SVEUČILIŠTE JOISPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

DOMAGOJ MAROŠEVIĆ

GIBANJE SVJETLOSTI U EINSTENOVOJ TEORIJI

GRAVITACIJE

Završni rad

Osijek, 2015.

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STORSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

DOMAGOJ MAROŠEVIĆ

GIBANJE SVJETLOSTI U EINSTEINOVOJ TEORIJI

GRAVITACIJE

Završni rad

Predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku radi stjecanja zvanja

prvostupnika fizike

Osijek, 2015.

Ovaj završni rad izrađen je u Osijeku pod vodstvom doc.dr.sc Josipa Brane u sklopu

Sveučilišnog preddiplomskog studija fizike na Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja

Strossmayera.

Sadržaj

UVOD .......................................................................................................................................................... 7

1. SVJETLOST U SPECIJALNOJ TEORIJI RELATIVNOSTI .................................................................. 8

1.1 POSTULATI SPECIJALNE TEORIJE RELATIVNOSTI................................................................. 8

1.2 SVJETLOSNI STOŽAC .................................................................................................................... 9

2. JEDNADŽBE GIBANJA ZA SVJETLOST U OTR-u........................................................................... 11

2.1 UKRATKO O OTR-u ...................................................................................................................... 11

2.2 RIEMANNOV TENZOR ZAKRIVLJENOSTI ............................................................................... 12

2.3 GEODETSKE KRIVULJE............................................................................................................... 12

2.3 KORIŠTENJE UVJETA 𝒅𝒔𝟐 = 𝟎 ................................................................................................... 14

3. GIBANJE SVJETLOSTI U SCHWARZSCHILDOVOM GRAVITACIJSKOM POLJU ..................... 15

3.1 SCHWARZSCHILDOVO RJEŠENJE EINSTENOVIH JEDNADŽBI ........................................... 16

3.2 GIBANJE ČESTICA U GRAVITACIJSKOM POLJU OPISANOM SCHWARZSCHILDOVIM

RJEŠENJEM .......................................................................................................................................... 17

3.3 STAZE MASIVNIH ČESTICA U SCHWARZSCHILDOVOJ METRICI ..................................... 19

3.4 SAVIJANJE SVJETLOSNE ZRAKE U PODRUČJU VELIKIH MASA ........................................ 19

3.5 UČINCI GRAVITACIJSKIH LEĆA ............................................................................................... 21

3.6 GRAVITACIJSKI PLAVI I CRVENI POMAK .............................................................................. 22

4. GIBANJE SVJETLOSTI U KERROVOJ METRICI ............................................................................. 25

4.1 KERROVO RJEŠENJE.................................................................................................................... 25

4.2 GIBANJE ČESTICA I FOTONA U KERROVOJ METRICI .......................................................... 27

ZAKLJUČAK ............................................................................................................................................ 29

LITERATURA ........................................................................................................................................... 30

ŽIVOTOPIS ............................................................................................................................................... 31

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera Završni rad

Odjel za fiziku

GIBANJE SVJELTOSTI U EINSTENOVOJ TEORIJI GRAVITACIJE

DOMAGOJ MAROŠEVIĆ

Sažetak

Opća teorija relativnosti je fizikalna teorija koju je razvio i objavio Albert Einstein

1915.godine i opisuje gravitaciju u modernoj fizici. Ona je geometrijska teorija koja postulira da

prisutnost mase i energije zakrivljuje prostor-vrijeme i da ta zakrivljenost određuje put čestica i

svjetlosti. U radu je pojašnjeno gibanje čestica u gravitacijskom polju, kao i gibanje čestica,

odnosno svjetlosti koristeći Schwarzschildovo i Kerrovo rješenje Einstenovih jednadžbi

Rad pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi: Einsteinove jednadžbe/ Kerrovo rješenje/Schwarzschildovo rješenje/teorija

relativnnosti

Mentor: doc.dr.sc Josip Brana

Ocjenjivači:

Rad prihvaćen: odlukom odbora za završne radove

University Josip Juraj Storssmayer Bachelor of Physics Thesis

Department of Physics

GIBANJE SVJELTOSTI U EINSTENOVOJ TEORIJI GRAVITACIJE

DOMAGOJ MAROŠEVIĆ

Abstract

The general theory of relativity is a physical theory which was developed and published

by Albert Einstein in 1915, and which describes gravitation in modern physics. The general

theory of relativity is a geometrical theory which postulates that the presence of mass and energy

curves space-time, and that the curvature affects the path of particles and light. The thesis

explains the motion of particles in a gravitational field, as well as the motion of particles, i.e., of

light, using the Schwarzschild’s and Kerr’s solution of Einstein’s equations.

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords: Einsteins equations/Kerr's decisions/Schwarzschild's decisions/theroy of releativity

Supervisor: doc.dr.sc Josip Brana

Reviewers:

Thesis accepted: odlukom odbora za završne radove

7

UVOD Krajem XIX. i početkom XX. stoljeća fizika se suočavala s ogromnim problemima.

Osnovne tvrdnje teorije − Newtonove klasične mehanike, koja je smatrana točnom i kroz više od

200 godina mnogo puta provjerenom, bile su u suprotnosti s temeljnim tvrdnjama tadašnje "nove

fizike" − Maxwellove elektrodinamike. Vodeći znanstvenici ulagali su ogroman trud

pokušavajući razriješiti taj paradoks. Tek je 1905. mladi, nepoznati fizičar Albert Einstein, u

članku publiciranom u Annalen der Physik1 1905., riješio problem na spektakularan način:

Newtonova klasična mehanika samo je približno točna teorija kad su brzine male u udnosu na

brzinu svjetlosti, a Maxwellova elektrodinamika je ispravna teorija bez ikakvih ograničenja! Tu

novu Einsteinovu teoriju koja zamjenjuje Newtonovu klasičnu mehaniku i predstavlja temelj

moderne fizike nazivamo Specijalna teorija relativnosti ( u daljnjem dijelu teksta STR2). Bit

nesuglasja između klasične mehanike i elektrodinamike najlakše se vidi na primjeru

najjednostavnijih fizikalnih veličina. Cjelokupna fizika, i klasična i moderna, bazirana je na

principu relativnosti. Teorija nosi naziv relativnosti jer je u okviru nje relativizirano vrijeme. Ne

postoji apsolutno vrijeme i ne postoji apsolutni prostor. Rečene veličine mjerljive su samo u

odnosu na nekog promatrača. Točka s koje promatrač promatra događaj (sustav promatranja)

jednako je točna kao točka gledišta (sustav promatranja) bilo kojeg drugog promatrača koji se

giba nekom drugom brzinom. Opća i specijalna teorija relativnosti našle su praktičnu primjenu u

novije vrijeme – GPS. Točnost atomskih satova omogućila je izgradnju GPS-a, ali bez

uračunavanja utjecaja velikih masa, kao i gibanja na tijek vremena, taj sustav se za globalno

pozicioniranje ne bi mogao biti izgrađen. Također razvojem astronomije i satelita postignut je

veliki napredak u istraživanju svemira, što je bilo važno za STR jer razvojem satelita i velikih

teleskopa, poput Hubbleovog teleskopa, mogli su se promatrati učinci gravitacijskih leća, crveni

gravitacijski pomaci, a isto tako 1999.g je otkriveno da se svemir ubrzano širi. Opća teorija

relativnosti (u daljnjem dijelu teksta OTR), kao teorija zasnovana na čvrstim principima, također

predviđa i objekte poput crnih rupa, za čije postojanje imamo čvrste dokaze, postojanje paralelnih

svemira i crvotočina, bijelih rupa i sl. Einsteinova opća teorija relativnosti nije tek puko

proširenje Newtonovog općeg zakona gravitacije. Ona je puno više od toga. Opća teorija

relativnosti ne omogućava samo precizniji račun gibanja u gravitacijskom polju nego predviđa

