dodatak e - resavanje primera u mathcadu
TRANSCRIPT
DODATAK E - Brzine prenosa toplote i mase
Primer 2.3. Parovod spoljenjeg precnika 10 cm ( d 0.1m:= ), temperature spoljnje
povrsine 100 oC ( Ts 110 273+( )K:= ) je izlozen vetru brzine w 8
m
s⋅:= pravca
normalnog na osu parovoda. Temperatura vazduha je 4 oC ( Ta 4 273+( )K:= ). Odrediti
gubitke tolote u atmosferu po 1 m parovoda. Proracun izvesti uz kriterijalnih jednacina oblika:
Nu1 Re Pr,( ) 0.027 Re0.805⋅ Pr
1
3⋅:=
Nu2 Re Pr,( ) 0.30.62 Re
1
2⋅ Pr
1
3⋅
10.4
Pr
2
3
+
1
4
1Re
282000
5
8
+
4
5
⋅+:=
Za izracunatu srednju temperaturu Tsr
Ts Ta+2
:= iz tablica (Cengel) mogu se dobiti fizicke
velicine komponenata:
Toplotna provodljivost λ 0.0164BTU
ft hr⋅ R⋅⋅:= Prantlov broj Pr 0.708:=
Kinematska viskoznost ν 670cm
2
hr⋅:=
Racunanje koeficijenata prelaza toplote
Rew d⋅ν:= Re 4.299 10
4×=
α1λd
Nu1 Re Pr,( )⋅:= α2λd
Nu2 Re Pr,( )⋅:=
α1 36.7W
m2
K⋅= α2 35.5
W
m2
K⋅=
Povrsina za razmenu toplote A π d⋅:= A 0.314m=
237
Nu Re Pr,( ) 0.023 Re0.8⋅ Pr
0.4⋅:=Kriterijalna jednacina
Racunanje koeficijenta prelaza toplote
q 1.1 105× W
m2
π di⋅ l⋅:=
gde je q toplotni fluks koji se racuna iz snage grejaca i grejne povrsine
q α Tz Tiz−( )⋅=
b) Temperatura unutrasnjeg zida cevi na izlazu dobija se iz jednacine
Q 3.455 104× W=Q Fm Cp⋅ Tiz Tul−( )⋅:=Snaga grejaca
Fm 0.165kg
s=Fm F ρ⋅:=a) Maseni protok vode
Pr 4.32:=ν 0.0255ft
2
hr⋅:=
Cp 998.1cal
kg K⋅⋅:=λ 0.365BTU
ft hr⋅ R⋅⋅:=ρ 992kg
m3
⋅:=
Ts 313 K=Ts
Tul Tiz+2
:=Svojstva vode za srednju temepraturu
Primer 2.4. Idealno izolovan protocni grejac vode u obliku cevi sa elektricnim grejacem dug je 5 m (l 5 m⋅:= ) i ima unutrasnji precnik 2 cm ( di 2 cm⋅:= ).
a) Izracunati snagu grejaca koja obzbedjuje zagrevanje 10 l/min ( F 10L
min⋅:= )
vode od 15 oC ( Tul 15 273+( ) K⋅:= ) do 65 oC ( Tiz 65 273+( ) K⋅:= ).
b) Proceniti temperaturu unutrasnje povrsine grejaca na izlazu.
Q2 1.18 103× W
m=Q2 α2 A⋅ Ts Ta−( )⋅:=
Q1 1.22 103× W
m=Q1 α1 A⋅ Ts Ta−( )⋅:=
Gubici
238
Dw 2.2 105−⋅ m
2
s:=Mw 18
kg
kmol:=Msv 29
kg
kmol:=
x 5:=µsv 0.0195cP:=p0w 47.4kPa:=
T 80 273+( )K:=w 12m
s:=ρc 1020
kg
m3
:=
φ 0.02:=p 101kPa:=ac 1cm:=
R 8.314J
mol K⋅:=cP 0.01 poise⋅:=kPa 1000Pa:=kmol 1000mol:=Podaci:
PRIMER 2.6 Treba proceniti brzinu sušenja r u kg vode/(kg suve materije?s), kockica šargarepe vazduhom u fluidizovanom sloju, pretpostavljajući da je površina kockica prekrivena filmom vode.
a) Izvesti sledeći izraz za traženu brzinu sušenja:
( )10
)1( −ϕ−ρβ= ssp
p
M
Mr c
w
sv
wsvw
b) Izračunati traženu brzinu sušenja sa sledećim podacima. Stranica kockice je cmac 1= .
Gustina šargarepe je 1020 3mkg a vlažnost 5=x kg vode/kg suve materije. Relativna
vlažnost vazduha je 2%, pritisak je kPa101 , a temperatura sušenja CT 080= . Vazduh struji brzinom smw 12= . Na datoj temperaturi: napon vodene, kPapw 4.470
= , viskozitet
vazduha, cP0195.0=µ . Kriterijalna jednačina koja važi za sušenje u fluidizovanom sloju (Toledo, 1991, 476str):
33.05.0 ScRe6.02Sh +=Kao karakteristična dimenzija kocke uzima se prečnik ekvivalentne sfere – one koja ima istu površinu kao kocka datih dimenzija.Za koeficijent difuzije vlage kroz vazduh uzeti
smDw25102.2 −×=
Tz 374.296K=Tz Tizq
α+:=
α 3.03 103× W
m2
K⋅=α λ
diNu Re Pr,( )⋅:=
Re 1.612 104×=Re
w di⋅ν:=w 0.531
m
s=w
4 F⋅π di
2⋅:=
239
PRIMER 2.7 Pri strujanju suvog vazduha temperature 25 0C i pritiska 1 atm brzinom 2 m/s preko površine od 0.3 m2 pokrivene slojem naftalina, izmerena količina isparenog naftalina u toku od 15 min je 12 g. Napon pare naftalina na 25 0C je 11 Pa a njegova difuzivnost u vazduhu je DA,B = 0.61×10-5 m2/s. Proceniti koeficijent prelaza toplote za vazduh, pri istim uslovima proticanja i istoj geometriji sistema. Specifična toplota i
toplotna difuzivnost vazduha na 25 0C su: smakgK
kJc p
251018.2,01.1 −×== . Iz
izračunate vrednosti koeficijenta prelaza mase Aβ , izračunati ApAx ,, i ββ
r 0.08831
s=r mw sc⋅:=
Brzina susenja:
sc 3.529m
2
kg=sc
6
ac ρc⋅ 1 x+( )⋅:=
scA
V ρc⋅ 1 x+( )=6ac
2
ac3ρc
1 x+( )=6
ac ρc⋅ 1 x+( )⋅=
Specificna povrsina kockice:
mw 0.02501kg
m2
s⋅=mw
Mw
Msvρsv⋅ βw⋅
p0w
p⋅ 1 φ−( )⋅:=
Specificni fluks prelaza vlage:
Izracunavanje brzine susenja:
βw 0.0878m
s=βw
Sh Dw⋅d
:=Sh 2 0.6 Re0.5⋅ Sc
0.33⋅+:=
Sc 0.888=Scµsv
ρsv Dw⋅:=Re 8.488 103×=Re
w d⋅ ρsv⋅µsv
:=
ρsv 0.998kg
m3
=ρsvp
R T⋅ Msv⋅:=
d 1.382cm=d ac6
π⋅:==>6ac2
4πR2= πd
2=
Izracunavanje koeficijenta prelaza mase:
240
aB 2.18 105−⋅ m
2
s⋅:=
Koeficijent prelaza toplote racuna se iz Kolbornove analogije:
α βA ρB⋅ cpB⋅aB
DAB
2
3
⋅=
Koeficijent prelaza mase βA se odredjuje iz podataka o kolicini isparenog nafatalina (molski fluks) i pogonske sile ∆CA = CAf - CAs. Koncentracija naftalina u masi gasa je jednaka 0, a koncentracija CAs se nalazi iz uslova ravnoteze izmedju cvrstog naftalina i njegove pare. U pitanju je binarni sistem isparljive (naftalin) i nekondenzujuce komponente (vazduh) pa je ravnotezni parcijalni pritisak naftalina jednak njegovom naponu pare na istoj temperaturi.
CAf 0mol
m3
⋅:= CAs
poA
R T⋅:= CAs 4.44 103−× mol
m3
=
∆CA CAf CAs−:=
NA
∆mA
∆t S⋅ MA⋅:= βA
NA−∆CA
:= βA 0.078m
s=
α βA ρB⋅ cpB⋅aB
DAB
2
3
⋅:= α 219W
m2
K⋅=
Iz izračunate vrednosti koeficijenta prelaza mase Aβ , izračunati ApAx ,, i ββ
xpoA
p:= x 1.086 10
4−×= Ms x MA⋅ 1 x−( ) MB⋅+:=Ms 0.029
kg
mol=
Podaci
R 8.314J
mol K⋅⋅:= kmol 1000 mol⋅:= kPa 1000Pa:= A - naftalinB - vazduh
p 101.325kPa:= T 25 273+( )K:= w 2m
s⋅:=
MA 128.2kg
kmol⋅:= MB 29
kg
kmol⋅:= ∆t 15 min⋅:= S 0.3 m
2⋅:=
DAB 0.61 105−⋅ m
2
s⋅:= ∆mA 12 gm⋅:= poA 11 Pa⋅:=
ρB 1.19kg
m3
⋅:= cpB 1010J
kg K⋅⋅:=
241
Gustina i molska masa mogu se uzeti kao za vazduh zbog veoma niske koncentracije naftalina.
βAx βA
ρB
Ms⋅:= βAx 3.203
mol
m2s
=
βAp
βA
R T⋅:= βAp 3.152 105−× mol
m2
Pa⋅ s⋅=
242
DODATAK E - Kinetika inaktivacije mikroorganizama
PRIMER 3.1. U uzorku soka od paradajza je pre otpočinjanja sterilizacije bilo 106
mikroorganizama Lctobacillus plantarum. Uzorak je u toku jednog sata održavan na
temperaturi C070 . Izmereni su sledeći brojevi mikroorganizma u pojedinim momentima u toku zagrevanja (Vereš, 2004):
min,t : 0 10 20 30 40 50 60
N : 6101× 51025.1 × 41052.1 × 31087.1 × 230 30 4
Odrediti parametar D za posmatrani mikroorganizam i temperaturu 070 C
t
0
10
20
30
40
50
60
min:= N
1 106×
1.25 105×
1.52 104×
1.87 103×
230
30
4
:=
0 20 40 601
10
100
1 .103
1 .104
1 .105
1 .106
N
t
min
D1−
slope t log N( ),( ):= D 11.088min=
D 11.1min:=
PRIMER 3.6. Za spore C. botulinum, izmerena su sledeća vremena potrebna za inaktivaciju na različitim temperaturama:
CT 0, 100 105 110 115 120 125
minF , 316 100 32 10 3.2 1
a) Odrediti parametar zb) Izračunati procesno vreme za temperaturu CT 0112=
Za C. botulinum, minD 2.00 = . Naći D na 1100C
T 100 105 110 115 120 125( )T:= F 316 100 32 10 3.2 1( )
T:=
243
min( )D110 2.52=D110 Dr 10
Tr T−
z⋅:=T 110:=Tr 121:=Dr 0.2:=c)
min( )Frac 112( ) 20=Izracunavanje trazenog procesnog vremena:
F
316
100
32
10
3.2
1
=Frac T( )
316.228
100
31.623
10
3.162
1
=
100 110 120 1301
10
100
1 .103
F
Frac T( )→
T
Frac T( ) 10
T−
zd+
:=
Poredjenje racunskih i eksp. vrednosti:
d 12.5:=d 12.494=d intercept T log F( ),( ):=
Formulisanje funkcije F(T):
b)
z 10:=z 10.007=z slope log F( ) T,( )−:=
ili:
z 10.007=z1−
slope T log F( ),( ):=
z
vT
zFvFzT +−=⇒+−=
1loglog
a)
100 110 120 1301
10
100
1 .103
F
T
244
PRIMER 3.10. Dati su podaci za promene 0D spora C. botulinum–a ( Vereš,M., Tab II-
15, 125s). Formulisati empirijsku zavisnost )(0 pHD za C. botulinum.
Ph
7
6
6
5.4
5.2
4.4
:= D
0.21
0.066
0.055
0.044
0.043
0.033
:=
4 6 80
0.1
0.2
0.3
D
PhLin-Log dijagrami
4 6 80.01
0.1
1
D
Ph
0 50 1000.01
0.1
1
D
Ph2
0 500 10000.01
0.1
1
D
Ph3
Uocavamo tendenciju "ispravljanja" u dijagramu logD-Phn kada stepen n raste. Zato cemo pretpostaviti troparametarsklu zavisnost oblika:
logD a b Phn⋅+=
nelinearnu po parametrima. Kao polazne procene uzecemo : n=1 i a,b odredjene za linearnu formulu:
245
4 5 6 7 80
0.1
0.2
0.3
D
10a b Ph
n⋅+
→
Ph
Drac
0.209
0.061
0.061
0.044
0.041
0.034
=D
0.21
0.066
0.055
0.044
0.043
0.033
=
S a b, n,( ) 7.049 105−×=
Drac 10a b Ph
n⋅+
→
:=
Provera kvaliteta fitovanja:
a
b
n
1.502−
1.573 106−×
6.766
=
a
b
n
MinErr a b, n,( ):=
a b Phn
→⋅+ log D( )=S a b, n,( ) 0=
Umesto S(a,b,n)=0, "resava se " sistem nesaglasnih jednacina, sto daje u ovom slucaju bolje fitovanje!
