ο τύπος της
)(xf είναι ο 21)( xxf στο διάστημα [−1,1].
Η γραφική παράσταση της )(xf για κάθε περίπτωση φαίνεται στο παρακάτω
σχήμα:
ii) α) Θα βρούμε τις ρίζες τις εξίσωσης 0)( xf . Θα έχουμε:
000)(0)( 22 xxxfxf
Επομένως η λύση της 0)( xf στο σύνολο RA είναι μοναδική και είναι η 0x .
β) Η συνάρτηση )(xf είναι συνεχής στο διάστημα )0,( και δεν έχει ρίζα στο
διάστημα αυτό σύμφωνα με το ερώτημα α. Επομένως η συνάρτηση )(xf διατηρεί
το πρόσημό της στο διάστημα )0,( . Ομοίως Η συνάρτηση )(xf είναι συνεχής
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 105
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
στο διάστημα ),0( και δεν έχει ρίζα στο διάστημα αυτό σύμφωνα με το ερώτημα
α. Επομένως η συνάρτηση )(xf διατηρεί το πρόσημό της στο διάστημα ),0( .
γ) Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
Αν 0)( xf στο διάστημα )0,( τότε θα έχουμε:
xxfxxf )()( 22 αφού 0x
Επίσης επειδή η 0x είναι ρίζα της 0)( xf ο τύπος της )(xf είναι ο
xxf )( στο διάστημα ]0,( .
Αν 0)( xf στο διάστημα )0,( τότε θα έχουμε:
xxfxxf )()( 22 αφού 0x
Επίσης επειδή η 0x είναι ρίζα της 0)( xf ο τύπος της )(xf είναι ο
xxf )( στο διάστημα ]0,( .
Αν 0)( xf στο διάστημα ),0( τότε θα έχουμε:
xxfxxf )()( 22 αφού 0x
Επίσης επειδή η 0x είναι ρίζα της 0)( xf ο τύπος της )(xf είναι ο
xxf )( στο διάστημα ),0[ .
Αν 0)( xf στο διάστημα ),0( τότε θα έχουμε:
xxfxxf )()( 22 αφού 0x
Επίσης επειδή η 0x είναι ρίζα της 0)( xf ο τύπος της )(xf είναι ο
xxf )( στο διάστημα ),0[ .
Συνοψίζοντας η )(xf είναι δυνατό να έχει έναν από τους παρακάτω τύπους:
1. xxf )( , Rx
2. xxf )( , Rx
3. xxf )( , Rx
4. xxf )( , Rx
Η γραφική παράσταση της )(xf για κάθε περίπτωση φαίνεται στο παρακάτω
σχήμα:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 106
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
8. Δίνεται το τετράγωνο ΟΑΒΓ του διπλανού σχήματος και μία συνεχής στο [0,1]
συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο
τετράγωνο αυτό.
i) Να βρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων του τετραγώνου και
ii) Να αποδείξετε με το θεώρημα του Bolzano ότι η C f τέμνει και τις δύο
διαγώνιες.
Απάντηση:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 107
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
i) H εξίσωση της διαγωνίου ΟΒ του τετραγώνου (σύμφωνα με τον τύπο
υπολογισμού εξίσωσης ευθείας με δύο γνωστά σημεία) θα είναι η:
xyxy
)0(
01
010
H εξίσωση της διαγωνίου ΑΓ του τετραγώνου (σύμφωνα με τον τύπο υπολογισμού
εξίσωσης ευθείας με δύο γνωστά σημεία) θα είναι η:
1)1(10
010
xyxy
ii) Σύμφωνα με την εκφώνηση, η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [0,1] και
η γραφική της παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΟΑΒΓ.
Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης f θα είναι υποσύνολο του διαστήματος
[0,1], δηλαδή θα ισχύει η σχέση:
1)(0 xf με ]1,0[x (1)
Για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f τέμνει τη διαγώνιο xy , θα πρέπει να
αποδείξουμε ότι η εξίσωση xxf )( έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ]1,0[ .
Θεωρούμε τη συνάρτηση xxfxh )()( . Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο
διάστημα ]1,0[ ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Ισχύει επίσης:
0)0()0(0)0()0()1(
fhfh
11)1()1(1)1()1()1(
fhfh
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
Αν 0)0( h τότε 0)0( f . Τότε η εξίσωση xxf )( έχει ως ρίζα την 0x
και η συνάρτηση )(xf τέμνει τη διαγώνιο xy στο σημείο Ο(0,0).
Αν 0)1( h τότε 1)1( f . Τότε η εξίσωση xxf )( έχει ως ρίζα την 1x
και η συνάρτηση )(xf τέμνει τη διαγώνιο xy στο σημείο Α(1,1).
