doğrunun analitik i̇ncelenmesi 1
TRANSCRIPT
DO!RUNUN ANAL"T"K "NCELENMES" I
I. DO!RUNUN ANAL"T"K "NCELENMES"A. ANAL"T"K DÜZLEMBir düzlem üzerinde, ba!langıç noktaları ortak ve birbirine dik olan iki sayı ekseni-nin olu!turdu"u sisteme dik koordinat sistemi; üzerinde dik koordinat sistemi bulu-nan düzleme analitik düzlem denir.
Analitik düzlemde her nokta, bu noktadan ek-senlere çizilen diklerle bulunan bir (a, b) gerçelsayı ikilisi ile temsil edilir. a ve b gerçel sayıları-na noktanın koordinatları denir. a gerçel sayısınoktanın apsisi, b gerçel sayısı noktanın ordi-natıdır. Buna göre; x eksenine apsisler ekseni,
y eksenine de ordinatlar ekseni denir.
x ekseni üzerinde noktalar (x, 0) biçimindedir. y ekseni üzerindeki noktalar (0, y) bi-çimindedir.
O(0, 0) noktasına ba!langıç noktası ya da orijin denir.
Koordinat sistemini olu!turan eksenler analitik düzlemi dört bölgeye ayırır. Eksen-ler bu bölgelerin hiçbirine dâhil de"ildir.
P(x, y) noktası;
x > 0 ve y > 0 ise I. bölgede
x < 0 ve y > 0 ise II. bölgede
x < 0 ve y < 0 ise III. bölgede
x > 0 ve y < 0 ise IV. bölgededir.
ÖRNEKAnalitik düzlemde A(4 , n + 2) noktası x ekseni üzerinde, B(m –4, 6) noktası yekseni üzerinde oldu#una göre, P(–n, m) noktası hangi bölgededir?
ÇÖZÜMA(4, n + 2) noktası x ekseni üzerinde ise n + 2 = 0
n = –2 dir.
B(m –4, 6) noktası y ekseni üzerinde ise m –4 = 0
m = 4 tür.
P(–n, m) = P(2, 4) noktası I. bölgededir.
ÖRNEKAnalitik düzlemde A(m + 4, n – 2) noktası analitik düzlemin II. bölgesindeoldu#una göre, P(m . n, m – n) noktası hangi bölgededir?
II. bölge(–, +)
I. bölge(+, +)
III. bölge(–, –)
IV. bölge(+, –)
x
y
y
x
bA(a,b)
aO
•
••
3
Birim karelere bölünmü! bir kâ"ıt üzerinde A, B,C, D, E, K, L noktaları !ekildeki gibi i!aretlenmi!-tir. Bu kareli kâ"ıda A, B, C, D, E noktalarındanbiri orijin olacak biçimde bir dik koordinat sistemiyerle!tiriliyor.
K ve L noktalarının orijine uzaklıkları e!it ol-du"una göre, orijin a!a"ıdakilerden hangisi-dir?
A) A B) B C) C D) D E) E
CHK dik üçgeni olu!turuldu"unda
|KC| = 5 birim olur.
|CL| = 5 birim oldu"undan, orijin C noktası olur.
Analitik düzlemde A(n+2, m–1) noktası orijinigösterdi"ine göre, P(n, m) noktası hangi böl-gededir?
II
A B C D E
KDE
BC
LA 3
5
4 H
KDE
BC L
A
2006 / ÖSS
1
DO!RUNUN ANAL"T"K "NCELENMES" I
I. DO!RUNUN ANAL"T"K "NCELENMES"A. ANAL"T"K DÜZLEMBir düzlem üzerinde, ba!langıç noktaları ortak ve birbirine dik olan iki sayı ekseni-nin olu!turdu"u sisteme dik koordinat sistemi; üzerinde dik koordinat sistemi bulu-nan düzleme analitik düzlem denir.
Analitik düzlemde her nokta, bu noktadan ek-senlere çizilen diklerle bulunan bir (a, b) gerçelsayı ikilisi ile temsil edilir. a ve b gerçel sayıları-na noktanın koordinatları denir. a gerçel sayısınoktanın apsisi, b gerçel sayısı noktanın ordi-natıdır. Buna göre; x eksenine apsisler ekseni,
y eksenine de ordinatlar ekseni denir.
x ekseni üzerinde noktalar (x, 0) biçimindedir. y ekseni üzerindeki noktalar (0, y) bi-çimindedir.
O(0, 0) noktasına ba!langıç noktası ya da orijin denir.
Koordinat sistemini olu!turan eksenler analitik düzlemi dört bölgeye ayırır. Eksen-ler bu bölgelerin hiçbirine dâhil de"ildir.
P(x, y) noktası;
x > 0 ve y > 0 ise I. bölgede
x < 0 ve y > 0 ise II. bölgede
x < 0 ve y < 0 ise III. bölgede
x > 0 ve y < 0 ise IV. bölgededir.
ÖRNEKAnalitik düzlemde A(4 , n + 2) noktası x ekseni üzerinde, B(m –4, 6) noktası yekseni üzerinde oldu#una göre, P(–n, m) noktası hangi bölgededir?
ÇÖZÜMA(4, n + 2) noktası x ekseni üzerinde ise n + 2 = 0
n = –2 dir.
B(m –4, 6) noktası y ekseni üzerinde ise m –4 = 0
m = 4 tür.
P(–n, m) = P(2, 4) noktası I. bölgededir.
ÖRNEKAnalitik düzlemde A(m + 4, n – 2) noktası analitik düzlemin II. bölgesindeoldu#una göre, P(m . n, m – n) noktası hangi bölgededir?
II. bölge(–, +)
I. bölge(+, +)
III. bölge(–, –)
IV. bölge(+, –)
x
y
y
x
bA(a,b)
aO
•
••
3
Birim karelere bölünmü! bir kâ"ıt üzerinde A, B,C, D, E, K, L noktaları !ekildeki gibi i!aretlenmi!-tir. Bu kareli kâ"ıda A, B, C, D, E noktalarındanbiri orijin olacak biçimde bir dik koordinat sistemiyerle!tiriliyor.
K ve L noktalarının orijine uzaklıkları e!it ol-du"una göre, orijin a!a"ıdakilerden hangisi-dir?
A) A B) B C) C D) D E) E
CHK dik üçgeni olu!turuldu"unda
|KC| = 5 birim olur.
|CL| = 5 birim oldu"undan, orijin C noktası olur.
Analitik düzlemde A(n+2, m–1) noktası orijinigösterdi"ine göre, P(n, m) noktası hangi böl-gededir?
II
A B C D E
KDE
BC
LA 3
5
4 H
KDE
BC L
A
2006 / ÖSS
2
DO!RUNUN ANAL"T"K "NCELENMES" I
I. DO!RUNUN ANAL"T"K "NCELENMES"A. ANAL"T"K DÜZLEMBir düzlem üzerinde, ba!langıç noktaları ortak ve birbirine dik olan iki sayı ekseni-nin olu!turdu"u sisteme dik koordinat sistemi; üzerinde dik koordinat sistemi bulu-nan düzleme analitik düzlem denir.
Analitik düzlemde her nokta, bu noktadan ek-senlere çizilen diklerle bulunan bir (a, b) gerçelsayı ikilisi ile temsil edilir. a ve b gerçel sayıları-na noktanın koordinatları denir. a gerçel sayısınoktanın apsisi, b gerçel sayısı noktanın ordi-natıdır. Buna göre; x eksenine apsisler ekseni,
y eksenine de ordinatlar ekseni denir.
x ekseni üzerinde noktalar (x, 0) biçimindedir. y ekseni üzerindeki noktalar (0, y) bi-çimindedir.
O(0, 0) noktasına ba!langıç noktası ya da orijin denir.
Koordinat sistemini olu!turan eksenler analitik düzlemi dört bölgeye ayırır. Eksen-ler bu bölgelerin hiçbirine dâhil de"ildir.
P(x, y) noktası;
x > 0 ve y > 0 ise I. bölgede
x < 0 ve y > 0 ise II. bölgede
x < 0 ve y < 0 ise III. bölgede
x > 0 ve y < 0 ise IV. bölgededir.
ÖRNEKAnalitik düzlemde A(4 , n + 2) noktası x ekseni üzerinde, B(m –4, 6) noktası yekseni üzerinde oldu#una göre, P(–n, m) noktası hangi bölgededir?
ÇÖZÜMA(4, n + 2) noktası x ekseni üzerinde ise n + 2 = 0
n = –2 dir.
B(m –4, 6) noktası y ekseni üzerinde ise m –4 = 0
m = 4 tür.
P(–n, m) = P(2, 4) noktası I. bölgededir.
ÖRNEKAnalitik düzlemde A(m + 4, n – 2) noktası analitik düzlemin II. bölgesindeoldu#una göre, P(m . n, m – n) noktası hangi bölgededir?
II. bölge(–, +)
I. bölge(+, +)
III. bölge(–, –)
IV. bölge(+, –)
x
y
y
x
bA(a,b)
aO
•
••
3
Birim karelere bölünmü! bir kâ"ıt üzerinde A, B,C, D, E, K, L noktaları !ekildeki gibi i!aretlenmi!-tir. Bu kareli kâ"ıda A, B, C, D, E noktalarındanbiri orijin olacak biçimde bir dik koordinat sistemiyerle!tiriliyor.
K ve L noktalarının orijine uzaklıkları e!it ol-du"una göre, orijin a!a"ıdakilerden hangisi-dir?
A) A B) B C) C D) D E) E
CHK dik üçgeni olu!turuldu"unda
|KC| = 5 birim olur.
|CL| = 5 birim oldu"undan, orijin C noktası olur.
Analitik düzlemde A(n+2, m–1) noktası orijinigösterdi"ine göre, P(n, m) noktası hangi böl-gededir?
II
A B C D E
KDE
BC
LA 3
5
4 H
KDE
BC L
A
2006 / ÖSS
3
ÖRNEKAnalitik düzlemde A(–3, 4) ve B(2, 5) noktalarından e!it uzaklıkta ve y ekseniüzerinde bulunan noktanın ordinatı kaçtır?
ÇÖZÜMy ekseni üzerinde bulunan nokta P(0, y) olsun.
|AP| = |BP| ise
9 + 16 – 8y + y2 = 4+ 25 – 10y + y2
2y = 4
y = 2 olur.
ÖRNEKABO ikizkenar üçgen
|OB| = |OA|
B(–3, 4)
Yukarıdaki verilere göre, A noktasının apsisi kaçtır?
ÇÖZÜMA noktası x ekseni üzerinde oldu!undanordinatı 0'dır.
|OA| = |OB|
a = 5 veya a = –5 olur.
A noktası x ekseninin negatif tarafında oldu!undan a = –5 tir.
ÖRNEKAnalitik düzlemde, A(1, 2) ve B(5, –1) noktaları bir karenin ardı"ık iki kö"esidir.
Bu karenin çevresi kaç birimdir?
ÇÖZÜM
Karenin kenar uzunlukları e"it oldu!un-dan Ç(ABCD) = 4 · 5 = 20 birim olur.
| | ( ) ( ( ))
| | ( )
| | .
AB
AB
AB birimdir
1 5 2 1
4 3 16 9
25 5
2 2
2 2
= - + - -
= - + = +
= =
D
A(1, 2) B(5, –1)
C
( )aa
a
3 40 9 16
25
02 2 2 2
2
2
+ = - +
+ = +
=
B(–3, 4)
A(a, 0) O x
y
B(–3, 4)
A O x
y
(– ) ( ) ( ) ( )y y3 0 4 2 0 52 2 2 2- + - = - + -
Do"runun Analitik #ncelenmesi I
6
Analitik düzlemde; A(n – 3, 2 – m) ve B(n + 1, –1 – m) noktaları arasındaki uzaklıkkaç birimdir?
ABO bir üçgen [BA] ! [OA]
A(–4, 6)
Yukarıdaki verilere göre, |BO| uzunlu!u kaçbirimdir?
!ekildeki analitik düzlemde
[PB] ! [PA], |PA| = |PB|, A(–3, –5) ve P(0, –1) dir.
Buna göre, |AB| uzunlu!u kaç birimdir?
5 2
y
x
P
B
A
ll
Oll
13
A(–4, 6)
B O x
y
5
4
Sayfa 7
DO!RUNUN ANAL"T"K "NCELENMES" I
I. DO!RUNUN ANAL"T"K "NCELENMES"A. ANAL"T"K DÜZLEMBir düzlem üzerinde, ba!langıç noktaları ortak ve birbirine dik olan iki sayı ekseni-nin olu!turdu"u sisteme dik koordinat sistemi; üzerinde dik koordinat sistemi bulu-nan düzleme analitik düzlem denir.
Analitik düzlemde her nokta, bu noktadan ek-senlere çizilen diklerle bulunan bir (a, b) gerçelsayı ikilisi ile temsil edilir. a ve b gerçel sayıları-na noktanın koordinatları denir. a gerçel sayısınoktanın apsisi, b gerçel sayısı noktanın ordi-natıdır. Buna göre; x eksenine apsisler ekseni,
y eksenine de ordinatlar ekseni denir.
x ekseni üzerinde noktalar (x, 0) biçimindedir. y ekseni üzerindeki noktalar (0, y) bi-çimindedir.
O(0, 0) noktasına ba!langıç noktası ya da orijin denir.
Koordinat sistemini olu!turan eksenler analitik düzlemi dört bölgeye ayırır. Eksen-ler bu bölgelerin hiçbirine dâhil de"ildir.
P(x, y) noktası;
x > 0 ve y > 0 ise I. bölgede
x < 0 ve y > 0 ise II. bölgede
x < 0 ve y < 0 ise III. bölgede
x > 0 ve y < 0 ise IV. bölgededir.
ÖRNEKAnalitik düzlemde A(4 , n + 2) noktası x ekseni üzerinde, B(m –4, 6) noktası yekseni üzerinde oldu#una göre, P(–n, m) noktası hangi bölgededir?
ÇÖZÜMA(4, n + 2) noktası x ekseni üzerinde ise n + 2 = 0
n = –2 dir.
B(m –4, 6) noktası y ekseni üzerinde ise m –4 = 0
m = 4 tür.
P(–n, m) = P(2, 4) noktası I. bölgededir.
ÖRNEKAnalitik düzlemde A(m + 4, n – 2) noktası analitik düzlemin II. bölgesindeoldu#una göre, P(m . n, m – n) noktası hangi bölgededir?
II. bölge(–, +)
I. bölge(+, +)
III. bölge(–, –)
IV. bölge(+, –)
x
y
y
x
bA(a,b)
aO
•
••
3
Birim karelere bölünmü! bir kâ"ıt üzerinde A, B,C, D, E, K, L noktaları !ekildeki gibi i!aretlenmi!-tir. Bu kareli kâ"ıda A, B, C, D, E noktalarındanbiri orijin olacak biçimde bir dik koordinat sistemiyerle!tiriliyor.