Given
S a b, n,( ) 4.201 103−×=S a b, n,( )
0
5
i
Di 10a b Phi( )n⋅+ −
2
∑=
:=
b 0.298=a 2.907−=b slope Ph log D( ),( ):=a intercept Ph log D( ),( ):=
n 1:=logD a b Ph⋅+=
246
δ1 interp pspline Tab0⟨ ⟩
Tab 1⟨ ⟩,( ) Tab 0⟨ ⟩, Tab 1⟨ ⟩, Bi,( ):=Spline interpolacija:Tab
0.01
0.02
0.04
0.06
0.0998
0.1410
0.1987
0.2425
:=
Racunanje parametara interpolacijom:
A1 1.0018=A1
2 sin δ1( )δ1 sin δ1( ) cos δ1( )⋅+:=
δ1 0.1043=δ1 Find δ( ):=δ tan δ( )⋅ Bi=
Given
δ 0.01:=Racunanje parametara resavanjem jednacine (28a):
τ 142.531=Bi 0.011=
τ t a⋅L
2:=Bi
α L⋅λ:=a 3.394 10
5−× m2
s= α 120
W
m2
K⋅:=
T0 500C:=t 7min:=Tp 20C:=L 1cm:=
aλ
ρ Cp⋅:=Cp 380J
kg K⋅:=ρ 8530kg
m3
:=λ 110W
m K⋅:=
Definisanje celziusovog stepena C K:=
PRIMER 4.7. Početna temperatura velike mesingane ploče, debljine 2cm, je C020 . Ona se zagreva dok prolazi kroz peć u kojoj je temperatura C0500 . U peći
ostaje 7min. Kombinovani koeficijent prelaza toplote i zračenja u peći je : KmW 2120=α . Za termofizička svojstva mesinga
uzeti: kgKJCmkgmKW p 380,8530,110 3 ==ρ=λ
a) Izračunati temperaturu površine ploče i temperaturu u njenom centru, neposredno po izlasku ploče iz peći. b) Nacrtati temperaturni profil ploče, neposredno po izlasku iz peći
DODATAK E - Nestacionaran prenos toplote kondukcijom
247
A1
2 sin δ1( )δ1 sin δ1( ) cos δ1( )⋅+:= δ1 0.104= A1 1.0018=
Bezdimenzioni profil: θ x τ,( ) A1 exp δ12− τ⋅ ⋅ cos δ1
x
L⋅⋅:=
Temperaturni profil: T x t,( ) Tp T0−( ) θ xt a⋅L
2,
⋅ T0+:=
Temperature u centru i na povrsini: Tc T 0m t,( ):= Tc 397 C=TL T L t,( ):= TL 398C=
Temperaturni profil u polovini mesingane ploce
0 0.005396.8
397
397.2
397.4
397.6
T x t,( )
x
PRIMER 4.8. Potrebno je rashladiti šnicle, debljine 1in, početne temperature F075 , u zamrzivaču u kome se temperatura održava na F05 , tako da nijedan deo šnicle ne bude ohlađen na temperaturu nižu od F035 ( C02 ) (izbegavanje zamrzavanja). Koeficijent prelaza toplote pri hlađenju je )(9.3 0FfthrBTU ⋅⋅a) Izračunati potrebno vreme rashlađivanja.
b) Proveriti da li je temperatura u sredini šnicle nakon rashlađivanja spala ispod propisane gornje granice, koja iznosi F045
c) Ispitati, pod uslovom da je zadovoljen dati uslov nezamrzavanja, kako promena intenziteta rashlađivanja, tj. vrednosti koeficijenta prelaza toplote utiče na temperaturu sredine šnicle i na ispunjavanje drugog uslova – maksimalno dozvoljene temperature. Dati inženjersko tumačenje zapaženog.
Za šniclu uzeti sledeće vrednosti termofizičkih parametara: FlbBTUCftlbFfthBTU p
030 98.0,9.74),(26.0 ==ρ⋅⋅=λ .
248
Bezdimenzioni profil: θ x τ,( ) A1 exp δ12− τ⋅ ⋅ cos δ1
x
L⋅⋅:=
Temperaturni profil: T x t,( ) Tp T0−( ) θ xt a⋅L
2,
⋅ T0+:=
a) Izracunavanje vremena hladjenja:
t 0s:=Given
T L t,( ) TL=
t Find t( ):= t 0.615hr=
Provera prihvatljivosti resenja, tj. da li je t > 0.2:τ t a⋅L
2:= τ 1.255=
b) Izracunavanje temperature u centru:
Tc T 0m t,( ):= Tc 280.4K= Tcmax 281K=
λ 0.26BTU
hr ft⋅ R⋅:= ρ 74.9lb
ft3
:= Cp 0.98BTU
lb R⋅:= Tp 75 460+( )R:=
L 0.5in:= T0 465R:= α 3.9BTU
hr ft2⋅ R⋅
:=
aλ
ρ Cp⋅:= a 9.141 108−× m
2
s= Bi
α L⋅λ:= Bi 0.625=
TL 35 460+( )R:= TL 275K= Tcmax 45 460+( )R:=
Racunanje parametara interpolacijom:
Tab
0.5
0.6
0.7
0.8
0.6533
0.7051
0.7506
0.7910
:= δ1 interp pspline Tab0
⟨ ⟩Tab 1⟨ ⟩,( ) Tab 0⟨ ⟩, Tab 1⟨ ⟩, Bi,( ):=
δ1 0.717=
A1
2 sin δ1( )δ1 sin δ1( ) cos δ1( )⋅+:= A1 1.0841=
249
T y t,( ) 35.8C=Trazena temperatura:
T x t,( ) Tp T0−( ) θ x t,( )⋅ T0+:=Temperaturni profil :
θ x t,( ) erfx
2 a t⋅
expα x⋅λ
αλ
2
a⋅ t⋅+
1 erfx
2 a t⋅α a t⋅⋅
λ+−⋅+:=
Bezdimenzioni profil:
λα+⋅
λα+λ
α+
=−−=θ at
at
xat
x
at
x
TT
TtxTx
p 2erf-1exp
2erf
),()(
2
0
0
τ 0.00756Bi0.3−
0.02+< 1=τ 0.014=τ a t⋅L
2:=
Provera uslova primenljivosti jedn. (35):
Bi 4.545=Biα L⋅λ:=a 1.187 10
7−× m2
s=a
λρ Cp⋅:=
T0 5C:=Tp 38C:=C K:=
t 20min:=y 2cm:= ( Za L se uzima poludebljina komada) L 10cm:=
α 20W
m2
K⋅⋅:=Cp 3558
J
kg K⋅:=λ 0.44W
m K⋅:=ρ 1042kg
m3
:=
PRIMER 4.9. Komad govedine, debljine 20cm, temperature C038 je unet u hladan prostor, temperature C05 .Proceniti temperaturu na rastojanju 2cm od površine, nakon 20min. Podaci:
KmWkgKJCmKWmkg p23 20,3558,44.0,1042 =α==λ=ρ
Ponoviti proracun za α = 3.2, 4.0 , 4.5, 5.0 i pratiti temperaturu i uslov u centru. c)
Tc Tcmax< 1=Provera uslova u centru :
250
t 26.3min=t root T 0 t,( ) Tc− t,( ):=t 0s:=Izracunavanje vremena kuvanja:
T r t,( ) Tp T0−( ) θ rt a⋅L
2,
⋅ T0+:=Temperaturni profil:
J0 je Mathcad funkcija za izracunavanje J0θ r τ,( ) A1 exp δ12− τ⋅ ⋅ J0 δ1
r
L⋅⋅:=
2.0),(),(
),(2101
0
0 21 >=τδ=
−−=τθ τδ−
R
atRrJeA
TT
TtxTr
p
Bezdimenzioni temperaturni profil:
A1 1.5155=A1 interp pspline Bitab Tab 1⟨ ⟩,( ) Bitab, Tab 1⟨ ⟩, Bi,( ):=
δ1 2.0227=δ1 interp pspline Bitab Tab 0⟨ ⟩,( ) Bitab, Tab 0⟨ ⟩, Bi,( ):=
Bitab
4.0
5.0
6.0
7.0
:=Tab
1.9081
1.9898
2.0490
2.0937
1.4698
1.5029
1.5253
1.5411
:=
Racunanje parametara interpolacijom:
Bi 5.516=Biα L⋅λ:=
Tc 277.778K=Tc 40 460+( )R:=α 180W
m2
K⋅:=L 1.9cm:=
Ne mozemo koristiti R za poluprecnik jer R predstavlja stepene Rankina
T0 35 460+( )R:=Tp 80 460+( )R:=a 1.46 107−⋅ m
2
s:=λ 0.62
W
m K⋅:=
PRIMER 4.10. Treba proceniti vreme potrebno da se temperatura u centru krastavca smanji sa F080 na F040 u hladnjači u kojoj se temperatura održava na F035 . Poluprečnik krastavca je cmR 9.1= , a dugačak je cmL 16= . Koeficijent prelaza toplote u hladnjači ima vrednost KmW 2180=α . Termofizička svojstva krastavca
su: smamKW 271046.1,62.0 −×==λ .
251
Tc t( ) Tp T0−( ) θct a⋅L
2
⋅ T0+:=Temperatura u centru:
θc τ( ) A1 exp δ12− τ⋅ ⋅:=Bezdimenziona temperatura u centru:
A1 1.9959=A1 interp pspline Bitab Tab 1⟨ ⟩,( ) Bitab, Tab 1⟨ ⟩, Bi,( ):=
δ1 3.076=δ1 interp pspline Bitab Tab 0⟨ ⟩,( ) Bitab, Tab 0⟨ ⟩, Bi,( ):=
Bitab
30.0
40.0
50.0
100.0
:=Tab
3.0372
3.0632
3.0788
3.1102
1.9898
1.9942
1.9962
1.9990
:=
Racunanje parametara interpolacijom:
Bi 47.847=Biα L⋅λ:=
Tc 70C:=α 1200W
m2
K⋅:=L 2.5cm:=
T0 95C:=Tp 5C:=a 1.51 107−⋅ m
2
s:=λ 0.627
W
m K⋅:=
Definisanje Celzijusovog stepena C 1K:=
PRIMER 4.11. Jaje se može aproksimirati sferom prečnika cm5 . Pošto je sadržaj vode u jajetu visok, oko 74% , za termofizičke parametre λ i a, mogu se uzeti oni za vodu: na srednjoj temperaturi
C05.372)705( =+ smamKW 2610151.0,627.0 −×==λ . Jaje, čija je početna
temperatura C05 treba skuvati u ključaloj vodi temperature 95C0 . Koeficijent prelaza toplote sa ključale vode na jaje je KmW 21200=α . Proceniti vreme,
potrebno da se jaje skuva, tj. da temperatura u centru dostigne C070 .
Resenje je korektno !τ 0.639=τ a t⋅L
2:=
Provera prihvatljivosti resenja - da li je t > 0.2 :
252
aλ
ρ Cp⋅:= a 9.146 108−× m
2
s=
Racunanje poluprecnika lopte (L):
masa 3.2kg:= Vmasa
ρ:= V 2.667 103−× m
3=
V4
3π⋅ L
3⋅= L3
3 V⋅4 π⋅:= L 0.086m=
Nalazenje opsega Bi brojeva:
αmin 50W
m2K
:= Bimin
αmin L⋅λ:= Bimin 9.558=
αmax 300W
m2K
:= Bimax
αmax L⋅λ:= Bimax 57.35= L 0.086m=
Izracunavanje vremena kuvanja:
t 0s:= t root Tc t( ) Tc− t,( ):= t 14.4min=
Provera prihvatljivosti resenja - da li je t > 0.2 :
τ a t⋅L
2:= τ 0.208= Resenje je korektno !
PRIMER 4.12. U poznatom kuvaru Betty Crocker’s Cookbook, piše da je za pečenje krmenadle od 3.2 kg, početne temperature F040 , u rerni, na temperaturi
F0325 potrebno minh 452 . Krmenadla je meko pečena, kada temperatura u centru
dostigne C060 . Krmenadla se može aproksimirati homogenim sfernim objektom sa svojstvima: mKWkgKkJCmkg p 45.0,1.4,1200 3 =λ==ρ . Na osnovu datih
podataka, a) Proceniti koeficijent prelaza toplote u rerni, imajući u vidu da se njegove vrednosti kreću u intervalu KmW 230050− ,
b) Izračunati temperaturu spoljnje površine krmenadle, kada je pečena.
kJ 1000J:= ρ 1200kg
m3
:= Cp 4.1kJ
kg K⋅:=λ 0.45W
m K⋅:=
T0 325 460+( )R:= Tc 60 273+( )K:= Tp 40 460+( )R:= t 165min:=
253
2.0,)sin(),(
),(2
1
11
0
0 21 >=τ
δδ=
−−=τθ τδ−
R
at
Rr
RreA
TT
TtxTr
p
Temperaturni profil:b)
Procena dobijena koriscenjem tacnijeg postupka
je 157 W/(m2 K).
α 134W
m2
K⋅=α Bi
λL⋅:=
Bi 25.612=Bi Find Bi( ):=Tc t Bi,( ) Tc=
Given
Bi 50:=Izracunavanje Bi iz zadate temperature centra:
Tc t Bi,( ) Tp T0−( ) θct a⋅L
2Bi,
⋅ T0+:=Temperatura u centru:
θc τ Bi,( ) A1 Bi( ) exp δ1 Bi( )2− τ⋅ ⋅:=Bezdimenziona temperatura u centru:
Uslov nije zadovoljen, pa dobijene procene treba uzeti sa rezervom !
τ 0.122=τ t a⋅L
2:=
Provera uslova za koriscenje pribliznog resenja (44).
A1 Bi( ) interp pspline Bitab Tab 1⟨ ⟩,( ) Bitab, Tab 1⟨ ⟩, Bi,( ):=
δ1 Bi( ) interp pspline Bitab Tab 0⟨ ⟩,( ) Bitab, Tab 0⟨ ⟩, Bi,( ):=
Funkcije Bajotovog broja :a)
Tab
2.8044
2.8363
2.9857
3.0372
3.0632
3.0788
3.1102
1.9106
1.9249
1.9781
1.9898
1.9942
1.9962
1.9990
:=Bitab
9.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
100.0
:=
Odabrani deo tabele za odredjivanje parametara interpolacijom:
254
Bi
0.667
2.667
4.444
=Bi
α L⋅λ:=Bajotovi brojevi za slojeve:
L
0.015
0.06
0.1
m=L
a
b
c
0.5⋅:=Karakteristicne dimenzije slojeva:
c 20cm:=b 12cm:=a 3cm:=
α 20W
m2K
:=aT 1.384 107−× m
2
s=aT
λρ Cp⋅:=
Tp 5 273+( )K:=t 30min:=T0 135 273+( )K:=
Cp 3225J
kg K⋅:=ρ 1008kg
m3
:=λ 0.45W
m K⋅:= ORIGIN 1:=
PRIMER 4.13. Treba izračunati temperaturu u centru komada govedine, pravougaonog oblika, dimenzija cm20123 ×× , nakon polučasovnog zagrevanja u rerni. Termofizička svojstva govedine su :
kgKJCmkgmKW p 3225,1008,45.0 3 ==ρ=λ . Za koeficijent prelaza
toplote u rerni uzeti KmW 220=α . Pre no što je stavljeno u rernu, meso je bilo na
temperaturi C05 . Temperatura rerne se održava na C0135
TL 159C=TL
TL 273K−K
C⋅:=C 1K:= Temperatura, dobijena koriscenjem tacnijeg postupka je 160C.