Αν 0)1()0( hh τότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει
τουλάχιστον ένα )1,0(ox τέτοιο ώστε ooo xxfxh )(0)( και η
συνάρτηση )(xf τέμνει τη διαγώνιο xy στο σημείο Ρ(xo, xo).
Άρα σε κάθε περίπτωση η συνάρτηση )(xf τέμνει τη διαγώνιο xy .
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 108
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f τέμνει τη διαγώνιο 1 xy , θα πρέπει να
αποδείξουμε ότι η εξίσωση 1)( xxf έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα
]1,0[ .
Θεωρούμε τη συνάρτηση 1)()( xxfxz . Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο
διάστημα ]1,0[ ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Ισχύει επίσης:
01)0()0(10)0()0()1(
fzfz
0)1()1(11)1()1()1(
fzfz
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
Αν 0)0( z τότε 1)0( f . Τότε η εξίσωση 1)( xxf έχει ως ρίζα την
0x και η συνάρτηση )(xf τέμνει τη διαγώνιο 1 xy στο σημείο
Γ(0,1).
Αν 0)1( z τότε 0)1( f . Τότε η εξίσωση 1)( xxf έχει ως ρίζα την
1x και η συνάρτηση )(xf τέμνει τη διαγώνιο 1 xy στο σημείο
Α(1,0).
Αν 0)1()0( zz τότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει
τουλάχιστον ένα )1,0(o τέτοιο ώστε 1)(0)( ooo fz και η
συνάρτηση )(xf τέμνει τη διαγώνιο 1 xy στο σημείο :(ξo,ξo).
Άρα σε κάθε περίπτωση η συνάρτηση )(xf τέμνει τη διαγώνιο 1 xy .
9. Στο διπλανό σχήμα η καμπύλη C είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f
που είναι συνεχής στο [α, β] και το M0(x0,y0) είναι ένα σημείο του επιπέδου,
i) Να βρείτε τον τύπο της απόστασης d(x) = (M0M) του σημείου M0(x0,y0) από
το σημείο M(x,f(x)) της C f για κάθε x ϵ [α, β] .
ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση d είναι συνεχής στο [α,β] και στη συνέχεια
ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, σημείο της Cf που απέχει από το M0 λιγότερο από
ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της και ένα, τουλάχιστον, σημείο της Cf που
απέχει από το M0 περισσότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 109
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Απάντηση:
i) Η απόσταση d(x) = (M0M) του σημείου M0(x0,y0) από το σημείο M(x,f(x)) της C f για
κάθε x ϵ [α, β] είναι:
22 ))(()( oo yxfxxd με ],[ ax
ii) Η συνάρτηση d είναι συνεχής στο ],[ a ως ρίζα αθροίσματος συνεχών
συναρτήσεων. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής θα
υπάρχει κάποιο ],[1 ax για το οποίο η συνάρτηση d θα πάρει τη μέγιστη τιμή
της και κάποιο ],[2 ax για το οποίο η συνάρτηση d θα πάρει την ελάχιστη τιμή
της.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 110
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
I.
Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο
ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής,
αιτιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας.
1. Αν xxf ln)( και xexg )( , τότε
α) x
xgof1
))(( , *Rx
β) xxfog ))(( , Rx
Απάντηση:
α) H συνάρτηση xxf ln)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),0( A ενώ η
συνάρτηση xexg )( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RB .
Το πεδίο ορισμού της gof αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού
της f για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο:
),0()(),0( xRxfx
Επομένως η gof ορίζεται για κάθε ),0( x και όχι για *Rx .
Επομένως η πρόταση είναι ΨΕΥΔΗΣ.
β) Το πεδίο ορισμού της fog αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου
ορισμού της f για τα οποία το g(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της f. Δηλαδή είναι το
σύνολο:
RxxgRx ),0()(
Επομένως η fog ορίζεται για κάθε Rx και έχει τύπο:
xexeefxgfxfog xx ln)()ln()())(())((
Επομένως η πρόταση είναι ΑΛΗΘΗΣ.
2. Αν Rlx
xf
x
1
)(lim
1, τότε 0)(lim
1
xf
x
Απάντηση:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 111
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Θέτουμε 1
)()(
x
xfxg για 1x . Ισχύει ότι l
x
xfxg
xx
1
)(lim)(lim
11
Θα έχουμε: )1)(()(1
)()(
xxgxf
x
xfxg
Υπολογίζουμε στη συνέχεια το όριο:
00)1(lim)(lim)]1)(([lim)(lim1111
lxxgxxgxfxxxx
Επομένως η πρόταση είναι ΑΛΗΘΗΣ.
3. Είναι 01
lim01
limlim1
lim2020020
xxxxx
xxx
xxxx.