K ve L noktalarının orijine uzaklıkları e!it ol-du"una göre, orijin a!a"ıdakilerden hangisi-dir?
A) A B) B C) C D) D E) E
CHK dik üçgeni olu!turuldu"unda
|KC| = 5 birim olur.
|CL| = 5 birim oldu"undan, orijin C noktası olur.
Analitik düzlemde A(n+2, m–1) noktası orijinigösterdi"ine göre, P(n, m) noktası hangi böl-gededir?
II
A B C D E
KDE
BC
LA 3
5
4 H
KDE
BC L
A
2006 / ÖSS
5
Sayfa 3
DO!RUNUN ANAL"T"K "NCELENMES" I
I. DO!RUNUN ANAL"T"K "NCELENMES"A. ANAL"T"K DÜZLEMBir düzlem üzerinde, ba!langıç noktaları ortak ve birbirine dik olan iki sayı ekseni-nin olu!turdu"u sisteme dik koordinat sistemi; üzerinde dik koordinat sistemi bulu-nan düzleme analitik düzlem denir.
Analitik düzlemde her nokta, bu noktadan ek-senlere çizilen diklerle bulunan bir (a, b) gerçelsayı ikilisi ile temsil edilir. a ve b gerçel sayıları-na noktanın koordinatları denir. a gerçel sayısınoktanın apsisi, b gerçel sayısı noktanın ordi-natıdır. Buna göre; x eksenine apsisler ekseni,
y eksenine de ordinatlar ekseni denir.
x ekseni üzerinde noktalar (x, 0) biçimindedir. y ekseni üzerindeki noktalar (0, y) bi-çimindedir.
O(0, 0) noktasına ba!langıç noktası ya da orijin denir.
Koordinat sistemini olu!turan eksenler analitik düzlemi dört bölgeye ayırır. Eksen-ler bu bölgelerin hiçbirine dâhil de"ildir.
P(x, y) noktası;
x > 0 ve y > 0 ise I. bölgede
x < 0 ve y > 0 ise II. bölgede
x < 0 ve y < 0 ise III. bölgede
x > 0 ve y < 0 ise IV. bölgededir.
ÖRNEKAnalitik düzlemde A(4 , n + 2) noktası x ekseni üzerinde, B(m –4, 6) noktası yekseni üzerinde oldu#una göre, P(–n, m) noktası hangi bölgededir?
ÇÖZÜMA(4, n + 2) noktası x ekseni üzerinde ise n + 2 = 0
n = –2 dir.
B(m –4, 6) noktası y ekseni üzerinde ise m –4 = 0
m = 4 tür.
P(–n, m) = P(2, 4) noktası I. bölgededir.
ÖRNEKAnalitik düzlemde A(m + 4, n – 2) noktası analitik düzlemin II. bölgesindeoldu#una göre, P(m . n, m – n) noktası hangi bölgededir?
II. bölge(–, +)
I. bölge(+, +)
III. bölge(–, –)
IV. bölge(+, –)
x
y
y
x
bA(a,b)
aO
•
••
3
Birim karelere bölünmü! bir kâ"ıt üzerinde A, B,C, D, E, K, L noktaları !ekildeki gibi i!aretlenmi!-tir. Bu kareli kâ"ıda A, B, C, D, E noktalarındanbiri orijin olacak biçimde bir dik koordinat sistemiyerle!tiriliyor.
K ve L noktalarının orijine uzaklıkları e!it ol-du"una göre, orijin a!a"ıdakilerden hangisi-dir?
A) A B) B C) C D) D E) E
CHK dik üçgeni olu!turuldu"unda
|KC| = 5 birim olur.
|CL| = 5 birim oldu"undan, orijin C noktası olur.
Analitik düzlemde A(n+2, m–1) noktası orijinigösterdi"ine göre, P(n, m) noktası hangi böl-gededir?
II
A B C D E
KDE
BC
LA 3
5
4 H
KDE
BC L
A
2006 / ÖSS
6
ÇÖZÜMII. bölgedeki bir noktanının apsisi negatif, ordinatı pozitiftir.
A(m + 4, n – 2) noktası için
m + 4 < 0 ! m < –4, m negatif (–)
n – 2 > 0 ! n > 2, n pozitif (+) çıkar.
P(m . n, m – n) noktası için
m . n < 0 ve m – n < 0 olur.
P(–, –) noktası III. bölgededir.
ÖRNEK
Analitik düzlemde; A(a – 7, –5) noktası ile B(–2, 5 – a) noktası aynı bölgededir.
Buna göre, a nın alabilece!i tam sayı de!erini bulunuz.
ÇÖZÜMAynı bölgedeki noktaların apsis ve ordinatlarının i!aretleri de aynı olmalıdır.
a – 7 < 0 ve 5 – a < 0
a < 7 ve a > 5 olur
5 < a < 7 oldu"undan a = 6 dır.
ÖRNEKP(a + 6, a – 2) noktası analitik düzlemin IV. bölgesinde oldu!una göre, a nınalabilece!i tam sayı de!erlerinin toplamı kaçtır?
ÇÖZÜMIV. bölgedeki noktaların apsisleri pozitif, ordinatları negatiftir.
P(a + 6 , a – 2) noktası için
a + 6 > 0 ve a – 2 < 0 olmalıdır.
a > –6 ve a < 2 ko!ulunu sa"layan a de"erleri –6 < a < 2 aralı"ındadır.
–5 + (–4) + (–3) + (–2) –1 + 0 + 1 = –14 olur.
B. "K" NOKTA ARASINDAK" UZAKLIKA(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları verilsin. A ve B noktaları arasındaki uzaklık, [AB] do"-ru parçasının uzunlu"udur.
|AB|2 = |BC|2 + |AC|2
|AB|2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2
|AB| = ( ) ( )x x y y1 22
1 22- + -
y
x
y1A
O •
•y2
x2 x1
x1–x2C
y1–y2B
!"#
!"
#
A(a – 7, –5) B(– 2, 5 – a)
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
4
Analitik düzlemde A(2a, b+3) noktası x ekse-ni üzerinde oldu!una göre, B(1 + a2 , b + 4)noktası hangi bölgededir?
Analitik düzlemde A(a · b, a – b) noktası II.bölgede oldu!una göre, B(a , b) noktası ka-çıncı bölgededir?
A(3a – 1, a + 9) noktasının koordinat eksenle-rine uzaklıkları e"it oldu!una göre, a'nın ala-bilece!i de!erlerin toplamı kaçtır?
3
IV
I
7
Sayfa 4
ÇÖZÜMII. bölgedeki bir noktanının apsisi negatif, ordinatı pozitiftir.
A(m + 4, n – 2) noktası için
m + 4 < 0 ! m < –4, m negatif (–)
n – 2 > 0 ! n > 2, n pozitif (+) çıkar.
P(m . n, m – n) noktası için
m . n < 0 ve m – n < 0 olur.
P(–, –) noktası III. bölgededir.
ÖRNEK
Analitik düzlemde; A(a – 7, –5) noktası ile B(–2, 5 – a) noktası aynı bölgededir.
Buna göre, a nın alabilece!i tam sayı de!erini bulunuz.
ÇÖZÜMAynı bölgedeki noktaların apsis ve ordinatlarının i!aretleri de aynı olmalıdır.
a – 7 < 0 ve 5 – a < 0
a < 7 ve a > 5 olur
5 < a < 7 oldu"undan a = 6 dır.
ÖRNEKP(a + 6, a – 2) noktası analitik düzlemin IV. bölgesinde oldu!una göre, a nınalabilece!i tam sayı de!erlerinin toplamı kaçtır?
ÇÖZÜMIV. bölgedeki noktaların apsisleri pozitif, ordinatları negatiftir.
P(a + 6 , a – 2) noktası için
a + 6 > 0 ve a – 2 < 0 olmalıdır.
a > –6 ve a < 2 ko!ulunu sa"layan a de"erleri –6 < a < 2 aralı"ındadır.
–5 + (–4) + (–3) + (–2) –1 + 0 + 1 = –14 olur.
B. "K" NOKTA ARASINDAK" UZAKLIKA(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları verilsin. A ve B noktaları arasındaki uzaklık, [AB] do"-ru parçasının uzunlu"udur.
|AB|2 = |BC|2 + |AC|2
|AB|2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2
|AB| = ( ) ( )x x y y1 22
1 22- + -
y
x
y1A
O •
•y2
x2 x1
x1–x2C
y1–y2B
!"#
!"
#
A(a – 7, –5) B(– 2, 5 – a)
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
4
Analitik düzlemde A(2a, b+3) noktası x ekse-ni üzerinde oldu!una göre, B(1 + a2 , b + 4)noktası hangi bölgededir?
Analitik düzlemde A(a · b, a – b) noktası II.bölgede oldu!una göre, B(a , b) noktası ka-çıncı bölgededir?
A(3a – 1, a + 9) noktasının koordinat eksenle-rine uzaklıkları e"it oldu!una göre, a'nın ala-bilece!i de!erlerin toplamı kaçtır?
3
IV
I
8
ÇÖZÜMII. bölgedeki bir noktanının apsisi negatif, ordinatı pozitiftir.
A(m + 4, n – 2) noktası için
m + 4 < 0 ! m < –4, m negatif (–)
n – 2 > 0 ! n > 2, n pozitif (+) çıkar.
P(m . n, m – n) noktası için
m . n < 0 ve m – n < 0 olur.
P(–, –) noktası III. bölgededir.
ÖRNEK
Analitik düzlemde; A(a – 7, –5) noktası ile B(–2, 5 – a) noktası aynı bölgededir.
Buna göre, a nın alabilece!i tam sayı de!erini bulunuz.
ÇÖZÜMAynı bölgedeki noktaların apsis ve ordinatlarının i!aretleri de aynı olmalıdır.
a – 7 < 0 ve 5 – a < 0
a < 7 ve a > 5 olur
5 < a < 7 oldu"undan a = 6 dır.
ÖRNEKP(a + 6, a – 2) noktası analitik düzlemin IV. bölgesinde oldu!una göre, a nınalabilece!i tam sayı de!erlerinin toplamı kaçtır?
ÇÖZÜMIV. bölgedeki noktaların apsisleri pozitif, ordinatları negatiftir.
P(a + 6 , a – 2) noktası için
a + 6 > 0 ve a – 2 < 0 olmalıdır.
a > –6 ve a < 2 ko!ulunu sa"layan a de"erleri –6 < a < 2 aralı"ındadır.
–5 + (–4) + (–3) + (–2) –1 + 0 + 1 = –14 olur.
B. "K" NOKTA ARASINDAK" UZAKLIKA(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları verilsin. A ve B noktaları arasındaki uzaklık, [AB] do"-ru parçasının uzunlu"udur.
|AB|2 = |BC|2 + |AC|2
|AB|2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2
|AB| = ( ) ( )x x y y1 22
1 22- + -
y
x
y1A
O •
•y2
x2 x1
x1–x2C
y1–y2B
!"#
!"
#
A(a – 7, –5) B(– 2, 5 – a)
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
4
Analitik düzlemde A(2a, b+3) noktası x ekse-ni üzerinde oldu!una göre, B(1 + a2 , b + 4)noktası hangi bölgededir?
Analitik düzlemde A(a · b, a – b) noktası II.bölgede oldu!una göre, B(a , b) noktası ka-çıncı bölgededir?
A(3a – 1, a + 9) noktasının koordinat eksenle-rine uzaklıkları e"it oldu!una göre, a'nın ala-bilece!i de!erlerin toplamı kaçtır?
3
IV
I
9
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
A(x1, y1) noktasının orijine uzaklı!ı,
ÖRNEKAnalitik düzlemde A(1, 5) ve B(2, –3) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
ÇÖZÜM
ÖRNEKAnalitik düzlemde; A(3, 2) ve B(6, k) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim oldu-!una göre, k nin alabilece!i de!erlerin toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM
9 + (k – 2)2 = 25(k – 2)2 = 25 – 9(k – 2)2 = 16
k – 2 = ! 4k1 = 6, k2 = – 2
k1 + k2 = 6 + (–2) = 4 olur.
ÖRNEKA(2, 1), B(5, –3), P(1, a) noktaları için |AP| = |BP| oldu!una göre, a kaçtır?
ÇÖZÜM|AP| = |BP| ise
1 + (1 – a)2 = 16 + (–3 – a)2
1 + 1 – 2a + a2 = 16 + 9 + 6a + a2
– 23 = 8a
bulunur.a823
=-
( – ) ( – ) ( – ) ( )a a2 1 1 5 1 32 2 2 2+ = + - -
| | ( ) ( )
( )
AB k
k
2 5
3 2 5
6 3 2 2
2 2
= - + - =
+ - =
| | ( – ) ( – ) !
( – ) ( )
.
AB x x y y oldu undan
birim olur
1 2 5 3
1 8
65
1 22
1 22
2 2
2
= +
= + +
= +
=
A(x1, y1 ) noktas›n›n; x eksenine uzakl›¤› |y1|, y eksenine uzakl›¤› |x1| dir.
y
xO(0,0)
•x1
y1
"#$
"#
$
A(x1, x2) |OA| = x1+x22 2
olur.
5
Analitik düzlemde; A(3, –1) ve B(a, 2) nokta-ları orijine e!it uzaklıkta oldu"una göre, a nınalabilece"i de"erlerin çarpımı kaçtır?
P(3, k – 2) noktasının x eksenine uzaklı"ı 4 bi-rim oldu"una göre, k nin alabilece"i de"erlertoplamı kaçtır?
Analitik düzlemde A(6, –3) ve B(1, 9) nokta-ları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
13
4
–6
10
ÖRNEKAnalitik düzlemde A(–3, 4) ve B(2, 5) noktalarından e!it uzaklıkta ve y ekseniüzerinde bulunan noktanın ordinatı kaçtır?
ÇÖZÜMy ekseni üzerinde bulunan nokta P(0, y) olsun.
|AP| = |BP| ise
9 + 16 – 8y + y2 = 4+ 25 – 10y + y2
2y = 4
y = 2 olur.
ÖRNEKABO ikizkenar üçgen
|OB| = |OA|
B(–3, 4)
Yukarıdaki verilere göre, A noktasının apsisi kaçtır?
ÇÖZÜMA noktası x ekseni üzerinde oldu!undanordinatı 0'dır.
|OA| = |OB|
a = 5 veya a = –5 olur.
A noktası x ekseninin negatif tarafında oldu!undan a = –5 tir.
ÖRNEKAnalitik düzlemde, A(1, 2) ve B(5, –1) noktaları bir karenin ardı"ık iki kö"esidir.
Bu karenin çevresi kaç birimdir?
ÇÖZÜM
Karenin kenar uzunlukları e"it oldu!un-dan Ç(ABCD) = 4 · 5 = 20 birim olur.
| | ( ) ( ( ))
| | ( )
| | .