TL 273K− 158.911K=TL 431.911K=TL T L t, Bi,( ):=Temperatura povrsine:
T r t, Bi,( ) Tp T0−( ) θ rt a⋅L
2, Bi,
⋅ T0+:=
θ r τ, Bi,( ) θc τ Bi,( )sin δ1 Bi( )
r
L⋅
δ1 Bi( )r
L⋅
⋅:=
255
(lazni indeks)θc1 0.597=θc1 A1 exp δ12− τ1⋅ ⋅:=
Bezdimenziona temperatura u centru sloja:
(lazni indeks)
A1 1.088=A1 2sin δ1( )
δ1 sin δ1( ) cos δ1( )⋅+⋅:=δ1 0.736=δ1 funδ1 Bi1( ):=1. sloj:
θcentarτ δ, n,( ) 2
1
n
i
exp δ i( )2− τ⋅ sin δ i( )δ i sin δ i( ) cos δ i( )⋅+⋅∑
=⋅:=
Definisanje funkcije za izracunavanje temperature centra sloja, prema jedn (28):
Za drugi i treci sloj, nije zadovoljen uslov τ 0.2> , pa se temperatura u centrumora racunati kao zbir nekoliko prvih sabiraka u sumi (28), recimo 4
τ1.107
0.069
0.025
=τ
t aT⋅
L2
→:=
Furijeovi brojevi:
funδ1 Bi( ) interp pspline Tab1⟨ ⟩
Tab 2⟨ ⟩,( ) Tab 1⟨ ⟩, Tab 2⟨ ⟩, Bi,( ):=
Tab
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
0.7051
0.7506
0.7910
0.8274
0.8603
1.0769
1.1925
1.2646
1.3138
:=
Interpolaciona funkcija za izracunavanje parametara:
256
θcentarτ2 δ, 2,( ) 0.99177=Suma sa 3 i sa 4 clana se razlikuju tek na 4. znacajnoj cifri, pa je dovoljno sabrati samo prva tri sabirka !
θcentarτ2 δ, 3,( ) 0.99668=
(lazni indeks)θc2 0.9966=θc2 θcentarτ2 δ, 4,( ):=
Temperatura centra:
δ
1.16
3.759
6.664
9.693
=
δ4 9.693=δ4 x:=x root x tan x( )⋅ Bi2− x,( ):=x 10:=
δ3 6.664=δ3 x:=x root x tan x( )⋅ Bi2− x,( ):=x 7:=
δ2 3.759=δ2 x:=x root x tan x( )⋅ Bi2− x,( ):=x 4:=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 105
0
5
tan x( )
Bi2
x
x
Trazeni koreni se nalaze u preseku krivih tan(x) i Bi/x
Ostali koreni se dobijaju resavanjem jednacine δtan(δ)=Bi, ili njoj ekvivalentne tan(δ)=Bi/δ(indeks je pravi)δ1 1.16=δ1 funδ1 Bi2( ):=
Prvi koren jednacine δtan(δ)=Bi se moze dobiti interpolacijom.
2. sloj :
257
Tc 57.7C=Tc
Tc 273K−K
C⋅:=C 1K:=
Tc 330.657K=Tc Tp T0−( ) θc⋅ T0+:=
θc 0.595=θc θc1 θc2⋅ θc3⋅:=
Temperatura centra komada mesa se dobija kao proizvod:
θc3 0.99931=θc3 θcentarτ3 δ, 4,( ):=δ
1.289
3.982
6.858
9.849
=Temperatura centra:
δ4 9.849=δ4 x:=x root x tan x( )⋅ Bi3− x,( ):=x 10:=
δ3 6.858=δ3 x:=x root x tan x( )⋅ Bi3− x,( ):=x 7:=
δ2 3.982=δ2 x:=x root x tan x( )⋅ Bi3− x,( ):=x 4:=
Oznaka z je uvedena jer kako bi se mogao nacrtati dijagram jer je oznaka x vec iskoriscena prethodno.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 105
0
5
tan z( )
Bi3
z
z
δ1 1.289=δ1 funδ1 Bi3( ):=
Prvi koren jednacine δtan(δ)=Bi se moze dobiti interpolacijom.3. sloj :
258
Bi 23.226=
TOL 0.00001:=
0 2 4 6 8 10 12
0
10
20
30
tan x( )
Bi
x
x
(na levoj strani je pravi indeks, a na desnoj lazni)δ1 δ1:=
θcentarτ δ, n,( ) 2
1
n
i
exp δ i( )2− τ⋅ sin δ i( )δ i sin δ i( ) cos δ i( )⋅+⋅∑
=⋅:=
Nije t>0.2, pa se mora sabrati vise sabiraka u sumi (28):
τ 0.036=τ a t⋅L
2
2
:=A1 1.2706=A1
2 sin δ1( )δ1 sin δ1( ) cos δ1( )⋅+:=
(Linearna interpolacija daje dovoljnu tacnost)
δ1 1.5039=δ1 linterp Tab1⟨ ⟩ Tab 2⟨ ⟩, Bi,( ):=
Tab20.0
30.0
1.4961
1.5202
:=Bi 23.226=Bi
α L⋅ 0.5⋅λ:=
ORIGIN 1:=Odredjivanje parametara za Ravan sloj
Krastavac datih dimenzija dobijamo u preseku dugog cilidra, poluprecnika R i ravnog sloja velike povrsine, debljine L.
(izracunato u Primeru 4.10)t 26.3min:=
Tc 40 460+( )R:=α 180W
m2
K⋅:=a 1.46 10
7−⋅ m2
s:=λ 0.62
W
m K⋅:=
L 16cm:=R 1.9cm:=T0 35 460+( )R:=Tp 80 460+( )R:=
PRIMER 4.14. Za izračunato vreme hlađenja u Primeru 10 proveriti temperaturu centra krastavca posmatrajući ga kao kratak cilindar.
259
δ4 x:=
δ
1.504
4.52
7.54
10.569
=
Bezdimenziona temperatura centra:
θcsloj θcentarτ δ, 4,( ):= θcsloj 1= Znaci da je temperatura centra sloja jednaka pocetnoj temperaturi!
Dugi cilindar
Odredjivanje parametara:
Biα R⋅λ:= Bi 5.516=
Tab
1.9081
1.9898
2.0490
2.0937
1.4698
1.5029
1.5253
1.5411
:= Bitab
4.0
5.0
6.0
7.0
:=
δ1 interp pspline Bitab Tab 1⟨ ⟩,( ) Bitab, Tab 1⟨ ⟩, Bi,( ):= δ1 2.0227=
A1 interp pspline Bitab Tab 2⟨ ⟩,( ) Bitab, Tab 2⟨ ⟩, Bi,( ):= A1 1.5155=
Nalazenje ρ vrednosti pomocu Solve bloka (root nije konvergirao)
x 4:=Given
x tan x( )⋅ Bi= x Find x( ):= x 4.52= δ2 x:=
x 7:=Given
x tan x( )⋅ Bi= x Find x( ):= x 7.54= δ3 x:=x 10:=Given
x tan x( )⋅ Bi= x Find x( ):= x 10.569=
260
θc
Tc T0−Tp T0−
→:=
Tc Pod1⟨ ⟩ 273+( )K:=t Pod0⟨ ⟩ s:=Pod112
16.8
224
15
448
10
672
7.4
896
5.8
1120
5.0
T
:=
a 1.35 107−⋅ m
2
s:=λ 0.55
W
m K⋅:=
ORIGIN 0:=Tp 21.5 273+( )K:=T0 277K:=L 11mm:=
PRIMER 4.15 Merena je temperatura centra zrna grožđa prečnika 22mm, u toku hlađenja (tabela) u hladnjaku na temperaturi C04 . Zrno je prethodno bilo na sobnoj temperaturi 21.5C0 . Termofizička svojstva grožđa su : mKW55.0=λ .
.1035.1 27 sma −×= Proceniti koeficijent prelaza toplote α pri hlađenju.
st, 112 224 448 672 896 1120
CTc0, 16.8 15 10 7.4 5.8 5.0
Temperatura je identicna kao u Primeru 10, sto potvrdjuje opravdanost aproksimacije krastavca datih dimenzija dugim cilindrom!
Tc 277.8K=Tc Tp T0−( ) θc⋅ T0+:=
Nema nikakve korekcije resenja dobijenog u Primeru 10 !
θc 0.111=θc θcsloj θccil⋅:=
Racunanje temperature centra krastavca superpozicijom:
θccil 0.111=θccil θ 0m τ,( ):=
Bezdimenziona temperatura centra:
θ r τ,( ) A1 exp δ12− τ⋅ ⋅ J0 δ1
r
R⋅
⋅:=Vazi priblizno bezdimenzioni temp. profil:
τ 0.2>( )τ 0.638=τ a t⋅R
2:=
261
Funkcija za gustinu mleka:
ρ T( ) a b T⋅+ c T2⋅+( )→
:=
Vektorska funkcija gustina komponenata:
c
0.0037574−0
0
0
0
0
0
:=b
0.0031439
0.13071−0.51814−0.41757−0.31046−0.36589−0.28063−
:=a
997.18
916.89
1329.9
925.59
1599.1
1311.5
2423.8
:=Xm
0.875
0
0.037
0.037
0.046
0
0.005
:=
voda
led
proteini
mast
ugljhidr
vlakna
pepeo
Parametri za izracunavanje individualnih gustina
PRIMER 4.16. Izračunati toplotnu provodljivost mleka sastava: 87.5% vode, 3.7% proteina 3.7% masti, 4.6% laktoze i 0.5% pepela, na 10 oC.
α 46W
m2
K⋅=α Bi λ⋅
L:=
Bi 0.927=Bi linterp δ tab Bitab, δ1,( ):=Bitab
0.9
1.0
:=δtab
1.5044
1.5708
:=
Izracunavanje α:
δ1 1.523=δ1L
2k⋅
a
0.5
:=Izracunavanje parametra δ1:
k 2.586 103−× 1
s=k slope t ln θc( ),( )−:=Nagib u dijagramu t-lnθc :
tL
aAc ⋅δ−=θ
321
nagib
2
21
odsecak1lnln
0 500 1000 15000.01
0.1
1
θc
t
262
λml 10( ) 0.547=Toplotna provodljivost mleka (W/mK) na zadatoj temperaturi:
(skalarni proizvod dva vektora)λml T( ) Xv T( ) λ T( )⋅:=
Funkcija za toplotnu provodljivosti mleka:
λ T( ) a b T⋅+ c T2⋅+( )→
:=
Vektorska funkcija za toplotne provodljivosti komponenata:
c
6.7306−101.54
2.7178−0.17749−4.3312−3.1683−2.9069−
106−⋅:=b
1.7625
6.2489−1.1958
2.7604−1.3874
1.2497
1.401
103−⋅:=a
0.57109
2.2196
0.1788
0.1807
0.2014
0.18331
0.3296
:=
Koeficijenti u temperaturnoj zavisnosti λ, za pojedine komponente:
Xv 10( )
0.899
0
0.029
0.041
0.03
0
2.114 103−×
=Zapreminski udeli na datoj temperaturi:
Xv T( )Xm ρml T( )⋅
ρ T( )
→:=
Vektorska funkcija zapreminskih udela:
ρml 10( ) 1.024 103×=Gustina mleka (kg/m3) na zadatoj temperaturi :
ρml T( )1
Xm
ρ T( )
→
∑:=
263
b) Toplotna provodljivost mleka u funkciji od temperature:
10 20 30 40 50 600.54
0.56
0.58
0.6
λml z( )
z
264
DODATAK E - Modelovanje sterilizacije upakovane hrane
PRIMER 5.1. (Vereš, 2004, 137str.) Pileće meso sa povrćem se sterilizuje upakovano u staklenke od 225g u režimu 30+40+55 (30min. predgrevanje, 40min održavanje i 55minhlađenje). Hlađenje počinje od 70. minuta. Temperatura autoklava je C0120 . Izračunati sterilizacionu vrednost procesa. Za z uzeti vrednost C010 .
z 10:=Pod
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
60
64
68
73
79
85
91
96
103
108
111
114
115.5
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
116.5
117.5
118.5
112
104
95
80
70
60
52
45
40
37
:=t stack Pod0
⟨ ⟩Pod2⟨ ⟩,( ):=
T stack Pod1⟨ ⟩
Pod3⟨ ⟩,( ):=n last t( ):= n 25=
Vreme zagrevanja:th 70:= Ukupno vreme: ttot tn:=Formiranje kubnog splajna koji aproksimira krivu prodiranja toplote:
Tspl x( ) interp pspline t T,( ) t, T, x,( ):=
0 20 40 60 80 100 120
60
80
100
120
T
Tspl x( )
t x,
265
Doprinose samo prvih 20 min hladjenja! F0c1 4.6=F0c1th
th 20+
xL x( )⌠⌡ d:=
Znacajan doprinos, gotovo 50%F0c 4.604=F0cth
ttot
xL x( )⌠⌡ d:=
Analiza doprinosa perioda hladjenja:
Moze se zanemariti! F0ph 3.599 103−×=F0ph
0
30
xL x( )⌠⌡ d:=
Analiza doprinosa predgrevanja:
F0h 5.931=F0h0
th
xL x( )⌠⌡ d:=
Sterilizaciona vrednost u periodu zagrevanja
F0 10.5=F0 10.535=F00
ttot
xL x( )⌠⌡ d:=
Sterilizaciona vrednost procesa (min):
0 50 1000
0.2
0.4
0.6
L x( )
x
L x( ) 10
Tspl x( ) 121.1−z:= T0 250F= 121.1C=
Faktor smrtnosti duz krive prodiranja toplote:
266
PRIMER 5.2. Dati su podaci merenja temperature kritične tačke.
a) Izračunati zF0 za taj režim
b) Korigovati ga tako da zF0 bude 9min . Parametar z je F018 .
z 18:=
T0 250:=Tab1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
140
140
140
140
163
185
201
213
224
229.4
234.5
:= Tab2
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
238
241
243.5
245
246.3
247.3
247.0
245.2
223.5
175
153
140
:=
t stack Tab10⟨ ⟩ Tab20⟨ ⟩,( ):=T stack Tab11⟨ ⟩ Tab21⟨ ⟩,( ):=n last t( ):= n 22=
Vreme zagrevanja:th 80= Ukupno vreme: ttot tn:=
0 50 100100
150
200
250
T
t
267
Tspl th( ) 245=Temperatura postignuta zagrevanjem:
Odredjivanje momenta y na datoj krivoj hladjenja, u kome je temperatura kriticne tacke jednaka onoj koja je dostignuta zagrevanjem u pretpostavljenom periodu th
Korigovanje krive prodiranja toplote za odabrano vreme zagrevanja, th:
Menjati i odrediti thsa
preciznoscu od 0.1 min iz uslova F0=9
th 70:=Pretpostavljena duzina zagrevanja:
Iteracioni postupak korigovanja duzine zagrevanja:
F0 21.7=F0 21.692=F00
ttot
xL x( )⌠⌡ d:=
Sterilizaciona vrednost procesa (min):
0 50 1000
0.5
1
L x( )
x
L x( ) 10
Tspl x( ) T0−
z:=Faktor smrtnosti duz krive prodiranja toplote:
0 50 100100
150
200
250
Tspl x( )
x
Tspl x( ) interp pspline t T,( ) t, T, x,( ):=Formiranje kubnog splajna koji aproksimira krivu prodiranja toplote:a)
268
0
5
10
15
20
25
60
64
68
73
79
85
65
70
75
80
85
90
116.5
117.5
118.5
112
104
95
PRIMER 5.3a. Za podatke iz Primera 5.1, izračunati parametre hh jf i i definisati
funkciju, koja aproksimira krivu zagrevanja (11)
minth 70.7:=Procenjena vrednost vremena zagrevanja :
F0 8.618=F0 F01 F02+:=F02 1.218=F02th
ttot
xL x τ+( )⌠⌡ d:=
Novo ukupno vreme (min) ttot 89.87=ttot tn τ−:=Doprinos hladjenja:
F01 7.4=F010
th
xL x( )⌠⌡ d:=Doprinos zagrevanja:
Proracun nove sterilizacione vrednosti:
Korigovana kriva prodiranja toplote se dobija kada se na pocetni segment (pre preseka krivih) crvene krive, doda drugi segment (posle preseka krivih) plave krive
60 80 100150
200
250
Tspl x( )
Tspl x τ+( )
x
τ 20.13=τ y th−:=Vremenski interval (min) za kogatreba pomeriti krivu hladjenja u levo:
Tspl y( ) 245=Provera: y 90.13=y Find y( ):=Tspl y( ) Tspl th( )=
Given
y 100:=
269
m 2.347=m intercept X log Y( ),( ):=Izracunavanje odsecka:
fh 36=fh 35.709=fh1−
k:=k slope X log Y( ),( ):=Izracunavanje fh:
Y submatrix gh 7, nh, 0, 0,( ):=X submatrix th 7, nh, 0, 0,( ):=
Fitovanje segmenta krive zagrevanja funkcijom:h
p
f
tt
hhr IjTT
−
−
−= 10
Pravolinijski deo pocinje 8. tackom, ciji je indeks 7.
