dorofeev, potapov, rozov. matematike - desconhecido

8/19/2019 Dorofeev, Potapov, Rozov. Matematike - Desconhecido

1/2226

Г.В.Дорофеев, М.КПотапов,Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПОМАТЕМАТИКЕ ДЛЯПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ(избранные вопросыэлементарной математики) Книгапредназначена для лиц,желающих углубить и расширитьсвои знания по математике передвступительным экзаменом ввысшее учебное заведение.Особенно полезной она может

оказаться слушателямподготовительных отделенийвузов. Учителя средней школы

найдут в ней богатый материал понекоторым узловым темам


2/2226

школьной программы. В книгеизложены отдельные важныетеоретические вопросы,подкрепленные большимколичеством разобранныхконкурсных задач. Особоевнимание авторы уделяют логикерешений, подробно обсуждаюттипичные ошибки поступающих.Книга снабжена упражнениями,взятыми из опыта приемныхэкзаменов. При подготовке пятого

издания книга подвергласьпереработке, имевшей цельюучесть опыт приемных экзаменов

последних лет. ОГЛАВЛЕНИЕ Кчитателю 5 Программа


3/2226

вступительных 11 экзаменов поматематике A975г.) Раздел 1.Арифметика и алгебра 19 § 1.Общие замечания 19 A.Определения и теоремы 20 Б.Целые, рациональные и 25иррациональные числа B.Логарифмы 35 Г. Прогрессии 44Д. Уравнения и системы 57уравнений Е. Методматематической 70 индукции § 2.Некоторые сведения о 79

действительных числах § 3.Графики функций 98 § 4.«Текстовые» задачи 126 § 5.

Решение уравнений 166 § 6.Решение неравенств 197 § 7.


4/2226

Доказательство неравенств 226Раздел П. Тригонометрия 254 § 1.Общие замечания 254 A.Определения 254тригонометрических функций Б.Тригонометрические формулы256 B. Решение простейших 264тригонометрических уравнений §2. Тригонометрические 271преобразования § 3.Тригонометрические 285уравнения и системы Раздел Ш.

Геометрия 318 § 1. Общиезамечания 318 A. Определения итеоремы 319 Б. Чертеж в

геометрической 328 задаче B.Доказательства в геометрии 348 Г


5/2226

Геометрическое воображение 375§ 2. Геометрические решения 392задач § 3. Аналитические решени423 задач § 4. Прямые иплоскости в 449 пространстве § 5Комбинации тел 476 § 6. Сечениямногогранников 504 Раздел IV.«Нестандартные» 522 задачи § 1.Задачи, нестандартные по 524внешнему виду § 2. Задачи, гденаиболее 543 существенныетрудности — логические § 3.

Задачи, связанные с 568расположением корнейквадратного трехчлена Раздел V.

О вступительных 581 экзаменахпо математике § 1. Устный


6/2226

экзамен 581 § 2. Письменныйэкзамен 590 Ответы и указания кзадачам 620

ОГЛАВЛЕНИЕ К читателю , 5Программа вступительныхэкзаменов по математике A975 г.)11 Раздел I. Арифметика и алгебр19 § 1. Общие замечания 19 А.

Определения и теоремы . 20 Б.Целые, рациональные ииррациональные числа . . 25 3.

Логарифмы 35 Г, Прогрессии 44Д. Уравнения и системыуравнений 57 Е. Методматематической индукции 70 § 2.Некоторые сведения одействительных числах .... 79 § 3.


7/2226

Графики функций 98 § 4.«Текстовые» задачи 126 § 5.Решение уравнений i 66 § 6.Решение неравенств 197 § 7.Доказательство неравенств 226Раздел II. Тригонометрия 254 § I.Общие замечания 254 A.Определения тригонометрическифункций .... 254 Б.Тригонометрические формулы256 B. Решение простейшихтригонометрических уравнений

264 § 2. Тригонометрическиепреобразования 271 § 3.Тригонометрические уравнения и

системы 285 Раздел III. Геометрия318 § 1. Общие замечания 318 A.


8/2226

Определения и теоремы 319 Б.Чертеж в геометрической задаче........ 328 B. Доказательства вгеометрии 348 Г. Геометрическоевоображение 375 § 2.Геометрические решения задач392 § 3. Аналитические решениязадач t 423

ОГЛАВЛЕНИЕ $ 4. Прямые иплоскости п пространстве § 5.Комбинации тел § 6. Сечения

многогранников Раздел IV.«Нестандартные» задачи 522 § 1.Задачи, нестандартные повнешнему виду 524 § 2. Задачи,где наиболее существенныетрудности — логи- логические


9/2226

543 § 3. Задачи, связанные срасположением корнейквадратного трехчлена 568 РазделV. О вступительных экзаменах поматематике . . .581 § 1. Устныйэкзамен 581 § 2. Письменныйэкзамен 590 Ответы и указания кзадачам 620

К ЧИТАТЕЛЮ Математика ужедавно стала основным аппаратомфизики и техники. В последние

годы математические методыисследования все настойчивеепроникают в такие науки, какхимия, биология, гео- геология,экономика, лингвистика,педагогика, медицина, право,


10/2226

архео- археология. Поэтому неудивительно, что на многих, в томчисле и гума- гуманитарных,факультетах университетов, вовсех технических вузах пест,лающие сдают экзамены поматематике. Этого экзаменамногие боятся. Часто можноуслышать разго- разговоры, чтина приемных экзаменах поматематике поступающим прет-лагают решать головоломиейшие

задачи, а экзаменаторы якобытолько тем и обеспокоены, как бы«срезать» побольше

поступающих. Все это, конечно,фантазия. На приемных экзамена


11/2226

речь идет не о каких-то сложныхпроблемах, а о задачах в пределахобычного школьного курса вполном соответствии с«Программой вступитель-вступительных экзаменов поматематике для поступающих ввысшие учебные заведенияСССР». Поводом же для«страхов» и слухов о «голово-ло.мках» обычно служит простослабое и формальное владение

стан- стандартным школьнымматериалом — ведь в этом случаеи простая за- задача покажется

неприступной. Конечно,сказанное отнюдь не означает, что


12/2226

все конкурсные задачи оченьпросты и решаются немедленнобез всяких размышле- ,iiii"i иусилий. Уверенно справиться сними может лишь тот, кто глу-глубоко владеет материаломпрограммы и имеет достаточнуюпрактику в решении задач. А этодосипается лишь упорным,настойчивым трудом. Математикунельзя выучить за одну ночь — только систе- систематические

занятия могут сделатьэкзаменационные вопросы и за-задачи простыми и легкими.

