Matematika Terapan

Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 2

PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKAJl. Kolonel Wahid Udin Lk. I Kel. Kayuara, Sekayu 30711

web:www.polsky.ac.id mail: polsky@polsky.ac.idTel. / Fax.: +62 714 321099

12/24/2016

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalahsuatu himpunan yang elemennya merupakan semuahimpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosongdan himpunan A sendiri. dan himpunan A sendiri.

Notasi : P(A) atau 2A

Jika A = m, maka P(A) = 2m.

2/24/2016 2

Himpunan Kuasa

Contoh

Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

ContohContoh

Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P()= {}, dan himpunan kuasa dari himpunan {}adalah P({}) = {, {}}.

2/24/2016 3

Operasi Terhadap Himpunan

2/24/2016 4

Operasi Terhadap Himpunan

a. Irisan (intersection)

b. Gabungan (union)

c. Komplemen (complement)c. Komplemen (complement)

d. Selisih (difference)

e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)

f. Perkalian Kartesian (cartesian product)

2/24/2016 5

Irisan (intersection)

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunanyang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A danhimpunan BNotasi : A B = { x x A dan x B }

2/24/2016 6

Jika dua himpunan saling lepas,maka irisannya adalah himpunankosong, karena tidak ada elemen yang sama yang terdapat didalamkedua himpunan tersebut

Irisan (intersection) cont…

Contoh

(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},

maka A B = {4, 10}

(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka

A B = .

Artinya: A // B

2/24/2016 7

Gabungan (union)

Gabungan (union)dari himpunan A dan B adalah himpunanyang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atauhimpunan B.Notasi : A B = { x x A atau x B }

Contoh

(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }

(ii) A = A

2/24/2016 8

Komplemen (complement)

Notasi : = { x x U, x A }

Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunansemesta U adalah suatu Himpunan yang elemennyamerupakan elemen U yang bukan elemen A.

Contoh

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}

jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }A

A

2/24/2016 9

Komplemen (complement)

ContohMisalkan:A = himpunan semua mobil buatan dalam negeriB = himpunan semua mobil imporC = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 jutaD = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 jutaE = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

i. “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpordari luar negeri” (E A) (E B) atau E (A B)

ii. “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” A C D

iii. “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai juallebih dari Rp 100 juta” BDC

2/24/2016 10

Selisih (difference)

Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A B

Selisih dari 2 himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennyamerupakan Elemen dari A tetapi bukan elemen dari B. selisih antara A dan Bdapat juga dikatakan Sebagai komplemen himpunan B relatif terhadaphimpunan A.

Contoh(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B

= { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = (ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

2/24/2016 11

2/24/2016 12

Beda Setangkup (Symmetric Difference) = Jumlah dua himpunan

Notasi: A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)

Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunanyang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak padakeduanya.

Notasi: A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)

Contoh

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }

2/24/2016 13

Beda Setangkup(Symmetric Difference)

Contoh :MisalkanU = himpunan mahasiswaP = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS

keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujiandi atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah80.

“Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Q“Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Q“Semua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P Q)

2/24/2016 14

Beda Setangkup(Symmetric Difference)

TEOREMA: Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

(a) A B = B A (hukum komutatif)(a) A B = B A (hukum komutatif)

(b) (A B ) C = A (B C )

(hukum asosiatif)

2/24/2016 15

CARTESIAN PRODUCT(PERKALIAN KARTESIAN)

• Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B }

Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalahhimpunan yang elemennya semua pasangan Berurutan(ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertama darihimpunan Adan komponen kedua dari himpunan B

• Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B }• Contoh

(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, makaC D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, makaA B = himpunan semua titik di bidang datar

2/24/2016 16

CARTESIAN PRODUCT(PERKALIAN KARTESIAN)

• Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A . B.

• Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), • Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a).

• Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong.

• Jika A = atau B = , maka A B = B A =

2/24/2016 17

CARTESIAN PRODUCT(PERKALIAN KARTESIAN)

Contoh : Misalkan

A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasigoreng, m = mie rebus }

B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }

Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapatdisusun dari kedua himpunan di atas?

Jawab: 4 x 3 = 12 yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.