AB
AB
AB birimdir
1 5 2 1
4 3 16 9
25 5
2 2
2 2
= - + - -
= - + = +
= =
D
A(1, 2) B(5, –1)
C
( )aa
a
3 40 9 16
25
02 2 2 2
2
2
+ = - +
+ = +
=
B(–3, 4)
A(a, 0) O x
y
B(–3, 4)
A O x
y
(– ) ( ) ( ) ( )y y3 0 4 2 0 52 2 2 2- + - = - + -
Do"runun Analitik #ncelenmesi I
6
Analitik düzlemde; A(n – 3, 2 – m) ve B(n + 1, –1 – m) noktaları arasındaki uzaklıkkaç birimdir?
ABO bir üçgen [BA] ! [OA]
A(–4, 6)
Yukarıdaki verilere göre, |BO| uzunlu!u kaçbirimdir?
!ekildeki analitik düzlemde
[PB] ! [PA], |PA| = |PB|, A(–3, –5) ve P(0, –1) dir.
Buna göre, |AB| uzunlu!u kaç birimdir?
5 2
y
x
P
B
A
ll
Oll
13
A(–4, 6)
B O x
y
5
11
ÖRNEKAnalitik düzlemde A(–3, 4) ve B(2, 5) noktalarından e!it uzaklıkta ve y ekseniüzerinde bulunan noktanın ordinatı kaçtır?
ÇÖZÜMy ekseni üzerinde bulunan nokta P(0, y) olsun.
|AP| = |BP| ise
9 + 16 – 8y + y2 = 4+ 25 – 10y + y2
2y = 4
y = 2 olur.
ÖRNEKABO ikizkenar üçgen
|OB| = |OA|
B(–3, 4)
Yukarıdaki verilere göre, A noktasının apsisi kaçtır?
ÇÖZÜMA noktası x ekseni üzerinde oldu!undanordinatı 0'dır.
|OA| = |OB|
a = 5 veya a = –5 olur.
A noktası x ekseninin negatif tarafında oldu!undan a = –5 tir.
ÖRNEKAnalitik düzlemde, A(1, 2) ve B(5, –1) noktaları bir karenin ardı"ık iki kö"esidir.
Bu karenin çevresi kaç birimdir?
ÇÖZÜM
Karenin kenar uzunlukları e"it oldu!un-dan Ç(ABCD) = 4 · 5 = 20 birim olur.
| | ( ) ( ( ))
| | ( )
| | .
AB
AB
AB birimdir
1 5 2 1
4 3 16 9
25 5
2 2
2 2
= - + - -
= - + = +
= =
D
A(1, 2) B(5, –1)
C
( )aa
a
3 40 9 16
25
02 2 2 2
2
2
+ = - +
+ = +
=
B(–3, 4)
A(a, 0) O x
y
B(–3, 4)
A O x
y
(– ) ( ) ( ) ( )y y3 0 4 2 0 52 2 2 2- + - = - + -
Do"runun Analitik #ncelenmesi I
6
Analitik düzlemde; A(n – 3, 2 – m) ve B(n + 1, –1 – m) noktaları arasındaki uzaklıkkaç birimdir?
ABO bir üçgen [BA] ! [OA]
A(–4, 6)
Yukarıdaki verilere göre, |BO| uzunlu!u kaçbirimdir?
!ekildeki analitik düzlemde
[PB] ! [PA], |PA| = |PB|, A(–3, –5) ve P(0, –1) dir.
Buna göre, |AB| uzunlu!u kaç birimdir?
5 2
y
x
P
B
A
llOll
13
A(–4, 6)
B O x
y
5
Şekil hatalı çizilmiş doğrusunu biz çizelim.
12
ÇÖZÜM
I. Yol
C noktasının koordinatları (x0, y0) olsun. 2|AC| = |BC| ! dir.
II. Yol
2|AC| = |BC| ise
A dan B ye apsisler 10 – (–2) = 12 artar.
3k = 12 ! k = 4 olur.
A dan C ye k = 4 arttı!ına göre xo = – 2 + 4 = 2 olur.
A dan B ye ordinatlar –2 – (6) = –8 azalır.
3k = –8 ! k = – olur.
A dan C ye k = – azaldı!ına göre 6 – = olur.
C(xo, yo) = bulunur.
ÖRNEKA(2, –3) ve B(–2, 3) olmak üzere, AB do!rusu üzerinde ve [AB] parçasını
oranında dı"tan bölen C noktasının koordinatları nedir?
ÇÖZÜMC noktası (x, y) olsun
A dan B ye apsisler –2 – (2) = –4 (4 birim azalmı")
k = –4 ! 3k = –12 ! x = –2 – 12 = –14 olur.
A dan B ye ordinatlar 3 – (–3) = 6 (6 birim artmı")
k = 6 ! 3k = 18 ! y = 3 + 18 = 21 olur.
C(x, y) = C(–14, 21) bulunur.
B(–2, 3)A(2, –3) C(x,y)•
k!""#""$ 3k!"""#"""$
| |
| |
BC
AC
34
=
2,310c m
310
38
38
38
C(x0,y0)A(–2,6) B(10,–2)
k 2k
( , )– .
,– .
–
,
–
, ,
C x y1 1
2 1 10
1 1
621 2
1022
2310
2
2
2
232
4
23
12
2326
23210
o o =
+
+
+
=
+
= =
J
L
KKKKK
J
L
KKKKK
J
L
KKKKK
c
N
P
OOOOO
N
P
OOOOO
N
P
OOOOO
m
| |
| |
BC
AC 12
=
Do!runun Analitik #ncelenmesi I
10
Yukarıdaki !ekilde A, B, C noktaları do"rusaldır.
oldu!una göre,
C noktasının koordinatları nedir?
Dik koordinat düzlemi üzerine !ekildeki gibiABCD karesi yerle!tirilmi!tir.
Buna göre, D noktasının koordinatlarının top-lamı kaçtır?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
D noktasından x eksenine dik çizersek olu!anDHC üçgeni ile BOC üçgeni e! üçgenler olur.Aynı açıların kar!ısındaki kenarların e!itli"inden|OB| = |CH| = 4 birim|OC| = |DH| = 3 birimBuradan |OH| = 7 birim|DH| = 3 birim olaca"ından D(x, y) = D(7, 3)x + y = 7 + 3
= 10 bulunur.A B C D E
O C(3,0)
B(0,4) D(x,y)
x"
ll" ll
# %&
'
3
%&'4
H
#
O C(3,0)
B(0,4)
A
D(x,y)
x
2009 / ÖSS
(–5,1)
| |
| |
BC
AB2=
B(–3, 0)A(1, –2) C(m,n)
Sayfa 10
13
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
A(x1, y1) noktasının orijine uzaklı!ı,
ÖRNEKAnalitik düzlemde A(1, 5) ve B(2, –3) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
ÇÖZÜM
ÖRNEKAnalitik düzlemde; A(3, 2) ve B(6, k) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim oldu-!una göre, k nin alabilece!i de!erlerin toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM
9 + (k – 2)2 = 25(k – 2)2 = 25 – 9(k – 2)2 = 16
k – 2 = ! 4k1 = 6, k2 = – 2
k1 + k2 = 6 + (–2) = 4 olur.
ÖRNEKA(2, 1), B(5, –3), P(1, a) noktaları için |AP| = |BP| oldu!una göre, a kaçtır?
ÇÖZÜM|AP| = |BP| ise
1 + (1 – a)2 = 16 + (–3 – a)2
1 + 1 – 2a + a2 = 16 + 9 + 6a + a2
– 23 = 8a
bulunur.a823
=-
( – ) ( – ) ( – ) ( )a a2 1 1 5 1 32 2 2 2+ = + - -
| | ( ) ( )
( )
AB k
k
2 5
3 2 5
6 3 2 2
2 2
= - + - =
+ - =
| | ( – ) ( – ) !
( – ) ( )
.
AB x x y y oldu undan
birim olur
1 2 5 3
1 8
65
1 22
1 22
2 2
2
= +
= + +
= +
=
A(x1, y1 ) noktas›n›n; x eksenine uzakl›¤› |y1|, y eksenine uzakl›¤› |x1| dir.
y
xO(0,0)
•x1
y1
"#$
"#
$
A(x1, x2) |OA| = x1+x22 2
olur.
5
Analitik düzlemde; A(3, –1) ve B(a, 2) nokta-ları orijine e!it uzaklıkta oldu"una göre, a nınalabilece"i de"erlerin çarpımı kaçtır?
P(3, k – 2) noktasının x eksenine uzaklı"ı 4 bi-rim oldu"una göre, k nin alabilece"i de"erlertoplamı kaçtır?
Analitik düzlemde A(6, –3) ve B(1, 9) nokta-ları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
13
4
–6
14
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
A(x1, y1) noktasının orijine uzaklı!ı,
ÖRNEKAnalitik düzlemde A(1, 5) ve B(2, –3) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
ÇÖZÜM
ÖRNEKAnalitik düzlemde; A(3, 2) ve B(6, k) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim oldu-!una göre, k nin alabilece!i de!erlerin toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM
9 + (k – 2)2 = 25(k – 2)2 = 25 – 9(k – 2)2 = 16
k – 2 = ! 4k1 = 6, k2 = – 2
k1 + k2 = 6 + (–2) = 4 olur.
ÖRNEKA(2, 1), B(5, –3), P(1, a) noktaları için |AP| = |BP| oldu!una göre, a kaçtır?
ÇÖZÜM|AP| = |BP| ise
1 + (1 – a)2 = 16 + (–3 – a)2
1 + 1 – 2a + a2 = 16 + 9 + 6a + a2
– 23 = 8a
bulunur.a823
=-
( – ) ( – ) ( – ) ( )a a2 1 1 5 1 32 2 2 2+ = + - -
| | ( ) ( )
( )
AB k
k
2 5
3 2 5
6 3 2 2
2 2
= - + - =
+ - =
| | ( – ) ( – ) !
( – ) ( )
.
AB x x y y oldu undan
birim olur
1 2 5 3
1 8
65
1 22
1 22
2 2
2
= +
= + +
= +
=
A(x1, y1 ) noktas›n›n; x eksenine uzakl›¤› |y1|, y eksenine uzakl›¤› |x1| dir.
y
xO(0,0)
•x1
y1
"#$
"#
$
A(x1, x2) |OA| = x1+x22 2
olur.
5
Analitik düzlemde; A(3, –1) ve B(a, 2) nokta-ları orijine e!it uzaklıkta oldu"una göre, a nınalabilece"i de"erlerin çarpımı kaçtır?
P(3, k – 2) noktasının x eksenine uzaklı"ı 4 bi-rim oldu"una göre, k nin alabilece"i de"erlertoplamı kaçtır?
Analitik düzlemde A(6, –3) ve B(1, 9) nokta-ları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
13
4
–6
15
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
A(x1, y1) noktasının orijine uzaklı!ı,
ÖRNEKAnalitik düzlemde A(1, 5) ve B(2, –3) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
ÇÖZÜM
ÖRNEKAnalitik düzlemde; A(3, 2) ve B(6, k) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim oldu-!una göre, k nin alabilece!i de!erlerin toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM
9 + (k – 2)2 = 25(k – 2)2 = 25 – 9(k – 2)2 = 16
k – 2 = ! 4k1 = 6, k2 = – 2
k1 + k2 = 6 + (–2) = 4 olur.
ÖRNEKA(2, 1), B(5, –3), P(1, a) noktaları için |AP| = |BP| oldu!una göre, a kaçtır?
ÇÖZÜM|AP| = |BP| ise
1 + (1 – a)2 = 16 + (–3 – a)2
1 + 1 – 2a + a2 = 16 + 9 + 6a + a2
– 23 = 8a
bulunur.a823
=-
( – ) ( – ) ( – ) ( )a a2 1 1 5 1 32 2 2 2+ = + - -
| | ( ) ( )
( )
AB k
k
2 5
3 2 5
6 3 2 2
2 2
= - + - =
+ - =
| | ( – ) ( – ) !
( – ) ( )
.
AB x x y y oldu undan
birim olur
1 2 5 3
1 8
65
1 22
1 22
2 2
2
= +
= + +
= +
=
A(x1, y1 ) noktas›n›n; x eksenine uzakl›¤› |y1|, y eksenine uzakl›¤› |x1| dir.
y
xO(0,0)
•x1
y1
"#$
"#
$
A(x1, x2) |OA| = x1+x22 2
olur.
5
Analitik düzlemde; A(3, –1) ve B(a, 2) nokta-ları orijine e!it uzaklıkta oldu"una göre, a nınalabilece"i de"erlerin çarpımı kaçtır?
P(3, k – 2) noktasının x eksenine uzaklı"ı 4 bi-rim oldu"una göre, k nin alabilece"i de"erlertoplamı kaçtır?
Analitik düzlemde A(6, –3) ve B(1, 9) nokta-ları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
13
4
–6
16
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
A(x1, y1) noktasının orijine uzaklı!ı,
ÖRNEKAnalitik düzlemde A(1, 5) ve B(2, –3) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
ÇÖZÜM
ÖRNEKAnalitik düzlemde; A(3, 2) ve B(6, k) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim oldu-!una göre, k nin alabilece!i de!erlerin toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM
9 + (k – 2)2 = 25(k – 2)2 = 25 – 9(k – 2)2 = 16
k – 2 = ! 4k1 = 6, k2 = – 2
k1 + k2 = 6 + (–2) = 4 olur.
ÖRNEKA(2, 1), B(5, –3), P(1, a) noktaları için |AP| = |BP| oldu!una göre, a kaçtır?
ÇÖZÜM|AP| = |BP| ise
1 + (1 – a)2 = 16 + (–3 – a)2
1 + 1 – 2a + a2 = 16 + 9 + 6a + a2
– 23 = 8a
bulunur.a823
=-
( – ) ( – ) ( – ) ( )a a2 1 1 5 1 32 2 2 2+ = + - -
| | ( ) ( )
( )
AB k
k
2 5
3 2 5
6 3 2 2
2 2
= - + - =
+ - =
| | ( – ) ( – ) !
( – ) ( )
.
AB x x y y oldu undan
birim olur
1 2 5 3
1 8
65
1 22
1 22
2 2
2
= +
= + +
= +
=
A(x1, y1 ) noktas›n›n; x eksenine uzakl›¤› |y1|, y eksenine uzakl›¤› |x1| dir.
y
xO(0,0)
•x1
y1
"#$
"#
$
A(x1, x2) |OA| = x1+x22 2
olur.
5
Analitik düzlemde; A(3, –1) ve B(a, 2) nokta-ları orijine e!it uzaklıkta oldu"una göre, a nınalabilece"i de"erlerin çarpımı kaçtır?
P(3, k – 2) noktasının x eksenine uzaklı"ı 4 bi-rim oldu"una göre, k nin alabilece"i de"erlertoplamı kaçtır?