Верно, что на экзамене поматематике надо уметь решать за-


13/2226

задачи. Но каждый понимает, чтозчдачи надо решать правильно. Вэтом различии — просто решатьили решать правильно — и со-состоит суть дела. Очень частопоступающие считают, чторешить за- задачу— значитпровести некоторое количествовыкладок, имеющих отношение кпредложенной задаче. Но этиеыкладки далеко не всегда можносчитать правильным решением.

Экзаменаторы хотят получить отпоступающего исчерпывающее,логически верное и гро.мотно

изложенное решениепоставленных пе- перед ним


14/2226

задач. Они стремятся не простопроверить знание тех или иныхшкольных теорем, умениеформально проводить те или инывыкладки, но и выяснить,насколько поступающий владеетлогикой математическихрассуждений, с. какой мере онумеет применять тео-теоретические знания прирешении задач. К сожалению, этои яв- является самым сложным

для поступающих — гораздотруднее на- научиться видетьсущность дела, чем запомнить

некоторые формули-формулировки или автоматически


15/2226

выполнять определенныерецепты.

К'ЧИТАТЕЛЮ Каждому болееили менее подготовленномушкольнику знакомы обычныеприемы решения обычных задач— различного вида урав-уравнений и неравенств,

«текстовых» задач,тригонометрических приме-примеров, геометрических задач и

т. п. Но часто эти знанияограничены лишь всякого родаправилами, как надо поступать икак поступать нельзя, т. е. невыходят за пределы чистотехнических умений. Между тем


16/2226

никакие чисто техническиенавыки не принесут ус- успеха,если не думать о законностиприменения тех или иных преоб-преобразований, обобоснованности того или иногозаключения и т. п., если непонимать саму логику решениязадачи. Большинствопоступающих хорошо излагаетвопросы теории, но многиестановятся в тупик или допускаю

грубые ошибки при примененииэтой теории на практике. Сколькораз приходилось ви- видеть

поступающих, бойко отвечающихна какой-нибудь вопрос, но


17/2226

которые не могли сказать нислова, стоило лишь поставить тотже вопрос в иной, чуть необычноформе, применить иные, чем вучеб- учебнике, обозначения. Всеэто свидетельствует оформальном усвоении теории, ита- такого рода знания, конечно,мало чего стоят. В преодоленииподобных недостатков и состоит,собственно го- говоря, цель этойкниги. Мы хотим попытаться

научить поступающихзадумываться над логикойрешения, научить задавать самим

себе вопрос «почему?» и отвечатьна него, в каждый момент


18/2226

решения задачи ясно сознавать,что сделано и что предстоит ещесделать. Другими словами, мы -хотим в этой книге показать, какправильно решать задачи. Этацель наложила на книгу одинсущественный отпечаток: мы невсегда приводим самые лучшиерешения — решения, которые мо-может придумать опытйыйматематик. Наоборот, мыстарались смотт реть на задачу

глазами человека, не оченьискушенного в остроум-остроумных решениях и

специальных методах, искалисамое естественное (с точки


19/2226

зрения поступающего) решение,но зато доводили его до концалогически максимально строго.Именно это, в общем, и требуетсяот поступающих — не поискнаиболее короткого иоригинального решения, ноумение правильно довести доконца самое обыкновенноерешение. Разумеется, это ни вкоей мере не означает, чтоостроумные решения чем-то

плохи, и бу- будет очень полезно,если в процессе работы с книгойчитатель най- найдет такие

решения для той или иной задачиХотя сообразитель-


20/2226

сообразительность— это не токачество поступающего, котороепроверяется на экзамене в первуюочередь, ее нельзя недооцениватьСледует, впрочем, подчеркнуть,что лишь активное использова-использование всего арсеналасредств элементарной математикисоздает пред- предпосылки длявозникновения той или инойоригинальной идеи. Безтворческого владения материалом

школьного курса бессмысленно,например, надеяться справиться слюбой «нестандартной» задачей,

где подчас приходитсякомбинировать самые


21/2226

разнообразные мате-математические идеи и факты. Внастоящее время во многихшколах на факультативных икружковых занятиях учащиесязнакомятся с понятиемнепрерывно- непрерывности, сэлементами дифференциального иинтегрального исчисления, свекторной алгеброй и т, д, Однакоосновы математического ана-

К ЧИТАТЕЛЮ лпза и ьекторногоисчисления не входят впрограмму вступительныхэкзаменов. Поэтому для всехэкзаменационных аадач мыприводим лишь «обычные»


22/2226

школьные решения (хотянекоторые из этих задач могутбыть решены — и даже болеепросто и коротко — с помощьюсредств «высшей» математики).Быть может, читателю иногдапокажется, что некоторые про-простые примеры разбираютсяслишком подробно. Но не следуетспе- спешить с таким выводом —очень часто кажется простым какраз то, что не воспринято

достаточно глубоко. Лучшепостараться понять суть такогоподробного, замедленного

решения. Как правило, этоделается при рассмотрении тех


23/2226

вопросов, которые упоступающих вызываютнаибольшие затруднения. В то жевремя читатель легко заметит, чгоне все решения в книге проведеныодинаково подробно и полно. Мырассчитываем, что эта книгадолжна не столько читаться,сколько изучаться с ка-карандашом и бумагой в руках, апотому сделали упор на разъясне-разъяснении принципиальных

моментов, надеясь, что невызывающие особых затрудненийэтапы решения (например,

формальные выкладки) чи-читатель проведет сам. Настояща


24/2226

книга не является учебником поэлементарной мате- математике.Она призвана лишь помочьактивизировать свои знания тем,кто уже знаком со школьнымкурсом в объеме принятыхстабиль- стабильных учебников.Мы не даем систематическогоизложения теории, аограничиваемся лишь отдельнымзамечаниями по вопросам, кото-которые обычно ускользают из