0 20 40 60 801
10
100
gh
th
gh Tr Th−:=Lin - log dijagram th , Tr Th−( ) :
Pod 30
35
40
45
50
55
60
91
96
103
108
111
114
115.5
95
100
105
110
115
120
125
80
70
60
52
45
40
37
:=t stack Pod0
⟨ ⟩Pod2⟨ ⟩,( ):=
T stack Pod1⟨ ⟩
Pod3⟨ ⟩,( ):=n last t( ):= n 25=
Ukupno vreme zagrevanja:th 70:= nh 14:= (indeks poslednje tacke)
Come-up vreme: tph 30:= nph 7:=Temperatura retorte( 0C): Tr 120:=Tacke na krivoj zagrevanja: th submatrix t 0, nh, 0, 0,( ):=
Th submatrix T 0, nh, 0, 0,( ):=
270
Th
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
60
64
68
73
79
85
91
96
103
108
111
=Tfunh th( )
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-102.539
-41.208
3.221
35.405
58.72
75.608
87.843
96.705
103.125
107.776
111.145
=
Poredjenje racunskih i eksperimentalnih tacaka:
tp t≤ th≤Tfunh t( ) Tr jh Ih⋅ 10
t tp−( )−
fh⋅−:=Funkcija:
jh 1.2=jh 1.162=jh
Tr Tpp−Ih
:=Ih Tr Tp−:=Tp T0:=
Izracunavanje jh:
Tpp 50.284=Tpp Tr 10m k tp⋅+−:=tp 18=tp 0.6 tph⋅:=
Izracunavanje pseudo-pocetne temperature:
0 20 40 60 801
10
100
1 .103
gh
gfun th( )
th
gfun t( ) 10m k t⋅+:=Graficka provera fitovanja:
271
fc 53=fc 53.179=fc1−
k:=k slope X log Y( ),( ):=
Izracunavanje fc i jc :
Y submatrix gc 4, nc, 0, 0,( ):=X submatrix tc 4, nc, 0, 0,( ):=
Fitovanje segmenta krive hladjenja funkcijom: cf
t
ccw IjTT−
+= 10
Pravolinijski deo pocinje tackom ciji je indeks 4
0 20 40 6010
100
gc
tc
gc Tc Tw−:=Lin - log dijagram tc , Tc Tw−( ) : (indeks poslednje tacke)nc 11=nc n nh−:=Tc submatrix T nh, n, 0, 0,( ):=
Uzimamo da vreme pocinje od 0tc submatrix t nh, n, 0, 0,( ) tnh−:=Izdvajanje tacaka koje pripadaju segmentu hladjenja:
Tg 117.5=Tg Tnh:=Pocetna temperatura:Tw 20:=Temperatura rashladne vode:
PRIMER 5.3b. Za podatke iz Primera 5.1, izračunati parametre cc jf i i definisati
funkciju, koja aproksimira krivu hlađenja .
Oblast u kome racunske vrednosti znacajno odstupaju od eksperimentalnih je oblast niskih temperatura, koje nemaju znacajan uticaj na sterilizacionu vrednost rezima
11
12
13
14
114
115.5
116.5
117.5
11
12
13
14
113.585
115.353
116.634
117.562
272
td 20=td tc4:=Na osnovu eksp. podataka, uzimamo:
Izbor granicnog vremena i parametar b:
PRIMER 5.3c. Za podatke iz Primera 5.1, definisati funkciju, koja aproksimira početni deo krive hlađenja.
Uocavamo velike greske u pocetnom periodu
tc
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
=Tc
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
117.5
118.5
112
104
95
80
70
60
52
45
40
37
=Tfunc tc( )
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
199.379
164.46
136.339
113.692
95.454
80.766
68.937
59.411
51.739
45.56
40.585
36.578
=
0 t≤ tcnc≤( )Tfunc t( ) Tw jc Ic⋅ 10
t−fc⋅+:=Funkcija:
0 20 40 60 801
10
100
1 .103
gc
gfun th( )
th
gfun t( ) 10m k t⋅+:=
Graficka provera fitovanja:
jc 1.8=jc 1.84=jc10
m
Ic:=m intercept X log Y( ),( ):=Ic Tg Tw−:=
273
F0c1 3.266=F0c1tpoc
tkraj
tL t Tfunc0,( )⌠⌡ d:=tkraj td:=tpoc 0:=
Doprinos hladjenja:
F0h 5.917=F0htpoc
tkraj
tL t Tfunh,( )⌠⌡ d:=tkraj th:=tpoc tp:=
Doprinos zagrevanja:
L t Tfun,( ) 10
Tfun t( ) 121.1−z:=z 10:=
Definisanje funkcije za izracunavanje faktora smrtnosti sa mogucnoscu izbora funkcijeT(t):
PRIMER 5.3d. Koristeći funkcije koje fituju krivu prodiranja toplote, dobijene u Primerima 3a-c, izračunati sterilizacionu vrednost posmatranog režima sterilizacije i uporediti je sa onom izračunatom opštim postupkom u Primeru 5.1.
0 20 400
50
100
150
200
Tc
Tfunc tc( )Tfunc0 tc( )→
tc
Graficka provera fitovanja:
0 t≤ td≤( )Tfunc0 t( ) Tw Iccos b t⋅( )+:=Funkcija:
b 0.017=b1
tdacos
log jc Ic⋅( ) td
fc−
log Ic( )
⋅:=
274
τm 36:= z 10:=Vreme zagrevanja :τh τm 0.4 tph⋅+:= τh 40=Pretpostavljena temperatura rashladne vode:Tw 20:=
Funkcija faktora smrtnosti: L x Tfun,( ) 10
Tfun x( ) 121.1−z:=
Zagrevanje: Ih Tr Tp−:=
Tfunh t( ) Tr jh Ih⋅ 10
t−fh⋅−:= Tg Tfunh τh( ):= Tg 118.885=
F0h0
τh
xL x Tfunh,( )⌠⌡ d:= F0h 5.946=
Pocetno hladjenje:
td fc logjc
0.95
⋅:= td 4.21= Ic Tg Tw−:=
tpoc td:= tkraj tcnc:= tkraj 55= F0c2
tpoc
tkraj
tL t Tfunc,( )⌠⌡ d:=
F0c2 3.86 103−×= F0c F0c1 F0c2+:= F0c 3.27=
Ukupna: F0 F0h F0c+:= F0 9.187= F0 9.2=U Primeru 5.1, dobijena je vrednost 10.5, a za segment zagrevanja izracunato je F0=5.931,sto ne odstupa znacajno od ovde dobijeng doprinosa zagrevanja, 5.917 Zakljucujemo da uoceno znacajno odstupanje ukupnih sterilizacionih vrednosti potice od gresaka fitovanja pocetne faze hladjenja.
PRIMER 5.4 Proceniti sterilizacionu vrednost režima sa sledećim parametrima:CTCT pr
00 77,1.121 == , mint ph 10= , minm 36=τ . Termički parametri
pakovanja su: 4.1,0.2,25 ==== chch jjminff . Za mikroorganizam: Cz 010= .
fh 25:= fc fh:= jh 2:= jc 1.4:= Tp 77:= Tr 121.1:=tph 10:=
275
z 14:= N0 10:=Pretpostavljena temperatura rashladne vode:Tw 60:=
Funkcija faktora smrtnosti:L x Tfun,( ) 10
Tfun x( ) 250−z:=
Zagrevanje:
Ih Tr Tp−:= Tfunh t( ) Tr jh Ih⋅ 10
t−fh⋅−:= Tg Tfunh τh( ):= Tg 237.868=
F0h0
τh
xL x Tfunh,( )⌠⌡ d:= F0h 0.427=
Pocetno hladjenje:
td fc logjc
0.95
⋅:= td 3.789= Ic Tg Tw−:=
b1
tdacos
log jc Ic⋅( ) td
fc−
log Ic( )
⋅:= b 0.036=
Tfunc0 t( ) Tw Iccos b t⋅( )+:= F0c
0
td
xL x Tfunc0,( )⌠⌡ d:= F0c 1.817=
Sterilizaciona vrednost rezima (min):
F0 F0h F0c+:= F0 7.763= F0 7.8=
PRIMER 5.5 Dati su sledeći podaci o parametrima pakovanja i režimu sterilizacije:
FTFTminjjminff prhchch00 100,252,5.26,4.1,5.22 ===τ====
Izračunati verovatnoću kvarenja za organizam čiji su parametri FzminD 00 14,5.0 == ,
ako je on pre sterilizacije prisutan u količini od 10 spora po konzervi.
fh 22.5:= fc fh:= jh 1.4:= jc jh:= Tp 100:= Tr 252:=τh 26.5:= D0 0.5:=
276
F0 D0 logN0
N
⋅=Izracunavanje potrebne sterilizacione vrednosti:
N 0.001:=n0 3gm1−:=z 10:=D0 3.2:=
Tw 20:=Pretpostavljena temperatura rashladne vode:
tph 15:=Tr 121.1:=Tp 71:=jc jh:=jh 1.6:=fc fh:=fh 50:=
PRIMER 5.6. Namirnica se pakuje u limenke dimenzija: (a) mm178157× (oko kg3 ) i (b) mm11687× (oko 600g) i izvozi u tropske predele. Ugovorom je
predviđeno da kvar ne bude veći od 0.1%. Pre sterilizacije namirnica sadrži 3 spore (Bac. stearothermophilus) po 1g. Parametri mikroorganizma su:
CzminD 00 10,2.3 == . Vreme predgrevanja u režimu sterilizacije iznosi
15min. Ostali podaci o pakovanju i režimu:
,71,1.121,6.1,50 00 CTCTjjminff prchch ======
Izračunati efektivno vreme zagrevanja i vreme održavanja da bi se zadovoljio postavljen uslov.
N 0.288=N N0 10
F0−
D0⋅:=
Verovatnoca kvarenja
F0 0.77=F0 F0h F0c+:=Sterilizaciona vrednost rezima (min):
F0c 0.343=F0c0
td
xL x Tfunc0,( )⌠⌡ d:=
Tfunc0 t( ) Tw Iccos b t⋅( )+:=
b 0.037=b1
tdacos
log jc Ic⋅( ) td
fc−
log Ic( )
⋅:=
277
F0h 15.788=
Pocetno hladjenje:
td fc logjc
0.95
⋅:= Ic Tg Tw−:= b
1
tdacos
log jc Ic⋅( ) td
fc−
log Ic( )
⋅:= b 0.013=
Tfunc0 t( ) Tw Iccos b t⋅( )+:=
F0c0
td
xL x Tfunc0,( )⌠⌡ d:= F0c 5.525=
Sterilizaciona vrednost rezima (min):F0 F0h F0c+:= F0 21.313= F0 21.3=Vreme odrzavanja (min): τm τh 0.4 tph⋅−:= τm 78=Ponoviti proracun za drugo pakovanje!
m 3000gm:= N0 m n0⋅:= N0 9 103×=
F0 D0 logN0
N
⋅:= F0 22.254= F0 22.3=
Funkcija faktora smrtnosti:L x Tfun,( ) 10
Tfun x( ) 121.1−z:=
Pretpostavljeno vreme zagrevanja (min): τh 84:= Menjati τh dok se priblizno ne dobije zadato F0 ( sa preciznoscu od 0.1min)
Zagrevanje:
Ih Tr Tp−:= Tfunh t( ) Tr jh Ih⋅ 10
t−fh⋅−:= Tg Tfunh τh( ):= Tg 119.425=
F0h0
τh
xL x Tfunh,( )⌠⌡ d:=
278
Potrebna duzina cevi:
τ L
w= L τ w⋅:= L 36.518m= L 36.52m=
PRIMER 6.2. Mešavina za sladoled, gustine Lkg015.1=ρ i viskoziteta cP70=η se pakuje aseptički u sistemu sa 1 in-nom sterilizacionom cevi )02291.0( md = , dužine
ft100 . Protok smeše je mingal5 . Temperatura na izlazu iz sterilizacione cevi je
F0285 . Izračunati sterilizacioni efekat za organizam PA 3679 ( Fz min,D 0
0 2483.1 == ). Uzeti da je smeša njutnovski fluid.
ρ 1015kg
m3
:= cPpoise
100:= µ 70cP:= d 0.02291m:= L 100ft:=
Fv 5gal
min:= F R:= (definisanje stepena Farenhajta)
T 285F:= D0 1.83min:= z 24F:= T0 250F:= n 1:=
DODATAK E - Modelovanje protocne sterilizacije
PRIMER 6.1. U protočnom sistemu za sterilizaciju, steriliše se vazduh. Vazduh ulazi u sistem sa protokom hmF 315= , na uslovima: CTatmp 030,25.2 == .
Temperatura na izlazu iz sekcije održavanja je C0400 .Unutrašnji prečnik cevi je ind 695.0= . Inaktivacija termički najotpornijeg organizma u vazduhu zahteva
60min, na temperaturi C0150 , a parametar z ovog organizma je Cz 070= . Pretpostavljajući klipno strujanje vazduha, izračunati potrebnu dužinu cevi.