Analitik düzlemde A(6, –3) ve B(1, 9) nokta-ları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
13
4
–6
17
ÇÖZÜMII. bölgedeki bir noktanının apsisi negatif, ordinatı pozitiftir.
A(m + 4, n – 2) noktası için
m + 4 < 0 ! m < –4, m negatif (–)
n – 2 > 0 ! n > 2, n pozitif (+) çıkar.
P(m . n, m – n) noktası için
m . n < 0 ve m – n < 0 olur.
P(–, –) noktası III. bölgededir.
ÖRNEK
Analitik düzlemde; A(a – 7, –5) noktası ile B(–2, 5 – a) noktası aynı bölgededir.
Buna göre, a nın alabilece!i tam sayı de!erini bulunuz.
ÇÖZÜMAynı bölgedeki noktaların apsis ve ordinatlarının i!aretleri de aynı olmalıdır.
a – 7 < 0 ve 5 – a < 0
a < 7 ve a > 5 olur
5 < a < 7 oldu"undan a = 6 dır.
ÖRNEKP(a + 6, a – 2) noktası analitik düzlemin IV. bölgesinde oldu!una göre, a nınalabilece!i tam sayı de!erlerinin toplamı kaçtır?
ÇÖZÜMIV. bölgedeki noktaların apsisleri pozitif, ordinatları negatiftir.
P(a + 6 , a – 2) noktası için
a + 6 > 0 ve a – 2 < 0 olmalıdır.
a > –6 ve a < 2 ko!ulunu sa"layan a de"erleri –6 < a < 2 aralı"ındadır.
–5 + (–4) + (–3) + (–2) –1 + 0 + 1 = –14 olur.
B. "K" NOKTA ARASINDAK" UZAKLIKA(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları verilsin. A ve B noktaları arasındaki uzaklık, [AB] do"-ru parçasının uzunlu"udur.
|AB|2 = |BC|2 + |AC|2
|AB|2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2
|AB| = ( ) ( )x x y y1 22
1 22- + -
y
x
y1A
O •
•y2
x2 x1
x1–x2C
y1–y2B
!"#
!"
#A(a – 7, –5) B(– 2, 5 – a)
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
4
Analitik düzlemde A(2a, b+3) noktası x ekse-ni üzerinde oldu!una göre, B(1 + a2 , b + 4)noktası hangi bölgededir?
Analitik düzlemde A(a · b, a – b) noktası II.bölgede oldu!una göre, B(a , b) noktası ka-çıncı bölgededir?
A(3a – 1, a + 9) noktasının koordinat eksenle-rine uzaklıkları e"it oldu!una göre, a'nın ala-bilece!i de!erlerin toplamı kaçtır?
3
IV
I
18
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
ÖRNEK
Analitik düzlemde P(x, y) noktası A(2, –1) ve B(3, 2) noktalarına e#it uzaklıktaoldu!una göre, x ile y arasındaki ba!ıntıyı bulunuz.
ÇÖZÜM
A(2, –1), B(3, 2) ve P(x, y) noktaları için |AP| = |BP| oldu!una göre;
4 – 4x + x2 + 1 + 2y + y2 = 9 – 6x + x2 + 4 – 4y + y2
2x + 6y – 8 = 0
x + 3y – 4 = 0 olur.
C. B"R DO$RU PARÇASININ ORTA NOKTASININ KOORD"NATLARI
[AB] do!ru parçasının orta noktası P(x0, y0) olsun.
ÖRNEK
A(2, 6) ve B(4, –2) noktaları veriliyor.
[AB] do!ru parçasının orta noktasının orijine olan uzaklı!ı kaç birimdir?
ÇÖZÜM
P noktasının orijine uzaklı!ı
| |OP 3 2
13 birim olur.
2 2= +
=
,
( , ) ( , )
,x y
x y
P x y P
22 4
26 2
3 2
3 2
0 0
0 0
0 0
= + = -
= =
=
• • •A(2, 6) P(x0,y0) B(4, –2)
, .xx x
yy y
dir2 201 2
01 2
=+
=+
• • •A(x1,y1)
P(x0,y0)
B(x2,y2)
( ) ( ) ( ) ( )x y x y2 1 3 22 2 2 2- + - - = - + -
7
A(5, 2) ve B(a + 2, b – 1) noktaları veriliyor.
[AB] do!ru parçasının orta noktası orijin üze-rinde oldu!una göre, a + b toplamı kaçtır?
A(4a + 3, –5) ve B(5 – a, 7) noktalarını birle"-tiren AB do!ru parçasının orta noktası y ek-seni üzerinde oldu!una göre, a kaçtır?
38
!
–8
Yandaki flekilde, D, E, F noktalar› ABC üçgeni-nin kenarlar›n›n orta noktalar›d›r. Bir üçgeniniki kenar›n›n orta noktalar›n› birlefltiren do¤ruparças› üçüncü kenara paralel oldu¤undan,DEFB, DFCE, DFEA dörtgenleri paralelkenarolur.
A
E
FB C
D
19
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
ÖRNEK
Analitik düzlemde P(x, y) noktası A(2, –1) ve B(3, 2) noktalarına e#it uzaklıktaoldu!una göre, x ile y arasındaki ba!ıntıyı bulunuz.
ÇÖZÜM
A(2, –1), B(3, 2) ve P(x, y) noktaları için |AP| = |BP| oldu!una göre;
4 – 4x + x2 + 1 + 2y + y2 = 9 – 6x + x2 + 4 – 4y + y2
2x + 6y – 8 = 0
x + 3y – 4 = 0 olur.
C. B"R DO$RU PARÇASININ ORTA NOKTASININ KOORD"NATLARI
[AB] do!ru parçasının orta noktası P(x0, y0) olsun.
ÖRNEK
A(2, 6) ve B(4, –2) noktaları veriliyor.
[AB] do!ru parçasının orta noktasının orijine olan uzaklı!ı kaç birimdir?
ÇÖZÜM
P noktasının orijine uzaklı!ı
| |OP 3 2
13 birim olur.
2 2= +
=
,
( , ) ( , )
,x y
x y
P x y P
22 4
26 2
3 2
3 2
0 0
0 0
0 0
= + = -
= =
=
• • •A(2, 6) P(x0,y0) B(4, –2)
, .xx x
yy y
dir2 201 2
01 2
=+
=+
• • •A(x1,y1)
P(x0,y0)
B(x2,y2)
( ) ( ) ( ) ( )x y x y2 1 3 22 2 2 2- + - - = - + -
7
A(5, 2) ve B(a + 2, b – 1) noktaları veriliyor.
[AB] do!ru parçasının orta noktası orijin üze-rinde oldu!una göre, a + b toplamı kaçtır?
A(4a + 3, –5) ve B(5 – a, 7) noktalarını birle"-tiren AB do!ru parçasının orta noktası y ek-seni üzerinde oldu!una göre, a kaçtır?
38
!
–8
Yandaki flekilde, D, E, F noktalar› ABC üçgeni-nin kenarlar›n›n orta noktalar›d›r. Bir üçgeniniki kenar›n›n orta noktalar›n› birlefltiren do¤ruparças› üçüncü kenara paralel oldu¤undan,DEFB, DFCE, DFEA dörtgenleri paralelkenarolur.
A
E
FB C
D
20
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
ÖRNEK
Analitik düzlemde P(x, y) noktası A(2, –1) ve B(3, 2) noktalarına e#it uzaklıktaoldu!una göre, x ile y arasındaki ba!ıntıyı bulunuz.
ÇÖZÜM
A(2, –1), B(3, 2) ve P(x, y) noktaları için |AP| = |BP| oldu!una göre;
4 – 4x + x2 + 1 + 2y + y2 = 9 – 6x + x2 + 4 – 4y + y2
2x + 6y – 8 = 0
x + 3y – 4 = 0 olur.
C. B"R DO$RU PARÇASININ ORTA NOKTASININ KOORD"NATLARI
[AB] do!ru parçasının orta noktası P(x0, y0) olsun.
ÖRNEK
A(2, 6) ve B(4, –2) noktaları veriliyor.
[AB] do!ru parçasının orta noktasının orijine olan uzaklı!ı kaç birimdir?
ÇÖZÜM
P noktasının orijine uzaklı!ı
| |OP 3 2
13 birim olur.
2 2= +
=
,
( , ) ( , )
,x y
x y
P x y P
22 4
26 2
3 2
3 2
0 0
0 0
0 0
= + = -
= =
=
• • •A(2, 6) P(x0,y0) B(4, –2)
, .xx x
yy y
dir2 201 2
01 2
=+
=+
• • •A(x1,y1)
P(x0,y0)
B(x2,y2)
( ) ( ) ( ) ( )x y x y2 1 3 22 2 2 2- + - - = - + -
7
A(5, 2) ve B(a + 2, b – 1) noktaları veriliyor.
[AB] do!ru parçasının orta noktası orijin üze-rinde oldu!una göre, a + b toplamı kaçtır?
A(4a + 3, –5) ve B(5 – a, 7) noktalarını birle"-tiren AB do!ru parçasının orta noktası y ek-seni üzerinde oldu!una göre, a kaçtır?
38
!
–8
Yandaki flekilde, D, E, F noktalar› ABC üçgeni-nin kenarlar›n›n orta noktalar›d›r. Bir üçgeniniki kenar›n›n orta noktalar›n› birlefltiren do¤ruparças› üçüncü kenara paralel oldu¤undan,DEFB, DFCE, DFEA dörtgenleri paralelkenarolur.
A
E
FB C
D
21
ÖRNEKKö!elerinin koordinatları A(2, –2), B(–1, –5), C(3, 7) olan ABC üçgeninin [BC]kenarına ait kenarortayının uzunlu"u kaç birimdir?
ÇÖZÜM
D(x0, y0) = D(1, 1) olur.
birimdir.
D. PARALELKENARIN KÖ#E NOKTALARININKOORD$NATLARI
ABCD paralelkenarının kö!egenleri bir-birini ortalar.
|AK| = |KC| ve
|BK| = |KD| dir.
Orta nokta formülünden
Yani, paralelkenarın kar!ılıklı kö!elerinin apsisleri toplamı birbirine e!ittir. Aynı !ekil-de, kar!ılıklı kö!elerinin ordinatları toplamı da birbirine e!ittir.
Bu özellik; dikdörtgen, kare ve e!kenar dörtgen için de geçerlidir.
ÖRNEKKö!elerinin koordinatları A(–7, –5), B(1, –1), C(a, b), D(–2, 3) olan ABCD dört-geni bir paralelkenar oldu"una göre a + b toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM
1 + (–2) = a + (–7)a = 6–1 + 3 = b + (–5)b = 7a + b = 6 + 7 = 13 olur.
A(–7, –5) D(–2, 3)
B(1, –1) C(a, b)
.
xx x x x
x x x x
yy y y y
y y y y bulunur
2 2
2 2
01 3 2 4
1 3 2 4
01 3 2 4
1 3 2 4
&
&
=+
=+
+ = +
=+
=+
+ = +
D(x4, y4) C(x3, y3)
A(x1, y1) B(x2, y2)
K(x0,y0)
| | ( ) ( )AD 2 1 2 1 1 3 102 2 2 2= - + - - = + =
,x y21 3 1
25 7 10 0=
- += =
- +=
B(–1, –5) C(3, 7)D(x0, x0)
A(2, –2)
Do"runun Analitik $ncelenmesi I
8
|OC| = 3 birimA(6, 0)
Yukarıdaki verilere göre, OABC dikdörtgeni-
nin kö!egenlerinin kesim noktasının koordi-
natları toplamı kaçtır?
Kö!eleri A(3, 1), B(5, 3) C(2, 5) ve D(a, b) kö-!egenleri [AC] ve [BD] olan paralelkenarın[BD] kö!egeninin uzunlu"u kaç birimdir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Paralelkenardaa + 5 = 3 + 2 ve b + 3 = 5 + 1 oldu!undana = 0 ve b = 3D(a, b) = D( 0, 3) olur.
birimdir.
A B C D E
| | ( ) ( ) 5BD 5 0 3 3 5 02 2 2 2= ! + ! = + =
D(a, b) C(2, 5)
A(3, 1) B(5, 3)
E
2010 / YGS
29
O
C B
y
xA
22
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
ÖRNEK!ekilde [AB] ! [EC] = {C}
|AC| = |CB|
|DE| = 2|DC|
A(4, –2)
B(6, 4)
D(7, –2)
Yukarıdaki verilere göre E noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
ÇÖZÜMC noktası [AB] nin orta noktası oldu"undan
C(a,b) = C(5, 1) dir.C den D ye apsisler 7 – 5 = 2 artar.k = 2 " 2k = 4 , c = 7 + 4 = 11C'den D'ye ordinatlar –2 –1 = –3 azalır.k = –3 " 2k = –6, d = –2–6 = –8 olur.c + d = 11 + (–8) = 3 tür.
F. ÜÇGEN"N A#IRLIK MERKEZ"Kö#elerinin koordinatları
A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeni-nin a"ırlık merkezinin (kenarortaylarının kesimnoktasının) koordinatları G(x0,y0) olsun.
ÖRNEKKö$elerinin koordinatları A(4, 2), B(1,5) ve C(–6, 4) olan ABC üçgeninin a!ırlıkmerkezinin P(2, 1) noktasına uzaklı!ı kaç birimdir?
ÇÖZÜM
–
, ( , )
| |
.
x
y
G ve P
GP
birimdir
34 1 6
31
32 5 4
311
31
311 2 1
231 1
311
949
964
3113
noktaları için
0
2 2
0
=+
=-
=+ +
=
-
= + + -
= + =
cc cm
m m
A(4,2)
G(x0,y0)
B(1,5) C(–6,4)
.
xx x x
y y y olur
3
3
01 2 3
01 2 3
=+ +
+ +y =
A(x1, y1)
G(x0, y0)
B(x2, y2) C(x3, y3)
( )a ve b
26 4 5
24 2
1=+
= =+ -
=
E(c,d)
B(6,4)
A(4,–2)
k D(7,–2)!"#
!$"$# 2kC(a,b)
E
B(6,4)
A(4,–2)
CD(7,–2)
11
Kö!elerinin koordinatları, A(2,4), B(–1,2) veC(3,0) olan ABC üçgeninin BC kenarına aitkenarortayının uzunlu"u kaç birimdir?
A(–1,3) ve B(9,–2) olmak üzere, AB do"ru par-çasını 3|AC| = 2 |BC| olacak !ekilde içten bö-len C noktasının koordinatlarını bulunuz.
Kö!elerinin koordinatları A(4, 2), B(m,–3) veC(5,n) olan ABC üçgeninin a"ırlık merkeziorijinde oldu"una göre, m + n toplamı kaçtır?