2/24/2016 18

CARTESIAN PRODUCT(PERKALIAN KARTESIAN)

Contoh : Daftarkan semua anggota himpunan berikut:

(a) P() (b) P() (c) {} P() (d) P(P({3}))

• Penyelesaian:

(a) P() = {}(a) P() = {}

(b) P() =

(ket: jika A = atau B = maka A B = )

(c) {} P() = {} {} = {(,))

(d) P(P({3})) = P({ , {3} }) = {, {}, {{3}}, {, {3}} }

2/24/2016 19

Perampatan Operasi Himpunan

Operasi himpunan dapat dilakukan terhadap 2 atau lebihhimpunan. Dalam hal ini dapat Dilakukan perampatan(generalization) operasi Himpunan dengan menggunakan dasarperampatan Yang ada pada operasi aritmatika biasa.

n

iinAAAA

121...

n

iinAAAA

121...

i

n

inAAAA

121...

i

n

inAAAA

121...

2/24/2016 20

perampatan Yang ada pada operasi aritmatika biasa.

Perampatan Operasi Himpunan

• Contoh

A (B1 B2 ... Bn) = (A B1) (A

B2) ... (A Bn) B2) ... (A Bn)

n

ii

n

ii

BABA11

)()(

2/24/2016 21

Hukum-hukumAljabar Himpunan

• Hukum identitas:

– A Ø = A

– A U = A

• Hukum null/dominasi:• Hukum null/dominasi:

– A Ø = Ø

– A U = U

• Hukum komplemen:

– A Ā = U

– A Ā = Ø

2/24/2016 22

Hukum-hukumAljabar Himpunan

• Hukum idempoten:

– A A = A

– A A = A

• Hukum involusi:

– = A

• Hukum penyerapan (absorpsi):

– A (A B) = A

– A (A B) = A

)(A

2/24/2016 23

Hukum-hukumAljabar Himpunan

• Hukum komutatif:

– A B = B A

– A B = B A

• Hukum asosiatif:• Hukum asosiatif:

– A (B C) = (A B) C

– A (B C) = (A B) C

2/24/2016 24

Hukum-hukumAljabar Himpunan

• Hukum distributif:

– A (B C) = (A B) (A C)

– A (B C) = (A B) (A C)

• Hukum De Morgan:• Hukum De Morgan:

– =

– =

BA BA

BA BA

2/24/2016 25

Hukum-hukumAljabar Himpunan

• Hukum 0/1

– = U

– =

U = U

2/24/2016 26

Prinsip Dualitas

Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapatdipertukarkan namun tetap memberikanjawaban yang benar.

2/24/2016 27

Prinsip Dualitas

Contoh: AS kemudi mobil di kiri depanIndonesia) kemudi mobil di kanan depan

Peraturan:a. di Amerika Serikat,

mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung

b. di Inggris,mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung

• Prinsip dualitas:Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehinggaperaturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Indonesia.

2/24/2016 28

Prinsip Dualitas pada Himpunan

Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yangmelibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S denganmengganti , , Ø U, U Ø ,mengganti , , Ø U, U Ø ,sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula,maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual darikesamaan S.

2/24/2016 29

Prinsip Inklusi-Eksklusi

• Untuk dua himpunan A dan B:

– A B = A + B – A B

– A B = A +B – 2A B– A B = A +B – 2A B

• Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku

– A B C = A + B + C – A B – A C – B C + A B C

2/24/2016 30

Prinsip Inklusi-Eksklusi

• Contoh: Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?

Penyelesaian: Penyelesaian:

A = 100/3 = 33,

B = 100/5 = 20,

A B = 100/15 = 6

A B = A + B – A B = 33 + 20 – 6 = 47

Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.

2/24/2016 31

Sebanyak 1232 orang mahasiswa mengambil kuliahbahasa inggris, 879 orang mengambil kuliah bahasaperancis,dan 114 mengambil kuliah bahasa jerman.Sebanyak 103 orang mengambil kuliah bahasainggris dan prancis. 23 orang mengambil kuliahbahasa inggris dan jerman. 14 orang mengambilinggris dan prancis. 23 orang mengambil kuliahbahasa inggris dan jerman. 14 orang mengambilkuliah bahasa inggris dan bahasa jerman. Jika 2092orang mengambil paling sedikit satu buah kuliahbahasa inggris, bahasa perancis dan bahasa jerman,berapa banyak mahasiswa yang mengambil kuliahketiga buah bahasa tersebut.