Ful 15m
3
hr:= Tul 30 273+( )K:= T 400 273+( )K:= d 0.695in:=
p 2.25atm:= t150 60min:= z 70K:=Protok i brzina strujanja vazduha u sterilizacionoj cevi:
F
Ful
T
Tul= F Ful
T
Tul⋅:= F 33.317
m3
hr= w
F
πd2
4
:= w 37.812m
s=
Potrebno vreme sterilizacije:
z
TT
FF−
=
0
100 τ t150 10
150 273+( )K T−
z⋅:= τ 0.966s=
279
τsr 39.831s= Ssr
τsr
D:= Ssr 10.422=
Efekat sterilizacije procesa:
S log 20
1
z10
Ssr−
f z( )f z( )⋅ z⋅
⌠⌡ d⋅
−:= S 6.081= S 6.08=
PRIMER 6.3. Njutnovska tečna namirnica, čiji su viskozitet i gustina 31009,5 mkgcP =ρ=µ se pasterizuje u aseptičkom sistemu u kome se zagreva
do C085 , a zatim uvodi u 1.5 in-nu sterilizacionu cev ( 03561.0=d ) sa izlaznomtemperaturom C02.82 . U sistemu treba postići 12D inaktivaciju organizma Staphylococcus aureus čije je minD
C0063.002.82
= . Izračunati dužinu
sterilizacione cevi, za protok od min19L
ρ 1009kg
m3
:= cPpoise
100:= µ 5cP:= d 0.03561m:= F 19
liter
min:=
C K:= T 82.2C:= D 0.0063min:= n 1:= S 12:=
Parametar D na temperaturi sterilizacije:D D0 10
T0 T−
z⋅:= D 0.064min=Provera rezima strujanja:
wsr
Fv
π d2⋅
4
:= wsr 0.765m
s= Re
wsr d⋅ ρ⋅µ:= Re 254.205=
Strujanje je laminarno
Funkcija brzinskog profila:
a3n 1+n 1+:= b
n 1+n
:= a 2= b 2= f z( ) a 1 zb−( )⋅:=
−= ∫ −
1
0
)( )(102log zdzzfS zf
Ssr
Efekat sterilizacije:
Efekat sterilizacije za srednje vreme boravka:
τsrL
wsr:=
280
Parametar D mikroorganizma na temperaturi sterilizacije:
z 10C:=T0 121.1C:=D0 0.5min:=a)
F 40liter
min:=S 7:=T 145C:=C K:=
d 0.03561m:=k 0.06Pa sn⋅:=n 0.85:=ρ 1006
kg
m3
:=
PRIMER 6.5. Steriliše se čokoladno mleko, čije su protočne karakteristike: ,85.0=n 85.006.0 sPaK ⋅= . Temperatura sterilizacije je C0145 , a na njoj je
gustina mleka 31006 mkg=ρ . Protok je minLF 40= , a unutrašnji pečnik sterilizacione cevi md 03561.0= .
a) Izračunati dužinu sterilizacione cevi za postizanje 7D inaktivacije organizma čiji su parametri: CzminD 0
0 10,5.0 == .I nterval u kome važi data
vrednost z, uključuje temperaturu sterilizacije. b) Izračunati količinu sačuvanog tiamina (%). Za tiamin je dato:
sCDc40 103)100( ×= , a z-vrednost, Czc
04.28= je određena za
temperaturni interval [ ]C0110,95
L 2.61m=L 2.609m=
Provera rezima strujanja:
wsrF
π d2⋅
4
:= wsr 0.318m
s= Re
wsr d⋅ ρ⋅µ:= Re 2.285 10
3×=Strujanje je laminarno
Funkcija brzinskog profila:
a3n 1+n 1+:= b
n 1+n
:= a 2= b 2= f z( ) a 1 zb−( )⋅:=
Efekat sterilizacije kao funkcija duzine cevi:
Sfun L( ) log 20
1
z10
L−
f z( ) wsr⋅ D⋅f z( )⋅ z⋅
⌠⌡ d⋅
−:=
Izracunavanje duzine cevi resavanjem jednacine: Sfun L( ) S=
L 1m:= L root Sfun L( ) S− L,( ):=
281
L 1m:= L root Sfun L( ) S− L,( ):= L 0.964m= L 0.964m=b)
Dc0 3 104s⋅:= Tc0 100C:= zc 28.4C:= T1 95C:= T2 110C:=
Parametar D tiamina na temperaturi sterilizacije:
Posto se temperatura sterilizacije znatno razlikuje od referentne, preracunavanje treba izvesti na osnovu arenijusove formule, zasta nam treba energija aktivacije:
cz
TT
R
E 21303.2= ER 2.303T1 273 C⋅+( ) T2 273 C⋅+( )⋅
zc⋅:= ER 1.143 10
4× K=
Dc Dc0 exp ER1
T 273C+1
Tc0 273C+−
⋅
⋅:= Dc 1.108 103× s=
D D0 10
T0 T−
z⋅:= D 0.122s=
Provera rezima strujanja:
wsrF
π d2⋅
4
:= wsr 0.669m
s= Re
8wsr2 n− d
2
n
⋅ ρ⋅
k 31
n+
n
⋅:= Re 817.214=
Strujanje je laminarno
Funkcija brzinskog profila:
a3n 1+n 1+:= b
n 1+n
:= a 1.919= b 2.176= f z( ) a 1 zb−( )⋅:=
Efekat sterilizacije kao funkcija duzine cevi:
Sfun L( ) log 20
1
z10
L−
f z( ) wsr⋅ D⋅f z( )⋅ z⋅
⌠⌡ d⋅
−:=
Izracunavanje duzine cevi resavanjem jednacine: Sfun L( ) S=
282
Parametar D mikroorganizma na temperaturi sterilizacije:
z 9C:=T0 80C:=D0 0.5min:=a)
N1
10000:=V 200L:=T 95C:=C K:=
F 50liter
min:=d 1.402in:=k 7.9Pa s
n⋅:=n 0.5:=ρ 1006kg
m3
:=
PRIMER 6.6 U sterilizacionoj cevi, čiji je unutrašnji prečnik ind 402.1= , na
C095 se steriliše koncentrat paradajza. Gustina koncentrata je 31085 mkg , a
reološki parametri: nsPaKn ⋅== 9.7,5.0 . Protok koncentrata je minLF 50= . Koncentrat se pakuje u pakovanja od 200L i očekuje se da verovatnoća kvarenja sporama Bacillus polymyxa bude 1 od 10000. Pre sterilizacije koncentrat sadrži 4 spore po mililitru. Kinetički parametri mikroorganizma su
CzminDC
0
809,5.00 == .
a) Izračunati neophodnu dužinu sterilizacione cevi.
b) Iračunati % pojačanja tamne boje . Kinetički parametri tamnjenja su : CzminD bCb
0
80,16,1250 ==
p 99.7=p 99.702=p 10Sc−
100⋅:=p
C
C0=% ocuvanog tiamina, p :
Sc 1.295 103−×=Sc log 2
0
1
z10
Scsr−
f z( )f z( )⋅ z⋅
⌠⌡ d⋅
−:=
Sc logC0
C
=Stepen degradacije tiamina u datom procesu:
Scsr 1.3 103−×=Scsr
τsr
Dc:=τsr 1.44s=τsr
L
wsr:=
Stepen degradacije tiamina za srednje vreme boravka:
283
bn 1+
n:= a 1.667= b 3= f z( ) a 1 z
b−( )⋅:=
Izracunavanje duzine cevi:
Efekat sterilizacije kao funkcija duzine cevi:
Sfun L( ) log 20
1
z10
L−
f z( ) wsr⋅ D⋅f z( )⋅ z⋅
⌠⌡ d⋅
−:=
L 1m:= L root Sfun L( ) S− L,( ):= L 8.26m= L 8.26m=b) Db0 125min:= zb 16C:=
Parametar tamnjenja, Db na temperaturi sterilizacije:
Db Db0 10
T0 T−
zb⋅:= Db 866.086s=
D D0 10
T0 T−
z⋅:= D 0.646s=Izracunavanje potebnog efekta sterilizacije:
mL 103−
L⋅:= n0 4 mL1−⋅:= N0 V n0⋅:= N0 8 10
5×=
S logN0
N
:= S 9.903=
Provera rezima strujanja:
wsrF
π d2⋅
4
:= wsr 0.837m
s= Re
8wsr2 n− d
2
n
⋅ ρ⋅
k 31
n+
n
⋅:= Re 46.526=
Strujanje je laminarno
Funkcija brzinskog profila:
a3n 1+n 1+:=
284
Stepen tamnjenja, Sb: Sb logC
C0
=
Sb log 20
1
z10
L−
f z( ) wsr⋅ Db⋅f z( )⋅ z⋅
⌠⌡ d⋅
−:= Sb 0.011= 10
Sb1.026=
Procentualno pojacanje tamne boje:
p 10Sb
1−( )100:= p 2.611= p 2.6=
285
DODATAK E - Modelovanje sušenja vazduhom
PRIMER 7.1. Dati su eksperimenatalni podaci o sorpcionoj izotermi krompira na normalnom pritisku i temperaturi C025 . Izračunati parametre kCxm i , u GAB izotermi.
Pod0.112
0.035
0.201
0.057
0.327
0.080
0.438
0.105
0.529
0.130
0.577
0.145
0.708
0.190
0.753
0.204
0.843
0.270
0.903
0.370
T
:=
aw Pod0⟨ ⟩:= X Pod1⟨ ⟩:=
0 0.5 10
0.2
0.4
X
aw
Smena promenljivih radi linearizacije:
yaw
X
→:= x aw:=
Izracunavanje parametara u formuli linearnoj po parametrima (7.10):
φ x( )
1
x
x2
:= b linfit x y, φ,( ):= b
2.39
7.684
8.236−
= yfun x( ) b0 b1 x⋅+ b2 x
2⋅+:=
0 0.2 0.4 0.6 0.8 12
2.5
3
3.5
4
4.5
y
yfun aw( )→
aw
yfun x( )
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3.147
3.602
4.022
4.176
4.15
4.082
3.702
3.506
3.015
2.613
=
286
PRIMER 7.2. Pored BET i GAB jednačine, u literaturi se mogu naći empirijske jednačine koje, bar u ograničenom intervalu aktivnosti vode, uspešno opisuju eksperimentalne ravnotežne podatke (Toledo, 1991). Jedna od njih je i Haslijeva (Hasley) jednačina:
−=
b
mw x
X
T
aa exp , T – apsolutna temperatura; a, b - parametri
a) Proveriti da li se podaci iz prethodnog primera mogu fitovati Haslijevom jednačinom.
s2 1.19 104−×=s2
Xrac X−( )→ 2∑
length X( ) 3−:=
Srednje kvadratno odstupanje:
X
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.035
0.057
0.08
0.105
0.13
0.145
0.19
0.204
0.27
0.37
=X rac
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.036
0.056
0.081
0.105
0.127
0.141
0.191
0.215
0.28
0.346
=
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
X
Xfun aw( )→
aw
X rac Xfun aw( )→:=Xfun aw( ) xm C⋅ k⋅ aw⋅1 k aw⋅−( ) 1 k aw⋅− C k⋅ aw⋅+( )⋅:=
Poredjenje eksperimentalnih i izracunatih sadrzaja vlage:
xm 0.0852=C 5.791=k 0.848=
xm1
C k⋅ b0⋅:=C 2b1
k b0⋅+:=k 0.5b1−
b0
b1
b0
2
4b2
b0⋅−+
⋅:=
Izracunavanje parametara u GAB jednacini:
287
y2 ln ln aw2( )( )→:=x2 ln X2( )→:=
aw2 submatrix aw 4, 9, 0, 0,( ):=X2 submatrix X 4, 9, 0, 0,( ):=n2 6:=
Tacke u 2. oblasti:
y1 ln ln aw1( )( )→:=x1 ln X1( )→:=
n1 5:= aw1 submatrix aw 0, 4, 0, 0,( ):=X1 submatrix X 0, 4, 0, 0,( ):=Tacke u 1. oblasti:
Vidimo da jednacina moze da se primeni, po uslovom da se za svaku od dve oblasti vlaznosti u koijima zapazamo linearni trend odrede posebne vrednosti parametara b i c:
ili
0.01 0.1 10.1
1
10
ln aw( )→
X
4 3 2 1 04
2
0
2
y
x
Graficka provera adekvatnosti formule:
y ln ln aw( )( )→:=x ln X( ):=Smena promenjivih:a)
T 298:=X Pod1⟨ ⟩:=aw Pod0⟨ ⟩:=xm 0.0852:=
Xbca
cXa
w
bw
lnlnlnln
ln
+=
−=
Pod0.112
0.035
0.201
0.057
0.327
0.080
0.438
0.105
0.529
0.130
0.577
0.145
0.708
0.190
0.753
0.204
0.843
0.270
0.903
0.370
T
:=
b) Ukoliko se Haslijeva jednačina može prihvatiti, izračunati parametre ba i , uzimajući za
mx vrednost izračunatu u prethodnom primeru.Uporediti kvalitet fitovanja sa onim
ostvarenim GAB jednačinom.
288
awg 0.496=awg funaw Xg a1, b1,( ):=funaw X a, b,( ) expa−
T
X
xm
b
⋅:=
Xg 0.125=Xg exp x( ):=x 2.08−=xlnc1 lnc2−
b2 b1−:=
=>lnc1 b1 x⋅+ lnc2 b2 x⋅+=Izracunavanje granice dve oblasti:
Kvalitet fitovanja:
a1
a2
300.3
414.1
=b1
b2
0.9493−1.7892−
=
a2 T xmb2⋅ c2⋅:=a1 T xm
b1⋅ c1⋅:=a
T xmb⋅
c=
Parametri :
c2 0.017=c2 exp lnc2( ):=c1 0.097=c1 exp lnc1( ):=
3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.54
2
0
2
y
funy1 x( )→
funy2 x( )→
x
funy2 x( ) lnc2 b2 x⋅+:=funy1 x( ) lnc1 b1 x⋅+:=
lnc2
b2
4.077−1.789−
=lnc1
b1
2.33−0.949−
=
lnc2
b2
line x2 y2,( ):=lnc1
b1
line x1 y1,( ):=
Parametri u linearizovanoj formuli:b)
289
0 0.1 0.2 0.3 0.40
0.5
1
aw
funaw X a1, b1,( )→
funaw X a2, b2,( )→
X
Poredjenje sa GAB jednacinom:
Izracunavanje vlaznosti za vrednosti aktivnosti iz tabele:
funX aw a, b,( ) xmln aw( ) T⋅
a
1
b
⋅:=
Xrac1 funX aw1 a1, b1,( )→:= Xrac2 funX aw2 a2, b2,( )
→:=Hasli: GAB Exp:
Xrac stack Xrac1 Xrac2,( ):=
Xrac
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.038
0.052
0.076
0.105
0.138
0.132
0.143
0.186
0.207
0.275
0.367
=
0.036
0.056
0.081
0.105
0.127
0.141
0.191
0.215
0.28
0.346
0.035
0.057
0.08
0.105
0.13
0.145
0.19
0.204
0.27
0.37
s21
Xrac1 X1−( )2
→∑
n1 3−:= s22
Xrac2 X2−( )2
→∑
n2 3−:=
290
pfun x( ) exp lnp x( )( ) kPa⋅:=lnp x( ) interp pspline X Y,( ) X, Y, 1
x 273.15+,:=
Temperatura (0C) se unosi bez jedinice!