поля зрения учащихся, анализом ииллю- иллюстрацией на примерахнаиболее сложных, узловых

разделов про- программы итипичных ошибок поступающих,


25/2226

а также более подроб- подробнымразъяснением некоторых тем,обычно оставляемых в школе бездолжного внимания. Поэтому,приступая к разбору какого-либопа- параграфа этой книги, следуетпредварительно еще разпросмотреть содержаниесоответствующих разделовшкольных учебников. Книгасодержит также достаточноечисло задач для самостоя-

самостоятельного решения,снабженных ответами (а внекоторых случаях — и

указаниями). Однако мы не имеемв виду, что надо выполнять эти


26/2226

упражнения все сразу. Лучшевсего решать их выборочно, дотех пор, пока не появитсяуверенность, что материал ужедоста- достаточно усвоен идальнейшие примеры для егозакрепления не нужны. Тогдаестественно перейти к другомупараграфу, а через некотороевремя вернуться к еще нерешенным упражнениям,рассматривая их как своего рода

задачник. Для удобства читателеймы приводим программувступительных экзаменов по

математике A975 г.). Отметим, чтоэта программа со- содержит


27/2226

подробный список основныхпонятий школьного курса мате-математики, которымипоступающие должны активновладеть. Далее, в прбграммедетально перечислены все теутверждения, которыепоступающие должны уметьчетко формулировать и строгодоказы- доказывать. Следуеттакже обратить внимание наприведенный в программа

перечень основных навыков,которыми должен владеть каждыйпо- поступающий. В книге

помешены материалы, дающиепредставление о порядке


28/2226

проведения, характере исодержании вступительныхэкзаменов по математике, Мысобрали и по возможностисистематизировали опыт

3 К ЧИТАТЕЛЮ приемныхэкзаменов в Московскийуниверситет примерно за десять

последних лет, привели вариантыписьменных экзаменов и билетыустных экзаменов,

предлагавшиеся поступающим вМГУ. Однако книга можетиспользоваться не толькопоступающими в МГУ, но и теми,кто собирается держатьвступительные экзамены в любой


29/2226

институт, академию илиуниверситет. Дело в том, что рас-рассматриваемые ниже вопросыносят общий характер,преследуют цель повыситьматематическую культуручитателя в строгих рамках стан-стандартного школьного курса,научить его свободно владетьлогикой математическихрассуждений. И то, на примерекаких задач это делается, уже не

имеет существенного значения.Кроме того, разно- разнообразиепрофилей и специальностей

Московского университета стольвелико, что практически для


30/2226

каждого высшего учебного заве-заведения найдетсяспециальность МГУ, где кпоступающим предъяв-предъявляются примерноаналогичные требования. Постепени сложностиэкзаменационных задач, поуровню тре- требований кпоступающим все факультеты (ивузы) можно условно разбить надве группы. В первую группу

входят факультеты и вузы, пематематика является одним изосновных предметов и изучается

по расширенной программе, а вовторую — все остальные. Это,


31/2226

конечно, не значит, что, напримерот будущих физиков требуютсякакие-то дополнительные знания,выходящие за пределы программывступительных экзаменов. Но онидолжны продемонстри-продемонстрировать умениерешать более трудные задачи,активно владеть мате- материаломшкольного курса, показать навыкисамостоятельного логи-логического мышления.

Поступающим в вузы первойгруппы рекомендуется внимательвнимательно разобрать и

тщательно продумать весьсодержащийся в книге материал.


32/2226

Поступающие же в вузы второйгруппы в процессе ра- работы надкнигой должны сами выбратьзадачи, которые для нихпосильны, стараясь, однако,решать и более сложные задачи, стем чтобы создать некоторый«запас прочности». Читатель самлегко составит себепредставление об уровне тре-требований, предъявляемых кпоступающим на различные

специально- специальности,поскольку перед всеми задачами,заимствованными из вариан-

вариантов письменных экзаменовуказан источник. При этом


33/2226

приняты следующиесокращенные обозначенияфакультетов МГУ: Мехмат — механико-математический, ВМК— вычислительной математики ики- кибернетики, Физфак — физический, Геофак — геологический, Хим- Химфак — химический, Биофак — биологический, Филфак — филологиче- филологический.Например, указание (Физфак,

1975) означает, что данная за-задача предлагаласьпоступающим на физический

факультет МГУ в 1975 г. Крометого, использовались задачи,


34/2226

предлагавшиеся на гео-географическом и экономическомфакультетах и на факультетахпочво- почвоведения ипсихологии. Книга может служитпособием для подготовительныхотделе- отделений вузов.Учащиеся этих отделений, ужепрошедшие в свое времяшкольный курс математики, впроцессе его повторения должныне просто «освежить» свои

знания, но углубить иактивизировать их, развитьнавыки решения задач. По

нашему мнению, излагаемыйниже материал вполне подходит


35/2226

для этой цели. Наличие в книгеприме- примеров и задач разнойтрудности позволитпреподавателям подгото-

К ЧИТАТЕЛЮ витсльныхотделенш"! отобрать для разборана занятиях и для упраж-упражнений те, которые

соответствуют профилю вуза иуровню подгото-подготовленности учащихся. Нам

кажется, что учителя среднихшкол и студенты пединсти-пединститутов также почерпнут вэтой книге много полезныхпримеров, за- задач иметодических замечаний, которые


36/2226

можно было бы использо-использовать как непосредственнна уроках, так и при организациифакуль- факультативных занятий.Старшеклассники, желающиесамостоятельно углубить своизна- знания по математике, такженайдут в книге материал дляразмышле- размышлений иинтересные задачи, решениекоторых принесет пользу и удо-удовлетворение. Конечно, в этом

случае не следует читать книгупод- подряд, а лучше постепенно,на протяжении всего учебного

года, обра- обращаться к тем еепараграфам (или даже их частям)


37/2226

в которых ис- используется лишьуже пройденный в школематериал. Несомненно, что такое«длительное* изучение книгипринесет гораздо больше пользы,чем беглое и поверхностноезнакомство с ней в сравнительнокороткий период подготовки кэкзаменам. Абсолютноебольшинство содержащихся вкниге задач (как разбираемых, таки предлагаемых в качестве