1 Jedan od najstarijih znanstvenih časopisa koji izlazi od 1799.g 2 1915.g Einstein uveo taj naziv

8

cijeli niz potpuno novih fenomena povezanih s gravitacijom. Prve tri pojave koje su bile izvan

dosega Newtonovog zakona gravitacije, a koje je opća teorija relativnosti uspješno objasnila bile

su: anomalija u zakretu Merkurova perihela, skretanje svjetlosti u blizini Sunca i gravitacijski

crveni pomak. To su tri klasična testa opće teorije relativnosti koje je predložio (i objasnio)

Einstein 1916. godine. U narednim godinama provedeni su brojni, sve precizniji, eksperimenti

koji su pokazali izvrsno slaganje opažanja s teorijom.

1. SVJETLOST U SPECIJALNOJ TEORIJI RELATIVNOSTI

Michelson-Morleyev pokus bio je pokus iz 1887. godine koji su sprovela dvojica

nanstvenika Albert Abraham Michelson i Edward Williams Morley. Pokusom su htjeli dokazati

postojanje apsolutnog prostora s eterom, ali njihov pokus nije dokazao postojanje etera. Pokus je

promijenio postulate klasične fizike. Rezultati ovog pokusa i do danas se smatraju definitivnim

dokazom da svjetlonosni eter ne postoji. Pokusom su pokušali su odrediti razliku u brzini dva

svjetlosna snopa. Za mjerenje im je poslužio Michelsonov interferometar, uređaj koji u

suvremeno doba ima primjenu u spektrometriji. Prvi svjetlosni snop koji su mjerili dolazio je iz

pravca orbitalnog kretanja Zemlje oko Sunca. Drugi svjetlosni snop dolazio je iz pravca koji je

pod pravim kutem u odnosu na Zemljino gibanje. Prema njihovoj nultoj hipotezi, svjetlosni snop

iz smjera gibanja Zemlje kreće se protiv "eterskog vjetra", zbog čega bi mu brzina morala biti

manja od brzine drugog svjetlosnog snopa. Pokus je više puta ponovljen. Nije uočena nikakva

razlika u brzinama. Lorentz-Fitzgeraldova hipoteza kontrakcije pokušala je objasniti rezultate

neuspjeha pokusa, a konačno rješenje dao je 1905. Albert Einstein

1.1 POSTULATI SPECIJALNE TEORIJE RELATIVNOSTI Albert Einstein je 1905. protumačio rezultat Michelsonovog eksperimenta. Kao posljedicu

invarijantnosti Maxwellovih jednadžbi uvodi princip da je brzina svjetlosti univerzalna i neovisna, a

vrijeme ovisno o sustavu motrenja. Zaključio je da eter ne postoji, te daje sljedeće postulate:

1. postulat specijalne teorije relativnosti – princip konstantnosti brzine svjetlosti: Brzina svjetlosti

u vakuumu (c = 2,998·108 m/s) jednaka je u svim inercijskim referentnim sustavima i ne ovisi o gibanju

izvora ili detektora svjetlosti.

9

2. postulat specijalne teorije relativnosti (proširenje Galileijevog principa relativnosti): Svi

prirodni zakoni imaju isti oblik u svim inercijskim sustavima, tj. u sustavima koji se relativno jedan prema

drugom gibanju jednoliko po pravcu.

Einstein je pokazao da ova dva postulata nisu proturječna, kako je izgledalo u klasičnoj

fizici, nego da, uzeta zajedno, objašnjavaju sve poteškoće klasične fizike, a i predviđaju niz

posljedica koje su kasnije bile eksperimentalno provjerene. Polazeći od ova dva postulata,

Einstein je izgradio specijalnu teoriju relativnosti. Primjetimo da je drugi postulat uključen u prvi.

Kada brzina svjetlosti ne bi bila konstantna, mjerenjem te brzine mogli bismo ustanoviti da li se

nalazimo u sustavu koji miruje ili se giba jednoliko pravocrtno.

Na taj način shvaća elektromagnetsko titrajuće polje kao samosvojan fizikalni objekt koji ima

valnu narav i širi se u vakuumu brzinom c=299792.458 km/s. Dvadesetak godina kasnije je ustanovljeno

da i ostale materijalne čestice kao što su npr. elektroni imaju valnu narav.

1.2 SVJETLOSNI STOŽAC

Svjetskim događajem, nazivamo svaki događaj koji se može dogoditi trenutno u nekoj

točki prostora. To npr. može biti raspad neutrona, emisija ili apsorbcija fotona u atoma i sl.

Razmotrimo u sustavu S dva svjetska događaja A i B. Događaj A u trenutku tA u točki s

koordinatama (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝑎) i događaj B u trenutku tB u točki s koordinatama (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 , 𝑧𝐵). Izraz:

∆𝑠2 = 𝑐2(𝑡𝐴 − 𝑡𝐵)2 − (𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)

2 − (𝑦𝐴 − 𝑦𝐵)2 − (𝑧𝐴 − 𝑧𝐵)

2 (1.0)

nazivamo intervalom između dva svjetska događaja A i B.

Interval se ne mijenja pri Lorentzovim transformacijama. Veličine koje se ne mijenjaju pri

Lorentzovim transformacijama zovemo invarijantama ili skalarima. Interval je invarijanta –

skalar i smatra se najznačajnijom invarijantom u teoriji relativnosti. Iz definicije intervala očito je

da interval može biti pozitivan, nula ili negativan.

Interval pozitivan ∆𝑠2 > 0, prevladava njegova vremenska komponenta pa ga zovemo

interval vremenskog tipa. Takav tip intervala uvijek je povezan s gibanjem jedne točkaste

čestice.

10

Interval jednak 0 ∆𝑠2 = 0, interval je svjetlosnog tipa, zato što je za sve procese vezane

uz širenje svjetlosti interval jednak nuli.

Interval negativan ∆𝑠2 < 0, prevladava njegova prostorna komponenta pa ga zovemo

interval prostornog tipa.

Gornje osobine su apsolutno. Ukoliko je interval negativan u nekom sustavu motrenja S, on je

negativan u bilo kojem drugom sustavu motrenja S'.