–8
(3,1)
ß10
Sayfa 11
23
ÖRNEKKö!elerinin koordinatları A(2, –2), B(–1, –5), C(3, 7) olan ABC üçgeninin [BC]kenarına ait kenarortayının uzunlu"u kaç birimdir?
ÇÖZÜM
D(x0, y0) = D(1, 1) olur.
birimdir.
D. PARALELKENARIN KÖ#E NOKTALARININKOORD$NATLARI
ABCD paralelkenarının kö!egenleri bir-birini ortalar.
|AK| = |KC| ve
|BK| = |KD| dir.
Orta nokta formülünden
Yani, paralelkenarın kar!ılıklı kö!elerinin apsisleri toplamı birbirine e!ittir. Aynı !ekil-de, kar!ılıklı kö!elerinin ordinatları toplamı da birbirine e!ittir.
Bu özellik; dikdörtgen, kare ve e!kenar dörtgen için de geçerlidir.
ÖRNEKKö!elerinin koordinatları A(–7, –5), B(1, –1), C(a, b), D(–2, 3) olan ABCD dört-geni bir paralelkenar oldu"una göre a + b toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM
1 + (–2) = a + (–7)a = 6–1 + 3 = b + (–5)b = 7a + b = 6 + 7 = 13 olur.
A(–7, –5) D(–2, 3)
B(1, –1) C(a, b)
.
xx x x x
x x x x
yy y y y
y y y y bulunur
2 2
2 2
01 3 2 4
1 3 2 4
01 3 2 4
1 3 2 4
&
&
=+
=+
+ = +
=+
=+
+ = +
D(x4, y4) C(x3, y3)
A(x1, y1) B(x2, y2)
K(x0,y0)
| | ( ) ( )AD 2 1 2 1 1 3 102 2 2 2= - + - - = + =
,x y21 3 1
25 7 10 0=
- += =
- +=
B(–1, –5) C(3, 7)D(x0, x0)
A(2, –2)
Do"runun Analitik $ncelenmesi I
8
|OC| = 3 birimA(6, 0)
Yukarıdaki verilere göre, OABC dikdörtgeni-
nin kö!egenlerinin kesim noktasının koordi-
natları toplamı kaçtır?
Kö!eleri A(3, 1), B(5, 3) C(2, 5) ve D(a, b) kö-!egenleri [AC] ve [BD] olan paralelkenarın[BD] kö!egeninin uzunlu"u kaç birimdir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Paralelkenardaa + 5 = 3 + 2 ve b + 3 = 5 + 1 oldu!undana = 0 ve b = 3D(a, b) = D( 0, 3) olur.
birimdir.
A B C D E
| | ( ) ( ) 5BD 5 0 3 3 5 02 2 2 2= ! + ! = + =
D(a, b) C(2, 5)
A(3, 1) B(5, 3)
E
2010 / YGS
29
O
C B
y
xA
24
ÖRNEKKö!elerinin koordinatları A(2, –2), B(–1, –5), C(3, 7) olan ABC üçgeninin [BC]kenarına ait kenarortayının uzunlu"u kaç birimdir?
ÇÖZÜM
D(x0, y0) = D(1, 1) olur.
birimdir.
D. PARALELKENARIN KÖ#E NOKTALARININKOORD$NATLARI
ABCD paralelkenarının kö!egenleri bir-birini ortalar.
|AK| = |KC| ve
|BK| = |KD| dir.
Orta nokta formülünden
Yani, paralelkenarın kar!ılıklı kö!elerinin apsisleri toplamı birbirine e!ittir. Aynı !ekil-de, kar!ılıklı kö!elerinin ordinatları toplamı da birbirine e!ittir.
Bu özellik; dikdörtgen, kare ve e!kenar dörtgen için de geçerlidir.
ÖRNEKKö!elerinin koordinatları A(–7, –5), B(1, –1), C(a, b), D(–2, 3) olan ABCD dört-geni bir paralelkenar oldu"una göre a + b toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM
1 + (–2) = a + (–7)a = 6–1 + 3 = b + (–5)b = 7a + b = 6 + 7 = 13 olur.
A(–7, –5) D(–2, 3)
B(1, –1) C(a, b)
.
xx x x x
x x x x
yy y y y
y y y y bulunur
2 2
2 2
01 3 2 4
1 3 2 4
01 3 2 4
1 3 2 4
&
&
=+
=+
+ = +
=+
=+
+ = +
D(x4, y4) C(x3, y3)
A(x1, y1) B(x2, y2)
K(x0,y0)
| | ( ) ( )AD 2 1 2 1 1 3 102 2 2 2= - + - - = + =
,x y21 3 1
25 7 10 0=
- += =
- +=
B(–1, –5) C(3, 7)D(x0, x0)
A(2, –2)
Do"runun Analitik $ncelenmesi I
8
|OC| = 3 birimA(6, 0)
Yukarıdaki verilere göre, OABC dikdörtgeni-
nin kö!egenlerinin kesim noktasının koordi-
natları toplamı kaçtır?
Kö!eleri A(3, 1), B(5, 3) C(2, 5) ve D(a, b) kö-!egenleri [AC] ve [BD] olan paralelkenarın[BD] kö!egeninin uzunlu"u kaç birimdir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Paralelkenardaa + 5 = 3 + 2 ve b + 3 = 5 + 1 oldu!undana = 0 ve b = 3D(a, b) = D( 0, 3) olur.
birimdir.
A B C D E
| | ( ) ( ) 5BD 5 0 3 3 5 02 2 2 2= ! + ! = + =
D(a, b) C(2, 5)
A(3, 1) B(5, 3)
E
2010 / YGS
29
O
C B
y
xA
25
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
ÖRNEK
Analitik düzlemde P(x, y) noktası A(2, –1) ve B(3, 2) noktalarına e#it uzaklıktaoldu!una göre, x ile y arasındaki ba!ıntıyı bulunuz.
ÇÖZÜM
A(2, –1), B(3, 2) ve P(x, y) noktaları için |AP| = |BP| oldu!una göre;
4 – 4x + x2 + 1 + 2y + y2 = 9 – 6x + x2 + 4 – 4y + y2
2x + 6y – 8 = 0
x + 3y – 4 = 0 olur.
C. B"R DO$RU PARÇASININ ORTA NOKTASININ KOORD"NATLARI
[AB] do!ru parçasının orta noktası P(x0, y0) olsun.
ÖRNEK
A(2, 6) ve B(4, –2) noktaları veriliyor.
[AB] do!ru parçasının orta noktasının orijine olan uzaklı!ı kaç birimdir?
ÇÖZÜM
P noktasının orijine uzaklı!ı
| |OP 3 2
13 birim olur.
2 2= +
=
,
( , ) ( , )
,x y
x y
P x y P
22 4
26 2
3 2
3 2
0 0
0 0
0 0
= + = -
= =
=
• • •A(2, 6) P(x0,y0) B(4, –2)
, .xx x
yy y
dir2 201 2
01 2
=+
=+
• • •A(x1,y1)
P(x0,y0)
B(x2,y2)
( ) ( ) ( ) ( )x y x y2 1 3 22 2 2 2- + - - = - + -
7
A(5, 2) ve B(a + 2, b – 1) noktaları veriliyor.
[AB] do!ru parçasının orta noktası orijin üze-rinde oldu!una göre, a + b toplamı kaçtır?
A(4a + 3, –5) ve B(5 – a, 7) noktalarını birle"-tiren AB do!ru parçasının orta noktası y ek-seni üzerinde oldu!una göre, a kaçtır?
38
!
–8
Yandaki flekilde, D, E, F noktalar› ABC üçgeni-nin kenarlar›n›n orta noktalar›d›r. Bir üçgeniniki kenar›n›n orta noktalar›n› birlefltiren do¤ruparças› üçüncü kenara paralel oldu¤undan,DEFB, DFCE, DFEA dörtgenleri paralelkenarolur.
A
E
FB C
D
26
Sayfa 7
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
ÖRNEK
D(1,5)
E(3,2)
F(5,9)
!ekilde ABC üçgeninde D, E ve F bulundukları kenarların orta noktalarıdır.
Buna göre, C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM[DE] ve [DF] çizildi"inde elde edilen DECFdörtgeni bir paralelkenardır.
a + 1 = 5 + 3 ! a = 7
b + 5 = 9 + 2 ! b = 6
a + b = 7 + 6 = 13 olur.
E. B"R DO#RU PARÇASINI, VER"LEN B"R ORANDABÖLEN NOKTANIN KOORD"NATLARI
1
P noktası; [AB] do"ru parçasını oranında içten bölen noktadır.
2
P noktası; [AB] do"ru parçasını oranında dı#tan bölen noktadır.
ÖRNEKA(–2, 6), B(10, –2) noktaları veriliyor.
2|AC| = |BC| olacak $ekilde AB do!ru parçasını içten bölen C noktasının ko-ordinatları nedir?
| || |PBPA
k=
, .xk
x kxy
ky ky
olur1 101 2
01 2
=-
-=
-
-
| || |
.PBPA
k olsun=
A(x1,y1)P(x0,y0) B(x2,y2)
| || |PBPA
k=
.xk
x kxy
ky ky
olur1 101 2
01 2
=+
+=
+
+
| || |
.PBPA
k olsun=
A(x1,y1) P(x0,y0) B(x2,y2)
A
E(3,2)
F(5,9)B C(a,b)
D(1,5)
A
E(3,2)
F(5,9)B C
D(1,5)
9
Kenarlarının orta noktaları sırasıyla
E(–2, –2)
F(0, 0)
G(m, n) ve
H(–1, 2)
noktaları olan bir ABCD dörtgeni a!a"ıdaki gibiçiziliyor.
Buna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Kenar orta noktaları birle!tirilirse olu!an EFGHdörtgeni paralelkenar olur.
Bundan dolayı
(–2) + m = 0 + (–1) ! m = 1
(–2) + n = 0 + 2 ! n = 4
ve m + n = 5 olur.
Analitik düzlemde, A(3, 7) ve B(7, –1) noktalarıveriliyor.
AB do!ru parçasını 4 e"it parçaya bölen nok-talardan B ye en yakın olanının koordinatla-rını bulunuz.
(6, 1)
A B C D E
C
DA
E(–2,–2)
B
F(0,0)
H(–1,2)
G(m,n)
C
G
DA
E
B
F
H
2008 / ÖSS
27
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
ÖRNEK
D(1,5)
E(3,2)
F(5,9)
!ekilde ABC üçgeninde D, E ve F bulundukları kenarların orta noktalarıdır.
Buna göre, C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM[DE] ve [DF] çizildi"inde elde edilen DECFdörtgeni bir paralelkenardır.
a + 1 = 5 + 3 ! a = 7
b + 5 = 9 + 2 ! b = 6
a + b = 7 + 6 = 13 olur.
E. B"R DO#RU PARÇASINI, VER"LEN B"R ORANDABÖLEN NOKTANIN KOORD"NATLARI
1
P noktası; [AB] do"ru parçasını oranında içten bölen noktadır.
2
P noktası; [AB] do"ru parçasını oranında dı#tan bölen noktadır.
ÖRNEKA(–2, 6), B(10, –2) noktaları veriliyor.
2|AC| = |BC| olacak $ekilde AB do!ru parçasını içten bölen C noktasının ko-ordinatları nedir?
| || |PBPA
k=
, .xk
x kxy
ky ky
olur1 101 2
01 2
=-
-=
-
-
| || |
.PBPA
k olsun=
A(x1,y1)P(x0,y0) B(x2,y2)
| || |PBPA
k=
.xk
x kxy
ky ky
olur1 101 2
01 2
=+
+=
+
+
| || |
.PBPA
k olsun=
A(x1,y1) P(x0,y0) B(x2,y2)
A
E(3,2)
F(5,9)B C(a,b)
D(1,5)
A
E(3,2)
F(5,9)B C
D(1,5)
9
Kenarlarının orta noktaları sırasıyla
E(–2, –2)
F(0, 0)
G(m, n) ve
H(–1, 2)
noktaları olan bir ABCD dörtgeni a!a"ıdaki gibiçiziliyor.
Buna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Kenar orta noktaları birle!tirilirse olu!an EFGHdörtgeni paralelkenar olur.
Bundan dolayı
(–2) + m = 0 + (–1) ! m = 1
(–2) + n = 0 + 2 ! n = 4
ve m + n = 5 olur.
Analitik düzlemde, A(3, 7) ve B(7, –1) noktalarıveriliyor.
AB do!ru parçasını 4 e"it parçaya bölen nok-talardan B ye en yakın olanının koordinatla-rını bulunuz.
(6, 1)
A B C D E
C
DA
E(–2,–2)
B
F(0,0)
H(–1,2)
G(m,n)
C
G
DA
E
B
F
H
2008 / ÖSS
28
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
ÖRNEK
D(1,5)
E(3,2)
F(5,9)
!ekilde ABC üçgeninde D, E ve F bulundukları kenarların orta noktalarıdır.
Buna göre, C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM[DE] ve [DF] çizildi"inde elde edilen DECFdörtgeni bir paralelkenardır.
a + 1 = 5 + 3 ! a = 7
b + 5 = 9 + 2 ! b = 6
a + b = 7 + 6 = 13 olur.
E. B"R DO#RU PARÇASINI, VER"LEN B"R ORANDABÖLEN NOKTANIN KOORD"NATLARI
1
P noktası; [AB] do"ru parçasını oranında içten bölen noktadır.
2
P noktası; [AB] do"ru parçasını oranında dı#tan bölen noktadır.
ÖRNEKA(–2, 6), B(10, –2) noktaları veriliyor.
2|AC| = |BC| olacak $ekilde AB do!ru parçasını içten bölen C noktasının ko-ordinatları nedir?
| || |PBPA
k=
, .xk
x kxy
ky ky
olur1 101 2
01 2
=-
-=
-
-
| || |
.PBPA
k olsun=
A(x1,y1)P(x0,y0) B(x2,y2)
| || |PBPA
k=
.xk
x kxy
ky ky
olur1 101 2
01 2
=+
+=
+
+
| || |
.PBPA
k olsun=
A(x1,y1) P(x0,y0) B(x2,y2)
A
E(3,2)
F(5,9)B C(a,b)
D(1,5)
A
E(3,2)
F(5,9)B C
D(1,5)
9
Kenarlarının orta noktaları sırasıyla
E(–2, –2)
F(0, 0)
G(m, n) ve
H(–1, 2)
noktaları olan bir ABCD dörtgeni a!a"ıdaki gibiçiziliyor.
Buna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Kenar orta noktaları birle!tirilirse olu!an EFGHdörtgeni paralelkenar olur.
Bundan dolayı
(–2) + m = 0 + (–1) ! m = 1
(–2) + n = 0 + 2 ! n = 4
ve m + n = 5 olur.
Analitik düzlemde, A(3, 7) ve B(7, –1) noktalarıveriliyor.