упражнений)—это подлинныезадачи вариантов вступительныхэкзаменов в Московский

университет. Некоторые из нихуже широко известны, условил


38/2226

дру- других (как и многие полныерешения) публикуются впервые.Мы считаем обязательнымподчеркнуть, что не являемсяавто- авторами самих этих задач.Ежегодно на вступительныхэкзаменах в МГУ поступающимпредлагаются оригинальныезадачи, содержащие новые,подчас совершенно неожиданныеобработки тем, изучаемых вшколе. К сожалению, нет никакой

чисто физической возможностиперечислить здесь фамилии всехлиц, принимавших участие б со-

составлении утих задач. Почтивсе задачи — плод кропотливой и


39/2226

длительной работы большогочисла членов экзаменационныхкомиссий, результат кол-коллективного сочинения.Каждый, кто хоть раз сталкивалсяс проб- проблемен составлениязадач, хорошо знает, каких трудовстоит возник- возникновениевсякой новой яркой иоригинальной задачи, неповторяю- повторяющей ужехорошо известные формулировки

и не решающейся «лобо-«лобовым» применениемформальных правил и методов.

Напомним читателю, что ондержит в руках пятое издание на-


40/2226

настоящей книги. Приступая к егоподготовке, авторы ставили передсобой несколько целей. Преждевсего мы хотели, не увеличиваяобъема книги, включить в нееновые задачи последних лет. Дляэтого пришлось отказаться отболее старых, (и соответственнобо- более известных) задач, атакже от некоторых задач, ненесущих осо- особо важной дляидей книги смысловой нагрузки.

Перечислить абсо- абсолютно всеошибки и затрудненияпоступающих практически невоз

невозможно, да в этом едва ли иесть смысл. Поэтому мы более


41/2226

тща- тщательно подошли к отборузадач, стремясь выделить узловыевоп- вопросы и предостеречьчитателя от наиболеераспространенных типич-типичных ошибок. Мы отказалиси от подробного изложениянекоторых тем, ограничиваясьтолько существенными, с нашейточки зрения, замечаниями илиобращая внимание на то, что поразным причинам осталось за

рамками учебников, нонеобходимо для правильного

К ЧИТАТЕЛЮ и глубокогопонимания излагаемого тамматериала. Все это не могло не


42/2226

привести к значительнымпереработкам, коснувшимся каксамой структуры книги, так исодержания каждого параграфа.Существенную пользу приподготовке нового издания намока- оказали многочисленныеписьма читателей — учителей,школьников, лю- любителейматематики. Считаем своимприятным долгом искренне по-поблагодарить всех этих

добровольных корреспондентов,нашедших время и возможностьвысказать нам свои критические

замечания, со- соображения иконструктивные советы. В


43/2226

заключение хотелось бы выразитьглубокую благодарностьсотрудникам механико-математического факультета МГУ,которые помогали нам своимипредложениями и дружескойкритикой в процессе работы надкнигой и тем самымспособствовали ее улучшению.Авторы

ПРОГРАММА

ВСТУПИТЕЛЬНЫХЭКЗАМЕНОВ ПОМАТЕМАТИКЕ A975 г.) Общиеуказания На экзамене поматематике поступающий ввысшее учебное заведение долже


44/2226

показать: а) четкое знаниематематических определений итео- теорем, предусмотренныхпрограммой, умение доказыватьэти теоремы; б) умение точно исжато выражать математическуюмысль в устном и письменномизложении; в) уверенное владениматематическими знаниями инавыками, предусмотреннымипрограммой, умение при-применять их при решении задач.

Программа по математике состоииз трех разделов. Первый из нихпредставляет собой перечень

основных математическихпонятий, которыми должен


45/2226

владеть по- поступающий. Вовтором разделе указаны теоремы,ко- которые необходимо уметьдоказывать, и формулы, кото-которые надо уметь выводить.Содержание теоретической частиэкзаменационных билетов должнчерпаться из этого раздела. Втретьем разделеохарактеризованы ос~ повныематематические умения и навыкикоторыми должен владеть

экзаменуемый. I. ОСНОВНЫЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯАрифметика, алгебра и

элементарные функции 1.Простые и составные


46/2226

натуральные числа. 2.Наибольший общий делитель инаименьшее общее кратное двухнатуральных чисел. 3.Рациональные и иррациональныечисла. 4. Числовая прямая.Модуль (абсолютная величина)действительного числа. 5. Пределчисловой последовательности. 6.Степени и корни с натуральнымпоказателем. Арифметическоезначение корня.

12 ПРОГРАММАВСТУПИТЕЛЬНЫХЭКЗАМЕНОВ 1975 г. 7. Степени нулевым, целым в рациональнымпока- показателем. Понятие о


47/2226

степени с иррациональнымпоказа- показателем. 8.Одночлены и многочлены.Степень одночлена и многочлена.9. Многочлены от одногонеизвестного. Корни много-многочлена. 10. Тождества иуравнения. Корни уравнения.Равно- Равносильные уравнения.11. Система уравнений. Решениясистемы. Совмест- Совместные инесовместные системы. 12.

Неравенства. Решениянеравенства. Равносильныенеравенства. 13. Функции одного

аргумента. Область определения область значений. Свойства


48/2226

функций: четность, нечет-нечетность, монотонность,периодичность. График функции.Взаимно обратные функции. 14.Арифметическая игеометрическая прогрессии. 35.Бесконечно убывающаягеометрическая прогресс сия и еесумма. 16. Логарифмы. 17.Градусное и радианное измерениеуглов. Углы,' большие 360°.Полежительные и отрицательные

углы. 18. Тригонометрическиефункции у = sin х, у = cos x, y =tgx, у = ctg х. Геометрия 1.

Прямая, луч, отрезок, ломаная.Сумма и разность отрезков. Длин


49/2226

отрезка. Отношение отрезков.Пропор- Пропорциональные парыотрезков. Соизмеримые инесоизмери- несоизмеримыеотрезки. 2. Угол. Сумма иразность углов. Вертикальные асмежные углы. 3.Перпендикулярные ипараллельные прямые. 4.Многоугольник. Его вершины,стороны, диагона- диагонали.Периметр многоугольника.