Nadalje, postavlja se pitanje: Ukoliko se u nekom sustavu motrenja dva događaja A i B

zbivaju u različitim trenutcima, da li je moguće i kada je moguće naći neki sustav motrenja S'

u kojem su oni istovremeni? Pretpostavimo li da je moguće tada je u S' 𝑡𝐴′ = 𝑡𝐵

′ pa se vidi da

je u S' interval negativan, odnosno prostornog tipa. Zbog invarijantnosti on je negativan u bilo

kojem drugom sustavu motrenja S. Dakle, moguće je naći neki sustav motrenja S' u kojem su

događaji istovremeni ako i samo ako je interval prostornog tipa.

Npr. uzmimo da se događaj A zbio u 0, tj 𝑡𝐴 = 0, 𝑥𝐴 = 0, 𝑦𝐴 = 0, 𝑧𝐴 = 0, a trenutak i

koordinate događaja B obilježimo s 𝑡𝐵 = 𝑡, 𝑥𝐵 = 𝑥, 𝑦𝐵 = 𝑦, 𝑧𝐵 = 𝑧. Tadaa je interval

između 0 i B u sustavu S:

𝑠2 = 𝑐2𝑡2 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2

(1.1)

Koji može biti pozitivan, nula ili negativan. Razmotrimo interval svjetlosnog tipa, tj.

jednadžbu:

𝑐2𝑡2 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 = 0

(1.2)

Predočimo ovu jednadžbu u 3D prostoru isključivanjem, zbog simetrije, jedne komponente,

npr. z. Tada jednadžba:

𝑐2𝑡2 − 𝑥2 − 𝑦2 = 0

(1.3)

Predstavlja jednadžbu kružnog stošca. Takav stožac zovemo svjetlosnim stošcem.

11

Slika 1. Svjetlosni stožac

2. JEDNADŽBE GIBANJA ZA SVJETLOST U OTR-u

2.1 UKRATKO O OTR-u

Opća teorija relativnosti fizikalna je teorija koju je Albert Einstein objavio u

članku Osnove opće teorije relativnosti (njem. Die Grundlage der allgemeinen

Relativitätstheorie), 20. ožujka 1916. godine. Ova teorija predstavlja relativističko

poopćenje Newtonove teorije gravitacije. Einstein kaže da je STR bila dječja igra u usporedbi s

OTR-om. Leži na osnovnim principima.

Princip relativnosti: zakoni fizike isti u svim sustavima (inercijalnim i

neinercijalnim)

Princip kovarijantnosti: zakoni fizike moraju imati isti oblik u svim koordinatnim

sistemima

Lorentzova invarijantnost: zakoni specijalne relativnosti vrijede lokalno za sve

inercijalne sustave

Prostorvrijeme je zakrivljeno

To je geometrijska teorija gravitacije koja ujedinjuje specijalnu relativnost, Newtonov zakon

gravitacije i činjenicu da je gravitacijska akceleracija posljedica zakrivljenosti prostorvremena.

12

Koristi 3Riemannovu geometriju i tenzorski račun. Također OTR predviđa gravitacijski crveni

pomak, gravitacijsku dilataciju vremena, gravitacijsko skretanje svjetlosti, postojanje crnih rupa

itd.

2.2 RIEMANNOV TENZOR ZAKRIVLJENOSTI

Riemannov tenzor zakrivljenosti je mjerilo zakrivljenosti prostora. On je različit od nule

tj. bar jedna njegova komponentra je različita od nule, kada je prostor doista zakrivljen.

Veličine:

𝑅 𝜇𝛽𝛾𝛼 = 𝛤𝛽𝜇|𝛾

𝛼 − 𝛤𝛾𝜇|𝛽𝛼 + 𝛤𝜈𝛾

𝛼𝛤𝛽𝜇𝜈 − 𝛤𝜈𝛽

𝛼 𝛤𝛾𝜇𝜈

(2.0)

čine tenzor i nazivamo ga Riemannov tenzor zakrivljenosti. U slučaju ravnog prostora sve su

njegove komponente jednake nuli, u bilo kojem sustavu koordinata:

𝑅 𝜇𝛽𝛾𝛼 = 0

(2.1)

Gornju jednadžbu možemo smatrati jednadžbom koja vrijedi za ravan prostor tj. prostor bez

gravitacije.

2.3 GEODETSKE KRIVULJE

U okviru Eninsteinova programa opisa gravitacijskog polja čestica se giba u zakrivljenom

prostor-vremenu (zakrivljuju ga velike mase) po stazama najkraćeg puta tzv. geodetskim

krivuljama, koje u takvom prostoru uopće nisu pravci nego krivulje.

U pseudo-Riemannovu prostor-vremenu, udaljenost između dviju točaka a i b, određena je

sa:

𝑆𝑎𝑏 = ∫𝑑𝑠 = ∫√𝑔𝛼𝛽𝑑𝑥𝛼𝑑𝑥𝛽 = ∫√𝑔𝛼𝛽(𝑥𝜇)�̇�𝛼�̇�𝛽𝑑𝑠

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

(2.2)

3 Georg Friedrich Bernhard Riemann (17. rujna 1826. – 20. srpnja 1866.) njemački matematičar

13

gdje je uvedena skraćenica: 𝑑𝑥𝛼

𝑑𝑠= �̇�𝛼

Čestica se giba po takvim krivuljama 𝑥𝑎(𝑝) u prostoru duž koji je 𝑆𝑎𝑏 najmanji. Ukoliko

za parametar 𝑝 odaberemo luk 𝑠, to bi značilo da moramo pronaći minumum funkcije (2.2).

Minimiziranje te funkcije, ekvivalentno je riješavanju Euler-Lagrangeovih jednadžbi:

𝑑

𝑑𝑠(𝜕𝐿

𝜕�̇�𝜇) −

𝜕𝐿

𝜕𝑥𝜇= 0

(2.3)

gdje je 𝐿 = √𝑔𝛼𝛽(𝑥)�̇�𝛼�̇�𝛽. Nakon deriviranja dobiju se sljedeće jednadžbe:

∆𝜕𝐿

𝜕𝑥𝜇=

1

2√𝑔𝛼𝛽(𝑥)�̇�𝛼�̇�𝛽𝑔𝛼𝛽|𝜇(𝑥)�̇�

𝛼�̇�𝛽

(2.4)

𝑑

𝑑𝑠(𝜕𝐿

𝜕�̇�𝜇) =

1

√𝑔𝛼𝛽(𝑥)�̇�𝛼�̇�𝛽[𝑔𝛼𝜇|𝛽�̇�

𝛽�̇�𝛼 + 𝑔𝛼𝜇�̈�𝛼]

(2.5)

što ukupno za jednadžbu (2.4) daje:

�̈�𝜈 + 𝛤𝛼𝛽

𝜈 �̇�𝛼�̇�𝛽 = 0

(2.6)

To su jednadžbe geodetskih krivulja za česticu u zakrivljenom prostor-vremenu, gdje su 𝛤𝛼𝛽𝛾

Christoffelovi simboli i potpuno su određeni metričkim tenzorom:

𝛤𝛼𝛽𝜇 =

𝑔𝜇𝛾

2[𝑔𝛼𝛾|𝛽 + 𝑔𝛽𝛾|𝛼 − 𝑔𝛼𝛽|𝛾] (2.7)

14

Slika 2. Mreža nulgeodetskih krivulja sa svjetlosnim stošcima u zakrivljenom prostoru

2.3 KORIŠTENJE UVJETA 𝒅𝒔𝟐 = 𝟎

Znamo da za svjetlost vrijedi 𝑑𝑠2 = 0, tako da gore napisano ne možemo koristiti. Da

bismo uzeli u obzir i tzv. nul-geodetske krivulje definiramo geodetske krivulje s 𝑥𝑎(𝑝) u pseudo-

Riemannovom prostoru, duž kojih se njihov tangencijalni vektor 𝑡𝛼 =𝑑𝑥𝛼

𝑑𝑝 ne mijenja, tj. vrijedi:

𝐷𝑡𝛼 = 0, odakle s dijeljenjem 𝑑𝑝 dolazimo do jednadžbi geodestkih krivulja u kojima je

potrebno samo zamijeniti parametar elementa luka 𝑠 bilo s kojim afinim parametrom 𝑝. Iz

definicije možemo zaključiti da se tangente paralelno premještaju duž geodetske krivulje.