AB do!ru parçasını 4 e"it parçaya bölen nok-talardan B ye en yakın olanının koordinatla-rını bulunuz.
(6, 1)
A B C D E
C
DA
E(–2,–2)
B
F(0,0)
H(–1,2)
G(m,n)
C
G
DA
E
B
F
H
2008 / ÖSS
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
ÖRNEK
D(1,5)
E(3,2)
F(5,9)
!ekilde ABC üçgeninde D, E ve F bulundukları kenarların orta noktalarıdır.
Buna göre, C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM[DE] ve [DF] çizildi"inde elde edilen DECFdörtgeni bir paralelkenardır.
a + 1 = 5 + 3 ! a = 7
b + 5 = 9 + 2 ! b = 6
a + b = 7 + 6 = 13 olur.
E. B"R DO#RU PARÇASINI, VER"LEN B"R ORANDABÖLEN NOKTANIN KOORD"NATLARI
1
P noktası; [AB] do"ru parçasını oranında içten bölen noktadır.
2
P noktası; [AB] do"ru parçasını oranında dı#tan bölen noktadır.
ÖRNEKA(–2, 6), B(10, –2) noktaları veriliyor.
2|AC| = |BC| olacak $ekilde AB do!ru parçasını içten bölen C noktasının ko-ordinatları nedir?
| || |PBPA
k=
, .xk
x kxy
ky ky
olur1 101 2
01 2
=-
-=
-
-
| || |
.PBPA
k olsun=
A(x1,y1)P(x0,y0) B(x2,y2)
| || |PBPA
k=
.xk
x kxy
ky ky
olur1 101 2
01 2
=+
+=
+
+
| || |
.PBPA
k olsun=
A(x1,y1) P(x0,y0) B(x2,y2)
A
E(3,2)
F(5,9)B C(a,b)
D(1,5)
A
E(3,2)
F(5,9)B C
D(1,5)
9
Kenarlarının orta noktaları sırasıyla
E(–2, –2)
F(0, 0)
G(m, n) ve
H(–1, 2)
noktaları olan bir ABCD dörtgeni a!a"ıdaki gibiçiziliyor.
Buna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Kenar orta noktaları birle!tirilirse olu!an EFGHdörtgeni paralelkenar olur.
Bundan dolayı
(–2) + m = 0 + (–1) ! m = 1
(–2) + n = 0 + 2 ! n = 4
ve m + n = 5 olur.
Analitik düzlemde, A(3, 7) ve B(7, –1) noktalarıveriliyor.
AB do!ru parçasını 4 e"it parçaya bölen nok-talardan B ye en yakın olanının koordinatla-rını bulunuz.
(6, 1)
A B C D E
C
DA
E(–2,–2)
B
F(0,0)
H(–1,2)
G(m,n)
C
G
DA
E
B
F
H
2008 / ÖSS
29
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
ÖRNEK
D(1,5)
E(3,2)
F(5,9)
!ekilde ABC üçgeninde D, E ve F bulundukları kenarların orta noktalarıdır.
Buna göre, C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM[DE] ve [DF] çizildi"inde elde edilen DECFdörtgeni bir paralelkenardır.
a + 1 = 5 + 3 ! a = 7
b + 5 = 9 + 2 ! b = 6
a + b = 7 + 6 = 13 olur.
E. B"R DO#RU PARÇASINI, VER"LEN B"R ORANDABÖLEN NOKTANIN KOORD"NATLARI
1
P noktası; [AB] do"ru parçasını oranında içten bölen noktadır.
2
P noktası; [AB] do"ru parçasını oranında dı#tan bölen noktadır.
ÖRNEKA(–2, 6), B(10, –2) noktaları veriliyor.
2|AC| = |BC| olacak $ekilde AB do!ru parçasını içten bölen C noktasının ko-ordinatları nedir?
| || |PBPA
k=
, .xk
x kxy
ky ky
olur1 101 2
01 2
=-
-=
-
-
| || |
.PBPA
k olsun=
A(x1,y1)P(x0,y0) B(x2,y2)
| || |PBPA
k=
.xk
x kxy
ky ky
olur1 101 2
01 2
=+
+=
+
+
| || |
.PBPA
k olsun=
A(x1,y1) P(x0,y0) B(x2,y2)
A
E(3,2)
F(5,9)B C(a,b)
D(1,5)
A
E(3,2)
F(5,9)B C
D(1,5)
9
Kenarlarının orta noktaları sırasıyla
E(–2, –2)
F(0, 0)
G(m, n) ve
H(–1, 2)
noktaları olan bir ABCD dörtgeni a!a"ıdaki gibiçiziliyor.
Buna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Kenar orta noktaları birle!tirilirse olu!an EFGHdörtgeni paralelkenar olur.
Bundan dolayı
(–2) + m = 0 + (–1) ! m = 1
(–2) + n = 0 + 2 ! n = 4
ve m + n = 5 olur.
Analitik düzlemde, A(3, 7) ve B(7, –1) noktalarıveriliyor.
AB do!ru parçasını 4 e"it parçaya bölen nok-talardan B ye en yakın olanının koordinatla-rını bulunuz.
(6, 1)
A B C D E
C
DA
E(–2,–2)
B
F(0,0)
H(–1,2)
G(m,n)
C
G
DA
E
B
F
H
2008 / ÖSS
30
ÇÖZÜM
I. Yol
C noktasının koordinatları (x0, y0) olsun. 2|AC| = |BC| ! dir.
II. Yol
2|AC| = |BC| ise
A dan B ye apsisler 10 – (–2) = 12 artar.
3k = 12 ! k = 4 olur.
A dan C ye k = 4 arttı!ına göre xo = – 2 + 4 = 2 olur.
A dan B ye ordinatlar –2 – (6) = –8 azalır.
3k = –8 ! k = – olur.
A dan C ye k = – azaldı!ına göre 6 – = olur.
C(xo, yo) = bulunur.
ÖRNEKA(2, –3) ve B(–2, 3) olmak üzere, AB do!rusu üzerinde ve [AB] parçasını
oranında dı"tan bölen C noktasının koordinatları nedir?
ÇÖZÜMC noktası (x, y) olsun
A dan B ye apsisler –2 – (2) = –4 (4 birim azalmı")
k = –4 ! 3k = –12 ! x = –2 – 12 = –14 olur.
A dan B ye ordinatlar 3 – (–3) = 6 (6 birim artmı")
k = 6 ! 3k = 18 ! y = 3 + 18 = 21 olur.
C(x, y) = C(–14, 21) bulunur.
B(–2, 3)A(2, –3) C(x,y)•
k!""#""$ 3k!"""#"""$
| |
| |
BC
AC
34
=
2,310c m
310
38
38
38
C(x0,y0)A(–2,6) B(10,–2)
k 2k
( , )– .
,– .
–
,
–
, ,
C x y1 1
2 1 10
1 1
621 2
1022
2310
2
2
2
232
4
23
12
2326
23210
o o =
+
+
+
=
+
= =
J
L
KKKKK
J
L
KKKKK
J
L
KKKKK
c
N
P
OOOOO
N
P
OOOOO
N
P
OOOOO
m
| |
| |
BC
AC 12
=
Do!runun Analitik #ncelenmesi I
10
Yukarıdaki !ekilde A, B, C noktaları do"rusaldır.
oldu!una göre,
C noktasının koordinatları nedir?
Dik koordinat düzlemi üzerine !ekildeki gibiABCD karesi yerle!tirilmi!tir.
Buna göre, D noktasının koordinatlarının top-lamı kaçtır?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
D noktasından x eksenine dik çizersek olu!anDHC üçgeni ile BOC üçgeni e! üçgenler olur.Aynı açıların kar!ısındaki kenarların e!itli"inden|OB| = |CH| = 4 birim|OC| = |DH| = 3 birimBuradan |OH| = 7 birim|DH| = 3 birim olaca"ından D(x, y) = D(7, 3)x + y = 7 + 3
= 10 bulunur.A B C D E
O C(3,0)
B(0,4) D(x,y)
x"
ll" ll
# %&
'
3
%&'4
H
#
O C(3,0)
B(0,4)
A
D(x,y)
x
2009 / ÖSS
(–5,1)
| |
| |
BC
AB2=
B(–3, 0)A(1, –2) C(m,n)
31
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
ÖRNEK!ekilde [AB] ! [EC] = {C}
|AC| = |CB|
|DE| = 2|DC|
A(4, –2)
B(6, 4)
D(7, –2)
Yukarıdaki verilere göre E noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
ÇÖZÜMC noktası [AB] nin orta noktası oldu"undan
C(a,b) = C(5, 1) dir.C den D ye apsisler 7 – 5 = 2 artar.k = 2 " 2k = 4 , c = 7 + 4 = 11C'den D'ye ordinatlar –2 –1 = –3 azalır.k = –3 " 2k = –6, d = –2–6 = –8 olur.c + d = 11 + (–8) = 3 tür.
F. ÜÇGEN"N A#IRLIK MERKEZ"Kö#elerinin koordinatları
A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeni-nin a"ırlık merkezinin (kenarortaylarının kesimnoktasının) koordinatları G(x0,y0) olsun.
ÖRNEKKö$elerinin koordinatları A(4, 2), B(1,5) ve C(–6, 4) olan ABC üçgeninin a!ırlıkmerkezinin P(2, 1) noktasına uzaklı!ı kaç birimdir?
ÇÖZÜM
–
, ( , )
| |
.
x
y
G ve P
GP
birimdir
34 1 6
31
32 5 4
311
31
311 2 1
231 1
311
949
964
3113
noktaları için
0
2 2
0
=+
=-
=+ +
=
-
= + + -
= + =
cc cm
m m
A(4,2)
G(x0,y0)
B(1,5) C(–6,4)
.
xx x x
y y y olur
3
3
01 2 3
01 2 3
=+ +
+ +y =
A(x1, y1)
G(x0, y0)
B(x2, y2) C(x3, y3)
( )a ve b
26 4 5
24 2
1=+
= =+ -
=
E(c,d)
B(6,4)
A(4,–2)
k D(7,–2)!"#
!$"$# 2kC(a,b)
E
B(6,4)
A(4,–2)
CD(7,–2)
11
Kö!elerinin koordinatları, A(2,4), B(–1,2) veC(3,0) olan ABC üçgeninin BC kenarına aitkenarortayının uzunlu"u kaç birimdir?
A(–1,3) ve B(9,–2) olmak üzere, AB do"ru par-çasını 3|AC| = 2 |BC| olacak !ekilde içten bö-len C noktasının koordinatlarını bulunuz.
Kö!elerinin koordinatları A(4, 2), B(m,–3) veC(5,n) olan ABC üçgeninin a"ırlık merkeziorijinde oldu"una göre, m + n toplamı kaçtır?
–8
(3,1)
ß10
32
ÖRNEKABC üçgeninde D, E, F noktaları bulunduklarıkenarların orta noktalarıdır.
D(6,4)
E(0,5)
F(3,3)
Yukarıdaki verilere göre, DEF üçgeninin a!ırlık merkezinin A noktasına uzak-lı!ı kaç birimdir?
ÇÖZÜMDEF üçgeninin a!ırlık merkezi G(xo, yo) olsun.
G(3,4) tür. ABC üçgeninde D, E, F orta noktalar oldu!undan ADFE dörtgeni paralel-kenar olur.
x + 3 = 6 + 0 ! x = 3
y + 3 = 5 + 4 ! y = 6
A(3, 6) dır.
ÖRNEKKö"elerinin koordinatları A(4, –3), B(5, b) ve C(a, 4) olan ABC üçgeninin a!ır-lık merkezi (2, 1) oldu!una göre (a, b) ikilisi nedir?
ÇÖZÜM
(a,b) = (–3,2) olur.
G. ÜÇGEN#N ALANI
Kö"elerinin koordinatları
A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)
olan ABC üçgeninin alanı:
A(x1, y1)
B(x2, y2) C(x3, y3)
3 9 6 , 3
( ),
aa a
bb b
34 5
33 4
1 1 3 2
&
&
+ += + = =-
+ - += + = =
A(4, –3)
B(5, 6) C(a, 4)
G(2, 1)
| | ( – ) ( – )
.
AG
birim olur
3 3 4 62
2 2= +
=
A(x, y)
E(0,5)
F(3,3)B C
D(6,4)
x
y
33 3
3
6 0
4 5 3 4
o
o
=+ +
=
=+ +
=
A
E(0,5)
F(3,3)B C
D(6,4)
Do!runun Analitik #ncelenmesi I
12
Kö!elerinin koordinatları A(6,–1), B(3, –3) veC(–1, 3) olan ABC üçgeninin a"ırlık merkezi-nin eksenlere olan uzaklıkları toplamı kaçtır?
ABCD bir paralelkenar
|EB| = 3|ED|
A(3, –8), C(9, 4), D(–4, 2)
Yukarıdaki verilere göre, E noktasının koordi-natlarını bulunuz.
AOB bir üçgen
|AB| = |OB|, B(5, 3)
Yukarıdaki verilere göre, Alan(AOB) kaç bi-rim karedir?
15
O
A
x
y
B(5, 3)
(1,0)
D (–4, 2) C (9, 4)
A(3, – 8) B
E
3Sayfa 12
33
ÖRNEKABC üçgeninde D, E, F noktaları bulunduklarıkenarların orta noktalarıdır.
D(6,4)
E(0,5)
F(3,3)
Yukarıdaki verilere göre, DEF üçgeninin a!ırlık merkezinin A noktasına uzak-lı!ı kaç birimdir?
ÇÖZÜMDEF üçgeninin a!ırlık merkezi G(xo, yo) olsun.
G(3,4) tür. ABC üçgeninde D, E, F orta noktalar oldu!undan ADFE dörtgeni paralel-kenar olur.
x + 3 = 6 + 0 ! x = 3
y + 3 = 5 + 4 ! y = 6
A(3, 6) dır.
ÖRNEKKö"elerinin koordinatları A(4, –3), B(5, b) ve C(a, 4) olan ABC üçgeninin a!ır-lık merkezi (2, 1) oldu!una göre (a, b) ikilisi nedir?
ÇÖZÜM
(a,b) = (–3,2) olur.
G. ÜÇGEN#N ALANI
Kö"elerinin koordinatları
A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)
olan ABC üçgeninin alanı:
A(x1, y1)
B(x2, y2) C(x3, y3)
3 9 6 , 3
( ),
aa a
bb b
34 5
33 4
1 1 3 2
&
&
+ += + = =-
+ - += + = =
A(4, –3)
B(5, 6) C(a, 4)
G(2, 1)
| | ( – ) ( – )
.
AG
birim olur
3 3 4 62
2 2= +
=
A(x, y)
E(0,5)
F(3,3)B C
D(6,4)
x
y
33 3
3
6 0
4 5 3 4
o
o
=+ +
=
=+ +
=
A
E(0,5)
F(3,3)B C
D(6,4)
Do!runun Analitik #ncelenmesi I
12
Kö!elerinin koordinatları A(6,–1), B(3, –3) veC(–1, 3) olan ABC üçgeninin a"ırlık merkezi-nin eksenlere olan uzaklıkları toplamı kaçtır?
