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Introducción Dominancia Estocástica de Primer Orden Dominancia Estocastica de Segundo Orden

Dominancia Estocástica

Autor: Martín Solá Profesor: Cirelli, Fernando

UTDT

Agosto 2015


Introducción

� En esta sección se asumirá la existencia de solo dos activosriesgosos.

� La utilidad esperada puede ser usada para introducir laeconomía de elección bajo incertidumbre: Un individuo va apreferir aquel activo que le de mayor utilidad esperada.

� A continuación vamos a presentar distintos criterios basadosen las propiedades estocásticas de los retornos que le asegurenal individuo una mayor utilidad con un activo que con otro.


Introducción

De�nitionUn activo se dice que es dominante desde el punto de vistaestocástico si el individuo recibe mayor riqueza de este activo paratodo estado ordenado de naturaleza.

� Si denotamos F y G las distribuciones acumuladas de losactivos riesgosos A y B (por simpleza asumimos que eldominio de los retornos, rA y rB , es [0, 1]), donde

F (ν) = P(rA � ν) =Z ν

0f (z)dz ,

y

G (ν) = P(rB � ν) =Z ν

0g(z)dz .


Introducción

� La Dominancia Estocástica puede caracterizarse como unaserie de criterios mínimos sobre las propiedades estocásticasde los retornos que nos aseguren que

EF (U(rA)) > EG (U(rB )),

� O en otras palabras el activo A domina estocásticamente a Bsi para toda función no-decreciente U : R �! R se cumpleZ 1

0U(ν)dF (ν) �

Z 1

0U(ν)dG (ν).

� A continuación pasaremos a de�nir distintos tipos dedominancia estocástica.


Dominancia Estocástica de Primer Orden

De�nitionEl activo A domina estocásticamente de primer orden al activo B(y se denota como A �

FSDB ) si

G (ν) � F (ν).



Proposition

Si G (ν) � F (ν) entonces, EF (U(rA)) � EG (U(rB )),

donde EF (U (rA)) =R 10 U(ν)dF (ν) y

EG (U (rB )) =R 10 U(ν)dG (ν)

Proof.

ConsidereR 10 U(ν)dF (ν), integrando por partes obtenemos

U(ν)F (ν)j10 �1Z0

F (ν)dU(ν).

(Notar que la regla de integración por partes establece queRh (x) dz (x) = h (x) z (x)�

Rz (x) dh (x) , en este caso

h (x) = U(ν) e dz (x) = dF (ν)).



Proof.Análogamente

Z 1

0U(ν)dG (ν) = U(ν)G (ν)j10 �

1Z0

G (ν)dU(ν).

Por lo tanto, Z 1

0U(ν)dF (ν) �

Z 1

0U(ν)dG (ν),

es equivalente a

U(ν)F (ν)j10 �1Z0

F (ν)dU(ν) � U(ν)G (ν)j10 �1Z0

G (ν)dU(ν).



Proof.

Sustituyendo los límites de integración (F (1) = G (1) = 1 yF (0) = G (0) = 0) y simpli�cando

�1Z0

F (ν)dU(ν) � �1Z0

G (ν)dU(ν),

o1Z0

(G (ν)� F (ν))dU(ν) � 0.



Proof.Esta expresión puede también escribirse como

1Z0

(G (ν)� F (ν))U 0(ν)dν � 0,

por lo tanto, como asumimos que U 0(ν) > 0, se desprende que elactivo A domina al activo B si G (ν) � F (ν).

� Se puede demostrar que G (ν) � F (ν) también es condiciónnecesaria. Por lo tanto se puede a�rmar A �

FSDB si y sólo si

G (ν) � F (ν).


Consecuencias de la FOSD

� Si A �FSD

B, podemos expresar el retorno del activo dominante

A comorA = rB + ϑ

donde ϑ representa una variable aleatoria positiva.

� Esta relación se cumple ya que

E (u(rA)) = E (u(rB + ϑ)) � E (u(rB ))como U es creciente

entoncesE (u(rA)) � E (u(rB )).

� Tomando valor esperado en ambos lados de la ecuación vemosque rA = rB + ϑ implica E (rA) � E (rB ).


Dominancia Estocástica de Segundo Orden

� El criterio de Dominancia Estocástica de Segundo Orden estápreponderantemente relacionado con la dispersión de losretornos.

De�nitionSe dice que A domina estocásticamente de segundo orden a B siR ν0 (G (z)� F (z)) dz � 0 y se denota como A �

SSDB (el valor

esperado de la utilidad del activo A es mayor que el del activo B).



Proposition

A �SSD

B si y sólo siR ν0 (G (z)� F (z)) dz � 0 (dado

E (rA) = E (rB ))

Proof.Anteriomente probamos que

Z 1

0U(ν)dF (ν) = U(ν)F (ν)j10 �

1Z0

F (ν)dU(ν)

= U(1)�1Z0

F (ν)U 0(ν)dν



Proof.

Aplicando integración por partes nuevamente obtenemos (tomandodz (x) = F (ν) y h (x) = U 0(ν))Z 1

0U(ν)dF (ν)

= U(1)�

24U 0(ν) νZ0

F (z)dz

3510

+

1Z0

0@U 00(ν) νZ0

F (z)dz

1A dν



Proof.Simpli�cando y sutituyendo los límites de integración obtenemosZ 1

0U(ν)dF (ν)

= U(1)� U 0(1)(1� E (rA)) +1Z0

0@U 00(ν) νZ0

F (z)dz

1A dν

(este resultado se obtiene porque1R0F (z)dz = F (z)z j10 �

1R0zdF ).



Proof.Análogamente podemos probar queZ 1

0U(ν)dG (ν)

= U(1)� U 0(1)(1� E (rB )) +1Z0

0@U 00(ν) νZ0

G (z)dz

1A dν



Proof.

Como E (rA) = E (rB ) yνR0(G (z)� F (z)) dz , estas ecuaciones

implican,

1Z0

0@U 00(ν) νZ0

F (z)dz

1A dν �1Z0

0@U 00(ν) νZ0

G (z)dz

1A dν,

o1Z0

U 00(ν)

24 νZ0

(F (z)� G (z))dz

35 dν � 0


Consecuencias de la SOSD

� Stiglitz (1970) demuestra que A �SSD

B si y sólo si

rB = rA + ε =) E (εjrA) = 0.

Proof.

Su�ciencia: Si rB = rA + ε =) E (εjrA) = 0, entonces A �SSD

B.

Por expectativas iteradas (EI)

E (U(rB )) = E (U(rA + ε))por EI= E (E (U((rA + ε)jrA))),

por Desigualdad de Jensen

E (U((rA + ε)jrA)) � U (E (rA + εjrA)),E (U((rA + ε)jrA)) � U (E (rA jrA) + E (εjrA)) ,E (U((rA + ε)jrA)) � U (rA) ,


Consecuencias de la SOSD

Proof.Finalmente, aplicando a ambos lados el operador esperanza, seobtiene

E (U(rB )) � E (U(rA)).

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