U slučaju masivne čestice: 𝑑𝑢𝛼

𝑑𝑠= 0, (𝑢𝛼 − č𝑒𝑡𝑣𝑒𝑟𝑜𝑏𝑟𝑧𝑖𝑛𝑎 č𝑒𝑠𝑡𝑖𝑐𝑒) . Prirodno poopćenje

jednadžbe gibanja slobodne čestice u zakrivljenom prostoru je 𝑑𝑢𝛼 = 0. Raspisano:

𝑑𝑢𝛼 + 𝛤𝛽𝛾

𝛼 𝑢𝛽𝑑𝑥𝛾 = 0

(2.8)

Gore navedeni izraz, dijeljenjem s 𝑑𝑠 odmah daje jednadžbu geodetskih krivulja.

15

U slučaju 4D prostor-vremena, jednadžbe geodetskih krivulja su 4 obične difernecijalne,

nelinearne jednadžbe drugog reda. Pri njihovom rješavanju, umjesto jedne od njih, možemo

iskoristiti jednadžbe za kvadrat elementa luka kao prvi integral:

𝑐2 = 𝑔𝛼𝛽�̇�𝛼�̇�𝛽 (2.9)

Gdje je deriviranje po vlastitom vremenu 𝜏, a u slučaju gibanja svjetlosti u gravitacijskom polju:

0 = 𝑔𝛼𝛽�̇�𝛼�̇�𝛽 (2.10)

U zakrivljenom prostoru staze čestica, odnosno geodetske krivulje leže unutar svjetlosnih

stožaca, a svjetlosne zrake tj. nul-geodetske krivulje leže na njima.

3. GIBANJE SVJETLOSTI U SCHWARZSCHILDOVOM

GRAVITACIJSKOM POLJU Albert Einstein je 1915.g objavio 10 jednadžbi opće teorije relativnosti koje opisuju

gravitacijsku silu kao zakrivljenje prostor-vremenu uzrukovano materijom i energijom. Te

jednadžbe se nazivaju Einsteinove jednadžbe gravitacijskog polja, a one su oblika:

𝑅𝜇𝜈 =

8𝜋𝐺

𝑐4(𝑇𝜇𝜈 −

1

2𝑔𝜇𝜈𝑇)

(3.011)

ili s kozomološkom konstantom:

𝑅𝜇𝜈 =

8𝜋𝐺

𝑐4(𝑇𝜇𝜈 −

1

2𝑔𝜇𝜈𝑇) − 𝑔𝜇𝜈𝛬

(3.112)

U ovom pogavlju ramatrat će se gibanje svjetlosti u gravitacijskom polju određenom

4Schwarzschildovim rješenjem Einsteinovih jednadžbi. Karl Schwarzschild je 1916.g egzaktno

riješio Einsteinove jednadžbe teorijom gravitacije zaokruženom za sfernosimetrični statički

slučaj.

4 Karl Schwarzschild (9. listopada, 1873. – 11. svibnja, 1916.) njemački fizičar i astronom

16

3.1 SCHWARZSCHILDOVO RJEŠENJE EINSTENOVIH JEDNADŽBI

Schwarzschildovo rješenje einstenovih jednadžbi:

𝑔𝛼𝛽 =

(

1 −𝑟𝑔

𝑟0 0 0

0 −1

1 −𝑟𝑔𝑟

0 0

0 0 −𝑟2 00 0 0 −𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜗)

(3.2)

Gdje je 𝑟𝑔 gravitacijski polumjer 𝑟𝑔 =2𝐺𝑀

𝑐2. Zadržat ćemo se na slučaju gibanja nerelativističkim

brzinama (𝑣 ≪ 𝑐) u slabim pojima (𝑟𝑔 ≪ 𝑟), tj. tipičnoj Keplerovoj zadaći o gibanju planeta u

polju Sunca (𝑟𝑔 ≈ 3𝑘𝑚 𝑧𝑎 𝑆𝑢𝑛𝑐𝑒).

Pripadajući interval je:

𝑑𝑠2 = (1 −𝑟𝑔

𝑟) 𝑐2𝑑𝑡2 −

1

1 −𝑟𝑔𝑟

𝑑𝑟2 − 𝑟2(𝑑𝜗2 + 𝑠𝑖𝑛2𝜗𝑑𝜑2)

(3.2)

Iz ovog rješenja se vidi da je u ovoj metrici opseg kružnice u ravnini 𝜗 = 𝜋 2⁄ sa zadanim

𝑟 jednak 2𝑟𝜋, a udaljenost između dviju točaka 𝑟1 i 𝑟2 duž 𝑟 je:

∫𝑑𝑟

√1 −𝑟𝑔𝑟

≥ 𝑟2 − 𝑟1

𝑟2

𝑟1

(3.3)

Vrijeme koje protječe u nekoj prostornoj točki – vlastito vrijeme 𝑑𝜏 je:

𝑑𝜏 = (1 −

𝑟𝑔

𝑟) 𝑑𝑡 ≤ 𝑑𝑡

(3.413)

Vlastito se vrijeme usporava u blizini masa, satovi kucaju sporije nego daleko od masa. Ovi

učinci, iako su u blizini zemlje mali, moraju se uzimati u obzir u GPS-u pri mjerenju udaljenosti

pomoću elektromagnetskih valova. U točki 𝑟 = 𝑟𝑔 metrički tenzor ima singularitet.