ABCD bir paralelkenar
|EB| = 3|ED|
A(3, –8), C(9, 4), D(–4, 2)
Yukarıdaki verilere göre, E noktasının koordi-natlarını bulunuz.
AOB bir üçgen
|AB| = |OB|, B(5, 3)
Yukarıdaki verilere göre, Alan(AOB) kaç bi-rim karedir?
15
O
A
x
y
B(5, 3)
(1,0)
D (–4, 2) C (9, 4)
A(3, – 8) B
E
3
Sayfa 12
34
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
ÖRNEK!ekilde [AB] ! [EC] = {C}
|AC| = |CB|
|DE| = 2|DC|
A(4, –2)
B(6, 4)
D(7, –2)
Yukarıdaki verilere göre E noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
ÇÖZÜMC noktası [AB] nin orta noktası oldu"undan
C(a,b) = C(5, 1) dir.C den D ye apsisler 7 – 5 = 2 artar.k = 2 " 2k = 4 , c = 7 + 4 = 11C'den D'ye ordinatlar –2 –1 = –3 azalır.k = –3 " 2k = –6, d = –2–6 = –8 olur.c + d = 11 + (–8) = 3 tür.
F. ÜÇGEN"N A#IRLIK MERKEZ"Kö#elerinin koordinatları
A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeni-nin a"ırlık merkezinin (kenarortaylarının kesimnoktasının) koordinatları G(x0,y0) olsun.
ÖRNEKKö$elerinin koordinatları A(4, 2), B(1,5) ve C(–6, 4) olan ABC üçgeninin a!ırlıkmerkezinin P(2, 1) noktasına uzaklı!ı kaç birimdir?
ÇÖZÜM
–
, ( , )
| |
.
x
y
G ve P
GP
birimdir
34 1 6
31
32 5 4
311
31
311 2 1
231 1
311
949
964
3113
noktaları için
0
2 2
0
=+
=-
=+ +
=
-
= + + -
= + =
cc cm
m m
A(4,2)
G(x0,y0)
B(1,5) C(–6,4)
.
xx x x
y y y olur
3
3
01 2 3
01 2 3
=+ +
+ +y =
A(x1, y1)
G(x0, y0)
B(x2, y2) C(x3, y3)
( )a ve b
26 4 5
24 2
1=+
= =+ -
=
E(c,d)
B(6,4)
A(4,–2)
k D(7,–2)!"#
!$"$# 2kC(a,b)
E
B(6,4)
A(4,–2)
CD(7,–2)
11
Kö!elerinin koordinatları, A(2,4), B(–1,2) veC(3,0) olan ABC üçgeninin BC kenarına aitkenarortayının uzunlu"u kaç birimdir?
A(–1,3) ve B(9,–2) olmak üzere, AB do"ru par-çasını 3|AC| = 2 |BC| olacak !ekilde içten bö-len C noktasının koordinatlarını bulunuz.
Kö!elerinin koordinatları A(4, 2), B(m,–3) veC(5,n) olan ABC üçgeninin a"ırlık merkeziorijinde oldu"una göre, m + n toplamı kaçtır?
–8
(3,1)
ß10
35
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
ÖRNEK!ekilde [AB] ! [EC] = {C}
|AC| = |CB|
|DE| = 2|DC|
A(4, –2)
B(6, 4)
D(7, –2)
Yukarıdaki verilere göre E noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
ÇÖZÜMC noktası [AB] nin orta noktası oldu"undan
C(a,b) = C(5, 1) dir.C den D ye apsisler 7 – 5 = 2 artar.k = 2 " 2k = 4 , c = 7 + 4 = 11C'den D'ye ordinatlar –2 –1 = –3 azalır.k = –3 " 2k = –6, d = –2–6 = –8 olur.c + d = 11 + (–8) = 3 tür.
F. ÜÇGEN"N A#IRLIK MERKEZ"Kö#elerinin koordinatları
A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeni-nin a"ırlık merkezinin (kenarortaylarının kesimnoktasının) koordinatları G(x0,y0) olsun.
ÖRNEKKö$elerinin koordinatları A(4, 2), B(1,5) ve C(–6, 4) olan ABC üçgeninin a!ırlıkmerkezinin P(2, 1) noktasına uzaklı!ı kaç birimdir?
ÇÖZÜM
–
, ( , )
| |
.
x
y
G ve P
GP
birimdir
34 1 6
31
32 5 4
311
31
311 2 1
231 1
311
949
964
3113
noktaları için
0
2 2
0
=+
=-
=+ +
=
-
= + + -
= + =
cc cm
m m
A(4,2)
G(x0,y0)
B(1,5) C(–6,4)
.
xx x x
y y y olur
3
3
01 2 3
01 2 3
=+ +
+ +y =
A(x1, y1)
G(x0, y0)
B(x2, y2) C(x3, y3)
( )a ve b
26 4 5
24 2
1=+
= =+ -
=
E(c,d)
B(6,4)
A(4,–2)
k D(7,–2)!"#
!$"$# 2kC(a,b)
E
B(6,4)
A(4,–2)
CD(7,–2)
11
Kö!elerinin koordinatları, A(2,4), B(–1,2) veC(3,0) olan ABC üçgeninin BC kenarına aitkenarortayının uzunlu"u kaç birimdir?
A(–1,3) ve B(9,–2) olmak üzere, AB do"ru par-çasını 3|AC| = 2 |BC| olacak !ekilde içten bö-len C noktasının koordinatlarını bulunuz.
Kö!elerinin koordinatları A(4, 2), B(m,–3) veC(5,n) olan ABC üçgeninin a"ırlık merkeziorijinde oldu"una göre, m + n toplamı kaçtır?
–8
(3,1)
ß10
36
ÖRNEKABC üçgeninde D, E, F noktaları bulunduklarıkenarların orta noktalarıdır.
D(6,4)
E(0,5)
F(3,3)
Yukarıdaki verilere göre, DEF üçgeninin a!ırlık merkezinin A noktasına uzak-lı!ı kaç birimdir?
ÇÖZÜMDEF üçgeninin a!ırlık merkezi G(xo, yo) olsun.
G(3,4) tür. ABC üçgeninde D, E, F orta noktalar oldu!undan ADFE dörtgeni paralel-kenar olur.
x + 3 = 6 + 0 ! x = 3
y + 3 = 5 + 4 ! y = 6
A(3, 6) dır.
ÖRNEKKö"elerinin koordinatları A(4, –3), B(5, b) ve C(a, 4) olan ABC üçgeninin a!ır-lık merkezi (2, 1) oldu!una göre (a, b) ikilisi nedir?
ÇÖZÜM
(a,b) = (–3,2) olur.
G. ÜÇGEN#N ALANI
Kö"elerinin koordinatları
A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)
olan ABC üçgeninin alanı:
A(x1, y1)
B(x2, y2) C(x3, y3)
3 9 6 , 3
( ),
aa a
bb b
34 5
33 4
1 1 3 2
&
&
+ += + = =-
+ - += + = =
A(4, –3)
B(5, 6) C(a, 4)
G(2, 1)
| | ( – ) ( – )
.
AG
birim olur
3 3 4 62
2 2= +
=
A(x, y)
E(0,5)
F(3,3)B C
D(6,4)
x
y
33 3
3
6 0
4 5 3 4
o
o
=+ +
=
=+ +
=
A
E(0,5)
F(3,3)B C
D(6,4)
Do!runun Analitik #ncelenmesi I
12
Kö!elerinin koordinatları A(6,–1), B(3, –3) veC(–1, 3) olan ABC üçgeninin a"ırlık merkezi-nin eksenlere olan uzaklıkları toplamı kaçtır?
ABCD bir paralelkenar
|EB| = 3|ED|
A(3, –8), C(9, 4), D(–4, 2)
Yukarıdaki verilere göre, E noktasının koordi-natlarını bulunuz.
AOB bir üçgen
|AB| = |OB|, B(5, 3)
Yukarıdaki verilere göre, Alan(AOB) kaç bi-rim karedir?
15
O
A
x
y
B(5, 3)
(1,0)
D (–4, 2) C (9, 4)
A(3, – 8) B
E
3
37
ÖRNEKABC üçgeninde D, E, F noktaları bulunduklarıkenarların orta noktalarıdır.
D(6,4)
E(0,5)
F(3,3)
Yukarıdaki verilere göre, DEF üçgeninin a!ırlık merkezinin A noktasına uzak-lı!ı kaç birimdir?
ÇÖZÜMDEF üçgeninin a!ırlık merkezi G(xo, yo) olsun.
G(3,4) tür. ABC üçgeninde D, E, F orta noktalar oldu!undan ADFE dörtgeni paralel-kenar olur.
x + 3 = 6 + 0 ! x = 3
y + 3 = 5 + 4 ! y = 6
A(3, 6) dır.
ÖRNEKKö"elerinin koordinatları A(4, –3), B(5, b) ve C(a, 4) olan ABC üçgeninin a!ır-lık merkezi (2, 1) oldu!una göre (a, b) ikilisi nedir?
ÇÖZÜM
(a,b) = (–3,2) olur.
G. ÜÇGEN#N ALANI
Kö"elerinin koordinatları
A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)
olan ABC üçgeninin alanı:
A(x1, y1)
B(x2, y2) C(x3, y3)
3 9 6 , 3
( ),
aa a
bb b
34 5
33 4
1 1 3 2
&
&
+ += + = =-
+ - += + = =
A(4, –3)
B(5, 6) C(a, 4)
G(2, 1)
| | ( – ) ( – )
.
AG
birim olur
3 3 4 62
2 2= +
=
A(x, y)
E(0,5)
F(3,3)B C
D(6,4)
x
y
33 3
3
6 0
4 5 3 4
o
o
=+ +
=
=+ +
=
A
E(0,5)
F(3,3)B C
D(6,4)
Do!runun Analitik #ncelenmesi I
12
Kö!elerinin koordinatları A(6,–1), B(3, –3) veC(–1, 3) olan ABC üçgeninin a"ırlık merkezi-nin eksenlere olan uzaklıkları toplamı kaçtır?
ABCD bir paralelkenar
|EB| = 3|ED|
A(3, –8), C(9, 4), D(–4, 2)
Yukarıdaki verilere göre, E noktasının koordi-natlarını bulunuz.
AOB bir üçgen
|AB| = |OB|, B(5, 3)
Yukarıdaki verilere göre, Alan(AOB) kaç bi-rim karedir?
15
O
A
x
y
B(5, 3)
(1,0)
D (–4, 2) C (9, 4)
A(3, – 8) B
E
3
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
Alan(ABC) = |a – b|
= |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)| olur.
ÖRNEKKö#elerinin koordinatları A(2, 4), B(–5, 6) ve C(4, 3) olan ABC üçgeninin alanıkaç birim karedir?
ÇÖZÜM
ÖRNEKA(–4, 3), B(3, 2) ve C(4, a) noktaları do!rusal oldu!una göre, a kaçtır?
ÇÖZÜMA, B, C noktalarının do!rusal olabilmesi için Alan(ABC) = 0 olmalıdır.
( ) | ( ) |
| |
.
Alan ABC a a
a
a olur
21 3 4 4 17 0
21 7 13 0
713
= + - - + =
- =
=
–434
–4+
–83a12
3a + 4
32a3
+
98
–4a–4a + 17
Alan(ABC) = 0 ise A, B ve C noktalar› do¤rusald›r. (Ayn› do¤ru üzerindedir.)
( ) | – |
.
, .
Alan ABC
birim karedir
21 13 10
21 3
1 5
=
=
=
2–5
42
+
12–15
16
4634
+
–2024
610 13
21
21
x2y1
x3y2
x1y3+b
x1 y1x2 y2x3 y3x1 y1
x1y2
x2y3
x3y1+a
13
Kö!elerinin koordinatları ,
ve C(1, 10) olan ABC üçgeninin alanı kaç br2
dir?
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 24
!ekildeki analitik düzlemde OABC e"kenar dört-gen ve B(4, 2) dir.
Buna göre, Alan(OABC) kaç birim karedir?
5
C B(4, 2)
AOx
y
A B C D E
21 | – 6 – 6 |
21 12
6 br olur.2
=
=
=
35 0
35 0
35
0
–
1 10
12Alan(ABC) =
0
0
6
0
–6
0+–6
+6
– ,B53 0d n,A
53 0d n
2009 / ÖSS
38
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
Alan(ABC) = |a – b|
= |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)| olur.
ÖRNEKKö#elerinin koordinatları A(2, 4), B(–5, 6) ve C(4, 3) olan ABC üçgeninin alanıkaç birim karedir?
ÇÖZÜM
ÖRNEKA(–4, 3), B(3, 2) ve C(4, a) noktaları do!rusal oldu!una göre, a kaçtır?
ÇÖZÜMA, B, C noktalarının do!rusal olabilmesi için Alan(ABC) = 0 olmalıdır.
( ) | ( ) |
| |
.
Alan ABC a a
a
a olur
21 3 4 4 17 0
21 7 13 0
713
= + - - + =
- =
=
–434
–4+
–83a12
3a + 4
32a3
+
98
–4a–4a + 17
Alan(ABC) = 0 ise A, B ve C noktalar› do¤rusald›r. (Ayn› do¤ru üzerindedir.)
( ) | – |
.
, .
Alan ABC
birim karedir
21 13 10
21 3
1 5
=
=
=
2–5
42
+
12–15
16
4634
+
–2024
610 13
21
21
x2y1
x3y2
x1y3+b
x1 y1x2 y2x3 y3x1 y1
x1y2
x2y3
x3y1+a
13
Kö!elerinin koordinatları ,
ve C(1, 10) olan ABC üçgeninin alanı kaç br2
dir?
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 24
!ekildeki analitik düzlemde OABC e"kenar dört-gen ve B(4, 2) dir.
Buna göre, Alan(OABC) kaç birim karedir?
5
C B(4, 2)
AOx
y
A B C D E
21 | – 6 – 6 |
21 12
6 br olur.2
=
=
=
35 0
35 0
35
0
–
1 10
12Alan(ABC) =
0
0
6
0
–6
0+–6
+6
– ,B53 0d n,A
53 0d n
2009 / ÖSS
39
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
Alan(ABC) = |a – b|
= |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)| olur.
ÖRNEKKö#elerinin koordinatları A(2, 4), B(–5, 6) ve C(4, 3) olan ABC üçgeninin alanıkaç birim karedir?
ÇÖZÜM
ÖRNEKA(–4, 3), B(3, 2) ve C(4, a) noktaları do!rusal oldu!una göre, a kaçtır?
ÇÖZÜMA, B, C noktalarının do!rusal olabilmesi için Alan(ABC) = 0 olmalıdır.