2/24/2016 32

Partisi

Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulanhimpunan bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikiansehingga:

– A1 A2 … = A, dan– Ai Aj = untuk i j – Ai Aj = untuk i j

• Contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.

• Partisi membagi himpunan A menjadi beberapa buah“blok”. Pada contoh diatas, himpunan A dibagi menjadi 4 buah blok yaitu {1}, {2, 3, 4}, {7, 8} dan {5, 6}. Jikahimpunan A terbatas jumlah elemennya, maka jumlahpartisi yang dapat dibentuk tidak lebih banyak dari |A|

2/24/2016 33

Himpunan Ganda

• Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidakharus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).

misal : {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}. misal : {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.

• Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunanganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebutpada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.

2/24/2016 34

Himpunan Ganda

• Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatumultiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiapelemennya adalah 0 atau 1.

• Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagaikardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalammultiset semua berbeda.

2/24/2016 35

Operasi Antara Dua Buah Multiset

Misalkan P dan Q adalah multiset:

• P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennyasama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut padahimpunan P dan Q.

Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c }, Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c },

maka P Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }

• P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennyasama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut padahimpunan P dan Q.

Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c }

maka P Q = { a, a, c }

2/24/2016 36

Operasi Antara Dua Buah Multiset

• P – Q adalah suatu multiset yang multiplisitaselemennya sama dengan

– multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangimultiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positifmultiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif

– 0 jika selisihnya nol atau negatif.

• Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = { a, a, b, b, b, c, c, d, d, f } maka P – Q = { a, e }

2/24/2016 37

Operasi Antara Dua Buah Multiset

• P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) duabuah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahandari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.

• Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d },

P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }

2/24/2016 38

Pembuktian Proposisi Himpunan

2/24/2016 39

Pembuktian dengan menggunakandiagram venn

• Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn

Contoh Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A (B C) = (A B) (A C) dengan diagram Venn.

Bukti:

A (B C) (A B) (A C)

2/24/2016 40

Pembuktian dengan menggunakantabel keanggotaan

• Pembuktikan dengan menggunakan tabelkeanggotaan

• Contoh: Misalkan A, B, dan C adalahhimpunan. Buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A C).

2/24/2016 41

Pembuktian dengan menggunakantabel keanggotaan

A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

2/24/2016 42

B

• Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A B) (A ) = A

• Bukti: (A B) (A ) = A (B ) (Hukum distributif)

B

B

Pembuktian dengan menggunakanaljabar himpunan.

B(A B) (A ) = A (B ) (Hukum distributif)

= A U (Hukum komplemen)= A (Hukum identitas)

B

2/24/2016 43

B

Pembuktian dengan menggunakandefinisi

– Metode ini digunakan untuk membuktikanpernyataan himpunan yang tidak berbentukkesamaan, tetapi pernyataan yang berbentukkesamaan, tetapi pernyataan yang berbentukimplikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebutterdapat notasi himpunan bagian ( atau ).

2/24/2016 44

Pembuktian dengan menggunakandefinisi

Contoh : Misalkan A dan B himpunan. Jika A B = dan A (B C) maka A C. Buktikan!

Bukti:i. Dari definisi himpunan bagian, P Q jika dan hanya jika

setiap x P juga Q. Misalkan x A. Karena A (B C), setiap x P juga Q. Misalkan x A. Karena A (B C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga (B C). Dari definisi operasi gabungan (), x (B C) berarti x Batau x C.

Ii Karena x A dan A B = , maka x B

Dari (i) dan (ii), x C harus benar. Karena x A juga berlaku x C, maka dapat disimpulkan A C .

2/24/2016 45

Next…Himpunan FuzzyHimpunan Fuzzy

2/24/2016 46

Referensi : Munir, Rinaldi,MatematikaDiskrit, Penerbit Informatika,

2/24/2016 47

Diskrit, Penerbit Informatika, 2012.