Απάντηση:
Το όριο xxx 20
1lim μας δίνει αποτέλεσμα ή . Επομένως ο πολλαπλασιασμός
xxx
20
1lim0 δεν δίνει αποτέλεσμα 0 καθώς προκύπτει απροσδιόριστη μορφή
( 0 ή 0 ).
Επομένως η πρόταση είναι ΨΕΥΔΗΣ.
4. Αν 1)( xf για κάθε Rx και υπάρχει το )(lim0
xfx
, τότε κατ’ ανάγκη
1)(lim0
xfx
.
Απάντηση:
Η παραπάνω πρόταση είναι ΨΕΥΔΗΣ διότι μπορεί το όριο να είναι και ίσο με 1,
δηλαδή να ισχύει 1)(lim0
xfx
.
Για παράδειγμα αν έχουμε τη συνάρτηση: 0,
0,
4
1)(
2
x
xxxf για την οποία
ισχύει 1)( xf για κάθε Rx , το όριο θα είναι: 1)(lim0
xfx
.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 112
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
5. Ισχύει:
α) 11
lim
x
xx
β) 1lim x
x
x
Απάντηση:
α) Θέτουμε u
xux
11 οπότε για 0
1 u
x θα έχουμε:
1lim1
lim1
lim00
u
uu
uxx
uux
Επομένως η πρόταση είναι ΑΛΗΘΗΣ.
β) Ισχύει ότι:
xx
xx
x 11
Η παραπάνω σχέση γράφεται:
xx
x
xxx
x 111
Γνωρίζουμε ότι ισχύει:
01
lim xx
Επομένως από το κριτήριο της παρεμβολής προκύπτει ότι:
0lim x
x
x
Επομένως η πρόταση είναι ΨΕΥΔΗΣ.
6. Αν 1)(0 xf κοντά στο 0, τότε 0))((lim 2
0
xfx
x.
Απάντηση:
Θα έχουμε:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 113
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
22 )(01)(0 xxfxxf
Γνωρίζουμε ότι ισχύει:
0lim 2
0
x
x
Επομένως από το κριτήριο της παρεμβολής προκύπτει ότι:
0))((lim 2
0
xfx
x
Επομένως η πρόταση είναι ΑΛΗΘΗΣ.
7. Αν 2
1)(
xxf , ),( ax , τότε κατ’ ανάγκη θα είναι 0)(lim
xf
x.
Απάντηση:
Η πρόταση είναι ΨΕΥΔΗΣ γιατί η συνάρτηση f μπορεί να μην έχει καν όριο στο .
8. Αν υπάρχει το )()(lim6
xgxfx
, τότε είναι ίσο με )6()6( gf .
Απάντηση:
Η πρόταση είναι ΨΕΥΔΗΣ γιατί η συνάρτηση )()( xgxf μπορεί να μην είναι
συνεχής στο 6.
9. Αν 1)(lim
xfoxx
, τότε κατ’ ανάγκη θα είναι 1)(lim
xfoxx
ή 1)(lim
xfoxx
.
Απάντηση:
Η πρόταση είναι ΨΕΥΔΗΣ γιατί το )(lim xfoxx
μπορεί να μην υπάρχει.
10. Αν 0)(lim
xfoxx
, τότε 0)(lim
xfoxx
.
Απάντηση:
Από τον ορισμό του ορίου ισχύει:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 114
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
0)(lim0])([lim)(lim
lxflxflxfooo xxxxxx
Για 0l προκύπτει 0)(lim
xfoxx
Επομένως η πρόταση είναι ΑΛΗΘΗΣ.
11. Αν η f είναι συνεχής στο R και για 4x ισχύει 4
127)(
2
x
xxxf , τότε το
)4(f είναι ίσο με 1.
Απάντηση:
Η f είναι συνεχής στο R επομένως ισχύει:
4
127lim)4(lim)4(
2
44
x
xxff
xx
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 1272 xx :
148491214)7( 2
Επομένως οι ρίζες του πολυωνύμου θα είναι οι:
42
8
2
17
12
1)7(1
x
32
6
2
17
12
1)7(2
x
Επομένως το όριο γράφεται:
134)3(lim4
)3)(4(lim
4
127lim)4(lim)4(
44
2
44
x
x
xx
x
xxff
xxxx
Επομένως η πρόταση είναι ΑΛΗΘΗΣ.
12. Αν η f είναι συνεχής στο [-1,1] και 4)1( f , 3)1( f , τότε υπάρχει
πραγματικός αριθμός )1,1(ox τέτοιος ώστε )( oxf .
Απάντηση:
H f είναι συνεχής στο [-1,1]. Επίσης ισχύει ότι: )1()1( ff και 43 .
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 115
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Επομένως από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών θα υπάρχει πραγματικός αριθμός
)1,1(ox τέτοιος ώστε )( oxf .
Επομένως η πρόταση είναι ΑΛΗΘΗΣ.
IΙ.
Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις:
1. Αν lxfoxx
)(lim , mxgoxx
)(lim , Rml , και )()( xgxf κοντά στο ox , τότε κατ’
ανάγκη θα είναι:
Α) ml
Β) ml
Γ) ml
Δ) ml
Ε) lm
Απάντηση:
Γνωρίζουμε ότι αν οι συναρτήσεις f και g έχουν όριο στο },{ Rxo και
ισχύει )()( xgxf κοντά στο ox τότε ισχύει: )(lim)(lim xgxfoo xxxx
, (Θεώρημα 2
σελ. 166 και σελ. 184 του σχολικού βιβλίου). Επομένως σωστή απάντηση είναι η Β.
2. Το όριο 32
32
)1(
)21(lim
x
x
x είναι ίσο με:
Α) 8
Β) 1
Γ) 0
Δ)
Ε) -8
Απάντηση:
Θα έχουμε:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 116
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
81
)2(
)1
1(
)21
(
lim
)1
1(
)21
(
lim
)1
1(
)21
(
lim)1(
)21(lim
3
3
3
2
3
2
3
2
6
3
2
6
3
2
2
3
2
2
32
32
x
x
xx
xx
xx
xx
x
x
xxxx
Επομένως σωστή απάντηση είναι η Ε.
3. Το 2
2323 1lim
x
xxxx
x
είναι ίσο με:
Α)
Β)
Γ) 1
Δ) -1
Ε) 0
Απάντηση:
Η συνάρτηση 2
2323 1
x
xxxx ορίζεται για 0x .
Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα ),0( :
01
lim1
lim1
lim22
23230
2
2323
xx
xxxx
x
xxxx
xx
x
x
Επομένως σωστή απάντηση είναι η Ε.
4. Αν το xx
xxx
oxx
3
23 2lim δεν υπάρχει τότε:
Α) 0ox
Β) 2ox
Γ) 1ox
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 117
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Δ) 1ox
Απάντηση:
Θα έχουμε:
)1(
2lim
)1)(1(
]1)1)[(1(lim
)1)(1(
)1()1)(1(lim
)1(
)1()1(limlim
2lim
2
2
3
23
3
23
x
x
xxx
xxx
xxx
xxxxx
xx
xxxx
xx
xxxx
xx
xxx
ooo
ooo
xxxxxx
xxxxxx
Για να μην υπάρχει το παραπάνω όριο θα πρέπει να ισούται με ή . Για να
συμβαίνει αυτό θα πρέπει ο παρανομαστής να δίνει ως αποτέλεσμα 0. Αυτό ισχύει
για :
101 oo xx
Τότε
)1(
2lim
1 x
x
x και το όριο δεν υπάρχει.
Επομένως σωστή απάντηση είναι η Δ.
IΙΙ.
1. Δίνονται οι συναρτήσεις
1)2(
1)(
2
xxf και
1
1)(
2
xxg
Από τους παρακάτω ισχυρισμούς λάθος είναι ο :
Α) η g είναι συνεχής στο 2
Β) η f είναι συνεχής στο 1
Γ) η g έχει δυο σημεία στα οποία δεν είναι συνεχής
Δ) 1)(lim
xfx
Απάντηση:
Η συνάρτηση 1
1)(
2
xxg είναι συνεχής ως ρητή συνάρτηση στο πεδίο ορισμού
της. Επομένως είναι λανθασμένη η πρόταση Γ.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 118
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
2. Ποια από τα παρακάτω όρια είναι καλώς ορισμένα;
Α) 1lim 20
0
xx
x
Β) 1lim 20
0
xx
x
Γ) 13lim 9
xxx
Δ) 13lim 9
xxx
Ε) )]1[ln(lim 3
0
xx
x
ΣΤ) )]1[ln(lim 3
0
xx
x
Απάντηση:
Σωστά ορισμένα είναι τα όρια Α, Γ και Ε καθώς στα υπόλοιπα προκύπτει αρνητική
τιμή μέσα στη ρίζα ή το λογάριθμο.
3. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα Δ = [0,3] , με f(0) =2,
f(1) =1 και f(3) = −1. Ποιος από τους παρακάτω ισχυρισμούς δεν προκύπτει κατ'
ανάγκη από τις υποθέσεις;
Α) Υπάρχει x0 ϵ (0,3) τέτοιος, ώστε f(x0) = 0.
Β) 1)(lim3
xfx
Γ) )2()(lim2
fxfx
Δ) [−1,2] ⊆ f(Δ)
Ε) Η μέγιστη τιμή της f στο [0,3] είναι το 2 και η ελάχιστη τιμή της το −1.
Απάντηση:
Η πρόταση Ε δεν προκύπτει κατ' ανάγκη από τις υποθέσεις καθώς δεν γνωρίζουμε
τη μονοτονία της συνάρτησης.