X reverse1
T 273.15+
:=
Y reverse ln p( )( ):=
p Tab1⟨ ⟩:=T Tab 0⟨ ⟩:=Tab stack T1 T2,( ):=T2
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
15.74
19.92
25.01
31.16
38.55
47.36
57.80
70.11
84.53
101.33
120.85
143.35
169.13
198.54
232.18
270.25
313.18
:=T1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0.611
0.872
1.227
1.704
2.337
3.166
4.241
5.622
7.375
9.582
12.34
:=
R 8.314J
mol K⋅:=
Mw 18kg
kmol:=Msv 29
kg
kmol:=
Splajn za napon pare vode u intervalu 0-1350C
C K:=kmol 1000mol:=kJ 1000J:=kPa 1000Pa:=JEDNACINE ZA VLAŽAN VAZDUH
Zakljucujemo da u oblasti, X>0.125 Haslijeva jednacina bolje fituje date podatke, dok su u oblasti X<0.125 jednacine priblizno jednako uspesne.
s2 1.19 104−×:=Srednje kvaratno odstupanje GAB jednacine je:
s22 2.4 105−×=s21 5.5 10
5−×=
291
funχ T φ, p,( ) funχ0 T p,( )p pfun T( )−
p φ pfun T( )⋅−⋅ φ⋅:=funχ0 T p,( )pfun T( )
p pfun T( )−Mw
Msv⋅:=
p0 1atm:=Apsolutna vlaznost vazduha u funkciji od relativne vlaznosti φ i temperature T(C):
funHs T χ, χ0,( ) funH T χ0,( ) χ χ0−( ) 0
T
TCp cwL T 273.15+,( )⌠⌡ d
J
mol⋅
Mw⋅+:=
Smesa vode i zasicenog vazduha:Temperatura (0C) se unosi bez jedinice!
funH T χ,( ) 0
T
TCp csv T 273.15+,( )⌠⌡ d
J
mol⋅
Msv
χ 2501.6kJ
kg⋅ 0
T
TCp cw T 273.15+,( )⌠⌡ d
J
mol⋅
Mw+
⋅+
...:=
(kJ/kgsv )Nezasicen vazduh:
( Referentna entalpija je 0 na 00C )
Entalpije vlaznog vazduha u funkciji od T(C) i apsolutne vlaznosti χ (kgw/kgsv ):
cwL
8.712
1.25
0.18−0
:=csv
3.355
0.575
0
0.016−
:=cw
3.470
1.45
0
0.121−
:=
Cp c T,( )R
UnitsOf R( )c0 c1 10
3−⋅ T⋅+ c2 106−⋅ T
2⋅+ c3
T2
105⋅+
⋅:=
Specificne toplote u funkciji od T(K):
292
pw 7.375kPa=pw pfun Td( ):=Izracunavanje parc.pritiska pare, kao napona pare na temp. rose:
p p0:=φ 0.5:=Td 40:=PRIMERI 7.4 i 7.6. Vazduh ima temperaturu rose C040 i relativnu vlažnost %50 . Odredi: apsolutnu vlažnost, temperaturu vlažne kugle termometra i temperaturu vazduha.
funχ0 Tw p,( ) funχ T φ, p,( )− γ K⋅funhisp Tw( ) T Tw−( )⋅=γ 1
kJ
kg K⋅:=
funhisp x( ) interp pspline T hisp,( ) T, hisp, x,( ) kJ
kg⋅:=
Temperatura (0C) se unosi bez jedinice!
hisp Tab 1⟨ ⟩:=T Tab 0⟨ ⟩:=Tab stack T1 T2,( ):=T1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
2501.6
2489.7
2477.9
2466.1
2454.3
2442.5
2430.7
2418.8
2406.9
2394.9
2382.9
:= T2
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
2370.8
2358.6
2346.3
2334.0
2321.5
2308.8
2296.1
2283.2
2270.2
2256.9
2243.5
2229.9
2216.2
2202.3
2188.1
2173.7
2159.0
:=
Splajn za entalpiju isparavanja vode u intervalu 0-1350C
Jednacina koja povezuje relativnu vlažnost i temperature suve i vlažne kugle:
293
PRIMER 7.8. Vazduh normalnog pritiska, temperature )7.26(80 00 CF i relativne
vlažnosti %50 se zagreva do )200(392 00 CF i uvodi u sprej sušnicu, iz koje izlazi sa
temperaturom )95(203 00 CF . Uz pretpostavku da se u sušnici vazduh adijabatski vlaži, izračunati njegovu apsolutnu i relativnu vlažnost na izlazu.
Tw 36.497=Tw Find Tw( ):=
funχ0 Tw p,( ) χ− γ K⋅funhisp Tw( ) T Tw−( )⋅=
Given
Tw 90:=p p0:=χ 0.0135:=T 100:=
Posto je vlaznost veca od kriticne, temperatura materijala je jednaka temperaturi vlazne kugle termometra.
PRIMER 7.7. Odrediti temperaturu materijala na izlazu iz sušnice, ako izlazi sa vlažnošću većom od kritične, a izlazni vazduh ima temperaturu C0100 i sadržaj vlage kgkg0135.0 .
Tw 41.7=Tw Find Tw( ):=
funχ0 Tw p,( ) funχ T φ, p,( )− γ K⋅funhisp Tw( ) T Tw−( )⋅=
Given
Tw Td:=Izracunavanje temperature vlazne kugle iz temperature i rel. vlaznosti:
χ 0.0487=χ funχ T φ, p0,( ):=Izracunavanje apsolutne vlaznosti iz rel. vlaznosti i temperature:
T 53.6=T root p0T pfun T( )− T,( ):=T Td:=p0T 14.75kPa=TOL 0.00001:=p0T
pw
φ:=Izracunavanje napona pare na aktuelnoj temperaturi i iz njega, temperature:
294
F 5m
3
s:=p p0:=χ0 0.005:=T0 52=T0 325 273−:=
PRIMERI 7.9 i 7.11. U sušnicu sa 4-stepenim sušenjem, uvodi se vazduh temperature K325 , koji sadrži i 0.005 kg vode po 1kg suvog vazduha. Svaki od stupnjeva, vazduh
napušta sa relativnom vlažnošću od 60% i pre ulaska u naredni stupanj se zagreva na K325 . Pod pretpostavkom da u svakom stupnju materijal koji se suši dostiže
temperaturu vlažnog termometra odrediti:
a) Temperaturu materijala nakon svakog stupnja
b) Količina uklonjene vode iz materijala ( skg ), ako iz sušnice izlazi sm35vazduha.
Izračunati ukupnu utrošenu toplotu za zagrevanje vazduha.
χ 0.0549=χ funχ T3 φ, p,( ):=Izracunavanje apsolutne vlaznosti izlaznog vazduha:
φ 0.0974=φ Find φ( ):=
funχ0 Tw p0,( ) funχ T3 φ, p0,( )− γ K⋅funhisp Tw( ) T3 Tw−( )⋅=
Given
φ 0:=Izracunavanje rel. vlaznosti iz izlazne temperature i temperature vlazne kugle ulaznog vazduha:
Tw 47.5=Tw Find Tw( ):=
funχ0 Tw p,( ) χ− γ K⋅funhisp Tw( ) T2 Tw−( )⋅=
Given
Tw T1:=χ 0.011=χ funχ T1 φ1, p,( ):=
Izracunavanje temperature vlazne kugle ulaznog vazduha iz temperature i apsolutne vlaznosti:
T3 95:=T2 200:=φ1 0.5:=T1 26.7:=p p0:=
295
funχ0 Tw p,( ) funχ T φ, p,( )− γ K⋅funhisp Tw( ) T Tw−( )⋅=
Given
φ 0.6:=T T1:=Tw 273+( ) K⋅ 301K=Tw 28.2=Tw Find Tw( ):=
funχ0 Tw p,( ) χ1− γ K⋅funhisp Tw( ) T0 Tw−( )⋅=
Given
Tw T1:=Temperatura vlazne kugle vazduha na ulazu u 2. stupanj:
Stanje vazduha nakon 2. stupnja :
χ1 0.015=χ1 funχ T1 φ, p,( ):=
T1 273+( ) K⋅ 301 K=T1 28.5=T1 Find T( ):=
funχ0 Tw p,( ) funχ T φ, p,( )− γ K⋅funhisp Tw( ) T Tw−( )⋅=
Given
φ 0.6:=T Tw:=Stanje vazduha nakon 1. stupnja:
Tw 273+( ) K⋅ 295K=Tw 22.4=Tw Find Tw( ):=
funχ0 Tw p,( ) χ0− γ K⋅funhisp Tw( ) T0 Tw−( )⋅=
Given
Tw 0:=Temperatura vlazne kugle: a)
296
φ 0.6:=T T3:=Tw 273+( ) K⋅ 307K=Tw 34=Tw Find Tw( ):=
funχ0 Tw p,( ) χ3− γ K⋅funhisp Tw( ) T0 Tw−( )⋅=
Given
Tw T3:=Temperatura vlazne kugle vazduha na ulazu u 4. stupanj:
Stanje vazduha nakon 4. stupnja:
χ3 0.027=χ3 funχ T3 φ, p,( ):=
T3 273+( ) K⋅ 312 K=T3 39=T3 Find T( ):=
funχ0 Tw p,( ) funχ T φ, p,( )− γ K⋅funhisp Tw( ) T Tw−( )⋅=
Given
φ 0.6:=T T2:=Tw 273+( ) K⋅ 305K=Tw 31.7=Tw Find Tw( ):=
funχ0 Tw p,( ) χ2− γ K⋅funhisp Tw( ) T0 Tw−( )⋅=
Given
Tw T2:=Temperatura vlazne kugle vazduha na ulazu u 3. stupanj:
Stanje vazduha nakon 3. stupnja:
χ2 0.022=χ2 funχ T2 φ, p,( ):=T2 273+( ) K⋅ 308 K=T2 35.1=T2 Find T( ):=
297
Utrosak toplote za 4-stepeni proces:
H0 funH T0 χ0,( ):= H4 funH T4 χ4,( ):= Q H4 H0−( ) msv⋅:= Q 303.5kW=Provera uslova adijabaticnosti stupnjeva:
1. stupanj: funH T0 χ0,( ) 65.27kJ
kg= funH T1 χ1,( ) 65.84
kJ
kg=
2. stupanj: funH T0 χ1,( ) 90.18kJ
kg= funH T2 χ2,( ) 90.47
kJ
kg=
3. stupanj: funH T0 χ2,( ) 108.14kJ
kg= funH T3 χ3,( ) 108.28
kJ
kg=
4. stupanj: funH T0 χ3,( ) 121.97kJ
kg= funH T4 χ4,( ) 122.03
kJ
kg=
Given
funχ0 Tw p,( ) funχ T φ, p,( )− γ K⋅funhisp Tw( ) T Tw−( )⋅=
T4 Find T( ):= T4 41.7= T4 273+( ) K⋅ 315 K=χ4 funχ T4 φ, p,( ):= χ4 0.031=
b) Zapremina vlaznog vazduha na izlazu iz susnice, racunata po kg suvog vazduha:
pw φ pfun T4( )⋅:= vR T4 273+( )K ⋅
p pw−( ) Msv⋅:= v 0.935m3
kg-1=
Maseni protok suvog vazduha: msvF
v:= msv 5.347
kg
s=
Kolicina uklonjene vlage: mw msv χ4 χ0−( )⋅:= mw 0.14kg
s=
298
m1 H1⋅ m2 H2⋅+ m3 H3⋅=
χ3 x χ1⋅ 1 x−( ) χ2⋅+:= H3 x H1⋅ 1 x−( ) H2⋅+:= χ3 0.0527= H3 180kJ
kg=
Temperatura struje (3) iz izracunate entalpije:
T3 x T1⋅ 1 x−( ) T2⋅+:= T3 43.75=Given
funH T3 χ3,( ) H3=
T3 Find T3( ):= T3 44.2=Vlaznost i entalpija struje (4):
χ4 χ3:= T4 80:= H4 funH T4 χ4,( ):= H4 220kJ
kg=
Rel. vlaznost struje (4) iz aps. vlaznosti i temperature:
PRIMER 7.10.U grejač vazduha se uvodi struja vazduha (3) nastala mešanjem struje svežeg vazduha (1) ( 5.0,25 1
01 =ϕ= CT ) i struje iskorišćenog vazduha (2)
( 8.0,50 10
2 =ϕ= CT ) u masenom odnosu (odnos količina-protoka suvog vazduha),
3:1 . U grejaču se vazduh zagreva do C080 . Izračunati parametre (vlažnost, temperatura i entalpija) ulazne struje (3) i izlazne struje (4)
T1 25:= φ1 0.5:= T2 50:= φ2 0.8:= χ3,T3,H3 = ?
Vlaznosti i entalpije struja (1) i (2):
χ1 funχ T1 φ1, p0,( ):= χ2 funχ T2 φ2, p0,( ):= χ1 9.851 103−×= χ2 0.067=
H1 funH T1 χ1,( ):= H2 funH T2 χ2,( ):= H1 50.151kJ
kg= H2 223.726
kJ
kg=
Vlaznost i entalpija struje (3), iz mater. i ener. bilansa:
m1 m2+ m3=m1
m3x= x 0.25:=
m1 χ1⋅ m2 χ2⋅+ m3 χ3⋅=
299
T1 Find T1( ):= T1 28.3= χ1 funχ T1 φ, p,( ):= χ1 0.0145=Stanje vazduha nakon 2. stupnja :
h funH T0 χ1,( ):= h 89.78kJ
kg= T2 T0:=
Given
funH1 T2 φ,( ) h=
T2 Find T2( ):= T2 35= χ2 funχ T2 φ, p,( ):= χ2 0.0213=Stanje vazduha nakon 3. stupnja :
h funH T0 χ2,( ):= h 107.6kJ
kg= T3 T0:=
Given
φ4 0.5:=Given
χ4 funχ T4 φ4, p0,( )=
φ4 Find φ4( ):= φ4 0.167=PRIMER 7.12. Za 4-stepeni proces sušenja, opisan u Primeru 7.9, rešiti problem b) koristeći uslov jednakosti entalpija ulazne i izlazne struje vazduha za idealan stupanj sušenja, tj. postupak koji se sprovodi u Molierovom dijagramu. Izračunati utrošenu toplotu za zagrevanje vazduha.