Выпуклый многоугольник.Правильный многоугольник. 5.Равенство и подобие

геометрических фигур. 6.Треугольник, медиана,


50/2226

биссектриса, высота и средняялиния треугольника. Видытреугольников. 7.Четырехугольники: трапеция,параллелограмм, прямоугольник,ромб, квадрат, Средняя линиятрапеции.

ПРОГРАММА

ВСТУПИТЕЛЬНЫХЭКЗАМЕНОВ 1975 г. 13 8.Понятие о площади

прямоугольника и многоуголь»пика. 9. Окружность и круг.Центр, хорда, диаметр и ра-радиус. Касательная кокружности. Дуга окружности.Сек- Сектор и сегмент. 10.


51/2226

Центральные и вписанные углы.11. Многоугольники, вписанные вокружность и опи- описанныевокруг нее. 12. Длинаокружности. 13. Площадь круга.14. Плоскость. Параллельные ипересекающиеся пло-' скости. 15.Параллельность прямой иплоскости. 16.Перпендикулярность прямой иплоскости. 17. Двугранные углы.Линейные углы двугранных уг-

углов. Перпендикулярность двухплоскостей. 18. Угол междупрямой и плоскостью. 19.

Скрещивающиеся прямые. Уголмежду двумя скрещивающимися


52/2226

прямыми. 20. Многогранники:призма и пирамида. Их вершины,ребра, грани и диагонали. Прямаяи наклонная призмы. Правильныепризма и пирамида.Параллелепипед. Пря-Прямоугольный параллелепипед.Куб. 21. Площадь поверхности иобъем призмы и пира- пирамиды.22. Цилиндр и конус. 23. Площадьповерхности и объем цилиндра иконуса. 24. Шар. Его центр,

хорды, диаметр, радиус. Каса-Касательная плоскость к шару.Шаровые сектор, сегмент и г.ояс.

25. Площадь поверхности и объемшара- II. ОСНОВНЫЕ


53/2226

ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫАрифметика, алгебра иэлементарные функции 1.Признаки делимости натуральныхчисел на.2, 3, 4, 5, 9, 10я. 2.Общие делители и общие кратныдвух или не- нескольких чисел.Нахождение наименьшего общегократ* чого двух натуральныхчисел. 3. Существованиеиррациональных чисел.

14 ПРОГРАММАВСТУПИТЕЛЬНЫХЭКЗАМЕНОВ 1975 *¦¦ 4. Свойствфункций у = ах -f- b и ее график.5. Решение линейных уравнений одним неизвест- неизвестным. 6.


54/2226

Решение системы двух линейныхуравнений с дву- двумянеизвестными. V Геометрическаяинтерпретация решения системыдвух линейных уравнений с двумянеизвестными. 8. Свойствафункции у— kjx и ее график. 9.Свойства функции у = ах2 -f bx -fс и ее график. 10. Решениеквадратных уравнений. 11.Формулы Виета для квадратныхуравнений. 12. Разложение

квадратного трехчлена палинейные множители. 13.Свойства числовых неравенств.

14. Неравенство, связывающеесреднее арифметиче-


55/2226

арифметическое и среднеегеометрическое двухнеотрицательных чисел. 15.Решение линейных неравенств содним неизве- неизвестным. 16.Решение квадратных неравенств содним неизве- неизвестным. 17.Формулы общего членаарифметической прогрес-прогрессии и суммы ее членов.18. Формулы общего членагеометрической прогрес-

прогрессии и суммы ее членов.19. Вычисление суммыбесконечно убывающей гео-

геометрической прогрессии. 20.Обращение периодической


56/2226

десятичной дроби вобыкновенную. 21. Свойствапоказательной функции и ееграфик. 22. Свойствалогарифмической функции и ееграфик. 23. Логарифмпроизведения, частного и степени24. Свойства десятичныхлогарифмов. 25. Зависимостимежду тригонометрическимифунк- функциями одногоаргумента. 26. Формулы

приведения. 27. Свойствафункций у = sin х и у = cos л: и ихгра- графики. 28. Свойства

функций у = tg x и у — ctg x и ихгра- графики. 29. Решение


57/2226

уравнений вида sin л- = р, cosx =p, tgx = p, ctg х = p.

ПРОГРАММАВСТУПИТЕЛЬНЫХЭКЗАМЕНОВ 1973 15 30.Выражение тригонометрическихфункций двой- двойного иполовинного аргумента через

функции основного аргумента. 31Выражение тригонометрическихфункций через тангенс

половинного аргумента. 32.Формулы сложениятригонометрических функдий, 33Преобразование в произведениесумм вида sin ct ± sin p, cos а ± cop, tgaitgp. 34. Преобразование в


58/2226

сумму выражений вида sin a sin psinacosp, cos a cos p. Геометрия 1.Свойства вертикальных исмежных углов. Свой- Свойстваравнобедренного треугольника. 2.Признаки равенстватреугольников. 3. Зависимостьмежду сторонами и угламитреуголь- треугольника. 4.Свойства перпендикуляра инаклонных. Признаки равенствпрямоугольных треугольников. 5.

Свойства биссектрисы угла иперпендикуляра к отрезку,проведенного через его середину.

6. Признаки параллельностипрямых. 7. Свойства углов с


59/2226

соответственно параллельнымиили перпендикулярнымисторонами. 8. Сумма угловтреугольника. Сумма угловвыпукч лого многоугольника. 9.Свойства сторон и угловпараллелограмма. 10. Свойствадиагоналей параллелограмма,прямо- прямоугольника, ромба иквадрата. 11. Свойства среднихлиний треугольника и трапеции.12. Свойства касательных к

окружности. 13. Измерение угловвписанных в окружность, 14.Существование вписанной

окружности треуголь* 1Шка. 15.Существование описанной


60/2226

окружности треуголь-треугольника. 16. Свойствапараллельных прямых,пересекающие стороны угла. 174Признаки подобия треугольников

15 ПРОГРАММАВСТУПИТЕЛЬНЫХЭКЗАМЕНОВ 1975 г. 13,

Метрические соотношения впрямоугольном тре- треугольнике19. Теорема Пифагора. 20.