17

3.2 GIBANJE ČESTICA U GRAVITACIJSKOM POLJU OPISANOM

SCHWARZSCHILDOVIM RJEŠENJEM

U Einsteinovu programu gibanje masa (probnih čestica) u gravitacijskom polju određeno je

geodetskim krivuljama:

�̈�𝜈 + 𝛤𝛼𝛽

𝜈 �̇�𝛼�̇�𝛽 = 0 → �̇�𝛼 ≡𝑑𝑥𝛼

𝑑𝜏

(3.5)

Za metrički tenzor (𝑔𝛼𝛽) Cristoffelovi simboli različiti od nula su:

𝛤100 =

𝑟𝑔𝑟2

2 (1 −𝑟𝑔𝑟), 𝛤001 =

𝑟𝑔

2𝑟2(1 −

𝑟𝑔

𝑟) , 𝛤11

1 =−𝑟𝑔𝑟2

2 (1 −𝑟𝑔𝑟),

𝛤221 = −𝑟 (1 −

𝑟𝑔

𝑟) , 𝛤33

1 = −𝑟 (1 −𝑟𝑔

𝑟) 𝑠𝑖𝑛2𝜗,

𝛤122 =

1

𝑟, 𝛤332 = −sin𝜗 cos 𝜗 ,

𝛤133 =

1

𝑟, 𝛤233 = 𝑐𝑡𝑔𝜗,

(3.6)

gdje je 𝑟𝑔 =2𝐺𝑀

𝑐2 gravitacijski polumjer, a 𝛤𝛼𝛽

𝜈 su simetrični.

Jednadžbe geodetskih krivulja tada su za 𝑥0 = 𝑐𝑡:

𝑑

𝑑𝑠[(1 −

𝑟𝑔

𝑟) 𝑡 ̇] = 0

(14)

Jednadžba za 𝑥1 = 𝑟:

(1 −

𝑟𝑔

𝑟)−1

�̈� +𝑟𝑔

2𝑟2𝑐2�̇�2 − (1 −

𝑟𝑔

𝑟)−2 𝑟𝑔

2𝑟2�̇�2 − 𝑟(�̈�2 + 𝑠𝑖𝑛2𝜗�̇�2) = 0

(3.8)

Za 𝑥2 = 𝜗:

�̈� +

2

𝑟�̇��̇� − sin 𝜗 cos 𝜗 �̇�2 = 0

(3.9)

Za 𝑥3 = 𝜑:

18

�̈� + 2𝑐𝑡𝑔𝜗�̇��̇� +

2

𝑟�̇��̇� = 0

(150)

Rješenje jednadžbe (3.9) isto kao u klasičnoj Kepplerovoj zadaći (gibanje je u ravnini)

→ 𝜗 = 𝜋 2⁄

Lako se može uočiti da se iz gornjih jednadžbi mogu dobiti prvi integrali:

(1 −

𝑟𝑔

𝑟) �̇� = 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

(1611)

𝑟2�̇� = ℎ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

(3.12)

Tada jednadžba (3.8) ima oblik:

(1 −

𝑟𝑔

𝑟)−1

�̈� +𝑟𝑔

2𝑟2𝑐2�̇�2 − (1 −

𝑟𝑔

𝑟)−2 𝑟𝑔

2𝑟2�̇�2 − 𝑟�̇�2 = 0

(3.13)

Formula 𝑝𝜇 = 𝑚𝑢𝜇 u slučaju jedinične mase prelazi u 𝑝𝜇 = �̇�𝜇, ali kako je 𝑝𝜈 = 𝑔𝜇𝜈𝑝𝜇,

dobivamo za cikličke koordinate 𝑥0 = 𝑐𝑡, 𝑥3 = 𝜑:

𝑝0 = 𝑔00𝑝0 = 𝑔00�̇�

0 = (1 −𝑟𝑔

𝑟) 𝑐𝑡,̇

𝑝3 = 𝑔00𝑝3 = 𝑔33�̇�

3 = −𝑟2�̇�

No, prema (3.11) i (3.12) imamo: 𝑝0 = 𝑐𝑘, 𝑝3 = −ℎ, ali prema () je 𝑝0 =𝐸

𝑐, dok je 𝑝3 negativni

moment impulsa jedinične mase. Tako da je konačno: 𝑘 =𝐸

𝑐2, a ℎ je 𝐿𝑧 moment impulsa

jedinične mase duž Oz.

U slučaju bilo koje mase: 𝑘 =𝐸

𝑚𝑐2, ℎ =

𝐿𝑧

𝑚.

Umjesto jednadžbe drugog reda (3.13) moguće je koristiti prvi integral, tj. „energijsku“

jednadžbu 𝑝𝜇𝑔𝜇𝜈𝑝𝜈 = 𝑝𝜇𝑝𝜇 = 𝑚

2𝑐2 koja je u slučaju jedinične mase:

𝑔𝜇𝜈�̇�

𝜇�̇�𝜈 = 𝑐2,

(3.1417)

a za nul-geodetske krivulje (𝑚 = 0)

𝑔𝜇𝜈�̇�

𝜇�̇�𝜈 = 0

(3.15)

19

U slučaju jedinične mase deriviranje u jednadžbi (3.14) obavlja se po vlastitom vremenu 𝜏, a u

slučaju od nul-geodetskih krivulja po nekom afinom parametru duž geodetskih krivulja.

3.3 STAZE MASIVNIH ČESTICA U SCHWARZSCHILDOVOJ METRICI

Za Schwarzschildovu metriku jednadžbe geodetskih krivulja (3.11),(3.12) i energijska jednadžba

(3.14) su:

(1 −

𝑟𝑔

𝑟) �̇� = 𝑘

(3.1618)

𝑐2 (1 −𝑟𝑔

𝑟) �̇�2 − (1 −

𝑟𝑔

𝑟)−1

�̇�2 − 𝑟2�̇�2 = 𝑐2 (3.17)

𝑟2�̇� = ℎ

(3.18)

Deriviranje se obavlja po vlastitom vremenu. Ukoliko zamjenimo (3.16) i (3.18) u (3.17)

dobivamo energijsku jednadžbu u obliku:

�̇�2 +

ℎ2

𝑟2(1 −

𝑟𝑔

𝑟) − 𝑐2

𝑟𝑔

𝑟= 𝑐2(𝑘2 − 1)

(3.19)

3.4 SAVIJANJE SVJETLOSNE ZRAKE U PODRUČJU VELIKIH MASA

Gibanje zrake svjetlosti u gravitacijskom poljut u OTR-u opisano je gore u tekstu i slično

je kao i u masivnih objekata. Razlika je u drugačijem obliku nulgeodetskih krivulja:

�̈�𝜈 + 𝛤𝛼𝛽𝜈 �̇�𝛼�̇�𝛽 = 0 → �̇�𝛼 ≡

𝑑𝑥𝛼

𝑑𝑞 (3.2019)

jer je za bilo koja dva beskonačno bliska događaja povezana s prostiranjem svjetlosti:

𝑑𝑠2 = 0 (2021)

Iz jednadžbe (3.20) u slučaju Schwarzschildove metrike određene sa (3.2) podjednake su kao i u

slučaju masivne čestice (3.7). Jednostavnim matematičkim računom i kombiniranjem jednadžbi

dolazimo do jednadžbe čije približno rješenje nas zanima:

𝑢′′ + 𝑢 =3𝑟𝑔

2𝑢2 (3.2221)

20

Član na desnoj strani jednadžbe je malen u usporedbi s ostallima, što je očito ako ga napišemo u

obliku 3𝑟𝑔

2𝑟𝑢, jer je omjer gravitacijskog polumjera Sunca 𝑟𝑔 i polumjera Sunca vrlo mali. Zbog

toga član na desnoj strani jednadžbe (3.22) možemo smatrati malom smetnjom i rješenje potražizi

računom smjetnje do prvih popravaka:

𝑢0′′ + 𝑢0 = 0

𝑤′′ + 𝑤 =3𝑟𝑔

2𝑢02

(3.23)

Rješenje prve jednadžbe je:

𝑢0 = 𝑎 sin𝜑 (3.24)

gdje je početak računanja kuta uzet 𝜑 = 0. Rješenje (3.24) izraženo preko polumjera je:

𝑟 sin𝜑 = 𝑟0 (225)

gdje 𝑟0 ima smisao najbližeg rastojanja zrake od Sunca.