T0 325 273−:= T0 52= χ0 0.005:= p p0:= F 5m3
s1−⋅:= φ 0.6:=
Definisanje funkcije za izracunavanje entalpije za datu temperaturu i relativnu vlaznost vazduha:
funH1 T φ,( ) funH T funχ T φ, p,( ),( ):=Stanje vazduha nakon 1. stupnja :
h funH T0 χ0,( ):= h 65.27kJ
kg= T1 T0:=
Given
funH1 T1 φ,( ) h=
300
v 0.934m3
kg-1=
Maseni protok suvog vazduha:msvF
v:= msv 5.351
kg
s=
mw 0.14kg
s=Kolicina uklonjene vlage: mw msv χ4 χ0−( )⋅:=
Utrosak toplote:
h0 funH T0 χ0,( ):= h4 funH T4 χ4,( ):= Q h4 h0−( ) msv⋅:= Q 300.6kW=PRIMER 7.13. Materijal se suši od 60% do 25% vlage u idealnoj sušnici sa recirkulacijom vazduha. Za zagrevanje vazduha se koristi suvozasićena para, pritiska 2 bar. Protok svežeg vazduha, temperature C025 i vlažnosti 0.01 iznosi 10000 hkg
suvog vazduha, a protok povratnog vazduha je 21000 hkg suvog vazduha. Vazduh
napušta sušnicu sa temperaturom C043 i relativnom vlažnošću od 70%. Izračunati
a) Kapacitet sušnice po ulaznom materijalu koji se suši;
b) Potrošnju pare
c) Temperaturu vazduha na ulazu u sušnicu
m1 10000kg
hr:= m2 21000
kg
hr:= xul 0.6:= xiz 0.25:=
funH1 T3 φ,( ) h=
T3 Find T3( ):= T3 38.9= χ3 funχ T3 φ, p,( ):= χ3 0.0267=Stanje vazduha nakon 4. stupnja :
h funH T0 χ3,( ):= h 121.4kJ
kg= T4 T0:=
Given
funH1 T4 φ,( ) h=
T4 Find T4( ):= T4 41.6= χ4 funχ T4 φ, p,( ):= χ4 0.031=b)
Zapremina vlaznog vazduha na izlazu iz susnice, racunata po kg suvog vazduha:
pw φ pfun T4( )⋅:= vR T4 273+( )K ⋅
p pw−( ) Msv⋅:=
301
h1 50.53kJ
kg= h2 144.705
kJ
kg=
h3m1 funH T1 χ1,( )⋅ m2 funH T2 χ2,( )⋅+
m3:= h3 114.326
kJ
kg=
Utrosena toplota u idealnoj susnici:
T4 T2:= h4 h2:= Q m3 h4 h3−( )⋅:= Q 9.417 105× kJ
hr=
Temperatura pare: Ts 100:= Ts root pfun Ts( ) ps− Ts,( ):= Ts 120.231=Toplota kondenzacije: hc funhisp Ts( ):= hc 2.202 10
3× kJ
kg=
Utrosak pare: msQ
hc:= ms 428
kg
hr=
c) T T2:=Given
funH T χ3,( ) h4= T Find T( ):= T 65.946=
cmcm 5.11 ×
bar 100kPa:= ps 2bar:= T1 25:= χ1 0.01:=T2 43:= φ2 0.7:= p p0:=
a) Vlaznost ulaznog vazduha u kalorifer:
χ2 funχ T2 φ2, p,( ):= χ2 0.0394=
m3 m1 m2+:= χ3m1 χ1⋅ m2 χ2⋅+
m3:= χ3 0.0299=
Kolicina uklonjene vode i kapacitet susnice:
Kolicina uklonjene vode: χ4 χ2:= mw m3 χ4 χ3−( )⋅:= mw 293.9kg
hr=
Kapacitet kao ulaznakolicina materijala koji se susi:
Gulmw
11 xul−1 xiz−−
:= Gul 630
kg
hr=
b) Entalpija ulaznog vazduha u kalorifer:
h1 funH T1 χ1,( ):= h2 funH T2 χ2,( ):=
302
+−
= tba
Dt w 222
2
2
11exp
8)( π
πθ
0 1000 2000 30000.01
0.1
1
θsr
t
y ln θsr( ):=θsr
0.433
0.26
0.144
0.099
0.055
=θsrXsr Xs−Xp Xs−:=
Srednje bezdimenzione vlaznosti i njihovi logaritmi:
Xs 1.901 103−×=Xs
ln 1 φ−( )−aH
1
bH
:=
Izracunavanje ravnoteznog sadrzaja vlage iz desorpcione izoterme:
Xsr Pod1⟨ ⟩:=t Pod0⟨ ⟩ min⋅:=Pod10
0.78
20
0.47
30
0.26
40
0.18
50
0.10
T
:=
bH 0.7131:=aH 4.471:=φ 0.05:=Xp 1.8:=b 1.5cm:=a 1cm:=
PRIMER 7.14. Radi određivanja koeficijenta difuzije vlage pri sušenju, mereni su sadržaji vlage u komadićima nekog voća, oblika dugih pravougaonih štapića, sa dimenzijama poprečnog preseka: cmcm 5.11 × , od momenta kada je sadržaj vlage sveden na 1.8 kg vl./kg s.m. (Tabela). Relativna vlažnost vazduha za sušenje je bila 5%. Desorpciona izoterma voća koje se suši je dobro opisana Hendersenovom jednačinom:
( )bsw aXa −−= exp1
sa parametrima: 7131.0,471.4 == ba . Pretpostavka je da su u toku merenja zadovoljeni uslovi: izotermičnost, dominantan otpor unutrašnjoj difuziji vlage, dovoljno veliki Furijeovi brojevi da bi se primenila aproksimativna formula za srednji sadržaj vlage u funkciji od vremena sušenja. Proceniti koeficijent difuzije vlage tokom sušenja voća.
303
Mozemo da koristimo priblizno resenje (tx, ty > 0.2)
τy 0.215=τx 0.597=τyDw t⋅0.5 b⋅( )
2:=τx
Dw t⋅0.5 a⋅( )
2:=
Furijeovi brojevi za koordinatne pravce:
Xp Xsr:=t 1hr:=b)
Dw 9.3 109−× m
2
s=Dw
Brz
Xsr Xs−( ) 1
a2
1
b2
+
⋅ π2⋅:=
Brz 8.33 104−⋅ s
1−⋅:=Xsr 1.5:=b 2.5cm:=a 1.5cm:=Xs 0.002:=a)
PRIMER 7.15 Komadići jabuke oblika dugih pravougaonih štapića sa dimenzijama poprečnog preseka : cmcm 5.25.1 × sušeni su u vazduhu, relativne vlažnosti 5%
)002.0( =sX . Za momenat u kome je izmereni srednji sadržaj vlage komadića iznosio
sm.5.1 kgkg iz eksperimentalnih merenja je određena i brzina sušenja, računata po
kilogramu suve materije: ( )ssmvl.1033.8 4 ⋅× − kgkg .
a) Proceniti iz datih podataka koeficijent difuzije vlage kroz tkivo jabuke
b) Koristeći procenjen koeficijent difuzije, izračunati sadržaj vlage u sušenim štapićima jabuka, ako je sušenje trajalo još 1h posle momenta u kome je izmeren sadržaj vlage kgkg5.1 sm., kao i brzinu sušenja po kg suve materije na kraju sušenja.
(Mathcad ne pokazuje zadrzanu decimalu jer je jednaka nuli)Dw 6 109−× m
2s-1=
S obzirom na tacnost polaznih podataka, izracunati Dw treba dati sa dve znacajne cifre, tj. sa jednom decimalom:
Dw 5.972 109−× m
2s-1=Dw
k−π2 1
a2
1
b2
+
⋅:=
Koeficijent difuzije iz nagiba:
k 8.513− 104−× s
-1=k slope t y,( ):=Nagib prave u dijagramu t-lnθsr :
304
t 1 hr=dlnθsr dFun t( ):=dFun t( )1
Funθsr t( ) tFunθsr t( )
d
d⋅:=
Izvod logaritma srednje bezdim. vlaznosti:
Funθsr t( ) FDw t⋅0.5 a⋅( )
2
FDw t⋅0.5 b⋅( )
2
⋅:=
Srednja bezdimenziona vlaznost u funkciji od vremena za dvodimenzionu difuziju:
Potpuno slaganje !
Xsr 0.135=Xsr Xs θsr Xp Xs−( )⋅+:=θsr F τx( ) F τy( )⋅:=
F τ( ) 2
0
3
i
exp i 0.5+( )2− π2⋅ τ⋅
i 0.5+( ) π⋅ 2∑=⋅:=[ ]( )∑
∞
= π+τπ+−=τθ
022
22
5.0
)5.0(exp2)(
i i
i
Srednja bezdimenziona vlaznost u funkciji od vremena za jednodimenzionu difuziju:
Provera tacnijim proracunom:
Brz 7.393 105−× s
1−=Brz dXsr−:=Brzina susenja:
dXsr 7.393− 105−× s
-1=dXsr Dw− Xsr Xs−( ) 1
a2
1
b2
+
⋅ π2⋅
⋅:=
Izvod srednje vlaznosti iz jed. (7.56):
Xsr 0.135=Xsr Xs θsr Xp Xs−( )⋅+:=Srednja vlaznost iz bezdimenzione srednje vlaznosti:
θsr F τx( ) F τy( )⋅:=Srednja bezdimenziona vlaznost, primenom principa superpozicije:
F τ( ) 8
π2exp
π2− τ⋅4
⋅:=( )
2.0,4
4exp2)(
2
2
>τπ
τπ−≈τθ
Srednja bezdimenziona vlaznost u funkciji od vremena za jednodimenzionu difuziju:
305
Izvod srednje vlaznosti iz (7.58)
dXsr Xsr Xs−( ) dlnθsr⋅:= dXsr 7.43− 105−× s
-1=Zadovoljavajuce slaganje (odstupanje manje od 1%)
Brzina susenja: Brz dXsr−:= Brz 7.43 105−× s
1−=
306
Pod
0
5
10
5.78
5.08
4.25
25
30
35
1.90
1.51
1.15
50
55
60
0.63
0.50
0.41
:=
PRIMER 7.17. Date su izmerene vlažnosti kriški jabuka u toku sušenja vazduhom (Toledo, 2007, E12.12).
a) Proceniti brzinu sušenja u periodu njene konstantne vrednosti,
b) Odabrati opisanim postupkom optimalan stepen polinoma koji fituje eksperimentalne tačke u periodu opadajuće brzine sušenja.
rc 5.1hr1−=rc s
α Tv Tw−( )⋅ρsm ∆hisp⋅⋅:=s
2
L:=
Brzina susenja:
α 40.632W
m2
K⋅=
α 14.31G
UnitsOf G( )
0.8
⋅ W
m2
K⋅⋅:=Koeficijent prelaza toplote iz korelacije:
G 3.686kgm-2
s-1=G ρv w⋅:=Masena brzina vazduha:
ρv 1.01kg
m3
=ρv Mvp
Rg Tv⋅⋅:=Gustina vazduha iz jedn. idealnog gasnog stanja:
ρsm 72.884kg m-3=ρsm ρvm 1 x−( )⋅:=Gustina suve materije:
∆hisp 1037BTU
lb:=p 1atm:=Mv 29
kg
kmol:=
Rg 8.314J
mol K⋅:=L 0.5in:=kmol 1000mol:=w 3.65m
s:=
Tw 100 460+( )R:=Tv 170 460+( )R:=x 0.87:=ρvm 35lb
ft3
:=
PRIMER 7.16. Kriške jabuka se suše u sloju debljine in5.0 . Izmerena nasipna gustina vlažnog sloja pri sadržaju vlage od 87% , računatom po kilogramu vlažnog sloja, je 35 3ftlb . Sloj se suši sa obe strane vazduhom temperature FTv
0170= , čija je
temperatura vlažne kugle termometra, FTw0100= . Vazduh, normalnog pritiska, struji
paralelno sa površinom sloja, brzinom od sm65.3 .