Теорема косинусов. 21. Теоремасинусов. 22. Вычислениеплощадей прямоугольника,паралле- параллелограмма,треугольника и трапеции. 23.Отношение площадей подобных


61/2226

треугольников и подобныхвыпуклых многоугольников. 24.Подобие правильныходноименных многоугольник ков.Постоянство отношения длиныокружности к диа- диаметру.Формула длины окружности. 25.Формула площади круга. . 26.Признак перпендикулярностипрямой и плоскости. 27. Теоремао трех перпендикулярах иобратная к ней. 28. Признаки

параллельности прямой иплоскости, параллельности двухплоскостей. 2Э. Признак

перпендикулярности двухплоскостей. 30. Свойства граней и


62/2226


63/2226

беглостью производитьарифметиче- арифметическиедействия над именованными иотвлеченными чис- числами,заданными в виде десятичных илобыкновенных дробей; стребуемой точностью округлятьданные и ре- результатывычислений; производитьприближенную при- прикидкурезультата; пользоватьсятаблицами для произ-

производства вычислений,ПРОГРАММАВСТУПИТЕЛЬНЫХЭКЗАМЕНОВ 1975 rj 17 2.Проводить тождественные


64/2226

преобразования алгеб-алгебраических выражений(многочленов, алгебраическихдро- дробей и выражений,содержащих показательные,логариф- логарифмические итригонометрические функции). 3Строить графики функций,описанных в разделе II, а такжеграфики функций, которыеприводятся к ним элементарнымипреобразованиями. 4. Решать

уравнения, неравенства, системыуравне- уравнений и неравенствописанных в программе типов, а

также сводящиеся к ним. Решатьзадачи на составление урав-


65/2226

уравнений и систем уравненийописанных в программе типов. 5.Изображать геометрическиефигуры и тела на чер- чертеже. 6.Представлять перечисленные впрограмме про^ стракственныетела и простейшие комбинацииэтих тел (сечения хногогранниковплоскостями; расположениавписанных в многогранники и^писанных вокруг них шаров;проекции многогранников на

плоскость и т. п.). 7. Производитьпростейшие построения наплоскости. 8. Использовать

геометрические и графическиепред- представления при решении


66/2226

алгебраических задач, а методыалгебры и тригонометрии — прирешении геометрических задач. ** * При подготовке к приемнымэкзаменам необходимо повторитьи до конца разобраться во всехразделах школьного курсаматематики, включенных впрограмму вступительныхэкзаменов в вузы. Изучить этиразделы нужно по школьнымучебникам: по арифметике — И.

Н. Шевченко «Арифметика»; поалгебре и элемен* тарнымфункциям — А. Н. Барсуков

«Алгебра»; Е. С. Кочетков, Е. С.Кочеткова «Алгебра и эле-


67/2226

элементарные функции», ч. 1, 2;по геометрии — Н. Н. Ни-Никитин «Геометрия»; А. П.Киселев «Геометрия», ч. II.Поскольку-в этих учебникахотсутствует ряд вклю-включенных в программувопросов, необходимо изучитьтакже брошюры: «Геометрия.Дополнительный материал для 8,9 классов»; «Тригонометрия.Дополнитель- Дополнительный

материал к курсу геометрии 9, 10классов».

18 ПРОГРАММАВСТУПИТЕЛЬНЫХЭКЗАМЕНОВ 1975 Р. В


68/2226

дальнейшем при ссылках вместополного названия указываетсялишь фамилия автора книги иликраткое название брошюры.Некоторые поступающие приподготовке к вступи-вступительным экзаменамиспользуют, помимо школьныхучеб- учебников, и другуюлитературу, изучают вопросы вразбивку сразу по несколькимкнигам. Следует иметь в виду, что

эта система повторения материалможет привести к пу- путанице,поскольку в разных книгах одни и


69/2226

после- последовательности,даются разные определения.Самым це- целесообразнымспособом усвоения теоретическивопросов школьного курсаматематики являетсяпоследовательное повторениешкольных учебников. При этомследует ус- усвоить и осмыслитьформулировки различныхопределе- определений иутверждений, порешать

соответствующие задачи,тщательно разобратьдоказательства всех утверждений

обращая главное внимание налогическую строгость рас-


70/2226

рассуждений. В качестведополнительной (но необязательной!) литературы можнорекомендовать следующие книги:В. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров,М. И. Ш а- б у н и н «Лекции изадачи по элементарной матема-математике», изд-во «Наука»; В.В. Зайцев, В. В. Р ы ж- к о в, М. ИС к а н а в и «Элементарнаяхматематика», изд-во «Наука».Значительное время должно быть

отведено решению конкурсныхзадач. Помимо приводимых внастоящей книге упражнений

можно использовать задачники:«Сборник задач по математике


71/2226

для конкурсных экза- экзаменовво втузы», под ред. М. И. Сканавиизд-во «Высшая школа»; В. Б.Лидский, Л. В. Овсянни-Овсянников, А. Н. Тулайков, М.И. Ш а б у н и н «Задачи поэлементарной математике», изд-в«Наука»; Е. Б. В а- ховский, А. А.Рыбкин «Задачи по элементарнойматематике повышеннойтрудности», изд-во «Наука».