Slika 3. Savijanje zrake svjetlosti u blizini velikih masa

Rješenje jednadžbe:

𝑤′′ +𝑤 =3𝑟𝑔

2𝑟02 𝑠𝑖𝑛𝜑

2 =3𝑟𝑔

4𝑟02 (1 − cos 2𝜑) (23.26)

je:

𝑤 =3𝑟𝑔

4𝑟02 (1 +

1

3cos 2𝜑) (2427)

Pa je ukupno rješenje:

21

𝑢 =sin𝜑

𝑟0+3𝑟𝑔

4𝑟02 (1 +

1

3cos 2𝜑) (3.28)

U graničnom slučaju koji nas zanima 𝑟 → ∞ pa 𝑢 =1

𝑟→ 0, a 𝜑 → 𝛿 ≈ 0 i jednadžba (3.28)

prelazi u:

0 =𝛿

𝑟0+3𝑟𝑔

4𝑟02 (1 +

1

3) (3.29)

Ako uzmemo u obzir da je i na drugoj strani isti preostali kut, to je ukupan kut skretanja zrake

svjetlosti u gravitacijskom polju Sunca:

∆𝜑 = 2𝛿 =2𝑟𝑔

𝑟0=4𝑀𝐺

𝑐2𝑟0 (3.30)

Proračun vrijednosti ∆𝜑 za prolazak zrake tik pored sunčeva diska daje ∆𝜑 = 1.75′′. Valja

napomenuti kako je Eddingtonova ekspedicija 1919.g u Afriku za potpune pomrčine Sunca

potvrdila predviđanja OTR-a.

3.5 UČINCI GRAVITACIJSKIH LEĆA

Gravitacijske leće su galaktike ili skupine galaktika koje svojim gravitacijskim poljem

skreću svjetlost udaljenih izvora na putu prema Zemlji pa nastaju lažne slike, često složene i

nepravilne, oblika djeteline, lukova, a katkada i prstena (Einsteinov prsten). Za razliku od

galaktika koje su makroleće, zvijezde djeluju kao mikroleće. Gravitacijske leće uzrokuju

treptanje svjetlosti udaljenih izvora u vremenu od nekoliko dana koliko im je u gibanju potrebno

da prijeđu preko svjetlosnog puta. Učinak gravitacijskih leća poslužio je da se uoči razdioba

tamne tvari u svemiru. Napravljena je karta tamne tvari do udaljenosti ≈ 7𝑚𝑙𝑟𝑑. svjetlosnih

godina.

22

Slika 4. Učinak gravitacijske leće

3.6 GRAVITACIJSKI PLAVI I CRVENI POMAK

U schwarzschildoboj metrici kvadrat elementa luka određen je jednadžbom (3.2), a

jednadžbe nulgeodetskih krivulja sa jednadžbom:

0 = (1 −𝑟𝑔

𝑟) 𝑐2�̇�2 −

�̇�2

1 −𝑟𝑔𝑟

− 𝑟2(�̇�2 + 𝑠𝑖𝑛2𝜗�̇�2) (3.31)

Za slučaj radijalnog gibanja zrake svjetlosti, tj. 𝜗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝜑 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, ostaju samo jednadžbe za

𝑟 i 𝑐𝑡, gdje je komplciranija jednadžba za 𝑟 zamjenjena prvim integralom:

0 = (1 −𝑟𝑔

𝑟) 𝑐2𝑑𝑡2 −

𝑑𝑟2

1 −𝑟𝑔𝑟

(3.32)

Odnosno:

0 = (1 −𝑟𝑔

𝑟) 𝑐2�̇�2 −

�̇�2

1 −𝑟𝑔𝑟

(3.33)

a jednadžba za 𝑐𝑡 je:

𝑑

𝑑𝑝[(1 −

𝑟𝑔

𝑟) �̇�] = 0 (3.34)

23

gdje se derivira po nekom afinom parametru p. Množenjem jednadžbe (3.33) s: 1 −𝑟𝑔𝑟⁄ i

integriranje (3.34) dobije se da je parametar 𝑝 linearno povezan s koordinatom 𝑟 pa je bolje

odmah integrirati jednadžbu (3.32). Iz nje slijedi:

𝑐𝑑𝑡 = ±𝑑𝑟

|1 −𝑟𝑔𝑟| (25)

Gornji znak „+“ u jednadžbi pokazuje da se 𝑟 povećava kada 𝑡 raste, tj zraka svjetlsoti odlazi od

gravitirajućeg objekta. Ta se rješenja nazivaju odlazeća, a preostala sa suprotnim predznakom,

dolazeća.

Slika 5. Mreža nulgeodetskih krivulja sa svjetlosnim stošcima za Schwarzschildovo rješenje

Potražit ćemo i usporedit periode titranja svjetlosti koja polazi iz jedne fiksne prostorne

točke (E) i dolazi u drugu (M) s istima 𝜗, 𝜑 odnosno radi se o fiksnom izvoru zračenja u E i

fiksnom motritelju u M, duž polumjera 𝑟. Iz gornje slike vidljivo je da dvije zrake svjetlosti

emitirane iz E u razmaku ∆𝑡𝐸 koordinatnog vremena, stižu duž nulgeodetskih krivulja točku M u

istom razmaku koordinatnog vremena. Vlastito i koordinadno vijeme u svakoj točki prostora

definirani su sa ∆𝜏 =∆𝑠

𝑐= √𝑔(00)(�⃗�)∆𝑡 pa dalje slijedi:

24

∆𝜏𝐸∆𝜏𝑀

=√𝑔(00)(�⃗�𝐸)

√𝑔(00)(�⃗�𝑀)

(26)

Ukoliko se radi o periodima titranja svjetlosti (𝑇𝐸𝑖 𝑇𝑀) u dvjema različitim točkama:

𝑇𝐸𝑇𝑀=𝑓𝑀𝑓𝐸=√𝑔(00)(�⃗�𝐸)

√𝑔(00)(�⃗�𝑀)

(27)

Gdje je 𝑓 = 1 𝑇⁄ pripadajuća frekvencija titranja svjetlosti. Gornji izraz je općenit i vrijedi za

svaku stacionarnu metriku. Iz njega je vidljivo kada je 𝑔(00)(�⃗�𝐸) → 0 tada 𝑓𝑀 → 0, 𝜆 → ∞. Dakle

imamo beskonačan gravitacijski crveni pomak. Plohe na kojimaje 𝑔(00)(�⃗�𝐸) = 0 nazivamo

plohama beskonačnog crvenog pomaka. U Schwarzschilodovoj metrici:r

𝑇𝐸𝑇𝑀=𝑓𝑀𝑓𝐸= √

1 −𝑟𝑔𝑟𝐸

1 −𝑟𝑔𝑟𝑀

(3.38)

Pa je ploha beskonačnog crvenog pomaka sfera polumjera 𝑟𝑔 =2𝐺𝑀

𝑐2.