307
k 3:=Fitovanje polinomom 3. stepena
X
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.55
1.9
1.51
1.15
0.99
0.79
0.63
0.5
0.41
0.34
0.28
=t
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
=
X submatrix X 4, last X( ), 0, 0,( ):=t submatrix t 4, last t( ), 0, 0,( ):=b)
min1−
rc 0.163=rc slope submatrix t 0, 4, 0, 0,( ) submatrix X 0, 4, 0, 0,( ),( )−:=
Konstantnu brzinu susenja racunamo kao nagib prave provucene kroz te tacke:
Periodu konstantne brzine susenja pripada prvih 5 tacaka. a)
0 20 40 600
2
4
6
X
t
X stack Pod1⟨ ⟩ Pod3⟨ ⟩, Pod5⟨ ⟩,( ):=t stack Pod0⟨ ⟩
Pod2⟨ ⟩, Pod4⟨ ⟩,( ):=
15
20
3.40
2.55
40
45
0.99
0.79
65
70
0.34
0.28
308
φ t( )
1
t
t2
t3
:= b linfit t X, φ,( ):= Xrac t( )
0
k
i
bi ti⋅∑
=:= Xr Xrac t( )
→:=
Kvalitet fitovanja:
Xr
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.51
1.96
1.52
1.19
0.94
0.75
0.62
0.52
0.44
0.36
0.26
= X
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.55
1.9
1.51
1.15
0.99
0.79
0.63
0.5
0.41
0.34
0.28
= s2
X Xrac t( )−( )→( )2∑
length t( ) k−:= s2 1.6 103−×=
20 40 600
1
2
3
X
Xrac t( )
tBrzine susenja diferenciranjem polinoma:
rfun t( )
1
k
i
i bi⋅ ti 1−⋅∑
=−:= r2 rfun t( )
→:=
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.05
0.1
0.15
r2
X
309
Fitovanje polinomom 4. stepena k 4:=
φ t( )
1
t
t2
t3
t4
:= b linfit t X, φ,( ):= Xrac t( )
0
k
i
bi ti⋅∑
=:= Xr Xrac t( )
→:=
Kvalitet fitovanja:
Xr
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.54
1.92
1.49
1.18
0.96
0.79
0.64
0.52
0.41
0.32
0.29
= X
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.55
1.9
1.51
1.15
0.99
0.79
0.63
0.5
0.41
0.34
0.28
= s2
X Xrac t( )−( )→( )2∑
length t( ) k−:= s2 5.5 104−×=
20 40 600
1
2
3
X
Xrac t( )
t
Brzine susenja diferenciranjem polinoma:
rfun t( )
1
k
i
i bi⋅ ti 1−⋅∑
=−:= r2 rfun t( )
→:=
0 1 2 30.05
0
0.05
0.1
r2
X
310
Fitovanje polinomom 5. stepena k 5:=
φ t( )
1
t
t2
t3
t4
t5
:= b linfit t X, φ,( ):= Xrac t( )
0
k
i
bi ti⋅∑
=:= Xr Xrac t( )
→:=
Kvalitet fitovanja:
Xr
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.55
1.91
1.48
1.19
0.97
0.79
0.63
0.51
0.41
0.34
0.28
= X
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.55
1.9
1.51
1.15
0.99
0.79
0.63
0.5
0.41
0.34
0.28
= s2
X Xrac t( )−( )→( )2∑
length t( ) k−:= s2 4.8 104−×=
20 40 600
1
2
3
X
Xrac t( )
tBrzine susenja diferenciranjem polinoma:
rfun t( )
1
k
i
i bi⋅ ti 1−⋅∑
=−:= r2 rfun t( )
→:=
0 1 2 30
0.05
0.1
0.15
0.2
r2
X
311
Fitovanje polinomom 6. stepena k 6:=
φ t( )
1
t
t2
t3
t4
t5
t6
:= b linfit t X, φ,( ):= Xrac t( )
0
k
i
bi ti⋅∑
=:= Xr Xrac t( )
→:=
Kvalitet fitovanja:
Xr
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.54
1.93
1.48
1.18
0.97
0.8
0.64
0.5
0.4
0.35
0.28
= X
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.55
1.9
1.51
1.15
0.99
0.79
0.63
0.5
0.41
0.34
0.28
= s2
X Xrac t( )−( )→( )2∑
length t( ) k−:= s2 7.2 104−×=
20 40 600
1
2
3
X
Xrac t( )
tBrzine susenja diferenciranjem polinoma:
rfun t( )
1
k
i
i bi⋅ ti 1−⋅∑
=−:= r2 rfun t( )
→:=
0 1 2 30
0.05
0.1
0.15
r2
X
312
Biramo polinom 5. stepena0 1 2 3
0.05
0
0.05
0.1
r2
X
r2 rfun t( )→
:=rfun t( )
1
k
i
i bi⋅ ti 1−⋅∑
=−:=
Brzine susenja diferenciranjem polinoma:
X
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.55
1.9
1.51
1.15
0.99
0.79
0.63
0.5
0.41
0.34
0.28
=Xr
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.5
2
1.48
1.13
0.95
0.82
0.67
0.48
0.36
0.38
0.27
=
20 40 600
1
2
3
X
Xrac t( )
t
s2 5.4 103−×=s2
X Xrac t( )−( )→( )2∑
length t( ) k−:=
Kvalitet fitovanja:
Xr Xrac t( )→
:=Xrac t( )
0
k
i
bi ti⋅∑
=:=b linfit t X, φ,( ):=φ t( )
1
t
t2
t3
t4
t5
t6
t7
:=
k 7:=Fitovanje polinomom 7. stepena
313
PRIMER 7.18. Iz podataka datih u prethodnom primeru, proceniti vreme sušenja da bi se sadržaj vlage sveo od početnog 15.0do 78.50 == zXX .
Pod
0
5
10
15
20
5.78
5.08
4.25
3.40
2.55
25
30
35
40
45
1.90
1.51
1.15
0.99
0.79
50
55
60
65
70
0.63
0.50
0.41
0.34
0.28
:= t stack Pod0⟨ ⟩
Pod2⟨ ⟩, Pod4⟨ ⟩,( ):=
X stack Pod1⟨ ⟩ Pod3⟨ ⟩, Pod5⟨ ⟩,( ):=
0 20 40 600
2
4
6
X
t
Periodu konstantne brzine susenja pripada prvih 5 tacaka.
Konstantnu brzinu susenja racunamo kao nagib prave provucene kroz te tacke:
rc slope submatrix t 0, 4, 0, 0,( ) submatrix X 0, 4, 0, 0,( ),( )−:= rc 0.163= min1−
Definisanje brzine susenja u periodu opadanja, diferenciranjem polinoma 5. stepena koji fituje podatke:
t submatrix t 4, last t( ), 0, 0,( ):=X submatrix X 4, last X( ), 0, 0,( ):=
t
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
= X
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.55
1.9
1.51
1.15
0.99
0.79
0.63
0.5
0.41
0.34
0.28
=
314
Fitovanje polinomom 5. stepena k 5:=
φ t( )
1
t
t2
t3
t4
t5
:= b linfit t X, φ,( ):= Xrac t( )
0
k
i
bi ti⋅∑
=:= Xr Xrac t( )
→:=
Brzine susenja diferenciranjem polinoma :
rfun t( )
1
k
i
i bi⋅ ti 1−⋅∑
=−:= r2 rfun t( )
→:=
0 1 2 30
0.05
0.1
0.15
0.2
r2
X
Izracunavanje nagiba i odsecaka pravolinijskih zavisnosti u 1. i 2. periodu opadanja brzine
m1
k1
line submatrix X 0, 4, 0, 0,( ) submatrix r2 0, 4, 0, 0,( ),( ):=
m1
k1
0.04−0.076
=
r1 x( ) k1 x⋅ m1+:=
m2
k2
line submatrix X 4, 10, 0, 0,( ) submatrix r2 4, 10, 0, 0,( ),( ):=
315
Racunanje vremena susenja
Xr2 1.32 103−×=Xr2
m2−k2
:=k2 Xr2⋅ m2+ 0=
Xr2 je presek druge prave sa X-osom:
Xr1 0.518=Xr1m1−k1
:=k1 Xr1⋅ m1+ 0=
Xr1 je presek prve prave sa X-osom:
Xc2 1.14=Xc2m1 m2−k2 k1−:=k1 Xc2⋅ m1+ k2 Xc2⋅ m2+=
Xc2 se dobija kao presek pravih u prvom i drugom intervalu
Xc1 2.65=Xc1rc m1−
k1:=rc k1 Xc1⋅ m1+=
Xc1 se dobija kao presek prave konstantne brzine susenja i prave u prvom intervalu
Racunanje karakteristicnih tacaka:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.05
0
0.05
0.1
0.15
r2
r1 X( )→
r2 X( )
X
m2
k2
5.506− 105−×
0.042
= r2 x( ) k2 x⋅ m2+:=
316
C K:=kJ 1000J:=kPa 1000Pa:=dk 30cm:=dt 10cm:=
kmol 1000mol:=b 122cm:=a 76cm:=L 0.5in:=S 2.93m2:=
c 5cm:=φ2 0.4:=Tw 30:=Tv1 66:= xr 0.05:=
xc 0.3:=
Pocetna i kranja vlaznost: X0 5.78:= Xz 0.15:=
τcX0 Xc1−
rc:= τc 19.22=
τ1Xc1 X r1−
rcln
Xc1 Xr1−Xc2 Xr1−
⋅:= τ1 16.15=
τ2Xc1 Xr1−( ) Xc2 Xr2−( )⋅
rc Xc2 Xr1−( )⋅ lnXc2 Xr2−0.15 Xr2−
⋅:= τ2 48.82=
τ τc τ1+ τ2+:= τ 84.2= min
PRIMER 7.19 Potrebno je projektovati kontinualnu suprotnostrujnu sušnicu za sušenje hkg500 vlažnog materijala od 60% do 10% vlažnosti (vlažna osnova). Ravnotežna
vlaga materijala za uslove u sušnici je %5 (vlažna osnova) a kritična vlažnost je 30% (vlažna osnova). U prethodnim istraživanjima, pokazalo se da postoji samo jedan period opadajuće brzine sušenja.Za sušenje se koristi vazduh temperature C066 sa temperaturom vlažne kugle termometra CTw
030= , a na izlazu iz sušnice, vazduh treba da ima relativnu
vlažnost 0.4. Pretpostaviti adijabatsko vlaženje vazduha u sušnici. Vlažan materijal ima gustinu 3920 mkg . Materijal prolazi kroz tunel sušnice u kolicima koja sadrže po 14 tacni od kojih je svaka široka 122 cm, dugačka (dimenzija u pravcu ose tunela) 76 cm i duboka 5cm. Rastojanje između tacni je 10 cm. Debljina sloja materijala u tacnama je 0.5in. Razmak između kolica u tunelu je 30cm. Površina poprečnog preseka tunela je 2.93
2m . Izračunati,
a) Konstantnu brzinu sušenja i ukupno vreme sušenja materijala.
b) Dužinu tunela.
x1 0.6:= x2 0.1:= G1 500kg
hr:= ρvm 920
kg
m3
:=
317
χ2 0.0218=χ2 funχ Tv2 φ2, p,( ):=Tv2 42.9=Tv2 Find T( ):=
funχ0 Tw p,( ) funχ T φ2, p,( )− γ K⋅funhisp Tw( ) T Tw−( )⋅=
Given
T Tv1:=χ1 0.0123=χ1 funχ Tv1 φ1, p,( ):=φ1 0.075=φ1 Find φ( ):=
funχ0 Tw p,( ) funχ Tv1 φ, p,( )− γ K⋅funhisp Tw( ) Tv1 Tw−( )⋅=
Given
p p0:=φ 0.2:=Karakteristicne vlaznosti vazduha i protok suvog vazduha:
Xr 0.0526=Xrxr
1 xr−:=Xc 0.429=Xcxc
1 xc−:=
X2 0.1111=X1 1.5=X2x2
1 x2−:=X1x1
1 x1−:=
msm 200kg
hr=msm G1 1 x1−( )⋅:=
Protok suve materije i sadrzaj vlage po kg suve materije:
a)
2. zona
cχ=χ
1. zona
2X1X
2χ 1χ
cXX =
materijal
vazduh
318
G 2.831kgm-2
s-1=
Koeficijent prelaza topl.:
α 14.31G
UnitsOf G( )
0.8
⋅ W
m2
K⋅⋅:= α 32.898
W
m2
K⋅=
ρsm ρvm 1 x1−( )⋅:= s1
L:= ∆hisp funhisp Tw( ):= Tv
Tv1 Tvc+( )2
:=
rc sα Tv Tw−( )⋅ K⋅
ρsm ∆hisp⋅⋅:= rc 0.3481
hr=
Vreme susenja, tj. potrebno vreme boravka materijala u susnici:
τcX1 Xc−
rc:= τc 3.08hr=
τ1Xc X r−
rcln
Xc X r−X2 X r−
⋅:= τ1 2.01hr=
τ τc τ1+:= τ 5.09hr=
2 2( ) 2
mw msm X1 X2−( )⋅:= mw msv χ2 χ1−( )⋅=
msvmw
χ2 χ1−( ):= msv 2.924 104× kg
hr=
Vlaznost i temperatura vazduha na granici izmedju zona:
msm Xc X2−( )⋅ msv χc χ1−( )⋅= χc msmXc X2−
msv⋅ χ1+:= χc 0.0145=
Tw= const. => Tvc Twfunχ0 Tw p,( ) χc−
γ K⋅funhisp Tw( )
+:= Tvc 60.7=
Konstantna brzina susenja:
Masena brzina vazduha: Gmsv
S b c⋅−:=
319
s 0.0615m
2
kg:=ρsm 640
kg
m3
:=G1 2260kg
hr:=x2 0.035:=x1 0.5:=
2. zona
cχ=χ
1. zona
2X1X
2χ 1χ
cXX =
materijal
vazduh
PRIMER 7.20. U surotno-strujnoj konvektivnoj sušnici, suši se materijal od 50% do 3.5% vlage (vlažna osnova). Kapacitet sušnice je 2260 hkg vlažnog materijala.
Specifična površina isparavanja za dati materijal je kgm20615.0 . Kriti čna vlažnost materijala je 20%, a ravnotežna vlažnost na uslovima sušenja 1.5% (vlažna osnova). Temperatura i relativna vlažnost vazduha na ulazu su : 5.0,20 1
01, =ϕ= CTv , a na izlazu:
2.0,63 10
2, =ϕ= CTv . Vlažnost zasićenog vlažnog vazduha na temperaturi materijala je
0495.00 =χ Koeficijent prelaza vlage sa površine materijala u vazduh ima vrednost
)(129 2hmkgw =β . Izračunati vreme boravka materijala u sušnici .
Lt 205.47m=LtMsm
Msm1:=Duzina tunela:
Msm1 4.956kgm-1=Msm1
mk
Lk dk+:=Masa suve materije po metru tunela:
Lk 11.94m=Lk 14 a⋅ 13 dt⋅+:=Duzina kolica:
mk 60.667kg=mk 14 mt⋅:=Kapacitet kolica:
mt 4.333kg=mt a b⋅ L⋅ ρsm⋅:=Kapacitet jedne tacne :
Duzina tunela
Msm 1.018 103× kg=Msm τ msm⋅:=msm
Msm
τ=
b) Masa suve materije u tunelu, koja odgovara izracunatom vremenu susenja:
c 1
320
Xrxr
1 xr−:= Xr 0.0152=
u2 X2 X r−:= uc Xc Xr−:= u2 0.021= uc 0.235=
Protok suvog vazduha i karakteristicne vlaznosti:
p p0:= χ1 funχ Tv1 φ1, p,( ):= χ1 7.241 103−×=
χ2 funχ Tv2 φ2, p,( ):= χ2 0.0293=
mw msm X1 X2−( )⋅:= mw msv χ2 χ1−( )⋅=
msvmw
χ2 χ1−( ):= msv 4.931 104× kg
hr= qvm
msv
msm:= qvm 43.6403=
msm Xc X2−( )⋅ msv χc χ1−( )⋅= χcXc X2−
qvmχ1+:= χc 0.0121=
m
xc 0.2:= xr 0.015:= Tv1 20:= φ1 0.5:=
βw 129kg
m2
hr⋅:=Tv2 63:= φ2 0.2:= χ0 0.0495:=
kPa 1000Pa:= kJ 1000J:= kmol 1000mol:= C K:=
Protok suve materije i sadrzaji vlage po kg suve materije:
msm G1 1 x1−( )⋅:= msm 1.13 103× kg
hr=
X1x1
1 x1−:= X2x2
1 x2−:= X1 1= X2 0.0363=
Xcxc
1 xc−:= Xc 0.25=
321
Povrsine susenja u 1. i 2. zoni:
A1msv
βwln
χ0 χc−χ0 χ2−
⋅:= A1 235.6m2=
A2uc msv⋅
βw uc qvm χ0 χc−( )⋅+ ⋅ ln ucχ0 χ1−( )
u2 χ0 χc−( )⋅⋅
⋅:= A2 122m2=
Ukupna povrsina susenja: A A1 A2+:= A 357.5m2=
Vreme susenja: τ1A1
msm s⋅:= τ2A2
msm s⋅:=
τ1 3.39hr= τ2 1.76hr= τ τ1 τ2+:= τ 5.14hr=
322