vibracion es

VIBRACIÓN LIBRE SIN

AMORTIGUACIÓN

(UN GRADO DE LIBERTAD)

INTRODUCCIÓN

Los sistemas vibratorios más simples: elemento elástico y masa,

Un solo grado de libertad: se puede mover solo en la dirección vertical

No fuerza externa: vibración libre

Sin amortiguación: ninguna condición que inhiba el movimiento

Resorte sin masa y con constante lineal

k

W

kk

mm

m

)(a

)(b

ANÁLISIS MEDIANTE LOS PRINCIPIOS DE NEWTON

Diagrama de cuerpo libre

2da. Ley Newton

Ecuación diferencial que gobierna movimiento

Aunque ésta es una idealización, contribuye a comprender tópicos más avanzados referidos a las

vibraciones mecánicas

MODELO A UTILIZAR

m

k

Posición de equilibrio: desplazamiento estático es fuerza del resorte es k

Diagrama de cuerpo libre: mostrado en parte (c) de figura

Ecuación de equilibrio

Posición sin

equilibrio

Posición de

masa(a)

(b) (c)

Posición

dinámica

Posición de equilibrio

Diagrama de cuerpolibre completo

Diagrama de cuerpolibre dinámico

Sabemos que

Por consiguiente, kxdt

xdm 2

2 que es la ecuación diferencial que gobierna

el movimiento

kxdt

xdm 2

2

ECUACIÓN DIFERENCIAL

Donde

dtdxx

2

2

dtxdx

kxdt

xdm 2

2

02

2

xmk

dtxd

022

2

xdt

xd 02 xx

mk

2mk

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Ésta es una ecuación diferencial lineal y homogénea con coeficientes constantes

Ya que ésta es una ecuación de segundo orden, la solución debe tener dos constantes arbitrarias

Para satisfacer la ecuación, la solución debe retornar a la misma forma en su segunda derivada

sen t y cos t satisface la condición anterior

Parece entonces razonable que la suma de las funciones anteriores, con las constantes apropiadas representaría la solución general, así

donde A y B son las constantes requeridas. Se determinan mediante las condiciones iniciales del movimiento

La sustitución de esta solución en la ecuación revela que la satisface.

02 xx

tBtAsenx cos

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Ecuación diferencial lineal de segundo orden

)()()(2

yrxygdtdxyf

dtxd

Ecuación diferencial lineal, homogénea de segundo orden

0)()(2

xygdtdxyf

dtxd

Teorema fundamental (Ecuación lineal homogénea)

Si se multiplica por una constante una solución, la función resultante también es una solución

Si se suman dos soluciones, la suma resultante también es una solución

Las funciones f(y), g(y) son los coeficientes de la ecuación

Kreyszig pag. 128

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIALcontinuación

En esta solución es posible reemplazar las constantes arbitrarias por un nuevo conjunto de variables. Por ejemplo:

Sustituyendo en la solución, se tiene

donde C y son las nuevas constantes arbitrarias

(2.7)

(2.8)

(2.9)

tBtAsenx cos

CsenB cosCA

)coscos( senttsenCx )( tCsenx

Se acuerdo a estas expresiones

y por consiguiente:

Adicionalmente,

El término se llama fase o ángulo de fase


2222 )()cos( BACsenC

AB

CCsen

costan

cosCA

22 BAC

CsenB


La expresión anterior (2.9):

También satisface la ecuación diferencial

Esta expresión resultó al utilizar las relaciones:

Si se usan las expresiones adecuadas, se pueden obtener soluciones del tipo siguiente:

Las cuales también satisfacen la ecuación diferencial

Para cada conjunto de condiciones iniciales, las cuatro soluciones son idénticas

----------------------------------------------------------------------------

)( tCsenx

CsenB cosCA

INTERPRETACIÓN DE LA SOLUCIÓN

Aplicando las condiciones iniciales

Sustituyendo en la expresión

Se obtiene

La solución se convierte en:

2.14

tBtAsenx cos

0xA

0xB

txtsenxx

cos00

Sustituyendo las expresiones

en las siguientes relaciones:

se obtiene:

20

20 )( xxC

0

0tanx

x

Sustituyendo ahora la expresión para C en la siguiente ecuación:

Dicha ecuación se transforma en:

2.15


22 BAC AB

CCsen

costan

)( tCsenx

)( tXsenx

0xA

0xB

X representa la amplitud del desplazamiento y es el ángulo de fase, definidos por:

En esta expresión

2.15

El movimiento representado por ec. 2.14 y 2.15 se dice que es armónico, debido a su forma sinusoidalx

t


)( tXsenx

20

20 )( xxX

0

0tanx

x

Este movimiento se repite cada ciclo, con el tiempo para un ciclo definido por el valor de t = 2

Así el período es

2 es la frecuencia circular

El recíproco de es la frecuencia f en ciclos por unidad tiempo. Así

[segundos]

2f

mk

[rad/s]


Derivando la expresión 2.14 y 2.15 respecto al tiempo, se obtiene la velocidad y la aceleración

XX 2XX (Amplitud velocidad)

(Amplitud aceleración)


Rep

rese

ntac

ión

gráf

ica

de d

espl

azam

ient

o,ve

loci

dad,

ace

lera

ción

INTE

RPR

ETA

CIÓ

N D

E LA

SO

LUC

IÓN

VIBRACIÓN TORSIONAL

Ciertos componentes de estructuras y un gran número de máquinas presentan vibración torsional

A pesar de que los elementos de máquinas pueden ser complicados en cuanto a su forma y arreglo, generalmente

pueden ser reducidos a sistemas equivalentes compuestos de ejes y discos que tienen libertad torsional

El modelo descrito se muestra en la figura siguiente, compuesto de ejes elásticos y discos inerciales

Se supone que el eje no tiene masa

La constante torsional de resorte del eje es kT

kT : momento torsor/ángulo girado [lb-in/rad] [N-m/rad]

El desplazamiento angular se considera positivo en el sentido indicado en la figura

De acuerdo a la segunda ley de Newton para rotación alrededor eje fijo se tiene:

Torque restaurador:

I: el momento másico de inercia del disco respecto a su eje de rotación [lbf-in-s2] [N-m-s2] Unidades de masa por unidades de longitud al cuadrado


Ecuación similar ec. 2-4 para el caso rectilíneo, por consiguiente:

y depende de constantes físicas del sistema, tal como se observa en esta fórmula

Note que A, B, C y son constantes arbitrarias que pueden ser determinadas mediante las condiciones iniciales del sistema

Reemplazando x por , la discusión de las secciones 2-3 a 2-5 pueden ser aplicadas al presente caso.


OSCILACIÓN ANGULAR

La figura representa un péndulo simple

Fuerza de restauración: gravitacional en lugar de elástica

W = mg peso pequeña masa al extremo elemento, sin masa, de longitud l y que pivota libremente alrededor del punto O

O

Q

W = mg

(b)

OSCILACIÓN ANGULARcontinuación

Masa pequeña, por consiguiente, I = ml2

Se considerará que la masa se está alejando de la posición de equilibrio (sentido positivo para desplazamiento y aceleración)

lWsenml )(2

O

Q

W = mg

(b)

OSCILACIÓN ANGULARcontinuación

lWsenml )(2 0 senlg

El término sen es una función transcedental, por consiguiente esa no es una ecuación diferencial lineal

Sustituyendo el sen por la serie correspondiente,

Si el movimiento se limita a pequeñas amplitudes, los términos de tercer orden y superiores pueden ser despreciados,

0 lg Que es una ecuación deferencial lineal,

donde,

Consideremos el sistema combinado representado por el péndulo invertido y el resorte

CONDICIÓN RESTAURADORA Y ESTABILIDAD

Suponga:

a) resorte no deformado para péndulo en posición vertical y

b) constante = k

Para la posición angular mostrada, la fuerza del resorte es:

)sin( ak

a

b

lba o


Diagrama de cuerpo libre

Suponiendo que la masa (m) es pequeña, y tomando momentos alrededor del punto O, resulta:

lWaakml )sin(cos)sin(2

Para oscilaciones pequeñas se tiene:

sin 1cos

Wlkaml 22

Sustituyendo en la ecuación anterior:

a

b

o

mgW

Q

)sin( ak

lba


Wlkaml 22

Que se puede arreglar para obtener:

02

2

mlWlka

)sin( tCWlka 2para

Donde 2

2

mlWlka

Esto representa el caso de una oscilación estable

Si la condición anterior no se cumple se tendrá equilibrio, velocidad constante o inestabilidad

CASO 1: Oscilación estable

Soluciónecuación diferencia


0Wlka 2

Esta última ecuación se puede resolver integrando dos veces respecto al tiempo y se obtiene:

21 CtC

Calculando las constantes arbitrarias y sustituyendo se tiene:

oo t

02

2

mlWlkapara

0oSi La masa se desplaza a velocidad constante

0o Equilibrio estático, el péndulo permanece en su posición inicial )( o

CASO 2: Velocidad constante o equilibrio

)( o


Wlka 2 02

2

mlWlkapara

CASO 3: inestabilidad

02

tt eCeC 43

Haciendo: 22

2

mlWlka

es un número realdonde

Haciendo la siguiente suposición y sustituyendo en la ecuación anterior

stCe 0)( 22 stCes

En donde se requiere que: 022 s s

Por consiguiente la solución es



tt eCeC 43

tt ee /21/

21

0000

Determinando las constantes y sustituyendo:

Donde es una cantidad real y positiva definida por

2

2

mlkaWl

Esto representa un movimiento no oscilatorio, en el cual se incrementa exponencialmente con el tiempo, siempre y cuando

no sean iguales a cero

00 y



Este caso representa un arreglo inestable

El momento restaurador es menor que el momento no restaurador

Una condición restauradora tiende a retornar el sistema a la posición de equilibrio

Una condición no restauradora tiende a alejar al sistema de su posición de equilibrio

Una condición restauradora (fuerza o momento) se reconoce por su signo negativo en el lado derecho

de la ecuación diferencial.

RESORTES EQUIVALENTES

En el análisis de sistemas vibratorios conviene, con frecuencia, reemplazar los elementos elásticos por resortes equivalentes

Así, el problema se reduce a un simple modelo masa-resorte

El procedimiento para lograr esto pasa por definir la constante (k) de resorte del elemento analizado

(k) se define determinado la fuerza o el momento por unidad de desplazamiento del elemento en el punto donde se encuentra la masa

Se requiere entonces, arreglar la expresión para el desplazamiento o la deflexión de acuerdo al elemento considerado

PkTkT


Ejemplo 1: Viga en voladizo

Deflexión en extremo libre de la viga

La constante de resorte equivalente será:

I es momento de inercia de la sección

E módulo de elasticidad del material de viga EIPl 3/3

3

3lEIPk


Ejemplo 2: Viga simplemente apoyada

Deflexión en el centro de la viga es:


I es momento de inercia de la sección

E módulo de elasticidad del material de viga EIPl 48/3

3

48lEIPk


Expresión general para constante de resorte de una viga:

Donde es una constante

Que depende del tipo de apoyo de la viga y de sus condiciones de carga

3

1lEIPk


Ejemplo 3: Barra de diámetro uniforme

La relación de deformación es:


E módulo de elasticidad del material de viga

A área de la sección de la barra

AEPl /

lAEPk

l

P

RESORTES EQUIVALENTEScontinuación

Ejemplo 4: Barra sección circular a torsión

El ángulo girado por el eje es

La constante de resorte equivalenteserá:

J momento polar de inercia de sección circular

G módulo de elasticidad a cortematerial barra

Unidades de momento torsor/radian


Combinación de varios resortes

En máquinas y estructuras se presentan frecuentemente combinaciones de varios resortes

Conviene sustituir tales combinaciones de resortes por un resorte equivalente único

Ese resorte equivalente único debe producir las mismas condiciones físicas y de movimiento que la combinación original de resortes

Se estudiará ahora el procedimiento para realizar la antes mencionada sustitución


Resortes en paralelo

(a) (b) (c)

Igual desplazamiento

nkkkk .......21

nkkkk .......21

n

jjkk

1


Resortes en serie

La misma fuerza en cada resorte


Ejemplo

Determinar la constante de resorte equivalente para el sistema representado en la figura

(Resortes en paralelo)

(Resortes en serie)

(Resortes en paralelo)

MÉTODO DE LA ENERGÌA

Como no se extrae ni se agrega energía al sistema

T es la energía cinética

V es la energía potencial

En general, para pequeñas oscilaciones, T es una función de la velocidad y V es función del desplazamiento

La derivada respecto al tiempo, debe conducir a la ecuación diferencial que gobierna el movimiento del sistema

T + V = constante

0VTdtd

El procedimiento puede aplicarse a un sistema libre de un grado de libertad sin amortiguación

Usando la posición de equilibrio como referencia, energía potencial es,

mm

Posición de

equilibrio

La energía cinética

MÉTODO DE LA ENERGÌA

VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUACIÓN(Un grado de libertad)

0 kxxm

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

tBtsenAx cos

0xx 0xx 0t 0xA 0xB

)( tsenXx20

20 )( xxX

0

0tanx

x

entodesplazamidelamplitudX fasedeángulo

)/( sradcircularfrecuencia tiempot

para

vibracion es

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