РАЗДЕЛ I АРИФМЕТИКА ИАЛГЕБРА § 1. Общие замечанияОпыт приемных экзаменов в вузыпоказывает, что одни разделыалгебры особых трудностей упоступаю- поступающих не


72/2226

вызывают, тогда как другиеявляются для мно- многихнастоящим камнем преткновенияНиже мы останов вимся подробнона разъяснении наиболеесложных, а определенном смыслецентральных, вопросов курса элеэлементарной алгебры. При этомпредполагается, что ма- материалпрограммы вступительныхэкзаменов уже иззе* стен вобъеме школьных учебников. При

решении уравнений, как и многихдругих задач, мы сталки-сталкиваемся с необходимостью

использовать свойства чисел.Связанные с действительными


73/2226

(вещественными) числамиважные понятия — аб-абсолютной величины (кодуля) иарифметического квадратногокор- корня — рассмотрены в § 2.Большие трудности доставляетпоступающим построение графи-графиков функций. Учитывая, чтографики в школьном курсеизучаются недостаточно, но частопредлагаются на вступительныхэкзаменах, мы с § 3 разбираем

некоторые методы построенияграфиков функций.Традиционными на

вступительных экзаменахявляются так на- называемые


74/2226

«текстовые» задачи. Онипозволяют выяснить, умеет липоступающий логическирассуждать, может ли онпереложить «опи- «описательноеусловие на язык математическихформул, не забыв ника- никакихдеталей, позволяют проверить, вкакой степени он владеет тех-техникой решения системуравнений. Относящиеся сюдавопросы и за- задачи рассмотрены

в § 4. Уравнения и неравенства —это, пожалуй, самыйобязательный, неотъемлемый

элемент экзаменов по математикеПри их решении обычно


75/2226

требуется комплексноеиспользование разных разделовкурса, проверяется умениеграмотно проводитьалгебраические и тригоно-тригонометрическиепреобразования. Важные аспектырешения уравнений и неравенствподробно освещены в §§ 5, 6.Наконец, в § 7 разобранонесколько способовдоказательства неравенств В

настоящем параграфе мы сделамнекоторые заме- замечанияобщего характера по ряду

разделов алгебры и арифметики,касающиеся вопросов, зачастую


76/2226

ускользаю- ускользающих из полязрения поступающих, а такжеразберем некоторые примеры.

20 I-АЗДЕЛ I. АРИФМЕТИКА ИАЛГТБРЛ Л. Определения итеорем;-.!. Окончившего среднююшколу нет надобности убе-убеждать, что все понятия,

которым!! он пользуется в мате-математике, должны быть строгоопределены (кроме, разу-

разумеется, самых исходных — таких, как натуральное число,равенство, точка, прямая,плоскость). Эти определения вшкольном курсе, конечно, даютсяно чем дальше уча- учащийся


77/2226

отдаляется от них и углубляется втеорию и ре- решение задач, чембольше он привыкает киспользуемым понятиям, тембольше он склонен, сам иногдадаже того не сознавая, считать,что эти понятия «ясны сами посебе» и не нуждаются вопределении. Между тем отпоступающего требуется четкоелоги- логическое пониманиекурса элементарной математики и

в частности, знание и пониманиеопределений. Поэтому приизучении предусмотренных

программой разделов полезнообратить особое внимание на


78/2226

определения, до- добиться ясногоосмысления их формулировок.Помимо определения понятий, вматематике вводятся соглашенияоб обозначении того или иногообъекта или отношения между,объектами специальнымсимволом. Эти соглашения,являющиеся по существуопределением символа,необходимо хорошо помнить. Таксумму двух чисел записывают с

помощью знака +, квадрат числаа, т. е. произведение а-а,услазливаются обозначать сим-

символом а2; тот факт, что число меньше числа Ь, т. е. что число а


79/2226

—Ь отрицательное,договариваются записывать спомощью знака < в виде а < Ь.Поступающим хорошо знакомызнаки «нестрогих не- неравенств»т. е. знаки ^ (меньше или равно) и^ (больше или равно); ихупотребление при проведенииформальных преобразований ни укого не вызывает ка- каких-либозатруднений . Однако опытпоказывает, что многие

поступающие на самом деле невполне уяснили себе смысл этихзнаков. Например, на вопрос,

верно ли неравенство 2^3, чащевсего дается ответ: «Нет, так как


80/2226

число 2 меньше числа 3», а навопрос, верно ли неравенство 3^3от- ответ: «Нет, поскольку 3 равно3». А между тем все, ктоподобным образом отвечает науказанные вопросы, за-записывают, не задумываясь,ответ в какой-либо задаче в

§ 1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 21виде х ^ 3. Однако их пониманиезнака ^ между кон- конкретными

числами означает, что ни одноконкретное число приподстановке его вместо х внеравенство х ^ 3 не дает верногочислового равенства, т. е. чтознаком ^ не могут быть связаны


81/2226

вообще никакие числа. Вдействительности дело обстоитследующим обра- образом. Поопределению знака ^, неравенствоа ^ Ь счи- тается верным и при а <Ь, и при а = Ь. Таким образом,неравенство 2^3 верно, потомучто 2 меньше 3, а нера-неравенство 3^3 верно, потомучто 3 равно 3. Из этогоопределения знака ^ следует, чтонеравен- неравенство а ^.Ь

неверно лишь в случае, когда о >Ь. По- Поэтому знак ^ можночитать не только как «меньше или

равно», но и как «не больше».Например, неравенства 2^3 и 3


82/2226

читаются соответственно: «2 небольше 3» и «3 не больше 3». Всесказанное относится также и кзнаку ^, кото- который наряду с«больше или равно» читается икак «не меньше». Поопределению знака ^, неравенствоа ^ Ь справедливо, если а > b иесли а = Ь; оно неверно только вслучае а < Ь. Почти каждыйэкзаменующийся знает, чтофункция у = 2х определена при

всех действительных х и без трудрисует ее график. Однако вопрос,что такое 2^, очень часто ставит

поступающего в тупик. В лучшемслу- случае говорится, как


83/2226

вычислить это числоприближенно. Но это нелогично— нельзя же, не зная определениячис- числа, подсчитывать егоприближенно! Чтобы ответить навопрос, что такое2^, надо вспом»нить специальное определениедля степени с иррацио-иррациональным показателем(Кочетков, § 175). Следуетпомнить и остальныеопределения: степень с

натуральным показателем,нулевым, рациональным,отрицательным по- показателем.