Za slučaj kada je 𝑟𝑔

𝑟𝑖≪ 1 gornja se funkcija razvojem u red po malim veličinama može

približno napisati:

𝑓𝑀𝑓𝐸= √

1 −𝑟𝑔𝑟𝐸

1 −𝑟𝑔𝑟𝑀

≈1 −

𝑟𝑔2𝑟𝐸

1 −𝑟𝑔2𝑟𝑀

≈ (1 −𝑟𝑔

2𝑟𝐸) (1 +

𝑟𝑔

2𝑟𝑀) ≈ 1 +

𝑟𝑔

2(1

𝑟𝑀−1

𝑟𝐸) (28)

U blizini površine Zemlje: 𝑟𝑀 = 𝑅𝑧 + ℎ𝑀, 𝑟𝐸 = 𝑅𝑧 + ℎ𝐸, gdje je 𝑅𝑧 polumjer Zemlje, ℎ𝑀 i ℎ𝐸 su

visine motritelja i emitera od površine Zemlje. Ukoliko su ℎ𝑀 i ℎ𝐸 malene u usporedbi s

polumjerom, razvijanjem u red po malim parametrima ℎ𝑀 𝑅𝑧⁄ i ℎ𝐸 𝑅𝑧⁄ i uvrštavanjem izraza za

gravitacijski polumjer Zemlje 𝑟𝑔 =2𝐺𝑀𝑧

𝑐2 u (3.39), dobivamo omjer frekvencija na različitim

visinama od Zemlje:

25

𝑓𝑀𝑓𝐸≈ 1 −

𝐺𝑀𝑧𝑅𝑧2

1

𝑐2(ℎ𝑀 − ℎ𝐸) = 1 −

𝑔

𝑐2(ℎ𝑀 − ℎ𝐸) (29)

Što je točno izraz 𝑓𝑀 = 𝑓𝐸 (1 −𝑔ℎ

𝑐2) dobiven iz princima ekvivalencije. Vidimo, ako je ℎ𝑀 > ℎ𝐸,

da će motritelj opaziti manje frekvencije od izračenih, tj. postoji gravitacijski crveni pomako, kao

i u obratnom slučaju gravitacijski plavi pomak. Važno je napomenuti poznavanje crvenog i

plavog gravitacijskog pomaka vrlo važno u izgradnji GPS sustava.

4. GIBANJE SVJETLOSTI U KERROVOJ METRICI Šezdesetih godina 20.st još jedan poznati matematičar je našao točno rješenje Einstenovih

jednadžbi, ali u slučaju rotirajućih masa. Bio je to Roy Patrick Kerr, novozelandski matematičar,

proučavajući rotirajuće crne rupe došao do interesantnih zaključaka. Dok "obična" crna rupa

jednostavno guta sve što joj dođe u blizinu, postajući sve veća i veća, rotirajuća crna rupa ima

oblik (neutronskog) prstena. Prolaskom kroz takav prsten, neki bi objekt izronio na nekom

drugom mjestu ali i u nekom drugom vremenu! Kerrovo rješenje Einsteinovih jednadžbi bio je

ustvari prvi matematički opis vremeplova. Ovo rješenje je znatno matematički kompliciranije od

Schwarzschildovog.

4.1 KERROVO RJEŠENJE

Koordinatama 𝑡 i 𝜑 opisujemo vrijeme i kut oko osi vrtnje. Stacionarnost i osna simetrija

prostorno-vremenske metrike pretpostavlja da metrički tenzor ne ovisi o tim koordinatama. Kod

„čiste“ rotacije tijela bez translacije metrika bi morala biti invarijantna na istovremenu zamjenu iz

čega se može zaključiti da mora vrijediti:

𝑔01 = 𝑔02 = 𝑔31 = 𝑔32 = 0 (30)

Iz čega slijedi kvadrat elementa luka:

𝑑𝑠2 = 𝑔00𝑐2𝑑𝑡 + 2𝑔03𝑐𝑑𝑡𝑑𝜑 + 𝑔33𝑑𝜑

2 + [𝑔11(𝑑𝑥1)2 + 2𝑔12𝑑𝑥

1𝑑𝑥2 + 𝑔22(𝑑𝑥2)2] (31)

26

Na velikim udaljenostima od rotirajuće mase prostor prelazi u 5prostor Minkowskog, to bi u

ovom slučaju dio kvadrata elementa luka u uglatoj zagradi prešao u oblik: −𝐶[(𝑑𝑥1)2 +

(𝑑𝑥2)2]. Tada (4.1) možemo zapisati u obliku:

𝑑𝑠2 = 𝐴𝑑𝑡2 − 𝐵(𝑑𝜑 − 𝜔𝑑𝑡)2 − 𝐶[(𝑑𝑥1)2 + (𝑑𝑥2)2] (32)

Metrika opisana s (4.2) ima nekoliko značajnih osobina koje se mogu naslutiti i

proučavati i prije određivanja funkcija 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑖 𝜔 iz Ensteinovih jednadžbi. Prvi je učinak

„povlačenje metrike“ zbog vrtnje tijela. U takvoj metrici svi slobodno padajući sustavi motrenja

bivaju povučeni u smjeu vrtnje.

Slika 6. Zanošenje metrike

Druga osoina metrika izvan rotirajućeg tijela je postojanje stacionarnih graničnih ploha, što je u

vezi sa „zanošenjem“ slobodno padajućih sustava motrenja. I treća osobina ove metrike je

postojanje nekoliko obzora događaja.

Ukoliko pretpostavimo da na velikim udaljenostima od rotirajućeg tijela (𝑟 → ∞) metrika

prelazi u metriku prostora Minkowskog i da je metrika izvan obzora događaja nesingularna, tada

postoji jedinstveno rješenje Einstenovih jednadžbi, koje zove Kerrovo rješenje u Boyer-

Lindquist-ovim koordinatama:

𝑑𝑠2 = (1 −2𝜇𝑟

𝜌2) 𝑐2𝑑𝑡2 +

4𝜇𝑎𝑟𝑠𝑖𝑛2𝜃

𝜌2𝑐𝑑𝑡𝑑𝜑 −

𝜌2

𝑟2 − 2𝜇𝑟 + 𝑎2𝑑𝑟2 − 𝜌2𝑑𝜃2

− (𝑟2 + 𝑎2 +2𝜇𝑟𝑎2𝑠𝑖𝑛2𝜃

𝜌2) 𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑑𝜑2

(33)

5 Četverodimenzionalna prostorno-vremenska mnogostrukost

27

Nakon uvođenja konstanti i određenih funkcija, dolazimo do Kerrovog rješenja u konačno obliku:

𝑑𝑠2 = 𝑐2𝑑𝑡2 − 𝑑𝑥2 − 𝑑𝑦2 − 𝑑𝑧2 −2𝜇𝑟3

𝑟4 + 𝑎2𝑧2[𝑐𝑑𝑡 +

𝑟𝑥 + 𝑎𝑦

𝑟2 + 𝑎2𝑑𝑥 +

𝑟𝑦 + 𝑎𝑦

𝑟2 + 𝑎2𝑑𝑦 +

𝑧

𝑟𝑑𝑧]

2

(34)

4.2 GIBANJE ČESTICA I FOTONA U KERROVOJ METRICI

Pri gibanju čestica u gravitacijskom polju s Kerrovom metrikom promatrat ćemo samo

slučaj gibanja u ekvatorijalnoj ravnini određenoj s 𝜃 = 𝜋 2.⁄ Čestica čiji je impuls u početku u

ekvatorijalnoj ravnini ostaje u njoj i dalje. U tom slučaju (4.3) prelazi u:

𝑑𝑠2 = (1 −2𝜇

𝑟) 𝑐2𝑑𝑡2 +

4𝜇𝑎

𝑟𝑐𝑑𝑡𝑑𝜑 −

𝑟2

𝑟2 − 2𝜇𝑟 + 𝑎2𝑑𝑟2

− (𝑟2 + 𝑎2 +2𝜇𝑎2

𝑟)𝑑𝜑2

(35)

odakle je Lagrangeova funkcija za česticu jedinične mase, kao i za foton:

𝐿 = (1 −2𝜇

𝑟) 𝑐2�̇�2 +

4𝜇𝑎

𝑟𝑐�̇��̇� −

𝑟2

𝑟2 − 2𝜇𝑟 + 𝑎2𝑑𝑟2 − (𝑟2 + 𝑎2 +

2𝜇𝑎2

𝑟) �̇�2 (36)

Odmah slijede konstate gibanja 𝑝𝑡 , 𝑝𝜑, jer lagranžijan ne ovisi od tih koordinata:

𝑝𝑡 = (1 −2𝜇

𝑟) 𝑐2�̇� +

2𝜇𝑎

𝑟𝑐�̇� = 𝑘𝑐2

𝑝𝜑 =2𝜇𝑎

𝑟𝑐�̇� − (𝑟2 + 𝑎2 +

2𝜇𝑎2

𝑟) �̇�2 = −ℎ

(37)

Konstante k i h uvedene su tako da u graničnom slučaju 𝑎 → 0 prelaze u konstante uvedene u

poglavlju za Schwarzschildov slučaj. Jednadžbe (4.7) su linearni sustav čije je rješenje:

�̇� =1

∆[(𝑟2 + 𝑎2 +

2𝜇𝑎2

𝑟)𝑘 −

2𝜇𝑎

𝑐𝑟ℎ],

�̇� =1

∆[2𝜇𝑎𝑐

𝑟𝑘 + (1 −

2𝜇

𝑟)ℎ]

(38)

28

Jednadžba za �̇� glasi:

�̇�2 = 𝑐2𝑘2 − 𝜅2 +2𝜅2𝜇

𝑟+𝑎2(𝑐2𝑘2 − 𝜅2) − ℎ2

𝑟2+2𝜇(ℎ − 𝑎𝑐𝑘)2

𝑟3 (39)

gdje je 𝜅2 = 𝑐2 za jediničnu masu, a 𝜅2 = 0 za foton.

Ova se jednadžba u slučaju čestice jedinične mase može napisati u mnogo prikladnijem

energijskom obliku:

1

2�̇�2 + 𝑉𝑒𝑓(𝑟) =

1

2𝑐2(𝑘2 − 1) (40)

gdje je 𝑉𝑒𝑓 efektivni potencijal.

Jednadžbe (4.8) i (4.9) su parametarske jednadžbe gibanja jedinične mase ili fotona u

ekvatorijalnoj ravnini. Deriviranje se provodi po nekom afinom parametru. To su jednadžbe koje

se za razne slučajeve rješavaju numerički. Na donjoj slici, prikazane su nulgeodetske krivulje,

odnosno staze svjetlosti u ekvatorijalnoj ravnini u Kerrovom gravitacijskom polju. Može se lako

uočiti zanošenje staze u smejru vrtnje gravitirajućeg objekta, kao i različito gibanjo ukoliko je

upadna zraka u smjeru ili u suprotnom smjeru od vrnje gravitirajućeg objekta.

Slika 7. Zanošenje staze u smjeru vrtnje gravitirajućeg objekta

29

ZAKLJUČAK Prije 100.g ljudi su živjeli u uvjerenju da su prostor i vrijeme ravni i apsolutni. Nije bilo

mjerljivih pojava ni potreba da se klasična relativnost Galilea i Newtona zamjeni sa nekom

drugom. Danas, međutim, imamo potvrđeno saznanje da živimo u zakrivljenom i relativnom

prostor-vremenu, pa je potreba uključivanja teorije relativnosti u svakodnevnicu postala nužnost.

OTR predstavlja učinkovit model gravitacije i do sada je prošla mnoge promatačke i

eksperimentalne testove. Iako općenito ideja OTR-a nije komplicirana, matematička realizacija je

teška i komplicirana. Danas najveći svjetski znanstvenici rade na idejama koje je Einstein

započeo, ali nije dovršio. Ove godine Einsteinova teorija relativnosti slavi 100.-u godišnjicu i

trenutno je najprihvatiljivija teorija gravitacije i temelj moderne fizike. Potvrđena je u mnogo

pokusa, a jedan od njih je opažanje savijanja zraka svjetlosti u blizini Sunca (velikih masa).

30

LITERATURA

1. BRANA JOSIP, Opća teorija relativnosti, Einsteinova teorija gravitacije

(prvi dio), Odjel za fiziku Sveučilišta J. J. Strossmayera u Osijeku, 2011.g

2. HOBSON M. P., G . P . EFSTATHIOU, A . N . LASENBY, General

relativity, An Introduction for Physicist, Cambridge, university Press, 2006.g

3. CHENG TA-PEI, Relativity, Gravitatio and Cosmology, A basic

introduction; Oxford master series in particle physics, astrophysics and

cosmology, Oxford university press, 2005.g

4. http://static.astronomija.co.rs/teorije/relativnost/teorije/postulati.htm

5. http://eskola.hfd.hr/susreti/Zasto_nam_danas_treba_teorija_relativnosti_M_

Martinis.pdf

6. http://www.mathos.unios.hr/~mdjumic/uploads/diplomski/CVE10.pdf

7. https://en.wikipedia.org/wiki/General_relativity

8. http://albert51.tripod.com/bhole.htm

9. http://inspirehep.net/record/1120647/plots

31

ŽIVOTOPIS Rođen sam 03. kolovoza 1992.g u Vinkovcima, Republika Hrvatska. Pohađao sam Osnovnu

školu „Zrinskih“ u Nuštru. Nakon završene osnovne škole, 2007.g upisao sam Opću gimnaziju u

Vinkovcima, koju sam završio 2007.g. Iste godine, upisao sam preddiplomski studij fizike na

Odjelu za fiziku, pri sveučilištu J. J. Strossmayera, te sam trenutno na 3. godini istog studija.

32