( ) | ( ) |
| |
.
Alan ABC a a
a
a olur
21 3 4 4 17 0
21 7 13 0
713
= + - - + =
- =
=
–434
–4+
–83a12
3a + 4
32a3
+
98
–4a–4a + 17
Alan(ABC) = 0 ise A, B ve C noktalar› do¤rusald›r. (Ayn› do¤ru üzerindedir.)
( ) | – |
.
, .
Alan ABC
birim karedir
21 13 10
21 3
1 5
=
=
=
2–5
42
+
12–15
16
4634
+
–2024
610 13
21
21
x2y1
x3y2
x1y3+b
x1 y1x2 y2x3 y3x1 y1
x1y2
x2y3
x3y1+a
13
Kö!elerinin koordinatları ,
ve C(1, 10) olan ABC üçgeninin alanı kaç br2
dir?
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 24
!ekildeki analitik düzlemde OABC e"kenar dört-gen ve B(4, 2) dir.
Buna göre, Alan(OABC) kaç birim karedir?
5
C B(4, 2)
AOx
y
A B C D E
21 | – 6 – 6 |
21 12
6 br olur.2
=
=
=
35 0
35 0
35
0
–
1 10
12Alan(ABC) =
0
0
6
0
–6
0+–6
+6
– ,B53 0d n,A
53 0d n
2009 / ÖSS
40
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
Alan(ABC) = |a – b|
= |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)| olur.
ÖRNEKKö#elerinin koordinatları A(2, 4), B(–5, 6) ve C(4, 3) olan ABC üçgeninin alanıkaç birim karedir?
ÇÖZÜM
ÖRNEKA(–4, 3), B(3, 2) ve C(4, a) noktaları do!rusal oldu!una göre, a kaçtır?
ÇÖZÜMA, B, C noktalarının do!rusal olabilmesi için Alan(ABC) = 0 olmalıdır.
( ) | ( ) |
| |
.
Alan ABC a a
a
a olur
21 3 4 4 17 0
21 7 13 0
713
= + - - + =
- =
=
–434
–4+
–83a12
3a + 4
32a3
+
98
–4a–4a + 17
Alan(ABC) = 0 ise A, B ve C noktalar› do¤rusald›r. (Ayn› do¤ru üzerindedir.)
( ) | – |
.
, .
Alan ABC
birim karedir
21 13 10
21 3
1 5
=
=
=
2–5
42
+
12–15
16
4634
+
–2024
610 13
21
21
x2y1
x3y2
x1y3+b
x1 y1x2 y2x3 y3x1 y1
x1y2
x2y3
x3y1+a
13
Kö!elerinin koordinatları ,
ve C(1, 10) olan ABC üçgeninin alanı kaç br2
dir?
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 24
!ekildeki analitik düzlemde OABC e"kenar dört-gen ve B(4, 2) dir.
Buna göre, Alan(OABC) kaç birim karedir?
5
C B(4, 2)
AOx
y
A B C D E
21 | – 6 – 6 |
21 12
6 br olur.2
=
=
=
35 0
35 0
35
0
–
1 10
12Alan(ABC) =
0
0
6
0
–6
0+–6
+6
– ,B53 0d n,A
53 0d n
2009 / ÖSS
Do!runun Analitik "ncelenmesi I
Alan(ABC) = |a – b|
= |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)| olur.
ÖRNEKKö#elerinin koordinatları A(2, 4), B(–5, 6) ve C(4, 3) olan ABC üçgeninin alanıkaç birim karedir?
ÇÖZÜM
ÖRNEKA(–4, 3), B(3, 2) ve C(4, a) noktaları do!rusal oldu!una göre, a kaçtır?
ÇÖZÜMA, B, C noktalarının do!rusal olabilmesi için Alan(ABC) = 0 olmalıdır.
( ) | ( ) |
| |
.
Alan ABC a a
a
a olur
21 3 4 4 17 0
21 7 13 0
713
= + - - + =
- =
=
–434
–4+
–83a12
3a + 4
32a3
+
98
–4a–4a + 17
Alan(ABC) = 0 ise A, B ve C noktalar› do¤rusald›r. (Ayn› do¤ru üzerindedir.)
( ) | – |
.
, .
Alan ABC
birim karedir
21 13 10
21 3
1 5
=
=
=
2–5
42
+
12–15
16
4634
+
–2024
610 13
21
21
x2y1
x3y2
x1y3+b
x1 y1x2 y2x3 y3x1 y1
x1y2
x2y3
x3y1+a
13
Kö!elerinin koordinatları ,
ve C(1, 10) olan ABC üçgeninin alanı kaç br2
dir?
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 24
!ekildeki analitik düzlemde OABC e"kenar dört-gen ve B(4, 2) dir.
Buna göre, Alan(OABC) kaç birim karedir?
5
C B(4, 2)
AOx
y
A B C D E
21 | – 6 – 6 |
21 12
6 br olur.2
=
=
=
35 0
35 0
35
0
–
1 10
12Alan(ABC) =
0
0
6
0
–6
0+–6
+6
– ,B53 0d n,A
53 0d n
2009 / ÖSS
41
14
NELER Ö!REND"K?
"ki Nokta Arasındaki Uzaklık
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları verilsin. A ve B noktaları arasındaki uzaklık,
|AB| =
Bir Do#ru Parçasının Orta Noktasının Koordinatları
Paralelkenarın Kö$e Noktalarının Koordinatları
Bir Do#ru Parçasını, Verilen Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatları
P noktası; [AB] do!ru parçasını oranında içten bölen noktadır.
P noktası; [AB] do!ru parçasını oranında dı"tan bölen noktadır.
Üçgenin A#ırlık MerkeziKö"elerinin koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeninin a!ırlık merkezinin (kenarortaylarının kesim nokta-sının) koordinatları G(x0,y0) olsun.
Üçgenin AlanıKö"elerinin koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeninin alanı:
Alan(ABC) = |a – b|
= |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)|21
21
x2y1
x3y2
x1y3+b
x1 y1x2 y2x3 y3x1 y1
x1y2
x2y3
x3y1+a
xx x x
y y y
3
3
01 2 3
01 2 3
=+ +
+ +y =
| || |PBPA
k=
,xk
x kxy
ky ky
1 101 2
01 2=
--
=--
| || |
.PBPA
k olsun=A(x1,y1)P(x0,y0) B(x2,y2)
| || |PBPA
k=
xk
x kxy
ky ky
1 101 2
01 2=
++
=++
| || |
.PBPA
k olsun=A(x1,y1) P(x0,y0) B(x2,y2)
xx x x x
x x x x
yy y y y
y y y y
2 2
2 2
01 3 2 4
1 3 2 4
01 3 2 4
1 3 2 4
&
&
=+
=+
+ = +
=+
=+
+ = +
D(x4, y4) C(x3, y3)
A(x1, y1) B(x2, y2)
K(x0,y0)
,xx x
yy y
2 201 2
01 2=
+=
+• • •A(x1,y1)
P(x0,y0)
B(x2,y2)
( ) ( )x x y y1 22
1 22- + -
14
NELER Ö!REND"K?
"ki Nokta Arasındaki Uzaklık
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları verilsin. A ve B noktaları arasındaki uzaklık,
|AB| =
Bir Do#ru Parçasının Orta Noktasının Koordinatları
Paralelkenarın Kö$e Noktalarının Koordinatları
Bir Do#ru Parçasını, Verilen Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatları
P noktası; [AB] do!ru parçasını oranında içten bölen noktadır.
P noktası; [AB] do!ru parçasını oranında dı"tan bölen noktadır.
Üçgenin A#ırlık MerkeziKö"elerinin koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeninin a!ırlık merkezinin (kenarortaylarının kesim nokta-sının) koordinatları G(x0,y0) olsun.
Üçgenin AlanıKö"elerinin koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeninin alanı:
Alan(ABC) = |a – b|
= |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)|21
21
x2y1
x3y2
x1y3+b
x1 y1x2 y2x3 y3x1 y1
x1y2
x2y3
x3y1+a
xx x x
y y y
3
3
01 2 3
01 2 3
=+ +
+ +y =
| || |PBPA
k=
,xk
x kxy
ky ky
1 101 2
01 2=
--
=--
| || |
.PBPA
k olsun=A(x1,y1)P(x0,y0) B(x2,y2)
| || |PBPA
k=
xk
x kxy
ky ky
1 101 2
01 2=
++
=++
| || |
.PBPA
k olsun=A(x1,y1) P(x0,y0) B(x2,y2)
xx x x x
x x x x
yy y y y
y y y y
2 2
2 2
01 3 2 4
1 3 2 4
01 3 2 4
1 3 2 4
&
&
=+
=+
+ = +
=+
=+
+ = +
D(x4, y4) C(x3, y3)
A(x1, y1) B(x2, y2)
K(x0,y0)
,xx x
yy y
2 201 2
01 2=
+=
+• • •A(x1,y1)
P(x0,y0)
B(x2,y2)
( ) ( )x x y y1 22
1 22- + -
14
NELER Ö!REND"K?
"ki Nokta Arasındaki Uzaklık
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları verilsin. A ve B noktaları arasındaki uzaklık,
|AB| =
Bir Do#ru Parçasının Orta Noktasının Koordinatları
Paralelkenarın Kö$e Noktalarının Koordinatları
Bir Do#ru Parçasını, Verilen Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatları
P noktası; [AB] do!ru parçasını oranında içten bölen noktadır.
P noktası; [AB] do!ru parçasını oranında dı"tan bölen noktadır.
Üçgenin A#ırlık MerkeziKö"elerinin koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeninin a!ırlık merkezinin (kenarortaylarının kesim nokta-sının) koordinatları G(x0,y0) olsun.
Üçgenin AlanıKö"elerinin koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeninin alanı:
Alan(ABC) = |a – b|
= |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)|21
21
x2y1
x3y2
x1y3+b
x1 y1x2 y2x3 y3x1 y1
x1y2
x2y3
x3y1+a
xx x x
y y y
3
3
01 2 3
01 2 3
=+ +
+ +y =
| || |PBPA
k=
,xk
x kxy
ky ky
1 101 2
01 2=
--
=--
| || |
.PBPA
k olsun=A(x1,y1)P(x0,y0) B(x2,y2)
| || |PBPA
k=
xk
x kxy
ky ky
1 101 2
01 2=
++
=++
| || |
.PBPA
k olsun=A(x1,y1) P(x0,y0) B(x2,y2)
xx x x x
x x x x
yy y y y
y y y y
2 2
2 2
01 3 2 4
1 3 2 4
01 3 2 4
1 3 2 4
&
&
=+
=+
+ = +
=+
=+
+ = +
D(x4, y4) C(x3, y3)
A(x1, y1) B(x2, y2)
K(x0,y0)
,xx x
yy y
2 201 2
01 2=
+=
+• • •A(x1,y1)
P(x0,y0)
B(x2,y2)
( ) ( )x x y y1 22
1 22- + -
42
14
NELER Ö!REND"K?
"ki Nokta Arasındaki Uzaklık
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları verilsin. A ve B noktaları arasındaki uzaklık,
|AB| =
Bir Do#ru Parçasının Orta Noktasının Koordinatları
Paralelkenarın Kö$e Noktalarının Koordinatları
Bir Do#ru Parçasını, Verilen Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatları
P noktası; [AB] do!ru parçasını oranında içten bölen noktadır.
P noktası; [AB] do!ru parçasını oranında dı"tan bölen noktadır.
Üçgenin A#ırlık MerkeziKö"elerinin koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeninin a!ırlık merkezinin (kenarortaylarının kesim nokta-sının) koordinatları G(x0,y0) olsun.
Üçgenin AlanıKö"elerinin koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeninin alanı:
Alan(ABC) = |a – b|
= |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)|21
21
x2y1
x3y2
x1y3+b
x1 y1x2 y2x3 y3x1 y1
x1y2
x2y3
x3y1+a
xx x x
y y y
3
3
01 2 3
01 2 3
=+ +
+ +y =
| || |PBPA
k=
,xk
x kxy
ky ky
1 101 2
01 2=
--
=--
| || |
.PBPA
k olsun=A(x1,y1)P(x0,y0) B(x2,y2)
| || |PBPA
k=
xk
x kxy
ky ky
1 101 2
01 2=
++
=++
| || |
.PBPA
k olsun=A(x1,y1) P(x0,y0) B(x2,y2)
xx x x x
x x x x
yy y y y
y y y y
2 2
2 2
01 3 2 4
1 3 2 4
01 3 2 4
1 3 2 4
&
&
=+
=+
+ = +
=+
=+
+ = +
D(x4, y4) C(x3, y3)
A(x1, y1) B(x2, y2)
K(x0,y0)
,xx x
yy y
2 201 2
01 2=
+=
+• • •A(x1,y1)
P(x0,y0)
B(x2,y2)
( ) ( )x x y y1 22
1 22- + -
43
14
NELER Ö!REND"K?
"ki Nokta Arasındaki Uzaklık
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları verilsin. A ve B noktaları arasındaki uzaklık,
|AB| =
Bir Do#ru Parçasının Orta Noktasının Koordinatları
Paralelkenarın Kö$e Noktalarının Koordinatları
Bir Do#ru Parçasını, Verilen Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatları
P noktası; [AB] do!ru parçasını oranında içten bölen noktadır.
P noktası; [AB] do!ru parçasını oranında dı"tan bölen noktadır.
Üçgenin A#ırlık MerkeziKö"elerinin koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeninin a!ırlık merkezinin (kenarortaylarının kesim nokta-sının) koordinatları G(x0,y0) olsun.
Üçgenin AlanıKö"elerinin koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeninin alanı:
Alan(ABC) = |a – b|
= |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)|21
21
x2y1
x3y2
x1y3+b
x1 y1x2 y2x3 y3x1 y1
x1y2
x2y3
x3y1+a
xx x x
y y y
3
3
01 2 3
01 2 3
=+ +
+ +y =
| || |PBPA
k=
,xk
x kxy
ky ky
1 101 2
01 2=
--
=--
| || |
.PBPA
k olsun=A(x1,y1)P(x0,y0) B(x2,y2)
| || |PBPA
k=
xk
x kxy
ky ky
1 101 2
01 2=
++
=++
| || |
.PBPA
k olsun=A(x1,y1) P(x0,y0) B(x2,y2)
xx x x x
x x x x
yy y y y
y y y y
2 2
2 2
01 3 2 4
1 3 2 4
01 3 2 4
1 3 2 4
&
&
=+
=+
+ = +
=+
=+
+ = +
D(x4, y4) C(x3, y3)
A(x1, y1) B(x2, y2)
K(x0,y0)
,xx x
yy y
2 201 2
01 2=
+=
+• • •A(x1,y1)
P(x0,y0)
B(x2,y2)
( ) ( )x x y y1 22
1 22- + -
44