Обратим внимание и на то, чтообщее опре- определение степени


84/2226

с натуральным показателем пнеприме- неприменимо при и = 1так как произведение с однимсомножи- сомножителем не имеетсмысла. Поэтому равенство а1 —а яв- является определениемпервой степени числа. Точно также по определению вводитсянулевая степень: а0 = 1, Выяснимеще, почему справедливоравенство

22 РАЗДЕЛ I. АРИФМЕТИКА ИАЛГЕБРА Многие поступающиедоказывают это равенство,проводя преобразования левойчасти. Разумеется, такой путь до-допустим, но он свидетельствует,


85/2226

что правила действий срадикалами вытеснили изсознания учащегося само оп-определение радикала.Действительно, как определяетсякубический корень из числа?Кубическим корнем из чис- числаа называется число, куб которогоравен а. Известно и соглашение,что кубический корень из числа аобозна- обозначается символом уа. Таким образом, равенство A)

есть просто формульная записьопределения кубического корня сучетом соглашения о смысле

символа у . Курс алгебрывключает в себя значительное


86/2226

число различных утверждений.Довольно широко распростра-распространено мнение, что вгеометрии надо рассуждатьстрого, там есть теоремы, которытребуют аккуратного дока-доказательства, использующегоопределения, а в алгебре естьтолько одна теорема — теоремаВиета, все же остальное — всякислова и формулы. Это — глубокоезаблуждение. Ведь даже формула

квадрата суммы — это теорема. Асвойства логарифмическойфункции — это уже несколько

теорем. Как и в геометрии, каждатеорема алгебры должна


87/2226

сопровождаться доказатель-доказательством, а передпроведением этого доказательстваследует дать определения всемтем понятиям, которые ветре»чаются в ее формулировке. Опытпоказывает, что чем привычнееалгебраическое утверждение, чемчаще оно применяется прирешении задач, тем чащезабывают, что его надо уметь нетолько правильно формулировать

и использовать, но и доказы-доказывать. Поэтому приподготовке к экзаменам нужно

обра- обратить особое вниманиена обоснование тех или иных ут-


88/2226

утверждений, особеннокажущихся «очевидными». Всезнают формулу для решенияквадратного урав< нения, однакопросьба привести ее вывод ставитнекото- некоторых поступающихв тупик. Такие же трудностисвязаны с теоремами о решенииквадратных неравенств. Дажеесли поступающий правильнорешает такие неравенства, онзачастую не может обоснованно

ответить, например, на вопрос,почему квадратный трехчлен сположитель- положительным

коэффициентом при х2положителен вне интервала


89/2226

I ОБЩИЕ- ЗАМЕЧАНИЯ 23между корнями и положителенпри любом х, если дей-действительных корней нет.Между тем строгиедоказательства теорем о знакеквадратного трехчлена весьманесложны. Заметим, что вучебнике (Кочетков, § 61)приведена лишь геомет« рическаяиллюстрация этих теорем. Есликвадратный трехчлен ах2 -\~bx -f-

с имеет раз- различные корни X) их2 (т. е. его дискриминантположи- положителен), то этот

трехчлен разлагается намножители: ах2 -f bx -f с = а (х —


90/2226

х,) {х — х2). B) Отсюда видно,что при любом х, большембольшего кор- корня, обасомножителя х — Х\ и х — х2положительны, а при любом х,меньшем меньшего корня, ониотрица- отрицательны.Следовательно, и в том, и вдругом случае их произведение (х— Х\) (х — х2) положительно, апотому правая часть в B) имееттот же знак, что и число а. Если

же х находится в интервале междкорнями хх и х2, то один изуказанных сомножителей

положителен, а другойотрицателен; поэтому знак


91/2226

произведения в пра- правой частиB) противоположен знаку а.Таким образом, доказана теоремазначение квад- квадратноготрехчлена ах2-\-Ьх-{-с сположительным ди-дискриминантом (Ь2— 4ас > 0)при любом х вне интер- интервалмежду корнями трехчлена имеетзнак, совпадаю- совпадающий сознаком коэффициента а; прилюбом х внутри интервала между

корнями — знак,противоположный знаку а1).Имеет место и другая теорема:

значение квадрат- квадратноготрехчлена ах2 -f bx -j- с с


92/2226

отрицательным дискрими-дискриминантом (б2 — 4ас < 0)при любом х имеет знак, совпа-совпадающий со знакомкоэффициента а. Для доказатель-доказательства этой теоремывыделим полный квадрат: ) +\ C)Так как Ь2 — \ас < 0 (какизвестно, в этом случаеквадратный трехчлен не имееткорней), то очевидно, чтовыражение в квадратных скобках

положительно при ') Аналогичноформулируется и доказываетсятеорема, относя- относящаяся к

случаю, когда квадратныйтрехчлен ах2 -f- bx + с имеет


93/2226

равные корни, т, е. когдадискриминант равен нулю.

24 РАЗДЕЛ I. АРИФМЕТИКА ИАЛГЕБРА любом значении х.Поэтому произведение в правойча- части C) имеет при любом хтот же знак, что и число а.Несколько слов необходимо

сказать и по поводу са- самихформулировок ряда определенийи теорем. В учеб- учебниках

большинство формулировокдается в чисто сло- словеснойформе, без использованияудобных буквенных обозначений.Иногда это вполне оправдано, ночасто слишком утяжеляет


94/2226

формулировку. Например, вместотого чтобы (Говорить «квадратсуммы двух любых чисел равенсумме квадратов этих чисел,сложенной с их уд- удвоеннымпроизведением», проще сказать:«для любых чисел а и b .имеем (a-f- bJ = a2-f- 2ab -f- b2». А опредеопределение логарифма удобнодать в такой форме: «число х естьлогарифм числа N по основанию (а > 0, а ф 1), если ах = N». Нужно

уметь свободно переводитьсловесные утвер- утверждения вформульные и обратно. Ведь

именно это обычно требуется длядоказательства теорем. Например


95/2226

для доказательства того, что «приосновании, большем единицы,логарифмы чисел, большихединицы, положи-положительны», мы прежде всегодолжны ввести обозначения:пусть основание а > 1, число х >1, и пусть у = loga x, а затемустановить, что число у>0. Такаяперефрази- перефразировкабывает связана и снеобходимостью использовать то

или иное определение. Так,прежде чем доказыватьутверждение «при а > 1 функция

= loga x возрастает», нужновспомнить, что такое


96/2226

возрастающая функция, и тогдадоказательство начинается сослов: «Пусть a ]> 1, а Х\ и х2 — положительные числа, причем Х\< х2; до- докажем, Ч�

dorofeev, potapov, rozov. matematike - desconhecido

Documents